Lineaarfunktsiooni y ax b graafik. Lineaarfunktsioon, selle omadused ja graafik

Teie privaatsus on meile oluline. Sel põhjusel oleme välja töötanud privaatsuspoliitika, mis kirjeldab, kuidas me teie teavet kasutame ja säilitame. Palun lugege meie privaatsuspoliitikat ja andke meile teada, kui teil on küsimusi.

Isikuandmete kogumine ja kasutamine

Isikuandmed viitavad andmetele, mida saab kasutada konkreetse isiku tuvastamiseks või temaga ühenduse võtmiseks.

Teil võidakse paluda esitada oma isikuandmed igal ajal, kui võtate meiega ühendust.

Järgnevalt on toodud mõned näited, millist tüüpi isikuandmeid võime koguda ja kuidas seda teavet kasutada.

Milliseid isikuandmeid me kogume:

Kui esitate saidil avalduse, võime koguda erinevat teavet, sealhulgas teie nime, telefoninumbrit, aadressi Meil jne.

Kuidas me teie isikuandmeid kasutame:

Meie poolt kogutud isiklik informatsioon võimaldab meil teiega ühendust võtta ja teid teavitada ainulaadsetest pakkumistest, tutvustustest ja muudest sündmustest ning eelseisvatest sündmustest.
Aeg-ajalt võime kasutada teie isikuandmeid teile oluliste teadete ja teadete saatmiseks.
Võime kasutada isikuandmeid ka sisemistel eesmärkidel, näiteks auditite, andmeanalüüsi ja erinevate uuringute läbiviimiseks, et täiustada pakutavaid teenuseid ja anda teile soovitusi meie teenuste kohta.
Kui osalete loosimises, võistluses või sarnases stiimulis, võime kasutada teie esitatud teavet selliste programmide haldamiseks.

Avalikustamine kolmandatele isikutele

Me ei avalda teilt saadud teavet kolmandatele isikutele.

Erandid:

Vajadusel - vastavalt seadusele, kohtulik kord, kohtumenetluses ja/või avalike taotluste või taotluste alusel valitsusagentuurid Vene Föderatsiooni territooriumil - avaldage oma isikuandmed. Võime avaldada teie kohta teavet ka siis, kui leiame, et selline avaldamine on vajalik või asjakohane turvalisuse, õiguskaitse või muude avalike huvide tõttu.
Ümberkorraldamise, ühinemise või müügi korral võime edastada kogutud isikuandmed vastavale kolmandale isikule õigusjärglasele.

Isikuandmete kaitse

Me rakendame ettevaatusabinõusid – sealhulgas administratiivseid, tehnilisi ja füüsilisi –, et kaitsta teie isikuandmeid kaotsimineku, varguse ja väärkasutuse, samuti volitamata juurdepääsu, avalikustamise, muutmise ja hävitamise eest.

Teie privaatsuse säilitamine ettevõtte tasandil

Teie isikuandmete turvalisuse tagamiseks edastame oma töötajatele privaatsus- ja turvatavade ning rakendame rangelt privaatsuspõhimõtteid.

Arvfunktsiooni mõiste. Funktsiooni seadistamise viisid. Funktsiooni omadused.

Numbriline funktsioon- funktsioon, mis toimib ühest arvuruumist (hulgast) teise numbriruumi (hulga).

Funktsiooni määratlemiseks on kolm peamist viisi: analüütiline, tabel ja graafiline.

1. Analüütiline.

Funktsiooni määramise meetodit valemi abil nimetatakse analüütiliseks. See meetod on matil peamine. analüüs, kuid praktikas pole see mugav.

2. Tabelikujuline funktsiooni seadistamise viis.

Funktsiooni saab määratleda tabeli abil, mis sisaldab argumentide väärtusi ja neile vastavaid funktsiooni väärtusi.

3. Graafiline viis funktsioonide ülesanded.

Funktsiooni y \u003d f (x) nimetatakse graafiliselt antud, kui selle graafik on koostatud. See funktsiooni seadistamise meetod võimaldab funktsiooni väärtusi määrata ainult ligikaudselt, kuna graafiku koostamine ja sellelt funktsiooni väärtuste leidmine on seotud vigadega.

Funktsiooni omadused, mida tuleb selle graafiku koostamisel arvesse võtta:

1) Piirkond funktsioonide määratlused.

Funktsiooni ulatus, see tähendab, need väärtused, mida funktsiooni F =y (x) argument x võib võtta.

2) Suureneva ja kahaneva funktsiooni intervallid.

Funktsiooni nimetatakse suurendamiseks vaadeldaval intervallil, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni y(x) suuremale väärtusele. See tähendab, et kui vaadeldavast intervallist võetakse kaks suvalist argumenti x 1 ja x 2 ning x 1 > x 2, siis y (x 1) > y (x 2).

Funktsiooni nimetatakse kahanevaks vaadeldaval intervallil, kui argumendi suurem väärtus vastab funktsiooni y(x) väiksemale väärtusele. See tähendab, et kui vaadeldavast intervallist võetakse kaks suvalist argumenti x 1 ja x 2 ja x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funktsiooni nullid.

Punkte, kus funktsioon F \u003d y (x) lõikub abstsissteljega (need saadakse võrrandi y (x) \u003d 0 lahendamisel) ja neid nimetatakse funktsiooni nullideks.

4) Paaris- ja paaritu funktsioonid.

Funktsiooni nimetatakse paariks, kui kõigi argumendi väärtuste jaoks ulatusest

y(-x) = y(x).

Paarisfunktsiooni graafik on sümmeetriline y-telje suhtes.

Funktsiooni nimetatakse paarituks, kui kõigi argumendi väärtuste jaoks ulatusest

y(-x) = -y(x).

Paarisfunktsiooni graafik on algpunkti suhtes sümmeetriline.

Paljud funktsioonid pole paaris ega paaritud.

5) Funktsiooni perioodilisus.

Funktsiooni nimetatakse perioodiliseks, kui on olemas arv P, nii et kõigi argumendi väärtuste jaoks definitsioonipiirkonnast

y(x + P) = y(x).

Lineaarne funktsioon, selle omadused ja graafik.

Lineaarfunktsioon on vormi funktsioon y = kx + b, mis on määratletud kõigi komplektis reaalarvud.

k – kalle(reaalne arv)

b- vaba tähtaeg (reaalarv)

x on sõltumatu muutuja.

· Konkreetsel juhul, kui k = 0, saame konstantse funktsiooni y = b, mille graafik on Ox-teljega paralleelne sirge, mis läbib punkti koordinaatidega (0; b).

· Kui b = 0, siis saame funktsiooni y = kx, mis on otsene proportsionaalsus.

o Koefitsiendi b geomeetriline tähendus on lõigu pikkus, mille sirgjoon piki Oy telge ära lõikab, lugedes alguspunktist.

o Koefitsiendi k geomeetriline tähendus on sirge kaldenurk Ox-telje positiivse suuna suhtes, seda loetakse vastupäeva.

Lineaarse funktsiooni omadused:

1) Lineaarfunktsiooni määratluspiirkond on kogu reaaltelg;

2) Kui k ≠ 0, siis on lineaarfunktsiooni vahemik terve reaaltelg.

Kui k = 0, siis lineaarfunktsiooni vahemik koosneb arvust b;

3) Lineaarfunktsiooni ühtlus ja paaritus sõltuvad koefitsientide k ja b väärtustest.

a) b ≠ 0, k = 0, seega y = b on paaris;

b) b = 0, k ≠ 0, seega y = kx on paaritu;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, seega y = kx + b on funktsioon üldine vaade;

d) b = 0, k = 0, seega y = 0 on nii paaris kui paaritu funktsioon.

4) Lineaarfunktsioonil puudub perioodilisuse omadus;

5) Lõikepunktid koordinaattelgedega:

Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, seega (-b / k; 0) on lõikepunkt abstsissteljega.

Oy: y = 0k + b = b, seega (0; b) on lõikepunkt y-teljega.

Kommenteeri. Kui b = 0 ja k = 0, siis funktsioon y = 0 kaob iga x väärtuse korral. Kui b ≠ 0 ja k = 0, siis funktsioon y = b ei kao muutuja x ühegi väärtuse puhul.

6) Märgi püsivuse intervallid sõltuvad koefitsiendist k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b on positiivne x (-b/k; +∞),

y = kx + b on negatiivne x jaoks alates (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b on positiivne x jaoks alates (-∞; -b/k),

y = kx + b on negatiivne x (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b on positiivne kogu domeenis,

k = 0, b< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.

7) Lineaarfunktsiooni monotoonsuse intervallid sõltuvad koefitsiendist k.

k > 0, seega y = kx + b suureneb kogu domeeni ulatuses,

k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.

11. Funktsioon y \u003d ax 2 + bx + c, selle omadused ja graafik.

Funktsioon y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c - konstandid, kutsutakse a ≠ 0). ruutkeskne. Lihtsamal juhul y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0) on graafik kõverjoon, mis läbib alguspunkti. Funktsiooni y \u003d ax 2 graafikuna kasutatav kõver on parabool. Igal paraboolil on sümmeetriatelg, mida nimetatakse parabooli telg. Parabooli ja tema telje lõikepunkti O nimetatakse parabooli tipp.

Graafi saab ehitada järgmise skeemi järgi: 1) Leidke parabooli tipu koordinaadid x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Ehitame veel paar punkti, mis kuuluvad parabooli juurde, ehitamisel saab kasutada parabooli sümmeetriat sirge x = -b / 2a suhtes. 3) Ühendame näidatud punktid sujuva joonega. Näide. Koostage funktsiooni graafik \u003d x 2 + 2x - 3. Lahendused. Funktsiooni graafik on parabool, mille harud on suunatud ülespoole. Parabooli ülaosa abstsiss x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, selle ordinaadid y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Niisiis, parabooli tipp on punkt (-1; -4). Teeme väärtuste tabeli mitme punkti jaoks, mis on paigutatud parabooli sümmeetriateljest paremale - sirgjoon x \u003d -1.

Funktsiooni omadused.

Algebra ja analüüsi algus.
1. Lineaarfunktsioon y = ax + b, selle omadused ja graafik.
2. Ruutfunktsioon y = ax2 + bx + c, selle omadused ja graafik.
3. Funktsioon y = k/x, selle omadused ja graafik, graafik lineaarne murdfunktsioon(konkreetsel näitel).
4. Eksponentfunktsioon y = ax, selle omadused ja graafik.
5. logaritmiline funktsioon y = loga x, selle omadused ja graafik.
6. Funktsioon y = sin(x), selle omadused ja graafik.
7. Funktsioon y = cos(x), selle omadused ja graafik.
8. Funktsioon y = tg(x), selle omadused ja graafik.
9. Funktsioon y = ctg(x), selle omadused ja graafik.
10. Aritmeetiline progressioon, esimese n liikme summa aritmeetiline progressioon.
11. Geomeetriline progressioon, geomeetrilise progressiooni esimese n liikme summa. Lõpmatult kahaneva geomeetrilise progressiooni summa.
12. Võrrandi lahendus sin(x) = a, võrratused sin(x) > a, sin(x)< a.
13. Võrrandi cos(x) = a lahend, võrratused cos(x) > a, cos(x)< a.
14. Võrrandi tg(x) = a lahend, võrratused tg(x) > a, tg(x)< a.
15. Taandusvalemid (tuletusega).
16. Kahe argumendi summa ja erinevuse siinuse ja koosinuse valemid (koos tõestusega).
17. Topeltargumendi trigonomeetrilised funktsioonid.
18. Poolargumendi trigonomeetrilised funktsioonid.
19. Siinuste summa ja vahe valemid, koosinused (koos tõestusega).
20. Tüvivalemi tuletamine ruutvõrrand, Vieta teoreem.
21. Korrutise logaritm, aste, jagatis.
22. Tuletise mõiste, selle geomeetriline tähendus ja füüsiline tähendus.
23. Tuletise arvutamise reeglid.

Funktsioon antud valemiga y = kx + b, kus k ja b on mõned arvud, nimetatakse lineaarseks.
Lineaarfunktsiooni määratluspiirkond on hulk R kõik reaalarvud, sest avaldis kx + b on mõttekas kõigi x väärtuste jaoks.
Lineaarfunktsiooni y = kx + b graafik on sirgjoon. Ilmselgelt piisab kahest punktist graafiku joonistamiseks, kui k 0.
Koefitsient k iseloomustab nurka, mille sirgjoon y = kx moodustab Ox-telje positiivse suunaga, seetõttu nimetatakse k-d kaldeteguriks. Kui k > 0, siis see nurk on teravnurk; kui k< 0 - тупой; если k = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
Funktsiooni y = kx + b graafikut saab postitada, nihutades funktsiooni y = kx graafikut paralleelselt.

Vastus number 2. ODA. Ruutfunktsioon on funktsioon, mida saab määrata valemiga kujul y \u003d ax2 + bx + c, kus x on sõltumatu muutuja, a, b ja c on mõned arvud ja a 0.

ajakava ruutfunktsioon on parabool.

Funktsiooni y = ax2 omadused (erijuhtum) a > 0 korral.

2. Kui x 0, siis y > 0. Funktsiooni graafik asub ülemisel pooltasandil.

4. Funktsioon väheneb intervallis (- ; 0] ja suureneb intervallis .
5. Madalaim väärtus funktsioon aktsepteerib x = 0. Funktsiooni vahemik on (- ; 0].

Ja seega on funktsiooni y = ax2 + bx + c graafik parabool, mille tipuks on punkt (m; n), kus m = , n= . Parabooli sümmeetriatelg on sirge x = m, mis on paralleelne y-teljega. Kui a > 0 on parabooli harud suunatud ülespoole, a puhul< 0 - вниз.

Kui muutuja y on pöördvõrdeline muutujaga x, siis seda sõltuvust väljendatakse valemiga, kus on koefitsient pöördvõrdelisus.

Funktsiooni domeen on kõigi nullist erinevate arvude hulk, st .
Pöördproportsionaalsuse graafik y=k/x on kõver, mis koosneb kahest algpunkti suhtes sümmeetrilisest harust. Sellist kõverat nimetatakse hüperbooliks. Kui k>0, siis paiknevad hüperbooli harud I ja III koordinaatveerandis; kui k<.0, то во II и IV координатных четвертях.
Pange tähele, et hüperbool ei oma koordinaattelgedega ühiseid punkte, vaid läheneb neile ainult meelevaldselt lähedale.

Nr 4. Def. Funktsioon, mis on antud valemiga y = ax, kus a on mingi positiivne arv, mis ei ole võrdne ühega, nimetatakse eksponentsiaalseks.

1. Funktsioon y = ax, kui a>1

c) funktsioon suureneb;

e) kui x > 0, siis ax > 1;
e) kui x< 0, то 0< ax <1;

2. Funktsioon y = ax 0 juures< а <1
a)
b) väärtuste kogum - kõigi positiivsete arvude kogum;
c) funktsioon väheneb;
d) x = 0 korral on funktsiooni väärtus 1;
e) kui x > 0, siis 0< ax <1;
e) kui x< 0, то ax > 1.

№5.Def. Valemiga y = loga x antud funktsiooni nimetatakse logaritmiliseks funktsiooniks, mille alus on a.
Funktsiooni y = loga x omadused a>1 korral:
a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) funktsioon suureneb;

e) kui 0 f) kui x > 1, siis loga x > 0.
Funktsiooni omadused y = loga x 0 juures a) D(f) = R+;
b) E(f) = R;
c) funktsioon väheneb;
d) kui x = 1, siis loga x = 0;
e) kui 0< x < 1, то loga x > 0;
f) kui x > 1, siis loga x< 0.

nr 6. ODA. Jalgade suhe täisnurkne kolmnurk Hüpotenuusi teravnurga vastas olevat nurga siinus (tähistatud patt).

määratluspiirkond - kõigi reaalarvude hulk;
väärtuste komplekt - [-1; üks];
paaritu funktsioon: sin(-x) = -sin(x) kõigi jaoks;
sin(x) = 0, kui x = ;
sin(x) > 0 kõigi jaoks;
sin(x)< 0 для всех;
funktsioon suureneb;
funktsioon väheneb võrra.

Nr 7.Opr. Täisnurkse kolmnurga teravnurgaga külgneva jala suhet hüpotenuusiga nimetatakse selle nurga koosinusiks (tähistatakse cos)

määratluspiirkond - kõigi reaalarvude hulk;
väärtuste komplekt - [-1; üks];
paarisfunktsioon: cos(-x) = cos(x) kõigi jaoks;
funktsioon on perioodiline kõige väiksemaga positiivne periood;
cos(x) = 0 at;
cos(x) > 0 kõigi jaoks;
cos(x) > 0 kõigi jaoks;
funktsioon suureneb;
funktsioon väheneb võrra

№8.Opr. Täisnurkse kolmnurga teravnurga vastas oleva jala ja selle nurgaga külgneva jala suhet nimetatakse puutujaks (tähistatud tg).

paaritu funktsioon: tg(-x) = -tg(x) kõigi x definitsioonipiirkonnast;
funktsioon on perioodiline väikseima positiivse perioodiga;
tg(x) = 0, kui x = ;
tg(x) > 0 kõigi jaoks;
tg(x)< 0 для всех;
funktsioon suureneb võrra.

№9.Opr. Täisnurkse kolmnurga teravnurgaga külgneva jala ja selle nurga vastas oleva jala suhet nimetatakse kotangensiks (tähistatakse ctg)

määratluspiirkond - kõigi reaalarvude hulk, välja arvatud vormi numbrid;
väärtuste kogum on kogu arvurida;
paaritu funktsioon: ctg(-x) = -ctg(x) kõigi domeeni x-ide jaoks;
funktsioon on perioodiline väikseima positiivse perioodiga;
ctg(x) = 0, kui x = ;
ctg(x) > 0 kõigi jaoks;
ctg(x)< 0 для всех;
funktsioon väheneb võrra.

Vastus number 10

Numbriline jada, mille iga liige alates teisest on võrdne eelmise liikmega, liidetuna samale arvule, nimetatakse aritmeetiliseks progressiooniks.
Aritmeetilise progressiooni definitsioonist järeldub, et selle mis tahes liikme ja eelkäija vahe on võrdne sama arvuga, st a2 - a1 = a3 - a2 =… = ak - ak-1 =…. Seda arvu nimetatakse aritmeetilise progressiooni erinevuseks ja seda tähistatakse tavaliselt tähega d.
Aritmeetilise progressiooni (аn) määramiseks piisab, kui on teada selle esimene liige a1 ja erinevus d.
Kui aritmeetilise progressiooni erinevus on positiivne arv, siis selline progressioon suureneb; kui negatiivne arv, siis väheneb. Kui aritmeetilise progressiooni erinevus on võrdne nulliga, siis on kõik selle liikmed võrdsed ja progressioon on konstantne jada.
iseloomulik omadus aritmeetiline progressioon. Jada (an) on aritmeetiline progressioon siis ja ainult siis, kui mõni selle liige, alates teisest, on eelmise ja järgneva liikme aritmeetiline keskmine, st (1)
Aritmeetilise progressiooni n-nda liikme valem on järgmine: an = a1 + d(n-1). (2)
Aritmeetilise progressiooni esimese n liikme summa valem on järgmine: (3)
Kui valemis (3) asendame selle avaldise valemiga (2) an-i asemel, siis saame seose
Aritmeetilise progressiooni erinevuse definitsioonist järeldub, et a1 + an = a2 + an-1 = ..., st progressiooni otstest võrdsel kaugusel olevate liikmete summa on konstantne väärtus.

Vastus number 11

Arvjada, mille esimene liige on nullist erinev ja iga liige, alates teisest, on võrdne eelmise liikmega, mis on korrutatud sama nullist erineva arvuga, nimetatakse geomeetriliseks progressiooniks.
Geomeetrilise progressiooni definitsioonist järeldub, et selle mis tahes liikme suhe eelmisesse on võrdne sama arvuga, s.o. b2 :b1 = b3 :b2 =… = miljardit :bn-1 = miljard +1 :miljardit=…. Seda arvu nimetatakse geomeetrilise progressiooni nimetajaks ja seda tähistatakse tavaliselt tähega q .
Geomeetrilise progressiooni määramiseks ( miljardit), piisab selle esimese termini teadmisest b1 ja nimetaja q .
Kui a q> 0 (), siis on progressioon monotoonne jada. Olgu näiteks b1 = -2, q= 3, siis geomeetriline progressioon -2, -6, -18,… on monotoonselt kahanev jada. Kui a q= 1, siis on kõik progressiooni liikmed võrdsed. Sel juhul on progresseerumine pidev jada.
Geomeetrilise progressiooni iseloomulik omadus. Järjekord ( miljardit) on geomeetriline progressioon siis ja ainult siis, kui iga tema liige, alates teisest, on temaga külgnevate terminite geomeetriline keskmine, st (1)
Geomeetrilise progressiooni n-nda liikme valem on: (2)
Geomeetrilise progressiooni n esimese liikme summa valem on: , (3)
Kui valemis (3) asendame selle avaldise bn asemel valemiga (2), siis saame seose. , (neli)
Geomeetrilise progressiooni nimetaja definitsioonist tuleneb, et b1 bn = b2 bn-1 = …, s.o. progressiooni otstest võrdsel kaugusel olevate terminite korrutis on konstant.

Lõpmatu geomeetrilise progressiooni summa punktis

Olgu (xn) nimetajaga geomeetriline progressioon q, kus i. Lõpmatu geomeetrilise progressiooni summat, mille nimetaja vastab tingimusele, nimetatakse summa piiriks n selle esimesed liikmed kl.
Tähistame lõpmatu geomeetrilise progressiooni summat väärtusega S. Siis on valem õige.

Trigonomeetriliste võrrandite lahend kujul sin(x) = a

võrrandi sin(x) = a juurte valem, kus, on kujul:
Erijuhtumid:
sin(x) = 0, x =
sin(x) = 1, x =
sin(x) = -1, x =
võrrandi juurte valem sin2 (x) = a, kus, on kujul: x=

Lahendus trigonomeetrilised ebavõrdsused kujul sin(x) > a, sin(x)< a

Võrratusi, mis sisaldavad muutujat ainult trigonomeetrilise funktsiooni märgi all, nimetatakse trigonomeetrilisteks.
Trigonomeetriliste võrratuste lahendamisel kasutatakse trigonomeetriliste funktsioonide monotoonsuse omadust ja nende konstantse märgi intervalle.
Lihtsamate trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks kujul sin(x) > a (sin(x)< а) используют üksuse ring või funktsiooni y = sin(x) graafik.
sin(x) = 0, kui x = ;
sin(x) = -1, kui x =>;
sin(x) > 0, kui;
sin(x)< 0, если.

Vastus number 13

Lahendus trigonomeetriline võrrand cos(x) = a

Võrrandi cos(x) = a juurte valem, kus, on kujul: .
Erijuhtumid:
cos(x) = 1, x = ;
cos(x) = 0, ;
cos(x) = -1, x =
Võrrandi cos2 (x) = a juurte valem, kus, on kujul: .

Trigonomeetriliste võrratuste lahendamine kujul cos(x) > a, cos(x)< a

Lihtsamate trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks kujul cos(x) > a, cos(x)< a используют единичную окружность или график функции y = cos(x);
Oluline punkt on teadmine, et:
cos(x) = 0, kui;
cos(x) = -1, kui x = ;
cos(x) = 1, kui x = ;
cos(x) > 0, kui;
cos(x) > 0, kui.

Trigonomeetrilise võrrandi lahendus tg(x) = a

Võrrandi tg(x) = a juurte valem on: .
Erijuhtumid:
tan(x) = 0, x = ;
tan(x) = 1, ;
tan(x) = -1, .
Võrrandi tg2 (x) = a juurte valem, kus, on kujul:

Kuju tg(x) > a, tg(x) trigonomeetriliste võrratuste lahendus< a

Lihtsamate trigonomeetriliste võrratuste lahendamiseks kujul tg(x) > a, tg(x)< a используют единичную окружность или график функции y = tg(x).
Oluline on teada, et:
tg(x) > 0, kui;
tg(x)< 0, если;
Tangenti ei eksisteeri, kui.

Reduktsioonivalemeid nimetatakse relatsioonideks, mille abil väärtused trigonomeetrilised funktsioonid argumente väljendatakse läbi patuväärtused, cos , tg ja ctg .
Kõik redutseerimisvalemid saab kokku võtta järgmises tabelis:

	Argument

Ülaltoodud valemite meeldejätmise hõlbustamiseks tuleks kasutada järgmisi reegleid:
a) nurgafunktsioonidelt nurgafunktsioonidele üleminekul muudetakse funktsiooni nimetust: siinus koosinusseks, puutuja kotangensiks ja vastupidi;
nurgafunktsioonidelt nurgafunktsioonidele üleminekul säilib funktsiooni nimi;
b) teravnurka (s.t.) arvestades panevad nad nurgafunktsiooni ette sellise märgi, nagu nurkade taandataval funktsioonil on, .

Kõik ülaltoodud valemid saab saada järgmise reegli abil:
Mis tahes trigonomeetriline funktsioon nurgast 90°n + by absoluutväärtus on võrdne nurga sama funktsiooniga, kui arv n on paaris ja lisafunktsioon kui arv n on paaritu. Veelgi enam, kui nurga funktsioon on 90°n + . on positiivne, kui terav nurk, siis on mõlema funktsiooni märgid samad, kui negatiivsed, siis erinevad.

Kahe argumendi summa ja erinevuse koosinuse valemid:
Joon.1 Joon.2
Pöörame raadiust OA, mis on võrdne R-ga, punkti O lähedal nurga ja nurga võrra (joonis 1). Saame OB ja OS raadiused. Leiame vektorite ja skalaarkorrutise. Olgu punkti B koordinaadid x1 ja y1, punkti C koordinaadid x2 ja y2. Vektoritel ja on samad koordinaadid. Vektorite skalaarkorrutise definitsiooni järgi:
= x1 x2 + y1 y2. (üks)
Avaldame skalaarkorrutist nurkade u trigonomeetriliste funktsioonide kaudu. Koosinuse ja siinuse definitsioonist järeldub, et
x1 = R cos, y1 = R sin, x2 = R cos, y2 = R sin.
Väärtuste x1, x2, y1, y2 asendamine parem pool võrdsused (1), saame:
\u003d R2 coscos + R2 sinsin \u003d R2 (coscos + sinsin).
Teisest küljest teoreemi järgi punktitoode vektor, mis meil on:
= cos BOC = R2 cos BOC.
Nurk VOC vektorite ja vahel võib olla võrdne - (joonis 1), - (-) (joonis 2) või võib nendest väärtustest erineda täisarvu võrra. Kõigil neil juhtudel cos BOC = cos (-). Sellepärast
= R2 cos(-).
Sest on samuti võrdne R2-ga (coscos + sinsin), siis
cos(-) = coscos + sinsin.
Cos(+) = cos(- (-)) = coscos(-) + sinsin(-) = coscos - sinsin.
Tähendab,
cos(+) = coscos – sinsin.
Kahe argumendi summa ja erinevuse siinuse valemid:
Sin(+) = cos(/2 - (+)) = cos((/2 -) -) = cos(/2 -) cos+ sin(/2 -) sin= sincos+ cossin.
Tähendab,
sin(+) = sincos + cossin.
Sin(-) = sin(+ (-)) = sincos(-) + cossin(-) = sincos - cossin.
Tähendab,
sin(-) = sincos - cossin.

Valemid topeltnurgad

Liitmisvalemid võimaldavad väljendada sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2 nurga trigonomeetriliste funktsioonide kaudu.
Panime valemid sisse
sin(+) = sincos + cossin
cos(+) = coscos - sinsin,
,
.
võrdne. Saame identiteedid:

sin 2= 2 sin cos ;
cos2= cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; .

Poolargumendi valemid

Parema külje väljendamine cos valemid 2= cos2 - sin2 ühe trigonomeetrilise funktsiooni (siinus või koosinus) kaudu jõuame seosteni
cos 2 = 1 - sin2, cos 2 = 2 cos2 - 1.
Kui paneme nendesse suhetesse = /2, saame:
cos = 1 - 2 sin2 /2, cos 2 = 2 cos2 /2 - 1. (1)
Valemitest (1) järeldub, et
(2), (3).
Jagades liikme terminiga võrdus (2) võrdsusega (3), saame
(4).
Valemites (2), (3) ja (4) sõltub radikaali ees olev märk sellest, millise koordinaatide kvartal on nurk /2.
Kasulik on teada järgmist valemit:
.

Siinuste summa ja vahe valemid, koosinused

Siinuste või koosinuste summat ja erinevust saab esitada trigonomeetriliste funktsioonide korrutisena. Valemid, millel selline teisendus põhineb, saab tuletada liitmisvalemitest.
Tootena esitleda summa patt+ sin, pane = x + y ja = x - y ning kasuta summa siinuse ja erinevuse siinuse valemeid. Saame:
patt + patt \u003d patt (x + y) + patt (x - y) \u003d sinx hubane + cosx siny + sinx hubane - cosx siny \u003d 2sinx hubane.
Olles nüüd lahendanud võrrandisüsteemi = x + y, = x - y x ja y suhtes, saame x = , y = .
Järelikult
patt + patt = 2 sincot.
Valemid tuletatakse sarnasel viisil:
patt-sin = 2 cossin;
cos + cos = 2 coscos;
cos + cos = -2 sinsin .

Redutseeritud ruutvõrrandi x2 + lahendi leidmiseks lk x + q= 0, kus, piisab vaba liikme ülekandmisest paremale poole ja liitmisest võrdsuse mõlemale poolele. Siis muutub vasak pool täisruut, ja saame ekvivalentne võrrand = - q .
Lihtsaimast võrrandist x2 = m erineb see ainult välimuselt: selle asemel x ja - q- selle asemel m. Leia = . Otsyuba x = - . See valem näitab, et igal ruutvõrrandil on kaks juurt. Kuid need juured võivad olla kujuteldavad, kui< q. Samuti võib selguda, et ruutvõrrandi mõlemad juured on üksteisega võrdsed, kui = q. Pöördume tagasi tavapärase vormi juurde.
1. Taandatud ruutvõrrandi x2 + juurte summa lk x + q= 0 on võrdne teise koefitsiendiga, mis on võetud vastupidine märk, ja juurte korrutis võrdub vaba liikmega, st. x1 + x2 = - R ja x1 x2 = q .
2. Teoreem, vastupidine teoreem Vieta. Kui a R, q, x1, x2 on sellised, et x1 + x2 = - R ja x1 x2 = q, siis x1 ja x2 on võrrandi x2 + juured lk x + q = 0.

ODA. Arvu b logaritm aluse a suhtes on eksponent, milleni tuleb arvu b saamiseks alus a tõsta.
Valemit (kus b > 0, a > 0 ja a 1) nimetatakse põhilogaritmiliseks identiteediks.
Logaritmide omadused:

Toote logaritm on võrdne summaga tegurite logaritmid:
.
Selle tõestamiseks kasutame põhilogaritmilist identiteeti:
x = , y = .
Korrutame need võrdsused termini kaupa, saame:
xy == .
Seetõttu on logaritmi definitsiooniga (punkt 3) tõestatud.
Jagatise logaritm on võrdne logaritmiga dividend ilma jagaja logaritmita:
.
Tõestuse käik on sarnane punkti 3 tõestusega
Kraadilogaritm on võrdne tootega eksponent selle aluse logaritmi kohta:
.
Tõestuses on vaja kasutada ka logaritmilist põhiidentiteeti.

Funktsiooni f (x) tuletis punktis x0 on punktis x0 oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null. Selle võib kirjutada järgmiselt: .
Tuletise definitsioonist järeldub, et funktsioonil saab olla tuletis punktis x0 ainult siis, kui ta on defineeritud punkti x0 mõnes naabruses, kaasa arvatud see punkt.
Vajalik seisukord funktsiooni tuletise olemasolu antud punktis on funktsiooni järjepidevus selles punktis.
Funktsiooni f tuletise olemasolu punktis x0 on samaväärne (mittevertikaalse) puutuja olemasoluga graafiku punktis (x0; f(x0)), samas kui puutuja kalle võrdne. See on mis tuletise geomeetriline tähendus.
mehaaniline tunne funktsiooni y tuletis f "(x) \u003d f (x) on funktsiooni muutumise kiirus punktis x. Seetõttu tuleb rakendusülesannete lahendamisel meeles pidada, et olenemata sellest, millist protsessi uuritav kirjeldab funktsiooni y \u003d f (x) korral võib tuletist füüsilisest vaatepunktist pidada protsessi edenemise kiiruseks.

Summa tuletis võrdub tuletiste summaga, kui need on olemas:
.
Kui funktsioon u ja v on diferentseeruvad punktis x0to, nende tuletised on selles punktis diferentseeruvad ja
.
Kui funktsioon u ja v on diferentseeruvad punktis x0 ja FROM on konstantne, siis funktsioon Cu on sellel hetkel eristatav ja
.
Kui funktsioon u ja v on diferentseeruvad punktis x0 ja funktsioonis v ei ole selles punktis võrdne nulliga, siis on ka kahe funktsiooni jagatis punktis x0u diferentseeruv
.

Selles artiklis vaatleme lineaarne funktsioon, lineaarfunktsiooni ja selle omaduste graafik. Ja nagu tavaliselt, lahendame sellel teemal mitmeid probleeme.

Lineaarne funktsioon nimetatakse vormi funktsiooniks

Funktsiooni võrrandis nimetatakse arvu, millega me korrutame, kaldeteguriks.

Näiteks funktsiooni võrrandis ;

funktsiooni võrrandis ;

funktsiooni võrrandis.

Lineaarfunktsiooni graafik on sirgjoon.

üks . Funktsiooni joonistamiseks, vajame funktsiooni graafikusse kuuluva kahe punkti koordinaate. Nende leidmiseks peate võtma kaks x väärtust, asendama need funktsiooni võrrandiga ja arvutama nende põhjal vastavad y väärtused.

Näiteks funktsiooni joonistamiseks on mugav võtta ja , siis on nende punktide ordinaadid võrdsed ja .

Saame punktid A(0;2) ja B(3;3). Ühendame need ja saame funktsiooni graafiku:

2 . Funktsiooni võrrandis vastutab koefitsient funktsioonigraafiku kalde eest:

Title="(!LANG:k>0">!}

Koefitsient vastutab graafiku nihutamise eest piki telge:

Title="(!LANG:b>0">!}

Alloleval joonisel on toodud funktsioonide graafikud; ;

Pange tähele, et kõigis nendes funktsioonides on koefitsient Üle nulli õige. Veelgi enam, kui rohkem väärtust, seda järsem läheb otse.

Kõikides funktsioonides - ja me näeme, et kõik graafikud lõikuvad OY-teljega punktis (0;3)

Vaatleme nüüd funktsioonigraafikuid; ;

Seekord kõigis funktsioonides koefitsient vähem kui null, ja kõik funktsioonigraafikud on viltu vasakule.

Pange tähele, et mida suurem |k|, seda järsemaks joon läheb. Koefitsient b on sama, b=3 ja graafikud, nagu ka eelmisel juhul, ristuvad OY teljega punktis (0;3)

Vaatleme funktsioonide graafikuid ; ;

Nüüd on kõigis funktsioonivõrrandites koefitsiendid võrdsed. Ja saime kolm paralleelset joont.

Kuid koefitsiendid b on erinevad ja need graafikud lõikuvad OY teljega erinevates punktides:

Funktsiooni (b=3) graafik ristub OY-teljega punktis (0;3)

Funktsiooni (b=0) graafik ristub OY teljega punktis (0;0) - alguspunktis.

Funktsiooni (b=-2) graafik ristub OY-teljega punktis (0;-2)

Seega, kui teame koefitsientide k ja b märke, siis võime kohe ette kujutada, milline näeb välja funktsiooni graafik.

Kui a k<0 и b>0 , siis näeb funktsiooni graafik välja selline:

Kui a k>0 ja b>0, siis näeb funktsiooni graafik välja selline:

Kui a k>0 ja b<0 , siis näeb funktsiooni graafik välja selline:

Kui a k<0 и b<0 , siis näeb funktsiooni graafik välja selline:

Kui a k = 0 , siis muutub funktsioon funktsiooniks ja selle graafik näeb välja järgmine:

Funktsiooni graafiku kõigi punktide ordinaadid on võrdsed

Kui a b = 0, siis funktsiooni graafik läbib lähtepunkti:

seda otsese proportsionaalsuse graafik.

3 . Eraldi märgin ära võrrandi graafiku. Selle võrrandi graafik on teljega paralleelne sirgjoon, mille kõigil punktidel on abstsiss.

Näiteks näeb võrrandigraafik välja selline:

Tähelepanu! Võrrand ei ole funktsioon, kuna argumendi erinevad väärtused vastavad samale funktsiooni väärtusele, mis ei vasta .

4 . Kahe joone paralleelsuse tingimus:

Funktsioonigraafik paralleelselt funktsiooni graafikuga, kui

5. Kahe sirge perpendikulaarsuse tingimus:

Funktsioonigraafik funktsiooni graafikuga risti kui või

6. Funktsiooni graafiku lõikepunktid koordinaattelgedega.

OY teljega. Mis tahes OY-teljele kuuluva punkti abstsiss on võrdne nulliga. Seetõttu tuleb OY-teljega lõikepunkti leidmiseks funktsiooni võrrandis asendada x asemel null. Saame y=b. See tähendab, et lõikepunktil OY-teljega on koordinaadid (0;b).

OX-teljega: Iga OX-teljele kuuluva punkti ordinaat on null. Seetõttu tuleb OX-teljega lõikepunkti leidmiseks funktsiooni võrrandis asendada y asemel null. Saame 0=kx+b. Siit. See tähendab, et lõikepunktil OX-teljega on koordinaadid (; 0):

Kaaluge probleemi lahendamist.

üks . Koostage funktsiooni graafik, kui on teada, et see läbib punkti A (-3; 2) ja on paralleelne sirgega y \u003d -4x.

Funktsiooni võrrandis on kaks tundmatut parameetrit: k ja b. Seetõttu peaks ülesande tekstis olema kaks funktsiooni graafikut iseloomustavat tingimust.

a) Sellest, et funktsiooni graafik on paralleelne sirgega y=-4x, järeldub, et k=-4. See tähendab, et funktsiooni võrrandil on vorm

b) Meil jääb üle leida b. Teatavasti läbib funktsiooni graafik punkti A (-3; 2). Kui punkt kuulub funktsioonigraafikusse, siis selle koordinaadid funktsiooni võrrandisse asendades saame õige võrrandi:

seega b=-10

Seega peame funktsiooni joonistama

Punkt A(-3;2) on meile teada, võtke punkt B(0;-10)

Paneme need punktid koordinaattasandile ja ühendame need sirgjoonega:

2. Kirjutage punkte A(1;1) läbiva sirge võrrand; B(2;4).

Kui sirge läbib antud koordinaatidega punkte, siis punktide koordinaadid vastavad sirge võrrandile. See tähendab, et kui asendame punktide koordinaadid sirge võrrandiga, saame õige võrdsuse.

Asendage võrrandis iga punkti koordinaadid ja saate lineaarvõrrandisüsteemi.

Lahutame süsteemi teisest võrrandist esimese võrrandi ja saame . Asendage süsteemi esimeses võrrandis k väärtus ja saame b=-2.

Niisiis, sirgjoone võrrand.

3 . Joonistage võrrand

Et leida, millistel tundmatu väärtustel on mitme teguri korrutis võrdne nulliga, peate iga teguri võrdsustama nulliga ja võtma arvesse iga kordaja.

Sellel võrrandil pole ODZ-le piiranguid. Faktoriseerime teise sulg ja võrdsustame iga teguri nulliga. Saame võrrandite komplekti:

Koostame graafikud hulga kõigi võrrandite kohta ühel koordinaattasandil. See on võrrandi graafik :

neli . Koostage funktsiooni graafik, kui see on sirgega risti ja läbib punkti M (-1; 2)

Me ei koosta graafikut, leiame ainult sirge võrrandi.

a) Kuna funktsiooni graafik, kui see on sirgega risti, siis siit. See tähendab, et funktsiooni võrrandil on vorm

b) Teame, et funktsiooni graafik läbib punkti M (-1; 2). Asendage selle koordinaadid funktsiooni võrrandis. Saame:

Siit.

Seetõttu näeb meie funktsioon välja järgmine: .

5 . Joonistage funktsioon

Lihtsustame funktsiooni võrrandi paremal küljel olevat avaldist.

Tähtis! Enne väljendi lihtsustamist leiame selle ODZ.

Murru nimetaja ei saa olla null, seega title="(!LANG:x1">, title="x-1">.!}

Siis saab meie funktsiooniks:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(maatriks(3)(1)((y=x+2) (x1) (x-1)))( )">!}

See tähendab, et peame koostama funktsioonigraafiku ja torkama sellele kaks punkti: abstsissidega x=1 ja x=-1:

Nagu praktika näitab, põhjustavad ruutfunktsiooni omaduste ja graafikute ülesanded tõsiseid raskusi. See on üsna kummaline, sest ruutfunktsiooni läbitakse 8. klassis ja siis "piinatakse" terve 9. klassi esimene veerand parabooli omadustega ja ehitatakse selle graafikud erinevate parameetrite jaoks.

Selle põhjuseks on asjaolu, et sundides õpilasi paraboole ehitama, ei pühenda nad praktiliselt aega graafikute "lugemisele", st ei harjuta pildilt saadud teabe mõistmist. Ilmselt eeldatakse, et pärast kahe tosina graafiku koostamist avastab ja sõnastab nutikas õpilane ise valemis ja koefitsientide vahelise seose. välimus graafika. Praktikas see ei tööta. Sellise üldistuse jaoks tõsine kogemus matemaatilised miniuuringud, mida enamikul üheksandikutel muidugi pole. Samal ajal teevad nad GIA-s ettepaneku määrata koefitsientide märgid täpselt ajakava järgi.

Me ei nõua koolilastelt võimatut ja pakume lihtsalt ühte selliste probleemide lahendamise algoritmidest.

Niisiis, vormi funktsioon y=ax2+bx+c nimetatakse ruutlikuks, selle graafik on parabool. Nagu nimigi ütleb, on põhikomponent kirves 2. See on a ei tohiks olla võrdne nulliga, ülejäänud koefitsiendid ( b ja Koos) võib olla võrdne nulliga.

Vaatame, kuidas selle koefitsientide märgid mõjutavad parabooli välimust.

Lihtsaim sõltuvus koefitsiendile a. Enamik koolilapsi vastab enesekindlalt: "kui a> 0, siis on parabooli harud suunatud ülespoole ja kui a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.

y = 0,5x2 - 3x + 1

AT sel juhul a = 0,5

Ja nüüd selleks a < 0:

y = – 0,5 x 2 – 3 x + 1

Sel juhul a = - 0,5

Koefitsiendi mõju Koos ka piisavalt lihtne jälgida. Kujutage ette, et me tahame leida funktsiooni väärtuse punktis X= 0. Asendage valemis null:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Selgub, et y = c. See on Koos on parabooli ja y-telje lõikepunkti ordinaat. Reeglina on seda punkti graafikult lihtne leida. Ja määrake, kas see on üle nulli või alla selle. See on Koos> 0 või Koos < 0.

Koos > 0:

y=x2+4x+3

Koos < 0

y = x 2 + 4x - 3

Vastavalt sellele, kui Koos= 0, siis läbib parabool tingimata lähtepunkti:

y=x2+4x

Parameetriga keerulisem b. See, millal me selle leiame, ei sõltu mitte ainult sellest b aga ka alates a. See on parabooli tipp. Selle abstsiss (telje koordinaat X) leitakse valemiga x in \u003d - b / (2a). Sellel viisil, b = - 2ax tolli. See tähendab, et me tegutseme järgmiselt: graafikul leiame parabooli tipu, määrame selle abstsissi märgi, see tähendab, et vaatame nullist paremale ( x sisse> 0) või vasakule ( x sisse < 0) она лежит.

See pole aga veel kõik. Tähelepanu tuleb pöörata ka koefitsiendi märgile a. See tähendab, et näha, kuhu parabooli harud on suunatud. Ja alles pärast seda valemi järgi b = - 2ax tolli määrata märk b.

Kaaluge näidet:

Ülespoole suunatud oksad a> 0, parabool ristub teljega juures alla nulli tähendab Koos < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x sisse> 0. Niisiis b = - 2ax tolli = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Koos < 0.