Hàm f(x,y) được gọi là hàm thuần nhất trong số các đối số thứ nguyên của chúng n nếu danh tính f(tx,ty) \equiv t^nf(x,y).

Ví dụ, hàm f(x,y)=x^2+y^2-xy là một hàm thuần nhất của chiều thứ hai, vì

F(tx,ty)=(tx)^2+(ty)^2-(tx)(ty)=t^2(x^2+y^2-xy)=t^2f(x,y).

Với n=0, chúng ta có một hàm không thứ nguyên. Ví dụ, \frac(x^2-y^2)(x^2+y^2) là một hàm không thứ nguyên thuần nhất, vì

(f(tx,ty)=\frac((tx)^2-(ty)^2)((tx)^2+(ty)^2)=\frac(t^2(x^2-y^ 2))(t^2(x^2+y^2))=\frac(x^2-y^2)(x^2+y^2)=f(x,y).)

Phương trình vi phân có dạng \frac(dy)(dx)=f(x,y)được gọi là thuần nhất đối với x và y nếu f(x,y) là một hàm thuần nhất của các đối số chiều không của nó. Một phương trình thuần nhất luôn có thể được biểu diễn dưới dạng

\frac(dy)(dx)=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right).

Bằng cách giới thiệu một hàm mong muốn mới u=\frac(y)(x) , phương trình (1) có thể được rút gọn thành một phương trình với các biến phân tách:

X\frac(du)(dx)=\varphi(u)-u.

Nếu u=u_0 là nghiệm của phương trình \varphi(u)-u=0 , thì nghiệm của phương trình thuần nhất sẽ là u=u_0 hoặc y=u_0x (đường thẳng đi qua gốc tọa độ).

Bình luận. Khi quyết định phương trình thuần nhất không nhất thiết phải đưa chúng về dạng (1). Bạn có thể ngay lập tức thực hiện thay thế y=ux .

ví dụ 1 Giải phương trình thuần nhất xy"=\sqrt(x^2-y^2)+y.

Dung dịch. Ta viết phương trình dưới dạng y"=\sqrt(1-(\left(\frac(y)(x)\right)\^2}+\frac{y}{x} !} nên phương trình đã cho là thuần nhất đối với x và y. Hãy đặt u=\frac(y)(x) hoặc y=ux . Sau đó y"=xu"+u . Thay thế các biểu thức cho y và y" vào phương trình, chúng ta nhận được x\frac(du)(dx)=\sqrt(1-u^2). Tách các biến: \frac(du)(1-u^2)=\frac(dx)(x). Từ đây, bằng tích phân, ta tìm được

\arcsin(u)=\ln|x|+\ln(C_1)~(C_1>0), hoặc \arcsin(u)=\ln(C_1|x|).

Vì C_1|x|=\pm(C_1x) , biểu thị \pm(C_1)=C , chúng tôi nhận được \arcsin(u)=\ln(Cx), ở đâu |\ln(Cx)|\leqslant\frac(\pi)(2) hoặc e^(-\pi/2)\leqslant(Cx)\leqslant(e^(\pi/2)). Thay u bằng \frac(y)(x) , ta sẽ có tích phân tổng quát \arcsin(y)(x)=\ln(Cx).

Từ đây quyết định chung: y=x\sin\ln(Cx) .

Khi tách các biến, chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho tích x\sqrt(1-u^2) , vì vậy chúng ta có thể mất nghiệm biến tích này thành 0.

Bây giờ chúng ta hãy đặt x=0 và \sqrt(1-u^2)=0 . Nhưng x\ne0 do sự thay thế u=\frac(y)(x) và từ mối quan hệ \sqrt(1-u^2)=0 chúng ta có được điều đó 1-\frac(y^2)(x^2)=0, từ đó y=\pm(x) . Bằng cách xác minh trực tiếp, chúng tôi đảm bảo rằng các hàm y=-x và y=x cũng là nghiệm của phương trình này.

ví dụ 2 Xét họ đường cong tích phân C_\alpha của phương trình thuần nhất y"=\varphi\!\left(\frac(y)(x)\right). Chứng tỏ rằng các tiếp tuyến tại các điểm tương ứng với các đường cong xác định bởi phương trình vi phân thuần nhất này song song với nhau.

Ghi chú: Chúng tôi sẽ gọi liên quan, thích hợp những điểm trên các đường cong C_\alpha nằm trên cùng một tia bắt đầu từ gốc tọa độ.

Dung dịch. Theo định nghĩa của các điểm tương ứng, ta có \frac(y)(x)=\frac(y_1)(x_1), do đó nhờ chính phương trình y"=y"_1 , trong đó y" và y"_1 - yếu tố độ dốc tiếp tuyến với các đường cong tích phân C_\alpha và C_(\alpha_1) , tại các điểm M và M_1, tương ứng (Hình 12).

Phương Trình Rút Gọn Về Đồng Nhất

NHƯNG. Xét một phương trình vi phân có dạng

\frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(a_1x+b_1y+c_1)\right).

trong đó a,b,c,a_1,b_1,c_1 là các hằng số và f(u) là chức năng liên tụcđối số của nó u .

Nếu c=c_1=0 , thì phương trình (3) là thuần nhất và nó tích phân như trên.

Nếu ít nhất một trong các số c, c_1 khác 0, thì cần phân biệt hai trường hợp.

1) Định thức \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)\ne0. Đưa biến mới \xi và \eta theo công thức x=\xi+h,~y=\eta+k , trong đó h và k vẫn là các hằng số chưa xác định, ta đưa phương trình (3) về dạng

\frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta+ah+bk+c)(a_1\xi+b_2\eta+a_1h+b_1k+c_1 )\bên phải).

Chọn h và k làm nghiệm của hệ Các phương trình tuyến tính

\begin(cases)ah+bk+c=0,\\a_1h+b_1k+c_1=0\end(cases)~(\Delta\ne0),

chúng ta có được một phương trình thuần nhất \frac(d\eta)(d\xi)=f\!\left(\frac(a\xi+b\eta)(a_1\xi+b_1\eta)\right). Sau khi tìm được tích phân tổng quát của nó và thay thế \xi bằng x-h trong đó và \eta bằng y-k , chúng ta thu được tích phân tổng quát của phương trình (3).

2) Định thức \Delta=\begin(vmatrix)a&b\\a_1&b_1\end(vmatrix)=0. Hệ thống (4) trong trường hợp chung không có giải pháp và phương pháp trên không được áp dụng; trong trường hợp này \frac(a_1)(a)=\frac(b_1)(b)=\lambda, và, do đó, phương trình (3) có dạng \frac(dy)(dx)=f\!\left(\frac(ax+by+c)(\lambda(ax+by)+c_1)\right). Phép thế z=ax+by đưa nó về một phương trình biến phân tách được.

ví dụ 3 giải phương trình (x+y-2)\,dx+(x-y+4)\,dy=0.

Dung dịch. Hãy xem xét một hệ thống tuyến tính phương trình đại số \begin(trường hợp)x+y-2=0,\\x-y+4=0.\end(trường hợp)

Yếu tố quyết định của hệ thống này \Delta=\begin(vmatrix)\hfill1&\hfill1\\\hfill1&\hfill-1\end(vmatrix)=-2\ne0.

Hệ có nghiệm duy nhất x_0=-1,~y_0=3 . Chúng tôi thực hiện thay thế x=\xi-1,~y=\eta+3 . Khi đó phương trình (5) có dạng

(\xi+\eta)\,d\xi+(\xi-\eta)\,d\eta=0.

Phương trình này là phương trình thuần nhất. Đặt \eta=u\xi , chúng tôi nhận được

(\xi+\xi(u))\,d\xi+(\xi-\xi(u))(\xi\,du+u\,d\xi)=0, ở đâu (1+2u-u^2)\,d\xi+\xi(1-u)\,du=0.

Tách các biến \frac(d\xi)(\xi)+\frac(1-u)(1+2u-u^2)\,du=0.

Tích hợp, chúng tôi tìm thấy \ln|\xi|+\frac(1)(2)\ln|1+2u-u^2|=\ln(C) hoặc \xi^2(1+2u-u^2)=C .

Quay trở lại các biến x,~y :

(x+1)^2\left=C_1 hoặc x^2+2xy-y^2-4x+8y=C~~(C=C_1+14).

Ví dụ 4 giải phương trình (x+y+1)\,dx+(2x+2y-1)\,dy=0.

Dung dịch. Hệ phương trình đại số tuyến tính \begin(trường hợp)x+y+1=0,\\2x+2y-1=0\end(trường hợp) không tương thích. Trong trường hợp này, phương pháp được áp dụng trong ví dụ trước là không phù hợp. Để tích phân phương trình, chúng ta sử dụng phép thế x+y=z , dy=dz-dx . Phương trình sẽ có dạng

(2-z)\,dx+(2z-1)\,dz=0.

Tách các biến, chúng tôi nhận được

Dx-\frac(2z-1)(z-2)\,dz=0 do đó x-2z-3\ln|z-2|=C.

Trở lại với các biến x,~y , ta thu được tích phân tổng quát của phương trình này

X+2y+3\ln|x+y-2|=C.

b.Đôi khi, phương trình có thể được rút gọn thành một phương trình đồng nhất bằng cách thay đổi biến y=z^\alpha . Đây là trường hợp khi tất cả các số hạng trong phương trình đều có cùng thứ nguyên, nếu biến x có thứ nguyên là 1, biến y có thứ nguyên là \alpha, và đạo hàm \frac(dy)(dx) có thứ nguyên là thứ nguyên \alpha-1 .

Ví dụ 5 giải phương trình (x^2y^2-1)\,dy+2xy^3\,dx=0.

Dung dịch. Thực hiện thay thế y=z^\alpha,~dy=\alpha(z^(\alpha-1))\,dz, trong đó \alpha hiện là một số tùy ý mà chúng ta sẽ chọn sau. Thay thế các biểu thức cho y và dy vào phương trình, chúng ta nhận được

\alpha(x^2x^(2\alpha)-1)z^(\alpha-1)\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0 hoặc \alpha(x^2z^(3\alpha-1)-z^(\alpha-1))\,dz+2xz^(3\alpha)\,dx=0,

Lưu ý rằng x^2z^(3\alpha-1) có thứ nguyên 2+3\alpha-1=3\alpha+1, z^(\alpha-1) có thứ nguyên \alpha-1 , xz^(3\alpha) có thứ nguyên 1+3\alpha . Phương trình thu được sẽ thuần nhất nếu số đo của tất cả các số hạng giống nhau, tức là nếu điều kiện được đáp ứng 3\alpha+1=\alpha-1 hoặc \alpha-1 .

Hãy đặt y=\frac(1)(z) ; phương trình ban đầu có dạng

\left(\frac(1)(z^2)-\frac(x^2)(z^4)\right)dz+\frac(2x)(z^3)\,dx=0 hoặc (z^2-x^2)\,dz+2xz\,dx=0.

Hãy đặt ngay bây giờ z=ux,~dz=u\,dx+x\,du. Khi đó phương trình này sẽ có dạng (u^2-1)(u\,dx+x\,du)+2u\,dx=0, ở đâu u(u^2+1)\,dx+x(u^2-1)\,du=0.

Tách các biến trong phương trình này \frac(dx)(x)+\frac(u^2-1)(u^3+u)\,du=0. Tích hợp, chúng tôi tìm thấy

\ln|x|+\ln(u^2+1)-\ln|u|=\ln(C) hoặc \frac(x(u^2+1))(u)=C.

Thay u bằng \frac(1)(xy) , chúng ta được tích phân tổng quát của phương trình này 1+x^2y^2=Cy.

Phương trình cũng có nghiệm hiển nhiên y=0 , nghiệm này thu được từ tích phân tổng quát tại C\to\infty nếu tích phân được viết là y=\frac(1+x^2y^2)(C), rồi nhảy tới giới hạn tại C\to\infty . Do đó, hàm y=0 là nghiệm riêng của phương trình ban đầu.

Javascript bị tắt trong trình duyệt của bạn.
Điều khiển ActiveX phải được kích hoạt để thực hiện tính toán!

Tôi nghĩ chúng ta nên bắt đầu với lịch sử của một công cụ toán học huy hoàng như phương trình vi phân. Giống như tất cả các phép tính vi phân và tích phân, các phương trình này được phát minh bởi Newton vào cuối thế kỷ 17. Ông coi khám phá này của mình quan trọng đến mức ông thậm chí còn mã hóa thông điệp mà ngày nay có thể được dịch như sau: "Tất cả các định luật tự nhiên đều được mô tả bằng các phương trình vi phân." Điều này có vẻ như là một cường điệu, nhưng đó là sự thật. Bất kỳ định luật vật lý, hóa học, sinh học nào cũng có thể được mô tả bằng các phương trình này.

Các nhà toán học Euler và Lagrange đã đóng góp rất lớn cho sự phát triển và tạo ra lý thuyết về phương trình vi phân. Vào thế kỷ 18, họ đã khám phá và phát triển những gì họ đang học trong các khóa học cao cấp của các trường đại học.

Một cột mốc mới trong việc nghiên cứu các phương trình vi phân đã bắt đầu nhờ Henri Poincare. Anh ây đa tạo ra " lý thuyết định tính phương trình vi phân”, trong đó, kết hợp với lý thuyết hàm của một biến phức, đã đóng góp đáng kể cho nền tảng của tô pô học - khoa học về không gian và các tính chất của nó.

Phương trình vi phân là gì?

Nhiều người sợ một cụm từ, tuy nhiên, trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết toàn bộ bản chất của cụm từ rất hữu ích này bộ máy toán học, điều này thực sự không phức tạp như tên gọi. Để bắt đầu nói về phương trình vi phân cấp một, trước tiên bạn nên làm quen với các khái niệm cơ bản liên quan đến định nghĩa này. Hãy bắt đầu với sự khác biệt.

sự khác biệt

Nhiều người biết khái niệm này từ trường học. Tuy nhiên, chúng ta hãy xem xét kỹ hơn về nó. Hãy tưởng tượng một đồ thị của một chức năng. Chúng ta có thể tăng nó đến mức bất kỳ phân đoạn nào của nó sẽ có dạng một đường thẳng. Trên đó, chúng tôi lấy hai điểm gần nhau vô hạn. Sự khác biệt giữa tọa độ của chúng (x hoặc y) sẽ là một giá trị vô cùng nhỏ. Nó được gọi là vi phân và được biểu thị bằng các dấu dy (vi phân từ y) và dx (vi phân từ x). Điều rất quan trọng là phải hiểu rằng vi phân không phải là một giá trị hữu hạn, và đây là ý nghĩa và chức năng chính của nó.

Và bây giờ cần xem xét yếu tố sau đây, yếu tố này sẽ hữu ích cho chúng ta trong việc giải thích khái niệm phương trình vi phân. Đây là một dẫn xuất.

Phát sinh

Tất cả chúng ta có lẽ đã nghe khái niệm này ở trường. Đạo hàm được cho là tốc độ tăng hoặc giảm của một hàm. Tuy nhiên, phần lớn định nghĩa này trở nên khó hiểu. Hãy thử giải thích đạo hàm dưới dạng vi phân. Hãy quay trở lại một đoạn vô cùng nhỏ của một hàm với hai điểm cách nhau một khoảng nhỏ nhất. Nhưng ngay cả đối với khoảng cách này, hàm vẫn có thể thay đổi một lượng nào đó. Và để mô tả sự thay đổi này, họ đã nghĩ ra một đạo hàm, có thể được viết dưới dạng tỷ lệ của các vi phân: f (x) "=df / dx.

Bây giờ đáng xem xét Các tính chất cơ bản phát sinh. Chỉ có ba người trong số họ:

1. Đạo hàm của tổng hoặc hiệu có thể được biểu diễn dưới dạng tổng hoặc hiệu của các đạo hàm: (a+b)"=a"+b" và (a-b)"=a"-b".
2. Thuộc tính thứ hai liên quan đến phép nhân. Đạo hàm của một tích là tổng của các tích của một hàm và đạo hàm của một hàm khác: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Đạo hàm của hiệu có thể được viết dưới dạng đẳng thức sau: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Tất cả những tính chất này sẽ hữu ích cho chúng ta trong việc tìm nghiệm của phương trình vi phân cấp một.

Ngoài ra còn có đạo hàm riêng. Giả sử chúng ta có một hàm z phụ thuộc vào các biến x và y. Để tính đạo hàm riêng của hàm này, chẳng hạn, đối với x, chúng ta cần lấy biến y làm hằng số và chỉ cần lấy đạo hàm.

tích phân

Một khái niệm quan trọng khác là tích phân. Trên thực tế, điều này ngược lại với đạo hàm. Có một số loại tích phân, nhưng để giải phương trình vi phân đơn giản nhất, chúng ta cần phương pháp tầm thường nhất

Vì vậy, giả sử chúng ta có một số phụ thuộc của f vào x. Chúng tôi lấy tích phân từ nó và nhận được hàm F (x) (thường được gọi là phản nguyên hàm), đạo hàm của nó bằng với hàm ban đầu. Do đó F(x)"=f(x). Theo đó, tích phân của đạo hàm bằng với nguyên hàm.

Khi giải các phương trình vi phân, điều rất quan trọng là phải hiểu ý nghĩa và chức năng của tích phân, vì bạn sẽ phải sử dụng chúng rất thường xuyên để tìm ra nghiệm.

Các phương trình là khác nhau tùy thuộc vào bản chất của chúng. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xem xét các loại phương trình vi phân cấp một, sau đó chúng ta sẽ tìm hiểu cách giải chúng.

Các loại phương trình vi phân

"Diffura" được chia theo thứ tự của các dẫn xuất liên quan đến chúng. Như vậy, có thứ tự thứ nhất, thứ hai, thứ ba và nhiều hơn nữa. Chúng cũng có thể được chia thành nhiều loại: đạo hàm thông thường và đạo hàm riêng.

Trong bài viết này, chúng ta sẽ xét các phương trình vi phân thường cấp một. Chúng ta cũng sẽ thảo luận về các ví dụ và cách giải quyết chúng trong phần sau. Chúng tôi sẽ chỉ xem xét các ODE, bởi vì đây là những loại phương trình phổ biến nhất. Thông thường được chia thành các phân loài: với các biến có thể tách rời, đồng nhất và không đồng nhất. Tiếp theo, bạn sẽ tìm hiểu xem chúng khác nhau như thế nào và học cách giải quyết chúng.

Ngoài ra, các phương trình này có thể được kết hợp để sau khi chúng ta có được một hệ phương trình vi phân bậc nhất. Chúng tôi cũng sẽ xem xét các hệ thống như vậy và tìm hiểu cách giải quyết chúng.

Tại sao chúng ta chỉ xem xét đơn đặt hàng đầu tiên? Bởi vì bạn cần bắt đầu với một cái đơn giản và đơn giản là không thể mô tả mọi thứ liên quan đến phương trình vi phân trong một bài viết.

Phương trình biến tách rời

Đây có lẽ là những phương trình vi phân bậc nhất đơn giản nhất. Chúng bao gồm các ví dụ có thể được viết như sau: y "=f (x) * f (y). Để giải phương trình này, chúng ta cần một công thức biểu diễn đạo hàm dưới dạng tỷ lệ của các vi phân: y" = dy / dx. Sử dụng nó, chúng ta có phương trình sau: dy/dx=f(x)*f(y). Bây giờ chúng ta có thể chuyển sang phương pháp giải quyết ví dụ tiêu chuẩn: chúng ta sẽ chia các biến thành các phần, tức là chúng ta sẽ chuyển mọi thứ có biến y sang phần có dy và chúng ta sẽ làm tương tự với biến x. Chúng ta thu được một phương trình có dạng: dy/f(y)=f(x)dx, phương trình này được giải bằng cách lấy tích phân của cả hai phần. Đừng quên hằng số phải được đặt sau khi lấy tích phân.

Giải pháp của bất kỳ "chênh lệch" nào là một hàm phụ thuộc của x vào y (trong trường hợp của chúng tôi) hoặc, nếu có một điều kiện số, thì câu trả lời ở dạng một số. chúng ta hãy nhìn vào ví dụ cụ thể toàn bộ quá trình của giải pháp:

Chúng tôi chuyển các biến theo các hướng khác nhau:

Bây giờ chúng ta lấy tích phân. Tất cả chúng có thể được tìm thấy trong một bảng tích phân đặc biệt. Và chúng tôi nhận được:

log(y) = -2*cos(x) + C

Nếu cần, chúng ta có thể biểu diễn "y" dưới dạng hàm của "x". Bây giờ chúng ta có thể nói rằng phương trình vi phân của chúng ta được giải nếu không có điều kiện nào được đưa ra. Một điều kiện có thể được đưa ra, ví dụ, y(n/2)=e. Sau đó, chúng tôi chỉ cần thay thế giá trị của các biến này vào giải pháp và tìm giá trị của hằng số. Trong ví dụ của chúng tôi, nó bằng 1.

Phương trình vi phân thuần nhất cấp một

Bây giờ chúng ta hãy chuyển sang phần khó khăn hơn. Phương trình vi phân thuần nhất bậc nhất có thể được viết dưới dạng nhìn chung vì vậy: y"=z(x,y). Cần lưu ý rằng đúng chức năng trên hai biến là đồng nhất và không thể chia thành hai phụ thuộc: z trên x và z trên y. Kiểm tra xem phương trình có thuần nhất hay không khá đơn giản: chúng ta thay thế x=k*x và y=k*y. Bây giờ chúng tôi hủy bỏ tất cả k. Nếu tất cả các chữ cái này được rút gọn, thì phương trình là thuần nhất và bạn có thể tiến hành giải nó một cách an toàn. Nhìn về phía trước, hãy nói: nguyên tắc giải quyết các ví dụ này cũng rất đơn giản.

Chúng ta cần thay thế: y=t(x)*x, trong đó t là hàm nào đó cũng phụ thuộc vào x. Sau đó, chúng ta có thể biểu thị đạo hàm: y"=t"(x)*x+t. Thay tất cả những điều này vào phương trình ban đầu của chúng ta và đơn giản hóa nó, chúng ta có một ví dụ với các biến t và x có thể tách rời. Chúng tôi giải quyết nó và nhận được sự phụ thuộc t(x). Khi chúng tôi nhận được nó, chúng tôi chỉ cần thay thế y=t(x)*x vào thay thế trước đó của chúng tôi. Khi đó ta được sự phụ thuộc của y vào x.

Để làm rõ hơn, hãy xem một ví dụ: x*y"=y-x*e y/x .

Khi kiểm tra với một sự thay thế, mọi thứ đều giảm. Vì vậy, phương trình thực sự thuần nhất. Bây giờ chúng ta thực hiện một sự thay thế khác mà chúng ta đã nói đến: y=t(x)*x và y"=t"(x)*x+t(x). Sau khi đơn giản hóa, chúng ta có phương trình sau: t "(x) * x \u003d -e t. Chúng ta giải ví dụ kết quả bằng các biến riêng biệt và nhận được: e -t \u003dln (C * x). Chúng ta chỉ cần thay thế t với y / x (vì nếu y \u003d t * x thì t \u003d y / x) và chúng ta nhận được câu trả lời: e -y / x \u003d ln (x * C).

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Đã đến lúc xem xét một chủ đề rộng lớn khác. Chúng ta sẽ phân tích các phương trình vi phân không thuần nhất bậc nhất. Chúng khác với hai cái trước như thế nào? Hãy hình dung nó ra. Phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất ở dạng tổng quát có thể được viết như sau: y " + g (x) * y \u003d z (x). Cần làm rõ rằng z (x) và g (x) có thể là các giá trị không đổi .

Và bây giờ là một ví dụ: y" - y*x=x 2 .

Có hai cách để giải quyết, và chúng tôi sẽ phân tích cả hai theo thứ tự. Đầu tiên là phương pháp biến đổi các hằng số tùy ý.

Để giải phương trình theo cách này, trước tiên bạn phải đánh đồng vế phải bằng 0 và giải phương trình thu được, phương trình này sau khi chuyển các phần sẽ có dạng:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Bây giờ chúng ta cần thay thế hằng số C 1 bằng hàm v(x) mà chúng ta phải tìm.

Hãy thay đổi đạo hàm:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Hãy thay thế các biểu thức này vào phương trình ban đầu:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Có thể thấy rằng hai điều khoản bị hủy bỏ ở phía bên trái. Nếu trong một số ví dụ, điều này không xảy ra, thì bạn đã làm sai điều gì đó. Tiếp tục đi:

v"*e x2/2 = x 2 .

Bây giờ chúng ta giải phương trình thông thường trong đó chúng ta cần tách các biến:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Để trích tích phân, ta phải áp dụng tích phân từng phần ở đây. Tuy nhiên, đây không phải là chủ đề của bài viết của chúng tôi. Nếu bạn quan tâm, bạn có thể tự học cách thực hiện các hành động đó. Nó không khó, và với đủ kỹ năng và sự cẩn thận, sẽ không mất nhiều thời gian.

Chúng ta hãy chuyển sang phương pháp thứ hai để giải các phương trình không thuần nhất: phương pháp Bernoulli. Cách tiếp cận nào nhanh hơn và dễ dàng hơn là tùy thuộc vào bạn.

Vì vậy, khi giải phương trình theo phương pháp này, ta cần thay thế: y=k*n. Ở đây k và n là một số hàm phụ thuộc x. Khi đó đạo hàm sẽ có dạng như sau: y"=k"*n+k*n". Chúng ta thế cả hai phép thay thế vào phương trình:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

nhóm:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Bây giờ chúng ta cần phải bằng 0 những gì trong ngoặc đơn. Bây giờ, nếu chúng ta kết hợp hai phương trình thu được, chúng ta sẽ có một hệ phương trình vi phân cấp một cần giải:

Chúng tôi giải phương trình đầu tiên như một phương trình thông thường. Để làm điều này, bạn cần tách các biến:

Ta lấy tích phân và được: ln(n)=x 2 /2. Sau đó, nếu chúng ta biểu thị n:

Bây giờ chúng ta thay đẳng thức thu được vào phương trình thứ hai của hệ:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Và biến đổi, chúng ta có được đẳng thức giống như trong phương pháp đầu tiên:

dk=x 2 /e x2/2 .

Chúng tôi cũng sẽ không phân tích cú pháp hành động hơn nữa. Điều đáng nói là lúc đầu, việc giải phương trình vi phân cấp một gây ra những khó khăn đáng kể. Tuy nhiên, với việc tìm hiểu sâu hơn về chủ đề này, nó bắt đầu ngày càng tốt hơn.

Phương trình vi phân được sử dụng ở đâu?

Các phương trình vi phân được sử dụng rất tích cực trong vật lý, vì hầu hết các định luật cơ bản đều được viết bằng dạng vi phân, và những công thức mà chúng ta thấy là nghiệm của những phương trình này. Trong hóa học, chúng được sử dụng với cùng một lý do: các định luật cơ bản bắt nguồn từ chúng. Trong sinh học, các phương trình vi phân được sử dụng để mô hình hóa hành vi của các hệ thống, chẳng hạn như động vật ăn thịt-con mồi. Chúng cũng có thể được sử dụng để tạo ra các mô hình sinh sản của một quần thể vi sinh vật.

Phương trình vi phân sẽ giúp ích như thế nào trong cuộc sống?

Câu trả lời cho câu hỏi này rất đơn giản: không đời nào. Nếu bạn không phải là nhà khoa học hay kỹ sư, thì chúng khó có thể hữu ích với bạn. Tuy nhiên, đối với phát triển chung Sẽ không hại gì khi biết phương trình vi phân là gì và nó được giải như thế nào. Và sau đó là câu hỏi của con trai hay con gái "phương trình vi phân là gì?" sẽ không làm bạn bối rối. Chà, nếu bạn là một nhà khoa học hoặc kỹ sư, thì chính bạn cũng hiểu tầm quan trọng của chủ đề này trong bất kỳ ngành khoa học nào. Nhưng điều quan trọng nhất bây giờ là câu hỏi "làm thế nào để giải phương trình vi phân bậc nhất?" bạn luôn có thể trả lời. Đồng ý, thật tuyệt khi bạn hiểu những gì mọi người thậm chí còn sợ hiểu.

Các vấn đề chính trong học tập

Vấn đề chính trong việc hiểu chủ đề này là kỹ năng kém về tích phân và vi phân của các chức năng. Nếu bạn không giỏi lấy đạo hàm và tích phân, thì có lẽ bạn nên học thêm, nắm vững các phương pháp tích phân và vi phân khác nhau, sau đó mới tiến hành nghiên cứu tài liệu được mô tả trong bài viết.

Một số người ngạc nhiên khi biết rằng dx có thể chuyển được, vì trước đó (ở trường) người ta đã nói rằng phân số dy / dx là không thể chia hết. Ở đây bạn cần đọc tài liệu về đạo hàm và hiểu rằng đó là tỷ lệ của các đại lượng vô cùng nhỏ có thể được thao tác khi giải phương trình.

Nhiều người không nhận ra ngay rằng nghiệm của phương trình vi phân cấp một thường là một hàm hoặc tích phân không thể lấy được, và ảo tưởng này mang đến cho họ rất nhiều rắc rối.

Những gì khác có thể được nghiên cứu để hiểu rõ hơn?

Tốt nhất là bắt đầu đắm chìm hơn nữa trên thế giới phép tính vi phân từ sách giáo khoa chuyên ngành, ví dụ, phân tích toán học dành cho sinh viên không chuyên toán. Sau đó, bạn có thể chuyển sang tài liệu chuyên ngành hơn.

Điều đáng nói là, ngoài phương trình vi phân, còn có phương trình tích phân, vì vậy bạn sẽ luôn có điều gì đó để phấn đấu và điều gì đó để nghiên cứu.

Sự kết luận

Chúng tôi hy vọng rằng sau khi đọc bài viết này, bạn đã hình dung được phương trình vi phân là gì và cách giải chúng một cách chính xác.

Trong mọi trường hợp, toán học bằng cách nào đó hữu ích cho chúng ta trong cuộc sống. Nó phát triển logic và sự chú ý, mà không có nó, mọi người đều giống như không có tay.

Hiện nay, theo trình độ học toán cơ bản, thời lượng học toán ở phổ thông chỉ có 4 giờ (2 giờ đại số, 2 giờ hình học). Ở các trường nhỏ ở nông thôn, họ cố gắng tăng số giờ bằng chi phí của thành phần trường học. Nhưng nếu lớp học là nhân đạo, thì thành phần trường học thêm vào việc nghiên cứu các chủ đề nhân văn. Trong một ngôi làng nhỏ, học sinh thường không phải chọn, nó học trong lớp đó; những gì có sẵn trong trường. Anh ta không định trở thành luật sư, nhà sử học hay nhà báo (có những trường hợp như vậy), mà muốn trở thành kỹ sư hoặc nhà kinh tế nên kỳ thi môn toán phải đạt điểm cao. Trong hoàn cảnh như vậy, giáo viên dạy toán phải tự tìm cách thoát khỏi tình huống này, bên cạnh đó, theo sách giáo khoa của Kolmogorov, nghiên cứu về chủ đề "phương trình thuần nhất" không được cung cấp. Trong những năm trước, để giới thiệu và củng cố chủ đề này, tôi cần hai tiết học kép. Thật không may, kiểm tra giám sát giáo dục đã cấm các bài học kép ở trường, vì vậy số lượng bài tập phải giảm xuống còn 45 phút, và theo đó, mức độ khó của bài tập được hạ xuống mức trung bình. Tôi mang đến cho bạn chú ý một giáo án về chủ đề này ở lớp 10 với cấp cơ sở học toán ở một ngôi trường nhỏ hoàn chỉnh ở nông thôn.

loại bài học: cổ truyền.

Mục tiêu: học cách giải các phương trình thuần nhất điển hình.

nhiệm vụ:

nhận thức:

giáo dục:

giáo dục:

• Giáo dục tính siêng năng thông qua kiên nhẫn thực hiện nhiệm vụ, tinh thần đoàn kết thông qua làm việc theo cặp, nhóm.

Trong các lớp học

TÔI. tổ chức sân khấu(3 phút)

II. Kiểm tra kiến ​​thức cần thiết để tiếp thu tài liệu mới (10 phút)

Xác định những khó khăn chính với phân tích sâu hơn về các nhiệm vụ được thực hiện. Trẻ em có 3 lựa chọn để lựa chọn. Các nhiệm vụ được phân biệt theo mức độ phức tạp và mức độ chuẩn bị của trẻ, sau đó là phần giải thích trên bảng đen.

1 cấp độ. Giải các phương trình:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Đáp án: 7;3

2 cấp. Giải quyết đơn giản nhất phương trình lượng giác và phương trình bậc hai:

câu trả lời:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Đáp số: -2; 2; -3; 3

cấp 3. Giải phương trình bằng phương pháp đổi biến:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Đáp án:

III. Chủ đề tin nhắn, thiết lập mục tiêu và mục tiêu.

Chủ đề: phương trình thuần nhất

Mục tiêu: học cách giải các phương trình thuần nhất điển hình

nhiệm vụ:

nhận thức:

• làm quen với phương trình thuần nhất, học cách giải các dạng phương trình như vậy thường gặp nhất.

giáo dục:

• Phát triển tư duy phân tích.
• Phát triển các kỹ năng toán học: học cách làm nổi bật các đặc điểm chính mà các phương trình thuần nhất khác với các phương trình khác, có thể thiết lập sự giống nhau của các phương trình thuần nhất trong các biểu hiện khác nhau của chúng.

IV. Đồng hóa kiến ​​thức mới (15 phút)

1. Thời điểm bài giảng.

định nghĩa 1(Viết vào vở). Một phương trình dạng P(x;y)=0 được gọi là thuần nhất nếu P(x;y) là một đa thức thuần nhất.

Một đa thức hai biến x và y được gọi là đồng nhất nếu bậc của mỗi số hạng của nó bằng chính số k.

định nghĩa 2(Chỉ là phần giới thiệu). Phương trình có dạng

được gọi là phương trình thuần nhất bậc n đối với u(x) và v(x). Bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho (v(x))n, chúng ta có thể sử dụng phép thế để thu được phương trình

Điều này đơn giản hóa phương trình ban đầu. Trường hợp v(x)=0 phải được xem xét riêng vì không thể chia hết cho 0.

2. Ví dụ về phương trình thuần nhất:

Giải thích tại sao chúng đồng nhất, đưa ra ví dụ của riêng bạn về các phương trình đó.

3. Bài toán định nghĩa phương trình thuần nhất:

Giữa phương trình đã cho xác định phương trình thuần nhất và giải thích sự lựa chọn của bạn:

Sau khi giải thích sự lựa chọn của bạn trên một trong các ví dụ, hãy chỉ ra cách giải phương trình thuần nhất:

4. Tự mình quyết định:

Câu trả lời:

b) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

Chia cả hai vế của phương trình cho cos x, ta được 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Hiển thị Brochure Ví dụ Giải pháp“P.V. chulkov. Phương trình và bất phương trình trong khóa học toán học. Mátxcơva đại học sư phạm“Đầu tháng 9” 2006 tr.22. Như một ví dụ có thể mức độ SỬ DỤNG TỪ.

V. Giải quyết để củng cố theo sách giáo khoa của Bashmakov

tr 183 số 59 (1.5) hoặc theo giáo trình do Kolmogorov chủ biên: tr 81 số 169 (a, c)

câu trả lời:

VI. Kiểm tra, làm việc độc lập (7 phút)

1 lựa chọn	Lựa chọn 2
Giải phương trình:
a) sin 2 x-5sinxcosx + 6cos 2 x \u003d 0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 \u003d 0	b)

Câu trả lời cho các nhiệm vụ:

Phương án 1 a) Đáp số: arctg2+πn,n € Z; b) Đáp số: ±π/2+ 3πn,n €Z; Trong)

Cách 2 a) Đáp số: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Đáp số: -arctg3+πn, 0,25π+πk, ; c) (-5; -2); (5;2)

VII. Bài tập về nhà

Số 169 theo Kolmogorov, số 59 theo Bashmakov.

Ngoài ra, giải hệ phương trình:

Trả lời: arctg(-1±√3) +πn ,

Người giới thiệu:

1. P.V. chulkov. Phương trình và bất phương trình trong môn toán ở trường. - M.: ĐHSP “Đầu tháng 9”, 2006. tr 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. lượng giác. - M.: "AST-PRESS", 1998, trang 389
3. Đại số lớp 8 do N.Ya biên soạn. vilenkin. - M.: "Giác ngộ", 1997.
4. Đại số lớp 9 do N.Ya biên soạn. vilenkin. Moscow "Khai sáng", 2001.
5. M.I. Bashmakov. Đại số và sự khởi đầu của giải tích. Dành cho lớp 10-11 - M.: "Giác ngộ" 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Đại số và sự khởi đầu của giải tích. Dành cho lớp 10-11. - M.: "Giác ngộ", 1990.
7. A.G. Mordkovich. Đại số và sự khởi đầu của giải tích. Phần 1 SGK lớp 10-11. - M.: "Mnemosyne", 2004.

Để giải phương trình vi phân thuần nhất bậc 1, phép thế u=y/x được sử dụng, nghĩa là u là một hàm ẩn số mới phụ thuộc vào x. Do đó y=ux. Đạo hàm y’ được tìm bằng quy tắc đạo hàm tích: y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u (vì x’=1). Đối với một dạng viết khác: dy=udx+xdu Sau khi thay thế, chúng tôi đơn giản hóa phương trình và đi đến một phương trình với các biến có thể tách rời.

Ví dụ giải phương trình vi phân thuần nhất cấp 1.

1) Giải phương trình

Ta kiểm tra xem phương trình này có thuần nhất không (xem Cách xác định phương trình thuần nhất). Để đảm bảo, chúng tôi thực hiện phép thay thế u=y/x, từ đó y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Thay thế: u'x+u=u(1+ln(ux)-lnx). Vì logarit của sản phẩm bằng tổng logarit, ln(ux)=lnu+lnx. Từ đây

u'x+u=u(1+lnu+lnx-lnx). Sau khi diễn viên thuật ngữ tương tự: u'x+u=u(1+lnu). Bây giờ mở rộng các dấu ngoặc

u'x+u=u+u lnu. Cả hai phần đều chứa u, do đó u'x=u·lnu. Vì u là một hàm của x nên u’=du/dx. Thay thế

Chúng tôi có một phương trình với các biến có thể tách rời. Chúng tôi tách các biến mà chúng tôi nhân cả hai phần với dx và chia cho x u lnu, với điều kiện là tích x u lnu≠0

Chúng tôi tích hợp:

Ở vế trái là tích phân dạng bảng. Ở bên phải, chúng tôi thực hiện thay thế t=lnu, từ đó dt=(lnu)’du=du/u

ln│t│=ln│x│+C. Nhưng chúng ta đã thảo luận rằng trong các phương trình như vậy, sẽ thuận tiện hơn nếu lấy ln│C│ thay vì С. sau đó

ln│t│=ln│x│+ln│C│. Theo tính chất của logarit: ln│t│=ln│Сx│. Do đó t=Cx. (theo điều kiện, x>0). Đã đến lúc thay thế ngược lại: lnu=Cx. Và một sự thay thế ngược lại khác:

Theo tính chất của logarit:

Đây là tích phân tổng quát của phương trình.

Nhớ lại tích điều kiện x·u·lnu≠0 (có nghĩa là x≠0,u≠0, lnu≠0, từ đó u≠1). Nhưng x≠0 từ điều kiện vẫn là u≠1, do đó x≠y. Rõ ràng, y=x (x>0) được bao gồm trong giải pháp chung.

2) Tìm tích phân riêng phương trình y’=x/y+y/x thỏa mãn điều kiện ban đầu y(1)=2.

Đầu tiên, chúng tôi kiểm tra xem phương trình này có thuần nhất không (mặc dù sự hiện diện của các số hạng y/x và x/y đã gián tiếp chỉ ra điều này). Sau đó, chúng tôi thực hiện thay thế u=y/x, từ đó y=ux, y’=(ux)’=u’x+x’u=u’x+u. Chúng tôi thay thế các biểu thức kết quả vào phương trình:

u'x+u=1/u+u. Đơn giản hóa:

u'x=1/u. Vì u là một hàm của x nên u’=du/dx:

Chúng tôi có một phương trình với các biến có thể tách rời. Để tách các biến, ta nhân cả hai phần cho dx và u rồi chia cho x (x≠0 cho điều kiện, do đó u≠0 cũng vậy, nghĩa là không mất quyết định).

Chúng tôi tích hợp:

và vì có tích phân bảng ở cả hai phần, nên ta có ngay

Thực hiện thay thế ngược lại:

Đây là tích phân tổng quát của phương trình. Chúng tôi sử dụng điều kiện ban đầu y(1)=2, tức là chúng ta thay thế y=2, x=1 vào nghiệm thu được:

3) Tìm tích phân tổng quát của phương trình thuần nhất:

(x²-y²)dy-2xydx=0.

Thay đổi u=y/x, từ đó y=ux, dy=xdu+udx. Chúng tôi thay thế:

(x²-(ux)²)(xdu+udx)-2ux²dx=0. Chúng tôi lấy x² ra khỏi ngoặc và chia cả hai phần cho nó (giả sử x≠0):

x²(1-u²)(xdu+udx)-2ux²dx=0

(1-u²)(xdu+udx)-2udx=0. Mở rộng các dấu ngoặc và đơn giản hóa:

xdu-u²xdu+udx-u³dx-2udx=0,

xdu-u²xdu-u³dx-udx=0. Nhóm các thuật ngữ với du và dx:

(x-u²x)du-(u³+u)dx=0. Chúng tôi lấy các yếu tố phổ biến ra khỏi ngoặc:

x(1-u²)du-u(u²+1)dx=0. Tách các biến:

x(1-u²)du=u(u²+1)dx. Để làm điều này, chúng tôi chia cả hai phần của phương trình cho xu(u²+1)≠0 (theo đó, chúng tôi thêm các yêu cầu x≠0 (đã lưu ý), u≠0):

Chúng tôi tích hợp:

Ở vế phải của phương trình là tích phân dạng bảng, phân số hữu tỉở phía bên trái, chúng tôi phân tách thành các thừa số nguyên tố:

(hoặc trong tích phân thứ hai, thay vì cộng dưới dấu vi phân, có thể thực hiện phép thế t=1+u², dt=2udu - ai thích cách nào cũng được). Chúng tôi nhận được:

Theo tính chất của logarit:

Thay thế đảo ngược

Nhắc lại điều kiện u≠0. Do đó y≠0. Khi C=0 y=0 thì không mất nghiệm, và y=0 được đưa vào tích phân tổng quát.

Bình luận

Bạn có thể nhận được giải pháp ở dạng khác nếu bạn để thuật ngữ có x ở bên trái:

Ý nghĩa hình học của đường cong tích phân trong trường hợp này là họ các đường tròn có tâm nằm trên trục Oy và đi qua gốc tọa độ.

Nhiệm vụ tự kiểm tra:

1) (x²+y²)dx-xydy=0

1) Chúng ta kiểm tra xem phương trình có thuần nhất không, sau đó chúng ta thay thế u=y/x, từ đó y=ux, dy=xdu+udx. Thay vào điều kiện: (x²+x²u²)dx-x²u(xdu+udx)=0. Chia cả hai vế của phương trình cho x²≠0, chúng ta được: (1+u²)dx-u(xdu+udx)=0. Do đó dx+u²dx-xudu-u²dx=0. Rút gọn, ta có: dx-xudu=0. Do đó xudu=dx, udu=dx/x. Hãy tích hợp cả hai phần:

đồng nhất

trên bài học này chúng ta sẽ xem xét cái gọi là phương trình vi phân thuần nhất cấp một. Cùng với phương trình biến tách rời và phương trình tuyến tính không thuần nhất loại điều khiển từ xa này được tìm thấy trong hầu hết mọi Công việc kiểm soát về chủ đề khuếch tán. Nếu bạn đã vào trang này từ một công cụ tìm kiếm hoặc không tự tin lắm vào các phương trình vi phân, thì trước tiên tôi thực sự khuyên bạn nên soạn một bài giới thiệu về chủ đề này - phương trình vi phân bậc nhất. Thực tế là nhiều nguyên tắc để giải các phương trình thuần nhất và các kỹ thuật được sử dụng sẽ hoàn toàn giống như đối với các phương trình đơn giản nhất với các biến có thể tách rời.

Sự khác biệt giữa phương trình vi phân thuần nhất và các loại DE khác là gì? Điều này dễ giải thích nhất ngay với một ví dụ cụ thể.

ví dụ 1

Dung dịch:
Gì đầu tiên cần được phân tích khi quyết định không tí nào phương trình vi phân đơn đặt hàng đầu tiên? Trước hết, cần kiểm tra xem có thể tách biến ngay lập tức bằng các thao tác “trường học” hay không? Thông thường, một phân tích như vậy được thực hiện một cách tinh thần hoặc cố gắng tách các biến trong một bản nháp.

TẠI ví dụ này các biến không thể tách rời(bạn có thể thử lật các thuật ngữ từ phần này sang phần khác, lấy thừa số ra khỏi ngoặc, v.v.). Nhân tiện, trong ví dụ này, thực tế là các biến không thể được chia là khá rõ ràng do sự hiện diện của yếu tố .

Câu hỏi đặt ra - làm thế nào để giải quyết sự khác biệt này?

Cần kiểm tra và Phương trình này có thuần nhất không?? Việc xác minh rất đơn giản và bản thân thuật toán xác minh có thể được xây dựng như sau:

Về phương trình ban đầu:

thay vì thay thế , thay vì thay thế , không chạm vào đạo hàm:

Chữ lambda là một tham số có điều kiện và ở đây nó phát vai trò tiếp theo: nếu là kết quả của các phép biến đổi, có thể "phá hủy" TẤT CẢ lambdas và nhận được phương trình ban đầu, thì phương trình vi phân này là đồng nhất.

Rõ ràng, lambdas ngay lập tức bị hủy bỏ theo số mũ:

Bây giờ, ở phía bên phải, chúng tôi lấy lambda ra khỏi ngoặc:

và chia cả hai phần cho cùng lambda này:

Kết quả là tất cả các các lambda biến mất như một giấc mơ, như một làn sương sớm, và chúng ta có phương trình ban đầu.

Sự kết luận: phương trình này là đồng nhất

Làm thế nào để giải một phương trình vi phân thuần nhất?

Tôi có một tin rất tốt. Hoàn toàn tất cả các phương trình thuần nhất có thể được giải bằng một thay thế tiêu chuẩn duy nhất (!).

Chức năng "y" nên thay thế công việc một số chức năng (cũng phụ thuộc vào "x") và "x":

Hầu như luôn viết ngắn gọn:

Chúng tôi tìm hiểu xem công cụ phái sinh sẽ biến thành gì với sự thay thế như vậy, chúng tôi sử dụng quy tắc để phân biệt sản phẩm. Nếu , thì:

Thay vào phương trình ban đầu:

Một sự thay thế như vậy sẽ mang lại điều gì? Sau khi thay thế này và đơn giản hóa được thực hiện, chúng tôi đảm bảo chúng ta có được một phương trình với các biến có thể tách rời. NHỚ như mối tình đầu :) và theo đó, .

Sau khi thay thế, chúng tôi thực hiện đơn giản hóa tối đa:

Vì là hàm phụ thuộc vào "x", nên đạo hàm của nó có thể được viết dưới dạng phân số chuẩn: .
Theo cách này:

Chúng tôi tách các biến, trong khi ở phía bên trái, bạn chỉ cần thu thập "te" và ở phía bên phải - chỉ "x":

Các biến được tách ra, chúng tôi tích hợp:


Theo mẹo công nghệ đầu tiên của tôi từ bài viết phương trình vi phân bậc nhất trong nhiều trường hợp, nên “xây dựng” một hằng số ở dạng logarit.

Sau khi phương trình được tích hợp, bạn cần thực hiện thay thế đảo ngược, nó cũng là tiêu chuẩn và duy nhất:
Nếu , sau đó
TẠI trường hợp này:

Trong 18-19 trường hợp trong số 20 trường hợp, nghiệm của phương trình thuần nhất được viết dưới dạng tích phân chung.

Câu trả lời: tích phân tổng quát:

Tại sao đáp án của một phương trình thuần nhất hầu như luôn được cho dưới dạng tích phân tổng quát?
Trong hầu hết các trường hợp, không thể diễn đạt "y" ở dạng rõ ràng (để có được giải pháp chung) và nếu có thể, thì hầu hết giải pháp chung sẽ trở nên cồng kềnh và vụng về.

Vì vậy, ví dụ, trong ví dụ được xem xét, giải pháp chung có thể thu được bằng cách treo logarit trên cả hai phần của tích phân chung:

- à, vẫn ổn mà. Mặc dù, bạn thấy đấy, nó vẫn quanh co.

Nhân tiện, trong ví dụ này, tôi đã không viết ra tích phân tổng quát một cách “tử tế”. Đó không phải là một sai lầm, nhưng theo phong cách "hay", tôi xin nhắc bạn, thông thường người ta viết tích phân tổng quát ở dạng . Để làm điều này, ngay sau khi lấy tích phân phương trình, hằng số phải được viết mà không cần logarit (Đó là ngoại lệ của quy tắc!):

Và sau khi thay thế ngược lại, lấy tích phân chung ở dạng "cổ điển":

Câu trả lời nhận được có thể được kiểm tra. Để làm điều này, bạn cần phân biệt tích phân chung, nghĩa là tìm đạo hàm của một hàm được xác định ngầm:

Loại bỏ các phân số bằng cách nhân mỗi vế của phương trình với:

Phương trình vi phân ban đầu đã được thu được, có nghĩa là giải pháp đã được tìm thấy một cách chính xác.

Đó là khuyến khích để luôn luôn kiểm tra. Nhưng các phương trình thuần nhất rất khó chịu vì thường khó kiểm tra các tích phân tổng quát của chúng - điều này đòi hỏi một kỹ thuật vi phân rất, rất tốt. Trong ví dụ được xem xét, trong quá trình xác minh, cần phải tìm ra các đạo hàm không đơn giản nhất (mặc dù bản thân ví dụ này khá đơn giản). Kiểm tra được thì kiểm tra nhé!

ví dụ 2

Kiểm tra tính thuần nhất của phương trình và tìm tích phân tổng quát của nó.

Viết câu trả lời theo mẫu

Đây là một ví dụ cho quyết định độc lập- để bạn làm quen với chính thuật toán của các hành động. Kiểm tra lúc rảnh rỗi, bởi vì. ở đây nó khá phức tạp và tôi thậm chí còn không bắt đầu mang nó, nếu không bạn sẽ không còn trở nên điên cuồng như vậy nữa :)

Và giờ đây lời hứa tâm điểm, được đề cập ở phần đầu của chủ đề,
bằng chữ in đậm màu đen:

Nếu trong quá trình biến đổi, chúng ta "đặt lại" thừa số (không phải hằng số)đến mẫu số, thì chúng ta RỦI RO để mất giải pháp!

Và trên thực tế, chúng tôi đã gặp điều này trong ví dụ đầu tiên. bài học nhập môn về phương trình vi phân. Trong quá trình giải phương trình, "y" hóa ra nằm ở mẫu số: , nhưng, rõ ràng, là một nghiệm của DE và do một phép biến đổi không tương đương (phép chia), có mọi cơ hội mất nó! Một điều nữa là nó đã đi vào giải pháp chung khi giá trị bằng không hằng số. Đặt lại "x" cho mẫu số cũng có thể được bỏ qua, bởi vì không thỏa mãn tính khuếch tán ban đầu.

Một câu chuyện tương tự với phương trình thứ ba của cùng một bài học, trong quá trình giải quyết mà chúng tôi đã bỏ rơi vào mẫu số. Nói một cách chính xác, ở đây cần kiểm tra xem sự nhiễu xạ đã cho có phải là nghiệm hay không? Rốt cuộc, nó là! Nhưng ngay cả ở đây “mọi thứ đã ổn thỏa”, vì hàm này đã đi vào tích phân chung tại .

Và nếu điều này thường xảy ra với các phương trình “có thể tách rời”;) thì nó “cuộn”, thì với sự đồng nhất và một số khác biệt khác, nó có thể “không lăn”. Với một xác suất cao.

Hãy phân tích các vấn đề đã được giải quyết trong bài học này: ví dụ 1đã có sự "đặt lại" của x, tuy nhiên, nó không thể là nghiệm của phương trình. Nhưng trong ví dụ 2 chúng tôi chia thành , nhưng điều này cũng "thoát khỏi": vì giải pháp không thể bị mất, nên đơn giản là chúng không tồn tại ở đây. Nhưng, tất nhiên, tôi đã cố tình sắp xếp các “trường hợp vui vẻ” và thực tế không phải là chúng sẽ bắt gặp trong thực tế:

ví dụ 3

Giải phương trình vi phân

Nó không phải là một ví dụ đơn giản? ;-)

Dung dịch: tính đồng nhất của phương trình này là hiển nhiên, nhưng vẫn - ở bước đầu tiên LUÔN LUÔN kiểm tra xem các biến có thể được tách ra không. Đối với phương trình cũng thuần nhất, nhưng các biến trong đó lặng lẽ tách rời nhau. Vâng, có một số!

Sau khi kiểm tra "khả năng tách rời", chúng tôi thực hiện thay thế và đơn giản hóa phương trình càng nhiều càng tốt:

Chúng tôi tách các biến, bên trái chúng tôi thu thập "te", bên phải - "x":

Và đây là DỪNG LẠI. Khi chia cho chúng ta có nguy cơ mất hai chức năng cùng một lúc. Vì , nên đây là các hàm:

Chức năng đầu tiên rõ ràng là một giải pháp cho phương trình . Chúng tôi kiểm tra cái thứ hai - chúng tôi thay thế dẫn xuất của nó thành diffur của chúng tôi:

- nhận được đẳng thức đúng, nghĩa là hàm số có nghiệm.

Và chúng tôi có nguy cơ mất những quyết định này.

Ngoài ra, mẫu số là "X", tuy nhiên, sự thay thế ngụ ý rằng nó khác không. Hãy nhớ thực tế này. Nhưng mà! Hãy chắc chắn để kiểm tra, liệu có phải là nghiệm của phương trình vi phân GỐC hay không. Không, không phải vậy.

Hãy ghi lại tất cả những điều này và tiếp tục:

Phải nói rằng chúng ta đã may mắn với tích phân vế trái, nó còn tệ hơn nhiều.

Chúng tôi thu thập một logarit ở phía bên phải và đặt lại các xiềng xích:

Và bây giờ là sự thay thế ngược lại:

Nhân tất cả các số hạng với:

Bây giờ để kiểm tra - liệu các giải pháp "nguy hiểm" có được bao gồm trong tích phân chung hay không. Có, cả hai nghiệm đều được bao gồm trong tích phân chung ở giá trị bằng 0 của hằng số: , vì vậy chúng không cần được chỉ ra thêm trong câu trả lời:

tích phân tổng quát:

Kiểm tra. Thậm chí không phải là một bài kiểm tra, mà là niềm vui thuần túy :)

Phương trình vi phân ban đầu đã được thu được, có nghĩa là giải pháp đã được tìm thấy một cách chính xác.

Đối với một giải pháp độc lập:

Ví dụ 4

Thực hiện kiểm tra tính đồng nhất và giải phương trình vi phân

Tích phân tổng quát có thể được kiểm tra bằng sự vi phân.

Giải pháp hoàn chỉnh và đáp án ở cuối bài.

Hãy xem xét một vài ví dụ trong đó một phương trình thuần nhất được đưa ra với các vi phân làm sẵn.

Ví dụ 5

Giải phương trình vi phân

Cái này rất ví dụ thú vị, trực tiếp toàn bộ phim kinh dị!

Dung dịch Chúng ta sẽ làm quen với việc làm cho nó gọn hơn. Đầu tiên, về mặt tinh thần hoặc trên bản nháp, chúng tôi đảm bảo rằng các biến không thể được chia ở đây, sau đó chúng tôi kiểm tra tính đồng nhất - điều này thường không được thực hiện trên một bản sao sạch (trừ khi có yêu cầu cụ thể). Vì vậy, hầu như luôn luôn giải pháp bắt đầu với mục: " Phương trình này là thuần nhất, hãy thay thế: ...».

Nếu một phương trình thuần nhất chứa các vi phân làm sẵn, thì nó có thể được giải bằng phép thế đã sửa đổi:

Nhưng tôi không khuyên bạn nên sử dụng sự thay thế như vậy, vì kết quả sẽ là Tuyệt vời Tường Trung Quốc sự khác biệt, nơi bạn cần một con mắt và một con mắt. Từ quan điểm kỹ thuật, sẽ thuận lợi hơn khi chuyển sang ký hiệu đạo hàm "nét đứt", vì điều này, chúng tôi chia tất cả các số hạng của phương trình cho:

Và ở đây chúng tôi đã thực hiện một chuyển đổi "nguy hiểm"! Vi sai bằng 0 tương ứng với - một họ các đường thẳng song song với trục. Họ có phải là gốc rễ của DU của chúng tôi? Thay vào phương trình ban đầu:

Đẳng thức này đúng nếu , tức là khi chia cho ta có nguy cơ mất nghiệm , và chúng tôi đã mất nó- bởi vì nó không còn thỏa mãn phương trình kết quả .

Cần lưu ý rằng nếu chúng ta ban đầu phương trình đã cho , thì root sẽ không còn nữa. Nhưng chúng tôi đã có nó, và chúng tôi đã "bắt" nó kịp thời.

Chúng tôi tiếp tục giải pháp với một sự thay thế tiêu chuẩn:
:

Sau khi thay thế, chúng tôi đơn giản hóa phương trình càng nhiều càng tốt:

Tách các biến:

Và đây một lần nữa DỪNG LẠI: khi chia cho chúng ta có nguy cơ mất hai chức năng. Vì , nên đây là các hàm:

Rõ ràng, chức năng đầu tiên là một giải pháp cho phương trình . Chúng tôi kiểm tra cái thứ hai - chúng tôi thay thế và đạo hàm của nó:

- nhận bình đẳng thực sự, nên hàm số cũng là nghiệm của phương trình vi phân.

Và khi chia cho chúng ta có nguy cơ mất các giải pháp này. Tuy nhiên, chúng có thể nhập vào một tích phân chung. Nhưng họ không được vào.

Hãy lưu ý điều này và tích hợp cả hai phần:

Tích phân của vế trái được giải tiêu chuẩn bằng cách sử dụng lựa chọn của một hình vuông đầy đủ, nhưng trong máy khuếch tán thì sử dụng thuận tiện hơn nhiều phương pháp hệ số bất định:

Sử dụng phương pháp hệ số không xác định, chúng tôi mở rộng tích phân thành tổng của các phân số cơ bản:


Theo cách này:

Ta tìm tích phân:

- vì chúng ta chỉ rút ra logarit, nên chúng ta cũng đẩy hằng số xuống dưới logarit.

Trước khi thay thế lại đơn giản hóa mọi thứ có thể đơn giản hóa:

Chuỗi rơi:

Và sự thay thế ngược lại:

Bây giờ chúng tôi nhớ lại "tổn thất": giải pháp đã nhập tích phân chung tại , nhưng - "bay qua máy tính tiền", bởi vì xuất hiện ở mẫu số. Do đó, trong câu trả lời, nó được trao một cụm từ riêng biệt, và vâng - đừng quên quyết định đã mất, nhân tiện, cũng nằm ở dưới cùng.

Câu trả lời: tích phân tổng quát: . Nhiều giải pháp hơn:

Không quá khó để diễn đạt giải pháp chung ở đây:
, nhưng điều này đã được hiển thị.

Thuận tiện, tuy nhiên, để thử nghiệm. Hãy tìm đạo hàm:

và thay thế ở vế trái của phương trình:

- kết quả nhận được phần bên phải phương trình, đã được xác minh.

Sự khác biệt sau đây là của riêng nó:

Ví dụ 6

Giải phương trình vi phân

Lời giải đầy đủ và đáp án ở cuối bài. Hãy thử cùng một lúc để đào tạo và thể hiện giải pháp chung ở đây.

Trong phần cuối cùng của bài học, chúng ta sẽ xem xét một vài nhiệm vụ đặc trưng hơn về chủ đề này:

Ví dụ 7

Giải phương trình vi phân

Dung dịch: Hãy đi theo con đường bị đánh đập. Phương trình này là thuần nhất, hãy thay đổi:

Với "x", mọi thứ đều theo thứ tự, nhưng đây là điều không ổn với tam thức vuông? Vì nó không thể phân tích thành các yếu tố : , nên chúng tôi chắc chắn không mất giải pháp. Nó sẽ luôn như thế này! Chọn toàn bộ hình vuông ở phía bên trái và tích phân:

Không có gì để đơn giản hóa ở đây, và do đó thay thế ngược lại:

Câu trả lời: tích phân tổng quát:

Ví dụ 8

Giải phương trình vi phân

Đây là một ví dụ tự làm.

Vì thế:

Đối với chuyển đổi không tương đương, LUÔN kiểm tra (ít nhất là bằng lời nói), bạn không mất quyết định của bạn! Những biến đổi này là gì? Như một quy luật, giảm bớt một cái gì đó hoặc chia thành một cái gì đó. Vì vậy, ví dụ, khi chia cho, bạn cần kiểm tra xem các hàm có phải là nghiệm của phương trình vi phân hay không. Đồng thời, khi chia cho nhu cầu kiểm tra như vậy đã biến mất - do thực tế là ước số này không biến mất.

Đây là một số khác tình huống nguy hiểm:

Ở đây, loại bỏ , người ta nên kiểm tra xem đó có phải là giải pháp cho DE hay không. Thông thường, “x”, “y” được coi là một yếu tố như vậy và khi giảm bớt chúng, chúng ta sẽ mất các chức năng có thể trở thành giải pháp.

Mặt khác, nếu một cái gì đó BAN ĐẦU ở mẫu số, thì không có lý do gì để lo lắng như vậy. Vì vậy, trong một phương trình thuần nhất, bạn không phải lo lắng về hàm , vì nó được “khai báo” ở mẫu số.

Sự tinh tế được liệt kê không làm mất đi sự liên quan của chúng, ngay cả khi chỉ cần tìm một giải pháp cụ thể trong vấn đề. Có một cơ hội nhỏ, nhưng là chúng ta sẽ mất chính xác giải pháp cụ thể được yêu cầu. Sự thật bài toán Cauchy Trong nhiệm vụ thực tế với các phương trình thuần nhất hiếm khi được yêu cầu. Tuy nhiên, có những ví dụ như vậy trong bài viết Phương Trình Rút Gọn Về Đồng Nhất, mà tôi khuyên bạn nên học "theo đuổi nóng" để củng cố kỹ năng giải của bạn.

Ngoài ra còn có các phương trình thuần nhất phức tạp hơn. Khó khăn không nằm ở sự thay đổi của biến hoặc đơn giản hóa, mà ở những tích phân khá khó hoặc hiếm phát sinh do sự tách biến. Tôi có các ví dụ về nghiệm của những phương trình thuần nhất như vậy - những tích phân xấu xí và những đáp số xấu xí. Nhưng chúng ta sẽ không nói về chúng, bởi vì trong các bài học tiếp theo (xem bên dưới) Tôi vẫn còn thời gian để hành hạ bạn, tôi muốn nhìn thấy bạn tươi mới và lạc quan!

Thăng cấp thành công!

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Dung dịch: kiểm tra phương trình cho tính đồng nhất, cho điều này, trong phương trình ban đầu thay vì hãy đặt , và thay vì hãy thay thế:

Kết quả là thu được phương trình ban đầu, nghĩa là DE này đồng nhất.