Con lắc lò xo có tốc độ cực đại. Một

Vật chịu tác dụng của lực đàn hồi thì thế năng tỉ lệ với bình phương độ dời của vật khỏi vị trí cân bằng:

trong đó k là độ cứng của lò xo.

Với các dao động cơ học tự do, động năng và thế năng thay đổi theo chu kỳ. Ở độ lệch lớn nhất của vật thể so với vị trí cân bằng, vận tốc và do đó động năng biến mất. Ở vị trí này, thế năng của vật dao động điều hòa đạt giá trị cực đại. Cho tải trọng vào lò xo nằm ngang thì thế năng là thế năng biến dạng đàn hồi của lò xo.

Khi vật đang chuyển động đi qua vị trí cân bằng thì tốc độ của nó là cực đại. Lúc này, nó có động năng cực đại và thế năng cực tiểu. Tăng động năng xảy ra do giảm năng lượng tiềm năng. Khi chuyển động xa hơn, thế năng bắt đầu tăng lên do động năng giảm, v.v.

Như vậy, trong quá trình dao động điều hòa xảy ra sự biến đổi tuần hoàn của động năng thành thế năng và ngược lại.

Nếu trong hệ dao động không có ma sát thì tổng năng lượng cơ học không thay đổi trong quá trình dao động tự do.

Đối với tải trọng lò xo:

Bắt đầu chuyển động dao động của cơ thể được thực hiện bằng nút Start. Nút Dừng cho phép bạn dừng quá trình bất kỳ lúc nào.

Biểu diễn bằng đồ thị mối quan hệ giữa thế năng và động năng trong quá trình dao động tại bất kỳ thời điểm nào. Lưu ý rằng trong trường hợp không suy giảm Tổng năng lượng của hệ dao động không đổi, thế năng đạt cực đại khi vật lệch cực đại so với vị trí cân bằng, động năng lấy gia trị lơn nhât khi vật đi qua vị trí cân bằng.

(1.7.1)

Nếu đưa quả cầu ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn x thì độ dãn của lò xo sẽ bằng Δl 0 + x. Khi đó lực kết quả sẽ nhận giá trị:

Có tính đến điều kiện cân bằng (1.7.1), chúng ta thu được:

Dấu trừ cho biết độ dời và lực ngược chiều nhau.

Lực đàn hồi f có các tính chất sau:

Nó tỉ lệ với độ dịch chuyển của quả cầu khỏi vị trí cân bằng;
Nó luôn hướng về vị trí cân bằng.

Để cho hệ thống biết độ lệch x, bạn cần thực hiện với lực đàn hồi Công việc:

Đây công việc đang được tiến hànhđể tạo ra một nguồn dự trữ thế năng của hệ thống:

Dưới tác dụng của một lực đàn hồi, quả cầu sẽ chuyển động về vị trí cân bằng với tốc độ nhanh dần đều. Do đó, thế năng của hệ sẽ giảm nhưng động năng lại tăng (ta bỏ qua khối lượng của lò xo). Khi về vị trí cân bằng, quả cầu sẽ tiếp tục chuyển động theo quán tính. Đây là chuyển động chậm dần đều và sẽ dừng lại khi động năng chuyển hết thành thế năng. Sau đó, quá trình tương tự sẽ diễn ra khi quả bóng di chuyển vào hướng ngược lại. Nếu trong hệ không có ma sát thì quả cầu sẽ dao động điều hòa.

Phương trình của định luật II Newton trong trường hợp này là:

Hãy biến đổi phương trình như sau:

Giới thiệu ký hiệu, chúng tôi thu được một đồng nhất tuyến tính phương trình vi phânđơn hàng thứ hai:

Bằng cách thay thế trực tiếp, thật dễ dàng để xác minh rằng quyết định chung phương trình (1.7.8) có dạng:

trong đó a là biên độ và φ là pha ban đầu của dao động - hằng số. Do đó, sự biến động con lắc lò xo là sóng hài (Hình 1.7.2).

Cơm. 1.7.2. dao động điều hòa

Do tính tuần hoàn của cosin, các trạng thái khác nhau của hệ dao động được lặp lại sau một khoảng thời gian nhất định (chu kỳ dao động) T, trong thời gian đó pha của dao động nhận được gia số 2π. Bạn có thể tính khoảng thời gian bằng công thức:

từ đâu sau:

Số dao động trong một đơn vị thời gian được gọi là tần số:

Đơn vị của tần số là tần số của một dao động như vậy, chu kỳ của nó là 1 s. Đơn vị này được gọi là 1 Hz.

Từ (1.7.11) nó như sau:

Do đó, ω 0 là số dao động thực hiện được trong 2π giây. Giá trị ω 0 được gọi là tần số tuần hoàn hoặc chu kỳ. Sử dụng (1.7.12) và (1.7.13), chúng tôi viết:

Phân biệt () theo thời gian, chúng ta thu được biểu thức cho tốc độ của quả bóng:

Từ (1.7.15), tốc độ cũng thay đổi theo định luật điều hòa và đi trước pha lệch pha ½π. Phân biệt (1.7.15), chúng ta nhận được gia tốc:

1.7.2. Con lắc toán học

Con lắc toán họcđược gọi là một hệ thống lý tưởng hóa bao gồm một chủ đề không trọng lượng trên đó một vật được treo lơ lửng, toàn bộ khối lượng của vật đó tập trung tại một điểm.

Độ lệch của con lắc khỏi vị trí cân bằng được đặc trưng bởi góc φ tạo bởi sợi chỉ với phương thẳng đứng (Hình 1.7.3).

Cơm. 1.7.3. Con lắc toán học

Khi con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng, momen xoắn, có xu hướng đưa con lắc trở lại vị trí cân bằng của nó:

Hãy để chúng tôi viết phương trình động học cho con lắc chuyển động quay, cho rằng mômen quán tính của nó bằng ml 2:

Phương trình này có thể được đưa về dạng:

Hạn chế bản thân trong trường hợp dao động nhỏ sẽ phạm tộiφ ≈ φ và giới thiệu ký hiệu:

phương trình (1.7.19) có thể được biểu diễn như sau:

trùng với phương trình dao động của con lắc lò xo. Do đó, nghiệm của nó sẽ là một dao động điều hòa:

Từ (1.7.20) suy ra tần số dao động tuần hoàn con lắc toán học phụ thuộc vào chiều dài và gia tốc của nó rơi tự do. Sử dụng công thức cho chu kỳ dao động () và (1.7.20), chúng ta thu được quan hệ đã biết:

1.7.3. con lắc vật lý

Con lắc vật lý được gọi là chất rắn có khả năng dao động xung quanh điểm cố định, không trùng với tâm của quán tính. Ở vị trí cân bằng, tâm quán tính của con lắc C nằm dưới điểm treo O trên cùng phương thẳng đứng (Hình 1.7.4).

Cơm. 1.7.4. con lắc vật lý

Khi con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng một góc φ thì sinh ra momen lực có xu hướng đưa con lắc trở lại vị trí cân bằng:

trong đó m là khối lượng của con lắc, l là khoảng cách giữa điểm treo và tâm quán tính của con lắc.

Hãy viết phương trình động học của chuyển động quay đối với con lắc, có kể đến mômen quán tính bằng I:

Đối với dao động nhỏ sinφ ≈ φ. Sau đó, giới thiệu ký hiệu:

cũng trùng với phương trình dao động của con lắc lò xo. Từ các phương trình (1.7.27) và (1.7.26), nó theo sau rằng đối với các sai lệch nhỏ con lắc vật lý từ vị trí cân bằng nó thực hiện dao động điều hòa, tần số dao động phụ thuộc vào khối lượng của con lắc, mômen quán tính và khoảng cách giữa trục quay và tâm quán tính. Sử dụng (1.7.26), bạn có thể tính toán chu kỳ dao động:

So sánh công thức (1.7.28) và (), chúng ta nhận được rằng một con lắc toán học có chiều dài:

sẽ có cùng chu kỳ dao động với con lắc vật lý đã xét. Số lượng (1.7.29) được gọi là giảm chiều dài con lắc vật lý. Do đó, chiều dài giảm dần của con lắc vật lý là chiều dài của con lắc toán học đó, chu kỳ dao động của nó bằng chu kỳ dao động của con lắc vật lý đã cho.

Một điểm trên đường thẳng nối điểm treo với tâm quán tính, nằm cách trục quay một khoảng bằng chiều dài giảm được gọi là trung tâm xoay con lắc vật lý. Theo định lý Steiner, momen quán tính của con lắc vật lý là:

trong đó I 0 là momen quán tính về tâm quán tính. Thay (1.7.30) thành (1.7.29), ta được:

Do đó, chiều dài giảm luôn lớn hơn khoảng cách giữa điểm treo và tâm quán tính của con lắc, để điểm treo và trọng tâm dao động nằm dọc. các mặt khác nhau từ tâm quán tính.

1.7.4. Năng lượng của dao động điều hòa

Trong quá trình dao động điều hòa, có sự biến đổi tuần hoàn giữa động năng của vật dao động E k và thế năng E p do tác dụng của một lực tựa đàn hồi. Từ các năng lượng này, tổng năng lượng E của hệ dao động được cộng thêm:

Hãy viết biểu thức cuối cùng

Nhưng k \ u003d mω 2 nên ta có biểu thức cho tổng năng lượng của vật dao động là

Như vậy, năng lượng toàn phần của một dao động điều hòa không đổi và tỉ lệ với bình phương biên độ và bình phương tần số tròn của dao động.

1.7.5. rung động giảm xóc .

Khi học dao động điều hòa lực ma sát và lực cản tồn tại trong hệ thống thực. Tác dụng của các lực này làm thay đổi đáng kể tính chất của chuyển động, dao động trở thành mờ dần.

Nếu ngoài lực bán đàn hồi, lực cản của môi trường (lực ma sát) tác dụng lên hệ thì định luật II Newton có thể được viết như sau:

trong đó r là hệ số ma sát, đặc trưng cho tính chất của môi trường cản chuyển động. Chúng tôi thay thế (1.7.34b) thành (1.7.34a):

Đồ thị của hàm này được thể hiện trong Hình 1.7.5 dưới dạng đường cong đặc 1 và đường đứt nét 2 cho thấy sự thay đổi trong biên độ:

Ở ma sát rất thấp, chu kỳ của dao động tắt dần gần với chu kỳ không bị dập dao động tự do(1.7.35.b)

Tốc độ giảm biên độ dao động được xác định bằng hệ số giảm chấn: β càng lớn thì tác dụng hãm của môi trường càng mạnh và biên độ giảm càng nhanh. Trong thực tế, mức độ suy giảm thường được đặc trưng giảm chấn logarit, nghĩa là giá trị này bằng lôgarit tự nhiên tỉ số giữa hai biên độ dao động liên tiếp cách nhau một khoảng thời gian bằng chu kì dao động là:

;

Do đó, hệ số giảm chấn và giảm logarit sự suy giảm được kết nối bởi một sự phụ thuộc khá đơn giản:

Với dao động tắt dần, từ công thức (1.7.37) có thể thấy chu kì dao động là một đại lượng tưởng tượng. Chuyển động trong trường hợp này đã được gọi là không có kinh nghiệm. Đồ thị chuyển động không theo chu kỳ được thể hiện trong Hình. 1.7.6. Liên tục và dao động giảm xóc gọi là riêng hoặc tự do. Chúng phát sinh do sự dịch chuyển ban đầu hoặc tốc độ ban đầu và được thực hiện khi vắng mặt ảnh hưởng bên ngoài từ năng lượng dự trữ ban đầu.

1.7.6. Dao động cưỡng bức. cộng hưởng .

bắt buộc dao động là những dao động xảy ra trong hệ thống có sự tham gia của ngoại lực, thay đổi theo quy luật tuần hoàn.

Hãy giả sử rằng trên điểm vật chất Ngoài lực bán đàn hồi và lực ma sát, một động lực bên ngoài tác dụng

trong đó F 0 - biên độ; ω - tần số dao động tròn đều của lực phát động. Chúng tôi soạn một phương trình vi phân (định luật II Newton):

Biên độ của dao động cưỡng bức (1.7.39) tỷ lệ thuận với biên độ của lực phát động và có nghiện phức tạp về hệ số suy giảm của môi trường và tần số tròn của dao động riêng và dao động cưỡng bức. Nếu cho ω 0 và β cho hệ thì biên độ rung động cưỡng bức có giá trị lớn nhất ở một số tần số nhất định lực lượng cưỡng chế được gọi là vang xa.

Bản thân hiện tượng - đạt đến biên độ cực đại với ω 0 và β đã cho - được gọi là cộng hưởng.

Cơm. 1.7.7. cộng hưởng

Trong trường hợp không có lực cản thì biên độ dao động cưỡng bức khi cộng hưởng lớn vô hạn. Trong trường hợp này, từ ω res = ω 0, tức là Hiện tượng cộng hưởng trong hệ không có dao động tắt dần xảy ra khi tần số của lực phát động trùng với tần số của dao động tự nhiên. Đồ thị sự phụ thuộc của biên độ dao động cưỡng bức vào tần số tròn của lực phát động tại những nghĩa khác nhau hệ số suy giảm được thể hiện trong hình. 5.

Cộng hưởng cơ học có thể vừa có lợi vừa có hại. Tác hại của cộng hưởng chủ yếu là do sự phá hủy mà nó có thể gây ra. Vì vậy, trong công nghệ, có tính đến các rung động khác nhau, cần cung cấp khả năng xảy rađiều kiện cộng hưởng, nếu không có thể có sự tàn phá và thảm họa. Các cơ quan thường có một số tần số rung động tự nhiên và do đó, một số tần số cộng hưởng.

Nếu hệ số suy giảm của các cơ quan nội tạng của một người không lớn, thì các hiện tượng cộng hưởng phát sinh trong các cơ quan này dưới tác động của các dao động bên ngoài hoặc sóng âm, có thể dẫn đến những hậu quả thương tâm: vỡ nội tạng, tổn thương dây chằng, v.v. Tuy nhiên, các hiện tượng như vậy thực tế không được quan sát thấy dưới các tác động bên ngoài vừa phải, vì hệ số suy giảm của các hệ thống sinh học là khá lớn. Tuy nhiên, các hiện tượng cộng hưởng dưới tác động của bên ngoài rung động cơ học diễn ra trong cơ quan nội tạng. Rõ ràng đây là một trong những lý do giải thích cho tác động tiêu cực của dao động và rung sóng hạ âm đối với cơ thể con người.

1.7.7. Dao động tự

Cũng có những hệ thống dao động như vậy tự nó điều chỉnh việc bổ sung định kỳ năng lượng lãng phí và do đó có thể dao động trong một thời gian dài.

Các dao động không được lấy dấu tồn tại trong bất kỳ hệ thống nào mà không có ảnh hưởng bên ngoài thay đổi được gọi là dao động tự và bản thân các hệ thống tự dao động.

Biên độ và tần số của dao động tự lực phụ thuộc vào các tính chất trong bản thân hệ dao động, ngược lại với dao động cưỡng bức thì không do tác động bên ngoài xác định.

Trong nhiều trường hợp, hệ thống tự dao động có thể được biểu diễn bằng ba yếu tố chính (Hình 1.7.8): 1) hệ thống dao động thực tế; 2) nguồn năng lượng; 3) một bộ điều chỉnh cung cấp năng lượng cho hệ thống dao động thực tế. Hệ thống dao động theo kênh Phản hồi(Hình 6) ảnh hưởng đến bộ điều chỉnh, thông báo cho bộ điều chỉnh về trạng thái của hệ thống này.

Một ví dụ cổ điển về hệ thống tự dao động cơ học là một chiếc đồng hồ trong đó con lắc hoặc vật cân bằng là một hệ thống dao động, lò xo hoặc quả nặng nâng lên là nguồn năng lượng và mỏ neo là bộ điều chỉnh năng lượng đầu vào từ nguồn vào một hệ dao động.

Nhiều hệ thống sinh học(tim, phổi, v.v.) tự dao động. Một ví dụ điển hình của hệ thống tự dao động điện từ là máy phát dao động tự phát.

1.7.8. Bổ sung các dao động theo một hướng

Xét phép cộng của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:

x 1 \ u003d a 1 cos (ω 0 t + α 1), x 2 \ u003d a 2 cos (ω 0 t + α 2).

Một dao động điều hòa có thể được xác định bằng cách sử dụng một vectơ có độ dài bằng biên độ của dao động và phương tạo với trục một góc bằng pha ban đầu của dao động. Nếu vectơ này quay với vận tốc gócω 0 thì hình chiếu của nó trên trục đã chọn sẽ thay đổi theo quy luật điều hòa. Dựa trên điều này, chúng tôi chọn một số trục X và biểu diễn các dao động bằng cách sử dụng các vectơ a 1 và a 2 (Hình 1.7.9).

Từ Hình 1.7.6, nó theo sau rằng

Các lược đồ trong đó các dao động được mô tả bằng đồ thị dưới dạng vectơ trên một mặt phẳng được gọi là giản đồ vectơ.

Nó tuân theo công thức 1.7.40. Rằng nếu độ lệch pha của cả hai dao động bằng không thì biên độ của dao động tạo thành bằng tổng biên độ của các dao động cộng lại. Nếu độ lệch pha của các dao động cộng thêm bằng thì biên độ của dao động tạo thành bằng. Nếu tần số của các dao động thêm vào không giống nhau, thì các vectơ tương ứng với các dao động này sẽ quay với tốc độ khác nhau. Trong trường hợp này, vectơ thu được sẽ có độ lớn xung và quay với tốc độ không đổi. Do đó, kết quả của phép cộng không thu được một dao động điều hòa mà là một quá trình dao động phức tạp.

1.7.9. nhịp đập

Xét phép cộng hai dao động điều hòa cùng phương, khác tần số một chút. Gọi tần số của một trong số chúng bằng ω, và tần số của tần số thứ hai ω + ∆ω, và ∆ω<<ω. Положим, что амплитуды складываемых колебаний одинаковы и начальные фазы обоих колебаний равны нулю. Тогда уравнения колебаний запишутся следующим образом:

x 1 \ u003d a cos ωt, x 2 \ u003d a cos (ω + ∆ω) t.

Thêm các biểu thức này và sử dụng công thức tính tổng các cosin, chúng ta nhận được:

Dao động (1.7.41) có thể coi là dao động điều hòa với tần số ω, biên độ dao động điều hòa theo quy luật. Hàm này là tuần hoàn với tần số gấp đôi tần số của biểu thức dưới dấu hiệu mô-đun, tức là với tần số ∆ω. Do đó, tần số của các xung biên độ, được gọi là tần số nhịp, bằng hiệu số của các tần số của các dao động thêm vào.

1.7.10. Cộng các dao động vuông góc lẫn nhau (số liệu Lissajous)

Nếu một chất điểm dao động cả dọc theo trục x và dọc theo trục y, thì nó sẽ chuyển động dọc theo một quỹ đạo cong nào đó. Để tần số dao động bằng nhau và pha ban đầu của dao động thứ nhất bằng 0 thì ta viết phương trình dao động dưới dạng:

Phương trình (1.7.43) là phương trình của một hình elip, các trục của chúng được định hướng tùy ý so với các trục tọa độ x và y. Định hướng của hình elip và kích thước của các bán trục của nó phụ thuộc vào biên độ a và b và độ lệch pha α. Hãy xem xét một số trường hợp đặc biệt:

(m = 0, ± 1, ± 2,…). Trong trường hợp này, phương trình có dạng

Đây là phương trình của một hình elip, các trục của chúng trùng với các trục tọa độ và các bán trục của nó bằng các biên độ (Hình 1.7.12). Nếu các biên độ bằng nhau, thì elip trở thành một đường tròn.

Hình 1.7.12

Nếu tần số của các dao động vuông góc với nhau chênh lệch nhau một lượng nhỏ ∆ω thì có thể coi chúng là dao động cùng tần số nhưng lệch pha nhau chậm dần đều. Trong trường hợp này, phương trình dao động có thể được viết

x = a cos ωt, y = b cos [ωt + (∆ωt + α)]

và biểu thức ∆ωt + α được coi là góc lệch pha biến thiên chậm dần theo thời gian theo quy luật tuyến tính. Chuyển động kết quả trong trường hợp này tuân theo một đường cong thay đổi chậm, liên tiếp sẽ có dạng tương ứng với tất cả các giá trị của độ lệch pha từ -π đến + π.

Nếu tần số của các dao động vuông góc với nhau không giống nhau thì quỹ đạo của chuyển động tạo thành có dạng đường cong khá phức tạp gọi là Con số lissajous. Ví dụ: các tần số của các dao động được thêm vào có liên quan đến 1 : 2 và lệch pha nhau π / 2. Khi đó phương trình dao động có dạng

x = a cos ωt, y = b cos.

Trong khi dọc theo trục x, điểm có thể di chuyển từ vị trí cực trị này sang vị trí cực trị khác, dọc theo trục y, rời khỏi vị trí 0, điểm đó cố gắng đạt đến vị trí cực trị này, rồi vị trí khác và quay trở lại. Chế độ xem đường cong được hiển thị trong hình. 1.7.13. Đường cong với cùng tỷ số tần số, nhưng độ lệch pha bằng 0 được thể hiện trong Hình 1.7.14. Tỷ số giữa tần số của các dao động cộng thêm nghịch với tỷ số giữa số giao điểm của các hình Lissajous với các đường thẳng song song với trục tọa độ. Do đó, bằng sự xuất hiện của các hình Lissajous, người ta có thể xác định tỷ lệ tần số của các dao động thêm vào hoặc một tần số chưa biết. Nếu một trong các tần số đã biết.

Hình 1.7.13

Hình 1.7.14

Càng gần với sự thống nhất, phần hợp lý biểu thị tỷ lệ tần số rung động, các số liệu Lissajous thu được càng phức tạp.

1.7.11. Sự truyền sóng trong môi trường đàn hồi

Nếu ở bất kỳ vị trí nào của môi trường đàn hồi (rắn ở thể lỏng hoặc thể khí), các hạt của nó bị kích thích thì do tương tác giữa các hạt, dao động này sẽ truyền trong môi trường từ hạt này sang hạt khác với tốc độ υ nhất định. Quá trình lan truyền dao động trong không gian được gọi là sóng.

Các hạt của môi trường truyền sóng không bị sóng tham gia chuyển động tịnh tiến, chúng chỉ dao động điều hòa quanh vị trí cân bằng của chúng.

Tùy thuộc vào hướng dao động của hạt đối với phương truyền sóng, có theo chiều dọc và ngang sóng. Trong sóng dọc, các hạt của môi trường dao động dọc theo phương truyền của sóng. Trong sóng ngang, các hạt của môi trường dao động theo phương vuông góc với phương truyền sóng. Sóng ngang đàn hồi chỉ có thể phát sinh trong môi trường có khả năng chống cắt. Do đó, trong môi trường lỏng và khí, chỉ có thể xảy ra sóng dọc. Trong môi trường rắn, có thể xảy ra cả sóng dọc và sóng ngang.

Trên hình. 1.7.12 cho thấy chuyển động của các hạt trong quá trình truyền trong môi trường của sóng ngang. Các số 1, 2, v.v. biểu thị các hạt ở sau nhau một khoảng bằng (¼ υT), tức là bằng quãng đường sóng truyền được trong một phần tư chu kỳ dao động của các hạt. Tại thời điểm được coi là 0, sóng, truyền dọc theo trục từ trái sang phải, đến hạt 1, kết quả là hạt bắt đầu chuyển động lên khỏi vị trí cân bằng, kéo theo các hạt tiếp theo cùng với nó. Sau một phần tư chu kì, hạt 1 đến vị trí cân bằng trên cùng của chu kì 2. Sau một phần tư chu kì, phần thứ nhất sẽ qua vị trí cân bằng, chuyển động theo chiều từ trên xuống, hạt thứ hai sẽ lên tới cực đại. và hạt thứ ba sẽ bắt đầu chuyển động đi lên từ vị trí cân bằng. Tại thời điểm bằng T thì hạt thứ nhất hoàn thành chu kì dao động hoàn toàn và chuyển động ở trạng thái như thời điểm xuất phát. Sóng tại thời điểm T, đã đi qua đường đi (υT), sẽ tới hạt 5.

Trên hình. 1.7.13 cho thấy sự chuyển động của các hạt trong quá trình truyền trong môi trường của sóng dọc. Tất cả các cân nhắc liên quan đến hành vi của các hạt trong sóng ngang cũng có thể được áp dụng cho trường hợp này với các chuyển vị lên và xuống được thay thế bằng các chuyển vị sang phải và trái.

Qua hình vẽ có thể thấy rằng trong quá trình truyền sóng dọc trong môi trường, các hạt ngưng tụ xen kẽ và các hạt hiếm được tạo ra (các vị trí ngưng tụ được bao quanh trong hình bằng một đường chấm), chuyển động theo hướng truyền sóng. với tốc độ υ.

Cơm. 1.7.15

Cơm. 1.7.16

Trên hình. 1.7.15 và 1.7.16 cho thấy dao động của các hạt có vị trí và điểm cân bằng nằm trên trục x. Trong thực tế, không chỉ các hạt dao động dọc theo trục x, nhưng là một tập hợp các hạt được bao bọc trong một thể tích nhất định. Lan truyền từ các nguồn dao động, quá trình sóng bao phủ ngày càng nhiều phần của không gian, quỹ tích của các điểm mà dao động đạt được tại thời điểm t, được gọi là làn sóng phía trước(hoặc mặt trước sóng). Mặt trước sóng là bề mặt ngăn cách phần không gian đã tham gia vào quá trình sóng với khu vực chưa phát sinh dao động.

Quỹ tích của các điểm dao động cùng pha được gọi là bề mặt sóng . Bề mặt sóng có thể được vẽ qua bất kỳ điểm nào trong không gian được bao phủ bởi quá trình sóng. Do đó, có vô số bề mặt sóng, trong khi chỉ có một mặt sóng tại bất kỳ thời điểm nào. Các mặt sóng đứng yên (chúng đi qua vị trí cân bằng của các hạt dao động cùng pha ). Mặt sóng không ngừng chuyển động.

Các bề mặt sóng có thể có bất kỳ hình dạng nào. Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng có hình dạng của một mặt phẳng hoặc hình cầu. Theo đó, sóng trong những trường hợp này được gọi là mặt phẳng hoặc hình cầu. Trong sóng phẳng, các mặt sóng là một tập hợp các mặt phẳng song song với nhau, trong một sóng hình cầu - một tập hợp các mặt cầu đồng tâm.

Cơm. 1.7.17

Cho một sóng phẳng truyền dọc theo trục x. Khi đó tất cả các điểm của mặt cầu, các vị trí, các đường cân bằng của chúng có cùng tọa độ x(nhưng sự khác biệt về giá trị tọa độ y và z), dao động cùng pha.

Trên hình. 1.7.17 cho thấy một đường cong cung cấp một độ lệch ξ từ vị trí cân bằng của các điểm có x tại một số thời điểm. Bản vẽ này không nên được coi là một hình ảnh có thể nhìn thấy được của một làn sóng. Hình bên là đồ thị của hàm số ξ (x, t) cho một số cố định đúng lúc t. Một biểu đồ như vậy có thể được xây dựng cho cả sóng dọc và sóng ngang.

Khoảng cách λ để sóng ngắn truyền trong thời gian bằng chu kỳ dao động của các hạt trong môi trường được gọi là bước sóng. Hiển nhiên là

trong đó υ là tốc độ sóng, T là chu kỳ dao động. Bước sóng cũng có thể được định nghĩa là khoảng cách giữa các điểm gần nhất của môi trường dao động với độ lệch pha bằng 2π (xem hình 1.7.14)

Thay vào quan hệ (1.7,45) T qua 1 / ν (ν là tần số dao động), ta thu được

Công thức này cũng có thể đạt được từ những cân nhắc sau. Trong một giây, nguồn sóng thực hiện dao động ν, tạo ra trong môi trường trong mỗi lần dao động một "đỉnh" và một "đáy" của sóng. Vào thời điểm nguồn hoàn thành dao động thứ ν thì "con rường" thứ nhất sẽ có thời gian đi hết quãng đường υ. Do đó, ν "đỉnh" và "đáy" của sóng phải vừa với chiều dài υ.

1.7.12. Phương trình sóng phẳng

Phương trình sóng là một biểu thức cho biết độ dịch chuyển của một hạt dao động dưới dạng một hàm của tọa độ của nó XYZ và thời gian t :

ξ = ξ (x, y, z; t)

(nghĩa là tọa độ vị trí cân bằng của hạt). Chức năng này phải tuần hoàn theo thời gian t và liên quan đến tọa độ XYZ. . Tính chu kỳ theo thời gian dựa trên thực tế là các điểm cách xa nhau ở một khoảng cách λ , dao động cùng phương.

Tìm loại chức năng ξ trong trường hợp sóng phẳng, giả sử rằng các dao động điều hòa. Để đơn giản hóa, chúng tôi hướng các trục tọa độ để trục x trùng với phương truyền sóng. Khi đó các mặt sóng sẽ vuông góc với trục x và vì tất cả các điểm trên mặt sóng đều dao động như nhau nên độ dời ξ sẽ chỉ phụ thuộc vào x và t:

ξ = ξ (x, t) .

Hình 1.7.18

Cho dao động của chất điểm nằm trong mặt phẳng x = 0 (Hình 1.7.18), có dạng

Ta hãy tìm dạng dao động của các điểm trong mặt phẳng ứng với một giá trị tùy ý x . Cách đi từ máy bay x=0 đến mặt phẳng này, làn sóng cần có thời gian ( υ là tốc độ truyền sóng). Do đó, dao động của các hạt nằm trong mặt phẳng x , sẽ bị chậm lại trong thời gian τ từ dao động của các hạt trong mặt phẳng x = 0 , I E. sẽ trông như thế nào

Vì thế, phương trình sóng phẳng(dọc và ngang), truyền theo hướng của trục x , như sau:

Biểu thức này xác định mối quan hệ giữa thời gian t và nơi đó x , trong đó pha có giá trị cố định. Giá trị dx / dt thu được cho biết tốc độ di chuyển của giá trị pha đã cho. Phân biệt biểu thức (1.7.48), chúng ta thu được

Phương trình của sóng truyền theo chiều giảm x :

Khi suy ra công thức (1.7.53), ta giả thiết rằng biên độ dao động không phụ thuộc vào x . Đối với sóng phẳng, điều này được quan sát thấy khi năng lượng sóng không bị môi trường hấp thụ. Khi truyền trong môi trường hấp thụ năng lượng, cường độ sóng giảm dần theo khoảng cách từ nguồn dao động - sóng tắt dần. Kinh nghiệm cho thấy rằng trong một môi trường đồng chất, dao động tắt dần xảy ra theo quy luật hàm số mũ:

Tương ứng phương trình sóng phẳng, xét đến sự tắt dần, có dạng sau:

(1.7.54)

(a 0 là biên độ tại các điểm thuộc mặt phẳng x = 0).

Khi dao động xảy ra ở trường, chúng được minh họa bằng hai trong số những ví dụ đơn giản nhất: một quả nặng trên một lò xo và một con lắc toán học (nghĩa là, một quả nặng trên một sợi không dãn) trong trường trọng lực. Trong cả hai trường hợp, một sự đều đặn quan trọng được quan sát thấy trong các dao động: chu kỳ của chúng không phụ thuộc vào biên độ - ít nhất là miễn là biên độ này vẫn nhỏ - nhưng chỉ được xác định bởi các đặc tính cơ học của hệ.

Bây giờ chúng ta hãy kết hợp hai ví dụ này và xem xét dao động của một quả nặng được treo trên một lò xo kéo trong trường hấp dẫn (Hình 1).

Để đơn giản, chúng ta bỏ qua chiều thứ ba và giả sử rằng con lắc lò xo này dao động điều hòa trong mặt phẳng của hình vẽ. Trong trường hợp này, trọng lượng (cũng được coi là trọng lượng điểm) có thể di chuyển trong một mặt phẳng thẳng đứng theo một hướng tùy ý, và không chỉ lên xuống hoặc trái và phải, như trong Hình. 2. Nhưng nếu một lần nữa chúng ta tự giới hạn bản thân chỉ với những sai lệch nhỏ so với vị trí cân bằng, thì dao động ngang và dọc xảy ra gần như độc lập, với chu kỳ riêng của chúng. T x và T y.

Có vẻ như vì những dao động này được xác định bởi các lực và đặc tính hoàn toàn khác nhau của hệ, nên chu kỳ của chúng có thể hoàn toàn tùy ý, không có mối liên hệ nào với nhau. Hóa ra - không!

Một nhiệm vụ

Chứng tỏĐối với con lắc như vậy thì chu kỳ của dao động theo phương ngang luôn lớn hơn chu kỳ của dao động theo phương thẳng đứng: T x> T y.

Manh mối

Lúc đầu, vấn đề có thể khiến bạn ngạc nhiên bởi dường như chẳng có gì được đưa ra trong đó, nhưng cần phải chứng minh điều gì đó. Nhưng không có gì sai ở đây. Khi vấn đề được xây dựng theo cách này, có nghĩa là bạn có thể giới thiệu cho mình một số ký hiệu mà bạn cần, tính toán với họ những gì được yêu cầu, và sau đó đi đến kết luận đã không phụ thuộc từ các giá trị này. Làm điều đó cho nhiệm vụ này. Lấy công thức cho chu kỳ dao động, suy nghĩ về các đại lượng liên quan và so sánh hai chu kỳ với nhau bằng cách chia chúng cho nhau.

Dung dịch

Chu kỳ dao động của quả nặng m trên một lò xo cứng k và chiều dài L 0 là

Công thức này không thay đổi ngay cả khi quả nặng được treo trong trọng trường với gia tốc rơi tự do g. Tất nhiên, vị trí cân bằng của quả nặng sẽ dịch chuyển xuống độ cao Δ L = mg / k- Với độ giãn của lò xo như vậy thì lực đàn hồi sẽ bù cho lực hấp dẫn. Nhưng chu kì của dao động điều hòa theo phương thẳng đứng về vị trí cân bằng mới này với lò xo bị dãn sẽ không đổi.

Chu kỳ dao động điều hòa theo phương ngang của con lắc bị dãn được biểu thị bằng gia tốc trọng trường g và của anh ấy hoàn thành chiều dài L = L 0 +Δ L:

Nhờ sự kéo dài thêm trong trường hấp dẫn mà chúng ta phát hiện ra rằng

Đó là toàn bộ giải pháp.

Lời bạt

Mặc dù rõ ràng là đơn giản, con lắc lò xo là một hệ thống khá phong phú về các hiện tượng. Đây là một trong những ví dụ đơn giản nhất về một hiện tượng dễ thương - cộng hưởng Fermi. Nó bao gồm trong này. Nói một cách tổng quát, nếu bằng cách nào đó quả nặng được kéo và thả ra, thì nó sẽ dao động theo cả phương thẳng đứng và phương ngang. Hai dạng dao động này chỉ đơn giản là sẽ trùng nhau và không giao thoa với nhau. Nhưng nếu chu kỳ của dao động dọc và ngang có quan hệ với nhau bằng quan hệ T x = 2T y, sau đó các dao động ngang và dọc, như thể trái với ý muốn của chúng, sẽ dần dần chuyển thành nhau, như trong hình ảnh động bên phải. Năng lượng của các dao động sẽ được bơm từ dao động thẳng đứng sang dao động ngang và ngược lại.

Nó trông như thế này: bạn kéo quả nặng xuống và thả nó ra. Lúc đầu, nó chỉ dao động lên xuống, sau đó tự nó bắt đầu lắc lư sang hai bên, trong chốc lát thì dao động gần như hoàn toàn theo phương ngang, rồi lại quay trở lại phương thẳng đứng. Đáng ngạc nhiên là một dao động thẳng đứng hoàn toàn không ổn định.

Giải thích về hiệu ứng đáng chú ý này, cũng như tỷ lệ ma thuật T x:T y= 2: 1, thế là xong. Biểu thị bởi x và yđộ lệch của quả nặng khỏi vị trí cân bằng (trục y hướng lên trên). Với độ lệch như vậy, thế năng tăng lên bằng lượng

Đây là một công thức chính xác, nó phù hợp với mọi sai lệch lớn nhỏ. Nhưng nếu x và y nhỏ, ít hơn nhiều L, khi đó biểu thức gần bằng

cộng với các thuật ngữ khác có mức độ sai lệch thậm chí cao hơn. Số lượng U y và U x là thế năng thông thường mà từ đó có được dao động điều hòa theo phương thẳng đứng và phương ngang. Và đây là giá trị được đánh dấu bằng màu xanh lam Uxy là một chất phụ gia đặc biệt tạo ra sự tương tác giữa các dao động này. Do tương tác nhỏ này, dao động dọc ảnh hưởng đến dao động ngang và ngược lại. Điều này trở nên khá minh bạch nếu chúng ta thực hiện các phép tính sâu hơn và viết phương trình cho dao động ngang và dọc:

ký hiệu ở đâu

Nếu không có sự bổ sung màu xanh lam, chúng ta sẽ có các dao động độc lập thông thường theo chiều dọc và chiều ngang với tần số ωy và ω x. Phụ gia này đóng một vai trò động lực, bơm thêm rung động. Nếu tần số ωy và ω x là tùy ý, thì lực nhỏ này không dẫn đến bất kỳ tác dụng đáng kể nào. Nhưng nếu mối quan hệ ωy = 2ω x, cộng hưởng đặt ở: động lực cho cả hai dạng dao động đều chứa một thành phần cùng tần số với dao động riêng. Kết quả là, lực này dần dần nhưng đều đặn tạo ra một loại dao động và triệt tiêu một loại dao động khác. Đây là cách các dao động ngang và dọc truyền vào nhau.

Những vẻ đẹp bổ sung phát sinh nếu, trong ví dụ này, chiều thứ ba được tính đến một cách trung thực. Chúng ta giả sử rằng quả nặng có thể nén lò xo theo phương thẳng đứng và dao động như một con lắc theo hai phương ngang. Sau đó, khi điều kiện cộng hưởng được đáp ứng, khi nhìn từ trên xuống, trọng lượng sẽ viết ra một quỹ đạo hình sao, ví dụ như trong Hình. 3. Điều này xảy ra bởi vì mặt phẳng dao động không bất động, mà quay - nhưng không trơn tru, nhưng như thể đang nhảy. Miễn là dao động đi từ bên này sang bên kia, mặt phẳng này ít nhiều được giữ lại, và sự quay đầu xảy ra trong khoảng thời gian ngắn đó khi dao động dao động gần như thẳng đứng. Chúng tôi mời độc giả tự suy nghĩ lý do của hành vi này là gì và điều gì quyết định góc quay của máy bay. Và những ai muốn lao đầu vào nhiệm vụ khá sâu sắc này có thể xem qua bài viết Stepwise Precession of Resonant Swinging Spring, không chỉ cung cấp phân tích chi tiết về vấn đề mà còn nói về lịch sử của nó và mối liên hệ của vấn đề này với các phần vật lý, đặc biệt là vật lý nguyên tử.

Con lắc lò xo là hệ dao động gồm chất điểm có khối lượng m và lò xo. Xét một con lắc lò xo nằm ngang (Hình 13.12, a). Nó là một vật thể khổng lồ được khoan ở giữa và đặt trên một thanh ngang, dọc theo đó nó có thể trượt mà không có ma sát (một hệ thống dao động lý tưởng). Thanh được cố định giữa hai giá đỡ thẳng đứng. Một lò xo không trọng lượng được gắn vào cơ thể ở một đầu. Đầu kia của nó được cố định trên một giá đỡ, trong trường hợp đơn giản nhất là giá đỡ nằm yên so với hệ quy chiếu quán tính trong đó con lắc dao động. Tại thời điểm ban đầu, lò xo không bị biến dạng và vật ở vị trí cân bằng C. Nếu kéo hoặc nén lò xo ra khỏi trạng thái cân bằng thì từ mặt bên của lò xo không bị biến dạng xuất hiện một lực đàn hồi. tác dụng lên nó luôn hướng về vị trí cân bằng. Ta nén lò xo, đưa vật đến vị trí A rồi thả \ ((\ upsilon_0 = 0). \) Dưới tác dụng của lực đàn hồi, vật sẽ chuyển động nhanh dần. Trong trường hợp này, ở vị trí A, lực đàn hồi cực đại tác dụng lên vật, vì ở đây độ giãn tuyệt đối x m của lò xo là lớn nhất. Do đó, ở vị trí này, gia tốc là cực đại. Khi vật chuyển động đến vị trí cân bằng, độ giãn tuyệt đối của lò xo giảm, do đó gia tốc do lực đàn hồi truyền xuống giảm. Nhưng vì gia tốc trong quá trình chuyển động này cùng hướng với vận tốc nên vận tốc của con lắc tăng lên và ở vị trí cân bằng nó sẽ đạt cực đại. Khi đến vị trí cân bằng C, vật không dừng lại (mặc dù ở vị trí này lò xo không bị biến dạng và lực đàn hồi bằng không), nhưng có vận tốc thì nó sẽ chuyển động tiếp theo quán tính, làm lò xo dãn ra. Lực đàn hồi tạo ra bây giờ hướng vào chuyển động của cơ thể và làm nó chậm lại. Tại điểm D, vận tốc của cơ thể bằng 0 và gia tốc đạt cực đại, cơ thể sẽ dừng lại một lúc, sau đó, dưới tác dụng của lực đàn hồi, nó sẽ bắt đầu chuyển động ngược chiều, về vị trí cân bằng. Sau khi chuyển động một lần nữa theo quán tính, vật thể, nén lò xo và chuyển động chậm lại, sẽ đến điểm A (vì không có ma sát), tức là. thực hiện một cú xoay hoàn toàn. Sau đó, chuyển động của cơ thể sẽ được lặp lại theo trình tự đã mô tả. Vậy, nguyên nhân gây ra dao động tự do của con lắc lò xo là tác dụng của lực đàn hồi xuất hiện khi lò xo bị biến dạng và quán tính của vật.

Theo định luật Hooke \ (~ F_x = -kx. \) Theo định luật thứ hai của Newton \ (~ F_x = ma_x. \) Do đó, \ (~ ma_x = -kx. \) Do đó

\ (a_x = - \ frac (k) (m) x \) hoặc \ (a_x + - \ frac (k) (m) x = 0 \) - phương trình chuyển động của con lắc lò xo.

Chúng ta thấy rằng gia tốc tỷ lệ thuận với độ dịch chuyển và hướng ngược lại với nó. So sánh phương trình thu được với phương trình dao động điều hòa \ (~ a_x + \ omega ^ 2 x = 0, \) ta thấy con lắc lò xo thực hiện dao động điều hòa với tần số tuần hoàn \ (\ omega = \ sqrt \ frac (k) (m) \) Vì \ (T = \ frac (2 \ pi) (\ omega), \) thì

\ (T = 2 \ pi \ sqrt (\ frac (m) (k)) \) là chu kỳ dao động của con lắc lò xo.

Có thể dùng công thức tương tự để tính chu kỳ dao động của con lắc lò xo thẳng đứng (Hình 13.12. B). Thật vậy, ở vị trí cân bằng, do tác dụng của trọng lực, lò xo đã bị dãn một lượng x 0, được xác định bởi hệ thức \ (~ mg = kx_0. \) Khi con lắc lệch khỏi vị trí cân bằng O trên X phép chiếu lực đàn hồi \ (~ F "_ (ynpx) = -k (x_0 + x) \) và theo định luật II Newton \ (~ ma_x = -k (x_0 + x) + mg. \) Thay vào đây giá trị \ ( ~ kx_0 = mg, \) ta thu được phương trình chuyển động của con lắc \ (a_x + \ frac (k) (m) x = 0, \) trùng với phương trình chuyển động của con lắc nằm ngang.

Văn chương

Aksenovich L. A. Vật lý ở trường trung học: Lý thuyết. Nhiệm vụ. Kiểm tra: Proc. trợ cấp cho các tổ chức cung cấp chung. môi trường, giáo dục / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; Ed. K. S. Farino. - Mn: Adukatsia i vykhavanne, 2004. - S. 377-378.

1. Tác dụng vào vật một lực đàn hồi tỉ lệ thuận với độ dời của vật x khỏi vị trí cân bằng và luôn hướng về vị trí này.

2. Quán tính của một vật dao động điều hòa không dừng lại ở vị trí cân bằng (khi lực đàn hồi biến mất) mà tiếp tục chuyển động cùng chiều.

Biểu thức của tần số chu kỳ là:

trong đó w là tần số tuần hoàn, k là độ cứng của lò xo, m là khối lượng.

Công thức này cho thấy tần số của dao động tự do không phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và hoàn toàn được xác định bởi các đặc tính riêng của hệ dao động - trong trường hợp này là độ cứng k và khối lượng m.

Biểu thức này xác định chu kỳ dao động tự do của con lắc lò xo.

Kết thúc công việc -

Chủ đề này thuộc về:

Tốc độ di chuyển tốc độ trung bình trên mặt đất tốc độ tức thời / tốc độ lái xe

Động học điểm là một phần của động học nghiên cứu mô tả toán học về chuyển động của các chất điểm Nhiệm vụ chính của động học là .. nhiệm vụ chính của cơ học là xác định vị trí của một vật tại bất kỳ thời điểm nào .. chuyển động cơ học là sự thay đổi ở vị trí của một vật thể trong không gian theo thời gian so với các vật thể khác ..

Nếu bạn cần tài liệu bổ sung về chủ đề này, hoặc bạn không tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng tìm kiếm trong cơ sở dữ liệu về các tác phẩm của chúng tôi:

Chúng tôi sẽ làm gì với tài liệu nhận được:

Nếu tài liệu này hữu ích cho bạn, bạn có thể lưu nó vào trang của mình trên mạng xã hội:

Tất cả các chủ đề trong phần này:

Năng lượng sóng đàn hồi
vectơ mật độ thông lượng năng lượng của trường vật chất; về số lượng bằng năng lượng

Định luật Maxwell về sự phân bố của các phân tử theo vận tốc của chuyển động nhiệt
Định luật Maxwell được mô tả bởi một số hàm f (v), được gọi là hàm phân bố vận tốc của các phân tử. Nếu ta chia khoảng vận tốc của các phân tử thành những khoảng nhỏ bằng đv thì

Nhiệt
Nhiệt là một trong hai phương pháp truyền năng lượng mà khoa học tự nhiên hiện đại biết đến - một phương pháp truyền của chuyển động không có trật tự. Phần năng lượng được truyền đi gọi là nhiệt lượng.

Động cơ nhiệt và máy điện lạnh. Chu trình carnot
Chu trình Carnot là một chu trình nhiệt động lý tưởng. Động cơ nhiệt Carnot đang hoạt động