Wat is de regel voor het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom. Vermenigvuldiging van monomialen en polynomen

speciaal geval vermenigvuldiging van een veelterm met een veelterm - vermenigvuldiging van een veelterm met een monomiaal. In dit artikel formuleren we de regel voor het uitvoeren van deze actie en analyseren we de theorie met praktijkvoorbeelden.

Regel voor het vermenigvuldigen van een veelterm met een monomiaal

Laten we uitzoeken wat de basis is van het vermenigvuldigen van een polynoom met een monomiaal. Deze actie vertrouwt op de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging met betrekking tot optellen. Letterlijk wordt deze eigenschap als volgt geschreven: (a + b) c \u003d a c + b c (a, b en c zijn enkele cijfers). In dit item wordt de uitdrukking (a + b) c is gewoon het product van de veelterm (a + b) en de monomiaal c. De rechterkant van de gelijkheid a c + b c is de som van producten van monomials a en b in een monomial c.

De bovenstaande redenering stelt ons in staat om de regel te formuleren voor het vermenigvuldigen van een polynoom met een monomiaal:

Definitie 1

Om de actie van het vermenigvuldigen van een polynoom met een monomiaal uit te voeren, moet u:

• noteer het product van een polynoom en een monomiaal, die vermenigvuldigd moeten worden;
• vermenigvuldig elke term van de veelterm met de gegeven monomiaal;
• zoek de som van de resulterende producten.

Laten we het bovenstaande algoritme verder uitleggen.

Om het product van een veelterm door een monomiaal samen te stellen, wordt de oorspronkelijke veelterm tussen haakjes geplaatst; verder wordt er een vermenigvuldigingsteken tussen geplaatst en de gegeven monomiaal. In het geval dat de invoer van een monomial begint met een minteken, moet deze ook tussen haakjes worden geplaatst. Bijvoorbeeld, het product van een polynoom − 4 x 2 + x − 2 en monomiaal 7 jaar schrijf als (− 4 x 2 + x − 2) 7 jaar, en het product van de polynoom a 5 b − 6 a b en monomiaal − 3 een 2 samenstellen in de vorm: (a 5 b − 6 a b) (− 3 a 2).

De volgende stap van het algoritme is de vermenigvuldiging van elke term van de veelterm met een gegeven monomiaal. De componenten van het polynoom zijn monomials, d.w.z. in feite moeten we de vermenigvuldiging van een monomiaal met een monomiaal uitvoeren. Laten we aannemen dat we na de eerste stap van het algoritme de uitdrukking . hebben verkregen (2x2+x+3) 5x, dan is de tweede stap om elke term van de polynoom te vermenigvuldigen 2x2+x+3 met een monomiaal 5x, aldus verkrijgend: 2 x 2 5 x = 10 x 3 , x 5 x = 5 x 2 en 3 5x = 15x. Het resultaat zijn de monomials 10 x 3, 5 x 2 en 15 x.

De laatste actie volgens de regel is de toevoeging van de resulterende producten. Uit het gegeven voorbeeld, doen deze stap algoritme krijgen we: 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

Standaard worden alle stappen geschreven als een keten van gelijkheden. Bijvoorbeeld, het vinden van het product van een polynoom 2x2+x+3 en monomiaal 5x laten we het zo schrijven: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 2 x 2 5 x + x 5 x + 3 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x . Het elimineren van de tussentijdse berekening van de tweede stap, korte oplossing kan als volgt: (2 x 2 + x + 3) 5 x = 10 x 3 + 5 x 2 + 15 x.

De weloverwogen voorbeelden maken het mogelijk om op te merken belangrijke nuance: door vermenigvuldiging van een polynoom en een monomiaal wordt een polynoom verkregen. Deze verklaring geldt voor elke vermenigvuldigende polynoom en monomiaal.

Naar analogie wordt een monomiaal vermenigvuldigd met een polynoom: een gegeven monomiaal wordt vermenigvuldigd met elk lid van het polynoom en de resulterende producten worden opgeteld.

Voorbeelden van het vermenigvuldigen van een veelterm met een monomiaal

voorbeeld 1

Het is noodzakelijk om het product te vinden: 1 , 4 · x 2 - 3 , 5 · y · - 2 7 · x .

Beslissing

De eerste stap van de regel is al voltooid - het werk is vastgelegd. Nu voeren we de volgende stap uit, waarbij we elke term van de polynoom vermenigvuldigen met de gegeven monomiaal. BIJ deze zaak het is handig om eerst decimale breuken om te zetten in gewone breuken. Dan krijgen we:

1 , 4 x 2 - 3 , 5 jaar - 2 7 x = 1 , 4 x 2 - 2 7 x - 3 , 5 jaar - 2 7 x = = - 1 , 4 2 7 x 2 x + 3 , 5 2 7 x y = - 7 5 2 7 x 3 + 7 5 2 7 x y = - 2 5 x 3 + x y

Antwoord: 1, 4 x 2 - 3 , 5 jaar - 2 7 x = - 2 5 x 3 + x jaar.

Laten we verduidelijken dat wanneer de oorspronkelijke polynoom en/of monomiaal in een niet-standaardvorm worden gegeven, voordat ze hun product vinden, het wenselijk is om ze te reduceren tot standaardweergave.

Voorbeeld 2

Gegeven een polynoom 3 + een − 2 een 2 + 3 een − 2 en monomiaal − 0 , 5 a b (− 2) a. Je moet hun werk vinden.

Beslissing

We zien dat de initiële gegevens in een niet-standaardvorm worden gepresenteerd, daarom zullen we ze voor het gemak van verdere berekeningen in een standaardvorm brengen:

− 0 , 5 a b (− 2) a = (− 0 , 5) (− 2) (a a) b = 1 a 2 b = a 2 b 3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2 = (3 − 2) + (a + 3 a) − 2 a 2 = 1 + 4 a − 2 a 2

Laten we nu de vermenigvuldiging van de monomiaal doen een 2 b voor elk lid van de polynoom 1 + 4 a − 2 a2

a 2 b (1 + 4 a − 2 a 2) = a 2 b 1 + a 2 b 4 a + a 2 b (− 2 a 2) = = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b

We konden de initiële gegevens niet naar het standaardformulier brengen: de oplossing zou dan omslachtiger blijken te zijn. In dit geval zou de laatste stap de noodzaak zijn om vergelijkbare termen te verminderen. Voor het begrip is hier een oplossing volgens dit schema:

− 0 .5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = = − 0 . 5 a b (− 2) a 3 − 0 . 5 a b (− 2) a a − 0 . 5 a b (− 2) a (− 2 a 2) − 0 . 5 a b (− 2) a 3 a − 0 , 5 a b (− 2) a (− 2) = = 3 a 2 b + a 3 b − 2 a 4 b + 3 a 3 b − 2 a 2 b = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b

Antwoord: − 0 , 5 a b (− 2) a (3 + a − 2 a 2 + 3 a − 2) = a 2 b + 4 a 3 b − 2 a 4 b.

Als u een fout in de tekst opmerkt, markeer deze dan en druk op Ctrl+Enter

Op de deze les de werking van het vermenigvuldigen van een veelterm met een monomiaal zal worden bestudeerd, wat de basis vormt voor het bestuderen van de vermenigvuldiging van veeltermen. Laten we ons de distributieve wet van vermenigvuldiging herinneren en de regel formuleren voor het vermenigvuldigen van een veelterm met een monomiaal. We herinneren ons ook enkele eigenschappen van graden. Daarnaast zullen typische fouten worden geformuleerd bij het uitvoeren van verschillende voorbeelden.

Onderwerp:Veeltermen. Rekenkundige bewerkingen op monomials

Les:Vermenigvuldiging van een veelterm met een monomiaal. Typische taken

De bewerking van het vermenigvuldigen van een polynoom met een monomiaal is de basis voor het overwegen van de bewerking van het vermenigvuldigen van een polynoom met een polynoom, en u moet eerst leren hoe u een polynoom met een monomiaal vermenigvuldigt om de vermenigvuldiging van polynomen te begrijpen.

De basis van deze operatie is de distributieve wet van vermenigvuldiging. Herinner het:

In wezen zien we de regel voor het vermenigvuldigen van een polynoom, in dit geval een binomiaal, met een monomiaal, en deze regel kan als volgt worden geformuleerd: om een ​​polynoom met een monomiaal te vermenigvuldigen, moet je elke term van het polynoom vermenigvuldigen door dit monomiaat. Voeg de algebraïsch verkregen producten toe en voer vervolgens de nodige acties uit op de polynoom - namelijk, breng deze naar de standaardvorm.

Overweeg een voorbeeld:

Commentaar: gegeven voorbeeld wordt precies opgelost volgens de regel: elke term van een polynoom wordt vermenigvuldigd met een monomiaal. Om de verdelingswet goed te begrijpen en te verwerken zijn in dit voorbeeld de termen van de polynoom vervangen door respectievelijk x en y, en de monomiaal door c, waarna een elementaire handeling is uitgevoerd volgens de verdelingswet en de initiële waarden werden vervangen. Je moet voorzichtig zijn met de tekens en correct vermenigvuldigen met min één.

Overweeg een voorbeeld van het vermenigvuldigen van een trinoom met een monomiaal en zorg ervoor dat het niet verschilt van dezelfde bewerking met een binomiaal:

Laten we verder gaan met het oplossen van voorbeelden:

Opmerking: dit voorbeeld wordt opgelost volgens de distributiewet en vergelijkbaar met het vorige voorbeeld - elke term van de polynoom wordt vermenigvuldigd met een monomiaal, de resulterende polynoom is al in standaardvorm geschreven, dus het kan niet worden vereenvoudigd.

Voorbeeld 2 - voer acties uit en verkrijg een polynoom in standaardvorm:

Opmerking: om dit voorbeeld op te lossen, zullen we eerst vermenigvuldigen voor de eerste en tweede binomials volgens de verdelingswet, daarna zullen we de resulterende polynoom naar de standaardvorm brengen - we zullen gelijke termen brengen.

Laten we nu de belangrijkste problemen formuleren die samenhangen met de bewerking van het vermenigvuldigen van een polynoom met een monomiaal en voorbeelden geven van hun oplossing.

Taak 1 - vereenvoudig de uitdrukking:

Opmerking: dit voorbeeld wordt op dezelfde manier opgelost als het vorige, namelijk eerst worden de veeltermen vermenigvuldigd met de overeenkomstige monomialen, daarna worden de vergelijkbare verminderd.

Taak 2 - vereenvoudigen en berekenen:

Voorbeeld 1:;

Opmerking: dit voorbeeld wordt op dezelfde manier opgelost als het vorige, met als enige toevoeging dat het na de reductie van dergelijke leden nodig is om de specifieke waarde ervan te vervangen in plaats van de variabele en de waarde van de polynoom te berekenen. Bedenk dat vermenigvuldigen gemakkelijk is decimale met tien moet u de komma één plaats naar rechts verplaatsen.

Als de cijfers met verschillende letters worden aangegeven, dan is aanduiding alleen mogelijk vanaf het product; laat bijvoorbeeld het getal a vermenigvuldigd worden met het getal b, - we kunnen dit ofwel a b of ab aanduiden, maar er kan geen sprake zijn van een of andere manier om deze vermenigvuldiging uit te voeren. Als we echter te maken hebben met monomials, dan is het vanwege 1) de aanwezigheid van coëfficiënten en 2) het feit dat deze monomials factoren kunnen bevatten die met dezelfde letters worden aangegeven, mogelijk te spreken over de vermenigvuldiging van monomials; een dergelijke mogelijkheid is zelfs nog groter voor polynomen. Laten we een aantal gevallen analyseren waarin het mogelijk is om vermenigvuldiging uit te voeren, beginnend bij de eenvoudigste.

1. Machten vermenigvuldigen met dezelfde gronden . Laat bijvoorbeeld een 3 ∙ een 5 worden geëist. Laten we schrijven, wetende wat het betekent om tot een macht te verheffen, hetzelfde in meer detail:

een een een een een een een a

Als we naar deze gedetailleerde invoer kijken, zien we dat we een vermenigvuldiger van 8 keer hebben geschreven, of kortom een ​​8 . Dus een 3 ∙ een 5 = een 8 .

Laat b 42 ∙ b 28 vereist zijn. We zouden eerst de factor b 42 keer moeten schrijven, en dan weer de factor b 28 keer - in het algemeen zouden we krijgen dat b wordt genomen door de factor 70 keer. d.w.z. b 70 . Dus b 42 ∙ b 28 \u003d b 70. Hieruit blijkt al dat bij het vermenigvuldigen van machten met dezelfde grondtalen, het grondtal van de graad ongewijzigd blijft en de exponenten worden opgeteld. Als we een 8 ∙ a hebben, dan moeten we bedenken dat de factor a een exponent van 1 impliceert (“a tot de eerste macht”), dus een 8 ∙ a = a 9 .

Voorbeelden: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; een 11 ∙ een 22 ∙ een 33 = een 66; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5 enz.

Soms heb je te maken met graden waarvan de exponenten worden aangegeven met letters, bijvoorbeeld xn (x tot de macht n). Je moet wennen aan het gebruik van deze uitdrukkingen. Hier zijn enkele voorbeelden:

Laten we enkele van deze voorbeelden uitleggen: b n - 3 ∙ b 5 u moet de basis b ongewijzigd laten en de indicatoren toevoegen, d.w.z. (n - 3) + (+5) \u003d n - 3 + 5 \u003d n + 2 Natuurlijk moeten dergelijke toevoegingen worden geleerd om snel in de geest te presteren.

Nog een voorbeeld: x n + 2 ∙ x n - 2, - de basis van x moet ongewijzigd blijven en de indicator moet worden toegevoegd, d.w.z. (n + 2) + (n - 2) = n + 2 + n - 2 = 2n .

Het is mogelijk om de hierboven gevonden volgorde uit te drukken, hoe de vermenigvuldiging van bevoegdheden met dezelfde basen moet worden uitgevoerd, nu door de gelijkheid:

een m een ​​n = een m + n

2. Vermenigvuldiging van een monomiaal met een monomiaal. Laat bijvoorbeeld 3a²b³c ∙ 4ab²d² vereist zijn. We zien dat hier één vermenigvuldiging wordt aangegeven met een punt, maar we weten dat hetzelfde vermenigvuldigingsteken wordt geïmpliceerd tussen 3 en a², tussen a² en b³, tussen b³ en c, tussen 4 en a, tussen a en b², tussen b² en d². Daarom kunnen we hier het product van 8 factoren zien en ze kunnen vermenigvuldigen met willekeurige groepen in willekeurige volgorde. Laten we ze herschikken zodat de coëfficiënten en machten met dezelfde basen dichtbij zijn, d.w.z.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Dan kunnen we 1) coëfficiënten en 2) machten vermenigvuldigen met hetzelfde grondtal en krijgen 12a³b5cd².

Dus als we een monomiaal vermenigvuldigen met een monomiaal, kunnen we de coëfficiënten en machten met dezelfde basen vermenigvuldigen, en de overige factoren moeten ongewijzigd worden herschreven.

Meer voorbeelden:

3. Vermenigvuldiging van een veelterm met een monomiaal. Stel dat we eerst een veelterm, bijvoorbeeld a - b - c + d, moeten vermenigvuldigen met een positief geheel getal, bijvoorbeeld +3. Als positieve getallen worden beschouwd als samenvallend met rekenen, dan is het hetzelfde als (a - b - c + d) ∙ 3, d.w.z. neem 3 keer a - b - c + d als som, of

(a - b - c + d) ∙ (+3) = a - b - c + d + a - b - c + d + a - b - c + d = 3a - 3b - 3c + 3d,

d.w.z. als resultaat moest elke term van de polynoom worden vermenigvuldigd met 3 (of met +3).

Hieruit volgt:

(a - b - c + d) ÷ (+3) = a - b - c + d,

dat wil zeggen, elke term van de polynoom moest worden gedeeld door (+3). Samenvattend krijgen we ook:

enzovoort.

Laat het nu nodig is om (a - b - c + d) te vermenigvuldigen met positieve breuk, bijvoorbeeld naar +. Het is hetzelfde als vermenigvuldigen met rekenkundige breuk, wat betekent delen van (a - b - c + d) nemen. Het is gemakkelijk om een ​​vijfde van deze polynoom te nemen: je moet (a - b - c + d) delen door 5, en we weten al hoe we dit moeten doen - we krijgen . Het blijft over om het verkregen resultaat 3 keer te herhalen of te vermenigvuldigen met 3, d.w.z.

Als resultaat zien we dat we elke term van de polynoom met of met + moesten vermenigvuldigen.

Laat het nu nodig is om (a - b - c + d) te vermenigvuldigen met een negatief getal, geheel getal of fractioneel,

d.w.z. in dit geval moest elke term van de polynoom worden vermenigvuldigd met -.

Dus, ongeacht het getal m, altijd (a - b - c + d) ∙ m = am - bm - cm + dm.

Aangezien elke monomiaal een getal is, zien we hier een indicatie van hoe een polynoom met een monomiaal moet worden vermenigvuldigd - elk lid van de polynoom moet met deze monomiaal worden vermenigvuldigd.

4. Vermenigvuldiging van een polynoom met een polynoom. Laat het zijn (a + b + c) ∙ (d + e). Aangezien d en e getallen betekenen, drukt (d + e) ​​een willekeurig getal uit.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​​​= a(d + e) ​​​​+ b(d + e) ​​​​+ c(d + e)

(we kunnen het zo uitleggen: we hebben het recht om d + e tijdelijk voor een monomial te nemen).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

Als gevolg hiervan kunt u de volgorde van de leden wijzigen.

(a + b + c) ∙ (d + e) ​​​​= ad + bd + ed + ae + be + ce,

d.w.z. om een ​​polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, moet men elke term van een polynoom vermenigvuldigen met elke term van de andere. Het is handig (hiervoor is de volgorde van de verkregen termen hierboven gewijzigd) om elke term van de eerste veelterm eerst te vermenigvuldigen met de eerste term van de tweede (met + d), en vervolgens met de tweede term van de tweede (met + e), dan, als het ware, door de derde, enz. d.; daarna moet u vergelijkbare termen verminderen.

In deze voorbeelden wordt de binomiaal vermenigvuldigd met de binomiaal; in elke binomiaal zijn de termen gerangschikt in aflopende machten van de letter die beide binomials gemeen hebben. Dergelijke vermenigvuldigingen zijn eenvoudig in je hoofd uit te voeren en schrijf meteen het eindresultaat op.

Door de senior term van de eerste binomiaal te vermenigvuldigen met de senior term van de tweede, d.w.z. 4x² met 3x, krijgen we 12x³ de senior term van het product - uiteraard zullen er geen vergelijkbare zijn. Vervolgens zoeken we de termen uit de vermenigvuldiging van welke termen zullen worden verkregen met de macht van de letter x minder met 1, dus met x². Het is gemakkelijk in te zien dat dergelijke termen worden verkregen door de 2e term van de eerste factor te vermenigvuldigen met de 1e term van de tweede en door de 1e term van de eerste factor te vermenigvuldigen met de 2e term van de tweede (de haakjes onderaan van het voorbeeld geven dit aan). Deze vermenigvuldigingen in je hoofd doen en ook de reductie van deze twee vergelijkbare termen doen (waarna we de -19x²-term krijgen) is niet moeilijk. Dan merken we dat de volgende term, die de letter x bevat tot de macht van nog een 1 minder, dus x tot de 1e macht, alleen wordt verkregen door de tweede term met de tweede te vermenigvuldigen, en er zullen geen vergelijkbare zijn.

Nog een voorbeeld: (x² + 3x)(2x - 7) = 2x³ - x² - 21x.

Het is ook gemakkelijk om voorbeelden als de volgende mentaal uit te voeren:

De senior term wordt verkregen door de senior term te vermenigvuldigen met de senior term, er zullen geen vergelijkbare termen voor zijn, en it = 2a³. Dan kijken we welke vermenigvuldigingen zullen resulteren in termen met a² - van de vermenigvuldiging van de 1e term (a²) met de 2e (-5) en van de vermenigvuldiging van de tweede term (-3a) met de 1e (2a) - dit wordt hieronder tussen haakjes aangegeven; na het uitvoeren van deze vermenigvuldigingen en het combineren van de resulterende termen tot één, krijgen we -11a². Vervolgens kijken we welke vermenigvuldigingen zullen resulteren in termen met a in de eerste graad - deze vermenigvuldigingen zijn van bovenaf gemarkeerd met haakjes. Nadat we ze hebben voltooid en de resulterende leden in één hebben gecombineerd, krijgen we + 11a. Ten slotte merken we op dat de lage term van het product (+10), dat helemaal geen a bevat, wordt verkregen door de lage term (–2) van een veelterm te vermenigvuldigen met de lage term (–5) van een andere.

Nog een voorbeeld: (4a 3 + 3a 2 - 2a) ∙ (3a 2 - 5a) \u003d 12a 5 - 11a 4 - 21a 3 + 10a 2.

Van alle voorgaande voorbeelden krijgen we ook: eindresultaat: de hoogste term van het product wordt altijd verkregen door de vermenigvuldiging van de hoogste termen van de factoren, en er kunnen geen vergelijkbare leden zijn; ook wordt de laagste term van het product verkregen door de laagste termen van de factoren te vermenigvuldigen, en er kunnen ook geen vergelijkbare termen zijn.

De resterende termen die worden verkregen door een polynoom met een polynoom te vermenigvuldigen, kunnen vergelijkbaar zijn, en het kan zelfs gebeuren dat al deze termen elkaar opheffen en alleen de oudere en jongere overblijven.

Hier zijn enkele voorbeelden:

(a² + ab + b²) (a - b) = a³ + a²b + ab² - a²b - ab² - b³ = a³ - b³
(a² - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b + ab² + a²b - ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a - b) = a 4 - b 4 (we schrijven alleen het resultaat)
(x 4 - x³ + x² - x + 1) (x + 1) = x 5 + 1, enz.

Deze resultaten zijn opmerkelijk en nuttig om te onthouden.

Uitzonderlijk belangrijk volgende zaak vermenigvuldigingen:

(a + b) (a - b) = a² + ab - ab - b² = a² - b²
of (x + y) (x - y) = x² + xy - xy - y² = x² - y²
of (x + 3) (x - 3) = x² + 3x - 3x - 9 = x² - 9 enz.

In al deze voorbeelden, toegepast op rekenkunde, hebben we het product van de som van twee getallen en hun verschil, en het resultaat is het verschil van de kwadraten van deze getallen.

Als we zo'n geval zien, is het niet nodig om de vermenigvuldiging in detail uit te voeren, zoals hierboven werd gedaan, maar we kunnen het resultaat onmiddellijk schrijven.

Bijvoorbeeld (3a + 1) ∙ (3a – 1). Hier is de eerste factor, vanuit rekenkundig oogpunt, de som van twee getallen: het eerste getal is 3a en de tweede 1, en de tweede factor is het verschil van dezelfde getallen; daarom zou het resultaat moeten zijn: het kwadraat van het eerste getal (d.w.z. 3a ∙ 3a = 9a²) minus het kwadraat van het tweede getal (1 ∙ 1 = 1), d.w.z.

(3a + 1) ∙ (3a - 1) = 9a² - 1.

Ook

(ab - 5) ∙ (ab + 5) = a²b² - 25, enz.

Dus laten we onthouden

(a + b) (a - b) = a² - b²

dat wil zeggen, het product van de som van twee getallen en hun verschil is gelijk aan het verschil van de kwadraten van deze getallen.

Bij het vermenigvuldigen van een veelterm met een monomiaal gebruiken we een van de vermenigvuldigingswetten. Het kreeg in de wiskunde de naam van de distributieve wet van vermenigvuldiging. Distributieve wet van vermenigvuldiging:

1. (a + b)*c = a*c + b*c

2. (a - b)*c = a*c - b*c

Om een ​​monomiaal met een polynoom te vermenigvuldigen, volstaat het om elk van de termen van het polynoom met een monomiaal te vermenigvuldigen. Voeg daarna de resulterende producten toe. De volgende afbeelding toont een schema voor het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom.

De volgorde van vermenigvuldigen is onbelangrijk, als je bijvoorbeeld een veelterm met een monomiaal moet vermenigvuldigen, dan moet je precies hetzelfde doen. Er is dus geen verschil tussen de vermeldingen 4*x * (5*x^2*y - 4*x*y) en (5*x^2*y - 4*x*y)* 4*x.

Laten we de polynoom en de monomiaal die hierboven zijn geschreven vermenigvuldigen. En we zullen het laten zien specifiek voorbeeld hoe het goed te doen:

4*x * (5*x^2*y - 4*x*y)

Met behulp van de distributieve wet van vermenigvuldiging stellen we het product samen:

4*x*5*x^2*y - 4*x*4*x*y.

In de resulterende som brengen we elk van de monomials naar de standaardvorm en krijgen:

20*x^3*j - 16*x^2*j.

Dit is het product van een monomiaal en een polynoom: (4*x) * (5*x^2*y - 4*x*y) = 20*x^3*y - 16*x^2*y.

Voorbeelden:

1. Vermenigvuldig de monomiaal 4*x^2 met de polynoom (5*x^2+4*x+3). Met behulp van de distributieve wet van vermenigvuldiging stellen we het product samen. We hebben
(4*x^2*5*x^2) +(4*x^2* 4*x) +(4*x^2*3).

20*x^4 +16*x^3 +12*x^2.

Dit is het product van een monomiaal en een polynoom: (4*x^2)*(5*x^2+4*x+3)= 20*x^4 +16*x^3 +12*x^ 2.

2. Vermenigvuldig de monomiaal (-3*x^2) met de polynoom (2*x^3-5*x+7).

Met behulp van de distributieve wet van vermenigvuldiging zullen we het product samenstellen. We hebben:

(-3*x^2 * 2*x^3) +(-3*x^2 * -5*x) +(-3*x^2 *7).

In de resulterende som reduceren we elk van de monomials tot zijn standaardvorm. We krijgen:

6*x^5 +15*x^3 -21*x^2.

Dit is het product van een monomiaal en een polynoom: (-3*x^2) * (2*x^3-5*x+7)= -6*x^5 +15*x^3 -21* x^2.

Doel:

1. Zorgen voor de assimilatie van initiële kennis over het onderwerp "Een monomiaal vermenigvuldigen met een polynoom";
2. Ontwikkel analytisch en synthetiserend denken;
3. De motieven van lesgeven en een positieve houding ten opzichte van kennis cultiveren.

Teambuilding van de klas.

Taken:

1. Kennismaken met het algoritme voor het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom;
2. trainen praktisch gebruik algoritme.

Apparatuur: taakkaarten, computer, interactieve projector.

Lestype: gecombineerd.

Tijdens de lessen

I. Organisatorisch moment:

Hallo jongens, ga zitten.

Vandaag gaan we verder met het bestuderen van de sectie "Polynomen" en het onderwerp van onze les is "Een monomiaal vermenigvuldigen met een polynoom." Open je notitieboekjes en noteer het nummer en het onderwerp van de les "Een monomiaal vermenigvuldigen met een polynoom".

De taak van onze les is om de regel voor het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom af te leiden en te leren hoe deze in de praktijk toe te passen. De kennis die vandaag is opgedaan, is voor jou nodig tijdens de studie van de hele cursus algebra.

Je hebt formulieren op de tafels waarin we je punten die gedurende de les zijn gescoord invoeren, en de resultaten zullen worden beoordeeld. We zullen punten weergeven in de vorm van emoticons. ( Bijlage 1)

II. Het stadium waarin studenten worden voorbereid op de actieve en bewuste assimilatie van nieuw materiaal.

tijdens het studeren nieuw onderwerp we hebben de kennis nodig die je in de vorige lessen hebt gekregen.

Studenten voeren taken uit op kaarten over het onderwerp "Graad en zijn eigenschappen." (5-7 minuten)

Voorwerk:

1) Er worden twee monomials gegeven: 12p 3 en 4p 3

a) het bedrag;
b) verschil;
c) een werk;
e) privé;
e) het kwadraat van elke monomiaal.

2) Noem de leden van de veelterm en bepaal de graad van de veelterm:

a)5 ab – 7a 2 + 2b – 2,6
b)6 xy 5 + x 2 y - 2

3) Vandaag hebben we de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging nodig.

Laten we deze eigenschap formuleren en in letterlijke vorm opnemen.

III. Stadium van assimilatie van nieuwe kennis.

We hebben de regel van vermenigvuldiging van een monomiaal met een monomiaal herhaald, de distributieve eigenschap van vermenigvuldiging. Laten we de taak nu ingewikkelder maken.

Verdeel in 4 groepen. Elke groep heeft 4 uitdrukkingen op de kaarten. Probeer de ontbrekende schakel in de keten te herstellen en leg uw standpunt uit.

• 8x 3 (6x 2 – 4x + 3) = ……………….……= 48x 5 – 32x 4 + 24x 3
• 5a 2 (2a 2 + 3a - 7) = …………………...…..= 10a 4 + 15a 3 - 35a 2
• 3j(9j 3 - 4j 2 - 6) = ……………………. =27j 4 – 12j 3 – 18j
• 6b 4 (6b 2 + 4b - 5) = ………….……………= 36b 6 + 24b 5 - 30b 4

(Een vertegenwoordiger van elke groep komt naar het scherm, schrijft het ontbrekende deel van de uitdrukking op en legt zijn standpunt uit.)

Probeer een regel (algoritme) te formuleren voor het vermenigvuldigen van een veelterm met een monomiaal.

Welke uitdrukking wordt verkregen als resultaat van deze acties?

Om uzelf te testen, opent u het leerboek op pagina 126 en leest u de regel (1 persoon leest voor).

Komen onze conclusies overeen met de regel in het leerboek? Noteer de regel voor het vermenigvuldigen van een monomiaal met een polynoom in een notitieboekje.

IV. Bevestiging:

1. Minuut lichamelijke opvoeding:

Jongens, leun achterover, sluit je ogen, ontspan, nu rusten we, de spieren zijn ontspannen, we bestuderen het onderwerp "Een monomiaal vermenigvuldigen met een polynoom."

En dus onthouden we de regel en herhalen na mij: om een ​​monomiaal te vermenigvuldigen met een polynoom, moet je de monomiaal vermenigvuldigen met elke term van de polynoom en de som van de resulterende uitdrukkingen opschrijven. Wij openen onze ogen.

2. Werk volgens leerboek nr. 614 aan het bord en in notitieboekjes;

a) 2x (x 2 - 7x - 3) \u003d 2x 3 - 14x 2 - 6x
b) -4v 2 (5v 2 - 3v - 2) = -20v 4 + 12v 3 + 8v 2
c) (3a 3 - a 2 + a) (- 5a 3) \u003d -15a 6 + 5a 5 - 5a 4
d) (y 2 - 2,4 jaar + 6) 1,5 jaar \u003d 1,5 jaar 3 - 3,6 jaar 2 + 9 jaar
e) -0,5x 2 (-2x 2 - 3x + 4) \u003d x 4 + 1,5x 3 - 2x 2
e) (-3j 2 + 0,6j) (- 1,5j 3) \u003d 4,5j 5 - 0,9j 4

(Bij het uitvoeren van het nummer worden de meest typische fouten geanalyseerd)

3. Concurrentie door varianten (ontcijfering van het pictogram). (Bijlage 2)

1 optie:		Optie 2:
1) -3x 2 (- x 3 + x - 5) 2) 14 x(3 xy 2 – x 2 ja + 5) 3) -0,2 m 2 n(10 mn 2 – 11 m 3 – 6) 4) (3a 3 - a 2 + 0.1a) (-5a 2) 5) 1/2 met(6 met 3 d – 10c 2 d 2) 6) 1.4p 3 (3q - pq + 5p) 7) 10x2 jaar (5,4xy - 7,8y - 0,4) 8) 3 ab(a 2 – 2ab + b 2)		1) 3a 4 x (a 2 - 2ax + x 3 - 1) 2) -11a(2a 2 b - a 3 + 5b 2) 3) -0,5 X 2 jij(Xy 3 - 3X+y2) 4) (6b 4 - b 2 + 0,01) (-7b 3) 5) 1/3m 2 (9m 3 n 2 - 15 min) 6) 1.6c 4 (2c 2 d - cd + 5d) 7) 10p 4 (0,7pq - 6,1q - 3,6) 8) 5xy(x 2 - 3xy +x 3)

Taken worden gepresenteerd op individuele kaarten en op het scherm. Elke student voltooit zijn taak, vindt een brief en schrijft deze op het scherm tegenover de uitdrukking die hij heeft getransformeerd. Als het juiste antwoord wordt ontvangen, zal het woord blijken: goed gedaan! wijsneuzen 7a