Kỳ vọng toán học là phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng toán học, định nghĩa, kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, kỳ vọng chọn lọc, có điều kiện, tính toán, tính chất, nhiệm vụ, ước lượng kỳ vọng, phương sai, hàm phân phối, công thức, ví dụ tính toán

Mở rộng nội dung

Thu gọn nội dung

Kỳ vọng toán học là, định nghĩa

Một trong những khái niệm quan trọng nhất trong thống kê toán học và lý thuyết xác suất, đặc trưng cho sự phân bố giá trị hoặc xác suất của một biến ngẫu nhiên. Thường được thể hiện như bình quân gia quyền tất cả các tham số có thể có của biến ngẫu nhiên. Được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật, nghiên cứu dãy số, nghiên cứu về các quá trình liên tục và lâu dài. Nó rất quan trọng trong việc đánh giá rủi ro, dự đoán các chỉ số giá khi giao dịch trên thị trường tài chính, được sử dụng trong việc phát triển các chiến lược và phương pháp chiến thuật trò chơi trên lý thuyết bài bạc.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên được xem xét trong lý thuyết xác suất.

Kỳ vọng toán học là thước đo giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên x biểu thị M(x).

Kỳ vọng toán học là

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết xác suất, trung bình cộng trọng số của tất cả các giá trị có thể có mà biến ngẫu nhiên này có thể lấy.

Kỳ vọng toán học là tổng tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên bằng xác suất của các giá trị này.

Kỳ vọng toán học là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ của lý thuyết số lớn và đường dài.

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết cờ bạc, số tiền thắng mà người chơi có thể kiếm được hoặc thua trung bình cho mỗi lần đặt cược. Trong ngôn ngữ của những người đánh bạc, điều này đôi khi được gọi là "lợi thế của người chơi" (nếu tích cực đối với người chơi) hoặc "lợi thế nhà cái" (nếu tiêu cực đối với người chơi).

Kỳ vọng toán học là Tỷ lệ phần trăm lợi nhuận trên mỗi lần thắng nhân với lợi nhuận trung bình trừ đi xác suất thua lỗ nhân với tổn thất trung bình.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết toán học

Một trong những đặc trưng số quan trọng của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một hệ thống các biến ngẫu nhiên. Xét một tập hợp các biến ngẫu nhiên là kết quả của cùng một thí nghiệm ngẫu nhiên. Nếu là một trong những giá trị có thể có của hệ thống, thì sự kiện tương ứng với một xác suất nhất định thỏa mãn các tiên đề Kolmogorov. Một hàm xác định cho mọi giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên được gọi là luật phân phối chung. Chức năng này cho phép bạn tính toán xác suất của bất kỳ sự kiện nào từ đó. Cụ thể, quy luật chung về phân phối của các biến ngẫu nhiên và, lấy các giá trị từ tập hợp và, được đưa ra bởi xác suất.

Thuật ngữ "kỳ vọng" được giới thiệu bởi Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) và bắt nguồn từ khái niệm "giá trị kỳ vọng của phần thưởng", lần đầu tiên xuất hiện vào thế kỷ 17 trong lý thuyết cờ bạc trong các tác phẩm của Blaise Pascal và Christian Huygens. . Tuy nhiên, sự hiểu biết và đánh giá đầy đủ về mặt lý thuyết đầu tiên về khái niệm này được đưa ra bởi Pafnuty Lvovich Chebyshev (giữa thế kỷ 19).

Quy luật phân phối của biến số ngẫu nhiên (hàm phân phối và chuỗi phân phối hay mật độ xác suất) mô tả hoàn toàn hành vi của một biến ngẫu nhiên. Nhưng trong một số vấn đề, chỉ cần biết một số đặc điểm số của đại lượng đang nghiên cứu (ví dụ: giá trị trung bình và độ lệch có thể có của nó) là đủ để trả lời câu hỏi đặt ra. Các đặc điểm số chính của các biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học, phương sai, chế độ và trung vị.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng các tích của các giá trị có thể có của nó và xác suất tương ứng của chúng. Đôi khi kỳ vọng toán học được gọi là trung bình có trọng số, vì nó xấp xỉ bằng trung bình cộng của các giá trị quan sát của một biến ngẫu nhiên trên một số lượng lớn các thí nghiệm. Từ định nghĩa của kỳ vọng toán học, suy ra rằng giá trị của nó không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất có thể có của một biến ngẫu nhiên và không lớn hơn giá trị lớn nhất. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là một biến không ngẫu nhiên (không đổi).

Kỳ vọng toán học có một ý nghĩa vật lý đơn giản: nếu một đơn vị khối lượng được đặt trên một đường thẳng, thì việc đặt một số khối lượng tại một số điểm (đối với phân phối rời rạc), hoặc “bôi bẩn” nó với một mật độ nhất định (đối với phân bố liên tục tuyệt đối), thì điểm ứng với kỳ vọng toán học sẽ là tọa độ của “trọng tâm” của đường thẳng.

Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên là một số nhất định, có thể coi là "đại diện" của nó và thay thế nó trong các phép tính gần đúng. Khi chúng ta nói: “thời gian hoạt động của đèn trung bình là 100 giờ” hoặc “điểm tác động trung bình bị dịch chuyển so với mục tiêu 2 m sang phải”, chúng ta chỉ ra một đặc điểm số nhất định của một biến ngẫu nhiên mô tả nó vị trí trên trục số, tức là mô tả vị trí.

Từ các đặc điểm của vị trí trong lý thuyết xác suất vai trò thiết yếuđóng vai trò kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên, mà đôi khi được gọi đơn giản là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên.

Xét một biến ngẫu nhiên X, trong đó có các giá trị có thể x1, x2, …, xn với xác suất p1, p2, …, pn. Chúng ta cần đặc trưng bằng một số vị trí của các giá trị của biến ngẫu nhiên trên trục x, có tính đến thực tế là các giá trị này có xác suất khác nhau. Với mục đích này, việc sử dụng cái gọi là "trung bình trọng số" của các giá trị là điều đương nhiên. xi, và mỗi giá trị xi trong quá trình lấy trung bình phải được tính đến với một “trọng số” tỷ lệ thuận với xác suất của giá trị này. Như vậy, ta sẽ tính giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X, mà chúng ta sẽ biểu thị M|X|:

Số bình quân gia quyền này được gọi là kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên. Vì vậy, chúng tôi đã giới thiệu khi xem xét một trong những khái niệm quan trọng nhất của lý thuyết xác suất - khái niệm kỳ vọng toán học. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là tổng các tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của các giá trị này.

X do có sự phụ thuộc đặc thù với trung bình cộng của các giá trị quan sát của một biến ngẫu nhiên với số lượng lớn các lần thí nghiệm. Sự phụ thuộc này cùng loại với sự phụ thuộc giữa tần số và xác suất, cụ thể là: với một số lượng lớn các thí nghiệm, trung bình cộng của các giá trị quan sát của một biến ngẫu nhiên tiếp cận (hội tụ về xác suất) kỳ vọng toán học của nó. Từ sự hiện diện của mối quan hệ giữa tần suất và xác suất, người ta có thể suy ra như một hệ quả về sự tồn tại của mối quan hệ tương tự giữa trung bình cộng và kỳ vọng toán học. Thật vậy, hãy xem xét một biến ngẫu nhiên X, được đặc trưng bởi một loạt các bản phân phối:

Hãy để nó được sản xuất N thí nghiệm độc lập, trong đó mỗi giá trị X chấp nhận giá trị nhất định. Giả sử giá trị x1đã xuất hiện m1 lần, giá trị x2đã xuất hiện m2 lần, ý nghĩa chung xi xuất hiện mi lần. Hãy để chúng tôi tính giá trị trung bình cộng của các giá trị quan sát được của X, trái ngược với kỳ vọng toán học M|X| chúng tôi sẽ biểu thị M*|X|:

Với sự gia tăng số lượng thí nghiệm N tần số số Pi sẽ tiệm cận (hội tụ về xác suất) các xác suất tương ứng. Do đó, trung bình cộng của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên M|X| với sự gia tăng số lượng thí nghiệm, nó sẽ tiếp cận (hội tụ về xác suất) với kỳ vọng toán học của nó. Mối liên hệ giữa trung bình cộng và kỳ vọng toán học được hình thành ở trên tạo thành nội dung của một trong những dạng của quy luật số lớn.

Chúng ta đã biết rằng tất cả các dạng của luật số lớn đều nói lên một thực tế rằng các số trung bình nhất định là ổn định trong một số lượng lớn các thí nghiệm. Đây chúng tôi đang nói chuyện về sự ổn định của trung bình cộng từ một loạt các quan sát có cùng giá trị. Với một số lượng nhỏ các thí nghiệm, trung bình cộng của các kết quả của chúng là ngẫu nhiên; với sự gia tăng đủ số lượng thử nghiệm, nó trở nên "gần như không ngẫu nhiên" và, ổn định, tiếp cận giá trị hiện có- kỳ vọng toán học.

Tính chất ổn định của các giá trị trung bình đối với một số lượng lớn các thí nghiệm rất dễ kiểm chứng bằng thực nghiệm. Ví dụ, cân bất kỳ cơ thể nào trong phòng thí nghiệm trên cân chính xác, do kết quả của việc cân, chúng tôi nhận được một giá trị mới mỗi lần; để giảm sai số quan sát, chúng tôi cân cơ thể nhiều lần và sử dụng giá trị trung bình cộng của các giá trị thu được. Dễ dàng nhận thấy rằng với sự gia tăng hơn nữa số lượng thí nghiệm (lần cân), giá trị trung bình số học phản ứng với sự gia tăng này ngày càng ít đi và với số lượng thí nghiệm đủ lớn, nó thực tế không còn thay đổi.

Cần lưu ý rằng đặc điểm quan trọng nhất của vị trí của một biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học - không tồn tại cho tất cả các biến ngẫu nhiên. Có thể đưa ra các ví dụ về các biến ngẫu nhiên như vậy mà kỳ vọng toán học không tồn tại, vì tổng hoặc tích phân tương ứng phân kỳ. Tuy nhiên, đối với thực tế, những trường hợp như vậy không được quan tâm nhiều. Thông thường, các biến ngẫu nhiên mà chúng ta đang xử lý có một phạm vi giới hạn các giá trị có thể và tất nhiên, có một kỳ vọng.

Ngoài đặc điểm quan trọng nhất về vị trí của một biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học, các đặc điểm vị trí khác đôi khi được sử dụng trong thực tế, đặc biệt là chế độ và trung vị của biến ngẫu nhiên.

Chế độ của một biến ngẫu nhiên là giá trị có thể xảy ra nhất của nó. Nói đúng ra, thuật ngữ "giá trị có khả năng nhất" chỉ áp dụng cho các đại lượng không liên tục; đối với một đại lượng liên tục, chế độ là giá trị tại đó mật độ xác suất là tối đa. Các số liệu lần lượt hiển thị chế độ cho các biến ngẫu nhiên không liên tục và liên tục.

Nếu đa giác phân phối (đường cong phân phối) có nhiều hơn một cực đại, phân phối được cho là "đa hình".

Đôi khi có những bản phân phối ở giữa không phải là mức tối đa mà là mức tối thiểu. Những phân phối như vậy được gọi là "antimodal".

TRONG trường hợp chung chế độ và kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên không trùng khớp. Trong một trường hợp cụ thể, khi phân phối đối xứng và phương thức (tức là có mode) và có kỳ vọng toán học, thì nó trùng với mode và tâm đối xứng của phân phối.

Một đặc điểm khác của vị trí thường được sử dụng - cái gọi là trung vị của một biến ngẫu nhiên. Đặc tính này thường chỉ được sử dụng cho các biến ngẫu nhiên liên tục, mặc dù nó cũng có thể được định nghĩa chính thức cho biến không liên tục. Về mặt hình học, trung vị là trục hoành của điểm mà tại đó khu vực giới hạn bởi đường cong phân phối bị chia đôi.

Trong trường hợp phân phối theo phương thức đối xứng, trung vị trùng với giá trị trung bình và phương thức.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình cộng của biến ngẫu nhiên - một đặc trưng số của phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên. nhiều nhất Một cách tổng quát kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X(w)được định nghĩa là tích phân Lebesgue đối với thước đo xác suất r trong không gian xác suất ban đầu:

Kỳ vọng toán học cũng có thể được tính là tích phân Lebesgue của X theo phân phối xác suất px số lượng X:

Một cách tự nhiên, người ta có thể định nghĩa khái niệm biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học vô hạn. Một ví dụ điển hình là thời gian trở lại trong một số lần đi bộ ngẫu nhiên.

Với sự trợ giúp của kỳ vọng toán học, nhiều đặc điểm số và chức năng của phân phối được xác định (như kỳ vọng toán học của các hàm tương ứng của một biến ngẫu nhiên), ví dụ: hàm tạo, hàm đặc trưng, ​​thời điểm của bất kỳ thứ tự nào, đặc biệt là độ phân tán , hiệp phương sai.

Kỳ vọng toán học là một đặc điểm về vị trí của các giá trị của một biến ngẫu nhiên (giá trị trung bình của phân phối của nó). Trong khả năng này, kỳ vọng toán học đóng vai trò là một tham số phân bố “điển hình” nào đó và vai trò của nó cũng giống như vai trò của mômen tĩnh - toạ độ trọng tâm của phân bố khối lượng - trong cơ học. Từ các đặc điểm khác của vị trí, với sự trợ giúp của phân phối được mô tả theo thuật ngữ chung - trung vị, chế độ, kỳ vọng toán học khác ở chỗ giá trị lớn, mà nó và đặc tính tán xạ tương ứng - độ phân tán - có trong các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất. Với tính đầy đủ nhất, ý nghĩa của kỳ vọng toán học được tiết lộ bởi luật số lớn (bất đẳng thức Chebyshev) và luật tăng cường của số lớn.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử có một biến ngẫu nhiên nào đó có thể nhận một trong nhiều giá trị số (ví dụ: số điểm trong một lần tung xúc xắc có thể là 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6). Thông thường, trong thực tế, đối với một giá trị như vậy, câu hỏi được đặt ra: "trung bình" với một số lượng lớn các bài kiểm tra sẽ lấy giá trị nào? Lợi tức (hoặc tổn thất) trung bình của chúng ta từ mỗi hoạt động rủi ro sẽ là bao nhiêu?

Giả sử có một số loại xổ số. Chúng tôi muốn hiểu liệu việc tham gia vào nó có mang lại lợi nhuận hay không (hoặc thậm chí tham gia nhiều lần, thường xuyên). Giả sử rằng mỗi vé thứ tư giành được, giải thưởng sẽ là 300 rúp và giá của bất kỳ vé nào sẽ là 100 rúp. Với vô số lần tham gia, đây là điều sẽ xảy ra. Trong 3/4 trường hợp, chúng tôi sẽ thua, cứ 3 lần thua sẽ có giá 300 rúp. Trong mọi trường hợp thứ tư, chúng tôi sẽ giành được 200 rúp. (giải thưởng trừ chi phí), tức là đối với bốn lần tham gia, chúng tôi mất trung bình 100 rúp, đối với một lần - trung bình là 25 rúp. Tổng cộng, tỷ lệ hủy hoại trung bình của chúng tôi sẽ là 25 rúp mỗi vé.

chúng tôi ném xúc xắc. Nếu không gian lận (không dịch chuyển trọng tâm, v.v.), thì trung bình mỗi lần chúng ta sẽ được bao nhiêu điểm? Vì mỗi tùy chọn đều có khả năng xảy ra như nhau, chúng tôi lấy giá trị trung bình số học ngu ngốc và nhận được 3,5. Vì đây là TRUNG BÌNH, không cần phải phẫn nộ rằng không có cú ném cụ thể nào cho 3,5 điểm - chà, khối lập phương này không có mặt với một con số như vậy!

Bây giờ hãy tóm tắt các ví dụ của chúng tôi:

Chúng ta hãy nhìn vào hình ảnh ngay trên. Bên trái là bảng phân phối của một biến ngẫu nhiên. Giá trị của X có thể nhận một trong n giá trị có thể (đã cho ở hàng trên cùng). Không thể có giá trị nào khác. Dưới mỗi giá trị có thể, xác suất của nó được ký bên dưới. Bên phải là một công thức, trong đó M(X) được gọi là kỳ vọng toán học. Ý nghĩa của giá trị này là với một số lượng lớn các bài kiểm tra (với mẫu lớn) giá trị trung bình sẽ có xu hướng kỳ vọng rất toán học này.

Hãy quay trở lại cùng một khối chơi. Kỳ vọng toán học về số điểm trong một lần ném là 3,5 (hãy tự tính toán bằng công thức nếu bạn không tin). Giả sử bạn đã ném nó một vài lần. 4 và 6 rơi ra, trung bình là 5, tức là khác xa so với 3,5. Họ ném lại, 3 cái rơi ra, tức là trung bình (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Bằng cách nào đó khác xa so với kỳ vọng toán học. Bây giờ hãy làm một thí nghiệm điên rồ - lăn khối lập phương 1000 lần! Và nếu mức trung bình không chính xác là 3,5, thì nó sẽ gần bằng mức đó.

Hãy tính toán kỳ vọng toán học cho xổ số được mô tả ở trên. Bảng sẽ trông như thế này:

Sau đó, kỳ vọng toán học sẽ là, như chúng ta đã thiết lập ở trên.:

Một điều nữa là nó cũng “trên đầu ngón tay”, không có công thức, nếu có nhiều lựa chọn hơn sẽ rất khó. Chà, giả sử có 75% vé bị mất, 20% vé trúng và 5% vé trúng.

Bây giờ một số tính chất của kỳ vọng toán học.

Thật dễ dàng để chứng minh điều đó:

Một số nhân không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu kỳ vọng, đó là:

Đây là trường hợp đặc biệt của tính chất tuyến tính của kỳ vọng toán học.

Một hệ quả khác của tính tuyến tính của kỳ vọng toán học:

nghĩa là kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên.

Cho X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, Sau đó:

Điều này cũng dễ chứng minh) XY chính nó là một biến ngẫu nhiên, trong khi nếu các giá trị ban đầu có thể mất N Và tôi giá trị, tương ứng, sau đó XY có thể lấy giá trị nm. Xác suất của mỗi giá trị được tính dựa trên thực tế là xác suất sự kiện độc lập nhân. Kết quả là, chúng tôi nhận được điều này:

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên liên tục

Các biến ngẫu nhiên liên tục có một đặc tính như mật độ phân phối (mật độ xác suất). Trên thực tế, nó đặc trưng cho tình huống mà một số giá trị từ tập hợp số thực một biến ngẫu nhiên mất thường xuyên hơn, một số - ít thường xuyên hơn. Ví dụ, xem xét biểu đồ này:

Đây X- thực sự là một biến ngẫu nhiên, f(x)- mật độ phân bố. Đánh giá bằng biểu đồ này, trong các thí nghiệm, giá trị X thường sẽ là một số gần bằng không. cơ hội vượt quá 3 hoặc ít hơn -3 khá thuần túy lý thuyết.

Ví dụ, có một phân phối thống nhất:

Điều này khá phù hợp với sự hiểu biết trực quan. Giả sử nếu chúng ta nhận được nhiều số thực ngẫu nhiên có phân phối đều, mỗi đoạn |0; 1| , thì giá trị trung bình số học phải vào khoảng 0,5.

Các tính chất của kỳ vọng toán học - tuyến tính, v.v., áp dụng cho các biến ngẫu nhiên rời rạc, cũng được áp dụng ở đây.

Mối quan hệ của kỳ vọng toán học với các chỉ tiêu thống kê khác

Trong phân tích thống kê, cùng với kỳ vọng toán học, có một hệ thống các chỉ tiêu phụ thuộc lẫn nhau phản ánh tính đồng nhất của hiện tượng và tính ổn định của các quá trình. Thông thường, các chỉ số biến thiên không có ý nghĩa độc lập và được sử dụng để phân tích dữ liệu sâu hơn. Ngoại lệ là hệ số biến thiên, đặc trưng cho tính đồng nhất của dữ liệu, có giá trị đặc tính thống kê.

Mức độ biến đổi hoặc ổn định của các quá trình trong khoa học thống kê có thể được đo lường bằng một số chỉ số.

Hầu hết chỉ số quan trọngđặc trưng cho độ biến thiên của biến ngẫu nhiên là phân tán, liên quan chặt chẽ và trực tiếp nhất với kỳ vọng toán học. Tham số này được sử dụng tích cực trong các loại phân tích thống kê khác (kiểm tra giả thuyết, phân tích mối quan hệ nhân quả, v.v.). Giống như độ lệch tuyến tính trung bình, phương sai cũng phản ánh mức độ lan truyền của dữ liệu xung quanh Kích thước trung bình.

Việc dịch ngôn ngữ ký hiệu sang ngôn ngữ lời nói là rất hữu ích. Hóa ra sự phân tán là hình vuông ở giữa sai lệch. Nghĩa là, giá trị trung bình được tính trước, sau đó chênh lệch giữa từng giá trị gốc và giá trị trung bình được lấy, bình phương, cộng lại rồi chia cho số lượng giá trị trong tổng thể này. Sự khác biệt giữa giá trị riêng biệt và trung bình phản ánh thước đo độ lệch. Nó được bình phương để tất cả các độ lệch trở thành độc quyền số dương và để tránh sự phá hủy lẫn nhau của tích cực và sai lệch tiêu cực khi tổng hợp chúng lại. Sau đó, với các độ lệch bình phương, chúng ta chỉ cần tính giá trị trung bình số học. Trung bình - bình phương - độ lệch. Độ lệch được bình phương, và trung bình được xem xét. đầu mối từ ma thuật"phân tán" chỉ là ba từ.

Tuy nhiên, trong thể tinh khiết, chẳng hạn như trung bình cộng hoặc chỉ số, phương sai không được sử dụng. Nó đúng hơn là một chỉ số phụ trợ và trung gian được sử dụng cho các loại phân tích thống kê khác. Cô ấy thậm chí không có một đơn vị đo lường bình thường. Đánh giá theo công thức, đây là bình phương của đơn vị dữ liệu gốc.

Hãy đo một biến ngẫu nhiên N lần chẳng hạn, ta đo tốc độ gió mười lần và muốn tìm giá trị trung bình. Giá trị trung bình liên quan đến hàm phân phối như thế nào?

Hoặc chúng ta sẽ tung xúc xắc nhiều lần. Số điểm sẽ xuất hiện trên con súc sắc trong mỗi lần tung là biến ngẫu nhiên và có thể nhận bất kỳ giá trị tự nhiên nào từ 1 đến 6. Trung bình cộng của số điểm ghi được cho tất cả các lần tung xúc xắc cũng là một biến ngẫu nhiên, nhưng đối với lớn N nó khao khát số cụ thể- kỳ vọng toán học mx. Trong trường hợp này, Mx = 3,5.

Làm thế nào mà giá trị này xảy ra? cho vào N thử nghiệm n1 khi 1 điểm bị giảm, n2 lần - 2 điểm, v.v. Sau đó, số kết quả trong đó một điểm giảm:

Tương tự như vậy đối với các kết quả khi rơi ra 2, 3, 4, 5 và 6 điểm.

Bây giờ giả sử ta biết luật phân phối của biến ngẫu nhiên x, tức là ta biết biến ngẫu nhiên x có thể nhận các giá trị x1, x2, ..., xk với các xác suất p1, p2, ... , pk.

Kỳ vọng toán học Mx của biến ngẫu nhiên x là:

Kỳ vọng toán học không phải lúc nào cũng là ước tính hợp lý của một số biến ngẫu nhiên. Vì vậy, ước lượng trung bình tiền công sẽ hợp lý hơn nếu sử dụng khái niệm trung bình, nghĩa là giá trị mà số người nhận được ít hơn mức lương trung bình trở lên là như nhau.

Xác suất p1 để biến ngẫu nhiên x nhỏ hơn x1/2 và xác suất p2 để biến ngẫu nhiên x lớn hơn x1/2 là như nhau và bằng 1/2. Trung bình không được xác định duy nhất cho tất cả các bản phân phối.

Độ lệch chuẩn hoặc chuẩn trong thống kê, mức độ sai lệch của dữ liệu quan sát hoặc tập hợp từ giá trị TRUNG BÌNH được gọi. Được biểu thị bằng các chữ cái s hoặc s. Độ lệch chuẩn nhỏ cho biết dữ liệu được nhóm xung quanh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn lớn cho biết dữ liệu ban đầu khác xa với giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai lượng gọi là độ tán sắc. Nó là giá trị trung bình cộng của tổng bình phương sự khác biệt của dữ liệu ban đầu lệch khỏi giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên là căn bậc hai của phương sai:

Ví dụ. Trong điều kiện thí nghiệm khi bắn vào mục tiêu, hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên:

biến thể- sự biến động, khả biến của giá trị của thuộc tính tính theo đơn vị của tổng thể. Các giá trị số riêng biệt của một tính năng xảy ra trong dân số được nghiên cứu được gọi là các biến thể của giá trị. Không đủ giá trị trung bình cho đặc điểm hoàn chỉnh tổng hợp khiến chúng ta bổ sung các giá trị trung bình bằng các chỉ số cho phép chúng ta đánh giá tính điển hình của các giá trị trung bình này bằng cách đo lường sự dao động (biến thể) của đặc điểm đang nghiên cứu. Hệ số biến thiên được tính theo công thức:

biến thể nhịp(R) là sự khác biệt giữa tối đa và giá trị tối thiểu tính trạng trong quần thể nghiên cứu. Chỉ số này mang lại nhiều nhất ý tưởng chung về sự dao động của đặc điểm đang được nghiên cứu, vì nó chỉ cho thấy sự khác biệt giữa các giá trị giới hạn của các tùy chọn. Sự phụ thuộc Giá trị cực đoan dấu hiệu cho biên độ dao động không ổn định, ký tự ngẫu nhiên.

Độ lệch tuyến tính trung bình là trung bình cộng của độ lệch tuyệt đối (mô-đun) của tất cả các giá trị của tổng thể được phân tích so với giá trị trung bình của chúng:

Kỳ vọng toán học trong lý thuyết cờ bạc

Kỳ vọng toán học là số tiền trung bình mà một con bạc có thể thắng hoặc thua trong một lần đặt cược nhất định. Đây là một khái niệm rất quan trọng đối với người chơi, bởi vì nó là cơ sở để đánh giá hầu hết các tình huống trong trò chơi. Kỳ vọng toán học cũng là công cụ tốt nhất để phân tích bố cục thẻ cơ bản và tình huống trò chơi.

Giả sử bạn đang chơi đồng xu với một người bạn, đặt cược bằng nhau 1 đô la mỗi lần, bất kể điều gì xảy ra. Sấp - bạn thắng, ngửa - bạn thua. Cơ hội xuất hiện mặt sấp là 1 ăn 1 và bạn đang đặt cược 1 ăn 1 đô la. Do đó, kỳ vọng toán học của bạn bằng không, bởi vì về mặt toán học, bạn không thể biết liệu mình sẽ dẫn trước hay thua sau hai lần quay hay sau 200 lần.

Mức tăng hàng giờ của bạn bằng không. Xuất chi hàng giờ là số tiền bạn mong muốn giành được trong một giờ. Bạn có thể tung đồng xu 500 lần trong vòng một giờ, nhưng bạn sẽ không thắng hay thua vì tỷ lệ cược của bạn không tích cực cũng không tiêu cực. Nếu bạn nhìn, từ quan điểm của một người chơi nghiêm túc, một hệ thống cá cược như vậy không tệ. Nhưng nó chỉ là một sự lãng phí thời gian.

Nhưng giả sử ai đó muốn đặt cược 2 đô la vào 1 đô la của bạn trong cùng một trò chơi. Sau đó, bạn ngay lập tức có kỳ vọng tích cực là 50 xu từ mỗi lần đặt cược. Tại sao lại là 50 xu? Trung bình, bạn thắng một lần và thua lần thứ hai. Đặt cược đô la đầu tiên và thua 1 đô la, đặt cược thứ hai và thắng 2 đô la. Bạn đã đặt cược 1 đô la hai lần và dẫn trước 1 đô la. Vì vậy, mỗi lần đặt cược một đô la của bạn đã mang lại cho bạn 50 xu.

Nếu đồng xu giảm 500 lần trong một giờ, thì số tiền kiếm được mỗi giờ của bạn sẽ là 250 đô la, bởi vì. trung bình, bạn thua 1 đô la 250 lần và thắng 2 đô la 250 lần. $500 trừ $250 bằng $250, là tổng tiền thắng. Lưu ý rằng giá trị kỳ vọng, là số tiền bạn giành được trung bình trên một lần đặt cược, là 50 xu. Bạn đã thắng 250 đô la bằng cách đặt cược 500 đô la lần, tương đương với 50 xu tiền cược của bạn.

Kỳ vọng toán học không liên quan gì đến kết quả ngắn hạn. Đối thủ của bạn, người đã quyết định đặt cược 2 đô la vào bạn, có thể đánh bại bạn trong 10 lần tung đầu tiên liên tiếp, nhưng bạn, với lợi thế cá cược 2 ăn 1, tất cả đều bằng nhau, kiếm được 50 xu cho mỗi 1 đô la đặt cược vào bất kỳ trường hợp. Không quan trọng bạn thắng hay thua một ván cược hay nhiều ván cược, nhưng chỉ với điều kiện là bạn có đủ tiền mặt để dễ dàng bù đắp các chi phí. Nếu bạn tiếp tục đặt cược theo cùng một cách, thì trong một thời gian dài, số tiền thắng cược của bạn sẽ bằng tổng giá trị mong đợi trong các lần quay riêng lẻ.

Mỗi khi bạn đặt cược tốt hơn (một cược có thể sinh lời trong thời gian dài) khi tỷ lệ cược nghiêng về bạn, bạn nhất định sẽ giành được thứ gì đó, cho dù bạn có thua hay không trong một ván bài nhất định. Ngược lại, nếu bạn đặt cược với kết quả tồi tệ hơn (đặt cược không có lãi trong thời gian dài) khi tỷ lệ cược không có lợi cho bạn, bạn sẽ mất một thứ gì đó, bất kể bạn thắng hay thua trong ván bài này.

Bạn đặt cược với kết quả tốt nhất nếu kỳ vọng của bạn là tích cực, và nó là tích cực nếu tỷ lệ cược có lợi cho bạn. Bằng cách đặt cược với kết quả tồi tệ nhất, bạn có một kỳ vọng tiêu cực, điều này xảy ra khi tỷ lệ cược chống lại bạn. Những người chơi nghiêm túc chỉ đặt cược với kết quả tốt nhất, với kết quả tồi tệ nhất - họ bỏ bài. Tỷ lệ cược có lợi cho bạn có nghĩa là gì? Cuối cùng, bạn có thể giành được nhiều hơn tỷ lệ cược thực tế mang lại. Tỷ lệ thực sự của việc đánh sấp là 1 ăn 1, nhưng bạn nhận được 2 ăn 1 do tỷ lệ cá cược. Trong trường hợp này, tỷ lệ cược có lợi cho bạn. Bạn chắc chắn nhận được kết quả tốt nhất với kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi lần đặt cược.

Đây là nhiều hơn nữa ví dụ phức tạp kỳ vọng toán học. Người bạn viết ra các số từ một đến năm và đặt cược 5 đô la vào 1 đô la của bạn rằng bạn sẽ không chọn số đó. Bạn có đồng ý đặt cược như vậy không? Kỳ vọng ở đây là gì?

Trung bình, bạn sẽ sai bốn lần. Dựa trên điều này, tỷ lệ cược bạn đoán số sẽ là 4 trên 1. Tỷ lệ cược là bạn sẽ mất một đô la trong một lần thử. Tuy nhiên, bạn thắng 5 ăn 1, có khả năng thua 4 ăn 1. Do đó, tỷ lệ cược đang có lợi cho bạn, bạn có thể đặt cược và hy vọng vào kết quả tốt nhất. Nếu bạn đặt cược này năm lần, trung bình bạn sẽ thua bốn lần $1 và thắng $5 một lần. Dựa trên điều này, trong cả năm lần thử, bạn sẽ kiếm được 1 đô la với kỳ vọng toán học dương là 20 xu cho mỗi lần đặt cược.

Một người chơi sẽ thắng nhiều hơn số tiền anh ta đặt cược, như trong ví dụ trên, đang nắm bắt tỷ lệ cược. Ngược lại, anh ta phá hỏng các cơ hội khi anh ta kỳ vọng thắng ít hơn số tiền anh ta đặt cược. Người đặt cược có thể có kỳ vọng tích cực hoặc tiêu cực tùy thuộc vào việc anh ta bắt được hay phá hỏng tỷ lệ cược.

Nếu bạn đặt cược 50 đô la để giành được 10 đô la với cơ hội thắng là 4 ăn 1, bạn sẽ nhận được kỳ vọng âm là 2 đô la, bởi vì trung bình, bạn sẽ thắng bốn lần 10 đô la và thua một lần 50 đô la, điều này cho thấy rằng khoản lỗ cho mỗi lần đặt cược sẽ là 10 đô la. Nhưng nếu bạn đặt cược 30 đô la để giành được 10 đô la, với cùng tỷ lệ thắng 4 ăn 1, thì trong trường hợp này, bạn có kỳ vọng dương là 2 đô la, bởi vì bạn lại thắng bốn lần 10 đô la và thua một lần 30 đô la, với lợi nhuận là 10 đô la. Những ví dụ này cho thấy rằng lần đặt cược đầu tiên là xấu và lần thứ hai là tốt.

Kỳ vọng toán học là trung tâm của bất kỳ tình huống trò chơi nào. Khi một nhà cái cá cược khuyến khích người hâm mộ bóng đá đặt cược 11 đô la để giành được 10 đô la, họ có kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi 10 đô la. Nếu sòng bạc trả tiền chẵn từ đường chuyền Craps, thì kỳ vọng tích cực của nhà cái là khoảng 1,40 đô la cho mỗi 100 đô la; trò chơi này được cấu trúc để tất cả những người đặt cược vào dòng này trung bình thua 50,7% và thắng 49,3% thời gian. Không còn nghi ngờ gì nữa, chính kỳ vọng tích cực dường như tối thiểu này lại mang lại lợi nhuận khổng lồ cho các chủ sòng bạc trên khắp thế giới. Như chủ sở hữu sòng bạc Vegas World, Bob Stupak đã lưu ý, “Một phần nghìn của xác suất tiêu cực trong một khoảng cách đủ dài sẽ hủy hoại người giàu nhất trên thế giới".

Kỳ vọng toán học khi chơi poker

Trò chơi Poker là tiết lộ nhất và ví dụ tốt về mặt vận dụng lý thuyết và các tính chất của kỳ vọng toán học.

Giá trị kỳ vọng trong Poker là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết về số lượng lớn và khoảng cách xa. Poker thành công là luôn chấp nhận các nước đi với kỳ vọng toán học tích cực.

Ý nghĩa toán học của kỳ vọng toán học khi chơi poker nằm ở chỗ chúng ta thường gặp các biến số ngẫu nhiên khi đưa ra quyết định (không biết đối thủ có quân bài nào trên tay, quân bài nào sẽ ra ở các vòng cược tiếp theo). Chúng ta phải xem xét từng giải pháp từ quan điểm của lý thuyết số lớn, lý thuyết này nói rằng với một mẫu đủ lớn, giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên sẽ có xu hướng phù hợp với kỳ vọng toán học của nó.

Trong số các công thức cụ thể để tính kỳ vọng toán học, công thức sau đây được áp dụng nhiều nhất trong poker:

Khi chơi bài xì phé, kỳ vọng toán học có thể được tính cho cả cược và cược. Trong trường hợp đầu tiên, nên tính đến vốn chủ sở hữu, trong trường hợp thứ hai, tỷ lệ cược của chính tiền cược. Khi đánh giá kỳ vọng toán học của một nước đi cụ thể, nên nhớ rằng một lần lật luôn có kỳ vọng toán học bằng không. Do đó, loại bỏ thẻ sẽ luôn là một quyết định có lợi hơn bất kỳ động thái tiêu cực nào.

Kỳ vọng cho bạn biết những gì bạn có thể mong đợi (lãi hoặc lỗ) cho mỗi đô la bạn mạo hiểm. Sòng bạc kiếm tiền vì kỳ vọng toán học của tất cả các trò chơi được thực hiện trong đó đều có lợi cho sòng bạc. Với một chuỗi trò chơi đủ dài, khách hàng có thể sẽ mất tiền vì “xác suất” có lợi cho sòng bạc. Tuy nhiên, những người chơi sòng bạc chuyên nghiệp giới hạn trò chơi của họ trong khoảng thời gian ngắn, do đó làm tăng tỷ lệ cược có lợi cho họ. Đầu tư cũng vậy. Nếu kỳ vọng của bạn là tích cực, bạn có thể kiếm được thêm tiền thực hiện nhiều giao dịch trong một khoảng thời gian ngắn. Kỳ vọng là tỷ lệ phần trăm lợi nhuận của bạn trên mỗi lần thắng nhân với lợi nhuận trung bình của bạn trừ đi xác suất thua lỗ của bạn nhân với khoản lỗ trung bình của bạn.

Poker cũng có thể được xem xét dưới dạng kỳ vọng toán học. Bạn có thể cho rằng một động thái nhất định có lợi, nhưng trong một số trường hợp, nó có thể không phải là động thái tốt nhất vì một động thái khác có lợi hơn. Giả sử bạn đánh được cả nhà trong ván bài rút năm lá bài. Đối thủ của bạn đặt cược. Bạn biết rằng nếu bạn tăng tiền cược, anh ấy sẽ gọi. Vì vậy, nâng cao có vẻ như là chiến thuật tốt nhất. Nhưng nếu bạn tố, chắc chắn hai người chơi còn lại sẽ bỏ bài. Nhưng nếu bạn theo cược, bạn sẽ hoàn toàn chắc chắn rằng hai người chơi khác sau bạn cũng sẽ làm như vậy. Khi bạn đặt cược, bạn nhận được một đơn vị và chỉ cần gọi bạn sẽ nhận được hai đơn vị. Vì vậy, gọi mang lại cho bạn giá trị kỳ vọng tích cực cao hơn và là chiến thuật tốt nhất.

Kỳ vọng toán học cũng có thể đưa ra ý tưởng về chiến thuật poker nào ít sinh lãi hơn và chiến thuật nào sinh lãi nhiều hơn. Ví dụ: nếu bạn chơi một ván bài cụ thể và bạn nghĩ rằng khoản lỗ trung bình của mình là 75 xu bao gồm cả tiền cược, thì bạn nên chơi ván bài đó vì điều này tốt hơn là gấp khi tiền cược là 1 đô la.

Khác lý do quan trọngđể hiểu bản chất của kỳ vọng toán học là nó mang lại cho bạn cảm giác yên tâm cho dù bạn có thắng cược hay không: nếu bạn đặt cược tốt hoặc gấp đúng lúc, bạn sẽ biết rằng mình đã kiếm được hoặc tiết kiệm được một số tiền nhất định. số tiền mà một người chơi yếu hơn không thể tiết kiệm được. Sẽ khó bỏ bài hơn nhiều nếu bạn thất vọng vì đối thủ của bạn có bài tốt hơn ở ván bài. Điều đó nói rằng, số tiền bạn tiết kiệm được bằng cách không chơi, thay vì đặt cược, sẽ được thêm vào tiền thắng cược qua đêm hoặc hàng tháng của bạn.

Chỉ cần nhớ rằng nếu bạn đổi bài, đối thủ của bạn sẽ call bạn, và như bạn sẽ thấy trong bài viết Định lý cơ bản của Poker, đây chỉ là một trong những lợi thế của bạn. Bạn nên vui mừng khi điều này xảy ra. Bạn thậm chí có thể học cách tận hưởng việc thua một ván bài, bởi vì bạn biết rằng những người chơi khác trong hoàn cảnh của bạn sẽ thua nhiều hơn thế.

Như đã thảo luận trong ví dụ về trò chơi tiền xu ở phần đầu, tỷ lệ hoàn vốn hàng giờ có liên quan đến giá trị kỳ vọng và Khái niệm nàyđặc biệt quan trọng đối với những người chơi chuyên nghiệp. Khi bạn định chơi bài xì phé, bạn phải ước tính trong đầu số tiền bạn có thể thắng trong một giờ chơi. Trong hầu hết các trường hợp, bạn sẽ cần dựa vào trực giác và kinh nghiệm của mình, nhưng bạn cũng có thể sử dụng một số phép tính toán học. Ví dụ: nếu bạn đang chơi bóng thấp và bạn thấy ba người chơi đặt cược 10 đô la và sau đó rút hai lá bài, đây là một chiến thuật rất tồi, bạn có thể tự tính toán rằng mỗi khi họ đặt cược 10 đô la, họ sẽ mất khoảng 2 đô la. Mỗi người trong số họ làm điều này tám lần một giờ, có nghĩa là cả ba người mất khoảng 48 đô la mỗi giờ. Bạn là một trong bốn người chơi còn lại, những người gần bằng nhau, vì vậy bốn người chơi này (và bạn trong số họ) phải chia nhau 48 đô la và mỗi người sẽ kiếm được lợi nhuận 12 đô la mỗi giờ. Tỷ lệ hàng giờ của bạn trong trường hợp này chỉ đơn giản là phần của bạn trong số tiền bị mất bởi ba người chơi xấu mỗi giờ.

Trong một khoảng thời gian dài, tổng số tiền thắng cược của người chơi là tổng các kỳ vọng toán học của anh ta trong các lần phân phối riêng biệt. Bạn càng chơi với kỳ vọng tích cực, bạn càng thắng và ngược lại, bạn càng chơi nhiều ván bài với kỳ vọng tiêu cực, bạn càng thua nhiều. Do đó, bạn nên ưu tiên một trò chơi có thể tối đa hóa kỳ vọng tích cực của bạn hoặc phủ nhận kỳ vọng tiêu cực của bạn để bạn có thể tối đa hóa lợi nhuận hàng giờ của mình.

Kỳ vọng toán học tích cực trong chiến lược trò chơi

Nếu bạn biết cách đếm bài, bạn có thể có lợi thế hơn sòng bạc nếu họ không để ý và đuổi bạn ra ngoài. Sòng bạc yêu thích những con bạc say xỉn và không thể đếm bài. Lợi thế sẽ cho phép bạn thắng nhiều hơn thua theo thời gian. ban Quản lí tốt vốn bằng cách sử dụng các tính toán kỳ vọng có thể giúp bạn tận dụng lợi thế của mình và giảm tổn thất. Nếu không có lợi thế, tốt hơn hết bạn nên cho tiền từ thiện. Trong trò chơi trên sàn giao dịch chứng khoán, hệ thống của trò chơi mang lại lợi thế, tạo ra nhiều lợi nhuận hơn thua lỗ, chênh lệch giá và hoa hồng. Không quản lý số tiền nào sẽ cứu được một hệ thống chơi game tồi.

Một kỳ vọng tích cực được xác định bởi một giá trị lớn hơn 0. Con số này càng lớn, kỳ vọng thống kê càng mạnh. Nếu giá trị nhỏ hơn 0, thì kỳ vọng toán học cũng sẽ âm. Mô đun của giá trị âm càng lớn thì tình hình tồi tệ hơn. Nếu kết quả bằng 0, thì kỳ vọng là hòa vốn. Bạn chỉ có thể chiến thắng khi bạn có một kỳ vọng toán học tích cực, một hệ thống trò chơi hợp lý. Chơi theo trực giác dẫn đến thảm họa.

Kỳ vọng toán học và giao dịch chứng khoán

Kỳ vọng toán học được yêu cầu khá rộng rãi và phổ biến. thống kê khi thực hiện giao dịch hối đoái trên thị trường tài chính. Trước hết, tham số này được sử dụng để phân tích mức độ thành công của giao dịch. Không khó để đoán rằng càng giá trị nhất định, càng có nhiều lý do để coi giao dịch được nghiên cứu là thành công. Tất nhiên, việc phân tích công việc của một nhà giao dịch không thể được thực hiện chỉ với sự trợ giúp của tham số này. Tuy nhiên, giá trị được tính toán, kết hợp với các phương pháp đánh giá chất lượng công việc khác, có thể làm tăng đáng kể độ chính xác của phân tích.

Kỳ vọng toán học thường được tính toán trong các dịch vụ giám sát tài khoản giao dịch, cho phép bạn nhanh chóng đánh giá công việc được thực hiện trên khoản tiền gửi. Ngoài các trường hợp ngoại lệ, chúng tôi có thể trích dẫn các chiến lược sử dụng các giao dịch thua lỗ “ở lại quá hạn”. Một nhà giao dịch có thể gặp may trong một thời gian, và do đó, trong công việc của anh ta có thể không bị thua lỗ gì cả. Trong trường hợp này, sẽ không thể điều hướng chỉ theo kỳ vọng, bởi vì những rủi ro được sử dụng trong công việc sẽ không được tính đến.

Trong giao dịch trên thị trường, kỳ vọng toán học thường được sử dụng nhiều nhất khi dự đoán lợi nhuận của một chiến lược giao dịch hoặc khi dự đoán thu nhập của nhà giao dịch dựa trên số liệu thống kê về các giao dịch trước đó của anh ta.

Liên quan đến quản lý tiền, điều rất quan trọng là phải hiểu rằng khi thực hiện các giao dịch với kỳ vọng tiêu cực, không có kế hoạch quản lý tiền nào chắc chắn có thể mang lại lợi nhuận cao. Nếu bạn tiếp tục chơi trao đổi trong những điều kiện này, thì bất kể bạn quản lý tiền của mình như thế nào, bạn sẽ mất toàn bộ tài khoản của mình, bất kể lúc đầu nó lớn đến mức nào.

Tiên đề này không chỉ đúng với các trò chơi hoặc giao dịch có kỳ vọng tiêu cực, nó còn đúng với các trò chơi có tỷ lệ cược chẵn. Do đó, trường hợp duy nhất mà bạn có cơ hội thu được lợi ích lâu dài là khi thực hiện các giao dịch với kỳ vọng toán học tích cực.

Sự khác biệt giữa kỳ vọng tiêu cực và kỳ vọng tích cực là sự khác biệt giữa sự sống và cái chết. Kỳ vọng tích cực hay tiêu cực thế nào không quan trọng; điều quan trọng là nó tích cực hay tiêu cực. Do đó, trước khi xem xét việc quản lý tiền, bạn phải tìm một trò chơi có kỳ vọng tích cực.

Nếu bạn không có trò chơi đó, thì không có cách quản lý tiền nào trên thế giới sẽ cứu bạn. Mặt khác, nếu bạn có một kỳ vọng tích cực, thì có thể, thông qua việc quản lý tiền phù hợp, biến nó thành một hàm tăng trưởng theo cấp số nhân. Không quan trọng là kỳ vọng tích cực nhỏ như thế nào! Nói cách khác, hệ thống giao dịch dựa trên một hợp đồng có lợi nhuận như thế nào không quan trọng. Nếu bạn có một hệ thống kiếm được 10 đô la cho mỗi hợp đồng trong một giao dịch (sau khi tính phí và trượt giá), bạn có thể sử dụng các kỹ thuật quản lý tiền để mang lại nhiều lợi nhuận hơn so với hệ thống cho thấy lợi nhuận trung bình là 1.000 đô la cho mỗi giao dịch (sau khi trừ tiền hoa hồng và trượt).

Điều quan trọng không phải là hệ thống sinh lợi bao nhiêu, mà là có thể nói chắc chắn như thế nào rằng hệ thống sẽ cho ít nhất một khoản lợi nhuận tối thiểu trong tương lai. Do đó, sự chuẩn bị quan trọng nhất mà một nhà giao dịch có thể thực hiện là đảm bảo rằng hệ thống hiển thị giá trị kỳ vọng tích cực trong tương lai.

Để có giá trị kỳ vọng dương trong tương lai, điều rất quan trọng là không giới hạn mức độ tự do của hệ thống của bạn. Điều này đạt được không chỉ bằng cách loại bỏ hoặc giảm số lượng tham số được tối ưu hóa mà còn bằng cách giảm càng nhiều càng tốt hơn quy tắc hệ thống. Mọi tham số bạn thêm vào, mọi quy tắc bạn thực hiện, mọi thay đổi nhỏ bạn thực hiện đối với hệ thống đều làm giảm số bậc tự do. Lý tưởng nhất là bạn muốn xây dựng một công cụ khá nguyên thủy và hệ thống đơn giản, sẽ liên tục mang lại lợi nhuận nhỏ ở hầu hết mọi thị trường. Một lần nữa, điều quan trọng là bạn phải hiểu rằng một hệ thống sinh lãi nhiều không quan trọng, miễn là nó sinh lãi. Số tiền bạn kiếm được trong giao dịch sẽ kiếm được thông qua quản lý hiệu quả tiền bạc.

Một hệ thống giao dịch chỉ đơn giản là một công cụ cung cấp cho bạn một kỳ vọng toán học tích cực để có thể sử dụng việc quản lý tiền. Các hệ thống hoạt động (hiển thị ít nhất là lợi nhuận tối thiểu) chỉ ở một hoặc một số thị trường hoặc có các quy tắc hoặc tham số khác nhau cho các thị trường khác nhau, rất có thể sẽ không hoạt động trong thời gian thực trong một thời gian dài. Vấn đề với hầu hết các nhà giao dịch theo định hướng kỹ thuật là họ dành quá nhiều thời gian và công sức để tối ưu hóa các quy tắc và thông số khác nhau của hệ thống giao dịch. Điều này cho kết quả hoàn toàn ngược lại. Thay vì lãng phí năng lượng và thời gian máy tínhđể tăng lợi nhuận của hệ thống giao dịch, hãy hướng năng lượng của bạn vào việc tăng mức độ tin cậy để đạt được lợi nhuận tối thiểu.

Biết rằng quản lý tiền chỉ là trò chơi số, đòi hỏi phải sử dụng những kỳ vọng tích cực, nhà giao dịch có thể ngừng tìm kiếm "chén thánh" của giao dịch chứng khoán. Thay vào đó, anh ta có thể bắt đầu thử nghiệm phương pháp giao dịch của mình, tìm hiểu xem phương pháp này hợp lý như thế nào, liệu nó có mang lại những kỳ vọng tích cực hay không. phương pháp đúng quản lý tiền, áp dụng cho bất kỳ phương thức giao dịch nào, thậm chí rất tầm thường, sẽ thực hiện phần còn lại của công việc.

Đối với bất kỳ nhà giao dịch nào để thành công trong công việc của mình, anh ta cần giải quyết ba vấn đề quan trọng nhất nhiệm vụ quan trọng: . Để đảm bảo rằng số lượng giao dịch thành công vượt quá những sai lầm và tính toán sai lầm không thể tránh khỏi; Thiết lập hệ thống giao dịch của bạn để cơ hội kiếm tiền thường xuyên nhất có thể; Đạt được một kết quả tích cực ổn định của hoạt động của bạn.

Và ở đây, đối với chúng tôi, những người giao dịch đang làm việc, kỳ vọng toán học có thể giúp ích rất nhiều. Thuật ngữ này trong lý thuyết xác suất là một trong những chìa khóa. Nó có thể được sử dụng để đưa ra một ước tính trung bình của một số giá trị ngẫu nhiên. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên giống như trọng tâm, nếu bạn tưởng tượng mọi thứ xác suất có thểđiểm có khối lượng khác nhau.

Liên quan đến một chiến lược giao dịch, để đánh giá hiệu quả của nó, kỳ vọng toán học về lãi (hoặc lỗ) thường được sử dụng nhất. Tham số này được định nghĩa là tổng của các sản phẩm của các mức lãi và lỗ nhất định và xác suất xảy ra của chúng. Ví dụ: chiến lược giao dịch đã phát triển giả định rằng 37% của tất cả các hoạt động sẽ mang lại lợi nhuận và phần còn lại - 63% - sẽ không có lãi. Đồng thời, thu nhập trung bình từ một giao dịch thành công sẽ là 7 đô la và khoản lỗ trung bình sẽ là 1,4 đô la. Hãy tính toán kỳ vọng toán học của giao dịch bằng cách sử dụng hệ thống sau:

làm gì số đã cho? Nó nói rằng, theo các quy tắc của hệ thống này, trung bình, chúng tôi sẽ nhận được 1,708 đô la từ mỗi giao dịch đã đóng. Vì ước tính hiệu quả thu được Hơn không, sau đó một hệ thống như vậy có thể được sử dụng cho công việc thực tế. Nếu theo kết quả tính toán, kỳ vọng toán học trở thành số âm, thì điều này đã cho thấy mức lỗ trung bình và giao dịch như vậy sẽ dẫn đến hủy hoại.

Số tiền lãi trên mỗi giao dịch cũng có thể được biểu thị bằng giá trị tương đối BẰNG %. Ví dụ:

– tỷ lệ phần trăm thu nhập trên 1 giao dịch - 5%;

– tỷ lệ hoạt động giao dịch thành công - 62%;

– tỷ lệ thua lỗ trên 1 giao dịch - 3%;

- tỷ lệ giao dịch không thành công - 38%;

Tức là giao dịch trung bình sẽ mang lại 1,96%.

Có thể phát triển một hệ thống, mặc dù phần lớn các giao dịch thua lỗ, sẽ mang lại kết quả tích cực, vì MO của nó>0.

Tuy nhiên, chờ đợi một mình là không đủ. Rất khó kiếm tiền nếu hệ thống đưa ra rất ít tín hiệu giao dịch. Trong trường hợp này, khả năng sinh lời của nó sẽ tương đương với lãi suất ngân hàng. Giả sử trung bình mỗi hoạt động chỉ mang lại 0,5 đô la, nhưng nếu hệ thống giả định 1000 giao dịch mỗi năm thì sao? Đây sẽ là một số tiền rất nghiêm trọng trong một thời gian tương đối ngắn. Nó theo logic từ cái này đến cái khác dấu ấn Một hệ thống giao dịch tốt có thể được coi là thời gian nắm giữ ngắn.

Nguồn và liên kết

dic.academic.ru - từ điển học thuật trực tuyến

math.ru - trang web giáo dục về toán học

nsu.ru là một trang web giáo dục của Novosibirsk đại học tiểu bang

webmath.ru cổng thông tin giáo dục cho sinh viên, ứng viên và học sinh.

exponenta.ru trang web toán học giáo dục

vi.tradimo.com - miễn phí trường học trực tuyến thương mại

crypto.hut2.ru - đa ngành nguồn thông tin

poker-wiki.ru - bách khoa toàn thư miễn phí về poker

sernam.ru thư viện khoa họcấn phẩm khoa học tự nhiên chọn lọc

reshim.su - trang web khóa học kiểm soát nhiệm vụ SOLVE

unfx.ru – Ngoại hối trên UNFX: giáo dục, tín hiệu giao dịch, quản lý ủy thác

slovopedia.com - Lớn từ điển bách khoa Slovopedia

pokermansion.3dn.ru - Hướng dẫn của bạn về thế giới poker

statanaliz.info – blog thông tin « Phân tích thống kê dữ liệu"

forex-trader.rf - cổng giao dịch Forex-Trader

megafx.ru - phân tích ngoại hối cập nhật

fx-by.com - mọi thứ cho nhà giao dịch

Để các ước tính thống kê đưa ra giá trị gần đúng của các tham số ước tính, chúng phải không chệch, hiệu quả và nhất quán.

không thiên vịđược gọi là ước lượng thống kê của tham số , kỳ vọng toán học của nó bằng với tham số ước tính cho bất kỳ cỡ mẫu nào.

di dời gọi là đánh giá thống kê
tham số , có kỳ vọng toán học không bằng tham số ước tính.

có hiệu quả gọi là đánh giá thống kê
tham số , mà đối với một kích thước mẫu nhất định có phương sai nhỏ nhất.

Giàu có gọi là đánh giá thống kê
tham số , mà tại
có xu hướng xác suất đến tham số ước tính.

tức là cho bất kỳ

.

Đối với các mẫu có kích thước khác nhau thì thu được các giá trị khác nhau của trung bình cộng và phương sai thống kê. Do đó, trung bình cộng và phương sai thống kê là các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng và phương sai toán học.

Hãy tính kỳ vọng toán học của trung bình cộng và phương sai. Biểu thị bởi kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên

Ở đây, những điều sau đây được coi là biến ngẫu nhiên: – S.V., các giá trị bằng với các giá trị đầu tiên thu được cho các mẫu thể tích khác nhau từ dân số nói chung
–S.V., các giá trị của nó bằng với các giá trị thứ hai thu được cho mẫu khác nhauâm lượng từ dân số nói chung, ...,
- S.V., có giá trị bằng nhau -th giá trị thu được cho các mẫu khối lượng khác nhau từ dân chúng nói chung. Tất cả các biến ngẫu nhiên này được phân phối theo cùng một quy luật và có cùng kỳ vọng toán học.

Từ công thức (1) suy ra rằng trung bình cộng là ước lượng không chệch của kỳ vọng toán học, vì kỳ vọng toán học của trung bình số học bằng với kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên. Ước tính này cũng nhất quán. Hiệu quả của ước tính này phụ thuộc vào kiểu phân phối của biến ngẫu nhiên
. Nếu, ví dụ,
phân phối chuẩn, việc ước tính giá trị kỳ vọng bằng cách sử dụng trung bình số học sẽ hiệu quả.

Hãy tìm ngay bây giờ đánh giá thống kê phân tán.

Biểu thức cho phương sai thống kê có thể được chuyển đổi như sau

(2)

Bây giờ chúng ta hãy tìm kỳ vọng toán học của phương sai thống kê

. (3)

Cho rằng
(4)

chúng tôi nhận được từ (3) -

Có thể thấy từ công thức (6) rằng kỳ vọng toán học của phương sai thống kê khác với một hệ số so với phương sai, tức là là một ước tính sai lệch của phương sai dân số. Điều này là do thay vì giá trị thực
, chưa biết, giá trị trung bình thống kê được sử dụng để ước tính phương sai .

Do đó, chúng tôi giới thiệu phương sai thống kê đã hiệu chỉnh

(7)

Sau đó, kỳ vọng toán học của phương sai thống kê đã hiệu chỉnh là

những thứ kia. phương sai thống kê đã hiệu chỉnh là một ước tính không chệch của phương sai dân số. Ước tính kết quả cũng nhất quán.

MỤC ĐÍCH BÀI GIẢNG: giới thiệu khái niệm ước lượng một tham số có phân phối chưa biết và đưa ra cách phân loại các ước lượng đó; nhận các ước tính điểm và khoảng của kỳ vọng và phương sai toán học.

Trong thực tế, trong hầu hết các trường hợp, quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên là không xác định và theo kết quả quan sát
cần đánh giá các đặc điểm số (ví dụ: kỳ vọng toán học, phương sai hoặc các thời điểm khác) hoặc một tham số chưa biết , xác định luật phân phối (mật độ phân phối)
biến ngẫu nhiên đang nghiên cứu. Vì vậy, đối với phân phối mũ hoặc phân phối Poisson, chỉ cần đánh giá một tham số là đủ và đối với phân phối chuẩn, hai tham số đã được đánh giá - kỳ vọng toán học và phương sai.

Các loại đánh giá

Giá trị ngẫu nhiên
có mật độ xác suất
, Ở đâu là một tham số phân phối chưa biết. Kết quả của thí nghiệm, các giá trị của biến ngẫu nhiên này đã thu được:
. Để đánh giá về bản chất có nghĩa là các giá trị mẫu của một biến ngẫu nhiên phải được gắn với một giá trị nào đó của tham số , tức là tạo một số chức năng của kết quả quan sát
, giá trị của nó được lấy làm ước tính tham số . Mục lục cho biết số thí nghiệm đã thực hiện.

Bất kỳ chức năng nào phụ thuộc vào kết quả của các quan sát được gọi là số liệu thống kê. Vì kết quả quan sát là biến ngẫu nhiên nên thống kê cũng sẽ là biến ngẫu nhiên. Do đó, ước tính
tham số không xác định nên được coi là một biến ngẫu nhiên và giá trị của nó được tính toán từ thực nghiệm khối lượng nhất định, – là một trong những giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên này.

Ước tính các tham số phân phối (đặc điểm số của một biến ngẫu nhiên) được chia thành điểm và khoảng. Ước tính điểm tham số được xác định bởi một số , và độ chính xác của nó được đặc trưng bởi phương sai của ước lượng. ước tính khoảng thời gianđược gọi là ước tính, được xác định bởi hai số, Và – vào cuối khoảng thời gian bao gồm tham số ước tính với một mức tin cậy nhất định.

Phân loại ước lượng điểm

Để ước tính điểm của một tham số chưa biết
là tốt nhất về độ chính xác, nó cần nhất quán, không thiên vị và hiệu quả.

Giàu cóđược gọi là điểm
tham số , nếu nó hội tụ xác suất đến tham số ước tính, tức là

. (8.8)

Dựa vào bất đẳng thức Chebyshev, có thể chứng minh rằng đủ điều kiện quan hệ (8.8) là đẳng thức

.

Tính nhất quán là một đặc tính tiệm cận của ước tính cho
.

không thiên vịđược gọi là điểm
(ước tính không có lỗi hệ thống), kỳ vọng toán học của nó bằng với tham số ước tính, tức là

. (8.9)

Nếu đẳng thức (8.9) không được thỏa mãn thì ước lượng được gọi là chệch. Sự khác biệt
được gọi là độ chệch hay độ chệch của ước lượng. Nếu đẳng thức (8.9) chỉ được thỏa mãn cho
, thì ước lượng tương ứng được gọi là tiệm cận không chệch.

Cần lưu ý rằng nếu tính nhất quán là một điều kiện gần như bắt buộc đối với tất cả các ước tính được sử dụng trong thực tế (các ước tính không nhất quán rất hiếm khi được sử dụng), thì đặc tính không chệch chỉ là mong muốn. Nhiều công cụ ước tính thường được sử dụng không có thuộc tính không chệch.

Trong trường hợp tổng quát, độ chính xác của việc ước lượng một tham số nào đó thu được trên cơ sở dữ liệu thực nghiệm
, được đặc trưng bởi lỗi bình phương trung bình

,

mà có thể được đưa đến hình thức

,

sự phân tán ở đâu,
là bình phương của độ chệch ước lượng.

Nếu ước lượng là không chệch, thì

cuối cùng ước tính có thể khác nhau bởi bình phương trung bình của lỗi . Đương nhiên, sai số này càng nhỏ thì các giá trị đánh giá được nhóm xung quanh tham số ước lượng càng chặt chẽ. Do đó, điều luôn mong muốn là sai số ước lượng càng nhỏ càng tốt, nghĩa là điều kiện

. (8.10)

Ước lượng thỏa mãn điều kiện (8.10) được gọi là ước lượng có sai số bình phương cực tiểu.

có hiệu quảđược gọi là điểm
, trong đó sai số bình phương trung bình không lớn hơn sai số bình phương trung bình của bất kỳ ước tính nào khác, nghĩa là

Ở đâu – bất kỳ ước tính tham số nào khác .

Được biết, phương sai của bất kỳ ước lượng không chệch nào của một tham số thỏa mãn bất đẳng thức Cramer–Rao

,

Ở đâu
– mật độ phân phối xác suất có điều kiện của các giá trị thu được của một biến ngẫu nhiên với giá trị thực của tham số .

Vì vậy ước lượng không chệch
, mà bất đẳng thức Cramer-Rao trở thành một đẳng thức, sẽ có hiệu lực, nghĩa là ước tính như vậy có phương sai nhỏ nhất.

Ước tính điểm của kỳ vọng và phương sai toán học

Nếu chúng ta xem xét một biến ngẫu nhiên
, có kỳ vọng toán học và phân tán , cả hai tham số này đều được coi là chưa biết. Do đó, trên một biến ngẫu nhiên
sản xuất thí nghiệm độc lập cho kết quả:
. Cần phải tìm các ước lượng nhất quán và không chệch cho các tham số chưa biết Và .

Theo ước tính Và thông thường, trung bình thống kê (mẫu) và phương sai thống kê (mẫu) được chọn tương ứng:

; (8.11)

. (8.12)

Ước lượng kỳ vọng (8.11) nhất quán theo định luật số lớn (Định lý Chebyshev):

.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên

.

Do đó, ước tính là khách quan.

Độ phân tán của ước lượng kỳ vọng toán học:

Nếu biến ngẫu nhiên
phân phối theo luật bình thường, sau đó ước tính cũng có hiệu quả.

Kỳ vọng toán học của ước tính phương sai

Trong cùng thời gian

.

Bởi vì
, MỘT
, sau đó chúng tôi nhận được

. (8.13)

Như vậy,
là một ước tính sai lệch, mặc dù nó nhất quán và hiệu quả.

Từ công thức (8.13) suy ra rằng để có được ước lượng không chệch
phương sai mẫu (8.12) nên được sửa đổi như sau:

được coi là "tốt hơn" so với ước tính (8.12), mặc dù những ước tính này gần như bằng nhau.

Các phương pháp để có được ước tính của các tham số phân phối

Thường trong thực tế, dựa trên phân tích cơ chế vật lý mà sinh ra biến ngẫu nhiên
, ta có thể kết luận về quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên này. Tuy nhiên, các tham số của phân phối này là không xác định và chúng phải được ước tính từ kết quả của thí nghiệm, thường được trình bày dưới dạng một mẫu hữu hạn.
. Để giải quyết vấn đề như vậy, hai phương pháp thường được sử dụng nhất: phương pháp khoảnh khắc và phương pháp khả năng tối đa.

Phương pháp khoảnh khắc. Phương pháp này bao gồm việc đánh đồng các khoảnh khắc lý thuyết với các khoảnh khắc thực nghiệm tương ứng theo cùng một thứ tự.

Những khoảnh khắc ban đầu theo kinh nghiệm thứ tự được xác định bởi các công thức:

,

và những khoảnh khắc ban đầu lý thuyết tương ứng thứ tự - công thức:

đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc,

cho các biến ngẫu nhiên liên tục,

Ở đâu là tham số phân phối ước tính.

Để có được ước tính các tham số của một phân phối có chứa hai tham số chưa biết Và , hệ gồm hai phương trình

Ở đâu Và - lý thuyết và thực nghiệm điểm trung tâm thứ tự thứ hai.

Nghiệm của hệ phương trình là các ước Và tham số phân phối chưa biết Và .

Cân bằng các khoảnh khắc ban đầu theo kinh nghiệm lý thuyết của thứ tự đầu tiên, chúng tôi có được điều đó bằng cách ước tính kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên
, có phân phối tùy ý, sẽ là giá trị trung bình mẫu, tức là
. Sau đó, đánh đồng các khoảnh khắc trung tâm lý thuyết và thực nghiệm của bậc hai, chúng ta có được ước tính về phương sai của biến ngẫu nhiên
, có phân phối tùy ý, được xác định theo công thức

.

Theo cách tương tự, người ta có thể tìm thấy các ước tính về các khoảnh khắc lý thuyết của bất kỳ thứ tự nào.

Phương pháp thời điểm đơn giản và không yêu cầu tính toán phức tạp, nhưng các ước tính thu được bằng phương pháp này thường không hiệu quả.

phương pháp khả năng tối đa. Phương pháp ước lượng điểm có khả năng lớn nhất của các tham số phân phối chưa biết được rút gọn thành việc tìm hàm cực đại của một hoặc nhiều tham số ước tính.

Cho phép
là một biến ngẫu nhiên liên tục, do đó các bài kiểm tra đã lấy các giá trị
. Để có được ước tính của một tham số chưa biết cần tìm giá trị , tại đó xác suất thực hiện mẫu thu được sẽ là tối đa. Bởi vì
là các đại lượng độc lập lẫn nhau có cùng mật độ xác suất
, Cái đó hàm khả năng gọi hàm đối số :

Ước tính khả năng tối đa của tham số giá trị này được gọi là , tại đó hàm khả năng đạt cực đại, nghĩa là, là nghiệm của phương trình

,

điều này rõ ràng phụ thuộc vào kết quả kiểm tra
.

Kể từ khi các chức năng
Và
đạt cực đại tại cùng giá trị
, sau đó, thường để đơn giản hóa các phép tính, họ sử dụng hàm khả năng logarit và tìm nghiệm của phương trình tương ứng

,

được gọi là phương trình xác suất.

Nếu bạn cần đánh giá một số tham số
phân bổ
, thì hàm khả năng sẽ phụ thuộc vào các tham số này. Để tìm ước tính
tham số phân bố, cần giải hệ phương trình xác suất

.

Phương pháp khả năng tối đa đưa ra các ước tính nhất quán và tiệm cận hiệu quả. Tuy nhiên, các ước tính thu được bằng phương pháp khả năng tối đa đôi khi bị sai lệch và ngoài ra, để tìm ra các ước tính, người ta thường phải giải các hệ phương trình khá phức tạp.

Ước tính tham số khoảng

Độ chính xác của các ước lượng điểm được đặc trưng bởi độ phân tán của chúng. Đồng thời, không có thông tin về mức độ gần đúng của các ước tính thu được với giá trị thực của các tham số. Trong một số nhiệm vụ, không chỉ cần tìm tham số giá trị số phù hợp, mà còn đánh giá độ chính xác và độ tin cậy của nó. Cần phải tìm ra những lỗi mà việc thay thế tham số có thể dẫn đến. ước lượng điểm của nó và với mức độ tin cậy nào chúng ta có thể mong đợi rằng những sai số này sẽ không vượt quá giới hạn đã biết.

Những vấn đề như vậy đặc biệt phù hợp với một số lượng nhỏ các thí nghiệm. khi ước lượng điểm phần lớn thay thế ngẫu nhiên và gần đúng TRÊN có thể dẫn đến sai số đáng kể.

Một cách đầy đủ và đáng tin cậy hơn để ước tính các tham số của phân phối là xác định không phải một giá trị điểm đơn lẻ, mà là một khoảng, với một xác suất nhất định, bao trùm giá trị thực của tham số ước tính.

Hãy để kết quả thí nghiệm, một ước tính không thiên vị thu được
tham số . Nó là cần thiết để đánh giá các lỗi có thể. Một số xác suất đủ lớn được chọn
(ví dụ), sao cho một sự kiện có xác suất này có thể được coi là một sự kiện thực tế nhất định và giá trị như vậy được tìm thấy , mà

. (8.15)

Trong trường hợp này, phạm vi giá trị thực tế có thể xảy ra của lỗi xảy ra khi thay thế TRÊN , sẽ
, và rộng lớn giá trị tuyệt đối lỗi sẽ chỉ xảy ra với một xác suất nhỏ .

Biểu thức (8.15) có nghĩa là với xác suất
giá trị tham số không xác định rơi vào khoảng

. (8.16)

xác suất
gọi điện mức độ tự tin, và khoảng bao phủ với xác suất giá trị thực của tham số được gọi là khoảng tin cậy. Lưu ý rằng nói rằng giá trị tham số nằm trong khoảng tin cậy với xác suất là không chính xác. . Từ ngữ được sử dụng (bao phủ) có nghĩa là mặc dù tham số ước tính không xác định, nhưng nó có giá trị không đổi và do đó không có chênh lệch vì nó không phải là biến ngẫu nhiên.

Các tính chất cơ bản của ước lượng điểm

Để một đánh giá có giá trị thực tế, nó phải có các tính chất sau.

1. Một ước lượng tham số được gọi là không chệch nếu kỳ vọng toán học của nó bằng với tham số ước lượng, nghĩa là

Nếu đẳng thức (22.1) không được thỏa mãn, thì ước tính có thể đánh giá quá cao giá trị (M>) hoặc đánh giá thấp nó (M<) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Ước lượng của một tham số được gọi là nhất quán nếu nó tuân theo luật số lớn, tức là hội tụ về xác suất với tham số ước tính với số lần thử nghiệm (quan sát) tăng không giới hạn và do đó, đẳng thức sau được thỏa mãn:

trong đó > 0 là một số nhỏ tùy ý.

Để (22.2) giữ nguyên, điều kiện đủ là phương sai của ước lượng có xu hướng bằng 0, nghĩa là,

và hơn nữa, công cụ ước tính không thiên vị. Dễ dàng chuyển từ công thức (22.3) sang (22.2) nếu chúng ta sử dụng bất đẳng thức Chebyshev.

Vì vậy, tính nhất quán của ước tính có nghĩa là với số lượng thử nghiệm đủ lớn và độ chắc chắn cao tùy ý, độ lệch của ước tính so với giá trị thực của tham số nhỏ hơn bất kỳ giá trị nào trước đó. đặt giá trị. Điều này biện minh cho việc tăng kích thước mẫu.

Vì là một biến ngẫu nhiên có giá trị thay đổi từ mẫu này sang mẫu khác, nên thước đo độ phân tán của nó xung quanh kỳ vọng toán học sẽ được đặc trưng bởi phương sai D. Đặt và là hai ước lượng không chệch của tham số, tức là M = và M = , tương ứng là D và D và, nếu D< D , то в качестве оценки принимают.

3. Một ước lượng không chệch có phương sai nhỏ nhất trong số tất cả các ước lượng không chệch tham số có thể tính được từ các mẫu có cùng quy mô được gọi là ước lượng hiệu quả.

Trong thực tế, khi ước tính các tham số, không phải lúc nào cũng có thể đồng thời thỏa mãn các yêu cầu 1, 2, 3. Tuy nhiên, việc lựa chọn một ước tính phải luôn được thực hiện trước khi kiểm tra quan trọng của nó từ mọi quan điểm. Khi lấy mẫu phương pháp thực hành xử lý dữ liệu thử nghiệm, cần phải được hướng dẫn bởi các thuộc tính được xây dựng của các ước tính.

Ước tính kỳ vọng toán học và phương sai cho mẫu

Các đặc điểm quan trọng nhất của một biến ngẫu nhiên là kỳ vọng và phương sai toán học. Xem xét câu hỏi về đặc điểm mẫu nào ước tính tốt nhất kỳ vọng và phương sai toán học về tính không thiên vị, hiệu quả và tính nhất quán.

Định lý 23.1. Giá trị trung bình số học được tính từ n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên có kỳ vọng toán học M = , là ước tính không chệch của tham số này.

Bằng chứng.

Đặt - n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên. Với điều kiện M = , và vì là các biến ngẫu nhiên và có cùng luật phân phối. Theo định nghĩa, trung bình cộng

Xem xét kỳ vọng toán học của trung bình cộng. Sử dụng tính chất của kỳ vọng toán học, chúng ta có:

những thứ kia. . Do (22.1) là ước lượng không chệch. ?

Định lý 23.2 . Giá trị trung bình cộng được tính từ n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên có M = u là ước lượng nhất quán của tham số này.

Bằng chứng.

Đặt - n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên. Khi đó, theo Định lý 23.1, ta có M = .

Đối với trung bình cộng, chúng tôi viết bất đẳng thức Chebyshev:

Sử dụng tính chất tán sắc 4.5 và (23.1), ta có:

bởi vì theo định lý.

Kể từ đây,

Vậy phương sai của trung bình cộng nhỏ hơn n lần phương sai của biến ngẫu nhiên. Sau đó

có nghĩa là đó là một ước tính nhất quán.

Bình luận : 1 . Chúng tôi chấp nhận mà không cần bằng chứng một kết quả rất quan trọng cho thực hành. Nếu N(a,), thì ước lượng không chệch của kỳ vọng toán học Một có phương sai nhỏ nhất bằng, do đó, là ước lượng hiệu quả của tham số a. ?

Hãy chuyển sang ước tính cho phương sai và kiểm tra xem nó có nhất quán và không thiên vị không.

Định lý 23.3 . Nếu như mẫu thử ngẫu nhiên bao gồm n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên với

M = và D = , thì phương sai mẫu

không phải là ước lượng không chệch của D - phương sai chung.

Bằng chứng.

Đặt - n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên. Có điều kiện và cho tất cả mọi người. Ta biến đổi công thức (23.3) của phương sai mẫu:

Hãy rút gọn biểu thức

Khi tính đến (23.1), từ đâu

Để một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng và phương sai toán học chưa biết được thực hiện các thí nghiệm độc lập mang lại kết quả - . Hãy để chúng tôi tính toán các ước tính nhất quán và không thiên vị cho các tham số và .

Để ước lượng kỳ vọng toán học, chúng tôi lấy giá trị trung bình cộng của các giá trị thực nghiệm

. (2.9.1)

Theo luật số lớn, ước tính này là giàu có , với độ lớn trong xác suất. Ước tính tương tự là không thiên vị , bởi vì

. (2.9.2)

Phương sai của ước tính này là

. (2.9.3)

Có thể chỉ ra rằng đối với phân phối chuẩn, ước tính này là hiệu quả . Đối với các luật khác, điều này có thể không xảy ra.

Bây giờ chúng ta hãy ước tính phương sai. Đầu tiên chúng ta hãy chọn một công thức để ước tính phân tán thống kê

. (2.9.4)

Hãy để chúng tôi kiểm tra tính nhất quán của ước tính phương sai. Hãy mở ngoặc trong công thức (2.9.4)

.

Vì , thuật ngữ đầu tiên hội tụ xác suất thành đại lượng , trong thứ hai - đến . Do đó, ước tính của chúng tôi hội tụ xác suất với phương sai

,

do đó cô ấy là giàu có .

Hãy kiểm tra không thiên vị ước lượng cho số lượng. Để làm điều này, chúng tôi thay thế biểu thức (2.9.1) thành công thức (2.9.4) và tính đến các biến ngẫu nhiên đó độc lập

,

. (2.9.5)

Đưa công thức (2.9.5) vào biến động của biến ngẫu nhiên

Mở rộng ngoặc, ta được

,

. (2.9.6)

Chúng ta hãy tính kỳ vọng toán học của giá trị (2.9.6), có tính đến

. (2.9.7)

Quan hệ (2.9.7) cho thấy giá trị tính theo công thức (2.9.4) không phải là ước lượng không chệch để phân tán. Kỳ vọng toán học của nó không bằng mà có phần kém hơn. Việc đánh giá này dẫn đến lỗi hệ thống theo hướng giảm dần. Để loại bỏ sự sai lệch như vậy, cần phải đưa ra một hiệu chỉnh bằng cách nhân không phải giá trị . Sau đó, phương sai thống kê đã hiệu chỉnh như vậy có thể đóng vai trò là ước tính không chệch cho phương sai

. (2.9.8)

Ước tính này cũng nhất quán như ước tính, bởi vì đối với .

Trong thực tế, thay vì ước tính (2.9.8), đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng ước tính tương đương liên quan đến thời điểm thống kê ban đầu thứ hai

. (2.9.9)

Ước lượng (2.9.8), (2.9.9) không hiệu quả. Có thể chỉ ra rằng trong trường hợp phân phối chuẩn, chúng sẽ là tiệm cận hiệu quả (khi nào sẽ có xu hướng giá trị tối thiểu có thể).

Do đó, chúng ta có thể xây dựng các quy tắc sau để xử lý một giới hạn về khối lượng tài liệu thống kê. Nếu trong các thí nghiệm độc lập, biến ngẫu nhiên nhận các giá trị với kỳ vọng và phương sai toán học chưa biết thì để xác định các tham số này ta nên sử dụng ước lượng gần đúng

(2.9.10)

Kết thúc công việc -

Chủ đề này thuộc về:

Bài giảng môn toán lý thuyết xác suất thống kê toán học

Cái ghế toán học cao hơn và tin học.. bài giảng.. trong toán học..

Nếu bạn cần tài liệu bổ sung về chủ đề này hoặc bạn không tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng tìm kiếm trong cơ sở dữ liệu tác phẩm của chúng tôi:

Chúng tôi sẽ làm gì với tài liệu nhận được:

Nếu tài liệu này hữu ích cho bạn, bạn có thể lưu nó vào trang của mình trên các mạng xã hội:

tiếng riu ríu

Tất cả các chủ đề trong phần này:

lý thuyết xác suất
Lý thuyết xác suất là một nhánh của toán học nghiên cứu các mô hình của các hiện tượng khối lượng ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên là hiện tượng

Định nghĩa thống kê về xác suất
Một sự kiện là một hiện tượng ngẫu nhiên, do kinh nghiệm, có thể xuất hiện hoặc không (hiện tượng hai giá trị). Chỉ định các sự kiện bằng chữ in hoa Latinh

Không gian biến cố sơ cấp
Hãy để một tập hợp các sự kiện được liên kết với một số trải nghiệm và: 1) do kết quả của trải nghiệm, một và chỉ một

Hành động trên các sự kiện
Tổng của hai biến cố và

hoán vị
Số các hoán vị khác nhau của các phần tử được kí hiệu là

chỗ ở
Vị trí của các phần tử theo

kết hợp
Một sự kết hợp của các yếu tố

Công thức cộng xác suất cho các sự kiện không tương thích
định lý. Xác suất của tổng hai sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của các sự kiện này. (1

Công thức cộng xác suất cho các sự kiện tùy ý
định lý. Xác suất của tổng hai biến cố bằng tổng xác suất của hai biến cố này mà không tính xác suất của tích của chúng.

Công thức nhân xác suất
Cho hai biến cố. Hãy xem xét một sự kiện

Công thức xác suất tổng
Hãy là một nhóm đầy đủ các sự kiện không tương thích, chúng được gọi là giả thuyết. Hãy xem xét một số sự kiện

Công thức xác suất của các giả thuyết (Bayes)
Xem xét lại - nhóm đầy đủ các giả thuyết không tương thích và sự kiện

Công thức tiệm cận Poisson
Trong trường hợp số lần thử lớn và xác suất xảy ra biến cố

Biến rời rạc ngẫu nhiên
Giá trị ngẫu nhiên là đại lượng mà khi lặp lại thí nghiệm, có thể nhận các giá trị số không bằng nhau. Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc,

Biến ngẫu nhiên liên tục
Nếu do kết quả của một thí nghiệm, một biến ngẫu nhiên có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ một đoạn nhất định hoặc toàn bộ trục thực, thì nó được gọi là liên tục. pháp luật

Hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên liên tục
Để cho được. Xem xét một điểm và cho nó một gia số

Đặc trưng số của biến ngẫu nhiên
Các biến ngẫu nhiên rời rạc hoặc liên tục được coi là hoàn toàn xác định nếu biết luật phân phối của chúng. Thật vậy, biết quy luật phân phối, người ta luôn có thể tính xác suất trúng

Lượng tử của biến ngẫu nhiên
Lượng tử bậc của biến ngẫu nhiên liên tục

Kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên đặc trưng cho giá trị trung bình của nó. Tất cả các giá trị của biến ngẫu nhiên được nhóm xung quanh giá trị này. Trước tiên hãy xem xét một biến rời rạc ngẫu nhiên

Độ lệch chuẩn và phương sai của các biến ngẫu nhiên
Đầu tiên hãy xem xét một biến rời rạc ngẫu nhiên. Các đặc điểm số của chế độ, trung vị, lượng tử và kỳ vọng toán học

Khoảnh khắc của các biến ngẫu nhiên
Ngoài kỳ vọng toán học và phương sai, lý thuyết xác suất sử dụng các đặc trưng số của bậc cao hơn, được gọi là thời điểm của các biến ngẫu nhiên.

Các định lý về đặc trưng số của biến ngẫu nhiên
Định lý 1. Kỳ vọng toán học của một biến không ngẫu nhiên bằng chính giá trị này. Chứng minh: Hãy

Luật phân phối nhị thức

Luật phân phối Poisson
Cho một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị

Luật phân phối thống nhất
Quy luật phân bố đều của biến ngẫu nhiên liên tục là quy luật của hàm mật độ xác suất, trong đó

Luật phân phối chuẩn
Quy luật phân phối chuẩn của một biến ngẫu nhiên liên tục là quy luật của hàm mật độ

Luật phân phối mũ
Phân phối mũ hoặc hàm mũ của một biến ngẫu nhiên được sử dụng trong các ứng dụng của lý thuyết xác suất như lý thuyết xếp hàng, lý thuyết độ tin cậy

Hệ thống biến ngẫu nhiên
Trong thực tế, trong các ứng dụng của lý thuyết xác suất, người ta thường phải giải quyết các vấn đề trong đó kết quả của một thí nghiệm được mô tả không phải bởi một biến ngẫu nhiên mà bởi nhiều biến ngẫu nhiên cùng một lúc.

Hệ hai biến ngẫu nhiên rời rạc
Cho hai ngẫu nhiên đại lượng rời rạc tạo thành một hệ thống. giá trị ngẫu nhiên

Hệ hai biến ngẫu nhiên liên tục
Bây giờ hãy để hệ thống được hình thành bởi hai biến liên tục ngẫu nhiên. Luật phân phối của hệ thống này được gọi là có lẽ

Quy luật phân phối có điều kiện
Cho và phụ thuộc các biến ngẫu nhiên liên tục

Đặc trưng số của hệ hai biến ngẫu nhiên
Thời điểm ban đầu của bậc của hệ thống các biến ngẫu nhiên

Hệ thống một số biến ngẫu nhiên
Các kết quả thu được cho một hệ thống hai biến ngẫu nhiên có thể được khái quát hóa cho trường hợp các hệ thống bao gồm một số biến ngẫu nhiên tùy ý. Hãy để hệ thống được hình thành bởi tập hợp

Phân phối chuẩn của hệ hai biến ngẫu nhiên
Hãy xem xét một hệ thống của hai ngẫu nhiên số lượng liên tục. Luật phân phối của hệ thống này là luật thông thường tiếng sột soạt

Các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất
Mục tiêu chính của bộ môn lý thuyết xác suất là nghiên cứu các mô hình của hiện tượng khối lượng ngẫu nhiên. Thực tiễn cho thấy rằng việc quan sát một khối hiện tượng ngẫu nhiên đồng nhất cho thấy

bất đẳng thức Chebyshev
Xem xét một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học

Định lý Chebyshev
Nếu các biến ngẫu nhiên độc lập theo cặp và có phương sai hữu hạn giới hạn trong tổng thể

định lý Bernoulli
Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng thí nghiệm, tần suất xuất hiện của một sự kiện sẽ hội tụ xác suất thành xác suất của một sự kiện

Định lý giới hạn trung tâm
Khi thêm các biến ngẫu nhiên với bất kỳ luật phân phối nào, nhưng với phương sai giới hạn trong tổng hợp, luật phân phối

Nhiệm vụ chính của thống kê toán học
Các định luật của lý thuyết xác suất được thảo luận ở trên là một biểu thức toán học của các mẫu thực sự tồn tại trong các hiện tượng khối lượng ngẫu nhiên khác nhau. học

Một thống kê đơn giản. Hàm phân phối thống kê
Xét một biến ngẫu nhiên nào đó chưa biết luật phân phối. Yêu cầu dựa trên kinh nghiệm

Dòng thống kê. biểu đồ cột
Với số lượng lớn các quan sát (theo thứ tự hàng trăm) dân số trở nên bất tiện và cồng kềnh khi ghi tài liệu thống kê. Để rõ ràng và cô đọng, tài liệu thống kê

Đặc điểm số của phân phối thống kê
Trong lý thuyết xác suất, các đặc điểm số khác nhau của các biến ngẫu nhiên đã được xem xét: kỳ vọng toán học, độ phân tán, khoảnh khắc ban đầu và trung tâm của các bậc khác nhau. số giống nhau

Lựa chọn phân bố lý thuyết theo phương pháp momen
Trong bất kỳ phân phối thống kê nào, chắc chắn có các yếu tố ngẫu nhiên liên quan đến số lượng quan sát hạn chế. Với một số lượng lớn các quan sát, các yếu tố ngẫu nhiên này được làm mịn,

Kiểm định tính hợp lý của giả thuyết về dạng của luật phân phối
Đặt phân phối thống kê đã cho được xấp xỉ bằng một số đường cong lý thuyết hoặc

Tiêu chí đồng ý
Hãy xem xét một trong những bài kiểm tra mức độ phù hợp được sử dụng phổ biến nhất, cái gọi là bài kiểm tra Pearson. Cho rằng

Ước tính điểm cho các tham số phân phối chưa biết
Trong p.p. 2.1. – 2.7 chúng tôi đã xem xét chi tiết các cách giải quyết nhiệm vụ chính thứ nhất và thứ hai thống kê toán học. Là các bài toán xác định quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm

Khoảng tin cậy. xác suất tin cậy
Trong thực tế, với một số lượng nhỏ các thí nghiệm về một biến ngẫu nhiên, một sự thay thế gần đúng của một tham số chưa biết