Kombinacija. Metode rješavanja kombinatornih problema

Pri rješavanju mnogih praktičnih problema treba koristiti kombinacije elemenata, iz zadanog skupa izabrati one koji imaju određena svojstva i postaviti ih određenim redoslijedom. Takvi se zadaci nazivaju kombinatorni. Dio matematike koji se bavi rješavanjem problema izbora i rasporeda elemenata u skladu sa zadanim uvjetima naziva se kombinatorika. Pojam "kombinatorika" potječe iz latinska riječ kombinirati, što u prijevodu na ruski znači - "kombinirati", "povezati".

Odabrane skupine elemenata nazivamo vezama. Ako su svi elementi veze različiti, tada dobivamo veze bez ponavljanja, što ćemo razmotriti u nastavku.

Većina kombinatorni problemi riješen pomoću dva osnovna pravila - pravila zbroja i pravila umnoška.

Zadatak 1.

Trgovina Sve za čaj ima 6 različitih šalica i 4 različita tanjurića. Koliko šalica i tanjurića možete kupiti?

Riješenje.

Šalicu možemo birati na 6 načina, a tanjurić na 4 načina. Budući da trebamo kupiti par šalice i tanjurića, to možemo učiniti na 6 4 = 24 načina (prema pravilu proizvoda).

Odgovor: 24.

Za uspješno rješavanje kombinatornih problema također je potrebno odabrati ispravnu formulu kojom se traži broj željenih spojeva. Sljedeći dijagram pomoći će u tome.

Razmotrite rješavanje nekoliko problema na različiti tipovi veze bez ponavljanja.

Zadatak 2.

Odredi broj troznamenkastih brojeva koji se mogu sastaviti od brojeva 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ako se brojevi u broju ne mogu ponavljati.

Riješenje.

Za odabir formule saznajemo da se za brojeve koje ćemo sastaviti vodi računa o redoslijedu i da se svi elementi ne biraju istovremeno. To znači da je ova veza raspored od 7 elemenata po 3. Upotrijebimo formulu za broj plasmana: A 7 3 = 7(7 - 1)(7 - 2) = 7 6 5 = 210 brojeva.

Odgovor: 210.

Zadatak 3.

Koliko ima sedam znamenki brojevi telefona, u kojem su sve znamenke različite, a broj ne može početi od nule?

Riješenje.

Na prvi pogled, ovaj zadatak je isti kao i prethodni, ali poteškoća je u tome što ne smijete uzeti u obzir one veze koje počinju od nule. Dakle, od postojećih 10 znamenki potrebno je sastaviti sve sedmeroznamenkaste telefonske brojeve, a zatim od dobivenog broja oduzeti broj brojeva počevši od nule. Formula će izgledati ovako:

A 10 7 - A 9 6 \u003d 10 9 8 7 6 5 4 - 9 8 7 6 5 4 \u003d 544 320.

Odgovor: 544 320.

Zadatak 4.

Na koliko se načina na polici može složiti 12 knjiga, od kojih su 5 knjiga zbirke pjesama, tako da zbirke stoje jedna do druge?

Riješenje.

Prvo, uzmimo 5 zbirki uvjetno za jednu knjigu, jer one bi trebale stajati jedna uz drugu. Budući da je u povezivanju bitan red, a koriste se svi elementi, to znači da se radi o permutacijama od 8 elemenata (7 knjiga + uvjetno 1 knjiga). Njihov broj je R 8 . Dalje ćemo međusobno presložiti samo zbirke pjesama. To se može učiniti na 5 načina. Budući da moramo složiti i zbirke i druge knjige, koristit ćemo se pravilom proizvoda. Prema tome, R 8 · R 5 = 8! · 5!. Broj načina bit će velik, pa se odgovor može ostaviti kao produkt faktorijela.

Odgovor: 8! · 5!

Zadatak 5.

U razredu je 16 dječaka i 12 djevojčica. Za čišćenje prostora u blizini škole potrebna su 4 dječaka i 3 djevojčice. Na koliko se načina oni mogu izabrati od svih učenika u razredu?

Riješenje.

Najprije posebno biramo 4 dječaka od 16 i 3 djevojčice od 12. Budući da se redoslijed ne uzima u obzir, odgovarajuće složenice su kombinacije bez ponavljanja. S obzirom na potrebu odabira i dječaka i djevojčica u isto vrijeme, koristimo pravilo proizvoda. Kao rezultat toga, broj načina će se izračunati na sljedeći način:

C 16 4 C 12 3 = (16!/(4! 12!)) (12!/(3! 9!)) = ((13 14 15 16) / (2 3 ) 4)) ((10 11 12 ) / (2 3)) = 400 400.

Odgovor: 400 400.

Na ovaj način, uspješno rješenje kombinatornog problema ovisi o ispravnoj analizi njegovih uvjeta, određivanju vrste spojeva koje treba sastaviti i izboru odgovarajuće formule za izračunavanje njihova broja.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti kombinatorne probleme?
Za pomoć mentora - prijavite se.
Prvi sat je besplatan!

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Zadatak 1. Osam učenika se rukovalo. Koliko je bilo rukovanja?

Riješenje. U rukovanju sudjeluje “podskup” koji se sastoji od dva učenika (m=2), dok cijeli skup učenika čini 8 osoba (n=8). Budući da redoslijed nije bitan u procesu rukovanja, biramo formulu za broj kombinacija:

Zadatak. Na koliko se načina može izraditi trobojna prugasta zastava od pet komada tkanine različitih boja?

Riješenje. Redoslijed je važan, budući da permutacija materije unutar trobojnice znači različite zemlje. Stoga biramo formulu za broj postavljanja bez ponavljanja, gdje je skup segmenata materije n = 5, a podskup boja m=3:

Zadatak 2. Koliko rječnika mora biti objavljeno da bi se moglo prevesti s bilo kojeg od šest jezika na bilo koji od njih?

Riješenje. Set uključuje 6 jezika n=6. Budući da je prijevod odnos između dva jezika, onda je m=2, a redoslijed je važan, jer npr. rusko-engleski i englesko-ruski rječnik imaju razne aplikacije. Stoga biramo položaje bez ponavljanja:

Zadatak 3. Koliko ima mogućnosti rasporeda za ponedjeljak ako učenici imaju 9 predmeta, au ponedjeljak su 4 para nastave, a predmeti se ne ponavljaju?

Riješenje. a) Učenicima redoslijed nije bitan pa biramo formulu za broj kombinacija:

b) Učiteljima je bitan redoslijed, pa biramo formulu za raspored bez ponavljanja:

Zadatak 4. Na koliko se načina na polici može složiti devet knjiga među kojima je i trotomnik A.S. Puškin?

Riješenje.

Budući da bi tri sveska uključena u komplet od tri sveska trebala stajati jedna pored druge, i u uzlaznom redoslijedu slave s desne strane, smatramo ih jednim elementom dati skup, koji ima još 6 elemenata. Stoga biramo permutacije bez ponavljanja u skupu koji sadrži sedam elemenata:

P 7 = 7! = 5040

Zadatak 5. Na koliko se načina grupi od 30 ljudi mogu dodijeliti tri pratitelja?

Riješenje.

a) Ako im je uloga u procesu dežurstva ista, onda redoslijed nije bitan, pa biramo kombinacije bez ponavljanja:

C 3 30 = 30! / 3!27! = 4060

b) Ako je važan redoslijed, tj. tijekom njihove dužnosti funkcionalne odgovornosti su različiti, onda prema formuli za postavljanje bez ponavljanja imamo:

I 330 = 30! / 27! = 24360

Zadatak 6. Koliko ima šesteroznamenkastih telefonskih brojeva za koje: a) su moguće bilo koje znamenke; b) jesu li svi brojevi različiti?

Riješenje.

a) 1. Kako su u šesteroznamenkastom biranju telefonskog broja moguće bilo koje znamenke, na svakom od šest mjesta nalazi se bilo koja od 10 znamenki od 0 do 9. Potrebno je izabrati samo od svih mogućih deset znamenki. onih šest koji će se koristiti za šesteroznamenkaste telefonske brojeve. Budući da je bitan redoslijed znamenki u zapisu telefonskih brojeva, prema formuli smještanja s ponavljanjima imamo:

A 10 6 \u003d 10 6 \u003d 1000000

2. Kao što znate, ne postoje šesteroznamenkasti brojevi koji počinju s nulom, pa je potrebno njihov broj prebrojati i oduzeti od ukupnog broja kombinacija. Broj brojeva, čija je prva znamenka 0, nalazimo formulom za postavljanje s ponavljanjima, "popravljajući" nulu, tj. na svakom od pet ostalih moguća mjesta bilo koja od deset znamenki iz
0 do 9. Zatim broj takvih kombinacija:

A 10 5 \u003d 10 5 \u003d 100000

3. Ukupan broj šesteroznamenkastih telefonskih brojeva, koji mogu imati bilo koje, uključujući i ponovljene znamenke, jednak je razlici:

A 10 6 - A 10 5 \u003d 10 6 - 10 5 \u003d 1000000 - 100000 \u003d 900000

b) 1. Neka su sada sve znamenke u šesteroznamenkastom skupu različite. Potrebno je od svih mogućih deset znamenki odabrati samo onih šest koje se koriste za šesteroznamenkaste telefonske brojeve, a niti jedna znamenka se ne ponavlja. Tada, prema formuli za postavljanje bez ponavljanja, imamo:

I 10 6 = 10! / (10 - 6)! = 5x6x7x8x9x10 = 151200

2. Budući da ne postoje šesteroznamenkasti brojevi koji počinju s nulom, potrebno je prebrojati njihov broj i oduzeti ga od ukupnog broja kombinacija. Broj brojeva, čija je prva znamenka 0, nalazimo formulom za postavljanje bez ponavljanja, "fiksirajući nulu", tj. na svakom od pet preostalih mogućih mjesta mogu biti brojevi od 0 do 9. Tada će se broj takvih kombinacija pronaći formulom za postavljanje bez ponavljanja. Imamo:

I 10 5 = 10! / (10-5)! \u003d 6x7x8x9x10 \u003d 30240

3. Ukupan broj šesteroznamenkastih telefonskih brojeva koji ne mogu imati ponovljene znamenke jednak je razlici:

A 10 6 - A 10 5 \u003d 10 6 - 10 5 \u003d 151200 - 30240 \u003d 120960

Zadatak 7. Na koliko se načina između četiri bračna para može izabrati delegacija od tri osobe ako:

a) delegacija uključuje bilo koje tri od ovih osam osoba;

b) izaslanstvo se treba sastojati od dvije žene i jednog muškarca;

delegacija ne uključuje članove iste obitelji?

Riješenje.

a) Redoslijed nije bitan:

C 8 3 = 8! / 3! 5! = 56

b) Izabrali smo dvije žene od dostupnih 4 C 4 2 načina i jednog muškarca od 4 C 4 1 načina. Prema pravilu proizvoda ( i muškarac, i dvije žene) imamo C 4 2 x C 4 1 \u003d 24.

c) 3 člana izaslanstva biramo iz četiri obitelji na četiri načina (jer je S 4 3 = 4! / 3!1! = 4). Ali u svakoj obitelji postoje dva načina izbora člana delegacije. Prema pravilu proizvoda C 4 3 x2x2x2 \u003d 4x8 \u003d 32.

Zadatak 8. Fakultet ima 2000 studenata. Može li se tvrditi da barem dvojica imaju iste inicijale te imena i prezimena?

Riješenje.

U ruskoj abecedi postoje 33 slova, od kojih se ʺ, ʹ, y, j ne mogu koristiti, pa je n = 33-4 = 29. Svako od 29 slova može biti početno i Ime, i prezimena. Prema pravilu proizvoda 29x29 = 841< 2000. Значит может быть лишь 841 razne opcije, a među 2000 studenata sigurno će biti slučajnosti.

Rješenje: A(načini).

Zadatak 6.

Stranica albuma 6 slobodnih mjesta za fotografije.

Na koliko načina možete investirati u prazne prostore

a) 4 fotografije;

b) 6 fotografija.

Rješenje: a) A

Zadatak 7.

Koliko se troznamenkastih brojeva (bez ponavljanja znamenki u unosu broja) može sastaviti od brojeva 0,1,2,3,4,5 i 6?

Objašnjenje: ako među sedam znamenki nema nule, tada je broj troznamenkastih brojeva koji se mogu sastaviti od tih znamenki jednak broju rasporeda 7 elemenata od 3 A . Međutim, među tih sedam brojeva postoji znamenka 0, koja ne može započeti troznamenkastim brojem. Dakle, iz rasporeda 7 elemenata po 3 potrebno je isključiti one čiji je prvi element broj 0. Njihov broj je jednak broju postavljanja 6 elemenata po 2.

Dakle, željeni broj je: A
.

Rješenje: A

Zadatak 8.

Od troznamenkastih brojeva napisanih brojevima 1,2,3,4,5,6,7,8,9 (bez ponavljanja brojeva) koliko ih je u kojima: a) brojevi 6 i 7 ne pojaviti se;

b) je li broj 8 posljednji?

Rješenje: a) A

b) A

Zadatak 9.

Koliko ima sedmeroznamenkastih telefonskih brojeva kod kojih su sve znamenke različite, a prva znamenka je različita od 0?

Rješenje: A

Sada pogledajmo ovaj zaplet:

Postoji 5 karanfila različitih boja. Označimo ih slovima. a , b , c , d , e . Potrebno je napraviti buket od tri karanfila.

Hajde da saznamo koji se buketi mogu napraviti.

Ako buket uključuje karanfil a, onda možete napraviti takve bukete:

Abc, abd, abc, acd, as, adc.

Ako u buketu nema karanfila a, a uključuje i karanfil b, onda možete dobiti takve bukete:

Bcd, bce, bdc.

Konačno, ako buket ne uključuje karanfil a,karanfil b, onda možete napraviti buket

cde.

Prikazali smo sve moguće načine sastavljanja buketa u kojima se na različite načine kombiniraju tri od ovih pet karanfila.

Kažu da se prave sve moguće kombinacije od 5 elemenata od 3.

Kombinacija od n elemenata s k je bilo koji skup sastavljen od k elemenata odabranih između zadanih n elemenata i označava se s

za razliku od plasmana, u kombinacijama nije važno kojim su redoslijedom navedeni elementi.

Dakle, primjer karanfila može se brzo riješiti ovako:

Rješenje: C

Zadatak 10.

Od 15 ljudi u turističkoj grupi potrebno je izabrati troje dežurnih. Na koliko načina se to može učiniti?

Rješenje: C

Zadatak 11.

Iz zdjele s voćem u kojoj se nalazi 9 jabuka i 6 krušaka potrebno je odabrati 3 jabuke i 2 kruške. Na koliko načina se to može učiniti?

Rješenje: mogu se izabrati 3 jabuke od 9 C načine. Uz svaki izbor jabuka, krušaka možete izabrati C načine. Dakle, prema pravilu množenja, izbor voća može biti C
načine.

Rješenje: C
=

Zadaci za popraviti.

Zadatak I.

U razredu ima 7 učenika koji se uspješno bave matematikom.

Na koliko se načina njih dvoje mogu izabrati za sudjelovanje na matematičkoj olimpijadi?

Rješenje: C

Zadatak II.

U laboratoriju koji ima voditelja i 10 zaposlenih, na službeni put mora biti upućeno 5 osoba.

Na koliko načina se to može učiniti ako:

a) voditelj laboratorija mora ići na službeni put;

b) upravitelj mora ostati.

Rješenje: a) C
b) C

Zadatak III.

U razredu je 16 dječaka i 12 djevojčica. Za čišćenje teritorija morate izdvojiti 4 dječaka i tri djevojčice.

Na koliko načina se to može učiniti?

Rješenje: C

Zadatak IV.

U knjižnici je čitatelju na izbor bilo ponuđeno 10 knjiga i 4 časopisa. Na koliko načina između njih može izabrati 3 knjige i 2 časopisa?

Rješenje: C
.

Kombinatorika je grana matematike koja se bavi rješavanjem problema izbora i rasporeda elemenata određenog skupa prema zadanim pravilima. Kombinatorika proučava kombinacije i permutacije objekata, raspored elemenata koji imaju zadana svojstva. uobičajeno pitanje u kombinatornim problemima: na koliko načina….

U kombinatorne probleme spadaju i problemi konstruiranja magičnih kvadrata, problemi dekodiranja i kodiranja.

Rođenje kombinatorike kao grane matematike povezuje se s radovima velikih francuskih matematičara 17. stoljeća Blaisea Pascala (1623. – 1662.) i Pierrea de Fermata (1601. – 1665.) o teoriji Kockanje. Ta su djela sadržavala principe za određivanje broja kombinacija elemenata konačnog skupa. Od 50-ih godina 20. stoljeća ponovno se oživljava interes za kombinatoriku zbog naglog razvoja kibernetike.

Osnovna pravila kombinatorike su pravilo zbroja i Pravilo djela.

Pravilo zbroja

Ako se može odabrati neki element A n načina, a element B se može izabrati m načina, tada se može napraviti izbor "ili A ili B". n+ m načine.

Na primjer, ako je na tanjuru 5 jabuka i 6 krušaka, tada se jedno voće može izabrati na 5 + 6 = 11 načina.

pravilo proizvoda

Ako se element A može izabrati n načina, a element B se može izabrati m načina, tada se može izabrati par A i B n m načine.

Na primjer, ako postoje 2 različite omotnice i 3 različite marke, tada postoji 6 načina za odabir omotnice i marke (2 3 = 6).

Pravilo proizvoda vrijedi i kada se razmatraju elementi nekoliko skupova.

Na primjer, ako postoje 2 različite omotnice, 3 različite marke i 4 različite razglednice, tada postoje 24 načina za odabir omotnice, marke i razglednice (2 3 4 = 24).

proizvod svega prirodni brojevi od 1 do uključivo n naziva se n - faktorijel i označava se simbolom n!

n! = 1 2 3 4 … n.

Na primjer, 5! = 1 2 3 4 5 = 120.

Na primjer, ako postoje 3 kuglice - crvena, plava i zelena, tada ih možete staviti u red na 6 načina (3 2 1 \u003d 3! \u003d 6).

Ponekad se kombinatorni problem rješava konstruiranjem drvo opcije .

Na primjer, riješimo prethodni problem s 3 lopte izgradnjom stabla.

Radionica rješavanja zadataka iz kombinatorike.

IZAZOVI i RJEŠENJA

1. U vazi je 6 jabuka, 5 krušaka i 4 šljive. Koliko izbora za jedno voće?

Odgovor: 15 opcija.

2. Koliko ima mogućnosti za kupnju jedne ruže ako prodaju 3 grimizne, 2 grimizne i 4 žute ruže?

Odgovor: 9 opcija.

3. Pet cesta vodi iz grada A u grad B, a tri ceste vode iz grada B u grad C. Koliko putova kroz B vodi od A do C?

Odgovor: 15 načina.

4. Na koliko načina možete napraviti par od jednog samoglasnika i jednog suglasnika od slova riječi "marama"?

samoglasnici: a, o - 2 kom.
suglasnici: p, l, t, k - 4 kom.

Odgovor: 8 načina.

5. Koliko plesnih parova može biti sastavljeno od 8 dječaka i 6 djevojčica?

Odgovor: 48 parova.

6. U blagovaonici se nalaze 4 prva jela i 7 drugih jela. Koliko se različitih opcija ručka u dva slijeda može naručiti?

Odgovor: 28 opcija.

7. Koliko različitih dvoznamenkasti brojevi mogu se sastaviti pomoću brojeva 1, 4 i 7, ako se brojevi mogu ponavljati?

1 znamenka - 3 načina
2 znamenke - 3 načina
3. znamenka - 3 načina

Odgovor: 9 različitih dvoznamenkastih brojeva.

8. Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti pomoću brojeva 3 i 5 ako se brojevi mogu ponavljati?

1 znamenka - 2 načina
2 znamenke - 2 načina
3. znamenka - 2 načina

Odgovor: 8 različitih brojeva.

9. Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 1, 2, 3 ako se brojevi mogu ponavljati?

1 znamenka - 3 načina
2 znamenke - 4 načina

Odgovor: 12 različitih brojeva.

10. Koliko ima troznamenkastih brojeva u kojima su sve znamenke parne?

Parni brojevi su 0, 2, 4, 6, 8.

1 znamenka - 4 načina
2 znamenke - 5 načina
3 znamenke - 5 načina

Odgovor: Postoji 100 brojeva.

11. Koliko ima parnih troznamenkastih brojeva?

1 znamenka - 9 načina (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
2. znamenka - 10 načina (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9)
3. znamenka - 5 načina (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 5 = 450

Odgovor: Postoji 450 brojeva.

12. Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti od tri razni brojevi 4, 5, 6?

1 znamenka - 3 načina
2 znamenke - 2 načina
3 znamenke - 1 način

Odgovor: 6 različitih brojeva.

13. Na koliko načina se vrhovi trokuta mogu označiti slovima A, B, C, D?

1 vrh - 4 načina
2 vrha - 3 načina
3 vrha - 2 načina

Odgovor: 24 načina.

14. Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 2, 3, 4, 5, s tim da se niti jedan broj ne ponavlja?

1 znamenka - 5 načina
2 znamenke - 4 načina
3. znamenka - 3 načina

Odgovor: 60 različitih brojeva.

15. Koliko se različitih troznamenkastih brojeva manjih od 400 može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9 ako se bilo koji od tih brojeva može upotrijebiti samo jednom?

1 znamenka - 2 načina
2 znamenke - 4 načina
3. znamenka - 3 načina

Odgovor: 24 različita broja.

16. Na koliko se načina zastava može sastaviti od tri vodoravne pruge različitih boja ako postoji materijal od šest boja?

1 traka - 6 smjerova
2 trake - 5 smjerova
3 trake - 4 smjera

Odgovor: 120 načina.

17. Iz razreda izaberite 8 osoba sa vrhunski rezultati u bijegu. Na koliko načina mogu formirati tim od troje ljudi sudjelovati u štafeti?

1 osoba - 8 načina
2 osobe - 7 načina
3 osobe - 6 načina

Odgovor: 336 načina.

18. U četvrtak bi u prvom razredu trebala biti četiri sata: pisanje, čitanje, matematika i tjelesni odgoj. Koliko različitih rasporeda možete napraviti za taj dan?

1 lekcija - 4 načina
Lekcija 2 - 3 načina
Lekcija 3 - 2 načina
Lekcija 4 - 1 način

4 3 2 1 = 24

Odgovor: 24 opcije.

19. U petom razredu obrađuje se 8 predmeta. Koliko se različitih rasporeda može napraviti za ponedjeljak ako taj dan ima 5 lekcija i sve su lekcije različite?

1 lekcija - 8 opcija
Lekcija 2 - 7 opcija
Lekcija 3 - 6 opcija
Lekcija 4 - 5 opcija
Lekcija 5 - 4 opcije

8 7 6 5 4 = 6720

Odgovor: 6720 opcija.

20. Šifra za sef sastoji se od pet različitih brojeva. Koliko različitih šifri postoji?

1 znamenka - 5 načina
2 znamenke - 4 načina
3. znamenka - 3 načina
4 znamenke - 2 načina
5 znamenki - 1 način

5 4 3 2 1 = 120

Odgovor: 120 opcija.

21. Na koliko se načina može 6 ljudi smjestiti za stol sa 6 pribora za jelo?

6 5 4 3 2 1 = 720

Odgovor: 720 načina.

22. Koliko se varijanti sedmeroznamenkastih telefonskih brojeva može napraviti ako se iz njih izuzmu brojevi koji počinju s nula i 9?

1 znamenka - 8 načina
2 znamenke - 10 načina
3 znamenke - 10 načina
4 znamenke - 10 načina
5. figura - 10 načina
6 znamenki - 10 načina
7. figura - 10 načina

8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000

Odgovor: 8.000.000 opcija.

23. Telefonska centrala opslužuje pretplatnike čiji se telefonski brojevi sastoje od 7 znamenki i počinju na 394. Za koliko je pretplatnika predviđena ova stanica?

broj telefona 394

10 10 10 10 = 10.000

Odgovor: 10 000 pretplatnika.

24. Postoji 6 pari rukavica u različitim veličinama. Na koliko se načina od njih može odabrati jedna rukavica? lijeva ruka i jedna rukavica desna ruka tako da ove rukavice dolaze u različitim veličinama?

Lijeve rukavice - 6 načina
Desne rukavice - 5 načina (6 rukavica je iste veličine kao i lijeva)

Odgovor: 30 načina.

25 . Od brojeva 1, 2, 3, 4, 5 sastavljeni su peteroznamenkasti brojevi u kojima su svi brojevi različiti. Koliko Parni brojevi?

5 znamenki - 2 načina (dvije parne znamenke)
4 znamenke - 4 načina
3. znamenka - 3 načina
2 znamenke - 2 načina
1 znamenka - 1 način

2 4 3 2 1 = 48

Odgovor: 48 parnih brojeva.

26. Koliko ima četveroznamenkastih brojeva koji su sastavljeni od neparnih znamenki i djeljivi su s 5?

Neparni brojevi - 1, 3, 5, 7, 9.
Od toga su podijeljeni u 5 - 5.

4 znamenke - 1 način (broj 5)
3 znamenke - 4 načina
2 znamenke - 3 načina
1 znamenka - 2 načina

1 4 3 2 = 24

Odgovor: 24.

27. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva u kojima je treća znamenka 7, a zadnja parna?

1 znamenka - 9 načina (svi osim 0)
2 znamenke - 10 načina
3 znamenke - 1 način (broj 7)
4 znamenke - 10 načina
5. znamenka - 5 načina (0, 2, 4, 6, 8)

9 10 1 10 5 = 4500

Odgovor: 4500 brojeva.

28. Koliko ima šesteroznamenkastih brojeva kojima je druga znamenka 2, četvrta 4, šesta 6, a sve ostale su neparne?

1 znamenka - 5 opcija (od 1, 3, 5, 7, 9)
2 znamenke - 1 opcija (broj 2)
3. znamenka - 5 opcija
4 znamenke - 1 opcija (broj 4)
5 znamenki - 5 opcija
6 znamenki - 1 opcija (broj 6)

5 1 5 1 5 1 = 125

Odgovor: 125 brojeva.

29. Koliko se različitih brojeva manjih od milijun može napisati pomoću brojeva 8 i 9?

Jednoznamenkasto - 2
Dvoznamenkasti - 2 2 \u003d 4
Troznamenkasti - 2 2 2 \u003d 8
Četveroznamenkasti - 2 2 2 2 \u003d 16
Peteroznamenkasti - 2 2 2 2 2 = 32
Šesteroznamenkasto - 2 2 2 2 2 2 = 64

Ukupno: 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 126

Odgovor: 126 brojeva.

30. U nogometnom timu ima 11 ljudi. Treba izabrati kapetana i njegovog zamjenika. Na koliko načina se to može učiniti?

Kapetan - 11 načina
Zamjenik - 10 načina

Odgovor: 110 načina.

31. U razredu je 30 ljudi. Na koliko se načina između njih može izabrati upravitelj i upravitelj karata?

Glavar - 30 načina
Odgovor. za karte - 29 načina

Odgovor: 870 načina.

32. U akciji sudjeluje 12 dječaka, 10 djevojčica i 2 učiteljice. Koliko se opcija za dežurne grupe od tri osobe (1 dječak, 1 djevojčica, 1 učitelj) može napraviti?

12 10 2 = 240

Odgovor: 240 načina.

33. Koliko kombinacija četiri slova ruske abecede (u abecedi ima samo 33 slova) može biti napravljeno, pod uvjetom da su 2 susjedna slova različita?

Metodički razvoj lekcije iz matematike u 5. razredu

Kozhokar Irina Evgenievna, učiteljica matematike.

GBOU srednja škola br. 354 u St. Petersburgu

Tema lekcije: Upoznajte kombinatoriku!

Svrha lekcije: formulirati početne vještine kombinatornih problema nabrajanjem mogućih opcija.

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

Razvijanje sposobnosti rješavanja kombinatornih zadataka metodom potpunog nabrajanja opcija;
Razvijanje sposobnosti primjene matematička teorija u specifičnim situacijama;
Upoznavanje učenika s elementima humanitarnih znanja vezanih uz matematiku.

U razvoju:

Razvijanje sposobnosti samostalnog odabira načina odlučivanja i sposobnosti obrazloženja izbora;
Razvoj sposobnosti rješavanja problema samo logičkim zaključivanjem;
Razvijanje sposobnosti izbora racionalnog načina kodiranja;
Razvoj komunikacije i kreativnost učenicima.

Obrazovni:

Razviti osjećaj odgovornosti za kvalitetu i rezultat obavljenog posla;
usaditi svjestan stav raditi;

Formirajte odgovornost za konačni rezultat.

Oprema:

interaktivna ploča;
brošura (pruge u boji: bijela, plava, crvena);
kartice sa zadacima.

Tijekom nastave.

Organiziranje vremena.
Učenje novog gradiva.
Praktični dio.
Odraz
Obilježava
Domaća zadaća

Organiziranje vremena.

Učitelj, nastavnik, profesor: Bok dečki!

Vrlo često u životu morate napraviti izbor, donijeti odluku. To je vrlo teško učiniti, ne zato što nema izbora, već zato što morate birati između mnogo mogućih opcija, razne načine, kombinacije. I uvijek želimo da ovaj izbor bude optimalan.

Zadaci koje ćemo danas rješavati pomoći će vam da stvarate, razmišljate neobično, na originalan način, vidite ono pored čega ste često prolazili ne primijetivši.

I danas ćemo se još jednom pobrinuti da naš svijet bude pun matematike i nastaviti istraživanje kako bismo identificirali matematiku oko nas.

Aktualizacija teme i motivacija.

Riješimo problem broj 1,

1. zadatak . Četiri tipa stoje na blagajni kina. Dvije od njih imaju novčanice od stotinu rubalja, druge dvije imaju novčanice od pedeset rubalja.(Učitelj proziva 4 učenika za ploču i dijeli im modele novčanica).Ulaznica za kino košta 50 rubalja. Na početku prodaje blagajna je prazna.(Učitelj zove "blagajnika" i daje mu "karte"). Kako da se momci poslože da nitko ne mora čekati predaju?

Igramo scenu uz pomoć koje možemo pronaći dva moguća rješenja:

50 rubalja, 100 rubalja, 50 rubalja, 100 rubalja;
50 rubalja, 50 rubalja, 100 rubalja, 100 rubalja (slajd br. 2 i br. 3).

Zadatak #2 . Nekoliko je zemalja odlučilo koristiti za svoje državna zastava simbolizam u obliku tri vodoravne pruge iste širine različite boje- bijela, plava, crvena. Koliko država može koristiti takve simbole, s tim da svaka država ima svoju zastavu?

(Učenici dobivaju pruge u boji (bijelu, plavu, crvenu) i pozivaju ih da sastavljaju različite varijante zastave? (Slajd broj 4)

Učenje novog gradiva.

Učitelj, nastavnik, profesor: U rješavanju ovih problema izvršili smo nabrajanje svih mogućih opcija,

ili, kako se obično kaže u ovim slučajevima, sve moguće kombinacije. Stoga se takvi problemi nazivaju kombinatorni. U životu je sasvim uobičajeno računati moguće (ili nemoguće) opcije, pa je korisno upoznati se s kombinatoričkim problemima, a dio matematike koji se bavi rješavanjem tih problema naziva se kombinatorika. (Slajd broj 5)

Učenici zapisuju definiciju u bilježnicu:

Kombinatorika je grana matematike posvećena rješavanju problema izbora i rasporeda zadanih elemenata prema zadanim pravilima

Uobičajeno pitanje u kombinatornim problemima je "Na koliko načina…?" ili

« Koliko opcija…?»

Učitelj, nastavnik, profesor : Vratimo se problemu zastava, riješimo ga nabrajanjem mogućih opcija: (slajd broj 7)

KBS KSB

BSC BCS

SBC SKB

Odgovor: 6 opcija.

Dakle, prilikom rješavanja ovog problema, tražili smo način da nabrojimo moguće opcije. U

u mnogim slučajevima ispada koristan prijem konstruiranje slike - shema za nabrajanje opcija. Ovo je, prije svega, ilustrativno Drugo, omogućuje nam da sve uzmemo u obzir, da ništa ne propustimo.

Zastavica odluke

Varijante BSK, BKS, SBC, SKB, KBS, KSB.

Odgovor: 6 opcija.

Pitanje, odgovor na koji bi svi trebali znati, koja je od predstavljenih opcija zastave državna zastava Ruske Federacije. (Slajd br. 7)

Ispostavilo se da ne samo zastava Rusije ima ove tri boje. Postoje države čije zastave imaju iste boje.

KBS - Luksemburg,

Nizozemska.

Francuska SKB

Učitelj, nastavnik, profesor: Pronađimo pravilo za rješavanje takvih problema logičkim zaključivanjem.

Pogledajmo primjer pruga u boji. Uzmimo bijelu traku - može se presložiti 3 puta, uzmimo plavu traku - može se presložiti samo 2 puta, jer jedno od mjesta već je zauzeto bijelim, uzmite crvenu traku - može se staviti samo 1 put.

UKUPNO: 3 x 2 x 1=6

Osnovno pravilo proizvoda:

Pravilo množenja: ako se prvi element u kombinaciji može izabrati na a načina, onda drugi element na b načina, tada ukupni broj kombinacije će biti jednake a x b. (slajd broj 8)

Tjelesni odgoj za oči. (slajd broj 9)

Oblici vježbi.

Nacrtajte svojim očima kvadrat, krug, trokut, oval, romb u smjeru kazaljke na satu, a zatim suprotno.

Praktični dio

Učitelj, nastavnik, profesor: Sada prijeđimo na matematički problemi. (dijele kartice sa zadacima)

Jedan prilično poznati mušketir u svom ormaru ima 3 elegantna šešira, 4 prekrasna ogrtača i 2 para izvrsnih čizama. Koliko opcija kostima može napraviti? (Biramo jedan element iz tri skupa, odnosno sastavljamo „trojku“, što znači da prema pravilu množenja dobivamo 3 4 2 = 24 opcije kostima.)
U nogometnom timu je 11 ljudi. Potrebno je izabrati kapetana i njegovog zamjenika. Na koliko načina se to može učiniti? (Ukupno je 11 ljudi, što znači da se kapetan može birati na 11 načina, ostalo je 10 igrača od kojih možete izabrati zamjenika kapetana. Dakle, par kapetana i njegovog zamjenika možete birati na 11 10 \u003d 110 načina.)
Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti pomoću brojeva 1, 4, 7, ako je dopušteno ponavljanje brojeva? (Trebali biste dobiti dvoznamenkasti broj - samo dvije pozicije. Na prvu poziciju možete staviti bilo koji od predloženih brojeva - 3 izbora, na drugu poziciju, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja broja, također postoje 3 Dakle, napravimo par brojeva 3 3 = 9 načina, tj. dobijemo 9 brojeva.
Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti od znamenki 1, 2, 3, 4, 5 s tim da se nijedna znamenka ne ponavlja? ( troznamenkasti broj: prva pozicija - 5 opcija za brojeve, druga pozicija, uzimajući u obzir isključenje ponavljanja brojeva - 4 opcije, treća pozicija - 3 opcije. Dobivamo 5 4 3 = 60 brojeva.)
Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 1, 2, 3, ako se brojevi: a) mogu ponavljati; b) ne može se ponoviti? (a) Dvoznamenkasti broj, kao ni svaki višeznamenkasti broj, ne može započeti s 0, dakle, samo 3 od raspoložive 4 znamenke, 3 izbora mogu se staviti na prvo mjesto, bilo koji od brojeva može se staviti u druga pozicija, uzimajući u obzir ponavljanje - 4 izbora. Dakle, ispada 3 4 \u003d 12 brojeva; b) Prva pozicija - 3 opcije, druga pozicija - 3 opcije, jer ponavljanje je isključeno. Dobivamo 3 3 = 9 brojeva.)
Šifra za sef sastoji se od pet različitih brojeva. Koliko različitih šifri postoji? (5 4 3 2 1 = 120 opcija.) Na koliko načina 6 ljudi može sjediti za stolom sa 6 pribora za jelo? (6 5 4 3 2 1 = 720 načina.)
6 aparata? (6 5 4 3 2 1 = 720 načina.)
(8 7 6 5 4 = 6720 opcija.)
(Koriste se brojevi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - ukupno 10 znamenki, isključujući 0 i 9 na početku broja prema uvjetu, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja, dobivamo 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 brojeva.)

Odraz

Učitelj, nastavnik, profesor: Dečki, naša lekcija se bliži kraju. Mislite li da smo danas postigli naš cilj, zašto? Što je bilo teško u lekciji, kako se možete nositi s tim? Razmisli i daj sebi ocjenu za svoj rad i rad, stavi je sam, nitko od momaka neće vidjeti ovu ocjenu, pokušaj biti iskren prema sebi. Jeste li u potpunosti sudjelovali u lekciji? Što je potrebno učiniti za bolje rezultate?

Osim toga, studenti su pozvani da odgovore na 3 blitz pitanja:

U današnjoj lekciji sam imao ... (lako, obično, teško)
novi materijal Ja ... (naučio i mogu se prijaviti, naučio i teško se prijavim, nisam naučio)
Moja samoprocjena za lekciju ...

Odgovori na gornja pitanja ne mogu se potpisati, jer. njihova je glavna funkcija pomoći učitelju u analizi lekcije i njezinih rezultata

Sažimajući. Obilježava

7. Domaća zadaća:

1) Napravite zadatak o svom razredu

2) Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti simbole za svoju državnu zastavu u obliku 3 vodoravne pruge različitih širina, različitih boja - bijele, plave, crvene. Koliko država može koristiti takve simbole, s tim da svaka država ima svoju zastavu?

3) a) Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9?

b) Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9 s tim da se brojevi ne smiju ponavljati

Učitelj, nastavnik, profesor : Dakle, drago mi je što sam vas upoznao, zanimajte se za matematiku, to će se nesumnjivo odraziti na pozitivna strana u svojim mislima i djelima. Doviđenja

Književnost:

E.A. Bunimovich, V.A. Bulychev. Vjerojatnost i statistika u matematici Srednja škola: predavanja 1-4, 5 - 8. - M .: Pedagoško sveučilište“Prvi rujan”, 2006.

Vilenkin N.Ya. Matematika. 5. razred: udžbenik za opće obrazovanje. institucije / N. Ya. Vilenkin i dr. - M .: Mnemozina, 2009.

Smykalova E.V. Dodatna poglavlja iz matematike za učenike 5. razreda. Sankt Peterburg: SMIO. Press, 2006. (monografija).

5. razred "Matematika-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovič, 2004. (monografija).

Zadaci (kartice)

Jedan prilično poznati mušketir u svom ormaru ima 3 elegantna šešira, 4 prekrasna ogrtača i 2 para izvrsnih čizama. Koliko opcija kostima može napraviti?
U nogometnom timu je 11 ljudi. Potrebno je izabrati kapetana i njegovog zamjenika. Na koliko načina se to može učiniti?
Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti pomoću brojeva 1, 4, 7, ako je dopušteno ponavljanje brojeva
Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti od znamenki 1, 2, 3, 4, 5 s tim da se nijedna znamenka ne ponavlja?
Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 1, 2, 3, ako se brojevi: a) mogu ponavljati; b) ne može se ponoviti?
Šifra za sef sastoji se od pet različitih brojeva. Koliko različitih šifri postoji?
Na koliko se načina za stol može smjestiti 6 ljudi 6 aparata?
U petom razredu izučava se 8 predmeta. Koliko se različitih rasporeda može napraviti za ponedjeljak ako ovaj dan treba imati 5 lekcija i sve su lekcije različite?
Koliko se varijanti sedmeroznamenkastih telefonskih brojeva može formirati ako se iz njih izuzmu brojevi koji počinju s 0 i 9?

Odgovori

Odaberemo jedan element iz tri skupa, odnosno sačinimo „trojku“, što znači da, prema pravilu množenja, dobijemo 3 4 2 = 24 opcije kostima.
Ukupno je 11 ljudi, što znači da se kapetan može birati na 11 načina, ostalo je 10 igrača od kojih možete izabrati dokapetana. Dakle, par, kapetan i njegov zamjenik, mogu se izabrati na 11 10 = 110 načina.
Trebali biste dobiti dvoznamenkasti broj - samo dvije pozicije. Na prvom mjestu možete staviti bilo koji od predloženih brojeva - 3 izbora, na drugom mjestu, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja broja, također postoje 3 izbora. To znači da par znamenki sastavljamo na 3 3 = 9 načina, tj. dobijete 9 brojeva.
Troznamenkasti broj: prva pozicija - 5 opcija za brojeve, druga pozicija, uzimajući u obzir isključenje ponavljanja brojeva, - 4 opcije, treća pozicija - 3 opcije. Dobivamo 5 4 3 = 60 brojeva.
(a) Dvoznamenkasti broj, kao ni svaki višeznamenkasti broj, ne može započeti s 0, dakle, samo 3 od raspoložive 4 znamenke, 3 izbora mogu se staviti na prvo mjesto, bilo koji od brojeva može se staviti u druga pozicija, uzimajući u obzir ponavljanje - 4 izbora. Dakle, ispada 3 4 \u003d 12 brojeva; b) Prva pozicija - 3 opcije, druga pozicija - 3 opcije, jer ponavljanje je isključeno. Dobivamo 3 3 = 9 brojeva.
5 4 3 2 1 = 120 opcija.
6 5 4 3 2 1 = 720 načina
8 7 6 5 4 = 6720 opcija
Koriste se brojevi 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 - ukupno 10 znamenki, isključujući 0 i 9 na početku broja prema uvjetu, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja , dobivamo 8 10 10 10 10 10 10 = 8 000 000 brojeva.

Pregled:

2. zadatak Odgovor: Ukupno je 6 mogućih opcija. Ovu zastavu može koristiti 6 zemalja. Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Kombinatorika je grana matematike posvećena rješavanju problema odabira i rasporeda zadanih elemenata prema zadanim pravilima. Uobičajeno pitanje u kombinatoričkim problemima je "Na koliko načina ...?" ili "Koliko opcija...?" Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Nekoliko zemalja odlučilo je za svoje nacionalne zastave koristiti simbole u obliku tri horizontalne pruge iste širine u različitim bojama - bijela, plava, crvena. Koliko država može koristiti takve simbole, s tim da svaka država ima svoju zastavu? Nabrajanje mogućih varijanti KBS KSB BSK BKS SBK SKB Odgovor: 6 opcija. Shema nabrajanja opcija Zastava Kozhokari I.Ye. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Zastava Nizozemske Zastava Luksemburga Zastava Francuske Ne samo da zastava Rusije ima ove tri boje. Postoje države čije zastave imaju iste boje Zastava Rusije Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Pravilo proizvoda (odabir para nekoliko elemenata) Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Tjelesni odgoj za oči Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Zadaci 1) Jedan prilično poznati mušketir u svom ormaru ima 3 elegantna šešira, 4 prekrasna ogrtača i 2 para izvrsnih čizama. Koliko opcija kostima može napraviti? 2) U nogometnom timu ima 11 ljudi. Potrebno je izabrati kapetana i njegovog zamjenika. Na koliko načina se to može učiniti? 3) Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 4, 7, ako je dopušteno ponavljanje brojeva 4) Koliko se različitih troznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 2, 3, 4 , 5, pod uvjetom da se nijedan broj ne ponavlja? 5) Koliko se različitih dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 0, 1, 2, 3, ako se brojevi: a) mogu ponavljati; b) ne može se ponoviti? 6) Šifra za sef sastoji se od pet različitih brojeva. Koliko različitih šifri postoji? 7) Na koliko načina može 6 ljudi sjediti za stolom sa 6 pribora za jelo? 8) U petom razredu izučava se 8 predmeta. Koliko se različitih rasporeda može napraviti za ponedjeljak ako ovaj dan treba imati 5 lekcija i sve su lekcije različite? 9) Koliko se varijanti sedmeroznamenkastih telefonskih brojeva može formirati ako se iz njih izuzmu brojevi koji počinju s 0 i 9? Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

5) (a) Dvoznamenkasti broj, kao ni svaki višeznamenkasti broj, ne može započeti s 0, dakle, samo 3 od raspoložive 4 znamenke, 3 izbora mogu se staviti na prvo mjesto, bilo koja od znamenki - 4 izbora . Dakle, ispada 3 4 \u003d 12 brojeva; b) Prva pozicija - 3 opcije, druga pozicija - 3 opcije, jer ponavljanje je isključeno. Dobivamo 3 3 = 9 brojeva. 6) 5 4 3 2 1 = 120 opcija. 7) 6 5 4 3 2 1 = 720 načina 8) 8 7 6 5 4 = 6720 opcija po uvjetu 0 i 9 na početku broja, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja, dobivamo 8 10 10 10 10 10 10 = 8.000.000 brojeva dobivamo 3 4 2 = 24 opcije kostima. 2) Ukupno je 11 osoba, što znači da se kapetan može birati na 11 načina, ostalo je 10 igrača od kojih možete izabrati dokapetana. Dakle, par, kapetan i njegov zamjenik, mogu se izabrati na 11 10 = 110 načina. 3) Trebali biste dobiti dvoznamenkasti broj - samo dvije pozicije. Na prvom mjestu možete staviti bilo koji od predloženih brojeva - 3 izbora, na drugom mjestu, uzimajući u obzir mogućnost ponavljanja broja, također postoje 3 izbora. To znači da par znamenki sastavljamo na 3 3 = 9 načina, tj. dobijete 9 brojeva. 4) Troznamenkasti broj: prva pozicija - 5 opcija za brojeve, druga pozicija, uzimajući u obzir isključenje ponavljanja brojeva, - 4 opcije, treća pozicija - 3 opcije. Dobivamo 5 4 3 = 60 brojeva. Odgovori Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Blitz anketa Na današnjem satu sam bio ... (lako, obično, teško) Ja ... (naučio i mogu primijeniti, naučio i teško se primjenjuje, nisam naučio) Moja samoprocjena za sat ... Odgovori na gornja pitanja ne mogu se potpisati Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Domaća zadaća Napiši problem o svom razredu Nekoliko zemalja odlučilo je koristiti simbole u obliku 3 vodoravne pruge različitih širina, različitih boja - bijele, plave, crvene za svoju državnu zastavu. Koliko država može koristiti takve simbole, s tim da svaka država ima svoju zastavu? a) Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9? b) Koliko se dvoznamenkastih brojeva može sastaviti od brojeva 1, 3, 5, 7, 9, s tim da se brojevi ne smiju ponavljati Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Dobro napravljeno! Hvala na lekciji Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg

Kozhokar I.E. GBOU srednja škola br. 354 St. Petersburg