Mis on ühist puul, mererannal, pilvel või meie käes olevatel veresoontel? Esmapilgul võib tunduda, et kõigil neil objektidel pole midagi ühist. Kuid tegelikult on struktuuri üks omadus, mis on omane kõigile loetletud objektidele: nad on isesarnased. Oksalt nagu puutüvest ulatuvad välja väiksemad võrsed, neist veel väiksemad jne, ehk siis oks on terve puuga sarnane. Vereringesüsteem on üles ehitatud sarnaselt: arteritest väljuvad arterioolid ja neist väikseimad kapillaarid, mille kaudu hapnik organitesse ja kudedesse siseneb. Vaatame mereranniku satelliidipilte: näeme lahtesid ja poolsaari; Vaatame seda, aga linnulennult: näeme lahtesid ja neeme; Kujutage nüüd ette, et seisame rannas ja vaatame oma jalgu: alati on veerisid, mis ulatuvad vette kaugemale kui ülejäänud. See tähendab, et rannajoon jääb sisse suumimisel endaga sarnaseks. Ameerika matemaatik (kuigi ta kasvas üles Prantsusmaal) Benoit Mandelbrot nimetas seda objektide omadust fraktaalsuseks ja selliseid objekte endid - fraktalid (ladina fractus - katki).

Sellel mõistel pole ranget määratlust. Seetõttu ei ole sõna "fraktal" matemaatiline termin. Tavaliselt on fraktaal geomeetriline kujund, mis vastab ühele või mitmele järgmistest omadustest: sellel on keeruline struktuur iga mastaabi suurenemise korral (erinevalt näiteks sirgjoonest, mille mis tahes osa on kõige lihtsam geomeetriline kujund - segment ). On (ligikaudu) enesesarnane. Sellel on murdosa Hausdorffi (fraktaal) mõõde, mis on suurem kui topoloogiline. Võib konstrueerida rekursiivsete protseduuride abil.

Geomeetria ja algebra

Fraktaalide uurimine 19. ja 20. sajandi vahetusel oli pigem episoodiline kui süstemaatiline, sest varem uurisid matemaatikud peamiselt “häid” objekte, mida sai uurida kasutades. levinud meetodid ja teooriad. 1872. aastal konstrueeris saksa matemaatik Karl Weierstrass näite pidevast funktsioonist, mis ei ole kusagil diferentseeritav. Selle ülesehitus oli aga täiesti abstraktne ja raskesti mõistetav. Seetõttu mõtles rootslane Helge von Koch 1904. aastal välja pideva kõvera, millel pole kuskil puutujat ja mida on üsna lihtne joonistada. Selgus, et sellel on fraktali omadused. Selle kõvera ühte varianti nimetatakse "Kochi lumehelbeks".

Figuuride enesesarnasuse ideed noppis üles prantslane Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbroti tulevane mentor. 1938. aastal ilmus tema artikkel “Tervikuga sarnastest osadest koosnevad tasapinnalised ja ruumilised kõverad ja pinnad”, mis kirjeldas teist fraktaali – Levy C-kõverat. Kõik need ülalloetletud fraktaalid võib tinglikult liigitada ühte konstruktiivsete (geomeetriliste) fraktaalide klassi.

Teine klass on dünaamilised (algebralised) fraktaalid, mis hõlmavad Mandelbroti komplekti. Esimesed sellesuunalised uurimused algasid 20. sajandi alguses ja on seotud prantsuse matemaatikute Gaston Julia ja Pierre Fatou nimedega. 1918. aastal avaldas Julia peaaegu kahesajaleheküljelise mälestusteraamatu keeruliste ratsionaalsete funktsioonide iteratsioonide kohta, milles kirjeldati Julia komplekte, tervet fraktaalide perekonda, mis on tihedalt seotud Mandelbroti hulgaga. See töö pälvis Prantsuse Akadeemia auhinna, kuid see ei sisaldanud ühtegi illustratsiooni, mistõttu oli võimatu hinnata avatud objektide ilu. Hoolimata asjaolust, et see töö tegi Julia tolleaegsete matemaatikute seas kuulsaks, unustati see kiiresti. Tähelepanu pööras sellele uuesti alles pool sajandit hiljem arvutite tulekuga: just nemad tegid nähtavaks fraktaalide maailma rikkuse ja ilu.

Fraktaali mõõtmed

Nagu teate, on geomeetrilise kujundi mõõde (mõõtmete arv) koordinaatide arv, mis on vajalik sellel joonisel asuva punkti asukoha määramiseks.
Näiteks punkti asukoht kõveral määratakse ühe koordinaadiga, pinnal (mitte tingimata tasapinnal) kahe koordinaadiga ja kolmemõõtmelises ruumis kolme koordinaadiga.
Üldisemast matemaatilisest vaatenurgast võib dimensiooni määratleda nii: lineaarsete mõõtmete suurenemine, näiteks kahekordne, ühemõõtmeliste (topoloogilisest vaatepunktist) objektide (segmendi) korral toob kaasa suuruse (pikkuse) suurenemine 2 korda, kahemõõtmeliste (ruut) korral põhjustab sama lineaarsete mõõtmete suurenemine suuruse (pindala) 4 korda, kolmemõõtmelise (kuubiku) korral - võrra 8 korda. See tähendab, et "tegelikku" (nn Hausdorffi) mõõdet saab arvutada objekti "suuruse" suurenemise logaritmi ja selle lineaarse suuruse suurenemise logaritmi suhtena. See tähendab, et segmendi jaoks D = log (2) / log (2) = 1, tasandi jaoks D = log (4) / log (2) = 2, ruumala jaoks D = log (8) / log (2) )=3.
Arvutame nüüd Kochi kõvera mõõtme, mille konstrueerimiseks jagatakse ühiklõik kolmeks võrdseks osaks ja keskmine intervall asendatakse ilma selle lõiguta võrdkülgse kolmnurgaga. Kui minimaalse segmendi lineaarmõõtmed suurenevad kolm korda, suureneb Kochi kõvera pikkus log (4)/log (3) ~ 1,26 võrra. See tähendab, et Kochi kõvera mõõde on murdosa!

Teadus ja kunst

1982. aastal ilmus Mandelbroti raamat “Fractal Geometry of Nature”, kuhu autor kogus ja süstematiseeris peaaegu kogu tol ajal kättesaadava teabe fraktalide kohta ning esitas selle lihtsalt ja arusaadavalt. Mandelbrot pani oma ettekandes põhirõhu mitte rasketele valemitele ja matemaatilistele konstruktsioonidele, vaid lugejate geomeetrilisele intuitsioonile. Tänu arvuti abil saadud illustratsioonidele ja ajaloolistele lugudele, millega autor monograafia teaduslikku komponenti oskuslikult lahjendas, sai raamatust bestseller ning fraktalid said laiemale avalikkusele tuntuks. Nende edu mittematemaatikute seas on suuresti tingitud sellest, et väga lihtsate, isegi keskkooliõpilasele mõistetavate konstruktsioonide ja valemite abil saadakse hämmastava keerukuse ja iluga pilte. Kui personaalarvutid said piisavalt võimsaks, ilmus kunstis isegi terve suund – fraktaalmaal ja sellega sai hakkama peaaegu iga arvutiomanik. Nüüd leiate Internetist hõlpsalt palju sellele teemale pühendatud saite.

Kochi kõvera saamise skeem

Sõda ja rahu

Nagu eespool märgitud, on üks fraktaalsete omadustega loodusobjekte rannajoon. Sellega on seotud huvitav lugu, täpsemalt katsega mõõta selle pikkust, mis oli aluseks Mandelbroti teaduslikule artiklile ja mida kirjeldab ka tema raamat "Looduse fraktalgeomeetria". Jutt käib eksperimendist, mille viis läbi väga andekas ja ekstsentriline matemaatik, füüsik ja meteoroloog Lewis Richardson. Tema uurimistöö üheks suunaks oli katse leida matemaatiline kirjeldus kahe riigi vahelise relvakonflikti põhjuste ja tõenäosuse kohta. Parameetrite hulgas, mida ta arvesse võttis, oli kahe sõdiva riigi ühise piiri pikkus. Kui ta kogus andmeid arvulisteks katseteks, avastas ta, et Hispaania ja Portugali ühise piiri andmed erinevad suuresti erinevatest allikatest. See viis ta järgmise avastuseni: riigi piiride pikkus sõltub joonlauast, millega me neid mõõdame. Mida väiksem on skaala, seda pikem on piir. Põhjuseks on asjaolu, et suurema suurendusega on võimalik arvestada üha uute ja uute rannikukäänakutega, mis varem jäid mõõtmiste jämeduse tõttu tähelepanuta. Ja kui iga skaala suurendamisega ilmnevad varem arvestamata joonte kõverad, siis selgub, et piiride pikkus on lõpmatu! Tõsi, seda tegelikult ei juhtu – meie mõõtmiste täpsus on nii lõplik piir. Seda paradoksi nimetatakse Richardsoni efektiks.

Konstruktiivsed (geomeetrilised) fraktaalid

Konstruktiivse fraktali konstrueerimise algoritm üldjuhul on järgmine. Kõigepealt vajame kahte sobivat geomeetrilist kujundit, nimetagem neid aluseks ja killuks. Esimeses etapis on kujutatud tulevase fraktali alus. Seejärel asendatakse mõned selle osad sobivas mõõtkavas võetud fragmendiga - see on konstruktsiooni esimene iteratsioon. Seejärel muudab saadud kujund jälle osad fragmendiga sarnasteks kujunditeks jne. Kui jätkame seda protsessi lõpmatuseni, siis limiiti saame fraktali.

Vaatame seda protsessi Kochi kõvera näitel (vt eelmise lehe külgriba). Kochi kõvera aluseks võib võtta mis tahes kõvera (“Kochi lumehelbe” puhul on see kolmnurk). Kuid piirdume kõige lihtsama juhtumiga - segmendiga. Fragment on katkendlik joon, mis on näidatud joonisel ülaosas. Pärast algoritmi esimest iteratsiooni kattub sel juhul algne segment fragmendiga, seejärel asendatakse kõik selle koostisosad fragmendiga sarnase katkendjoonega jne. Joonisel on näidatud selle neli esimest sammu. protsessi.

Matemaatika keeles: dünaamilised (algebralised) fraktaalid

Seda tüüpi fraktalid tekivad mittelineaarsete dünaamiliste süsteemide uurimisel (sellest ka nimi). Sellise süsteemi käitumist saab kirjeldada kompleksse mittelineaarse funktsiooniga (polünoomiga) f (z). Võtame komplekstasandi algpunkti z0 (vt külgriba). Vaatleme nüüd sellist lõpmatut arvujada komplekstasandil, millest iga järgmine on saadud eelmisest: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), ... zn+1=f (zn ). Sõltuvalt algpunktist z0 võib selline jada käituda erinevalt: kalduda lõpmatuseni kui n -> ∞; lähenema mõnele lõpp-punktile; tsükliliselt võtta fikseeritud väärtuste jada; Võimalikud on ka keerulisemad variandid.

Keerulised numbrid

Kompleksarv on arv, mis koosneb kahest osast - reaalsest ja imaginaarsest, see tähendab formaalsest summast x + iy (x ja y siin - reaalarvud). ma olen nn imaginaarne ühik, see tähendab võrrandit rahuldav arv i^ 2 = -1. Põhiarvud on määratletud kompleksarvude kohal. matemaatilised tehted— liitmine, korrutamine, jagamine, lahutamine (ainult võrdlustehte pole määratletud). Sageli kasutatakse kompleksarvude kuvamiseks geomeetriline esitus- tasapinnal (seda nimetatakse kompleksiks) joonistatakse reaalosa piki abstsisstellge ja kujuteldav osa piki ordinaattelge ning kompleksarv vastab punktile, mille koordinaadid on x ja y.

Seega on komplekstasandi mis tahes punktil z funktsiooni f (z) iteratsioonide ajal oma käitumine ja kogu tasapind jaguneb osadeks. Veelgi enam, nende osade piiridel asuvatel punktidel on järgmine omadus: meelevaldselt väikese nihke korral muutub nende käitumise olemus järsult (sellisi punkte nimetatakse bifurkatsioonipunktideks). Seega selgub, et punktide komplektidel, millel on üht kindlat tüüpi käitumist, nagu ka bifurkatsioonipunktide komplektidel, on sageli fraktaalsed omadused. Need on funktsiooni f (z) Julia hulgad.

Draakoni perekond

Alust ja fragmenti muutes saate hämmastavalt erinevaid konstruktiivseid fraktale.
Lisaks saab sarnaseid toiminguid teha ka kolmemõõtmelises ruumis. Volumeetriliste fraktaalide näideteks on "Mengeri käsn", "Sierpinski püramiid" ja teised.
Draakoni perekonda peetakse ka konstruktiivseks fraktaaliks. Mõnikord kutsutakse neid avastajate nimede järgi "Heavey-Harteri draakoniteks" (oma kuju poolest meenutavad nad Hiina draakoneid). Selle kõvera koostamiseks on mitu võimalust. Lihtsaim ja visuaalseim neist on järgmine: peate võtma üsna pika pabeririba (mida õhem paber, seda parem) ja painutada see pooleks. Seejärel painutage see uuesti pooleks samas suunas nagu esimesel korral. Pärast mitut kordust (tavaliselt pärast viit või kuut volti muutub riba liiga paksuks, et seda õrnalt edasi painutada), peate riba tagasi painutama ja proovima luua voltidele 90˚ nurgad. Siis näete profiilis draakoni kõverat. Loomulikult on see vaid ligikaudne, nagu kõik meie katsed kujutada fraktaalobjekte. Arvuti võimaldab kujutada veel palju selle protsessi etappe ja tulemuseks on väga ilus figuur.

Mandelbroti komplekt on konstrueeritud mõnevõrra erinevalt. Vaatleme funktsiooni fc (z) = z 2 +c, kus c on kompleksarv. Koostame selle funktsiooni jada z0=0, sõltuvalt parameetrist c võib see lõpmatuseni lahkneda või jääda piiratuks. Lisaks moodustavad kõik c väärtused, mille jaoks see jada on piiratud, Mandelbroti komplekti. Seda uurisid üksikasjalikult Mandelbrot ise ja teised matemaatikud, kes avastasid selle komplekti palju huvitavaid omadusi.

On näha, et Julia ja Mandelbroti hulga definitsioonid on üksteisega sarnased. Tegelikult on need kaks komplekti omavahel tihedalt seotud. Nimelt on Mandelbroti hulk kõik kompleksparameetri c väärtused, mille jaoks Julia hulk fc (z) on ühendatud (hulka nimetatakse ühendatuks, kui seda ei saa teatud lisatingimustega jagada kaheks mitteühendatud osaks).

Fraktalid ja elu

Tänapäeval kasutatakse fraktaalide teooriat laialdaselt erinevates inimtegevuse valdkondades. Lisaks puhtteaduslikule uurimisobjektile ja juba mainitud fraktaalimaalile kasutatakse infoteoorias fraktaleid graafiliste andmete tihendamiseks (siin kasutatakse peamiselt fraktalide enesesarnasuse omadust - ju ikka selleks, et väike fragment meelde jätta pildi ja teisenduste jaoks, mille abil saate ülejäänud osad saada, kulub palju vähem mälu kui kogu faili salvestamine). Lisades fraktaali defineerivatesse valemitesse juhuslikud häired, saate stohhastilisi fraktale, mis annavad väga usutavalt edasi mõningaid reaalseid objekte - reljeefielemente, veehoidlate pinda, mõningaid taimi, mida kasutatakse edukalt füüsikas, geograafias ja arvutigraafikas suuremate eesmärkide saavutamiseks. simuleeritud objektide sarnasus reaalsega. Raadioelektroonikas eelmisel kümnendil hakkas tootma fraktaalkujuga antenne. Need võtavad vähe ruumi ja pakuvad kvaliteetset signaali vastuvõttu. Majandusteadlased kasutavad valuutakõikumiste kõverate kirjeldamiseks fraktaleid (selle omaduse avastas Mandelbrot rohkem kui 30 aastat tagasi). Sellega lõpeb lühike ekskursioon fraktaalide hämmastavalt kaunisse ja mitmekesisesse maailma.

Kui ma ei saa kõigest aru, mida loen, siis ma eriti ei ärritu. Kui mõni teema mulle hiljem ette ei tule, tähendab see, et see pole eriti oluline (vähemalt minu jaoks). Kui teema uuesti päevakorda kerkib, siis kolmandat korda on mul uued võimalused sellest paremini aru saada. Selliste teemade hulka kuuluvad fraktalid. Sain neist esmalt teada Nassim Talebi raamatust ja seejärel täpsemalt Benoit Mandelbroti raamatust. Täna saate saidil fraktaalide otsimisel saada 20 sedelit.

I osa. TEE PÄRITOLU

NIMI TÄHENDAB TEADA. 20. sajandi alguses märkis Henri Poincaré: „Teid üllatab jõud, mis ühel sõnal võib olla. Siin on objekt, mille kohta ei saanud enne ristimist midagi öelda. Piisas talle nime andmisest, et ime juhtuks” (vt ka). See juhtus siis, kui Poola sündinud prantsuse matemaatik Benoit Mandelbrot kogus 1975. aastal sõna. Ladinakeelsetest sõnadest frangere(vaheaeg) ja fractus(katkendav, diskreetne, murdosaline) on tekkinud fraktaal. Mandelbrot propageeris ja propageeris oskuslikult fraktaali kui kaubamärki, mis põhines emotsionaalsel atraktiivsusel ja ratsionaalsel kasulikkus. Ta avaldab mitmeid monograafiaid, sealhulgas Fractal Geometry of Nature (1982).

FRAKTAALID LOODUSES JA KUNSTIS. Mandelbrot tõi välja eukleidilisest erineva fraktaalgeomeetria kontuurid. Erinevus ei olnud seotud paralleelsuse aksioomiga, nagu Lobatševski või Riemanni geomeetriates. Erinevus seisnes selles, et Eukleidese vaikimisi sujuvuse nõue lükati tagasi. Mõned objektid on oma olemuselt karedad, poorsed või killustunud ning paljudel on need omadused "samal määral mis tahes ulatuses". Sarnastest vormidest looduses puudust ei ole: päevalilled ja spargelkapsas, merekarbid, sõnajalad, lumehelbed, mäelõhed, rannajooned, fjordid, stalagmiidid ja stalaktiidid, välk.

Tähelepanelikud ja tähelepanelikud inimesed on juba ammu märganud, et mõnel kujul on „lähedalt või kaugelt” vaadatuna korduv struktuur. Sellistele objektidele lähenedes märkame, et muutuvad vaid väikesed detailid, kuid üldine kuju jääb peaaegu muutumatuks. Selle põhjal on fraktaali kõige lihtsam defineerida kui geomeetrilist kujundit, mis sisaldab korduvaid elemente mis tahes skaalal.

MÜÜTID JA MÜSTIFIKATSIOONID. Mandelbroti avastatud uuest vormikihist sai disainerite, arhitektide ja inseneride kullakaevandus. Lugematu arv fraktaleid on ehitatud samade korduva kordamise põhimõtete järgi. Siit edasi on fraktaali kõige lihtsam määratleda kui geomeetrilist kujundit, mis sisaldab korduvaid elemente mis tahes skaalal. See geomeetriline vorm on lokaalselt muutumatu (invariantne), mastaapselt enesesarnane ja oma piirangutes terviklik – tõeline singulaarsus, mille keerukus avaldub lähenedes ja kaugemal on triviaalsus ise.

KURATREPP. Arvutite vahel andmete edastamiseks kasutatakse ülitugevaid elektrisignaale. Selline signaal on diskreetne. Häired või müra tekivad elektrivõrkudes mitmel põhjusel juhuslikult ja põhjustavad arvutitevahelise teabe edastamisel andmekadu. Eelmise sajandi kuuekümnendate alguses sai rühm IBM-i insenere, kelle töös Mandelbrot osales, ülesandeks kõrvaldada müra mõju andmeedastusele.

Ligikaudne analüüs näitas perioodide olemasolu, mille jooksul ei registreeritud ühtegi viga. Olles tuvastanud tund aega kestnud perioodid, märkasid insenerid, et nende vahel on ka signaali vigadeta läbimise perioodid katkendlikud, lühemad pausid kestavad paarkümmend minutit. Seega iseloomustavad veavaba andmeedastust erineva pikkusega andmepaketid ja pausid müras, mille jooksul edastatakse signaal vigadeta. Tundub, et kõrgema järgu pakettidesse on sisse ehitatud madalama järgu paketid. See kirjeldus eeldab, et on olemas selline asi nagu madalama asetusega pakettide suhteline positsioneerimine kõrgema järgu paketis. Kogemused on näidanud, et nende pakettide suhteliste asukohtade tõenäosusjaotus ei sõltu nende järjestusest. See muutumatus näitab andmete moonutamise protsessi enesesarnasust elektrilise müra mõjul. See protseduur, kuidas andmeedastuse ajal signaalist veatuid pause välja lõigata, ei saanud elektriinseneridele pähe tulla, kuna see oli neile uus.

Kuid Mandelbrot, kes õppis puhast matemaatikat, oli hästi teadlik Cantori komplektist, mida kirjeldati juba 1883. aastal ja mis kujutas range algoritmi järgi saadud punktidest saadud tolmu. Cantori tolmu konstrueerimise algoritmi olemus taandub järgmisele. Võtke sirge lõik. Eemaldage sellest segmendi keskmine kolmandik, hoides alles kaks otsa. Nüüd kordame sama toimingut lõppsegmentidega ja nii edasi. Mandelbrot avastas, et just selline on pakettide ja pauside geomeetria signaalide edastamisel arvutite vahel. Viga koguneb. Selle akumulatsiooni saab modelleerida järgmiselt. Esimeses etapis omistame intervalli kõikidele punktidele väärtuse 1/2, intervalli teises etapis väärtuse 1/4, väärtuse 3/4 intervalli punktidele jne. Nende väärtuste samm-sammult liitmine võimaldab teil ehitada nn kuradi redeli (joonis 1). Cantori tolmu mõõt on irratsionaalne arv, mis on võrdne 0,618..., mida tuntakse kui " kuldne suhe"või "jumalik proportsioon".

II osa. FRAKTAALID ON ASI TULEMUSI

NAERUS ILMA KASSITA: FRAKTAALNE MÕÕDE. Dimensioon on üks põhimõisteid, mis ulatub matemaatikast palju kaugemale. Eukleides defineeris esimeses elementide raamatus geomeetria põhimõisted: punkt, sirge, tasapind. Nende definitsioonide põhjal püsis kolmemõõtmelise eukleidilise ruumi mõiste muutumatuna ligi kaks ja pool tuhat aastat. Arvukad flirtid nelja-, viie- ja enamamõõtmeliste ruumidega ei anna sisuliselt midagi juurde, kuid seisavad silmitsi millegagi, mida inimese kujutlusvõime ette ei kujuta. Fraktaalgeomeetria avastamisega toimus mõõtmete ideedes radikaalne revolutsioon. Ilmunud on palju erinevaid mõõtmeid ja nende hulgas pole mitte ainult täisarvu, vaid ka murdosa ja isegi irratsionaalseid. Ja need mõõtmed on saadaval visuaalseks ja sensoorseks esituseks. Tegelikult võime hõlpsasti ette kujutada aukudega juustu, mudelit söötmest, mille mõõde on suurem kui kaks, kuid jääb alla kolmele juustuaukude tõttu, mis vähendavad juustu massi suurust.

Murd- või fraktaalmõõtme mõistmiseks pöördume Richardsoni paradoksi poole, mis väitis, et Suurbritannia karmi rannajoone pikkus on lõpmatu! Louis Fry Richardson mõtles, milline on mõõtmisskaala mõju Briti rannajoone mõõdetud pikkuse suurusele. Kontuurkaartide mõõtkavalt “rannikukivide” mõõtkavale liikudes jõudis ta kummalise ja ootamatu järelduseni: rannajoone pikkus pikeneb lõputult ja sellel suurenemisel pole piire. Siledad, kumerad jooned ei käitu nii. Richardsoni empiirilised andmed, mis saadi järjest suuremate mõõtkavade kaartidelt, näitasid rannajoone pikkuse järkjärgulist suurenemist mõõtmise sammu vähenemisega:

Selles lihtsas Richardsoni valemis L on mõõdetud ranniku pikkus, ε on mõõtesammu suurusjärk ja β ≈ 3/2 on tema leitud ranniku pikkuse kasvuaste koos mõõtesammu vähenemisega. Erinevalt ümbermõõdust suureneb Ühendkuningriigi rannajoone pikkus ilma 55 piiranguta. See on lõputu! Peame leppima tõsiasjaga, et katkistel, mittesiledatel kõveratel pole maksimaalset pikkust.

Kuid Richardsoni uuringud näitasid, et neil oli mingi iseloomulik mõõt selle kohta, mil määral pikkus suureneb mõõtmisskaala vähenemisega. Selgus, et just see väärtus identifitseerib müstiliselt katkendjoone sõrmejälje ja inimese isiksusena. Mandelbrot tõlgendas rannajoont fraktaalobjektina – objektina, mille mõõde langeb kokku eksponendiga β.

Näiteks Norra lääneranniku rannikupiiri kõverate mõõtmed on 1,52; Suurbritanniale – 1,25; Saksamaale – 1,15; Austraaliale – 1,13; Lõuna-Aafrika suhteliselt sileda ranniku jaoks - 1,02 ja lõpuks täiesti sileda ringi jaoks - 1,0.

Fraktaali fragmenti vaadates ei saa te aru, mis on selle mõõde. Ja põhjuseks ei ole fragmendi geomeetriline keerukus, fragment võib olla väga lihtne, vaid selles, et fraktali mõõde ei peegelda mitte ainult fragmendi kuju, vaid ka fragmendi teisendamise vormingut fraktali konstrueerimise protsessis. Fraktaalne mõõde on vormilt justkui eemaldatud. Ja tänu sellele jääb fraktaalidimensiooni väärtus muutumatuks; see on sama mis tahes fraktaali fragmendi jaoks mis tahes vaateskaalal. Seda ei saa "sõrmedega haarata", kuid seda saab arvutada.

FRAKTAALI KORDUS. Kordust saab modelleerida mittelineaarsete võrrandite abil. Lineaarvõrrandid iseloomustab muutujate ühemõtteline vastavus: igale väärtusele X vastab ühele ja ainult ühele väärtusele juures ja vastupidi. Näiteks võrrand x + y = 1 on lineaarne. Lineaarfunktsioonide käitumine on täiesti deterministlik, algtingimuste poolt üheselt määratud. Mittelineaarsete funktsioonide käitumine pole nii selge, sest kaks erinevat algtingimust võivad viia sama tulemuseni. Selle põhjal ilmub iteratsioon ehk toimingu kordamine kahes erinevas vormingus. Sellel võib olla lineaarse viite iseloom, kui arvutuste igal etapil pöördutakse tagasi algseisundisse. See on omamoodi "iteratsioon vastavalt mallile". Seeriatootmine koosteliinil on "iteratsioon malli järgi". Lineaarse võrdlusvormingu iteratsioon ei sõltu süsteemi arengu vahepealsetest olekutest. Siin algab iga uus iteratsioon "pliidist". Hoopis teine ​​asi on siis, kui iteratsioonil on rekursioonivorming, st eelmise iteratsioonietapi tulemus saab järgmise algtingimuseks.

Rekursiooni saab illustreerida Fibonacci seeriaga, mis on esitatud Girardi jada kujul:

u n +2 = u n +1 + u n

Tulemuseks on Fibonacci numbrid:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55…

Selles näites on üsna selge, et funktsioon rakendatakse iseendale, ilma algväärtusele viitamata. Tundub, et see libiseb mööda Fibonacci seeriat ja iga eelmise iteratsiooni tulemus saab järgmise algväärtuseks. Just selline kordus realiseerub fraktaalvormide konstrueerimisel.

Näidakem, kuidas fraktaalkordust realiseeritakse “Sierpinski salvrätiku” konstrueerimise algoritmides (lõikamismeetodil ja CIF-meetodil).

Lõikamise meetod. Võtke võrdkülgne kolmnurk küljega r. Esimeses etapis lõigake selle keskelt välja võrdkülgne kolmnurk, mille külje pikkus on tagurpidi r 1 = r 0 /2. Selle sammu tulemusena saame kolm külgpikkusega võrdkülgset kolmnurka r 1 = r 0 /2, mis asub algse kolmnurga tippudes (joon. 2).

Teises etapis lõikasime igast kolmest moodustatud kolmnurgast välja küljepikkusega ümberpööratud kolmnurgad r 2 = r 1 /2 = r 0 /4. Tulemus: 9 kolmnurka külje pikkusega r 2 = r 0 /4. Selle tulemusena muutub “Sierpinski salvrätiku” kuju järk-järgult üha selgemaks. Fikseerimine toimub igal sammul. Kõik varasemad fiksatsioonid on justkui "kustutatud".

SIF-meetod ehk Barnsley itereeritud funktsioonide süsteem. Antud on: võrdkülgne kolmnurk nurkade A (0,0), B (1,0), C (1/2, √3/2) koordinaatidega. Z 0 on suvaline punkt selle kolmnurga sees (joonis 3). Võtame matriitsi, mille külgedel on kaks tähte A, B ja C.

Samm 1. Veereta täringut. Iga tähe ilmumise tõenäosus on 2/6 = 1/3.

• Kui ilmub täht A, konstrueerime lõigu z 0 –A, mille keskele asetame punkti z 1
• Kui ilmub täht B, konstrueerime lõigu z 0 –B, mille keskele asetame punkti z 1
• Kui ilmub täht C, siis konstrueerime lõigu z 0 –C, mille keskele asetame punkti z 1

Samm 2. Veereta täringut uuesti.

• Kui ilmub täht A, konstrueerime lõigu z 1 –A, mille keskele asetame punkti z 2
• Kui ilmub täht B, konstrueerime lõigu z 1 – B, mille keskele asetame punkti z 2
• Kui ilmub täht C, siis konstrueerime lõigu z 1 – C, mille keskele asetame punkti z 2

Tehet mitu korda korrates saame punktid z 3, z 4, ..., z n. Igaühe nende eripära on see, et punkt on täpselt poolel teel eelmisest juhuslikult valitud tipuni. Kui nüüd jätta kõrvale algpunktid, näiteks z 0-lt z 100-ni, siis ülejäänud, piisavalt suure arvuga, moodustavad “Sierpinski salvrätiku” struktuuri. Mida rohkem punkte, seda rohkem iteratsioone, seda selgemalt paistab Sierpinski fraktal vaatlejale. Ja seda hoolimata asjaolust, et protsess kulgeb pealtnäha juhuslikult (tänu täringule). “Sierpinski salvrätik” on omamoodi protsessi atraktor ehk kujund, mille poole kõik selles protsessis piisavalt suure iteratsioonide arvuga rajatud trajektoorid kalduvad. Kujutise parandamine on kumulatiivne, kuhjuv protsess. Iga üksik punkt ei pruugi kunagi langeda kokku Sierpinski fraktali punktiga, kuid selle organiseeritud "juhuslikult" protsessi iga järgnev punkt tõmbab üha lähemale "Sierpinski salvrätiku" punktidele.

TAGASISIDE LOOP. Küberneetika rajaja Norbert Wiener tõi tagasisideahela kirjeldamiseks näitena paaditüürimehe. Roolimees peab püsima kursil ja hindab pidevalt, kui hästi paat kursil püsib. Kui tüürimees näeb, et paat kaldub kõrvale, keerab ta rooli, et see seatud kursile tagasi viia. Mõne aja pärast hindab ta uuesti ja korrigeerib rooli abil liikumissuunda. Seega navigeerimine toimub paadi liikumise iteratsioonide, korduste ja järjestikuste lähenduste abil antud kursile.

Tüüpiline tagasisideahela ahel on näidatud joonisel fig. 4 See taandub muutuvate parameetrite (paadi suund) ja juhitava parameetri C (paadi kurss) muutmisele.

Mõelge "Bernoulli nihke" kaardistamisele. Olgu algseisundiks valitud teatud arv, mis kuulub vahemikku 0 kuni 1. Kirjutame see arv kahendarvusüsteemi:

x 0 = 0,01011010001010011001010…

Nüüd on aja arengu üks samm see, et nullide ja ühtede jada nihutatakse ühe koha võrra vasakule ja koma vasakule jääv number jäetakse kõrvale:

x 1 = 0,1011010001010011001010…

x 2 = 0,011010001010011001010 ...

x 3 = 0,11010001010011001010 ...

Pange tähele, et kui algsed numbrid x 0 ratsionaalne, siis iteratsiooni protsessis väärtused Xn siseneda perioodilisele orbiidile. Näiteks algarvu 11/24 jaoks saame iteratsiooniprotsessi käigus väärtuste jada:

11/24 -> 11/12 -> 5/6 -> 2/3 -> 1/3 -> 2/3 -> 1/3 -> …

Kui algväärtused x 0 on irratsionaalsed, ei jõua kaardistamine kunagi perioodilise režiimini. Algväärtuste intervall x 0 ∈ sisaldab lõpmatult palju ratsionaalseid punkte ja lõpmatult palju irratsionaalseid punkte. Seega on perioodiliste orbiitide tihedus võrdne nende orbiitide tihedusega, mis ei jõua kunagi perioodilise režiimini. Igas ratsionaalse väärtusega naabruses x 0 algparameetril on irratsionaalne väärtus x'0 Sellises olukorras on peen tundlikkus esialgsed tingimused. See on iseloomulik tunnus et süsteem on dünaamilise kaose seisundis.

ELEMENTAARSE TAGASISIDE LOOPS. Tagurpidi on vajalik tingimus ja iga kõrvalpilgu tagajärg, enda üllatus. Pöördsilmuse ikoon võib olla Möbiuse riba, mille alumine külg iga ringiga muutub ülemiseks, sisemine muutub väliseks ja vastupidi. Erinevuste kuhjumine ümberpööramise protsessis eemaldab esmalt pildi algsest ja seejärel tagastab selle. Loogikas illustreerib vastupidist ahelat Epimenidese paradoks: "kõik kreetalased on valetajad." Kuid Epimenides ise on kreetalane.

KUMMALINE SILM. Kummalise silmuse fenomeni dünaamiline olemus taandub asjaolule, et kujutis, muutudes ja muutudes üha erinevamaks algsest, naaseb arvukate deformatsioonide käigus algse pildi juurde, kuid ei korda seda kunagi täpselt. Seda nähtust kirjeldades tutvustab Hofstadter raamatus mõistet "kummaline silmus". Ta järeldab, et Escher, Bach ja Gödel avastasid või pigem kasutasid kummalisi silmuseid oma töös ja loovuses vastavalt kujutavas kunstis, muusikas ja matemaatikas. Escher avastas teoses Metamorphoses reaalsuse erinevate tasandite kummalise sidususe. Ühe kunstilise vaatenurga vormid muudetakse plastiliselt teise kunstilise perspektiivi vormideks (joon. 5).

Riis. 5. Maurits Escher. Käte joonistamine. 1948. aastal

See veidrus avaldus muusikas veidral moel. Bachi "Muusikalise pakkumise" üks kaanoneid ( Canon Tonose kohta- Tonaalne kaanon) on üles ehitatud nii, et selle näiline lõpp läheb ootamatult sujuvalt üle algusse, kuid võtmenihkega. Need järjestikused modulatsioonid viivad kuulaja algsest helikõrgust aina kõrgemale. Kuid imekombel oleme pärast kuut modulatsiooni peaaegu tagasi. Kõik hääled kõlavad nüüd täpselt oktaavi võrra kõrgemalt kui alguses. Ainus kummaline asi on see, et tõustes läbi teatud hierarhia tasandite, leiame end ühtäkki peaaegu samast kohast, kust oma teekonda alustasime - tagasi ilma kordamiseta.

Kurt Gödel avastas kummalised silmused matemaatika ühes iidsemas ja valdatuimas valdkonnas – arvuteoorias. Gödeli teoreem ilmus esmakordselt teoreemina VI tema 1931. aasta artiklis "Formaalselt otsustamatute väidete kohta" ajakirjas Principle Mathematica. Teoreem ütleb järgmist: kõik arvuteooria järjekindlad aksiomaatilised formuleeringud sisaldavad otsustamatuid väiteid. Arvuteooria väited ei ütle midagi arvuteooria väidete kohta; need pole midagi muud kui arvuteooria väited. Siin on silmus, aga veidrust pole. Tõestuses on peidus kummaline silmus.

KUMMALINE ATRAKTOR. Attraktor (inglise keelest. meelitada meelitada) punkt või suletud rida, meelitades enda poole kõik süsteemi käitumise võimalikud trajektoorid. Atraktor on stabiilne, see tähendab, et pikemas perspektiivis on ainus võimalik käitumismudel atraktor, kõik muu on ajutine. Atraktor on aegruumi objekt, mis katab kogu protsessi, olles ei selle põhjus ega tagajärg. Selle moodustavad ainult piiratud arvu vabadusastmetega süsteemid. Atraktoriteks võivad olla punkt, ring, torustik ja fraktal. IN viimasel juhul atraktorit nimetatakse “kummaliseks” (joonis 6).

Punkttraktor kirjeldab süsteemi mis tahes stabiilset olekut. Faasiruumis tähistab see punkti, mille ümber moodustuvad "sõlme", ​​"fookuse" või "sadula" kohalikud trajektoorid. Pendel käitub nii: mis tahes algkiirus ja mis tahes algasendis, piisava aja möödudes, hõõrdumise mõjul pendel peatub ja jõuab stabiilsesse tasakaaluolekusse. Ringikujuline (tsükliline) atraktor on liikumine edasi-tagasi, nagu ideaalne pendel (ilma hõõrdumiseta), ringis.

Kummalised atraktorid ( kummalised atraktorid) tunduvad kummalised ainult väljastpoolt, kuid mõiste " kummaline ligitõmbaja"levis kohe pärast David Rueli ja hollandlase Floris Takensi artikli "Turbulentsi olemus" ilmumist 1971. aastal (vt ka). Ruel ja Takens küsisid, kas igal atraktoril on õiged omadused: stabiilsus, piiratud arv vabadusastmeid ja mitteperioodilisus. KOOS geomeetriline punkt Vaadates tundus küsimus puhta mõistatusena. Millises vormis peaks olema piiratud ruumis kujutatud lõpmatult laiendatud trajektoor, et see ei korduks ega ristuks kunagi? Iga rütmi taasesitamiseks peab orbiidil olema lõpmatult pikk joon piiratud ala teisisõnu olema ise neelavad (joonis 7).

1971. aastaks oli sellisest atraktorist teaduskirjanduses juba üks visand. Eduard Lorenz lisas selle oma 1963. aasta deterministlikku kaost käsitlevale artiklile lisana. See atraktor oli stabiilne, mitteperioodiline, sellel oli väike arv vabadusastmeid ja see ei ületanud kunagi ennast. Kui midagi sellist oleks juhtunud ja ta oleks naasnud punkti, millest ta oli juba möödas, oleks seda liikumist tulevikus korratud, moodustades toroidaalse atraktori, kuid seda ei juhtunud.

Atraktori kummalisus seisneb, nagu Ruel uskus, kolmes mittevõrdväärses, kuid praktikas koos eksisteerivas omaduses:

• fraktaalsus (pesastumine, sarnasus, järjepidevus);
• determinism (sõltuvus algtingimustest);
• singulaarsus (lõplik arv määratlevaid parameetreid).

III osa. FRAKTAALVORMIDE KUJULETAV KERGUS

VÄLJAKUJUTUSLIKUD NUMBRID, FAASPORTREED JA TÕENÄOSUS. Fraktaalgeomeetria põhineb imaginaarsete arvude teoorial, dünaamilistel faasiportreedel ja tõenäosusteoorial. Kujutletav arvuteooria lubab, et on olemas Ruutjuur miinus ühest. Gerolamo Cardano esitas oma teoses "Suur kunst" ("Ars Magna", 1545) kuupvõrrandi z 3 + pz + q = 0 üldlahenduse. Cardano kasutab juurte väljendamiseks tehnilise formalismi vahendina imaginaarseid arve. võrrandist. Ta märkab veidrust, mida ta illustreerib lihtne võrrand x 3 = 15x + 4. Sellel võrrandil on üks ilmne lahend: x = 4. Üldvalem annab aga kummalise tulemuse. See sisaldab negatiivse arvu juure:

Raphael Bombelli juhtis oma algebrateemalises raamatus (L'Algebra, 1560) tähelepanu sellele, et = 2 ± i ja see võimaldas tal kohe saada reaaljuur x = 4. Sellistel juhtudel, kui kompleksarvud on konjugeeritud, on reaalarvud saadakse juur ja kompleksarvud on tehniliseks abiks kuupvõrrandi lahenduse leidmisel.

Newton uskus, et lahendusi, mis sisaldavad miinus ühe juurt, tuleks lugeda „puuduvateks füüsiline tähendus" ja visake see ära. 17.–18. sajandil kujunes arusaam, et miski väljamõeldud, vaimne, kujuteldav pole vähem reaalne kui kõik reaalne kokku. Võime isegi nimetada täpseks kuupäevaks 10. novembrit 1619, mil Descartes sõnastas uue mõtlemise manifesti “cogito ergo sum”. Sellest hetkest alates on mõte absoluutne ja vaieldamatu reaalsus: "kui ma mõtlen, siis see tähendab, et ma olen olemas"! Täpsemalt, mõtet tajutakse nüüd reaalsusena. Descartes'i idee ortogonaalsest koordinaatsüsteemist leiab tänu kujuteldavatele arvudele oma täielikkuse. Nüüd on võimalik need mõttelised numbrid tähendusega täita.

19. sajandil töötati Euleri, Argandi, Cauchy ja Hamiltoni tööde kaudu välja aritmeetiline aparaat kompleksarvudega töötamiseks. Mis tahes kompleksarvu saab esitada summana X+iY, kus X ja Y on reaalarvud, millega oleme harjunud, ja i kujuteldav ühik (sisuliselt √–1). Igale kompleksarvule vastab punkt koordinaatidega (X, Y) nn komplekstasandil.

Teine oluline mõiste – dünaamilise süsteemi faasiportree – kujunes välja 20. sajandil. Pärast seda, kui Einstein näitas, et valguse suhtes liigub kõik ühesuguse kiirusega, tekkis idee võimalusest väljendada süsteemi dünaamilist käitumist külmutatud geomeetriliste joonte kujul, nn dünaamilise süsteemi faasiportree. , omandas selge füüsilise tähenduse.

Illustreerime seda pendli näitel. Jean Foucault tegi oma esimesed katsed pendliga 1851. aastal keldris, seejärel Pariisi observatooriumis, seejärel Pantheoni kupli all. Lõpuks riputati 1855. aastal Foucault' pendel Pariisi Saint-Martin-des-Champsi kiriku kupli alla. Foucault pendelköie pikkus on 67 m, raskuse kaal 28 kg. Suure vahemaa tagant näeb pendel välja nagu punkt. Punkt on alati liikumatu. Lähenedes eristame kolme tüüpilise trajektooriga süsteemi: harmooniline ostsillaator (sinϕ ≈ ϕ), pendel (võnkub edasi-tagasi), propeller (pöörlemine).

Kui kohalik vaatleja näeb üht kolmest palli liikumise võimalikust konfiguratsioonist, võib protsessist eemaldatud analüütik eeldada, et pall teeb ühe kolmest tüüpilisest liikumisest. Seda saab kujutada ühel plaanil. Tuleb kokku leppida, et liigutame “palli nööril” abstraktsesse faasiruumi, millel on sama palju koordinaate, kui palju on vaadeldaval süsteemil vabadusastmeid. Sel juhul räägime kahe vabadusastme kiirusest v ja kuuliga keerme kaldenurk vertikaali suhtes ϕ. Koordinaatides ϕ ja v on harmoonilise ostsillaatori trajektoor kontsentriliste ringide süsteem; nurga ϕ suurenedes muutuvad need ringid ovaalseteks ja kui ϕ = ± π ovaali sulgemine on kadunud. See tähendab, et pendel on lülitunud propelleri režiimi: v = konst(joonis 8).

Riis. 8. Pendel: a) trajektoor ideaalse pendli faasiruumis; b) trajektoor sumbutusega õõtsuva pendli faasiruumis; c) faasiportree

Faasiruumis ei pruugi olla pikkusi, kestusi ega liikumisi. Siin on iga tegevus ette antud, kuid mitte iga tegevus pole reaalne. Geomeetriast jääb alles vaid topoloogia, mõõtmete asemel parameetrid, mõõtmete asemel mõõtmed. Siin on igal dünaamilisel süsteemil oma ainulaadne jäljend – faasiportree. Ja nende hulgas on üsna kummalisi faasiportreesid: olles keerulised, on need määratud ühe parameetriga; kuna need on võrreldavad, on need ebaproportsionaalsed; olles pidevad, on need diskreetsed. Sellised kummalised faasiportreed on tüüpilised atraktorite fraktaalkonfiguratsiooniga süsteemidele. Tõmbekeskuste (atraktorite) diskreetsus loob toimekvanti, tühimiku või hüppe efekti, samas kui trajektoorid säilitavad järjepidevuse ja toodavad ühtse ühendatud vormi – kummalise atraktori.

FRAKTAALIDE KLASSIFIKATSIOON. Fraktalil on kolm hüpostaasi: formaalne, operatiivne ja sümboolne, mis on üksteise suhtes ortogonaalsed. Ja see tähendab, et sama fraktaali kuju on võimalik saada erinevate algoritmide abil ja sama fraktaali mõõtmete arv võib esineda täiesti erineva kujuga fraktaalides. Võttes arvesse neid kommentaare, klassifitseerime fraktalid sümboolsete, formaalsete ja tööomaduste järgi:

• sümboolses mõttes võib fraktalile iseloomulik mõõde olla täis- või murdosa;
• vastavalt oma vormilistele omadustele võivad fraktalid olla koherentsed, nagu leht või pilv, ja ebajärjekindlad nagu tolm;
• Operatsioonikriteeriumide järgi võib fraktaale jagada tavalisteks ja stohhastilisteks.

Regulaarsed fraktaalid konstrueeritakse rangelt määratletud algoritmi järgi. Ehitusprotsess on pöörduv. Saate korrata kõiki toiminguid vastupidises järjekorras, kustutades punkthaaval kõik deterministliku algoritmi abil loodud pildid. Deterministlik algoritm võib olla lineaarne või mittelineaarne.

Stohhastilises mõttes sarnased stohhastilised fraktaalid tekivad siis, kui nende konstrueerimise algoritmis muutuvad iteratsiooniprotsessi käigus mis tahes parameetrid juhuslikult. Mõiste "stohhastilisus" pärineb kreekakeelsest sõnast stohhaas- oletus, oletus. Stohhastiline protsess on protsess, mille muutuste olemust ei saa täpselt ennustada. Fraktaale toodetakse looduse suva järgi (rikkepinnad kivid, pilved, turbulentsed voolud, vaht, geelid, tahmaosakeste kontuurid, aktsiahindade ja jõgede taseme muutused jm), puudub geomeetriline sarnasus, kuid reprodutseerib kangekaelselt igas fragmendis keskmiselt terviku statistilisi omadusi. Arvuti võimaldab genereerida pseudojuhuslike arvude jadasid ja koheselt simuleerida stohhastilisi algoritme ja vorme.

LINEAARSED FRAKTALID. Lineaarseid fraktaale nimetatakse nii, kuna need kõik on konstrueeritud kindla lineaarse algoritmi abil. Need fraktalid on isesarnased, ei moondu ühegi skaala muutusega ega ole üheski punktis eristatavad. Selliste fraktaalide konstrueerimiseks piisab aluse ja fragmendi määramisest. Neid elemente korratakse lõpmatuseni välja suumides mitu korda.

Kantori tolm. 19. sajandil pakkus saksa matemaatik Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845–1918) matemaatikutele välja kummalise arvude komplekti vahemikus 0 kuni 1. Hulk sisaldas määratud intervallis lõpmatu arvu elemente ja pealegi oli sellel nullmõõde. Vaevalt oleks juhuslikult lastud nool tabanud selle komplekti ühtki elementi.

Esiteks peate valima ühiku pikkuse segmendi (esimene samm: n = 0), seejärel jagage see kolmeks osaks ja eemaldage keskmine kolmandik (n = 1). Järgmisena teeme täpselt sama iga saadud segmendiga. Lõpmatu arvu korduste tulemusel saame soovitud “Cantori tolmu” komplekti. Nüüd puudub vastand katkematu ja lõpmatult jaotatava vahel, „kantori tolm” on mõlemad (vt joonis 1). "Cantor Dust" on fraktal. Selle fraktaalmõõde on 0,6304...

Ühemõõtmelise Cantori komplekti üht kahemõõtmelist analoogi kirjeldas Poola matemaatik Waclaw Sierpinski. Seda nimetatakse "Cantori vaibaks" või sagedamini "Sierpinski vaibaks". Ta on rangelt enesesarnane. Selle fraktaalmõõtme saame arvutada ln8/lnЗ = 1,89... (joonis 9).

LENNUKI TÄITMISED JOONED. Vaatleme tervet tavaliste fraktaalide perekonda, mis on kõverad, mis võivad täita tasapinna. Leibniz märkis ka: "Kui eeldame, et keegi paneb juhuslikult paberile palju punkte,<… >Ma ütlen, et teatud reeglit järgides on võimalik tuvastada konstantne ja terviklik geomeetriline joon, mis läbib kõiki punkte. See Leibnizi väide oli vastuolus eukleidilise arusaamaga dimensioonist kui väikseimast arvust parameetritest, mille abil määratakse üheselt ruumipunkti asukoht. Rangete tõendite puudumisel jäid need Leibnizi ideed matemaatilise mõtte perifeeriasse.

Peano kõver. Kuid 1890. aastal kujundas Itaalia matemaatik Giuseppe Peano joone, mis katab täielikult tasase pinna, läbides kõik selle punktid. Peano kõvera konstruktsioon on näidatud joonisel fig. 10.

Kui Peano kõvera topoloogiline mõõde on võrdne ühega, siis selle fraktaalmõõde on d = ln(1/9)/ln(1/3) = 2. Fraktaalgeomeetria raames lahendati paradoks kõige loomulikumalt tee. Joon, nagu võrk, võib katta tasapinna. Sel juhul luuakse üks-ühele vastavus: iga punkt joonel vastab punktile tasapinnal. Kuid see vastavus ei ole üks-ühele, sest iga punkt tasapinnal vastab ühele või mitmele punktile joonel.

Hilberti kõver. Aasta hiljem, 1891. aastal, ilmus saksa matemaatiku David Hilberti (1862–1943) artikkel, milles ta esitas kõvera, mis katab tasapinna ilma ristmiku ja puutujata. "Hilberti kõvera" konstruktsioon on näidatud joonisel fig. üksteist.

Hilberti kõverast sai esimene FASS-i kõverate näide (spaceFilling, selfAvoiding, Simple and selfSimilar lines). Gilberti joone fraktaalmõõde, nagu ka Peano kõver, on kaks.

Minkowski lint. Hilberti lähedane sõber tudengipõlvest Hermann Minkowski konstrueeris kõvera, mis ei kata tervet tasapinda, vaid moodustab midagi linditaolist. "Minkowski riba" ehitamisel asendatakse iga segment igas etapis katkendliku joonega, mis koosneb 8 segmendist. Järgmises etapis korratakse toimingut iga uue segmendiga mõõtkavas 1:4. Minkowski riba fraktaalmõõde on d = ln(l/8)/ln(1/4) = 1,5.

MITTELINEAARSED FRAKTALID. Lihtsaim mittelineaarne komplekstasandi kaardistamine iseendaga on esimeses osas käsitletud Julia kaardistus z g z 2 + C. See on arvutus suletud tsüklis, kus eelmise tsükli tulemus korrutatakse iseendaga, lisades sellele teatud konstant, st see on ruuttagasiside (joon. 13).

Iteratsiooniprotsessi käigus konstandi C fikseeritud väärtuse juures, olenevalt suvalisest lähtepunktist Z 0, punktis Z n kell n-> ∞ võib olla kas lõplik või lõpmatu. Kõik oleneb Z 0 asukohast lähtepunkti suhtes z = 0. Kui arvutatud väärtus on lõplik, siis on see kaasatud Julia hulka; kui see läheb lõpmatuseni, siis on see Julia komplektist ära lõigatud.

Kuju, mis saadakse pärast Julia kaardi rakendamist teatud pinna punktidele, määratakse üheselt parameetriga C. Väikese C puhul on need lihtsad ühendatud silmused, suure C jaoks on need lahtiühendatud, kuid rangelt järjestatud punktide klastrid. Üldiselt võib kõik Julia vormid jagada kaheks suureks perekonnaks - ühendatud ja lahti ühendatud kaardistused. Esimesed meenutavad “Kochi lumehelvest”, teised “Cantori tolmu”.

Julia kujundite mitmekesisus hämmastas matemaatikuid, kui nad said esimest korda neid kujundeid arvutimonitoridel jälgida. Katsed seda sorti järjestada olid väga tinglikud ja taandusid asjaolule, et Julia kaartide klassifitseerimisel võeti aluseks Mandelbroti komplekt, mille piirid, nagu selgus, olid asümptootiliselt sarnased Julia kaartidega. .

Kui C = 0, annab Julia kaardi kordamine numbrijada z 0, z 0 2, z 0 4, z 0 8, z 0 16... Selle tulemusena on võimalik kolm varianti:

• juures |z 0 |< 1 в процессе итераций числа z n по модулю будут уменьшаться, последовательно приближаясь к нулю. Иными словами, ноль есть точечный аттрактор;
• juures |z 0 | > 1 iteratsioonide ajal suurenevad arvud z n absoluutväärtuses, kaldudes lõpmatuseni. Sel juhul on atraktor lõpmatult kauge punkt ja me jätame sellised väärtused Julia komplektist välja;
• juures |z 0 | = 1 jada kõik punktid jäävad sellele ühikuringile. Sel juhul on atraktoriks ring.

Seega, kui C = 0, on ligitõmbava ja tõrjuva algpunkti vaheline piir ring. Sel juhul on ekraanil kaks fikseeritud punktid: z = 0 ja z = 1. Esimene neist on atraktiivne, kuna ruutfunktsiooni tuletis nullis on 0 ja teine ​​on tõrjuv, kuna ruutfunktsiooni tuletis parameetri väärtusel üks on võrdne kaks.

Vaatleme olukorda, kui konstant C on reaalarv, s.t. tundub, et me liigume mööda Mandelbroti hulga telge (joonis 14). C = –0,75 juures lõikub Julia hulga piir ise ja ilmub teine ​​atraktor. Sellel kohal olev fraktal kannab San Marco fraktali nime, mille andis talle Mandelbrot kuulsa Veneetsia katedraali auks. Joonist vaadates pole raske mõista, miks Mandelbrot tuli ideele anda fraktal selle struktuuri auks: sarnasus on hämmastav.

Riis. 14. Julia hulga kuju muutmine, kuna C tegelik väärtus väheneb 0-lt –1-le

Vähendades C veelgi -1,25-ni, saame uue standardvorm nelja fikseeritud punktiga, mida säilitatakse kuni C väärtusteni< 2. При С = 2 множество Жюлиа вырождается в отрезок, который тут же распадается в пыль, аналогичную «пыли Кантора» (рис. 15).

Riis. 15. Julia komplekti uute vormide ilmumine koos C reaalväärtuse vähenemisega< –1

Niisiis, jäädes isegi Mandelbroti fraktali teljele (konstant C on reaalarv), "püüdsime" tähelepanuväljale ja järjestasime mingil moel üsna suure hulga Julia kujundeid ringist tolmuni. Vaatleme nüüd Mandelbroti fraktali märgialasid ja Julia fraktaalide vastavaid vorme. Kõigepealt kirjeldagem Mandelbroti fraktaalit kardioidi, neerude ja sibulate terminites (joonis 16).

Peamine kardioid ja külgnev ring moodustavad Mandelbroti fraktali põhikuju. Need külgnevad lõpmatu arvu tema enda koopiatega, mida tavaliselt nimetatakse neerudeks. Igaüks neist pungadest on ümbritsetud lõpmatu arvu väiksemate pungadega, mis on üksteisega sarnased. Kaks suurimat punga peamise kardioidi kohal ja all nimetati sibulaks.

Prantslane Adrien Daudi ja ameeriklane Bill Hubbard, kes uurisid selle komplekti tüüpilist fraktaali (C = –0,12 + 0,74i), nimetasid seda “jänese fraktaliks” (joonis 17).

Mandelbroti fraktali piiri ületades kaotavad Julia fraktalid alati koherentsuse ja muutuvad tolmuks, mida tavaliselt nimetatakse "Fatou tolmuks" Pierre Fatou auks, kes tõestas, et teatud C väärtuste puhul tõmbab lõpmatult kauge punkt ligi. kogu keeruline tasapind, välja arvatud väga õhuke tolmuga sarnane komplekt (joonis 18).

STOHASTILISED FRAKTALID. Rangelt enesesarnase von Kochi kõvera ja näiteks Norra ranniku vahel on oluline erinevus. Kuigi viimane ei ole rangelt enesesarnane, on statistilises mõttes sarnasus. Mõlemad kõverad on nii katki, et te ei saa ühelegi nende punktile puutujat tõmmata või teisisõnu ei saa te seda eristada. Sellised kõverad on omamoodi “koletis” tavaliste eukleidiliste joonte seas. Esimene, kes konstrueeris pideva funktsiooni, millel pole üheski punktis puutujat, oli Karl Theodor Wilhelm Weierstrass. Tema tööd esitleti Preisi Kuninglikule Akadeemiale 18. juulil 1872 ja avaldati 1875. aastal. Weierstrassi kirjeldatud funktsioonid näevad välja nagu müra (joonis 19).

Vaata börsibülletäänide graafikuid, kokkuvõtet temperatuuri või õhurõhu kõikumisest ja sealt leiad mõned regulaarsed ebakorrapärasused. Veelgi enam, mastaabi suurenedes säilib kareduse olemus. Ja see viitab meile fraktaalgeomeetriale.

Browni liikumine on üks enim kuulsad näited stohhastiline protsess. 1926. aastal sai Jean Perrin Browni liikumise olemuse uurimise eest Nobeli preemia. Just tema juhtis tähelepanu Browni trajektoori enesesarnasusele ja mittediferentseerumisele.

Fraktaale on tuntud peaaegu sajand, nad on hästi uuritud ja neil on elus palju rakendusi. See nähtus põhineb väga lihtne idee: suhteliselt lihtsate kujunduste abil on võimalik saada lõputult erinevaid ilu ja mitmekesisust, kasutades vaid kahte toimingut – kopeerimine ja skaleerimine

Sellel mõistel pole ranget määratlust. Seetõttu ei ole sõna "fraktal" matemaatiline termin. Tavaliselt nimetatakse seda geomeetrilist kujundit, mis vastab ühele või mitmele järgmistest omadustest:

• on keerulise struktuuriga mis tahes suurendusega;
• on (ligikaudselt) enesesarnane;
• omab murdosa Hausdorffi (fraktaal) dimensiooni, mis on suurem topoloogilisest;
• saab konstrueerida rekursiivsete protseduuride abil.

19. ja 20. sajandi vahetusel oli fraktaalide uurimine pigem episoodiline kui süstemaatiline, sest varem uurisid matemaatikud peamiselt “häid” objekte, mida sai uurida üldiste meetodite ja teooriate abil. 1872. aastal konstrueeris saksa matemaatik Karl Weierstrass näite pidevast funktsioonist, mis ei ole kusagil diferentseeritav. Selle ülesehitus oli aga täiesti abstraktne ja raskesti mõistetav. Seetõttu mõtles rootslane Helge von Koch 1904. aastal välja pideva kõvera, millel pole kuskil puutujat ja mida on üsna lihtne joonistada. Selgus, et sellel on fraktali omadused. Selle kõvera ühte varianti nimetatakse "Kochi lumehelbeks".

Figuuride enesesarnasuse ideed noppis üles prantslane Paul Pierre Levy, Benoit Mandelbroti tulevane mentor. 1938. aastal ilmus tema artikkel “Tervikuga sarnastest osadest koosnevad tasapinnalised ja ruumilised kõverad ja pinnad”, mis kirjeldas teist fraktaali – Lévy C-kõverat. Kõik need ülalloetletud fraktaalid võib tinglikult liigitada ühte konstruktiivsete (geomeetriliste) fraktaalide klassi.

Teine klass on dünaamilised (algebralised) fraktaalid, mis hõlmavad Mandelbroti komplekti. Esimesed sellesuunalised uurimused pärinevad 20. sajandi algusest ja on seotud prantsuse matemaatikute Gaston Julia ja Pierre Fatou nimedega. 1918. aastal avaldas Julia peaaegu kahesajaleheküljelise töö keeruliste ratsionaalsete funktsioonide iteratsioonide kohta, milles kirjeldati Julia komplekte – tervet fraktaalide perekonda, mis on tihedalt seotud Mandelbroti hulgaga. See töö pälvis Prantsuse Akadeemia auhinna, kuid see ei sisaldanud ühtegi illustratsiooni, mistõttu oli võimatu hinnata avatud objektide ilu. Hoolimata asjaolust, et see töö tegi Julia tolleaegsete matemaatikute seas kuulsaks, unustati see kiiresti.

Tähelepanu Julia ja Fatou loomingule pöördus uuesti alles pool sajandit hiljem, arvutite tulekuga: just nemad tegid nähtavaks fraktaalide maailma rikkuse ja ilu. Fatou ei saanud ju kunagi vaadata pilte, mida me praegu tunneme Mandelbroti komplekti kujutistena, sest vajalikku arvu arvutusi ei saa käsitsi teha. Esimene inimene, kes selleks arvutit kasutas, oli Benoit Mandelbrot.

1982. aastal ilmus Mandelbroti raamat “Fractal Geometry of Nature”, kuhu autor kogus ja süstematiseeris peaaegu kogu tol ajal kättesaadava teabe fraktalide kohta ning esitas selle lihtsalt ja arusaadavalt. Mandelbrot pani oma ettekandes põhirõhu mitte rasketele valemitele ja matemaatilistele konstruktsioonidele, vaid lugejate geomeetrilisele intuitsioonile. Tänu arvuti abil saadud illustratsioonidele ja ajaloolistele lugudele, millega autor monograafia teaduslikku komponenti oskuslikult lahjendas, sai raamatust bestseller ning fraktalid said laiemale avalikkusele tuntuks. Nende edu mittematemaatikute seas on suuresti tingitud sellest, et väga lihtsate, isegi keskkooliõpilasele mõistetavate konstruktsioonide ja valemite abil saadakse hämmastava keerukuse ja iluga pilte. Kui personaalarvutid said piisavalt võimsaks, ilmus kunstis isegi terve suund – fraktaalmaal ja sellega sai hakkama peaaegu iga arvutiomanik. Nüüd leiate Internetist hõlpsalt palju sellele teemale pühendatud saite.

70ndate lõpus ilmunud fraktaali ja fraktaalgeomeetria kontseptsioonid on matemaatikute ja programmeerijate seas alates 80ndate keskpaigast kindlalt kinnistunud. Sõna fraktal on tuletatud ladinakeelsest sõnast fractus ja tähendab fragmentidest koosnemist. Benoit Mandelbrot tegi 1975. aastal ettepaneku viidata ebakorrapärastele, kuid samalaadsetele struktuuridele, mille pärast ta mures oli. Fraktaalgeomeetria sündi seostatakse tavaliselt Mandelbroti raamatu “The Fractal Geometry of Nature” ilmumisega 1977. aastal. Tema töödes on kasutatud teiste aastatel 1875-1925 samal alal tegutsenud teadlaste teadustulemusi (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Kuid ainult meie ajal on olnud võimalik ühendada nende tööd ühtseks süsteemiks.
Fraktaalide roll arvutigraafikas on tänapäeval üsna suur. Nad tulevad appi näiteks siis, kui on vaja mitut koefitsienti kasutades jooned ja pinnad väga hästi määratleda. keeruline kuju. Arvutigraafika seisukohalt on fraktaalgeomeetria tehispilvede, mägede ja merepindade tekitamisel asendamatu. Tegelikult leitud lihtne viis keerukate mitte-eukleidiliste objektide kujutised, mille kujutised on väga sarnased looduslikele.
Fraktalide üks peamisi omadusi on enesesarnasus. Lihtsamal juhul sisaldab väike osa fraktalist teavet kogu fraktalist. Mandelbroti fraktali definitsioon on järgmine: "Fraktal on struktuur, mis koosneb osadest, mis on mõnes mõttes sarnased tervikuga."

Olemas suur number matemaatilised objektid nimetatakse fraktaalideks (Sierpinski kolmnurk, Kochi lumehelves, Peano kõver, Mandelbroti komplekt ja Lorentzi atraktorid). Fraktalid kirjeldavad suure täpsusega paljusid reaalse maailma füüsilisi nähtusi ja moodustisi: mägesid, pilvi, turbulentseid (pööriseid) voogusid, puude juuri, oksi ja lehti, veresooni, mis ei vasta kaugeltki lihtsatele geomeetrilistele kujunditele. Esimest korda rääkis Benoit Mandelbrot meie maailma fraktaalloomusest oma põhjapanevas teoses “Looduse fraktaalgeomeetria”.
Mõiste fraktal võttis kasutusele Benoit Mandelbrot 1977. aastal oma põhiteoses Fractals, Form, Chaos and Dimension. Mandelbroti järgi pärineb sõna fraktal ladinakeelsetest sõnadest fractus - fractional ja frangere - murdma, mis peegeldab fraktali olemust "katkise", ebakorrapärase hulgana.

Fraktaalide klassifikatsioon.

Fraktaalide kogu mitmekesisuse tutvustamiseks on mugav kasutada nende üldtunnustatud klassifikatsiooni. Fraktaale on kolm klassi.

1. Geomeetrilised fraktaalid.

Selle klassi fraktalid on kõige visuaalsemad. Kahemõõtmelisel juhul saadakse need katkendliku joonega (või sisepinnaga kolmemõõtmeline korpus), mida nimetatakse generaatoriks. Algoritmi ühes etapis asendatakse iga polüliini moodustav segment generaatori polüliiniga sobivas skaalas. Selle protseduuri lõputu kordamise tulemusena saadakse geomeetriline fraktal.

Vaatleme näidet ühest neist fraktaalobjektidest – triaadilisest Kochi kõverast.

Triaadilise Kochi kõvera konstrueerimine.

Võtame sirge lõigu pikkusega 1. Nimetame seda seeme. Jagame seemne kolmeks võrdseks 1/3 pikkuseks osaks, visake keskmine osa ära ja asendame selle kahest lülist koosneva 1/3 pikkuse katkendjoonega.

Saame 4-st lülist koosneva katkendjoone kogupikkusega 4/3 - nn esimene põlvkond.

Kochi kõvera järgmise põlvkonna juurde liikumiseks tuleb iga lingi keskosa ära visata ja asendada. Vastavalt sellele on teise põlvkonna pikkus 16/9, kolmanda - 64/27. kui jätkame seda protsessi lõpmatuseni, on tulemuseks triaadiline Kochi kõver.

Vaatleme nüüd triaadilise Kochi kõvera omadusi ja selgitame välja, miks fraktaale nimetati koletisteks.

Esiteks ei ole sellel kõveral pikkust – nagu nägime, kipub selle pikkus põlvkondade arvuga lõpmatuseni.

Teiseks on võimatu konstrueerida sellele kõverale puutujat – iga selle punkt on käändepunkt, milles tuletist ei eksisteeri – see kõver ei ole sile.

Pikkus ja siledus on kõverate põhiomadused, mida uuritakse nii eukleidilise geomeetria kui ka Lobatševski ja Riemanni geomeetriaga. Traditsioonilised geomeetrilise analüüsi meetodid osutusid triaadilise Kochi kõvera jaoks rakendamatuks, nii et Kochi kõver osutus koletiseks - traditsiooniliste geomeetriate siledate elanike seas "koletiseks".

Harter-Haithaway "draakoni" ehitamine.

Teise fraktaalobjekti saamiseks peate muutma ehitusreegleid. Olgu moodustav element kaks võrdset segmenti, mis on ühendatud täisnurga all. Nullpõlvkonnas asendame üksuse segmendi selle genereeriva elemendiga nii, et nurk on peal. Võime öelda, et sellise asendusega toimub lingi keskosa nihkumine. Järgmiste põlvkondade ehitamisel järgitakse reeglit: kõige esimene vasakpoolne lüli asendatakse moodustava elemendiga nii, et lingi keskosa nihutatakse liikumissuunast vasakule ja järgmiste lülide asendamisel lülide suunad. segmentide keskkohtade nihkumine peab vahelduma. Joonisel on kujutatud ülalkirjeldatud põhimõtte järgi ehitatud kõvera paar esimest põlvkonda ja 11. põlvkond. Kõverat, mille n kaldub lõpmatusse, nimetatakse Harter-Haithaway draakoniks.
Arvutigraafikas on puude ja põõsaste kujutiste saamisel vajalik geomeetriliste fraktaalide kasutamine. Kahemõõtmelisi geomeetrilisi fraktaleid kasutatakse kolmemõõtmeliste tekstuuride (mustrid objekti pinnal) loomiseks.

2. Algebralised fraktaalid

See on suurim fraktalide rühm. Need saadakse mittelineaarsete protsesside abil n-mõõtmelised ruumid. Enim uuritakse kahemõõtmelisi protsesse. Mittelineaarse iteratiivse protsessi tõlgendamisel diskreetse dünaamilise süsteemina võib kasutada nende süsteemide teooria terminoloogiat: faasiportree, püsiseisundi protsess, atraktor jne.
On teada, et mittelineaarsetel dünaamilistel süsteemidel on mitu stabiilset olekut. Olek, millesse dünaamiline süsteem pärast teatud arvu iteratsioone satub, sõltub selle algolekust. Seetõttu on igal stabiilsel olekul (või, nagu öeldakse, atraktoril) teatud algolekute piirkond, millest süsteem langeb tingimata vaadeldavatesse lõppolekutesse. Seega on süsteemi faasiruum jagatud atraktorite külgetõmbealadeks. Kui faasiruum on kahemõõtmeline ruum, siis värvides tõmbealasid erinevate värvidega, saab sellest süsteemist saada värvifaasi portree (iteratiivne protsess). Värvivaliku algoritmi muutes saate keerukaid fraktaalmustreid koos veidrate mitmevärviliste mustritega. Üllatus matemaatikute jaoks oli võime genereerida primitiivsete algoritmide abil väga keerulisi mittetriviaalseid struktuure.

Mandelbroti komplekt.

Vaatleme näiteks Mandelbroti komplekti. Selle ehitamise algoritm on üsna lihtne ja põhineb lihtsal iteratiivsel avaldisel: Z = Z[i] * Z[i] + C, Kus Zi Ja C- komplekssed muutujad. Iga lähtepunkti iteratsioonid tehakse ristküliku- või ruudukujulisest piirkonnast – komplekstasandi alamhulgast. Iteratiivne protsess jätkub kuni Z[i] ei lähe kaugemale raadiusega 2 ringist, mille keskpunkt asub punktis (0,0), (see tähendab, et dünaamilise süsteemi atraktor on lõpmatuses) ega pärast piisavalt suurt arvu iteratsioone (näiteks , 200-500) Z[i] koondub ringi mingisse punkti. Olenevalt iteratsioonide arvust, mille jooksul Z[i] jäi ringi sisse, saate määrata punkti värvi C(Kui Z[i] jääb ringi sisse piisavalt suure arvu iteratsioonide jaoks, iteratsiooniprotsess peatub ja see rasterpunkt värvitakse mustaks).

3. Stohhastilised fraktaalid

Teine tuntud fraktalide klass on stohhastilised fraktalid, mis saadakse siis, kui mõnda selle parameetreid muudetakse juhuslikult iteratiivse protsessi käigus. Sel juhul on saadud objektid väga sarnased looduslikele - asümmeetrilised puud, karmid rannajooned jne. Kahemõõtmelisi stohhastilisi fraktaale kasutatakse maastiku ja merepindade modelleerimisel.
Fraktale on ka teisi klassifikatsioone, näiteks fraktaalide jagamine deterministlikeks (algebralisteks ja geomeetrilisteks) ja mittedeterministlikeks (stohhastilisteks).

Fraktalide kasutamisest

Esiteks on fraktaalid hämmastava matemaatilise kunsti valdkond, kui kõige lihtsamate valemite ja algoritmide abil saadakse erakordse ilu ja keerukusega pilte! Ehitatud kujutiste kontuurides on sageli näha lehed, puud ja lilled.

Mõned fraktaalide võimsaimad rakendused peituvad arvutigraafikas. Esiteks on see piltide fraktaalne kokkusurumine ja teiseks maastike, puude, taimede konstrueerimine ja fraktaalsete tekstuuride genereerimine. Kaasaegne füüsika ja mehaanika alles hakkavad uurima fraktaalobjektide käitumist. Ja muidugi kasutatakse fraktaale otse matemaatikas endas.
Fraktaalkujutise tihendamise algoritmide eelised on väga suured väike suurus pakitud faili ja lühikese pildi taastamise aeg. Fraktaalpakitud pilte saab skaleerida ilma piksleerumist põhjustamata. Kuid tihendusprotsess võtab kaua aega ja kestab mõnikord tunde. Fractal kadudega pakkimisalgoritm võimaldab sarnaselt jpeg-vormingule määrata tihendustaseme. Algoritm põhineb pildi suurte tükkide otsimisel, mis sarnanevad mõne väikese osaga. Ja väljundfaili kirjutatakse ainult see, milline tükk on sarnane. Kokkusurumisel kasutatakse tavaliselt ruudustikku (tükid on ruudud), mis toob pildi taastamisel kaasa väikese nurga, kuusnurksel ruudustikul seda puudust pole.
Iterated on välja töötanud uue pildivormingu "Sting", mis ühendab fraktaali ja "laine" (näiteks jpeg) kadudeta pakkimise. Uus formaat võimaldab luua pilte hilisema kvaliteetse skaleerimise võimalusega ning graafiliste failide maht on 15-20% tihendamata piltide mahust.
Fraktalide kalduvust meenutada mägesid, lilli ja puid kasutavad ära mõned graafilised toimetajad, näiteks 3D-stuudio MAX fraktaalipilved, World Builderi fraktaalimäed. Fraktaalpuud, mäed ja terved maastikud on määratletud lihtsate valemitega, neid on lihtne programmeerida ning need ei lagune lähenemisel eraldi kolmnurkadeks ja kuubikuteks.
Ei saa ignoreerida fraktalide kasutamist matemaatikas. Hulgateoorias tõestab Cantori hulk täiuslike mittekuhugi tihedate hulkade olemasolu; mõõduteoorias on iseseisev funktsioon "Cantori redel" hea näide ainsuse mõõtme jaotusfunktsioonid.
Mehaanikas ja füüsikas kasutatakse fraktaale tänu ainulaadne vara korrake paljude loodusobjektide piirjooni. Fraktalid võimaldavad teil puid, mäepindu ja pragusid ligikaudselt hinnata suurema täpsusega kui lähendused, kasutades segmentide või hulknurkade komplekte (sama hulga salvestatud andmetega). Fraktaalmustrid, nagu looduslikud objektid, on „karedusega” ja see omadus säilib olenemata mudeli suurendusest. Ühtse mõõdiku olemasolu fraktaalidel võimaldab rakendada integratsiooni, potentsiaali teooriat ja kasutada neid standardobjektide asemel juba uuritud võrrandites.
Fraktaalse lähenemise korral lakkab kaos olemast sinine häire ja omandab peene struktuuri. Fraktaalteadus on veel väga noor ja seda ootab ees suur tulevik. Fraktalite ilu pole veel kaugeltki ammendunud ja annab meile endiselt palju meistriteoseid – neid, mis pakuvad silmailu, ja neid, mis pakuvad tõelist meelt.

Fraktalide konstrueerimisest

Järjestikuse lähendamise meetod

Seda pilti vaadates ei ole raske aru saada, kuidas saab ehitada isesarnast fraktaali (antud juhul Sierpinski püramiidi). Peame võtma tavalise püramiidi (tetraeedri), seejärel lõikama välja selle keskmise (oktaeedri), mille tulemuseks on neli väikest püramiidi. Igaühega neist teeme sama toimingu jne. See on mõnevõrra naiivne, kuid selge seletus.

Vaatleme meetodi olemust rangemalt. Olgu siis mingi IFS süsteem, st. tihenduskaardistamise süsteem S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (näiteks meie püramiidi puhul on vastendused kujul S i (x)=1/2*x+o i, kus o i on tetraeedri tipud, i=1,...,4). Seejärel valime R n-s mingi kompaktse hulga A 1 (meie puhul valime tetraeedri). Ja defineerime induktsiooni abil hulkade jada A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). On teada, et hulgad A k koos suureneva k-ga lähendavad järjest paremini süsteemi soovitud atraktorit S.

Pange tähele, et kõik need iteratsioonid on atraktorid korduv korduvate funktsioonide süsteem (Ingliskeelne termin Digraaf IFS, RIFS ja ka Graafikule suunatud IFS) ja seetõttu on neid meie programmi abil lihtne ehitada.

Punkt-punktilt ehk tõenäosuslik meetod

Seda meetodit on kõige lihtsam arvutis rakendada. Lihtsuse huvides vaatleme tasase iseseisva komplekti juhtumit. Nii et las (S

) – mingi afiinsete kontraktsioonide süsteem. Ekraan S

esindatav kui: S

Fikseeritud maatriksi suurus 2x2 ja o

Kahemõõtmeline vektori veerg.

• Võtame lähtepunktiks esimese kaardistuse S 1 fikseeritud punkti:
  x:= o1;
  Siin kasutame ära asjaolu, et kõik tihenduse fikseeritud punktid S 1 ,..,S m kuuluvad fraktalile. Saate valida lähtepunktiks suvaline punkt ja selle poolt genereeritud punktide jada tõmmatakse fraktaali poole, kuid siis ilmub ekraanile mitu lisapunkti.
• Märgime ekraanile praeguse punkti x=(x 1 ,x 2):
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Valime juhuslikult arvu j vahemikus 1 kuni m ja arvutame ümber punkti x koordinaadid:
  j:=Juhuslik(m)+1;
  x:=S j (x);
• Liigume 2. sammu juurde või kui oleme teinud piisavalt palju iteratsioone, siis peatume.

Märge. Kui vastenduste S i tihendussuhted on erinevad, siis täitub fraktal punktidega ebaühtlaselt. Kui vastendused S i on sarnased, saab seda algoritmi veidi keerulisemaks muutes vältida. Selleks tuleb algoritmi 3. sammul valida arv j vahemikus 1 kuni m tõenäosustega p 1 =r 1 s,..,p m =r m s, kus r i tähistab vastenduste Si tihenduskoefitsiente ja arv s (nimetatakse sarnasusdimensiooniks) leitakse võrrandist r 1 s +...+r m s =1. Selle võrrandi lahenduse võib leida näiteks Newtoni meetodi abil.

Fraktaalidest ja nende algoritmidest

Fraktal pärineb Ladina omadussõna"fractus" ja tõlkes tähendab fragmentidest koosnemist ning vastav ladina verb "frangere" tähendab murdma, see tähendab ebakorrapäraste fragmentide tekitamist. 70ndate lõpus ilmunud fraktaali ja fraktaalgeomeetria kontseptsioonid on matemaatikute ja programmeerijate seas alates 80ndate keskpaigast kindlalt kinnistunud. Selle termini võttis kasutusele Benoit Mandelbrot 1975. aastal, et viidata ebakorrapärastele, kuid samalaadsetele struktuuridele, mille pärast ta mures oli. Fraktaalgeomeetria sündi seostatakse tavaliselt Mandelbroti raamatu “The Fractal Geometry of Nature” ilmumisega 1977. aastal. Tema töödes kasutati teiste aastatel 1875-1925 samal alal töötanud teadlaste (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff) teaduslikke tulemusi.

Kohandused

Lubage mul teha mõned muudatused H.-O. raamatus pakutud algoritmides. Peitgen ja P. H. Richter “Fraktalide ilu” M. 1993 puhtalt kirjavigade väljajuurimiseks ja protsesside mõistmise hõlbustamiseks, sest pärast nende uurimist jäi mulle paljugi mõistatuseks. Kahjuks juhivad need "arusaadavad" ja "lihtsad" algoritmid rokitavat elustiili.

Fraktaalide konstrueerimise aluseks on mingi tagasisidega kompleksprotsessi mittelineaarne funktsioon z => z 2 +c kuna z ja c on kompleksarvud, siis z = x + iy, c = p + iq on vaja see lagundada x-i ja y-sse, et minna realistlikumaks tavaline mees lennuk:

x(k+1)=x(k)2-y(k)2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Kõigist paaridest (x,y) koosnevat tasapinda võib vaadelda justkui fikseeritud väärtuste jaoks p ja q ja dünaamilistega. Esimesel juhul läbides seaduse järgi kõik tasapinna punktid (x, y) ja värvides need sõltuvalt iteratiivsest protsessist väljumiseks vajaliku funktsiooni korduste arvust või värvimata (must värv) kui lubatud korduste maksimum on ületatud, saame Julia komplekti kuva. Kui, vastupidi, määrame kindlaks esialgse väärtuste paari (x, y) ja jälgime selle koloristilist saatust parameetrite p ja q dünaamiliselt muutuvate väärtustega, saame pilte, mida nimetatakse Mandelbroti komplektideks.

Fraktalide värvimise algoritmide küsimuses.

Tavaliselt on komplekti keha kujutatud musta väljana, kuigi on ilmne, et musta värvi saab asendada mis tahes muuga, kuid see on ka veidi huvitav tulemus. Kõigis värvides värvitud komplekti pildi saamine on ülesanne, mida ei saa tsükliliste operatsioonide abil lahendada, sest keha moodustavate hulkade iteratsioonide arv on võrdne maksimaalse võimalikuga ja on alati sama. Värvige komplekt sisse erinevad värvid võib-olla kasutades värvinumbrina tsüklist väljumise tingimuse (z_magnitude) kontrollimise tulemust või midagi sarnast, kuid muude matemaatiliste tehtetega.

"Fraktaalmikroskoobi" rakendamine

piirinähtuste demonstreerimiseks.

Atraktorid on keskused, mis juhivad võitlust domineerimise pärast lennukis. Atraktorite vahele ilmub piir, mis kujutab endast heledat mustrit. Suurendades kaalutlusskaalat hulga piirides, võib saada mittetriviaalseid mustreid, mis peegeldavad deterministliku kaose seisundit - tavaline esinemine loodusmaailmas.

Geograafide uuritud objektid moodustavad väga keeruliselt organiseeritud piiridega süsteemi ja seetõttu ei muutu nende tuvastamine lihtsaks praktiliseks ülesandeks. Looduslikel kompleksidel on tüüpilised tuumad, mis toimivad atraktoritena, mis kaotavad territooriumil eemaldudes oma mõju.

Mandelbroti ja Julia komplektide jaoks mõeldud fraktaalmikroskoopi kasutades saab kujundada ettekujutuse piirprotsessidest ja -nähtustest, mis on kaalutlemise ulatusest olenemata ühtviisi keerukad ning seeläbi valmistada spetsialisti ette dünaamilise ja pealtnäha kaootilise loodusobjektiga kohtumiseks. ruumis ja ajas, et mõista fraktaalgeomeetria olemust. Mitmevärvilised värvid ja fraktalmuusika jätavad õpilaste teadvusesse kindlasti sügava jälje.

Fraktalidele on pühendatud tuhandeid väljaandeid ja tohutuid Interneti-ressursse, kuid paljude arvutiteadusest kaugel olevate spetsialistide jaoks tundub see termin täiesti uus. Fraktalid kui erinevate teadmiste valdkondade spetsialistide huviobjektid peaksid saama informaatika kursustel korraliku koha.

Näited

SIEPINSKI RÕESTIK

See on üks fraktaalidest, millega Mandelbrot katsetas fraktaalimõõtmete ja iteratsioonide kontseptsioone. Suurema kolmnurga keskpunktide ühendamisel moodustatud kolmnurgad lõigatakse põhikolmnurgast välja, moodustades rohkemate aukudega kolmnurga. Sel juhul on initsiaatoriks suur kolmnurk ja malliks on suuremaga sarnaste kolmnurkade väljalõikamine. Kolmnurga kolmemõõtmelise versiooni saate ka kasutades tavalist tetraeedrit ja lõigates välja väikesed tetraeedrid. Sellise fraktaali mõõde on ln3/ln2 = 1,584962501. Et saada Sierpinski vaip, võtke ruut, jagage see üheksaks ruuduks ja lõigake keskmine välja. Sama teeme ka ülejäänud, väiksemate ruutudega. Lõpuks moodustub lame fraktaalivõre, millel pole pindala, kuid millel on lõpmatu ühendus. Oma ruumilisel kujul on Sierpinski käsn muudetud otsast lõpuni vormide süsteemiks, milles iga otsast lõpuni elementi asendatakse pidevalt omalaadse vastu. See struktuur on väga sarnane luukoe lõiguga. Kunagi saavad sellised korduvad struktuurid ehituskonstruktsioonide elemendiks. Nende staatika ja dünaamika väärivad Mandelbroti arvates põhjalikku uurimist.

KOCH KÕVER

Kochi kõver on üks tüüpilisemaid deterministlikke fraktaale. Selle leiutas üheksateistkümnendal sajandil saksa matemaatik Helge von Koch, kes Georg Kontori ja Karl Weierstrasse loomingut uurides sattus kummaliste ja ebatavalise käitumisega kõverate kirjeldustele. Algataja on sirgjoon. Generaatoriks on võrdkülgne kolmnurk, mille küljed on võrdsed kolmandikuga suurema segmendi pikkusest. Need kolmnurgad lisatakse ikka ja jälle iga segmendi keskele. Oma uurimistöös katsetas Mandelbrot ulatuslikult Kochi kõveratega ja tootis selliseid kujundeid nagu Kochi saared, Kochi ristid, Kochi lumehelbed ja isegi Kochi kõvera kolmemõõtmelisi kujutisi, kasutades tetraeedrit ja lisades selle igale pinnale väiksemaid tetraeedreid. Kochi kõvera mõõtmed on ln4/ln3 = 1,261859507.

MANDELBROT FRAKTAL

See EI OLE Mandelbroti komplekt, mida näete üsna sageli. Mandelbroti komplekt põhineb mittelineaarsed võrrandid ja on keeruline fraktal. See on ka Kochi kõvera variant, kuigi see objekt ei ole sellega sarnane. Ka initsiaator ja generaator erinevad Kochi kõvera põhimõttel fraktaalide loomisel kasutatavatest, kuid idee jääb samaks. Selle asemel, et ühendada võrdkülgsed kolmnurgad kõvera lõiguga, ühendatakse ruudud ruuduga. Kuna see fraktal hõivab igal iteratsioonil täpselt poole eraldatud ruumist, on selle lihtne fraktaali mõõde 3/2 = 1,5.

JULGEM PENTAGON

Fraktal näeb välja nagu hunnik kokku surutud viisnurki. See moodustatakse tegelikult viisnurka kasutades initsiaatorina ja võrdhaarsed kolmnurgad, suurema ja väiksema külje suhe, milles on generaatorina täpselt võrdne nn kuldse lõikega (1,618033989 või 1/(2cos72)). Need kolmnurgad lõigatakse iga viisnurga keskelt, mille tulemuseks on kuju, mis näeb välja nagu 5 väikest viisnurka, mis on liimitud ühe suure külge. Selle fraktaali teisendi võib saada, kasutades initsiaatorina kuusnurka. Seda fraktaali nimetatakse Taaveti täheks ja see on üsna sarnane Kochi lumehelbe kuusnurkse versiooniga. Dareri viisnurga fraktaalmõõde on ln6/ln(1+g), kus g on kolmnurga suurema külje pikkuse ja väiksema külje pikkuse suhe. Sel juhul on g kuldne suhe, seega on fraktaali mõõde ligikaudu 1,86171596. Taaveti tähe fraktaalne mõõde ln6/ln3 või 1,630929754.

Komplekssed fraktalid

Tegelikult, kui suurendate mis tahes keerulise fraktaali väikest ala ja seejärel teete sama selle ala väikese alaga, erinevad need kaks suurendust üksteisest oluliselt. Need kaks pilti on üksikasjalikult väga sarnased, kuid nad ei ole täiesti identsed.

Joonis 1. Mandelbroti hulga lähendus

Võrrelge näiteks siin näidatud Mandelbroti komplekti pilte, millest üks saadi teise teatud ala suurendamise teel. Nagu näete, pole need absoluutselt identsed, kuigi mõlemal näeme musta ringi, millest leegitsevad kombitsad ulatuvad erinevatesse suundadesse. Neid elemente korratakse Mandelbroti komplektis lõputult kahanevas proportsioonis.

Deterministlikud fraktaalid on lineaarsed, samas kui komplekssed fraktalid ei ole. Kuna need fraktalid on mittelineaarsed, genereeritakse need mittelineaarsete algebraliste võrrandite abil, mida Mandelbrot nimetas. Hea näide on protsess Zn+1=ZnI + C, mis on võrrand, mida kasutatakse teise astme Mandelbroti ja Julia hulga koostamiseks. Nende matemaatiliste võrrandite lahendamine hõlmab keerulisi ja kujuteldavaid numbreid. Kui võrrandit komplekstasandil graafiliselt tõlgendada, on tulemuseks kummaline kujund, kus sirged muutuvad kõverateks ja ilmnevad enesesarnasuse efektid, ehkki mitte ilma deformatsioonideta, erinevatel skaalatasanditel. Samas on tervikpilt tervikuna ettearvamatu ja väga kaootiline.

Nagu pilte vaadates näha, on keerulised fraktaalid tõepoolest väga keerulised ja neid ei saa ilma arvuti abita luua. Värviliste tulemuste saamiseks peab sellel arvutil olema võimas matemaatiline kaasprotsessor ja monitor kõrgresolutsiooniga. Erinevalt deterministlikest fraktaalidest ei arvutata kompleksfraktaale 5-10 iteratsiooniga. Peaaegu iga punkt arvutiekraanil on nagu omaette fraktal. ajal matemaatiline töötlemine, käsitletakse iga punkti eraldi joonisena. Iga punkt vastab kindlale väärtusele. Võrrand on iga punkti jaoks sisse ehitatud ja seda tehakse näiteks 1000 iteratsiooniga. Suhteliselt moonutamata pildi saamiseks koduarvutite jaoks vastuvõetava aja jooksul on võimalik ühe punkti kohta läbi viia 250 iteratsiooni.

Enamik fraktaleid, mida me täna näeme, on kaunilt värvitud. Võib-olla omandavad fraktaalipildid nii suure esteetilise tähtsuse just nende värvilahenduste tõttu. Pärast võrrandi arvutamist analüüsib arvuti tulemusi. Kui tulemused jäävad stabiilseks või kõiguvad teatud väärtuse ümber, muutub punkt tavaliselt mustaks. Kui väärtus ühel või teisel sammul kipub lõpmatuseni, värvitakse punkt erinevat värvi, võib-olla sinise või punasega. Selle protsessi käigus määrab arvuti kõikidele liikumiskiirustele värvid.

Tavaliselt värvitakse kiiresti liikuvad punktid punaseks, aeglasemad aga kollaseks ja nii edasi. Tumedad laigud on ilmselt kõige stabiilsemad.

Komplekssed fraktaalid erinevad deterministlikest fraktaalidest selle poolest, et nad on lõpmata keerulised, kuid neid saab siiski luua väga lihtsa valemiga. Deterministlikud fraktaalid ei nõua valemeid ega võrrandeid. Võtke lihtsalt joonistuspaber ja saate ilma raskusteta ehitada kuni 3 või 4 iteratsiooniga Sierpinski sõela. Proovige seda koos paljude Juliaga! Lihtsam on minna Inglismaa rannajoone pikkust mõõtma!

MANDELBROT KOMPLEKT

Joonis 2. Mandelbroti komplekt

Mandelbroti ja Julia komplektid on ilmselt kaks kõige levinumat kompleksfraktaalide seas. Neid võib leida paljudest teadusajakirjadest, raamatukaantest, postkaartidest ja arvuti ekraanisäästjatest. Mandelbroti komplekt, mille koostas Benoit Mandelbrot, on tõenäoliselt esimene assotsiatsioon, mis inimestel tekib sõna fraktaal kuuldes. See fraktal, mis meenutab kraasimismasinat, mille külge on kinnitatud leegitsevad puutaolised ja ringikujulised alad, genereeritakse lihtsa valemiga Zn+1=Zna+C, kus Z ja C on kompleksarvud ning a on positiivne arv.

Mandelbroti hulk, mida võib kõige sagedamini näha, on 2. astme Mandelbroti hulk, st a = 2. See, et Mandelbroti hulk ei ole ainult Zn+1=ZnІ+C, vaid fraktal, mille valemis võib indikaatoriks olla ükskõik milline positiivne arv, on paljusid eksitanud. Sellel lehel näete Mandelbroti komplekti näidet erinevad tähendused indikaator a.
Joonis 3. Mullide ilmumine a=3,5 juures

Populaarne on ka protsess Z=Z*tg(Z+C). Puutujafunktsiooni kaasamisega on tulemuseks Mandelbroti komplekt, mida ümbritseb õuna meenutav ala. Koosinusfunktsiooni kasutamisel saadakse õhumullide efektid. Lühidalt öeldes on Mandelbroti komplekti konfigureerimiseks erinevaid kauneid pilte tootmiseks lõpmatu arv võimalusi.

PALJU JULIAt

Üllataval kombel on Julia komplektid moodustatud sama valemi järgi nagu Mandelbroti komplekt. Julia komplekti mõtles välja prantsuse matemaatik Gaston Julia, kelle järgi komplekt ka oma nime sai. Esimene küsimus, mis tekib pärast Mandelbroti ja Julia komplektidega visuaalset tutvumist, on "kui mõlemad fraktalid on genereeritud sama valemi järgi, siis miks nad on nii erinevad?" Kõigepealt vaadake pilte Julia komplektist. Kummaline, aga need on olemas erinevad tüübid Julia seab. Fraktali joonistamisel, kasutades erinevaid lähtepunkte (iteratsiooniprotsessi alustamiseks), erinevaid pilte. See kehtib ainult Julia komplekti kohta.

Joonis 4. Julia komplekt

Kuigi seda pildil näha ei ole, on Mandelbroti fraktal tegelikult palju omavahel ühendatud Julia fraktale. Mandelbroti hulga iga punkt (või koordinaat) vastab Julia fraktalile. Julia komplekte saab genereerida, kasutades neid punkte algväärtustena võrrandis Z=ZI+C. Kuid see ei tähenda, et kui valite Mandelbroti fraktalil punkti ja suurendate seda, saate Julia fraktali. Need kaks punkti on identsed, kuid ainult matemaatilises mõttes. Kui võtate selle punkti ja arvutate selle valemi abil, saate vastava Julia fraktaali teatud punkt Mandelbroti fraktal.

Valla eelarveline õppeasutus

"Siverskaja keskkool nr 3"

Uurimine

matemaatika.

Töö tehtud

8.-1.klassi õpilane

Emelin Pavel

Teaduslik direktor

matemaatika õpetaja

Tupitsyna Natalja Aleksejevna

Siversky küla

aasta 2014

Matemaatika on kõik läbi imbunud ilust ja harmooniast,

Sa pead lihtsalt seda ilu nägema.

B. Mandelbrot

Sissejuhatus___________________________________________________3-4lk.

1. peatükk.fraktalide tekkelugu._______5-6lk.

Peatükk 2. Fraktalide klassifikatsioon ______6-10lk.

Geomeetrilised fraktaalid

Algebralised fraktalid

Stohhastilised fraktalid

Peatükk 3. "Looduse fraktaalgeomeetria"__________11-13lk.

Peatükk 4. Fraktalide rakendamine_______________13-15lk.

5. peatükk Praktiline töö__________________16-24lk.

Järeldus______________________________________25.lk

Viidete ja Interneti-ressursside loetelu________26 lk.

Sissejuhatus

Matemaatika,

kui sa seda õigesti vaatad,

peegeldab mitte ainult tõde,

aga ka võrreldamatu ilu.

Bertrand Russell

Sõna "fraktal" on midagi, millest tänapäeval räägivad paljud inimesed, teadlastest üliõpilasteni Keskkool. Seda leidub paljude matemaatikaõpikute, teadusajakirjade ja arvutikastide kaantel. tarkvara. Fraktaalide värvilisi pilte võib tänapäeval leida kõikjal: postkaartidest, T-särkidest kuni piltideni personaalarvuti töölaual. Niisiis, millised on need värvilised kujundid, mida me ümberringi näeme?

Matemaatika on vanim teadus. Enamikule inimestest tundus, et geomeetria looduses piirdubki sellisega lihtsad kujundid, nagu joon, ring, hulknurk, kera jne. Nagu selgus, paljud looduslikud süsteemid on nii keerulised, et kasutada nende modelleerimiseks ainult tuttavaid tavalise geomeetriaga objekte tundub lootusetu. Kuidas näiteks mudelit ehitada mäeahelik või puuvõrad geomeetria poolest? Kuidas kirjeldada bioloogilise mitmekesisuse mitmekesisust, mida me taimede ja loomade maailmas jälgime? Kuidas kujutada ette vereringesüsteemi keerukust, mis koosneb paljudest kapillaaridest ja anumatest ning toimetab verd igasse inimkeha rakku? Kujutage ette kopsude ja neerude struktuuri, mis meenutab struktuurilt hargnenud võraga puid?

Fraktalid on sobivad vahendid nende küsimuste uurimiseks. Sageli intrigeerib looduses nähtu meid sama mustri lõputu kordumisega, mis on mitu korda suurenenud või vähenenud. Näiteks puul on oksad. Nendel okstel on väiksemad oksad jne. Teoreetiliselt kordub hargnev element lõputult, muutudes järjest väiksemaks. Sama on näha ka fotot vaadates. mägine maastik. Proovige mäeahelikule veidi lähemale suumida --- näete mägesid uuesti. Nii avaldub fraktaalidele iseloomulik enesesarnasuse omadus.

Fraktaalide uurimine avab imelisi võimalusi nii lõpmatu hulga rakenduste uurimisel kui ka matemaatika vallas. Fraktalite rakendused on väga ulatuslikud! Need esemed on ju nii ilusad, et neid kasutavad disainerid, kunstnikud, nende abil joonistatakse graafikas palju elemente: puud, pilved, mäed jne. Kuid fraktaale kasutatakse isegi paljudes mobiiltelefonides antennidena.

Paljude kaoloogide jaoks (teadlased, kes uurivad fraktaleid ja kaost) pole see lihtsalt uus teadmiste valdkond, mis ühendab matemaatika, teoreetilise füüsika, kunsti ja arvutitehnoloogia – see on revolutsioon. See on uut tüüpi geomeetria avastamine, geomeetria, mis kirjeldab meid ümbritsevat maailma ja mida võib näha mitte ainult õpikutes, vaid ka looduses ja kõikjal piiritus universumis..

Oma töös otsustasin ka ilumaailma “puudutada” ja otsustasin enda jaoks...

Töö eesmärk: selliste objektide loomine, mille kujutised on väga sarnased looduslikele.

Uurimismeetodid: võrdlev analüüs, süntees, modelleerimine.

Ülesanded:

tutvumine B. Mandelbroti mõiste, tekkeloo ja uurimistööga,

G. Koch, V. Sierpinsky jt;

tutvumine erinevat tüüpi fraktaalikomplektidega;

selleteemalise populaarteadusliku kirjanduse uurimine, tutvumine

teaduslikud hüpoteesid;

kinnituse leidmine ümbritseva maailma fraktilisuse teooriale;

fraktaalide kasutamise uurimine teistes teadustes ja praktikas;

eksperimendi läbiviimine oma fraktaalpiltide loomiseks.

Töö põhiküsimus:

Näidake, et matemaatika ei ole kuiv, hingetu aine, see võib väljendada vaimne maailmüksikisikus ja ühiskonnas tervikuna.

Õppeaine: Fraktaalgeomeetria.

Õppeobjekt: fraktalid matemaatikas ja reaalses maailmas.

Hüpotees: Kõik, mis reaalses maailmas eksisteerib, on fraktal.

Uurimismeetodid: analüütiline, otsing.

Asjakohasus Väljatoodud teema määrab ennekõike uurimisobjekt, milleks on fraktaalgeomeetria.

Oodatud tulemused: Töö käigus saan täiendada oma teadmisi matemaatika vallas, näha fraktaalgeomeetria ilu ja alustada tööd oma fraktaalide loomisega.

Töö tulemuseks saab looming arvutiesitlus, infoleht ja brošüür.

Peatükk 1. Ajalugu

B kui Mandelbrot

Mõiste "fraktal" leiutas Benoit Mandelbrot. Sõna pärineb ladinakeelsest sõnast "fractus", mis tähendab "katki, katki".

Fraktal (lat. fractus – purustatud, katki, katki) on termin, mis tähendab keerulist geomeetrilist kujundit, millel on enesesarnasuse omadus, st koosneb mitmest osast, millest igaüks on sarnane kogu figuuriga.

Matemaatilised objektid, millele see viitab, iseloomustavad äärmiselt huvitavaid omadusi. Tavageomeetrias on joonel üks mõõde, pinnal kaks mõõdet ja ruumikujul kolm mõõdet. Fraktalid ei ole jooned ega pinnad, vaid, kui suudate seda ette kujutada, midagi vahepealset. Suuruse kasvades suureneb ka fraktaali ruumala, kuid selle mõõde (eksponent) ei ole mitte tervik, vaid murdosa väärtus ja seetõttu ei ole fraktaalkuju piiriks joon: suurel suurendusel selgub, et on udune ja koosneb spiraalidest ja lokkidest, mis korratakse väikese suurendusega figuuri ennast. Seda geomeetrilist seaduspärasust nimetatakse skaala muutumatuks või enesesarnasuseks. See määrabki fraktaalkujude murdmõõtme.

Enne fraktaalgeomeetria tulekut tegeles teadus süsteemidega, mis sisaldusid kolmes ruumilises mõõtmes. Tänu Einsteinile sai see selgeks kolmemõõtmeline ruum- ainult reaalsuse mudel, mitte tegelikkus ise. Tegelikult asub meie maailm neljamõõtmelises aegruumi kontiinumis.
Tänu Mandelbrotile sai selgeks, milline näeb välja neljamõõtmeline ruum, piltlikult öeldes Kaose fraktaalne nägu. Benoit Mandelbrot avastas, et neljas dimensioon ei hõlma ainult kolme esimest mõõdet, vaid ka (see on väga oluline!) nende vahelisi intervalle.

Rekursiivne (või fraktaalne) geomeetria on asendamas Eukleidilise geomeetria. Uus teadus oskab kirjeldada tõeline olemus kehad ja nähtused. Eukleidiline geomeetria käsitles ainult tehislikke kujuteldavaid objekte, mis kuulusid kolme dimensiooni. Ainult neljas dimensioon suudab need reaalsuseks muuta.

Vedelik, gaas, tahke – kolm tuttavat aine füüsikalist olekut, mis eksisteerivad kolmemõõtmelises maailmas. Mis on aga suitsupilve, pilve või täpsemalt nende piiride mõõde, mida tormiline õhuliikumine pidevalt õõnestab?

Põhimõtteliselt jagatakse fraktalid kolme rühma:

Algebralised fraktalid

Stohhastilised fraktalid

Geomeetrilised fraktaalid

Vaatame igaüks neist lähemalt.

Peatükk 2. Fraktaalide klassifikatsioon

Geomeetrilised fraktaalid

Benoit Mandelbrot pakkus välja fraktaalmudeli, millest on saanud juba klassika ja mida sageli kasutatakse selle demonstreerimiseks tüüpiline näide fraktal ise ja demonstreerida fraktalide ilu, mis tõmbab ligi ka uurijaid, kunstnikke ja lihtsalt huvilisi.

Siit sai alguse fraktaalide ajalugu. Seda tüüpi fraktaale saadakse lihtsate geomeetriliste konstruktsioonide abil. Tavaliselt teevad nad nende fraktaalide ehitamisel seda: nad võtavad "seemne" - aksioomi - segmentide komplekti, mille alusel fraktal ehitatakse. Järgmisena rakendatakse sellele "seemnele" reeglistik, mis muudab selle mingiks geomeetriliseks kujundiks. Järgmisena rakendatakse selle joonise igale osale uuesti samad reeglid. Iga sammuga muutub kujund aina keerulisemaks ja kui teostame (vähemalt oma mõtetes) lõpmatu hulga teisendusi, saame geomeetrilise fraktaali.

Selle klassi fraktaalid on kõige visuaalsemad, sest enesesarnasus on neis koheselt nähtav mis tahes vaatlusskaalal. Kahemõõtmelisel juhul võib selliseid fraktale saada, määrates mingi katkendjoone, mida nimetatakse generaatoriks. Algoritmi ühes etapis asendatakse kõik polüliini moodustavad segmendid sobivas skaalas generaatori polüliiniga. Selle protseduuri lõputu kordamise tulemusena (või täpsemalt piirini minnes) saadakse fraktaalikõver. Vaatamata saadud kõvera näilisele keerukusele on see üldine vorm annab ainult generaatori vorm. Sellised kõverad on näiteks: Kochi kõver (joonis 7), Peano kõver (joonis 8), Minkowski kõver.

Kahekümnenda sajandi alguses otsisid matemaatikud kõveraid, millel pole üheski punktis puutujat. See tähendas, et kõver muutis järsult oma suunda ja seda tohutult suure kiirusega (tuletis oli võrdne lõpmatusega). Nende kõverate otsimist ei põhjustanud ainult matemaatikute tühine huvi. Fakt on see, et kahekümnenda sajandi alguses toimus väga kiire areng kvantmehaanika. Teadlane M. Brown visandas vees hõljuvate osakeste liikumise trajektoori ja selgitas seda nähtust järgmiselt: juhuslikult liikuvad vedeliku aatomid tabavad hõljuvaid osakesi ja panevad need seeläbi liikuma. Pärast seda Browni liikumise selgitust seisid teadlased silmitsi ülesandega leida kõver, mis näitaks kõige paremini Browni osakeste liikumist. Selleks pidi kõver vastama järgmised omadused: ei oma puutujat üheski punktis. Matemaatik Koch pakkus välja ühe sellise kõvera.

TO Kochi kõver on tüüpiline geomeetriline fraktal. Selle koostamise protsess on järgmine: võtame ühe segmendi, jagame selle kolmeks võrdseks osaks ja asendame keskmise intervalli ilma selle segmendita võrdkülgse kolmnurgaga. Selle tulemusena moodustub katkendlik joon, mis koosneb neljast lülist pikkusega 1/3. Järgmises etapis kordame toimingut kõigi nelja tulemuseks oleva lingi jaoks jne...

Piirkõver on Kochi kõver.

Lumehelbeke Koch. Tehes samasuguse teisenduse võrdkülgse kolmnurga külgedel, saate Kochi lumehelbe fraktaalkujutise.

T
Teine lihtne geomeetrilise fraktaali esindaja on Sierpinski väljak. See on üles ehitatud üsna lihtsalt: ruut jagatakse selle külgedega paralleelsete sirgjoontega 9 võrdseks ruuduks. Keskväljak eemaldatakse platsist. Tulemuseks on komplekt, mis koosneb 8 ülejäänud "esimese järgu" ruudust. Tehes täpselt sama iga esimese järgu ruuduga, saame komplekti, mis koosneb 64 teise järgu ruudust. Seda protsessi lõputult jätkates saame lõpmatu jada ehk Sierpinski ruudu.

Algebralised fraktalid

See on suurim fraktalide rühm. Algebralised fraktalid on saanud oma nime, kuna nende koostamisel kasutatakse lihtsat algebralised valemid.

Need saadakse mittelineaarsete protsesside abil n-mõõtmelised ruumid. On teada, et mittelineaarsetel dünaamilistel süsteemidel on mitu stabiilset olekut. Olek, millesse dünaamiline süsteem pärast teatud arvu iteratsioone satub, sõltub selle algolekust. Seetõttu on igal stabiilsel olekul (või, nagu öeldakse, atraktoril) teatud algolekute piirkond, millest süsteem langeb tingimata vaadeldavatesse lõppolekutesse. Seega on süsteemi faasiruum jagatud tõmbepiirkonnad atraktorid. Kui faasiruum on kahemõõtmeline, siis värvides tõmbealasid erinevate värvidega, saab värvifaasi portree see süsteem (iteratiivne protsess). Värvivaliku algoritmi muutes saate keerukaid fraktaalmustreid koos veidrate mitmevärviliste mustritega. Matemaatikute jaoks tuli üllatusena võime luua primitiivseid algoritme kasutades väga keerulisi struktuure.

Vaatleme näiteks Mandelbroti komplekti. Nad ehitavad selle kompleksarvude abil.

Lõige Mandelbroti komplekti piirist, suurendatud 200 korda.

Mandelbroti komplekt sisaldab punkte, mis ajallõpmatu iteratsioonide arv ei lähe lõpmatuseni (punktid, mis on mustad). Hulgi piirile kuuluvad punktid(siit tekivad keerulised struktuurid) lähevad lõpmatusse piiratud arvu iteratsioonidega ja komplektist väljaspool asuvad punktid lähevad pärast mitut iteratsiooni lõpmatusse (valge taust).

P



Teise algebralise fraktaali näide on Julia hulk. Sellel fraktaalil on 2 sorti.Üllataval kombel on Julia komplektid moodustatud sama valemiga nagu Mandelbroti komplekt. Julia komplekti mõtles välja prantsuse matemaatik Gaston Julia, kelle järgi komplekt ka oma nime sai.

JA
huvitav fakt, mõned algebralised fraktalid Need meenutavad silmatorkavalt loomade, taimede ja muude bioloogiliste objektide kujutisi, mistõttu neid nimetatakse biomorfideks.

Stohhastilised fraktalid

Teine tuntud fraktalide klass on stohhastilised fraktalid, mis saadakse siis, kui mõnda selle parameetreid muudetakse juhuslikult iteratiivse protsessi käigus. Sel juhul on saadud objektid väga sarnased looduslikele - asümmeetrilised puud, karmid rannajooned jne.

Selle fraktalide rühma tüüpiline esindaja on "plasma".

D
Selle koostamiseks võtke ristkülik ja määrake selle igale nurgale värv. Järgmisena leitakse ristküliku keskpunkt ja värvitakse see värviga, mis on võrdne ristküliku nurkade värvide aritmeetilise keskmise pluss mõne juhusliku arvuga. Mida suurem on juhuslik arv, seda räbalam on joonistus. Kui eeldada, et punkti värv on kõrgus merepinnast, saame plasma asemel mäeaheliku. Sellel põhimõttel on enamikus programmides mäed modelleeritud. Plasmale sarnase algoritmi abil koostatakse kõrguskaart, sellele rakendatakse erinevaid filtreid, rakendatakse tekstuur ja fotorealistlikud mäed on valmis

E
Kui vaatame seda fraktalit ristlõikes, siis näeme, et see fraktal on mahuline ja sellel on "karedus", just selle "kareduse" tõttu on sellel fraktalil väga oluline rakendus.

Oletame, et peate kirjeldama mäe kuju. Eukleidilise geomeetria tavalised arvud siin ei aita, sest need ei võta arvesse pinna topograafiat. Kuid kui kombineerida tavalist geomeetriat fraktaalgeomeetriaga, võite saada mäe "kareduse". Peame plasmat kandma tavalisele koonusele ja saame mäe reljeefi. Selliseid operatsioone saab teha paljude teiste objektidega looduses, tänu stohhastilistele fraktaalidele saab kirjeldada loodust ennast.

Räägime nüüd geomeetrilistest fraktaalidest.

.

3. peatükk "Looduse fraktaalgeomeetria"

" Miks nimetatakse geomeetriat sageli "külmaks" ja "kuivaks"? Üks põhjus on see, et see ei suuda kirjeldada pilve, mäe, rannajoone või puu kuju. Pilved ei ole sfäärid, mäed ei ole käbid, rannajooned ei ole ringid, puukoor ei ole sile, välk ei liigu sirgjooneliselt. üldiselt Ma väidan, et paljud looduses olevad objektid on nii ebakorrapärased ja killustatud, et võrreldes Eukleidese mõistega – termin, mis selles töös tähendab kogu standardgeomeetriat – pole loodusel mitte ainult suurem keerukus, vaid ka täiesti erineval tasemel keerukus. Number erinevad kaalud Looduslike objektide pikkused on praktilistel eesmärkidel lõpmatud."

(Benoit Mandelbrot "Looduse fraktaalgeomeetria" ).

TO Fraktaalide ilu on kahekordne: see rõõmustab silma, nagu näitab ülemaailmne fraktaalpiltide näitus, mille korraldas rühm Bremeni matemaatikuid Peitgeni ja Richteri juhtimisel. Hiljem jäädvustati selle suurejoonelise näituse eksponaadid samade autorite raamatu "Fraktalide ilu" illustratsioonideks. Kuid on veel üks, abstraktsem või ülevam fraktalide ilu aspekt, mis on R. Feynmani sõnul avatud ainult teoreetiku mõttelisele pilgule; selles mõttes on fraktalid ilusad raske matemaatilise probleemi ilu tõttu. . Benoit Mandelbrot juhtis oma kaasaegsetele (ja arvatavasti ka järeltulijatele) tähelepanu tüütule lüngale Eukleidese elementides, mille kaudu mõistis peaaegu kaks aastatuhandet inimkonda, ilma et oleks märkanud seda, ümbritseva maailma geomeetriat ja õppis esitamise matemaatilist rangust. Muidugi on fraktaalide ilu mõlemad aspektid omavahel tihedalt seotud ega välista, vaid täiendavad üksteist, kuigi igaüks neist on isemajandav.

Looduse fraktaalgeomeetria Mandelbroti järgi on tõeline geomeetria, mis rahuldab F. Kleini Erlangeni programmis välja pakutud geomeetria definitsiooni. Fakt on see, et enne mitteeukleidilise geomeetria tulekut N.I. Lobatševski - L. Bolyai, oli ainult üks geomeetria - see, mis oli sätestatud "Põhimõttes", ja küsimust, mis on geomeetria ja milline geomeetria on reaalse maailma geomeetria, ei tekkinud ega saanudki. tekkida. Kuid järjekordse geomeetria tulekuga tekkis küsimus, mis on geomeetria üldiselt ja milline paljudest geomeetriatest vastab tegelikule maailmale. F. Kleini järgi tegeleb geomeetria objektide selliste omaduste uurimisega, mis on teisendustes muutumatud: Eukleidiline – liikumiste rühma invariandid (teisendused, mis ei muuda kaugust kahe punkti vahel, s.o. kujutavad paralleelsete tõlgete superpositsiooni). ja pöörded orientatsiooni muutmisega või ilma) , Lobatševski-Bolyai geomeetria - Lorentzi rühma invariandid. Fraktaalgeomeetria tegeleb eneseafiinsete teisenduste rühma invariantide uurimisega, s.o. võimuseadustega väljendatud omadused.

Mis puutub vastavusse reaalsele maailmale, siis fraktaalgeomeetria kirjeldab väga laia loodusprotsesside ja -nähtuste klassi ning seetõttu saame B. Mandelbrot'i järgi õigustatult rääkida looduse fraktaalgeomeetriast. Uus – fraktaalobjektidel on ebatavalised omadused. Mõne fraktaali pikkused, pindalad ja ruumalad on nullid, teised aga pöörduvad lõpmatuseni.

Loodus loob sageli hämmastavaid ja kauneid fraktale, millel on ideaalne geomeetria ja selline harmoonia, et jääd imetlusest lihtsalt ära. Ja siin on nende näited:

Merekarbid

Välk imetleda nende iluga. Välgu tekitatud fraktaalid ei ole meelevaldsed ega korrapärased

Fraktaalne kuju lillkapsa alamliik(Brassica cauliflora). See konkreetne liik on eriti sümmeetriline fraktal.

P sõnajalg on ka hea näide fraktalist taimestiku hulgas.

Paabulinnud kõik on tuntud oma värvilise sulestiku poolest, milles on peidetud tahked fraktaalid.

Jää, härmas mustrid akendel on need ka fraktalid

KOHTA
t suurendatud pilt leht, enne puu oksad- fraktaleid võib leida kõigest

Fraktalid on kõikjal ja kõikjal meid ümbritsevas looduses. Kogu Universum on üles ehitatud hämmastavalt harmooniliste seaduste järgi ja matemaatilise täpsusega. Kas pärast seda on võimalik arvata, et meie planeet on osakeste juhuslik konkatenatsioon? Vaevalt.

Peatükk 4. Fraktaalide rakendamine

Fraktalid leiavad teaduses üha enam rakendusi. Selle peamiseks põhjuseks on see, et need kirjeldavad tegelikku maailma mõnikord isegi paremini kui traditsiooniline füüsika või matemaatika. siin on mõned näidised:

KOHTA
fraktalide kõige võimsamate rakenduste päevad arvutigraafika. See on fraktaalkujutise tihendamine. Kaasaegne füüsika ja mehaanika alles hakkavad uurima fraktaalobjektide käitumist.

Fraktaalkujutise pakkimisalgoritmide eelised on pakitud faili väga väike suurus ja lühike pildi taastamise aeg. Fraktaalseid pilte saab skaleerida ilma piksliteta (halb pildikvaliteet – suured ruudud). Kuid tihendusprotsess võtab kaua aega ja kestab mõnikord tunde. Fractal kadudega pakkimisalgoritm võimaldab sarnaselt jpeg-vormingule määrata tihendustaseme. Algoritm põhineb pildi suurte tükkide otsimisel, mis sarnanevad mõne väikese osaga. Ja väljundfaili kirjutatakse ainult see, milline tükk on sarnane. Kokkusurumisel kasutatakse tavaliselt ruudustikku (tükid on ruudud), mis toob pildi taastamisel kaasa väikese nurga, kuusnurksel ruudustikul seda puudust pole.

Iterated on välja töötanud uue pildivormingu "Sting", mis ühendab fraktaali ja "laine" (näiteks jpeg) kadudeta pakkimise. Uus formaat võimaldab luua pilte hilisema kvaliteetse skaleerimise võimalusega ning graafiliste failide maht on 15-20% tihendamata piltide mahust.

Mehaanikas ja füüsikas Fraktaleid kasutatakse nende ainulaadse omaduse tõttu korrata paljude loodusobjektide piirjooni. Fraktalid võimaldavad teil puid, mäepindu ja pragusid ligikaudselt hinnata suurema täpsusega kui lähendused, kasutades segmentide või hulknurkade komplekte (sama hulga salvestatud andmetega). Fraktaalmudelitel, nagu ka loodusobjektidel, on “karedus” ja see omadus säilib olenemata mudeli suurendusest. Ühtse mõõdiku olemasolu fraktaalidel võimaldab rakendada integratsiooni, potentsiaali teooriat ja kasutada neid standardobjektide asemel juba uuritud võrrandites.

T
Fraktaalgeomeetriat kasutatakse ka antenniseadmete projekteerimine. Seda kasutas esmakordselt Ameerika insener Nathan Cohen, kes elas siis Bostoni kesklinnas, kus välisantennide paigaldamine hoonetele oli keelatud. Cohen lõikas alumiiniumfooliumist välja Kochi kõvera kuju ja liimis selle seejärel paberitükile ja kinnitas seejärel vastuvõtja külge. Selgus, et selline antenn ei tööta halvemini kui tavaline. Ja kuigi füüsikalised põhimõtted Selliseid antenne pole veel uuritud; see ei takistanud Cohenil oma ettevõtet asutamast ja nende seeriatootmist käivitamast. Praegu on Ameerika firma "Fractal Antenna System" välja töötanud uut tüüpi antenni. Nüüd saate kasutamise lõpetada Mobiiltelefonid väljaulatuvad välisantennid. Nn fraktaalantenn asub otse seadme sees põhiplaadil.

Samuti on fraktaalide kasutamise kohta palju hüpoteese – näiteks lümfi- ja vereringe, valgusel ja paljul muul on ka fraktaalomadusi.

Peatükk 5. Praktilised tööd.

Kõigepealt vaatame fraktale “Kaelakee”, “Võit” ja “Ruut”.

Esiteks - "Kaelakee"(joonis 7). Selle fraktaali algatajaks on ring. See ring koosneb teatud arvust samadest, kuid väiksema suurusega ringidest ja see ise on üks mitmest ringist, mis on samad, kuid suuremad. Seega on kasvatusprotsess lõputu ja seda saab läbi viia nii ühes kui ka vastassuunas. Need. figuuri saab suurendada, võttes vaid ühe väikese kaare, või vähendada, arvestades selle konstruktsiooni väiksematest.

riis. 7.

Fraktal "Kaelakee"

Teine fraktal on "Võit"(joonis 8). See sai selle nime, kuna see näeb välja nagu ladina täht "V", see tähendab "võit". See fraktal koosneb teatud arvust väikestest "vs"-dest, mis moodustavad ühe suure "V", ja vasakpoolses pooles, kuhu väikesed on paigutatud nii, et nende vasakpoolsed pooled moodustavad ühe sirge, parem osa on ehitatud samamoodi. Kõik need "v" on üles ehitatud samal viisil ja jätkavad seda lõpmatuseni.

Joonis 8. Fraktal "Võit"

Kolmas fraktal on "Ruut" (joonis 9). Iga selle külg koosneb ühest ruudukujuliste lahtrite reast, mille küljed tähistavad ka lahtriridu jne.

Joonis 9. Fraktal "Ruut"

Fraktal sai nimeks "Rose" (joonis 10), kuna see sarnanes selle lillega. Fraktaali konstrueerimine hõlmab kontsentriliste ringide seeria ehitamist, mille raadius varieerub proportsionaalselt antud suhtega (antud juhul R m / R b = ¾ = 0,75). Pärast seda kantakse igasse ringi korrapärane kuusnurk, mille külg on võrdne selle ümber kirjeldatud ringi raadiusega.

Riis. 11. Fraktal "Roos *"

Järgmiseks pöördume tavalise viisnurga poole, kuhu joonistame selle diagonaalid. Seejärel joonistame saadud viisnurgas vastavate segmentide ristumiskohas uuesti diagonaalid. Jätkame seda protsessi lõpmatuseni ja saame “pentagrammi” fraktali (joonis 12).

Tutvustame loovuse elementi ja meie fraktal saab visuaalsema objekti kuju (joonis 13).

R
on. 12. Fraktal “Pentagramm”.

Riis. 13. Fraktal "pentagramm *"

Riis. 14 fraktaali "must auk"

Katse nr 1 "Puu"

Nüüd, kui sain aru, mis on fraktal ja kuidas seda ehitada, proovisin luua oma fraktaalipilte. Adobe Photoshopis lõin väikese alamprogrammi ehk toimingu, selle toimingu eripära on see, et see kordab minu tehtud toiminguid ja nii saan fraktali.

Alustuseks lõin meie tulevasele fraktalile tausta eraldusvõimega 600 x 600. Seejärel tõmbasin sellele taustale 3 joont – meie tulevase fraktali aluseks.

KOOS Järgmine samm on stsenaariumi kirjutamine.

dubleeri kiht ( kiht > duplikaat) ja muutke segamistüübiks " Ekraan" .

Kutsume teda" fr1". Kopeerige see kiht (" fr1") veel 2 korda.

Nüüd peame lülituma viimasele kihile (fr3) ja ühendage see kaks korda eelmisega ( Ctrl+E). Vähenda kihi heledust ( Pilt > Seadistused > Heledus/kontrastsus , heledus seatud 50% ). Ühendage uuesti eelmise kihiga ja lõigake kogu joonise servad, et eemaldada nähtamatud osad.

Viimane samm oli selle pildi kopeerimine ja kleepimine väiksemaks ja pööratuna. See on lõpptulemus.

Järeldus

See töö on sissejuhatus fraktaalide maailma. Oleme käsitlenud ainult kõige väiksemat osa sellest, mis fraktalid on ja milliste põhimõtete alusel need on üles ehitatud.

Fraktaalgraafika ei ole lihtsalt isekorduvate kujutiste kogum, see on mis tahes olemasoleva asja struktuuri ja põhimõtte mudel. Kogu meie elu esindavad fraktalid. Kogu meid ümbritsev loodus koosneb neist. Ei saa märkimata jätta fraktaalide laialdast kasutamist arvutimängudes, kus maastikureljeefid on sageli keerukate komplektide kolmemõõtmelistel mudelitel põhinevad fraktaalikujutised. Fraktalid hõlbustavad oluliselt arvutigraafika joonistamist, fraktaalide abil luuakse palju eriefekte, erinevaid vapustavaid ja uskumatuid pilte jne. Samuti on puud, pilved, kaldad ja kogu muu loodus joonistatud fraktaalgeomeetria abil. Fraktaalgraafikat on vaja kõikjal ja “fraktaltehnoloogiate” arendamine on tänapäeval üks olulisi ülesandeid.

Tulevikus kavatsen õppida algebralisi fraktaleid konstrueerima, kui olen kompleksarvusid üksikasjalikumalt uurinud. Samuti tahan proovida luua oma fraktaalkujutisi Pascali programmeerimiskeeles, kasutades silmuseid.

Märkimist väärib fraktaalide kasutamine arvutitehnoloogias, lisaks lihtsalt arvutiekraanile ilusate piltide konstrueerimine. Fraktaleid kasutatakse arvutitehnoloogias järgmistes valdkondades:

1. Piltide ja teabe tihendamine

2. Teabe peitmine pildis, helis,…

3. Andmete krüpteerimine fraktalalgoritmide abil

4. Fraktaalmuusika tegemine

5. Süsteemi modelleerimine

Kõiki valdkondi meie töös ei käsitleta. inimeste teadmised, kus fraktaliteooria leidis oma rakenduse. Tahame vaid öelda, et teooria tekkimisest pole möödunud rohkem kui kolmandik sajandit, kuid selle aja jooksul muutusid fraktaalid paljude teadlaste jaoks ootamatuks eredaks valguseks öösel, mis valgustas senitundmatuid fakte ja mustreid konkreetsetes andmevaldkondades. . Fraktaliteooria abil hakati selgitama galaktikate evolutsiooni ja rakkude arengut, mägede tekkimist ja pilvede teket, hindade liikumist börsil ning ühiskonna ja perekonna arengut. Võib-olla oli algul see fraktalite kirg isegi liiga intensiivne ja katsed seletada kõike fraktaliteooria abil olid põhjendamatud. Kuid kahtlemata on sellel teoorial õigus eksisteerida ja meil on kahju, et viimasel ajal on see kuidagi unustatud ja jäänud eliidi osaks. Seda tööd ette valmistades oli meil väga huvitav leida TEOORIA rakendusi PRAKTIKAS. Sest väga sageli on tunne, et teoreetilised teadmised eristuvad elureaalsusest.

Seega muutub fraktalite mõiste mitte ainult osaks "puhta" teaduse, vaid ka universaalse inimkultuuri elemendiks. Fraktaalteadus on veel väga noor ja seda ootab ees suur tulevik. Fraktalite ilu pole veel kaugeltki ammendunud ja annab meile endiselt palju meistriteoseid – neid, mis pakuvad silmailu, ja neid, mis pakuvad tõelist meelt.

10. Viited

Božokin S.V., Paršin D.A. Fraktaalid ja multifraktaalid. RHD 2001 .

Vitolin D. Fraktalide rakendamine arvutigraafikas. // Arvutimaailm-Venemaa.-1995

Mandelbrot B. Iseseisvad fraktaalikomplektid, "Fractals in Physics". M.: Mir 1988

Mandelbrot B. Looduse fraktaalgeomeetria. - M.: "Arvutiuuringute instituut", 2002.

Morozov A.D. Sissejuhatus fraktaalide teooriasse. N. Novgorod: Kirjastus Nižni Novgorod. Ülikool 1999

Peitgen H.-O., Richter P. H. Fraktalide ilu. - M.: "Mir", 1993.

Interneti-ressursid

http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

http://fractals.nsu.ru/fractals.chat.ru/

http://fractals.nsu.ru/animations.htm

http://www.cootey.com/fractals/index.html

http://fraktals.ucoz.ru/publ

http://sakva.narod.ru

http://rusnauka.narod.ru/lib/author/kosinov_n/12/

http://www.cnam.fr/fractals/

http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

http://subscribe.ru/archive/job.education.maths/201005/06210524.html