Lý thuyết ngắn gọn

Để so sánh định lượng các sự kiện theo mức độ khả năng xảy ra của chúng, một phép đo số được đưa ra, được gọi là xác suất của một sự kiện. Xác suất sự kiện ngẫu nhiên một số được gọi là biểu thức của thước đo khả năng xảy ra khách quan của một sự kiện.

Các giá trị xác định mức độ quan trọng là cơ sở khách quan để tính về sự xuất hiện của một sự kiện được đặc trưng bởi xác suất của sự kiện đó. Cần phải nhấn mạnh rằng xác suất là một đại lượng khách quan tồn tại độc lập với bộ nhận thức và được điều hòa bởi tổng các điều kiện góp phần vào sự xuất hiện của một sự kiện.

Những giải thích mà chúng tôi đã đưa ra cho khái niệm xác suất không định nghĩa toán học, vì họ không định nghĩa khái niệm này một cách định lượng. Có một số định nghĩa về xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên, được sử dụng rộng rãi trong việc giải các bài toán cụ thể (cổ điển, tiên đề, thống kê, v.v.).

Định nghĩa cổ điển xác suất sự kiện rút gọn khái niệm này thành một khái niệm cơ bản hơn về các sự kiện có thể xảy ra như nhau, không còn được định nghĩa và được cho là rõ ràng về mặt trực giác. Ví dụ, nếu xúc xắc là một khối đồng nhất, thì sự vỡ ra của bất kỳ mặt nào của khối này sẽ là các sự kiện có thể xảy ra như nhau.

Hãy để một sự kiện nhất định được chia thành các trường hợp có thể xảy ra như nhau, tổng của các trường hợp đó sẽ cho sự kiện đó. Có nghĩa là, các trường hợp mà từ đó nó bị phá vỡ, được gọi là thuận lợi cho sự kiện, vì sự xuất hiện của một trong số chúng đảm bảo sự phản cảm.

Xác suất của một sự kiện sẽ được biểu thị bằng ký hiệu.

Xác suất của một sự kiện bằng tỷ số giữa số trường hợp có lợi cho nó, trong tổng số các trường hợp duy nhất, có thể xảy ra như nhau và không tương thích, với số lượng, tức là

Đây là định nghĩa cổ điển của xác suất. Do đó, để tìm xác suất của một biến cố, sau khi xem xét các kết quả khác nhau của phép thử, cần tìm một tập hợp các trường hợp duy nhất có thể xảy ra, có thể có và có thể xảy ra không tương thích, tính tổng số n của chúng, số trường hợp m đó. ưu sự kiện này, và sau đó thực hiện phép tính theo công thức trên.

Xác suất của một biến cố bằng tỷ số của số sự kiện thuận lợi kết quả của kinh nghiệm trên tổng số kết quả của kinh nghiệm được gọi là xác suất cổ điển sự kiện ngẫu nhiên.

Các tính chất sau của xác suất tuân theo định nghĩa:

Tính chất 1. Xác suất của một biến cố nào đó bằng một.

Tính chất 2. Xác suất của biến cố không thể xảy ra bằng không.

Tính chất 3. Xác suất của một biến cố ngẫu nhiên là số dương giữa không và một.

Tính chất 4. Xác suất xảy ra các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh bằng một.

Tính chất 5. Xác suất xuất hiện biến cố ngược lại được xác định giống như xác suất xuất hiện biến cố A.

Số lần xuất hiện có lợi cho sự xuất hiện của sự kiện ngược lại. Do đó, xác suất của sự kiện ngược lại xảy ra bằng hiệu giữa sự thống nhất và xác suất của sự kiện A xảy ra:

Một ưu điểm quan trọng của định nghĩa cổ điển về xác suất của một sự kiện là với sự trợ giúp của nó, xác suất của một sự kiện có thể được xác định mà không cần dùng đến kinh nghiệm, mà dựa trên cơ sở suy luận logic.

Khi một tập hợp các điều kiện được đáp ứng, một sự kiện nhất định sẽ xảy ra, và điều không thể chắc chắn sẽ không xảy ra. Trong số các sự kiện, khi một phức hợp các điều kiện được tạo ra, có thể xảy ra hoặc có thể không xảy ra, sự xuất hiện của một số có thể được tính đến với nhiều lý do hơn, sự xuất hiện của những điều kiện khác với ít lý do hơn. Ví dụ, nếu có nhiều bi trắng trong bình hơn bi đen, thì có nhiều lý do để hy vọng sự xuất hiện của bi trắng khi lấy ngẫu nhiên ra khỏi bình hơn là về sự xuất hiện của bi đen.

Ví dụ giải pháp vấn đề

ví dụ 1

Một hộp chứa 8 bi trắng, 4 bi đen và 7 bi đỏ. 3 quả bóng được rút ra một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất của các biến cố sau: - rút ra được ít nhất 1 bi đỏ, - có ít nhất 2 bi cùng màu, - có ít nhất 1 bi đỏ và 1 bi trắng.

Giải pháp của vấn đề

Chúng tôi tìm thấy tổng số kết quả thử nghiệm là số kết hợp của 19 (8 + 4 + 7) phần tử của mỗi phần tử:

Tìm xác suất của một sự kiện- rút ra ít nhất 1 quả bóng màu đỏ (1,2 hoặc 3 quả bóng màu đỏ)

Xác suất yêu cầu:

Hãy để sự kiện- Có ít nhất 2 quả bóng cùng màu (2 hoặc 3 quả bóng trắng, 2 hoặc 3 quả bóng đen và 2 hoặc 3 quả bóng đỏ)

Số lượng kết quả ủng hộ sự kiện:

Xác suất yêu cầu:

Hãy để sự kiện- có ít nhất một màu đỏ và 1 Quả bóng trắng

(1 đỏ, 1 trắng, 1 đen hoặc 1 đỏ, 2 trắng hoặc 2 đỏ, 1 trắng)

Số lượng kết quả ủng hộ sự kiện:

Xác suất yêu cầu:

Câu trả lời: P (A) = 0,773; P (C) = 0,7688; P (D) = 0,6068

Ví dụ 2

Hai con xúc xắc được ném ra. Tìm xác suất để tổng các điểm ít nhất là 5.

Dung dịch

Gọi sự kiện có tổng điểm không nhỏ hơn 5

Hãy sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất:

Tổng số kết quả thử nghiệm có thể có

Số lượng thử nghiệm có lợi cho sự kiện mà chúng tôi quan tâm

Trên mặt rơi của con xúc xắc đầu tiên, một điểm, hai điểm ..., sáu điểm có thể xuất hiện. tương tự, sáu kết quả có thể xảy ra trong lần cuộn chết thứ hai. Mỗi kết quả của con súc sắc đầu tiên có thể được kết hợp với mỗi kết quả của con thứ hai. Do đó, tổng số kết quả cơ bản có thể có của bài kiểm tra bằng số vị trí có lặp lại (lựa chọn có vị trí của 2 phần tử từ tập 6):

Tìm xác suất của biến cố ngược lại - tổng điểm nhỏ hơn 5

Các tổ hợp điểm bị giảm sau đây sẽ có lợi cho sự kiện:

№

Xương thứ nhất

Xương thứ 2

1

1

1

2

1

2

3

2

1

4

3

1

5

1

3

Định nghĩa hình học của xác suất được trình bày và đưa ra lời giải của bài toán họp nổi tiếng.

Để so sánh một cách định lượng các sự kiện với nhau theo mức độ có thể xảy ra, rõ ràng cần phải gắn một con số nhất định với mỗi sự kiện, con số nào càng lớn thì sự kiện đó càng có khả năng xảy ra. Chúng tôi gọi con số này là xác suất của sự kiện. Bằng cách này, xác suất sự kiện là số đo mức độ có thể xảy ra khách quan của sự kiện này.

Định nghĩa đầu tiên của xác suất theo thời gian nên được coi là định nghĩa cổ điển, nảy sinh từ phân tích bài bạc và áp dụng một cách trực quan lúc đầu.

Phương pháp cổ điển để xác định xác suất dựa trên khái niệm về khả năng xảy ra như nhau và sự kiện không tương thích, là kết quả của trải nghiệm này và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích.

Phần lớn ví dụ đơn giản Các trường hợp tương tự có thể xảy ra và không tương thích tạo thành một nhóm hoàn chỉnh là sự xuất hiện của một hoặc một quả bóng khác từ một chiếc bình chứa nhiều quả bóng có cùng kích thước, trọng lượng và các đặc điểm hữu hình khác, chỉ khác về màu sắc, được trộn cẩn thận trước khi mang ra ngoài.

Do đó, một bài kiểm tra, các kết quả của chúng tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích và có khả năng xảy ra như nhau, được cho là được rút gọn thành một sơ đồ khối, hoặc một sơ đồ các trường hợp, hoặc phù hợp với sơ đồ cổ điển.

Tương đương và không sự kiện chung, tạo nên một nhóm hoàn chỉnh, sẽ đơn giản được gọi là cơ hội hoặc cơ hội. Hơn nữa, trong mỗi thí nghiệm, cùng với các trường hợp, các sự kiện phức tạp hơn có thể xảy ra.

Ví dụ: Khi ném xúc xắc, cùng với trường hợp A i - i điểm rơi vào mặt trên có thể được coi là sự kiện như B - mất số chẵnđiểm, C - mất số điểm, bội số của ba ...

Liên quan đến từng sự kiện có thể xảy ra trong quá trình thực hiện thử nghiệm, các trường hợp được chia thành thuận lợi, tại đó sự kiện này xảy ra, và không thuận lợi, tại đó sự kiện không xảy ra. Trong ví dụ trước, sự kiện B được ưu tiên bởi các trường hợp A 2, A 4, A 6; sự kiện C - trường hợp A 3, A 6.

xác suất cổ điển sự xuất hiện của một số sự kiện là tỷ lệ giữa số trường hợp thuận lợi cho việc xảy ra sự kiện này với Tổng số các trường hợp như nhau có thể xảy ra, không tương thích, tạo thành một nhóm hoàn chỉnh trong kinh nghiệm này:

ở đâu P (A)- xác suất xuất hiện của sự kiện A; m- số trường hợp thuận lợi cho sự kiện A; N là tổng số trường hợp.

Ví dụ:

1) (xem ví dụ ở trên) P (B)= , P (C) =.

2) Một bình đựng 9 quả cầu đỏ và 6 bi xanh. Tìm xác suất để một hoặc hai bi được rút ngẫu nhiên có màu đỏ.

NHƯNG- một quả bóng màu đỏ được rút ra một cách ngẫu nhiên:

m= 9, N= 9 + 6 = 15, P (A)=

B- hai quả bóng màu đỏ được rút ngẫu nhiên:

Các thuộc tính sau đây tuân theo định nghĩa cổ điển của xác suất (hãy tự hiển thị):

1) Xác suất của biến cố không thể xảy ra là 0;

2) Xác suất của một biến cố nào đó là 1;

3) Xác suất của bất kỳ sự kiện nào nằm trong khoảng từ 0 đến 1;

4) Xác suất của một sự kiện ngược lại với sự kiện A,

Định nghĩa cổ điển của xác suất giả định rằng số lượng kết quả của một thử nghiệm là hữu hạn. Tuy nhiên, trong thực tế, rất thường xuyên có các thử nghiệm, số lượng các trường hợp có thể xảy ra là vô hạn. Ngoài ra, điểm yếu của định nghĩa cổ điển là rất thường không thể biểu diễn kết quả thử nghiệm dưới dạng một tập hợp sự kiện sơ cấp. Thậm chí còn khó hơn để chỉ ra các cơ sở để coi các kết quả cơ bản của bài kiểm tra là có thể xảy ra như nhau. Thông thường, sự bình đẳng của các kết quả cơ bản của bài kiểm tra được kết luận từ các cân nhắc về tính đối xứng. Tuy nhiên, những nhiệm vụ như vậy là rất hiếm trong thực tế. Vì những lý do này, cùng với định nghĩa cổ điển của xác suất, các định nghĩa khác của xác suất cũng được sử dụng.

Xác suất thống kê sự kiện A là tần suất xuất hiện tương đối của sự kiện này trong các thử nghiệm được thực hiện:

xác suất xuất hiện của biến cố A là ở đâu;

Tần suất xuất hiện tương đối của sự kiện A;

Số lần thử nghiệm trong đó sự kiện A xuất hiện;

Tổng số thử nghiệm.

không giống xác suất cổ điển xác suất thống kê là một đặc điểm của một trải nghiệm, thử nghiệm.

Ví dụ: Để kiểm tra chất lượng sản phẩm của một lô, người ta chọn ngẫu nhiên 100 sản phẩm, trong đó có 3 sản phẩm bị lỗi. Xác định xác suất kết hôn.

.

Phương pháp thống kê xác định xác suất chỉ có thể áp dụng cho những sự kiện có các thuộc tính sau:

Các sự kiện đang được xem xét chỉ nên là kết quả của những thử nghiệm có thể được tái tạo không giới hạn số lần trong cùng một tập hợp các điều kiện.

Các sự kiện phải có tính ổn định thống kê (hoặc tính ổn định của các tần số tương đối). Điều này có nghĩa là trong các loạt thử nghiệm khác nhau, tần suất tương đối của sự kiện không thay đổi đáng kể.

Số lần thử dẫn đến sự kiện A phải đủ lớn.

Dễ dàng xác minh rằng các thuộc tính của xác suất, theo định nghĩa cổ điển, cũng được bảo toàn cho định nghĩa thống kê xác suất.

3) P (Æ) = 0.

Chúng tôi sẽ nói những gì được cho không gian xác suất, nếu không gian của các kết quả cơ bản9 được đưa ra và sự tương ứng

w i ® P (w i) = Pi.

Câu hỏi đặt ra: làm thế nào để xác định xác suất P (w i) của các kết quả cơ bản riêng lẻ từ các điều kiện cụ thể của vấn đề đang được giải quyết?

Định nghĩa cổ điển của xác suất.

Xác suất P (w i) có thể được tính bằng cách sử dụng phương pháp tiên nghiệm, bao gồm việc phân tích các điều kiện cụ thể của một thử nghiệm nhất định (trước khi chính thử nghiệm đó).

Có thể không gian của các kết quả cơ bản bao gồm số giới hạn N kết quả cơ bản, và một thử nghiệm ngẫu nhiên sao cho xác suất của mỗi kết quả trong số N kết quả cơ bản này dường như bằng nhau. Ví dụ về các thí nghiệm ngẫu nhiên như vậy: tung đồng xu đối xứng, ném xúc xắc thông thường, trích xuất ngẫu nhiên chơi bài từ bộ bài xáo trộn. Theo tiên đề đã giới thiệu, xác suất của mỗi

kết quả trong trường hợp này bằng N. Từ đó, nếu sự kiện A chứa N A kết quả cơ bản, thì theo định nghĩa (*)

P (A) = A

Trong loại tình huống này, xác suất của một sự kiện được định nghĩa là tỷ số giữa số kết quả thuận lợi trên tổng số tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Thí dụ. Từ một bộ gồm 10 đèn điện giống nhau, trong đó có 4 đèn bị lỗi, người ta chọn ngẫu nhiên 5 đèn. Xác suất để trong số các bóng đèn được chọn có 2 bóng hỏng là bao nhiêu?

Trước hết, chúng tôi lưu ý rằng việc lựa chọn năm loại đèn bất kỳ đều có xác suất như nhau. Tổng cộng, có C 10 5 cách để tạo ra năm cách như vậy, tức là, một thí nghiệm ngẫu nhiên trong trường hợp này có C 10 5 kết quả tương đương.

Có bao nhiêu kết quả thỏa mãn điều kiện “năm ngọn đèn có hai đèn khuyết”, tức là có bao nhiêu kết cục thuộc về sự kiện mà chúng ta quan tâm?

Mỗi năm chúng ta quan tâm có thể được cấu tạo như sau: chọn hai đèn khuyết tật, có thể thực hiện theo một số cách bằng C 4 2. Mỗi cặp đèn bị lỗi có thể xảy ra nhiều lần vì có nhiều cách để bổ sung cho nó ba đèn không bị lỗi, nghĩa là 6 3 lần. Nó chỉ ra rằng số fives chứa hai

Định nghĩa thống kê về xác suất.

Hãy xem xét một thí nghiệm ngẫu nhiên trong đó một con xúc xắc làm bằng vật liệu không đồng nhất được tung lên. Trọng tâm của nó không nằm trong tâm hình học. Trong trường hợp này, chúng ta không thể coi các kết quả (quay một, hai, v.v.) có thể xảy ra như nhau. Vật lý biết rằng xương sẽ rơi thường xuyên hơn trên khuôn mặt gần trọng tâm hơn. Làm thế nào để xác định xác suất nhận được, ví dụ, ba điểm? Điều duy nhất bạn có thể làm là ném con chết đó n lần (trong đó n là số đủ lớn, giả sử n = 1000 hoặc n = 5000), đếm số cuộn ba n 3 và tính xác suất của kết quả ba cuộn là n 3 / n - tần số tương đối của việc nhận được ba điểm. Tương tự, bạn có thể xác định xác suất của các kết quả cơ bản còn lại - một, hai, bốn, v.v. Về mặt lý thuyết, quá trình hành động này có thể được biện minh bằng cách giới thiệu định nghĩa thống kê của xác suất.

Xác suất P (M i) được định nghĩa là giới hạn của tần suất xuất hiện tương đối của kết quả M i trong quá trình tăng không giới hạn số thí nghiệm ngẫu nhiên n, nghĩa là

P i = P (M i) = lim m n (M i), n ® ¥ n

trong đó m n (M i) là số thí nghiệm ngẫu nhiên (trong tổng số n thí nghiệm ngẫu nhiên được thực hiện) trong đó sự xuất hiện của kết quả cơ bản M i được đăng ký.

Vì không có bằng chứng nào được đưa ra ở đây, chúng tôi chỉ có thể hy vọng rằng giới hạn trong công thức cuối cùng tồn tại, chứng minh cho hy vọng Trải nghiệm sống và trực giác.

xác suất hình học

Trong một trường hợp đặc biệt, chúng ta hãy xác định xác suất của một sự kiện cho một thử nghiệm ngẫu nhiên với một tập hợp các kết quả không thể đếm được.

Nếu sự tương ứng một-một có thể được thiết lập giữa tập hợp W của các kết quả cơ bản của một thử nghiệm ngẫu nhiên và tập hợp các điểm của một số hình phẳng S (sigma lớn), và sự tương ứng một-một cũng có thể được thiết lập giữa tập hợp các kết quả cơ bản có lợi cho sự kiện A và tập hợp các điểm của hình phẳng I (sigma nhỏ), là một phần của hình S, khi đó

P (A) = S,

với s là diện tích của hình s, S là diện tích của hình S.

Thí dụ. Hai người dùng bữa trưa trong phòng ăn mở cửa từ 12 giờ đến 13 giờ. Mỗi người trong số họ đến vào một thời điểm ngẫu nhiên và ăn trưa trong 10 phút. Xác suất để họ gặp nhau là bao nhiêu?

Gọi x là thời gian đến của người đầu tiên trong canteen, là thời gian đến của người thứ hai

£ 12 x £ 13; £ 12 năm £ 13.

Có thể thiết lập sự tương ứng 1-1 giữa tất cả các cặp số (x; y) (hoặc một tập hợp các kết quả) và tập hợp các điểm của một hình vuông có cạnh bằng 1, trên mặt phẳng tọa độ, trong đó điểm gốc tương ứng với số 12 trên trục X và trên trục Y, như được hiển thị trong Hình 6. Ví dụ: ở đây, điểm A tương ứng với kết quả mà điểm đầu tiên đến lúc 12h30 và điểm thứ hai - tại 13,00. Trong trường hợp này, rõ ràng

cuộc họp đã không diễn ra.

Nếu chiếc đầu tiên đến muộn hơn chiếc thứ hai (y ³ x), thì

cuộc họp sẽ xảy ra với điều kiện 0 £ y - x £ 1/6

(10 phút là 1/6 giờ).

Nếu chiếc thứ hai đến muộn hơn chiếc thứ nhất (x ³ y), thì

cuộc họp sẽ xảy ra với điều kiện 0 £ x - y £ 1/6.

Giữa nhiều kết quả thuận lợi

cuộc họp và tập hợp các điểm của khu vực được mô tả trên

Hình 7 ở dạng bóng mờ, bạn có thể cài đặt

một số này tương ứng với một số kia.

Xác suất mong muốn p bằng tỷ lệ diện tích

diện tích s thành diện tích cả hình vuông .. Diện tích hình vuông

bằng sự thống nhất và diện tích của vùng s có thể được định nghĩa là

sự khác biệt giữa một đơn vị và tổng diện tích của hai

hình tam giác được hiển thị trong Hình 7. Nó như sau:

p = 1 -

Không gian xác suất liên tục.

Như đã đề cập trước đó, tập hợp các kết quả cơ bản có thể nhiều hơn có thể đếm được (nghĩa là không thể đếm được). Trong trường hợp này, bất kỳ tập con nào của tập W không thể được coi là một sự kiện.

Để giới thiệu định nghĩa của một sự kiện ngẫu nhiên, hãy xem xét một hệ thống (hữu hạn hoặc có thể đếm được) gồm các tập con A 1, A 2, ... A n của không gian các kết quả cơ bản W.

Nếu thỏa mãn ba điều kiện: 1) W thuộc hệ thức này;

2) tư cách thành viên của A trong hệ thống này có nghĩa là tư cách thành viên của A trong hệ thống này;

3) tư cách thành viên của A i và A j trong hệ thống này có nghĩa là tư cách thành viên của A i U A j trong hệ thống này

một hệ thống các tập hợp con như vậy được gọi là một đại số.

Gọi W là một số không gian của các kết quả cơ bản. Đảm bảo rằng hai hệ thống tập hợp con là:

1) W, Æ; 2) W, A, A, Æ (ở đây A là tập con của W) là các đại số.

Cho A 1 và A 2 thuộc một số đại số. Chứng minh rằng A 1 \ A 2 và A 1 ∩ A 2 thuộc đại số này.

Một tập hợp con A của một tập hợp các kết quả cơ bản 9 không đếm được là một biến cố nếu nó thuộc về một số đại số.

Chúng ta hãy xây dựng một tiên đề có tên là A.N. Kolmogorov.

Mỗi sự kiện tương ứng với một số không âm P (A) không vượt quá một, được gọi là xác suất của sự kiện A, và hàm P (A) có các tính chất sau:

1) P (9) = 1

2) nếu các sự kiện A 1, A 2, ..., A n không tương thích, thì

P (A 1 U A 2 U ... U A n) \ u003d P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n)

Nếu cho không gian của các kết quả cơ bản W, đại số của các biến cố và hàm P được xác định trên đó thỏa mãn các điều kiện của tiên đề trên, thì chúng ta nói rằng không gian xác suất.

Định nghĩa này về không gian xác suất có thể được mở rộng cho trường hợp không gian hữu hạn kết quả cơ bản W. Khi đó, dưới dạng đại số, chúng ta có thể lấy hệ của tất cả các tập con của tập W.

Các công thức cộng xác suất.

Từ điểm 2 của tiên đề trên, ta thấy rằng nếu A 1 và A2 là các sự kiện không tương thích thì

P (A 1 U A 2) \ u003d P (A 1) + P (A 2)

Nếu A 1 và A 2 là các sự kiện chung thì A 1 U A 2 = (A 1 \ A 2) U A 2, và rõ ràng A 1 \ A 2 và A 2 là các sự kiện không tương thích. Điều này nghĩa là:

P (A 1 U A 2) = P (A1 \ A 2) + P (A2)

Hơn nữa, rõ ràng là: A 1 = (A1 \ A 2) U (A 1 ∩ A 2), và A1 \ A 2 và A 1 ∩ A 2 là các sự kiện không tương thích, do đó: P (A 1) = P ( A1 \ A 2) + P (A 1 ∩ A 2) Tìm biểu thức cho P (A1 \ A 2) từ công thức này và thay nó vào bên phải công thức (*). Kết quả là, chúng tôi nhận được công thức để thêm xác suất:

P (A 1 U A 2) = P (A 1) + P (A 2) –P (A 1 ∩ A 2)

Từ công thức cuối cùng, có thể dễ dàng thu được công thức cộng xác suất cho các sự kiện không tương thích bằng cách đặt A 1 ∩ A 2 = Æ.

Thí dụ. Tìm xác suất để rút được một con át hoặc một bộ quân bằng cách chọn ngẫu nhiên một quân từ bộ bài 32 quân.

P (ACE) \ u003d 4/32 \ u003d 1/8; P (HEART SUIT) \ u003d 8/32 \ u003d 1/4;

P (ACE OF HEARTS) = 1/32;

P ((ACE) U (PHÙ HỢP VỚI TRÁI TIM)) \ u003d 1/8 + 1/4 - 1/32 \ u003d 11/32

Kết quả tương tự có thể đạt được bằng cách sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất bằng cách đếm số lượng các kết quả thuận lợi.

Xác suất có điều kiện.

Hãy xem xét nhiệm vụ. Trước khi thi, một học sinh đã học được các vé có số từ 1 đến 5 và từ 26 đến 30 trong tổng số 30. Biết rằng một học sinh đã rút được một vé có số không quá 20. Trong giờ thi, xác suất để sinh viên rút ra một vé đã học?

Hãy xác định không gian của các kết quả cơ bản: W = (1,2,3, ..., 28,29,30). Giả sử sự kiện A là học sinh rút ra một vé đã học: A = (1, ..., 5,25, ..., 30,) và biến cố B là học sinh rút ra một vé từ hai mươi đầu tiên: B = (1,2,3, ..., 20)

Sự kiện A ∩ B bao gồm năm kết quả: (1,2,3,4,5) và xác suất của nó là 5/30. Con số này có thể được biểu thị dưới dạng tích số của 5/20 và 20/30. Con số 20/30 là xác suất của biến cố B. Con số 5/20 có thể được coi là xác suất của sự kiện A, với điều kiện là sự kiện B đã xảy ra (hãy ký hiệu nó là P (A / B)). Do đó, giải pháp cho vấn đề được xác định bởi công thức

P (A ∩ B) \ u003d P (A / B) P (B)

Công thức này được gọi là công thức nhân xác suất, và xác suất P (A / B) là xác suất có điều kiện của sự kiện A.

Ví dụ .. Từ một bình đựng 7 bi trắng và 3 bi đen, người ta lấy ngẫu nhiên lần lượt hai bi (không thay thế). Xác suất để quả bóng thứ nhất màu trắng và quả bóng thứ hai màu đen là bao nhiêu?

Gọi X là biến cố mà lần rút đầu tiên là một quả bóng trắng, và Y là biến cố mà lần rút thứ hai là một quả bóng đen. Khi đó X ∩ Y là biến cố quả bóng thứ nhất màu trắng và quả bóng thứ hai màu đen P (Y / X) = 3/9 = 1/3 là xác suất có điều kiện để quả bóng thứ hai rút được quả bóng đen nếu quả bóng trắng được vẽ đầu tiên. Xét rằng P (X) = 7/10, theo công thức nhân xác suất ta được: P (X ∩ Y) = 7/30

Sự kiện A được gọi là độc lập với sự kiện B (nói cách khác: sự kiện A và B được gọi là độc lập) nếu P (A / B) = P (A ). Đối với định nghĩa của các sự kiện độc lập, chúng ta có thể lấy hệ quả của công thức cuối cùng và công thức nhân

P (A ∩ B) \ u003d P (A) P (B)

Hãy tự chứng minh rằng nếu A và B - sự kiện độc lập, thì A và B cũng là các sự kiện độc lập.

Ví dụ: Hãy xem xét một bài toán tương tự như bài trước, nhưng với một điều kiện bổ sung: sau khi vẽ quả bóng đầu tiên, hãy nhớ màu của nó và đưa quả bóng trở lại bình, sau đó chúng ta trộn tất cả các quả bóng lại. Trong trường hợp này, kết quả của lần chiết thứ hai không phụ thuộc vào bất kỳ cách nào vào quả bóng - đen hay trắng - xuất hiện trong lần chiết đầu tiên. Xác suất để bi trắng xuất hiện trước (biến cố A) là 7/10. Xác suất của sự kiện B - sự xuất hiện của quả cầu đen thứ hai - là 3/10. Bây giờ công thức nhân cho: P (A ∩ B) = 21/100.

Trích xuất các quả bóng theo cách được mô tả trong ví dụ này được gọi là lấy với trả lại hoặc trả lại mẫu.

Cần lưu ý rằng nếu trong hai ví dụ cuối cùng, chúng ta đặt số lượng ban đầu của các quả bóng trắng và đen lần lượt bằng 7000 và 3000, thì kết quả tính toán các xác suất giống nhau sẽ có sự khác biệt nhỏ đối với các mẫu trả về và không thể thu hồi.

Định nghĩa cổ điển của xác suất.

Như đã đề cập ở trên, khi số lượng lớn N tần suất kiểm tra P * (A) = m / N sự xuất hiện của một sự kiện Một ổn định và cho giá trị gần đúng của xác suất của một sự kiện Một , I E. .

Trường hợp này cho phép chúng ta tìm xác suất xấp xỉ của một sự kiện theo kinh nghiệm. Trong thực tế, phương pháp tìm xác suất của một sự kiện không phải lúc nào cũng thuận tiện. Sau tất cả, chúng ta cần biết trước xác suất của một sự kiện nào đó, thậm chí trước cả khi trải nghiệm. Đây là vai trò tiên đoán, khám phá của khoa học. Trong một số trường hợp, xác suất của một sự kiện có thể được xác định trước khi thử nghiệm bằng cách sử dụng khái niệm khả năng tương đương của các sự kiện (hoặc khả năng tương đương).

Hai sự kiện được gọi là tương đương (hoặc đều có thể ), nếu không có lý do khách quan nào để tin rằng một trong số chúng có thể xảy ra thường xuyên hơn lý do khác.

Vì vậy, ví dụ, sự xuất hiện của quốc huy hoặc dòng chữ khi đồng xu được tung ra là những sự kiện tương đương.

Hãy xem xét một ví dụ khác. Hãy để họ ném một con xúc xắc. Do tính đối xứng của khối lập phương, chúng ta có thể giả định rằng sự xuất hiện của bất kỳ số nào 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6 như nhau có thể xảy ra (đều có thể xảy ra).

Sự phát triển trong mẫu trải nghiệm này nhóm đầy đủ nếu ít nhất một trong số chúng phải xảy ra do kết quả của thử nghiệm. Có, trong ví dụ cuối cùng một nhóm sự kiện hoàn chỉnh bao gồm sáu sự kiện - sự xuất hiện của các con số 1, 2, 3, 4, 5 và 6.

Rõ ràng là bất kỳ sự kiện nào Một và sự kiện đối lập của nó tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

Biến cố B gọi là thuận lợi Sự kiện Một nếu sự kiện xảy ra B kích hoạt một sự kiện Một . Vì thế nếu Một - sự xuất hiện của một số chẵn khi ném một con xúc xắc, sau đó sự xuất hiện của một số 4 đại diện cho một sự kiện thuận lợi cho sự kiện Một.

Hãy để các sự kiện trong thử nghiệm này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện có thể xảy ra như nhau và không tương thích theo cặp. Hãy gọi cho họ kết quả các bài kiểm tra. Giả sử rằng sự kiện Một ưu tiên kết quả kiểm tra. Khi đó xác suất của sự kiện Một trong thí nghiệm này được gọi là tỷ lệ. Vì vậy, chúng ta đến với định nghĩa tiếp theo.

Xác suất P (A) của một sự kiện trong một thử nghiệm nhất định là tỷ số giữa số kết quả của trải nghiệm có lợi cho sự kiện A trên tổng số kết quả có thể có của trải nghiệm tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích theo cặp có thể xảy ra như nhau: .

Định nghĩa xác suất này thường được gọi là cổ điển. Có thể chỉ ra rằng định nghĩa cổ điển thỏa mãn tiên đề xác suất.

Ví dụ 1.1. Một lô 1000 vòng bi. Tình cờ được vào đợt này 30 vòng bi không đạt tiêu chuẩn. Xác định xác suất P (A) thực tế là một ổ trục được lấy ngẫu nhiên sẽ là tiêu chuẩn.

Dung dịch: Số lượng vòng bi tiêu chuẩn là 1000-30=970 . Chúng tôi giả định rằng mỗi ổ trục có xác suất được chọn như nhau. Sau đó, toàn bộ nhóm sự kiện bao gồm các kết quả có thể xảy ra như nhau, trong đó sự kiện Một kết quả có lợi. Đó là lý do tại sao .

Ví dụ 1.2. trong bình 10 những quả bóng: 3 cát trắng 7 màu đen. Hai quả bóng được lấy ra khỏi bình cùng một lúc. Xác suất là gì R rằng cả hai quả bóng đều màu trắng?

Dung dịch: Số tất cả các kết quả có thể xảy ra như nhau của một thử nghiệm bằng với số cách 10 lấy ra hai quả bóng, tức là số lượng kết hợp từ 10 các yếu tố của 2 (nhóm đầy đủ các sự kiện):

Số lượng các kết quả thuận lợi (theo bao nhiêu cách có thể 3 bóng để chọn 2) : . Do đó, xác suất mong muốn .

Sắp tới, vấn đề này có thể được giải quyết theo một cách khác.

Dung dịch: Xác suất để một quả bóng trắng được rút ra trong lần thử đầu tiên (rút một quả bóng) bằng (tổng số quả bóng 10 , của họ 3 lòng trắng). Xác suất để ở lần thử thứ hai lại lấy ra một quả bóng trắng bằng (tổng số quả bóng đã trở thành 9, tại vì một cái đã được lấy ra, nó trở thành màu trắng 2, tại vì họ lấy ra cái màu trắng). Do đó, xác suất kết hợp các sự kiện bằng tích các xác suất của chúng, tức là .

Ví dụ 1.3. trong bình 2 màu xanh lá, 7 màu đỏ, 5 nâu và 10 bóng trắng. Xác suất xuất hiện quả cầu màu là bao nhiêu?

Dung dịch: Ta lần lượt tìm xác suất xuất hiện các quả bóng xanh, đỏ và nâu là :; ; . Vì các sự kiện đang xem xét rõ ràng là không tương thích, do đó, sử dụng tiên đề cộng, chúng tôi tìm thấy xác suất xuất hiện của một quả bóng màu:

Hoặc, theo một cách khác. Xác suất xuất hiện bóng trắng là. Sau đó, xác suất xuất hiện của một quả bóng không phải màu trắng (tức là có màu), tức là xác suất của sự kiện ngược lại bằng .

Định nghĩa hình học của xác suất. Để khắc phục nhược điểm của định nghĩa xác suất cổ điển (nó không thể áp dụng cho các phép thử có vô số kết quả), một định nghĩa hình học về xác suất được đưa ra - xác suất của một điểm rơi vào một khu vực (một đoạn, một phần của mặt phẳng , vân vân.).

Hãy để phân đoạn là một phần của phân đoạn. Một điểm được đặt ngẫu nhiên trên đoạn, có nghĩa là các giả thiết sau được đáp ứng: điểm đặt có thể ở bất kỳ điểm nào của đoạn, xác suất của một điểm rơi trên đoạn tỷ lệ với độ dài của đoạn này và không phụ thuộc vào vị trí của nó so với phân khúc. Theo các giả định này, xác suất của một điểm rơi trên một đoạn được xác định bằng đẳng thức

Các nguyên tắc cơ bản của lý thuyết xác suất

Kế hoạch:

1. Sự kiện ngẫu nhiên

2. Định nghĩa cổ điển về xác suất

3. Tính toán xác suất sự kiện và tổ hợp

4. xác suất hình học

Thông tin lý thuyết

Những sự kiện ngẫu nhiên.

hiện tượng ngẫu nhiên- một hiện tượng, kết quả của nó được xác định một cách rõ ràng. Khái niệm này có thể được hiểu theo nghĩa nghĩa rộng. Cụ thể: mọi thứ trong tự nhiên đều khá tình cờ, sự xuất hiện và ra đời của bất kỳ cá nhân nào là một hiện tượng ngẫu nhiên, việc lựa chọn hàng hóa trong cửa hàng cũng là một hiện tượng ngẫu nhiên, được điểm trong một kỳ thi là một hiện tượng ngẫu nhiên, ốm đau và hồi phục là ngẫu nhiên hiện tượng, v.v.

Ví dụ về các hiện tượng ngẫu nhiên:

~ Bắn từ một khẩu súng được lắp bên dưới góc cho trướcđến chân trời. Đánh trúng mục tiêu là tình cờ, nhưng trúng đạn trong một "ngã ba" nhất định là một mô hình. Bạn có thể chỉ định khoảng cách gần hơn và xa hơn mà đạn sẽ không bay. Nhận một số "sự phân tán nĩa của vỏ"

~ Cùng một cơ thể được cân nhiều lần. Nói một cách chính xác, các kết quả khác nhau sẽ nhận được mỗi lần, mặc dù khác nhau một lượng nhỏ không đáng kể, nhưng khác nhau.

~ Một máy bay bay cùng một tuyến đường có một hành lang bay nhất định mà máy bay có thể điều động, nhưng nó sẽ không bao giờ có cùng một tuyến đường

~ Một vận động viên sẽ không bao giờ có thể chạy cùng một quãng đường với cùng một thời gian. Kết quả của anh ta cũng sẽ nằm trong một phạm vi số nhất định.

Trải nghiệm, thử nghiệm, quan sát là thử nghiệm

Thử nghiệm- quan sát hoặc đáp ứng một tập hợp các điều kiện nhất định được thực hiện lặp đi lặp lại và thường xuyên lặp lại theo trình tự này và cùng một trình tự, khoảng thời gian, đồng thời quan sát các thông số giống hệt nhau khác.

Chúng ta hãy xem xét hiệu suất của vận động viên của một lần bắn vào mục tiêu. Để nó được sản xuất, cần phải đáp ứng các điều kiện như chuẩn bị của vận động viên, tải vũ khí, ngắm bắn, v.v. "Hit" và "miss" là các sự kiện do một lần bắn.

Biến cố- kết quả thử nghiệm định tính.

Sự kiện có thể xảy ra hoặc không thể xảy ra Sự kiện được biểu thị bằng chữ in hoa với các chữ cái Latinh. Ví dụ: D = "Người bắn trúng mục tiêu". S = "Bóng trắng được rút ra". K = "Lấy ngẫu nhiên vé số không đạt."

Tung đồng xu là một bài kiểm tra. Sự kiện rơi "quốc huy" là một sự kiện, sự kiện thứ hai rơi "số" của cô ấy.

Bất kỳ thử nghiệm nào liên quan đến sự xuất hiện của một số sự kiện. Một số trong số chúng có thể cần thiết khoảnh khắc này thời gian cho người nghiên cứu, những người khác là không cần thiết.

Sự kiện được gọi là ngẫu nhiên, nếu dưới việc thực hiện một số điều kiện nhất định S nó có thể xảy ra hoặc không xảy ra. Trong phần tiếp theo, thay vì nói "tập điều kiện S được đáp ứng", chúng ta sẽ nói ngắn gọn: "thử nghiệm đã được thực hiện." Như vậy, sự kiện sẽ được coi là kết quả của phép thử.

~ Người bắn sẽ bắn vào một mục tiêu được chia thành bốn khu vực. Cảnh quay là một bài kiểm tra. Đánh vào một khu vực nhất định của mục tiêu là một sự kiện.

~ Có các quả bóng màu trong lọ. Một quả bóng được rút ngẫu nhiên từ bình. Lấy một quả bóng ra khỏi bình là một thử nghiệm. Sự xuất hiện của quả bóng màu sắc nhất định- Sự kiện.

Các loại sự kiện ngẫu nhiên

1. Các sự kiện được cho là không tương thích nếu sự xuất hiện của một trong số chúng sẽ loại trừ sự xuất hiện của các sự kiện khác trong cùng một thử nghiệm.

~ Một bộ phận được lấy ngẫu nhiên từ một hộp có các bộ phận. Sự xuất hiện của một phần tiêu chuẩn loại trừ sự xuất hiện của một phần không tiêu chuẩn. Sự kiện € một phần tiêu chuẩn xuất hiện "và một phần không tiêu chuẩn xuất hiện" - không tương thích.

~ Một đồng xu được ném. Sự xuất hiện của "quốc huy" không bao gồm sự xuất hiện của dòng chữ. Các sự kiện "quốc huy xuất hiện" và "xuất hiện dòng chữ" là không tương thích với nhau.

Một số sự kiện hình thành nhóm đầy đủ, nếu ít nhất một trong số chúng xuất hiện do kết quả của thử nghiệm. Nói cách khác, sự xuất hiện của ít nhất một trong các sự kiện của nhóm hoàn chỉnh là một sự kiện nhất định.

Đặc biệt, nếu các sự kiện tạo thành một nhóm hoàn chỉnh không tương thích theo từng cặp, thì một và chỉ một trong các sự kiện này sẽ xuất hiện do kết quả của thử nghiệm này. trương hợp đặc biệtđại diện cho chúng tôi mối quan tâm lớn nhất, vì nó sẽ được sử dụng bên dưới.

~ Hai vé xổ số tiền và quần áo đã được mua. Một và chỉ một trong các sự kiện sau phải xảy ra:

1. "tiền thắng cược rơi vào tấm vé đầu tiên và không rơi vào tấm vé thứ hai",

2. "tiền thắng không rơi vào vé đầu tiên mà rơi vào vé thứ hai",

3. "tiền thắng cược rơi vào cả hai vé",

4. "cả hai vé đều không trúng thưởng."

Các sự kiện này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích theo từng cặp,

~ Người bắn đã bắn một phát vào mục tiêu. Một trong hai sự kiện sau chắc chắn xảy ra: trúng, trượt. Hai sự kiện rời rạc này cũng tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

2. Sự kiện được gọi là đều có thể nếu có lý do để tin rằng cái nào không khả thi hơn cái kia.

~ Sự xuất hiện của "quốc huy" và sự xuất hiện của dòng chữ khi đồng xu được tung ra là những sự kiện có thể xảy ra như nhau. Thật vậy, người ta cho rằng đồng xu được làm bằng chất liệu đồng nhất, có dạng hình trụ đều đặn, và sự hiện diện của một đồng tiền đúc không ảnh hưởng đến việc mất mặt này hay mặt khác của đồng xu.

~ Sự xuất hiện của một hoặc một số điểm khác trên một con xúc xắc được ném là một sự kiện có thể xảy ra như nhau. Thật vậy, người ta cho rằng con xúc xắc được làm bằng chất liệu đồng nhất, có hình dạng đa diện đều, và sự hiện diện của các điểm không ảnh hưởng đến việc rơi của bất kỳ mặt nào.

3. Sự kiện được gọi là thật, nếu nó không thể xảy ra

4. Sự kiện được gọi là không đáng tin cậy nếu nó không thể xảy ra.

5. Sự kiện được gọi là đối nghịchđối với một số sự kiện nếu nó bao gồm sự không xảy ra của sự kiện đã cho. Sự kiện đối lập không tương thích, nhưng một trong số chúng nhất thiết phải xảy ra. Các sự kiện đối lập thường được gọi là phủ định, tức là một dấu gạch ngang được viết phía trên chữ cái. Các biến cố trái dấu: A và Ā; U và Ū, v.v. .

Định nghĩa cổ điển của xác suất

Xác suất là một trong những khái niệm cơ bản của lý thuyết xác suất.

Có một số định nghĩa về khái niệm này. Hãy để chúng tôi đưa ra một định nghĩa được gọi là cổ điển. Tiếp theo, chúng tôi chỉ ra mặt yếu của định nghĩa này và chúng tôi đưa ra các định nghĩa khác cho phép chúng tôi khắc phục những thiếu sót của định nghĩa cổ điển.

Xét tình huống: Một hộp chứa 6 quả bóng giống nhau, 2 quả bóng màu đỏ, 3 quả bóng màu xanh và 1 quả bóng màu trắng. Rõ ràng, khả năng rút ngẫu nhiên một quả bóng màu (tức là đỏ hoặc xanh lam) từ một cái lọ lớn hơn khả năng vẽ một quả bóng trắng. Khả năng này có thể được đặc trưng bởi một con số, được gọi là xác suất của một sự kiện (sự xuất hiện của một quả bóng màu).

Xác suất- một con số đặc trưng cho mức độ có thể xảy ra của sự kiện.

Trong tình huống đang xem xét, chúng tôi biểu thị:

Sự kiện A = "Kéo ra một quả bóng màu".

Mỗi kết quả có thể có của bài kiểm tra (bài kiểm tra bao gồm việc lấy ra một quả bóng từ bình đựng) được gọi là kết quả và sự kiện cơ bản (có thể có). Kết quả cơ bản có thể được biểu thị bằng các chữ cái có chỉ số bên dưới, ví dụ: k 1, k 2.

Trong ví dụ của chúng ta, có 6 quả bóng, vì vậy có 6 kết quả có thể xảy ra: một quả bóng màu trắng xuất hiện; một quả bóng màu đỏ xuất hiện; một quả bóng màu xanh lam xuất hiện, vân vân. Dễ dàng nhận thấy rằng những kết quả này tạo thành một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích với nhau (chỉ có một quả bóng nhất thiết xuất hiện) và chúng có khả năng xảy ra như nhau (quả bóng được lấy ra một cách ngẫu nhiên, các quả bóng giống nhau và được trộn kỹ lưỡng).

Kết quả cơ bản, trong đó sự kiện mà chúng tôi quan tâm xảy ra, chúng tôi sẽ gọi kết quả thuận lợi sự kiện này. Trong ví dụ của chúng tôi, sự kiện được ưu tiên NHƯNG(sự xuất hiện của một quả bóng màu) 5 kết quả sau:

Do đó, sự kiện NHƯNGđược quan sát nếu một cái xuất hiện trong bài kiểm tra, bất kể cái nào, trong số các kết quả cơ bản có lợi cho NHƯNG.Đây là sự xuất hiện của bất kỳ quả bóng màu nào, trong đó có 5 miếng trong hộp

Trong ví dụ được xem xét về kết quả tiểu học 6; trong đó có 5 người ủng hộ sự kiện NHƯNG. Do đó, P (A) = 5/6. Con số này đưa ra định lượng về mức độ khả năng xuất hiện của một quả bóng màu.

Định nghĩa xác suất:

Xác suất của sự kiện A là tỷ lệ giữa số kết quả thuận lợi cho sự kiện này trên tổng số tất cả các kết quả sơ cấp không tương thích như nhau tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

P (A) = m / n hoặc P (A) = m: n, trong đó:

m là số kết quả cơ bản có lợi NHƯNG;

P- số lượng tất cả các kết quả cơ bản có thể có của bài kiểm tra.

Ở đây giả định rằng các kết quả cơ bản là không tương thích, có thể xảy ra như nhau và tạo thành một nhóm hoàn chỉnh.

Các thuộc tính sau đây tuân theo định nghĩa của xác suất:

1. Xác suất của một sự kiện nhất định bằng một.

Thật vậy, nếu sự kiện là đáng tin cậy, thì mỗi kết quả cơ bản của thử nghiệm sẽ ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này m = n do đó p = 1

2. Xác suất của một sự kiện không thể xảy ra bằng không.

Thật vậy, nếu sự kiện là không thể xảy ra, thì không có kết quả cơ bản nào của thử nghiệm ủng hộ sự kiện đó. Trong trường hợp này m = 0, do đó p = 0.

3.Xác suất của một sự kiện ngẫu nhiên là một số dương từ 0 đến 1. 0t< n.

Trong các chủ đề tiếp theo, các định lý sẽ được đưa ra cho phép, từ các xác suất đã biết của một số sự kiện, để tìm xác suất của các sự kiện khác.

Đo đạc. Có 6 nữ và 4 nam trong nhóm học sinh. Xác suất để một học sinh được chọn ngẫu nhiên là nữ là bao nhiêu? nó sẽ là một người đàn ông trẻ?

p dev = 6/10 = 0.6 p jun = 4/10 = 0.4

Khái niệm "xác suất" trong các khóa học chặt chẽ hiện đại của lý thuyết xác suất được xây dựng trên cơ sở lý thuyết tập hợp. Chúng ta hãy xem xét một số cách tiếp cận này.

Giả sử rằng kết quả của phép thử là một và chỉ một trong các sự kiện sau xảy ra: Wi(i = 1, 2, .... n). Sự phát triển Wi, được gọi là sự kiện sơ cấp (kết quả sơ cấp). O theo đó các sự kiện cơ bản không tương thích theo từng cặp. Tập hợp tất cả các sự kiện cơ bản có thể xuất hiện trong một thử nghiệm được gọi là không gian sự kiện sơ cấpΩ (chữ cái Hy Lạp viết hoa omega) và bản thân các sự kiện cơ bản - điểm trong không gian này..

Biến cố NHƯNGđược xác định với một tập hợp con (của không gian Ω) có các phần tử là kết quả cơ bản được ưu tiên NHƯNG; Sự kiện TẠI là một tập con Ω có các phần tử là kết quả có lợi TẠI, vv Vì vậy, tập hợp tất cả các sự kiện có thể xảy ra trong thử nghiệm là tập hợp tất cả các tập con của Ω. Bản thân Ω xảy ra với bất kỳ kết quả nào của thử nghiệm, do đó Ω là một sự kiện nhất định; một tập con trống của không gian Ω là một sự kiện -không thể xảy ra (nó không xảy ra đối với bất kỳ kết quả nào của phép thử).

Các sự kiện cơ bản được phân biệt với tất cả các sự kiện theo chủ đề, "mỗi sự kiện chỉ chứa một phần tử Ω

Đối với mọi kết quả cơ bản Wi khớp với một số dương số Pi là xác suất của kết quả này và tổng của tất cả số Pi bằng 1 hoặc bằng dấu của tổng, dữ kiện này sẽ được viết dưới dạng biểu thức:

Theo định nghĩa, xác suất P (A) sự phát triển NHƯNG bằng tổng xác suất của các kết quả sơ cấp có lợi NHƯNG. Do đó, xác suất của một sự kiện nhất định là bằng một, không thể - bằng không, tùy ý - nằm giữa không và một.

Chúng ta hãy xem xét một trường hợp cụ thể quan trọng, khi tất cả các kết quả đều có khả năng xảy ra như nhau. Số kết quả bằng n, tổng xác suất của tất cả các kết quả bằng một; do đó xác suất của mỗi kết quả là 1 / n. Hãy để sự kiện NHƯNGủng hộ kết quả m.

Xác suất sự kiện NHƯNG bằng tổng xác suất của các kết quả có lợi NHƯNG:

P (A) = 1 / n + 1 / n +… + 1 / n = n 1 / n = 1

Định nghĩa cổ điển của xác suất được lấy.

Ở đó vẫn còn tiên đề cách tiếp cận khái niệm "xác suất". Trong hệ thống các tiên đề đã đề xuất. Kolmogorov A.N., các khái niệm không xác định là sự kiện và xác suất cơ bản. Việc xây dựng một lý thuyết xác suất hoàn chỉnh về mặt logic dựa trên định nghĩa tiên đề về một sự kiện ngẫu nhiên và xác suất của nó.

Dưới đây là các tiên đề xác định xác suất:

1. Mọi sự kiện NHƯNGđã gán một số thực không âm P (A). Con số này được gọi là xác suất của biến cố. NHƯNG.

2. Xác suất của một sự kiện nhất định bằng một:

3. Xác suất xảy ra của ít nhất một trong các sự kiện không tương thích theo từng cặp bằng tổng xác suất của các sự kiện này.

Dựa trên các tiên đề này, các tính chất của xác suất cho mối quan hệ giữa chúng được suy ra như các định lý.