Που δίνει μια απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ. Η υπόθεση του Πουανκαρέ και η προέλευση του Σύμπαντος

Εικασία Poincareπου προβλήθηκε στις αρχές του 20ού αιώνα. Γάλλος μαθηματικόςΑνρί Πουανκαρέ. Για να το διατυπώσουμε, δίνουμε

Ορισμός. Τοπολογικός χώρος Χονομάζεται απλά συνδεδεμένο εάν είναι συνδεδεμένο με διαδρομή και οποιαδήποτε συνεχής αντιστοίχιση
Χκύκλους στο διάστημα Χμπορεί να συνεχίσει σε συνεχή εμφάνιση
όλος ο κύκλος
. Δεν είναι δύσκολο να δεις ότι η σφαίρα συνδέεται απλά στο n 2.

Η υπόθεση του Πουανκαρέ. Κάθε κλειστή, απλά συνδεδεμένη 3-πολλαπλότητα είναι ομοιομορφική σε μια 3-σφαίρα.

Αποδεικνύονται ανάλογα της εικασίας του Πουανκαρέ σχετικά με πολλαπλές διαστάσεων 4 ή περισσότερες. Επιπλέον, λαμβάνεται μια τοπολογική ταξινόμηση γενικά όλων των κλειστών απλά συνδεδεμένων τετραδιάστατων πολλαπλών.

Είναι ενδιαφέρον:Σχεδόν πριν από 100 χρόνια, ο Πουανκαρέ διαπίστωσε ότι η δισδιάστατη σφαίρα είναι απλά συνδεδεμένη και πρότεινε ότι η τρισδιάστατη σφαίρα είναι επίσης απλά συνδεδεμένη.

Με άλλα λόγια, η εικασία του Poincaré δηλώνει ότι κάθε απλά συνδεδεμένη κλειστή 3-πολλαπλή είναι ομοιομορφική σε μια 3-σφαίρα. Η εικασία διατυπώθηκε από τον Πουανκαρέ το 1904. Η γενικευμένη εικασία του Πουανκαρέ αναφέρει ότι για οποιαδήποτε nκάθε πολλαπλότητα της διάστασης n είναι ομοτοπία ισοδύναμη με μια σφαίρα διάστασης nαν και μόνο αν είναι ομοιομορφικό σε αυτό. Για διευκρίνιση, χρησιμοποιείται η ακόλουθη εικόνα: εάν τυλίξετε ένα μήλο με μια λαστιχένια ταινία, τότε, κατ 'αρχήν, τραβώντας την ταινία μαζί, μπορείτε να πιέσετε το μήλο σε ένα σημείο. Αν τυλίξετε ένα ντόνατ με την ίδια ταινία (μια πίτα με τρύπα στη μέση), τότε δεν μπορείτε να το σφίξετε σε σημείο χωρίς να σκίσετε ούτε το ντόνατ ούτε το λάστιχο. Σε αυτό το πλαίσιο, το μήλο ονομάζεται «μονοσυνδεδεμένο» σχήμα, αλλά το ντόνατ δεν συνδέεται απλώς.

Ο Ζυλ Ανρί Πουανκαρέ ανακάλυψε την ειδική θεωρία της σχετικότητας ταυτόχρονα με τον Αϊνστάιν (1905) και αναγνωρίζεται ως ένας από τους οι μεγαλύτεροι μαθηματικοίσε όλη την ιστορία της ανθρωπότητας.

Η υπόθεση του Πουανκαρέ παρέμεινε αναπόδεικτη καθ' όλη τη διάρκεια του εικοστού αιώνα. Στον μαθηματικό κόσμο, έχει αποκτήσει μια κατάσταση παρόμοια με αυτή του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά.

Για την απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ Ο Κλέι απένειμε βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων, το οποίο μπορεί να φαίνεται εκπληκτικό, αφού μιλαμεγια ένα πολύ ιδιωτικό, μη ενδιαφέρον γεγονός. Στην πραγματικότητα, για τους μαθηματικούς δεν είναι τόσο σημαντικές οι ιδιότητες της τρισδιάστατης επιφάνειας, αλλά το γεγονός ότι η ίδια η απόδειξη είναι δύσκολη. Σε αυτό το πρόβλημα, σε συμπυκνωμένη μορφή, διατυπώνεται αυτό που δεν μπορούσε να αποδειχθεί με τη βοήθεια προηγούμενων ιδεών και μεθόδων γεωμετρίας και τοπολογίας. Σας επιτρέπει να κοιτάξετε σε ένα βαθύτερο επίπεδο, σε αυτό το επίπεδο εργασιών που μπορούν να επιλυθούν μόνο με τη βοήθεια των ιδεών της «νέας γενιάς». Όπως και στην κατάσταση με το θεώρημα του Fermat, αποδείχθηκε ότι η εικασία Poincare είναι ειδική περίπτωσηΜια πολύ πιο γενική δήλωση σχετικά με τις γεωμετρικές ιδιότητες των αυθαίρετων τρισδιάστατων επιφανειών είναι η Εικασία Γεωμετροποίησης του Thurston. Επομένως, οι προσπάθειες των μαθηματικών δεν στράφηκαν στην επίλυση της συγκεκριμένης περίπτωσης, αλλά στην οικοδόμηση μιας νέας μαθηματικής προσέγγισης που μπορεί να αντιμετωπίσει τέτοια προβλήματα.

Ο Ρώσος μαθηματικός Grigory Perelman, υπάλληλος του Εργαστηρίου Γεωμετρίας και Τοπολογίας του St. V.A. Ο Στέκλοφ, ισχυρίζεται ότι απέδειξε την εικασία του Πουανκαρέ, δηλαδή έλυσε ένα από τα πιο διάσημα άλυτα μαθηματικά προβλήματα. Ασυνήθιστος ήταν ο τρόπος που επέλεξε ο Πέρελμαν να δημοσιεύσει τα στοιχεία του. Αντί να το δημοσιεύσετε σε συμπαγή επιστημονικό περιοδικό, το οποίο, παρεμπιπτόντως, ήταν προϋπόθεση για την απονομή του βραβείου ενός εκατομμυρίου δολαρίων, ο Perelman δημοσίευσε το έργο του σε ένα από τα αρχεία του Διαδικτύου. Αν και η απόδειξη χρειάστηκε μόνο 61 σελίδες, προκάλεσε αίσθηση στον επιστημονικό κόσμο.

Ο επιστημονικός κόσμος χειροκρότησε την ιδιοφυΐα, υποσχόμενος χρυσά βουνά και τιμητικούς τίτλους. Το American Clay Institute of Mathematics ήταν έτοιμο να του απονείμει βραβείο 1 εκατομμυρίου δολαρίων. Κανείς δεν αμφέβαλλε ότι το Παγκόσμιο Συνέδριο Μαθηματικών θα αποκαλούσε τον Πέρελμαν νικητή. Παρεμπιπτόντως, όπως γνωρίζετε, οι μαθηματικοί δεν είναι μεταξύ των επιστημόνων που βραβεύτηκαν βραβείο Νόμπελ. Οι κακές γλώσσες ισχυρίζονται ότι αυτό το γεγονός δεν είναι τυχαίο. Πράγματι, σύμφωνα με φήμες, ήταν ο μαθηματικός που έπεσε σε δυσμένεια με τον διάσημο Σουηδό Άλφρεντ Νόμπελ, έχοντας χτυπήσει την αγαπημένη του κοπέλα στα νιάτα του. Εν τω μεταξύ, ο Ρώσος ιδιοφυΐος αρνήθηκε ένα εκατομμύριο, χωρίς να δημοσιεύσει την ανακάλυψή του σε εξειδικευμένες εκδόσεις, και παραιτήθηκε από το Μαθηματικό Ινστιτούτο. Ο Steklov RAS, πήγε στην απομόνωση και, στην τελετή απονομής, την οποία παρουσίασε ο βασιλιάς της Ισπανίας Juan Carlos I, δεν εμφανίστηκε. Δεν αντέδρασε με κανέναν τρόπο στο μήνυμα για το βραβείο και την πρόσκληση να το παραλάβει, αλλά όπως λένε γνωστοί: η ιδιοφυΐα «μπήκε στα δάση» για να μαζέψει μανιτάρια κοντά στην Αγία Πετρούπολη.

Οι επιστήμονες πιστεύουν ότι ο 38χρονος Ρώσος μαθηματικόςΟ Γκριγκόρι Πέρελμαν πρότεινε τη σωστή λύση στο πρόβλημα του Πουανκαρέ. Ο Keith Devlin, καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ, το ανακοίνωσε στο Φεστιβάλ Επιστήμης του Έξετερ (Μεγάλη Βρετανία).

Το πρόβλημα (ονομάζεται επίσης πρόβλημα ή υπόθεση) του Πουανκαρέ είναι ένα από τα επτά πιο σημαντικά μαθηματικά προβλήματα, για την επίλυση καθενός από τα οποία Clay Mathematics Instituteόρισε έπαθλο ενός εκατομμυρίου δολαρίων. Αυτό τράβηξε τόσο μεγάλη προσοχή στα αποτελέσματα που έλαβε ο Grigory Perelman, υπάλληλος του Εργαστηρίου Μαθηματικής Φυσικής Παράρτημα Αγίας Πετρούπολης του Ινστιτούτου Μαθηματικών Steklov.

Οι επιστήμονες σε όλο τον κόσμο έμαθαν για τα επιτεύγματα του Perelman από δύο προεκτυπώσεις (άρθρα που προηγούνται μιας ολοκληρωμένης επιστημονικής δημοσίευσης) που δημοσιεύτηκαν από τον συγγραφέα τον Νοέμβριο του 2002και Μάρτιος 2003στην ιστοσελίδα του αρχείου προκαταρκτικών εργασιών Los Alamos Science Laboratory.

Σύμφωνα με τους κανόνες που υιοθέτησε η Επιστημονική Συμβουλευτική Επιτροπή του Ινστιτούτου Clay, μια νέα υπόθεση πρέπει να δημοσιευτεί σε εξειδικευμένο περιοδικό με «διεθνή φήμη». Επιπλέον, σύμφωνα με τους κανόνες του Ινστιτούτου, η απόφαση για την καταβολή του βραβείου λαμβάνεται τελικά από τη «μαθηματική κοινότητα»: η απόδειξη δεν πρέπει να αντικρούεται για δύο χρόνια μετά τη δημοσίευση. Η επαλήθευση κάθε απόδειξης γίνεται από μαθηματικούς στο διαφορετικές χώρεςειρήνη.

Πρόβλημα Πουανκαρέ

Το πρόβλημα Poincare ανήκει στο πεδίο της λεγόμενης τοπολογίας πολλαπλών - χώρων διατεταγμένων με ειδικό τρόπο και διαφορετικών διαστάσεων. Οι δισδιάστατες πολλαπλές μπορούν να οπτικοποιηθούν, για παράδειγμα, στο παράδειγμα της επιφάνειας τρισδιάστατων σωμάτων - μια σφαίρα (η επιφάνεια μιας μπάλας) ή ένας τόρος (η επιφάνεια ενός ντόνατ).

Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς τι θα συμβεί σε ένα μπαλόνι εάν παραμορφωθεί (λυγίσει, στρίψει, τραβήξει, συμπιεστεί, τσιμπήσει, ξεφουσκώσει ή φουσκώσει). Είναι σαφές ότι με όλες τις παραπάνω παραμορφώσεις, η μπάλα θα αλλάξει σχήμα σε μεγάλο εύρος. Ωστόσο, δεν θα μπορέσουμε ποτέ να μετατρέψουμε την μπάλα σε ντόνατ (ή το αντίστροφο) χωρίς να σπάσουμε τη συνέχεια της επιφάνειάς της, χωρίς δηλαδή να την σπάσουμε. Σε αυτή την περίπτωση, οι τοπολόγοι λένε ότι η σφαίρα (μπάλα) δεν είναι ομοιομορφική με τον τόρο (ντόνατ). Αυτό σημαίνει ότι αυτές οι επιφάνειες δεν μπορούν να αντιστοιχιστούν μεταξύ τους. ομιλία απλή γλώσσα, η σφαίρα και ο δακτύλιος διαφέρουν ως προς τις τοπολογικές τους ιδιότητες. Και η επιφάνεια ενός μπαλονιού, με όλες τις διάφορες παραμορφώσεις του, είναι ομοιομορφική με μια σφαίρα, όπως επίσης και η επιφάνεια ενός σωσίβιου είναι σε έναν τόρο. Με άλλα λόγια, κάθε κλειστή δισδιάστατη επιφάνεια χωρίς διαμπερείς οπές έχει τις ίδιες τοπολογικές ιδιότητες με μια δισδιάστατη σφαίρα.

Το πρόβλημα του Πουανκαρέ δηλώνει το ίδιο για τις τρισδιάστατες πολλαπλότητες (για τις δισδιάστατες πολλαπλότητες όπως η σφαίρα, αυτή η πρόταση αποδείχθηκε ήδη από τον 19ο αιώνα). Όπως σημείωσε ο Γάλλος μαθηματικός, μια από τις πιο σημαντικές ιδιότητες μιας δισδιάστατης σφαίρας είναι ότι κάθε κλειστός βρόχος (για παράδειγμα, ένα λάσο) που βρίσκεται πάνω της μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο χωρίς να φύγει από την επιφάνεια. Για έναν δακτύλιο, αυτό δεν ισχύει πάντα: ένας βρόχος που διέρχεται από την τρύπα του θα συρρικνωθεί σε ένα σημείο είτε όταν σπάσει ο δακτύλιος είτε όταν σπάσει ο ίδιος ο βρόχος. Το 1904, ο Poincaré υπέθεσε ότι εάν ένας βρόχος μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο σε μια κλειστή τρισδιάστατη επιφάνεια, τότε μια τέτοια επιφάνεια είναι ομοιομορφική σε μια τρισδιάστατη σφαίρα. Η απόδειξη αυτής της εικασίας αποδείχθηκε εξαιρετικά δύσκολη υπόθεση.

Ας διευκρινίσουμε αμέσως: η διατύπωση του προβλήματος Poincare που αναφέραμε δεν μιλάει καθόλου για μια τρισδιάστατη μπάλα, την οποία μπορούμε να φανταστούμε χωρίς ιδιαίτερη δυσκολία, αλλά για μια τρισδιάστατη σφαίρα, δηλαδή για την επιφάνεια του μια τετραδιάστατη μπάλα, που είναι ήδη πολύ πιο δύσκολο να φανταστεί κανείς. Αλλά στα τέλη της δεκαετίας του 1950, έγινε ξαφνικά σαφές ότι ήταν πολύ πιο εύκολο να δουλέψεις με πολλαπλές υψηλών διαστάσεων παρά με τρισδιάστατες και τετραδιάστατες. Προφανώς, η έλλειψη οπτικοποίησης απέχει πολύ από την κύρια δυσκολία που αντιμετωπίζουν οι μαθηματικοί στην έρευνά τους.

Ένα πρόβλημα που μοιάζει με Πουανκαρέ για διαστάσεις 5 και άνω επιλύθηκε το 1960 από τους Stephen Smale, John Stallings και Andrew Wallace. Οι προσεγγίσεις που χρησιμοποιήθηκαν από αυτούς τους επιστήμονες, ωστόσο, αποδείχθηκαν ανεφάρμοστες σε τετραδιάστατες πολλαπλές. Για αυτούς, το πρόβλημα του Πουανκαρέ αποδείχθηκε μόλις το 1981 από τον Michael Freedman. Η τρισδιάστατη υπόθεση αποδείχθηκε η πιο δύσκολη. την απόφασή του και προσφέρει τον Γκριγκόρι Πέρελμαν.

Να σημειωθεί ότι ο Πέρελμαν έχει αντίπαλο. Τον Απρίλιο του 2002, ο Martin Dunwoody, καθηγητής μαθηματικών στο Βρετανικό Πανεπιστήμιο του Σαουθάμπτον, πρότεινε τη δική του μέθοδο για την επίλυση του προβλήματος Poincaré και τώρα περιμένει μια ετυμηγορία από το Ινστιτούτο Clay.

Οι ειδικοί πιστεύουν ότι η λύση του προβλήματος του Πουανκαρέ θα επιτρέψει να κάνουμε ένα σοβαρό βήμα στη μαθηματική περιγραφή φυσικές διεργασίεςσε πολύπλοκα τρισδιάστατα αντικείμενα και θα δώσει νέα ώθηση στην ανάπτυξη της τοπολογίας υπολογιστών. Η μέθοδος που προτείνει ο Grigory Perelman θα οδηγήσει στην ανακάλυψη μιας νέας κατεύθυνσης στη γεωμετρία και την τοπολογία. Ένας μαθηματικός της Πετρούπολης μπορεί κάλλιστα να πληροί τις προϋποθέσεις για το βραβείο Fields (ένα ανάλογο του βραβείου Νόμπελ, το οποίο δεν απονέμεται στα μαθηματικά).

Εν τω μεταξύ, ορισμένοι βρίσκουν περίεργη τη συμπεριφορά του Γκριγκόρι Πέρελμαν. Ιδού τι γράφει η βρετανική εφημερίδα The Guardian: «Πιθανότατα, η προσέγγιση του Perelman για την επίλυση του προβλήματος του Poincaré είναι σωστή. Αλλά δεν είναι όλα τόσο απλά. Ο Perelman δεν παρέχει στοιχεία ότι το έργο δημοσιεύτηκε ως πλήρες επιστημονική δημοσίευση(οι προεκτυπώσεις δεν υπολογίζονται ως τέτοιες). Και αυτό είναι απαραίτητο εάν ένα άτομο θέλει να λάβει ένα βραβείο από το Ινστιτούτο Clay. Εξάλλου δεν δείχνει καθόλου ενδιαφέρον για τα χρήματα».

Προφανώς, για τον Grigory Perelman, όπως και για έναν πραγματικό επιστήμονα, τα χρήματα δεν είναι το κύριο πράγμα. Για την επίλυση οποιουδήποτε από τα λεγόμενα «προβλήματα της χιλιετίας», ένας αληθινός μαθηματικός θα πουλήσει την ψυχή του στον διάβολο.

Κινέζοι μαθηματικοί δημοσίευσαν μια πλήρη απόδειξη της εικασίας του Πουανκαρέ, που διατυπώθηκε το 1904, αναφέρει το πρακτορείο ειδήσεων Xinhua. Η υπόθεση σχετικά με την ταξινόμηση των πολυδιάστατων επιφανειών (ακριβέστερα, των πολλαπλών) ήταν ένα από τα «προβλήματα της χιλιετίας», για τη λύση του οποίου το Αμερικανικό Ινστιτούτο Πηλού πρόσφερε βραβείο ενός εκατομμυρίου δολαρίων.

Σύμφωνα με τον Πουανκαρέ, οποιαδήποτε κλειστή τρισδιάστατη «επιφάνεια χωρίς τρύπες» (μια απλά συνδεδεμένη πολλαπλή) ισοδυναμεί με μια τρισδιάστατη σφαίρα, δηλαδή την επιφάνεια μιας τετραδιάστατης σφαίρας. Ο ίδιος ο Poincare, ο συγγραφέας της μαθηματικής συσκευής της θεωρίας του Αϊνστάιν, παρουσίασε την πρώτη αιτιολόγηση, αλλά αργότερα ανακάλυψε ένα λάθος στο δικό του σκεπτικό. Η υπόθεση σε αυτή τη διατύπωση αποδείχθηκε το 2003 από τον Ρώσο μαθηματικό Γκριγκόρι Πέρελμαν, του οποίου η εργασία 70 σελίδων εξακολουθεί να ελέγχεται από ειδικούς. Άλλες περιπτώσεις (διαστάσεις τέσσερις και άνω) εξετάστηκαν νωρίτερα.

Σύμφωνα με τους συγγραφείς, το νέο άρθρο 300 σελίδων στο Asian Journal of Mathematics δεν είναι ανεξάρτητο και βασίζεται κυρίως στα αποτελέσματα του Perelman. Οι Zhu Xiping και Cao Huaidong ισχυρίζονται ότι έχουν πλέον εξαλείψει μια σειρά από δυσκολίες, τους τρόπους για να ξεπεράσουν τους οποίους ο Perelman μόλις είχε περιγράψει. Είναι γνωστό ότι στην εργασία για την απόδειξη συμμετείχε και ο Shing-Tun Yau, του οποίου τα τοπολογικά έργα (ιδιαίτερα η θεωρία των πολλαπλοτήτων Calabi-Yau) θεωρούνται βασικά για σύγχρονη θεωρίαχορδές. Το νέο έργο, λένε οι ειδικοί, θα απαιτήσει επίσης μακρύ έλεγχο.

Aleksandrov A.D., Netsvetaev N.Yu. Γεωμετρία. Μόσχα: Nauka, 1990

Παράρτημα στην περίληψη 2:

Ποια είναι η ουσία του θεωρήματος του Πουανκαρέ

1. Η Σοφία το απέδειξε στο Ε, και εδώ είναι και ΚΟΚΚΙΝΟ ....
2. Η ουσία είναι ότι το σύμπαν δεν είναι μια σφαίρα, αλλά ένα ντόνατ
3. Το νόημα της εικασίας Poincare στην αρχική του διατύπωση είναι ότι για οποιοδήποτε τρισδιάστατο σώμα χωρίς τρύπες υπάρχει ένας μετασχηματισμός που θα του επιτρέψει να μετατραπεί σε μπάλα χωρίς να κόβει και να κολλάει. Αν αυτό φαίνεται προφανές, τότε τι γίνεται αν ο χώρος δεν είναι τρισδιάστατος, αλλά περιέχει δέκα ή έντεκα διαστάσεις (δηλαδή, μιλάμε για μια γενικευμένη διατύπωση της υπόθεσης του Πουανκαρέ, την οποία απέδειξε ο Πέρελμαν)
4. δεν μπορώ να πω με 2 λέξεις
5. Το 1900, ο Πουανκαρέ υπέθεσε ότι μια τρισδιάστατη πολλαπλότητα με όλες τις ομάδες ομολογίας όπως αυτή μιας σφαίρας είναι ομοιομορφική με μια σφαίρα. Το 1904, βρήκε επίσης ένα αντιπαράδειγμα, που τώρα ονομάζεται σφαίρα Πουανκαρέ, και διατύπωσε την τελική εκδοχή της εικασίας του. Οι προσπάθειες να αποδειχθεί η εικασία του Πουανκαρέ οδήγησαν σε πολυάριθμες προόδους στην τοπολογία των πολλαπλών.

   Απόδειξη της γενικευμένης εικασίας Πουανκαρέ για το n #10878; Το 5 αποκτήθηκε στις αρχές της δεκαετίας 1960-1970 σχεδόν ταυτόχρονα από τον Smale, ανεξάρτητα και με άλλες μεθόδους από τον Stallings (Eng.) (για το n #10878; 7, η απόδειξή του επεκτάθηκε στις περιπτώσεις n = 5 και 6 από τον Zeeman (Eng. )) . Η απόδειξη είναι πολύ μεγαλύτερη δύσκολη υπόθεση n = 4 λήφθηκε μόνο το 1982 από τον Friedman. Από το θεώρημα του Novikov για την τοπολογική αναλλοίωτη των χαρακτηριστικών τάξεων του Pontryagin προκύπτει ότι υπάρχουν ομοτοπικά ισοδύναμες αλλά όχι ομοιομορφικές πολλαπλότητες σε υψηλές διαστάσεις.

   Η απόδειξη της αρχικής εικασίας του Poincaré (και της γενικότερης εικασίας του Trston) βρέθηκε μόλις το 2002 από τον Grigory Perelman. Στη συνέχεια, η απόδειξη του Perelman επαληθεύτηκε και παρουσιάστηκε σε μια στριμμένη μορφή από τουλάχιστον τρεις ομάδες επιστημόνων. 1 Η απόδειξη χρησιμοποιεί τη ροή Ricci με χειρουργική επέμβαση και ακολουθεί σε μεγάλο βαθμό το σχέδιο που σκιαγραφήθηκε από τον Hamilton, ο οποίος ήταν επίσης ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη ροή Ricci.

6. ποιος είναι αυτός
7. Το θεώρημα του Πουανκαρέ:
   Θεώρημα διανυσματικού πεδίου του Πουανκαρέ
   Θεώρημα Πουανκαρέ του Bendixson
   Το θεώρημα του Πουανκαρέ για την ταξινόμηση των ομοιομορφισμών του κύκλου
   Η εικασία του Πουανκαρέ για τη σφαίρα της ομοτοπίας
   Θεώρημα υποτροπής Πουανκαρέ

   Τι ρωτάς;

8. Θεωρητικά δυναμικά συστήματα, το θεώρημα Poincaré για την ταξινόμηση των ομοιομορφισμών του κύκλου περιγράφει τους πιθανούς τύπους αναστρέψιμης δυναμικής στον κύκλο, ανάλογα με τον αριθμό περιστροφής p(f) του επαναλαμβανόμενου χάρτη f. Σε γενικές γραμμές, αποδεικνύεται ότι η δυναμική των επαναλήψεων χαρτογράφησης είναι σε κάποιο βαθμό παρόμοια με τη δυναμική της περιστροφής μέσω της αντίστοιχης γωνίας.
   Δηλαδή, ας δοθεί ένας κύκλος ομοιομορφισμός f. Επειτα:
   1) Ο αριθμός περιστροφής είναι λογικός αν και μόνο αν η f έχει περιοδικά σημεία. Επιπλέον, ο παρονομαστής του αριθμού περιστροφής είναι η περίοδος οποιουδήποτε περιοδικού σημείου και η κυκλική σειρά στον κύκλο των σημείων οποιασδήποτε περιοδικής τροχιάς είναι ίδια με αυτή των σημείων της τροχιάς περιστροφής στο p(f). Περαιτέρω, οποιαδήποτε τροχιά τείνει σε κάποια περιοδική, τόσο σε χρόνο προς τα εμπρός όσο και προς τα πίσω (οι οριακές τροχιές a- και -w μπορεί να είναι διαφορετικές σε αυτή την περίπτωση).
   2) Εάν ο αριθμός περιστροφής f είναι παράλογος, τότε είναι δυνατές δύο επιλογές:
   i) είτε η f έχει πυκνή τροχιά, οπότε ο ομοιομορφισμός f είναι συζευγμένος με μια περιστροφή στο p(f). Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι τροχιές του f είναι πυκνές (αφού αυτό ισχύει για μια παράλογη περιστροφή).
   ii) είτε η f έχει ένα αμετάβλητο σύνολο Cantor C που είναι το μοναδικό ελάχιστο σύνολο του συστήματος. Σε αυτή την περίπτωση, όλες οι τροχιές τείνουν στο C τόσο σε χρόνο προς τα εμπρός όσο και προς τα πίσω. Επιπλέον, η αντιστοίχιση f είναι ημι-συναφής με μια περιστροφή στο p(f): για κάποια χαρτογράφηση h βαθμού 1, p o f =R p (f) o h

   Επιπλέον, το σύνολο C είναι ακριβώς το σύνολο των σημείων ανάπτυξης του h, με άλλα λόγια, από τοπολογική άποψη, το h συμπτύσσει τα διαστήματα του συμπληρώματος στο C.

9. η ουσία του θέματος είναι 1 εκατομμύριο δολάρια
10. Το ότι δεν το καταλαβαίνει κανείς εκτός από 1 άτομο
11. Σε εξωτερική πολιτικήΓαλλία..
12. Εδώ η Lka απάντησε καλύτερα από όλα http://otvet.mail.ru/question/24963208/
13. Ένας λαμπρός μαθηματικός, ο Παριζιάνος καθηγητής Henri Poincaré ασχολήθηκε με διάφορους τομείς αυτής της επιστήμης. Ανεξάρτητα και ανεξάρτητα από το έργο του Αϊνστάιν το 1905, πρότεινε τις κύριες διατάξεις της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας. Και διατύπωσε την περίφημη υπόθεσή του το 1904, οπότε χρειάστηκε περίπου ένας αιώνας για να λυθεί.

    Ο Πουανκαρέ ήταν ένας από τους ιδρυτές της τοπολογίας, της επιστήμης των ιδιοτήτων γεωμετρικά σχήματα, τα οποία δεν αλλάζουν υπό παραμορφώσεις που συμβαίνουν χωρίς ασυνέχειες. Για παράδειγμα, μπαλόνιμπορεί εύκολα να παραμορφωθεί σε διάφορα σχήματα, όπως γίνεται για τα παιδιά στο πάρκο. Αλλά πρέπει να κόψετε τη μπάλα για να στρίψετε ένα ντόνατ (ή, με γεωμετρικούς όρους, έναν τόρο) έξω από αυτήν· δεν υπάρχει άλλος τρόπος. Και το αντίστροφο: πάρτε ένα λαστιχένιο ντόνατ και προσπαθήστε να το μετατρέψετε σε σφαίρα. Ωστόσο, εξακολουθεί να μην λειτουργεί. Όσον αφορά τις τοπολογικές τους ιδιότητες, οι επιφάνειες μιας σφαίρας και ενός δακτύλου είναι ασύμβατες ή μη ομοιόμορφες. Από την άλλη, οποιεσδήποτε επιφάνειες χωρίς τρύπες (κλειστές επιφάνειες), αντίθετα, είναι ομοιομορφικές και μπορούν να μετατραπούν σε σφαίρα όταν παραμορφωθούν.

    Αν τα πάντα σχετικά με τις δισδιάστατες επιφάνειες της σφαίρας και του δακτύλου είχαν αποφασιστεί τον 19ο αιώνα, για πιο πολυδιάστατες περιπτώσεις χρειαζόταν πολύ περισσότερος χρόνος. Αυτή, στην πραγματικότητα, είναι η ουσία της εικασίας Poincare, η οποία επεκτείνει την κανονικότητα σε πολυδιάστατες περιπτώσεις. Απλοποιώντας λίγο, η εικασία του Poincaré λέει: Κάθε απλά συνδεδεμένη κλειστή πολλαπλότητα n-διαστάσεων είναι ομοιομορφική σε μια n-διάστατη σφαίρα. Είναι αστείο ότι η παραλλαγή με τις τρισδιάστατες επιφάνειες αποδείχθηκε η πιο δύσκολη. Το 1960 αποδείχθηκε η εικασία για διαστάσεις 5 και άνω, το 1981 για n=4. Το εμπόδιο ήταν ακριβώς η τρισδιάστατη.

    Αναπτύσσοντας τις ιδέες των William Tristen και Richard Hamilton, που προτάθηκαν από αυτούς τη δεκαετία του 1980, ο Grigory Perelman εφάρμοσε σε τρισδιάστατες επιφάνειες ειδική εξίσωσηομαλή εξέλιξη. Και μπόρεσε να δείξει ότι η αρχική τρισδιάστατη επιφάνεια (αν δεν υπάρχουν ασυνέχειες σε αυτήν) θα εξελιχθεί αναγκαστικά σε μια τρισδιάστατη σφαίρα (αυτή είναι η επιφάνεια μιας τετραδιάστατης μπάλας και υπάρχει σε μια τετραδιάστατη διαστασιακός χώρος) . Σύμφωνα με αρκετούς ειδικούς, αυτή ήταν μια ιδέα μιας νέας γενιάς, η λύση της οποίας ανοίγει νέους ορίζοντες για τη μαθηματική επιστήμη.

    Είναι ενδιαφέρον ότι για κάποιο λόγο ο ίδιος ο Perelman δεν μπήκε στον κόπο να φέρει την απόφασή του στην τελική της λάμψη. Έχοντας περιγράψει τη λύση στο σύνολό της στην προεκτύπωση Ο τύπος εντροπίας για τη ροή Ricci και τις γεωμετρικές εφαρμογές της τον Νοέμβριο του 2002, ολοκλήρωσε την απόδειξη τον Μάρτιο του 2003 και την παρουσίασε στην προεκτύπωση Ροή Ricci με χειρουργική επέμβαση σε τρεις πολλαπλές, και επίσης ανέφερε η μέθοδος σε μια σειρά διαλέξεων που διάβασε το 2003 μετά από πρόσκληση πολλών πανεπιστημίων. Κανένας από τους αναθεωρητές δεν μπόρεσε να βρει σφάλματα στην έκδοση που πρότεινε, αλλά ο Perelman δεν εξέδωσε δημοσιεύσεις στην επιστημονική δημοσίευση με κριτές (δηλαδή, τέτοια, συγκεκριμένα, ήταν απαραίτητη προϋπόθεσηλαμβάνοντας το βραβείο Clay Mathematical Institute Prize). Αλλά το 2006, με βάση τη μέθοδό του, βγήκε μια ολόκληρη σειρά αποδείξεων στις οποίες Αμερικανοί και Κινέζοι μαθηματικοί εξετάζουν το πρόβλημα λεπτομερώς και πλήρως, συμπληρώνουν τα σημεία που παραλείφθηκαν από τον Perelman και δίνουν την τελική απόδειξη της εικασίας Poincaré.

14. Η γενικευμένη εικασία Poincare αναφέρει ότι:
    Για κάθε n, κάθε πολλαπλότητα της διάστασης n είναι ομοτοπία ισοδύναμη με μια σφαίρα της διάστασης n αν και μόνο αν είναι ομοιομορφική με αυτήν.
    Η αρχική εικασία Poincare είναι μια ειδική περίπτωση της γενικευμένης εικασίας για n = 3.
    Για εξηγήσεις - πηγαίνετε στο δάσος για μανιτάρια, ο Grigory Perelman πηγαίνει εκεί)
15. Το θεώρημα της υποτροπής Poincare είναι ένα από τα βασικά θεωρήματα της εργοδικής θεωρίας. Η ουσία του είναι ότι κάτω από μια χαρτογράφηση του χώρου πάνω στον εαυτό του με μέτρο, σχεδόν κάθε σημείο θα επιστρέψει στην αρχική του γειτονιά. Η πλήρης δήλωση του θεωρήματος έχει ως εξής1:
    Έστω ένας μετασχηματισμός διατήρησης μέτρου ενός χώρου με πεπερασμένο μέτρο και έστω ένα μετρήσιμο σύνολο. Μετά για κάθε φυσικό
    .
    Αυτό το θεώρημα έχει μια απροσδόκητη συνέπεια: αποδεικνύεται ότι εάν σε ένα δοχείο χωρίζεται από ένα χώρισμα σε δύο διαμερίσματα, το ένα από τα οποία είναι γεμάτο με αέριο και το άλλο είναι άδειο, το διαμέρισμα αφαιρείται, τότε μετά από λίγο όλα τα μόρια του αερίου θα συγκεντρώνονται ξανά στο αρχικό μέρος του αγγείου. Το κλειδί σε αυτό το παράδοξο είναι ότι κάποιος χρόνος είναι της τάξης των δισεκατομμυρίων ετών.
16. έχει θεωρήματα όπως κομμένα σκυλιά στην Κορέα...

    το σύμπαν είναι σφαιρικό... http://ru.wikipedia.org/wiki/Poincare, _Henri

    χθες οι επιστήμονες ανακοίνωσαν ότι το σύμπαν είναι παγωμένη ουσία...και ζήτησαν πολλά χρήματα για να το αποδείξουν...πάλι οι Μερίκο θα ανάψουν το τυπογραφείο...για τη χαρά των αυγοκεφαλών...

17. Προσπαθήστε να αποδείξετε πού βρίσκονται το πάνω και το κάτω μέρος στην έλλειψη βαρύτητας.
18. Εχθές ήταν ωραία ταινίασχετικά με τον ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ, στο οποίο αυτό το πρόβλημα εξηγήθηκε στα δάχτυλα. Ίσως το έχουν ακόμα;

    http://video.yandex.ru/#search?text=РРР СР Р РРРР СРРРwhere=allfilmId=36766495-03-12
    Μπείτε στο Yandex και γράψτε μια ταινία για τον Πέρελμαν και πηγαίνετε στην ταινία

Με σχολικό μάθημαΌλοι είναι εξοικειωμένοι με τις έννοιες των θεωρημάτων και των υποθέσεων. Κατά κανόνα, στη ζωή επηρεάζονται οι πιο απλοί και πρωτόγονοι νόμοι, ενώ οι μαθηματικοί κάνουν πολύ περίπλοκες υποθέσεις και θέτουν ενδιαφέροντα προβλήματα. Όχι πάντα, οι ίδιοι καταφέρνουν να βρίσκουν λύσεις και αποδείξεις, και σε ορισμένες περιπτώσεις, οι ακόλουθοί τους και οι δίκαιοι συνάδελφοί τους παλεύουν με αυτό εδώ και πολλά χρόνια.

Το Ινστιτούτο Clay το 2000 συνέταξε μια λίστα με 7 λεγόμενα Προβλήματα της Χιλιετίας, παρόμοια με τη λίστα των υποθέσεων που συντάχθηκε το 1900. Σχεδόν όλες αυτές οι εργασίες έχουν λυθεί μέχρι τώρα, μόνο μία από αυτές έχει μετεγκατασταθεί στην ενημερωμένη έκδοση. Τώρα η λίστα των προβλημάτων μοιάζει με αυτό:

• η υπόθεση Hodge?
• ισότητα των κατηγοριών P και NP.
• την υπόθεση του Πουανκαρέ·
• Θεωρία Yang-Mills;
• την υπόθεση Riemann·
• ύπαρξη και ομαλότητα της λύσης των εξισώσεων Navier-Stokes.
• η υπόθεση Birch-Swinnerton-Dyer.

Όλοι τους ανήκουν σε διάφορους κλάδουςεντός των μαθηματικών και είναι απαραίτητες. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις Navier-Stokes σχετίζονται με την υδροδυναμική, αλλά στην πράξη μπορούν να περιγράψουν τη συμπεριφορά της ύλης στο επίγειο μάγμα ή να είναι χρήσιμες στην πρόβλεψη καιρού. Όμως όλα αυτά τα προβλήματα εξακολουθούν να αναζητούν την απόδειξη ή τη διάψευση τους. Εκτός από ένα.

Το θεώρημα του Πουανκαρέ

Εξηγώ με απλά λόγια, ποιο είναι αυτό το πρόβλημα, είναι αρκετά δύσκολο, αλλά μπορείτε να δοκιμάσετε. Φανταστείτε μια σφαίρα, για παράδειγμα, μια σαπουνόφουσκα. Όλα τα σημεία της επιφάνειάς του έχουν ίση απόσταση από το κέντρο του, που δεν του ανήκει. Αλλά αυτό είναι ένα δισδιάστατο σώμα, και η υπόθεση μιλάει για ένα τρισδιάστατο. Είναι ήδη αδύνατο να το φανταστούμε, αλλά έχουμε θεωρητικά μαθηματικά για αυτό. Σε αυτή την περίπτωση, φυσικά, όλα τα σημεία αυτού του σώματος θα αφαιρεθούν επίσης από το κέντρο.

Αυτό το πρόβλημα ανήκει στην τοπολογία - την επιστήμη των ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων. Και ένα από τα βασικοί όροιείναι ομοιομορφικό, δηλαδή μεγάλος βαθμός ομοιότητας. Για να δώσουμε ένα παράδειγμα, μπορεί κανείς να φανταστεί μια μπάλα και έναν τόρο. Δεν μπορεί να ληφθεί με κανέναν τρόπο ένα σχήμα από το άλλο, αποφεύγοντας κενά, αλλά ένας κώνος, ένας κύβος ή ένας κύλινδρος από τον πρώτο θα βγει πολύ εύκολα. Εδώ η υπόθεση του Poincare είναι αφιερωμένη σε αυτές τις μεταμορφώσεις με μία μόνο διαφορά - μιλάμε για πολυδιάστατο χώρο και σώματα.

Ιστορία

Ο Γάλλος μαθηματικός Henri Poincaré εργάστηκε σε διάφορους τομείς της επιστήμης. Τα επιτεύγματά του μπορούν να ειπωθούν, για παράδειγμα, από το γεγονός ότι, εντελώς ανεξάρτητα από τον Άλμπερτ Αϊνστάιν, πρότεινε τις κύριες διατάξεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας. Το 1904, έθεσε το πρόβλημα της απόδειξης ότι κάθε τρισδιάστατο σώμα που έχει κάποιες από τις ιδιότητες μιας σφαίρας είναι αυτό, μέχρι μια παραμόρφωση. Αργότερα επεκτάθηκε και γενικεύτηκε για να γίνει μια ειδική περίπτωση της εικασίας του Thurston που διατυπώθηκε το 1982.

Διατύπωση

Ο Poincare άφησε αρχικά τον ακόλουθο ισχυρισμό: κάθε απλά συνδεδεμένη συμπαγής τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς όριο είναι ομοιομορφική σε μια τρισδιάστατη σφαίρα. Αργότερα επεκτάθηκε και γενικεύτηκε. Κι όμως, για πολύ καιρό, ήταν το αρχικό πρόβλημα που προκαλούσε τα περισσότερα προβλήματα και λύθηκε μόλις 100 χρόνια μετά την εμφάνισή του.

Ερμηνεία και νόημα

Έχουμε ήδη μιλήσει για το τι είναι ο ομοιομορφισμός. Τώρα αξίζει να μιλήσουμε για συμπαγή και απλά συνδεσιμότητα. Το πρώτο σημαίνει μόνο ότι η πολλαπλή έχει περιορισμένες διαστάσεις, δεν μπορεί να επεκταθεί συνεχώς και άπειρα.

Όσον αφορά την απλή σύνδεση, μπορούμε να προσπαθήσουμε να δώσουμε ένα απλό παράδειγμα. Μια δισδιάστατη σφαίρα - ένα μήλο - έχει μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα. Εάν πάρετε ένα συνηθισμένο κλειστό λάστιχο και το συνδέσετε στην επιφάνεια, τότε με ομαλή παραμόρφωση μπορεί να μειωθεί σε ένα σημείο. Αυτή είναι η ιδιότητα της μεμονωμένης συνδεσιμότητας, αλλά είναι μάλλον δύσκολο να την παρουσιάσουμε σε σχέση με τον τρισδιάστατο χώρο.

Για να το θέσω πολύ απλά, το πρόβλημα ήταν να αποδειχθεί ότι το να είσαι απλά συνδεδεμένος είναι μια ιδιότητα μοναδική σε μια σφαίρα. Και αν, μιλώντας σχετικά, το πείραμα με το λάστιχο τελείωσε με τέτοιο αποτέλεσμα, τότε το σώμα είναι ομοιομορφικό σε αυτό. Όσον αφορά την εφαρμογή αυτής της θεωρίας στη ζωή, ο Πουανκαρέ πίστευε ότι το σύμπαν είναι κατά κάποιο τρόπο μια τρισδιάστατη σφαίρα.

Απόδειξη

Δεν πρέπει να πιστεύουμε ότι από τους δεκάδες μαθηματικούς που έχουν εργαστεί σε όλο τον κόσμο, κανείς δεν έχει κινήσει ούτε μια γιώτα σε αυτό το πρόβλημα. Αντιθέτως, υπήρξε πρόοδος και στο τέλος οδήγησε σε αποτέλεσμα. Ο ίδιος ο Poincare δεν είχε χρόνο να ολοκληρώσει την εργασία, αλλά η έρευνά του προώθησε σοβαρά ολόκληρη την τοπολογία.

Στη δεκαετία του 1930, το ενδιαφέρον για την υπόθεση επέστρεψε. Πρώτα απ 'όλα, η διατύπωση επεκτάθηκε σε " n-διάστατος χώρος", και στη συνέχεια ο Αμερικανός Γουάιτχεντ ανέφερε μια επιτυχημένη απόδειξη, που αργότερα την εγκατέλειψε. Στη δεκαετία του 60-70, δύο μαθηματικοί ταυτόχρονα - ο Σμέιλ και ο Στάλινγκς - σχεδόν ταυτόχρονα, αλλά διαφορετικοί τρόποιανέπτυξε μια λύση για όλα τα n μεγαλύτερα από 4.

Το 1982, βρέθηκε μια απόδειξη και για το 4, αφήνοντας μόνο 3. Την ίδια χρονιά, ο Θέρστον διατύπωσε την εικασία της γεωμετρίας, με τη θεωρία του Πουανκαρέ να γίνεται η ιδιαίτερη περίπτωση της.

Για 20 χρόνια, η υπόθεση του Πουανκαρέ φαινόταν να έχει ξεχαστεί. Το 2002, ο Ρώσος μαθηματικός Grigory Perelman παρουσίασε μια λύση στο σε γενικές γραμμές, μετά από έξι μήνες κάνοντας κάποιες προσθήκες. Αργότερα, αυτή η απόδειξη ελέγχθηκε και έφερε «λάμψη» από Αμερικανούς και Κινέζους επιστήμονες. Και ο ίδιος ο Πέρελμαν φαινόταν να έχει χάσει κάθε ενδιαφέρον για το πρόβλημα, αν και αποφάσισε περισσότερα κοινή εργασίασχετικά με τη γεωμετρία, για την οποία η εικασία Poincare είναι μόνο μια συγκεκριμένη περίπτωση.

Αναγνώριση και βαθμολογίες

Φυσικά, αυτό έγινε αμέσως αίσθηση, γιατί η λύση σε ένα από τα Προβλήματα της Χιλιετίας απλά δεν μπορούσε να περάσει απαρατήρητη. Ακόμη πιο εκπληκτικό ήταν το γεγονός ότι ο Γκριγκόρι Πέρελμαν αρνήθηκε όλα τα βραβεία και τα βραβεία, λέγοντας ότι είχε ήδη μια υπέροχη ζωή. Στο μυαλό των κατοίκων της πόλης, έγινε αμέσως παράδειγμα αυτής της πολύ μισοτρελής ιδιοφυΐας που ενδιαφέρεται μόνο για την επιστήμη.

Όλα αυτά προκάλεσαν πολλές συζητήσεις στον Τύπο και τα μέσα ενημέρωσης ότι η δημοτικότητα του μαθηματικού άρχισε να τον βαραίνει. Το καλοκαίρι του 2014, υπήρχαν πληροφορίες ότι ο Perelman είχε φύγει για να εργαστεί στη Σουηδία, αλλά αυτό αποδείχθηκε ότι ήταν απλώς μια φήμη, ζει ακόμα σεμνά στην Αγία Πετρούπολη και σχεδόν δεν επικοινωνεί με κανέναν. Ανάμεσα στα βραβεία που του δόθηκαν ήταν όχι μόνο το Βραβείο του Ινστιτούτου Κλέι, αλλά και το περίφημο μετάλλιο Φιλντς, αλλά αρνήθηκε τα πάντα. Ωστόσο, ο Χάμιλτον, ο οποίος, σύμφωνα με τον Πέρελμαν, συνέβαλε λιγότερο στην απόδειξη, δεν ξεχάστηκε επίσης. Το 2009 και το 2011 έλαβε επίσης ορισμένα σημαντικά βραβεία και βραβεία.

Αντανάκλαση στον πολιτισμό

Παρά το γεγονός ότι για απλοί άνθρωποιτόσο η δήλωση όσο και η λύση αυτού του προβλήματος δεν έχουν νόημα, η απόδειξη έγινε γνωστή μάλλον γρήγορα. Το 2008, με αυτή την ευκαιρία, ο Ιάπωνας σκηνοθέτης Masahito Kasuga γύρισε την ταινία ντοκιμαντέρ "The Enchantment of the Poincaré Hypothesis", αφιερωμένη σε έναν αιώνα προσπαθειών για την επίλυση αυτού του προβλήματος.

Πολλοί μαθηματικοί που εμπλέκονται σε αυτό το πρόβλημα συμμετείχαν στα γυρίσματα, αλλά ο κύριος χαρακτήρας, ο Grigory Perelman, δεν ήθελε να το κάνει αυτό. Στα γυρίσματα συμμετείχαν και λίγο πολύ στενοί του γνωστοί. Ντοκυμαντέρ, έχοντας εμφανιστεί στις οθόνες στον απόηχο της δημόσιας κατακραυγής για την άρνηση του επιστήμονα να αποδεχθεί το βραβείο, κέρδισε φήμη σε ορισμένους κύκλους και έλαβε επίσης πολλά βραβεία. Όσο για τον λαϊκό πολιτισμό, απλοί άνθρωποιΟ κόσμος εξακολουθεί να αναρωτιέται με ποια επιχειρήματα καθοδηγήθηκε ο μαθηματικός της Πετρούπολης όταν αρνήθηκε να πάρει χρήματα όταν μπορούσε να τα δώσει, για παράδειγμα, σε φιλανθρωπικό σκοπό.

Ο Henri Poincare (1854-1912), ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς, διατύπωσε το 1904 τη διάσημη ιδέα μιας παραμορφωμένης τρισδιάστατης σφαίρας και, με τη μορφή μιας μικρής περιθωριακής σημείωσης, τοποθετήθηκε στο τέλος ενός άρθρου 65 σελίδων σε ένα εντελώς διαφορετικό θέμα, χάραξε μερικές γραμμές μιας μάλλον περίεργης εικασίας με τις λέξεις: "Λοιπόν, αυτή η ερώτηση μπορεί να μας πάει πολύ μακριά" ...

Marcus Du Sotoy του το πανεπιστήμιο της Οξφόρδηςπιστεύει ότι Το θεώρημα του Πουανκαρέ- "αυτό είναι το κεντρικό πρόβλημα των μαθηματικών και της φυσικής , προσπαθώντας να καταλάβω τι μορφή μπορεί Σύμπαν Είναι πολύ δύσκολο να την πλησιάσεις».

Μία φορά την εβδομάδα, ο Γκριγκόρι Πέρελμαν ταξίδευε στο Πρίνστον για να λάβει μέρος σε ένα σεμινάριο στο Ινστιτούτο Προηγμένων Μελετών. Στο σεμινάριο, ένας από τους μαθηματικούς πανεπιστήμιο Χάρβαρνταπαντά στην ερώτηση του Perelman: «Η θεωρία του William Thurston (1946-2012, μαθηματικός, εργάζεται στον τομέα της «Τριδιάστατης γεωμετρίας και τοπολογίας»), που ονομάζεται υπόθεση γεωμετρίας, περιγράφει όλες τις πιθανές τρισδιάστατες επιφάνειες και είναι ένα βήμα μπροστά σε σύγκριση στην υπόθεση του Πουανκαρέ. Εάν αποδείξετε την υπόθεση του William Thurston, τότε η εικασία Poincare θα σας ανοίξει όλες τις πόρτες και πολλά άλλα Η λύση του θα αλλάξει ολόκληρο το τοπολογικό τοπίο της σύγχρονης επιστήμης ».

Έξι κορυφαία αμερικανικά πανεπιστήμια τον Μάρτιο του 2003 προσκαλούν τον Πέρελμαν να διαβάσει μια σειρά από διαλέξεις που εξηγούν τη δουλειά του. Τον Απρίλιο του 2003, ο Πέρελμαν κάνει μια επιστημονική περιήγηση. Οι διαλέξεις του γίνονται ένα εξαιρετικό επιστημονικό γεγονός. Ο John Ball (πρόεδρος της Διεθνούς Μαθηματικής Ένωσης), ο Andrew Wiles (μαθηματικός, εργάζεται στον τομέα της αριθμητικής ελλειπτικών καμπυλών, απέδειξε το θεώρημα του Fermat το 1994), ο John Nash (μαθηματικός που εργάζεται στον τομέα της θεωρίας παιγνίων και της διαφορικής γεωμετρίας) Πρίνστον να τον ακούσει.

Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν κατάφερε να λύσει ένα από τα επτά καθήκοντα της χιλιετίας και περιγράφουν μαθηματικά το λεγομενο η φόρμουλα του σύμπαντος , για να αποδείξει την εικασία του Πουανκαρέ. Τα πιο λαμπρά μυαλά πολέμησαν για αυτήν την υπόθεση για περισσότερα από 100 χρόνια και για την απόδειξη της οποίας η παγκόσμια μαθηματική κοινότητα (το Μαθηματικό Ινστιτούτο Clay) υποσχέθηκε 1 εκατομμύριο δολάρια. Παρουσιάστηκε στις 8 Ιουνίου 2010. Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν δεν εμφανίστηκε σε αυτήν , και η παγκόσμια μαθηματική κοινότητα «έπεσαν τα σαγόνια».

Το 2006, για την επίλυση της εικασίας Poincaré, ο μαθηματικός τιμήθηκε με το υψηλότερο μαθηματικό βραβείο - το Βραβείο Fields (Fields Medal). Ο Τζον Μπαλ επισκέφτηκε προσωπικά την Αγία Πετρούπολη προκειμένου να τον πείσει να παραλάβει το βραβείο. Αρνήθηκε να το δεχτεί με τα λόγια: Η κοινωνία είναι απίθανο να εκτιμήσει σοβαρά τη δουλειά μου».

«Το Βραβείο Fields (και το μετάλλιο) απονέμεται μία φορά κάθε 4 χρόνια σε κάθε διεθνές μαθηματικό συνέδριο σε νέους επιστήμονες (κάτω των 40 ετών) που έχουν συμβάλει σημαντικά στην ανάπτυξη των μαθηματικών. Εκτός από το μετάλλιο, στους βραβευθέντες απονέμονται 15.000 δολάρια Καναδά (13.000 $).

Στην αρχική της διατύπωση, η εικασία του Πουανκαρέ έχει ως εξής: «Κάθε απλά συνδεδεμένη συμπαγής τρισδιάστατη πολλαπλότητα χωρίς όριο είναι ομοιομορφική προς μια τρισδιάστατη σφαίρα». ΣΤΟ μετάφραση σε κοινή γλώσσα, αυτό σημαίνει ότι οποιοδήποτε τρισδιάστατο αντικείμενο, για παράδειγμα, ένα ποτήρι, μπορεί να μετατραπεί σε μπάλα μόνο με παραμόρφωση, δηλαδή δεν θα χρειαστεί να κοπεί ή να κολληθεί. Με άλλα λόγια, ο Πουανκαρέ το πρότεινε ο χώρος δεν είναι τρισδιάστατος, αλλά περιέχει σημαντικά περισσότεροΜετρήσεις , και ο Perelman 100 χρόνια μετά το απέδειξε μαθηματικά .

Η έκφραση του Γκριγκόρι Πέρελμαν του θεωρήματος του Πουανκαρέ για τη μετατροπή της ύλης σε μια άλλη κατάσταση, μορφή είναι παρόμοια με τη γνώση που εκτίθεται στο βιβλίο της Anastasia Novykh «Sensei IV»: βελόνες». Καθώς και την ικανότητα ελέγχου του υλικού Σύμπαντος μέσω μετασχηματισμών που εισήγαγε ο Παρατηρητής από διαστάσεις ελέγχου πάνω από την έκτη (από 7 έως 72 συμπεριλαμβανομένων) (αναφορά "" θέμα "Εζωοσμικό Πλέγμα").

Ο Γκριγκόρι Πέρελμαν διακρίθηκε από τη λιτότητα της ζωής, τη σοβαρότητα των ηθικών απαιτήσεων τόσο για τον εαυτό του όσο και για τους άλλους. Κοιτώντας τον, έχει κανείς την αίσθηση ότι είναι μόνο σωματικά κατοικεί από κοινού με όλους τους άλλους σύγχρονους χώρος , ένα Πνευματικά σε κάποιο άλλο , όπου ακόμη για 1 εκατομμύριο δολάρια μην πάτε για ο πιο "αθώος" συμβιβασμούς με τη συνείδηση . Και τι είδους χώρος είναι αυτός και είναι δυνατόν να τον κοιτάξετε ακόμη και με την άκρη του ματιού σας; ..

Εξαιρετικός τη σημασία της υπόθεσης, που προτάθηκε πριν από περίπου έναν αιώνα από έναν μαθηματικό Πουανκαρέ, αφορά τρισδιάστατες κατασκευές και αποτελεί βασικό στοιχείο σύγχρονη έρευνα θεμέλια του σύμπαντος . Αυτό το αίνιγμα, σύμφωνα με ειδικούς από το Ινστιτούτο Clay, είναι ένα από τα επτά θεμελιωδώς σημαντικά για την ανάπτυξη των μαθηματικών του μέλλοντος.

Ο Πέρελμαν, απορρίπτοντας μετάλλια και βραβεία, ρωτά: «Γιατί τα χρειάζομαι; Είναι εντελώς άχρηστα για μένα. Όλοι καταλαβαίνουν ότι αν η απόδειξη είναι σωστή, τότε δεν απαιτείται άλλη αναγνώριση. Μέχρι να αναπτύξω υποψίες, είχα την επιλογή είτε να μιλήσω δυνατά για την αποσύνθεση της μαθηματικής κοινότητας στο σύνολό της, λόγω του χαμηλού ηθικού της επιπέδου, είτε να μην πω τίποτα και να επιτρέψω στον εαυτό μου να με φέρονται σαν βοοειδή. Τώρα, όταν έχω γίνει κάτι παραπάνω από καχύποπτος, δεν μπορώ να παραμείνω βοοειδή και να συνεχίσω να σιωπώ, οπότε μπορώ μόνο να φύγω.

Για να κάνεις σύγχρονα μαθηματικά, χρειάζεται να έχεις ένα εντελώς καθαρό μυαλό, χωρίς την παραμικρή πρόσμιξη που να το διαλύει, να το αποπροσανατολίζει, να αντικαθιστά αξίες και η αποδοχή αυτού του βραβείου σημαίνει επίδειξη αδυναμίας. Ο ιδανικός επιστήμονας ασχολείται μόνο με την επιστήμη, δεν ενδιαφέρεται για τίποτα άλλο (δύναμη και κεφάλαιο), πρέπει να έχει καθαρό μυαλό και για τον Πέρελμαν δεν υπάρχει μεγαλύτερη σημασία από το να ζει σύμφωνα με αυτό το ιδανικό. Είναι όλη αυτή η ιδέα με εκατομμύρια χρήσιμη για τα μαθηματικά και χρειάζεται τέτοιο κίνητρο ένας πραγματικός επιστήμονας; Και αυτή η επιθυμία του κεφαλαίου να αγοράσει και να υποτάξει τα πάντα σε αυτόν τον κόσμο δεν είναι προσβλητική; Ή μπορείτε να πουλήσετε την καθαρότητά του για ένα εκατομμύριο; Τα χρήματα, όσο κι αν υπάρχουν, είναι ισοδύναμα την αλήθεια της Ψυχής ? Τελικά, έχουμε να κάνουμε με μια εκ των προτέρων εκτίμηση προβλημάτων με τα οποία απλά δεν πρέπει να έχουν να κάνουν τα χρήματα, σωστά;! Το να κάνεις από όλα αυτά κάτι σαν ένα λότο-εκατομμύριο, ή ένα tote, σημαίνει να επιδοθείς στη διάλυση του επιστημονικού, και μάλιστα την ανθρώπινη κοινότητα στο σύνολό της (δείτε την έκθεση και τις τελευταίες 50 σελίδες στο βιβλίο AllatRa σχετικά με τον τρόπο οικοδόμησης μιας δημιουργικής κοινωνίας). Και τα χρήματα (ενέργεια) που είναι έτοιμοι να δώσουν οι επιχειρηματίες στην επιστήμη, αν χρειαστεί να τα χρησιμοποιήσουν, είναι σωστά, ή κάτι τέτοιο, χωρίς να ταπεινωθούν Το Πνεύμα της Αληθινής Υπηρεσίας , ό,τι και να πει κανείς, ένα ανεκτίμητο χρηματικό ισοδύναμο: Τι είναι ένα εκατομμύριο, σε σύγκριση , με αγνότητα, ή Μεγαλειότητα εκείνοι σφαίρες (για τις διαστάσεις του παγκόσμιου Σύμπαντος και του Πνευματικού Κόσμου, βλέπε το βιβλίο "AllatRa" και αναφορά ) , στο οποίο ανίκανος να διεισδύσει ακόμα και ανθρώπινο φαντασία (μυαλό) ;! Τι είναι ένα εκατομμύριο έναστρος ουρανόςγια ώρα?

Ας δώσουμε μια ερμηνεία των υπόλοιπων όρων που εμφανίζονται στη διατύπωση της υπόθεσης:

- Τοπολογία- (από το ελληνικό. τόπος - τόπος και logos - διδασκαλία) - κλάδος των μαθηματικών που μελετά τις τοπολογικές ιδιότητες των σχημάτων, δηλ. ιδιότητες που δεν αλλάζουν κάτω από παραμορφώσεις που παράγονται χωρίς ασυνέχειες και κολλήσεις (ακριβέστερα, κάτω από ένα προς ένα και συνεχείς χαρτογραφήσεις). Παραδείγματα τοπολογικών ιδιοτήτων των σχημάτων είναι η διάσταση, ο αριθμός των καμπυλών που δέσμευαν μια δεδομένη περιοχή και ούτω καθεξής. Έτσι, ένας κύκλος, μια έλλειψη, ένα τετράγωνο περίγραμμα έχουν τις ίδιες τοπολογικές ιδιότητες, αφού Αυτές οι γραμμές μπορούν να παραμορφωθούν η μία στην άλλη με τον τρόπο που περιγράφηκε παραπάνω. Ταυτόχρονα, ο δακτύλιος και ο κύκλος έχουν διαφορετικές τοπολογικές ιδιότητες: ο κύκλος οριοθετείται από ένα περίγραμμα και ο δακτύλιος από δύο.

- Ομοιομορφισμός(Ελληνικά ομοιο - παρόμοιο, μορφη - σχήμα) - μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ δύο τοπολογικών χώρων, κάτω από την οποία και οι δύο αμοιβαία αντίστροφες αντιστοιχίσεις που ορίζονται από αυτήν την αντιστοιχία είναι συνεχείς. Αυτές οι αντιστοιχίσεις ονομάζονται ομοιομορφικές ή τοπολογικές αντιστοιχίσεις, καθώς και ομοιομορφισμοί, και οι χώροι λέγεται ότι ανήκουν στον ίδιο τοπολογικό τύπο ονομάζονται ομοιομορφικοί ή τοπολογικά ισοδύναμοι.

- 3 πολλαπλή χωρίς όριο. Αυτό είναι ένα τέτοιο γεωμετρικό αντικείμενο, στο οποίο κάθε σημείο έχει μια γειτονιά με τη μορφή μιας τρισδιάστατης μπάλας. Παραδείγματα 3-πολλαπλών είναι, πρώτον, ολόκληρος ο τρισδιάστατος χώρος, που υποδεικνύεται με R3, καθώς και οποιαδήποτε ανοιχτά σύνολα σημείων στο R3, για παράδειγμα, το εσωτερικό ενός συμπαγούς δακτύλου (ντόνατ). Αν θεωρήσουμε έναν κλειστό συμπαγή τόρο, δηλ. προσθέστε τα οριακά του σημεία (την επιφάνεια ενός τόρου), τότε θα έχουμε ήδη μια πολλαπλότητα με όριο - τα οριακά σημεία δεν έχουν γειτονιές με τη μορφή μπάλας, αλλά μόνο με τη μορφή της μισής μπάλας.

- Full torus (full torus) — γεωμετρικό σώμα, ομοιομορφικό προς το γινόμενο ενός δισδιάστατου δίσκου και ενός κύκλου D 2 * S 1 . Ανεπίσημα, ένας συμπαγής τόρος είναι ένα ντόνατ, ενώ ένας δακτύλιος είναι μόνο η επιφάνειά του (ένας κοίλος θάλαμος ενός τροχού).

- μεμονωμένα συνδεδεμένα. Σημαίνει ότι οποιαδήποτε συνεχής κλειστή καμπύλη που βρίσκεται εξ ολοκλήρου μέσα σε μια δεδομένη πολλαπλότητα μπορεί να συστέλλεται ομαλά σε ένα σημείο χωρίς να φύγει από αυτήν την πολλαπλότητα. Για παράδειγμα, μια συνηθισμένη δισδιάστατη σφαίρα στο R3 συνδέεται απλά (μια ελαστική ταινία, που εφαρμόζεται αυθαίρετα στην επιφάνεια ενός μήλου, μπορεί να συστέλλεται σε ένα σημείο με μια ομαλή παραμόρφωση χωρίς να αφαιρείται η ελαστική ταινία από το μήλο). Από την άλλη, ο κύκλος και ο τόρος δεν συνδέονται απλά.

- Συμπαγής.Μια πολλαπλότητα είναι συμπαγής εάν κάποια από τις ομοιομορφικές της εικόνες έχει οριοθετημένες διαστάσεις. Για παράδειγμα, ένα ανοιχτό διάστημα σε μια γραμμή (όλα τα σημεία ενός τμήματος εκτός από τα άκρα του) δεν είναι συμπαγές, αφού μπορεί να επεκταθεί συνεχώς σε μια άπειρη γραμμή. Αλλά ένα κλειστό τμήμα (με άκρα) είναι μια συμπαγής πολλαπλή με όριο: για οποιαδήποτε συνεχή παραμόρφωση, τα άκρα πηγαίνουν σε κάποια ορισμένα σημεία, και ολόκληρο το τμήμα πρέπει να περάσει σε μια οριοθετημένη καμπύλη που συνδέει αυτά τα σημεία.

Ιλνάζ Μπασάροφ

Βιβλιογραφία:

Έκθεση «PRIMORDIAL ALLATRA PHYSICS» της διεθνούς ομάδας επιστημόνων του Διεθνούς Δημόσιου Κινήματος ALLATRA, επιμ. Anastasia Novykh, 2015;

Νέος. Α. «AllatRa», Κ.: AllatRa, 2013