Перетворити на десятковий дріб це число. Переведення десяткових чисел у звичайний дріб

Перетворення звичайного дробу на десятковий

Припустимо, ми хочемо перетворити звичайний дріб 11/4 на десятковий. Найпростіше зробити це так:


						2∙2∙5∙5

Це вдалося тому, що у разі розкладання знаменника на прості множники складається лише з двійок. Ми доповнили це розкладання ще двома п'ятірками, скористалися тим, що 10 = 2∙5 і отримали десятковий дріб. Подібна процедура можлива, очевидно, тоді і лише тоді, коли розкладання знаменника на прості множники не містить нічого, крім двійок та п'ятірок. Якщо в розкладанні знаменника є будь-яке інше просте число, то такий дріб у десятковий перетворити не можна. Тим не менш, ми спробуємо це зробити, але тільки іншим способом, з яким ми познайомимося на прикладі того самого дробу 11/4. Давайте поділимо 11 на 4 «куточком»:

У рядку відповіді ми отримали цілу частину ( 2 ), і ще ми маємо залишок ( 3 ). Раніше ми поділ на цьому закінчували, але тепер ми знаємо, що до поділеного ( 11 ) можна приписати праворуч кому і кілька нулів, що ми тепер подумки і зробимо. Слідом після коми йде розряд десятих. Нуль, який стоїть у поділеного в цьому розряді, припишемо до отриманого залишку ( 3 ):

Тепер поділ можна продовжувати як ні в чому не бувало. Треба тільки не забути поставити в рядку відповіді кому після цілої частини:

Тепер приписуємо до залишку ( 2 ) нуль, який стоїть у діленого в розряді сотих і доводимо поділ до кінця:

В результаті отримуємо, як і раніше,

Спробуємо тепер точно таким же способом обчислити, чому дорівнює дріб 27/11:

Ми отримали у рядку відповіді число 2,45, а у рядку залишку – число 5 . Але такий залишок нам раніше зустрічався. Тому ми вже одразу можемо сказати, що, якщо ми продовжимо наш поділ «куточком», то наступною цифрою у рядку відповіді буде 4, потім піде цифра 5, потім – знову 4 і знову 5, і так далі до нескінченності:

27 / 11 = 2,454545454545...

Ми отримали так звану періодичнудесятковий дріб з періодом 45. Для таких дробів застосовується компактніший запис, в якому період виписується тільки один раз, але при цьому він полягає в круглі дужки:

2,454545454545... = 2,(45).

Взагалі кажучи, якщо ділити «куточком» одне натуральне число на інше, записуючи відповідь у вигляді десяткового дробу, то можливо тільки два результати: (1) або рано чи пізно в рядку залишку ми отримаємо нуль, (2) або там виявиться такий залишок, який вже нам раніше зустрічався (набір можливих залишків обмежений, оскільки всі вони свідомо менші від дільника). У першому випадку результатом поділу є кінцевий десятковий дріб, у другому випадку - періодичний.

Перетворення періодичного десяткового дробу на звичайний

Нехай нам дано позитивний періодичний десятковий дріб з нульовою цілою частиною, наприклад:

a = 0,2(45).

Як перетворити цей дріб назад у звичайний?

Помножимо її на число 10 k, де k- це число цифр, що стоять між комою і круглою дужкою, що відкриває, що позначає початок періоду. В даному випадку k= 1 та 10 k = 10:

a∙ 10 k = 2,(45).

Отриманий результат помножимо на 10 n, де n- «Довжина» періоду, тобто число цифр, укладених між круглими дужками. В даному випадку n= 2 та 10 n = 100:

a∙ 10 k ∙ 10 n = 245,(45).

Тепер обчислимо різницю

a∙ 10 k ∙ 10 n − a∙ 10 k = 245,(45) − 2,(45).

Оскільки дробові частини у зменшуваного і віднімається однакові, то у різниці дробова частина дорівнює нулю, і ми приходимо до простого рівняння щодо a:

a∙ 10 k ∙ (10 n − 1) = 245 − 2.

Вирішується це рівняння за допомогою таких перетворень:

a∙ 10 ∙ (100 − 1) = 245 − 2.

a∙ 10 ∙ 99 = 245 − 2.

	245 − 2
	10 ∙ 99

Ми спеціально поки не доводимо обчислення до кінця, щоб було видно, як можна відразу виписати цей результат, опускаючи проміжні міркування. Зменшуване в чисельнику ( 245 ) - це дробова частина числа

a = 0,2(45)

якщо в її записі стерти дужки. Віднімається в чисельнику ( 2 ) - це неперіодична частина числа а, що розташовується між комою і дужкою, що відкриває. Перший співмножник у знаменнику ( 10 ) - це одиниця, до якої приписано стільки нулів, скільки цифр у неперіодичній частині ( k). Другий співмножник у знаменнику ( 99 ) - це стільки дев'яток, скільки цифр містить період ( n).

Тепер наші обчислення можна довести до кінця:

Тут у чисельнику стоїть період, а у знаменнику – стільки дев'яток, скільки цифр у періоді. Після скорочення на 9 отриманий дріб виявляється рівним

Подібним чином,

Дроб є числом, яке складається з однієї або декількох часток одиниці. У математиці існує три види дробів: прості, змішані та десяткові.

Звичайні дроби

Звичайна дріб записується як співвідношення, у якому чисельнику відбивається, скільки взято частин від числа, а знаменник показує, скільки частин розділена одиниця. Якщо чисельник менший за знаменник, то перед нами правильний дріб. Наприклад: ½, 3/5, 8/9.

Якщо чисельник дорівнює знаменнику чи більше його, ми маємо справу з неправильним дробом. Наприклад: 5/5, 9/4, 5/2 При розподілі чисельника може вийти кінцеве число. Наприклад, 40/8 = 5. Отже, будь-яке ціле число може бути записане у вигляді звичайного неправильного дробу або ряду таких дробів. Розглянемо записи однієї й тієї числа у вигляді низки різних .

Змішані дроби

У загальному вигляді змішаний дріб може бути представлений формулою:

Таким чином, змішаний дріб записується як ціле число і звичайний правильний дріб, а під таким записом розуміють суму цілого та його дробової частини.

Десяткові дроби

Десятковий дріб – це особливий різновид дробу, у якого знаменник може бути представлений як ступінь числа 10. Існують нескінченні та кінцеві десяткові дроби. При записі цього різновиду дробу спочатку вказується ціла частина, потім через роздільник (крапку або кому) фіксується дробова частина.

Запис дробової частини завжди визначається її розмірністю. Десятковий запис виглядає так:

Правила перекладу між різними видами дробів

Переведення змішаного дробу у звичайний

Змішаний дріб можна перевести лише в неправильний. Для перекладу необхідно цілу частину навести й тому знаменнику, як і дробову. Загалом це виглядатиме так:
Розглянемо використання цього правила на конкретних прикладах:

Переклад звичайного дробу на змішану

Неправильний звичайний дріб можна перетворити на змішану шляхом простого поділу, в результаті якого знаходиться ціла частина та залишок (дрібна частина).

Для прикладу переведемо дріб 439/31 у змішану:

Переклад звичайного дробу

У деяких випадках перевести дріб у десятковий досить просто. У цьому випадку застосовується основна властивість дробу, чисельник і знаменник множаться на те саме число, для того, щоб привести дільник до ступеня числа 10.

Наприклад:

У деяких випадках може знадобитися приватне шляхом розподілу куточком або за допомогою калькулятора. А деякі дроби неможливо призвести до кінцевого десяткового дробу. Наприклад, дріб 1/3 при розподілі ніколи не дасть кінцевого результату.

Неправильний дріб - це один із форматів запису звичайного дробу. Як і в будь-якого звичайного дробу, у неї є число над межею (числитель) і під нею - знаменник. Якщо чисельник більший за знаменник, це і є відмітною ознакою неправильності дробу. У цю форму можна перекласти змішаний звичайний дріб. Десятичну теж можна уявити у неправильній звичайній формі записи, але у тому разі, якщо перед розділової комою стоїть число, відмінне від нуля.

Інструкція

У змішаному форматі звичайного дробу чисельник та знаменник відокремлені від цілої частини пропуском. Щоб перевести такий запис у , спочатку помножте її цілу частину (число, що стоїть перед пробілом) на знаменник дробової частини. Отримане значення додайте до чисельника. Розрахована таким способом величина буде чисельником неправильного дробу, а її знаменник поставте знаменник змішаного дробу без будь-яких змін. Наприклад, 5 7/11 у форматі звичайної неправильної можна записати так: (5*11+7)/11 = 62/11.

Для переведення десяткового дробу в неправильний звичайний формат запису визначте кількість розрядів після коми, що відокремлює цілу частину від дробової - вона дорівнює числу цифр праворуч від цієї коми. Отримане число використовуйте як показник ступеня, в який вам потрібно звести десятку, щоб розрахувати знаменник неправильного дробу. Чисельник виходить без будь-яких розрахунків - просто приберіть кому з десяткового дробу. Наприклад, якщо вихідний десятковий дріб дорівнює 12,585, у чисельнику відповідного їй неправильного має стояти число 10³ = 1000, а у знаменнику - 12585: 12,585 = 12585/1000.

Як і будь-які звичайні дроби, можна і потрібно скорочувати. Для цього після отримання результату описаними у попередніх двох кроках способами спробуйте підібрати найбільший спільний дільник для чисельника та знаменника. Якщо це вдасться зробити, розділіть на знайдене по обидва боки дрібної риси. Для другого кроку таким дільником буде число 5, тому неправильний дріб можна скоротити: 12,585 = 12585/1000 = 2517/200. А для прикладу з першого кроку спільного дільника немає, тому скорочувати результуючий неправильний дріб не потрібно.

Відео на тему

Десяткові дроби зручніші для автоматизованих розрахунків, ніж натуральні. Будь-яка натуральна дрібможе бути переведена в натуральну або без втрати точності або з точністю до заданої кількості знаків після коми, залежно від співвідношення між чисельником і знаменником.

Інструкція

За необхідності округліть результат до необхідної кількості знаків після коми. Правила округлення такі: якщо у старшому з розрядів, що видаляються, розташована цифра від 0 до 4, то наступний за старшинством розряд (який не видаляється) не змінюється, а якщо цифра від 5 до 9 - збільшується на одиницю. Якщо останньої з цих операцій підданий розряд з цифрою 9, здійснюється перенесення одиниці в інший, ще більш старший розряд, як стовпчиком. Врахуйте, що округляючи до доступної кількості знайомест, здійснює цю операцію не завжди. Іноді в пам'яті є приховані розряди, не виведені на індикатор. Логарифмічна, володіючи малою точністю (до двох знаків після коми), найчастіше при цьому справляється із округленням у потрібну сторону краще.

Виявивши, що після коми повторюється певна послідовність цифр, помістіть цю послідовність у дужки. Про неї говорять, що вона знаходиться « », оскільки вона повторюється періодично. Наприклад, число 53,7854785478547854... можна записати як 53,(7854).

Правильний дріб, значення якого більше одиниці, складається з двох частин: цілої та дробової. Спочатку поділіть чисельник дробової частини її знаменник. Потім результат розподілу складіть із цілою частиною. Після цього за необхідності округліть результат до необхідної кількості знаків після коми або знайдіть періодичність і виділіть її дужками.

Десяткові дроби зручні у користуванні. Їх розпізнають калькулятори та багато комп'ютерних програм. Але часом буває потрібно, наприклад, скласти пропорцію. Для цього доведеться перевести десятковий дріб у звичайний дріб. Це не складе труднощів, якщо зробити невеликий екскурс у шкільну програму.

Інструкція

Скоротіть дробову частину . Для цього чисельник і знаменник дробу потрібно розділити на той самий дільник. У разі це число " 5 " . Отже, "5/10" перетворюється на "1/2".

Підберіть число, щоб результат його множення на знаменник був 10. Розмірковування ведіть від зворотного: чи можна перетворити число 4 на 10? Відповідь: ні, тому що 10 не ділиться на 4. Тоді 100? Так, 100 ділиться на 4 без залишку, в результаті виходить 25. Помножте чисельник і знаменник на 25 і запишіть відповідь у десятковому вигляді:
¼ = 25/100 = 0,25.

Не завжди можна скористатися методом підбору, існує ще два способи. Принцип їх майже той самий, відрізняється лише запис. Один із них – поступове виділення десяткових знаків. Приклад: переведіть дріб 1/8.

Дуже часто у шкільній програмі математики діти стикаються з проблемою, як перевести звичайний дріб у десятковий. Для того щоб перевести звичайний дріб у десятковий, згадаємо для початку, що таке звичайний дріб та десятковий дріб. Звичайна дріб – це дріб виду m/n , де m – чисельник, а n – знаменник. Приклад: 8/13; 6/7 і т.д. Дроби поділяються на правильні, неправильні та змішані числа. Правильний дріб – це коли чисельник менший за знаменник: m/n, де m 3. Неправильний дріб завжди можна подати у вигляді змішаного числа, а саме: 4/3 = 1 і 1/3;

Переведення звичайного дробу до десяткового

Тепер розглянемо, як перевести змішаний дріб у десятковий. Будь-який звичайний дріб, будь він правильним або не правильним, можна перевести в десятковий. І тому треба чисельник розділити на знаменник. Приклад: простий дріб (правильний) 1/2. Ділимо чисельник 1 на знаменник 2, отримуємо 0,5. Візьмемо приклад 45/12, відразу видно, що це дріб неправильний. Тут знаменник менший від чисельника. Перетворюємо неправильний дріб на десятковий: 45: 12 = 3,75.

Переведення змішаних чисел у десятковий дріб

Приклад: 25/8. Спочатку ми перетворюємо змішане число на неправильний дріб: 25/8 = 3х8+1/8 =3 та 1/8; потім ділимо чисельник 1 на знаменник 8, стовпчиком або на калькуляторі і отримаємо десятковий дріб рівну 0,125. У статті наведено найлегші приклади переведення в десяткові дроби. Зрозумівши методику перекладу на простих прикладах, ви легко зможете вирішувати найскладніші з них.

Десятковий дріб складається з двох частин, які розділені комами. Перша частина - це ціла одиниця, друга частина - це десятки (якщо число після коми одне), сотні (два числа після коми, як два нулі за сто), тисячні ітд. Подивимося на приклади десяткового дробу: 0, 2; 7, 54; 235,448; 5,1; 6,32; 0,5. Все це – десяткові дроби. Як же перевести десятковий дріб у звичайний?

Приклад перший

У нас є дріб, наприклад, 0,5. Як вже писалося вище, вона складається з двох частин. Перше число 0 показує, скільки цілих одиниць у дробу. У нашому випадку їх нема. Друге число демонструє десятки. Дроб навіть читається нуль цілих п'ять десятих. Десяткова кількість перевести в дрібтепер не складе труднощів, пишемо 5/10. Якщо бачите, що цифри мають спільний дільник, можете скоротити дріб. У нас це число 5, поділивши обидві частини дробу на 5, отримуємо – 1/2.

Приклад другий

Візьмемо складніший дріб - 2,25. Читається вона так - дві аж двадцять п'ять сотих. Зверніть увагу - сотих, тому що чисел після коми дві. Тепер можна перевести у звичайний дріб. Записуємо – 2 25/100. Ціла частина – 2, дробова 25/100. Як і першому прикладі, цю частину можна скоротити. Спільним дільником для цифр 25 та 100 є число 25. Зауважте, що ми завжди підбираємо найбільший спільний дільник. Розділивши обидві частини дробу на НОД, отримали 1/4. Отже, 2, 25 це 2 1/4.

Приклад третій

І для закріплення матеріалу візьмемо десятковий дріб 4,112 – чотири цілих і сто дванадцять тисячних. Чому тисячних, гадаю, ясно. Записуємо тепер 4112/1000. За алгоритмом знаходимо НОД чисел 112 і 1000. У нашому випадку – це число 6. Отримуємо 4 14/125.

Висновок

Розбиваємо дріб на цілу та дробову частини.
Дивимося скільки цифр після коми. Якщо одна – це десятки, дві – сотні, три-тисячні ітд.
Записуємо дріб у звичайному вигляді.
Скорочуємо чисельник та знаменник дробу.
Записуємо отриманий дріб.
Виконуємо перевірку, ділимо верхню частину дробу на нижню. Якщо є ціла частина, додаємо до отриманого десяткового дробу. Вийшов вихідний варіант - чудово, ви все зробили правильно.

На прикладах я показала, як можна перевести десятковий дріб у звичайний. Як бачите, зробити це дуже легко та просто.