Pronađite vektor koji je okomit na vektore. Nalaženje vektora okomitog na zadani vektor, primjeri i rješenja

Uputa

Ako je izvorni vektor na crtežu prikazan u pravokutnom dvodimenzionalnom koordinatnom sustavu i na istom mjestu treba izgraditi okomit, polazi se od definicije okomitosti vektora na ravninu. Ona kaže da kut između takvog para usmjerenih segmenata mora biti jednak 90°. Moguće je konstruirati beskonačan broj takvih vektora. Dakle, nacrtajte bilo koji pogodan položaj ravnina okomita na izvorni vektor, odvojite segment na njoj, jednaka duljini dati uređeni par točaka i dodijeliti jedan od njegovih krajeva kao početak okomitog vektora. Učinite to kutomjerom i ravnalom.

Ako je izvorni vektor dan dvodimenzionalnim koordinatama ā = (X₁;Y₁), pođite od činjenice da skalarni proizvod parovi okomitih vektora moraju biti jednaki nuli. To znači da za željeni vektor ō = (X₂,Y₂) trebate izabrati takve koordinate na kojima će vrijediti jednakost (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. To možete učiniti ovako: odaberite bilo koju vrijednost koja nije nula za koordinatu X₂ i izračunajte koordinatu Y₂ pomoću formule Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Na primjer, za vektor ā = (15;5) bit će vektor ō, s apscisom, jednako jedan, a ordinata jednaka -(15*1)/5 = -3, tj. ō = (1;-3).

Za trodimenzionalni i svaki drugi ortogonalni koordinatni sustav vrijedi isti nužan i dovoljan uvjet za okomitost vektora - njihov skalarni produkt mora biti jednak nuli. Stoga, ako je izvorni usmjereni segment dan koordinatama ā = (X₁,Y₁,Z₁), za uređeni par točaka ō = (X₂,Y₂,Z₂) okomitih na njega, odaberite takve koordinate koje zadovoljavaju uvjet (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Najlakši način je dodijeliti pojedinačne vrijednosti X₂ i Y₂ i izračunati Z₂ iz pojednostavljene jednadžbe Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z1 = -(X1+Y1)/Z1. Na primjer, za vektor ā = (3,5,4) to će poprimiti sljedeći oblik: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Zatim uzmite apscisu i ordinatu okomitog vektora kao jedinica, au ovom će slučaju biti jednak -(3+5)/4 = -2.

Izvori:

• nađi vektor ako je okomit

Okomite se nazivaju vektor, kut između kojih je 90º. Okomiti vektori se grade pomoću alata za crtanje. Ako su njihove koordinate poznate, tada možete provjeriti ili pronaći okomitost vektora analitičke metode.

Trebat će vam

• - kutomjer;
• - kompas;
• - vladar.

Uputa

Konstruiraj vektor okomit na zadani. Da biste to učinili, u točki koja je početak vektora, vratite okomicu na njega. To se može učiniti kutomjerom, odvajajući kut od 90º. Ako nema kutomjera, napravite ga pomoću šestara.

Postavite ga na početnu točku vektora. Nacrtaj kružnicu proizvoljnog radijusa. Zatim izgradite dva sa središtem u točkama gdje prvi krug siječe liniju na kojoj leži vektor. Polumjeri tih kružnica moraju biti međusobno jednaki i veći od prve izgrađene kružnice. U sjecištima kružnica konstruirajte ravnu crtu koja će biti okomita na izvorni vektor u točki njegovog početka i na njoj odvojite vektor okomit na zadani.

Jedinični vektor je: , gdje je je modul vektora.

Odgovor:
.

Bilješka. Koordinate jediničnog vektora ne smiju biti veće od jedan.

6.3. Odredi kosinuse duljine i smjera vektora . Usporedi s odgovorom u prethodnom odlomku. Zaključite sami.

Duljina vektora je njegov modul:

I možemo pronaći kosinuse smjera pomoću formule jednog od načina za određivanje vektora:

Iz onoga što smo dobili vidimo da su kosinusi smjera koordinate jediničnog vektora.

Odgovor:
,
,
,
.

6.4. Pronaći
.

Potrebno je izvršiti operacije množenja vektora brojem, zbrajanja i modula.

Množimo koordinate vektora s brojem član po član.

Zbrajamo koordinate vektora član po član.

Nađi modul vektora.

Odgovor:

6.5. Odrediti vektorske koordinate
, kolinearni na vektor , znajući da
a usmjeren je u smjeru suprotnom od vektora .

Vektor kolinearni na vektor , pa je njegov jedinični vektor jednak jediničnom vektoru samo s predznakom minus, jer usmjerena u suprotnom smjeru.

Jedinični vektor ima duljinu 1, što znači da ako se pomnoži s 5, tada će njegova duljina biti jednaka pet.

Pronašli smo

Odgovor:

6.6. Izračunajte točkaste produkte
i
. Jesu li vektori okomiti i ,i između sebe?

Izvedimo skalarni produkt vektora.

Ako su vektori okomiti, njihov točkasti produkt je nula.

Vidimo da u našem slučaju vektori i su okomiti.

Odgovor:
,
, vektori nisu okomiti.

Bilješka. Geometrijsko značenje skalarnog produkta malo je korisno u praksi, ali ipak postoji. Rezultat takvog djelovanja može se prikazati i izračunati geometrijski.

6.7. Pronađite obavljen posao materijalna točka na koje se primjenjuje sila
, prilikom pomicanja iz točke B u točku C.

Fizičko značenje skalarnog produkta je rad. Vektor sile ovdje , vektor pomaka je
. A umnožak ovih vektora bit će željeni rad.

Pronalaženje posla

6.8. Pronađite unutarnji kut na vrhu A a vanjski kut na vrhu C trokut ABC .

Iz definicije, skalarnog produkta vektora, dobivamo formulu za pronalaženje kuta: .

NA
unutarnji kut ćemo tražiti kao kut između vektora koji izlaze iz jedne točke.

Da biste pronašli vanjski kut, morate kombinirati vektore tako da izlaze iz iste točke. Slika to objašnjava.

Vrijedno je napomenuti da
, samo imaju različite početne koordinate.

Pronalaženje potrebnih vektora i kutova

Odgovor: unutarnji kut na vrhu A \u003d , vanjski kut u vrhu B = .

6.9. Nađite projekcije vektora: i

Prisjetimo se vektorskih ortova:
,
,
.

Projekcija se također nalazi iz skalarnog produkta

-projekcija b na a.

Prethodno dobiveni vektori

,
,

Pronalaženje projekcije

Pronalaženje druge projekcije

Odgovor:
,

Bilješka. Znak minus pri pronalaženju projekcije znači da projekcija ne pada na sam vektor, već u suprotnom smjeru, na liniju na kojoj ovaj vektor leži.

6.10. Izračunati
.

Izvedite umnožak vektora

Pronađimo modul

Sinus kuta između vektora nalazimo iz definicije vektorskog umnoška vektora

Odgovor:
,
,
.

6.11. Pronađite površinu trokuta ABC a duljina visine dlakave od točke C.

Geometrijsko značenje modula križnog umnoška je da je to područje paralelograma koje tvore ovi vektori. Površina trokuta jednaka je polovici površine paralelograma.

Površina trokuta također se može pronaći kao umnožak visine puta baze podijeljen s dva, iz čega možete izvesti formulu za određivanje visine.

Dakle, nalazimo visinu

Odgovor:
,
.

6.12. Nađi jedinični vektor okomit na vektore i .

Rezultat točkastog produkta je vektor koji je okomit na dva izvorna. Jedinični vektor je vektor podijeljen svojom duljinom.

Prethodno smo pronašli:

,

Odgovor:
.

6.13. Odredi kosinuse veličine i smjera momenta sile
primijenjen na A u odnosu na točku C.

Fizičko značenje vektorskog umnoška je moment sile. Dajmo ilustraciju za ovaj zadatak.

Određivanje momenta sile

Odgovor:
.

6.14. Lažu li vektori ,i u istoj ravnini? Mogu li ti vektori tvoriti bazu prostora? Zašto? Ako je moguće, proširite vektor u ovoj bazi
.

Da bismo provjerili leže li vektori u istoj ravnini, potrebno je izvršiti mješoviti umnožak ovih vektora.

Mješoviti umnožak nije jednak nuli, stoga vektori ne leže u istoj ravnini (nisu koplanarni) i mogu činiti bazu. Idemo se razgraditi na ovoj osnovi.

Proširujemo u bazi rješavajući jednadžbu

Odgovor: Vektori ,i ne leže u istoj ravnini.
.

6.15. Pronaći
. Koliki je obujam piramide s vrhovima A, B, C, D i njezinom visinom spuštenom iz točke A na osnovicu BCD.

G geometrijsko značenje mješovitog umnoška je da je to volumen paralelopipeda koji tvore ti vektori.

Volumen piramide je šest puta manji od volumena paralelopipeda.

Volumen piramide može se pronaći i ovako:

Dobijte formulu za određivanje visine

Pronalaženje visine

Odgovor: volumen = 2,5, visina = .

6.16. Izračunati
i
.

Pozivamo vas da sami razmislite o ovom zadatku.

- Idemo obaviti posao.

Prethodno primljeno

Odgovor:
.

6.17. Izračunati

Učinimo to korak po korak

3)

Dobivene vrijednosti sumiramo

Odgovor:
.

6.18. Pronađite vektor
, znajući da je okomit na vektore i , i njegovu projekciju na vektor jednako 5.

Podijelimo ovaj problem na dva podzadatka.

1) Pronađite vektor okomit na vektore i proizvoljna duljina.

Dobit ćemo okomiti vektor kao rezultat križnog produkta

Prethodno smo pronašli:

Željeni se vektor razlikuje samo po duljini od dobivenog

2) Pronađite kroz jednadžbu

6.19. Pronađite vektor
, uz zadovoljavanje uvjeta
,
,
.

Razmotrimo ove uvjete detaljnije.

Ovo je sustav linearnih jednadžbi. Kreirajmo i riješimo ovaj sustav.

Odgovor:

6.20. Odrediti koordinate nekog vektora
, komplanarni s vektorima i , a okomito na vektor
.

U ovom zadatku postoje dva uvjeta: vektori su komplanarni i okomiti, prvo ispunjavamo prvi uvjet, a zatim drugi.

1) Ako su vektori komplanarni, tada je njihov mješoviti produkt nula.

Odavde dobivamo neku ovisnost koordinata vektora

Nađimo vektor .

2) Ako su vektori okomiti, tada je njihov skalarni produkt nula

Dobili smo drugu ovisnost koordinata željenog vektora

Za bilo koju vrijednost vektor će zadovoljiti uvjete. Zamjena
.

Odgovor:
.

Analitička geometrija

Ovaj članak otkriva značenje okomitosti dvaju vektora na ravninu u trodimenzionalnom prostoru i pronalaženje koordinata vektora okomitog na jedan ili cijeli par vektora. Tema je primjenjiva na probleme vezane uz jednadžbe pravaca i ravnina.

Razmotrit ćemo nužan i dovoljan uvjet da dva vektora budu okomita, odlučiti se o načinu nalaženja vektora okomitog na zadani, te se dotaknuti situacija u pronalaženju vektora koji je okomit na dva vektora.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Potreban i dovoljan uvjet da dva vektora budu okomita

Primijenimo pravilo o okomitim vektorima na ravninu iu trodimenzionalnom prostoru.

Definicija 1

Zadana vrijednost kuta između dva vektora različita od nule jednaka 90 ° (π 2 radijana) naziva se okomito.

Što to znači iu kojim situacijama je potrebno znati njihovu okomitost?

Uspostava okomitosti moguća je pomoću crteža. Pri crtanju vektora na ravninu iz zadanih bodova može se geometrijski mjeriti kut između njih. Okomitost vektora, ako je ustanovljena, nije sasvim točna. Najčešće ti zadaci ne dopuštaju da to učinite s kutomjerom, dakle ovu metodu primjenjivo samo kada se ništa drugo ne zna o vektorima.

Većina slučajeva dokazivanja okomitosti dva različita od nule vektora na ravnini ili u prostoru provodi se pomoću nužan i dovoljan uvjet okomitosti dvaju vektora.

Teorem 1

Skalarni umnožak dva vektora različita od nule a → i b → jednak nuli za ispunjenje jednakosti a → , b → = 0 dovoljan je za njihovu okomitost.

Dokaz 1

Neka su zadani vektori a → i b → okomiti, tada ćemo dokazati jednakost a ⇀ , b → = 0 .

Iz definicije točkasti umnožak vektora znamo da je jednako umnožak duljina zadanih vektora i kosinusa kuta između njih. Prema uvjetu, a → i b → su okomiti, pa je, prema definiciji, kut između njih 90 °. Tada imamo a → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Drugi dio dokaza

Pod uvjetom da je a ⇀ , b → = 0 dokažite okomitost a → i b → .

Zapravo, dokaz je obrnut od prethodnog. Poznato je da su a → i b → različiti od nule, pa iz jednakosti a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ nalazimo kosinus. Tada dobivamo cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Budući da je kosinus nula, možemo zaključiti da je kut a → , b → ^ vektora a → i b → 90 ° . Po definiciji, ovo je nužno i dovoljno svojstvo.

Stanje okomitosti na koordinatnu ravninu

Poglavlje točkasti umnožak u koordinatama pokazuje nejednakost (a → , b →) = a x b x + a y b y , koja vrijedi za vektore s koordinatama a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) , na ravnini i (a → , b → ) = a x b x + a y b y za vektore a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) u prostoru. Potreban i dovoljan uvjet da dva vektora budu okomita koordinatna ravnina ima oblik a x b x + a y b y = 0 , jer trodimenzionalni prostor a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

Provedimo to u praksi i pogledajmo primjere.

Primjer 1

Provjeriti svojstvo okomitosti dvaju vektora a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Riješenje

Da biste riješili ovaj problem, morate pronaći skalarni produkt. Ako će prema uvjetu biti jednak nuli, onda su okomiti.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Uvjet je zadovoljen, što znači da su zadani vektori okomiti na ravninu.

Odgovor: da, zadani vektori a → i b → su okomiti.

Primjer 2

Zadani koordinatni vektori i → , j → , k → . Provjerite mogu li vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → biti okomiti.

Riješenje

Da biste zapamtili kako se određuju koordinate vektora, morate pročitati članak o vektorske koordinate u pravokutni sustav koordinate. Dakle, dobivamo da zadani vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → imaju odgovarajuće koordinate (1, - 1, 0) i (1, 2, 2) . Zamjena brojčane vrijednosti i dobivamo: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Izraz nije nula, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , što znači da vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → nisu okomito jer uvjet nije zadovoljen.

Odgovor: ne, vektori i → - j → i i → + 2 j → + 2 k → nisu okomiti.

Primjer 3

Zadani su vektori a → = (1 , 0 , - 2) i b → = (λ , 5 , 1) . Odredite vrijednost λ za koju su zadani vektori okomiti.

Riješenje

Koristimo uvjet okomitosti dvaju vektora u prostoru u kvadratni oblik, onda dobivamo

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Odgovor: vektori su okomiti na vrijednost λ = 2.

Postoje slučajevi kada je pitanje okomitosti nemoguće čak i uz potrebne i dovoljan uvjet. Uz poznate podatke o trima stranicama trokuta na dva vektora, moguće je pronaći kut između vektora i provjerite.

Primjer 4

Dan je trokut A B C sa stranicama A B = 8, A C = 6, B C = 10 cm. Provjerite okomitost vektora A B → i A C →.

Riješenje

Kada su vektori A B → i A C → okomiti, trokut A B C se smatra pravokutnim. Zatim primjenjujemo Pitagorin poučak, gdje je BC hipotenuza trokuta. Jednakost B C 2 = A B 2 + A C 2 mora biti zadovoljena. Slijedi da je 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Dakle, A B i A C su kraci trokuta A B C, pa su A B → i A C → okomite.

Važno je naučiti kako pronaći koordinate vektora okomitog na zadani. To je moguće iu ravnini iu prostoru, pod uvjetom da su vektori okomiti.

Nalaženje vektora okomitog na zadani u ravnini.

Vektor a → koji nije nula može imati beskonačan broj okomitih vektora u ravnini. Predstavimo to na koordinatnoj liniji.

Zadan je vektor različit od nule a → , koji leži na pravcu a. Tada zadani b → , smješten na bilo kojem pravcu okomitom na pravac a, postaje okomit i a → . Ako je vektor j → ili bilo koji od vektora λ j → okomit na vektor i → s λ jednakim bilo kojem pravi broj osim nule, tada se pronalaženje koordinata vektora b → okomito na a → = (a x , a y) svodi na beskonačan skup rješenja. Ali potrebno je pronaći koordinate vektora okomitog na a → = (a x , a y) . Za to je potrebno zapisati uvjet okomitosti vektora u sljedećem obliku a x · b x + a y · b y = 0 . Imamo b x i b y , koje su željene koordinate okomitog vektora. Kada je a x ≠ 0, vrijednost b y je različita od nule i b x se izračunava iz nejednakosti a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x. Kada je a x = 0 i a y ≠ 0, b x pridjeljujemo bilo koju vrijednost osim nule, a b y se nalazi iz izraza b y = - a x · b x a y .

Primjer 5

Zadan je vektor s koordinatama a → = (- 2 , 2) . Nađi vektor okomit na zadani.

Riješenje

Označimo željeni vektor kao b → (b x , b y) . Njegove koordinate možete pronaći iz uvjeta da su vektori a → i b → okomiti. Tada dobivamo: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Dodijelite b y = 1 i zamijenite: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Stoga iz formule dobivamo b x = - 2 - 2 = 1 2 . Dakle, vektor b → = (1 2 , 1) je vektor okomit na a → .

Odgovor: b → = (1 2 , 1) .

Ako se postavi pitanje trodimenzionalnog prostora, problem se rješava po istom principu. Za zadani vektor a → = (a x , a y , a z) postoji beskonačan skup okomiti vektori. Popravit će to na koordinatu trodimenzionalna ravnina. Zadan je a → koji leži na pravcu a . Ravnina okomita na pravac a označena je s α. U tom slučaju svaki vektor b → koji nije nula iz ravnine α je okomit na a → .

Potrebno je pronaći koordinate b → okomite na vektor različit od nule a → = (a x , a y , a z) .

Neka je b → zadan s koordinatama b x , b y i b z . Za njihovo pronalaženje potrebno je primijeniti definiciju uvjeta okomitosti dvaju vektora. Jednakost a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 mora vrijediti. Iz uvjeta a → - različito od nule, što znači da jedna od koordinata ima vrijednost koja nije jednaka nuli. Pretpostavimo da je a x ≠ 0, (a y ≠ 0 ili a z ≠ 0). Dakle, imamo pravo cijelu nejednadžbu a x b x + a y b y + a z b z = 0 podijeliti ovom koordinatom, dobivamo izraz b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Dodjeljujemo bilo koju vrijednost koordinatama b y i b x , izračunavamo vrijednost b x , na temelju formule, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Željeni okomiti vektor će imati vrijednost a → = (a x , a y , a z) .

Pogledajmo dokaz na primjeru.

Primjer 6

Zadan je vektor s koordinatama a → = (1 , 2 , 3) ​​​​  . Nađi vektor okomit na zadani.

Riješenje

Označimo željeni vektor kao b → = (b x , b y , b z) . Na temelju uvjeta da su vektori okomiti, skalarni produkt mora biti jednak nuli.

a ⇀, b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Ako je vrijednost b y = 1 , b z = 1 , tada je b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Slijedi da su koordinate vektora b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → jedan je od okomitih vektora na zadani.

Odgovor: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Određivanje koordinata vektora okomitog na dva zadana vektora

Trebate pronaći koordinate vektora u trodimenzionalnom prostoru. Okomit je na nekolinearne vektore a → (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) . Pod uvjetom da su vektori a → i b → kolinearni, u zadatku će biti dovoljno pronaći vektor okomit na a → ili b → .

Pri rješavanju se koristi pojam vektorskog umnoška vektora.

Umnožak vektora a → i b → je vektor koji je istovremeno okomit na a → i b → . Za rješavanje ovog problema koristi se vektorski produkt a → × b →. Za trodimenzionalni prostor ima oblik a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Analizirajmo vektorski produkt detaljnije na primjeru problema.

Primjer 7

Zadani su vektori b → = (0 , 2 , 3) ​​​​i a → = (2 , 1 , 0). Pronađite koordinate bilo kojeg okomitog vektora na podatke u isto vrijeme.

Riješenje

Za rješavanje trebate pronaći umnožak vektora. (Mora se odnositi na paragraf izračuni matričnih determinanti pronaći vektor). Dobivamo:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Odgovor: (3 , - 6 , 4) - koordinate vektora koji je istovremeno okomit na zadane a → i b → .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

U odjeljku pitanja pronađite vektor okomit na dva zadani vektori dao autor Ana Afanasjeva najbolji odgovor je Vektor okomit na dva ne paralelni vektori nalazi se kao njihov vektorski umnožak ahb, da biste ga pronašli morate napraviti determinantu, čiji će se prvi redak sastojati od jedinični vektori I, j, k, drugi je iz koordinata vektora a, treći je iz koordinata vektora c. Odrednica se smatra proširenjem duž prve linije, u vašem slučaju će ispasti axb=20i-10k, odnosno axb=(20,0,-10).

Odgovor od 22 odgovora[guru]

Zdravo! Ovdje je izbor tema s odgovorima na vaše pitanje: pronađite vektor okomit na dva dana vektora

Odgovor od Istegnite se[novak]
Vektor okomit na dva neparalelna vektora nalazi se kao njihov umnožak ahb, da biste ga pronašli morate napraviti determinantu, čiji će se prvi red sastojati od jedinica vektori I,j,k, drugi je iz koordinata vektora a, treći je iz koordinata vektora c. Odrednica se smatra proširenjem duž prve linije, u vašem slučaju će ispasti axb=20i-10k, odnosno axb=(20,0,-10).

Odgovor od HAYKA[guru]
Otprilike odlučite ovako; Ali prvo pročitajte sami! !
Izračunajte točkasti umnožak vektora d i r ako je d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Modul vektora a je 4, modul vektora b je 6. Kut između vektora a i b je 60 stupnjeva, vektor c je okomit na vektore a i b.
Točke E i F leže redom na stranicama AD i BC paralelograma ABCD, pri čemu je AE=ED, BF: FC = 4:3. a) Izrazite vektor EF preko vektora m = vektora AB i vektora n = vektora AD . b) Može li se vektor EF = x pomnožiti s vektorom CD za neku vrijednost x? .

ohm. Da bismo to učinili, prvo uvodimo koncept segmenta.

Definicija 1

Isječak je dio ravne linije koji je s obje strane omeđen točkama.

Definicija 2

Krajevi segmenta nazivat će se točkama koje ga ograničavaju.

Da bismo uveli definiciju vektora, jedan od krajeva segmenta nazvat ćemo njegov početak.

Definicija 3

Vektorom (usmjerenim odsječkom) nazvat ćemo onaj odsječak za koji je naznačeno koja mu je granična točka početak, a koja kraj.

Notacija: \overline(AB) - vektor AB , koji počinje u točki A i završava u točki B .

Inače, jednim malim slovom: \overline(a) (Sl. 1).

Definicija 4

Nulti vektor je svaka točka koja pripada ravnini.

Oznaka: \overline(0) .

Sada uvodimo izravno definiciju kolinearni vektori.

Također uvodimo definiciju skalarnog produkta, koja će nam biti potrebna u nastavku.

Definicija 6

Skalarni umnožak dva zadana vektora je skalar (ili broj) koji je jednak umnošku duljina ta dva vektora s kosinusom kuta između zadanih vektora.

Matematički bi to moglo izgledati ovako:

\overline(α)\overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))

Točkasti umnožak također se može pronaći korištenjem koordinata vektora kako slijedi

\overline(α)\overline(β)=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Znak okomitosti kroz proporcionalnost

Teorem 1

Da bi vektori različiti od nule bili međusobno okomiti, potrebno je i dovoljno da njihov skalarni produkt tih vektora bude jednak nuli.

Dokaz.

Potreba: Neka su nam zadani vektori \overline(α) i \overline(β) , koji imaju koordinate (α_1,α_2,α_3) odnosno (β_1,β_2,β_3) i okomiti su jedan na drugi. Zatim trebamo dokazati sljedeću jednakost

Kako su vektori \overline(α) i \overline(β) okomiti, kut između njih je 90^0 . Nađimo skalarni produkt ovih vektora pomoću formule iz definicije 6.

\overline(α)\cdot \overline(β)=|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡90^\circ =|\overline(α)||\overline(β)|\cdot 0=0

Dostatnost: Neka jednakost bude istinita \overline(α)\cdot \overline(β)=0. Dokažimo da će vektori \overline(α) i \overline(β) biti okomiti jedan na drugi.

Prema definiciji 6, jednakost će biti istinita

|\overline(α)||\overline(β)|cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

Cos⁡∠(\overline(α),\overline(β))=0

∠(\overline(α),\overline(β))=90^\circ

Stoga će vektori \overline(α) i \overline(β) biti okomiti jedan na drugi.

Teorem je dokazan.

Primjer 1

Dokažite da su vektori s koordinatama (1,-5,2) i (2,1,3/2) okomiti.

Dokaz.

Nađimo točkasti umnožak za ove vektore pomoću formule dane gore

\overline(α)\cdot \overline(β)=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac(3)(2)=2\cdot 5+3=0

Dakle, prema teoremu 1, ovi vektori su okomiti.

Pronalaženje okomitog vektora na dva zadana vektora kroz umnožak

Uvedimo najprije koncept vektorskog produkta.

Definicija 7

Vektorski umnožak dvaju vektora nazvat ćemo vektor koji će biti okomit na oba dana vektora, a njegova duljina bit će jednaka umnošku duljina tih vektora sa sinusom kuta između tih vektora, a taj vektor s dva početni imaju istu orijentaciju kao kartezijanski sustav koordinate.

Oznaka: \overline(α)x\overline(β)x.

Da bismo pronašli vektorski umnožak, upotrijebit ćemo formulu

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix) x

Budući da je vektor umnožaka dvaju vektora okomit na oba ova vektora, tada će to biti vektor zahtjeva. To jest, da biste pronašli vektor okomit na dva vektora, samo trebate pronaći njihov umnožak.

Primjer 2

Pronađite vektor okomit na vektore s koordinatama \overline(α)=(1,2,3) i \overline(β)=(-1,0,3)

Pronađite umnožak ovih vektora.

\overline(α)x\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\1&2&3\\-1&0&3\end(vmatrix)=(6- 0)\overline(i)-(3+3)\overline(j)+(0+2)\overline(k)=6\overline(i)-6\overline(j)+2\overline(k) =(6,6,2) x