"ứng dụng tính chất hàm số trong giải phương trình, bất phương trình". "Giải phương trình bằng phương pháp không chuẩn, sử dụng tính chất của hàm số

Chuyên đề: Các phương pháp sử dụng hàm giới hạn.
Cuộc sống là tốt bởi vì nó bạn có thể làm toán. (Leonhard Euler)Bàn thắng: phát triển tư duy đột phá mới có thể áp dụng thành công trong các lĩnh vực khác hoạt động của con người(điều khiển học, công nghệ máy tính, kinh tế, vật lý phóng xạ, hóa học, v.v.).
nhiệm vụ: - rèn luyện cách đánh giá độ khó khách quan, chủ quan của các nhiệm vụ và cách lựa chọn hợp lý các nhiệm vụ này trong kỳ thi;

Sáng tạo “con heo đất” suy luận phi truyền thống, dị thường.

Trong các lớp học:

tổ chức khoảng khăc. Học sinh hình thành chủ đề của bài học bằng cách hoàn thành các nhiệm vụ của Kỳ thi Thống nhất của Phần A và B và giải mã chủ đề theo thứ tự giảm dần của các câu trả lời nhận được. (Như lời mong muốn, mã hóa 12 thẻ đánh số từ -2 đến 10) (Phụ lục 1 và 2)

hạn chế

2. Chia học sinh thành 2 nhóm, phát cho các em bộ “Lý thuyết + 10 nhiệm vụ” (Phụ lục 3 và 4), yêu cầu các em chọn những nhiệm vụ có thể hoàn thành trong phần lý thuyết này, biện minh cho lựa chọn của mình.3. Sinh viên: Noskova K., Dedevshin I., Veselov I. trình bày tiến độ thực hiện các nhiệm vụ này trên bảng.4. Chia nhiệm vụ trong phiếu thành 2 nhóm để giải, sau đó tự kiểm tra trên phiếu giải pháp làm sẵn. (Phụ lục 5)5. Phát phiếu cho các nhóm mô tả các phương pháp mới không chuẩn để giải phương trình và bất phương trình để lựa chọn chủ đề tiếp theo(như một nhiệm vụ gia đình để tìm trong các bộ sưu tập nhiệm vụ SỬ DỤNG, có thể giải bằng phương pháp này) (Phụ lục 6)6. Phản ánh của học sinh (điền vào đĩa) F.I. sinh viên

Đính kèm 1.
Giải quyết các nhiệm vụ này và sắp xếp các câu trả lời theo thứ tự giảm dần, thu thập chủ đề của bài học của chúng tôi theo các câu trả lời.

Tìm hoành độ của điểm thuộc đồ thị hàm số y \u003d 3x 2 -7x + 7, trong đó tang của góc tiếp tuyến là -1.

Phụ lục 2
9 2 0 7Khảo sát các chức năng với sự trợ giúp của đạo hàm. 10 5 1 -1 Phương pháp sử dụng hàm giới hạn. 4 -2 8 12 Giải bất phương trình đồ họa.
3 11 6Giải phương trình hàm.
Nghiên cứu

Phụ lục 3

Một trong phương pháp hiệu quả giải phương trình hoặc bất phương trình là một phương pháp dựa trên việc sử dụng các hàm giới hạn. Để nổi tiếng nhất chức năng hạn chế bao gồm, ví dụ, một số lượng giác; đảo ngược hàm lượng giác; các hàm chứa mô đun, độ, gốc c bằng cấp chẵn và những người khác.

Các bất đẳng thức phổ biến nhất là:

│f(x) │≥ 0, -1 ≤ tội lỗi ≤ 1, -1 ≤ cosx ≤ 1, -

-

, một f ( x ) >0, (f(x) ± g(x))2n ≥ 0,
, một+ ≥ 2, b+ ≤ -2 và nhiều người khác. Nơi đây N -số tự nhiên, h(x) ≥ 0, một>0, b 0.

Ngoài các bất đẳng thức đơn giản nhất nêu trên, còn có các bất đẳng thức phức tạp hơn, cụ thể là: bất đẳng thức lượng giác -,

,

và bất phương trình có dạng
.

ví dụ 1Giải phương trình:

Dung dịch: chọn ra một hình vuông đầy đủở phía bên phải của phương trình, tức là . Do đó nó theo sau đó
. Vì đồng thời sin π x ≤ 1 thì ta được hệ phương trình

Giải phương trình thứ hai của hệ ta được x= . Bằng cách thế vào phương trình thứ nhất, ta đảm bảo rằng giá trị tìm được của x là nghiệm của hệ, nghĩa là nó là nghiệm của phương trình ban đầu.

Câu trả lời: x=.

ví dụ 2Giải phương trình:

Dung dịch: kể từ Tuy nhiên sin2 π x ≤ 1. Do đó, 5+4 sin2 π x ≤ 9. Như vậy, ta thu được hệ phương trình:

Từ đây ta được hệ phương trình
, từ phương trình đầu tiên chúng ta tìm được x \u003d. Thay nó vào phương trình thứ hai của hệ và đảm bảo rằng x= là một nghiệm của hệ và do đó là nghiệm của phương trình ban đầu.

Câu trả lời: x=

Phụ lục 4 Từ danh sách các nhiệm vụ được đề xuất, chọn những nhiệm vụ có thể được giải quyết bằng phương pháp chức năng giới hạn. 1. Giải phương trình x 2 -4 x=(2-cos
2. Tìm số lượng giải pháp số nguyên bất bình đẳng x 2ctg 2
3. Giải phương trình
4. Giải phương trình 3-(5. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 16 x 2 ≥0 thỏa mãn điều kiện 3 tg 2
6. Giải phương trình
7. Giải phương trình -25x 2 +40x-23 = ( cos
8. Tìm tích các nghiệm của phương trình x
9. Giải phương trình
10. Giải phương trình 3- cos 2

Phiếu tự kiểm tra. Phụ lục 5 1. giải phương trình Lời giải: vì , sau đó kể từ và sau đó
ta được hệ phương trình

ta giải phương trình thứ nhất ta được x = , ta thế giá trị này vào phương trình thứ hai

2 . giải phương trình 3- cos 2 Lời giải: vì , sau đó kể từ và sau đó
ta được hệ phương trình

ta giải phương trình thứ hai ta được x \u003d, thay giá trị này vào phương trình thứ nhất

nên x= là nghiệm của phương trình ban đầu. Trả lời: x=
3 . Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình x 2 +7х-8≤0 thỏa mãn điều kiện ctg 2 và sau đó, với bất kỳ giá trị chấp nhận được nào của x, chúng ta tìm được các số 0 của tam thức vuông, theo định lý Vieta, chúng ta giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng
sau đó. Chúng ta biết rằng
các giá trị nguyên của x là số ta loại ra Đáp án: 8 nghiệm nguyên bốn . Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 16 x 2 ≥0 thỏa mãn điều kiện 3 tg 2 và sau đó với mọi giá trị chấp nhận được của x Tìm các nghiệm của biểu thức, x= và x= Giải bất phương trình bằng phương pháp khoảng
sau đó. Chúng ta biết rằng

các giá trị nguyên của x là số ta loại ra Đáp án: 7 nghiệm nguyên
Phụ lục 6

Phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số. Khi giải phương trình dạng f (x) \u003d g (x) trong một số trường hợp, một phương pháp hiệu quả là sử dụng tính đơn điệu của các hàm y \u003d f (x) và y \u003d g (x). ) liên tục và tăng (giảm) trên khoảng một≤ x ≤ b, và hàm số y \u003d g (x) liên tục giảm (tăng) trên cùng một đoạn thì phương trình f (x) \u003d g (x) trên đoạn một≤ x ≤ b không thể có nhiều hơn một nghiệm, thì cần phải cố gắng tìm nghiệm duy nhất của phương trình bằng cách chọn hoặc chứng minh rằng nghiệm đó không tồn tại. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả trong trường hợp cả hai phần của phương trình f(x)=g(x) đều "bất tiện" cho việc nghiên cứu chung hàm số. Bình luận: Nếu hàm y= f(x) đang tăng và hàm y= g(x) đang giảm đối với một≤ x ≤ b và trong đó f(một)>g(một), thì nghiệm của phương trình giữa một≤ x ≤ b không.

Thí dụ: giải phương trìnhDung dịch: Khoảng giá trị đúng của phương trình là x
. Dễ dàng nhận thấy rằng trên miền này, vế trái của phương trình tăng lên, trong khi vế phải giảm xuống, tức là hàm sốf(x)=
ngày càng tăng và hàmg(x)=
- giảm dần. Về vấn đề này, phương trình ban đầu chỉ có thể có một nghiệm (nếu có). Bằng cách chọn, chúng tôi tìm thấy nghiệm này của phương trình x= 2.Câu trả lời: x=2
Phương pháp giải phương trình hàm. Trong số nhiều nhất nhiệm vụ đầy thử thách USE bao gồm các nhiệm vụ mà giải pháp được giảm xuống khi xem xét các phương trình hàm có dạng f(f(….f(x)…))=x hoặc f(g(x))=f(h(x)), trong đó f(x),g(x),h(x) là một số hàm và n≥ 2
Các phương pháp giải các phương trình hàm này dựa trên việc áp dụng nhiều định lý, hãy xem xét một trong số chúng.
Định lý 1. gốc phương trình f(x)=0 là nghiệm của phương trình f(f(….f(x)…))=x
Thí dụ: Giải phương trình x=
, ở đâu Căn bậc haiđược lấyNlần vàN≥ 1 Dung dịch: Suy ra từ điều kiện của bài toán là x> 0. Hãy đểf(x)=
, thì phương trình của chúng ta có thể được biểu diễn dưới dạng hàm f( f(…. f( x)…))= x. vì cho x> 0 chức năngf(x)= tăng vàf(x) > 0 thì phương trình x= tương đương với phương trìnhf(x)= x, I E. \u003d x, nghiệm dương của nó là x \u003d
Câu trả lời: x=

Do giáo viên toán biên soạn và thực hiện

MKOU "Trường cấp hai số 1", Povorino

vùng Voronezh

Kartashova S. A.

2014

Chủ đề bài học:"Giải phương trình phương pháp phi tiêu chuẩn, sử dụng thuộc tính của hàm"

Hình thức của bài học là một bài giảng sau đó củng cố. Dành cho 2 buổi học

(Trang trình bày số 1)

Mục tiêu bài học:

Nhắc lại và tóm tắt kiến ​​thức về chủ đề: “Tính chất của hàm số”

Tìm hiểu để áp dụng phương pháp chức năng giải phương trình

Phát triển, xây dựng suy nghĩ logic, quan sát

Trau dồi hoạt động, chủ động sáng tạo.

(slide số 2)

Thiết bị: bảng tương tác, máy tính có trình chiếu.

Kế hoạch bài học:

Thời gian tổ chức.

Động lực hoạt động học tập(thông điệp của chủ đề, mục tiêu của bài học).

Hiện thực hóa kiến ​​​​thức cơ bản (lặp lại các thuộc tính của các chức năng chính).

Học tài liệu mới (phương pháp chức năng để giải phương trình).

Củng cố kiến ​​thức (giải bài tập).

Tổng kết. ước tính.

Trong các buổi học.

Giáo viên:

Để giải hầu hết các phương trình gặp phải trong các kỳ thi, chỉ cần thành thạo khóa học toán ở trường là đủ, nhưng đồng thời cần có khả năng giải không chỉ bằng các kỹ thuật tiêu chuẩn được thiết kế cho khá một số loại phương trình, mà còn cả các phương pháp "không chuẩn" mà chúng ta sẽ nói đến trong bài học hôm nay. Một trong những phương pháp như vậy để giải phương trình là hàm, dựa trên việc sử dụng các tính chất của hàm. không giống phương pháp đồ họa, kiến ​​thức về các tính chất của hàm số cho phép bạn tìm ra nghiệm chính xác của phương trình mà không cần vẽ đồ thị hàm số. Việc sử dụng các tính chất của hàm góp phần hợp lý hóa nghiệm của phương trình.

(slide số 3)

Chúng tôi sẽ trả lời các câu hỏi:

một phương trình là gì?

Gốc của phương trình là gì?

Nó có nghĩa là gì để giải một phương trình?

Cái gì gọi là hàm?

Phạm vi của một chức năng là gì?

Phạm vi của một chức năng là gì?

(slide số 4)

Xem xét(slide số 5)

VÍ DỤ 1. Giải phương trình:

Giải pháp: ODZ:

Trả lời: Không có giải pháp nào.

(slide số 6)

VÍ DỤ 2. Giải phương trình:

Giải pháp: ODZ:

ODZ bao gồm một điểm x=1. Vẫn còn phải kiểm tra xem x=1 có phải là nghiệm của phương trình hay không. Thay vào, ta thấy x=1 là nghiệm của phương trình.

Trả lời: x=1.

Giáo viên:

Đôi khi, chỉ cần xem xét không phải toàn bộ miền của hàm là đủ, mà chỉ xem xét tập hợp con của nó, trên đó hàm nhận các giá trị thỏa mãn các điều kiện nhất định (ví dụ: chỉ các giá trị không âm)

(trượt số. 7 )

VÍ DỤ 3.

Dung dịch. Hãy tìm giao điểm của các miền định nghĩa hàm ở phần bên phải và bên trái của phương trình:

D 1

Hãy giới hạn tập hợpD, xét rằng vế trái của phương trình là không âm, và do đó, điều tương tự cũng phải là phần bên phải YuĐể làm điều này, hãy xem xét giao điểm của tập hợpDcó nhiều nghiệm của bất phương trình , tức là với nhiều . Do đó, chỉ cần xét phương trình trên tập .

Bằng cách thay thế, chúng tôi đảm bảo rằng cả hai yếu tố đóng vai trò là một giải pháp cho phương trình.

Trả lời: -3; 2.

(trượt số. 8 )

VÍ DỤ 4.

Dung dịch.

Có tính đến thực tế là nghiệm của phương trình là x=4.

Trả lời: 4.

Giáo viên:

Hãy chuyển sang giải phương trình bằng cách sử dụng khái niệm khoảng của hàm số.

(trượt #9-#10)

(slide số 11)

VÍ DỤ 1.

Dung dịch. Tại vì thì phương trình vô nghiệm.

Trả lời: không có giải pháp.

VÍ DỤ 2.

Dung dịch. ODZ:

Trả lời: không có giải pháp.

Giáo viên:

Nếu chức năng f ( x ) trên khoảng X bị chặn từ trên xuống và hàm số g ( x ) bị chặn dưới thì phương trình f ( x ) = g ( x ) tương đương với hệ

(slide số 12)

VÍ DỤ 3.

Dung dịch. Theo định nghĩa,

Bình đẳng đạt được nếu

Hãy giải phương trình đầu tiên của hệ thống:

arccos(x-1)=π, x-1=-1, x=0.

Tại x=0, phương trình thứ hai trở thành đẳng thức số chính xác.

Do đó, nghiệm của hệ và phương trình này là x=0.

Trả lời: 0.

(slide №13-14)

VÍ DỤ 4.

Dung dịch.

Hãy tìm giá trị lớn nhất của hàm này trên khoảng (2;4) bằng cách sử dụng đạo hàm.

= 0,

g' + -

g 2 3 4 x

tối đa

g(3)=2.Chúng ta có

sau đó phương trình đã cho tương đương với một hệ thống

Giải phương trình thứ nhất của hệ ta được x = 3, kiểm tra, thế vào phương trình thứ hai ta sẽ chắc chắn x = 3 là nghiệm của hệ và phương trình này.

Trả lời: 3.

(slide số 15)

Giáo viên:

Phương pháp này thường được tìm thấy trong các kỳ thi toán học. Phương pháp này bao gồm thực tế là một phần của phương trình được giới hạn từ phía trên bởi một số M nhất định và phần còn lại của phương trình được giới hạn từ phía dưới bởi cùng một số M. Số M thường được gọi làthiếu tá và phương pháp này làphương pháp chính . Trong phương pháp chính, như bạn có thể đoán, bạn cần hiểu rõ hàm là gì, có thể khám phá các thuộc tính của hàm.

(slide số 16)

Bài tập củng cố, phát triển kĩ năng, năng lực.

Lớp được chia thành 2 nhóm tùy theo lựa chọn.

1 tùy chọn.

Chứng minh rằng phương trình vô nghiệm.

Giải phương trình: Trả lời: 2.6.

Trả lời: 2.

Giáo viên:

Hôm nay chúng ta đã xem xét một phương pháp không chuẩn để giải phương trình bằng cách sử dụng các tính chất của hàm, phương pháp này cũng có thể áp dụng để giải bất phương trình, nhưng chúng ta sẽ nói về điều này trong một vài bài học tiếp theo.

Tổng kết, đánh giá.

(slide số 17)

Bài tập về nhà:

"Phạm vi của một hàm" - Phạm vi định nghĩa hàm bậc hai- không tí nào số thực. Một hàm được gọi là logarit nếu Biến đổiđứng dưới dấu của logarit. hàm logarit. Một hàm có biến ở số mũ được gọi là hàm số mũ. hàm bậc hai.

"Tính chất chung của hàm" - Thuộc tính chung chức năng. Tìm phạm vi của chức năng. Hàm chẵn. Cho dù chức năng này là chẵn hay lẻ. Xác định tập giá trị của hàm số từ đồ thị. Từ đồ thị xác định các giá trị của X. Từ đồ thị xác định các khoảng giảm của hàm số. Hàm số f(x) đang tăng. Hàm y=f(x) đã cho.

“Hàm số tăng giảm” - Sự tăng giảm của hàm số sin. Hãy xem xét một ví dụ nữa. Các khoảng cosin giảm là các đoạn, n là số nguyên. Ví dụ, giả sử hàm số f chẵn và tăng trên khoảng , trong đó b>a?0. Chức năng tăng giảm. Hàm cosin tăng giảm. Hình bên dưới là đồ thị của một hàm số xác định trên đoạn [-1;10].

“Ứng dụng của sự liên tục” - Ý nghĩa của biểu thức. ý nghĩa hình học phát sinh. phương pháp khoảng. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Đồ thị gần với tiếp tuyến. Công thức. Hãy tính theo công thức. Tiếp tuyến của đường cong tại một điểm M cho trước là vị trí giới hạn của cát tuyến NM. đường hypebol.

“Cực trị của hàm số” - Sự phụ thuộc của áp suất khí vào nhiệt độ. Chủ đề bài học: Dấu hiệu tăng, giảm của hàm số. Bài kiểm tra. Sự thay đổi cường độ dòng điện khi mở mạch. Khảo sát hàm số cực trị”. Biến đổi Dòng điện xoay chiều. Kế hoạch: Sự phụ thuộc của cường độ dòng điện vào hiệu điện thế. Sự phụ thuộc của áp suất khí vào thể tích. Đề bài: “Dấu hàm số tăng, giảm.

"Các hàm và thuộc tính của chúng" - Biến độc lập được gọi là - đối số. Tăng chức năng. Định nghĩa hàm. chẵn và tính năng kỳ lạ. Tính đơn điệu của hàm. Các giá trị của biến phụ thuộc được gọi là các giá trị của hàm. Tất cả các giá trị của biến độc lập tạo thành miền xác định của hàm -D(f). 1. Các giá trị của hàm đều dương.

Tổng số trong chủ đề 23 bài thuyết trình

Hoạt động tùy chọn"Ứng dụng thuộc tính chức năng bị hạn chế"

Các tài liệu liên quan đến phương trình và bất phương trình chiếm một phần quan trọng trong khóa học toán ở trường, nhưng khung thời gian của bài học không cho phép chúng tôi xem xét tất cả các vấn đề.

Ngoài ra, mức tối thiểu bắt buộc của nội dung dạy toán, được xác định theo tiêu chuẩn nhà nước cho trường cơ bản, được xác định Tài liệu giáo dụcđể xem xét bắt buộc, nhưng không bắt buộc phải đồng hóa (ví dụ: các phương pháp giải phương trình và bất phương trình không chuẩn, phương pháp giải phương trình và bất phương trình với một tham số, v.v.).

Trước tầm quan trọng và sự rộng lớn của tài liệu liên quan đến các khái niệm về phương trình và bất phương trình, nghiên cứu của họ trong phương pháp hiện đại toán học được tổ chức thành dòng nội dung-phương pháp - dòng phương trình và bất phương trình. Có ba hướng chính để triển khai dòng này trong khóa học toán học.

Định hướng ứng dụng của phương trình và bất phương trình tiết lộ chủ yếu trong nghiên cứu phương pháp đại số các giải pháp các vấn đề từ ngữ. Phương trình và bất phương trình là phần chính của các công cụ toán học được sử dụng để giải các bài toán đố.

Định hướng lý thuyết và toán học được tiết lộ ở hai khía cạnh: trong nghiên cứu về các lớp quan trọng nhất của phương trình, bất phương trình và hệ của chúng, và trong nghiên cứu về các khái niệm và phương pháp tổng quát liên quan đến toàn bộ dòng.

Đường đẳng thức và bất phương trình cũng liên hệ chặt chẽ với đường hàm. Một mặt, việc áp dụng các phương pháp được phát triển trong dòng phương trình và bất phương trình để nghiên cứu một hàm số. Mặt khác, đường hàm có tác động đáng kể cả về nội dung của đường phương trình và bất phương trình, cũng như phong cách nghiên cứu về nó. Đặc biệt, các biểu diễn hàm đóng vai trò là cơ sở để thu hút trực quan đồ họa vào việc giải và nghiên cứu các phương trình và bất phương trình.

Trong khóa học đại số mà chúng tôi nghiên cứu dưới sự biên tập của Mordkovich, ưu tiên chọn đường hàm-đồ thị. Tất cả các tài liệu được xây dựng theo một sơ đồ cứng nhắc: hàm-biến đổi-phương trình.

Trong kỳ thi, khá thường xuyên có những nhiệm vụ được giải quyết bằng cách sử dụng các thuộc tính của hàm. Vì vậy, nên đưa tài liệu này vào các môn học tự chọn. Tuy nhiên, tôi vẫn thích xem xét một số nhiệm vụ này trong các bài học, bắt đầu từ lớp 9.

Ứng dụng tính chất của hàm số khi giải phương trình, bất phương trình

Sử dụng tài sản bị hạn chế.

Sử dụng phạm vi của một chức năng.

Vận dụng tính đơn điệu của hàm số trong giải phương trình, bất phương trình.

Sử dụng khái niệm phạm vi của hàm.

- Sử dụng tính chất chẵn lẻ và tính tuần hoàn của hàm số.

TRƯỢT 2.

Phần trình bày của tôi chỉ là một trong những phương pháp không chuẩn để giải phương trình và bất phương trình dựa trên tính chất bị chặn của các hàm có trong phương trình (bất phương trình). Các nhiệm vụ tôi đề xuất có thể được xem xét trong các bài học được phân bổ để học sinh chuẩn bị cho kỳ thi (ba hoặc bốn bài học), hoặc sử dụng một hoặc hai nhiệm vụ cho mỗi bài học, cũng được. tài liệu nhất định có thể được sử dụng trong một bài học tự chọn (hoặc trong một khóa học tự chọn).

Đã học lớp 9, khi nghiên cứu tính chất giới hạn, tôi chú ý đến tầm quan trọng của tính chất này và khả năng sử dụng nó khi

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số;

Tìm tập giá trị của hàm số.

TRƯỢT3.

Các giải pháp của một số nhiệm vụ được xem xét. Đầu tiên, các định nghĩa cơ bản nên được nhắc lại. TRANG TRÌNH BÀY 4.

Trên TRANG TRÌNH BÀY 5-9, các nhiệm vụ tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của một hàm được xem xét.

TRƯỢT 10.

Ứng dụng tính chất bị chặn của hàm số vào giải phương trình, bất phương trình.

1. PHƯƠNG PHÁP MAJORANT (PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ)

Ý tưởng chính của phương pháp majorant như sau:

Hãy để chúng ta có một phương trình và có một số như vậy m, mà cho bất kỳ X từ vùng định nghĩa https://pandia.ru/text/78/376/images/image003_26.gif" width="160" height="23">. Sau đó, phương trình tương đương với hệ thống https://pandia. ru/text/78 /376/images/image005_16.gif" width="96" height="35 src=">.

Dung dịch. Hãy để chúng tôi ước tính cả hai mặt của phương trình.

Đối với tất cả các giá trị X các bất đẳng thức https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_10.gif" width="188" height="59 src="> là chính xác.

Hệ thống thu được không có giải pháp nào, vì https://pandia.ru/text/78/376/images/image009_6.gif" width="20" height="20">

Ví dụ 1.2 ..gif" width="157" height="20">.gif" width="75" height="51 src=">.

Giải pháp cho phương trình đầu tiên của hệ thống là các giá trị https://pandia.ru/text/78/376/images/image014_3.gif" width="201" height="48 src=">.

Do đó, giải pháp hệ thống.

Câu trả lời: .

Ví dụ 1.3. Giải bất đẳng thức https://pandia.ru/text/78/376/images/image016_0.gif" width="56" height="19">.gif" width="84" height="21">.gif " width="156 height=61" height="61">.

Thay thế ngược lại: X + 1 = 0 .

Câu trả lời: - 1.

Ví dụ 1.4. Tìm tất cả các giá trị tham số một, với mỗi số đó phương trình có nghiệm. Tìm những giải pháp này.

Dung dịch.

Hãy viết lại phương trình ở dạng . Đối với tất cả các giá trị X biểu hiện vì vậy https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_0.gif" width="87" height="19 src="> và ..gif" width="405" height="91">

Câu trả lời: https://pandia.ru/text/78/376/images/image031_0.gif" width="51" height="41 src=">

2. "GẶP GỠ BÊN CẠNH"

Một biến thể của phương pháp chính là các nhiệm vụ (“ cuộc họp trên các cạnh”) trong đó các tập giá trị của vế trái và vế phải của phương trình hoặc bất phương trình có một nghiệm duy nhất điểm chung, đó là giá trị lớn nhất cho một phần và nhỏ nhất cho phần kia.

Làm thế nào để bắt đầu giải quyết những vấn đề như vậy? Trước hết, mang phương trình đã cho hoặc bất bình đẳng hơn rõ mồn một: bằng cách bao thanh toán, loại bỏ các mô-đun, logarit, v.v. Sau đó, bạn cần đọc lại nhiệm vụ một cách cẩn thận, cố gắng vẽ một hình ảnh đồ họa về các chức năng có trong nhiệm vụ.

Ví dụ 2.1. Giải phương trình.

Dung dịch. Gốc của phương trình rất dễ đoán - đây là x= 1. Nhưng không thể chứng minh tính duy nhất của nó từ việc xét tính đơn điệu, bởi vì cả vế trái và vế phải của phương trình đều không phải là hàm đơn điệu. Một ý tưởng khác được sử dụng ở đây..gif" width="191" height="51">. Giá trị lớn nhất của vế phải của phương trình kết quả là 1 và được lấy tại điểm x= 1..gif" width="185" height="52 src=">). Do đó, cạnh trái đạt tới x= 1 sở hữu giá trị nhỏ nhất, cũng bằng 1. Kết luận: đẳng thức được thỏa mãn khi và chỉ khi cả hai phần đồng thời bằng 1, tức là khi x = 1.

Ví dụ 2.2. Giải phương trình.

1 phương pháp.

Dung dịch: Lưu ý rằng phía bên trái của phương trình không vượt quá 1, trong khi phía bên phải không nhỏ hơn 1. Do đó, phương trình ban đầu chỉ có nghiệm khi cả hai vế bằng một. Điều này chỉ có thể với .

Câu trả lời: .

2 cách. Phương trình này có thể được giải bằng đồ thị. Để làm điều này, chúng tôi sẽ xây dựng đồ thị của phần bên phải và bên trái của phương trình trong cùng một hệ tọa độ, nghĩa là đồ thị hàm số và đồ thị hàm số https://pandia.ru/text/78/376/images/image008_7 .gif" width="37" height="19">.

Câu trả lời: .

Ví dụ 2. 3. Giải phương trình https://pandia.ru/text/78/376/images/image042_0.gif" width="301" height="35 src=">

thì phương trình này chỉ thỏa mãn nếu hệ . Phương trình đầu tiên của hệ có một nghiệm duy nhất X= 1, nhưng nghiệm này không thỏa mãn phương trình thứ hai. Do đó, hệ thống không có giải pháp.

Câu trả lời: Æ

Ví dụ 2.4. Giải phương trình https://pandia.ru/text/78/376/images/image045_0.gif" width="105" height="21">, thì vế trái của phương trình nhận giá trị từ đến 2.. gif" width="137" height="53">..gif" width="217" height="24"> đã có giải pháp.

Dung dịch.

Hãy để chúng tôi ước tính cả hai phần của sự bất bình đẳng. Để làm điều này, chúng ta biến đổi vế phải của bất đẳng thức bằng cách chọn toàn bộ hình vuông ..gif" width="71" height="19">.gif" width="121" height="24 src=">.gif " width="51" height="41">(tức là có "gặp nhau ở rìa").

Câu trả lời:

Ví dụ 2.6. Tìm tất cả các giá trị tham số một theo đó phương trình

Galaeva Ekaterina, học sinh lớp 11 trường trung học MAOU số 149, Nizhny Novgorod

Công trình vừa mang tính ứng dụng, vừa mang tính chất nghiên cứu. Để hoàn thiện, nghiên cứu xem xét câu hỏi tiếp theo:

– Tính chất của hàm số được thể hiện như thế nào khi giải phương trình, bất phương trình?

– Những phương trình, bất phương trình nào được giải thông qua định nghĩa các tính chất của miền xác định, tập xác định, nghịch biến?

– Thuật toán giải là gì?

- Các nhiệm vụ với tham số được đề xuất trong tài liệu KIM để chuẩn bị cho kỳ thi đã được xem xét.

Trong công việc của mình, Ekaterina khám phá nhiều loại nhiệm vụ và hệ thống hóa chúng theo vẻ bề ngoài.

Tải xuống:

Xem trước:

https://accounts.google.com

Chú thích slide:

Giải bất phương trình Giải. Hàm số f(x)= đơn điệu tăng trên toàn bộ đường thẳng thực và hàm số g(x)= đơn điệu giảm trên toàn miền xác định. Do đó, bất phương trình f (x) > g(x) thỏa mãn nếu x >

Cám ơn vì sự quan tâm của bạn!

Xem trước:

Để sử dụng bản xem trước của bản trình bày, hãy tạo tài khoản Google (tài khoản) và đăng nhập: https://accounts.google.com

Chú thích slide:

Ứng dụng các tính chất của hàm khi giải các phương trình và bất phương trình Đã hoàn thành Công việc: Galaeva Ekaterina Trường trung học cơ sở MBOU số 149 của quận Moskovsky Học sinh lớp 11 "A" Người giám sát: Fadeeva I. A. Giáo viên toán

Hướng chính: Nghiên cứu các tính chất của hàm số: tính đơn điệu, tính bị chặn, miền xác định và tính nghịch biến Tìm hiểu các mệnh đề chính thường dùng khi giải phương trình, bất phương trình và hệ Giải các bài toán từ tài liệu KIM chuẩn bị cho kỳ thi

Tính đơn điệu Hàm tăng nếu giá trị lớn hơnđối số tương ứng với giá trị lớn hơn của hàm. Hàm đang giảm nếu giá trị lớn hơn của đối số tương ứng với giá trị nhỏ hơn của hàm. f(x 1) f(x 2) x 1 x 2 f(x 1) f(x 2) x 1 x 2

Câu lệnh 1. Nếu hàm y \u003d f (x) đơn điệu thì phương trình f (x) \u003d c có nhiều nhất một nghiệm. x =2 f(x) = - giảm đơn điệu nên không còn nghiệm nào khác. Trả lời: x=2

Câu 2. Nếu hàm y \u003d f (x) đơn điệu tăng và hàm y \u003d g (x) đơn điệu giảm, thì phương trình f (x) \u003d g (x) có nhiều nhất một nghiệm. 2 - x \u003d lg (x + 11) + 1 g (x) \u003d 2 - x đơn điệu giảm và hàm f (x) \u003d log (x + 11) + 1 tăng đơn điệu trên miền, nghĩa là phương trình f (x ) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm. Bằng cách lựa chọn, chúng tôi xác định rằng x \u003d -1. Khẳng định trên chứng minh tính duy nhất của nghiệm.

a) f (x) ≤ g(x) khi và chỉ khi x ϵ (- ∞ ; x 0 ]; b) f (x) ≥ g(x) khi và chỉ khi x ϵ [x 0; +∞). Ý nghĩa trực quan của câu lệnh này là rõ ràng. (x 0) \u003d g (x 0) thì các mệnh đề sau đúng:

Giải bất phương trình Giải. Hàm số f(x)= đơn điệu tăng trên toàn bộ đường thẳng thực và hàm số g(x)= đơn điệu giảm trên toàn miền xác định. Do đó bất phương trình f (x) > g(x) thỏa mãn nếu x > 2. Hãy cộng tập xác định của bất phương trình. Như vậy, ta được hệ Đáp số: (2; 5).

Câu lệnh 4. Nếu hàm y \u003d f (x) đơn điệu tăng thì các phương trình f (x) \u003d x và f (f (x)) \u003d x có cùng một bộ nghiệm, bất kể số lượng các khoản đầu tư. Hậu quả. Nếu n là một số tự nhiên và hàm y \u003d f (x) tăng đơn điệu, thì các phương trình f (x) \u003d x và n lần có cùng một bộ nghiệm.

Giải phương trình. Trả lời: Quyết định. Với x ≥1, vế phải của phương trình không nhỏ hơn 1 và vế trái nhỏ hơn 1. Do đó, nếu phương trình có nghiệm thì bất kỳ nghiệm nào trong số chúng đều nhỏ hơn 1. Với x ≤0, vế phải vế của phương trình là không dương, và vế trái là dương, do thực tế là . Do đó, bất kỳ nghiệm nào của phương trình này đều thuộc khoảng (0; 1) Nhân cả hai vế của phương trình này với x rồi chia tử số và mẫu số của vế trái cho x, ta được

Ở đâu = . Biểu thị qua t, với t 0, ta được phương trình = t. Xét hàm số f(t)= 1+ tăng dần trên miền xác định của nó. Phương trình kết quả có thể được viết là f (f (f (f (t))))= t , và theo hệ quả của Câu 4, nó có cùng một tập nghiệm như phương trình f (t)= t , tức là phương trình 1 + = t, từ đâu. duy nhất gốc tích cực của bậc hai này đối với phương trình là . Vì vậy, ở đâu, tức là. , hoặc. Câu trả lời:

Câu 1. Nếu max f(x) = c và min g(x) = c thì phương trình f(x) = g(x) có tập nghiệm trùng với hệ Tính giới hạn Giá trị lớn nhất của vế trái là 1 và giá trị tối thiểu vế phải 1 , nghĩa là nghiệm của phương trình được rút gọn về hệ phương trình: , từ phương trình thứ hai ta tìm được nghiệm khả dĩ x=0 , và ta đảm bảo rằng đó là nghiệm của phương trình thứ nhất. Trả lời: x=1 .

Giải phương trình Giải. Vì sin3x≤1 và cos4x≤1 nên vế trái của phương trình này không vượt quá 7. Nó có thể bằng 7 nếu và chỉ khi từ đâu k , n ϵ Z . Vấn đề còn lại là xác định xem có tồn tại các số nguyên k và n sao cho hệ thống mới nhất có giải pháp. Trả lời: Z

Trong các bài toán với x và tham số a chưa biết, miền xác định được hiểu là tập hợp tất cả các cặp số có thứ tự (x ; a), mỗi số sao cho sau khi thay các giá trị tương ứng của x và a vào mọi quan hệ bao gồm trong vấn đề, chúng sẽ được xác định. Ví dụ 1. Với mỗi giá trị của tham số a, giải bất phương trình. Ta hãy tìm miền xác định của bất đẳng thức này. Từ đó rõ ràng là hệ thống không có giải pháp. Điều này có nghĩa là miền xác định của bất phương trình không chứa cặp số x và a bất kỳ nên bất phương trình vô nghiệm. Phạm vi trả lời:

Bất biến, tức là sự bất biến của một phương trình hoặc bất đẳng thức đối với việc thay thế một biến bởi một số biểu thức đại số từ biến này. Ví dụ đơn giản nhất về tính bất biến là tính chẵn lẻ: nếu - hàm chẵn, thì phương trình bất biến khi thay đổi x và – x , vì = 0.

Tìm nghiệm của phương trình. Dung dịch. Lưu ý rằng cặp này là bất biến khi thay thế. Thay vào đẳng thức, ta được. Nhân cả hai vế của đẳng thức này với 2 và trừ đi hạng đẳng thức theo hạng từ đẳng thức kết quả, chúng ta tìm được 3, từ đó. Bây giờ nó còn lại để giải phương trình, từ đó gốc của phương trình là các số. Câu trả lời: .

Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình có nhiều hơn ba giải pháp khác nhau. Giải quyết vấn đề với tham số thuộc tính Monotonicity

|x|= dương X= |x|= Để tồn tại hai nghiệm, tử số phải dương. Do đó, khi nghiệm của phương trình thứ nhất và thứ hai trùng nhau, không đáp ứng yêu cầu của điều kiện: sự hiện diện của nhiều hơn ba nghiệm. Câu trả lời: .

Tìm tất cả các giá trị của a để mỗi phương trình có hai nghiệm. Hãy biến đổi phương trình về dạng VÀ xét hàm số f(x)= xác định và liên tục trên toàn bộ đường thẳng thực. Đồ thị của hàm này là một đường đứt đoạn, bao gồm các đoạn thẳng và tia, mỗi đường liên kết của chúng là một phần của đường thẳng có dạng y= kt+l . f(x)= Với mọi khai triển môđun của biểu thức thứ nhất, k không vượt quá 8, do đó, mức tăng giảm của hàm f(x) sẽ phụ thuộc vào khai triển của môđun thứ hai. Tại x, f(x) sẽ giảm và tại x, nó sẽ tăng. Nghĩa là, với x=3 hàm sẽ nhận giá trị cao nhất. Để phương trình có hai nghiệm, điều cần thiết là f(3) Tính chất đơn điệu

f(3)=12- |9-| 3+a || | 9-| 3+a || 9- | 3+a | - | 3+a | | 3+a | | 3+a | 3+a a Đáp án: a

Tìm tất cả các giá trị của tham số a, với mỗi giá trị đó thỏa mãn bất phương trình với mọi giá trị thực x Hãy viết lại bất phương trình dưới dạng, nhập biến mới t = và xét hàm f(t) = , xác định và liên tục trên toàn bộ đường thẳng thực. Đồ thị của hàm này là một đường đứt đoạn, bao gồm các đoạn thẳng và tia, mỗi đường liên kết của chúng là một phần của đường thẳng, ở đâu

Vì , thì t ϵ [-1; một]. Do tính đơn điệu giảm của hàm y = f(t) nên chỉ cần kiểm tra cạnh trái của đoạn này là đủ. Z. A đúng Có nghĩa là chỉ có thể xảy ra nếu các số u và v có cùng dấu hoặc bất kỳ số nào trong số chúng bằng 0. , = ( ) ( ) 0. Phân tích các tam thức vuông thành thừa số, ta được bất đẳng thức ( , từ đó suy ra a ϵ (-∞; -1] U (2) U [ 4; +∞). Đáp số: (-∞ ; -1]U(2)U)