Laat de functie z - f(x, y) gedefinieerd zijn in een domein D en laat Mo(xo, y0) een inwendig punt van dit domein zijn. Definitie. Als er zo'n getal bestaat dat de ongelijkheid geldt voor allen die aan de voorwaarden voldoen, dan heet het punt Mo(xo, yo) het punt van lokaal maximum van de functie f(x, y); als echter voor alle Dx, Du voldoet aan de voorwaarden | dan wordt het punt Mo(x0, y0) een fijn lokaal minimum genoemd. Met andere woorden, het punt M0(x0, y0) is het punt van maximum of minimum van de functie f(x, y) als er een 6-buurt van het punt A/o(x0, y0) bestaat zodat helemaal punten M(x, y) van deze buurt, de toename van de functie behoudt teken. Voorbeelden. 1. Voor een functie is een punt een minimumpunt (Fig. 17). 2. Voor de functie is het punt 0(0,0) het maximale punt (Fig. 18). 3. Voor de functie is het punt 0(0,0) het lokale maximumpunt. 4 Er is inderdaad een omgeving van het punt 0(0, 0), bijvoorbeeld een cirkel met straal j (zie Fig. 19), op elk punt waarvan, anders dan het punt 0(0, 0), de waarde van de functie f(x, y) kleiner dan 1 = We zullen alleen punten van strikt maximum en minimum van functies beschouwen wanneer de strikte ongelijkheid of strikte ongelijkheid geldt voor alle punten M(x) y) van een of andere geperforeerde 6-buurt van het punt Mq. De waarde van de functie op het maximumpunt wordt het maximum genoemd en de waarde van de functie op het minimumpunt wordt het minimum van deze functie genoemd. De maximale en minimale punten van een functie worden de extremumpunten van de functie genoemd, en de maxima en minima van de functie zelf worden de extrema genoemd. Stelling 11 (noodzakelijke voorwaarde voor een extremum). If functie Extremum van een functie van meerdere variabelen Het concept van een extremum van een functie van meerdere variabelen. Noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor een extremum Voorwaardelijk extremum De grootste en kleinste waarden van continue functies hebben een extremum op het punt dan op dit punt verdwijnt elke partiële afgeleide en u ofwel verdwijnt of bestaat niet. Laat de functie z = f(x) y) een extremum hebben in het punt M0(x0, y0). Laten we de variabele y de waarde yo geven. Dan zal de functie z = /(x, y) een functie zijn van één variabele x\ Omdat bij x = xo het een extremum heeft (maximum of minimum, Fig. 20), dan is de afgeleide naar x = “o, | (*o,l>)" Is gelijk aan nul, of bestaat niet. Op dezelfde manier verifiëren we dat) of is gelijk aan nul, of bestaat niet. Punten waarbij = 0 en u = 0 of niet bestaan, worden genoemd kritische punten van de functie z = Dx, y. De punten waarop $£ = u = 0 worden ook stationaire punten van de functie genoemd. Stelling 11 drukt alleen noodzakelijke voorwaarden voor een extremum uit, die niet voldoende zijn. 18 Fig.20 immt derivaten die verdwijnen bij. Maar deze functie is nogal dun op het imvat "straumum. Inderdaad, de functie is gelijk aan nul op het punt 0(0, 0) en neemt de punten M(x, y) aan, zo dicht bij het punt 0(0, 0) als je wilt, kkk positieve en negatieve waarden. Daarvoor, dus op punten op punten (0, y) voor willekeurig kleine punten, wordt het punt 0(0, 0) van dit type een mini-max-punt genoemd (Fig. 21). Voldoende voorwaarden voor een extremum van een functie van twee variabelen worden uitgedrukt door de volgende stelling. Stelling 12 (voldoende voorwaarden voor een extremum van vage variabelen). Laat het punt Mo(xo, y0) een stationair punt zijn van de functie f(x, y), en in een bepaalde buurt van het punt / inclusief het punt Mo zelf, heeft de functie f(r, y) continue partiële afgeleiden naar boven tot de tweede orde inclusief. Dan "1) in het punt Mq(xq, V0) heeft de functie f(x, y) een maximum als de determinant op dit punt ligt 2) in het punt Mo(x0, V0) de functie f(x, y) heeft een minimum als op punt Mo(xo, yo) de functie f(x, y) geen extremum heeft als D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо> Wo) het extremum van de functie f(x, y) kan al dan niet zijn. In dit geval is verder onderzoek nodig. We beperken ons tot het bewijzen van beweringen 1) en 2) van de stelling. Laten we de Taylor-formule van de tweede orde schrijven voor de functie /(i, y): waar. Door aanname, waaruit duidelijk is dat het teken van de toename D/ wordt bepaald door het teken van de trinominaal aan de rechterkant van (1), d.w.z. het teken van de tweede differentiaal d2f. Laten we kortheidshalve aanduiden. Dan kan gelijkheid (l) als volgt worden geschreven: Laat in het punt MQ(so, y0) de buurt van het punt M0(s0,yo) liggen. Als aan de voorwaarde (in het punt A/0) is voldaan, en vanwege continuïteit, behoudt de afgeleide /,z(s, y) zijn teken in een bepaalde buurt van het punt Af0. In het gebied waar A ∆ 0, we hebben 0 in een bepaalde buurt van het punt M0(x0) y0), dan valt het teken van de trinominaal AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 samen met het teken A in het punt C kan geen ander teken hebben). Aangezien het teken van de som AAs2 + 2BAxAy + CAy2 op het punt (s0 + $ Ax, yo + 0 Dy) het teken van het verschil bepaalt, komen we tot de volgende conclusie: als de functie f(s, y) bij de stationair punt (s0, yo) voldoet aan de voorwaarde, dan voor voldoende klein || ongelijkheid zal blijven. Dus op het punt (sq, y0) heeft de functie /(s, y) een maximum. Maar als aan de voorwaarde is voldaan op het stationaire punt (s0, yo), dan is |Ar| . voor alles voldoende klein en |Do| de ongelijkheid is waar, wat betekent dat de functie /(s, y) een minimum heeft op het punt (dus, yo). Voorbeelden. 1. Onderzoek de functie 4 voor een extremum Met behulp van de noodzakelijke voorwaarden voor een extremum zoeken we naar stationaire punten van de functie. Om dit te doen, vinden we de partiële afgeleiden, u en stellen ze gelijk aan nul. We krijgen een stelsel vergelijkingen waarvan - een stationair punt. Laten we nu Stelling 12 gebruiken. We hebben dus een extremum op het punt Ml. Omdat dit het minimum is. Als we de functie g transformeren naar de vorm, dan is het gemakkelijk in te zien dat de rechterkant ("")" minimaal zal zijn wanneer dit het absolute minimum is van deze functie. 2. Onderzoek de functie voor een extremum We vinden de stationaire punten van de functie, waarvoor we een stelsel vergelijkingen opstellen Vanaf hier zodat het punt stationair is. Aangezien er op grond van Stelling 12 geen extremum is op het punt M. * 3. Onderzoek de functie voor een extremum. Vind de stationaire punten van de functie. Uit het stelsel vergelijkingen halen we dat, zodat het punt stationair is. Verder hebben we zo dat Stelling 12 geen antwoord geeft op de vraag naar de aan- of afwezigheid van een extremum. Laten we het op deze manier doen. Voor een functie over alle punten anders dan een punt zodat per definitie op het punt A/o(0,0) de functie r een absoluut minimum heeft. Door analoog drogen stellen we vast dat de functie een maximum heeft op het punt, maar de functie geen extremum heeft op het punt. Laat een functie van η onafhankelijke variabelen differentieerbaar zijn in een punt Het punt Mo wordt een stationair punt van de functie genoemd als Stelling 13 (voldoende voorwaarden voor een extremum). Laat de functie gedefinieerd zijn en continue partiële afgeleiden van de tweede orde hebben in een bepaalde buurt van de fijne lijn Mc(xi..., wat een stationaire fijne functie is, als de kwadratische vorm (het tweede differentieel van de functie f in de fijne lijn punt is positief-bepaald (negatief-bepaald), punt van minimum (respectievelijk fijn maximum) van de functie f is fijn Als de kwadratische vorm (4) teken-alternerend is, dan is er geen extremum in de fijne LG0.15.2 Conditioneel extremum Tot nu toe hebben we ons beziggehouden met het vinden van lokale extrema van een functie in het hele domein van zijn definitie, wanneer de functieargumenten niet zijn gebonden aan aanvullende voorwaarden. Laat de functie z \u003d / (x, y) worden gedefinieerd in het gebied D. Laten we aannemen dat de curve L in dit gebied wordt gegeven, en het is noodzakelijk om alleen de extrema van de functie f (x> y) te vinden onder die van zijn waarden die overeenkomen met de punten van de curve L. Dezelfde extrema worden de voorwaardelijke extrema van de functie z = f(x) y) op de curve L genoemd. Definitie Er wordt gezegd dat op een punt dat ligt op de kromme L heeft de functie f(x, y) een voorwaardelijk maximum (minimum) als aan de ongelijkheid is voldaan, respectievelijk op alle punten M (s, y) kromme L behorend tot een bepaalde buurt van het punt M0(x0, Yo) en verschillend van het punt M0 (Als de kromme L wordt gegeven door een vergelijking, dan is het probleem van het vinden van het voorwaardelijke extremum van de functie r - f(x, y) op de kromme! kan als volgt worden geformuleerd: vind de extrema van de functie x = /(z, y) in het gebied D, op voorwaarde dat Dus bij het vinden van de conditionele extrema van de functie z = y), kunnen de argumenten zn niet meer worden overwogen als onafhankelijke variabelen: ze zijn met elkaar verbonden door de relatie y ) = 0, die de beperkingsvergelijking wordt genoemd. Om het verschil tussen m «* D y als een onvoorwaardelijk en een voorwaardelijk extremum te verduidelijken, laten we een ander voorbeeld bekijken, het onvoorwaardelijke maximum van de functie (Fig. 23) is gelijk aan één en wordt bereikt op het punt (0,0). Het komt exact overeen met M - het hoekpunt van de pvvboloïde. Laten we de beperkingsvergelijking y = j toevoegen. Dan is het conditionele maximum uiteraard gelijk en wordt bereikt in het punt (o, |), en komt overeen met het hoekpunt Afj van de pvvboloïde, dat is de snijlijn van de pvvboloïde met het vlak y = j. In het geval van een onvoorwaardelijk minimum s, hebben we de kleinste applicate van alle explicts van het oppervlak * = 1 - n;2 ~ y1; slumvv voorwaardelijk - alleen onder vllkvt-punten pvrboloidv, overeenkomend met een punt * van de rechte lijn y = j niet van het xOy-vlak. Een van de methoden voor het vinden van het conditionele extremum van een functie in de aanwezigheid en verbinding is als volgt. Laat de verbindingsvergelijking y) - O y definiëren als een enkelwaardige differentieerbare functie van het argument x: Als we de functie in plaats van y in de functie substitueren, krijgen we een functie van één argument waarin al rekening is gehouden met de verbindingsvoorwaarde . Het (onvoorwaardelijke) extremum van de functie is het gewenste conditionele extremum. Voorbeeld. Vind het extremum van een functie onder de voorwaarde Extremum van een functie van meerdere variabelen Het concept van een extremum van een functie van meerdere variabelen. Noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor een extremum Voorwaardelijk extremum De grootste en kleinste waarden van continue functies A Uit de verbindingsvergelijking (2") vinden we y \u003d 1-x. Als we deze waarde van y in (V) vervangen, krijgen we een functie van één argument x: we onderzoeken het voor een extremum: vanwaar x \u003d 1 - kritiek punt;, dus dat levert een voorwaardelijk minimum van de functie r op (Fig. 24). Laten we een andere manier aangeven om het probleem van voorwaardelijk op te lossen extremum, de Lagrange-multiplicatormethode genoemd. Laat er een punt van conditioneel extremum van de functie zijn in de aanwezigheid van een verbinding Laten we aannemen dat de verbindingsvergelijking een unieke continu differentieerbare functie definieert in een bepaalde buurt van het punt xi. Ervan uitgaande dat we verkrijg dat de afgeleide naar x van de functie /(r, ip(x)) in het punt xq gelijk moet zijn aan nul of, wat hiermee equivalent is, het differentieel van f (x, y) in het punt Mo "O) Uit de verbindingsvergelijking hebben we (5) Vervolgens verkrijgen we, vanwege de willekeur van dx, gelijkheden (6) en (7) die de noodzakelijke voorwaarden voor een onvoorwaardelijk extremum uitdrukken op een punt van een functie die de Lagrange-functie wordt genoemd. Dus het punt van het voorwaardelijke extremum van de functie / (x, y), als, is noodzakelijkerwijs een stationair punt van de Lagrange-functie waarbij A een numerieke coëfficiënt is. Hieruit verkrijgen we een regel voor het vinden van voorwaardelijke extrema: om punten te vinden die punten kunnen zijn van het absolute extremum van een functie in de aanwezigheid van een verbinding, 1) stellen we de Lagrange-functie samen, 2) gelijkstellen van de afgeleiden en W van deze functie op nul zetten en de verbindingsvergelijking toevoegen aan de resulterende vergelijkingen, krijgen we een stelsel van drie vergelijkingen waaruit we de waarden van A en de coördinaten x, y van mogelijke extremumpunten vinden. De vraag naar het bestaan ​​​​en de aard van het voorwaardelijke extremum wordt opgelost op basis van het bestuderen van het teken van het tweede differentieel van de Lagrange-functie voor het beschouwde systeem van waarden x0, Yo, A, verkregen uit (8) onder de voorwaarde dat Als, dan op het punt (x0, Yo) de functie f(x, y ) een voorwaardelijk maximum heeft; als d2F > 0 - dan het voorwaardelijke minimum. In het bijzonder, als op een stationair punt (xo, J/o) de determinant D voor de functie F(x, y) positief is, dan is er op het punt (®o, V0) een voorwaardelijk maximum van de functie /( x, y) als, en voorwaardelijk minimum van de functie /(x, y), als Voorbeeld. Laten we teruggaan naar de voorwaarden van het vorige voorbeeld: zoek het extremum van de functie op voorwaarde dat x + y = 1. We zullen het probleem oplossen met behulp van de Lagrange-multipliermethode. De Lagrange-functie heeft in dit geval de vorm Om stationaire punten te vinden, stellen we een stelsel samen. Uit de eerste twee vergelijkingen van het stelsel verkrijgen we dat x = y. Dan vinden we uit de derde vergelijking van het systeem (koppelingsvergelijking) dat x - y = j - de coördinaten van het punt van een mogelijk extremum. In dit geval (er wordt aangegeven dat A \u003d -1. Dus de Lagrange-functie. is een voorwaardelijk minimumpunt van de functie * \u003d x2 + y2 op voorwaarde dat er geen onvoorwaardelijk extremum is voor de Lagrangiaanse functie. P ( x, y) betekent nog niet de afwezigheid van een voorwaardelijk extremum voor de functie /(x, y) bij aanwezigheid van een verband Voorbeeld: Zoek het uiterste van de functie onder de voorwaarde y 4 Stel de Lagrange-functie samen en schrijf de systeem voor het bepalen van A en de coördinaten van mogelijke extremumpunten: y = A = 0. De corresponderende Lagrange-functie heeft dus de vorm Op het punt (0, 0) heeft de functie F(x, y; 0) geen onvoorwaardelijk extremum, maar het voorwaardelijke extremum van de functie r = xy. Als y = x is er "Inderdaad, in dit geval r = x2. Vanaf hier is het duidelijk dat op het punt (0,0) er een voorwaardelijk minimum is "De methode van Lagrange-multiplicatoren wordt overgebracht naar het geval van functies van een willekeurig aantal argumenten / Laat het extremum van de functie worden gezocht in aanwezigheid van de verbindingsvergelijkingen Sostaalyaem de Lagrange-functie waarbij A|, Az,..., A ", - niet bepaalde constante factoren. Door alle partiële afgeleiden van de eerste orde van de functie F gelijk te stellen aan nul en aan de verkregen vergelijkingen de verbindingsvergelijkingen (9) toe te voegen, krijgen we een stelsel van n + m vergelijkingen, waaruit we Ab A3|..., Am en de coördinaten x\) x2) . » xn mogelijke punten van het conditionele extremum. De vraag of de met de Lagrange-methode gevonden punten inderdaad conditionele extremumpunten zijn, kan vaak worden opgelost op basis van overwegingen van fysische of geometrische aard. 15.3. Maximale en minimale waarden van continue functies Laat het vereist zijn om de maximale (kleinste) waarde van een functie z = /(x, y) continu te vinden in een uitgebreid begrensd domein D. Volgens Stelling 3 is er in dit gebied een punt (xo, V0) waarop de functie de grootste (kleinste) waarde aanneemt. Als het punt (xo, y0) binnen het domein D ligt, dan heeft de functie / een maximum (minimum) erin, zodat in dit geval het voor ons interessante punt tussen de kritische punten van de functie /(x ligt) , j). De functie /(x, y) kan echter ook zijn maximale (kleinste) waarde bereiken aan de grens van het gebied. Om de grootste (kleinste) waarde van de functie z = /(x, y) in een begrensd gesloten gebied 2) te vinden, is het daarom noodzakelijk om alle maxima (minimums) van de functie te vinden die binnen dit gebied zijn bereikt , evenals de grootste (kleinste) waarde van de functie op de grens van dit gebied. De grootste (kleinste) van al deze getallen is de gewenste maximale (kleinste) waarde van de functie z = /(x, y) in het gebied 27. Laten we laten zien hoe dit wordt gedaan in het geval van een differentieerbare functie. Prmmr. Vind de grootste en kleinste waarden van de functie van gebied 4. We vinden de kritieke punten van de functie binnen het gebied D. Om dit te doen, stellen we een stelsel vergelijkingen samen. Van hier krijgen we x \u003d y \u003e 0 , zodat het punt 0 (0,0) het kritieke punt van de functie x is. Sinds Laten we nu de grootste en kleinste waarden van de functie op de grens Г van het gebied D vinden. Op het deel van de grens hebben we zodat y \u003d 0 een kritisch punt is, en aangezien \u003d dan bij dit punt de functie z \u003d 1 + y2 heeft een minimum gelijk aan één. Aan de uiteinden van het segment G", op punten (, we hebben. Met behulp van symmetrie-overwegingen verkrijgen we dezelfde resultaten voor andere delen van de grens. Ten slotte verkrijgen we: de kleinste waarde van de functie z \u003d x2 + y2 in het gebied "B" is gelijk aan nul en wordt bereikt op het binnenste punt 0 (0, 0) gebied, en de maximale waarde van deze functie, gelijk aan twee, wordt bereikt op vier punten van de grens (Fig. 25) Fig.25 Oefent functies: Vind de partiële afgeleiden van functies en hun totale differentialen: Vind de afgeleiden van complexe functies: 3 Vind J. Extremum van een functie van meerdere variabelen Concept van een extremum van een functie van meerdere variabelen Noodzakelijke en voldoende voorwaarden voor an extremum Voorwaardelijk extremum De grootste en kleinste waarden van continue functies 34. Gebruik de formule voor de afgeleide van een complexe functie twee variabelen, vind en functies: 35. Gebruik de formule voor de afgeleide van een complexe functie in twee variabelen, vind |J en functies: Vind jj impliciete functies: 40. Vind de helling van de raaklijn op het snijpunt met de rechte x = 3. 41. Zoek de punten waar de raaklijn van de x-curve evenwijdig is aan de x-as. . Zoek in de volgende taken en Z: Schrijf de vergelijkingen van het raakvlak en de normaal van het oppervlak: 49. Schrijf de vergelijkingen van de raakvlakken van het oppervlak x2 + 2y2 + Zr2 \u003d 21, evenwijdig aan het vlak x + 4y + 6z \u003d 0. Vind de eerste drie tot vier termen van de uitbreiding met behulp van de Taylor-formule: 50. y in een buurt van het punt (0, 0). Gebruik de definitie van het extremum van een functie en onderzoek de volgende functies voor een extremum:). Gebruik voldoende voorwaarden voor het extremum van een functie van twee variabelen, onderzoek het extremum van de functie: 84. Zoek de grootste en kleinste waarden van de functie z \u003d x2 - y2 in een gesloten cirkel 85. Zoek de grootste en kleinste waarden van de functie * \u003d x2y (4-x-y) in een driehoek begrensd door lijnen x \u003d 0, y = 0, x + y = b. 88. Bepaal de afmetingen van een rechthoekig open bassin met het kleinste oppervlak, op voorwaarde dat het volume gelijk is aan V. 87. Bepaal de afmetingen van een rechthoekig parallellepipedum met een gegeven totale oppervlakte van maximaal 5 volume. Antwoorden 1. en | Een vierkant gevormd door lijnsegmenten x inclusief de zijkanten. 3. Familie van concentrische ringen 2= 0,1,2,... .4. Het hele vlak behalve de punten van de rechte lijnen y. Het deel van het vliegtuig dat zich boven de parabool y \u003d -x? bevindt. 8. Cirkelpunten x. Het hele vlak behalve de rechte lijnen x De radicale uitdrukking is niet-negatief in twee gevallen j * ^ of j x ^ ^ wat overeenkomt met respectievelijk een oneindige reeks ongelijkheden. Het domein van de definitie is gearceerde vierkanten (Fig. 26). ; l wat gelijk is aan een oneindige reeks De functie wordt gedefinieerd in punten. a) Lijnen evenwijdig aan de lijn x b) Concentrische cirkels gecentreerd op de oorsprong. 10. a) parabolen y) parabolen y a) parabolen b) hyperbolen | .Vliegen xc. 13.Prim - hyperboloïden van revolutie met één holte rond de Oz-as; want en zijn tweebladige hyperboloïden van omwenteling rond de Oz-as, beide families van oppervlakken worden gescheiden door een kegel; Er is geen limiet, b) 0. 18. Zij y = kxt dan z lim z = -2, zodat de gegeven functie op het punt (0,0) geen limiet heeft. 19. a) Punt (0.0); b) punt (0,0). 20. a) Breeklijn - cirkel x2 + y2 = 1; b) de breeklijn is een rechte lijn y \u003d x. 21. a) Breeklijnen - coördinaatassen Ox en Oy; b) 0 (lege verzameling). 22. Alle punten (m, n), waarbij en n gehele getallen zijn

Definitie1: Er wordt gezegd dat een functie een lokaal maximum heeft op een punt als er een nabijheid van het punt bestaat zodat voor elk punt M met coördinaten (x, y) ongelijkheid is vervuld: . In dit geval, d.w.z. de toename van de functie< 0.

Definitie2: Er wordt gezegd dat een functie een lokaal minimum heeft op een punt als er een buurt van het punt bestaat zodat voor elk punt M met coördinaten (x, y) ongelijkheid is vervuld: . In dit geval, d.w.z. de toename van de functie > 0.

Definitie 3: Lokale minimum- en maximumpunten worden genoemd extreme punten.

Voorwaardelijke uitersten

Bij het zoeken naar extremen van een functie van veel variabelen, ontstaan ​​vaak problemen met betrekking tot de zogenaamde voorwaardelijk extreem. Dit concept kan worden verklaard aan de hand van het voorbeeld van een functie van twee variabelen.

Laat een functie en een lijn worden gegeven L aan de oppervlakte 0xy. De taak is om te lijnen L vind zo'n punt P(x, y), waarin de waarde van de functie de grootste of kleinste is vergeleken met de waarden van deze functie op de punten van de lijn L dichtbij het punt gelegen P. dergelijke punten P genaamd voorwaardelijke extreme punten lijnfuncties L. In tegenstelling tot het gebruikelijke extremumpunt, wordt de functiewaarde op het voorwaardelijke extremumpunt vergeleken met de functiewaarden niet op alle punten van een deel van zijn buurt, maar alleen op die op de lijn L.

Het is vrij duidelijk dat het punt van het gebruikelijke extremum (ze zeggen ook: onvoorwaardelijk extremum) is ook een voorwaardelijk uiterste punt voor elke lijn die door dit punt gaat. Het omgekeerde is natuurlijk niet waar: een voorwaardelijk extremumpunt hoeft geen conventioneel extremumpunt te zijn. Laat me dit uitleggen aan de hand van een eenvoudig voorbeeld. De grafiek van de functie is de bovenste hemisfeer (Bijlage 3 (Fig. 3)).

Deze functie heeft een maximum aan de oorsprong; het komt overeen met de top M hemisferen. Als de lijn L er loopt een lijn door de punten MAAR en BIJ(haar vergelijking x+y-1=0), dan is het geometrisch duidelijk dat voor de punten van deze lijn de maximale waarde van de functie wordt bereikt op het punt dat in het midden tussen de punten ligt MAAR en BIJ. Dit is het punt van het voorwaardelijke extremum (maximum) van de functie op de gegeven lijn; het komt overeen met het punt M 1 op het halfrond, en uit de figuur blijkt dat hier geen sprake kan zijn van een gewoon extremum.

Merk op dat we in het laatste deel van het probleem van het vinden van de grootste en kleinste waarden van een functie in een gesloten gebied, de extreme waarden van de functie op de grens van dit gebied moeten vinden, d.w.z. op een bepaalde regel, en daarmee het probleem voor een voorwaardelijk extremum oplossen.

Laten we nu overgaan tot de praktische zoektocht naar de punten van het conditionele extremum van de functie Z= f(x, y) op voorwaarde dat de variabelen x en y gerelateerd zijn door de vergelijking (x, y) = 0. Deze relatie zal de beperkingsvergelijking genoemd. Als uit de verbindingsvergelijking y expliciet kan worden uitgedrukt in termen van x: y \u003d (x), krijgen we een functie van één variabele Z \u003d f (x, (x)) \u003d Ф (x).

Nadat we de waarde van x hebben gevonden waarbij deze functie een extremum bereikt, en vervolgens de overeenkomstige waarden van y hebben bepaald uit de verbindingsvergelijking, zullen we de gewenste punten van het voorwaardelijke extremum verkrijgen.

Dus in het bovenstaande voorbeeld hebben we uit de communicatievergelijking x+y-1=0 y=1-x. Vanaf hier

Het is gemakkelijk te controleren dat z zijn maximum bereikt bij x = 0,5; maar dan uit de verbindingsvergelijking y = 0,5, en we krijgen precies het punt P, gevonden uit geometrische overwegingen.

Het conditionele extremumprobleem wordt heel eenvoudig opgelost, zelfs wanneer de beperkingsvergelijking kan worden weergegeven door parametervergelijkingen x=x(t), y=y(t). Door de uitdrukkingen voor x en y in deze functie in te vullen, komen we weer bij het probleem van het vinden van het extremum van een functie van één variabele.

Als de beperkingsvergelijking een complexere vorm heeft en we de ene variabele niet expliciet in termen van een andere kunnen uitdrukken, noch deze kunnen vervangen door parametrische vergelijkingen, dan wordt het probleem van het vinden van een voorwaardelijk extremum moeilijker. We blijven aannemen dat in de uitdrukking van de functie z= f(x, y) de variabele (x, y) = 0. De totale afgeleide van de functie z= f(x, y) is gelijk aan:

Waar is de afgeleide y`, gevonden door de differentiatieregel van de impliciete functie. Op de punten van het conditionele extremum moet de gevonden totale afgeleide gelijk zijn aan nul; dit geeft één vergelijking met betrekking tot x en y. Omdat ze ook aan de beperkingsvergelijking moeten voldoen, krijgen we een stelsel van twee vergelijkingen met twee onbekenden

Laten we dit systeem transformeren naar een veel handiger systeem door de eerste vergelijking als een verhouding te schrijven en een nieuwe hulponbekende in te voeren:

(voor het gemak is er een minteken vooraan geplaatst). Het is gemakkelijk om van deze gelijkheden naar het volgende systeem over te gaan:

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

die, samen met de beperkingsvergelijking (x, y) = 0, een stelsel van drie vergelijkingen vormt met onbekenden x, y en.

Deze vergelijkingen (*) worden het gemakkelijkst onthouden met behulp van de volgende regel: om punten te vinden die punten kunnen zijn van het voorwaardelijke extremum van de functie

Z= f(x, y) met de beperkingsvergelijking (x, y) = 0, je moet een hulpfunctie vormen

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Waar is een constante, en schrijf vergelijkingen om de extreme punten van deze functie te vinden.

Het gespecificeerde stelsel vergelijkingen levert in de regel alleen de noodzakelijke voorwaarden, d.w.z. niet elk paar x- en y-waarden dat aan dit systeem voldoet, is noodzakelijkerwijs een voorwaardelijk extremumpunt. Ik zal niet voldoende voorwaarden geven voor voorwaardelijke extremumpunten; heel vaak suggereert de specifieke inhoud van het probleem zelf wat het gevonden punt is. De beschreven techniek voor het oplossen van problemen voor een conditioneel extremum wordt de methode van Lagrange-multipliers genoemd.

Een voldoende voorwaarde voor een extremum van een functie van twee variabelen

1. Laat de functie continu differentieerbaar zijn in een bepaalde buurt van het punt en continue partiële afgeleiden van de tweede orde hebben (puur en gemengd).

2. Duid aan met de determinant van de tweede orde

extreme variabele lezingsfunctie

Stelling

Als het punt met coördinaten een stationair punt is voor de functie, dan:

A) Wanneer het een punt van lokaal extremum is en, bij een lokaal maximum, - een lokaal minimum;

C) wanneer het punt geen lokaal extremumpunt is;

C) als, misschien beide.

Een bewijs

We schrijven de Taylor-formule voor de functie, waarbij we ons beperken tot twee leden:

Aangezien, volgens de voorwaarde van de stelling, het punt stationair is, zijn de partiële afgeleiden van de tweede orde gelijk aan nul, d.w.z. en. Dan

noem

Dan zal de toename van de functie de vorm aannemen:

Vanwege de continuïteit van partiële afgeleiden van de tweede orde (puur en gemengd), kunnen we volgens de toestand van de stelling op een punt schrijven:

Waar of; ,

1. Laat en, d.w.z. of.

2. We vermenigvuldigen de toename van de functie en delen door, we krijgen:

3. Vul de uitdrukking tussen accolades aan tot het volledige kwadraat van de som:

4. De uitdrukking tussen accolades is niet-negatief, aangezien

5. Daarom, als en dus, en, dan en daarom, volgens de definitie, is het punt een punt van lokaal minimum.

6. Als en betekent, en, dan is een punt met coördinaten volgens de definitie een lokaal maximumpunt.

2. Beschouw een vierkante trinominaal, zijn discriminant, .

3. Als, dan zijn er punten zodanig dat de polynoom

4. De totale toename van de functie op een punt in overeenstemming met de uitdrukking verkregen in I, schrijven we in de vorm:

5. Vanwege de continuïteit van partiële afgeleiden van de tweede orde, door de toestand van de stelling op een punt, kunnen we schrijven dat

daarom bestaat er een buurt van een punt zodat, voor elk punt, de vierkante trinominaal groter is dan nul:

6. Overweeg - de buurt van het punt.

Laten we een willekeurige waarde kiezen, dus dat is het punt. Ervan uitgaande dat in de formule voor de toename van de functie

Wat krijgen we:

7. Sindsdien.

8. Als we op dezelfde manier argumenteren voor de wortel, krijgen we dat er in elke -buurt van het punt een punt is waarvoor het daarom in de buurt van het punt geen teken behoudt, daarom is er geen extremum op het punt.

Voorwaardelijk extremum van een functie van twee variabelen

Bij het zoeken naar extrema van een functie van twee variabelen ontstaan ​​vaak problemen gerelateerd aan het zogenaamde conditionele extremum. Dit concept kan worden verklaard aan de hand van het voorbeeld van een functie van twee variabelen.

Laat een functie en een lijn L gegeven zijn op het vlak 0xy. De taak is om zo'n punt P (x, y) op de lijn L te vinden, waarbij de waarde van de functie de grootste of kleinste is in vergelijking met de waarden van deze functie op de punten van de lijn L, gelegen nabij het punt P. Dergelijke punten P worden conditionele extremumpunten genoemd functies op de lijn L. In tegenstelling tot het gebruikelijke extremumpunt wordt de waarde van de functie op het conditionele extremumpunt vergeleken met de waarden van de functie niet op alle punten van een deel van zijn buurt, maar alleen bij die op de lijn L.

Het is vrij duidelijk dat het punt van het gebruikelijke extremum (ze zeggen ook het onvoorwaardelijke extremum) ook het punt is van het voorwaardelijke extremum voor elke lijn die door dit punt gaat. Het omgekeerde is natuurlijk niet waar: een voorwaardelijk extremumpunt hoeft geen conventioneel extremumpunt te zijn. Laten we illustreren wat er is gezegd met een voorbeeld.

Voorbeeld 1. De grafiek van de functie is de bovenste hemisfeer (Fig. 2).

Rijst. 2.

Deze functie heeft een maximum aan de oorsprong; het komt overeen met het hoekpunt M van het halfrond. Als de lijn L een rechte lijn is die door de punten A en B gaat (zijn vergelijking), dan is het geometrisch duidelijk dat voor de punten van deze lijn de maximale waarde van de functie wordt bereikt op het punt dat in het midden ligt tussen de punten A en B. Dit zijn de voorwaardelijke extreme (maximale) puntfuncties op deze lijn; het komt overeen met het punt M 1 op het halfrond, en uit de figuur blijkt dat hier geen sprake kan zijn van een gewoon extremum.

Merk op dat in het laatste deel van het probleem van het vinden van de grootste en kleinste waarden van een functie in een gesloten gebied, men de extreme waarden van de functie op de grens van dit gebied moet vinden, d.w.z. op een bepaalde regel, en daarmee het probleem voor een voorwaardelijk extremum oplossen.

Definitie 1. Ze zeggen dat waar een voorwaardelijk of relatief maximum (minimum) is op een punt dat aan de vergelijking voldoet: als voor een punt dat aan de vergelijking voldoet, de ongelijkheid

Definitie 2. Een vergelijking van de vorm wordt een beperkingsvergelijking genoemd.

Stelling

Als de functies en continu differentieerbaar zijn in de buurt van een punt, en de partiële afgeleide en het punt zijn het punt van het conditionele extremum van de functie ten opzichte van de beperkingsvergelijking, dan is de tweede-orde determinant gelijk aan nul:

Een bewijs

1. Aangezien, volgens de voorwaarde van de stelling, de partiële afgeleide en de waarde van de functie, dan in een rechthoek

impliciete functie gedefinieerd

Een complexe functie van twee variabelen op een punt heeft dus een lokaal extremum, of.

2. Inderdaad, volgens de invariantie-eigenschap van de eerste-orde differentiaalformule

3. De verbindingsvergelijking kan in deze vorm worden weergegeven, wat betekent:

4. Vermenigvuldig vergelijking (2) met, en (3) met en voeg ze toe

Daarom, bij

willekeurig. h.t.d.

Gevolg

Het zoeken naar conditionele extreme punten van een functie van twee variabelen wordt in de praktijk uitgevoerd door het oplossen van een stelsel vergelijkingen

Dus in het bovenstaande voorbeeld nr. 1 uit de communicatievergelijking die we hebben. Vanaf hier is het gemakkelijk om te controleren wat een maximum bereikt bij . Maar dan uit de vergelijking van communicatie. We krijgen het punt P, geometrisch gevonden.

Voorbeeld #2. Vind de voorwaardelijke extreme punten van de functie met betrekking tot de beperkingsvergelijking.

Laten we de partiële afgeleiden van de gegeven functie en de verbindingsvergelijking vinden:

Laten we een determinant van de tweede orde maken:

Laten we het systeem van vergelijkingen voor het vinden van voorwaardelijke extremumpunten opschrijven:

daarom zijn er vier voorwaardelijke extreme punten van de functie met coördinaten: .

Voorbeeld #3. Zoek de extreme punten van de functie.

Door de partiële afgeleiden gelijk te stellen aan nul: , vinden we één stationair punt - de oorsprong. Hier,. Daarom is het punt (0, 0) ook geen uiterste punt. De vergelijking is de vergelijking van een hyperbolische paraboloïde (Fig. 3), de figuur laat zien dat het punt (0, 0) geen extremumpunt is.

Rijst. 3.

De grootste en kleinste waarde van een functie in een gesloten gebied

1. Laat de functie gedefinieerd en continu zijn in een begrensd gesloten domein D.

2. Laat de functie eindige partiële afgeleiden hebben in dit gebied, behalve voor individuele punten van het gebied.

3. Overeenkomstig de stelling van Weierstrass is er in dit gebied een punt waarop de functie de grootste en de kleinste waarden aanneemt.

4. Als deze punten binnenste punten van het gebied D zijn, dan is het duidelijk dat ze een maximum of een minimum zullen hebben.

5. In dit geval behoren de aandachtspunten voor ons tot de verdachte punten op het uiterste.

6. De functie kan echter ook de maximale of minimale waarde aannemen op de grens van het gebied D.

7. Om de grootste (kleinste) waarde van de functie in het gebied D te vinden, moet je alle interne punten vinden die verdacht zijn voor een extremum, de waarde van de functie daarin berekenen en vervolgens vergelijken met de waarde van de functie op de grenspunten van het gebied, en de grootste van alle gevonden waarden zal de grootste zijn in het gesloten gebied D.

8. De methode voor het vinden van een lokaal maximum of minimum is eerder in paragraaf 1.2 besproken. en 1.3.

9. Het blijft om de methode te overwegen om de maximale en minimale waarden van de functie op de grens van de regio te vinden.

10. Bij een functie van twee variabelen blijkt de oppervlakte meestal begrensd te zijn door een kromme of meerdere krommen.

11. Langs zo'n curve (of meerdere curven) zijn de variabelen en ofwel afhankelijk van elkaar, ofwel beide afhankelijk van één parameter.

12. Op de grens blijkt de functie dus afhankelijk te zijn van één variabele.

13. De methode om de grootste waarde van een functie van één variabele te vinden, is eerder besproken.

14. Laat de grens van het gebied D worden gegeven door de parametervergelijkingen:

Dan is op deze curve de functie van twee variabelen een complexe functie van de parameter: . Voor een dergelijke functie wordt de grootste en kleinste waarde bepaald door de methode van het bepalen van de grootste en kleinste waarden voor een functie van één variabele.

Extrema van functies van verschillende variabelen. Een noodzakelijke voorwaarde voor een extremum. Voldoende voorwaarde voor een extremum. Voorwaardelijk extreem. Methode van Lagrange-vermenigvuldigers. De grootste en kleinste waarden vinden.

College 5

Definitie 5.1. Punt M 0 (x 0, y 0) genaamd maximum punt functies z = f(x, y), als f (x , y o) > f(x, y) voor alle punten (x, y) M 0.

Definitie 5.2. Punt M 0 (x 0, y 0) genaamd minimum punt functies z = f(x, y), als f (x , y o) < f(x, y) voor alle punten (x, y) uit een of andere buurt van het punt M 0.

Opmerking 1. De maximale en minimale punten worden genoemd extreme punten functies van meerdere variabelen.

Opmerking 2. Het uiterste punt voor een functie van een willekeurig aantal variabelen wordt op een vergelijkbare manier gedefinieerd.

Stelling 5.1(noodzakelijke extreme omstandigheden). Als een M 0 (x 0, y 0) is het uiterste punt van de functie z = f(x, y), dan zijn op dit punt de partiële afgeleiden van de eerste orde van deze functie gelijk aan nul of bestaan ​​ze niet.

Een bewijs.

Laten we de waarde van de variabele corrigeren Bij tellen y = y 0. Dan de functie f(x, y0) zal een functie zijn van één variabele X, waarvoor x = x 0 is het uiterste punt. Daarom, volgens de stelling van Fermat of bestaat niet. Dezelfde bewering wordt bewezen voor .

Definitie 5.3. Punten die behoren tot het domein van een functie van meerdere variabelen, waarbij de partiële afgeleiden van de functie gelijk zijn aan nul of niet bestaan, worden genoemd stationaire punten deze functie.

Opmerking. Het extremum kan dus alleen op stationaire punten worden bereikt, maar het wordt niet noodzakelijk op elk van hen waargenomen.

Stelling 5.2(voldoende voorwaarden voor een extremum). Laat in een buurt van het punt M 0 (x 0, y 0), wat een stationair punt is van de functie z = f(x, y), deze functie heeft continue partiële afgeleiden tot en met de 3e orde. Geef dan aan:

1) f(x, y) heeft op het punt M 0 maximum als AC-B² > 0, EEN < 0;

2) f(x, y) heeft op het punt M 0 minimaal als AC-B² > 0, EEN > 0;

3) er is geen extremum op het kritieke punt als AC-B² < 0;

4) als AC-B² = 0, aanvullend onderzoek is nodig.

Een bewijs.

Laten we de Taylor-formule van de tweede orde voor de functie schrijven f(x, y), in gedachten houdend dat op een stationair punt de partiële afgeleiden van de eerste orde gelijk zijn aan nul:

waar Als de hoek tussen het segment M 0 M, waar M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ Bij), en de O-as X duiden φ aan, dan Δ x =Δ ρ omdat φ, Δ y= sinφ. In dit geval zal de Taylor-formule de vorm aannemen: . Laten we dan de uitdrukking tussen haakjes delen en vermenigvuldigen met MAAR. We krijgen:

Beschouw nu vier mogelijke gevallen:

1) AC-B² > 0, EEN < 0. Тогда , и voor voldoende kleine Δρ. Daarom, in een bepaalde buurt M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ j)< f(x0, y0), dat is M 0 is het maximale punt.

2) Laten we AC-B² > 0, A > 0. Dan , en M 0 is het minimumpunt.

3) Laten we AC-B² < 0, EEN> 0. Beschouw de toename van argumenten langs de straal φ = 0. Dan volgt uit (5.1) dat , dat wil zeggen, als je langs deze straal beweegt, neemt de functie toe. Als we langs een straal bewegen zodat tg φ 0 \u003d -A / B, dan , daarom neemt de functie af wanneer u langs deze straal beweegt. dus het punt M 0 is geen extreem punt.

3`) Wanneer? AC-B² < 0, EEN < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

vergelijkbaar met de vorige.

3``) Als AC-B² < 0, EEN= 0, dan . waarin. Dan, voor voldoende kleine φ, uitdrukking 2 B want + C sinφ bijna 2 BIJ, dat wil zeggen, het behoudt een constant teken en sinφ verandert van teken in de buurt van het punt M 0 . Dit betekent dat de toename van de functie van teken verandert in de buurt van het stationaire punt, dat dus geen uiterste punt is.

4) Als AC-B² = 0, en , , dat wil zeggen, het teken van de toename wordt bepaald door het teken 2α 0 . Tegelijkertijd is verder onderzoek nodig om de vraag naar het bestaan ​​van een extremum op te helderen.

Voorbeeld. Laten we de extreme punten van de functie zoeken z=x² - 2 xy + 2ja² + 2 x. Om stationaire punten te zoeken, lossen we het systeem op . Het stationaire punt is dus (-2,-1). Waarin A = 2, BIJ = -2, VAN= 4. Dan AC-B² = 4 > 0, daarom wordt een extremum bereikt op het stationaire punt, namelijk het minimum (aangezien EEN > 0).

Definitie 5.4. Als de functieargumenten f (x 1 , x 2 ,…, x n) gebonden aan aanvullende voorwaarden in het formulier m vergelijkingen ( m< n) :

1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

waarbij de functies φ i continue partiële afgeleiden hebben, dan worden vergelijkingen (5.2) genoemd verbindingsvergelijkingen.

Definitie 5.5. Functie extremum f (x 1 , x 2 ,…, x n) onder voorwaarden (5.2) heet voorwaardelijk extremum.

Opmerking. We kunnen de volgende geometrische interpretatie bieden van het conditionele extremum van een functie van twee variabelen: laat de argumenten van de functie f(x,y) zijn gerelateerd door de vergelijking φ (x, y)= 0, definieert een curve in het vlak O hoezo. Nadat we vanuit elk punt van deze kromme loodlijnen hebben hersteld op het vlak O hoezo voor het oversteken van het oppervlak z = f (x, y), we krijgen een ruimtelijke curve die op het oppervlak boven de curve ligt φ (x, y)= 0. Het probleem is om de extreme punten van de resulterende curve te vinden, die natuurlijk in het algemeen niet samenvallen met de onvoorwaardelijke extreme punten van de functie f(x,y).

Laten we de noodzakelijke voorwaardelijke extreme voorwaarden voor een functie van twee variabelen definiëren door vooraf de volgende definitie in te voeren:

Definitie 5.6. Functie L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

waar ik - enkele constanten, genaamd Lagrange-functie, en de cijfers i– onbepaalde Lagrange-vermenigvuldigers.

Stelling 5.3(noodzakelijke voorwaardelijke extreme omstandigheden). Voorwaardelijk extremum van de functie z = f(x, y) in aanwezigheid van de beperkingsvergelijking φ ( x, y)= 0 kan alleen worden bereikt op stationaire punten van de Lagrange-functie L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Een bewijs. De beperkingsvergelijking definieert een impliciete afhankelijkheid Bij van X, dus we gaan ervan uit dat Bij er is een functie van X: y = y(x). Dan z er is een complexe functie X, en de kritieke punten worden bepaald door de voorwaarde: . (5.4) Uit de beperkingsvergelijking volgt dat: . (5.5)

We vermenigvuldigen de gelijkheid (5.5) met een getal λ en tellen dit op bij (5.4). We krijgen:

, of .

De laatste gelijkheid moet gelden op stationaire punten, waaruit volgt:

(5.6)

Een stelsel van drie vergelijkingen voor drie onbekenden wordt verkregen: x, ja en λ, waarbij de eerste twee vergelijkingen de voorwaarden zijn voor het stationaire punt van de Lagrange-functie. Door de hulponbekende λ uit systeem (5.6) te elimineren, vinden we de coördinaten van de punten waarop de oorspronkelijke functie een voorwaardelijk extremum kan hebben.

Opmerking 1. De aanwezigheid van een conditioneel extremum op het gevonden punt kan worden gecontroleerd door de tweede-orde partiële afgeleiden van de Lagrange-functie te bestuderen naar analogie met Stelling 5.2.

Opmerking 2. Punten waarop het conditionele extremum van de functie kan worden bereikt f (x 1 , x 2 ,…, x n) onder voorwaarden (5.2), kan worden gedefinieerd als oplossingen van het systeem (5.7)

Voorbeeld. Vind het voorwaardelijke extremum van de functie z = xy op voorwaarde x + y= 1. Stel de Lagrange-functie samen L(x, y) = xy + λ (x + y – een). Systeem (5.6) ziet er dan als volgt uit:

Vanwaar -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. Waarin L (x, y) kan worden weergegeven als L(x, y) = - 0,5 (x-y)² + 0,5 ≤ 0,5, dus op het gevonden stationaire punt L (x, y) heeft een maximum en z = xy - voorwaardelijk maximum.

Laten we eerst het geval van een functie van twee variabelen bekijken. Het voorwaardelijke extremum van de functie $z=f(x,y)$ op het punt $M_0(x_0;y_0)$ is het extremum van deze functie, bereikt onder de voorwaarde dat de variabelen $x$ en $y$ in de omgeving van dit punt voldoet aan de beperkingsvergelijking $\ varphi(x,y)=0$.

De naam "conditioneel" extremum is te wijten aan het feit dat de extra voorwaarde $\varphi(x,y)=0$ wordt opgelegd aan de variabelen. Als het mogelijk is om de ene variabele uit te drukken in termen van een andere uit de verbindingsvergelijking, dan wordt het probleem van het bepalen van het conditionele extremum teruggebracht tot het probleem van het gebruikelijke extremum van een functie van één variabele. Als bijvoorbeeld $y=\psi(x)$ volgt uit de beperkingsvergelijking, en dan $y=\psi(x)$ substitueert in $z=f(x,y)$, krijgen we een functie van één variabele $ z=f\links (x,\psi(x)\rechts)$. In het algemene geval heeft deze methode echter weinig zin, dus is een nieuw algoritme nodig.

Methode van Lagrange-vermenigvuldigers voor functies van twee variabelen.

De methode van Lagrange-multipliers is dat om het conditionele extremum te vinden, de Lagrange-functie is samengesteld: $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$ (de parameter $\lambda $ wordt de Lagrange-multiplier genoemd). De noodzakelijke extreme omstandigheden worden gegeven door een stelsel vergelijkingen waaruit de stationaire punten worden bepaald:

$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \varphi (x,y)=0.\end(uitgelijnd)\right.$$

Het teken $d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("" )dy^2$. Als op een stationair punt $d^2F > 0$, dan heeft de functie $z=f(x,y)$ op dit punt een voorwaardelijk minimum, maar als $d^2F< 0$, то условный максимум.

Er is nog een andere manier om de aard van het extremum te bepalen. Uit de beperkingsvergelijking krijgen we: $\varphi_(x)^(")dx+\varphi_(y)^(")dy=0$, $dy=-\frac(\varphi_(x)^("))( \varphi_ (y)^("))dx$, dus op elk stationair punt hebben we:

$$d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=F_(xx)^( "")dx^2+2F_(xy)^("")dx\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)+ F_(yy)^("")\left(-\frac(\varphi_(x)^("))(\varphi_(y)^("))dx\right)^2=\\ =-\frac (dx^2)(\left(\varphi_(y)^(") \right)^2)\cdot\left(-(\varphi_(y)^("))^2 F_(xx)^(" ")+2\varphi_(x)^(")\varphi_(y)^(")F_(xy)^("")-(\varphi_(x)^("))^2 F_(yy)^ ("")\rechts)$$

De tweede factor (tussen haakjes) kan in deze vorm worden weergegeven:

Elementen van de $\left| \begin(array) (cc) F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end (array) \right|$ wat de Hessische waarde is van de Lagrange-functie. Als $H > 0$ dan $d^2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$ 0, d.w.z. we hebben een voorwaardelijk minimum van de functie $z=f(x,y)$.

Noteer de vorm van de $H$ determinant. laten zien verbergen

$$ H=-\left|\begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_ (xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \ end(array) \right| $$

In deze situatie verandert de hierboven geformuleerde regel als volgt: als $H > 0$, dan heeft de functie een voorwaardelijk minimum, en voor $H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Algoritme voor het bestuderen van een functie van twee variabelen voor een conditioneel extremum

1. Stel de Lagrange-functie samen $F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y)$
2. Los systeem $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial F)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial F)(\partial y)=0;\\ & \ varphi(x,y)=0.\end(uitgelijnd)\right.$
3. Bepaal de aard van het extremum op elk van de stationaire punten die in de vorige paragraaf zijn gevonden. Gebruik hiervoor een van de volgende methoden:
   • Stel de determinant $H$ samen en ontdek zijn teken
   • Rekening houdend met de beperkingsvergelijking, bereken het teken van $d^2F$

Lagrange-vermenigvuldigingsmethode voor functies van n variabelen

Stel dat we een functie hebben van $n$ variabelen $z=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ en $m$ beperkingsvergelijkingen ($n > m$):

$$\varphi_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0; \; \varphi_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0,\ldots,\varphi_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0.$$

Door de Lagrange-vermenigvuldigers aan te duiden als $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m$, stellen we de Lagrange-functie samen:

$$F(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f+\lambda_1\varphi_1+\lambda_2\varphi_2+\ldots+\lambda_m\varphi_m$$

De noodzakelijke voorwaarden voor de aanwezigheid van een conditioneel extremum worden gegeven door een systeem van vergelijkingen waaruit de coördinaten van stationaire punten en de waarden van de Lagrange-multiplicatoren worden gevonden:

$$\left\(\begin(uitgelijnd) & \frac(\partial F)(\partial x_i)=0; (i=\overline(1,n))\\ & \varphi_j=0; (j=\ overline(1,m)) \end(uitgelijnd) \right.$$

Het is mogelijk om uit te vinden of een functie een voorwaardelijk minimum of een voorwaardelijk maximum heeft op het gevonden punt, zoals eerder, door het teken $d^2F$ te gebruiken. Als op het gevonden punt $d^2F > 0$, dan heeft de functie een voorwaardelijk minimum, maar als $d^2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Matrixdeterminant $\left| \begin(array) (ccccc) \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)^(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(2) ) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(1)\partial x_(n)) \\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_1) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)^(2)) & \frac(\partial^2F )(\partial x_(2)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(2)\partial x_(n))\\ \frac(\partial^2F )(\partial x_(3) \partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(2)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)^(2)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(3)\partial x_(n))\\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots & \ ldots\\ \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(1)) & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(2)) & \ frac(\partial^2F)(\partial x_(n)\partial x_(3)) &\ldots & \frac(\partial^2F)(\partial x_(n)^(2))\\ \end( array) \right|$ rood gemarkeerd in de $L$-matrix is ​​​​de Hessische van de Lagrange-functie. Wij hanteren de volgende regel:

• Als de tekens van de corner minors $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ matrices $L$ vallen samen met het teken $(-1)^m$, dan is het bestudeerde stationaire punt het conditionele minimum punt van de functie $z =f(x_1,x_2 ,x_3,\ldots,x_n)$.
• Als de tekens van de corner minors $H_(2m+1),\; H_(2m+2),\ldots,H_(m+n)$ wisselen elkaar af, en het teken van de kleine $H_(2m+1)$ valt samen met het teken van het getal $(-1)^(m+1 )$, dan is het bestudeerde stationaire punt het voorwaardelijke maximumpunt van de functie $z=f(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$.

Voorbeeld 1

Zoek het voorwaardelijke extremum van de functie $z(x,y)=x+3y$ onder de voorwaarde $x^2+y^2=10$.

De geometrische interpretatie van dit probleem is als volgt: het is nodig om de grootste en kleinste waarde te vinden van de applicate van het vlak $z=x+3y$ voor de punten van zijn snijpunt met de cilinder $x^2+y^2 =10$.

Het is enigszins moeilijk om de ene variabele uit te drukken in termen van een andere uit de beperkingsvergelijking en deze te vervangen door de functie $z(x,y)=x+3y$, dus we zullen de Lagrange-methode gebruiken.

Door $\varphi(x,y)=x^2+y^2-10$ aan te duiden, stellen we de Lagrange-functie samen:

$$ F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=x+3y+\lambda(x^2+y^2-10);\\ \frac(\partial F)(\partial x)=1+2\lambda x; \frac(\partial F)(\partial y)=3+2\lambda y. $$

Laten we het stelsel vergelijkingen opschrijven voor het bepalen van de stationaire punten van de Lagrange-functie:

$$ \left \( \begin(uitgelijnd) & 1+2\lambda x=0;\\ & 3+2\lambda y=0;\\ & x^2+y^2-10=0. \end (uitgelijnd)\right.$$

Als we uitgaan van $\lambda=0$, dan wordt de eerste vergelijking: $1=0$. De resulterende contradictie zegt dat $\lambda\neq 0$. Onder de voorwaarde $\lambda\neq 0$, hebben we uit de eerste en tweede vergelijking: $x=-\frac(1)(2\lambda)$, $y=-\frac(3)(2\lambda) $. Als we de verkregen waarden in de derde vergelijking substitueren, krijgen we:

$$ \left(-\frac(1)(2\lambda) \right)^2+\left(-\frac(3)(2\lambda) \right)^2-10=0;\\ \frac (1)(4\lambda^2)+\frac(9)(4\lambda^2)=10; \lambda^2=\frac(1)(4); \left[ \begin(uitgelijnd) & \lambda_1=-\frac(1)(2);\\ & \lambda_2=\frac(1)(2). \end(uitgelijnd) \rechts.\\ \begin(uitgelijnd) & \lambda_1=-\frac(1)(2); \; x_1=-\frac(1)(2\lambda_1)=1; \; y_1=-\frac(3)(2\lambda_1)=3;\\ & \lambda_2=\frac(1)(2); \; x_2=-\frac(1)(2\lambda_2)=-1; \; y_2=-\frac(3)(2\lambda_2)=-3.\end(uitgelijnd) $$

Het systeem heeft dus twee oplossingen: $x_1=1;\; y_1=3;\; \lambda_1=-\frac(1)(2)$ en $x_2=-1;\; y_2=-3;\; \lambda_2=\frac(1)(2)$. Laten we de aard van het extremum op elk stationair punt uitzoeken: $M_1(1;3)$ en $M_2(-1;-3)$. Om dit te doen, berekenen we de determinant $H$ op elk van de punten.

$$ \varphi_(x)^(")=2x;\; \varphi_(y)^(")=2j;\; F_(xx)^("")=2\lambda;\; F_(xy)^("")=0;\; F_(yy)^("")=2\lambda.\\ H=\links| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \links| \begin(array) (ccc) 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right| $$

Op het punt $M_1(1;3)$ krijgen we: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 3\\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \end(array) \right|=40 > 0$, dus op punt $M_1(1;3)$ de functie $z(x,y)=x+3y$ heeft een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=z(1;3)=10$.

Op dezelfde manier vinden we op het punt $M_2(-1;-3)$: $H=8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & x & y\\ x & \lambda & 0 \\ y & 0 & \lambda \end(array) \right|= 8\cdot\left| \begin(array) (ccc) 0 & -1 & -3\\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \end(array) \right|=-40$. sinds $H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Ik merk op dat in plaats van de waarde van de determinant $H$ op elk punt te berekenen, het veel handiger is om deze op een algemene manier te openen. Om de tekst niet vol te proppen met details, zal ik deze methode onder een notitie verbergen.

Determinant $H$ notatie in algemene vorm. laten zien verbergen

$$ H=8\cdot\left|\begin(array)(ccc)0&x&y\\x&\lambda&0\\y&0&\lambda\end(array)\right| =8\cdot\left(-\lambda(y^2)-\lambda(x^2)\right) =-8\lambda\cdot\left(y^2+x^2\right). $$

In principe is het al duidelijk welk teken $H$ heeft. Aangezien geen van de punten $M_1$ of $M_2$ samenvalt met de oorsprong, dan is $y^2+x^2>0$. Daarom is het teken van $H$ tegengesteld aan het teken van $\lambda$. U kunt de berekeningen ook voltooien:

$$ \begin(uitgelijnd) &H(M_1)=-8\cdot\left(-\frac(1)(2)\right)\cdot\left(3^2+1^2\right)=40;\ \ &H(M_2)=-8\cdot\frac(1)(2)\cdot\left((-3)^2+(-1)^2\right)=-40. \end(uitgelijnd) $$

De vraag naar de aard van het extremum op de stationaire punten $M_1(1;3)$ en $M_2(-1;-3)$ kan worden opgelost zonder de determinant $H$ te gebruiken. Zoek het teken van $d^2F$ op elk stationair punt:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=2\lambda \left( dx^2+dy^2\right) $$

Ik merk op dat de notatie $dx^2$ precies betekent $dx$ verheven tot de tweede macht, d.w.z. $\links(dx\rechts)^2$. We hebben dus: $dx^2+dy^2>0$, dus voor $\lambda_1=-\frac(1)(2)$ krijgen we $d^2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Antwoorden: op het punt $(-1;-3)$ heeft de functie een voorwaardelijk minimum, $z_(\min)=-10$. Op het punt $(1;3)$ heeft de functie een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=10$

Voorbeeld #2

Zoek het voorwaardelijke extremum van de functie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ onder de voorwaarde $x+y=0$.

De eerste manier (de methode van Lagrange-multipliers)

Met $\varphi(x,y)=x+y$ stellen we de Lagrange-functie samen: $F(x,y)=z(x,y)+\lambda \varphi(x,y)=3y^3+4x ^2 -xy+\lambda(x+y)$.

$$ \frac(\partial F)(\partial x)=8x-y+\lambda; \; \frac(\partial F)(\partial y)=9y^2-x+\lambda.\\ \left \( \begin(uitgelijnd) & 8x-y+\lambda=0;\\ & 9y^2-x+\ lambda=0;\\&x+y=0.\end(uitgelijnd)\right.$$

Als we het systeem oplossen, krijgen we: $x_1=0$, $y_1=0$, $\lambda_1=0$ en $x_2=\frac(10)(9)$, $y_2=-\frac(10)(9 )$ , $\lambda_2=-10$. We hebben twee stationaire punten: $M_1(0;0)$ en $M_2 \left(\frac(10)(9);-\frac(10)(9) \right)$. Laten we de aard van het extremum op elk stationair punt achterhalen met behulp van de determinant $H$.

$$ H=\links| \begin(array) (ccc) 0 & \varphi_(x)^(") & \varphi_(y)^(")\\ \varphi_(x)^(") & F_(xx)^("") & F_(xy)^("") \\ \varphi_(y)^(") & F_(xy)^("") & F_(yy)^("") \end(array) \right|= \links| \begin(array) (ccc) 0 & 1 & 1\\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \end(array) \right|=-10-18y $$

Op punt $M_1(0;0)$ $H=-10-18\cdot 0=-10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0$, dus op dit punt heeft de functie een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243)$.

We onderzoeken de aard van het extremum op elk van de punten met een andere methode, gebaseerd op het teken van $d^2F$:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=8dx^2-2dxdy+ 18ydy ^2 $$

Van de beperkingsvergelijking $x+y=0$ hebben we: $d(x+y)=0$, $dx+dy=0$, $dy=-dx$.

$$ d^2 F=8dx^2-2dxdy+18ydy^2=8dx^2-2dx(-dx)+18y(-dx)^2=(10+18y)dx^2 $$

Aangezien $ d^2F \Bigr|_(M_1)=10 dx^2 > 0$, is $M_1(0;0)$ het voorwaardelijke minimumpunt van de functie $z(x,y)=3y^3+ 4x^ 2-xy$. Evenzo $d^2F \ Bigr|_(M_2)=-10 dx^2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

tweede manier

Uit de beperkingsvergelijking $x+y=0$ krijgen we: $y=-x$. Als we $y=-x$ in de functie $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$ plaatsen, krijgen we een functie van de variabele $x$. Laten we deze functie aanduiden als $u(x)$:

$$ u(x)=z(x,-x)=3\cdot(-x)^3+4x^2-x\cdot(-x)=-3x^3+5x^2. $$

Zo hebben we het probleem van het vinden van het voorwaardelijke extremum van een functie van twee variabelen teruggebracht tot het probleem van het bepalen van het extremum van een functie van één variabele.

$$ u_(x)^(")=-9x^2+10x;\\ -9x^2+10x=0; \; x\cdot(-9x+10)=0;\\ x_1=0; \ ;y_1=-x_1=0;\\ x_2=\frac(10)(9);\;y_2=-x_2=-\frac(10)(9).$$

Kreeg punten $M_1(0;0)$ en $M_2\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9)\right)$. Verder onderzoek is bekend uit het verloop van de differentiaalberekening van functies van één variabele. Als we het teken van $u_(xx)^("")$ op elk stationair punt onderzoeken of de tekenverandering van $u_(x)^(")$ op de gevonden punten controleren, krijgen we dezelfde conclusies als bij het oplossen van de eerste Vink bijvoorbeeld $u_(xx)^("")$ aan:

$$u_(xx)^("")=-18x+10;\\ u_(xx)^("")(M_1)=10;\;u_(xx)^("")(M_2)=- 10.$$

Aangezien $u_(xx)^("")(M_1)>0$, is $M_1$ het minimumpunt van de functie $u(x)$, terwijl $u_(\min)=u(0)=0 $ . Sinds $u_(xx)^("")(M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

De waarden van de functie $u(x)$ onder de gegeven verbindingsvoorwaarde vallen samen met de waarden van de functie $z(x,y)$, d.w.z. de gevonden extrema van de functie $u(x)$ zijn de gewenste voorwaardelijke extrema van de functie $z(x,y)$.

Antwoorden: op het punt $(0;0)$ heeft de functie een voorwaardelijk minimum, $z_(\min)=0$. Op het punt $\left(\frac(10)(9); -\frac(10)(9) \right)$ heeft de functie een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=\frac(500)(243 )$.

Laten we nog een voorbeeld bekijken, waarin we de aard van het extremum ontdekken door het teken van $d^2F$ te bepalen.

Voorbeeld #3

Vind de maximum- en minimumwaarden van de functie $z=5xy-4$ als de variabelen $x$ en $y$ positief zijn en voldoen aan de beperkingsvergelijking $\frac(x^2)(8)+\frac( y^2)(2) -1=0$.

Stel de Lagrange-functie samen: $F=5xy-4+\lambda \left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1 \right)$. Zoek de stationaire punten van de Lagrange-functie:

$$ F_(x)^(")=5y+\frac(\lambda x)(4); \; F_(y)^(")=5x+\lambda y.\\ \left \( \begin(uitgelijnd) & 5y+\frac(\lambda x)(4)=0;\\ & 5x+\lambda y=0;\\ & \frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)- 1=0;\\ & x > 0; \; y > 0. \end(uitgelijnd) \right.$$

Alle verdere transformaties worden uitgevoerd rekening houdend met $x > 0; \; y > 0$ (dit wordt bepaald in de toestand van het probleem). Uit de tweede vergelijking drukken we $\lambda=-\frac(5x)(y)$ uit en vervangen we de gevonden waarde in de eerste vergelijking: $5y-\frac(5x)(y)\cdot \frac(x)( 4)=0$ , $4j^2-x^2=0$, $x=2j$. Als we $x=2y$ in de derde vergelijking invullen, krijgen we: $\frac(4y^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, $y^2=1$, $j = 1$.

Sinds $y=1$, dan $x=2$, $\lambda=-10$. De aard van het extremum op het punt $(2;1)$ wordt bepaald uit het teken van $d^2F$.

$$ F_(xx)^("")=\frac(\lambda)(4); \; F_(xy)^("")=5; \; F_(yy)^("")=\lambda. $$

Aangezien $\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1=0$, dan:

$$ d\left(\frac(x^2)(8)+\frac(y^2)(2)-1\right)=0; \; d\left(\frac(x^2)(8) \right)+d\left(\frac(y^2)(2) \right)=0; \; \frac(x)(4)dx+ydy=0; \; dy=-\frac(xdx)(4y). $$

In principe kun je hier onmiddellijk de coördinaten van het stationaire punt $x=2$, $y=1$ en de parameter $\lambda=-10$ vervangen, waardoor je krijgt:

$$ F_(xx)^("")=\frac(-5)(2); \; F_(xy)^("")=-10; \; dy=-\frac(dx)(2).\\ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^(" ")dy^2=-\frac(5)(2)dx^2+10dx\cdot \left(-\frac(dx)(2) \right)-10\cdot \left(-\frac(dx) (2) \right)^2=\\ =-\frac(5)(2)dx^2-5dx^2-\frac(5)(2)dx^2=-10dx^2. $$

Bij andere problemen voor een conditioneel extremum kunnen er echter verschillende stationaire punten zijn. In dergelijke gevallen is het beter om $d^2F$ in een algemene vorm weer te geven en vervolgens de coördinaten van elk van de gevonden stationaire punten in de resulterende uitdrukking te vervangen:

$$ d^2 F=F_(xx)^("")dx^2+2F_(xy)^("")dxdy+F_(yy)^("")dy^2=\frac(\lambda) (4)dx^2+10\cdot dx\cdot \frac(-xdx)(4y) +\lambda\cdot \left(-\frac(xdx)(4y) \right)^2=\\ =\frac (\lambda)(4)dx^2-\frac(5x)(2y)dx^2+\lambda \cdot \frac(x^2dx^2)(16y^2)=\left(\frac(\lambda )(4)-\frac(5x)(2y)+\frac(\lambda \cdot x^2)(16y^2) \right)\cdot dx^2 $$

Als we $x=2$, $y=1$, $\lambda=-10$ substitueren, krijgen we:

$$ d^2 F=\left(\frac(-10)(4)-\frac(10)(2)-\frac(10 \cdot 4)(16) \right)\cdot dx^2=- 10dx^2. $$

Sinds $d^2F=-10\cdot dx^2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Antwoorden: op het punt $(2;1)$ heeft de functie een voorwaardelijk maximum, $z_(\max)=6$.

In het volgende deel gaan we in op de toepassing van de Lagrange-methode voor functies van een groter aantal variabelen.