Thể tích của khối lăng trụ được tính theo công thức. Thể tích của lăng trụ tam giác đều

NGUYÊN NHÂN TRỰC TIẾP. BỀ MẶT VÀ KHỐI LƯỢNG CỦA MỘT NGUYÊN NHÂN TRỰC TIẾP.

§ 68. KHỐI LƯỢNG CỦA MỘT NGUYÊN NHÂN TRỰC TIẾP.

1. Khối lượng của dòng lăng kính tam giác.

Yêu cầu tìm thể tích của hình lăng trụ tam giác vuông, diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h= AA "= = BB" = SS "(Hình 306).

Chúng ta hãy vẽ riêng đáy của lăng trụ, tức là tam giác ABC (Hình 307, a), và hoàn thành nó thành một hình chữ nhật, trong đó chúng ta vẽ một đường thẳng KM qua đỉnh B || AC và từ các điểm A và C, chúng tôi thả AF và CE vuông góc xuống đường thẳng này. Ta được hình chữ nhật ACEF. Vẽ đường cao BD của tam giác ABC, ta thấy hình chữ nhật ACEF được chia thành 4 tam giác vuông. Và /\ TẤT CẢ = /\ BCD và /\ BAF = /\ TỒI TỆ. Vậy diện tích hình chữ nhật ACEF gấp đôi nhiều khu vực hơn tam giác ABC, tức là bằng 2S.

Đối với hình lăng trụ này có đáy là ABC, chúng ta thêm các hình lăng trụ có đáy là ALL và BAF và chiều cao h(Hình vẽ 307, b). Chúng tôi nhận được một hình chữ nhật song song với một cơ sở
ACEF.

Nếu ta cắt hình bình hành này bằng một mặt phẳng đi qua các đường thẳng BD và BB ”thì ta thấy hình bình hành là hình chữ nhật gồm 4 lăng trụ có đáy là
BCD, TẤT CẢ, BAD và BAF.

Các lăng kính có đáy là BCD và ALL có thể được kết hợp, vì các đáy của chúng bằng nhau ( /\ BCD = /\ BCE) và cũng bằng các cạnh bên của chúng, chúng vuông góc với một mặt phẳng. Do đó, thể tích của các lăng trụ này bằng nhau. Thể tích của các lăng trụ có đáy BAD và BAF cũng bằng nhau.

Do đó, nó chỉ ra rằng thể tích của một hình lăng trụ tam giác đã cho có đáy là
ABC là một nửa khối lượng hình khối với cơ sở ACEF.

Chúng ta biết rằng thể tích của một hình bình hành hình chữ nhật bằng với sản phẩm diện tích của cơ sở của nó với chiều cao, nghĩa là trường hợp này bằng 2S h. Do đó thể tích của khối lăng trụ tam giác vuông này bằng S h.

Thể tích của hình lăng trụ tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.

2. Thể tích của khối lăng trụ đa giác thẳng.

Để tìm thể tích của một hình lăng trụ đa giác thẳng, chẳng hạn như một hình ngũ giác, với diện tích đáy là S và chiều cao h, hãy chia nó thành các lăng trụ tam giác (Hình 308).

Ký hiệu diện tích đáy của các lăng trụ tam giác qua S 1, S 2 và S 3, và thể tích của khối lăng trụ đa giác này qua V, ta được:

V = S 1 h+ S2 h+ S 3 h, hoặc
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Và cuối cùng: V = S h.

Theo cách tương tự, ta suy ra công thức về thể tích của một lăng trụ thẳng có đáy là đa giác.

Có nghĩa, Thể tích của một hình lăng trụ thẳng đều bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.

Bài tập.

1. Tính thể tích của hình lăng trụ thẳng có đáy là hình bình hành, sử dụng các số liệu sau:

2. Tính thể tích của hình lăng trụ thẳng có đáy là tam giác, theo các số liệu sau:

3. Tính thể tích của khối lăng trụ thẳng có đáy là Tam giác đều với cạnh 12 cm (32 cm, 40 cm). Chiều cao lăng trụ 60 cm.

4. Tính thể tích của hình lăng trụ thẳng có đáy là tam giác vuông có các cạnh là 12 cm và 8 cm (16 cm và 7 cm; 9 m và 6 m). Chiều cao của lăng trụ là 0,3 m.

5. Tính thể tích của khối lăng trụ thẳng có đáy là hình thang với các cạnh song song lần lượt là 18 cm và 14 cm và chiều cao 7,5 cm. Chiều cao của lăng trụ là 40 cm.

6. Tính toán thể tích của lớp học của bạn (phòng tập thể dục, phòng của bạn).

7. Tổng diện tích của hình lập phương là 150 cm 2 (294 cm 2, 864 cm 2). Tính thể tích của khối lập phương này.

8. Chiều dài của viên gạch xây là 25,0 cm, chiều rộng là 12,0 cm, chiều dày là 6,5 cm a) Tính thể tích của nó, b) Xác định khối lượng của nó, nếu 1 xăng-ti-mét khối viên gạch nặng 1,6 g.

9. Cần bao nhiêu viên gạch để xây một khối rắn tường gạch, có dạng là một hình bình hành có chiều dài 12 m, chiều rộng 0,6 m và chiều cao 10 m? (Kích thước gạch từ Bài tập 8.)

10. Chiều dài của một tấm ván sạch là 4,5 m, chiều rộng là 35 cm, chiều dày là 6 cm a) Tính thể tích b) Xác định khối lượng của nó nếu đề-xi-mét khối của tấm ván nặng 0,6 kg.

11. Có thể xếp bao nhiêu tấn cỏ khô vào một đống cỏ khô có mái che đầu hồi (Hình 309), nếu chiều dài của đống cỏ khô là 12 m, chiều rộng là 8 m, chiều cao là 3,5 m và chiều cao của sườn mái là 1,5 m? ( Trọng lượng riêng lấy cỏ khô là 0,2.)

12. Phải đào một con mương dài 0,8 km; trong mặt cắt, mương phải có dạng hình thang với các đáy là 0,9 m và 0,4 m, và độ sâu của mương là 0,5 m (Hình. 310). Bao nhiêu mét khối đất sẽ phải được lấy ra?

Trong vật lý, một lăng kính tam giác làm bằng thủy tinh thường được dùng để nghiên cứu quang phổ ánh sáng trắng, bởi vì nó có thể phân hủy nó thành các thành phần riêng biệt. Trong bài này, chúng ta sẽ xem xét công thức khối lượng

Hình lăng trụ tam giác là gì?

Trước khi đưa ra công thức thể tích, hãy xem xét các tính chất của hình này.

Để có được điều này, bạn cần lấy một hình tam giác có hình dạng tùy ý và di chuyển nó song song với chính nó trong một khoảng cách nhất định. Các đỉnh của tam giác ở vị trí ban đầu và cuối cùng nên được nối với nhau bằng các đoạn thẳng. Hình ba chiều thu được được gọi là hình lăng trụ tam giác. Nó có năm mặt. Hai trong số chúng được gọi là cơ sở: chúng song song và bằng nhau. Các đáy của hình lăng trụ đang xét là các hình tam giác. Ba cạnh còn lại là hình bình hành.

Ngoài các mặt bên, hình lăng trụ đang xét được đặc trưng bởi sáu đỉnh (ba đối với mỗi đáy) và chín cạnh (6 cạnh nằm trong mặt phẳng của các mặt đáy và 3 cạnh được tạo thành bởi giao của các mặt). Nếu các cạnh bên vuông góc với mặt đáy thì hình lăng trụ như vậy được gọi là hình chữ nhật.

Sự khác biệt giữa hình lăng trụ tam giác và tất cả các hình khác thuộc loại này là nó luôn lồi (bốn, năm, ..., hình lăng trụ n cũng có thể lõm).

Đây là hình chữ nhật, dựa trên một tam giác đều.

Thể tích của khối lăng trụ tam giác loại tổng quát

Làm thế nào để tìm thể tích của một hình lăng trụ tam giác? công thức trong nhìn chung tương tự như đối với lăng kính thuộc bất kỳ loại nào. Nó có ký hiệu toán học sau:

Ở đây h là chiều cao của hình, tức là khoảng cách giữa các đáy của nó, S o là diện tích của tam giác.

Giá trị của S o có thể được tìm thấy nếu biết một số tham số cho tam giác, ví dụ, một cạnh và hai góc, hoặc hai cạnh và một góc. Diện tích hình tam giác bằng một nửa tích chiều cao và độ dài cạnh hạ chiều cao này.

Còn chiều cao h của hình bên để hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật dễ tìm nhất. TẠI trường hợp cuối cùng h trùng với độ dài cạnh bên.

Thể tích của lăng trụ tam giác đều

Công thức chung Có thể sử dụng thể tích của khối lăng trụ tam giác ở phần trước của bài viết để tính giá trị tương ứng của khối lăng trụ tam giác đều. Vì đáy của nó là một tam giác đều nên diện tích của nó là:

Mọi người có thể nhận được công thức này nếu họ nhớ rằng trong một tam giác đều tất cả các góc bằng nhau và tạo với nhau 60 o. Ở đây ký hiệu a là độ dài cạnh của tam giác.

Chiều cao h là chiều dài của cạnh. Nó không liên quan gì đến đáy của một lăng trụ đều và có thể nhận các giá trị tùy ý. Kết quả là, công thức về thể tích của lăng trụ tam giác đúng loại trông giống như vậy:

Sau khi tính toán gốc, chúng ta có thể viết lại công thức này như sau:

Do đó, để tìm thể tích của một lăng trụ đều có đáy là tam giác, cần phải bình phương cạnh của đáy, nhân giá trị này với chiều cao rồi nhân giá trị thu được với 0,433.

TẠI chương trình giáo dục trong quá trình nghiên cứu lập thể số liệu thể tích thường bắt đầu với một hình học đơn giản - một khối đa diện lăng trụ. Vai trò của các cơ sở của nó được thực hiện bởi 2 đa giác bằng nhau nằm trong mặt phẳng song song. Trường hợp đặc biệt là hình lăng trụ tứ giác đều. Các đáy của nó là 2 tứ giác đều, các cạnh bên vuông góc với nhau, có dạng là hình bình hành (hoặc hình chữ nhật nếu hình lăng trụ không nghiêng).

Một lăng kính trông như thế nào

Hình lăng trụ tứ giác đều là một hình lục diện có các đáy là 2 hình vuông, và mặt bênđược biểu diễn bằng các hình chữ nhật. Một cái tên khác cho cái này hình học- một đoạn thẳng song song.

Hình bên mô tả một lăng trụ tứ giác được hiển thị bên dưới.

Bạn cũng có thể xem trong hình yếu tố cần thiết, trong đó nó bao gồm cơ thể hình học . Chúng thường được gọi là:

Đôi khi trong các bài toán về hình học, bạn có thể tìm thấy khái niệm về mặt cắt. Định nghĩa sẽ giống như sau: một mặt cắt là tất cả các điểm của một vật thể tích thuộc mặt phẳng cắt. Mặt cắt vuông góc (cắt các cạnh của hình một góc 90 độ). Đối với hình lăng trụ chữ nhật, một đường chéo cũng được coi là ( số tiền tối đa các mặt cắt có thể dựng - 2) đi qua 2 cạnh và đường chéo của mặt đáy.

Nếu mặt cắt được vẽ theo cách mà mặt phẳng cắt không song song với mặt đáy hoặc mặt bên, thì kết quả là một hình lăng trụ bị cắt.

Các tỉ lệ và công thức khác nhau được sử dụng để tìm các phần tử của lăng trụ đã rút gọn. Một số trong số chúng được biết đến từ khóa học về phép đo phẳng (ví dụ, để tìm diện tích của đáy của một hình lăng trụ, chỉ cần nhớ lại công thức về diện tích của một hình vuông là đủ).

Diện tích và thể tích bề mặt

Để xác định thể tích của một lăng trụ bằng công thức, bạn cần biết diện tích của \ u200b \ u200bits cơ sở và chiều cao:

V = Sprim h

Vì đáy của hình lăng trụ tứ diện đều là hình vuông có cạnh một, Bạn có thể viết công thức ở dạng chi tiết hơn:

V = a² h

Nếu chúng ta đang nói về một khối lập phương - một lăng trụ đều với chiều dài bằng nhau, chiều rộng và chiều cao, khối lượng được tính như sau:

Để hiểu cách tìm diện tích mặt bên của hình lăng trụ, bạn cần hình dung độ quét của nó.

Có thể thấy từ bản vẽ rằng bề mặt bên tạo thành từ 4 hình chữ nhật bằng nhau. Diện tích của nó được tính bằng tích của chu vi của cơ sở và chiều cao của hình:

Sside = Pos h

Vì chu vi hình vuông là P = 4a, công thức có dạng:

Sside = 4a h

Đối với khối lập phương:

Sside = 4a²

Để tính tổng diện tích bề mặt của hình lăng trụ, hãy thêm 2 diện tích đáy vào diện tích mặt bên:

Sfull = Sside + 2Sbase

Khi áp dụng cho lăng trụ đều tứ giác, công thức có dạng:

Sfull = 4a h + 2a²

Đối với diện tích bề mặt của một khối lập phương:

Sfull = 6a²

Biết thể tích hoặc diện tích bề mặt, bạn có thể tính toán các yếu tố riêng lẻ của một khối hình học.

Tìm các yếu tố của lăng kính

Thông thường có những bài toán trong đó thể tích được cho trước hoặc giá trị của diện tích bề mặt bên, trong đó cần xác định độ dài của cạnh của đáy hoặc chiều cao. Trong những trường hợp như vậy, các công thức có thể được suy ra:

chiều dài cạnh cơ sở: a = Sside / 4h = √ (V / h);
chiều cao hoặc chiều dài sườn bên: h = Sside / 4a = V / a²;
vùng cơ sở: Sprim = V / h;
khu vực mặt bên: Bên gr = Sside / 4.

Để xác định phần đường chéo có diện tích bao nhiêu, bạn cần biết độ dài của đường chéo và chiều cao của hình đó. Đối với một hình vuông d = a√2. Vì vậy:

Sdiag = ah√2

Để tính đường chéo của lăng trụ, công thức được sử dụng:

dprize = √ (2a² + h²)

Để hiểu cách áp dụng các tỷ lệ trên, bạn có thể thực hành và giải quyết một số công việc đơn giản.

Ví dụ về các vấn đề với giải pháp

Dưới đây là một số nhiệm vụ xuất hiện trong các kỳ thi cuối cấp tiểu bang về môn toán.

Bài tập 1.

Người ta đổ cát vào hộp có dạng hình lăng trụ tứ giác đều. Chiều cao của đáy là 10 cm. Hỏi mức cát sẽ như thế nào nếu chuyển nó vào một thùng có hình dạng như cũ nhưng chiều dài đáy lớn hơn 2 lần?

Nó nên được lập luận như sau. Lượng cát trong thùng thứ nhất và thùng thứ hai không thay đổi, tức là thể tích của chúng trong thùng chứa là như nhau. Bạn có thể xác định chiều dài của cơ sở là một. Trong trường hợp này, đối với hộp thứ nhất, thể tích của chất sẽ là:

V₁ = ha² = 10a²

Đối với hộp thứ hai, chiều dài của cơ sở là 2a, nhưng độ cao của mực cát là không xác định:

V₂ = h (2a) ² = 4ha²

Trong chừng mực V₁ = V₂, các biểu thức có thể được coi là:

10a² = 4ha²

Sau khi giảm cả hai vế của phương trình đi a², ta nhận được:

Kết quả là cấp độ mới cát sẽ được h = 10/4 = 2,5 cm.

Nhiệm vụ 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ là hình lăng trụ đều. Biết rằng BD = AB₁ = 6√2. Tìm tổng diện tích bề mặt của cơ thể.

Để dễ hiểu hơn những yếu tố nào đã biết, bạn có thể vẽ một hình.

Vì chúng ta đang nói về một lăng trụ đều, chúng ta có thể kết luận rằng đáy là một hình vuông với đường chéo bằng 6√2. Đường chéo của mặt bên có cùng giá trị nên mặt bên cũng có dạng là hình vuông cạnh đáy. Nó chỉ ra rằng cả ba kích thước - chiều dài, chiều rộng và chiều cao - đều bằng nhau. Ta có thể kết luận rằng ABCDA₁B₁C₁D₁ là một hình lập phương.

Chiều dài của bất kỳ cạnh nào được xác định thông qua đường chéo đã biết:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Tổng diện tích bề mặt được tìm thấy theo công thức của khối lập phương:

Đầy đủ = 6a² = 6 6² = 216

Nhiệm vụ 3.

Căn phòng đang được sửa sang lại. Được biết, nền nhà của nó có dạng hình vuông với diện tích 9 m². Chiều cao của căn phòng là 2,5 m. Chi phí đóng tường thấp nhất cho một căn phòng là bao nhiêu nếu 1 m² có giá 50 rúp?

Vì sàn nhà và trần nhà là hình vuông, tức là hình tứ giác đều, và các bức tường của nó vuông góc với các mặt nằm ngang, nên chúng ta có thể kết luận rằng nó là một hình lăng trụ đều. Cần xác định diện tích bề mặt bên của nó.

Chiều dài của căn phòng là a = √9 = 3 m.

Hình vuông sẽ được bao phủ bởi giấy dán tường Sside = 4 3 2,5 = 30 m².

Chi phí thấp nhất của giấy dán tường cho căn phòng này sẽ là 50 30 = 1500 rúp.

Do đó, để giải quyết vấn đề trên lăng kính hình chữ nhật chỉ cần tính diện tích và chu vi của hình vuông và hình chữ nhật cũng như biết các công thức tính thể tích và diện tích bề mặt là đủ.

Cách tìm diện tích của một khối lập phương

Các lăng kính khác nhau thì khác xa nhau. Đồng thời, họ có rất nhiều điểm chung. Để tìm diện tích của \ u200b \ u200b đáy của một hình lăng trụ, bạn cần phải tìm xem nó trông như thế nào.

Lý thuyết chung

Hình lăng trụ là một hình đa diện bất kỳ mà các mặt của nó có dạng là một hình bình hành. Hơn nữa, bất kỳ hình đa diện nào cũng có thể là đáy của nó - từ một tam giác đến một hình n-gon. Hơn nữa, các đáy của lăng trụ luôn bằng nhau. Điều gì không áp dụng cho các mặt bên - chúng có thể khác nhau đáng kể về kích thước.

Khi giải bài toán, không chỉ diện tích của \ u200b \ u200b của đáy của lăng trụ là gặp phải. Có thể cần biết mặt bên, tức là tất cả các mặt không phải là mặt đáy. bề mặt đầy đủ sẽ có sự kết hợp của tất cả các mặt tạo nên lăng kính.

Đôi khi chiều cao xuất hiện trong các nhiệm vụ. Nó vuông góc với các cơ sở. Đường chéo của hình đa diện là đoạn thẳng nối hai đỉnh bất kỳ không thuộc cùng một mặt.

Cần lưu ý rằng diện tích mặt đáy của hình lăng trụ thẳng hay nghiêng không phụ thuộc vào góc giữa chúng và các mặt bên. Nếu họ có những con số giống hệt nhauở mặt trên và mặt dưới, khi đó diện tích của chúng sẽ bằng nhau.

lăng kính tam giác

Ở đáy nó có một hình với ba đỉnh, nghĩa là, một hình tam giác. Nó được biết là khác nhau. Nếu vậy thì đủ để nhớ rằng diện tích của nó được xác định bởi một nửa tích số của chân.

Ký hiệu toán học có dạng như sau: S = ½ av.

Để tìm ra diện tích của \ u200b \ u200 cơ sở ở dạng tổng quát, các công thức hữu ích: Heron và công thức trong đó một nửa cạnh được tính đến chiều cao được vẽ bằng nó.

Công thức đầu tiên phải được viết như sau: S \ u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Mục nhập này chứa bán chu vi (p), nghĩa là tổng ba cạnh chia cho hai.

Thứ hai: S = ½ n a * a.

Nếu bạn muốn biết diện tích của \ u200b \ u200b đáy của hình lăng trụ tam giác đều, thì tam giác đó là cạnh đều. Nó có công thức riêng: S = ¼ a 2 * √3.

lăng trụ tứ giác

Cơ sở của nó là bất kỳ tứ giác nào đã biết. Nó có thể là hình chữ nhật hoặc hình vuông, hình bình hành hoặc hình thoi. Trong mỗi trường hợp, để tính diện tích của \ u200b \ u200b đáy của hình lăng trụ, bạn sẽ cần công thức của riêng mình.

Nếu đáy là hình chữ nhật thì diện tích của nó được xác định như sau: S = av, trong đó a, b là các cạnh của hình chữ nhật.

Khi nào chúng tôi đang nói chuyện về hình lăng trụ tứ giác, khi đó diện tích của \ u200b \ u200b của hình lăng trụ đều được tính theo công thức hình vuông. Bởi vì chính hắn mới là người nằm ở căn cứ. S \ u003d a 2.

Trong trường hợp cơ sở là một song song, thì cần có đẳng thức sau: S \ u003d a * n a. Điều đó xảy ra rằng một cạnh của một hình bình hành và một trong các góc được cho trước. Sau đó, để tính chiều cao, bạn sẽ cần sử dụng một công thức bổ sung: na \ u003d b * sin A. Hơn nữa, góc A tiếp giáp với cạnh "b" và chiều cao là na đối diện với góc này.

Nếu một hình thoi nằm ở đáy của hình lăng trụ thì sẽ cần công thức tương tự để xác định diện tích của nó như đối với hình bình hành (vì nó là trường hợp đặc biệt của nó). Nhưng bạn cũng có thể sử dụng cái này: S = ½ d 1 d 2. Ở đây d 1 và d 2 là hai đường chéo của hình thoi.

Lăng trụ ngũ giác đều

Trường hợp này liên quan đến việc tách đa giác thành các hình tam giác, các khu vực của chúng dễ tìm ra hơn. Mặc dù nó xảy ra rằng các hình có thể có một số đỉnh khác nhau.

Vì đáy của lăng trụ là một ngũ giác đều nên nó có thể được chia thành năm tam giác đều. Khi đó diện tích của \ u200b \ u200b của hình lăng trụ bằng diện tích của một tam giác như vậy (công thức có thể thấy ở trên), nhân với năm.

Lăng trụ lục giác đều

Theo nguyên tắc mô tả đối với hình lăng trụ ngũ giác, có thể chia lục giác đáy thành 6 tam giác đều. Công thức tính diện tích của đáy của lăng trụ tương tự như công thức trước. Chỉ trong nó nên được nhân với sáu.

Công thức sẽ như sau: S = 3/2 và 2 * √3.

Nhiệm vụ

Số 1. Cho một đoạn thẳng đều, đường chéo của nó là 22 cm, chiều cao của hình đa diện là 14 cm. Tính diện tích của \ u200b \ u200b đáy của hình lăng trụ và toàn bộ bề mặt.

Quyết định. Mặt đáy của hình lăng trụ là một hình vuông, nhưng không xác định được cạnh của nó. Bạn có thể tìm giá trị của nó từ đường chéo của hình vuông (x), liên quan đến đường chéo của lăng trụ (d) và chiều cao của nó (h). x 2 \ u003d d 2 - n 2. Mặt khác, đoạn "x" này là cạnh huyền trong một tam giác có chân bằng cạnh của hình vuông. Nghĩa là, x 2 \ u003d a 2 + a 2. Do đó, nó chỉ ra rằng một 2 \ u003d (d 2 - n 2) / 2.

Thay số 22 thay cho d và thay “n” bằng giá trị của nó - 14, thì ra rằng cạnh của hình vuông là 12 cm. Bây giờ, thật dễ dàng để tìm ra diện tích cơ sở: 12 * 12 \ u003d 144 cm 2 .

Để tìm ra diện tích của \ u200b \ u200 toàn bộ bề mặt, bạn cần thêm hai lần giá trị của diện tích cơ sở và nhân bốn lần cạnh đó. Dễ dàng tìm được giá trị sau bằng công thức cho hình chữ nhật: nhân chiều cao của hình đa diện và cạnh của mặt đáy. Tức là, 14 và 12, con số này sẽ bằng 168 cm 2. Diện tích toàn phần của lăng trụ là 960 cm 2.

Trả lời. Diện tích đáy của lăng trụ là 144 cm2. Toàn bộ bề mặt - 960 cm 2.

2. Dana Ở đáy là một hình tam giác có cạnh 6 cm, trong trường hợp này, đường chéo của mặt bên là 10 cm. Tính diện tích: mặt đáy và mặt bên.

Quyết định. Vì hình lăng trụ đều nên đáy của nó là tam giác đều. Do đó, diện tích của nó biến ra bằng 6 lần bình phương ¼ và căn bậc hai của 3. Một phép tính đơn giản dẫn đến kết quả: 9√3 cm 2. Đây là diện tích của một đáy của lăng trụ.

Tất cả các mặt bên đều giống nhau và là hình chữ nhật với các cạnh là 6 và 10 cm. Để tính diện tích của chúng, chỉ cần nhân các số này là đủ. Sau đó nhân chúng với ba vì lăng trụ có chính xác bao nhiêu mặt bên. Khi đó diện tích của mặt bên được quấn 180 cm 2.

Trả lời. Diện tích: đáy - 9√3 cm 2, mặt bên của lăng trụ - 180 cm 2.

Yêu cầu tìm thể tích của hình lăng trụ tam giác vuông, diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h= AA '= BB' = CC '(Hình 306).

Chúng ta vẽ riêng đáy của lăng trụ, tức là tam giác ABC (Hình 307, a), và hoàn thành nó thành một hình chữ nhật, từ đó chúng ta vẽ một đường thẳng KM qua đỉnh B || AC và từ các điểm A và C, chúng tôi thả AF và CE vuông góc xuống đường thẳng này. Ta được hình chữ nhật ACEF. Sau khi vẽ đường cao BD của tam giác ABC, ta sẽ thấy hình chữ nhật ACEF được chia thành 4 tam giác vuông. Hơn nữa, \ (\ Delta \) ALL = \ (\ Delta \) BCD và \ (\ Delta \) BAF = \ (\ Delta \) BAD. Điều này có nghĩa là diện tích hình chữ nhật ACEF gấp đôi diện tích tam giác ABC, nghĩa là nó bằng 2S.

Đối với hình lăng trụ này có đáy là ABC, chúng ta thêm các hình lăng trụ có đáy là ALL và BAF và chiều cao h(Hình 307, b). Ta được một hình chữ nhật có đáy là hình bình hành ACEF.

Nếu cắt hình bình hành này bằng một mặt phẳng đi qua các đường thẳng BD và BB ', ta sẽ thấy hình bình hành là hình chữ nhật gồm 4 lăng trụ có các đáy là BCD, ALL, BAD và BAF.

Các lăng trụ có đáy là BCD và ALL có thể được kết hợp, vì các đáy của chúng bằng nhau (\ (\ Delta \) BCD = \ (\ Delta \) BCE) và các cạnh bên của chúng, vuông góc với một mặt phẳng, cũng bằng nhau. Do đó, thể tích của các lăng trụ này bằng nhau. Thể tích của các lăng trụ có đáy BAD và BAF cũng bằng nhau.

Như vậy, suy ra thể tích của hình lăng trụ tam giác đã cho có đáy ABC bằng nửa thể tích của hình chữ nhật có đáy là hình bình hành ACEF.

Chúng ta biết rằng thể tích của một hình bình hành hình chữ nhật bằng tích của diện tích đáy và chiều cao, tức là trong trường hợp này, nó bằng 2S h. Do đó thể tích của khối lăng trụ tam giác vuông này bằng S h.

Thể tích của hình lăng trụ tam giác vuông bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.

2. Thể tích của khối lăng trụ đa giác thẳng.

Ký hiệu diện tích đáy của các lăng trụ tam giác qua S 1, S 2 và S 3, và thể tích của khối lăng trụ đa giác này qua V, ta được:

V = S 1 h+ S2 h+ S 3 h, hoặc

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

Và cuối cùng: V = S h.

Theo cách tương tự, ta suy ra công thức về thể tích của một lăng trụ thẳng có đáy là đa giác.

Có nghĩa, Thể tích của một hình lăng trụ thẳng đều bằng tích của diện tích đáy và chiều cao.

Khối lượng lăng kính

Định lý. Thể tích của hình lăng trụ bằng diện tích của đáy nhân với chiều cao.

Đầu tiên chúng ta chứng minh định lý này cho một lăng trụ tam giác, và sau đó cho một đa giác.

1) Vẽ (Hình 95) qua cạnh AA 1 của lăng trụ tam giác ABCA 1 B 1 C 1 một mặt phẳng song song với mặt BB 1 C 1 C và qua cạnh CC 1 - mặt phẳng song song với mặt AA 1 B 1 B; sau đó ta tiếp tục các mặt phẳng của cả hai đáy của lăng trụ cho đến khi chúng cắt nhau với các mặt phẳng đã vẽ.

Khi đó ta được hình bình hành BD 1, được chia bởi mặt phẳng có đường chéo AA 1 C 1 C thành hai lăng trụ tam giác (một trong hai lăng trụ đã cho). Hãy chứng minh rằng các lăng trụ này bằng nhau. Để làm điều này, chúng tôi vẽ một mặt cắt vuông góc A B C D. Trong phần này, bạn nhận được một hình bình hành, đó là một đường chéo át chủ chia thành hai tam giác bằng nhau. Hình lăng trụ này bằng với hình lăng trụ thẳng, có đáy là \ (\ Delta \) abc, và chiều cao là cạnh AA 1. Một hình lăng trụ tam giác khác có diện tích bằng một đường thẳng có đáy là \ (\ Delta \) adc, và chiều cao là cạnh AA 1. Nhưng hai lăng trụ thẳng với căn cứ bình đẳng và các chiều cao bằng nhau thì bằng nhau (vì chúng được kết hợp khi nhúng), nghĩa là các lăng trụ ABCA 1 B 1 C 1 và ADCA 1 D 1 C 1 bằng nhau. Từ đó suy ra rằng thể tích của khối lăng trụ này bằng một nửa thể tích của hình bình hành BD 1; Do đó, biểu thị chiều cao của lăng trụ qua H, ta được:

$$ V _ (\ Delta ex) = \ frac (S_ (ABCD) \ cdot H) (2) = \ frac (S_ (ABCD)) (2) \ cdot H = S_ (ABC) \ cdot H $$

2) Vẽ qua cạnh AA 1 của lăng trụ đa giác (Hình 96) các đường chéo AA 1 C 1 C và AA 1 D 1 D.

Sau đó khối lăng trụ này sẽ được cắt thành một số khối lăng trụ tam giác. Tổng thể tích của các lăng trụ này là thể tích mong muốn. Nếu chúng ta biểu thị các khu vực của căn cứ của họ bằng b 1 , b 2 , b 3, và tổng chiều cao qua H, chúng ta nhận được:

thể tích của một hình lăng trụ đa giác = b 1H + b 2H + b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (diện tích ABCDE) H.

Hậu quả. Nếu V, B và H là các số biểu thị thể tích, diện tích đáy và chiều cao của lăng trụ theo đơn vị thích hợp thì theo chứng minh đã được chứng minh, ta có thể viết:

Vật liệu khác