Sadovnichy matematička analiza. Matematička analiza - Početni tečaj s primjerima i zadacima - Gurova Z.I

Ime: Matematička analiza - Početni tečaj s primjerima i zadacima. 2002. godine.

Glavne informacije iz početni odsjeci kolegij matematičke analize za visokoškolske ustanove - "Uvod u analizu", "Osnove diferencijalnog računa funkcije jedne varijable", "Metode integriranja funkcija jedne varijable", "Novi brojevi".
S obzirom kratka teorija, tipični primjeri i zadaci za neovisno rješenje. Predlažu se algoritmi za metode rješavanja različitih klasa problema.

Priručnik učenicima može koristiti i kao udžbenik i kao zadatak. tehničke specijalnosti, kadeti vojnih škola, učenici tehničkih škola i srednjih škola.

SADRŽAJ
Predgovor urednika serije. 7
Predgovor 8
Poglavlje I. Uvod u analizu. 10
§ 1. Neke činjenice iz teorije skupova 10
1.1. Osnovni pojmovi (10). 1.2. Operacije na skupovima. (deset)
§ 2. Nizovi brojeva. Ograničenje niza. 16
2.1. Osnovne definicije (16). 2.2. Granica niza (18). 2.3. Svojstva konvergentnih nizova (21). 2.4. Tipični primjeri (23). 2.5. Zadaci za samostalno rješavanje (23).
§ 3. Funkcije. Ograničenje funkcije 24
3.1. Osnovne definicije. Metode za postavljanje funkcija (24). 3.2. Kompleksne, inverzne i parametarski definirane funkcije (25). 3.3. Elementarne funkcije (27). 3.4. Monotone funkcije (29). 3.5. Ograničene značajke(29). 3.6. Granica funkcije (30). 3.7. Jednostrane limese funkcije (36). 3.8. Tipični primjeri (38). 3.9. Zadaci za samostalno rješavanje. (39)
§ 4. Teoremi o granicama funkcija. 39
4.1. Osnovni teoremi o limesima funkcija (39). 4.2. Infinitezimalne i beskonačno velike funkcije i njihova svojstva (41). 4.3. Teoremi o limesima funkcija vezanih uz aritmetičke operacije (45). 4.4. Teoremi o limesima funkcija koji se odnose na nejednadžbe (47). 4.5. Tipični primjeri (50). 4.6. Zadaci za samostalno rješavanje (54).
§ 5. Značajne granice. Usporedba infinitezimalnih funkcija 54
5.1. Izvanredna ograničenja (54). 5.2. Usporedba infinitezimalnih funkcija (58). 5.3. Svojstva ekvivalentnih infinitezimalnih funkcija (60). 5.4. Tipični primjeri (63). 5.5. Zadaci za samostalno rješavanje (70).
§ 6. Kontinuitet funkcija 71
6.1. Osnovne definicije (71). 6.2. Svojstva funkcija kontinuiranih u točki (73). 6.3. Kontinuitet funkcija na intervalu, poluintervalu, intervalu (77). 6.4. Svojstva funkcija neprekidnih na intervalu (78). 6.5. Prijelomne točke funkcija i njihova klasifikacija (78). 6.6. Tipični primjeri (80). 6.7. Zadaci za samostalno rješavanje (85).
poglavlje II. Osnove diferencijalnog računa funkcija jedne varijable. 87
§ 7. Derivacija funkcije, njezina svojstva i primjena 87
7.1. Određivanje derivacije funkcije u točki (87). 7.2. Tabelarna diferencijacija. Izvedenice glavnog elementarne funkcije(89). 7.3. Svojstva derivata (92). 7.4. Geometrijski i mehanički smisao izvedenica (94). 7.5. Jednadžbe tangente i normale na graf funkcije (96). 7.6. Tipični primjeri (97). 7.7. Zadaci za samostalno rješavanje (101).
§ 8. Razlikovanje složena funkcija, inverzna funkcija i parametarski dana funkcija 102
8.1. Derivacija složene funkcije. Logaritamska derivacija (102). 8.2. Derivacija inverzne funkcije. Inverzne derivacije trigonometrijske funkcije(105). 8.3. Derivacija parametarski zadane funkcije (107). 8.4. Tipični primjeri (109). 8.5. Zadaci za samostalno rješavanje (111).
§ 9. Funkcijski diferencijal, njegova svojstva i primjena .... 112
9.1. Diferencijabilnost funkcije. Diferencijal (112). 9.2. Svojstva diferencijala (114). 9.3. geometrijski smisao diferencijal. Izračunavanje približnih vrijednosti funkcija pomoću diferencijala (115). 9.4. Invarijantnost diferencijalnog zapisa (116). 9.5. Tipični primjeri (117). 9.6. Zadaci za samostalno rješavanje (119).
§ 10. Derivacije i diferencijali viših redova 120
10.1. Derivacije viših redova (120). 10.2. Leibnizova formula (122). 10.3. Diferencijali višeg reda (124). 10.4. Tipični primjeri (126). 10.5. Zadaci za samostalno rješavanje (129).
§jedanaest. Osnovni teoremi diferencijalnog računa. Otkrivanje nesigurnosti 130
11.1. Rolleov teorem (teorem nulte derivacije) (130). 11.2. Lagrangeov teorem. Formula konačnih inkremenata (131). 11.3. Cauchyjev teorem. Generalizirana formula za konačne priraštaje (133). 11.4. Otkrivanje neizvjesnosti. L'Hopitalovo pravilo (134). 11.5. Tipični primjeri (141). 11.6. Zadaci za samostalno rješavanje (145).
§ 12. Taylorova formula 146
12.1. Taylorova formula s ostatkom u Peano obliku (146). 12.2. Taylorova formula za neke osnovne elementarne funkcije (150). 12.3. Razni oblici preostali član (152). 12.4. Tipični primjeri (155). 12.5. Zadaci za samostalno rješavanje (159).
§ 13. Porast, opadanje, ekstrem funkcije 160
13.1. Povećanje i smanjenje funkcije (160). 13.2. Ekstrem funkcije (163). 13.3. Najveći i najmanja vrijednost funkcije (168). 13.4. Tipični primjeri (172). 13.5. Zadaci za samostalno rješavanje (175).
§ 14. Konveksnost, konkavnost, točke infleksije krivulje. Asimptote krivulje 176
14.1. Konveksnost, konkavnost, točke infleksije krivulje (176). 14.2. Asimptote krivulje (180). 14.3. Tipični primjeri (183). 14.4. Zadaci za samostalno rješavanje (185).
§ 15. Proučavanje funkcija i izrada njihovih grafova 186
15.1. Shema proučavanja funkcija (186). 15.2. Tipični primjeri (186). 15.3. Zadaci za samostalno rješavanje (195).
poglavlje III. Metode integriranja funkcija jedne varijable. 196
§ 16. Antiderivacija funkcije i neodređeni integral. 196
16.1. Definicija i svojstva neodređenog integrala (196). 16.2. Osnovne metode integracije (198). 16.3. Tipični primjeri (207). 16.4. Zadaci za samostalno rješavanje (210).
§ 17. Integracija racionalnih razlomaka. 211
17.1. Kratke informacije iz algebre polinoma (211). 17.2. Integracija elementarnih razlomaka (214). 17.3. Integracija racionalnih razlomaka (218). 17.4. Tipični primjeri (220). 17.5. Zadaci za samostalno rješavanje (227).
§ 18. Integracija trigonometrijskih funkcija. 227
18.1. Univerzalna trigonometrijska supstitucija (227). 18.2. Integracija neparnih funkcija s obzirom na sin x ili cos x (230). 18.3. Integracija parnih funkcija s obzirom na sin x i cos x (232). 18.4. Integracija umnožaka sinusa i kosinusa raznih argumenata (234). 18.5. Tipični primjeri (235). 18.6. Zadaci za samostalno rješavanje (239).
§ 19. Integracija nekih iracionalne funkcije. 240
19.1. Integracija funkcija koje su racionalne s obzirom na argument i korijen linearna frakcijska funkcija(240). 19.2. Integracija funkcija koje su racionalne s obzirom na argument i korijen iz kvadratni trinom(241). 19.3. Tipični primjeri (248). 19.4. Zadaci za samostalno rješavanje (258).
Poglavlje IV. Brojevne crte. 260
§ 20. Osnovne definicije i svojstva numeričkih nizova. 260
20.1. Osnovne definicije (260). 20.2. Osnovna svojstva redaka (265). 20.3. Cauchyjev kriterij konvergencije niza (270). 20.4. Tipični primjeri (271). 20.5. Zadaci za samostalno rješavanje (274).
§ 21. Fiksni nizovi. 275
21.1. Kriterij konvergencije za redove konstantnog predznaka (275). 21.2. Dostatni testovi za konvergenciju i divergenciju nizova s ​​nenegativnim članovima (277). 21.3. Tipični primjeri (289). 21.4. Zadaci za samostalno rješavanje. (297).
§ 22. Izmjenične serije. 298
22.1. Naizmjenični redovi (298). 22.2. Apsolutno i uvjetno konvergentni red (302). 22.3. d'Alembertov i Cauchyjev test za izmjenične serije (303). 22.4. Svojstva apsolutno i uvjetno konvergentnih redova (305). 22.5. Tipični primjeri (307). 22.6. Zadaci za samostalno rješavanje (312).
§ 23. Nizovi i nizovi sa složenim članovima 313
23.1. Kratke informacije o kompleksni brojevi(313). 23.2. Nizovi sa složenim članovima (318). 23.3. Nizovi sa složenim članovima (321). 23.4. Tipični primjeri (324). 23.5. Zadaci za samostalno rješavanje. (329)
Primjena. 331
§ 24. Kratke informacije o integralima s beskonačnim limitima. 331
Odgovori na probleme za samostalno rješavanje. 336
Bibliografija. 343
Referentni materijal. 344
Indeks predmeta.

Neke definicije:

Grafička metoda određivanja funkcije je ona u kojoj se korespondencija između skupa vrijednosti argumenata i skupa vrijednosti funkcije uspostavlja grafički.
Na primjer, barogram snimljen barografom definira grafički Atmosferski tlak u funkciji vremena.

Metoda definiranja funkcije naziva se tabličnom ako je dana tablica vrijednosti argumenata i odgovarajućih vrijednosti funkcije.
Na primjer, ovisnost temperature zraka o vremenu može se postaviti pomoću tablice eksperimentalnih podataka.

Osim ovih metoda određivanja funkcije, postoje i druge. Na primjer, kada se izvode numerički proračuni na računalima, funkcije se određuju na algoritamski način, tj. uz pomoć programa za izračunavanje njihovih vrijednosti za tražene vrijednosti argumenta. Funkcija se također može postaviti verbalni opis podudarnosti između vrijednosti argumenata i vrijednosti funkcije. Na primjer, "svakom racionalnom broju bit će dodijeljen broj 1, a svakom iracionalnom 0 ...". Ovako definirana funkcija naziva se Dirichletova funkcija.

M.: Izdavačka kuća Moskovskog državnog sveučilišta. 1. dio: 2. izdanje, Rev., 1985. - 662s.; 2. dio- 1987. - 358s.

Dio 1. - Početni tečaj.

Udžbenik je prvi dio kolegija matematičke analize za višu obrazovne ustanove SSSR-a, Bugarske i Mađarske, napisano u skladu sa sporazumom o suradnji između sveučilišta u Moskvi, Sofiji i Budimpešti. Knjiga uključuje teoriju realni brojevi, teorija limita, teorija kontinuiteta funkcija, diferencijalni i integralni račun funkcija jedne varijable i njihove primjene, diferencijalni račun funkcija više varijabli i teorija implicitnih funkcija.

Dio 2. - Nastavak tečaja.

Udžbenik je drugi dio (1. dio - 1985.) tečaja matematičke analize, napisan u skladu s jedinstvenim programom usvojenim u SSSR-u i NRB-u. Knjiga se bavi teorijom numeričkih i funkcionalnih nizova, teorijom višestrukih, krivocrtnih i površinskih integrala, teorijom polja (uključujući diferencijalne oblike), teorijom integrala ovisnih o parametru te teorijom Fourierovih redova i integrala. Posebnost knjige su tri razine prezentacije koje su jasno odvojene jedna od druge: lagana, osnovna i napredna, što omogućuje da je koriste i učenici tehnička sveučilišta s produbljenim studijem matematičke analize te studentima mehaničkih i matematičkih odjela sveučilišta.

Dio 1. - Početni tečaj.

Format: pdf

Veličina: 10,5 MB

Pogledajte, preuzmite:voziti.google

Format: djvu/zip

Veličina: 5,5 MB

/ Preuzmi datoteku

Dio 2. - Nastavak tečaja.

Format: pdf

Veličina: 14,8 MB

Pogledajte, preuzmite:voziti.google

Format: djvu/zip

Veličina: 3,1 MB

/ Preuzmi datoteku

Dio 1. - Početni tečaj.

SADRŽAJ
Predgovor urednika naslova.... 5
Predgovor drugom izdanju 6
Predgovor prvom izdanju 6
Poglavlje 1. OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE ANALIZE 10
Poglavlje 2. REALNI BROJEVI 29
§ 1. Skup brojeva koji se može predstaviti beskonačnim decimale, i njegovo naručivanje 29
1. Svojstva racionalnih brojeva (29). 2. Nedovoljnost racionalnih brojeva za mjerenje segmenata numeričke osi (31). 3. Uređivanje skupa beskonačnih decimala
razlomci (34)
§ 2. Omeđeni iznad (ili ispod) skupovi brojeva koji se mogu predstaviti beskonačnim decimalnim razlomcima.... 40 1. Osnovni pojmovi (40). 2. Postojanje točnih lica (41).
§ 3. Aproksimacija brojeva koji se mogu predstaviti beskonačnim decimalnim razlomcima, racionalni brojevi 44
§ 4. Operacije zbrajanja i množenja. Opis skupa realnih brojeva 46
1. Definicija operacija zbrajanja i množenja. Opis pojma realnog broja (46). 2. Postojanje i jedinstvenost zbroja i umnoška realnih brojeva (47).
§ 5. Svojstva realnih brojeva 50
1. Svojstva realnih brojeva (50). 2. Neke često korištene relacije (52). 3. Neki konkretni skupovi realnih brojeva (52).
§6. Dodatna pitanja teorija realnih brojeva. .54 1. Potpunost skupa realnih brojeva (54). 2. Aksiomatsko uvođenje skupa realnih brojeva (57).
§ 7. Elementi teorije skupova. 59
1. Pojam skupa (59). 2. Operacije na skupovima (60). 3. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Segment nebrojiv. Kardinalnost skupa (61). 4. Svojstva operacija na skupovima. Postavite mapiranje (65).
POGLAVLJE 3. TEORIJA GRANICA. 68
§ 1. Niz i njegova granica 68.
1. Pojam niza. Aritmetičke operacije nad nizovima (68). 2. Omeđeni, neomeđeni, beskonačno mali i beskonačno veliki nizovi (69). 3. Osnovna svojstva infinitezimalnih nizova (73). 4. Konvergentni nizovi i njihova svojstva (75).
§ 2. Monotoni nizovi 83
1. Pojam monotonog niza (83). 2. Teorem o konvergenciji monotonog ograničenog niza (84). 3. Broj e (86). 4. Primjeri konvergentnih monotoni nizovi (88).
§ 3. Proizvoljni nizovi 92
1. Granične točke, gornja i donja granica niza (92). 2. Proširenje pojmova granične točke te gornje i donje granice (99). 3. Cauchyjev kriterij konvergencije niza (102).
§ 4. Limit (ili granična vrijednost) funkcije 105
1. Pojmovi varijabla i funkcije (105). 2. Limit funkcije po Heineu i po Cauchyju (109). 3. Cauchyjev kriterij postojanja limita funkcije (115). 4. Aritmetičke operacije nad funkcijama koje imaju limit (118). 5. Infinitezimalne i beskonačno velike funkcije (119).
§ 5. Opća definicija granica osnovne funkcije.... 122
Poglavlje 4. KONTINUITET FUNKCIJE 127
§ 1. Pojam neprekidnosti funkcije 127
1. Definicija neprekidnosti funkcije (127). 2. Aritmetičke operacije na neprekidnim funkcijama (131). 3. Složena funkcija i njezina neprekidnost (132).
§ 2. Svojstva monotonih funkcija 132
1. Monotone funkcije (132). 2. Pojam inverzne funkcije (133).
§ 3. Najjednostavnije elementarne funkcije 138
1. Eksponencijalna funkcija(138). 2. Logaritamska funkcija (145). 3. Funkcija potencije (146). 4. Trigonometrijske funkcije (147). 5. Inverzne trigonometrijske funkcije (154). 6. Hiperboličke funkcije (156).
§ 4. Dvije značajne granice 158
1. Prvo divna granica(158). 2. Druga izvanredna granica (159).
§ 5. Točke diskontinuiteta funkcije i njihova klasifikacija. . . . 162 1. Klasifikacija točaka diskontinuiteta funkcije (162). 2. Točke diskontinuiteta monotone funkcije (166).
§ 6. Lokalna i globalna svojstva neprekidnih funkcija. 167 1. Lokalna svojstva neprekidnih funkcija (167). 2. Globalna svojstva neprekidnih funkcija (170). 3. Pojam uniformne neprekidnosti funkcije (176). 4. Pojam modula neprekidnosti funkcije (181).
§ 7. Pojam kompaktnosti skupa 184
1. Otvoreni i zatvoreni skupovi (184). 2. Pokrivanja skupa sustavom otvorenih skupova (184). 3. Pojam kompaktnosti skupa (186).
POGLAVLJE 5. DIFERENCIJALNI RAČUN 189
§ 1. Pojam izvedenice 189
1. Povećanje funkcije. Diferencijski oblik uvjeta neprekidnosti (189). 2. Definicija derivacije (190). 3. Geometrijsko značenje derivacije (192).
§ 2. Pojam diferencijabilnosti funkcije 193
1. Definicija diferencijabilnosti funkcije (193). 2. Diferencijabilnost i kontinuitet (195). 3. Pojam diferencijala funkcije (196).
§ 3. Diferenciranje složene funkcije i inverzne funkcije 197 1. Diferenciranje složene funkcije (197). 2. Diferencijacija inverzne funkcije (199). 3. Invarijantnost oblika prvog diferencijala (200). 4. Primjena diferencijala za određivanje približnih formula (201).
§ 4. Diferenciranje funkcija zbroja, razlike, umnoška i kvocijenta 202
§ 5. Izvodnice najjednostavnijih elementarnih funkcija. . . 205 1. Derivacije trigonometrijskih funkcija (205). 2. Izvedenica logaritamska funkcija(207). 3. Derivacije eksponencijalne i inverzne trigonometrijske funkcije (208). 4. Izvedenica funkcija snage(210). 5. Tablica derivacija najjednostavnijih elementarnih funkcija (210). 6. Tablica diferencijala najjednostavnijih elementarnih funkcija (212). 7. Logaritamska derivacija. Derivacija eksponencijalne funkcije (212).
§ 6. Derivacije i diferencijali viših redova. . . 215 1. Koncept derivacije n-tog reda (213). 2. n-te derivacije nekih funkcija (214). 3. Leibnizova formula za i-ta derivacija produkti dviju funkcija (216). 4. Diferencijali viših redova (218).
§ 7. Diferenciranje funkcije definirane parametarski. 220*
§ 8. Derivacija vektorska funkcija 222
Poglavlje 6. OSNOVNI TEOREMI O DIFERENCIJABILNIM FUNKCIJAMA 224
§ 1. Porast (opadanje) funkcije u točki. Lokalni ekstrem 224
§ 2. Teorem nulte derivacije 226
§ 3. Formula konačnih inkremenata (Lagrangeova formula). . 227 § 4. Neke posljedice Lagrangeove formule.... 229» 1. Konstantnost funkcije koja ima derivaciju jednaku nuli na intervalu (229). 2. Uvjeti monotonosti funkcije na intervalu (230). 3. Odsutnost diskontinuiteta prve vrste i uklonjivih diskontinuiteta derivacije (231). 4. Izvođenje nekih nejednakosti (233). § 5. Generalizirana formula za konačne priraštaje (Cauchyjeva formula). . 234
§ 6. Otkrivanje nesigurnosti (L'Hopitalovo pravilo). . . 235
1. Otkrivanje nesigurnosti oblika (235). Otkrivanje nesigurnosti oblika - (240). 3. Objavljivanje neizvjesnosti drugih vrsta (243).
!§ 7. Taylorova formula „245
§ 8. Razni oblici ostatka. Maclaurin formula 248
1. Preostali član u obliku Lagrangea, Cauchyja i Peana (248).
2. Drugi oblik Taylorove formule (250). 3. Maclaurinova formula (251).
§ 9. Procjena preostalog roka. Dekompozicija nekih elementarnih funkcija. . . . . 251
1. Procjena člana ostatka za proizvoljnu funkciju (251). 2. Maclaurinovo širenje nekih elementarnih funkcija (252).
1 § 10. Primjeri primjene Maclaurinove formule 256.
1. Izračunavanje broja e na računalu (256). 2. Dokaz iracionalnosti broja e (257). 3. Izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija (258). 4. Asimptotska estimacija elementarnih funkcija i proračun limita (259).
Poglavlje 7
§ 1. Pretraga stacionarne točke 262
1. Kriteriji monotonosti funkcije (262). 2. Nalaženje stacionarnih točaka (262). 3. Prvo dovoljan uvjet ekstrem (264). 4. Drugi dovoljan uvjet za ekstrem" (265). 5. Treći dovoljan uvjet za ekstrem (267). 6. Ekstrem funkcije koja nije diferencijabilna u danoj točki (268). 7. Opća shema pronalaženje ekstrema (270).
§ 2. Konveksnost grafa funkcije 271
§ 3. Točke prevoja 273
1. Određivanje točke infleksije. Neophodan uvjet prijevoj (273). 2. Prvi dovoljan uvjet za fleksiju (276). 3. Neke generalizacije prvog dovoljnog uvjeta infleksije (276). 4. Drugi dovoljan uvjet za fleksiju (277). 5. Treći dovoljan uvjet za fleksiju (278).
§ 4. Asimptote grafa funkcije 279
§ 5. Prikaz funkcije grafom 281
§ 6. Globalni maksimum i minimum funkcije na segmentu.
Edge extreme 284
1. Nalaženje maksimuma i minimalne vrijednosti funkcija definirana na segmentu (284). 2. Rubni ekstrem (286). 3. Darbouxov teorem (287). Dodatak. Algoritam za pronalaženje ekstremnih vrijednosti funkcije koji koristi samo vrijednosti ove funkcije. . . 288
Poglavlje 8
§ 1. Pojam antiderivativna funkcija i neodređeni integral 291 1. Pojam antiderivacijske funkcije (291). 2. Neodređeni integral (292). 3. "Osnovna svojstva neodređenog integrala (293). 4. Tablica osn ne određeni integrali (294).
§ 2. Osnovne metode integracije 297
1, Integracija promjene varijable (supstitucija) (297).
2. Integracija po dijelovima (300).
§ 3. Klase funkcija integrabilnih u elementarnim funkcijama. 303 1. Kratke obavijesti o kompleksnim brojevima (304). 2. Kratke informacije o korijenima algebarskih polinoma (307). 3. Rastavljanje algebarskog polinoma s realnim koeficijentima u produkt nesvodljivih faktora (311). 4. Dekompozicija ispravnog racionalni razlomak zbroju prostih razlomaka (312). 5. Integrabilnost racionalnog razlomka u elementarnim funkcijama (318). 6. Integrabilnost u elementarnim funkcijama nekih trigonometrijskih i iracionalni izrazi (321).
§ 4. Eliptični integrali, 327
Poglavlje 9
§ 1. Definicija integrala. Integrabilnost. . . . . 330 § 2. Gornji i donji zbroj i njihova svojstva. . . . . 334 1. Određivanje gornjeg i donjeg zbroja (334). 2. Osnovna svojstva gornje i donje sume (335). § 3. Teoremi o potrebnim i dovoljnim uvjetima integrabilnosti funkcija. Klase integrabilnih funkcija. . . 339
1. Nužni i dovoljni uvjeti integrabilnosti (339).
2. Klase integrabilnih funkcija (341).
"§ 4. Svojstva određenog integrala. Procjene integrala. Teoremi o srednjoj vrijednosti. 347
1. Svojstva integrala (347). 2. Procjene integrala (350).
§ 5. Antiderivacija kontinuirana funkcija. Pravila integracije funkcija 357
1. Antiizvedenica (357). 2. Osnovna formula integralni račun (359). 3. Važna pravila, omogućujući izračunavanje određenih integrala (360). 4. Rezidualni član Taylorove formule u integralnom obliku (362).
§ 6. Nejednakost za zbrojeve i integrale 365
1. Youngova nejednakost (365). 2. Hölderova nejednakost za sume (366). 3. Minkowskijeva nejednakost za sume (367). 4. Hölderova nejednakost za integrale (367). 5. Minkowskijeva nejednakost za integrale (368).
§ 7. Dodatne informacije o definitivnom Riemannovom integralu 369
1. Limit integralnih suma preko filterske baze (369).
2. Lebesgueov kriterij integrabilnosti (370).
Dodatak 1 Nepravi integrali 370
§ 1. Nepravi integrali prve vrste 371
1. Pojam nepravog integrala prve vrste (371).
2. Cauchyjev kriterij konvergencije nepravog integrala prve vrste. Dovoljni uvjeti za konvergenciju (373). 3. Apsolutna i uvjetna konvergencija nepravih integrala (375). 4. Promjena varijabli pod nepravilnim predznakom integrala i formula za integraciju po dijelovima (378).
§ 2. Nepravi integrali druge vrste 379
§ 3. Glavna vrijednost nepravog integrala.. 382
Dodatak 2. Stieltjesov integral 384
1. Definicija Stieltjesova integrala i uvjeti njegovog postojanja (384). 2. Svojstva Stieltjesova integrala (389).
Poglavlje 10. GEOMETRIJSKE PRIMJENE ODREĐENOG INTEGRALA
§ 1. Duljina luka krivulje 391
1. Pojam jednostavne krivulje (391). 2. Pojam parametrizirane krivulje (392). 3. Duljina luka krivulje. Pojam ispravljajuće krivulje (394). 4. Kriterij za ravnost krivulje. Izračunajte duljinu luka krivulje (397). 5. Lučni diferencijal (402). 6. Primjeri (403).
!§ 2. Površina ravna figura 405
1. Pojam granice skupa i ravnog lika (405).
2. Površina ravne figure (406). 3. Krivocrtno područje
trapez i krivolinijski sektor (414). 4. Primjeri izračunavanja površina (416).
§ 3. Volumen tijela u prostoru 418
1. Volumen tijela (418). 2. Neke klase kockastih tijela (419). 3. Primjeri (421).
Poglavlje 11
§ 1. Približne metode za izračunavanje korijena jednadžbi. . 422 1. Metoda vilice (422). 2. Metoda ponavljanja (423). 3. Metode tetiva i tangenti 426
§ 2. Približne metode za izračunavanje određenih integrala 431 1. Uvodne napomene (431). 2. Metoda pravokutnika (434).
3. Metoda trapeza (436). 4. Metoda parabola (438).
Poglavlje 12
§ 1. Pojam funkcije od m varijabli 442
1. Koncept m-dimenzionalnih koordinatnih i gamerskih euklidskih prostora (442). 2. Skupovi točaka u m-dimenzionalnom euklidskom prostoru (445). 3. Pojam funkcije od m varijabli (449).
§ 2. Limit funkcije od m varijabli 451
1. Nizovi točaka u prostoru Em (451). 2. Svojstvo ograničenog niza točaka Em (454). 3. Limit funkcije od m varijabli (455). 4. Beskonačno male funkcije od m varijabli (458). 5. Ponovljene granice (459).
§ 3. Neprekidnost funkcije od m varijabli 460
1. Pojam neprekidnosti funkcije od m varijabli (460).
2. Neprekidnost funkcije od m varijabli s obzirom na jednu varijablu (462). 3. Osnovna svojstva neprekidnih funkcija više varijabli (465).
§ 4. Derivacije i diferencijali funkcije više varijabli 469
1. Parcijalne derivacije funkcija više varijabli (469). 2. Diferencijabilnost funkcije više varijabli (470). 3. Geometrijsko značenje uvjeta diferencijabilne funkcije dviju varijabli (473). 4. Dovoljni uvjeti diferencijabilnosti 5. Diferencijal funkcije više varijabli (476). 6. Diferenciranje složene funkcije (476). 7. Invarijantnost oblika prvog diferencijala (480). 8. Derivacija po smjeru. Gradijent (481).
§ 5. Parcijalne derivacije i diferencijali viših redova 485 1. Parcijalne derivacije viših redova (485). 2. Diferencijali viših redova (490). 3. Taylorova formula s ostatkom u Lagrangeovom obliku iu integralnom obliku (497) 4. Taylorova formula s ostatkom u Peano obliku (500).
6. Lokalni ekstrem funkcije od m varijabli.... 504 1. Pojam ekstrema funkcije od m varijabli. Nužni uvjeti za ekstrem (504). 2. Dovoljni uvjeti lokalni ekstrem funkcije m varijabli (506). 3. Slučaj funkcije dviju varijabli (512).
Dodatak 1. metoda gradijenta traženje ekstrema jako konveksne funkcije 514
1. Konveksni skupovi i konveksne funkcije (515). 2. Postojanje minimuma za jako konveksnu funkciju i jedinstvenost minimuma za strogo konveksnu funkciju (521).
3. Određivanje minimuma jako konveksne funkcije (526).
Dodatak 2. Metrički normirani prostori. . 535
Metrički prostori. 1. Definicija metričkog prostora. Primjeri (535). 2. Otvoreni i zatvoreni skupovi (538). 3. Izravni umnožak metričkih prostora (540). 4. Posvuda gusto i savršeni setovi(541). 5. Konvergencija. Kontinuirana preslikavanja (543). 6. Kompaktnost 545 7. Osnova prostora (548).
Svojstva metričkih prostora 550
Topološki prostori 558
1. Definicija topološkog prostora. Hausdorffov topološki prostor. Primjeri (558). 2. Opaska o topološkim prostorima (562).
Linearni normirani prostori, linearni operatori 564
1. Definicija linearnog prostora. Primjeri (564).
2. Normirani prostori. Banachovi prostori.
Primjeri (566). 3. Operatori u linearnim i normiranim prostorima (568). 4. Prostor operatora
5. Norma operatora (569). 6. Pojam Hilbertovog prostora 572
Dodatak 3. Diferencijalni račun u normiranim linearnim prostorima. 574
1. Pojam je diferencibilan. Jaka i slaba diferencijabilnost u normiranim linearnim prostorima (575).
2. Lagrangeova formula za konačne priraštaje (581).
3. Odnos između slabe i jake diferencijabilnosti 584 4. Diferencijabilnost funkcionala (587). 5. Integral apstraktnih funkcija (587). 6. Newton-Leibnizova formula za apstraktne funkcije (589). 7. Izvodnice drugog reda 592 8. Preslikavanje m-dimenzionalnog Euklidskog prostora u t-dimenzionalni prostor (595). 9. Derivacije i diferencijali viših redova 598 10. Taylorova formula za preslikavanje jednog normiranog prostora u drugi (599).
Ispitivanje ekstrema funkcionala u normaliziranom
prostori. 602
1. Neophodan uvjet za ekstrem (602). 2. Dovoljni uvjeti za ekstrem 605
Poglavlje 13 IMPLICITNE FUNKCIJE 609
§ 1. Postojanje i diferencijabilnost implicitno zadane funkcije 610
1. Teorem egzistencije i diferencijabilnosti implicitna funkcija(610). 2. Izračunavanje parcijalnih derivacija implicitno zadane funkcije (615). 3. Singularne točke površina i ravna krivulja (617). 4. Uvjeti koji osiguravaju postojanje funkcije y=)(x) inverzne funkcije (618).
§ 2. Implicitne funkcije definirane sustavom funkcionalnih
jednadžbe 619
1. Teorem o rješivosti sustava funkcionalnih jednadžbi (619). 2. Izračunavanje parcijalnih derivacija funkcija implicitno određenih pomoću sustava funkcionalnih jednadžbi (624). 3. Preslikavanje jedan na jedan dva skupa m-dimenzionalni prostor (625).
§ 3. Ovisnost funkcija 626
1. Pojam ovisnosti funkcija. Dovoljan uvjet za samostalnost (626). 2. Funkcionalne matrice i njihove primjene (628).
§ četiri. Uvjetni ekstrem. 632
1. Pojam uvjetnog ekstrema (632). 2. Metoda neodređeni množitelji Lagrange (635). 3. Dovoljno. uvjetima (636). 4. Primjer (637).
Dodatak 1. Preslikavanja Banachovih prostora. Analog teorema o implicitnoj funkciji 638
1. Teorem o egzistenciji i diferencijabilnosti implicitne funkcije (638). 2. Slučaj konačnodimenzionalnih prostora (644). 3. Singularne točke plohe u prostoru od n dimenzija. Obrnuto preslikavanje (647). 4. Uvjetni ekstrem u slučaju preslikavanja normiranih prostora (651).

Dio 2. - Nastavak tečaja.

SADRŽAJ
Predgovor 5
POGLAVLJE 1. NUMERIČKI NIZOVI 7
§ 1. Pojam serije brojeva 7
1. Konvergentni i divergentni niz (7). 2. Cauchyjev kriterij konvergencije nizova (10)
§ 2. Nizovi s nenegativnim članovima 12"
1. Potreban i dovoljan uvjet za konvergenciju niza s nenegativnim članovima (12). 2. Znakovi usporedbe (13). 3. Znakovi d'Alemberta i Cauchyja (16). 4. Cauchy-McLaurin integralni znak (21). 5, Raabeov znak (24). 6. Nedostatak univerzalne serije usporedbe (27)
§ 3. Apsolutno i uvjetno konvergentni redovi 28
1. Pojmovi apsolutno i uvjetno konvergentnih redova (28). 2. O permutaciji članova uvjetno konvergentnog niza (30). 3. O permutaciji članova apsolutno konvergentnog niza (33)
§ 4. Kriteriji konvergencije proizvoljnih nizova 35
§ 5. Aritmetičke operacije nad konvergentnim nizovima 41
§ 6. Beskonačni produkti 44
1. Osnovni pojmovi (44). 2. Odnos između konvergencije beskonačnih proizvoda i nizova (47). 3. Razgradnja sin funkcije x do beskonačnog umnoška (51)
§ 7. Generalizirane metode zbrajanja za divergentne nizove .... 55
1. Cesarova metoda (metoda aritmetičkih sredina) (56). 2. Poisson-Abelova metoda zbrajanja (57)
§ osam. elementarna teorija duplirati i ponoviti redove 59
POGLAVLJE 2. FUNKCIONALNI NIZOVI I SERIJE 67
§ 1. Pojmovi konvergencije u točki i uniformne konvergencije na skupu 67
1. Pojmovi funkcionalnog niza i funkcionalni raspon(67). 2. Konvergencija funkcionalnog niza (funkcionalnog niza) u točki i na skupu (69). 3. Uniformna konvergencija na skupu (70). 4. Cauchyjev kriterij uniformne konvergencije niza (niza) (72)
§ 2. Dovoljni kriteriji za uniformnu konvergenciju funkcionalnih nizova i serija 74
§ 3. Pojam po rok prijelaz do limita 83
§ 4. Integracija po članu i diferencijacija po članu funkcionalnih nizova i serija 87
1. Pojam integracije (87). 2. Razlikovanje po pojmovima (90). 3. Prosječna konvergencija (94)
§ 5. Ekvikontinuitet niza funkcija... 97
§ 6. Redovi potencija 102
1. Potencijalni red i područje njegove konvergencije (102). 2. Neprekidnost zbroja potencijskih nizova (105). 3. Integracija po članu i diferencijacija po članu niza snaga (105)
§ 7. Proširenje funkcija u potencijski red 107
1. Dekompozicija funkcije u potencijski nizovi(107). 2. Proširenje nekih elementarnih funkcija u Taylorov red (108). 3. Elementarni prikazi o funkcijama kompleksne varijable (CP). 4. Weierstrassov teorem o uniformnoj aproksimaciji kontinuirane funkcije polinomima (112)
POGLAVLJE 3. DVOSTRUKI I n-VIŠESTRUKI INTEGRALI 117
§ 1. Definicija i uvjeti postojanja dvostrukog integrala. . . 117
1. Definicija dvostrukog integrala za pravokutnik (117).
2. Uvjeti postojanja dvostrukog integrala za pravokutnik (119). 3. Definicija i uvjeti postojanja dvostrukog integrala za proizvoljnu domenu (121). 4. Opća definicija dvostrukog integrala (123)
"§ 2. Osnovna svojstva dvostrukog integrala 127
§ 3. Redukcija dvostrukog integrala na iterirani jednostruki. . . 129 1. Slučaj pravokutnika (129). 2. Slučaj proizvoljne regije (130)
§ 4. Trostruki i n-struki integrali 133
§ 5. Promjena varijabli u n-strukom integralu 138
§ 6. Izračunavanje obujma n-dimenzionalnih tijela 152
§ 7. Teorem o počlanoj integraciji funkcionalnih nizova i serija 157
$ 8. Višestruki nepravilni integrali 159
1. Pojam višekratnika nepravilni integrali(159). 2. Dva kriterija za konvergenciju nevlastitih integrala nenegativnih funkcija (160). 3. Nepravilni integrali funkcija predznaka (161). 4. Glavna vrijednost višestrukih nepravilnih integrala (165)
POGLAVLJE 4. KRIVOLUNSKI INTEGRALI 167
§ 1. Pojmovi krivocrtnih integrala prve i druge vrste. . . 167
§ 2. Uvjeti postojanja krivocrtnih integrala 169
POGLAVLJE 5. POVRŠINSKI INTEGRALI 175
§ 1. Pojmovi plohe i njezine površine 175
1. Pojam plohe (175). 2. Pomoćne leme (179).
3. Površina (181)
§ 2. Površinski integrali 185
POGLAVLJE 6. TEORIJA POLJA. OSNOVNA INTEGRALNA FORMULA ZA ANALIZU 190
§ 1. Notni zapis. Biortogonalne baze. Invarijante linearnog operatora 190
1. Notni zapis (190). 2. Biortogonalne baze u prostoru E" (191). 3. Transformacije baza. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate vektora (192). 4. Invarijante linearnog operatora. Divergencija i zakrivljenost (195). 5. Izrazi za divergencija i zakrivljenost linearnog operatora u ortonormiranoj bazi (Sch8)
§ 2. Skalarna i vektorska polja. Diferencijalni operatori vektorska analiza 198
!. Skalarna i vektorska polja (198). 2. Divergencija, rotor i smjerna derivacija vektorsko polje(203). 3. Još neke formule vektorske analize (204). četiri. Završne napomene (206)
§ 3. Osnovne integralne formule analize 207
1. Greenova formula (207). 2. Formula Ostrogradskog - Gaussa (211). 3. Stokesova formula (214)
§ 4. Uvjeti neovisnosti krivocrtnog integrala na ravnini o putu integracije 218
§ 5. Neki primjeri primjene teorije polja 222
1. Izražavanje površine ravnog područja u smislu krivocrtni integral(222). 2. Izražavanje volumena u smislu površinski integral (223)
Dodatak poglavlju 6. Diferencijalni oblici u euklidskom prostoru 225
§ 1. Izmjenične polilinearne forme 225
1. Linearni oblici (225). 2. Bilinearni oblici (226). 3. Polilinearni oblici (227). 4. Izmjenične višelinearne forme (228). 5. Vanjski proizvod izmjeničnih oblika (228). 6. Svojstva vanjskog proizvoda izmjeničnih oblika (231). 7. Osnova u prostoru izmjeničnih oblika (233)
§ 2. Razlikovni oblici 235
1. Osnovna notacija (235). 2. Vanjski diferencijal (236). 3. Svojstva vanjskog diferencijala (237;)
§ 3. Diferencijabilna preslikavanja 2391
1. Definicija diferencijabilnih preslikavanja (239). 2. Svojstva preslikavanja φ* (240)
§ 4. Integracija diferencijalni oblici 243
1. Definicije (243). 2. Diferencijabilni lanci (245). 3. Stokesova formula (248). 4. Primjeri (250)
POGLAVLJE 7. INTEGRALI OVISNI O PARAMETRIMA 252
§ 1. Uniformno u jednoj varijabli teženje funkcije dviju varijabli do granice u drugoj varijabli 252
1. Odnos između ravnomjerne tendencije jedne varijable funkcije dviju varijabli do granice u drugoj varijabli s ravnomjernom konvergencijom funkcionalnog niza (252). 2. Cauchyjev kriterij za uniformnu tendenciju funkcije prema limitu (254). 3. Primjene koncepta uniformne konvergencije na graničnu funkciju (254)
§ 2. Vlastiti integrali ovisni o parametru 256
1. Svojstva integrala ovisno o parametru (256). 2. Slučaj kada granice integracije ovise o parametru (257)
§ 3. Nepravi integrali ovisni o parametru 259
1. Nepravilni integrali prve vrste ovisni o parametru (260). 2. Nepravi integrali druge vrste ovisni o parametru (266)
§ 4. Primjena teorije integrala ovisnih o parametru na izračun pojedinih nepravih integrala 267
§ 5. Eulerovi integrali 271
na Γ-funkciju (272). 2. B-funkcija (275). 3. Veza između Eulerovih integrala (277). 4. Primjeri (279)
§ 6. Stirlingova formula 280
§ 7. Višestruki integrali ovisni o parametrima 282
1. Vlastiti višestruki integrali ovisno o parametrima (282).
2. Nepravilni višestruki integrali ovisni o parametru (283)
POGLAVLJE 8. FOURIEROV NIZ 287
§ 1. Ortonormirani sustavi i opći Fourierov red 287
1. Ortonormalni sustavi (287). 2. Pojam općeg Fourierovog reda (292)
§ 2. Zatvoreni i potpuni ortonormirani sustavi 295
§ 3. Zatvaranje trigonometrijski sustav i posljedice iz toga. . 298 1. Uniformna aproksimacija kontinuirane funkcije trigonometrijskim polinomima (298). 2. Dokaz zatvorenosti trigonometrijskog sustava (301). 3. Posljedice zatvorenosti trigonometrijskog sustava (303)
§ 4. Najjednostavniji uvjeti uniformne konvergencije i član-po-član diferenciranja trigonometrijskog Fourierovog niza 304
1. Uvodne napomene (304). 2. Najjednostavniji uvjeti apsolutne i uniformne konvergencije trigonometrijskog Fourierovog niza (306).
3. Najjednostavniji uvjeti za diferencijaciju po članu trigonometrijskog Fourierovog niza (308)
§ 5. Precizniji uvjeti jednolike konvergencije i uvjeti konvergencije u danoj točki
1. Modul neprekidnosti funkcije. Hölderove klase (309). 2. Izraz za parcijalni zbroj trigonometrijskog Fourierovog reda (311). 3. Pomoćne rečenice (314). 4. Načelo lokalizacije 317 5. Uniformna konvergencija trigonometrijskog Fourierovog reda za funkciju iz Hölderove klase (319). 6. O konvergenciji trigonometrijskog Fourierovog reda komadne Hölderove funkcije (325). 7. Sumabilnost trigonometrijskog Fourierovog reda kontinuirane funkcije metodom aritmetičkih sredina (329). 8. Zaključne napomene (331)
§ 6. Višestruki trigonometrijski Fourierov niz 332
1. Pojmovi višestrukog trigonometrijskog Fourierovog reda i njegovih pravokutnih i sfernih parcijalnih suma (332). 2. Modul neprekidnosti i Hölderove klase za funkciju od N varijabli (334). 3. Uvjeti za apsolutnu konvergenciju višestrukog trigonometrijskog Fourierovog niza (335)
POGLAVLJE 9. FOURIEROVA TRANSFORMACIJA 33»
§ 1. Predstavljanje funkcije Fourierovim integralom 339
1. Pomoćne tvrdnje (340). 2. Glavni teorem. Formula inverzije (342). 3. Primjeri (347)
§ 2. Neka svojstva Fourierove transformacije 34&
§ 3. Višestruki Fourierov integral 352

M.: Izdavačka kuća Moskovskog državnog sveučilišta. Dio 1: 2. izdanje, Rev., 1985. - 662s.; Dio 2 - 1987. - 358s. Dio 1. - Početni tečaj.

Udžbenik je prvi dio tečaja matematičke analize za visokoškolske ustanove SSSR-a, Bugarske i Mađarske, napisan u skladu sa sporazumom o suradnji između sveučilišta u Moskvi, Sofiji i Budimpešti. Knjiga uključuje teoriju realnih brojeva, teoriju limita, teoriju neprekidnosti funkcija, diferencijalni i integralni račun funkcija jedne varijable i njihove primjene, diferencijalni račun funkcija više varijabli i teoriju implicitnih funkcija .

Dio 2. - Nastavak tečaja.

Udžbenik je drugi dio (1. dio - 1985.) tečaja matematičke analize, napisan u skladu s jedinstvenim programom usvojenim u SSSR-u i NRB-u. Knjiga se bavi teorijom numeričkih i funkcionalnih nizova, teorijom višestrukih, krivocrtnih i površinskih integrala, teorijom polja (uključujući diferencijalne oblike), teorijom integrala ovisnih o parametru te teorijom Fourierovih redova i integrala. Posebnost knjige su tri jasno odvojene razine prezentacije: lagana, osnovna i napredna, što omogućuje da je koriste studenti tehničkih sveučilišta s dubinsko proučavanje matematičke analize, te studentima strojarsko-matematičkih fakulteta sveučilišta.

• SADRŽAJ
• Predgovor urednika naslova.... 5
• Predgovor drugom izdanju 6
• Predgovor prvom izdanju 6
• Poglavlje 1. OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE ANALIZE 10
• Poglavlje 2. REALNI BROJEVI 29
• § 1. Skup brojeva koji se može predstaviti beskonačnim decimalnim razlomcima i njihov poredak 29
• 1. Svojstva racionalnih brojeva (29). 2. Nedovoljnost racionalnih brojeva za mjerenje segmenata numeričke osi (31). 3. Uređivanje skupa beskonačnih decimala
• razlomci (34)
• § 2. Omeđeni iznad (ili ispod) skupovi brojeva koji se mogu predstaviti beskonačnim decimalnim razlomcima.... 40 1. Osnovni pojmovi (40). 2. Postojanje precizni rubovi (41).
• § 3. Aproksimacija brojeva predočivih beskonačnim decimalnim razlomcima racionalnim brojevima 44
• § 4. Operacije zbrajanja i množenja. Opis skupa realnih brojeva 46
• 1. Definicija operacija zbrajanja i množenja. Opis pojma realnog broja (46). 2. Postojanje i jedinstvenost zbroja i umnoška realnih brojeva (47).
• § 5. Svojstva realnih brojeva 50
• 1. Svojstva realnih brojeva (50). 2. Neke često korištene relacije (52). 3. Neki konkretni skupovi realnih brojeva (52).
• § 6. Dodatna pitanja iz teorije realnih brojeva. .54 1. Potpunost skupa realnih brojeva (54). 2. Aksiomatsko uvođenje skupa realnih brojeva (57).
• § 7. Elementi teorije skupova. 59
• 1. Pojam skupa (59). 2. Operacije na skupovima (60). 3. Prebrojivi i neprebrojivi skupovi. Segment nebrojiv. Kardinalnost skupa (61). 4. Svojstva operacija na skupovima. Postavite mapiranje (65).
• POGLAVLJE 3. TEORIJA GRANICA. 68
• § 1. Niz i njegova granica 68.
• 1. Pojam niza. Aritmetičke operacije nad nizovima (68). 2. Omeđeni, neomeđeni, beskonačno mali i beskonačno veliki nizovi (69). 3. Osnovna svojstva infinitezimalnih nizova (73). 4. Konvergentni nizovi i njihova svojstva (75).
• § 2. Monotoni nizovi 83
• 1. Pojam monotonog niza (83). 2. Teorem o konvergenciji monotonog ograničenog niza (84). 3. Broj e (86). 4. Primjeri konvergentnih monotonih nizova (88).
• § 3. Proizvoljni nizovi 92
• 1. Granične točke, gornja i donja granica niza (92). 2. Proširenje pojmova granične točke te gornje i donje granice (99). 3. Cauchyjev kriterij konvergencije niza (102).
• § 4. Limit (ili granična vrijednost) funkcije 105
• 1. Pojmovi varijable veličine i funkcije (105). 2. Limit funkcije po Heineu i po Cauchyju (109). 3. Cauchyjev kriterij postojanja limita funkcije (115). 4. Aritmetičke operacije nad funkcijama koje imaju limit (118). 5. Infinitezimalne i beskonačno velike funkcije (119).
• § 5. Opća definicija limesa funkcije s obzirom na bazu .... 122
• Poglavlje 4. KONTINUITET FUNKCIJE 127
• § 1. Pojam neprekidnosti funkcije 127
• 1. Definicija neprekidnosti funkcije (127). 2. Aritmetičke operacije na neprekidnim funkcijama (131). 3. Složena funkcija i njezina neprekidnost (132).
• § 2. Svojstva monotonih funkcija 132
• 1. Monotone funkcije (132). 2. Pojam inverzne funkcije (133).
• § 3. Najjednostavnije elementarne funkcije 138
• 1. Eksponencijalna funkcija (138). 2. Logaritamska funkcija (145). 3. Funkcija potencije (146). 4. Trigonometrijske funkcije (147). 5. Inverzne trigonometrijske funkcije (154). 6. Hiperboličke funkcije (156).
• § 4. Dvije značajne granice 158
• 1. Prvo značajno ograničenje (158). 2. Druga izvanredna granica (159).
• § 5. Točke diskontinuiteta funkcije i njihova klasifikacija. . . . 162 1. Klasifikacija točaka diskontinuiteta funkcije (162). 2. Točke diskontinuiteta monotone funkcije (166).
• § 6. Lokalna i globalna svojstva neprekidnih funkcija. 167 1. Lokalna svojstva neprekidnih funkcija (167). 2. Globalna svojstva neprekidnih funkcija (170). 3. Pojam uniformne neprekidnosti funkcije (176). 4. Pojam modula neprekidnosti funkcije (181).
• § 7. Pojam kompaktnosti skupa 184
• 1. Otvoreni i zatvoreni skupovi (184). 2. Pokrivanja skupa sustavom otvorenih skupova (184). 3. Pojam kompaktnosti skupa (186).
• POGLAVLJE 5. DIFERENCIJALNI RAČUN 189
• § 1. Pojam izvedenice 189
• 1. Povećanje funkcije. Diferencijski oblik uvjeta neprekidnosti (189). 2. Definicija derivacije (190). 3. Geometrijsko značenje derivacije (192).
• § 2. Pojam diferencijabilnosti funkcije 193
• 1. Definicija diferencijabilnosti funkcije (193). 2. Diferencijabilnost i kontinuitet (195). 3. Pojam diferencijala funkcije (196).
• § 3. Diferenciranje složene funkcije i inverzne funkcije 197 1. Diferenciranje složene funkcije (197). 2. Diferencijacija inverzne funkcije (199). 3. Invarijantnost oblika prvog diferencijala (200). 4. Primjena diferencijala za određivanje približnih formula (201).
• § 4. Diferenciranje funkcija zbroja, razlike, umnoška i kvocijenta 202
• § 5. Izvodnice najjednostavnijih elementarnih funkcija. . . 205 1. Derivacije trigonometrijskih funkcija (205). 2. Derivacija logaritamske funkcije (207). 3. Derivacije eksponencijalne i inverzne trigonometrijske funkcije (208). 4. Derivacija funkcije potencije (210). 5. Tablica derivacija najjednostavnijih elementarnih funkcija (210). 6. Tablica diferencijala najjednostavnijih elementarnih funkcija (212). 7. Logaritamska derivacija. Derivacija eksponencijalne funkcije (212).
• § 6. Derivacije i diferencijali viših redova. . . 215 1. Koncept derivacije n-tog reda (213). 2. n-te derivacije nekih funkcija (214). 3. Leibnizova formula za n-tu derivaciju produkta dviju funkcija (216). 4. Diferencijali viših redova (218).
• § 7. Diferenciranje funkcije definirane parametarski. 220*
• § 8. Derivacija vektorske funkcije 222
• Poglavlje 6. OSNOVNI TEOREMI O DIFERENCIJABILNIM FUNKCIJAMA 224
• § 1. Porast (opadanje) funkcije u točki. Lokalni ekstrem 224
• § 2. Teorem nulte derivacije 226
• § 3. Formula konačnih inkremenata (Lagrangeova formula). . 227 § 4. Neke posljedice Lagrangeove formule.... 229» 1. Konstantnost funkcije koja ima derivaciju jednaku nuli na intervalu (229). 2. Uvjeti monotonosti funkcije na intervalu (230). 3. Odsutnost diskontinuiteta prve vrste i uklonjivih diskontinuiteta derivacije (231). 4. Izvođenje nekih nejednakosti (233). § 5. Generalizirana formula za konačne priraštaje (Cauchyjeva formula). . 234
• § 6. Otkrivanje nesigurnosti (L'Hopitalovo pravilo). . . 235
• 1. Otkrivanje nesigurnosti oblika (235). Otkrivanje nesigurnosti oblika - (240). 3. Objavljivanje neizvjesnosti drugih vrsta (243).
• !§ 7. Taylorova formula „245
• § 8. Razni oblici ostatka. Maclaurin formula 248
• 1. Preostali član u obliku Lagrangea, Cauchyja i Peana (248).
• 2. Drugi oblik Taylorove formule (250). 3. Maclaurinova formula (251).
• § 9. Procjena preostalog roka. Dekompozicija nekih elementarnih funkcija. . . . . 251
• 1. Procjena člana ostatka za proizvoljnu funkciju (251). 2. Maclaurinovo širenje nekih elementarnih funkcija (252).
• 1 § 10. Primjeri primjene Maclaurinove formule 256.
• 1. Izračunavanje broja e na računalu (256). 2. Dokaz iracionalnosti broja e (257). 3. Izračunavanje vrijednosti trigonometrijskih funkcija (258). 4. Asimptotska estimacija elementarnih funkcija i proračun limita (259).
• Poglavlje 7
• § 1. Nalaženje stacionarnih točaka 262
• 1. Kriteriji monotonosti funkcije (262). 2. Nalaženje stacionarnih točaka (262). 3. Prvi dovoljan uvjet za ekstrem (264). 4. Drugi dovoljan uvjet za ekstremum (265). 5. Treći dovoljan uvjet za ekstrem (267). 6. Ekstrem funkcije koja nije diferencijabilna u danoj točki (268). 7. Općenito shema za pronalaženje ekstrema (270).
• § 2. Konveksnost grafa funkcije 271
• § 3. Točke prevoja 273
• 1. Određivanje točke infleksije. Nužan uvjet za fleksiju (273). 2. Prvi dovoljan uvjet za fleksiju (276). 3. Neke generalizacije prvog dovoljnog uvjeta infleksije (276). 4. Drugi dovoljan uvjet za fleksiju (277). 5. Treći dovoljan uvjet za fleksiju (278).
• § 4. Asimptote grafa funkcije 279
• § 5. Prikaz funkcije grafom 281
• § 6. Globalni maksimum i minimum funkcije na segmentu.
• Edge extreme 284
• 1. Pronalaženje maksimalne i minimalne vrijednosti funkcije definirane na segmentu (284). 2. Rubni ekstrem (286). 3. Darbouxov teorem (287). Dodatak. Algoritam za pronalaženje ekstremnih vrijednosti funkcije koji koristi samo vrijednosti ove funkcije. . . 288
• Poglavlje 8
• § 1. Pojam antiderivacijske funkcije i neodređenog integrala 291 1. Pojam antiderivacijske funkcije (291). 2. Neodređeni integral (292). 3. "Osnovna svojstva neodređenog integrala (293). 4. Tablica osnovnih neodređenih integrala (294).
• § 2. Osnovne metode integracije 297
• 1, Integracija promjene varijable (supstitucija) (297).
• 2. Integracija po dijelovima (300).
• § 3. Klase funkcija integrabilnih u elementarnim funkcijama. 303 1. Kratke obavijesti o kompleksnim brojevima (304). 2. Kratke informacije o korijenima algebarskih polinoma (307). 3. Rastavljanje algebarskog polinoma s realnim koeficijentima u produkt nesvodljivih faktora (311). 4. Rastavljanje pravilnog racionalnog razlomka na zbroj prostih razlomaka (312). 5. Integrabilnost racionalnog razlomka u elementarnim funkcijama (318). 6. Integrabilnost u elementarnim funkcijama pojedinih trigonometrijskih i iracionalnih izraza (321).
• § 4. Eliptični integrali, 327
• Poglavlje 9
• § 1. Definicija integrala. Integrabilnost. . . . . 330 § 2. Gornji i donji zbroj i njihova svojstva. . . . . 334 1. Određivanje gornjeg i donjeg zbroja (334). 2. Osnovna svojstva gornje i donje sume (335). § 3. Teoremi o potrebnim i dovoljnim uvjetima integrabilnosti funkcija. Klase integrabilnih funkcija. . . 339
• 1. Nužni i dovoljni uvjeti integrabilnosti (339).
• 2. Klase integrabilnih funkcija (341).
• "§ 4. Svojstva određenog integrala. Procjene integrala. Teoremi o srednjoj vrijednosti. 347
• 1. Svojstva integrala (347). 2. Procjene integrala (350).
• § 5. Antiderivacija kontinuirane funkcije. Pravila integracije funkcija 357
• 1. Antiizvedenica (357). 2. Osnovna formula integralnog računa (359). 3. Važna pravila za izračunavanje određenih integrala (360). 4. Rezidualni član Taylorove formule u integralnom obliku (362).
• § 6. Nejednakost za zbrojeve i integrale 365
• 1. Youngova nejednakost (365). 2. Hölderova nejednakost za sume (366). 3. Minkowskijeva nejednakost za sume (367). 4. Hölderova nejednakost za integrale (367). 5. Minkowskijeva nejednakost za integrale (368).
• § 7. Dodatne informacije o definitivnom Riemannovom integralu 369
• 1. Limit integralnih suma preko filterske baze (369).
• 2. Lebesgueov kriterij integrabilnosti (370).
• Dodatak 1 Nepravi integrali 370
• § 1. Nepravi integrali prve vrste 371
• 1. Pojam nepravog integrala prve vrste (371).
• 2. Cauchyjev kriterij konvergencije nepravog integrala prve vrste. Dovoljni uvjeti za konvergenciju (373). 3. Apsolutna i uvjetna konvergencija nepravih integrala (375). 4. Promjena varijabli pod nepravilnim predznakom integrala i formula za integraciju po dijelovima (378).
• § 2. Nepravi integrali druge vrste 379
• § 3. Glavna vrijednost nepravog integrala.. 382
• Dodatak 2. Stieltjesov integral 384
• 1. Definicija Stieltjesova integrala i uvjeti njegovog postojanja (384). 2. Svojstva Stieltjesova integrala (389).
• Poglavlje 10. GEOMETRIJSKE PRIMJENE ODREĐENOG INTEGRALA
• § 1. Duljina luka krivulje 391
• 1. Pojam jednostavne krivulje (391). 2. Pojam parametrizirane krivulje (392). 3. Duljina luka krivulje. Pojam ispravljajuće krivulje (394). 4. Kriterij za ravnost krivulje. Izračunajte duljinu luka krivulje (397). 5. Lučni diferencijal (402). 6. Primjeri (403).
• !§ 2. Površina ravnog lika 405
• 1. Pojam granice skupa i ravnog lika (405).
• 2. Površina ravne figure (406). 3. Krivocrtno područje
• trapez i krivolinijski sektor (414). 4. Primjeri izračunavanja površina (416).
• § 3. Volumen tijela u prostoru 418
• 1. Volumen tijela (418). 2. Neke klase kockastih tijela (419). 3. Primjeri (421).
• Poglavlje 11
• § 1. Približne metode za izračunavanje korijena jednadžbi. . 422 1. Metoda vilice (422). 2. Metoda ponavljanja (423). 3. Metode tetiva i tangenti 426
• § 2. Približne metode za izračunavanje određenih integrala 431 1. Uvodne napomene (431). 2. Metoda pravokutnika (434).
• 3. Metoda trapeza (436). 4. Metoda parabola (438).
• Poglavlje 12
• § 1. Pojam funkcije od m varijabli 442
• 1. Koncept m-dimenzionalnih koordinatnih i gamerskih euklidskih prostora (442). 2. Skupovi točaka u m-dimenzionalnom euklidskom prostoru (445). 3. Pojam funkcije od m varijabli (449).
• § 2. Limit funkcije od m varijabli 451
• 1. Nizovi točaka u prostoru Em (451). 2. Svojstvo ograničenog niza točaka Em (454). 3. Limit funkcije od m varijabli (455). 4. Beskonačno male funkcije od m varijabli (458). 5. Ponovljene granice (459).
• § 3. Neprekidnost funkcije od m varijabli 460
• 1. Pojam neprekidnosti funkcije od m varijabli (460).
• 2. Neprekidnost funkcije od m varijabli s obzirom na jednu varijablu (462). 3. Osnovna svojstva neprekidnih funkcija više varijabli (465).
• § 4. Derivacije i diferencijali funkcije više varijabli 469
• 1. Parcijalne derivacije funkcija više varijabli (469). 2. Diferencijabilnost funkcije više varijabli (470). 3. Geometrijsko značenje uvjeta diferencijabilne funkcije dviju varijabli (473). 4. Dovoljni uvjeti diferencijabilnosti 5. Diferencijal funkcije više varijabli (476). 6. Diferenciranje složene funkcije (476). 7. Invarijantnost oblika prvog diferencijala (480). 8. Derivacija po smjeru. Gradijent (481).
• § 5. Parcijalne derivacije i diferencijali viših redova 485 1. Parcijalne derivacije viših redova (485). 2. Diferencijali viših redova (490). 3. Taylorova formula s ostatkom u Lagrangeovom obliku iu integralnom obliku (497) 4. Taylorova formula s ostatkom u Peano obliku (500).
• 6. Lokalni ekstrem funkcije od m varijabli.... 504 1. Pojam ekstrema funkcije od m varijabli. Nužni uvjeti za ekstrem (504). 2. Dovoljni uvjeti za lokalni ekstrem funkcije m varijabli (506). 3. Slučaj funkcije dviju varijabli (512).
• Dodatak 1. Gradijentna metoda za pronalaženje ekstremuma jako konveksne funkcije 514
• 1. Konveksni skupovi i konveksne funkcije (515). 2. Postojanje minimuma za jako konveksnu funkciju i jedinstvenost minimuma za strogo konveksnu funkciju (521).
• 3. Određivanje minimuma jako konveksne funkcije (526).
• Dodatak 2. Metrički normirani prostori. . 535
• Metrički prostori. 1. Definicija metričkog prostora. Primjeri (535). 2. Otvoreni i zatvoreni skupovi (538). 3. Izravni umnožak metričkih prostora (540). 4. Posvuda gusti i savršeni skupovi (541). 5. Konvergencija. Kontinuirana preslikavanja (543). 6. Kompaktnost 545 7. Osnova prostora (548).
• Svojstva metričkih prostora 550
• Topološki prostori 558
• 1. Definicija topološkog prostora. Hausdorffov topološki prostor. Primjeri (558). 2. Opaska o topološkim prostorima (562).
• Linearni normirani prostori, linearni operatori 564
• 1. Definicija linearnog prostora. Primjeri (564).
• 2. Normirani prostori. Banachovi prostori.
• Primjeri (566). 3. Operatori u linearnim i normiranim prostorima (568). 4. Prostor operatora
• 5. Norma operatora (569). 6. Pojam Hilbertovog prostora 572
• Dodatak 3. Diferencijalni račun u normiranim linearnim prostorima. 574
• 1. Pojam je diferencibilan. Jaka i slaba diferencijabilnost u normiranim linearnim prostorima (575).
• 2. Lagrangeova formula za konačne priraštaje (581).
• 3. Odnos između slabe i jake diferencijabilnosti 584 4. Diferencijabilnost funkcionala (587). 5. Integral apstraktnih funkcija (587). 6. Newton-Leibnizova formula za apstraktne funkcije (589). 7. Izvodnice drugog reda 592 8. Preslikavanje m-dimenzionalnog Euklidskog prostora u t-dimenzionalni prostor (595). 9. Derivacije i diferencijali viših redova 598 10. Taylorova formula za preslikavanje jednog normiranog prostora u drugi (599).
• Ispitivanje ekstrema funkcionala u normaliziranom
• prostori. 602
• 1. Neophodan uvjet za ekstrem (602). 2. Dovoljni uvjeti za ekstrem 605
• Poglavlje 13 IMPLICITNE FUNKCIJE 609
• § 1. Postojanje i diferencijabilnost implicitno zadane funkcije 610
• 1. Teorem o egzistenciji i diferencijabilnosti implicitne funkcije (610). 2. Izračunavanje parcijalnih derivacija implicitno zadane funkcije (615). 3. Singularne točke plohe i ravninske krivulje 617 4. Uvjeti koji osiguravaju postojanje funkcije y=)(x) inverzne funkcije (618).
• § 2. Implicitne funkcije definirane sustavom funkcionalnih
• jednadžbe 619
• 1. Teorem o rješivosti sustava funkcionalnih jednadžbi (619). 2. Izračunavanje parcijalnih derivacija funkcija implicitno određenih pomoću sustava funkcionalnih jednadžbi (624). 3. Preslikavanje jedan na jedan dva skupa m-dimenzionalnog prostora (625).
• § 3. Ovisnost funkcija 626
• 1. Pojam ovisnosti funkcija. Dovoljan uvjet za samostalnost (626). 2. Funkcionalne matrice i njihove primjene (628).
• § 4. Uvjetni ekstrem. 632
• 1. Pojam uvjetnog ekstrema (632). 2. Metoda neodređenih Lagrangeovih množitelja (635). 3. Dovoljno. uvjetima (636). 4. Primjer (637).
• Dodatak 1. Preslikavanja Banachovih prostora. Analog teorema o implicitnoj funkciji 638
• 1. Teorem o egzistenciji i diferencijabilnosti implicitne funkcije (638). 2. Slučaj konačnodimenzionalnih prostora (644). 3. Singularne točke plohe u prostoru od n dimenzija. Obrnuto preslikavanje (647). 4. Uvjetni ekstrem u slučaju preslikavanja normiranih prostora (651).
• Dio 2. - Nastavak tečaja.
• SADRŽAJ
• Predgovor 5
• POGLAVLJE 1. NUMERIČKI NIZOVI 7
• § 1. Pojam brojevnog niza 7
• 1. Konvergentni i divergentni niz (7). 2. Cauchyjev kriterij konvergencije nizova (10)
• § 2. Nizovi s nenegativnim članovima 12"
• 1. Potreban i dovoljan uvjet za konvergenciju niza s nenegativnim članovima (12). 2. Znakovi usporedbe (13). 3. Znakovi d'Alemberta i Cauchyja (16). 4. Cauchy-McLaurin integralni znak (21). 5, Raabeov znak (24). 6. Nedostatak univerzalne serije usporedbe (27)
• § 3. Apsolutno i uvjetno konvergentni redovi 28
• 1. Pojmovi apsolutno i uvjetno konvergentnih redova (28). 2. O permutaciji članova uvjetno konvergentnog niza (30). 3. O permutaciji članova apsolutno konvergentnog niza (33)
• § 4. Kriteriji konvergencije proizvoljnih nizova 35
• § 5. Aritmetičke operacije nad konvergentnim nizovima 41
• § 6. Beskonačni produkti 44
• 1. Osnovni pojmovi (44). 2. Odnos između konvergencije beskonačnih proizvoda i nizova (47). 3. Rastavljanje funkcije sin x na beskonačni umnožak (51)
• § 7. Generalizirane metode zbrajanja za divergentne nizove .... 55
• 1. Cesarova metoda (metoda aritmetičkih sredina) (56). 2. Poisson-Abelova metoda zbrajanja (57)
• § 8. Elementarna teorija dvostrukog i ponovljenog niza 59
• POGLAVLJE 2. FUNKCIONALNI NIZOVI I SERIJE 67
• § 1. Pojmovi konvergencije u točki i uniformne konvergencije na skupu 67
• 1. Pojmovi funkcionalnog niza i funkcionalnog niza (67). 2. Konvergencija funkcionalnog niza (funkcionalnog niza) u točki i na skupu (69). 3. Uniformna konvergencija na skupu (70). 4. Cauchyjev kriterij uniformne konvergencije niza (niza) (72)
• § 2. Dovoljni kriteriji za uniformnu konvergenciju funkcionalnih nizova i serija 74
• § 3. Pojam po rok prijelaz do limita 83
• § 4. Integracija po članu i diferencijacija po članu funkcionalnih nizova i serija 87
• 1. Pojam integracije (87). 2. Razlikovanje po pojmovima (90). 3. Prosječna konvergencija (94)
• § 5. Ekvikontinuitet niza funkcija... 97
• § 6. Redovi potencija 102
• 1. Potencijalni red i područje njegove konvergencije (102). 2. Neprekidnost zbroja potencijskih nizova (105). 3. Integracija po članu i diferencijacija po članu niza snaga (105)
• § 7. Proširenje funkcija u potencijski red 107
• 1. Proširenje funkcije u potencijski red (107). 2. Proširenje nekih elementarnih funkcija u Taylorov red (108). 3. Elementarne predodžbe o funkcijama kompleksne varijable (PO). 4. Weierstrassov teorem o uniformnoj aproksimaciji kontinuirane funkcije polinomima (112)
• POGLAVLJE 3. DVOSTRUKI I n-VIŠESTRUKI INTEGRALI 117
• § 1. Definicija i uvjeti postojanja dvostrukog integrala. . . 117
• 1. Definicija dvostrukog integrala za pravokutnik (117).
• 2. Uvjeti postojanja dvostrukog integrala za pravokutnik (119). 3. Definicija i uvjeti postojanja dvostrukog integrala za proizvoljnu domenu (121). 4. Opća definicija dvostrukog integrala (123)
• "§ 2. Osnovna svojstva dvostrukog integrala 127
• § 3. Redukcija dvostrukog integrala na iterirani jednostruki. . . 129 1. Slučaj pravokutnika (129). 2. Slučaj proizvoljne regije (130)
• § 4. Trostruki i n-struki integrali 133
• § 5. Promjena varijabli u n-strukom integralu 138
• § 6. Izračunavanje obujma n-dimenzionalnih tijela 152
• § 7. Teorem o počlanoj integraciji funkcionalnih nizova i serija 157
• $ 8. Višestruki nepravilni integrali 159
• 1. Pojam višestrukih nepravih integrala (159). 2. Dva kriterija za konvergenciju nevlastitih integrala nenegativnih funkcija (160). 3. Nepravilni integrali funkcija predznaka (161). 4. Glavna vrijednost višestrukih nepravilnih integrala (165)
• POGLAVLJE 4. KRIVOLUNSKI INTEGRALI 167
• § 1. Pojmovi krivocrtnih integrala prve i druge vrste. . . 167
• § 2. Uvjeti postojanja krivocrtnih integrala 169
• POGLAVLJE 5. POVRŠINSKI INTEGRALI 175
• § 1. Pojmovi plohe i njezine površine 175
• 1. Pojam plohe (175). 2. Pomoćne leme (179).
• 3. Površina (181)
• § 2. Površinski integrali 185
• POGLAVLJE 6. TEORIJA POLJA. OSNOVNA INTEGRALNA FORMULA ZA ANALIZU 190
• § 1. Notni zapis. Biortogonalne baze. Invarijante linearnog operatora 190
• 1. Notni zapis (190). 2. Biortogonalne baze u prostoru E" (191). 3. Transformacije baza. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate vektora (192). 4. Invarijante linearnog operatora. Divergencija i zakrivljenost (195). 5. Izrazi za divergencija i zakrivljenost linearnog operatora u ortonormiranoj bazi (Sch8)
• § 2. Skalarna i vektorska polja. Diferencijalni operatori vektorske analize 198
• !. Skalarna i vektorska polja (198). 2. Divergencija, zakrivljenost i derivacija u odnosu na smjer vektorskog polja (203). 3. Još neke formule vektorske analize (204). 4. Zaključne napomene (206)
• § 3. Osnovne integralne formule analize 207
• 1. Greenova formula (207). 2. Formula Ostrogradskog - Gaussa (211). 3. Stokesova formula (214)
• § 4. Uvjeti neovisnosti krivocrtnog integrala na ravnini o putu integracije 218
• § 5. Neki primjeri primjene teorije polja 222
• 1. Izraz površine ravnog područja u smislu krivocrtnog integrala (222). 2. Izraz volumena preko integrala površine (223)
• Dodatak poglavlju 6. Diferencijalni oblici u euklidskom prostoru 225
• § 1. Izmjenične polilinearne forme 225
• 1. Linearni oblici (225). 2. Bilinearni oblici (226). 3. Polilinearni oblici (227). 4. Izmjenične višelinearne forme (228). 5. Vanjski proizvod izmjeničnih oblika (228). 6. Svojstva vanjskog proizvoda izmjeničnih oblika (231). 7. Osnova u prostoru izmjeničnih oblika (233)
• § 2. Razlikovni oblici 235
• 1. Osnovna notacija (235). 2. Vanjski diferencijal (236). 3. Svojstva vanjskog diferencijala (237;)
• § 3. Diferencijabilna preslikavanja 2391
• 1. Definicija diferencijabilnih preslikavanja (239). 2. Svojstva preslikavanja φ* (240)
• § 4. Integracija diferencijalnih oblika 243
• 1. Definicije (243). 2. Diferencijabilni lanci (245). 3. Stokesova formula (248). 4. Primjeri (250)
• POGLAVLJE 7. INTEGRALI OVISNI O PARAMETRIMA 252
• § 1. Uniformno u jednoj varijabli teženje funkcije dviju varijabli do granice u drugoj varijabli 252
• 1. Odnos između ravnomjerne tendencije jedne varijable funkcije dviju varijabli do granice u drugoj varijabli s ravnomjernom konvergencijom funkcionalnog niza (252). 2. Cauchyjev kriterij za uniformnu tendenciju funkcije prema limitu (254). 3. Primjene koncepta uniformne konvergencije na graničnu funkciju (254)
• § 2. Vlastiti integrali ovisni o parametru 256
• 1. Svojstva integrala ovisno o parametru (256). 2. Slučaj kada granice integracije ovise o parametru (257)
• § 3. Nepravi integrali ovisni o parametru 259
• 1. Nepravilni integrali prve vrste ovisni o parametru (260). 2. Nepravi integrali druge vrste ovisni o parametru (266)
• § 4. Primjena teorije integrala ovisnih o parametru na izračun pojedinih nepravih integrala 267
• § 5. Eulerovi integrali 271
• na Γ-funkciju (272). 2. B-funkcija (275). 3. Veza između Eulerovih integrala (277). 4. Primjeri (279)
• § 6. Stirlingova formula 280
• § 7. Višestruki integrali ovisni o parametrima 282
• 1. Vlastiti višestruki integrali ovisno o parametrima (282).
• 2. Nepravilni višestruki integrali ovisni o parametru (283)
• POGLAVLJE 8. FOURIEROV NIZ 287
• § 1. Ortonormirani sustavi i opći Fourierov red 287
• 1. Ortonormalni sustavi (287). 2. Pojam općeg Fourierovog reda (292)
• § 2. Zatvoreni i potpuni ortonormirani sustavi 295
• § 3. Zatvorenost trigonometrijskog sustava i posljedice iz toga. . 298 1. Uniformna aproksimacija kontinuirane funkcije trigonometrijskim polinomima (298). 2. Dokaz zatvorenosti trigonometrijskog sustava (301). 3. Posljedice zatvorenosti trigonometrijskog sustava (303)
• § 4. Najjednostavniji uvjeti uniformne konvergencije i član-po-član diferenciranja trigonometrijskog Fourierovog niza 304
• 1. Uvodne napomene (304). 2. Najjednostavniji uvjeti apsolutne i uniformne konvergencije trigonometrijskog Fourierovog niza (306).
• 3. Najjednostavniji uvjeti za diferencijaciju po članu trigonometrijskog Fourierovog niza (308)
• § 5. Precizniji uvjeti jednolike konvergencije i uvjeti konvergencije u danoj točki
• 1. Modul neprekidnosti funkcije. Hölderove klase (309). 2. Izraz za parcijalni zbroj trigonometrijskog Fourierovog reda (311). 3. Pomoćni prijedlozi(314). 4. Načelo lokalizacije 317 5. Uniformna konvergencija trigonometrijskog Fourierovog reda za funkciju iz Hölderove klase (319). 6. O konvergenciji trigonometrijskog Fourierovog reda komadne Hölderove funkcije (325). 7. Sumabilnost trigonometrijskog Fourierovog reda kontinuirane funkcije metodom aritmetičkih sredina (329). 8. Zaključne napomene (331)
• § 6. Višestruki trigonometrijski Fourierov niz 332
• 1. Pojmovi višestrukog trigonometrijskog Fourierovog reda i njegovih pravokutnih i sfernih parcijalnih suma (332). 2. Modul neprekidnosti i Hölderove klase za funkciju od N varijabli (334). 3. Uvjeti za apsolutnu konvergenciju višestrukog trigonometrijskog Fourierovog niza (335)
• POGLAVLJE 9. FOURIEROVA TRANSFORMACIJA 33»
• § 1. Predstavljanje funkcije Fourierovim integralom 339
• 1. Pomoćne tvrdnje (340). 2. Glavni teorem. Formula inverzije (342). 3. Primjeri (347)
• § 2. Neka svojstva Fourierove transformacije 34&
• § 3. Višestruki Fourierov integral 352

SADRŽAJ
Predgovor 5
POGLAVLJE 1. NUMERIČKI NIZOVI 7
§ 1. Pojam brojevnog niza 7
1. Konvergentni i divergentni niz (7). 2. Cauchyjev kriterij konvergencije nizova (10)
§ 2. Nizovi s nenegativnim članovima 12"
1. Potreban i dovoljan uvjet za konvergenciju niza s nenegativnim članovima (12). 2. Znakovi usporedbe (13). 3. Znakovi d'Alemberta i Cauchyja (16). 4. Cauchy-McLaurin integralni znak (21). 5, Raabeov znak (24). 6. Nedostatak univerzalne serije usporedbe (27)
§ 3. Apsolutno i uvjetno konvergentni redovi 28
1. Pojmovi apsolutno i uvjetno konvergentnih redova (28). 2. O permutaciji članova uvjetno konvergentnog niza (30). 3. O permutaciji članova apsolutno konvergentnog niza (33)
§ 4. Kriteriji konvergencije proizvoljnih nizova 35
§ 5. Aritmetičke operacije nad konvergentnim nizovima 41
§ 6. Beskonačni produkti 44
1. Osnovni pojmovi (44). 2. Odnos između konvergencije beskonačnih proizvoda i nizova (47). 3. Rastavljanje funkcije sin x na beskonačni umnožak (51)
§ 7. Generalizirane metode zbrajanja za divergentne nizove .... 55
1. Cesarova metoda (metoda aritmetičkih sredina) (56). 2. Poisson-Abelova metoda zbrajanja (57)
§ 8. Elementarna teorija dvostrukog i ponovljenog niza 59
POGLAVLJE 2. FUNKCIONALNI NIZOVI I SERIJE 67
§ 1. Pojmovi konvergencije u točki i uniformne konvergencije na skupu 67
1. Pojmovi funkcionalnog niza i funkcionalnog niza (67). 2. Konvergencija funkcionalnog niza (funkcionalnog niza) u točki i na skupu (69). 3. Uniformna konvergencija na skupu (70). 4. Cauchyjev kriterij uniformne konvergencije niza (niza) (72)
§ 2. Dovoljni kriteriji za uniformnu konvergenciju funkcionalnih nizova i serija 74
§ 3. Pojam po rok prijelaz do limita 83
§ 4. Integracija po članu i diferencijacija po članu funkcionalnih nizova i serija 87
1. Pojam integracije (87). 2. Razlikovanje po pojmovima (90). 3. Prosječna konvergencija (94)
§ 5. Ekvikontinuitet niza funkcija... 97
§ 6. Redovi potencija 102
1. Potencijalni red i područje njegove konvergencije (102). 2. Neprekidnost zbroja potencijskih nizova (105). 3. Integracija po članu i diferencijacija po članu niza snaga (105)
§ 7. Proširenje funkcija u potencijski red 107
1. Proširenje funkcije u potencijski red (107). 2. Proširenje nekih elementarnih funkcija u Taylorov red (108). 3. Elementarne predodžbe o funkcijama kompleksne varijable (PO). 4. Weierstrassov teorem o uniformnoj aproksimaciji kontinuirane funkcije polinomima (112)
POGLAVLJE 3. DVOSTRUKI I n-VIŠESTRUKI INTEGRALI 117
§ 1. Definicija i uvjeti postojanja dvostrukog integrala. . . 117
1. Definicija dvostrukog integrala za pravokutnik (117).
2. Uvjeti postojanja dvostrukog integrala za pravokutnik (119). 3. Definicija i uvjeti postojanja dvostrukog integrala za proizvoljnu domenu (121). 4. Opća definicija dvostrukog integrala (123)
"§ 2. Osnovna svojstva dvostrukog integrala 127
§ 3. Redukcija dvostrukog integrala na iterirani jednostruki. . . 129 1. Slučaj pravokutnika (129). 2. Slučaj proizvoljne regije (130)
§ 4. Trostruki i n-struki integrali 133
§ 5. Promjena varijabli u n-strukom integralu 138
§ 6. Izračunavanje obujma n-dimenzionalnih tijela 152
§ 7. Teorem o počlanoj integraciji funkcionalnih nizova i serija 157
$ 8. Višestruki nepravilni integrali 159
1. Pojam višestrukih nepravih integrala (159). 2. Dva kriterija za konvergenciju nevlastitih integrala nenegativnih funkcija (160). 3. Nepravilni integrali funkcija predznaka (161). 4. Glavna vrijednost višestrukih nepravilnih integrala (165)
POGLAVLJE 4. KRIVOLUNSKI INTEGRALI 167
§ 1. Pojmovi krivocrtnih integrala prve i druge vrste. . . 167
§ 2. Uvjeti postojanja krivocrtnih integrala 169
POGLAVLJE 5. POVRŠINSKI INTEGRALI 175
§ 1. Pojmovi plohe i njezine površine 175
1. Pojam plohe (175). 2. Pomoćne leme (179).
3. Površina (181)
§ 2. Površinski integrali 185
POGLAVLJE 6. TEORIJA POLJA. OSNOVNA INTEGRALNA FORMULA ZA ANALIZU 190
§ 1. Notni zapis. Biortogonalne baze. Invarijante linearnog operatora 190
1. Notni zapis (190). 2. Biortogonalne baze u prostoru E" (191). 3. Transformacije baza. Kovarijantne i kontravarijantne koordinate vektora (192). 4. Invarijante linearnog operatora. Divergencija i zakrivljenost (195). 5. Izrazi za divergencija i zakrivljenost linearnog operatora u ortonormiranoj bazi (Sch8)
§ 2. Skalarna i vektorska polja. Diferencijalni operatori vektorske analize 198
!. Skalarna i vektorska polja (198). 2. Divergencija, zakrivljenost i derivacija u odnosu na smjer vektorskog polja (203). 3. Još neke formule vektorske analize (204). 4. Zaključne napomene (206)
§ 3. Osnovne integralne formule analize 207
1. Greenova formula (207). 2. Formula Ostrogradskog - Gaussa (211). 3. Stokesova formula (214)
§ 4. Uvjeti neovisnosti krivocrtnog integrala na ravnini o putu integracije 218
§ 5. Neki primjeri primjene teorije polja 222
1. Izraz površine ravnog područja u smislu krivocrtnog integrala (222). 2. Izraz volumena preko integrala površine (223)
Dodatak poglavlju 6. Diferencijalni oblici u euklidskom prostoru 225
§ 1. Izmjenične polilinearne forme 225
1. Linearni oblici (225). 2. Bilinearni oblici (226). 3. Polilinearni oblici (227). 4. Izmjenične višelinearne forme (228). 5. Vanjski proizvod izmjeničnih oblika (228). 6. Svojstva vanjskog proizvoda izmjeničnih oblika (231). 7. Osnova u prostoru izmjeničnih oblika (233)
§ 2. Razlikovni oblici 235
1. Osnovna notacija (235). 2. Vanjski diferencijal (236). 3. Svojstva vanjskog diferencijala (237;)
§ 3. Diferencijabilna preslikavanja 2391
1. Definicija diferencijabilnih preslikavanja (239). 2. Svojstva preslikavanja φ* (240)
§ 4. Integracija diferencijalnih oblika 243
1. Definicije (243). 2. Diferencijabilni lanci (245). 3. Stokesova formula (248). 4. Primjeri (250)
POGLAVLJE 7. INTEGRALI OVISNI O PARAMETRIMA 252
§ 1. Uniformno u jednoj varijabli teženje funkcije dviju varijabli do granice u drugoj varijabli 252
1. Odnos između ravnomjerne tendencije jedne varijable funkcije dviju varijabli do granice u drugoj varijabli s ravnomjernom konvergencijom funkcionalnog niza (252). 2. Cauchyjev kriterij za uniformnu tendenciju funkcije prema limitu (254). 3. Primjene koncepta uniformne konvergencije na graničnu funkciju (254)
§ 2. Vlastiti integrali ovisni o parametru 256
1. Svojstva integrala ovisno o parametru (256). 2. Slučaj kada granice integracije ovise o parametru (257)
§ 3. Nepravi integrali ovisni o parametru 259
1. Nepravilni integrali prve vrste ovisni o parametru (260). 2. Nepravi integrali druge vrste ovisni o parametru (266)
§ 4. Primjena teorije integrala ovisnih o parametru na izračun pojedinih nepravih integrala 267
§ 5. Eulerovi integrali 271
na Γ-funkciju (272). 2. B-funkcija (275). 3. Veza između Eulerovih integrala (277). 4. Primjeri (279)
§ 6. Stirlingova formula 280
§ 7. Višestruki integrali ovisni o parametrima 282
1. Vlastiti višestruki integrali ovisno o parametrima (282).
2. Nepravilni višestruki integrali ovisni o parametru (283)
POGLAVLJE 8. FOURIEROV NIZ 287
§ 1. Ortonormirani sustavi i opći Fourierov red 287
1. Ortonormalni sustavi (287). 2. Pojam općeg Fourierovog reda (292)
§ 2. Zatvoreni i potpuni ortonormirani sustavi 295
§ 3. Zatvorenost trigonometrijskog sustava i posljedice iz toga. . 298 1. Uniformna aproksimacija kontinuirane funkcije trigonometrijskim polinomima (298). 2. Dokaz zatvorenosti trigonometrijskog sustava (301). 3. Posljedice zatvorenosti trigonometrijskog sustava (303)
§ 4. Najjednostavniji uvjeti uniformne konvergencije i član-po-član diferenciranja trigonometrijskog Fourierovog niza 304
1. Uvodne napomene (304). 2. Najjednostavniji uvjeti apsolutne i uniformne konvergencije trigonometrijskog Fourierovog niza (306).
3. Najjednostavniji uvjeti za diferencijaciju po članu trigonometrijskog Fourierovog niza (308)
§ 5. Precizniji uvjeti jednolike konvergencije i uvjeti konvergencije u danoj točki
1. Modul neprekidnosti funkcije. Hölderove klase (309). 2. Izraz za parcijalni zbroj trigonometrijskog Fourierovog reda (311). 3. Pomoćne rečenice (314). 4. Načelo lokalizacije 317 5. Uniformna konvergencija trigonometrijskog Fourierovog reda za funkciju iz Hölderove klase (319). 6. O konvergenciji trigonometrijskog Fourierovog reda komadne Hölderove funkcije (325). 7. Sumabilnost trigonometrijskog Fourierovog reda kontinuirane funkcije metodom aritmetičkih sredina (329). 8. Zaključne napomene (331)
§ 6. Višestruki trigonometrijski Fourierov niz 332
1. Pojmovi višestrukog trigonometrijskog Fourierovog reda i njegovih pravokutnih i sfernih parcijalnih suma (332). 2. Modul neprekidnosti i Hölderove klase za funkciju od N varijabli (334). 3. Uvjeti za apsolutnu konvergenciju višestrukog trigonometrijskog Fourierovog niza (335)
POGLAVLJE 9. FOURIEROVA TRANSFORMACIJA 33»
§ 1. Predstavljanje funkcije Fourierovim integralom 339
1. Pomoćne tvrdnje (340). 2. Glavni teorem. Formula inverzije (342). 3. Primjeri (347)
§ 2. Neka svojstva Fourierove transformacije 34&
§ 3. Višestruki Fourierov integral 352