Обчислити відстань між паралельними прямими. Знаходження відстані між схрещувальними прямими – теорія, приклади, рішення

Поряд з точкою та площиною. Це нескінченна фігура, якою можна поєднати будь-які дві точки у просторі. Пряма завжди належить будь-якій площині. З розташування двох прямих, слід застосовувати різні методи пошуку відстані між ними.

Існує три варіанти розташування двох прямих у просторі один щодо одного: вони паралельні, перетинаються або . Другий варіант можливий тільки якщо вони в одній площині, не виключає належності двом паралельним площинам. Третя ситуація свідчить, що прямі лежать у різних паралельних площинах.

Щоб знайти відстань між двома паралельними прямими, потрібно визначити довжину перпендикулярного відрізка, що з'єднує їх у будь-яких двох точках. Оскільки прямі мають дві однакові координати, що випливає з визначення їхньої паралельності, то рівняння прямих у двовимірному координатному просторі можна записати так:
L1: а х + b у + с = 0;
L2: х + b у + d = 0.
Тоді можна знайти довжину відрізка за такою формулою:
s = |с - d|/√(a² + b²), причому неважко помітити, що з = D, тобто. збігу прямих, відстань дорівнюватиме нулю.

Зрозуміло, що відстань між прямими, що перетинаються, у двомірній координат не має сенсу. Зате коли вони розташовані в різних площинах, його можна знайти як довжину відрізка, що лежить у площині перпендикулярної їм обом. Кінцями цього відрізка будуть точки, що є проекціями будь-яких двох точок прямих на цю площину. Іншими його довжина дорівнює відстані між паралельними площинами, що містять ці прямі. Таким чином, якщо площині задані загальними рівняннями:
α: А1 х + В1 у + С1 z + Е = 0,
β: А2 х + В2 у + С2 z + F = 0,
відстань між прямими можна за формулою:
s = | Е - F | / √ ( | А1 А2 | + В1 В2 + С1 С2).

Зверніть увагу

Прямі взагалі і схрещуються зокрема цікаві як математикам. Їх властивості корисні у багатьох інших областях: у будівництві та архітектурі, в медицині та в самій природі.

Порада 2: Як знайти відстань між двома паралельними прямими

Визначення відстані між двома об'єктами, що знаходяться в одній або декількох площинах, є одним із найпоширеніших завдань у геометрії. Керуючись загальноприйнятими методами, Ви можете знайти відстань між двома паралельними прямими.

Інструкція

Паралельними називаються прямі, що лежать в одній площині, або не перетинаються, або збігаються. Для знаходження відстані між паралельними прямими слід вибрати довільну точку на одній із них, після чого опустити перпендикуляр до другої прямої. Тепер залишається лише виміряти довжину відрізка, що вийшов. Довжина з'єднує дві паралельні прямі перпендикуляри і буде відстанню між ними.

Зверніть увагу на порядок проведення перпендикуляра від однієї паралельної прямої до іншої, оскільки від цього залежить точність розрахованої відстані. Для цього скористайтеся креслярським інструментом «трикутником» із прямим кутом. Виберіть точку на одній із прямих, прикладіть до неї одну із сторін трикутника, що примикають до прямому куту(катет), а другу сторону поєднайте з іншою прямою. Гостро заточеним олівцем проведіть уздовж першого катета лінію так, щоб вона досягла протилежної прямої.

У матеріалі цієї статті розберемо питання про відстань між двома паралельними прямими, зокрема, за допомогою методу координат. Розбір типових прикладів допоможе закріпити набуті теоретичні знання.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1

Відстань між двома паралельними прямими- Це відстань від деякої довільної точки однієї з паралельних прямих до іншої прямої.

Наведемо ілюстрацію для наочності:

На кресленні зображено дві паралельні прямі aі b. Точка М 1 належить прямий a з неї опущений перпендикуляр на пряму b. Отриманий відрізок М 1 Н 1 є відстань між двома паралельними прямими aі b.

Зазначене визначення відстані між двома паралельними прямими справедливо як на площині, так і для прямих тривимірному просторі. Крім того, дане визначеннявзаємопов'язано з наступною теоремою.

Теорема

Коли дві прямі паралельні, всі точки однієї з них рівновіддалені від іншої прямої.

Доведення

Нехай нам задані дві паралельні прямі aі b. Задамо на прямий аточки М 1 і М 2 опустимо з них перпендикуляри на пряму b, позначивши їх підстави відповідно до Н 1 і Н 2 . М 1 Н 1 – це відстань між двома паралельними прямими за визначенням, і треба довести, що | М1Н1 | = | М2Н2 | .

Нехай також існуватиме деяка січна, яка перетинає дві задані паралельні прямі. Умова паралельності прямих, розглянута у відповідній статті, дає нам право стверджувати, що у даному випадкувнутрішні навхрест лежачі кути, утворені при перетині січної заданих прямих, є рівними: ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Пряма М 2 Н 2 перпендикулярна до прямої b за побудовою, і, звичайно, перпендикулярна до прямої a . Отримані трикутники М 1 Н 1 Н 2 і М 2 М 1 Н 2 є прямокутними і рівними один одному з гіпотенузи гострому кутку: М 1 Н 2 - загальна гіпотенуза, ∠ M 2 M 1 H 2 = ∠ H 1 H 2 M 1 . Спираючись на рівність трикутників, ми можемо говорити про рівність їх сторін, тобто: | М1Н1 | = | М2Н2 | . Теорему доведено.

Зауважимо, що відстань між двома паралельними прямими – найменша з відстаней від точок однієї прямої до точок іншої.

Знаходження відстані між паралельними прямими

Ми вже з'ясували, що, по суті, щоб знайти відстань між двома паралельними прямими, необхідно визначити довжину перпендикуляра, опущеного з точки однієї прямої на іншу. Способів, як це зробити, є кілька. У якихось завданнях зручно скористатися теоремою Піфагора; інші передбачають використання ознак рівності чи подібності трикутників тощо. У випадках, коли прямі задані в прямокутній системі координат, можна обчислити відстань між двома паралельними прямими, використовуючи метод координат. Розглянемо його докладніше.

Поставимо умови. Припустимо, зафіксовано прямокутна системакоординат, в якій задані дві паралельні прямі a та b . Необхідно визначити відстань між заданими прямими.

Розв'язання задачі побудуємо на визначенні відстані між паралельними прямими: для знаходження відстані між двома заданими паралельними прямими необхідно:

Знайти координати деякої точки М 1 , Що належить одній із заданих прямих;

Здійснити обчислення відстані від точки М 1 до заданої прямої, якій ця точка не належить.

Спираючись на навички роботи з рівняннями прямої на площині або просторі, визначити координати точки М 1 просто. При знаходженні відстані від точки М 1 до прямої стане в нагоді матеріал статті про знаходження відстані від точки до прямої.

Повернемося, наприклад. Нехай пряма a описується загальним рівнянням A x + B y + C 1 = 0, а пряма b – рівнянням A x + B y + C 2 = 0 . Тоді відстань між двома заданими паралельними прямими можна обчислити, використовуючи формулу:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2

Виведемо цю формулу.

Використовуємо деяку точку М 1 (x 1 , y 1) , Що належить прямий a . У такому разі координати точки М 1 задовольнятимуть рівняння A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 . Таким чином, справедливою є рівність: A x 1 + B y 1 + C 1 = 0 ; з нього отримаємо: A x 1 + B y 1 = - C1.

Коли З 2< 0 , нормальное уравнение прямой b будет иметь вид:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y + C 2 A 2 + B 2 = 0

При 2 ≥ 0 нормальне рівняння прямої b виглядатиме так:

A A 2 + B 2 x + B A 2 + B 2 y - C 2 A 2 + B 2 = 0

І тоді для випадків, коли 2< 0 , применима формула: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2 .

А для С 2 ≥ 0 шукана відстань визначається за формулою M 1 H 1 = - A A 2 + B 2 x 1 - B A 2 + B 2 y 1 - C 2 A 2 + B 2 = = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Таким чином, при будь-якому значенні числа 2 довжина відрізка | М1Н1 | (від точки М 1 до прямої b) обчислюється за формулою: M 1 H 1 = A A 2 + B 2 x 1 + B A 2 + B 2 y 1 + C 2 A 2 + B 2

Вище ми отримали: A x 1 + B y 1 = - C 1 тоді можемо перетворити формулу: M 1 H 1 = - C 1 A 2 + B 2 + C 2 A 2 + B 2 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 . Тож ми, власне, отримали формулу, вказану в алгоритмі методу координат.

Розберемо теорію з прикладів.

Приклад 1

Задано дві паралельні прямі y = 2 3 x - 1 і x = 4 + 3 · λ y = - 5 + 2 · λ. Потрібно визначити відстань між ними.

Рішення

Вихідні параметричні рівняння дають можливість задати координати точки, якою проходить пряма, описувана параметричними рівняннями. Таким чином, отримуємо точку М 1 (4 - 5) . Необхідна відстань - це відстань між точкою М 1 (4 , - 5) до прямої y = 2 3 x - 1, зробимо його обчислення.

Задане рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом y = 2 3 x - 1 перетворимо на нормальне рівняння прямої. З цією метою спочатку здійснимо перехід до загального рівняння прямої:

y = 2 3 x - 1 ⇔ 2 3 x - y - 1 = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 3 = 0

Обчислимо множник, що нормує: 1 2 2 + (- 3) 2 = 1 13 . Помножимо на нього обидві частини останнього рівняння і нарешті отримаємо можливість записати нормальне рівняння прямої: 1 13 · 2 x - 3 y - 3 = 1 13 · 0 ⇔ 2 13 x - 3 13 y - 3 13 = 0 .

При x = 4 , а y = - 5 обчислимо відстань як модуль значення крайньої рівності:

2 13 · 4 - 3 13 · - 5 - 3 13 = 20 13

Відповідь: 20 13 .

Приклад 2

У фіксованій прямокутній системі координат O x y задані дві паралельні прямі, що визначаються рівняннями x - 3 = 0 і x + 5 0 = y - 1 1 . Необхідно знайти відстань між заданими паралельними прямими.

Рішення

Умовами завдання визначено одне загальне рівняння, що задається з вихідних прямих: x-3=0. Перетворимо вихідне канонічне рівняннязагалом: x + 5 0 = y - 1 1 ⇔ x + 5 = 0 . При змінній x коефіцієнти в обох рівняннях рівні (також рівні і за y – нуля), а тому маємо можливість застосувати формулу для знаходження відстані між паралельними прямими:

M 1 H 1 = C 2 - C 1 A 2 + B 2 = 5 - (-3) 1 2 + 0 2 = 8

Відповідь: 8 .

Насамкінець розглянемо завдання на знаходження відстані між двома паралельними прямими у тривимірному просторі.

Приклад 3

У прямокутній системі координат O x y z задані дві паралельні прямі, що описуються канонічними рівняннями прямої в просторі: x - 3 1 = y - 1 = z + 2 4 і x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 . Потрібно знайти відстань між цими прямими.

Рішення

З рівняння x - 31 = y - 1 = z + 24 легко визначаються координати точки, через яку проходить пряма, що описується цим рівнянням: М 1 (3 , 0 , - 2) . Зробимо обчислення відстані | М1Н1 | від точки М 1 до прямої x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 24.

Пряма x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 проходить через точку М 2 (- 5, 1, 2). Запишемо напрямний вектор прямий x + 5 1 = y - 1 - 1 = z - 2 4 як b → з координатами (1, - 1, 4) . Визначимо координати вектора M 2 M → :

M 2 M 1 → = 3 - (- 5 , 0 - 1 , - 2 - 2) ⇔ M 2 M 1 → = 8 , - 1 , - 4

Обчислимо векторний добуток векторів:

b → × M 2 M 1 → = i → j → k → 1 - 1 4 8 - 1 - 4 = 8 · i → + 36 · j → + 7 · k → ⇒ b → × M 2 M 1 → = ( 8, 36, 7)

Застосуємо формулу розрахунку відстані від точки до прямої у просторі:

M 1 H 1 = b → × M 2 M 1 → b → = 8 2 + 36 2 + 7 2 1 2 + (-1) 2 + 4 2 = 1409 3 2

Відповідь: 1409 3 2 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знакПеретин, він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , а з другого рівняння: , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

Приклад 1

З'ясувати взаємне розташуванняпрямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:

Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо із співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню(Йому задовольняє взагалі будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішення, краще закладемо ще одну важливу цеглу в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цієї найпростішого завданнясуворо карає Соловей-Розбійник.

Приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Існує раціональний і дуже раціональний спосіб рішення. Найкоротший шлях – наприкінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам з шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний змістсистеми двох лінійних рівнянь із двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний

Графічний спосібполягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівняньіз двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?

Відповідь:

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Приклад 5

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішенняі відповідь наприкінці уроку:

Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типової та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?

Приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.

Аналітична перевіркарішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори та за допомогою скалярного твору векторівприходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Наше захоплююча подорожпродовжується:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатому папері в масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення з проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії докладно розібрані в рамках даного уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:

У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кутаслід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннямив загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Саме пильну увагузвернемо на знаменник – це точно скалярний твірнапрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний твірнапрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функціїлегко знайти й сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .

Не минуло й хвилини, як я створив новий Вердовський файл і продовжив таку захоплюючу тему. Потрібно ловити моменти робочого настрою, тож ліричного вступу не буде. Буде прозова порка =)

Дві прямі простори можуть:

1) схрещуватися;

2) перетинатися в точці;

3) бути паралельними;

4) збігатися.

Випадок № 1 принципово відрізняється з інших випадків. Дві прямі схрещуються, якщо вони не лежать в одній площині. Підніміть одну руку вгору, а іншу руку витягніть вперед - ось вам і приклад прямих, що схрещуються. У пунктах № 2-4 прямі обов'язково лежать в одній площині.

Як з'ясувати взаємне розташування прямих у просторі?

Розглянемо два прямі простори:

- Пряму , задану точкоюі напрямним вектором;
- Пряму, задану точкою і напрямним вектором.

Для кращого розуміннявиконаємо схематичне креслення:

На кресленні як приклад зображені прямі, що схрещуються.

Як розібратися із цими прямими?

Так як відомі точки, то легко знайти вектор.

Якщо прямі схрещуються, то вектори не компланарні(Див. урок Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів), отже, визначник, складений із їх координат, ненульовий. Або, що практично те саме, буде відмінно від нуля: .

У випадках № 2-4 наша конструкція «падає» в одну площину, при цьому вектори компланарні, а змішаний твір лінійно залежних векторівдорівнює нулю: .

Розкручуємо алгоритм далі. Припустимо, що , Отже, прямі або перетинаються, або паралельні, або збігаються.

Якщо напрямні вектори колінеарні, То прямі або паралельні, або збігаються. Фінальною цвяхом пропоную наступний прийом: беремо якусь точку однієї прямої і підставляємо її координати в рівняння другої прямої; якщо координати "підійшли", то прямі збігаються, якщо "не підійшли", то прямі паралельні.

Хід алгоритму невигадливий, але практичні прикладивсе одно не завадять:

Приклад 11

З'ясувати взаємне розташування двох прямих

Рішення: Як і в багатьох задачах геометрії, рішення зручно оформити за пунктами:

1) Витягуємо з рівнянь точки та напрямні вектори:

2) Знайдемо вектор:

Таким чином, вектори компланарні, отже, прямі лежать в одній площині і можуть перетинатися, бути паралельними або збігатися.

4) Перевіримо напрямні вектори на колінеарність.

Складемо систему з відповідних координат даних векторів:

З кожногорівняння слід, що , отже, система спільна, відповідні координати векторів пропорційні, і колінеарні вектори.

Висновок: прямі паралельні чи збігаються.

5) З'ясуємо, чи є у прямих спільні точки. Візьмемо точку , що належить першої прямої, і підставимо її координати до рівняння прямої :

Таким чином, загальних точоку прямих немає, і їм нічого не залишається, як бути паралельними.

Відповідь:

Цікавий прикладдля самостійного вирішення:

Приклад 12

З'ясувати взаємне розташування прямих

Це приклад самостійного рішення. Зверніть увагу, що другий прямий як параметр виступає буква . Логічно. У загальному випадку– це дві різні прямі, тому в кожної прямий свій параметр.

І знову закликаю не пропускати приклади, пороти буду запропоновані мною завдання далеко не випадкові;-)

Завдання з прямою в просторі

У заключній частині уроку я спробую розглянути максимальна кількістьрізних завдань із просторовими прямими. При цьому буде дотримано розпочатий порядок оповіді: спочатку ми розглянемо завдання з прямими, що схрещуються, потім з прямими, що перетинаються, і в кінці поговоримо про паралельні прямі в просторі. Однак повинен сказати, що деякі завдання даного уроку можна сформулювати відразу для кількох випадків розташування прямих, і у зв'язку з цим розбиття розділу на параграфи дещо умовно. Є більше прості приклади, є більше складні прикладиі, сподіваюся, кожен знайде те, що потрібно.

Схрещувальні прямі

Нагадую, що прямі схрещуються, якщо не існує площини, в якій вони обидві лежали б. Коли я продумував практику, на думку прийшло завдання-монстр, і зараз радий представити вашій увазі дракона з чотирма головами:

Приклад 13

Дані прямі. Потрібно:

а) довести, що прямі схрещуються;

б) знайти рівняння прямої , що проходить через точку перпендикулярно даним прямим;

в) скласти рівняння прямої , яка містить загальний перпендикулярпрямих, що схрещуються;

г) знайти відстань між прямими.

Рішення: Дорогу здолає той, хто йде:

а) Доведемо, що прямі схрещуються. Знайдемо точки та напрямні вектори даних прямих:

Знайдемо вектор:

Обчислимо змішаний твір векторів:

Таким чином, вектори не компланарні, Отже, прямі схрещуються, що й потрібно довести.

Напевно, всі вже давно помітили, що для прямих алгоритм перевірки, що схрещуються, виходить коротше всього.

б) Знайдемо рівняння прямої, яка проходить через точку і перпендикулярна до прямого. Виконаємо схематичне креслення:

Для різноманітності я розмістив пряму ЗАПодивіться, як вона трохи стерта в точках схрещування. Схрещування? Так, у загальному випадку пряма «де» схрещуватиметься з вихідними прямими. Хоча Наразінас поки що не цікавить, треба просто побудувати перпендикулярну пряму і все.

Що відомо про пряму «де»? Відома точка, що їй належить. Бракує напрямного вектора.

За умовою пряма має бути перпендикулярна прямим , отже, її напрямний вектор буде ортогонален направляючим векторам . Вже знайомий із Прімера № 9 мотив, знайдемо векторний твір:

Складемо рівняння прямої «де» по точці та напрямному вектору:

Готово. В принципі, можна змінити знаки у знаменниках та записати відповідь у вигляді Але потреби в цьому немає ніякої.

Для перевірки необхідно підставити координати точки в отримані рівняння прямої, потім за допомогою скалярного твору векторівпереконатися, що вектор дійсно ортогональний напрямних векторів пе один і пе два.

Як знайти рівняння прямої, що містить загальний перпендикуляр?

в) Це завдання складніше буде. Чайникам рекомендую пропустити даний пункт, не хочу охолоджувати вашу щиру симпатію до аналітичної геометрії =) До речі, і більш підготовленим читачам, можливо, краще теж почекати, справа в тому, що за складністю приклад треба поставити останнім у статті, але за логікою викладу він повинен розташовуватися тут.

Отже, потрібно знайти рівняння прямої, яка містить загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються.

– це відрізок, що з'єднує дані прямі та перпендикулярний даним прямим:

Ось наш красень: - загальний перпендикуляр прямих, що схрещуються. Він єдиний. Іншого такого немає. Нам же потрібно скласти рівняння прямої, що містить цей відрізок.

Що відомо про пряму «ем»? Відомий її напрямний вектор, знайдений у попередньому пункті. Але, на жаль, ми не знаємо жодної точки, що належить прямій «ем», не знаємо і кінців перпендикуляра – точок. Де ця перпендикулярна пряма перетинає дві вихідні прямі? В Африці, в Антарктиді? З початкового огляду та аналізу умови взагалі не видно, як вирішувати завдання. Але є хитрий хід, пов'язаний із використанням параметричних рівняньпрямий.

Рішення оформимо за пунктами:

1) Перепишемо рівняння першої прямої в параметричній формі:

Розглянемо точку. Координат ми не знаємо. АЛЕ. Якщо точка належить даної прямої, її координатам відповідає , позначимо його через . Тоді координати точки запишуться у вигляді:

Життя налагоджується, одне невідоме – таки не три невідомі.

2) Така ж наруга треба здійснити над другою точкою. Перепишемо рівняння другої прямої в параметричному вигляді:

Якщо точка належить даній прямій, то при цілком конкретному значенніїї координати повинні задовольняти параметричним рівнянням:

Або:

3) Вектор, як і раніше знайдений вектор, буде напрямним вектором прямий. Як скласти вектор по двох точках, розглядалося в незапам'ятні часи на уроці Вектори для чайників. Зараз відмінність полягає в тому, що координати векторів записані з невідомими значеннямипараметрів. Ну і що? Ніхто не забороняє від координат кінця вектора відняти відповідні координати початку вектора.

Є дві точки: .

Знаходимо вектор:

4) Оскільки напрямні вектори колінеарні, один вектор лінійно виражається через інший з деяким коефіцієнтом пропорційності «лямбда»:

Або покоординатно:

Вийшла сама, що ні є звичайна система лінійних рівняньз трьома невідомими , яка стандартно можна розв'язати, наприклад, методом Крамера. Але тут є можливість позбутися малої крові, з третього рівняння висловимо «лямбду» і підставимо її в перше і друге рівняння:

Таким чином: , А «лямбда» нам не буде потрібно. Те, що значення параметрів вийшли однакові – чиста випадковість.

5) Небо повністю прояснюється, підставимо знайдені значення у наші точки:

Напрямний вектор особливо не потрібен, тому що вже знайдено його колега.

Після довгого шляхузавжди цікаво виконати перевірку.

:

Отримано вірні рівності.

Підставимо координати точки у рівняння :

Отримано вірні рівності.

6) Заключний акорд: складемо рівняння прямої по точці (можна взяти) і напрямному вектору:

В принципі, можна підібрати «хорошу» точку з цілими координатами, але це вже косметика.

Як знайти відстань між прямими, що схрещуються?

г) Зрубуємо четверту голову дракона.

Спосіб перший. Навіть не спосіб, а невеликий окремий випадок. Відстань між схрещуючими прямими дорівнює довжині їхнього загального перпендикуляра: .

Крайні точкизагального перпендикуляра знайдені в попередньому пункті, і завдання елементарне:

Спосіб другий. Насправді найчастіше кінці загального перпендикуляра невідомі, тому використовують інший підхід. Через дві прямі, що схрещуються, можна провести паралельні площини, і відстань між даними площинами дорівнює відстані між даними прямими. Зокрема, між цими площинами і стирчить загальний перпендикуляр.

У курсі аналітичної геометрії з вищесказаних міркувань виведена формула знаходження відстані між прямими схрещуються:
(Замість наших точок «ем один, два» можна взяти довільні точки прямих).

Змішаний твір векторіввже знайдено у пункті «а»: .

Векторний твір векторівзнайдено у пункті «бе»: , обчислимо його довжину:

Таким чином:

Гордо викладемо трофеї в один ряд:

Відповідь:
а) , отже, прямі схрещуються, що потрібно було довести;
б) ;
в) ;
г)

Що ще можна розповісти про прямі, що схрещуються? Між ними визначено кут. Але універсальну формулу кута розглянемо в наступному параграфі:

Прямі простори, що перетинаються, обов'язково лежать в одній площині:

Перша думка - всіма силами навалитися на точку перетину. І відразу ж подумалося, навіщо собі відмовляти у правильних бажаннях?! Давайте навалимося на неї прямо зараз!

Як знайти точку перетину просторових прямих?

Приклад 14

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Перепишемо рівняння прямих у параметричній формі:

Це завданнядокладно розглядалася в Прикладі № 7 цього уроку (див. Рівняння прямої у просторі). А самі прямі, до речі, я взяв із Прімера № 12. Брехати не буду, нові ліньки вигадувати.

Прийом рішення стандартний і вже зустрічався, коли ми вимучували рівняння загального перпендикуляра прямих, що схрещуються.

Точка перетину прямих належить прямою , тому її координати задовольняють параметричним рівнянням даної прямої, і відповідає цілком конкретне значення параметра:

Але ця ж точка належить і другий прямий, отже:

Прирівнюємо відповідні рівняннята проводимо спрощення:

Отримано система трьохлінійних рівнянь із двома невідомими. Якщо прямі перетинаються (що доведено в Прикладі № 12), система обов'язково спільна і має єдине рішення. Її можна вирішити методом Гауса, але вже таким дитсадківським фетишизмом грішити не будемо, зробимо простіше: з першого рівняння висловимо «те нульове» і підставимо його в друге і третє рівняння:

Останні два рівняння вийшли, по суті, однаковими, і з них випливає, що . Тоді:

Підставимо знайдене значення параметра рівняння:

Відповідь:

Для перевірки підставимо знайдене значення параметра рівняння:
Отримані самі координати, що й потрібно перевірити. Скрупульозні читачі можу підставити координати точки і вихідні канонічні рівняння прямих.

До речі, можна було поступити навпаки: точку знайти через «ес нульове», а перевірити – через «те нульове».

Відома математична прикмета говорить: там, де обговорюють перетин прямих, завжди пахне перпендикулярами.

Як побудувати пряму простір, перпендикулярну даній?

(прямі перетинаються)

Приклад 15

а) Скласти рівняння прямої, що проходить через точку перпендикулярно до прямої (Прямі перетинаються).

б) Знайти відстань від точки до прямої.

Примітка : застереження «прямі перетинаються» – істотна. Через точку
можна провести нескінченно багато перпендикулярних прямих, які схрещуватимуться з прямої «ель». Єдине рішення має місце у разі, коли через дану точкупроводиться пряма, перпендикулярна двомзаданим прямим (див. приклад № 13, пункт «б»).

а) Рішення: Невідому пряму позначимо через . Виконаємо схематичне креслення:

Що відомо про пряму? За умовою дана точка. Для того щоб скласти рівняння прямої, необхідно знайти напрямний вектор. Як такий вектор цілком підійде вектор, їм і займемося. Точніше, візьмемо за шкірку невідомий кінець вектора.

1) Витягнемо з рівнянь прямої «ель» її напрямний вектор, а самі рівняння перепишемо в параметричній формі:

Багато хто здогадався, зараз уже втретє за урок фокусник дістане білого лебедяз капелюхи. Розглянемо точку із невідомими координатами. Оскільки точка , її координати задовольняють параметричним рівнянням прямий «ель» їм відповідає конкретне значення параметра:

Або одним рядком:

2) За умовою прямі мають бути перпендикулярні, отже, їх напрямні вектори – ортогональні. А якщо вектори ортогональні, то їх скалярний твіродно нулю:

Що вийшло? Найпростіше лінійне рівняння з однією невідомою:

3) Значення параметра відоме, знайдемо точку:

І напрямний вектор:
.

4) Рівняння прямої складемо по точці та напрямному вектору :

Знаменники пропорції вийшли дробові, і це якраз той випадок, коли дробів доречно позбутися. Я просто помножу їх на -2:

Відповідь:

Примітка : більш строга кінцівка рішення оформляється так: складемо рівняння прямої по точці та напрямному вектору . Дійсно, якщо вектор є напрямним вектором прямої, то колінеарний йому вектор , природно, теж буде напрямним вектором цієї прямої.

Перевірка складається з двох етапів:

1) перевіряємо напрямні вектори прямих на ортогональність;

2) підставляємо координати точки в рівняння кожної прямої, вони мають «підходити» і там, і там.

Про типові дії йшлося дуже багато, тому я виконав перевірку на чернетці.

До речі, забув ще пунктик - побудувати точку "зю" симетричну точці "ен" щодо прямої "ель". Втім, є хороший «плоский аналог», з яким можна ознайомитись у статті Найпростіші завдання з прямою на площині. Тут же вся відмінність буде в додатковій «зетовий» координаті.

Як знайти відстань від точки до прямої у просторі?

б) Рішення: Знайдемо відстань від точки до прямої .

Спосіб перший. Ця відстаньв точності дорівнює довжині перпендикуляра: . Рішення очевидне: якщо відомі точки , то:

Спосіб другий. У практичних завданнях підстава перпендикуляра часто таємниця за сімома печатками, тому раціональніше користуватися готовою формулою.

Відстань від точки до прямої виражається формулою:
, де - напрямний вектор прямий "ель", а - довільнаточка, що належить даній прямій.

1) З рівнянь прямої дістаємо напрямний вектор і найдоступнішу точку.

2) Крапка відома з умови, заточимо вектор:

3) Знайдемо векторний витвірі обчислимо його довжину:

4) Розрахуємо довжину напрямного вектора:

5) Таким чином, відстань від точки до прямої:

Доведення.

Візьмемо крапку , яка лежить на прямий aтоді координати точки М1задовольняють рівняннятобто справедливо рівністьзвідки маємо .

Якщо font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana"> bмає виглядfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">, а якщо, то нормальне рівняння прямої bмає виглядfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

Тоді при font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">відстань від точкидо прямої bобчислюється за формулою, а при - за формулою

Тобто за будь-якого значення С2відстаньвід крапки до прямої bможна обчислити за формулою. А якщо врахувати рівність, яке було отримано вище, то остання формула набуде виглядуfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">.

2. Розв'язання задач на знаходження відстані між паралельними прямими

Приклад №1.

Знайдіть відстань між паралельними прямимиі Рішення.

Отримаємо загальні рівняння заданих паралельних прямих.

Для прямої font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">відповідає загальне рівняння прямої. Перейдемо від параметричних рівнянь прямого виглядуfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">до загального рівняння цієї прямої:

font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">Коефіцієнти при змінних xі yв отриманих загальних рівнянняхпаралельних прямих рівні, тому ми відразу можемо застосувати формулу для обчислення відстані між паралельними прямими на площині:.

Відповідь: font-size:12.0pt; line-height:115%; font-family: Verdana">Приклад №2.

На площині введено прямокутну систему координат Oxyі дано рівняння двох паралельних прямихі . Знайдіть відстань між вказаними паралельними прямими.

Рішення:

Перший спосіб розв'язання.

Канонічні рівняння прямої на площині видуfont-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">дозволяють відразу записати координати точки М1, що лежить на цій прямій:font-size:12.0pt; line-height:115%;font-family:Verdana">. Відстань від цієї точки до прямоїдорівнює шуканій відстані між паралельними прямими. Рівнянняє нормальним рівняннямпрямий, отже, ми можемо відразу обчислити відстань від точкидо прямої font-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">:.

Другий спосіб розв'язання.

Загальне рівняння однієї із заданих паралельних прямих нам вже даноfont-size:12.0pt;line-height:115%;font-family:Verdana">. Наведемо канонічне рівняння прямоїдо загального рівняння прямої:. Коефіцієнти при змінній xу загальних рівняннях заданих паралельних прямих рівні (при змінній yкоефіцієнти теж рівні - вони дорівнюють нулю), тому можна застосовувати формулу, що дозволяє обчислити відстань між заданими паралельними прямими:.

Відповідь: 8

3. Домашнє завдання

Завдання для самоперевірки

1. Знайти відстань між двома паралельними прямими

4.ВИСНОВОК

Усі поставлені цілі та завдання виконані повністю. Розроблено два уроки з розділу «Взаємне розташування об'єктів на площині» на тему «Відстань від точки до прямої. Відстань між паралельними прямими» за допомогою методу координат. Матеріал підібраний на доступному для учнів рівні, що дозволить вирішувати задачі з геометрії більш простими та красивими методами.

5.СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1) , Юдіна. 7 - 9 класи: підручник для загальноосвітніх установ.

2) , Позняк. Підручник для 10-11 класів середньої школи.

3) , Микільська математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.

4) , Позняк геометрія.

6.ДОДАТКИ

Довідковий матеріал

Загальне рівняння прямої:

Ах + Ву + С = 0 ,

де Аі Уне дорівнюють нулю одночасно.

Коефіцієнти Аі Ує координатами нормального вектора прямий (тобто вектора, перпендикулярного до прямої). При А = 0 пряма паралельна осі ОХ, при В = 0 пряма паралельна осі Про Y .

При У0 отримуємо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом :