Fibonačijevi brojevi u prirodi i ljudskom životu. Fibonačijev zlatni omjer

Da li ste ikada čuli da matematiku nazivaju "kraljicom svih nauka"? Da li se slažete sa ovom izjavom? Sve dok vam matematika ostaje skup dosadnih zadataka u udžbeniku, teško da možete osjetiti ljepotu, svestranost, pa čak i humor ove nauke.

Ali postoje teme iz matematike koje pomažu da se napravi radoznala zapažanja o stvarima i pojavama koje su nam zajedničke. Pa čak i pokušati prodrijeti kroz veo misterije stvaranja našeg svemira. U svijetu postoje neobični obrasci koji se mogu opisati uz pomoć matematike.

Predstavljamo Fibonačijeve brojeve

Fibonačijevi brojevi imenuje elemente numerički niz. U njemu se svaki sljedeći broj u nizu dobija zbrajanjem dva prethodni brojevi.

Slijed uzoraka: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…

Možete to napisati ovako:

F 0 = 0, F 1 = 1, F n = F n-1 + F n-2, n ≥ 2

Možete započeti niz Fibonačijevih brojeva negativne vrijednosti n. Štaviše, niz je u ovom slučaju dvostran (tj. pokriva negativne i pozitivni brojevi) i teži beskonačnosti u oba smjera.

Primjer takvog niza: -55, -34, -21, -13, -8, 5, 3, 2, -1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 , 34, 55.

Formula u ovom slučaju izgleda ovako:

F n = F n+1 - F n+2 ili inače možete to učiniti ovako: F-n = (-1) n+1 Fn.

Ono što danas znamo kao "Fibonačijevi brojevi" bilo je poznato drevnim indijskim matematičarima mnogo pre nego što su korišćeni u Evropi. I sa ovim imenom, općenito, jedno solidno istorijska anegdota. Počnimo sa činjenicom da se sam Fibonači nikada nije nazivao Fibonačijem tokom svog života - ovo ime je počelo da se primenjuje na Leonarda iz Pize tek nekoliko vekova nakon njegove smrti. Ali hajde da pričamo o svemu po redu.

Leonardo iz Pize zvani Fibonači

Sin trgovca koji je postao matematičar, a potom je dobio priznanje svojih potomaka kao prvi veliki matematičar Evrope tokom srednjeg veka. Ne unutra posljednje skretanje zahvaljujući Fibonačijevim brojevima (koji se tada, podsećamo, još nisu tako zvali). u kojoj se nalazi početkom XIII vijeka opisao u svom djelu "Liber abaci" ("Knjiga o Abakusu", 1202).

Putujući sa svojim ocem na istok, Leonardo je studirao matematiku kod arapskih nastavnika (a u to vreme oni su se bavili ovim poslom, kao i mnogim drugim naukama, jednim od najbolji specijalisti). Radovi matematičara antike i drevna Indijačitao je u arapskim prijevodima.

Pošto je pravilno shvatio sve što je pročitao i povezao svoj radoznali um, Fibonači je napisao nekoliko naučnih rasprava o matematici, uključujući već pomenutu „Knjigu Abakusa”. Pored nje, kreirao je:

"Practica geometriae" ("Vježba geometrije", 1220);
"Flos" ("Cvijet", 1225 - studija o kubnim jednadžbama);
"Liber quadratorum" ("Knjiga kvadrata", 1225 - zadaci o neodređenim kvadratnim jednačinama).

Bio je veliki ljubitelj matematičkih turnira, pa je u svojim raspravama mnogo pažnje poklanjao analizi različitih matematičkih problema.

Malo se zna o Leonardovom životu. biografske informacije. Što se tiče imena Fibonači, pod kojim je ušao u istoriju matematike, ono mu je dodeljeno tek u 19. veku.

Fibonači i njegovi zadaci

Nakon što je Fibonacci otišao veliki broj problemi koji su bili veoma popularni među matematičarima u narednim vekovima. Razmotrit ćemo problem zečeva u čijem rješavanju se koriste Fibonačijevi brojevi.

Kunići nisu samo vrijedno krzno

Fibonači je postavio sledeće uslove: postoji par novorođenih zečeva (mužjak i ženka) tako zanimljive rase da redovno (počevši od drugog meseca) daju potomstvo - uvek jednog novi par zečevi. Također, kao što možete pretpostaviti, muško i žensko.

Ovi uvjetni zečevi smješteni su u zatvoreni prostor i entuzijastično se razmnožavaju. Također je propisano da nijedan zec ne ugine od neke misteriozne bolesti kunića.

Moramo izračunati koliko ćemo zečeva dobiti za godinu dana.

Početkom 1 mjeseca imamo 1 par zečeva. Na kraju mjeseca se pare.
Drugi mjesec - već imamo 2 para zečeva (par ima roditelje + 1 par - njihovo potomstvo).
Treći mjesec: Prvi par rađa novi par, drugi par se pari. Ukupno - 3 para zečeva.
Četvrti mesec: Prvi par rađa novi par, drugi par ne gubi vreme i takođe rađa novi par, treći par se tek pari. Ukupno - 5 pari zečeva.

Broj zečeva u n-th mjesec = broj parova zečeva iz prethodnog mjeseca + broj novorođenih parova (pre 2 mjeseca ima isti broj parova zečeva). A sve je to opisano formulom koju smo već dali gore: F n \u003d F n-1 + F n-2.

Tako dobijamo ponavljajuće (objašnjenje rekurzija- ispod) numerički niz. U kojoj je svaki sljedeći broj jednak zbroju prethodna dva:

1 + 1 = 2
2 + 1 = 3
3 + 2 = 5
5 + 3 = 8
8 + 5 = 13
13 + 8 = 21
21 + 13 = 34
34 + 21 = 55
55 + 34 = 89
89 + 55 = 144
144 + 89 = 233
233+ 144 = 377 <…>

Možete nastaviti niz dugo vremena: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987<…>. Ali pošto smo zacrtali precizan period - godinu dana, zanima nas rezultat dobijen na 12. "potezu". One. 13. član niza: 377.

Odgovor je u zadatku: 377 zečeva će se dobiti ako se ispune svi navedeni uslovi.

Jedno od svojstava Fibonačijevog niza je vrlo zanimljivo. Ako uzmemo dva uzastopna para iz reda i podijelimo više na manje, rezultat će se postepeno približavati zlatni omjer(Više o tome možete pročitati kasnije u članku).

jezikom matematike, „granica veze a n+1 to a n jednak zlatnom preseku.

Više problema u teoriji brojeva

Pronađite broj koji se može podijeliti sa 7. Također, ako ga podijelite sa 2, 3, 4, 5, 6, ostatak će biti jedan.
Nađi kvadratni broj. O njemu je poznato da ako mu dodate 5 ili oduzmete 5, opet ćete dobiti kvadratni broj.

Pozivamo vas da sami pronađete odgovore na ova pitanja. Možete nam ostaviti svoje opcije u komentarima na ovaj članak. A onda ćemo vam reći da li su vaši proračuni bili tačni.

Objašnjenje o rekurziji

rekurzija- definicija, opis, slika objekta ili procesa, koji sadrži sam predmet ili proces. To jest, u stvari, predmet ili proces je dio samog sebe.

Rekurzija nalazi široku primjenu u matematici i informatici, pa čak i u umjetnosti i popularnoj kulturi.

Fibonačijevi brojevi su definisani pomoću rekurentna relacija. Za broj n>2 n- e broj je (n - 1) + (n - 2).

Objašnjenje zlatnog preseka

zlatni omjer - podjela cjeline (npr. segmenta) na dijelove koji su u korelaciji prema sledeći princip: večina se odnosi na manji na isti način kao cijela vrijednost (na primjer, zbir dva segmenta) na veći dio.

Prvi spomen zlatnog preseka nalazi se u Euklidovoj raspravi "Počeci" (oko 300. godine pne). U kontekstu izgradnje pravilnog pravougaonika.

Pojam koji nam je poznat 1835. godine uveo je njemački matematičar Martin Ohm.

Ako opišete zlatni rez približno, to je proporcionalna podjela na dva nejednaka dijela: otprilike 62% i 38%. AT u brojčanom smislu zlatni rez je broj 1,6180339887 .

Zlatni rez nalazi praktična upotreba in likovne umjetnosti(slike Leonarda da Vinčija i drugih renesansnih slikara), arhitektura, kinematografija (Bojni brod Potemkin S. Ezensteina) i druge oblasti. Dugo se vjerovalo da je zlatni rez najestetskija proporcija. Ovaj pogled je i danas popularan. Iako, prema rezultatima istraživanja, vizualno, većina ljudi takvu proporciju ne doživljava kao najuspješniju opciju i smatra je previše izduženom (nesrazmjernom).

Dužina rezanja sa = 1, a = 0,618, b = 0,382.
Stav sa to a = 1, 618.
Stav sa to b = 2,618

Sada se vratimo na Fibonačijeve brojeve. Uzmite dva uzastopna člana iz njegovog niza. Podijelite veći broj manjim i dobijete otprilike 1,618. A sada upotrijebimo isti veći broj i sljedeći član serije (tj. još veći broj) - njihov omjer je ranih 0,618.

Evo primjera: 144, 233, 377.

233/144 = 1,618 i 233/377 = 0,618

Usput, ako pokušate napraviti isti eksperiment s brojevima s početka niza (na primjer, 2, 3, 5), ništa neće uspjeti. Skoro. Pravilo zlatnog omjera se gotovo ne poštuje za početak niza. Ali s druge strane, kako se krećete duž reda i brojevi se povećavaju, radi dobro.

A da bi se izračunao čitav niz Fibonačijevih brojeva, dovoljno je poznavati tri člana niza koji slijede jedan za drugim. Vidite sami!

Zlatni pravougaonik i Fibonačijeva spirala

Još jedna zanimljiva paralela između Fibonačijevih brojeva i zlatnog preseka omogućava nam da nacrtamo takozvani "zlatni pravougaonik": njegove strane su povezane u proporciji 1,618 prema 1. Ali mi već znamo šta je broj 1,618, zar ne?

Na primjer, uzmimo dva uzastopna člana Fibonačijevog niza - 8 i 13 - i napravimo pravougaonik sa sledeće parametre: širina = 8, dužina = 13.

I onda razbijemo veliki pravougaonik na manje. Obavezni uslov: dužine stranica pravougaonika moraju odgovarati Fibonačijevim brojevima. One. dužina stranice većeg pravougaonika treba da bude jednak zbiru stranice dva manja pravougaonika.

Način na koji je to urađeno na ovoj slici (radi pogodnosti, brojke su potpisane latiničnim slovima).

Usput, možete graditi pravokutnike obrnutim redosledom. One. počnite graditi od kvadrata sa stranom 1. Do kojih se, vodeći se gore navedenim principom, dovršavaju figure sa stranicama, jednaki brojevi Fibonacci. Teoretski, ovo se može nastaviti u nedogled - na kraju krajeva, Fibonačijev niz je formalno beskonačan.

Ako uglove pravokutnika dobijenih na slici spojimo glatkom linijom, dobićemo logaritamsku spiralu. Tačnije, ona poseban slučaj- Fibonačijeva spirala. Posebno se odlikuje činjenicom da nema granica i ne mijenja oblik.

Takva spirala se često nalazi u prirodi. Školjke mekušaca su jedna od njih jasnim primjerima. Štaviše, neke galaksije koje se mogu vidjeti sa Zemlje imaju spiralni oblik. Ako obratite pažnju na vremensku prognozu na TV-u, možda ste primijetili da cikloni imaju sličan spiralni oblik kada se fotografiraju sa satelita.

Zanimljivo je da spirala DNK također poštuje pravilo zlatnog presjeka - odgovarajući uzorak se može vidjeti u intervalima njegovih zavoja.

Takve zadivljujuće "slučajnosti" ne mogu a da ne uzbude umove i daju povoda za razgovor o nekom jedinstvenom algoritmu kojem se pokoravaju sve pojave u životu Univerzuma. Shvaćate li sada zašto se ovaj članak tako zove? I kakva vrata neverovatni svetovi može li vam se matematika otvoriti?

Fibonačijevi brojevi u prirodi

Veza između Fibonačijevih brojeva i zlatnog preseka sugeriše neobične obrasce. Toliko radoznalo da je primamljivo pokušati pronaći nizove slične Fibonaccijevim brojevima u prirodi, pa čak i tokom istorijskih događaja. I priroda zaista daje povoda za takve pretpostavke. Ali može li se sve u našem životu objasniti i opisati uz pomoć matematike?

Primjeri divljih životinja koje se mogu opisati pomoću Fibonaccijeve sekvence:

redosled rasporeda listova (i grana) u biljkama - udaljenosti između njih su u korelaciji sa Fibonačijevim brojevima (filotaksija);

lokacija sjemenki suncokreta (sjemenke su raspoređene u dva reda spirala uvijenih u različitim smjerovima: jedan red je u smjeru kazaljke na satu, drugi u suprotnom smjeru);

lokacija ljuski borovih češera;
latice cvijeća;
ćelije ananasa;
omjer dužina falangi prstiju na ljudskoj ruci (približno) itd.

Problemi u kombinatorici

Fibonačijevi brojevi se široko koriste u rešavanju problema u kombinatorici.

Kombinatorika- ovo je grana matematike koja se bavi proučavanjem odabira određenog datog broja elemenata iz određenog skupa, nabrajanjem itd.

Pogledajmo primjere kombinatoričkih zadataka izračunatih za nivo srednja škola(izvor - http://www.problems.ru/).

Zadatak #1:

Lesha se penje uz merdevine od 10 stepenica. On skače ili jednu stepenicu ili dvije stepenice istovremeno. Na koliko načina se Lesha može popeti uz stepenice?

Broj načina na koje se Lesha može popeti stepenicama n korake, označiti i n. Otuda to slijedi a 1 = 1, a 2= 2 (na kraju krajeva, Lesha skače ili jedan ili dva koraka).

Takođe je dogovoreno da Lesha skače uz stepenice n > 2 stepenice. Pretpostavimo da je skočio dva koraka prvi put. Dakle, prema stanju problema, treba da preskoči još jedan n - 2 stepenice. Tada se opisuje broj načina da se završi uspon a n-2. A ako pretpostavimo da je Lesha prvi put skočio samo jednu stepenicu, tada ćemo opisati broj načina za završetak uspona kao a n–1.

Odavde dobijamo sljedeću jednakost: a n = a n–1 + a n–2(izgleda poznato, zar ne?).

Otkad znamo a 1 i a 2 i zapamtite da postoji 10 koraka prema stanju problema, izračunajte sve po redu a n: a 3 = 3, a 4 = 5, a 5 = 8, a 6 = 13, a 7 = 21, a 8 = 34, a 9 = 55, a 10 = 89.

Odgovor: 89 načina.

Zadatak #2:

Potrebno je pronaći broj riječi dužine 10 slova, koje se sastoje samo od slova "a" i "b" i ne smiju sadržavati dva slova "b" u nizu.

Označiti sa a n broj dugih riječi n slova koja se sastoje samo od slova "a" i "b" i ne sadrže dva slova "b" u nizu. znači, a 1= 2, a 2= 3.

U nizu a 1, a 2, <…>, a n svaki naredni pojam ćemo izraziti u terminima prethodnih. Dakle, broj riječi dužine n slova koja također ne sadrže udvostručeno slovo "b" i počinju slovom "a", ovo a n–1. I ako je riječ duga n slova počinju slovom "b", logično je da je sljedeće slovo u takvoj riječi "a" (uostalom, ne mogu biti dva "b" prema uslovu zadatka). Dakle, broj riječi dužine n slova u ovom slučaju, označena kao a n-2. I u prvom i u drugom slučaju, bilo koja riječ (dužine n - 1 i n - 2 slova) bez udvostručenog "b".

Uspjeli smo objasniti zašto a n = a n–1 + a n–2.

Hajde da izračunamo sada a 3= a 2+ a 1= 3 + 2 = 5, a 4= a 3+ a 2= 5 + 3 = 8, <…>, a 10= a 9+ a 8= 144. I dobijamo poznati Fibonačijev niz.

Odgovor: 144.

Zadatak #3:

Zamislite da postoji traka podijeljena na ćelije. Ide udesno i traje neograničeno. Postavite skakavca na prvu ćeliju trake. Na kojoj god ćeliji trake da se nalazi, može se kretati samo udesno: ili jednu ćeliju, ili dvije. Koliko ima načina da skakavac skoči s početka vrpce na n th ćelija?

Označimo broj načina na koje se skakavac kreće duž trake do n th ćelija kao a n. U ovom slučaju a 1 = a 2= 1. Takođe u n + 1-th ćelija iz koje skakavac može doći nćeliju, ili preskakanjem preko nje. Odavde n + 1 = a n – 1 + a n. Gdje a n = F n – 1.

odgovor: F n – 1.

Možete sami kreirati slične probleme i pokušati ih riješiti na časovima matematike sa svojim kolegama iz razreda.

Fibonačijevi brojevi u popularnoj kulturi

Naravno, takav neobična pojava, kao i Fibonačijevi brojevi, ne mogu a da ne privuku pažnju. Još uvijek postoji nešto privlačno, pa čak i misteriozno u ovom strogo provjerenom uzorku. Nije iznenađujuće da je Fibonačijev niz nekako "zasvijetlio" u mnogim radovima moderne masovna kulturaširok izbor žanrova.

Reći ćemo vam o nekima od njih. I pokušavaš više tražiti sebe. Ako ga pronađete, podijelite ga s nama u komentarima - i mi smo radoznali!

Fibonačijevi brojevi se spominju u bestseleru Dana Browna Da Vinčijev kod: Fibonačijev niz služi kao šifra pomoću koje glavni likovi knjige otvaraju sef.
AT Američki film 2009 "Gospodin Niko" u jednoj od epizoda, adresa kuće je dio Fibonačijevog niza - 12358. Osim toga, u drugoj epizodi protagonista treba da se javi telefonski broj, koji je u suštini isti, ali malo izobličen (dodatni broj iza broja 5) niz: 123-581-1321.
U TV seriji The Connection iz 2012., glavni lik, autističan dječak, može razaznati obrasce u događajima koji se dešavaju u svijetu. Uključujući i Fibonačijeve brojeve. I upravljajte ovim događajima i putem brojeva.
Programeri Java igara za mobilni telefoni Doom RPG postavio je tajna vrata na jedan od nivoa. Kod koji ga otvara je Fibonačijev niz.
2012. godine ruski rok bend Splin objavio je konceptualni album pod nazivom Illusion. Osma staza se zove "Fibonači". U stihovima vođe grupe Aleksandra Vasiljeva, niz Fibonačijevih brojeva je pretučen. Za svaki od devet uzastopnih članova postoji odgovarajući broj redova (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21):

0 Krenite na put

1 Kliknuo je jedan joint

1 Jedan rukav je zadrhtao

2 Sve, pozovite osoblje

Sve, pozovite osoblje

3 Zahtjev za kipuću vodu

Voz ide do rijeke

Voz ide u tajgu<…>.

limerik ( kratka pesma određeni oblik- obično pet stihova, sa određenom shemom rimovanja, komičnog sadržaja, u kojima se prvi i zadnji redak ponavljaju ili djelimično dupliraju) James Lyndon također koristi referencu na Fibonačijev niz kao duhovit motiv:

Gusta hrana Fibonačijevih žena

To je bilo samo u njihovu korist, nikako drugačije.

Supruge su težile, prema glasinama,

Svaki je kao prethodna dva.

Sažimanje

Nadamo se da smo vam danas uspjeli reći puno zanimljivih i korisnih stvari. Na primjer, sada možete tražiti Fibonačijevu spiralu u prirodi oko vas. Odjednom ćete vi moći da otkrijete „tajnu života, univerzuma i uopšte“.

Koristite formulu za Fibonačijeve brojeve kada rješavate probleme u kombinatorici. Možete graditi na primjerima opisanim u ovom članku.

stranice, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, obavezan je link na izvor.

1,6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576 2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374 8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766 7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788 0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963 1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364 8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221 2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788 3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053 1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710 1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834 7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764 8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115 8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131 7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596 1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175 3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093 9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264 7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149 9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362

Fibonačijevi brojevi i zlatni rezčine osnovu za razotkrivanje okolnog svijeta, konstruiranje njegovog oblika i optimalnog vizuelna percepcija osoba uz pomoć koje može osjetiti ljepotu i harmoniju.

Princip određivanja veličine zlatnog preseka je u osnovi savršenstva celog sveta i njegovih delova u njegovoj strukturi i funkcijama, njegova manifestacija se može videti u prirodi, umetnosti i tehnologiji. Doktrina zlatnog omjera nastala je kao rezultat istraživanja drevnih naučnika o prirodi brojeva.

Dokazi o korišćenju zlatnog preseka od strane antičkih mislilaca su dati u knjizi Euklidovih "Početaka", napisanoj još u 3. veku. BC, koji je koristio ovo pravilo za konstruiranje regularnih 5-kuta. Među Pitagorejcima se ova figura smatra svetom, jer je i simetrična i asimetrična. Pentagram je simbolizirao život i zdravlje.

Fibonačijevi brojevi

Čuvena knjiga Liber abaci italijanskog matematičara Leonarda iz Pize, koji je kasnije postao poznat kao Fibonači, objavljena je 1202. godine. U njoj naučnik prvi put daje obrazac brojeva, u nizu od kojih je svaki broj zbir od 2 prethodne cifre. Redoslijed Fibonačijevih brojeva je sljedeći:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, itd.

Naučnik je takođe naveo niz obrazaca:

Bilo koji broj iz niza, podijeljen sa sljedećim, bit će jednak vrijednosti koja teži 0,618. Štaviše, prvi Fibonačijevi brojevi ne daju takav broj, ali kako se krećete od početka niza, ovaj odnos će biti sve tačniji.

Ako broj iz serije podijelite s prethodnim, rezultat će težiti 1.618.

Jedan broj podijeljen sljedećim će pokazati vrijednost koja teži 0,382.

Primena veze i obrazaca zlatnog preseka, Fibonačijevog broja (0,618) može se naći ne samo u matematici, već iu prirodi, istoriji, arhitekturi i građevinarstvu i mnogim drugim naukama.

Za praktične svrhe, oni su ograničeni na približnu vrijednost od Φ = 1,618 ili Φ = 1,62. U zaokruženom procentu, zlatni omjer je podjela bilo koje vrijednosti u odnosu na 62% i 38%.

Istorijski gledano, podjela segmenta AB točkom C na dva dijela (manji segment AC i veći segment BC) prvobitno se zvala zlatni presjek, tako da je AC / BC = BC / AB vrijedilo za dužine segmenata. razgovor jednostavnim rečima, segment je podijeljen zlatnim presjekom na dva nejednaka dijela tako da se manji dio odnosi na veći, kao što je veći na cijeli segment. Kasnije je ovaj koncept proširen na proizvoljne veličine.

Broj Φ se također naziva zlatni broj.

Zlatni rez ima mnoga divna svojstva, ali osim toga, pripisuju mu se i mnoga izmišljena svojstva.

Sada detalji:

Definicija ZS je podjela segmenta na dva dijela u takvom odnosu da se veći dio odnosi na manji, kao što je njihov zbir (cijeli segment) prema većem.

To jest, ako uzmemo cijeli segment c kao 1, tada će segment a biti jednak 0,618, segment b - 0,382. Dakle, ako uzmemo građevinu, na primjer, hram izgrađen po principu ZS, onda će sa svojom visinom, recimo, 10 metara, visina bubnja sa kupolom biti 3,82 cm, a visina osnove zgrade će biti 6,18 cm (jasno je da su brojevi uzeti jednaki radi jasnoće)

A kakav je odnos između GL i Fibonačijevih brojeva?

Brojevi Fibonačijevog niza su:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Obrazac brojeva je da je svaki sljedeći broj jednak zbiru dva prethodna broja.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 itd.

a omjer susjednih brojeva približava se omjeru od 3S.
Dakle, 21:34 = 0,617, a 34:55 = 0,618.

To jest, u srcu ZS su brojevi Fibonačijevog niza.

Vjeruje se da je pojam "zlatni rez" uveo Leonardo da Vinci, koji je rekao "neka se niko, a da nije matematičar, ne usuđuje čitati moja djela" i pokazao proporcije ljudsko tijelo na svom čuvenom crtežu "Vitruvijski čovek". “Ako ljudsku figuru – najsavršeniju kreaciju Univerzuma – vežemo pojasom, a zatim izmjerimo udaljenost od pojasa do stopala, tada će se ova vrijednost odnositi na udaljenost od istog pojasa do vrha glave, kao čitava visina osobe do dužine od pojasa do stopala.”

Niz Fibonačijevih brojeva je vizuelno modeliran (materijalizovan) u obliku spirale.

A u prirodi 3S spirala izgleda ovako:

Istovremeno, spirala se promatra posvuda (u prirodi i ne samo):

Sjeme u većini biljaka je raspoređeno u spiralu
- Pauk plete mrežu u spiralu
- Uragan se vrti
- Uplašeno krdo irvasa se raspršuje u spiralu.
- Molekul DNK je uvrnut u dvostruku spiralu. Molekul DNK se sastoji od dvije vertikalno isprepletene spirale duge 34 angstrema i 21 angstrema široke. Brojevi 21 i 34 slijede jedan za drugim u Fibonaccijevom nizu.
- Embrion se razvija u obliku spirale
- Spiralna "kohlea u unutrašnjem uhu"
- Voda ide spiralno niz odvod
- Spiralna dinamika pokazuje razvoj ličnosti čoveka i njegovih vrednosti u spirali.
- I naravno, sama galaksija ima oblik spirale

Dakle, može se tvrditi da je sama priroda izgrađena na principu zlatnog presjeka, zbog čega se ova proporcija skladnije percipira ljudskim okom. Ne zahtijeva "popravljanje" ili dopunjavanje rezultirajuće slike svijeta.

Film. Božji broj. Nepobitni dokaz Boga; Broj Boga. Neosporni dokaz Boga.

Zlatne proporcije u strukturi molekula DNK

Sve informacije o fiziološke karakteristikeživa bića su pohranjena u mikroskopskoj molekuli DNK, čija struktura takođe sadrži zakon zlatnog preseka. Molekul DNK se sastoji od dvije vertikalno isprepletene spirale. Svaka od ovih spirala duga je 34 angstrema i široka 21 angstrem. (1 angstrom je stomilioniti dio centimetra).

21 i 34 su brojevi koji slijede jedan za drugim u nizu Fibonačijevih brojeva, odnosno omjer dužine i širine logaritamske spirale molekule DNK nosi formulu zlatnog presjeka 1: 1,618

Zlatni presek u strukturi mikrosvjetova

Geometrijski oblici nisu ograničeni samo na trokut, kvadrat, pet ili šesterokut. Ako ove figure na različite načine povežemo jedni s drugima, dobićemo novu trodimenzionalnost geometrijske figure. Primjeri za to su figure kao što su kocka ili piramida. Međutim, osim njih, postoje i druge trodimenzionalne figure u kojima se nismo morali susresti Svakodnevni život, a čija imena čujemo, možda prvi put. Među takvim trodimenzionalnim figurama može se navesti tetraedar (pravilna četverostrana figura), oktaedar, dodekaedar, ikosaedar itd. Dodekaedar se sastoji od 13 pentagona, a ikosaedar od 20 trouglova. Matematičari primjećuju da se ove figure matematički vrlo lako transformiraju, a njihova transformacija se odvija u skladu s formulom logaritamske spirale zlatnog presjeka.

U mikrokosmosu, trodimenzionalni logaritamski oblici izgrađeni prema zlatnim proporcijama su sveprisutni. Na primjer, mnogi virusi imaju trodimenzionalnost geometrijski oblik ikosaedar. Možda je najpoznatiji od ovih virusa Adeno virus. Proteinska ljuska Adeno virusa formirana je od 252 jedinice proteinskih ćelija raspoređenih u određenom nizu. U svakom uglu ikosaedra nalazi se 12 jedinica proteinskih ćelija u obliku pentagonalne prizme, a iz ovih uglova se protežu strukture nalik šiljcima.

Zlatni omjer u strukturi virusa prvi put je otkriven 1950-ih godina. naučnici sa londonskog Birkbeck Collegea A.Klug i D.Kaspar. 13 Polio virus je prvi pokazao logaritamsku formu. Utvrđeno je da je oblik ovog virusa sličan onom kod virusa Rhino 14.

Postavlja se pitanje kako virusi formiraju tako složene trodimenzionalne forme, čija struktura sadrži zlatni presjek, koji je prilično teško konstruirati čak i našim ljudskim umom? Otkrivač ovih oblika virusa, virolog A. Klug daje sljedeći komentar:

„Dr Kaspar i ja smo pokazali da je za sferni omotač virusa najoptimalniji oblik simetrija poput oblika ikosaedra. Ovaj redoslijed minimizira broj spojnih elemenata... Većina geodetskih hemisfernih kocki Buckminster Fullera izgrađena je na sličan način geometrijski princip. 14 Instalacija ovakvih kocki zahteva izuzetno preciznu i detaljnu šemu objašnjenja. Dok nesvjesni virusi sami grade tako složenu ljusku od elastičnih, fleksibilnih proteinskih ćelijskih jedinica.

Fibonačijevi brojevi... u prirodi i životu

Leonardo Fibonači je jedan od njih najveći matematičari Srednje godine. U jednom od svojih djela, Knjiga proračuna, Fibonacci je opisao indoarapski račun i prednosti njegove upotrebe u odnosu na rimski.

Definicija
Fibonačijevi brojevi ili Fibonačijev niz je numerički niz koji ima niz svojstava. Na primjer, zbir dva susjedna broja u nizu daje vrijednost sljedećeg (na primjer, 1+1=2; 2+3=5, itd.), što potvrđuje postojanje tzv. Fibonačijevih koeficijenata. , tj. konstantni odnosi.

Fibonačijev niz počinje ovako: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…

Potpuna definicija Fibonačijevih brojeva

3.

Svojstva Fibonačijevog niza

1. Omjer svakog broja prema sljedećem sve više teži 0,618 kako raste serijski broj. Omjer svakog broja prema prethodnom teži ka 1,618 (obrnuti prema 0,618). Broj 0,618 se zove (FI).

2. Kada se svaki broj podijeli sa sljedećim, kroz jedan se dobije broj 0,382; obrnuto - odnosno 2.618.

3. Odabirom odnosa na ovaj način dobijamo glavni skup Fibonačijevih koeficijenata: … 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.

5.

Odnos između Fibonačijevog niza i "zlatnog preseka"

Fibonačijev niz asimptotski (približava se sve sporije) teži nekom konstantnom omjeru. Međutim, ovaj omjer je iracionalan, odnosno radi se o broju s beskonačnim, nepredvidivim nizom decimalnih cifara u razlomku. Ne može se tačno izraziti.

Ako se bilo koji član Fibonačijevog niza podijeli s onim koji mu prethodi (na primjer, 13:8), rezultat će biti vrijednost koja fluktuira oko iracionalne vrijednosti od 1,61803398875 ... i nakon nekog vremena ili prekorači ili ne postigne to. Ali čak i nakon što smo potrošili Vječnost na to, nemoguće je tačno znati omjer, do posljednje decimale. Radi kratkoće, daćemo ga u obliku 1.618. Posebni nazivi za ovaj odnos počeli su da se daju čak i pre nego što ga je Luca Pacioli (srednjovekovni matematičar) nazvao Božanskom proporcijom. Među modernim nazivima su kao što su Zlatni omjer, Zlatna sredina i omjer rotirajućih kvadrata. Kepler je ovu relaciju nazvao jednim od "riznica geometrije". U algebri se obično označava grčkim slovom phi

Zamislimo zlatni presjek na primjeru segmenta.

Razmotrimo segment sa krajevima A i B. Neka tačka C podijeli segment AB tako da,

AC/CB = CB/AB ili

AB/CB = CB/AC.

Možete to zamisliti ovako: A––C–––B

Zlatni presjek je takva proporcionalna podjela segmenta na nejednake dijelove, pri čemu se cijeli segment odnosi na veći dio na isti način kao što se sam veći dio odnosi na manji; ili drugim riječima, manji dio je povezan s većim kao što je veći za sve.

Segmenti zlatnog preseka se izražavaju kao beskonačan iracionalni razlomak 0,618 ..., ako se AB uzme kao jedan, AC = 0,382 .. Kao što već znamo, brojevi 0,618 i 0,382 su koeficijenti Fibonačijevog niza.

Fibonačijeve proporcije i zlatni rez u prirodi i istoriji

10.

Važno je napomenuti da je Fibonači, takoreći, podsetio čovečanstvo na svoj niz. Poznavali su ga stari Grci i Egipćani. Zaista, od tada su obrasci opisani Fibonačijevim koeficijentima pronađeni u prirodi, arhitekturi, likovnoj umjetnosti, matematici, fizici, astronomiji, biologiji i mnogim drugim područjima. Prosto je neverovatno koliko se konstanti može izračunati korišćenjem Fibonačijevog niza i kako se njegovi termini pojavljuju u ogromnom broju kombinacija. Međutim, ne bi bilo pretjerano reći da ovo nije samo igra brojeva, već najvažniji matematički izraz. prirodne pojave od svih ikada otkrivenih.

11.

Donji primjeri pokazuju neke zanimljive primjene ovog matematičkog niza.

12.

1. Školjka je uvijena u spiralu. Ako ga rasklopite, dobit ćete dužinu nešto manju od dužine zmije. Mala školjka od deset centimetara ima spiralu dužine 35 cm. Oblik spiralno uvijene školjke privukao je pažnju Arhimeda. Činjenica je da je omjer mjerenja voluta ljuske konstantan i jednak 1,618. Arhimed je proučavao spiralu školjki i izveo jednačinu za spiralu. Spirala nacrtana ovom jednačinom naziva se njegovim imenom. Povećanje njenog koraka je uvek ujednačeno. Trenutno se Arhimedova spirala široko koristi u inženjerstvu.

2. Biljke i životinje. Čak je i Gete naglašavao sklonost prirode spiralnosti. Davno je uočen spiralni i spiralni raspored listova na granama drveća. Spirala je viđena u rasporedu sjemenki suncokreta, u šišarkama, ananasu, kaktusima itd. Zajednički rad botaničara i matematičara rasvijetlio je ove nevjerovatne prirodne pojave. Ispostavilo se da se u rasporedu listova na grani sjemenki suncokreta, šišarki, manifestuje Fibonačijev niz, a samim tim i zakon zlatnog preseka. Pauk vrti svoju mrežu u obliku spirale. Uragan se širi. Uplašeno krdo irvasa raspršuje se u spiralu. Molekul DNK je uvijen u dvostruku spiralu. Gete je spiralu nazvao "krivulja života".

Među travama pored puta raste neupadljiva biljka - cikorija. Pogledajmo to izbliza. Od glavnog stabla formirana je grana. Evo prvog lista. Proces vrši snažno izbacivanje u prostor, zaustavlja se, oslobađa list, ali je kraći od prvog, opet vrši izbacivanje u prostor, ali manje snage, oslobađa još manji list i ponovo izbacuje. Ako se prvi autlier uzme kao 100 jedinica, onda je drugi jednak 62 jedinice, treći je 38, četvrti je 24, i tako dalje. Dužina latica također podliježe zlatnom omjeru. U rastu, osvajanju svemira, biljka je zadržala određene proporcije. Njegovi impulsi rasta postepeno su se smanjivali proporcionalno zlatnom presjeku.

Gušter je živorodan. Kod guštera se na prvi pogled uočavaju proporcije koje su ugodne našem oku - dužina njegovog repa se odnosi na dužinu ostatka tijela 62 prema 38.

I u biljnom i u životinjskom svijetu, uporno se probija tendencija oblikovanja prirode – simetrija u odnosu na smjer rasta i kretanja. Ovdje se zlatni omjer pojavljuje u proporcijama dijelova okomitih na smjer rasta. Priroda je izvršila podjelu na simetrične dijelove i zlatne proporcije. U dijelovima se manifestira ponavljanje strukture cjeline.

Pjer Kiri je na početku našeg veka formulisao niz dubokih ideja simetrije. Tvrdio je da se ne može razmatrati simetrija bilo kojeg tijela bez uzimanja u obzir simetrije okruženje. Obrasci zlatne simetrije se manifestuju u energetskim prelazima elementarnih čestica, u strukturi nekih hemijskih jedinjenja, u planetarnim i svemirskim sistemima, u genskim strukturama živih organizama. Ovi obrasci, kao što je gore navedeno, nalaze se u strukturi pojedinačnih ljudskih organa i tijela u cjelini, a manifestiraju se i u bioritmima i funkcioniranju mozga i vizualnoj percepciji.

3. Prostor. Iz istorije astronomije je poznato da je I. Titius, nemački astronom iz 18. veka, koristeći ovaj niz (Fibonači) pronašao pravilnost i red u udaljenostima između planeta Sunčevog sistema.

Međutim, jedan slučaj koji je izgleda bio protivzakonito: nije bilo planete između Marsa i Jupitera. Fokusirano promatranje ovog područja neba dovelo je do otkrića asteroidnog pojasa. To se dogodilo nakon Ticijeve smrti u početkom XIX in.

Fibonačijev niz ima široku upotrebu: koristi se za predstavljanje arhitektonike i živih bića, i strukture koje je napravio čovjek i strukturu galaksija. Ove činjenice su dokaz nezavisnosti numeričke serije o uslovima njegovog ispoljavanja, što je jedan od znakova njegove univerzalnosti.

4. Piramide. Mnogi su pokušali da razotkriju tajne piramide u Gizi. Za razliku od drugih egipatskih piramida, ovo nije grobnica, već nerješiva zagonetka brojčanih kombinacija. Izuzetna inventivnost, vještina, vrijeme i trud arhitekata piramide, koji su iskoristili u izgradnji vječnog simbola, ukazuju na izuzetnu važnost poruke koju su željeli prenijeti budućim generacijama. Njihova era je bila pre-pismena, prehijeroglifska, a simboli su bili jedino sredstvo za beleženje otkrića. Ključ geometrijsko-matematičke tajne piramide u Gizi, koja je tako dugo bila misterija za čovječanstvo, zapravo su Herodotu dali hramski sveštenici, koji su ga obavijestili da je piramida izgrađena tako da površina svake njegovih lica bio je jednak kvadratu njegove visine.

Područje trougla

356 x 440 / 2 = 78320

kvadratna površina

280 x 280 = 78400

Dužina ivice osnove piramide u Gizi je 783,3 stope (238,7 m), visina piramide je 484,4 stopa (147,6 m). Dužina ivice osnove, podeljena sa visinom, dovodi do odnosa F=1,618. Visina od 484,4 stope odgovara 5813 inča (5-8-13) - ovo su brojevi iz Fibonačijevog niza. Ova zanimljiva zapažanja sugeriraju da je konstrukcija piramide zasnovana na proporciji F=1,618. Neki moderni naučnici imaju tendenciju da protumače da su ga stari Egipćani sagradili s jedinom svrhom da prenesu znanje koje su željeli sačuvati za buduće generacije. Intenzivna proučavanja piramide u Gizi pokazala su koliko je u to vrijeme bilo opsežno znanje iz matematike i astrologije. U svim unutrašnjim i vanjskim proporcijama piramide, broj 1.618 igra centralnu ulogu.

Piramide u Meksiku. Ne samo da su egipatske piramide građene u skladu sa savršenim proporcijama zlatnog omjera, isti fenomen je pronađen i u meksičkim piramidama. Nameće se ideja da su i egipatske i meksičke piramide podigli otprilike u isto vrijeme ljudi zajedničkog porijekla.

Ima ih mnogo više u svemiru nerazjašnjene misterije, od kojih su neki naučnici već uspjeli identificirati i opisati. Fibonačijevi brojevi i zlatni presek čine osnovu za razotkrivanje sveta oko nas, izgradnju njegovog oblika i optimalnu vizuelnu percepciju od strane čoveka, uz pomoć kojih može da oseti lepotu i harmoniju.

zlatni omjer

Zasniva se na teoriji proporcija i omjera podjela na segmente, koju je izradio antički filozof i matematičar Pitagora. Dokazao je da će kada se segment podijeli na dva dijela: X (manji) i Y (veći), omjer većeg i manjeg biti jednak omjeru njihovog zbira (cijelog segmenta):

Rezultat je jednačina: x 2 - x - 1=0, koji se rješava kao x=(1±√5)/2.

Ako uzmemo u obzir omjer 1/x, onda je on jednak 1,618…

Fibonačijevi brojevi

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, itd.

Naučnik je takođe naveo niz obrazaca:

Bilo koji broj iz niza, podijeljen sa sljedećim, bit će jednak vrijednosti koja teži 0,618. Štaviše, prvi Fibonačijevi brojevi ne daju takav broj, ali kako se krećete od početka niza, ovaj odnos će biti sve tačniji.
Ako broj iz serije podijelite s prethodnim, rezultat će težiti 1.618.
Jedan broj podijeljen sljedećim će pokazati vrijednost koja teži 0,382.

Primena veze i obrazaca zlatnog preseka, Fibonačijevog broja (0,618) može se naći ne samo u matematici, već iu prirodi, istoriji, arhitekturi i građevinarstvu i mnogim drugim naukama.

Arhimedova spirala i zlatni pravougaonik

Spirale, vrlo česte u prirodi, istraživao je Arhimed, koji je čak i izveo njenu jednačinu. Oblik spirale je zasnovan na zakonima zlatnog preseka. Kada se odmota, dobije se dužina na koju se mogu primijeniti proporcije i Fibonačijevi brojevi, povećanje koraka se odvija ravnomjerno.

Paralela između Fibonačijevih brojeva i zlatnog preseka se takođe može videti konstruisanjem "zlatnog pravougaonika" čije su stranice proporcionalne 1,618:1. Gradi se prelaskom iz većeg pravougaonika u manji tako da će dužine stranica biti jednake brojevima iz reda. Njegova konstrukcija se može izvesti obrnutim redoslijedom, počevši od kvadrata "1". Povezivanjem uglova ovog pravougaonika sa linijama u centru njihovog preseka, dobija se Fibonačijeva ili logaritamska spirala.

Istorija upotrebe zlatnih proporcija

Mnogi drevni arhitektonski spomenici Egipta izgrađeni su u zlatnim proporcijama: poznate Keopsove piramide i drugi. Ancient Greece bili su naširoko korišćeni u građevinarstvu arhitektonski objekti kao što su hramovi, amfiteatri, stadioni. Na primjer, takve proporcije korištene su u izgradnji drevnog hrama Partenona (Atina) i drugih objekata koji su postali remek-djela antičke arhitekture, pokazujući harmoniju zasnovanu na matematičkim obrascima.

U kasnijim stoljećima, interesovanje za zlatni rez je splasnulo, a obrasci su zaboravljeni, ali su se ponovo obnovili u renesansi, zajedno sa knjigom franjevačkog redovnika L. Pacioli di Borgo "Božanska proporcija" (1509). Uključivao je ilustracije Leonarda da Vinčija, koji je fiksirao novi naziv "zlatni presek". Takođe, naučno je dokazano 12 svojstava zlatnog preseka, a autor je govorio o tome kako se manifestuje u prirodi, u umetnosti i nazvao ga „principom izgradnje sveta i prirode“.

Vitruvian Man Leonardo

Crtež kojim je Leonardo da Vinci ilustrovao Vitruvijevu knjigu 1492. godine prikazuje lik čovjeka u 2 položaja sa rukama ispruženim u stranu. Figura je upisana u krug i kvadrat. Ovaj crtež se smatra kanonskim proporcijama ljudskog tijela (muško), koje je opisao Leonardo na osnovu njihovog proučavanja u raspravama rimskog arhitekte Vitruvija.

Centar tijela kao jednako udaljena tačka od krajeva ruku i nogu je pupak, dužina ruku je jednaka visini osobe, maksimalna širina ramena = 1/8 visine, udaljenost od vrha grudi do kose = 1/7, od vrha grudi do vrha glave = 1/6 itd.

Od tada se crtež koristi kao simbol koji pokazuje unutrašnju simetriju ljudskog tijela.

Termin "zlatni omjer" Leonardo je koristio za označavanje proporcionalnih odnosa u ljudskoj figuri. Na primjer, udaljenost od struka do stopala povezana je s istom udaljenosti od pupka do vrha glave na isti način kao i visina do prve dužine (od struka naniže). Ovaj proračun se radi slično kao omjer segmenata pri izračunavanju zlatnog omjera i teži ka 1,618.

Sve ove harmonične proporcije umjetnici često koriste za stvaranje lijepih i impresivnih djela.

Proučavanje zlatnog preseka u 16.-19. veku

Koristeći zlatni rez i Fibonačijeve brojeve, istraživački rad po pitanju proporcija traju više od jednog veka. Paralelno s Leonardom da Vincijem, njemački umjetnik Albrecht Dürer je također razvijao teoriju o pravilnim proporcijama ljudskog tijela. Za to je čak stvorio poseban kompas.

U 16. veku pitanje veze između Fibonačijevog broja i zlatnog preseka bilo je posvećeno radu astronoma I. Keplera, koji je prvi primenio ova pravila u botanici.

Novo "otkriće" čekalo je zlatni presek u 19. veku. uz objavljivanje "Estetičkog istraživanja" njemačkog naučnika profesora Zeisiga. On je te proporcije podigao do apsoluta i objavio da su univerzalne za sve prirodne pojave. Oni su uradili istraživanje veliki iznos ljudi, odnosno njihovih tjelesnih proporcija (oko 2 hiljade), zbog čega su izvučeni zaključci o statistički potvrđenim obrascima u omjerima razni dijelovi tijelo: dužina ramena, podlaktica, šaka, prstiju, itd.

Umjetnički predmeti (vaze, arhitektonske strukture), muzičkih tonova, veličine prilikom pisanja pjesama - Zeisig je sve to prikazao kroz dužine segmenata i brojeva, uveo je i pojam "matematička estetika". Nakon dobijanja rezultata, ispostavilo se da se dobija Fibonačijev niz.

Fibonačijev broj i zlatni rez u prirodi

U biljnom i životinjskom svijetu postoji tendencija formiranja u obliku simetrije, koja se promatra u smjeru rasta i kretanja. Podjela na simetrične dijelove u kojima se promatraju zlatne proporcije obrazac je svojstven mnogim biljkama i životinjama.

Priroda oko nas može se opisati Fibonačijevim brojevima, na primjer:

raspored listova ili grana bilo koje biljke, kao i udaljenosti, povezani su sa nizom datih brojeva 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 i tako dalje;
sjemenke suncokreta (ljuske na čunjevima, ćelije ananasa), raspoređene u dva reda u uvrnute spirale u različitim smjerovima;
omjer dužine repa i cijelog tijela guštera;
oblik jajeta, ako povučete liniju uslovno kroz njegov široki dio;
omjer veličine prstiju na ljudskoj ruci.

I naravno najviše zanimljivih oblika predstavljaju spiralne školjke puževa, šare na mreži, kretanje vjetra unutar uragana, dvostruka spirala u DNK i strukturi galaksija - svi oni uključuju niz Fibonačijevih brojeva.

Upotreba zlatnog preseka u umetnosti

Istraživači koji traže primjere upotrebe zlatnog presjeka u umjetnosti detaljno ispituju različite arhitektonske objekte i slike. Poznata su skulpturalna djela čiji su se tvorci držali zlatnih proporcija - statue olimpskog Zevsa, Apolona Belvedera i

Jedna od kreacija Leonarda da Vinčija - "Portret Mona Lize" - godinama je predmet istraživanja naučnika. Otkrili su da se kompozicija djela u potpunosti sastoji od "zlatnih trouglova", spojenih zajedno u pravilnu zvijezdu petougao. Sva da Vinčijeva djela dokaz su koliko je bilo duboko njegovo znanje o strukturi i proporcijama ljudskog tijela, zahvaljujući čemu je uspio uhvatiti nevjerovatno misteriozni osmijeh Mona Lize.

Zlatni rez u arhitekturi

Kao primjer, naučnici su proučavali remek-djela arhitekture stvorena prema pravilima "zlatnog preseka": Egipatske piramide, Panteon, Partenon, katedrala Notre Dame de Paris, Katedrala Svetog Vasilija itd.

Partenon - jedna od najlepših građevina u staroj Grčkoj (5. vek pre nove ere) - ima 8 stubova i 17 različite strane, odnos njegove visine i dužine stranica je 0,618. Izbočine na njegovim fasadama izrađene su prema "zlatnom rezu" (fotografija ispod).

Jedan od naučnika koji je izmislio i uspješno primijenio poboljšanje modularnog sistema proporcija za arhitektonske objekte (tzv. "modulor") bio je francuski arhitekta Le Corbusier. Modul se zasniva na mjernom sistemu koji je povezan s uslovnom podjelom na dijelove ljudskog tijela.

Ruski arhitekta M. Kazakov, koji je sagradio nekoliko stambenih zgrada u Moskvi, kao i zgrade Senata u Kremlju i Bolnicu Golitsin (danas 1. Klinika po N. I. Pirogovu), bio je jedan od arhitekata koji su koristili zakone u dizajn i konstrukcija o zlatnom rezu.

Primjena proporcija u dizajnu

U modnom dizajnu svi modni dizajneri prave nove slike i modele, uzimajući u obzir proporcije ljudskog tijela i pravila zlatnog omjera, iako po prirodi nemaju svi ljudi idealne proporcije.

Prilikom planiranja pejzažni dizajn i stvaranje voluminoznih parkovskih kompozicija uz pomoć biljaka (drveća i grmlja), fontana i malih arhitektonskih objekata, zakona " božanske proporcije". Uostalom, kompozicija parka treba biti usmjerena na stvaranje dojma na posjetitelja, koji će se moći slobodno kretati u njemu i pronaći kompoziciono središte.

Svi elementi parka su u takvim proporcijama da uz pomoć geometrijske strukture, međusobnog rasporeda, rasvjete i svjetla daju utisak harmonije i savršenstva na čovjeka.

Primjena zlatnog presjeka u kibernetici i tehnologiji

Zakoni zlatnog preseka i Fibonačijevi brojevi se manifestuju i u energetskim prelazima, u procesima koji se dešavaju sa elementarne čestice, konstituisanje hemijska jedinjenja, u svemirskim sistemima, u genskoj strukturi DNK.

Slični procesi se javljaju u ljudskom tijelu, manifestirajući se u bioritmovima njegovog života, u djelovanju organa, na primjer, mozga ili vida.

Algoritmi i obrasci zlatnih proporcija se široko koriste u modernoj kibernetici i informatici. Jedan od jednostavnih zadataka koji programeri početnici moraju riješiti je da napišu formulu i odrede zbir Fibonačijevih brojeva do određenog broja koristeći programske jezike.

Savremena istraživanja teorije zlatnog preseka

Od sredine 20. veka interesovanje za probleme i uticaj zakona zlatnih proporcija na ljudski život drastično je poraslo, a od strane mnogih naučnika različitih profesija: matematičara, istraživača etnosa, biologa, filozofa, medicinskih radnika, ekonomista, muzičari itd.

Od 1970-ih u Sjedinjenim Državama izlazi The Fibonacci Quarterly, gdje se objavljuju radovi na ovu temu. U štampi se pojavljuju radovi u kojima se generalizovana pravila zlatnog preseka i Fibonačijevog niza koriste u različitim granama znanja. Na primjer, za kodiranje informacija, hemijska istraživanja, biološki itd.

Sve to potvrđuje zaključke antičkih i modernih naučnika da je zlatni rez višestrano povezan sa fundamentalnim pitanjima nauke i manifestuje se u simetriji mnogih kreacija i pojava sveta oko nas.

O brojevima i formulama koje se nalaze u prirodi. Pa, nekoliko riječi o tim istim brojevima i formulama.

Brojevi i formule u prirodi su kamen spoticanja između onih koji vjeruju u stvaranje svemira od strane nekoga i onih koji vjeruju u stvaranje svemira samo po sebi. Za pitanje: „Kada bi svemir nastao sam, zar ne bi praktično svi živi i neživi objekti bili izgrađeni po istoj shemi, prema istim formulama?“

Pa za ovo filozofsko pitanje ovdje nećemo odgovarati (format stranice nije isti 🙂), ali ćemo iznijeti formule. I počnimo sa Fibonačijevim brojevima i Zlatnom spiralom.

Dakle, Fibonačijevi brojevi su elementi numeričkog niza u kojima je svaki naredni broj jednak zbiru prethodna dva broja. To jest, 0 +1=1, 1+1=2, 2+1=3, 3+2=5 i tako dalje.

Ukupno se dobija niz: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946

Još jedan primjer Fibonačijevog niza: 0, 2, 2, 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178 i tako dalje. Možete sami eksperimentisati 🙂

Kako se Fibonačijevi brojevi pojavljuju u prirodi? Veoma jednostavno:

Raspored listova u biljkama opisan je Fibonačijevim nizom. Sjemenke suncokreta, šišarke, latice cvijeta, ćelije ananasa su također raspoređene prema Fibonaccijevom nizu.
Dužine falangi ljudskih prstiju približno su iste kao i Fibonačijevi brojevi.
Molekul DNK se sastoji od dvije vertikalno isprepletene spirale duge 34 angstrema i 21 angstrema široke. Brojevi 21 i 34 slijede jedan za drugim u Fibonaccijevom nizu.

Uz pomoć Fibonačijevih brojeva možete izgraditi zlatnu spiralu. Dakle, nacrtajmo mali kvadrat sa stranicom od, recimo, 1. Zatim, sjetimo se škole. Koliko je 1 2 ? Ovo će biti 1. Dakle, nacrtajmo još jedan kvadrat pored prvog, zatvorimo. Sledeći, sledeći Fibonačijev broj je 2 (1+1). Šta je 2 2? Ovo će biti 4. Nacrtajmo još jedan kvadrat blizu prva dva kvadrata, ali sada sa stranicom 2 i površinom od 4. Sledeći broj je broj 3 (1+2). Kvadrat broja 3 je 9. Nacrtajte kvadrat sa stranicom 3 i površinom 9 pored već nacrtanih. Zatim imamo kvadrat sa stranicom 5 i površinom od 25, kvadrat sa stranicom 8 i površinom od 64, i tako dalje, beskonačno.

Vrijeme je za zlatnu spiralu. Povežimo granične tačke između kvadrata glatkom zakrivljenom linijom. I dobićemo istu zlatnu spiralu, na osnovu koje se grade mnogi živi i neživi objekti u prirodi.

I prije nego pređemo na zlatni rez, razmislimo. Ovde smo izgradili spiralu na osnovu kvadrata Fibonačijevog niza (sekvenca 1, 1, 2, 3, 5, 8 i kvadrata 1, 1, 4, 9, 25, 64). Ali šta se događa ako ne koristimo kvadrate brojeva, već njihove kocke? Kocke će iz centra izgledati ovako:

A sa strane ovako:

Pa, kada se gradi spirala, ispada voluminozna zlatna spirala:

Ovako ova voluminozna zlatna spirala izgleda sa strane:

Ali šta ako ne uzmemo kocke Fibonačijevih brojeva, već odemo u četvrtu dimenziju?.. Ovo je zagonetka, zar ne?

Međutim, nemam pojma kako se volumetrijski zlatni rez manifestuje u prirodi na osnovu kocke Fibonačijevih brojeva, a još više brojeva do četvrtog stepena. Stoga se vraćamo na zlatni presek u avionu. Dakle, pogledajmo ponovo naše kvadrate. Matematički gledano, to izgleda ovako:

Odnosno, dobijamo zlatni omjer - gdje je jedna strana podijeljena na dva dijela u takvom omjeru da se manji dio odnosi na veći, kao što je veći na cijelu vrijednost.

To jest, a: b = b: c ili c: b = b: a.

Na osnovu takvog omjera veličina, između ostalog, grade se pravilan pentagon i pentagram:

Za referencu: da biste napravili pentagram, morate izgraditi pravilan pentagon. Način njegove izgradnje razvio je njemački slikar i grafičar Albrecht Dürer (1471…1528). Neka je O centar kružnice, A tačka na kružnici, a E središte segmenta OA. Okomita na poluprečnik OA, podignuta u tački O, seče se sa kružnicom u tački D. Koristeći šestar, označite segment CE = ED na prečniku. Dužina stranice pravilnog petougla upisanog u krug je DC. Odvajamo segmente DC na kružnici i dobivamo pet bodova za crtanje pravilnog petougla. Uglove pentagona spajamo kroz jednu dijagonalu i dobivamo pentagram. Sve dijagonale pentagona dijele se na segmente povezane zlatnim rezom.

Generalno, ovo su obrasci. Štaviše, postoji mnogo više različitih obrazaca nego što je opisano. A sada, nakon svih ovih dosadnih brojeva - obećani video klip, u kojem je sve jednostavno i jasno:

Kao što vidite, matematika je zaista prisutna u prirodi. I to ne samo u objektima navedenim u videu, već iu mnogim drugim područjima. Na primjer, kada val udari o obalu i izvije, on se uvije duž Zlatne spirale. Pa, i tako dalje 🙂