25 доказів теореми піфагору. Теорема Піфагора: історія питання, докази, приклади практичного застосування

Різні способи доказу теореми Піфагора

учня 9 «А» класу

МОУ ЗОШ №8

Науковий керівник:

учитель математики,

МОУ ЗОШ №8

ст. Новоріздвяної

Краснодарського краю.

Ст. Новоріздвяна

АННОТАЦІЯ.

Теорема Піфагора по праву вважається найважливішою в курсі геометрії і заслуговує на пильну увагу. Вона є основою вирішення безлічі геометричних завдань, базою для вивчення теоретичного та практичного курсугеометрії надалі. Теорема оточена найбагатшим історичним матеріалом, пов'язаним з її появою та способами доказу. Вивчення історії розвитку геометрії прищеплює любов до даному предмету, сприяє розвитку пізнавального інтересу, загальної культури та творчості, а також розвиває навички науково-дослідної роботи.

В результаті пошукової діяльності було досягнуто мети роботи, що полягає в поповненні та узагальненні знань за доказом теореми Піфагора. Вдалося знайти та розглянути різні способидокази та поглибити знання на тему, вийшовши за сторінки шкільного підручника.

Зібраний матеріал ще більше переконує у тому, що теорема Піфагора є великою теоремою геометрії, має величезне теоретичне та практичне значення.

Вступ. Історична довідка 5 Основна частина 8

3. Висновок 19

4. Використовувана література 20
1. ВВЕДЕННЯ. ІСТОРИЧНА ДОВІДКА.

Суть істини вся в тому, що нам вона - назавжди,

Коли хоч раз у її прозрінні побачимо світло,

І теорема Піфагора за стільки років

Для нас, як для нього, безперечна, бездоганна.

На радощах богам був Піфагором дано обітницю:

За те, що мудрість торкнулася нескінченної,

Він сто биків заклав, завдяки одвічним;

Моління та хвали підніс він жертві слідом.

З тих пір бики, коли вчують, тужачись,

Що до нової істини людей знову підводить слід,

Ревут розлютився, так що слухати сечі немає,

Такий у них Піфагор вселив навіки жах.

Бикам, безсилим нової правді протистояти,

Що лишається? - Лише очі заплющивши, ревти, тремтіти.

Невідомо, як доводив Піфагор свою теорему. Безперечно лише те, що він відкрив її під сильним впливом єгипетської науки. Окремий випадоктеореми Піфагора - властивості трикутника зі сторонами 3, 4 і 5 - був відомий будівельникам пірамід задовго до народження Піфагора, сам він понад 20 років навчався у єгипетських жерців. Збереглася легенда, яка свідчить, що, довівши свою знамениту теорему, Піфагор приніс богам у жертву бика, а з інших джерел, навіть 100 биків. Це, проте, суперечить відомостям про моральні та релігійні погляди Піфагора. У літературних джерелах можна прочитати, що він «забороняв навіть убивати тварин, а тим більше ними годуватись, бо тварини мають душу, як і ми». Піфагор харчувався лише медом, хлібом, овочами та зрідка рибою. У зв'язку з цим більш правдоподібної вважатимуться такий запис: «...і навіть коли він відкрив, що у прямокутному трикутнику гіпотенуза має відповідність до катетами, він приніс жертву бика, зробленого з пшеничного тесту».

Популярність теореми Піфагора настільки велика, що її докази зустрічаються навіть у художній літературі, наприклад, у оповіданні відомого англійського письменника Хакслі «Юний Архімед». Такий самий Доказ, але для окремого випадку рівнобедреного прямокутного трикутника наводиться в діалозі Платона «Менон».

Казка «Будинок».

«Далеко, куди не літають навіть літаки, знаходиться країна Геометрія. У цій незвичайній країні було одне дивовижне місто – місто Теорем. Якось до цього міста прийшла красива дівчинкана ім'я Гіпотенуза. Вона спробувала зняти кімнату, але куди б вона не зверталася, їй усюди відмовляли. Нарешті вона підійшла до похилого будинку і постукала. Їй відкрив чоловік, який назвав себе Прямим Кутом, і він запропонував Гіпотенузе оселитися в нього. Гіпотенуза залишилася в будинку, в якому жили Прямий Кут і два його маленькі сини на ім'я Катети. З того часу життя в будинку Прямого Кута пішло по-новому. На віконці гіпотенуза посадила квіти, а в палісаднику розвела червоні троянди. Будинок набув форми прямокутного трикутника. Обом катетам Гіпотенуза дуже сподобалася і вони попросили її залишитися назавжди у їхньому будинку. Ло вечорами ця дружна сім'я збирається за сімейним столом. Іноді Прямий Кут грає зі своїми дітлахами в хованки. Найчастіше шукати доводиться йому, а Гіпотенуза ховається так майстерно, що знайти її дуже важко. Одного разу під час гри Прямий Кут помітив цікаву властивість: якщо йому вдається знайти катети, то знайти Гіпотенузу не важко. Так Прямий Кут користується цією закономірністю, слід сказати, дуже успішно. На властивості цього прямокутного трикутникаі засновано теорему Піфагора.

(З книги А. Окуньова «Дякую за урок, діти»).

Жартівливе формулювання теореми:

Якщо дано нам трикутник

І до того ж з прямим кутом,

То квадрат гіпотенузи

Ми завжди легко знайдемо:

Катети у квадрат зводимо,

Суму ступенів знаходимо –

І таким простим шляхом

До результату ми дійдемо.

Вивчаючи алгебру і початку аналізу та геометрію в 10 класі, я переконалася в тому, що крім розглянутого у 8 класі способу доказу теореми Піфагора існують інші способи доказу. Уявляю їх на ваш огляд.
2. ОСНОВНА ЧАСТИНА.

Теорема. У прямокутному трикутнику квадрат

гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів.

1 СПОСІБ.

Користуючись властивостями площ багатокутників, встановимо чудове співвідношення між гіпотенузою та катетами прямокутного трикутника.

Доведення.

а, вта гіпотенузою з(Рис.1, а).

Доведемо, що з²=а²+в².

Доведення.

Добудуємо трикутник до квадрата зі стороною а + втак, як показано на рис. 1, б. Площа S цього квадрата дорівнює (а + в) ². З іншого боку, цей квадрат складається з чотирьох рівних прямокутних трикутників, площа кожного з яких дорівнює ½ ав, і квадрата зі стороною с,тому S = 4 * ½ ав + с² = 2ав + с².

Таким чином,

(а + в)² = 2 ав + с²,

з²=а²+в².

Теорему доведено.
2 СПОСІБ.

Після вивчення теми «Подібні трикутники» я з'ясувала, що можна застосувати подібність трикутників до підтвердження теореми Піфагора. А саме, я скористалася твердженням про те, що катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним для гіпотенузи і відрізком гіпотенузи, укладеного між катетом і висотою, проведеною з вершини прямого кута.

Розглянемо прямокутний трикутник із прямим кутом С, СD – висота (рис. 2). Доведемо, що АС² +СВ² = АВ² .

Доведення.

На підставі твердження про кате прямокутного трикутника:

АС = СВ = .

Зведемо в квадрат і складемо отримані рівності:

АС² = АВ * АD, СВ ² = АВ * DВ;

АС² + СВ² = АВ * (AD + DВ), де АD + DB = AB, тоді

АС² + СВ² = АВ * АВ,

АС² + СВ² = АВ².

Доказ закінчено.
3 СПОСІБ.

На підтвердження теореми Піфагора можна застосувати визначення косинуса гострого кута прямокутного трикутника. Розглянемо рис. 3.

Доведення:

Нехай АВС – даний прямокутний трикутник із прямим кутом З. Проведемо висоту СD з вершини прямого кута З.

За визначенням косинуса кута:

cos А = АD/АС = АС/АВ. Звідси АВ * АD = АС²

Аналогічно,

cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.

Звідси АВ * ВD = ВС².

Складаючи отримані рівності почленно і зауважуючи, що АD + DВ = АВ, отримаємо:

АС² + НД² = АВ (АD + DВ) = АВ²

Доказ закінчено.
4 СПОСІБ.

Вивчивши тему "Співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника", я думаю, що теорему Піфагора можна довести ще одним способом.

Розглянемо прямокутний трикутник із катетами а, вта гіпотенузою з. (Рис. 4).

Доведемо, що с²=а²+в².

Доведення.

sin В=в/с ; cos В= a/с , то, звівши в квадрат отримані рівності, отримаємо:

sin² В=в²/с²; cos² У= а?/с?.

Склавши їх, отримаємо:

sin² У+ cos² В=в²/с²+ а²/с², де sin² У+ cos² В=1,

1= (в²+ а²) / с², отже,

с²= а² + в².

Доказ закінчено.

5 СПОСІБ.

Цей доказ ґрунтується на розрізанні квадратів, побудованих на катетах (рис. 5), та укладанні отриманих частин на квадраті, побудованому на гіпотенузі.

6 СПОСІБ.

Для доказу на катете НДбудуємо BCD ABC(Рис.6). Ми знаємо, що площі подібних фігур відносяться як квадрати їх подібних лінійних розмірів:

Віднімаючи з першої рівності другу, отримаємо

с2 = а2 + b2.

Доказ закінчено.

7 СПОСІБ.

Дано(Мал. 7):

ABС,= 90 ° , НД= а, АС=b, АВ = с.

Довести:с2 = а2 +b2.

Доведення.

Нехай катет b а.Продовжимо відрізок СВза крапку Уі побудуємо трикутник BMDтак, щоб точки Мі Алежали по одну сторону від прямої CDі крім того, BD =b, BDM= 90 °, DM= a, тоді BMD= ABCз обох боків і кутку між ними. Точки А та Мз'єднаємо відрізками AM.Маємо MD CDі AC CD,значить, пряма АСпаралельна прямий MD.Так як MD< АС, то прямі CDі AMне паралельні. Отже, AMDC -прямокутна трапеція.

У прямокутних трикутниках ABC та BMD 1 + 2 = 90 ° і 3 + 4 = 90 °, але так як = =, то 3 + 2 = 90 °; тоді АВМ= 180 ° - 90 ° = 90 °. Виявилося, що трапеція AMDCрозбита на три прямокутні трикутники, що не перекриваються, тоді по аксіомах площ

(a+b)(a+b)

Розділивши всі члени нерівності на , отримаємо

аb + с2 + аb = (а +b) , 2 ab+ с2 = а2+ 2аb+ b2,

с2 = а2 + b2.

Доказ закінчено.

8 СПОСІБ.

Даний спосіб ґрунтується на гіпотенузі та катетах прямокутного трикутника ABC.Він будує відповідні квадрати і доводить, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах (рис. 8).

Доведення.

1) DBC= FBA= 90 °;

DBC + ABC= FBA + ABC,значить, FBC = DBA.

Таким чином, FBC=ABD(Двома сторонами і кутом між ними).

2) , де AL DE, тому що BD - загальна основа, DL -загальна висота.

3) , так як FB-снування, АВ- загальна висота.

4)

5) Аналогічно можна довести, що

6) Складаючи почленно, отримуємо:

, ВС2 = АВ2 + АС2 . Доказ закінчено.

9 СПОСІБ.

Доведення.

1) Нехай ABDE- квадрат (рис. 9), сторона якого дорівнює гіпотенузі прямокутного трикутника ABC (АВ= с, НД = а, АС =b).

2) Нехай DK BCі DK = НД,так як 1 + 2 = 90 ° (як гострі кути прямокутного трикутника), 3 + 2 = 90 ° (як кут квадрата), АВ= BD(Буки квадрата).

Значить, ABC= BDK(з гіпотенузи та гострого кута).

3) Нехай EL DK, AM EL.Можна легко довести, що ABC = BDK = DEL = ЕАМ (з катетами аі b).Тоді КС= СМ= ML= LK= а -b.

4) SKB = 4S + SKLMC= 2ab+ (a - b),з2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Доказ закінчено.

10 СПОСІБ.

Доказ може бути проведений на фігурі, жартома званої «Піфагорові штани» (рис. 10). Ідея його полягає у перетворенні квадратів, побудованих на катетах, у рівновеликі трикутники, що становлять разом квадрат гіпотенузи.

ABCзрушуємо, як показано стрілкою, і він займає положення KDN.Частина фігури, що залишилася AKDCBрівновелика площі квадрата AKDC –це паралелограм AKNB.

Зроблено модель паралелограма AKNB. Паралелограм перекладаємо так, як замальовано у змісті роботи. Щоб показати перетворення паралелограма на рівновеликий трикутник, на очах учнів відрізаємо на моделі трикутник і перекладаємо його вниз. Таким чином, площа квадрата AKDCвийшла дорівнює площі прямокутника. Аналогічно перетворимо площу квадрата на площу прямокутника.

Зробимо перетворення для квадрата, побудованого на катете а(Рис. 11,а):

а) квадрат перетворюється на рівновеликий паралелограм (рис. 11,6):

б) паралелограм повертається на чверть обороту (рис. 12):

в) паралелограм перетворюється на рівновеликий прямокутник (рис. 13): 11 СПОСІБ.

Доведення:

PCL –пряма (Рис. 14);

KLOA= ACPF= ACED= а2;

LGBO= СВМР =CBNQ= b 2;

AKGB= AKLO +LGBO= с2;

с2 = а2 + b2.

Доказ закінчено .

12 СПОСІБ.

Рис. 15 ілюструє ще один оригінальний доказ теореми Піфагора.

Тут: трикутник ABC з прямим кутом; відрізок BFперпендикулярний СВі дорівнює йому, відрізок BEперпендикулярний АВі дорівнює йому, відрізок ADперпендикулярний АСі дорівнює йому; крапки F, С,Dналежать до однієї прямої; чотирикутники ADFBі АСВЕрівновеликі, тому що ABF = ЄСВ;трикутники ADFі АСЕрівновеликі; віднімемо від обох рівновеликих чотирикутників загальний для них трикутник ABC,отримаємо

, с2 = а2 + b2.

Доказ закінчено.

13 СПОСІБ.

Площа даного прямокутного трикутника, з одного боку, дорівнює , з іншого, ,

3. ВИСНОВОК.

В результаті пошукової діяльності було досягнуто мети роботи, що полягає в поповненні та узагальненні знань за доказом теореми Піфагора. Вдалося знайти та розглянути різні способи її доказу та поглибити знання на тему, вийшовши за сторінки шкільного підручника.

Зібраний мною матеріал ще більше переконує у тому, що теорема Піфагора є великою теоремою геометрії, має величезне теоретичне та практичне значення. На завершення хотілося б сказати: причина популярності теореми Піфагора триєдіна – це краса, простота та значущість!

4. ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА.

1. Цікава алгебра. . Москва "Наука", 1978.

2. Щотижневий навчально-методичний додаток до газети «Перше вересня», 24/2001.

3. Геометрія 7-9. та ін.

4. Геометрія 7-9. та ін.

Анімаційний доказ теореми Піфагора – одна з основоположнихтеорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь якого вона названа (є й інші версії, зокрема альтернативна думка, що ця теорема в загальному виглядібула сформульована математиком-піфагорійцем Гіппасом).
Теорема каже:

У прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Позначивши довжину гіпотенузи трикутника c,а довжини катетів як aі b,отримаємо таку формулу:

Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косінусів, яка визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.
Також доведено зворотне твердження (називають також зворотній теореміПіфагора):

Для будь-яких трьох позитивних чисел a, b і c, таких що a? + b? = c?, Існує прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c.

Візуальний доказ трикутника (3, 4, 5) з книги «Чу Пей» 500-200 до н.е. Історію теореми можна розділити на чотири частини: знання про Піфагорові числа, знання про відношення сторін у прямокутному трикутнику, знання про відношення суміжних кутівта доказ теореми.
Мегалітичні споруди близько 2500 р. до н.е. в Єгипті та Північній Європі містять прямокутні трикутники зі сторонами з цілих чисел. Бартель Леендерт ван дер Варден висловив гіпотезу, що в ті часи Піфагорові числа було знайдено алгебраїчно.
Написаний між 2000 та 1876 до н.е. папірус часів Середнього Єгипетського царства Berlin 6619містить задачу розв'язанням якої є числа Піфагора.
За правління Хаммурапі Великого, вівілонська табличка Plimpton 322,написана між 1790 і 1750 е. містить багато записів тісно пов'язаних з числами Піфагора.
У сутрах Будхаяни, які датуються по різним версіямвосьмий чи другий століттями е. в Індії, що містить Піфагорові числа виведені алгебраїчно, формулювання теореми Піфагора та геометричний доказ для рівнобедреного прямокутного трикутника.
У сутрах Апастамба (близько 600 е.) міститься числовий доказтеореми Піфагора із використанням обчислення площі. Ван дер Варден вважає, що він був заснований на традиціях попередників. Згідно з Альбертом Бурком, це оригінальний доказ теореми і він припускає, що Піфагор відвідав Араконам і скопіював його.
Піфагор, роки життя якого зазвичай вказують 569 - 475 до н. використовує методи алгебрирозрахунку піфагорових чисел, згідно з Прокловим коментарями до Евкліда. Прокл, однак, жив між 410 та 485 роками н.е. Згідно з Томасом Гізом, немає жодних вказівок на авторство теореми протягом п'яти століть після Піфагора. Однак, коли такі автори, як Плутарх або Цицерон, приписують теорему Піфагору, вони роблять це так, ніби авторство широко відоме і безсумнівне.
Близько 400 до зв. е. відповідно Прокла, Платон дав метод розрахунку піфагорових чисел, що поєднував алгебру та геометрію. Близько 300 до н.е. ПочаткахЄвкліда маємо найдавніший аксіоматичний доказ, який зберігся до наших днів.
Написані десь між 500 е. та 200 до н.е., китайська математична книга«Чу Пей» (? ? ? ?), дає візуальний доказ теореми Піфагора, що у Китаї називається теорема гугу (????), для трикутника зі сторонами (3, 4, 5). Під час правління династії Хань, з 202 до н. до 220 н. Піфагорові числа з'являються у книзі «Дев'ять розділів математичного мистецтва» разом із згадкою про прямокутні трикутники.
Вперше зафіксовано використання теореми у Китаї, де вона відома як теорема гугу (????) та в Індії, де вона відома як теорема Баскара.
Багато хто дискутується була теорема Піфагора відкрита один раз або багаторазово. Бойєр (1991) вважає, що знання виявлені в Шульбі Сутра можуть бути месопотамського походження.
Алгебраїчний доказ
Квадрати утворюються із чотирьох прямокутних трикутників. Відомо понад сто доказів теореми Піфагора. Тут представлені докази засновані на теоремі існування площі фігури:

Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено малюнку.
Чотирикутник зі сторонами cє квадратом, тому що сума двох гострих кутів, А розгорнутий кут – .
Площа всієї фігури дорівнює, з одного боку, площі квадрата зі стороною «a + b», з другого – сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

Що й потрібно довести.
За подібністю трикутників
Використання таких трикутників. Нехай ABC- Прямокутний трикутник, в якому кут Cпрямий, як показано на малюнку. Проведемо висоту з точки C,і назвемо Hточку перетину зі стороною AB.Утворено трикутник ACHподібний до трикутника ABC,оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і вони мають загальний кут A,Вочевидь третій кут буде у цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуючи, трикутник CBHтакож подібний до трикутника ABC.З подоби трикутників: Якщо

Це можна записати у вигляді

Якщо додати ці дві рівності, отримаємо

HB + c times AH = c times (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Іншими словами, теорема Піфагора:

Доказ Евкліда
Доказ Евкліда в евклідових "Початках", теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, Cвершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A.Опустимо перпендикуляр із крапки Aна протилежну сторону гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Лінія ділить квадрат на два прямокутники, кожен з яких має таку ж площу, що квадрати побудовані на катетах. Головна ідеяпри доказі полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються на паралелограми такої ж площі, а потім повертаються і перетворюються на прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

Проведемо відрізки CFі AD,отримаємо трикутники BCFі BDA.
Кути CABі BAG- Прямі; відповідно точки C, Aі G- Колінеарні. Так само B, Aі H.
Кути CBDі FBA- Обидва прямі, тоді кут ABD дорівнює куту FBC,оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.
Трикутник ABDі FBCрівні з обох боків та кутку між ними.
Оскільки точки A, Kі L– колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB 2)
Аналогічно міркуючи отримаємо CKLE = ACIH = AC 2
З одного боку площа CBDEдорівнює сумі площ прямокутників BDLKі CKLE,а з іншого боку площа квадрата BC 2,або AB 2 + AC 2 = BC 2.

Використовуючи диференціали
Використання диференціалів. Теоремі Піфагора можна прийти, якщо вивчати як приріст сторони впливає на ведичину гіпотенузи, як показано на малюнку праворуч і застосувати невелике обчислення.
Внаслідок приросту сторони a,з подібних трикутників для нескінченно малих прирощень

Інтегруючи отримаємо

Якщо a= 0 тоді c = b,так що "константа" - b 2.Тоді

Як можна побачити, квадрати отримані завдяки пропорції між прирощеннями та сторонами, тоді як сума є результатом незалежного вкладу приростів сторін, не очевидно з геометричних доказів. У цих рівняннях daі dc– відповідно нескінченно малі збільшення сторін aі c.Але замість них ми використовуємо? aі? c,тоді межа відношення, якщо вони прагнуть нуля дорівнює da / dc,похідна, а також дорівнює c / a,відношенню довжин сторін трикутників, в результаті отримуємо диференціальне рівняння.
У разі ортогональної системи векторів має місце рівність, яку також називають теоремою Піфагора:

Якщо – Це векторні проекції на координатні осі, то ця формула збігається з відстанню Евкліда і означає, що довжина вектора дорівнює кореню квадратної сумиквадратів його компонентів.
Аналог цієї рівності у разі нескінченної системивекторів називається рівності Парсеваля.

В одному можна бути впевненим на всі сто відсотків, що на питання, чому дорівнює квадрат гіпотенузи, будь-яка доросла людина сміливо відповість: «Сумі квадратів катетів». Ця теорема міцно засіла у свідомості кожного освіченої людиниАле досить лише попросити когось її довести, і тут можуть виникнути складності. Тому давайте згадаємо та розглянемо різні способи доказу теореми Піфагора.

Короткий огляд біографії

Теорема Піфагора знайома практично кожному, але чомусь біографія людини, яка справила її на світ, не така популярна. Це можна виправити. Тому як вивчити різні методи підтвердження теореми Піфагора, необхідно коротко познайомитися з його особистістю.

Піфагор - філософ, математик, мислитель родом із Сьогодні дуже складно відрізнити його біографію від легенд, які склалися на згадку про цю велику людину. Але, як випливає з праць його послідовників, Піфагор Самоський народився на острові Самос. Його батько був звичайний каменеріз, а ось мати походила зі знатного роду.

Судячи з легенди, поява на світ Піфагора передбачила жінка на ім'я Піфія, на чию честь і назвали хлопчика. За її пророцтвом народжений хлопчик мав принести багато користі та добра людству. Що взагалі він і зробив.

Народження теореми

У юності Піфагор переїхав до Єгипту, щоб зустрітися там з відомими єгипетськими мудрецями. Після зустрічі з ними він був допущений до навчання, де й пізнав усі великі досягнення єгипетської філософії, математики та медицини.

Ймовірно, саме в Єгипті Піфагор надихнувся величністю та красою пірамід і створив свою велику теорію. Це може шокувати читачів, але сучасні історики вважають, що Піфагор не доводив своєї теорії. А лише передав своє знання послідовникам, які згодом і завершили всі необхідні математичні обчислення.

Як би там не було, сьогодні відома не одна методика доказу цієї теореми, а відразу кілька. Сьогодні залишається лише гадати, як саме давні греки робили свої обчислення, тому тут розглянемо різні способи доказу теореми Піфагора.

теорема Піфагора

Перш ніж починати будь-які обчислення, потрібно з'ясувати, яку теорію доведеться довести. Теорема Піфагора звучить так: «У трикутнику, у якого один із кутів дорівнює 90 про, сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи».

Усього існує 15 різних способів доказу теореми Піфагора. Це досить велика цифра, тому приділимо увагу найпопулярнішим із них.

Спосіб перший

Спочатку позначимо, що нам дано. Ці дані будуть поширюватися і інші способи доказів теореми Піфагора, тому варто відразу запам'ятати всі наявні позначення.

Припустимо, дано прямокутний трикутник, з катетами а, в і гіпотенузою, що дорівнює с. Перший спосіб доказу полягає в тому, що з прямокутного трикутника потрібно домалювати квадрат.

Щоб це зробити, потрібно до катета завдовжки, а домалювати відрізок рівний катетув, і навпаки. Так має вийти дві рівні сторониквадрат. Залишається тільки намалювати дві паралельні прямі, і квадрат готовий.

Усередині фігури, що вийшла, потрібно накреслити ще один квадрат зі стороною рівної гіпотенузивихідного трикутника. Для цього від вершин ас і св потрібно намалювати два паралельних відрізкарівних с. Таким чином, вийти три сторони квадрата, одна з яких і є гіпотенуза вихідного прямокутного трикутника. Залишається лише докреслити четвертий відрізок.

На підставі малюнка можна зробити висновок, що площа зовнішнього квадрата дорівнює (а + в) 2 . Якщо заглянути всередину фігури, можна побачити, що крім внутрішнього квадрата в ній є чотири прямокутні трикутники. Площа кожного дорівнює 0,5 ав.

Тому площа дорівнює: 4*0,5ав+с2 =2ав+с2

Звідси (а+в) 2 =2ав+з 2

І, отже, з 2 = а 2 + 2

Теорему доведено.

Спосіб два: подібні трикутники

Ця формула доказу теореми Піфагора була виведена на підставі затвердження з розділу геометрії про подібні трикутники. Воно говорить, що катет прямокутного трикутника - середнє пропорційне для його гіпотенузи та відрізка гіпотенузи, що виходить з вершини кута 90 о.

Вихідні дані залишаються самі, тому почнемо відразу з докази. Проведемо перпендикулярний стороні АВ відрізок ЦД. Ґрунтуючись на вищеописаному затвердженні катети трикутників рівні:

АС=√АВ*АД, СВ=√АВ*ДВ.

Щоб відповісти питанням, як довести теорему Піфагора, доказ потрібно прокласти зведенням у квадрат обох нерівностей.

АС 2 = АВ * АД і СВ 2 = АВ * ДВ

Тепер потрібно скласти нерівності.

АС 2 + СВ 2 = АВ * (АД * ДВ), де АД + ДВ = АВ

Виходить що:

АС 2 + СВ 2 = АВ * АВ

І, отже:

АС2 + СВ2 = АВ2

Доказ теореми Піфагора та різні способи її вирішення потребують різнобічного підходу до цього завдання. Однак цей варіант є одним із найпростіших.

Ще одна методика розрахунків

Опис різних способів доказу теореми Піфагора можуть ні про що не сказати, доти поки самостійно не приступиш до практики. Багато методик передбачають як математичні розрахунки, а й побудова з вихідного трикутника нових постатей.

У даному випадкунеобхідно від катета ПС добудувати ще один прямокутний трикутник ВСД. Таким чином, тепер є два трикутники із загальним катетом ВС.

Знаючи, що площі подібних фігур мають співвідношення як квадрати їх подібних лінійних розмірів, то:

S авс * з 2 - S авд *в 2 =S авд *а 2 - S всд *а 2

S авс *(з 2 -в 2)=а 2 *(S авд -S нд)

з 2 -2 = а 2

з 2 = а 2 + 2

Оскільки з різних способів доказів теореми Піфагора для 8 класу цей варіант навряд чи підійде, можна скористатися такою методикою.

Найпростіший спосіб довести теорему Піфагора. Відгуки

Як вважають історики, цей спосіб був вперше використаний для доказу теореми ще в стародавньої Греції. Він є найпростішим, тому що не вимагає жодних розрахунків. Якщо правильно накреслити малюнок, то доказ твердження, що а 2 + 2 = с 2 буде видно наочно.

Умови для даного способутрохи відрізнятиметься від попереднього. Щоб довести теорему, припустимо, що прямокутний трикутник АВС рівнобедрений.

Гіпотенузу АС приймаємо за бік квадрата та докреслюємо три його сторони. Крім цього необхідно провести дві діагональні прямі в квадраті, що вийшов. Таким чином, щоб усередині нього вийшло чотири рівнобедрених трикутники.

До катетів АВ і СВ також потрібно докреслити по квадрату і провести по одній діагональній прямій у кожному з них. Першу пряму креслимо з вершини А, другу - із З.

Тепер потрібно уважно вдивитися в малюнок, що вийшов. Оскільки на гіпотенузі АС лежить чотири трикутники, рівні вихідному, а на катетах по два, це говорить про правдивість цієї теореми.

До речі, завдяки даній методиці доказу теореми Піфагора і з'явилася світ знаменита фраза: «Піфагорові штани на всі боки рівні»

Доказ Дж. Гарфілда

Джеймс Гарфілд – двадцятий президент Сполучених Штатів Америки. Крім того, що він залишив свій слід в історії як правитель США, він був ще й обдарованим самоуком.

На початку своєї кар'єри він був звичайним викладачем у народній школі, але незабаром став директором однієї з вищих навчальних закладів. Прагнення саморозвитку і дозволило йому запропонувати нову теоріюдокази теореми Піфагора. Теорема та приклад її вирішення виглядає наступним чином.

Спочатку потрібно накреслити на аркуші паперу два прямокутні трикутники таким чином, щоб катет одного з них був продовженням другого. Вершини цих трикутників потрібно з'єднати, щоб зрештою вийшла трапеція.

Як відомо, площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав на висоту.

S=а+в/2* (а+в)

Якщо розглянути трапецію, як фігуру, що складається з трьох трикутників, то її площу можна знайти так:

S=ав/2 *2 + з 2/2

Тепер необхідно зрівняти два вихідні вирази

2ав/2 + с/2=(а+в) 2 /2

з 2 = а 2 + 2

Про теорему Піфагора та способи її доказу можна написати не один том навчального посібника. Але чи є в ньому сенс, коли ці знання не можна застосувати на практиці?

Практичне застосування теореми Піфагора

На жаль, у сучасних шкільних програмах передбачено використання цієї теореми тільки в геометричних задачах. Випускники скоро покинуть шкільні стіни, так і не дізнавшись, а як вони можуть застосувати свої знання та вміння на практиці.

Насправді ж використовувати теорему Піфагора у своїй повсякденному життіможе кожен. Причому не тільки в професійної діяльності, а й у звичайних домашніх справах. Розглянемо кілька випадків, коли теорема Піфагора і її докази можуть виявитися вкрай необхідними.

Зв'язок теореми та астрономії

Здавалося б, як можуть бути пов'язані зірки та трикутники на папері. Насправді ж астрономія - це наукова сфера, В якій широко використовується теорема Піфагора.

Наприклад, розглянемо рух світлового променя у космосі. Відомо, що світло рухається обидві сторони з однаковою швидкістю. Траєкторію АВ, якою рухається промінь світла назвемо l. А половину часу, який необхідно світлу, щоб потрапити з точки А до точки Б, назвемо t. І швидкість променя - c. Виходить що: c*t=l

Якщо подивитися на цей промінь з іншої площини, наприклад, з космічного лайнера, який рухається зі швидкістю v, то при такому спостереженні тіл їх швидкість зміниться. При цьому навіть нерухомі елементи рухатимуться зі швидкістю v у зворотному напрямку.

Припустимо, комічний лайнер пливе праворуч. Тоді точки А і В, між якими метається промінь, рухатимуться вліво. Причому, коли промінь рухається від точки А до точки В, точка А встигає переміститися і, відповідно, світло вже прибуде в нову точкуЩоб знайти половину відстані, на яку змістилася точка А, потрібно швидкість лайнера помножити на половину часу подорожі променя (t").

А щоб знайти, яку відстань за цей час зміг пройти промінь світла, потрібно позначити половину шляху нової букової s і отримати такий вираз:

Якщо уявити, що точки С і В, а також космічний лайнер - це вершини рівнобедреного трикутника, то відрізок від точки А до лайнера розділить його на два прямокутні трикутники. Тому завдяки теоремі Піфагора можна знайти відстань, яку зміг пройти промінь світла.

Цей приклад, звичайно, не найвдаліший, тому що тільки одиницям може пощастити випробувати його на практиці. Тому розглянемо приземлені варіанти застосування цієї теореми.

Радіус передачі мобільного сигналу

Сучасне життя вже неможливо уявити без смартфонів. Але чи багато було б від них користі, якби вони не могли з'єднувати абонентів за допомогою мобільного зв'язку?!

Якість мобільного зв'язку безпосередньо залежить від того, на якій висоті знаходиться антена мобільного оператора. Для того, щоб обчислити, яку відстань від мобільної вежі телефон може приймати сигнал, можна застосувати теорему Піфагора.

Допустимо, потрібно знайти приблизну висоту стаціонарної вежі, щоб вона могла поширювати сигнал у радіусі 200 кілометрів.

АВ (висота вежі) = х;

НД (радіус передачі сигналу) = 200 км;

ОС (радіус земної кулі) = 6380 км;

ОВ=ОА+АВОВ=r+х

Застосувавши теорему Піфагора, з'ясуємо, що мінімальна висота вишки має становити 2,3 кілометри.

Теорема Піфагора у побуті

Як не дивно, теорема Піфагора може бути корисною навіть у побутових справах, таких як визначення висоти шафи-купе, наприклад. На перший погляд немає необхідності використовувати такі складні обчислення, адже можна просто зняти мірки за допомогою рулетки. Але багато хто дивується, чому в процесі складання виникають певні проблеми, якщо всі мірки були зняті більш ніж точно.

Справа в тому, що шафа-купе збирається в горизонтальному положенні і потім піднімається і встановлюється до стіни. Тому боковина шафи в процесі підйому конструкції повинна вільно проходити і висотою, і по діагоналі приміщення.

Припустимо, є шафа-купе глибиною 800 мм. Відстань від підлоги до стелі – 2600 мм. Досвідчений мебляр скаже, що висота шафи повинна бути на 126 мм менше, ніж висота приміщення. Але чому саме на 126 мм? Розглянемо з прикладу.

При ідеальних габаритах шафи перевіримо дію теореми Піфагора:

АС=√АВ 2 +√ВС 2

АС = √2474 2 +800 2 =2600 мм - все сходиться.

Допустимо, висота шафи дорівнює не 2474 мм, а 2505 мм. Тоді:

АС=√2505 2 +√800 2 =2629 мм.

Отже, ця шафа не підійде для встановлення у цьому приміщенні. Так як при піднятті його у вертикальне положення можна завдати шкоди його корпусу.

Мабуть, розглянувши різні методи підтвердження теореми Піфагора різними вченими, можна дійти невтішного висновку, що вона більш ніж правдива. Тепер можна використовувати отриману інформацію у своєму повсякденному житті і бути цілком впевненим, що всі розрахунки будуть не тільки корисними, а й вірними.

Тим, хто цікавиться історією теореми Піфагора, яку вивчають у шкільній програмі, буде також цікавий такий факт, як публікація в 1940 році книги з трьохсот сімдесятьма доказами цієї, здавалося б, простої теореми. Але вона інтригувала уми багатьох математиків та філософів різних епох. У книзі рекордів Гіннеса вона зафіксована як теорема з найбільшою кількістю доказів.

Історія теореми Піфагора

Пов'язана з ім'ям Піфагора теорема була відома задовго до народження великого філософа. Так було в Єгипті, під час будівництва споруд, враховувалося співвідношення сторін прямокутного трикутника п'ять тисячоліть тому. У вавилонських текстах згадується все те ж співвідношення сторін прямокутного трикутника за 1200 років до народження Піфагора.

Виникає питання, чому тоді говорить історія - поява теореми Піфагора належить йому? Відповідь може бути лише одна - він довів співвідношення сторін у трикутнику. Він зробив те, що століття тому не робили ті, хто просто користувався співвідношенням сторін та гіпотенузи, встановленим досвідченим шляхом.

З життя Піфагора

Майбутній великий учений, математик, філософ народився на острові Самос в 570 році до нашої ери. Історичні документизберегли відомості про батька Піфагора, який був різьбяром по дорогоцінного каміння, А ось про матір відомостей немає. Про хлопчика, що народився, говорили, що це непересічна дитина, що проявила з дитячого вікупристрасть до музики та поезії. До вчителів юного Піфагора історики відносять Гермодаманта та Ферекіда Сіросського. Перший ввів хлопчика у світ муз, а другий, будучи філософом та засновником італійської школи філософії, направив погляд юнака до логосу.

У 22 роки від народження (548 р. до н. е.) Піфагор відправився в Навкратіс для вивчення мови та релігії єгиптян. Далі його шлях лежав до Мемфісу, де завдяки жерцям, пройшовши через їхні хитромудрі випробування, він збагнув єгипетську геометрію, яка, можливо, наштовхнула допитливого юнака на доказ теореми Піфагора. Історія надалі припише теоремі саме це ім'я.

У полоні царя Вавилона

Дорогою додому в Елладу, Піфагор потрапляє в полон царя Вавилона. Але знаходження в полоні принесло користь допитливому розуму математика-початківця, йому було чому повчитися. Адже в ті роки математика у Вавилоні була більш розвиненою, ніж у Єгипті. Дванадцять років він провів за вивченням математики, геометрії та магії. І, можливо, саме вавилонська геометрія причетна до доказу співвідношення сторін трикутника та історії відкриття теореми. Піфагор мав для цього достатньо отриманих знань і часу. Але що це сталося у Вавилоні, документального підтвердження чи спростування тому немає.

У 530 р. до н. Піфагор біжить із полону на батьківщину, де мешкає при дворі тирана Полікрата у статусі напівраба. Таке життя Піфагора не влаштовує, і він віддаляється в печери Самоса, а потім вирушає на південь Італії, де на той час розташовувалася грецька колоніяКротон.

Таємний чернечий орден

На базі цієї колонії Піфагор організував таємний чернечий орден, що представляв собою релігійний союз і наукове товариствоодночасно. Це суспільство мало свій статут, у якому йшлося про дотримання особливого способу життя.

Піфагор стверджував, щоб зрозуміти Бога, людина має пізнати такі науки як алгебра та геометрія, знати астрономію та розуміти музику. Дослідницька роботазводилася до пізнання містичного боку чисел та філософії. Слід зазначити, що проповідовані на той час Піфагором принципи мають сенс у наслідуванні і в даний час.

Багато відкриттів, які робили учні Піфагора, приписувалися йому. Проте, якщо говорити коротко, історія створення теореми Піфагора древніми істориками та біографами того часу, пов'язується безпосередньо з ім'ям цього філософа, мислителя та математика.

Вчення Піфагора

Можливо, на думку про зв'язок теореми з ім'ям Піфагора наштовхнуло істориків висловлювання великого грека, що у горезвісному трикутнику з його катетами та гіпотенузою зашифровано всі явища нашого життя. А цей трикутник є "ключом" до вирішення всіх проблем, що виникають. Великий філософ говорив, що слід побачити трикутник, тоді вважатимуться, що завдання дві третини вирішена.

Про своє навчання Піфагор розповідав лише своїм учням усно, не роблячи жодних записів, тримаючи його в таємниці. На превеликий жаль, вчення найбільшого філософане збереглося донині. Щось із нього просочилося, але не можна сказати скільки істинного, а скільки хибного в тому, що стало відомо. Навіть із історією теореми Піфагора не все безперечно. Історики математики сумніваються в авторстві Піфагора, на думку теореми користувалися багато століть до народження.

теорема Піфагора

Може здатися дивним, але історичних фактівдокази теореми самим Піфагором немає — ні в архівах, ні в інших джерелах. У сучасній версії вважається, що воно належить нікому іншому, як самому Евкліду.

Є докази одного з найбільших істориків математики Моріца Кантора, який виявив на папірусі, що зберігається в Берлінському музеї, записане єгиптянами приблизно в 2300 до н. е. рівність, яка гласила: 3? + 4? = 5?.

Коротко з історії теореми Піфагора

Формулювання теореми з евклідових "Початків", у перекладі звучить так само як і в сучасній інтерпретації. Нового в її прочитанні немає: квадрат сторони протилежної прямому кутудорівнює сумі квадратів сторін, прилеглих до прямого кута. Про те, що теоремою користувалися давні цивілізації Індії та Китаю, підтверджує трактат "Чжоу - бі суань цзінь". Він містить відомості про єгипетський трикутник, в якому описано співвідношення сторін як 3:4:5.

Не менш цікавою є ще одна китайська математична книга «Чу-пей», в якій також згадується про піфагоровому трикутникуз поясненням та малюнками, що збігаються з кресленнями індуської геометрії Басхари. Про самому трикутнику в книзі написано, що якщо прямий кут можна розкласти на складові частини, тоді лінія, яка з'єднує кінці сторін, дорівнюватиме п'яти, якщо основа дорівнює трьом, а висота дорівнює чотирьом.

Індійський трактат "Сульва сутра", що відноситься приблизно до VII-V століть до н. е., розповідає про побудову прямого кута за допомогою єгипетського трикутника.

Доказ теореми

У середні віки учні вважали доказ теореми занадто важкою справою. Слабкі учні заучували теореми напам'ять, без розуміння сенсу доказу. У зв'язку з цим вони отримали прізвисько "осли", тому що теорема Піфагора була для них непереборною перешкодою, як для осла міст. У середні віки учні вигадали жартівливий вірш щодо цієї теореми.

Щоб довести теорему Піфагора самим легким шляхом, Слід просто виміряти його сторони, не використовуючи в доказі поняття про площі. Довжина сторони, що протилежить прямому куту - це c, а прилеглі до нього a і b, в результаті отримуємо рівняння: a 2 + b 2 = c 2 . Дане твердження, як говорилося вище, перевіряється шляхом виміру довжин сторін прямокутного трикутника.

Якщо почати доказ теореми з розгляду площі прямокутників, побудованих на сторонах трикутника, можна визначити площу всієї фігури. Вона дорівнює площі квадрата зі стороною (a+b), а з іншого боку, сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2;

a 2 + 2ab + b 2;

c 2 = a 2 + b 2 що і потрібно довести.

Практичне значеннятеореми Піфагора у тому, що з її допомогою можна знайти довжини відрізків, не вимірюючи їх. При будівництві споруд розраховуються відстані, розміщення опор та балок, визначаються центри ваги. Застосовується теорема Піфагора та у всіх сучасних технологіях. Не забули про теорему і під час створення кіно в 3D-6D-вимірюваннях, де крім звичних нам 3-х величин: висоти, довжини, ширини - враховуються час, запах та смак. Як пов'язані з теоремою смаки та запахи – запитаєте ви? Все дуже просто - при показі фільму потрібно розрахувати, куди і які запахи та смаки спрямовувати у залі для глядачів.

Чи то ще буде. Безмежний простір для відкриття та створення нових технологій чекає допитливі уми.

ВИМІР ПЛОЩІВ ГЕОМЕТРИЧНИХ ФІГУР.

§ 58. ТЕОРЕМА ПІФАГОРА 1 .

__________
1 Піфагор - грецький вчений, який жив близько 2500 років тому (564-473 р. до н.е.).
_________

Нехай дано прямокутний трикутник, сторони якого а, bі з(чорт. 267).

Збудуємо на його сторонах квадрати. Площа цих квадратів відповідно дорівнює а 2 , b 2 та з 2 . Доведемо, що з 2 = а 2 + b 2 .

Побудуємо два квадрати МКОР і М"К"О"Р" (чорт. 268, 269), прийнявши за бік кожного з них відрізок, що дорівнює сумі катетів прямокутного трикутника АВС.

Виконавши у цих квадратах побудови, показані на кресленнях 268 і 269, побачимо, що квадрат МКОР розбився на два квадрати з площами а 2 та b 2 і чотири рівні прямокутні трикутники, кожен з яких дорівнює прямокутному трикутнику АВС. Квадрат М"К"О"Р" розбився на чотирикутник (він на кресленні 269 заштрихований) і чотири прямокутні трикутники, кожен з яких також дорівнює трикутнику АВС. Заштрихований чотирикутник - квадрат, оскільки сторони його рівні (кожна дорівнює гіпотенузі трикутника АВС, тобто. з), а кути - прямі / 1 + / 2 = 90 °, звідки / 3 = 90 °).

Таким чином, сума площ квадратів, побудованих на катетах (на кресленні 268 ці квадрати заштриховані), дорівнює площі квадрата МКОР без суми площ чотирьох рівних трикутниківа площа квадрата, побудованого на гіпотенузі (на кресленні 269 цей квадрат теж заштрихований), дорівнює площі квадрата М "К"О "Р", рівного квадрату МКОР, без суми площ чотирьох таких же трикутників. Отже, площа квадрата, побудованого на гіпотенузі прямокутного трикутника, дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.

Отримуємо формулу з 2 = а 2 + b 2 , де з- гіпотенуза, аі b- Катети прямокутного трикутника.

Теорему Піфагора коротко прийнято формулювати так:

Квадрат гіпотенузи прямокутного трикутника дорівнює сумі квадратів катетів.

З формули з 2 = а 2 + b 2 можна отримати такі формули:

а 2 = з 2 - b 2 ;
b 2 = з 2 - а 2 .

Цими формулами можна скористатися для знаходження невідомої сторонипрямокутного трикутника по двох даних сторонам.
Наприклад:

а) якщо дано катети а= 4 см, b=3 см, можна знайти гіпотенузу ( з):
з 2 = а 2 + b 2, тобто. з 2 = 4 2 + 3 2; з 2 = 25, звідки з= √25 =5 (см);

б) якщо дані гіпотенуза з= 17 см та катет а= 8 см, то можна знайти інший катет ( b):

b 2 = з 2 - а 2, тобто. b 2 = 17 2 - 8 2 ; b 2 = 225, звідки b= √225 = 15 (см).

Наслідок: Якщо у двох прямокутних трикутниках АВС та А 1 В 1 С 1 гіпотенузи зі з 1 рівні, а катет bтрикутника АВС більше катета b 1 трикутника А 1 В 1 C 1 ,
то катет атрикутника АВС менше катета а 1 трикутника А 1 В 1 C 1 . (Зробити креслення, що ілюструє це слідство.)

Насправді, на підставі теореми Піфагора отримаємо:

а 2 = з 2 - b 2 ,
а 1 2 = з 1 2 - b 1 2

У записаних формулах зменшувані рівні, а віднімається в першій формулі більше віднімається в другій формулі, отже, перша різниця менше другої,
тобто. а 2 < а 1 2 . Звідки а< а 1 .

Вправи.

1. Користуючись кресленням 270 довести теорему Піфагора для рівнобедреного прямокутного трикутника.

2. Один катет прямокутного трикутника дорівнює 12 см, інший – 5 см. Обчислити довжину гіпотенузи цього трикутника.

3. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 10 см, один із катетів дорівнює 8 см. Обчислити довжину іншого катета цього трикутника.

4. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 37 см, один із його катетів дорівнює 35 см. Обчислити довжину іншого катета цього трикутника.

5. Побудувати квадрат, за площею вдвічі більший за цей.

6. Побудувати квадрат, за площею вдвічі меншим від даного. Вказівка.Провести у даному квадратідіагоналі. Квадрати, збудовані на половинах цих діагоналей, будуть шуканими.

7. Катети прямокутного трикутника відповідно дорівнюють 12 см і 15 см. Обчислити довжину гіпотенузи цього трикутника з точністю до 0,1 см.

8. Гіпотенуза прямокутного трикутника дорівнює 20 см, один із його катетів дорівнює 15 см. Обчислити довжину іншого катета з точністю до 0,1 см.

9. Якої довжини мають бути сходи, щоб їх можна було приставити до вікна, що знаходиться на висоті 6 м, якщо нижній кінець сходів повинен відстояти від будівлі на 2,5 м? (Чорт. 271.)