Lineaarvõrrand kolme tundmatuga. Kolme tundmatuga võrrandite lahendamine matemaatikas

Lineaarvõrrandisüsteem on mitme koos vaadeldav hulk lineaarvõrrandid.

Süsteemis võib olla suvaline arv võrrandeid suvalise arvu tundmatutega.

Võrrandisüsteemi lahendus on tundmatute väärtuste kogum, mis rahuldab kõik süsteemi võrrandid, st teisendab need identiteetideks.

Süsteemi, millel on lahendus, nimetatakse ühilduvaks, vastasel juhul nimetatakse seda ebajärjekindlaks.

Süsteemi lahendamiseks kasutatakse erinevaid meetodeid.

Lase
(võrrandite arv võrdub tundmatute arvuga).

Crameri meetod

Kaaluge lahendust süsteemid kolmest lineaarvõrrandid kolme tundmatuga:

(7)

Et leida tundmatut
Rakendame Crameri valemit:

(8)

kus - süsteemi determinant, mille elementideks on tundmatute koefitsiendid:

mis saadakse determinandi esimese veeru asendamisel tasuta liikmete veerg:

Sarnaselt:

;
.

Näide 1 Lahendage süsteem Crameri valemi abil:

Lahendus: kasutame valemeid (8):

;

Vastus:
.

Iga süsteemi jaoks lineaarvõrrandid tundmatud võivad öelda:

Maatrikslahendus

Vaatleme kolme tundmatuga lineaarvõrrandi süsteemi (7) lahendust maatriksmeetodil.

Maatrikskorrutamise reegleid kasutades saab selle võrrandisüsteemi kirjutada järgmiselt:
, kus

Laske maatriksil mitte-mandunud, st.
. Vasakpoolse maatriksvõrrandi mõlema poole korrutamine maatriksiga
, maatriksi pöördväärtus , saame:
.

Arvestades seda
, meil on

(9)

Näide 2 Lahendage süsteem maatriksmeetodil:

Lahendus: tutvustame maatrikseid:

- koefitsientidest teadmata;

- vabaliikmete kolonn.

Seejärel saab süsteemi kirjutada maatriksvõrrandina:
.

Kasutame valemit (9). Leiame pöördmaatriksi
vastavalt valemile (6):

;

Järelikult

Sain:

Vastus:
.

Tundmatute järjestikune kõrvaldamine (Gaussi meetod)

Kasutatava meetodi põhiidee on järjestikune tundmatute kõrvaldamine. Selgitame selle meetodi tähendust süsteemis kolm võrrandit kolme tundmatuga:

Oletame, et
(kui
, siis muudame võrrandite järjekorda, valides esimeseks võrrandiks selle, milles koefitsient ei ole võrdne nulliga).

Esimene samm: a) jagage võrrand
peal
; b) korrutage saadud võrrand arvuga
ja lahutada sellest
; c) seejärel korrutage tulemus arvuga
ja lahutada sellest
. Esimese sammu tulemusena on meil süsteem:

Teine samm: käsitlege võrrandit
ja
täpselt nagu võrrandite puhul
.

Selle tulemusena muudetakse algne süsteem nn astmeliseks vormiks:

Teisendatud süsteemist määratakse kõik tundmatud järjestikku ilma raskusteta.

Kommenteeri. Praktikas on mugavam taandada astmelisele kujule mitte võrrandisüsteem ise, vaid koefitsientide maatriks tundmatute ja vabade liikmetega.

Näide 3 Lahendage süsteem Gaussi meetodil:

Üleminek ühelt maatriksilt teisele kirjutatakse samaväärsuse märgiga ~.

~
~
~
~

~
.

Saadud maatriksi abil kirjutame välja teisendatud süsteemi:

Vastus:
.

Märkus. Kui süsteemil on kordumatu lahendus, taandatakse astmeline süsteem kolmnurkseks, st selliseks, mille viimane võrrand sisaldab üht tundmatut. Kui tegemist on ebamäärase süsteemiga, st sellisega, milles tundmatute arv rohkem numbrit lineaarselt sõltumatud võrrandid, kolmnurksüsteemi ei tule, kuna viimane võrrand sisaldab rohkem kui ühte tundmatut (süsteemil on lõpmatu arv lahendeid). Kui süsteem on ebaühtlane, sisaldab see pärast selle astmelisele vormile redutseerimist vähemalt ühte lahke väärtus
, see tähendab võrrandit, milles kõigil tundmatutel on nullkoefitsiendid ja parem osa erineb nullist (süsteemil pole lahendusi). Gaussi meetod on rakendatav suvalise lineaarvõrrandisüsteemi jaoks (mis tahes
ja ).

Olemasoluteoreem lineaarvõrrandisüsteemi lahenduseks

Lineaarvõrrandisüsteemi Gaussi meetodil lahendamisel saab vastuse küsimusele, kas antud süsteem on ühilduv või vastuoluline, anda alles arvutuste lõpus. Sageli on aga oluline lahendada võrrandisüsteemi ühilduvuse või ebaühtluse küsimus lahendusi ise leidmata. Sellele küsimusele annab vastuse järgmine Kroneckeri-Capelli teoreem.

Laske süsteemil
lineaarvõrrandid teadmata:

(10)

Et süsteem (10) oleks järjepidev, on vajalik ja piisav, et süsteemi maatriksi auaste

oli võrdne selle suurendatud maatriksi auastmega

Veelgi enam, kui
, siis on süsteemil (10) ainulaadne lahendus; kui
, siis on süsteemil lõpmatu arv lahendusi.

Vaatleme lineaarsete võrrandite homogeenset süsteemi (kõik vabad liikmed on võrdsed nulliga):

See süsteem on alati järjekindel, kuna sellel on nulllahendus.

Järgnev teoreem annab tingimused, mille korral süsteemil on ka nullist erineva lahendusi.

Terema. To homogeenne süsteem joonvõrranditel on nulllahendus, on vajalik ja piisav, et selle determinant oli võrdne nulliga:

Seega, kui
, siis on lahendus ainulaadne. Kui a
, siis on muid nullist erinevaid lahendusi lõpmatu arv. Näidakem ühte meetodit kolme tundmatuga kolme lineaarvõrrandi homogeense süsteemi lahenduste leidmiseks juhul
.

Võib tõestada, et kui
, ning esimene ja teine võrrand on mitteproportsionaalsed (lineaarselt sõltumatud), siis on kolmas võrrand kahe esimese tagajärg. Kolmest kolme tundmatust võrrandist koosneva homogeense süsteemi lahendus taandatakse kahe kolme tundmatuga võrrandi lahendiks. Ilmub nn vaba tundmatu, millele saab omistada suvalisi väärtusi.

Näide 4 Leia kõik süsteemilahendused:

Lahendus. Selle süsteemi määraja

Seetõttu on süsteemil nulllahendused. On näha, et näiteks kaks esimest võrrandit ei ole proportsionaalsed, seega on nad lineaarselt sõltumatud. Kolmas on kahe esimese tagajärg (saadud, kui esimesele võrrandile lisatakse kaks korda teine). Selle tagasilükkamisel saame kahest võrrandist koosneva süsteemi kolme tundmatuga:

Eeldusel, et näiteks
, saame

Lahendades kahe lineaarvõrrandi süsteemi, väljendame ja läbi :
. Seetõttu saab süsteemi lahenduse kirjutada järgmiselt:
, kus - suvaline arv.

Näide 5 Leia kõik süsteemilahendused:

Lahendus. On lihtne näha, et selles süsteemis on ainult üks sõltumatu võrrand (teised kaks on sellega võrdelised). Kolmest võrrandist koosnev kolme tundmatuga süsteem on taandatud üheks võrrandiks kolme tundmatuga. Ilmub kaks vaba tundmatut. Leidmine näiteks esimesest võrrandist
meelevaldseks ja , saame selle süsteemi lahendused. Lahenduse üldkuju võib kirjutada kujul ja - suvalised arvud.

Küsimused enesekontrolliks

Sõnasta Crameri reegel süsteemi lahendamiseks lineaarvõrrandid teadmata.

Mis on süsteemide lahendamise maatriksmeetodi olemus?

Mis on Gaussi meetod lineaarvõrrandisüsteemi lahendamiseks?

Sõnastage Kroneckeri-Capelli teoreem.

Sõnasta homogeense lineaarvõrrandisüsteemi nullist mittevastavate lahendite olemasolu vajalik ja piisav tingimus.

Näited ise lahendamiseks

Leia kõik süsteemilahendused:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Määrake, millistel väärtustel ja võrrandisüsteem

a) omab ainulaadset lahendust;

b) puudub lahendus;

c) on lõpmatult palju lahendusi.

16.
; 17.
;

Leidke järgmiste homogeensete süsteemide kõik lahendused:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Vastused näidetele

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- suvaline arv.

6.
, kus - suvaline arv.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, kus - suvaline arv.

12. , kus ja - suvalised arvud.

13.
; 14.
kus ja - suvalised arvud.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; sisse)
.

17. a)
; b)
; sisse)
;

18.
; 19.
; 20., kus - suvaline arv.

21. , kus - suvaline arv.

22. , kus - suvaline arv.

23. , kus ja - suvalised arvud.

Süsteemi jaoks koostame peamise determinandi

ja arvutage see välja.

Seejärel teeme täiendavad determinandid

ja arvuta need välja.

Crameri reegli järgi leitakse süsteemi lahendus valemite abil

;
;
, kui

Arvutame:

Crameri valemite järgi leiame:

Vastus: (1; 2; 3)

Arvutame:

Kuna peamine määraja
, ja vähemalt üks lisaväärtus ei ole võrdne nulliga (meie puhul
), siis pole süsteemil lahendust.

Arvutame:

Kuna kõik determinandid on võrdsed nulliga, on süsteemil nii lõpmatu hulk lahendusi, mida on võimalik leida

Lahendage oma süsteemid:

a)
b)

Vastus: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praktiline tund number 3 teemal:

Kahe vektori skalaarkorrutis ja selle rakendus

1. Kui antakse
ja
, siis skalaarkorrutis leia valemiga:

∙

2. Kui, siis nende kahe vektori skalaarkorrutis leitakse valemiga

1. Antud on kaks vektorit
ja

Leiame nende skalaarkorruti järgmiselt:

2. Antud on kaks vektorit:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

dot toode leitakse järgmiselt:

3.
,

3.1 Konstantse jõu töö leidmine tee sirgel lõigul

1) 15N jõu mõjul on keha liikunud sirgjooneliselt 2 meetrit. Nurk jõu ja liikumissuuna vahel =60 0 . Arvutage keha liigutamiseks tehtava jõu töö.

Arvestades:

Lahendus:

2) Arvestades:

Lahendus:

3) Keha, mis liigub punktist M(1; 2; 3) punkti N(5; 4; 6) 60N suuruse jõu toimel. Jõu suuna ja nihkevektori vaheline nurk =45 0 . Arvutage selle jõu tehtud töö.

Lahendus: leidke nihkevektor

Leidke nihkevektori moodul:

Vastavalt valemile
tööd leida:

3.2 Kahe vektori ortogonaalsuse määramine

Kaks vektorit on ortogonaalsed, kui
, see on

sest

- mitte ortogonaalne

-ortogonaalne

3) Määrake, milliste  vektorite jaoks
ja
vastastikku ortogonaalsed.

Sest
, siis
, tähendab

Otsustage ise:

. Leidke nende skalaarkorrutis.

b) Arvutage, kui palju tööd teeb jõud
, kui selle rakenduspunkt, liikudes sirgjooneliselt, on liikunud punktist M (5; -6; 1) punkti N (1; -2; 3)

c) Tehke kindlaks, kas vektorid on ortogonaalsed
ja

Vastused: a) 1 b) 16 c) jah

3.3 Vektoritevahelise nurga leidmine

. Otsi .

Leiame

ühendage valemiga:

üks). Kolmnurga A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1) tipud on antud. Leia nurk tipus A.

Asendage valemis:

Otsustage ise:

Kolmnurga A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0) tipud on antud. Defineeri sisemine nurk A ülaosas.

Vastus: 90 o

Praktiline tund number 4 teemal:

KAHE VEKTORI VEKTORTOODE JA SELLE RAKENDUS.

Valem kahe vektori ristkorrutise leidmiseks:

on vorm

1) Leidke vektorkorrutise moodul:

Koostame determinandi ja arvutame selle (vastavalt Sarruse reeglile või teoreemile determinandi laienemise kohta esimese rea elementide järgi).

1. meetod: Sarruse reegli järgi

2. viis: laiendage determinanti esimese rea elementide võrra.

2) Leidke ristkorrutise moodul:

4.1. KAHELE VEKTORIL EHITATUD PARALLELOGRAMMI PILLA ARVUTAMINE.

1) Arvutage vektoritele ehitatud rööpküliku pindala

2). Leidke ristkorrutis ja selle moodul

4.2. KOLMNURGA PILLA ARVUTAMINE

Näide: antud kolmnurga tipud A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Arvutage kolmnurga pindala.

Kõigepealt leiame kahe samast tipust väljuva vektori koordinaadid.

Leiame nende vektorkorrutise

4.3. KAHE VEKTORI KOLLINEAARSUSE MÄÄRAMINE

Kui vektor
ja
on siis kollineaarsed

, st vektorite koordinaadid peavad olema võrdelised.

a) Vektorandmed::
,
.

Nad on kollineaarsed, sest
ja

pärast iga fraktsiooni vähendamist saadakse suhe

b) Vektorandmed:

.

Nad ei ole kollineaarsed, sest
või

Otsustage ise:

a) Milliste vektori m ja n väärtuste korral
kolineaarne?

Vastus:
;

b) Leidke ristkorrutis ja selle moodul
,
.

Vastus:
,
.

Praktiline tund number 5 teemal:

SIRG LENNUKILE

Ülesanne number 1. Leidke sirgjoonega paralleelset punkti A (-2; 3) läbiva sirge võrrand

1. Leidke sirge kalle
.

on kalde ja algordinaadiga sirge võrrand (
). Sellepärast
.

2. Kuna sirged MN ja AC on paralleelsed, on nende kalded võrdsed, s.t.
.

3. Sirge AC võrrandi leidmiseks kasutame antud kaldega punkti läbiva sirge võrrandit:

. Selle valemi asemel ja asendame punkti A koordinaadid (-2; 3), selle asemel asendame - 3. Asenduse tulemusena saame:

Vastus:

Ülesanne number 2. Leidke sirgjoonega paralleelset punkti K (1; -2) läbiva sirge võrrand.

1. Leidke sirge kalle.

See on sirge üldvõrrand, mis sisse üldine vaade antud valemiga. Võrreldes võrrandeid ja leiame, et A \u003d 2, B \u003d -3. Võrrandiga antud sirge kalle leitakse valemiga
. Asendades selles valemis A = 2 ja B = –3, saame kalle otsene MN. Niisiis,
.

2. Kuna sirged MN ja KS on paralleelsed, on nende kalded võrdsed:
.

3. Sirge KS võrrandi leidmiseks kasutame antud kaldega punkti läbiva sirge võrrandi valemit
. Selle valemi asemel ja asendame selle asemel punkti K(–2; 3) koordinaadid

Ülesanne number 3. Leia sirgjoonega risti olevat punkti K (–1; –3) läbiva sirge võrrand.

1. on sirge üldvõrrand, mis on üldiselt antud valemiga.

ja leiame, et A = 3, B = 4.

Võrrandiga antud sirge kalle leitakse valemiga:
. Asendades selle valemiga A = 3 ja B = 4, saame sirge MN kalde:
.

2. Kuna sirged MN ja KD on risti, on nende kalded pöördvõrdelised ja vastasmärgiga:

3. Sirge KD võrrandi leidmiseks kasutame antud kaldega punkti läbiva sirge võrrandi valemit

. Selle valemi asemel ja asendame selle asemel punkti K(–1; –3) koordinaadid asendame. Asenduse tulemusena saame:

Otsustage ise:

1. Leidke sirgjoonega paralleelset punkti K (–4; 1) läbiva sirge võrrand
.

Vastus:
.

2. Leidke sirgjoonega paralleelset punkti K (5; -2) läbiva sirge võrrand
.

3. Leidke punkti K (–2; –6) läbiva sirge võrrand, mis on risti sirgega
.

4. Leidke sirgjoonega risti kulgeva punkti K (7; -2) läbiva sirge võrrand
.

Vastus:
.

5. Leidke punktist K (–6; 7) sirgele langetatud risti võrrand
.

Pärast seda, kui saidi autor suutis õpetada oma robotit lahendama kahe muutujaga lineaarset diofantiini võrrandit, tekkis soov õpetada robotit lahendama sarnaseid võrrandeid, kuid kolme tundmatuga. Pidin raamatutesse sukelduma.

Olles sealt kaks kuud hiljem välja tulnud, mõistis autor, et ei saa millestki aru. Innukalt targad matemaatikud kirjutasid valemite tuletamise algoritmi nii keeruliselt, et mul oli sureliku pärast häbi. Olin kurb, kuid siiski leidsin raamatu lagendikutest ühe kasuliku mõtte ja sellest mõttest sündis arusaam, kuidas lahendada kolme tundmatuga diofantiuse võrrandeid.

Seega kõigile, kes pole matemaatik, aga tahavad olla :)

Kolme tundmatuga diofantiini võrrand näeb välja selline

kus on täisarvud

Kui me mõtleme, mida ühine otsus võib-olla tundmatu, kõige banaalsem näeb välja selline

Asendage võrrand meie üldlahendiga

Mis kasu sellest on, küsib kannatamatu lugeja? Aga millise, me grupeerime kõik tundmatute järgi, me saame

Vaata, paremal pool on mõni konstantne arv, mida tähistatakse tähega d

See tähendab, et see ei sõltu t-st (see on muutuja, kunagi ei tea, milliseks väärtuseks see saada tahab), mis tähendab

Loogiline on eeldada, et see ei sõltu ka z-st, mis tähendab

kuid see sõltub otseselt A 3 ja B 3 konstantsetest väärtustest, see tähendab

Milleni me lõpuks jõudsime? Ja saime kolm tüüpilised klassikalised diofantiini võrrandid kahes tundmatus mille üle saame lihtsalt ja loomulikult otsustada.

Proovime otsustada?

Esimestel ridadel otsingumootorid leidis selle võrrandi

Esimene võrrand on selline

selle juured

Vabaneme nullidest, võttes näiteks k=-1. (Kui soovite, võite võtta 2 või 100 või -3) Sees lõplik otsus see ei mõjuta.

Lahendame teise võrrandi

ja selle juured

siin olgu k=0 (kuna X ja Y ei lange juba nullväärtuste korral kokku)

Ja viimane kolmandik võrrand

Juured on siin

Asendame nüüd kõik leitud väärtused üldvormile

See on kõik!

Pange tähele, et kõik on lahendatud väga lihtsalt ja läbipaistvalt! Kindlasti võtavad õpetajad ja võimekad õpilased selle tehnika kasutusele, kuna roboti autor leidis selle raamatutest.

Veel üks näide, mis on juba robotiga lahendatud.

Täiendus: Kui lahendate sarnaseid võrrandeid roboti abil, võite kohata tõsiasja, et robot annab teile veateate, paludes teil vahetada muutujad teise võrrandi lahendamise katse vastu. See on tingitud asjaolust, et vahearvutuste käigus saadakse lahendamatu võrrand

Näitena

Kui püütakse võrrandit lahendada

meie puhul

saame veateate, sest mis tahes väärtuste puhul on vasakul küljel alati (!!) paarisarv, ja paremal pool, nagu näeme, on veider.

Kuid see ei tähenda, et algne võrrand on lahendamatu. Piisab tingimuste muutmisest teises järjekorras, näiteks niimoodi

ja saada vastus

Võrrandite kasutamine on meie elus laialt levinud. Neid kasutatakse paljudes arvutustes, konstruktsioonide ehitamisel ja isegi spordis. Inimene on võrrandeid kasutanud juba iidsetest aegadest ja sellest ajast alates on nende kasutamine ainult suurenenud. Kolmest võrrandist koosneva kolme tundmatuga võrrandi süsteemil pole siiski kõigil juhtudel lahendust suur hulk võrrandid. Reeglina lahendatakse sellised süsteemid asendusmeetodi või Crameri meetodi abil. Teine meetod võimaldab esimestel etappidel kindlaks teha, kas süsteemil on lahendus.

Oletame, et meile antakse järgmine süsteem kolmest võrrandist kolme tundmatuga:

\[\left\(\begin(maatriks) x_1+x_2+2x_3=6\\ 2x_1+3x_2+7x_3=16\\ 5x_1+2x_2+x_3=16& \end(maatriks)\paremale.\]

Seda on võimalik lahendada heterogeenne süsteem lineaarne algebralised võrrandid Ax = B Crameri meetodi järgi:

\[\Delta _A\begin(vmatrix) 1 & 1 & -2\\ 2 & 3 & -7\\ 5 & 2 & 1 \end(vmatrix)=2\]

Süsteemi \ determinant ei ole võrdne nulliga. Leia abideterminandid \ kui need pole võrdsed nulliga, siis lahendeid pole, kui need on võrdsed, siis on lahendeid lõpmatu arv

\[\Delta _1\begin(vmatrix) 6 & 1 & -2\\ 16 & 3 & -7\\ 16 & 2 & 1 \end(vmatrix)=6\]

\[\Delta _2\begin(vmatrix) 1 & 6 & -2\\ 2 & 16 & -7\\ 5 & 16 & 1 \end(vmatrix)=2\]

\[\Delta _3\begin(vmatrix) 1 & 1 & 6\\ 2 & 3 & 16\\ 5 & 2 & 16 \end(vmatrix)=-2\]

Kolmest lineaarsest võrrandist koosnev 3 tundmatuga süsteem, mille determinant erineb nullist, on alati ühilduv ja sellel on ainulaadne lahendus, mis arvutatakse valemitega:

Vastus: sain otsuse

\[\left\(\begin(maatriks) X_1=3\\ X_2=1\\ X_3=-1\\ \end(maatriks)\right.\]

Kust saab võrgus lahendada kolme tundmatuga võrrandisüsteemi?

Võrrandi saate lahendada meie veebisaidil https: //. Tasuta veebilahendaja võimaldab teil sekunditega lahendada mis tahes keerukusega võrguvõrrandi. Kõik, mida pead tegema, on lihtsalt sisestada oma andmed lahendajasse. Samuti saate vaadata videoõpetust ja õppida võrrandit lahendama meie veebisaidil. Ja kui teil on küsimusi, võite neid küsida meie Vkontakte grupis http://vk.com/pocketteacher. Liituge meie grupiga, aitame teid alati hea meelega.

Kolme lineaarvõrrandi süsteemid kolmes tundmatus

Lineaarvõrrandid (esimese astme võrrandid) kahe tundmatuga

Definitsioon 1 . Lineaarvõrrand (esimese astme võrrand) kahe tundmatuga x ja y nimetavad võrrandit, mis näeb välja selline

Lahendus. Avaldame võrrandist (2) muutuja y muutuja x kaudu:

Valemist (3) järeldub, et vormi kõik arvupaarid

kus x on suvaline arv.

Märkus . Nagu näite 1 lahendist näha, on võrrandis (2) nii lõpmatult palju lahendusi. Siiski on oluline märkida, et mitte ühtegi numbripaari (x; y) on selle võrrandi lahendus. Võrrandi (2) lahendi saamiseks võib arvu x võtta mis tahes arvuna ja arvu y saab seejärel arvutada valemi (3) abil.

Kahe lineaarvõrrandi süsteemid kahes tundmatus

Definitsioon 3 . Kahest lineaarvõrrandist koosnev süsteem kahe tundmatuga x ja y nimetatakse sellise kujuga võrrandisüsteemiks

kus a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 antakse numbrid.

Definitsioon 4 . Võrrandisüsteemis (4) arvud a 1 , b 1 , a 2 , b 2 helistatakse ja numbrid c 1 , c 2 – tasuta liikmed.

Definitsioon 5 . Lahendades võrrandisüsteemi (4) nimeta numbripaar x; y), mis on nii ühe kui ka teise süsteemi (4) võrrandi lahendus.

Definitsioon 6 . Neid kahte võrrandisüsteemi nimetatakse ekvivalent (ekvivalent), kui kõik esimese võrrandisüsteemi lahendid on teise süsteemi lahendid ja kõik teise süsteemi lahendused on esimese süsteemi lahendid.

Võrrandisüsteemide samaväärsust tähistatakse sümboliga ""

Lahendatakse lineaarvõrrandi süsteeme, mille abil illustreerime näidetega.

Näide 2 . Lahendage võrrandisüsteem

Lahendus. Süsteemi lahendamiseks (5) elimineerime süsteemi teisest võrrandist tundmatu X .

Selleks teisendame esmalt süsteemi (5) sellisele kujule, kus tundmatu x koefitsiendid süsteemi esimeses ja teises võrrandis muutuvad samaks.

Kui süsteemi (5) esimene võrrand korrutatakse koefitsiendiga x teises võrrandis (arv 7) ja teine võrrand korrutatakse esimeses võrrandis (arv 2) oleva koefitsiendiga x, siis süsteem (5) võtab vormi

Teeme nüüd süsteemis (6) järgmised teisendused:

lahutage teisest võrrandist esimene võrrand ja asendage süsteemi teine võrrand saadud erinevusega.

Selle tulemusena muudetakse süsteem (6) samaväärseks süsteemiks

Teisest võrrandist leiame y= 3 ja asendades selle väärtuse esimese võrrandiga, saame

Vastus . (-2 ; 3) .

Näide 3. Leia kõik parameetri p väärtused, mille jaoks võrrandisüsteem

a) omab ainulaadset lahendust;

b) on lõpmatult palju lahendusi;

sisse) pole lahendusi.

Lahendus. Väljendades x-i y-ga süsteemi (7) teisest võrrandist ja asendades saadud avaldise x asemel süsteemi (7) esimese võrrandiga, saame

Uurime süsteemi (8) lahendusi sõltuvalt parameetri p väärtustest. Selleks käsitleme esmalt süsteemi (8) esimest võrrandit:

y (2 - lk) (2 + lk) = 2 + lk

(9)

Kui a , siis on võrrandil (9) ainulaadne lahendus

Seega juhul, kui , süsteem (7) on ainus lahendus

Kui a lk= - 2 , siis saab võrrand (9) kuju

ja selle lahendus on suvaline arv . Seetõttu on süsteemi (7) lahendus lõpmatu hulk kõik numbripaare

kus y on suvaline arv.

Kui a lk= 2 , siis saab võrrand (9) kuju

ja sellel pole lahendusi, millest lähtub see süsteem (7) pole lahendusi.

Kolme lineaarvõrrandi süsteemid kolmes tundmatus

Definitsioon 7 . Kolmest lineaarvõrrandist koosnev süsteem kolme tundmatuga x , y ja z kutsuvad võrrandisüsteemi, millel on vorm

kus a 1 , b 1 , c 1 , d 1 , a 2 , b 2 , c 2 , d 2 , a 3 , b 3 , c 3 , d 3 antakse numbrid.

Definitsioon 8 . Võrrandisüsteemis (10) arvud a 1 , b 1 , c 1 , a 2 , b 2 , c 2 , a 3 , b 3 , c 3 helistas koefitsiendid on teadmata ja numbrid d 1 , d 2 , d 3 – tasuta liikmed.

Definitsioon 9 . Lahendades võrrandisüsteemi (10) nimeta numbrite kolmik (x; y ; z) , kui asendada need süsteemi (10) kõigis kolmes võrrandis, saadakse õige võrdsus.

Näide 4. Lahendage võrrandisüsteem

Lahendus. Lahendame süsteemi (11) kasutades meetod järjestikune välistamine teadmata.

Selle jaoks kõigepealt elimineerime süsteemi teisest ja kolmandast võrrandist tundmatu y, tehes süsteemis (11) järgmised teisendused:

jätame süsteemi esimese võrrandi muutmata;
liita esimene võrrand teisele võrrandile ja asendada süsteemi teine võrrand saadud summaga;
lahutage esimene võrrand kolmandast võrrandist ja asendage süsteemi kolmas võrrand saadud erinevusega.

Selle tulemusena muudetakse süsteem (11) samaväärseks süsteemiks

Nüüd eemaldame süsteemi kolmandast võrrandist tundmatu x sooritades süsteemis (12) järgmised teisendused:

jätame süsteemi esimese ja teise võrrandi muutmata;
lahutage kolmandast võrrandist teine võrrand ja asendage süsteemi kolmas võrrand saadud erinevusega.

Selle tulemusena muudetakse süsteem (12) samaväärseks süsteemiks

Süsteemist väljas (13) järjekindlalt leida

z = - 2 ; x = 1 ; y = 2 .

Vastus . (1 ; 2 ; -2) .

Näide 5. Lahendage võrrandisüsteem

Lahendus. Pange tähele, et sellest süsteemist saate mugava tagajärg liites kõik kolm süsteemi võrrandit: