25 αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Το Πυθαγόρειο θεώρημα: υπόβαθρο, στοιχεία, παραδείγματα πρακτικής εφαρμογής

Διάφοροι τρόποι απόδειξης του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

μαθητής της 9ης «Α» τάξης

MOU γυμνάσιο №8

Επιστημονικός Σύμβουλος:

καθηγητής μαθηματικών,

MOU γυμνάσιο №8

Τέχνη. Νέα Χριστούγεννα

Επικράτεια Κρασνοντάρ.

Τέχνη. Νέα Χριστούγεννα

ΣΧΟΛΙΟ.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα θεωρείται δικαίως το σημαντικότερο στην πορεία της γεωμετρίας και αξίζει ιδιαίτερης προσοχής. Είναι η βάση για την επίλυση πολλών γεωμετρικών προβλημάτων, η βάση για τη μελέτη των θεωρητικών και πρακτικό μάθημαγεωμετρία στο μέλλον. Το θεώρημα περιβάλλεται από τους πλουσιότερους ιστορικό υλικόσχετίζεται με την εμφάνισή του και τις μεθόδους απόδειξης. Η μελέτη της ιστορίας της ανάπτυξης της γεωμετρίας ενσταλάζει την αγάπη για αυτό το θέμα, συμβάλλει στην ανάπτυξη του γνωστικού ενδιαφέροντος, της γενικής κουλτούρας και της δημιουργικότητας, καθώς και αναπτύσσει τις δεξιότητες της ερευνητικής εργασίας.

Ως αποτέλεσμα της δραστηριότητας αναζήτησης, επετεύχθη ο στόχος της εργασίας, που είναι η αναπλήρωση και η γενίκευση της γνώσης σχετικά με την απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Κατάφερε να βρει και να ελέγξει διάφορους τρόπουςστοιχεία και εμβάθυνση της γνώσης πάνω στο θέμα, υπερβαίνοντας τις σελίδες ενός σχολικού εγχειριδίου.

Το υλικό που συγκεντρώθηκε πείθει ακόμη περισσότερο ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι το μεγάλο θεώρημα της γεωμετρίας και έχει μεγάλη θεωρητική και πρακτική σημασία.

Εισαγωγή. Ιστορική αναφορά 5 Κύριο σώμα 8

3. Συμπέρασμα 19

4. Βιβλιογραφία που χρησιμοποιήθηκε 20
1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. ΑΝΑΦΟΡΑ ΙΣΤΟΡΙΑΣ.

Η ουσία της αλήθειας είναι ότι είναι για μας για πάντα,

Όταν τουλάχιστον μια φορά στη διορατικότητά της βλέπουμε το φως,

Και το Πυθαγόρειο θεώρημα μετά από τόσα χρόνια

Για εμάς, όπως και για εκείνον, είναι αδιαμφισβήτητο, άψογο.

Για να γιορτάσουν, ο Πυθαγόρας έδωσε στους θεούς έναν όρκο:

Για να αγγίξετε την άπειρη σοφία,

Έσφαξε εκατό ταύρους, χάρη στους αιώνιους·

Έκανε προσευχές και επαίνους στο θύμα μετά.

Από τότε, οι ταύροι, όταν μυρίζουν, σπρώχνουν,

Αυτό που οδηγεί τους ανθρώπους στη νέα αλήθεια και πάλι,

Μουγκρίζουν με μανία, οπότε δεν υπάρχουν ούρα για να ακούσουν,

Τέτοιοι Πυθαγόρας τους ενέπνεαν για πάντα τον τρόμο.

Ταύροι, ανίσχυροι να αντισταθούν στη νέα αλήθεια,

Τί απομένει? - Απλά κλείσε τα μάτια σου, βρυχήθηκε, τρέμε.

Δεν είναι γνωστό πώς ο Πυθαγόρας απέδειξε το θεώρημά του. Το σίγουρο είναι ότι το ανακάλυψε κάτω από την έντονη επίδραση της αιγυπτιακής επιστήμης. ειδική περίπτωσητο Πυθαγόρειο θεώρημα - οι ιδιότητες ενός τριγώνου με πλευρές 3, 4 και 5 - ήταν γνωστό στους κατασκευαστές των πυραμίδων πολύ πριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα, ενώ ο ίδιος σπούδασε με Αιγύπτιους ιερείς για περισσότερα από 20 χρόνια. Υπάρχει ένας μύθος που λέει ότι, έχοντας αποδείξει το περίφημο θεώρημά του, ο Πυθαγόρας θυσίασε έναν ταύρο στους θεούς, και σύμφωνα με άλλες πηγές, ακόμη και 100 ταύρους. Αυτό, ωστόσο, έρχεται σε αντίθεση με πληροφορίες σχετικά με τις ηθικές και θρησκευτικές απόψεις του Πυθαγόρα. Στις λογοτεχνικές πηγές μπορεί κανείς να διαβάσει ότι «απαγόρευσε ακόμη και να σκοτώνεις ζώα, και πολύ περισσότερο να τα ταΐζεις, γιατί τα ζώα έχουν ψυχή, όπως εμείς». Ο Πυθαγόρας έτρωγε μόνο μέλι, ψωμί, λαχανικά και περιστασιακά ψάρια. Σε σχέση με όλα αυτά μπορεί να θεωρηθεί πιο αληθοφανές το ακόλουθο λήμμα: «... και ακόμη και όταν ανακάλυψε ότι σε ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα αντιστοιχεί στα πόδια, θυσίασε έναν ταύρο από ζύμη σιταριού».

Η δημοτικότητα του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι τόσο μεγάλη που οι αποδείξεις του βρίσκονται ακόμη και στη μυθοπλασία, για παράδειγμα, στην ιστορία του διάσημου Άγγλου συγγραφέα Huxley «Young Archimedes». Η ίδια Απόδειξη, αλλά για τη συγκεκριμένη περίπτωση ισοσκελούς ορθογώνιου τριγώνου, δίνεται στον διάλογο του Πλάτωνα Μίνο.

Παραμυθένιο σπίτι.

«Μακριά, μακριά, εκεί που δεν πετούν ούτε τα αεροπλάνα, είναι η χώρα της Γεωμετρίας. Σε αυτή την ασυνήθιστη χώρα υπήρχε μια καταπληκτική πόλη - η πόλη Teorem. Μια μέρα ήρθα σε αυτή την πόλη όμορφο κορίτσιμε το όνομα Hypotenuse. Προσπάθησε να πάρει ένα δωμάτιο, αλλά όπου έκανε αίτηση, την αρνούνταν παντού. Επιτέλους πλησίασε το ξεχαρβαλωμένο σπίτι και χτύπησε. Την άνοιξε ένας άντρας που αποκαλούσε τον εαυτό του Ορθή Γωνία, και κάλεσε τον Υποτείνουσα να ζήσει μαζί του. Η υποτείνουσα παρέμεινε στο σπίτι όπου έμεναν ο Right Angle και οι δύο μικροί γιοι του, ονόματι Katet. Από τότε, η ζωή στο Right Angle House άλλαξε με νέο τρόπο. Η υποτείνουσα φύτεψε λουλούδια στο παράθυρο και άπλωσε κόκκινα τριαντάφυλλα στον μπροστινό κήπο. Το σπίτι πήρε τη μορφή ορθογωνίου τριγώνου. Και στα δύο πόδια άρεσε πολύ η Hypotenuse και της ζήτησαν να μείνει για πάντα στο σπίτι τους. Τα βράδια, αυτή η φιλική οικογένεια μαζεύεται στο οικογενειακό τραπέζι. Μερικές φορές ο Right Angle παίζει κρυφτό με τα παιδιά του. Τις περισσότερες φορές πρέπει να ψάξει και η Υποτείνουσα κρύβεται τόσο επιδέξια που μπορεί να είναι πολύ δύσκολο να την βρεις. Μια φορά κατά τη διάρκεια ενός παιχνιδιού, ο Right Angle παρατήρησε μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα: αν καταφέρει να βρει τα πόδια, τότε η εύρεση του Hypotenuse δεν είναι δύσκολη. Οπότε το Right Angle χρησιμοποιεί αυτό το μοτίβο, πρέπει να πω, με μεγάλη επιτυχία. Επί της ιδιοκτησίας αυτού ορθογώνιο τρίγωνοκαι ίδρυσε το Πυθαγόρειο θεώρημα».

(Από το βιβλίο του A. Okunev «Ευχαριστώ για το μάθημα, παιδιά»).

Μια παιχνιδιάρικη διατύπωση του θεωρήματος:

Αν μας δοθεί ένα τρίγωνο

Και, επιπλέον, με ορθή γωνία,

Αυτό είναι το τετράγωνο της υποτείνουσας

Μπορούμε πάντα εύκολα να βρούμε:

Χτίζουμε τα πόδια σε ένα τετράγωνο,

Βρίσκουμε το άθροισμα των μοιρών -

Και μάλιστα με τόσο απλό τρόπο

Θα φτάσουμε στο αποτέλεσμα.

Μελετώντας την άλγεβρα και τις απαρχές της ανάλυσης και της γεωμετρίας στη 10η δημοτικού, πείστηκα ότι εκτός από τη μέθοδο απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος που εξετάστηκε στην 8η τάξη, υπάρχουν και άλλοι τρόποι απόδειξής του. Τους παρουσιάζω προς εξέταση.
2. ΚΥΡΙΟ ΜΕΡΟΣ.

Θεώρημα. Τετράγωνο σε ορθογώνιο τρίγωνο

υποτείνουσα ισούται με το άθροισματετράγωνα των ποδιών.

1 ΤΡΟΠΟΣ.

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες των εμβαδών των πολυγώνων, καθιερώνουμε μια αξιοσημείωτη σχέση μεταξύ της υποτείνουσας και των σκελών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Απόδειξη.

α, σεκαι υποτείνουσα Με(Εικ. 1, α).

Ας το αποδείξουμε c²=a²+b².

Απόδειξη.

Συμπληρώνουμε το τρίγωνο σε τετράγωνο με πλευρά α + βόπως φαίνεται στο σχ. 1β. Το εμβαδόν S αυτού του τετραγώνου είναι (a + b)². Από την άλλη, αυτό το τετράγωνο αποτελείται από τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα, το εμβαδόν καθενός από τα οποία είναι ½ av, και ένα τετράγωνο με μια πλευρά Με,άρα Σ = 4 * ½ av + s² = 2av + s².

Με αυτόν τον τρόπο,

(α + β)² = 2 av + s²,

c²=a²+b².

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
2 ΤΡΟΠΟΣ.

Αφού μελέτησα το θέμα "Παρόμοια Τρίγωνα", ανακάλυψα ότι μπορείτε να εφαρμόσετε την ομοιότητα των τριγώνων στην απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Δηλαδή, χρησιμοποίησα τη δήλωση ότι το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι η μέση αναλογική για την υποτείνουσα και το τμήμα της υποτείνουσας που περικλείεται μεταξύ του σκέλους και του ύψους που αντλείται από την κορυφή της ορθής γωνίας.

Θεωρήστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία C, CD είναι το ύψος (Εικ. 2). Ας το αποδείξουμε ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ² + ΝΔ² = AB² .

Απόδειξη.

Με βάση τη δήλωση σχετικά με το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου:

AC = , CB = .

Τετραγωνίζουμε και προσθέτουμε τις ισότητες που προκύπτουν:

AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;

AC² + CB² = AB * (AD + DB), όπου AD + DB = AB, τότε

AC² + CB² = AB * AB,

AC² + CB² = AB².

Η απόδειξη είναι πλήρης.
3 ΤΡΟΠΟΣ.

Ο ορισμός του συνημιτόνου οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου μπορεί να εφαρμοστεί στην απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Σκεφτείτε το Σχ. 3.

Απόδειξη:

Έστω ABC ένα δεδομένο ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία C. Σχεδιάστε ένα ύψος CD από την κορυφή της ορθής γωνίας C.

Εξ ορισμού του συνημιτόνου μιας γωνίας:

cos A \u003d AD / AC \u003d AC / AB. Ως εκ τούτου AB * AD = AC²

Επίσης,

cos B \u003d BD / BC \u003d BC / AB.

Ως εκ τούτου AB * BD \u003d BC².

Προσθέτοντας τις προκύπτουσες ισότητες ανά όρο και παρατηρώντας ότι AD + DВ = AB, παίρνουμε:

ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ² + ήλιος² \u003d AB (AD + DB) \u003d ΑΒ²

Η απόδειξη είναι πλήρης.
4 ΤΡΟΠΟΣ.

Έχοντας μελετήσει το θέμα «Λόγοι μεταξύ πλευρών και γωνιών ορθογωνίου τριγώνου», νομίζω ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να αποδειχθεί και με άλλο τρόπο.

Σκεφτείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πόδια α, σεκαι υποτείνουσα Με. (Εικ. 4).

Ας το αποδείξουμε c²=a²+b².

Απόδειξη.

αμαρτία Β=μετα Χριστον ; cos Β=όπως και , τότε, τετραγωνίζοντας τις προκύπτουσες ισότητες, παίρνουμε:

αμαρτία² Β=σε²/s²; cos² ΣΤΟ\u003d a² / s².

Προσθέτοντας τα, παίρνουμε:

αμαρτία² ΣΤΟ+ cos² Β= v² / s² + a² / s², όπου sin² ΣΤΟ+ cos² Β=1,

1 \u003d (v² + a²) / s², επομένως,

c² = a² + b².

Η απόδειξη είναι πλήρης.

5 ΤΡΟΠΟΣ.

Αυτή η απόδειξη βασίζεται στην κοπή των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια (Εικ. 5) και στη στοίβαξη των τμημάτων που προκύπτουν στο τετράγωνο που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα.

6 ΤΡΟΠΟΣ.

Για απόδειξη στον καθετήρα ήλιοςΚτίριο BCD αλφάβητο(Εικ. 6). Γνωρίζουμε ότι τα εμβαδά των παρόμοιων σχημάτων συσχετίζονται με τα τετράγωνα των παρόμοιων γραμμικών τους διαστάσεων:

Αφαιρώντας τη δεύτερη από την πρώτη ισότητα, παίρνουμε

c2 = a2 + β2.

Η απόδειξη είναι πλήρης.

7 ΤΡΟΠΟΣ.

Δεδομένος(Εικ. 7):

ABS,= 90° , ήλιος= α, AC=β, ΑΒ = γ.

Αποδεικνύω:c2 = a2 +β2.

Απόδειξη.

Αφήστε το πόδι σι ένα.Ας συνεχίσουμε το τμήμα ΝΔανά πόντο ΣΤΟκαι χτίστε ένα τρίγωνο bmdώστε τα σημεία Μκαι ΑΛΛΑξάπλωσε στη μία πλευρά μιας ευθείας γραμμής CDκαι επιπλέον, Β.Δ.=σι, BDM= 90°, DM= α, λοιπόν bmd= αλφάβητοσε δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους. Σημεία Α και Μσύνδεση κατά τμήματα ΕΙΜΑΙ.Εχουμε MD CDκαι ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ CD,σημαίνει ευθεία ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝπαράλληλη σε ευθεία γραμμή MD.Επειδή MD< АС, μετά ευθεία CDκαι ΕΙΜΑΙδεν είναι παράλληλες. Επομένως, AMDC-ορθογώνιο τραπεζοειδές.

Σε ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και bmd 1 + 2 = 90° και 3 + 4 = 90°, αλλά αφού = =, τότε 3 + 2 = 90°; έπειτα AVM=180° - 90° = 90°. Αποδείχθηκε ότι το τραπεζοειδές AMDCχωρίζεται σε τρία μη επικαλυπτόμενα ορθογώνια τρίγωνα, στη συνέχεια με τα αξιώματα του εμβαδού

(α+β)(α+β)

Διαιρώντας όλους τους όρους της ανισότητας με , λαμβάνουμε

έναβ + γ2 + αb = (a +σι) , 2 αβ+ c2 = Α2+ 2ασι+ β2,

c2 = a2 + β2.

Η απόδειξη είναι πλήρης.

8 ΤΡΟΠΟΣ.

Αυτή η μέθοδος βασίζεται στην υποτείνουσα και τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου ΑΛΦΑΒΗΤΟ.Κατασκευάζει τα αντίστοιχα τετράγωνα και αποδεικνύει ότι το τετράγωνο που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη (Εικ. 8).

Απόδειξη.

1) DBC= FBA= 90°;

DBC+ αλφάβητο= FBA+ αλφάβητο,που σημαίνει, FBC= DBA.

Με αυτόν τον τρόπο, FBC=ABD(σε δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους).

2) , όπου AL είναι DE, αφού το BD είναι κοινά σημεία, DL-συνολικό ύψος.

3) , δεδομένου ότι το FB είναι μια βάση, ΑΒ- συνολικό ύψος.

4)

5) Ομοίως, μπορεί κανείς να το αποδείξει αυτό

6) Προσθέτοντας όρο προς όρο, παίρνουμε:

, π.Χ.2 = AB2 + AC2 . Η απόδειξη είναι πλήρης.

9 ΤΡΟΠΟΣ.

Απόδειξη.

1) Αφήστε ΑΒΔΗ- ένα τετράγωνο (Εικ. 9), του οποίου η πλευρά είναι ίση με την υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου ABC (AB= c, BC = a, AC =σι).

2) Αφήστε DK προ ΧΡΙΣΤΟΥκαι ΔΚ = ήλιος,αφού 1 + 2 = 90° (ως οξείες γωνίες ορθογωνίου τριγώνου), 3 + 2 = 90° (ως γωνία τετραγώνου), ΑΒ= BD(πλευρές της πλατείας).

Που σημαίνει, αλφάβητο= BDK(κατά υποτείνουσα και οξεία γωνία).

3) Αφήστε ΕΛ DC, AM ΕΛ.Μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι ABC = BDK = DEL = EAM (με πόδια ένακαι σι).Επειτα KS= ΕΚ= ML= LK= ένα -σι.

4) SKB= 4S+SKLMC= 2αβ+ (α-β),Με2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.

Η απόδειξη είναι πλήρης.

10 ΤΡΟΠΟΣ.

Η απόδειξη μπορεί να πραγματοποιηθεί σε μια φιγούρα, που χαριτολογώντας ονομάζεται «Πυθαγόρειο παντελόνι» (Εικ. 10). Η ιδέα του είναι να μετατρέψει τα τετράγωνα που είναι χτισμένα στα πόδια σε ίσα τρίγωνα, τα οποία μαζί αποτελούν το τετράγωνο της υποτείνουσας.

αλφάβητο Shift, όπως φαίνεται από το βέλος, και παίρνει τη θέση KDN.Το υπόλοιπο σχήμα AKDCBίσο με το εμβαδόν ενός τετραγώνου AKDC-είναι παραλληλόγραμμο AKNB.

Έφτιαξε ένα παραλληλόγραμμο μοντέλο AKNB. Μετατοπίζουμε το παραλληλόγραμμο όπως σκιαγραφείται στο περιεχόμενο της εργασίας. Για να δείξουμε τη μετατροπή ενός παραλληλογράμμου σε ίσο τρίγωνο, μπροστά στους μαθητές, κόβουμε ένα τρίγωνο στο μοντέλο και το μετατοπίζουμε προς τα κάτω. Άρα η περιοχή της πλατείας AKDCείναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου. Ομοίως, μετατρέπουμε το εμβαδόν ενός τετραγώνου σε ένα ορθογώνιο.

Ας κάνουμε μια μεταμόρφωση για ένα τετράγωνο χτισμένο σε ένα πόδι ένα(Εικ. 11, α):

α) το τετράγωνο μετατρέπεται σε παραλληλόγραμμο ίσου μεγέθους (Εικ. 11.6):

β) το παραλληλόγραμμο περιστρέφεται κατά ένα τέταρτο της στροφής (Εικ. 12):

γ) το παραλληλόγραμμο μετατρέπεται σε ορθογώνιο ίσου μεγέθους (Εικ. 13): 11 ΤΡΟΠΟΣ.

Απόδειξη:

PCL-ευθεία (Εικ. 14).

KLOA= ACPF= ACED= a2;

LGBO= CVMR =CBNQ= β 2;

AKGB= ΑΚΛΟ+LGBO= c2;

c2 = a2 + β2.

Η απόδειξη πέρασε .

12 ΤΡΟΠΟΣ.

Ρύζι. 15 απεικονίζει μια άλλη πρωτότυπη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Εδώ: τρίγωνο ABC με ορθή γωνία C; ευθύγραμμο τμήμα bfκάθετος ΝΔκαι ίσο με αυτό, το τμήμα ΕΙΝΑΙκάθετος ΑΒκαι ίσο με αυτό, το τμήμα ΕΝΑ Δκάθετος ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝκαι ίσος με αυτόν? σημεία F, C,ρεανήκουν σε μία ευθεία γραμμή. τετράγωνα ADFBκαι ACBEείναι ίσοι γιατί ABF = ΕΚΤ;τρίγωνα ADFκαι ΑΣΣΟΣείναι ίσα; αφαιρούμε και από τα δύο ίσα τετράγωνα ένα κοινό τρίγωνο για αυτά αλφάβητο,παίρνουμε

, c2 = a2 + β2.

Η απόδειξη είναι πλήρης.

13 ΤΡΟΠΟΣ.

Το εμβαδόν αυτού του ορθογωνίου τριγώνου, αφενός, είναι ίσο με , με άλλον, ,

3. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Ως αποτέλεσμα της δραστηριότητας αναζήτησης, επετεύχθη ο στόχος της εργασίας, που είναι η αναπλήρωση και η γενίκευση της γνώσης σχετικά με την απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Ήταν δυνατό να βρεθούν και να εξεταστούν διάφοροι τρόποι για να το αποδείξουμε και να εμβαθύνουμε τη γνώση πάνω στο θέμα υπερβαίνοντας τις σελίδες ενός σχολικού εγχειριδίου.

Το υλικό που έχω συγκεντρώσει είναι ακόμα πιο πειστικό ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι το μεγάλο θεώρημα της γεωμετρίας και έχει μεγάλη θεωρητική και πρακτική σημασία. Εν κατακλείδι, θα ήθελα να πω: ο λόγος για τη δημοτικότητα του πυθαγόρειου θεωρήματος του τριαδικού είναι η ομορφιά, η απλότητα και η σημασία!

4. ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ.

1. Διασκεδαστική άλγεβρα. . Μόσχα "Nauka", 1978.

2. Εβδομαδιαίο εκπαιδευτικό και μεθοδολογικό συμπλήρωμα της εφημερίδας «Πρωτο Σεπτέμβρη», 24/2001.

3. Γεωμετρία 7-9. και τα λοιπά.

4. Γεωμετρία 7-9. και τα λοιπά.

Μια κινούμενη απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι ένα από τα θεμελιώδηςθεωρήματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας, που καθιερώνουν τη σχέση μεταξύ των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Πιστεύεται ότι αποδείχθηκε από τον Έλληνα μαθηματικό Πυθαγόρα, από τον οποίο πήρε το όνομά του (υπάρχουν και άλλες εκδοχές, ειδικότερα, μια εναλλακτική άποψη ότι αυτό το θεώρημα βρίσκεται στο γενική εικόναδιατυπώθηκε από τον Πυθαγόρειο μαθηματικό Ιππάσο).
Το θεώρημα λέει:

Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Δηλώνει το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου ντο,και τα μήκη των ποδιών όπως ένακαι σι,παίρνουμε τον ακόλουθο τύπο:

Έτσι, το Πυθαγόρειο θεώρημα δημιουργεί μια σχέση που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την πλευρά ενός ορθογωνίου τριγώνου, γνωρίζοντας τα μήκη των άλλων δύο. Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος συνημιτόνου, που καθορίζει τη σχέση μεταξύ των πλευρών αυθαίρετο τρίγωνο.
Αποδεικνύεται επίσης ο αντίστροφος ισχυρισμός (ονομάζεται επίσης θεώρημα αντίστροφηςΠυθαγόρας):

Για οποιαδήποτε τρία θετικούς αριθμούςα, β και γ τέτοια ώστε α ? +β; = c ?, υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη a και b και υποτείνουσα c.

Οπτικά στοιχεία για το τρίγωνο (3, 4, 5) από το Τσου Πέι 500-200 π.Χ. Η ιστορία του θεωρήματος μπορεί να χωριστεί σε τέσσερα μέρη: γνώση για τους Πυθαγόρειους αριθμούς, γνώση για τον λόγο των πλευρών σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, γνώση για την αναλογία παρακείμενες γωνίεςκαι απόδειξη του θεωρήματος.
Μεγαλιθικές κατασκευές γύρω στο 2500 π.Χ στην Αίγυπτο και τη Βόρεια Ευρώπη, περιέχουν ορθογώνια τρίγωνα με ακέραιες πλευρές. Ο Barthel Leendert van der Waerden υπέθεσε ότι εκείνες τις μέρες οι Πυθαγόρειοι αριθμοί βρίσκονταν αλγεβρικά.
Γράφτηκε μεταξύ 2000 και 1876 π.Χ πάπυρος από το Μέσο Βασίλειο της Αιγύπτου Βερολίνο 6619περιέχει ένα πρόβλημα του οποίου η λύση είναι οι Πυθαγόρειοι αριθμοί.
Κατά τη διάρκεια της βασιλείας του Χαμουραμπί του Μεγάλου, μια βιβυλωνιακή πλάκα Plimpton 322,που γράφτηκε μεταξύ 1790 και 1750 π.Χ. περιέχει πολλά λήμματα που σχετίζονται στενά με τους Πυθαγόρειους αριθμούς.
Στις σούτρας Budhayana, που χρονολογούνται από διαφορετικές εκδόσεις 8ος ή 2ος αιώνας π.Χ στην Ινδία, περιέχει Πυθαγόρειους αριθμούς που προέρχονται αλγεβρικά, μια διατύπωση του Πυθαγόρειου Θεωρήματος και μια γεωμετρική απόδειξη για ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.
Τα Apastamba Sutras (περίπου 600 π.Χ.) περιέχουν αριθμητική απόδειξηΠυθαγόρεια θεωρήματα με χρήση υπολογισμού εμβαδού. Ο Van der Waerden πιστεύει ότι βασίστηκε στις παραδόσεις των προκατόχων του. Σύμφωνα με τον Albert Burko, αυτή είναι η αρχική απόδειξη του θεωρήματος και προτείνει ότι ο Πυθαγόρας επισκέφτηκε το Αρακόνι και το αντέγραψε.
Ο Πυθαγόρας, του οποίου τα χρόνια ζωής αναφέρονται συνήθως 569 - 475 π.Χ. χρήσεις αλγεβρικές μεθόδουςυπολογισμός των πυθαγόρειων αριθμών, σύμφωνα με τα σχόλια του Proklov για τον Ευκλείδη. Ο Πρόκλος όμως έζησε μεταξύ 410 και 485 μ.Χ. Σύμφωνα με τον Thomas Giese, δεν υπάρχει καμία ένδειξη για την πατρότητα του θεωρήματος για πέντε αιώνες μετά τον Πυθαγόρα. Ωστόσο, όταν συγγραφείς όπως ο Πλούταρχος ή ο Κικέρων αποδίδουν το θεώρημα στον Πυθαγόρα, το κάνουν σαν να είναι ευρέως γνωστή και βέβαιη η συγγραφή.
Γύρω στο 400 π.Χ Σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο Πλάτων έδωσε μια μέθοδο για τον υπολογισμό των Πυθαγόρειων αριθμών, συνδυάζοντας άλγεβρα και γεωμετρία. Γύρω στο 300 π.Χ., σε ΑρχέςΕυκλείδη, έχουμε την παλαιότερη αξιωματική απόδειξη που έχει διασωθεί μέχρι σήμερα.
Γράφτηκε κάπου μεταξύ του 500 π.Χ. και 200 ​​π.Χ., κινέζικα βιβλίο μαθηματικώνΤο "Chu Pei" (? ? ? ?), δίνει μια οπτική απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το οποίο στην Κίνα ονομάζεται θεώρημα gugu (????), για ένα τρίγωνο με πλευρές (3, 4, 5). Επί βασιλείας της δυναστείας των Χαν, από το 202 π.Χ. πριν από το 220 μ.Χ Οι πυθαγόρειοι αριθμοί εμφανίζονται στο βιβλίο "Εννέα Τμήματα της Μαθηματικής Τέχνης" μαζί με μια αναφορά σε ορθογώνια τρίγωνα.
Η χρήση του θεωρήματος τεκμηριώνεται για πρώτη φορά στην Κίνα, όπου είναι γνωστό ως θεώρημα gugu (????) και στην Ινδία, όπου είναι γνωστό ως θεώρημα του Baskar.
Πολλοί συζητούν αν το Πυθαγόρειο θεώρημα ανακαλύφθηκε μία φορά ή επανειλημμένα. Ο Boyer (1991) πιστεύει ότι η γνώση που βρέθηκε στο Shulba Sutra μπορεί να είναι μεσοποταμίας προέλευσης.
Αλγεβρική απόδειξη
Τα τετράγωνα σχηματίζονται από τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα. Είναι γνωστές περισσότερες από εκατό αποδείξεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Εδώ τα στοιχεία βασίζονται στο θεώρημα ύπαρξης για την περιοχή ενός σχήματος:

Τοποθετήστε τέσσερα ίδια ορθογώνια τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα.
Τετράπλευρο με πλευρές ντοείναι τετράγωνο γιατί το άθροισμα δύο αιχμηρές γωνίες, Και η ανεπτυγμένη γωνία είναι .
Το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος είναι ίσο, αφενός, με το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά "a + b" και από την άλλη, με το άθροισμα των εμβαδών τεσσάρων τριγώνων και του εσωτερικού τετραγώνου .

Αυτό είναι που πρέπει να αποδειχθεί.
Με την ομοιότητα των τριγώνων
Χρήση παρόμοιων τριγώνων. Αφήνω αλφάβητοείναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο στο οποίο η γωνία ντοευθεία, όπως φαίνεται στην εικόνα. Ας τραβήξουμε ένα ύψος από ένα σημείο ντο,και καλέστε Hσημείο τομής με πλευρά ΑΒ.Σχηματίστηκε τρίγωνο ACHσαν τρίγωνο αλφάβητο,αφού είναι και τα δύο ορθογώνια (εξ ορισμού ύψους) και μοιράζονται μια γωνία ΕΝΑ,προφανώς η τρίτη γωνία θα είναι ίδια και σε αυτά τα τρίγωνα. Ομοίως mirkuyuyuchy, τρίγωνο CBHεπίσης παρόμοια με το τρίγωνο ΑΛΦΑΒΗΤΟ.Από την ομοιότητα τριγώνων: Αν

Αυτό μπορεί να γραφτεί ως

Αν προσθέσουμε αυτές τις δύο ισότητες, παίρνουμε

HB + c φορές AH = c φορές (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />

Με άλλα λόγια, το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Η απόδειξη του Ευκλείδη
Απόδειξη του Ευκλείδη στις Ευκλείδειες «Αρχές», το Πυθαγόρειο θεώρημα που αποδεικνύεται με τη μέθοδο των παραλληλογραμμών. Αφήνω Α, Β, Γκορυφές ορθογωνίου τριγώνου, με ορθή γωνία ΕΝΑ.Ρίξτε μια κάθετη από ένα σημείο ΕΝΑστην πλευρά απέναντι από την υποτείνουσα σε ένα τετράγωνο χτισμένο πάνω στην υποτείνουσα. Η γραμμή χωρίζει το τετράγωνο σε δύο ορθογώνια, καθένα από τα οποία έχει την ίδια επιφάνεια με τα τετράγωνα που είναι χτισμένα στα πόδια. κύρια ιδέαη απόδειξη είναι ότι τα πάνω τετράγωνα μετατρέπονται σε παραλληλόγραμμα του ίδιου εμβαδού και μετά επανέρχονται και γίνονται ορθογώνια στο κάτω τετράγωνο και πάλι με την ίδια περιοχή.

Ας σχεδιάσουμε τμήματα CFκαι ΕΝΑ Δ,παίρνουμε τρίγωνα BCFκαι BDA.
γωνίες ΤΑΞΙκαι ΤΣΑΝΤΑ- ευθεία; σημεία Γ, Ακαι σολείναι συγγραμμικές. Τον ίδιο τρόπο Β, Ακαι H.
γωνίες CBDκαι FBA- και τα δύο είναι ίσια, μετά η γωνία ABD ίσο με τη γωνία fbc,αφού και τα δύο είναι το άθροισμα μιας ορθής γωνίας και μιας γωνίας ΑΛΦΑΒΗΤΟ.
Τρίγωνο ABDκαι FBCεπίπεδο στις δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους.
Γιατί οι τελείες Α, Κκαι μεγάλο- συγγραμμικό, το εμβαδόν του ορθογωνίου BDLK είναι ίσο με δύο εμβαδά του τριγώνου ABD (BDLK) = BAGF = AB2)
Ομοίως, παίρνουμε CKLE = ACIH = AC 2
Από τη μια πλευρά η περιοχή CBDEίσο με το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων BDLKκαι CKLE,από την άλλη η περιοχή της πλατείας BC2,ή ΑΒ 2 + AC 2 = π.Χ. 2.

Χρήση διαφορικών
Η χρήση διαφορικών. Το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να επιτευχθεί μελετώντας πώς η αύξηση μιας πλευράς επηρεάζει το μήκος της υποτείνουσας όπως φαίνεται στο σχήμα στα δεξιά και εφαρμόζοντας έναν μικρό υπολογισμό.
Ως αποτέλεσμα της ανάπτυξης της πλευράς ένα,από παρόμοια τρίγωνα για απειροελάχιστες αυξήσεις

Ενσωματώνοντας παίρνουμε

Αν ένα ένα= 0 τότε ντο = σι,άρα το «σταθερό» είναι β 2.Επειτα

Όπως φαίνεται, τα τετράγωνα οφείλονται στην αναλογία μεταξύ των προσαυξήσεων και των πλευρών, ενώ το άθροισμα είναι το αποτέλεσμα της ανεξάρτητης συνεισφοράς των προσαυξήσεων των πλευρών, όχι εμφανής από γεωμετρικά στοιχεία. Σε αυτές τις εξισώσεις δακαι dcείναι, αντίστοιχα, απειροελάχιστες αυξήσεις των πλευρών ένακαι ντο.Αλλά αντί για αυτά χρησιμοποιούμε; ένακαι? ντο,τότε το όριο του λόγου αν τείνουν στο μηδέν είναι δα / dc,παράγωγο, και είναι επίσης ίσο με ντο / ένα,την αναλογία των μηκών των πλευρών των τριγώνων, ως αποτέλεσμα παίρνουμε διαφορική εξίσωση.
Στην περίπτωση ενός ορθογώνιου συστήματος διανυσμάτων, λαμβάνει χώρα μια ισότητα, η οποία ονομάζεται επίσης Πυθαγόρειο θεώρημα:

Αν - Αυτές είναι οι προβολές του διανύσματος επάνω άξονες συντεταγμένων, τότε αυτός ο τύπος συμπίπτει με την Ευκλείδεια απόσταση και σημαίνει ότι το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με τη ρίζα τετραγωνικό άθροισματετράγωνα των συστατικών του.
Ανάλογο αυτής της ισότητας στην υπόθεση ατελείωτο σύστημαδιανύσματα ονομάζεται ισότητα Parseval.

Σε ένα πράγμα, μπορείτε να είστε εκατό τοις εκατό σίγουροι ότι όταν ρωτηθεί ποιο είναι το τετράγωνο της υποτείνουσας, οποιοσδήποτε ενήλικας θα απαντήσει με τόλμη: «Το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών». Αυτή η θεωρία είναι εδραιωμένη στο μυαλό όλων. μορφωμένο άτομο, αλλά αρκεί απλώς να ζητήσεις από κάποιον να το αποδείξει και τότε μπορεί να προκύψουν δυσκολίες. Επομένως, ας θυμηθούμε και ας εξετάσουμε διαφορετικούς τρόπους απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Σύντομη επισκόπηση του βιογραφικού

Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι γνωστό σχεδόν σε όλους, αλλά για κάποιο λόγο η βιογραφία του ατόμου που το παρήγαγε δεν είναι τόσο δημοφιλής. Θα το φτιάξουμε. Επομένως, πριν μελετήσετε τους διαφορετικούς τρόπους απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος, πρέπει να εξοικειωθείτε εν συντομία με την προσωπικότητά του.

Ο Πυθαγόρας - ένας φιλόσοφος, μαθηματικός, στοχαστής, με καταγωγή από το Σήμερα είναι πολύ δύσκολο να διακρίνει κανείς τη βιογραφία του από τους θρύλους που αναπτύχθηκαν στη μνήμη αυτού του μεγάλου ανθρώπου. Αλλά όπως προκύπτει από τα γραπτά των οπαδών του, ο Πυθαγόρας ο Σάμος γεννήθηκε στο νησί της Σάμου. Ο πατέρας του ήταν συνηθισμένος λιθοκόπτης, αλλά η μητέρα του καταγόταν από ευγενή οικογένεια.

Σύμφωνα με το μύθο, η γέννηση του Πυθαγόρα είχε προβλεφθεί από μια γυναίκα με το όνομα Πυθία, προς τιμήν της οποίας ονομάστηκε το αγόρι. Σύμφωνα με την πρόβλεψή της, ένα γεννημένο αγόρι επρόκειτο να φέρει πολλά οφέλη και καλό στην ανθρωπότητα. Πράγμα που στην πραγματικότητα έκανε.

Η γέννηση ενός θεωρήματος

Στα νιάτα του, ο Πυθαγόρας μετακόμισε στην Αίγυπτο για να συναντήσει εκεί τους περίφημους Αιγύπτιους σοφούς. Αφού συναντήθηκε μαζί τους, έγινε δεκτός για σπουδές, όπου έμαθε όλα τα μεγάλα επιτεύγματα της αιγυπτιακής φιλοσοφίας, των μαθηματικών και της ιατρικής.

Πιθανώς, ήταν στην Αίγυπτο που ο Πυθαγόρας εμπνεύστηκε από τη μεγαλοπρέπεια και την ομορφιά των πυραμίδων και δημιούργησε τη δική του σπουδαία θεωρία. Αυτό μπορεί να σοκάρει τους αναγνώστες, αλλά οι σύγχρονοι ιστορικοί πιστεύουν ότι ο Πυθαγόρας δεν απέδειξε τη θεωρία του. Αλλά μετέδωσε μόνο τις γνώσεις του στους οπαδούς του, οι οποίοι αργότερα ολοκλήρωσαν όλους τους απαραίτητους μαθηματικούς υπολογισμούς.

Όπως και να έχει, σήμερα δεν είναι γνωστή μία τεχνική για την απόδειξη αυτού του θεωρήματος, αλλά πολλές ταυτόχρονα. Σήμερα μπορούμε μόνο να μαντέψουμε πώς ακριβώς οι αρχαίοι Έλληνες έκαναν τους υπολογισμούς τους, επομένως εδώ θα εξετάσουμε διαφορετικούς τρόπους απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Πριν ξεκινήσετε οποιουσδήποτε υπολογισμούς, πρέπει να υπολογίσετε ποια θεωρία να αποδείξετε. Το Πυθαγόρειο θεώρημα ακούγεται ως εξής: «Σε ένα τρίγωνο στο οποίο μία από τις γωνίες είναι 90 ο, το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών είναι ίσο με το τετράγωνο της υποτείνουσας».

Υπάρχουν 15 διαφορετικοί τρόποι για να αποδείξετε το Πυθαγόρειο Θεώρημα συνολικά. Αυτός είναι ένας αρκετά μεγάλος αριθμός, οπότε ας δώσουμε προσοχή στα πιο δημοφιλή από αυτά.

Μέθοδος ένα

Ας ορίσουμε πρώτα τι έχουμε. Αυτά τα δεδομένα θα ισχύουν και για άλλους τρόπους απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος, επομένως θα πρέπει να θυμάστε αμέσως όλη τη διαθέσιμη σημειογραφία.

Ας υποθέσουμε ότι δίνεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο, με σκέλη a, b και υποτείνουσα ίση με c. Η πρώτη μέθοδος απόδειξης βασίζεται στο γεγονός ότι ένα τετράγωνο πρέπει να σχεδιαστεί από ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Για να γίνει αυτό, πρέπει να σχεδιάσετε ένα τμήμα στο πόδι με μήκος ίσο με το πόδιμέσα και αντίστροφα. Άρα πρέπει να είναι δύο ίσες πλευρέςτετράγωνο. Απομένει μόνο να σχεδιάσουμε δύο παράλληλες γραμμές και το τετράγωνο είναι έτοιμο.

Μέσα στο σχήμα που προκύπτει, πρέπει να σχεδιάσετε ένα άλλο τετράγωνο με μια πλευρά ίσο με την υποτείνουσααρχικό τρίγωνο. Για να το κάνετε αυτό, από τις κορυφές ac και s, πρέπει να σχεδιάσετε δύο παράλληλο τμήμαίσο με. Έτσι, παίρνουμε τρεις πλευρές του τετραγώνου, μία από τις οποίες είναι η υποτείνουσα του αρχικού ορθογώνιου τριγώνου. Απομένει μόνο να σχεδιάσουμε το τέταρτο τμήμα.

Με βάση το σχήμα που προκύπτει, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το εμβαδόν του εξωτερικού τετραγώνου είναι (a + b) 2. Αν κοιτάξετε μέσα στο σχήμα, μπορείτε να δείτε ότι εκτός από το εσωτερικό τετράγωνο, έχει τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα. Το εμβαδόν του καθενός είναι 0,5 λεωφ.

Επομένως, η περιοχή είναι: 4 * 0,5av + s 2 \u003d 2av + s 2

Ως εκ τούτου (a + c) 2 \u003d 2av + c 2

Και, επομένως, με 2 \u003d ένα 2 + σε 2

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Μέθοδος δεύτερη: παρόμοια τρίγωνα

Αυτός ο τύπος για την απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος προέκυψε με βάση μια δήλωση από το τμήμα της γεωμετρίας σχετικά με παρόμοια τρίγωνα. Λέει ότι το σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο μέσος όρος ανάλογος της υποτείνησής του και το τμήμα της υποτείνουσας που προέρχεται από την κορυφή μιας γωνίας 90 o.

Τα αρχικά δεδομένα παραμένουν τα ίδια, οπότε ας ξεκινήσουμε αμέσως με την απόδειξη. Ας σχεδιάσουμε ένα τμήμα CD κάθετο στην πλευρά ΑΒ. Με βάση την παραπάνω δήλωση, τα σκέλη των τριγώνων είναι ίσα:

AC=√AB*AD, SW=√AB*DV.

Για να απαντήσουμε στο ερώτημα πώς να αποδείξουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα, η απόδειξη πρέπει να γίνει τετραγωνίζοντας και τις δύο ανισότητες.

AC 2 \u003d AB * HELL και SV 2 \u003d AB * DV

Τώρα πρέπει να προσθέσουμε τις προκύπτουσες ανισότητες.

AC 2 + SV 2 \u003d AB * (AD * DV), όπου AD + DV \u003d AB

Τελικά φαίνεται πως:

AC 2 + CB 2 \u003d AB * AB

Και ως εκ τούτου:

AC 2 + CB 2 \u003d AB 2

Η απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος και οι διάφοροι τρόποι επίλυσής του απαιτούν μια ευέλικτη προσέγγιση σε αυτό το πρόβλημα. Ωστόσο, αυτή η επιλογή είναι μια από τις απλούστερες.

Μια άλλη μέθοδος υπολογισμού

Η περιγραφή διαφορετικών τρόπων απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος μπορεί να μην λέει τίποτα, μέχρι να αρχίσετε να εξασκείτε μόνοι σας. Πολλές μέθοδοι περιλαμβάνουν όχι μόνο μαθηματικούς υπολογισμούς, αλλά και την κατασκευή νέων ψηφίων από το αρχικό τρίγωνο.

ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηείναι απαραίτητο να συμπληρώσετε ένα ακόμη ορθογώνιο τρίγωνο VSD από το σκέλος του αεροσκάφους. Έτσι, τώρα υπάρχουν δύο τρίγωνα με κοινό σκέλος π.Χ.

Γνωρίζοντας ότι τα εμβαδά παρόμοιων σχημάτων έχουν λόγο ως τα τετράγωνα των παρόμοιων γραμμικών τους διαστάσεων, τότε:

S avs * s 2 - S avd * σε 2 \u003d S avd * a 2 - S vd * a 2

S avs * (από 2 έως 2) \u003d a 2 * (S avd -S vvd)

από 2 έως 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + σε 2

Δεδομένου ότι αυτή η επιλογή δεν είναι κατάλληλη από διαφορετικές μεθόδους απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος για τον βαθμό 8, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη τεχνική.

Ο ευκολότερος τρόπος για να αποδείξετε το Πυθαγόρειο θεώρημα. Κριτικές

Οι ιστορικοί πιστεύουν ότι αυτή η μέθοδος χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά για να αποδείξει ξανά το θεώρημα αρχαία Ελλάδα. Είναι το πιο απλό, αφού δεν απαιτεί απολύτως κανέναν υπολογισμό. Εάν σχεδιάσετε σωστά μια εικόνα, τότε η απόδειξη της δήλωσης ότι a 2 + b 2 \u003d c 2 θα είναι σαφώς ορατή.

Προϋποθέσεις για αυτή τη μέθοδοθα είναι ελαφρώς διαφορετική από την προηγούμενη. Για να αποδείξουμε το θεώρημα, ας υποθέσουμε ότι το ορθογώνιο τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές.

Παίρνουμε την υποτείνουσα AC ως πλευρά του τετραγώνου και σχεδιάζουμε τις τρεις πλευρές του. Επιπλέον, είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε δύο διαγώνιες γραμμές στο τετράγωνο που προκύπτει. Έτσι ώστε μέσα του να λάβετε τέσσερα ισοσκελή τρίγωνα.

Στα σκέλη AB και CB, πρέπει επίσης να σχεδιάσετε ένα τετράγωνο και να σχεδιάσετε μια διαγώνια γραμμή σε καθένα από αυτά. Σχεδιάζουμε την πρώτη γραμμή από την κορυφή Α, τη δεύτερη - από το C.

Τώρα πρέπει να κοιτάξετε προσεκτικά το σχέδιο που προκύπτει. Εφόσον υπάρχουν τέσσερα τρίγωνα στην υποτείνουσα AC, ίσα με το αρχικό, και δύο στα σκέλη, αυτό υποδηλώνει την αλήθεια αυτού του θεωρήματος.

Παρεμπιπτόντως, χάρη σε αυτή τη μέθοδο απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το διάσημη φράση: «Το πυθαγόρειο παντελόνι είναι ίσο προς όλες τις κατευθύνσεις».

Απόδειξη J. Garfield

Ο Τζέιμς Γκάρφιλντ είναι ο 20ος Πρόεδρος των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής. Εκτός από το ότι άφησε το στίγμα του στην ιστορία ως ηγεμόνας των Ηνωμένων Πολιτειών, ήταν επίσης ένας προικισμένος αυτοδίδακτος.

Στην αρχή της καριέρας του, ήταν απλός δάσκαλος σε δημοτικό σχολείο, αλλά σύντομα έγινε διευθυντής ενός από τα ανώτερα Εκπαιδευτικά ιδρύματα. Η επιθυμία για αυτο-ανάπτυξη και του επέτρεψε να προσφέρει νέα θεωρίααπόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Το θεώρημα και ένα παράδειγμα επίλυσής του είναι τα εξής.

Πρώτα πρέπει να σχεδιάσετε δύο ορθογώνια τρίγωνα σε ένα κομμάτι χαρτί έτσι ώστε το πόδι ενός από αυτά να είναι συνέχεια του δεύτερου. Οι κορυφές αυτών των τριγώνων πρέπει να συνδεθούν για να καταλήξουν σε ένα τραπέζιο.

Όπως γνωρίζετε, το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των βάσεων και του ύψους του.

S=a+b/2 * (a+b)

Εάν θεωρήσουμε το τραπεζοειδές που προκύπτει ως σχήμα που αποτελείται από τρία τρίγωνα, τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί ως εξής:

S \u003d av / 2 * 2 + s 2 / 2

Τώρα πρέπει να εξισώσουμε τις δύο αρχικές εκφράσεις

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2 / 2

c 2 \u003d a 2 + σε 2

Μπορούν να γραφτούν περισσότεροι από ένας τόμοι για το Πυθαγόρειο θεώρημα και πώς να το αποδείξουμε οδηγός μελέτης. Έχει όμως νόημα όταν αυτή η γνώση δεν μπορεί να γίνει πράξη;

Πρακτική εφαρμογή του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Δυστυχώς, τα σύγχρονα σχολικά προγράμματα παρέχουν τη χρήση αυτού του θεωρήματος μόνο σε γεωμετρικά προβλήματα. Οι απόφοιτοι σύντομα θα εγκαταλείψουν τους τοίχους του σχολείου χωρίς να γνωρίζουν πώς μπορούν να εφαρμόσουν τις γνώσεις και τις δεξιότητές τους στην πράξη.

Στην πραγματικότητα, χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα στο δικό σας Καθημερινή ζωήόλοι μπορούν. Και όχι μόνο σε επαγγελματική δραστηριότητααλλά και στις κανονικές δουλειές του σπιτιού. Ας εξετάσουμε αρκετές περιπτώσεις όπου το Πυθαγόρειο θεώρημα και οι μέθοδοι απόδειξής του μπορεί να είναι εξαιρετικά απαραίτητες.

Σύνδεση θεωρήματος και αστρονομίας

Φαίνεται πώς τα αστέρια και τα τρίγωνα μπορούν να συνδεθούν στο χαρτί. Στην πραγματικότητα, η αστρονομία είναι επιστημονικό πεδίο, το οποίο χρησιμοποιεί εκτενώς το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Για παράδειγμα, εξετάστε την κίνηση μιας δέσμης φωτός στο διάστημα. Γνωρίζουμε ότι το φως ταξιδεύει και προς τις δύο κατευθύνσεις με την ίδια ταχύτητα. Ονομάζουμε την τροχιά ΑΒ κατά μήκος της οποίας κινείται η φωτεινή ακτίνα μεγάλο. Και τον μισό χρόνο που χρειάζεται για να φτάσει το φως από το σημείο Α στο σημείο Β, ας καλέσουμε t. Και η ταχύτητα της δέσμης - ντο. Τελικά φαίνεται πως: c*t=l

Εάν κοιτάξετε την ίδια δέσμη από άλλο επίπεδο, για παράδειγμα, από μια διαστημική επένδυση που κινείται με ταχύτητα v, τότε με μια τέτοια παρατήρηση των σωμάτων, η ταχύτητά τους θα αλλάξει. Σε αυτή την περίπτωση, ακόμη και ακίνητα στοιχεία θα κινούνται με ταχύτητα v προς την αντίθετη κατεύθυνση.

Ας πούμε ότι το κόμικ πλέει προς τα δεξιά. Τότε τα σημεία Α και Β, μεταξύ των οποίων ορμάει η ακτίνα, θα κινηθούν προς τα αριστερά. Επιπλέον, όταν η δέσμη κινείται από το σημείο Α στο σημείο Β, το σημείο Α έχει χρόνο να κινηθεί και, κατά συνέπεια, το φως θα φτάσει ήδη στο νέο σημείοΓ. Για να βρείτε τη μισή απόσταση που έχει μετακινηθεί το σημείο Α, πρέπει να πολλαπλασιάσετε την ταχύτητα της επένδυσης με το μισό του χρόνου διαδρομής της δέσμης (t ").

Και για να βρείτε πόσο μακριά θα μπορούσε να ταξιδέψει μια ακτίνα φωτός κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, πρέπει να ορίσετε τη μισή διαδρομή της νέας οξιάς και να πάρετε την ακόλουθη έκφραση:

Αν φανταστούμε ότι τα σημεία του φωτός C και B, καθώς και η διαστημική γραμμή, είναι οι κορυφές ισοσκελές τρίγωνο, τότε το τμήμα από το σημείο Α έως τη γραμμή θα το χωρίσει σε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Επομένως, χάρη στο Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορείτε να βρείτε την απόσταση που θα μπορούσε να διανύσει μια ακτίνα φωτός.

Αυτό το παράδειγμα, φυσικά, δεν είναι το πιο επιτυχημένο, αφού μόνο λίγοι μπορούν να έχουν την τύχη να το δοκιμάσουν στην πράξη. Ως εκ τούτου, εξετάζουμε πιο συνηθισμένες εφαρμογές αυτού του θεωρήματος.

Εύρος μετάδοσης σήματος κινητής τηλεφωνίας

Η σύγχρονη ζωή δεν μπορεί πλέον να φανταστεί κανείς χωρίς την ύπαρξη smartphone. Πόσο όμως θα ήταν χρήσιμοι αν δεν μπορούσαν να συνδέσουν συνδρομητές μέσω κινητής επικοινωνίας;!

Η ποιότητα των κινητών επικοινωνιών εξαρτάται άμεσα από το ύψος στο οποίο βρίσκεται η κεραία της εταιρείας κινητής τηλεφωνίας. Για να υπολογίσετε πόσο μακριά από έναν πύργο κινητής τηλεφωνίας μπορεί να λάβει ένα σήμα ένα τηλέφωνο, μπορείτε να εφαρμόσετε το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε το κατά προσέγγιση ύψος ενός ακίνητου πύργου ώστε να μπορεί να διαδώσει ένα σήμα σε ακτίνα 200 χιλιομέτρων.

AB (ύψος πύργου) = x;

BC (ακτίνα μετάδοσης σήματος) = 200 km;

OS (ακτίνα την υδρόγειο) = 6380 km;

OB=OA+ABOB=r+x

Εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, διαπιστώνουμε ότι το ελάχιστο ύψος του πύργου πρέπει να είναι 2,3 χιλιόμετρα.

Πυθαγόρειο θεώρημα στην καθημερινή ζωή

Παραδόξως, το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να είναι χρήσιμο ακόμη και σε καθημερινά θέματα, όπως ο προσδιορισμός του ύψους μιας ντουλάπας, για παράδειγμα. Με την πρώτη ματιά, δεν χρειάζεται να χρησιμοποιείτε τέτοιους πολύπλοκους υπολογισμούς, επειδή μπορείτε απλά να κάνετε μετρήσεις με μια μεζούρα. Αλλά πολλοί εκπλήσσονται γιατί προκύπτουν ορισμένα προβλήματα κατά τη διαδικασία συναρμολόγησης, εάν όλες οι μετρήσεις έγιναν με μεγαλύτερη ακρίβεια.

Το γεγονός είναι ότι η ντουλάπα συναρμολογείται σε οριζόντια θέση και μόνο τότε ανεβαίνει και τοποθετείται στον τοίχο. Επομένως, το πλευρικό τοίχωμα του ντουλαπιού κατά τη διαδικασία ανύψωσης της δομής πρέπει να διέρχεται ελεύθερα τόσο κατά μήκος όσο και διαγώνια του δωματίου.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει μια ντουλάπα με βάθος 800 mm. Απόσταση από το δάπεδο μέχρι την οροφή - 2600 mm. Ένας έμπειρος κατασκευαστής επίπλων θα πει ότι το ύψος του ντουλαπιού πρέπει να είναι 126 mm μικρότερο από το ύψος του δωματίου. Γιατί όμως ακριβώς 126 χλστ. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Με τις ιδανικές διαστάσεις του ντουλαπιού, ας ελέγξουμε τη λειτουργία του Πυθαγόρειου θεωρήματος:

AC \u003d √AB 2 + √BC 2

AC \u003d √ 2474 2 +800 2 \u003d 2600 mm - όλα συγκλίνουν.

Ας πούμε ότι το ύψος του ντουλαπιού δεν είναι 2474 mm, αλλά 2505 mm. Επειτα:

AC \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 mm.

Επομένως, αυτό το ντουλάπι δεν είναι κατάλληλο για εγκατάσταση σε αυτό το δωμάτιο. Επειδή όταν το σηκώνετε σε κάθετη θέση, μπορεί να προκληθεί ζημιά στο σώμα του.

Ίσως, έχοντας εξετάσει διαφορετικούς τρόπους απόδειξης του Πυθαγόρειου θεωρήματος από διαφορετικούς επιστήμονες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι κάτι παραπάνω από αληθινό. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις πληροφορίες που λαμβάνετε στην καθημερινή σας ζωή και να είστε απόλυτα σίγουροι ότι όλοι οι υπολογισμοί θα είναι όχι μόνο χρήσιμοι, αλλά και σωστοί.

Για όσους ενδιαφέρονται για την ιστορία του Πυθαγόρειου θεωρήματος, το οποίο μελετάται στο σχολικό πρόγραμμα σπουδών, ένα τέτοιο γεγονός όπως η δημοσίευση το 1940 ενός βιβλίου με τριακόσιες εβδομήντα αποδείξεις αυτού του φαινομενικά απλού θεωρήματος θα είναι επίσης ενδιαφέρον. Αλλά κέντρισε το ενδιαφέρον πολλών μαθηματικών και φιλοσόφων διαφορετικών εποχών. Στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες, καταγράφεται ως θεώρημα με τον μέγιστο αριθμό αποδείξεων.

Ιστορία του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Συνδεδεμένο με το όνομα του Πυθαγόρα, το θεώρημα ήταν γνωστό πολύ πριν από τη γέννηση του μεγάλου φιλοσόφου. Έτσι, στην Αίγυπτο, κατά την κατασκευή δομών, ο λόγος των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου ελήφθη υπόψη πριν από πέντε χιλιάδες χρόνια. Τα βαβυλωνιακά κείμενα αναφέρουν την ίδια αναλογία των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου 1200 χρόνια πριν από τη γέννηση του Πυθαγόρα.

Γεννιέται το ερώτημα γιατί τότε η ιστορία λέει - η εμφάνιση του Πυθαγόρειου θεωρήματος ανήκει σε αυτόν; Μπορεί να υπάρχει μόνο μία απάντηση - απέδειξε την αναλογία των πλευρών στο τρίγωνο. Έκανε αυτό που δεν έκαναν πριν από αιώνες όσοι χρησιμοποιούσαν απλώς την αναλογία διαστάσεων και την υποτείνουσα, που καθιερώθηκε από την εμπειρία.

Από τη ζωή του Πυθαγόρα

Ο μελλοντικός μεγάλος επιστήμονας, μαθηματικός, φιλόσοφος γεννήθηκε στο νησί της Σάμου το 570 π.Χ. ιστορικά έγγραφαδιατήρησε πληροφορίες για τον πατέρα του Πυθαγόρα, ο οποίος ήταν χαράκτης πολύτιμοι λίθοιαλλά δεν υπάρχουν πληροφορίες για τη μητέρα. Είπαν για το γεννημένο αγόρι ότι αυτό ήταν ένα εξαιρετικό παιδί που έδειξε με Παιδική ηλικίαπάθος για τη μουσική και την ποίηση. Οι ιστορικοί αποδίδουν τον Ερμοδάμαντα και τον Φερεκύδη από τη Σύρο στους δασκάλους του νεαρού Πυθαγόρα. Ο πρώτος εισήγαγε το αγόρι στον κόσμο των Μουσών και ο δεύτερος, ως φιλόσοφος και ιδρυτής της ιταλικής φιλοσοφικής σχολής, έστρεψε το βλέμμα του νεαρού στον λόγο.

Σε ηλικία 22 ετών (548 π.Χ.), ο Πυθαγόρας πήγε στη Ναυκράτιδα για να μελετήσει τη γλώσσα και τη θρησκεία των Αιγυπτίων. Περαιτέρω, ο δρόμος του βρισκόταν στη Μέμφις, όπου, χάρη στους ιερείς, έχοντας περάσει από τις έξυπνες δοκιμές τους, κατανόησε την αιγυπτιακή γεωμετρία, η οποία, ίσως, ώθησε τον περίεργο νεαρό να αποδείξει το Πυθαγόρειο θεώρημα. Η ιστορία θα αποδώσει αργότερα αυτό το όνομα στο θεώρημα.

Αιχμαλωτίστηκε από τον βασιλιά της Βαβυλώνας

Στο δρόμο για το σπίτι του στην Ελλάδα, ο Πυθαγόρας αιχμαλωτίζεται από τον βασιλιά της Βαβυλώνας. Αλλά η αιχμαλωσία ωφέλησε το περίεργο μυαλό του αρχάριου μαθηματικού, είχε πολλά να μάθει. Πράγματι, εκείνα τα χρόνια, τα μαθηματικά στη Βαβυλώνα ήταν πιο ανεπτυγμένα από ό,τι στην Αίγυπτο. Πέρασε δώδεκα χρόνια μελετώντας μαθηματικά, γεωμετρία και μαγεία. Και, ίσως, ήταν η βαβυλωνιακή γεωμετρία που συμμετείχε στην απόδειξη του λόγου των πλευρών του τριγώνου και στην ιστορία της ανακάλυψης του θεωρήματος. Ο Πυθαγόρας είχε αρκετές γνώσεις και χρόνο για αυτό. Αλλά ότι αυτό συνέβη στη Βαβυλώνα, δεν υπάρχει καμία τεκμηριωμένη επιβεβαίωση ή διάψευση αυτού.

Το 530 π.Χ Ο Πυθαγόρας φεύγει από την αιχμαλωσία στην πατρίδα του, όπου ζει στην αυλή του τυράννου Πολυκράτη με την ιδιότητα του ημι-δούλου. Μια τέτοια ζωή δεν ταιριάζει στον Πυθαγόρα, και αποσύρεται στα σπήλαια της Σάμου και μετά πηγαίνει στη νότια Ιταλία, όπου εκείνη την εποχή Ελληνική αποικίαΚρότο.

Μυστικό μοναστικό τάγμα

Με βάση αυτή την αποικία, ο Πυθαγόρας οργάνωσε ένα μυστικό μοναστηριακό τάγμα, που ήταν θρησκευτική ένωση και επιστημονική κοινωνίαΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ. Αυτή η κοινωνία είχε το καταστατικό της, που μιλούσε για την τήρηση ενός ιδιαίτερου τρόπου ζωής.

Ο Πυθαγόρας υποστήριξε ότι για να καταλάβει κάποιος τον Θεό, πρέπει να γνωρίζει επιστήμες όπως η άλγεβρα και η γεωμετρία, να γνωρίζει την αστρονομία και να κατανοεί τη μουσική. Ερευνητικό έργοπεριορίστηκε στη γνώση της μυστικιστικής πλευράς των αριθμών και της φιλοσοφίας. Ας σημειωθεί ότι οι αρχές που κηρύσσονται εκείνη την εποχή από τον Πυθαγόρα έχουν νόημα σε μίμηση στην παρούσα εποχή.

Πολλές από τις ανακαλύψεις που έκαναν οι μαθητές του Πυθαγόρα αποδόθηκαν σε αυτόν. Ωστόσο, εν συντομία, η ιστορία της δημιουργίας του Πυθαγόρειου θεωρήματος από αρχαίους ιστορικούς και βιογράφους εκείνης της εποχής συνδέεται άμεσα με το όνομα αυτού του φιλοσόφου, στοχαστή και μαθηματικού.

Οι διδασκαλίες του Πυθαγόρα

Ίσως η ιδέα της σύνδεσης του θεωρήματος με το όνομα του Πυθαγόρα να προκλήθηκε από τη δήλωση των ιστορικών του μεγάλου Έλληνα ότι στο περιβόητο τρίγωνο με τα πόδια και την υποτείνουσα κρυπτογραφούνται όλα τα φαινόμενα της ζωής μας. Και αυτό το τρίγωνο είναι το «κλειδί» για την επίλυση όλων των προβλημάτων που προκύπτουν. Ο μεγάλος φιλόσοφος είπε ότι κάποιος πρέπει να δει ένα τρίγωνο, τότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι το πρόβλημα έχει λυθεί κατά τα δύο τρίτα.

Ο Πυθαγόρας έλεγε για τη διδασκαλία του μόνο στους μαθητές του προφορικά, χωρίς να σημειώνει, κρατώντας το μυστικό. Δυστυχώς, η διδασκαλία ο μεγαλύτερος φιλόσοφοςδεν έχει επιβιώσει μέχρι σήμερα. Κάποια από αυτά έχουν διαρρεύσει, αλλά είναι αδύνατο να πούμε πόσο είναι αλήθεια και πόσο ψευδές σε όσα έχουν γίνει γνωστά. Ακόμη και με την ιστορία του Πυθαγόρειου θεωρήματος, δεν είναι όλα βέβαια. Οι ιστορικοί των μαθηματικών αμφιβάλλουν για την πατρότητα του Πυθαγόρα, κατά τη γνώμη τους, το θεώρημα χρησιμοποιήθηκε πολλούς αιώνες πριν από τη γέννησή του.

Πυθαγόρειο θεώρημα

Μπορεί να φαίνεται περίεργο, αλλά ιστορικά γεγονόταΔεν υπάρχει καμία απόδειξη του θεωρήματος από τον ίδιο τον Πυθαγόρα - ούτε στα αρχεία, ούτε σε άλλες πηγές. Στη σύγχρονη εκδοχή, πιστεύεται ότι δεν ανήκει σε κανέναν άλλον από τον ίδιο τον Ευκλείδη.

Υπάρχουν στοιχεία για έναν από τους μεγαλύτερους ιστορικούς των μαθηματικών, τον Moritz Cantor, ο οποίος ανακάλυψε σε έναν πάπυρο που ήταν αποθηκευμένος στο Μουσείο του Βερολίνου, γραμμένο από τους Αιγύπτιους γύρω στο 2300 π.Χ. μι. ισότητα, που διάβαζε: 3² + 4² = 5².

Εν συντομία από την ιστορία του Πυθαγόρειου θεωρήματος

Η διατύπωση του θεωρήματος από τις Ευκλείδειες «Αρχές» σε μετάφραση ακούγεται το ίδιο όπως και στη σύγχρονη ερμηνεία. Δεν υπάρχει τίποτα καινούργιο στην ανάγνωσή της: το τετράγωνο της απέναντι πλευράς ορθή γωνία, ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών που γειτνιάζουν με τη σωστή γωνία. Το γεγονός ότι οι αρχαίοι πολιτισμοί της Ινδίας και της Κίνας χρησιμοποιούσαν το θεώρημα επιβεβαιώνεται από την πραγματεία Zhou Bi Suan Jin. Περιέχει πληροφορίες για το αιγυπτιακό τρίγωνο, το οποίο περιγράφει την αναλογία διαστάσεων ως 3:4:5.

Όχι λιγότερο ενδιαφέρον είναι ένα άλλο κινέζικο μαθηματικό βιβλίο, το Chu-Pei, το οποίο επίσης αναφέρει Πυθαγόρειο τρίγωνομε επεξήγηση και σχέδια που συμπίπτουν με τα σχέδια της ινδουιστικής γεωμετρίας της Μπασάρα. Σχετικά με το ίδιο το τρίγωνο, το βιβλίο λέει ότι εάν μια ορθή γωνία μπορεί να αποσυντεθεί στα συστατικά μέρη της, τότε η γραμμή που συνδέει τα άκρα των πλευρών θα είναι ίση με πέντε, εάν η βάση είναι τρεις και το ύψος είναι τέσσερα.

Η ινδική πραγματεία «Sulva Sutra», που χρονολογείται περίπου στον 7ο-5ο αιώνα π.Χ. ε., λέει για την κατασκευή μιας ορθής γωνίας χρησιμοποιώντας το αιγυπτιακό τρίγωνο.

Απόδειξη του θεωρήματος

Στο Μεσαίωνα, οι μαθητές θεωρούσαν ότι ήταν και η απόδειξη ενός θεωρήματος σκληρή δουλειά. Οι αδύναμοι μαθητές έμαθαν τα θεωρήματα από την καρδιά, χωρίς να καταλάβουν το νόημα της απόδειξης. Από αυτή την άποψη, έλαβαν το παρατσούκλι «γάιδαροι», γιατί το Πυθαγόρειο θεώρημα ήταν ένα ανυπέρβλητο εμπόδιο για αυτούς, όπως μια γέφυρα για έναν γάιδαρο. Στο Μεσαίωνα, οι μαθητές κατέληξαν σε έναν παιχνιδιάρικο στίχο για το θέμα αυτού του θεωρήματος.

Για να αποδείξουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα με τα περισσότερα τον εύκολο τρόπο, θα πρέπει απλώς να μετρήσει κανείς τις πλευρές του, χωρίς να χρησιμοποιήσει την έννοια των περιοχών στην απόδειξη. Το μήκος της πλευράς απέναντι από τη σωστή γωνία είναι c και τα a και b δίπλα σε αυτό, ως αποτέλεσμα παίρνουμε την εξίσωση: a 2 + b 2 \u003d c 2. Αυτή η δήλωση, όπως προαναφέρθηκε, επαληθεύεται μετρώντας τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Αν ξεκινήσουμε την απόδειξη του θεωρήματος λαμβάνοντας υπόψη το εμβαδόν των ορθογωνίων που είναι χτισμένα στις πλευρές του τριγώνου, μπορούμε να προσδιορίσουμε το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος. Θα είναι ίσο με το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά (a + b), και από την άλλη πλευρά, το άθροισμα των εμβαδών τεσσάρων τριγώνων και του εσωτερικού τετραγώνου.

(a + b) 2 = 4 x ab/2 + c 2 ;

a 2 + 2ab + b 2 ;

c 2 = a 2 + b 2 , που έπρεπε να αποδειχτεί.

Πρακτική αξίαΤο Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ότι μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρούμε τα μήκη των τμημάτων χωρίς να τα μετρήσουμε. Κατά την κατασκευή των κατασκευών υπολογίζονται οι αποστάσεις, η τοποθέτηση στηριγμάτων και δοκών, καθορίζονται τα κέντρα βάρους. Το Πυθαγόρειο θεώρημα εφαρμόζεται και σε όλα σύγχρονες τεχνολογίες. Δεν ξέχασαν το θεώρημα κατά τη δημιουργία ταινιών σε διαστάσεις 3D-6D, όπου, εκτός από τις συνήθεις 3 τιμές: ύψος, μήκος, πλάτος, χρόνος, οσμή και γεύση λαμβάνονται υπόψη. Πώς συνδέονται οι γεύσεις και οι μυρωδιές με το θεώρημα, ρωτάτε; Όλα είναι πολύ απλά - όταν προβάλλετε μια ταινία, πρέπει να υπολογίσετε πού και τι μυρωδιές και γεύσεις για να σκηνοθετήσετε στο αμφιθέατρο.

Είναι μόνο η αρχή. Τα απεριόριστα περιθώρια ανακάλυψης και δημιουργίας νέων τεχνολογιών περιμένουν τα περίεργα μυαλά.

ΜΕΤΡΗΣΗ ΕΜΒΑΔΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ.

§ 58. ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 .

__________
1 Ο Πυθαγόρας είναι Έλληνας επιστήμονας που έζησε πριν από περίπου 2500 χρόνια (564-473 π.Χ.).
_________

Έστω ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οποίου οι πλευρές ένα, σικαι Με(απ. 267).

Ας φτιάξουμε τετράγωνα στις πλευρές του. Τα εμβαδά των τετραγώνων αυτών είναι αντίστοιχα ένα 2 , σι 2 και Με 2. Ας το αποδείξουμε Με 2 = α 2 +β 2 .

Ας φτιάξουμε δύο τετράγωνα MKOR και M"K"O"R" (Εικ. 268, 269), παίρνοντας για την πλευρά καθενός από αυτά ένα τμήμα ίσο με το άθροισμα των σκελών ενός ορθογώνιου τριγώνου ABC.

Έχοντας ολοκληρώσει τις κατασκευές που φαίνονται στα σχέδια 268 και 269 σε αυτά τα τετράγωνα, θα δούμε ότι το τετράγωνο ΜΚΟΡ χωρίζεται σε δύο τετράγωνα με εμβαδά ένα 2 και σι 2 και τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα, καθένα από τα οποία είναι ίσο με ορθογώνιο τρίγωνο ABC. Το τετράγωνο Μ"Κ"Ο"Ρ" χωρίζεται σε τετράπλευρο (είναι σκιασμένο στο σχέδιο 269) και τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα, καθένα από τα οποία είναι επίσης ίσο με το τρίγωνο ΑΒΓ. Το σκιασμένο τετράπλευρο είναι τετράγωνο, αφού οι πλευρές του είναι ίσες (καθεμία ισούται με την υποτείνουσα του τριγώνου ΑΒΓ, δηλ. Με) και οι γωνίες είναι ορθές / 1 + / 2 = 90°, από όπου / 3 = 90°).

Έτσι, το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια (στο σχέδιο 268 αυτά τα τετράγωνα είναι σκιασμένα) είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου MKOR χωρίς το άθροισμα τέσσερις ίσα τρίγωνακαι το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα (στο σχέδιο 269 αυτό το τετράγωνο είναι επίσης σκιασμένο) είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου M "K" O "R", ίσο με το τετράγωνο του MKOR, χωρίς το άθροισμα των εμβαδών τεσσάρων ίδιων τριγώνων. Επομένως, το εμβαδόν του τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη.

Παίρνουμε τον τύπο Με 2 = α 2 +β 2, όπου Με- υποτείνουσα, ένακαι σι- σκέλη ορθογώνιου τριγώνου.

Το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί να συνοψιστεί ως εξής:

Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών.

Από τον τύπο Με 2 = α 2 +β 2 μπορείτε να λάβετε τους ακόλουθους τύπους:

ένα 2 = Με 2 - σι 2 ;
σι 2 = Με 2 - ένα 2 .

Αυτοί οι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για εύρεση άγνωστο κόμμαορθογώνιο τρίγωνο με τις δύο πλευρές του.
Για παράδειγμα:

α) εάν δίνονται πόδια ένα= 4 cm, σι\u003d 3 cm, τότε μπορείτε να βρείτε την υποτείνουσα ( Με):
Με 2 = α 2 +β 2, δηλ. Με 2 = 4 2 + 3 2 ; με 2 = 25, απ' όπου Με= √25 =5 (cm);

β) αν δοθεί η υποτείνουσα Με= 17 cm και πόδι ένα= 8 cm, τότε μπορείτε να βρείτε ένα άλλο πόδι ( σι):

σι 2 = Με 2 - ένα 2, δηλ. σι 2 = 17 2 - 8 2 ; σι 2 = 225, από όπου σι= √225 = 15 (cm).

Συνέπεια: Αν σε δύο ορθογώνια τρίγωνα ΑΒΓ και Α 1 Β 1 Γ 1 υποτείνουσα Μεκαι Με 1 είναι ίσα, και το πόδι σιΤο τρίγωνο ABC είναι μεγαλύτερο από το σκέλος σι 1 τρίγωνο A 1 B 1 C 1,
μετά το πόδι ένατρίγωνο ABC μικρότερο από το σκέλος ένα 1 τρίγωνο A 1 B 1 C 1 . (Κάντε ένα σχέδιο που να απεικονίζει αυτή τη συνέπεια.)

Πράγματι, με βάση το Πυθαγόρειο θεώρημα, παίρνουμε:

ένα 2 = Με 2 - σι 2 ,
ένα 1 2 = Με 1 2 - σι 1 2

Στους γραπτούς τύπους, τα minuends είναι ίσα και το subtrahend στον πρώτο τύπο είναι μεγαλύτερο από το subtrahend στον δεύτερο τύπο, επομένως, η πρώτη διαφορά είναι μικρότερη από τον δεύτερο,
δηλ. ένα 2 < ένα 12 . Οπου ένα< ένα 1 .

Γυμνάσια.

1. Χρησιμοποιώντας το σχέδιο 270, να αποδείξετε το Πυθαγόρειο θεώρημα για ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο.

2. Το ένα σκέλος ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 12 εκ., το άλλο 5 εκ. Υπολογίστε το μήκος της υποτείνουσας αυτού του τριγώνου.

3. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 10 εκ., το ένα σκέλος είναι 8 εκ. Υπολογίστε το μήκος του άλλου σκέλους αυτού του τριγώνου.

4. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 37 εκ., το ένα σκέλος του είναι 35 εκ. Υπολογίστε το μήκος του άλλου σκέλους αυτού του τριγώνου.

5. Κατασκευάστε ένα τετράγωνο διπλάσιο από το εμβαδόν του δεδομένου.

6. Κατασκευάστε ένα τετράγωνο, διπλάσιο από το εμβαδόν του δεδομένου. Εντολή.Κρατήστε δεδομένο τετράγωνοδιαγώνιους. Τα τετράγωνα που χτίζονται στα μισά αυτών των διαγωνίων θα είναι τα επιθυμητά.

7. Τα σκέλη ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι αντίστοιχα 12 εκ. και 15 εκ. Υπολογίστε το μήκος της υποτείνουσας αυτού του τριγώνου με ακρίβεια 0,1 εκ..

8. Η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι 20 εκ., το ένα σκέλος του είναι 15 εκ. Υπολογίστε το μήκος του άλλου σκέλους με ακρίβεια 0,1 εκ.

9. Πόσο μακριά πρέπει να είναι η σκάλα ώστε να μπορεί να στερεωθεί σε παράθυρο που βρίσκεται σε ύψος 6 m, εάν το κάτω άκρο της σκάλας πρέπει να απέχει 2,5 m από το κτίριο; (Φτου 271.)