Η μελέτη του αλγεβρικού υλικού στο δημοτικό σχολείο. Αλγεβρικό υλικό στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών

Στο «Υποχρεωτική ελάχιστη συντήρηση πρωτοβάθμια εκπαίδευση" επί εκπαιδευτικό πεδίο"Μαθηματικά" - η μελέτη του αλγεβρικού υλικού, όπως ήταν πριν, δεν ξεχωρίζει ως ξεχωριστή διδακτική ενότητα του θέματος υποχρεωτική μελέτη. Σε αυτό το μέρος του εγγράφου, σημειώνεται συνοπτικά ότι είναι απαραίτητο «να δοθούν γνώσεις για τις αριθμητικές και αλφαβητικές εκφράσεις, τις έννοιές τους και τις διαφορές μεταξύ αυτών των εκφράσεων». Στις «Απαιτήσεις για την ποιότητα της μεταπτυχιακής εκπαίδευσης» μπορεί κανείς να βρει μόνο μια σύντομη φράσηαόριστος που σημαίνει "να διδάσκω τον υπολογισμό της άγνωστης συνιστώσας μιας αριθμητικής πράξης." Το ζήτημα του τρόπου διδασκαλίας του "υπολογισμού ενός άγνωστου στοιχείου" πρέπει να αποφασιστεί από τον συγγραφέα του προγράμματος ή της τεχνολογίας εκμάθησης.

Ας εξετάσουμε πώς χαρακτηρίζονται οι έννοιες «έκφραση», «ισότητα», «ανισότητα», «εξίσωση» και ποια είναι η μεθοδολογία μελέτης τους σε διάφορα μεθοδολογικά συστήματα εκπαίδευσης

7.1. Οι εκφράσεις και τα είδη τους...
στα μαθηματικά

δημοτικό σχολείο

Εκφρασηκαλέστε μια μαθηματική σημειογραφία που αποτελείται από αριθμούς, που συμβολίζονται με γράμματα ή αριθμούς, που συνδέονται με σημάδια αριθμητικές πράξεις. Ένας μεμονωμένος αριθμός είναι επίσης μια έκφραση. Καλείται μια παράσταση στην οποία όλοι οι αριθμοί αντιπροσωπεύονται με ψηφία αριθμητική έκφραση.

Εάν εκτελέσουμε τις υποδεικνυόμενες ενέργειες σε μια αριθμητική παράσταση, θα λάβουμε έναν αριθμό που καλείται την αξία της έκφρασης.

Οι παραστάσεις μπορούν να ταξινομηθούν με βάση τον αριθμό των αριθμητικών πράξεων που χρησιμοποιούνται κατά τη σύνταξη παραστάσεων και από τον τρόπο με τον οποίο υποδηλώνονται οι αριθμοί. Σύμφωνα με την πρώτη βάση, οι εκφράσεις χωρίζονται σε ομάδες: στοιχειώδεις (δεν περιέχει πρόσημο αριθμητικής πράξης), απλές (ένα σύμβολο αριθμητικής πράξης) και σύνθετες (περισσότερα από ένα σημάδια αριθμητικής πράξης). Σύμφωνα με τη δεύτερη βάση, διακρίνονται αριθμητικές (οι αριθμοί γράφονται με αριθμούς) και αλφαβητικές (τουλάχιστον ένας αριθμός ή όλοι οι αριθμοί υποδεικνύονται με γράμματα).

Η μαθηματική σημειογραφία, η οποία στα μαθηματικά συνήθως ονομάζεται έκφραση, πρέπει να διακρίνεται από τους άλλους τύπους σημειώσεων.

Ένα παράδειγμα ή άσκηση υπολογισμούονομάζεται εγγραφή μιας έκφρασης μαζί με μια απαίτηση για την αξιολόγησή της.

5+3 έκφραση, 8- η τιμή του

5+3= άσκηση υπολογισμού (παράδειγμα),

8- αποτέλεσμα της υπολογιστικής άσκησης (παράδειγμα)

Ανάλογα με το πρόσημο της αριθμητικής πράξης, που χρησιμοποιείται στη σύνταξη μιας απλής έκφρασης, οι απλές εκφράσεις χωρίζονται σε ομάδες παραστάσεων με το πρόσημο «+», «-», «», «:». Αυτές οι εκφράσεις έχουν ειδικά ονόματα (2 + 3 - άθροισμα; 7 - 4 - διαφορά; 7 × 2 - προϊόν; 6: 3 - ιδιωτικό) και γενικά αποδεκτές μεθόδους ανάγνωσης στις οποίες εισάγονται οι μαθητές του δημοτικού.

Τρόποι ανάγνωσης εκφράσεων με σύμβολο "+":

25+17 - 25 συν 17

25 + 17 - προσθέστε το 17 στο 25

25+17 - 25 ναι 17

25 + 17 - 25 και 17 ακόμη.

25 + 17 - το άθροισμα των αριθμών είκοσι πέντε και δεκαεπτά (το άθροισμα των 25 και 17)

25+17 - 25 αύξηση κατά 17

25+17 - 1η περίοδος 25, 2η περίοδος 17

Με ρεκόρ απλές εκφράσειςτα παιδιά γνωρίζονται μεταξύ τους καθώς εισάγεται η αντίστοιχη μαθηματική δράση. Για παράδειγμα, η γνωριμία με τη δράση της πρόσθεσης συνοδεύεται από τη σύνταξη μιας έκφρασης για την προσθήκη 2 + 1, εδώ είναι παραδείγματα των πρώτων μορφών ανάγνωσης αυτών των εκφράσεων: "προσθέστε ένα στα δύο", "δύο και ένα", "δύο και ένα". », «δύο συν ένα». Άλλα σκευάσματα εισάγονται καθώς τα παιδιά εξοικειώνονται με τις σχετικές έννοιες. Μαθαίνοντας τα ονόματα των στοιχείων δράσης και τα αποτελέσματά τους, τα παιδιά μαθαίνουν να διαβάζουν μια έκφραση χρησιμοποιώντας αυτά τα ονόματα (ο πρώτος όρος είναι 25, ο δεύτερος είναι 17 ή το άθροισμα των 25 και 17). Η γνωριμία με τις έννοιες "αύξηση κατά ...", "μείωση κατά ..." σας επιτρέπει να εισάγετε μια νέα διατύπωση για την ανάγνωση εκφράσεων για πρόσθεση και αφαίρεση με αυτούς τους όρους "είκοσι πέντε αύξηση κατά δεκαεπτά", "είκοσι πέντε μειωθεί κατά δεκαεπτά». Κάντε το ίδιο με άλλους τύπους απλών εκφράσεων.

Με τις έννοιες της "έκφρασης", "νοήματος της έκφρασης" σε πολλά εκπαιδευτικά συστήματα ("Σχολείο της Ρωσίας" και "Αρμονία"), τα παιδιά εξοικειώνονται λίγο αργότερα από ό,τι μάθουν να γράφουν, να υπολογίζουν και να τα διαβάζουν καθόλου. , αλλά σε πολλά σκευάσματα. Σε άλλα προγράμματα και συστήματα εκπαίδευσης (σύστημα L.V. Zankov, "School 2000 ...", "School 2100"), αυτές οι μαθηματικές εγγραφές ονομάζονται αμέσως εκφράσεις και χρησιμοποιούν αυτή τη λέξη σε υπολογιστικές εργασίες.

Διδάσκοντας στα παιδιά να διαβάζουν εκφράσεις διάφορα σκευάσματα, τους εισάγουμε στον κόσμο των μαθηματικών όρων, τους δίνουμε την ευκαιρία να μάθουν τη μαθηματική γλώσσα, να επεξεργαστούν το νόημα των μαθηματικών σχέσεων, που αναμφίβολα βελτιώνει τη μαθηματική κουλτούρα του μαθητή, συμβάλλει στην συνειδητή αφομοίωσηΠολλά μαθηματικές έννοιες.

Ø Κάνε όπως κάνω εγώ. Σωστή ομιλίαένας δάσκαλος, μετά τον οποίο τα παιδιά επαναλαμβάνουν τη διατύπωση, είναι η βάση ενός ικανού μαθηματικός λόγοςμαθητές. Σημαντικό αποτέλεσμα επιτυγχάνεται με τη χρήση της μεθόδου σύγκρισης της διατύπωσης που προφέρουν τα παιδιά με ένα δεδομένο δείγμα. Είναι χρήσιμο να χρησιμοποιείτε μια τεχνική όταν ο δάσκαλος το επιτρέπει συγκεκριμένα λάθη ομιλίαςκαι τα παιδιά το διορθώνουν.

Ø Δώστε μερικές εκφράσεις και προσφερθείτε να διαβάσετε αυτές τις εκφράσεις διαφορετικοί τρόποι. Ένας μαθητής διαβάζει την έκφραση, ενώ άλλοι ελέγχουν. Είναι χρήσιμο να δώσουμε όσες εκφράσεις γνωρίζουν τα παιδιά αυτή τη στιγμή.

Ø Ο δάσκαλος υπαγορεύει τις εκφράσεις με διαφορετικούς τρόπους και τα παιδιά καταγράφουν τα ίδια τις εκφράσεις χωρίς να υπολογίζουν το νόημά τους. Τέτοιες εργασίες στοχεύουν στον έλεγχο των γνώσεων των παιδιών σχετικά με τη μαθηματική ορολογία, συγκεκριμένα: την ικανότητα να καταγράφουν εκφράσεις ή υπολογιστικές ασκήσεις που διαβάζονται από διαφορετικές μαθηματικές διατυπώσεις.

Εάν οριστεί μια εργασία που περιλαμβάνει τον έλεγχο του σχηματισμού μιας υπολογιστικής δεξιότητας, είναι χρήσιμο να διαβάζετε εκφράσεις ή υπολογιστικές ασκήσεις μόνο με εκείνες τις διατυπώσεις που έχουν μάθει καλά, χωρίς να ενδιαφέρονται για τη διαφορετικότητά τους, και τα παιδιά καλούνται να καταγράψουν μόνο τα αποτελέσματα υπολογισμούς, οι ίδιες οι εκφράσεις δεν μπορούν να γραφτούν.

Μια έκφραση που αποτελείται από πολλές απλές ονομάζεται σύνθετος.

Επομένως, το ουσιαστικό χαρακτηριστικό μιας σύνθετης έκφρασης είναι η σύνθεσή της από απλές εκφράσεις. Οι σύνθετες εκφράσεις μπορούν να εισαχθούν ως εξής:

1. Δώστε μια απλή έκφραση και υπολογίστε την τιμή της

(7 + 2 = 9), καλέστε το πρώτο ή δεδομένο.

2. Συνθέστε τη δεύτερη παράσταση έτσι ώστε η τιμή της πρώτης να γίνει συστατικό της δεύτερης (9 - 3), ονομάστε αυτή την έκφραση συνέχεια της πρώτης. Υπολογίστε την τιμή της δεύτερης παράστασης (9 - 3 = 6).

3. Εικονογραφήστε τη διαδικασία συγχώνευσης της πρώτης και της δεύτερης έκφρασης, με βάση το εγχειρίδιο.

Το εγχειρίδιο είναι ένα ορθογώνιο φύλλο χαρτιού, το οποίο χωρίζεται σε 5 μέρη και διπλώνεται σε μορφή ακορντεόν. Σε κάθε μέρος του εγχειριδίου υπάρχουν ορισμένες εγγραφές:

7 + 2

=

— 3

= 6

Κρύβοντας το δεύτερο και το τρίτο μέρος αυτού του εγχειριδίου (από την πρώτη έκφραση αποκρύπτουμε την απαίτηση για τον υπολογισμό και την τιμή της και στη δεύτερη αποκρύπτουμε την απάντηση στην ερώτηση του πρώτου), παίρνουμε μια σύνθετη έκφραση και την τιμή της ( 7 + 2 -3 = 6). Του δίνουμε όνομα - σύνθετο (αποτελούμενο από άλλα).

Παρουσιάζουμε τη διαδικασία συγχώνευσης άλλων ζευγών παραστάσεων ή υπολογιστικών ασκήσεων τονίζοντας:

ü Μπορείτε να συνδυάσετε σε ένα σύνθετο μόνο ένα τέτοιο ζεύγος παραστάσεων όταν η τιμή μιας από αυτές είναι συστατικό της άλλης.

ü Η τιμή της παράστασης συνέχειας είναι ίδια με την τιμή της σύνθετης παράστασης.

Κατά την ενίσχυση της έννοιας μιας σύνθετης έκφρασης, είναι χρήσιμο να εκτελούνται εργασίες δύο τύπων.

1 προβολή. Δεδομένου ενός συνόλου απλών εκφράσεων, είναι απαραίτητο να επιλέξετε ζεύγη από αυτές για τα οποία ισχύει η σχέση "η τιμή του ενός είναι συστατικό του άλλου". Να συνθέσετε μια σύνθετη έκφραση από κάθε ζεύγος απλών παραστάσεων.

2η άποψη. Δίνεται σύνθετη έκφραση. Είναι απαραίτητο να γράψετε τις απλές εκφράσεις από τις οποίες αποτελείται.

Αυτή η τεχνική είναι χρήσιμη για πολλούς λόγους:

§ κατ' αναλογία, μπορούμε να εισαγάγουμε την έννοια του σύνθετου προβλήματος.

§ το ουσιαστικό χαρακτηριστικό μιας σύνθετης έκφρασης τονίζεται πιο καθαρά.

§ Αποτρέπονται σφάλματα κατά τον υπολογισμό των τιμών σύνθετες εκφράσεις;

§ Αυτή η τεχνική μας επιτρέπει να απεικονίσουμε τον ρόλο των παρενθέσεων σε σύνθετες εκφράσεις.

Οι σύνθετες εκφράσεις που περιέχουν τα πρόσημα «+», «-» και αγκύλες μελετώνται από την πρώτη τάξη. Ορισμένα εκπαιδευτικά συστήματα ("School of Russia", "Harmony", "School 2000") δεν προβλέπουν τη μελέτη των παρενθέσεων στην πρώτη τάξη. Εισάγονται στη δεύτερη τάξη κατά τη μελέτη των ιδιοτήτων των αριθμητικών πράξεων (η συνειρμική ιδιότητα του αθροίσματος). Οι παρενθέσεις εισάγονται ως σημεία, με τη βοήθεια των οποίων στα μαθηματικά μπορεί κανείς να δείξει τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις που περιέχουν περισσότερες από μία ενέργειες. Στο μέλλον, τα παιδιά εξοικειώνονται με σύνθετες εκφράσεις που περιέχουν τις ενέργειες του πρώτου και του δεύτερου βήματος με και χωρίς παρενθέσεις. Η μελέτη των σύνθετων εκφράσεων συνοδεύεται από τη μελέτη των κανόνων για τη σειρά των ενεργειών σε αυτές τις εκφράσεις και τον τρόπο ανάγνωσης σύνθετων εκφράσεων.

Σε όλα τα προγράμματα δίνεται μεγάλη προσοχή στον μετασχηματισμό των παραστάσεων, οι οποίοι πραγματοποιούνται με βάση την ιδιότητα συνδυασμού του αθροίσματος και του γινομένου, τους κανόνες για την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα και ενός αθροίσματος από έναν αριθμό, πολλαπλασιάζοντας ένα άθροισμα επί έναν αριθμό και τη διαίρεση ενός αθροίσματος με έναν αριθμό. Κατά τη γνώμη μας, σε ξεχωριστά προγράμματα, δεν υπάρχουν αρκετές ασκήσεις που στοχεύουν στην ανάπτυξη της ικανότητας ανάγνωσης σύνθετων εκφράσεων, κάτι που, φυσικά, αργότερα επηρεάζει την ικανότητα επίλυσης εξισώσεων με τον δεύτερο τρόπο (βλ. παρακάτω). ΣΤΟ τελευταίες εκδόσεις εκπαιδευτικά και μεθοδικά συγκροτήματαστα μαθηματικά για δημοτικό σχολείογια όλα τα προγράμματα μεγάλη προσοχήδίνεται σε εργασίες για τη μεταγλώττιση προγραμμάτων και αλγόριθμους υπολογισμού για σύνθετες εκφράσεις σε τρεις έως εννέα ενέργειες.

Εκφράσεις, στο οποίο ένας αριθμός ή όλοι οι αριθμοί υποδεικνύονται με γράμματα, καλούνται αλφαβητικός (ένα+ 6; (ένα+σε)× Με- κυριολεκτικές εκφράσεις). Η προπαίδεια για την εισαγωγή κυριολεκτικών εκφράσεων είναι εκφράσεις όπου ένας από τους αριθμούς αντικαθίσταται από τελείες ή ένα κενό τετράγωνο. Αυτή η καταχώρηση ονομάζεται έκφραση "με παράθυρο" (+4 είναι μια έκφραση με παράθυρο).

Τυπικές εργασίες που περιέχουν κυριολεκτικές εκφράσεις είναι εργασίες για την εύρεση των τιμών των εκφράσεων, υπό την προϋπόθεση ότι το γράμμα παίρνει διάφορες έννοιεςαπό μια δεδομένη λίστα τιμών. (Υπολογίζω τιμές έκφρασης ένα+ σεκαι ένα— σε, αν ένα= 42, σε= 90 ή ένα = 100, σε= 230). Για τον υπολογισμό των τιμών των κυριολεκτικών εκφράσεων, οι δεδομένες τιμές των μεταβλητών αντικαθίστανται εναλλάξ στις εκφράσεις και στη συνέχεια λειτουργούν όπως με τις αριθμητικές εκφράσεις.

Οι κυριολεκτικές εκφράσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εισαγάγουν γενικευμένες εγγραφές των ιδιοτήτων των αριθμητικών πράξεων, να σχηματίσουν ιδέες σχετικά με τη δυνατότητα μεταβλητών τιμών των συνιστωσών ενεργειών και να επιτρέψουν στα παιδιά να έρθουν στην κεντρική μαθηματική έννοια της "μεταβλητής τιμής". Επιπλέον, με τη βοήθεια κυριολεκτικών εκφράσεων, τα παιδιά γνωρίζουν τις ιδιότητες της ύπαρξης των τιμών του αθροίσματος, της διαφοράς, του προϊόντος, του πηλίκου στο σύνολο των μη αρνητικών ακεραίων. Έτσι, στην έκφραση ένα+ σεγια οποιεσδήποτε τιμές μεταβλητών ένακαι σεμπορείτε να υπολογίσετε την τιμή του αθροίσματος και την τιμή της παράστασης ένα— σε, στο υποδεικνυόμενο σύνολο μπορεί να υπολογιστεί μόνο εάν σελιγότερο ή ίσο ένα. Με την ανάλυση εργασιών που στοχεύουν στον καθορισμό πιθανών ορίων στις τιμές ένακαι σεσε εκφράσεις ένα σεκαι ένα: σε, τα παιδιά καθιερώνουν τις ιδιότητες της ύπαρξης της αξίας του προϊόντος και της αξίας του πηλίκου σε μορφή προσαρμοσμένη στην ηλικία.

Ο συμβολισμός των γραμμάτων χρησιμοποιείται ως μέσο για τη σύνοψη των γνώσεων και των ιδεών των παιδιών σχετικά με ποσοτικά χαρακτηριστικάαντικείμενα του γύρω κόσμου και τις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων. Ο γενικευτικός ρόλος του αλφαβητικού συμβολισμού τον καθιστά ένα πολύ ισχυρό εργαλείο για τη διαμόρφωση γενικευμένων ιδεών και μεθόδων δράσης με μαθηματικό περιεχόμενο, που αναμφίβολα αυξάνει τις δυνατότητες των μαθηματικών στην ανάπτυξη και διαμόρφωση αφηρημένα σχήματασκέψη.

7.2. Μαθησιακές ισότητες και ανισότητες στο μάθημα

μαθηματικά δημοτικού σχολείου

Η σύγκριση αριθμών ή/και εκφράσεων οδηγεί στην εμφάνιση νέων μαθηματικών εννοιών της «ισότητας» και της «ανισότητας».

ισότητακαλέστε μια εγγραφή που περιέχει δύο εκφράσεις που συνδέονται με το σύμβολο "=" - ίσον (3 \u003d 1 + 2; 8 + 2 \u003d 7 + 3 - ίσον).

ανισότηταονομάστε μια εγγραφή που περιέχει δύο εκφράσεις και ένα σύμβολο σύγκρισης που υποδεικνύει τη σχέση "μεγαλύτερο από" ή "λιγότερο από" μεταξύ αυτών των εκφράσεων

(3 < 5; 2+4 >2+3 είναι ανισότητες).

Ισότητες και ανισότητες είναι πιστός και άπιστος. Εάν οι τιμές των εκφράσεων στην αριστερή και δεξιά πλευρά της ισότητας είναι ίδιες, τότε η ισότητα θεωρείται αληθής, εάν όχι, τότε η ισότητα θα είναι ψευδής. Αντίστοιχα: εάν στην εγγραφή ανισότητας το πρόσημο σύγκρισης υποδεικνύει σωστά τη σχέση μεταξύ αριθμών (στοιχειώδεις εκφράσεις) ή τιμών παραστάσεων, τότε η ανισότητα είναι αληθής, διαφορετικά η ανισότητα είναι ψευδής.

Οι περισσότερες εργασίες στα μαθηματικά σχετίζονται με τον υπολογισμό των τιμών των παραστάσεων. Εάν βρεθεί η τιμή της παράστασης, τότε η έκφραση και η τιμή της μπορούν να συνδεθούν με ένα πρόσημο «ίσο», το οποίο συνήθως γράφεται ως ισότητα: 3+1=4. Αν η τιμή της παράστασης υπολογίστηκε σωστά, τότε η ισότητα ονομάζεται αληθής, αν είναι ψευδής, τότε η γραπτή ισότητα θεωρείται λανθασμένη.

Τα παιδιά εξοικειώνονται με τις ισότητες στην πρώτη τάξη ταυτόχρονα με την έννοια της «έκφρασης» στο θέμα «Αριθμοί των πρώτων δέκα». Κατακτώντας το συμβολικό μοντέλο εκπαίδευσης των μεταγενέστερων και προηγούμενη ημερομηνία, τα παιδιά γράφουν τις ισότητες 2 + 1 = 3 και 4 - 1 = 3. Στο μέλλον, οι ισότητες χρησιμοποιούνται ενεργά στη μελέτη της σύνθεσης μονοψήφιων αριθμών και στη συνέχεια στη μελέτη σχεδόν κάθε θέματος στο δημοτικό σχολείο Το μάθημα των μαθηματικών συνδέεται με αυτήν την έννοια.

Το ζήτημα της εισαγωγής των εννοιών της «αληθινής» και της «ψευδής» ισότητας σε διάφορα προγράμματα επιλύεται διφορούμενα. Στο σύστημα "School 2000 ...", αυτή η έννοια εισάγεται ταυτόχρονα με την καταγραφή της ισότητας, στο σύστημα "School of Russia" - κατά τη μελέτη του θέματος "Σύνθεση μονοψήφιων αριθμών" στα αρχεία ισοτήτων "με ένα παράθυρο" (+3 \u003d 5; 3 + \u003d 5). Επιλέγοντας έναν αριθμό που μπορεί να μπει στο κουτί, τα παιδιά πείθονται ότι σε ορισμένες περιπτώσεις είναι σωστές και σε άλλες λανθασμένες ισότητες. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι αυτές οι μαθηματικές εγγραφές, αφενός, σας επιτρέπουν να ενοποιήσετε τη σύνθεση αριθμών ή άλλου υπολογιστικού υλικού στο θέμα του μαθήματος, αφετέρου, σχηματίζουν μια ιδέα μιας μεταβλητής και αποτελούν προετοιμασία για την κατάκτηση της έννοιας της «εξίσωσης».

Σε όλα τα προγράμματα, χρησιμοποιούνται συχνότερα δύο τύποι εργασιών, που σχετίζονται με τις έννοιες της ισότητας και της ανισότητας, των αληθών και ψευδών ισοτήτων και ανισοτήτων:

· Δίνονται αριθμοί ή εκφράσεις, πρέπει να βάλετε μια πινακίδα ανάμεσά τους ώστε η εγγραφή να είναι σωστή. Για παράδειγμα, "Βάλτε τα σημάδια:"<», «>"", "=" 7-5 ... 7-3; 6+4… 6+3».

· Οι εγγραφές δίνονται με πρόσημο σύγκρισης, είναι απαραίτητο να αντικαταστήσετε τέτοιους αριθμούς αντί για το πλαίσιο για να λάβετε τη σωστή ισότητα ή ανισότητα. Για παράδειγμα, «Σηκώστε τους αριθμούς ώστε οι καταχωρήσεις να είναι σωστές: > ; ή +2< +3».

Εάν συγκριθούν δύο αριθμοί, τότε η επιλογή του σημείου δικαιολογείται από τα παιδιά, με βάση την αρχή της κατασκευής μιας σειράς φυσικούς αριθμούς, τη σημασία ενός αριθμού ή τη σύνθεσή του. Συγκρίνοντας δύο αριθμητικές εκφράσεις ή μια έκφραση με έναν αριθμό, τα παιδιά υπολογίζουν τις τιμές των παραστάσεων και στη συνέχεια συγκρίνουν τις τιμές τους, δηλαδή μειώνουν τη σύγκριση των παραστάσεων σε σύγκριση αριθμών. ΣΤΟ εκπαιδευτικό σύστημα"Σχολείο της Ρωσίας" αυτή η μέθοδος δίνεται με τη μορφή κανόνα: "Για να συγκρίνεις δύο εκφράσεις σημαίνει να συγκρίνεις τις έννοιές τους." Τα παιδιά εκτελούν το ίδιο σύνολο ενεργειών για να ελέγξουν την ορθότητα της σύγκρισης. "Ελέγξτε αν οι ανισότητες είναι αληθείς:

42 + 6 > 47; 47 - 5 > 47 - 4".

Οι εργασίες που απαιτούν την τοποθέτηση ενός σήματος σύγκρισης (ή τον έλεγχο του αν το σύμβολο σύγκρισης έχει ρυθμιστεί σωστά) έχουν το μεγαλύτερο αναπτυξιακό αποτέλεσμα χωρίς να υπολογίζουν τις τιμές των εκφράσεων δεδομένων στα αριστερά και σωστά μέρηανισότητα (ισότητα). Σε αυτή την περίπτωση, τα παιδιά πρέπει να βάλουν ένα σημάδι σύγκρισης, με βάση τα προσδιορισμένα μαθηματικά μοτίβα.

Η μορφή παρουσίασης της εργασίας και οι τρόποι καταχώρισης της υλοποίησής της ποικίλλει τόσο εντός του ίδιου προγράμματος όσο και σε διαφορετικά προγράμματα.

Παραδοσιακά, όταν αποφασίζετε ανισότητες με μεταβλητήΧρησιμοποιήθηκαν δύο μέθοδοι: η μέθοδος επιλογής και η μέθοδος αναγωγής στην ισότητα.

Πρώτος τρόποςονομάζεται μέθοδος επιλογής, η οποία αντικατοπτρίζει πλήρως τις ενέργειες που εκτελεί το παιδί όταν τη χρησιμοποιεί. Με αυτή τη μέθοδο, η τιμή δεν είναι γνωστός αριθμόςεπιλέγεται είτε από ένα αυθαίρετο σύνολο αριθμών, είτε από ένα δεδομένο σύνολο από αυτούς. Μετά από κάθε επιλογή της τιμής της μεταβλητής ( άγνωστη ημερομηνία) ελέγχεται η ορθότητα της επιλογής. Για να γίνει αυτό, η τιμή που βρέθηκε αντικαθίσταται στη δεδομένη ανισότητα αντί του άγνωστου αριθμού. Υπολογίζεται η τιμή του αριστερού και του δεξιού μέρους της ανισότητας (η τιμή ενός από τα μέρη μπορεί να είναι μια στοιχειώδης έκφραση, δηλαδή ένας αριθμός) και στη συνέχεια συγκρίνεται η τιμή του αριστερού και του δεξιού μέρους της προκύπτουσας ανισότητας. Όλες αυτές οι ενέργειες μπορούν να εκτελεστούν προφορικά ή με αρχείο ενδιάμεσων υπολογισμών.

Δεύτερος τρόποςέγκειται στο γεγονός ότι στο αρχείο της ανισότητας, αντί για το σύμβολο "<» или «>» βάλτε ίσο και λύστε την ισότητα με τρόπο γνωστό στα παιδιά. Στη συνέχεια, διεξάγεται συλλογισμός, ο οποίος χρησιμοποιεί τη γνώση των παιδιών για την αλλαγή στο αποτέλεσμα μιας ενέργειας ανάλογα με την αλλαγή σε ένα από τα συστατικά της και καθορίζει επιτρεπόμενες τιμέςμεταβλητός.

Για παράδειγμα, "Προσδιορίστε ποιες τιμές μπορούν να ληφθούν έναστην ανισότητα 12 - ένα < 7». Решение и образец рассуждений:

Ας βρούμε την τιμή ένα, αν 12 - ένα= 7

Υπολογίζω χρησιμοποιώντας τον κανόνα για την εύρεση του άγνωστου υπόστρωμα: ένα= 12 — 7, ένα= 5.

Διευκρινίζω την απάντησή μου: έναίση με 5 ("η ρίζα της εξίσωσης είναι 5" στο σύστημα Zankov και "School 2000 ...") η τιμή της έκφρασης 12 - 5 είναι 7 και πρέπει να βρούμε τέτοιες τιμές αυτή η έκφραση που θα ήταν μικρότερη από 7, που σημαίνει ότι χρειαζόμαστε να αφαιρέσουμε αριθμούς μεγαλύτερους από πέντε από το 12. Αυτοί μπορεί να είναι αριθμοί 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. (από περισσότεροαφαιρούμε από τον ίδιο αριθμό, άρα μικρότερη αξίαδιαφορές). Που σημαίνει, ένα= 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Τιμές μεγαλύτερες από 12 μεταβλητές έναδεν μπορεί να δεχτεί, αφού ένας μεγαλύτερος αριθμός δεν μπορεί να αφαιρεθεί από έναν μικρότερο (δεν ξέρουμε πώς, αν δεν εισαχθούν αρνητικοί αριθμοί).

Παράδειγμα παρόμοιας εργασίας από σχολικό βιβλίο Γ' τάξης (1-4), συγγραφείς: Ι.Ι. Arginskaya, E.I. Ιβανόφσκαγια:

Νο 224. «Να λύσετε τις ανισώσεις χρησιμοποιώντας τη λύση των αντίστοιχων εξισώσεων:

προς την— 37 < 29, 75 — Με > 48, ένα+ 44 < 91.

Ελέγξτε τις λύσεις σας: αντικαταστήστε σε κάθε ανίσωση αρκετούς αριθμούς μεγαλύτερους και μικρότερους από τη ρίζα της αντίστοιχης εξίσωσης.

Φτιάξτε τις δικές σας ανισώσεις με άγνωστους αριθμούς, λύστε τους και ελέγξτε τις λύσεις που βρέθηκαν.

Προτείνετε τη συνέχιση της εργασίας σας.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι μια σειρά από τεχνολογίες και προγράμματα κατάρτισης, που ενισχύουν τη λογική συνιστώσα και υπερβαίνουν σημαντικά τις τυπικές απαιτήσεις για περιεχόμενο μαθηματική εκπαίδευσησε δημοτικό σχολείο, εισάγετε τις έννοιες:

Ø μεταβλητή τιμή, μεταβλητή τιμή.

Ø η έννοια της "δήλωσης" (οι αληθείς και ψευδείς δηλώσεις ονομάζονται δηλώσεις (M3P)), "αληθινές και ψευδείς δηλώσεις".

Ø εξετάστε συστήματα εξισώσεων (I.I. Arginskaya, E.I. Ivanovskaya).

7.3. Μελέτη Εξισώσεων σε Μάθημα Μαθηματικών

δημοτικό σχολείο

Μια ισότητα που περιέχει μεταβλητός, που ονομάζεται εξίσωση.Για να λύσετε μια εξίσωση σημαίνει να βρείτε μια τέτοια τιμή μιας μεταβλητής (ένας άγνωστος αριθμός) στην οποία η εξίσωση μετατρέπεται σε μια αληθινή αριθμητική ισότητα. Η τιμή της μεταβλητής στην οποία η εξίσωση μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης.

Σε ορισμένα εκπαιδευτικά συστήματα («Σχολείο της Ρωσίας» και «Αρμονία») δεν παρέχεται η εισαγωγή της έννοιας της «μεταβλητής». Σε αυτά, η εξίσωση αντιμετωπίζεται ως ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθμό. Και περαιτέρω, για να λύσετε την εξίσωση σημαίνει να βρείτε έναν τέτοιο αριθμό, όταν αντικαθιστώντας τον, αντί για το άγνωστο, προκύπτει η σωστή ισότητα. Ο αριθμός αυτός ονομάζεται τιμή του αγνώστου ή λύση της εξίσωσης. Έτσι, ο όρος "λύση μιας εξίσωσης" χρησιμοποιείται με δύο έννοιες: ως αριθμός (ρίζα), όταν αντικαθιστά τον οποίο αντί για άγνωστο αριθμό, η εξίσωση μετατρέπεται σε αληθινή ισότητα και ως διαδικασία επίλυσης της ίδιας της εξίσωσης.

Τα περισσότερα προγράμματα και συστήματα του δημοτικού σχολείου εξετάζουν δύο τρόπους επίλυσης εξισώσεων.

Πρώτος τρόποςονομάζεται μέθοδος επιλογής, η οποία αντικατοπτρίζει πλήρως τις ενέργειες που εκτελεί το παιδί όταν τη χρησιμοποιεί. Με αυτή τη μέθοδο, η τιμή ενός άγνωστου αριθμού επιλέγεται είτε από ένα αυθαίρετο σύνολο αριθμών είτε από ένα δεδομένο σύνολο από αυτούς. Μετά από κάθε επιλογή τιμής ελέγχεται η ορθότητα της λύσης. Η ουσία της επαλήθευσης προκύπτει από τον ορισμό της εξίσωσης και ανάγεται στην εκτέλεση τεσσάρων αλληλένδετων ενεργειών:

1. Σε δεδομένη εξίσωσηη τιμή που βρέθηκε αντικαθιστά τον άγνωστο αριθμό.

2. Υπολογίζεται η τιμή του αριστερού και του δεξιού μέρους της εξίσωσης (η τιμή ενός από τα μέρη μπορεί να είναι μια στοιχειώδης έκφραση, δηλαδή ένας αριθμός).

3. Συγκρίνεται η τιμή του αριστερού και του δεξιού μέρους της ισότητας που προκύπτει.

4. Γίνεται συμπέρασμα για την ορθότητα ή την ανακρίβεια της ισότητας που προκύπτει και περαιτέρω, εάν ο αριθμός που βρέθηκε είναι λύση (ρίζα) της εξίσωσης.

Στην αρχή εκτελείται μόνο η πρώτη ενέργεια και οι υπόλοιπες εκφράζονται. Αυτός ο αλγόριθμος επαλήθευσης αποθηκεύεται για κάθε τρόπο επίλυσης της εξίσωσης.

Ένας αριθμός εκπαιδευτικών συστημάτων ("Σχολείο 2000", το εκπαιδευτικό σύστημα του D.B. Elkonin - V.V. Davydov) για επίλυση απλές εξισώσειςχρησιμοποιήστε τη σχέση μεταξύ του μέρους και του όλου.

8 + Χ=10; 8 και Χ -εξαρτήματα? Το 10 είναι ακέραιος αριθμός. Για να βρείτε ένα μέρος, μπορείτε να αφαιρέσετε το γνωστό μέρος από το σύνολο: Χ= 10 — 8; Χ= 2.

Σε αυτά τα συστήματα μάθησης, ακόμη και στο στάδιο της επίλυσης εξισώσεων με τη μέθοδο επιλογής, η έννοια της «ρίζας εξίσωσης» εισάγεται στην πρακτική ομιλίας και η ίδια η μέθοδος λύσης ονομάζεται επίλυση της εξίσωσης χρησιμοποιώντας «επιλογή ρίζας».

Δεύτερος τρόποςΗ επίλυση της εξίσωσης βασίζεται στη σχέση μεταξύ του αποτελέσματος και των συνιστωσών της δράσης. Από αυτή την εξάρτηση ακολουθεί ο κανόνας για την εύρεση ενός από τα συστατικά. Για παράδειγμα, η σχέση μεταξύ της τιμής του αθροίσματος και ενός από τους όρους ακούγεται ως εξής: "αν ένας από αυτούς αφαιρεθεί από την τιμή του αθροίσματος δύο όρων, τότε θα ληφθεί ένας άλλος όρος." Από αυτή την εξάρτηση προκύπτει ο κανόνας για την εύρεση ενός από τους όρους: «να βρω άγνωστος όρος, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε τον γνωστό όρο από την τιμή του αθροίσματος. Όταν λύνουν την εξίσωση, τα παιδιά συλλογίζονται ως εξής:

Εργασία: Λύστε την εξίσωση 8 + Χ= 11.

Σε αυτή την εξίσωση, ο δεύτερος όρος είναι άγνωστος. Γνωρίζουμε ότι για να βρείτε τον δεύτερο όρο, πρέπει να αφαιρέσετε τον πρώτο όρο από την τιμή του αθροίσματος. Άρα, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε το 8 από το 11. Σημειώνω: Χ\u003d 11 - 8. Υπολογίζω, 11 μείον 8 είναι 3, γράφω Χ= 3.

Η πλήρης εγγραφή της λύσης με επαλήθευση θα μοιάζει με αυτό:

8 + Χ = 11

Χ = 11 — 8

Χ = 3

Η παραπάνω μέθοδος λύνει εξισώσεις με δύο ή περισσότερες ενέργειες με και χωρίς αγκύλες. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να καθορίσετε τη σειρά των ενεργειών στη σύνθετη έκφραση και, ονομάζοντας τα συστατικά της σύνθετης έκφρασης σύμφωνα με την τελευταία ενέργεια, θα πρέπει να επισημάνετε το άγνωστο, το οποίο με τη σειρά του μπορεί να είναι μια έκφραση για πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό ή διαίρεση (εκφρασμένη ως άθροισμα, διαφορά, γινόμενο ή πηλίκο) . Στη συνέχεια εφαρμόζεται ένας κανόνας για την εύρεση του άγνωστου συστατικού, που εκφράζεται ως άθροισμα, διαφορά, γινόμενο ή πηλίκο, με τα ονόματα των συστατικών για την τελευταία δράση στην σύνθετη έκφραση. Εκτελώντας υπολογισμούς σύμφωνα με αυτόν τον κανόνα, προκύπτει μια απλή εξίσωση (ή πάλι μια σύνθετη, εάν αρχικά υπήρχαν τρία ή περισσότερα σημάδια δράσης στην έκφραση). Η επίλυσή του πραγματοποιείται σύμφωνα με τον αλγόριθμο που ήδη περιγράφηκε παραπάνω. Εξετάστε την ακόλουθη εργασία.

Λύστε την εξίσωση ( Χ + 2) : 3 = 8.

Σε αυτή την εξίσωση, το μέρισμα είναι άγνωστο, εκφρασμένο ως το άθροισμα των αριθμών Χκαι 2. (Σύμφωνα με τους κανόνες της σειράς των πράξεων στην έκφραση, η πράξη διαίρεσης εκτελείται τελευταία).

Για να βρείτε το άγνωστο μέρισμα, μπορείτε να πολλαπλασιάσετε το πηλίκο με τον διαιρέτη: Χ+ 2 = 8 × 3

Υπολογίζουμε την τιμή της έκφρασης στα δεξιά του ίσου, παίρνουμε: Χ+ 2 = 24.

Η πλήρης καταχώρηση μοιάζει με: ( Χ+ 2) : 3 = 8

Χ+ 2 = 8 × 3

Χ+ 2 = 24

Χ = 24 — 2

Έλεγχος: (22 + 2) : 3 = 8

Στο εκπαιδευτικό σύστημα «Σχολείο 2000 ...» λόγω της ευρείας χρήσης αλγορίθμων και των τύπων τους, δίνεται ένας αλγόριθμος (block diagram) για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων (βλ. διάγραμμα 3).

Ο δεύτερος τρόπος επίλυσης εξισώσεων είναι αρκετά επαχθής, ειδικά για τις σύνθετες εξισώσεις, όπου ο κανόνας της σχέσης μεταξύ των συστατικών και του αποτελέσματος της δράσης εφαρμόζεται επανειλημμένα. Από αυτή την άποψη, πολλοί συγγραφείς προγραμμάτων (συστήματα «Σχολείο της Ρωσίας», «Αρμονία») δεν περιλαμβάνουν καθόλου στο πρόγραμμα σπουδών του δημοτικού σχολείου μια εισαγωγή στις εξισώσεις πολύπλοκη δομήή να τα εισάγετε στο τέλος της τέταρτης τάξης.

Σε αυτά τα συστήματα, περιορίζονται κυρίως στη μελέτη εξισώσεων των ακόλουθων τύπων:

Χ+ 2 = 6; 5 + Χ= 8 - εξισώσεις για την εύρεση του άγνωστου όρου.

Χ – 2 = 6; 5 – Χ= 3 είναι εξισώσεις για την εύρεση του άγνωστου minuend και subtrahend, αντίστοιχα.

Χ× 5 = 20,5 × Χ= 35 - εξισώσεις για την εύρεση του άγνωστου παράγοντα.

Χ: 3 = 8, 6: Χ= 2 είναι εξισώσεις για την εύρεση του άγνωστου μερίσματος και διαιρέτη, αντίστοιχα.

Χ× 3 \u003d 45 - 21; Χ× (63 - 58) = 20; (58 - 40) : Χ= (2 × 3) - εξισώσεις όπου ένας ή δύο αριθμοί στην εξίσωση αντιπροσωπεύονται από μια αριθμητική παράσταση. Ο τρόπος επίλυσης αυτών των εξισώσεων είναι ο υπολογισμός των τιμών αυτών των παραστάσεων, μετά τις οποίες η εξίσωση παίρνει τη μορφή μιας από τις απλές εξισώσεις των παραπάνω τύπων.

Μια σειρά από προγράμματα για τη διδασκαλία των μαθηματικών στις δημοτικές τάξεις (το εκπαιδευτικό σύστημα του L.V. Zankov και "School 2000 ...") εξασκούν την εισαγωγή των παιδιών σε περισσότερα σύνθετες εξισώσεις, όπου ο κανόνας της σχέσης μεταξύ των συστατικών και του αποτελέσματος της ενέργειας πρέπει να εφαρμόζεται επανειλημμένα και, συχνά, απαιτείται η εκτέλεση ενεργειών για να μετασχηματιστεί ένα από τα μέρη της εξίσωσης με βάση τις ιδιότητες των μαθηματικών ενεργειών. Για παράδειγμα, σε αυτά τα προγράμματα, δίνονται στους μαθητές της τρίτης τάξης οι ακόλουθες εξισώσεις για να λύσουν:

3× Χ — (20 + Χ) = 70 ή 2 × Χ– 8 + 5 × Χ= 97.

Στα μαθηματικά υπάρχει τρίτος τρόποςεπίλυση εξισώσεων, η οποία βασίζεται σε θεωρήματα για την ισοδυναμία των εξισώσεων και τις συνέπειες από αυτές. Για παράδειγμα, ένα από τα θεωρήματα σχετικά με την ισοδυναμία των εξισώσεων σε μια απλοποιημένη διατύπωση έχει ως εξής: «Αν και οι δύο πλευρές της εξίσωσης με το πεδίο ορισμού Χπροσθέστε την ίδια έκφραση με μια μεταβλητή, που ορίζεται στο ίδιο σύνολο, τότε παίρνουμε μια νέα εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Από αυτό το θεώρημα προκύπτουν συνέπειες, οι οποίες χρησιμοποιούνται για την επίλυση εξισώσεων.

Συμπέρασμα 1. Αν προστεθεί ο ίδιος αριθμός και στα δύο μέρη της εξίσωσης, τότε παίρνουμε μια νέα εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη.

Συμπέρασμα 2. Αν στην εξίσωση ένας από τους όρους (αριθμητική παράσταση ή έκφραση με μεταβλητή) μεταφερθεί από το ένα μέρος στο άλλο, αλλάζοντας το πρόσημο του όρου στο αντίθετο, τότε προκύπτει μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη .

Έτσι, η διαδικασία επίλυσης της εξίσωσης ανάγεται στην αντικατάσταση δεδομένη εξίσωση, ισοδύναμο, και αυτή η αντικατάσταση (μετασχηματισμός) μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνο λαμβάνοντας υπόψη θεωρήματα σχετικά με την ισοδυναμία των εξισώσεων ή τις συνέπειες από αυτά.

Αυτή η μέθοδος επίλυσης εξισώσεων είναι καθολική· τα παιδιά εισάγονται σε αυτήν στο L.V. Zankov και στις ανώτερες τάξεις.

Στη μεθοδολογία εργασίας σε εξισώσεις, συσσωρευμένες μεγάλος αριθμός δημιουργικές εργασίες :

την επιλογή των εξισώσεων σύμφωνα με ένα δεδομένο χαρακτηριστικό από έναν αριθμό προτεινόμενων.

· Να συγκρίνουν εξισώσεις και μεθόδους επίλυσής τους.

· Να συντάσσει εξισώσεις για δεδομένους αριθμούς.

· να αλλάξει στην εξίσωση ενός από τους γνωστούς αριθμούς έτσι ώστε η τιμή της μεταβλητής να γίνει μεγαλύτερη (μικρότερη) από την αρχική τιμή.

επιλογή ενός γνωστού αριθμού σε μια εξίσωση.

κατάρτιση αλγορίθμων λύσεων με βάση μπλοκ διαγράμματα για την επίλυση εξισώσεων ή χωρίς αυτά.

συντάσσοντας εξισώσεις σύμφωνα με τα κείμενα των προβλημάτων.

Πρέπει να σημειωθεί ότι σε σύγχρονα σχολικά βιβλίαυπάρχει μια τάση εισαγωγής υλικού σε εννοιολογικό επίπεδο. Για παράδειγμα, σε καθεμία από τις παραπάνω έννοιες δίνεται ένας λεπτομερής ορισμός που αντικατοπτρίζει τα βασικά χαρακτηριστικά της. Ωστόσο, δεν ανταποκρίνονται όλοι οι ορισμοί που συναντώνται στις απαιτήσεις της επιστημονικής αρχής. Για παράδειγμα, η έννοια της «έκφρασης» σε ένα από τα εγχειρίδια μαθηματικών για δημοτικές τάξεις ερμηνεύεται ως εξής: «Μια μαθηματική σημειογραφία από αριθμητικές πράξεις που δεν περιέχει σημεία μεγαλύτερα από, μικρότερα ή ίσα ονομάζεται έκφραση» (εκπαιδευτική σύστημα «Σχολείο 2000»). Σημειώστε ότι σε αυτή η υπόθεσηο ορισμός είναι γραμμένος λάθος, αφού περιγράφει ό,τι δεν υπάρχει στο αρχείο, αλλά δεν είναι γνωστό τι υπάρχει. Αυτή είναι μια αρκετά τυπική ανακρίβεια που επιτρέπεται στον ορισμό.

Σημειώστε ότι οι ορισμοί των εννοιών δεν δίνονται αμέσως, δηλ. όχι κατά την αρχική γνωριμία, αλλά σε καθυστερημένο χρόνο, αφού τα παιδιά εξοικειώθηκαν με την αντίστοιχη μαθηματική σημειογραφία και έμαθαν να τη χειρίζονται. Οι ορισμοί δίνονται πιο συχνά σε άρρητη μορφή, περιγραφικά.

Για αναφορά: Στα μαθηματικά απαντώνται ως ρητά και άρρηταορισμούς των εννοιών. Αναμεταξύ σαφήςοι ορισμοί είναι οι πιο συνηθισμένοι ορισμούς μέσω του πλησιέστερου γένους και της συγκεκριμένης διαφοράς. (Μια εξίσωση είναι μια ισότητα που περιέχει μια μεταβλητή.). Άμεσοι ορισμοίμπορεί να χωριστεί σε δύο τύπους: συμφραζόμενη και εμφατική. Στους συμφραζόμενους ορισμούς, το περιεχόμενο μιας νέας έννοιας αποκαλύπτεται μέσα από ένα απόσπασμα κειμένου, μέσα από μια ανάλυση μιας συγκεκριμένης κατάστασης.

Για παράδειγμα: 3+ Χ= 9. Χείναι ένας άγνωστος αριθμός που μπορεί να βρεθεί.

Οι έντονοι ορισμοί χρησιμοποιούνται για την εισαγωγή όρων επιδεικνύοντας τα αντικείμενα που δηλώνουν αυτοί οι όροι. Επομένως, αυτοί οι ορισμοί ονομάζονται επίσης ορισμοί με εμφάνιση. Για παράδειγμα, με αυτόν τον τρόπο ορίζονται οι έννοιες της ισότητας και της ανισότητας στις δημοτικές τάξεις.

2 + 7 > 2 + 6 9 + 3 = 12

78 — 9 < 78 6 × 4 = 4 × 6

ανισότητες ισότητας

7.4. Σειρά ενεργειών στις εκφράσεις

Οι παρατηρήσεις και η ανάλυσή μας φοιτητική εργασίαδείχνει ότι η μελέτη αυτής της γραμμής περιεχομένου συνοδεύεται από τους παρακάτω τύπουςλάθη των μαθητών:

Δεν μπορεί να εφαρμοστεί σωστά ο κανόνας της σειράς λειτουργιών.

· Εσφαλμένη επιλογή των αριθμών για την εκτέλεση της ενέργειας.

Για παράδειγμα, στην έκφραση 62 + 30: (18 - 3) εκτελέστε ενέργειες με την ακόλουθη σειρά:

62 + 30 = 92 περίπου: 18 - 3 = 15

18 — 3 = 15 30: 15 = 2

30: 15 = 2 62 + 30 = 92

Με βάση στοιχεία για κοινά λάθηπου προκύπτουν σε μαθητές, μπορούν να διακριθούν δύο κύριες δράσεις που πρέπει να διαμορφωθούν κατά τη διαδικασία μελέτης αυτής της γραμμής περιεχομένου:

1) μια ενέργεια για τον προσδιορισμό της σειράς με την οποία εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις με αριθμητικούς όρους.

2) η ενέργεια της επιλογής αριθμών για τον υπολογισμό των τιμών των ενδιάμεσων μαθηματικών πράξεων.

Στο μάθημα των μαθηματικών των δημοτικών τάξεων, παραδοσιακά, οι κανόνες για τη σειρά των ενεργειών διατυπώνονται με την ακόλουθη μορφή.

Κανόνας 1. Σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση, που περιέχουν μόνο πρόσθεση και αφαίρεση ή πολλαπλασιασμό και διαίρεση, οι πράξεις εκτελούνται με τη σειρά που γράφονται: από αριστερά προς τα δεξιά.

Κανόνας 2Στις εκφράσεις χωρίς παρένθεση γίνεται ο πολλαπλασιασμός ή η διαίρεση με τη σειρά από αριστερά προς τα δεξιά και μετά η πρόσθεση ή η αφαίρεση.

Κανόνας 3. Στις εκφράσεις με αγκύλες, πρώτα αξιολογείται η τιμή των παραστάσεων σε αγκύλες. Στη συνέχεια, με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά, γίνεται πολλαπλασιασμός ή διαίρεση και στη συνέχεια πρόσθεση ή αφαίρεση.

Κάθε ένας από αυτούς τους κανόνες επικεντρώνεται σε ένα συγκεκριμένο είδος εκφράσεων:

1) εκφράσεις χωρίς αγκύλες, που περιέχουν μόνο ενέργειες ενός σταδίου.

2) εκφράσεις χωρίς αγκύλες που περιέχουν τις ενέργειες του πρώτου και του δεύτερου βήματος.

3) εκφράσεις με αγκύλες που περιέχουν ενέργειες τόσο του πρώτου όσο και του δεύτερου σταδίου.

Με αυτή τη λογική εισαγωγής των κανόνων και της σειράς της μελέτης τους, οι παραπάνω ενέργειες θα αποτελούνται από τις ενέργειες που αναφέρονται παρακάτω, η γνώση των οποίων εξασφαλίζει την αφομοίωση αυτό το υλικό:

§ αναγνωρίζουν τη δομή της έκφρασης και ονομάζουν σε ποιον τύπο ανήκει.

§ συσχετίστε αυτήν την έκφραση με τον κανόνα που πρέπει να ακολουθείται κατά τον υπολογισμό της τιμής της.

§ να καθορίσει τη διαδικασία για ενέργειες σύμφωνα με τον κανόνα.

§ επιλέξτε σωστά τους αριθμούς για να εκτελέσετε την επόμενη ενέργεια.

§ εκτελέστε υπολογισμούς.

Αυτοί οι κανόνες εισάγονται στην τρίτη τάξη ως γενίκευση για τον προσδιορισμό της σειράς των ενεργειών σε εκφράσεις διαφόρων δομών. Πρέπει να σημειωθεί ότι πριν εξοικειωθούν με αυτούς τους κανόνες, τα παιδιά έχουν ήδη συναντήσει εκφράσεις με παρενθέσεις. Στην πρώτη και τη δεύτερη τάξη, όταν μελετούν τις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων (συνειρμική ιδιότητα πρόσθεσης, κατανεμητική ιδιότητα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης), μπορούν να υπολογίσουν τις τιμές των εκφράσεων που περιέχουν ενέργειες ενός σταδίου, δηλ. είναι εξοικειωμένοι με τον κανόνα 1. Εφόσον εισάγονται τρεις κανόνες που αντικατοπτρίζουν τη σειρά των ενεργειών σε εκφράσεις τριών τύπων, είναι απαραίτητο, πρώτα απ 'όλα, να διδάξουμε στα παιδιά να διακρίνουν διάφορες εκφράσεις ως προς τα σημάδια ότι κάθε κανόνας εστιάζεται επί.

Στο εκπαιδευτικό σύστημα «Αρμονία» τον κύριο ρόλο στη μελέτη αυτού του θέματος παίζει ένα σύστημα κατάλληλα επιλεγμένων ασκήσεων, μέσα από τις οποίες τα παιδιά μαθαίνουν γενικό τρόποτον καθορισμό της σειράς των ενεργειών σε εκφράσεις διαφορετικών δομών. Θα πρέπει να σημειωθεί ότι ο συγγραφέας του προγράμματος στα μαθηματικά σε αυτό το σύστημα πολύ λογικά χτίζει μια μεθοδολογία για την εισαγωγή κανόνων για τη σειρά των ενεργειών, προσφέρει στα παιδιά με συνέπεια ασκήσεις για να εξασκήσουν τις πράξεις που αποτελούν μέρος των παραπάνω ενεργειών. Οι πιο συνηθισμένες εργασίες είναι:

ü να συγκρίνετε εκφράσεις και στη συνέχεια να εντοπίσετε σημάδια ομοιότητας και διαφοράς σε αυτές (το πρόσημο της ομοιότητας αντικατοπτρίζει τον τύπο της έκφρασης, όσον αφορά τον προσανατολισμό της στον κανόνα).

ü σχετικά με την ταξινόμηση των εκφράσεων σύμφωνα με ένα δεδομένο χαρακτηριστικό.

ü την επιλογή εκφράσεων με δεδομένα χαρακτηριστικά.

ü να κατασκευάζει εκφράσεις σύμφωνα με έναν δεδομένο κανόνα (συνθήκη).

ü σχετικά με την εφαρμογή του κανόνα σε διάφορα μοντέλα εκφράσεων (συμβολικά, σχηματικά, γραφικά).

ü να καταρτίσει ένα σχέδιο ή διάγραμμα ροής της διαδικασίας για την εκτέλεση ενεργειών.

ü σχετικά με τη ρύθμιση αγκύλων σε μια παράσταση με δεδομένη τιμή.

ü να καθορίσετε τη σειρά των ενεργειών στην παράσταση όταν υπολογίζεται η τιμή της.

ΣΤΟ συστήματα "Σχολείο 2000 ..."και « Δημοτικό σχολείο XXI αιώνας"προτείνεται μια ελαφρώς διαφορετική προσέγγιση για τη μελέτη της σειράς των ενεργειών σε σύνθετες εκφράσεις. Αυτή η προσέγγιση εστιάζει στην κατανόηση της δομής της έκφρασης από τους μαθητές. Το πιο σημαντικό μαθησιακή δράσηΣε αυτή την περίπτωση, είναι η επιλογή πολλών μερών σε μια σύνθετη έκφραση (διαχωρισμός της έκφρασης σε μέρη). Στη διαδικασία υπολογισμού των τιμών των σύνθετων παραστάσεων, οι μαθητές χρησιμοποιούν κανόνες εργασίας:

1. Εάν η έκφραση περιέχει αγκύλες, τότε χωρίζεται σε μέρη έτσι ώστε το ένα μέρος να συνδέεται με το άλλο με τις ενέργειες του πρώτου σταδίου (σύμβολα συν και πλην) που δεν περικλείονται σε αγκύλες, βρίσκεται η τιμή κάθε μέρους , και στη συνέχεια οι ενέργειες του πρώτου σταδίου εκτελούνται με σειρά από αριστερά προς τα δεξιά.

2. Εάν η έκφραση δεν περιέχει ενέργειες του πρώτου σταδίου που δεν περικλείονται σε αγκύλες, αλλά υπάρχουν πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης που δεν περικλείονται σε αγκύλες, τότε η έκφραση χωρίζεται σε μέρη, εστιάζοντας σε αυτά τα σημάδια.

Αυτοί οι κανόνες σάς επιτρέπουν να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων που περιέχουν μεγάλο αριθμό αριθμητικών πράξεων.

Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Με τα σύμβολα συν και πλην που δεν περικλείονται σε αγκύλες, χωρίζουμε την έκφραση σε μέρη: από την αρχή μέχρι το πρώτο πρόσημο (μείον) που δεν περικλείεται σε αγκύλες, μετά από αυτό το σύμβολο στο επόμενο (συν) και από το σύμβολο συν στο τέλος .

3 40 - 20 (60 - 55) + 81: (36: 4)

Υπήρχαν τρία μέρη:

1 μέρος - 3 40

Μέρος 2 - 20 (60 - 55)

και 3 μέρος 81: (36:4).

Βρείτε την αξία κάθε μέρους:

1) 3 40 = 120 2) 60 — 55 = 5 3) 36: 4 = 9 4) 120 -100 = 20

20 5 = 100 81: 9 = 9 20 + 9 = 29

Απάντηση: η τιμή της παράστασης είναι 29.

Σκοπός των σεμιναρίωνκατά μήκος αυτής της γραμμής περιεχομένου

αφηρημένα και αναθεωρητικά άρθρα (εγχειρίδια) διδακτικών, παιδαγωγικών και ψυχολογικό περιεχόμενο;

να συντάξει ένα αρχείο κάρτας για την αναφορά, για να μελετήσει ένα συγκεκριμένο θέμα.

διεξαγωγή λογικής και διδακτικής ανάλυσης σχολικών εγχειριδίων, κιτ προπόνησης, καθώς και ανάλυση της εφαρμογής σε σχολικά βιβλία μιας συγκεκριμένης μαθηματικής ιδέας, γραμμή.

επιλέξτε εργασίες για διδασκαλία εννοιών, τεκμηρίωση μαθηματικών δηλώσεων, διαμόρφωση κανόνα ή κατασκευή αλγορίθμου.

Εργασίες για αυτοδιδασκαλία

Θέμα του μαθήματος. Χαρακτηριστικά των εννοιών «έκφραση», «ισότητα», «ανισότητα», «εξίσωση» και η μεθοδολογία μελέτης τους σε διάφορες μεθοδολογικές

Διάλεξη 8. Μέθοδοι μελέτης αλγεβρικού υλικού.

Διάλεξη 7

1. Μεθοδολογία για την εξέταση στοιχείων της άλγεβρας.

2. Αριθμητικές ισότητες και ανισότητες.

3. Προετοιμασία για εξοικείωση με τη μεταβλητή. Στοιχεία αλφαβητικών συμβόλων.

4. Ανισότητες με μεταβλητή.

5. Εξίσωση

1. Η εισαγωγή στοιχείων άλγεβρας στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών επιτρέπει από την αρχή της εκπαίδευσης να διεξάγει συστηματική εργασία με στόχο τη διαμόρφωση στα παιδιά τέτοιων σημαντικών μαθηματικών εννοιών όπως: έκφραση, ισότητα, ανισότητα, εξίσωση. Η εξοικείωση με τη χρήση ενός γράμματος ως συμβόλου που υποδηλώνει οποιονδήποτε αριθμό από την περιοχή των αριθμών που είναι γνωστά στα παιδιά δημιουργεί τις προϋποθέσεις για τη γενίκευση πολλών σε πρωτοβάθμιο μάθημαερωτήσεις αριθμητική θεωρία, είναι μια καλή προετοιμασία για την εισαγωγή των παιδιών στο μέλλον με τις έννοιες μέσα μεταβλητή συνάρτησης. Μια προηγούμενη γνωριμία με τη χρήση της αλγεβρικής μεθόδου επίλυσης προβλημάτων καθιστά δυνατή την πραγματοποίηση σοβαρών βελτιώσεων σε ολόκληρο το σύστημα διδασκαλίας των παιδιών για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων κειμένου.

Καθήκοντα: 1. Να διαμορφώσει την ικανότητα των μαθητών στην ανάγνωση, τη γραφή και τη σύγκριση αριθμητικών παραστάσεων.2. Να εξοικειώσει τους μαθητές με τους κανόνες για την εκτέλεση της σειράς των ενεργειών σε αριθμητικές παραστάσεις και να αναπτύξει την ικανότητα υπολογισμού των τιμών των παραστάσεων σύμφωνα με αυτούς τους κανόνες.3. Για να διαμορφώσετε την ικανότητα ανάγνωσης των μαθητών, να γράψετε κυριολεκτικές εκφράσεις και να υπολογίσετε τις τιμές τους για δεδομένες τιμές γραμμάτων.4. Να εξοικειώσει τους μαθητές με εξισώσεις 1ου βαθμού, που περιέχουν τις ενέργειες του πρώτου και του δεύτερου σταδίου, να σχηματίσουν την ικανότητα επίλυσής τους με τη μέθοδο επιλογής, καθώς και με βάση τη γνώση της σχέσης μεταξύ των συνιστωσών m / y και αποτέλεσμα αριθμητικών πράξεων.

Το πρόγραμμα του δημοτικού σχολείου προβλέπει τη γνωριμία των μαθητών με τη χρήση αλφαβητικών συμβόλων, λύσεις στοιχειώδεις εξισώσειςπρώτου βαθμού με ένα άγνωστο και οι εφαρμογές τους σε προβλήματα σε μία ενέργεια. Αυτά τα θέματα μελετώνται σε στενή σύνδεσημε αριθμητικό υλικό, που συμβάλλει στο σχηματισμό αριθμών και αριθμητικών πράξεων.

Από τις πρώτες μέρες της εκπαίδευσης ξεκινά η εργασία για τη διαμόρφωση των εννοιών της ισότητας μεταξύ των μαθητών. Αρχικά τα παιδιά μαθαίνουν να συγκρίνουν πολλά αντικείμενα, να εξισώνουν άνισες ομάδες, να μετατρέπουν ίσες ομάδες σε άνισες. Ήδη όταν μελετάτε μια ντουζίνα αριθμούς, εισάγονται ασκήσεις σύγκρισης. Πρώτον, εκτελούνται με βάση αντικείμενα.

Η έννοια της έκφρασης διαμορφώνεται στο κατώτεροι μαθητέςσε στενή σύνδεση με τις έννοιες των αριθμητικών πράξεων. Υπάρχουν δύο στάδια στη μέθοδο εργασίας στις εκφράσεις. Στο 1-σχηματίζεται η έννοια των απλούστερων παραστάσεων (άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο δύο αριθμών) και στο 2-των μιγαδικών (το άθροισμα ενός γινομένου και ενός αριθμού, η διαφορά δύο πηλίκων κ.λπ.) . Εισάγονται οι όροι ʼʼμαθηματική έκφρασηʼʼ και ʼʼτιμή μαθηματικής έκφρασηςʼʼ (χωρίς ορισμούς). Αφού γράψει πολλά παραδείγματα σε μία ενέργεια, ο δάσκαλος αναφέρει ότι αυτά τα παραδείγματα ονομάζονται αλλιώς μεταμαθηματικές εκφράσεις. Κατά τη μελέτη αριθμητικών πράξεων, περιλαμβάνονται ασκήσεις σύγκρισης εκφράσεων, χωρίζονται σε 3 ομάδες. Εκμάθηση του Κανονισμού. Στόχος για αυτό το στάδιο- με βάση τις πρακτικές δεξιότητες των μαθητών, επιστήστε την προσοχή τους στη διαδικασία εκτέλεσης ενεργειών σε τέτοιες εκφράσεις και διατυπώστε τον κατάλληλο κανόνα. Οι μαθητές λύνουν ανεξάρτητα παραδείγματα που επιλέχθηκαν από τον δάσκαλο και εξηγούν με ποια σειρά έκαναν τις ενέργειες σε κάθε παράδειγμα. Στη συνέχεια διατυπώνουν μόνοι τους το συμπέρασμα ή διαβάζουν το συμπέρασμα από το σχολικό βιβλίο. Ο μετασχηματισμός ταυτότητας μιας έκφρασης είναι η αντικατάσταση μιας δεδομένης έκφρασης από μια άλλη, η τιμή της οποίας είναι ίση με την τιμή της δεδομένης έκφρασης. Οι μαθητές εκτελούν τέτοιους μετασχηματισμούς παραστάσεων, με βάση τις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων και τις συνέπειες που προκύπτουν από αυτές (πώς να προσθέσετε ένα άθροισμα σε έναν αριθμό, πώς να αφαιρέσετε έναν αριθμό από ένα άθροισμα, πώς να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα γινόμενο κ.λπ. ). Κατά τη μελέτη κάθε ιδιότητας, οι μαθητές είναι πεπεισμένοι ότι σε εκφράσεις ενός συγκεκριμένου τύπου, οι ενέργειες μπορούν να εκτελεστούν με διαφορετικούς τρόπους, αλλά το νόημα της έκφρασης δεν αλλάζει.

2. Οι αριθμητικές εκφράσεις από την αρχή θεωρούνται άρρηκτα συνδεδεμένες με αριθμητικά ίσα και άνισα. Οι αριθμητικές ισότητες και ανισότητες χωρίζονται σε ʼʼαληθέςʼʼ και ʼʼψευδέςʼʼ. Εργασίες: σύγκριση αριθμών, σύγκριση αριθμητικών παραστάσεων, επίλυση απλών ανισώσεων με έναν άγνωστο, μετάβαση από την ανισότητα στην ισότητα και από την ισότητα στην ανισότητα

1. Άσκηση με στόχο την αποσαφήνιση των γνώσεων των μαθητών για τις αριθμητικές πράξεις και την εφαρμογή τους. Κατά την εισαγωγή των μαθητών στις αριθμητικές πράξεις, συγκρίνεται μια έκφραση της μορφής 5 + 3 και 5-3. 8*2 και 8/2. Αρχικά, οι εκφράσεις συγκρίνονται βρίσκοντας τις τιμές καθεμιάς και συγκρίνοντας τους αριθμούς που προκύπτουν. Στο μέλλον, η εργασία εκτελείται με βάση ότι το άθροισμα δύο αριθμών είναι μεγαλύτερο από τη διαφορά τους και το γινόμενο είναι μεγαλύτερο από το πηλίκο τους. ο υπολογισμός χρησιμοποιείται μόνο για τον έλεγχο του αποτελέσματος. Η σύγκριση των εκφράσεων της μορφής 7 + 7 + 7 και 7 * 3 πραγματοποιείται για να εμπεδώσει τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με τη σχέση μεταξύ πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.

Στη διαδικασία της σύγκρισης, οι μαθητές εξοικειώνονται με τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις. Αρχικά, λαμβάνονται υπόψη οι εκφράσεις, το περιεχόμενο της αγκύλης, της μορφής 16 - (1 + 6).

2. Μετά από αυτό, εξετάζεται η σειρά των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες που περιέχουν ενέργειες μιας και δύο μοιρών. Οι μαθητές μαθαίνουν αυτές τις έννοιες κατά τη διαδικασία εκτέλεσης παραδειγμάτων. Πρώτον, λαμβάνεται υπόψη η σειρά των ενεργειών σε εκφράσεις που περιέχουν ενέργειες ενός σταδίου, για παράδειγμα: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Ταυτόχρονα, τα παιδιά πρέπει να μάθουν ότι εάν υπάρχουν μόνο πρόσθεση και αφαίρεση ή μόνο πολλαπλασιασμός και διαίρεση, τότε εκτελούνται με τη σειρά που γράφτηκαν. Στη συνέχεια, εισάγονται εκφράσεις που περιέχουν τις ενέργειες και των δύο βημάτων. Λέγεται στους μαθητές ότι σε τέτοιες εκφράσεις, πρέπει πρώτα να εκτελέσετε πολλαπλασιασμό και διαίρεση με τη σειρά και μετά πρόσθεση και αφαίρεση, για παράδειγμα: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Για να πειστούν οι μαθητές για τη σημασία της τήρησης της σειράς των ενεργειών, είναι χρήσιμο να τις εκτελέσετε με την ίδια έκφραση με διαφορετική σειρά και να συγκρίνουν τα αποτελέσματα.

3. Ασκήσεις, κατά τις οποίες οι μαθητές μαθαίνουν και εμπεδώνουν γνώσεις για τη σχέση μεταξύ των συνιστωσών και των αποτελεσμάτων των αριθμητικών πράξεων. Οʜᴎ περιλαμβάνονται ήδη κατά τη μελέτη των αριθμών του δέκα.

Σε αυτήν την ομάδα ασκήσεων, οι μαθητές εξοικειώνονται με περιπτώσεις αλλαγής των αποτελεσμάτων των ενεργειών με βάση μια αλλαγή σε ένα από τα συστατικά. Συγκρίνονται εκφράσεις στις οποίες ένας από τους όρους αλλάζει (6 + 3 και 6 + 4) ή ο μειωμένος 8-2 και 9-2 κ.λπ. Παρόμοιες εργασίες περιλαμβάνονται επίσης στη μελέτη του πίνακα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και εκτελούνται χρησιμοποιώντας υπολογισμούς (5 * 3 και 6 * 3, 16:2 και 18:2) κ.λπ. Στο μέλλον, μπορείτε να συγκρίνετε αυτές τις εκφράσεις χωρίς να βασίζεστε σε υπολογισμούς.

Οι ασκήσεις που εξετάζονται συνδέονται στενά με το υλικό του προγράμματος και συμβάλλουν στην αφομοίωσή του. Μαζί με αυτό, κατά τη διαδικασία σύγκρισης αριθμών και εκφράσεων, οι μαθητές λαμβάνουν τις πρώτες ιδέες για την ισότητα και την ανισότητα.

Έτσι, στην τάξη 1, όπου οι όροι "ισότητα" και "ανισότητα" δεν χρησιμοποιούνται ακόμη, ο δάσκαλος μπορεί να κάνει ερωτήσεις με την ακόλουθη μορφή κατά τον έλεγχο της ορθότητας των υπολογισμών που έκαναν τα παιδιά: ʼʼΗ Κόλια πρόσθεσε οκτώ στα έξι και πήρε 15. Είναι αυτή η λύση σωστό ή λάθος;ʼʼ, ή προσφέρετε ασκήσεις για παιδιά στις οποίες πρέπει να ελέγξετε τη λύση αυτών των παραδειγμάτων, να βρείτε τις σωστές καταχωρήσεις κ.λπ. Ομοίως, κατά την εξέταση αριθμητικές ανισώσειςτύπος 5<6,8>4 ή πιο σύνθετη, ο δάσκαλος μπορεί να κάνει μια ερώτηση με αυτή τη μορφή: `ʼΕίναι σωστές αυτές οι εγγραφές;ʼʼ, και μετά την εισαγωγή μιας ανισότητας - ʼʼΕίναι σωστές αυτές οι ανισότητες;ʼʼ.

Ξεκινώντας από την 1η τάξη, τα παιδιά εξοικειώνονται με τις μεταμορφώσεις αριθμητικές εκφράσεις, που πραγματοποιείται με βάση την εφαρμογή των μελετηθέντων στοιχείων της αριθμητικής θεωρίας (αρίθμηση, νόημα πράξεων κ.λπ.). Για παράδειγμα, με βάση τη γνώση της αρίθμησης, τη σύνθεση των bit των αριθμών, οι μαθητές μπορούν να αναπαραστήσουν οποιονδήποτε αριθμό ως άθροισμα των όρων του bit. Αυτή η ικανότητα χρησιμοποιείται όταν εξετάζεται ο μετασχηματισμός των εκφράσεων σε σχέση με την έκφραση πολλών υπολογιστικών τεχνασμάτων.

Σε σχέση με τέτοιους μετασχηματισμούς, ήδη στην 1η δημοτικού, τα παιδιά συναντούν μια ʼʼαλυσίδαʼʼ ισοτήτων.

Διάλεξη 8. Μέθοδοι μελέτης αλγεβρικού υλικού. - έννοια και τύποι. Ταξινόμηση και χαρακτηριστικά της κατηγορίας «Διάλεξη 8. Μέθοδοι μελέτης αλγεβρικού υλικού». 2017, 2018.

1.1. Γενικά θέματαμέθοδοι μελέτης αλγεβρικού υλικού.

1.2. Μεθοδολογία μελέτης αριθμητικών παραστάσεων.

1.3. Η μελέτη των κυριολεκτικών εκφράσεων.

1.4. Η μελέτη των αριθμητικών ισοτήτων και ανισώσεων.

1.5. Τεχνική μελέτης εξισώσεων.

1.6. Η επίλυση είναι απλή αριθμητικά προβλήματαγράφοντας εξισώσεις.

1.1. Γενικά ερωτήματα μεθοδολογίας μελέτης αλγεβρικού υλικού

Η εισαγωγή του αλγεβρικού υλικού στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών καθιστά δυνατή την προετοιμασία των μαθητών για τη μελέτη των βασικών εννοιών των σύγχρονων μαθηματικών (μεταβλητή, εξίσωση, ισότητα, ανισότητα κ.λπ.), συμβάλλει στη γενίκευση της αριθμητικής γνώσης και σχηματισμός λειτουργικής σκέψης στα παιδιά.

Οι μαθητές του δημοτικού σχολείου θα πρέπει να λαμβάνουν αρχικές πληροφορίες σχετικά με μαθηματικές εκφράσεις, αριθμητικές ισότητες και ανισότητες, να μάθουν πώς να λύνουν τις εξισώσεις που παρέχονται διδακτέα ύληκαι απλά αριθμητικά προβλήματα διατυπώνοντας μια εξίσωση ( θεωρητικό υπόβαθροεπιλογή μιας αριθμητικής πράξης στην οποία η σχέση μεταξύ των συνιστωσών και του αποτελέσματος της αντίστοιχης αριθμητικής πράξης0.

Η μελέτη του αλγεβρικού υλικού πραγματοποιείται σε στενή σύνδεση με το αριθμητικό υλικό.

1.2. Μεθοδολογία μελέτης αριθμητικών παραστάσεων

Στα μαθηματικά, μια έκφραση νοείται ως μια ακολουθία μαθηματικών συμβόλων που χτίζονται σύμφωνα με ορισμένους κανόνες, που δηλώνουν αριθμούς και πράξεις σε αυτούς.

Εκφράσεις όπως: 6; 3+2; 8:4+(7-3) - αριθμητικές εκφράσεις. τύπος: 8-a; 30:in; 5+(3+s) - κυριολεκτικές εκφράσεις (εκφράσεις με μεταβλητή).

Τα καθήκοντα της μελέτης του θέματος

2) Να εξοικειωθούν οι μαθητές με τους κανόνες για τη σειρά εκτέλεσης των αριθμητικών πράξεων.

3) Μάθετε να βρίσκετε αριθμητικές τιμέςεκφράσεις.

4) Εξοικειωθείτε με πανομοιότυπους μετασχηματισμούς παραστάσεων με βάση τις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων.

Η επίλυση των εργασιών που έχουν τεθεί πραγματοποιείται καθ' όλη τη διάρκεια της εκπαίδευσης στις δημοτικές τάξεις, ξεκινώντας από τις πρώτες ημέρες παραμονής του παιδιού στο σχολείο.

Η μεθοδολογία για την εργασία σε αριθμητικές εκφράσεις προβλέπει τρία στάδια: στο πρώτο στάδιο - το σχηματισμό εννοιών για τις απλούστερες εκφράσεις (άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο δύο αριθμών). στο δεύτερο στάδιο - για εκφράσεις που περιέχουν δύο ή περισσότερες αριθμητικές πράξεις ενός σταδίου. στο τρίτο στάδιο - για εκφράσεις που περιέχουν δύο ή περισσότερες αριθμητικές πράξεις διαφορετικών επιπέδων.

Με τις απλούστερες εκφράσεις - άθροισμα και διαφορά - οι μαθητές εισάγονται στην Α' τάξη (σύμφωνα με το πρόγραμμα 1-4) με το προϊόν και η ιδιωτική - στη Β' τάξη (με τον όρο "εργασία" - στη Β' τάξη, με τον όρο "ιδιωτικό" - στην τρίτη τάξη).

Εξετάστε τη μέθοδο μελέτης αριθμητικών παραστάσεων.

Όταν εκτελούν πράξεις σε σύνολα, τα παιδιά, πρώτα απ 'όλα, μαθαίνουν τη συγκεκριμένη έννοια της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, επομένως, σε καταχωρήσεις όπως 3 + 2, 7-1, τα σημάδια δράσης γίνονται αντιληπτά από αυτά ως σύντομος προσδιορισμόςτις λέξεις «προσθέστε», «αφαιρέστε» (προσθέστε 2 σε 3). Στο μέλλον, οι έννοιες των ενεργειών βαθαίνουν: οι μαθητές μαθαίνουν ότι προσθέτοντας (αφαιρώντας) μερικές μονάδες, αυξάνουμε (μειώνουμε) τον αριθμό κατά τον ίδιο αριθμό μονάδων (διαβάζοντας: 3 αυξάνονται κατά 2), τότε τα παιδιά θα μάθουν όνομα των συμβόλων συν (ανάγνωση: 3 συν 2), "μείον".

Στο θέμα «Πρόσθεση και αφαίρεση εντός 20», τα παιδιά εισάγονται στις έννοιες «άθροισμα», «διαφορά» ως ονόματα μαθηματικών παραστάσεων και ως όνομα του αποτελέσματος των αριθμητικών πράξεων πρόσθεσης και αφαίρεσης.

Σκεφτείτε ένα απόσπασμα του μαθήματος (βαθμός 2).

Συνδέστε 4 κόκκινους και 3 κίτρινους κύκλους στον πίνακα χρησιμοποιώντας νερό:

OOOO OOO

Πόσοι κόκκινοι κύκλοι; (Γράψε τον αριθμό 4.)

Πως κίτρινοι κύκλοι? (Γράψε τον αριθμό 3.)

Ποια ενέργεια πρέπει να γίνει στους γραμμένους αριθμούς 3 και 4 για να μάθουμε πόσοι κόκκινοι και πόσοι κίτρινοι κύκλοι είναι μαζί; (εμφανίζεται η εγγραφή: 4+3).

Πες μου, χωρίς να μετρήσω πόσοι κύκλοι υπάρχουν;

Μια τέτοια έκφραση στα μαθηματικά, όταν υπάρχει σύμβολο «+» μεταξύ των αριθμών, ονομάζεται άθροισμα (Ας πούμε μαζί: άθροισμα) και διαβάζεται ως εξής: το άθροισμα των τεσσάρων και των τριών.

Τώρα ας μάθουμε με τι ισούται το άθροισμα των αριθμών 4 και 3 (δίνουμε μια πλήρη απάντηση).

Το ίδιο και για τη διαφορά.

Όταν μελετάμε πρόσθεση και αφαίρεση εντός 10, εκφράσεις που αποτελούνται από 3 ή περισσότερους αριθμούς που συνδέονται με τον ίδιο και διαφορετικά σημάδιααριθμητικές πράξεις: 3+1+2, 4-1-1, 7-4+3 κ.λπ. Αποκαλύπτοντας το νόημα τέτοιων εκφράσεων, ο δάσκαλος δείχνει πώς να τις διαβάζει. Υπολογίζοντας τις τιμές αυτών των παραστάσεων, τα παιδιά πρακτικά κατακτούν τον κανόνα σχετικά με τη σειρά των αριθμητικών πράξεων σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες, αν και δεν τον διατυπώνουν: 10-3+2=7+2=9. Τέτοιες εγγραφές είναι το πρώτο βήμα για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών.

Η μεθοδολογία εξοικείωσης με εκφράσεις με παρενθέσεις μπορεί να είναι διαφορετική (Περιγράψτε ένα κομμάτι του μαθήματος στο τετράδιό σας, προετοιμαστείτε για πρακτικές ασκήσεις).

Η ικανότητα σύνθεσης και εύρεσης της έννοιας μιας έκφρασης χρησιμοποιείται από τα παιδιά στην επίλυση αριθμητικών προβλημάτων, ταυτόχρονα, εδώ κυριαρχείται περαιτέρω η έννοια της "έκφρασης", αφομοιώνεται η συγκεκριμένη έννοια των εκφράσεων στα αρχεία επίλυσης προβλημάτων.

Ενδιαφέρον παρουσιάζει το είδος της εργασίας που προτείνει ο Λετονός μεθοδολόγος Ya.Ya. Μεντζής.

Δίνεται ένα κείμενο, για παράδειγμα, ως εξής: "Το αγόρι είχε 24 ρούβλια, μια τούρτα κοστίζει 6 ρούβλια, μια καραμέλα 2 ρούβλια", προτείνεται:

α) Κάντε κάθε είδους εκφράσεις σε αυτό το κείμενο και εξηγήστε τι δείχνουν·

β) εξηγήστε τι δείχνουν οι εκφράσεις:

2 κύτταρα 3 κύτταρα

24-2 24-(6+2) 24:6 24-6 3

Στον βαθμό 3, μαζί με τις εκφράσεις που συζητήθηκαν προηγουμένως, περιλαμβάνουν εκφράσεις που αποτελούνται από δύο απλές εκφράσεις (37+6) - (42+1), καθώς και που αποτελούνται από έναν αριθμό και ένα γινόμενο ή ένα πηλίκο δύο αριθμών. Για παράδειγμα: 75-50:25+2. Όπου η σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες δεν ταιριάζει με τη σειρά με την οποία γράφτηκαν, χρησιμοποιούνται αγκύλες: 16-6:(8-5). Τα παιδιά πρέπει να μάθουν να διαβάζουν και να γράφουν σωστά αυτές τις εκφράσεις, να βρίσκουν το νόημά τους.

Οι όροι «έκφραση», «τιμή έκφρασης» εισάγονται χωρίς ορισμούς. Για να διευκολύνουν τα παιδιά να διαβάζουν και να βρίσκουν το νόημα σύνθετων εκφράσεων, οι μεθοδολόγοι συνιστούν τη χρήση ενός σχήματος που συντάσσεται συλλογικά και χρησιμοποιείται κατά την ανάγνωση εκφράσεων:

1) Θα καθορίσω ποια ενέργεια εκτελείται τελευταία.

2) Θα σκεφτώ πώς καλούνται οι αριθμοί κατά την εκτέλεση αυτής της ενέργειας.

3) Θα διαβάσω πώς εκφράζονται αυτοί οι αριθμοί.

Οι κανόνες για τη σειρά των ενεργειών σε σύνθετες εκφράσεις μελετώνται στην 3η τάξη, αλλά τα παιδιά χρησιμοποιούν πρακτικά κάποιους από αυτούς στην πρώτη και τη δεύτερη τάξη.

Ο πρώτος είναι ο κανόνας για τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες, όταν οι αριθμοί είναι είτε μόνο πρόσθεση και αφαίρεση, είτε πολλαπλασιασμός και διαίρεση (3 cl.). Σκοπός της εργασίας σε αυτό το στάδιο είναι, με βάση τις πρακτικές δεξιότητες των μαθητών που έχουν αποκτήσει νωρίτερα, να δοθεί προσοχή στη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε τέτοιες εκφράσεις και να διατυπωθεί ένας κανόνας.

Οδηγώντας τα παιδιά στη διατύπωση του κανόνα, η κατανόησή του μπορεί να είναι διαφορετική. Η κύρια εξάρτηση στην υπάρχουσα εμπειρία, η μέγιστη δυνατή ανεξαρτησία, η δημιουργία μιας κατάστασης αναζήτησης και ανακάλυψης, στοιχεία.

Μπορεί να χρησιμοποιηθεί μεθοδική τεχνικήΗ Sh.A. Amonashvili «λάθος δασκάλου».

Για παράδειγμα. Ο δάσκαλος αναφέρει ότι όταν βρήκε το νόημα των παρακάτω εκφράσεων πήρε απαντήσεις, για την ορθότητα των οποίων είναι σίγουρος (οι απαντήσεις είναι κλειστές).

36:2 6=6 κ.λπ.

Καλεί τα παιδιά να βρουν τα ίδια τα νοήματα των εκφράσεων και στη συνέχεια να συγκρίνουν τις απαντήσεις με τις απαντήσεις που έλαβε ο δάσκαλος (σε αυτό το σημείο αποκαλύπτονται τα αποτελέσματα των αριθμητικών πράξεων). Τα παιδιά αποδεικνύουν ότι ο δάσκαλος έκανε λάθη και, με βάση τη μελέτη συγκεκριμένων γεγονότων, διατυπώνουν έναν κανόνα (βλ. εγχειρίδιο μαθηματικών, τάξη 3).

Ομοίως, μπορείτε να εισαγάγετε τους υπόλοιπους κανόνες για τη σειρά των ενεργειών: όταν οι εκφράσεις χωρίς αγκύλες περιέχουν ενέργειες του 1ου και 2ου σταδίου, σε εκφράσεις με αγκύλες. Είναι σημαντικό τα παιδιά να συνειδητοποιήσουν ότι η αλλαγή της σειράς εκτέλεσης αριθμητικών πράξεων οδηγεί σε αλλαγή του αποτελέσματος, σε σχέση με το οποίο οι μαθηματικοί αποφάσισαν να συμφωνήσουν και να διατυπώσουν κανόνες που πρέπει να τηρούνται αυστηρά.

Η μετατροπή έκφρασης είναι η αντικατάσταση μιας δεδομένης παράστασης με μια άλλη με την ίδια αριθμητική τιμή.Οι μαθητές εκτελούν τέτοιους μετασχηματισμούς παραστάσεων, με βάση τις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων και τις συνέπειές τους (, σελ. 249-250).

Μελετώντας κάθε ιδιότητα οι μαθητές πείθονται ότι στις εκφράσεις ένα ορισμένο είδοςμπορείτε να εκτελέσετε ενέργειες με διαφορετικούς τρόπους, αλλά την αξία της έκφρασης δεν αλλάζει. Στο μέλλον, οι μαθητές εφαρμόζουν τη γνώση των ιδιοτήτων των ενεργειών για να μετατρέψουν τις συγκεκριμένες εκφράσεις σε πανομοιότυπες εκφράσεις. Για παράδειγμα, προσφέρονται εργασίες της φόρμας: συνεχίστε την εγγραφή έτσι ώστε να διατηρηθεί το σύμβολο "=":

76-(20 + 4) =76-20... (10 + 7) -5= 10-5...

60: (2 10) =60:10...

Κατά την ολοκλήρωση της πρώτης εργασίας, οι μαθητές συλλογίζονται ως εξής: στα αριστερά, το άθροισμα των αριθμών 20 και 4 αφαιρείται από το 76 , στα δεξιά, το 20 αφαιρέθηκε από το 76. Για να πάρουμε το ίδιο ποσό στα δεξιά όπως στα αριστερά, πρέπει να αφαιρέσουμε άλλα 4 στα δεξιά.Ομοίως μετασχηματίζονται και άλλες εκφράσεις, δηλαδή μετά την ανάγνωση της παράστασης ο μαθητής θυμάται τον αντίστοιχο κανόνα. Και, εκτελώντας ενέργειες σύμφωνα με τον κανόνα, λαμβάνει τη μετασχηματισμένη έκφραση. Για να βεβαιωθούν ότι η μετατροπή είναι σωστή, τα παιδιά υπολογίζουν τις τιμές των παραστάσεων που δίνονται και μετατρέπονται και τις συγκρίνουν.

Εφαρμογή γνώσης των ιδιοτήτων των ενεργειών για την τεκμηρίωση υπολογιστικών τεχνικών, μαθητές I-IVοι τάξεις εκτελούν μετασχηματισμούς εκφράσεων της μορφής:

72:3= (60+12):3 = 60:3+12:3 = 24 1830= 18(310) = (183) 10=540

Είναι επίσης απαραίτητο εδώ οι μαθητές όχι μόνο να εξηγούν με βάση το τι λαμβάνουν κάθε επόμενη έκφραση, αλλά και να κατανοούν ότι όλες αυτές οι εκφράσεις συνδέονται με το σύμβολο «=», επειδή έχουν την ίδια σημασία. Για να γίνει αυτό, περιστασιακά θα πρέπει να προσφέρετε στα παιδιά να υπολογίσουν τις τιμές των εκφράσεων και να τις συγκρίνουν. Αυτό αποτρέπει σφάλματα όπως: 75 - 30 = 70 - 30 = 40+5 = 45, 24 12= (10 + 2) =24 10+24 2 = 288.

Οι μαθητές των τάξεων II-IV εκτελούν τον μετασχηματισμό των εκφράσεων όχι μόνο με βάση τις ιδιότητες της δράσης, αλλά και με βάση τη συγκεκριμένη σημασία τους. Για παράδειγμα, το άθροισμα των πανομοιότυπων όρων αντικαθίσταται από το γινόμενο: (6+ 6 + 6 = 6 3, και αντίστροφα: 9 4 = = 9 + 9 + 9 + 9). Με βάση επίσης το νόημα της δράσης του πολλαπλασιασμού, μετατρέπονται πιο σύνθετες εκφράσεις: 8 4 + 8 = 8 5, 7 6-7 = 7 5.

Με βάση υπολογισμούς και ανάλυση ειδικά επιλεγμένων παραστάσεων, οι μαθητές της τάξης IV οδηγούνται στο συμπέρασμα ότι εάν οι αγκύλες σε εκφράσεις με αγκύλες δεν επηρεάζουν τη σειρά των ενεργειών, τότε μπορούν να παραληφθούν. Στο μέλλον, χρησιμοποιώντας τις μαθημένες ιδιότητες των ενεργειών και τους κανόνες για τη σειρά των ενεργειών, οι μαθητές εξασκούνται στη μετατροπή εκφράσεων με αγκύλες σε εκφράσεις που είναι πανομοιότυπες με αυτές χωρίς αγκύλες. Για παράδειγμα, προτείνεται να γραφτούν αυτές οι εκφράσεις χωρίς αγκύλες ώστε να μην αλλάξουν οι τιμές τους:

(65 + 30)-20 (20 + 4) 3

96 - (16 + 30) (40 + 24): 4

Έτσι, τα παιδιά αντικαθιστούν την πρώτη από τις εκφράσεις που δίνονται με τις εκφράσεις: 65 + 30-20, 65-20 + 30, εξηγώντας τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε αυτές. Με αυτόν τον τρόπο, οι μαθητές φροντίζουν ώστε το νόημα της έκφρασης να μην αλλάζει όταν αλλάζουν τη σειρά των ενεργειών μόνο εάν εφαρμόζονται οι ιδιότητες των ενεργειών σε αυτήν την περίπτωση.

Διάλεξη 7

1. Μεθοδολογία για την εξέταση στοιχείων της άλγεβρας.

2. Αριθμητικές ισότητες και ανισότητες.

3. Προετοιμασία για εξοικείωση με τη μεταβλητή. Στοιχεία αλφαβητικών συμβόλων.

4. Ανισότητες με μεταβλητή.

5. Εξίσωση

1. Η εισαγωγή στοιχείων άλγεβρας στο αρχικό μάθημα των μαθηματικών επιτρέπει από την αρχή της εκπαίδευσης να διεξάγει συστηματική εργασία με στόχο τη διαμόρφωση στα παιδιά τέτοιων σημαντικών μαθηματικών εννοιών όπως: έκφραση, ισότητα, ανισότητα, εξίσωση. Η εξοικείωση με τη χρήση ενός γράμματος ως συμβόλου που υποδηλώνει οποιονδήποτε αριθμό από την περιοχή των αριθμών που είναι γνωστή στα παιδιά δημιουργεί τις προϋποθέσεις για τη γενίκευση πολλών ερωτήσεων της αριθμητικής θεωρίας στο αρχικό μάθημα, είναι μια καλή προετοιμασία για την εισαγωγή των παιδιών στο μέλλον σε έννοιες σε μεταβλητές συναρτήσεις. Μια προηγούμενη γνωριμία με τη χρήση της αλγεβρικής μεθόδου επίλυσης προβλημάτων καθιστά δυνατή την πραγματοποίηση σοβαρών βελτιώσεων σε ολόκληρο το σύστημα διδασκαλίας των παιδιών για την επίλυση διαφόρων προβλημάτων κειμένου.

Καθήκοντα: 1. Να διαμορφώσει την ικανότητα των μαθητών στην ανάγνωση, τη γραφή και τη σύγκριση αριθμητικών παραστάσεων.2. Να εξοικειώσει τους μαθητές με τους κανόνες για την εκτέλεση της σειράς των ενεργειών σε αριθμητικές παραστάσεις και να αναπτύξει την ικανότητα υπολογισμού των τιμών των παραστάσεων σύμφωνα με αυτούς τους κανόνες.3. Για να διαμορφώσετε την ικανότητα ανάγνωσης των μαθητών, να γράψετε κυριολεκτικές εκφράσεις και να υπολογίσετε τις τιμές τους για δεδομένες τιμές γραμμάτων.4. Να εξοικειώσει τους μαθητές με εξισώσεις 1ου βαθμού, που περιέχουν τις ενέργειες του πρώτου και του δεύτερου σταδίου, να σχηματίσουν την ικανότητα επίλυσής τους με τη μέθοδο επιλογής, καθώς και με βάση τη γνώση της σχέσης μεταξύ των συνιστωσών m / y και αποτέλεσμα αριθμητικών πράξεων.

Το πρόγραμμα του δημοτικού σχολείου προβλέπει τη γνωριμία των μαθητών με τη χρήση αλφαβητικών συμβόλων, λύσεις στοιχειωδών εξισώσεων πρώτου βαθμού με ένα άγνωστο και τις εφαρμογές τους σε προβλήματα σε μία ενέργεια. Τα ζητήματα αυτά μελετώνται σε στενή σχέση με το αριθμητικό υλικό, το οποίο συμβάλλει στο σχηματισμό αριθμών και αριθμητικών πράξεων.

Από τις πρώτες μέρες της εκπαίδευσης ξεκινά η εργασία για τη διαμόρφωση των εννοιών της ισότητας μεταξύ των μαθητών. Αρχικά τα παιδιά μαθαίνουν να συγκρίνουν πολλά αντικείμενα, να εξισώνουν άνισες ομάδες, να μετατρέπουν ίσες ομάδες σε άνισες. Ήδη όταν μελετάτε μια ντουζίνα αριθμούς, εισάγονται ασκήσεις σύγκρισης. Πρώτον, εκτελούνται με βάση αντικείμενα.

Η έννοια της έκφρασης διαμορφώνεται στους νεότερους μαθητές σε στενή σύνδεση με τις έννοιες των αριθμητικών πράξεων. Υπάρχουν δύο στάδια στη μέθοδο εργασίας στις εκφράσεις. Στο 1-σχηματίζεται η έννοια των απλούστερων παραστάσεων (άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο δύο αριθμών) και στο 2-των μιγαδικών (το άθροισμα ενός γινομένου και ενός αριθμού, η διαφορά δύο πηλίκων κ.λπ.) . Εισάγονται οι όροι «μαθηματική έκφραση» και «αξία μαθηματικής έκφρασης» (χωρίς ορισμούς). Αφού γράψει πολλά παραδείγματα σε μία ενέργεια, ο δάσκαλος αναφέρει ότι αυτά τα παραδείγματα ονομάζονται αλλιώς μεταμαθηματικές εκφράσεις. Κατά τη μελέτη αριθμητικών πράξεων, περιλαμβάνονται ασκήσεις σύγκρισης εκφράσεων, χωρίζονται σε 3 ομάδες. Εκμάθηση του Κανονισμού. Στόχος σε αυτό το στάδιο είναι, με βάση τις πρακτικές δεξιότητες των μαθητών, να επιστήσει την προσοχή τους στη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε τέτοιες εκφράσεις και να διατυπωθεί ο αντίστοιχος κανόνας. Οι μαθητές λύνουν ανεξάρτητα τα παραδείγματα που επέλεξε ο δάσκαλος και εξηγούν με ποια σειρά έκαναν τις ενέργειες σε κάθε παράδειγμα. Στη συνέχεια διατυπώνουν μόνοι τους το συμπέρασμα ή διαβάζουν το συμπέρασμα από το σχολικό βιβλίο. Ο μετασχηματισμός ταυτότητας μιας έκφρασης είναι η αντικατάσταση μιας δεδομένης έκφρασης από μια άλλη, η τιμή της οποίας είναι ίση με την τιμή της δεδομένης έκφρασης. Οι μαθητές εκτελούν τέτοιους μετασχηματισμούς παραστάσεων, με βάση τις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων και τις συνέπειες που προκύπτουν από αυτές (πώς να προσθέσετε ένα άθροισμα σε έναν αριθμό, πώς να αφαιρέσετε έναν αριθμό από ένα άθροισμα, πώς να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό με ένα γινόμενο κ.λπ. ). Κατά τη μελέτη κάθε ιδιότητας, οι μαθητές είναι πεπεισμένοι ότι σε εκφράσεις ενός συγκεκριμένου τύπου, οι ενέργειες μπορούν να εκτελεστούν με διαφορετικούς τρόπους, αλλά το νόημα της έκφρασης δεν αλλάζει.

2. Οι αριθμητικές εκφράσεις από την αρχή θεωρούνται άρρηκτα συνδεδεμένες με αριθμητικά ίσα και άνισα. Οι αριθμητικές ισότητες και ανισότητες χωρίζονται σε «αληθινές» και «ψευδείς». Εργασίες: σύγκριση αριθμών, σύγκριση αριθμητικών παραστάσεων, επίλυση απλών ανισώσεων με έναν άγνωστο, μετάβαση από την ανισότητα στην ισότητα και από την ισότητα στην ανισότητα

1. Άσκηση με στόχο την αποσαφήνιση των γνώσεων των μαθητών για τις αριθμητικές πράξεις και την εφαρμογή τους. Κατά την εισαγωγή των μαθητών στις αριθμητικές πράξεις, συγκρίνεται μια έκφραση της μορφής 5 + 3 και 5-3. 8*2 και 8/2. Αρχικά, οι εκφράσεις συγκρίνονται βρίσκοντας τις τιμές καθεμιάς και συγκρίνοντας τους αριθμούς που προκύπτουν. Στο μέλλον, η εργασία εκτελείται με βάση ότι το άθροισμα δύο αριθμών είναι μεγαλύτερο από τη διαφορά τους και το γινόμενο είναι μεγαλύτερο από το πηλίκο τους. ο υπολογισμός χρησιμοποιείται μόνο για τον έλεγχο του αποτελέσματος. Η σύγκριση των εκφράσεων της μορφής 7 + 7 + 7 και 7 * 3 πραγματοποιείται για να εμπεδώσει τις γνώσεις των μαθητών σχετικά με τη σχέση μεταξύ πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.

Στη διαδικασία της σύγκρισης, οι μαθητές εξοικειώνονται με τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι αριθμητικές πράξεις. Αρχικά, λαμβάνονται υπόψη οι εκφράσεις, το περιεχόμενο της αγκύλης, της μορφής 16 - (1 + 6).

2. Μετά από αυτό, εξετάζεται η σειρά των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες που περιέχουν ενέργειες μιας και δύο μοιρών. Οι μαθητές μαθαίνουν αυτές τις έννοιες κατά τη διαδικασία εκτέλεσης παραδειγμάτων. Πρώτον, λαμβάνεται υπόψη η σειρά των ενεργειών σε εκφράσεις που περιέχουν ενέργειες ενός σταδίου, για παράδειγμα: 23 + 7 - 4, 70: 7 * 3. Ταυτόχρονα, τα παιδιά πρέπει να μάθουν ότι εάν υπάρχουν μόνο πρόσθεση και αφαίρεση ή μόνο πολλαπλασιασμός και διαίρεση, στη συνέχεια εκτελούνται με τη σειρά που γράφτηκαν. Στη συνέχεια εισάγονται εκφράσεις που περιέχουν τις ενέργειες και των δύο σταδίων. Λέγεται στους μαθητές ότι σε τέτοιες εκφράσεις, πρέπει πρώτα να γίνει πολλαπλασιασμός και διαίρεση με τη σειρά και μετά πρόσθεση και αφαίρεση, για παράδειγμα: 21/3+4*2=7+8=15; 16+5*4=16+20=36. Για να πειστούν οι μαθητές για την ανάγκη να ακολουθήσουν τη σειρά των ενεργειών, είναι χρήσιμο να τις εκτελούν με την ίδια έκφραση με διαφορετική σειρά και να συγκρίνουν τα αποτελέσματα.

3. Ασκήσεις, κατά τις οποίες οι μαθητές μαθαίνουν και εμπεδώνουν γνώσεις για τη σχέση μεταξύ των συνιστωσών και των αποτελεσμάτων των αριθμητικών πράξεων. Περιλαμβάνονται ήδη κατά τη μελέτη των αριθμών του δέκα.

Σε αυτήν την ομάδα ασκήσεων, οι μαθητές εξοικειώνονται με περιπτώσεις αλλαγής των αποτελεσμάτων των ενεργειών ανάλογα με μια αλλαγή σε ένα από τα συστατικά. Συγκρίνονται εκφράσεις στις οποίες ένας από τους όρους αλλάζει (6 + 3 και 6 + 4) ή ο μειωμένος 8-2 και 9-2 κ.λπ. Παρόμοιες εργασίες περιλαμβάνονται επίσης στη μελέτη του πίνακα πολλαπλασιασμού και διαίρεσης και εκτελούνται χρησιμοποιώντας υπολογισμούς (5 * 3 και 6 * 3, 16:2 και 18:2) κ.λπ. Στο μέλλον, μπορείτε να συγκρίνετε αυτές τις εκφράσεις χωρίς να βασίζεστε σε υπολογισμούς.

Οι ασκήσεις που εξετάζονται συνδέονται στενά με το υλικό του προγράμματος και συμβάλλουν στην αφομοίωσή του. Μαζί με αυτό, κατά τη διαδικασία σύγκρισης αριθμών και εκφράσεων, οι μαθητές λαμβάνουν τις πρώτες ιδέες για την ισότητα και την ανισότητα.

Έτσι, στην 1η τάξη, όπου οι όροι "ισότητα" και "ανισότητα" δεν χρησιμοποιούνται ακόμη, ο δάσκαλος μπορεί, όταν ελέγχει την ορθότητα των υπολογισμών που πραγματοποιούν τα παιδιά, να κάνει ερωτήσεις με την ακόλουθη μορφή: "Η Κόλια πρόσθεσε οκτώ στο έξι και πήρε 15. Είναι αυτή η λύση σωστή ή λανθασμένη;» ή προσφέρετε στα παιδιά ασκήσεις στις οποίες πρέπει να ελέγξετε τη λύση αυτών των παραδειγμάτων, να βρείτε τις σωστές καταχωρήσεις κ.λπ. Ομοίως, όταν εξετάζουμε αριθμητικές ανισώσεις της μορφής 5<6,8>4 ή πιο πολύπλοκο, ο δάσκαλος μπορεί να κάνει μια ερώτηση με αυτή τη μορφή: «Είναι σωστές αυτές οι εγγραφές;», Και μετά την εισαγωγή μιας ανισότητας, «Είναι αληθείς αυτές οι ανισότητες;».

Ξεκινώντας από την τάξη 1, τα παιδιά εξοικειώνονται επίσης με τους μετασχηματισμούς των αριθμητικών παραστάσεων, που εκτελούνται με βάση τη χρήση των μελετημένων στοιχείων της αριθμητικής θεωρίας (αρίθμηση, το νόημα των ενεργειών κ.λπ.). Για παράδειγμα, με βάση τη γνώση της αρίθμησης, τη σύνθεση bit των αριθμών, οι μαθητές μπορούν να αναπαραστήσουν οποιονδήποτε αριθμό ως το άθροισμα των όρων του bit. Αυτή η ικανότητα χρησιμοποιείται όταν εξετάζεται ο μετασχηματισμός των εκφράσεων σε σχέση με την έκφραση πολλών υπολογιστικών τεχνασμάτων.

Σε σχέση με τέτοιους μετασχηματισμούς, ήδη στην πρώτη τάξη, τα παιδιά συναντούν μια «αλυσίδα» ισοτήτων.

Στείλτε την καλή δουλειά σας στη βάση γνώσεων είναι απλή. Χρησιμοποιήστε την παρακάτω φόρμα

Καλή δουλειάστον ιστότοπο">

Φοιτητές, μεταπτυχιακοί φοιτητές, νέοι επιστήμονες που χρησιμοποιούν τη βάση γνώσεων στις σπουδές και την εργασία τους θα σας είναι πολύ ευγνώμονες.

Φιλοξενείται στο http://www.allbest.ru/

Μέθοδοι μελέτης αλγεβρικού υλικού

Διάλεξη 1. Μαθηματικές εκφράσεις

1.1 Εκμάθηση της έννοιας της «μαθηματικής έκφρασης»

Το αλγεβρικό υλικό μελετάται ξεκινώντας από τον βαθμό 1 σε στενή σύνδεση με αριθμητική και γεωμετρική ύλη. Η εισαγωγή στοιχείων άλγεβρας συμβάλλει στην επικοινωνία εννοιών για τον αριθμό, τις αριθμητικές πράξεις, τις μαθηματικές σχέσεις και ταυτόχρονα προετοιμάζει τα παιδιά για τη μελέτη της άλγεβρας στις ακόλουθες τάξεις.

Κύριος αλγεβρικές έννοιεςμάθημα είναι "ισότητα", "ανισότητα", "έκφραση", εξίσωση". Δεν υπάρχουν ορισμοί αυτών των εννοιών στο μάθημα των μαθηματικών της δημοτικής τάξης. Οι μαθητές κατανοούν αυτές τις έννοιες σε επίπεδο αναπαραστάσεων κατά τη διαδικασία εκτέλεσης ειδικά επιλεγμένων ασκήσεων .

Το πρόγραμμα μαθηματικών στις τάξεις 1-4 προβλέπει τη διδασκαλία των παιδιών να διαβάζουν και να γράφουν μαγματικές εκφράσεις: να εξοικειωθούν με τους κανόνες της σειράς με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες και να τους διδάξει πώς να τις χρησιμοποιούν στους υπολογισμούς, να εξοικειώσουν τους μαθητές με πανομοιότυπους μετασχηματισμούς εκφράσεις.

Κατά τη διαμόρφωση της έννοιας μιας μαθηματικής έκφρασης στα παιδιά, πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι το σύμβολο δράσης που τοποθετείται μεταξύ αριθμών έχει διπλή σημασία. από τη μία πλευρά, υποδηλώνει μια ενέργεια που πρέπει να εκτελεστεί σε αριθμούς (για παράδειγμα, 6 + 4 - προσθέστε 4). Από την άλλη πλευρά, το σύμβολο δράσης χρησιμεύει για να δηλώσει την έκφραση (6 + 4 είναι το άθροισμα των αριθμών 6 και 4).

Υπάρχουν δύο στάδια στη μέθοδο εργασίας στις εκφράσεις. Στην πρώτη από αυτές, σχηματίζεται η έννοια των απλούστερων εκφράσεων (άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο δύο αριθμών) και στη δεύτερη - σχετικά με τις σύνθετες (το άθροισμα των pro, των προϊόντων και των αριθμών, η διαφορά δύο πηλίκων , και τα λοιπά.).

Γνωριμία με την πρώτη έκφραση - το άθροισμα των δύο. Οι αριθμοί εμφανίζονται στον βαθμό 1 κατά τη μελέτη της πρόσθεσης στην αφαίρεση εντός 10. Εκτελώντας πράξεις σε σύνολα, τα παιδιά, πρώτα απ 'όλα, μαθαίνουν τη συγκεκριμένη έννοια της πρόσθεσης και της αφαίρεσης, επομένως, σε εγγραφές όπως 5 + 1, 6-2, γίνονται αντιληπτά σημάδια δράσης από αυτούς ως σύντομος προσδιορισμός των λέξεων «προσθέτω», «αφαιρώ». Αυτό αντικατοπτρίζεται στην ανάγνωση (προσθέτοντας 1 στο 5 ισούται με 6, αφαιρώντας 2 από 6 ίσον 4). Στο μέλλον, οι έννοιες αυτών των δράσεων εμβαθύνονται. Οι μαθητές θα μάθουν ότι προσθέτοντας μερικές μονάδες αυξάνουμε τον αριθμό κατά τον ίδιο αριθμό μονάδων και αφαιρώντας τον μειώνουμε κατά τον ίδιο αριθμό μονάδων. Αυτό αντικατοπτρίζεται επίσης στο νέα μορφήανάγνωση εγγραφών (4 αύξηση κατά 2 ισούται με 6, 7 μείωση κατά 2 ισούται με 5), Στη συνέχεια τα παιδιά μαθαίνουν τα ονόματα των ζωδίων δράσης: "συν", "πλην" και διαβάζουν παραδείγματα, ονομάζοντας τα σημάδια δράσης (4 + 2 = 6 , 7-3 = τέσσερα),

Έχοντας εξοικειωθεί με τα ονόματα των συστατικών και το αποτέλεσμα της πράξης πρόσθεσης, οι μαθητές χρησιμοποιούν τον όρο «άθροισμα» για να αναφερθούν στον αριθμό που είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης. Με βάση τη γνώση των παιδιών σχετικά με τα ονόματα των αριθμών επιπλέον, ο δάσκαλος εξηγεί ότι στα παραδείγματα πρόσθεσης, μια καταχώρηση που αποτελείται από δύο αριθμούς που συνδέονται με ένα πρόσημο ονομάζεται ίδια με τον αριθμό στην άλλη πλευρά του ίσου (9 άθροισμα "6 + 3 είναι επίσης ένα άθροισμα). Αυτό απεικονίζεται οπτικά ως εξής:

Για να μάθουν τα παιδιά τη νέα σημασία του όρου «άθροισμα» ως όνομα της έκφρασης, δίνονται οι ακόλουθες ασκήσεις: «Γράψτε το άθροισμα των αριθμών 7 και 2, υπολογίστε ποιο είναι το άθροισμα των αριθμών 3 και 4 είναι, διαβάστε το λήμμα (6 + 3), πείτε ποιο είναι το άθροισμα, αντικαταστήστε τον αριθμό είναι το άθροισμα των αριθμών (9= ?+?), συγκρίνετε τα αθροίσματα των αριθμών (6+3 και 6+2), πείτε ποιον είναι μεγαλύτερο, γράψτε το με το σύμβολο "μεγαλύτερο από" και διαβάστε το λήμμα." Κατά τη διαδικασία τέτοιων ασκήσεων, οι μαθητές συνειδητοποιούν σταδιακά τη διπλή σημασία του όρου "άθροισμα": για να γράψετε το άθροισμα των αριθμών, πρέπει να τους συνδέσετε με ένα σύμβολο συν. Για να βρείτε την τιμή του αθροίσματος, πρέπει να προσθέσετε τους δεδομένους αριθμούς.

Περίπου με τον ίδιο τρόπο εργασία σε εξέλιξηπάνω από τις παρακάτω εκφράσεις: διαφορά, γινόμενο και πηλίκο δύο αριθμών. Ωστόσο, τώρα καθένας από αυτούς τους όρους εισάγεται ταυτόχρονα και ως όνομα της έκφρασης και ως όνομα του αποτελέσματος της ενέργειας. Η ικανότητα ανάγνωσης και γραφής εκφράσεων, η εύρεση του νοήματός τους με τη βοήθεια της αντίστοιχης ενέργειας αναπτύσσεται στη διαδικασία επαναλαμβανόμενων ασκήσεων, παρόμοια με τις ασκήσεις με το άθροισμα.

Όταν μελετάτε πρόσθεση και αφαίρεση εντός 10, εκφράσεις που αποτελούνται από τρεις ή περισσότερους αριθμούς που συνδέονται με τον ίδιο ή διάφορα σημάδιαενέργειες της φόρμας: 3+1+1, 4-1-1, 2+2+2. Αξιολογώντας τις τιμές αυτών των εκφράσεων, τα παιδιά στις εκφράσεις μαθαίνουν τον κανόνα σχετικά με τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε εκφράσεις χωρίς παρένθεση, αν και δεν τον διατυπώνουν. Λίγο αργότερα, τα παιδιά διδάσκονται να μετασχηματίζουν εκφράσεις στη διαδικασία των υπολογισμών: για παράδειγμα: 7+5=3+5=8. Τέτοιες εγγραφές είναι το πρώτο βήμα για την εκτέλεση πανομοιότυπων μετασχηματισμών.

Γνωριμία των μαθητών της πρώτης τάξης με εκφράσεις της μορφής: 10 - (6 + 2), (7-4) + 5 κ.λπ. τους προετοιμάζει να μελετήσουν τους κανόνες για την πρόσθεση ενός αριθμού σε ένα άθροισμα, την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα κ.λπ., για να καταγράψουν τη λύση σύνθετων προβλημάτων και επίσης να συμβάλουν σε μια βαθύτερη αφομοίωση της έννοιας μιας έκφρασης.

Μεθοδολογία για την εισαγωγή των μαθητών στην έκφραση της φόρμας: 10+(6-2), (7+4)+5 κ.λπ. τους προετοιμάζει να μελετήσουν τους κανόνες για την πρόσθεση ενός αριθμού σε ένα άθροισμα, την αφαίρεση ενός αριθμού από ένα άθροισμα κ.λπ., για να καταγράψουν τη λύση σύνθετων προβλημάτων και επίσης να συμβάλουν σε μια βαθύτερη αφομοίωση της έννοιας μιας έκφρασης.

Η μέθοδος εξοικείωσης των μαθητών με την έκφραση της φόρμας: 10+(6-2), (5+3) -1 μπορεί να είναι διαφορετική. Μπορείτε να μάθετε αμέσως να διαβάζετε έτοιμες εκφράσεις κατ' αναλογία με το δείγμα και να υπολογίζετε τις τιμές των εκφράσεων, εξηγώντας την ακολουθία των ενεργειών. Ένας άλλος τρόπος εισαγωγής των παιδιών σε εκφράσεις αυτού του τύπου είναι επίσης δυνατός - η συλλογή αυτών των εκφράσεων από μαθητές από έναν δεδομένο αριθμό και την απλούστερη έκφραση.

Η ικανότητα σύνθεσης και εύρεσης της έννοιας των εκφράσεων χρησιμοποιείται από τους μαθητές στην επίλυση σύνθετων προβλημάτων, ταυτόχρονα, λαμβάνει χώρα περαιτέρω γνώση της έννοιας της έκφρασης, αφομοιώνεται η συγκεκριμένη έννοια των εκφράσεων στα αρχεία των λύσεων προβλημάτων. Μια άσκηση είναι χρήσιμη από αυτή την άποψη: η κατάσταση του προβλήματος δίνεται, για παράδειγμα, "Το αγόρι είχε 24 ρούβλια. Το παγωτό κοστίζει 12 ρούβλια και η καραμέλα κοστίζει 6 ρούβλια." Τα παιδιά πρέπει να εξηγήσουν τι δείχνουν οι παρακάτω εκφράσεις σε αυτήν την περίπτωση:

Στη Β’ τάξη εισάγονται οι όροι «μαθηματική έκφραση» και «τιμή έκφρασης» (χωρίς ορισμό). Αφού καταγράψει πολλά παραδείγματα σε μία ενέργεια, ο δάσκαλος αναφέρει ότι αυτά τα παραδείγματα ονομάζονται αλλιώς μαθηματικές εκφράσεις.

Με τις οδηγίες του δασκάλου, τα ίδια τα παιδιά συνθέτουν διάφορες εκφράσεις. Ο δάσκαλος προσφέρεται να υπολογίσει τα αποτελέσματα και εξηγεί ότι τα αποτελέσματα αλλιώς ονομάζονται τιμές μαθηματικών παραστάσεων. Στη συνέχεια εξετάζονται πιο σύνθετες μαθηματικές εκφράσεις.

Αργότερα, κατά την εκτέλεση διάφορες ασκήσειςπρώτα ο δάσκαλος και μετά τα παιδιά χρησιμοποιούν νέους όρους (γράψτε τις εκφράσεις, βρείτε το νόημα της έκφρασης, συγκρίνετε τις εκφράσεις κ.λπ.).

Στις σύνθετες εκφράσεις, τα σημάδια δράσης που συνδέουν απλές εκφράσεις έχουν επίσης διπλή σημασία, η οποία αποκαλύπτεται σταδιακά από τους μαθητές. Για παράδειγμα, στην έκφραση 20+(34-8), το σύμβολο "+" υποδηλώνει την ενέργεια που πρέπει να γίνει στον αριθμό 20 και τη διαφορά μεταξύ των αριθμών 34 και 8 (προσθέστε τη διαφορά μεταξύ των αριθμών 34 και 8 στο 20 ). Επιπλέον, το σύμβολο συν χρησιμεύει για να υποδεικνύει το άθροισμα - αυτή η έκφραση είναι το άθροισμα στο οποίο ο πρώτος όρος είναι 20 και ο δεύτερος όρος εκφράζεται ως η διαφορά μεταξύ των αριθμών 34 και 8.

Αφού τα παιδιά εξοικειωθούν στη δεύτερη τάξη με τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε σύνθετες εκφράσεις, αρχίζουν να σχηματίζουν τις έννοιες άθροισμα, διαφορά, γινόμενο, πηλίκο, στις οποίες δίνονται μεμονωμένα στοιχεία με εκφράσεις.

Στο μέλλον, στη διαδικασία επαναλαμβανόμενων ασκήσεων ανάγνωσης, σύνθεσης και γραφής εκφράσεων, οι μαθητές κατακτούν σταδιακά την ικανότητα να καθιερώνουν τον τύπο μιας σύνθετης έκφρασης (σε 2-3 ενέργειες).

Το διάγραμμα, το οποίο συντάσσεται συλλογικά και χρησιμοποιείται κατά την ανάγνωση εκφράσεων, διευκολύνει σημαντικά την εργασία των παιδιών:

Προσδιορίστε ποια ενέργεια θα εκτελεστεί τελευταία.

θυμηθείτε πώς καλούνται οι αριθμοί κατά την εκτέλεση αυτής της ενέργειας.

Ασκήσεις ανάγνωσης και γραφής σύνθετες ενέργειες, οι πιο απλές εκφράσεις, βοηθούν τα παιδιά να μάθουν τους κανόνες της σειράς των ενεργειών.

1.2 Εκμάθηση του εσωτερικού κανονισμού

Οι κανόνες για τη σειρά των ενεργειών σε σύνθετες εκφράσεις μελετώνται στην τάξη 2, αλλά σχεδόν μερικοί από αυτούς χρησιμοποιούνται από τα παιδιά της τάξης 1.

Αρχικά, εξετάζουμε τον κανόνα σχετικά με τη σειρά με την οποία εκτελούνται οι πράξεις σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες, όταν οι αριθμοί είτε προστίθενται και αφαιρούνται μόνο, είτε μόνο πολλαπλασιάζονται και διαιρούνται. Η ανάγκη εισαγωγής εκφράσεων που περιέχουν δύο ή περισσότερες αριθμητικές πράξεις του ίδιου επιπέδου προκύπτει όταν οι μαθητές εξοικειωθούν με τις υπολογιστικές μεθόδους πρόσθεσης και αφαίρεσης εντός 10, και συγκεκριμένα:

Ομοίως: 6 - 1 - 1, 6 - 2 - 1, 6 - 2 - 2.

Δεδομένου ότι, για να βρουν τις τιμές αυτών των παραστάσεων, οι μαθητές στρέφονται σε θεματικές ενέργειες που εκτελούνται με συγκεκριμένη σειρά, μαθαίνουν εύκολα το γεγονός ότι οι αριθμητικές πράξεις (πρόσθεση και αφαίρεση) που λαμβάνουν χώρα στις παραστάσεις εκτελούνται διαδοχικά από από αριστερά προς τα δεξιά.

Με αριθμητικές εκφράσεις που περιέχουν πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης, καθώς και αγκύλες, οι μαθητές συναντώνται πρώτα στο θέμα «Πρόσθεση και αφαίρεση εντός 10». Όταν τα παιδιά συναντούν τέτοιες εκφράσεις στην 1η τάξη, για παράδειγμα: 7 - 2 + 4, 9 - 3 - 1, 4 +3 - 2; στη 2η τάξη, για παράδειγμα: 70 - 36 +10, 80 - 10 - 15, 32 + 18 - 17. 4 * 10: 5, 60: 10 * 3, 36: 9 * 3, ο δάσκαλος δείχνει πώς να διαβάζετε και να γράφετε τέτοιες εκφράσεις και πώς να βρίσκετε την αξία τους (για παράδειγμα, 4 * 10: 5 ανάγνωση: 4 επί 10 και διαιρέστε το αποτέλεσμα κατά 5). Μέχρι τη στιγμή της μελέτης του θέματος "Διαδικασία ενεργειών" στη Β' τάξη, οι μαθητές είναι σε θέση να βρουν τις έννοιες των εκφράσεων αυτού του τύπου. Σκοπός της εργασίας σε αυτό το στάδιο είναι, με βάση τις πρακτικές δεξιότητες των μαθητών, να επιστήσει την προσοχή τους στη σειρά με την οποία εκτελούνται οι ενέργειες σε τέτοιες εκφράσεις και να διατυπώσει τον αντίστοιχο κανόνα. Οι μαθητές λύνουν ανεξάρτητα παραδείγματα που επιλέχθηκαν από τον δάσκαλο και εξηγούν με ποια σειρά εκτέλεσαν. ενέργειες σε κάθε παράδειγμα. Στη συνέχεια διατυπώνουν μόνοι τους το συμπέρασμα ή διαβάζουν το συμπέρασμα από το σχολικό βιβλίο: εάν μόνο οι πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης (ή μόνο οι πράξεις πολλαπλασιασμού και διαίρεσης) αναφέρονται στην έκφραση χωρίς αγκύλες, τότε εκτελούνται με τη σειρά με την οποία γράφονται (δηλαδή από αριστερά προς τα δεξιά).

Παρά το γεγονός ότι σε εκφράσεις της μορφής a + b + c, a + (b + c) και (a + c) + c, η παρουσία αγκύλων δεν επηρεάζει τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών λόγω του συνειρμικού νόμου της πρόσθεσης , σε αυτό το στάδιο είναι πιο σκόπιμο να προσανατολιστούν οι μαθητές στο να εκτελεστεί πρώτα η ενέργεια σε παρένθεση. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για εκφράσεις της μορφής a - (b + c) και a - (b - c) μια τέτοια γενίκευση είναι επίσης απαράδεκτη για τους μαθητές αρχικό στάδιοθα είναι αρκετά δύσκολο να πλοηγηθείτε στην εκχώρηση αγκύλων για διάφορες αριθμητικές παραστάσεις. Η χρήση αγκύλων σε αριθμητικές εκφράσεις που περιέχουν πρόσθεση και αφαίρεση αναπτύσσεται περαιτέρω, η οποία σχετίζεται με τη μελέτη κανόνων όπως η προσθήκη ενός αθροίσματος σε έναν αριθμό, ενός αριθμού σε ένα άθροισμα, η αφαίρεση ενός αθροίσματος από έναν αριθμό και ενός αριθμού από ένα άθροισμα . Αλλά όταν εισαχθεί για πρώτη φορά στις αγκύλες, είναι σημαντικό να κατευθύνουμε τους μαθητές στο γεγονός ότι η ενέργεια σε αγκύλες εκτελείται πρώτα.

Ο δάσκαλος εφιστά την προσοχή των παιδιών στο πόσο σημαντικό είναι να ακολουθούν αυτόν τον κανόνα κατά τον υπολογισμό, διαφορετικά μπορεί να λάβετε μια εσφαλμένη ισότητα. Για παράδειγμα, οι μαθητές εξηγούν πώς προέκυψαν οι τιμές των παραστάσεων: 70 - 36 +10=24, 60:10 - 3 =2, γιατί είναι λανθασμένες, ποιες τιμές έχουν στην πραγματικότητα αυτές οι εκφράσεις. Ομοίως, μελετούν τη σειρά των ενεργειών σε εκφράσεις με αγκύλες της μορφής: 65 - (26 - 14), 50: (30 - 20), 90: (2 * 5). Οι μαθητές είναι επίσης εξοικειωμένοι με τέτοιες εκφράσεις και είναι σε θέση να διαβάζουν, να γράφουν και να υπολογίζουν το νόημά τους. Αφού εξηγήσουν τη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε πολλές τέτοιες εκφράσεις, τα παιδιά διατυπώνουν ένα συμπέρασμα: στις εκφράσεις με αγκύλες, η πρώτη ενέργεια εκτελείται στους αριθμούς που είναι γραμμένοι σε αγκύλες. Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις εκφράσεις, είναι εύκολο να φανεί ότι οι ενέργειες σε αυτές δεν εκτελούνται με τη σειρά με την οποία είναι γραμμένες. για να εμφανιστεί διαφορετική σειρά εκτέλεσης και χρησιμοποιούνται παρενθέσεις.

Ο επόμενος κανόνας είναι η σειρά εκτέλεσης των ενεργειών σε εκφράσεις χωρίς αγκύλες όταν περιέχουν ενέργειες του πρώτου και του δεύτερου βήματος. Εφόσον οι κανόνες της σειράς των ενεργειών υιοθετούνται κατόπιν συμφωνίας, ο δάσκαλος τους κοινοποιεί στα παιδιά ή οι μαθητές τους γνωρίζουν από το σχολικό βιβλίο. Για να μάθουν οι μαθητές τους εισαγόμενους κανόνες, μαζί με ασκήσεις προπόνησηςπεριλαμβάνουν παραδείγματα επίλυσης με επεξήγηση της σειράς με την οποία εκτελούνται οι ενέργειές τους. Αποτελεσματικές είναι και οι ασκήσεις για την εξήγηση σφαλμάτων στη σειρά εκτέλεσης των ενεργειών. Για παράδειγμα, από δοσμένα ζεύγηπαραδείγματα, προτείνεται να γραφτούν μόνο εκείνα στα οποία οι υπολογισμοί εκτελούνται σύμφωνα με τους κανόνες της σειράς των πράξεων:

Αφού εξηγήσετε τα σφάλματα, μπορείτε να δώσετε την εργασία: χρησιμοποιώντας αγκύλες, αλλάξτε τη σειρά των ενεργειών έτσι ώστε η έκφραση να έχει μια δεδομένη τιμή. Για παράδειγμα, για να έχει η πρώτη από τις παραστάσεις που δίνονται τιμή ίση με 10, πρέπει να τη γράψετε ως εξής: (20+30):5=10.

Ιδιαίτερα χρήσιμες είναι οι ασκήσεις για τον υπολογισμό της αξίας μιας έκφρασης, όταν ο μαθητής πρέπει να εφαρμόσει όλους τους κανόνες που έχει μάθει. Για παράδειγμα, η έκφραση 36:6 ​​+ 3 * 2 είναι γραμμένη στον πίνακα ή σε σημειωματάρια. Οι μαθητές υπολογίζουν την αξία του. Στη συνέχεια, με τις οδηγίες του δασκάλου, τα παιδιά αλλάζουν τη σειρά των ενεργειών στην έκφραση χρησιμοποιώντας παρενθέσεις:

Μια ενδιαφέρουσα, αλλά πιο δύσκολη, άσκηση είναι το αντίθετο: τακτοποιήστε τις αγκύλες έτσι ώστε η έκφραση να έχει τη δεδομένη τιμή:

Επίσης ενδιαφέρουσες είναι οι ασκήσεις του παρακάτω τύπου:

1. Τοποθετήστε τις αγκύλες έτσι ώστε οι ισότητες να είναι αληθείς:

25-17:4=2 3*6-4=6

2. Αντικαταστήστε τους αστερίσκους με τα σύμβολα "+" ή "-" ώστε να έχετε τις σωστές ισότητες:

3. Αντικαταστήστε τους αστερίσκους με πρόσημα αριθμητικών πράξεων έτσι ώστε οι ισότητες να είναι αληθείς:

Κάνοντας τέτοιες ασκήσεις, οι μαθητές πείθονται ότι το νόημα μιας έκφρασης μπορεί να αλλάξει εάν αλλάξει η σειρά των ενεργειών.

Για να κατακτήσετε τους κανόνες της σειράς των ενεργειών, είναι απαραίτητο στους βαθμούς 3 και 4 να συμπεριλάβετε όλο και πιο περίπλοκες εκφράσεις, κατά τον υπολογισμό των τιμών των οποίων ο μαθητής θα εφάρμοζε κάθε φορά όχι έναν, αλλά δύο ή τρεις κανόνες για το σειρά ενεργειών, για παράδειγμα:

90*8- (240+170)+190,

469148-148*9+(30 100 - 26909).

Ταυτόχρονα, οι αριθμοί θα πρέπει να επιλέγονται έτσι ώστε να επιτρέπουν την εκτέλεση των ενεργειών με οποιαδήποτε σειρά, γεγονός που δημιουργεί προϋποθέσεις για τη συνειδητή εφαρμογή των κανόνων που έχουν μάθει.

1.3 Κατανόηση της μετατροπής έκφρασης

Η μετατροπή έκφρασης είναι η αντικατάσταση μιας δεδομένης έκφρασης με μια άλλη της οποίας η τιμή είναι ίση με την τιμή της δεδομένης έκφρασης. Οι μαθητές εκτελούν τέτοιους σχηματισμούς παραστάσεων, βασιζόμενοι στις ιδιότητες των αριθμητικών πράξεων και στις συνέπειες που προκύπτουν από αυτές.

Κατά τη μελέτη κάθε κανόνα, οι μαθητές είναι πεπεισμένοι ότι σε εκφράσεις ενός συγκεκριμένου τύπου, οι ενέργειες μπορούν να εκτελεστούν με διαφορετικούς τρόπους, αλλά το νόημα της έκφρασης δεν αλλάζει. Στο μέλλον, οι μαθητές εφαρμόζουν τη γνώση των ιδιοτήτων των ενεργειών για να μετατρέψουν συγκεκριμένες εκφράσεις σε εκφράσεις ίσες με αυτές. Για παράδειγμα, προσφέρονται εργασίες της φόρμας: συνεχίστε την εγγραφή έτσι ώστε να διατηρηθεί το σύμβολο "=":

56- (20+1)=56-20...

(10+5) * 4=10*4...

60:(2*10)=60:10...

Όταν ολοκληρώνουν την πρώτη εργασία, οι μαθητές συλλογίζονται ως εξής: στα αριστερά, το άθροισμα των αριθμών 20 και 1 αφαιρείται από το 56, στα δεξιά, το 20 αφαιρείται από το 56. για να πάρουμε το ίδιο ποσό στα δεξιά όπως στα αριστερά, είναι απαραίτητο να αφαιρέσουμε 1 στα δεξιά. Άλλες εκφράσεις μετασχηματίζονται παρόμοια, δηλαδή, μετά την ανάγνωση της έκφρασης, ο μαθητής θυμάται τον αντίστοιχο κανόνα και, εκτελώντας ενέργειες σύμφωνα με ο κανόνας, λαμβάνει τη μετασχηματισμένη έκφραση. Για να βεβαιωθούν ότι η μετατροπή είναι σωστή, τα παιδιά υπολογίζουν τις τιμές των παραστάσεων που δίνονται και μετατρέπονται και τις συγκρίνουν. Εφαρμόζοντας τη γνώση των ιδιοτήτων των ενεργειών για την τεκμηρίωση των μεθόδων υπολογισμού, οι μαθητές των τάξεων 2-4 εκτελούν μετασχηματισμούς των εκφράσεων της μορφής:

54+30=(50+4)+20=(50+20)+4=70+4=74

72:3=(60+12):3=60:3+12:3=24

16 * 40=16 * (3 * 10)=(16 * 3) * 10=540

Εδώ είναι επίσης απαραίτητο οι μαθητές όχι μόνο να εξηγούν με βάση το τι λαμβάνουν κάθε επόμενη έκφραση, αλλά και να κατανοούν ότι όλες αυτές οι εκφράσεις συνδέονται με το σύμβολο "=", επειδή έχουν την ίδια σημασία. Για να γίνει αυτό, μερικές φορές θα πρέπει να προσκαλέσετε τα παιδιά να υπολογίσουν τις τιμές των εκφράσεων και να τις συγκρίνουν. Αυτό αποτρέπει σφάλματα όπως:

75-30=70-30=40+5=45,

24*12=(10+2)=24*10 +24*2=288.

Οι μαθητές των τάξεων 2-3 εκτελούν μετασχηματισμούς έκφρασης όχι μόνο με βάση τις ιδιότητες δράσης, αλλά και με βάση τους ορισμούς των ενεργειών. Για παράδειγμα, το άθροισμα των πανομοιότυπων όρων αντικαθίσταται από το γινόμενο: 6+6+6=6 * 3, και αντίστροφα: 9 * 4=9+9+9+9. Με βάση επίσης την έννοια της δράσης του πολλαπλασιασμού, μετασχηματίζονται περισσότερο σύνθετες εκφράσεις: 8 * 4+8=8 * 5, 7 * 6 - 7 =7 * 5.

Με βάση υπολογισμούς και ανάλυση ειδικά επιλεγμένων παραστάσεων, οι μαθητές της Γ΄ τάξης οδηγούνται στο συμπέρασμα ότι εάν οι αγκύλες σε εκφράσεις με αγκύλες δεν επηρεάζουν τη σειρά των ενεργειών, τότε μπορούν να παραληφθούν: (30 + 20) + 10 = 30 + 20 + 10, (10-6):4=10-6:4 κ.λπ. Στο μέλλον, χρησιμοποιώντας τις μαθημένες ιδιότητες των ενεργειών και τους κανόνες για τη σειρά των ενεργειών, οι μαθητές εξασκούνται στη μετατροπή εκφράσεων με αγκύλες σε εκφράσεις που είναι πανομοιότυπες με αυτές χωρίς αγκύλες. Για παράδειγμα, προτείνεται να γραφτούν αυτές οι εκφράσεις χωρίς αγκύλες έτσι ώστε οι τιμές τους να μην αλλάζουν: (65+30) - 20 (20+4) * 3

Εξηγώντας τη λύση της πρώτης από τις παραστάσεις που δίνονται με βάση τον κανόνα για την αφαίρεση ενός αριθμού από το άθροισμα, τα παιδιά την αντικαθιστούν με τις εκφράσεις: 65 + 30 - 20, 65 - 20 + 30, 30 - 20 + 65, εξηγώντας την διαδικασία για την εκτέλεση ενεργειών σε αυτά. Κάνοντας αυτές τις ασκήσεις, οι μαθητές βεβαιώνονται ότι το νόημα μιας έκφρασης δεν αλλάζει όταν αλλάζουν τη σειρά των ενεργειών μόνο εάν εφαρμόζονται οι ιδιότητες των ενεργειών σε αυτήν την περίπτωση.

Έτσι, η γνωριμία των μαθητών δημοτικού με έκφραση έννοιαςσυνδέεται στενά με τη διαμόρφωση υπολογιστικών δεξιοτήτων και ικανοτήτων. Ταυτόχρονα, η εισαγωγή της έννοιας της έκφρασης σας επιτρέπει να οργανώσετε την κατάλληλη εργασία για την ανάπτυξη της μαθηματικής ομιλίας των μαθητών.

Διάλεξη 2. Συμβολισμοί γραμμάτων, ισότητες, ανισότητες, εξισώσεις

2.1 Μεθοδολογία εξοικείωσης με αλφαβητικά σύμβολα

Σύμφωνα με το πρόγραμμα στα μαθηματικά, τα σύμβολα γραμμάτων εισάγονται στην τάξη 3.

Εδώ, οι μαθητές εξοικειώνονται με το γράμμα α, ως σύμβολο για έναν άγνωστο αριθμό ή ένα από τα συστατικά της έκφρασης κατά την επίλυση εκφράσεων της φόρμας: γράψτε το γράμμα α αντί για το «παράθυρο». Βρείτε τις τιμές του αθροίσματος a+6 αν a=8, a=7. Στη συνέχεια, στα επόμενα μαθήματα, εξοικειώνονται με κάποια γράμματα. Λατινικό αλφάβητο, που δηλώνει ένα από τα συστατικά της έκφρασης. Με το γράμμα x, ως σύμβολο για τον προσδιορισμό ενός άγνωστου αριθμού κατά την επίλυση εξισώσεων της μορφής: a + x \u003d b, x - c \u003d b - εξοικειώνονται σε 4 τέταρτα στον βαθμό 3.

Η εισαγωγή ενός γράμματος ως συμβόλου για τον προσδιορισμό μιας μεταβλητής καθιστά δυνατή ήδη από τις δημοτικές τάξεις να ξεκινήσουν οι εργασίες για το σχηματισμό της έννοιας μιας μεταβλητής, να εισαγάγουν τα παιδιά στο μαθηματική γλώσσαχαρακτήρες.

Οι προπαρασκευαστικές εργασίες για την αποκάλυψη της σημασίας ενός γράμματος ως συμβόλου για τον προσδιορισμό μιας μεταβλητής εκτελούνται στην αρχή σχολική χρονιάστην Γ' δημοτικού. Σε αυτό το πρώτο στάδιο, τα παιδιά εισάγονται σε ορισμένα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου (a, b, c, d, k) για να δηλώσουν μια μεταβλητή, δηλ. ένα από τα συστατικά της έκφρασης.

Όταν εισάγετε αλφαβητικά σύμβολα για να δηλώσετε μια αριθμητική μεταβλητή σημαντικός ρόλοςστο σύστημα των ασκήσεων παίζει ένας επιδέξιος συνδυασμός επαγωγικών και απαγωγικές μεθόδους. Σύμφωνα με αυτό, οι ασκήσεις προβλέπουν μεταβάσεις από αριθμητικές εκφράσεις σε αλφαβητικές και, αντίστροφα, από αλφαβητικές εκφράσεις σε αριθμητικές. Για παράδειγμα, στον πίνακα είναι κρεμασμένη μια αφίσα με τρεις τσέπες, στην οποία αναγράφεται: «1 όρος», «2 όρος», «άθροισμα».

Στη διαδικασία συνομιλίας με τους μαθητές, ο δάσκαλος γεμίζει τις τσέπες της αφίσας με κάρτες με αριθμούς και μαθηματικές εκφράσεις γραμμένες πάνω τους:

Στη συνέχεια, αποδεικνύεται αν είναι ακόμα δυνατή η σύνθεση εκφράσεων, πόσες τέτοιες εκφράσεις μπορούν να συντεθούν. Τα παιδιά φτιάχνουν άλλες εκφράσεις και βρίσκουν κοινά πράγματα σε αυτές: την ίδια δράση - προσθήκη και διαφορετικούς - διαφορετικούς όρους. Ο δάσκαλος εξηγεί ότι, αντί να γράψει διαφορετικούς αριθμούς, μπορείτε να υποδηλώσετε οποιονδήποτε αριθμό που μπορεί να είναι όρος με κάποιο γράμμα, για παράδειγμα a, οποιονδήποτε αριθμό που μπορεί να είναι δεύτερος όρος, για παράδειγμα, c. Στη συνέχεια, το ποσό μπορεί να συμβολιστεί ως εξής: a + b (οι αντίστοιχες κάρτες τοποθετούνται στις τσέπες της αφίσας).

Ο δάσκαλος εξηγεί ότι το a + b είναι επίσης μια μαθηματική έκφραση, μόνο σε αυτήν οι όροι υποδεικνύονται με γράμματα, κάθε ένα από τα γράμματα αντιπροσωπεύει οποιουσδήποτε αριθμούς. Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται τιμές γραμμάτων.

Ομοίως, η διαφορά των αριθμών εισάγεται ως γενικευμένη σημείωση αριθμητικών παραστάσεων. Για να συνειδητοποιήσουν οι μαθητές ότι τα γράμματα που περιλαμβάνονται στην έκφραση, για παράδειγμα, σε + s, μπορούν να λάβουν πολλές αριθμητικές τιμές και η ίδια η κυριολεκτική έκφραση είναι μια γενικευμένη εγγραφή αριθμητικών παραστάσεων, παρέχονται ασκήσεις για τη μετάβαση από τις κυριολεκτικές εκφράσεις σε αριθμητικά.

Οι μαθητές είναι πεπεισμένοι ότι δίνοντας προσωπικές αριθμητικές τιμές στα γράμματα, μπορείτε να λάβετε όσες αριθμητικές εκφράσεις θέλετε. Στο ίδιο σχέδιο, γίνονται εργασίες για τον προσδιορισμό της κυριολεκτικής έκφρασης - τη διαφορά των αριθμών.

Περαιτέρω, σε σχέση με την εργασία στις εκφράσεις, αποκαλύπτεται η έννοια της σταθερής αξίας. Για το σκοπό αυτό, εξετάζονται εκφράσεις στις οποίες συνεχήςσταθερό με έναν αριθμό, για παράδειγμα: a±12, 8±s. Εδώ, όπως και στο πρώτο στάδιο, παρέχονται ασκήσεις για τη μετάβαση από αριθμητικές εκφράσεις σε εκφράσεις που γράφονται με γράμματα και αριθμούς και αντίστροφα.

Για το σκοπό αυτό, αρχικά χρησιμοποιείται αφίσα με τρεις τσέπες.

Γεμίζοντας τις τσέπες της αφίσας με κάρτες με αριθμούς και μαθηματικές εκφράσεις γραμμένες πάνω τους, οι μαθητές παρατηρούν ότι οι τιμές του πρώτου τριμήνου αλλάζουν και του δεύτερου δεν αλλάζει.

Ο δάσκαλος εξηγεί ότι ο δεύτερος όρος μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας αριθμούς, στη συνέχεια το άθροισμα των αριθμών μπορεί να γραφτεί ως εξής: m + 8 και οι κάρτες εισάγονται στις αντίστοιχες τσέπες της αφίσας.

Με παρόμοιο τρόπο, μπορεί κανείς να αποκτήσει μαθηματικές εκφράσεις της μορφής: 17 ± a, σε ± 30, και αργότερα - εκφράσεις της μορφής: 7 * in, c * 4, a: 8, 48: in.

Στην 4η τάξη πραγματοποιούνται ασκήσεις της φόρμας: Βρείτε τις τιμές της παράστασης α: β, αν

a=3400 και b=2;

a=2800 και b=7.

Όταν οι μαθητές κατανοήσουν την έννοια του συμβολισμού των γραμμάτων, τα γράμματα μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως μέσο περίληψης της γνώσης που σχηματίζουν.

Η συγκεκριμένη βάση για τη χρήση των αλφαβητικών συμβόλων ως εργαλείο γενίκευσης είναι η γνώση των αριθμητικών πράξεων και η γνώση που σχηματίζεται στη βάση τους.

Αυτά περιλαμβάνουν έννοιες αριθμητικών πράξεων, τις ιδιότητές τους, σχέσεις μεταξύ συστατικών και αποτελεσμάτων ενεργειών, αλλαγές στα αποτελέσματα αριθμητικών πράξεων ανάλογα με μια αλλαγή σε ένα από τα συστατικά στοιχεία κ.λπ.

Έτσι, η χρήση αλφαβητικών συμβόλων συμβάλλει στην αύξηση του επιπέδου γενίκευσης της γνώσης που αποκτούν οι μαθητές του δημοτικού σχολείου και τους προετοιμάζει για τη μελέτη ενός συστηματικού μαθήματος άλγεβρας στις επόμενες τάξεις.

2.2 Αριθμητικές ισότητες, ανισότητες

Η έννοια των ισοτήτων, των ανισοτήτων και των εξισώσεων αποκαλύπτεται στη διασύνδεση. Η εργασία σε αυτά πραγματοποιείται από τον βαθμό 1, οργανικά σε συνδυασμό με τη μελέτη αριθμητικού υλικού.

Με νέο πρόγραμμαο στόχος είναι να διδάξουμε στα παιδιά πώς να συγκρίνουν αριθμούς, καθώς και να συγκρίνουν εκφράσεις για να δημιουργήσουν σχέσεις "μεγαλύτερο από", "λιγότερο από", "ίσο με". διδάξτε πώς να γράφετε αποτελέσματα σύγκρισης χρησιμοποιώντας τα σημάδια ">", "<", "=" и читать полученные равенства и неравенства.

Οι αριθμητικές ισότητες και ανισώσεις λαμβάνονται από τους μαθητές συγκρίνοντας δεδομένους αριθμούς ή αριθμητικές εκφράσεις. Αρχικά, οι νεότεροι μαθητές σχηματίζουν έννοιες μόνο για αληθινές Ισότητες και ανισότητες (5> 4, 6<7, 8=8).

Στη συνέχεια, όταν οι μαθητές αποκτούν εμπειρία εργασίας σε εκφράσεις και ανισότητες με μια μεταβλητή, αφού εξετάσουν τις έννοιες των αληθών και ψευδών (αληθών και λανθασμένων) δηλώσεων, προχωρούν σε έναν τέτοιο ορισμό των εννοιών της ισότητας και της ανισότητας, σύμφωνα με τον οποίο οποιαδήποτε δύο αριθμοί, δύο εκφράσεις που συνδέονται με ένα από τα σημάδια "μεγαλύτερο από ", "λιγότερο από" ονομάζεται ανισότητα. Ταυτόχρονα διακρίνονται οι αληθινές και οι ψευδείς ισότητες και ανισότητες. Στον βαθμό 3, προσφέρονται οι ακόλουθες ασκήσεις: ελέγξτε εάν τα δεδομένα ισότητας είναι σωστά (4 τρίμηνο): 760 - 400 \u003d 90 * 4; 630:7=640:8.

Όμως αυτές οι ασκήσεις δεν αρκούν. Στην 4η τάξη προσφέρονται παρόμοιες ασκήσεις και άλλες, της μορφής: ελέγξτε αν ισχύουν οι ανισότητες: 478 * 24<478* (3*9); 356*10*6>356*16.

Η εξοικείωση με τις ισότητες και τις ανισότητες στις τάξεις του δημοτικού σχετίζεται άμεσα με τη μελέτη της αρίθμησης και των αριθμητικών πράξεων. μαθηματική εξίσωση άλγεβρας

Η σύγκριση αριθμών πραγματοποιείται πρώτα με βάση τη σύγκριση των συνόλων, η οποία πραγματοποιείται, όπως γνωρίζετε, με τη δημιουργία μιας αντιστοιχίας ένα προς ένα. Αυτή η μέθοδος σύγκρισης σετ διδάσκεται στα παιδιά στην προπαρασκευαστική περίοδο και στην αρχή της μελέτης της αρίθμησης των αριθμών των πρώτων δέκα. Στην πορεία μετρώνται τα στοιχεία των συνόλων και συγκρίνονται οι αριθμοί που προκύπτουν. Στο μέλλον, όταν συγκρίνουν αριθμούς, οι μαθητές βασίζονται στη θέση τους στη φυσική σειρά: 9<10, потому что при счете число 9 называют перед числом 10, и т.д.

Οι καθιερωμένες σχέσεις γράφονται χρησιμοποιώντας τα σημάδια ">", "<", "=", учащиеся упражняются в чтении и записи равенств и неравенств. Впоследствии при изучении нумерации чисел в пределах 100, 1000, а также нумерации многозначны: чисел сравнение чисел осуществляется либо на основе сопоставления их по месту в натуральном ряду, либо на основе разложения чисел по десятичному составу сравнения соответствующих разрядных чисел, начиная с высшего разряда.

Η σύγκριση των ονομασμένων αριθμών πραγματοποιείται αρχικά με βάση τη σύγκριση των τιμών των ίδιων των ποσοτήτων και στη συνέχεια πραγματοποιείται με βάση τη σύγκριση αφηρημένων αριθμών, για τους οποίους οι ονομασμένοι αριθμοί εκφράζονται στις ίδιες μονάδες μέτρηση.

Η σύγκριση ονομασμένων αριθμών προκαλεί μεγάλες δυσκολίες στους μαθητές, επομένως, για να διδαχθεί αυτή η λειτουργία, είναι απαραίτητο να προσφέρουμε συστηματικά διάφορες ασκήσεις στους βαθμούς 2-4:

1 dm * 1 cm, 2 dm * 2 cm

Αντικαταστήστε με ίσο αριθμό: 7 km 500 m = _____ m

3) Επιλέξτε τους αριθμούς ώστε η καταχώριση να είναι σωστή: ____ η< ____ мин, ___ см=__ дм и т.д.

4) Ελέγξτε αν οι ισότητες είναι αληθείς ή λάθος, διορθώστε το πρόσημο εάν οι ισότητες είναι ψευδείς:

4 t 8 w = 480 kg, 100 min. = 1 h, 2 m 5 cm = 250 cm.

Η μετάβαση στη σύγκριση των εκφράσεων πραγματοποιείται σταδιακά. Πρώτον, στη διαδικασία μελέτης προσθήκης και. αφαιρέσεις μέσα σε 10 παιδιά εξασκούνται για μεγάλο χρονικό διάστημα συγκρίνοντας εκφράσεις και αριθμούς. Οι πρώτες ανισώσεις της μορφής 3+1>3, 3 - 1<3 полезно получать из равенства (3=3), сопровождая преобразования соответствующими операциями над множествами. В дальнейшем выражение и число учащиеся сравнивают, не прибегая к операциям над множествами: находят значение выражения и сравнивают его с заданным числом, что отражается в записях:

Αφού εξοικειωθούν με τα ονόματα των παραστάσεων, οι μαθητές διαβάζουν ισότητες και ανισότητες ως εξής: το άθροισμα των αριθμών 5 και 3 είναι μεγαλύτερο από 5.

Με βάση πράξεις σε σύνολα και σύγκριση συνόλων, οι μαθητές μαθαίνουν πρακτικά τις σημαντικές ιδιότητες των ισοτήτων και των ανισώσεων (αν a = b, τότε b = a). Το να συγκρίνεις δύο εκφράσεις σημαίνει να συγκρίνεις τις τιμές τους. Η σύγκριση αριθμών και εκφράσεων περιλαμβάνεται πρώτα κατά τη μελέτη αριθμών εντός 20 και, στη συνέχεια, κατά τη μελέτη των ενεργειών σε όλες τις συγκεντρώσεις, αυτές οι ασκήσεις προσφέρονται συστηματικά στα παιδιά.

Κατά τη μελέτη ενεργειών σε άλλες συγκεντρώσεις, οι ασκήσεις για τη σύγκριση εκφράσεων γίνονται πιο περίπλοκες: οι εκφράσεις γίνονται πιο περίπλοκες, οι μαθητές έχουν καθήκοντα να εισαγάγουν έναν κατάλληλο αριθμό σε μία από τις εκφράσεις έτσι ώστε να λάβουν αληθινές ισότητες ή ανισότητες, να συνθέσουν αληθινές ισότητες ή αληθινές ανισότητες από αυτές τις εκφράσεις.

Έτσι, κατά τη μελέτη όλων των συγκεντρώσεων, οι ασκήσεις σύγκρισης αριθμών και παραστάσεων, αφενός, συμβάλλουν στον σχηματισμό εννοιών ισοτήτων και ανισοτήτων και, αφετέρου, στην αφομοίωση της γνώσης για την αρίθμηση και τις αριθμητικές πράξεις, καθώς και ανάπτυξη υπολογιστικών δεξιοτήτων.

2.3 Τεχνική εξοικείωσης με τις ανισότητες με μια μεταβλητή

Ανισώσεις με μεταβλητή της μορφής: x + 3< 7, 10 - х >5 εισάγονται στην Γ' τάξη. Πρώτον, η μεταβλητή δεν συμβολίζεται με ένα γράμμα, αλλά με ένα "παράθυρο", στη συνέχεια σημειώνεται με ένα γράμμα.

Οι όροι «λύση ανισότητας», «λύση ανισότητας» δεν εισάγονται στις δημοτικές τάξεις, αφού σε πολλές περιπτώσεις περιορίζονται στην επιλογή μόνο λίγων τιμών της μεταβλητής, η οποία έχει ως αποτέλεσμα τη σωστή ανισότητα. Οι ασκήσεις γίνονται υπό την καθοδήγηση δασκάλου.

Οι ασκήσεις με ανισότητες ενισχύουν τις υπολογιστικές δεξιότητες και βοηθούν επίσης στην αφομοίωση αριθμητική γνώση. Επιλέγοντας τις τιμές του γράμματος σε ανισότητες και ισότητες της μορφής: 5 + x = 5, 5 - x =5 10 * x=10, 10* x<10, учащиеся закрепляют знания особых случаев действий. Но самым важным является то, что работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенств в 5 классе. В соответствии с программой в 1-4 классах рассматриваются упражнения первой степени с одним неизвестным вида: 7+х=10, х* (17 - 10)=70.

Οι ασκήσεις στις δημοτικές τάξεις θεωρούνται ως αληθινές ισότητες, η λύση της εξίσωσης ανάγεται στην εύρεση της τιμής του γράμματος (άγνωστος αριθμός), στο οποίο η δεδομένη έκφραση έχει την καθορισμένη τιμή. Η εύρεση ενός άγνωστου αριθμού σε τέτοιες ισότητες βασίζεται στη γνώση της σχέσης μεταξύ του αποτελέσματος και των συνιστωσών των αριθμητικών πράξεων. Αυτές οι απαιτήσεις του προγράμματος καθορίζουν τη μεθοδολογία για την εργασία σε εξισώσεις,

2.4 Μεθοδολογία μελέτης εξισώσεων

Στο προπαρασκευαστικό στάδιο για την εισαγωγή των πρώτων εξισώσεων στη μελέτη της πρόσθεσης και της αφαίρεσης εντός 10, οι μαθητές μαθαίνουν τη σχέση μεταξύ του αθροίσματος και των όρων. Επιπλέον, αυτή τη στιγμή, τα παιδιά έχουν κατακτήσει την ικανότητα να συγκρίνουν μια έκφραση και έναν αριθμό και να έχουν τις πρώτες τους ιδέες σχετικά με τις αριθμητικές ισότητες της μορφής: 8=5+3, 6+4=40. Μεγάλη σημασία όσον αφορά την προετοιμασία για την εισαγωγή των εξισώσεων είναι οι ασκήσεις για την επιλογή ενός αριθμού που λείπει σε ισότητες της μορφής: 4 + * = 6, 5- * = 2. Κατά τη διαδικασία εκτέλεσης τέτοιων ασκήσεων, τα παιδιά συνηθίζουν ιδέα ότι όχι μόνο το άθροισμα ή η διαφορά μπορεί να είναι άγνωστο, αλλά και ένα από τα συστατικά.

Η έννοια της εξίσωσης εισάγεται στον βαθμό 3. Οι εξισώσεις λύνονται προφορικά, με τη μέθοδο της επιλογής, δηλ. στα παιδιά προσφέρονται απλές εξισώσεις της μορφής: x + 3 \u003d 5. Για να λύσουν τέτοιες εξισώσεις, τα παιδιά θυμούνται τη σύνθεση των αριθμών εντός του 10, σε αυτήν την περίπτωση, τη σύνθεση του αριθμού 5 (3 και 2), που σημαίνει x = 2.

Στην 4η τάξη, ο δάσκαλος δείχνει ένα αρχείο επίλυσης μιας εξίσωσης, με βάση τη γνώση των παιδιών για τις σχέσεις μεταξύ των συστατικών και του αποτελέσματος των αριθμητικών πράξεων. Για παράδειγμα, 6+x=15. Δεν γνωρίζουμε τον δεύτερο όρο Για να λάβουμε τον δεύτερο όρο, πρέπει να αφαιρέσουμε τον πρώτο όρο από το άθροισμα.

Εγγραφή λύσης:

Εξέταση:

Οι μαθητές πρέπει να εξηγήσουν ότι όταν ελέγχουμε, είναι απαραίτητο, αφού αντικαταστήσουμε τον αριθμό που προκύπτει αντί του x, να βρούμε την τιμή της παράστασης που προκύπτει.

Αργότερα, στο επόμενο στάδιο, οι εξισώσεις λύνονται με βάση τη γνώση των κανόνων εύρεσης της άγνωστης συνιστώσας.

Υπάρχει ξεχωριστό μάθημα για κάθε περίπτωση.

Φιλοξενείται στο Allbest.ru

...

Παρόμοια Έγγραφα

Η έννοια της ανισότητας, η ουσία και τα χαρακτηριστικά της, η ταξινόμηση και οι ποικιλίες της. Βασικές ιδιότητες των αριθμητικών ανισώσεων. Μέθοδος γραφικής επίλυσης ανισώσεων δεύτερου βαθμού. Συστήματα ανισώσεων με δύο μεταβλητές, με μεταβλητή κάτω από το πρόσημο του συντελεστή.

περίληψη, προστέθηκε 31/01/2009


Τριγωνομετρικές εξισώσεις και ανισώσεις στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών. Ανάλυση υλικού για την τριγωνομετρία σε διάφορα σχολικά βιβλία. Είδη τριγωνομετρικών εξισώσεων και μέθοδοι επίλυσής τους. Σχηματισμός δεξιοτήτων επίλυσης τριγωνομετρικών εξισώσεων και ανισώσεων.

διατριβή, προστέθηκε 05/06/2010


Θεωρητικές πληροφορίες για το θέμα «Σήματα ισότητας τριγώνων». Μέθοδοι μελέτης του θέματος «Σημεία ισότητας τριγώνων». Το θέμα του μαθήματος είναι "Τρίγωνο. Τύποι τριγώνων." «Ιδιότητες ισοσκελές και ισόπλευρων τριγώνων».

θητεία, προστέθηκε 01/11/2004


Τύποι εξισώσεων που επιτρέπουν τη μείωση της παραγγελίας. Γραμμική διαφορική εξίσωση ανώτερης τάξης. Θεωρήματα για τις ιδιότητες των μερικών λύσεων. Η ορίζουσα του Vronsky και η εφαρμογή της. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Euler. Εύρεση των ριζών μιας αλγεβρικής εξίσωσης.

παρουσίαση, προστέθηκε 29/03/2016


Η έννοια και η μαθηματική περιγραφή των στοιχείων μιας διαφορικής εξίσωσης ως εξίσωσης που συσχετίζει την επιθυμητή συνάρτηση μιας ή περισσότερων μεταβλητών. Η σύνθεση μιας ημιτελούς και γραμμικής διαφορικής εξίσωσης πρώτης τάξης, η εφαρμογή τους στα οικονομικά.

περίληψη, προστέθηκε 08/06/2013


Μέθοδος αναλυτικής λύσης (σε ρίζες) αλγεβρικής εξίσωσης n ου βαθμού με επιστροφή στις ρίζες της αρχικής εξίσωσης. Ιδιοτιμές για την εύρεση συναρτήσεων από πίνακες. Σταθερότητα λύσεων γραμμικών διαφορικών και διαφορικών εξισώσεων.

επιστημονική εργασία, προστέθηκε 05/05/2010


Η μορφή της εξίσωσης Riccati για έναν αυθαίρετο γραμμικό-κλασματικό μετασχηματισμό της εξαρτημένης μεταβλητής. Ιδιότητες της ανακλαστικής συνάρτησης, κατασκευή της για μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης. Δήλωση και απόδειξη του λήμματος για το OF της εξίσωσης Riccati.

θητεία, προστέθηκε 22/11/2014


Οι κύριες κατευθύνσεις ανάπτυξης της γραμμής εξισώσεων και ανισώσεων στο σχολικό μάθημα των μαθηματικών, η σύνδεσή της με το αριθμητικό και λειτουργικό σύστημα. Χαρακτηριστικά της μελέτης, αναλυτικές και γραφικές μέθοδοι επίλυσης εξισώσεων και ανισώσεων που περιέχουν παραμέτρους.

θητεία, προστέθηκε 02/01/2015


Συστηματοποίηση πληροφοριών για γραμμικές και τετραγωνικές εξαρτήσεις και σχετικές εξισώσεις και ανισότητες. Επιλογή πλήρους τετραγώνου ως μέθοδος για την επίλυση ορισμένων μη τυπικών προβλημάτων. Ιδιότητες της συνάρτησης |x|. Εξισώσεις και ανισώσεις που περιέχουν ενότητες.

διατριβή, προστέθηκε 25/06/2010


Ανάλυση των χαρακτηριστικών της ανάπτυξης ενός υπολογιστικού προγράμματος. Γενικά χαρακτηριστικά της μεθόδου των απλών επαναλήψεων. Γνωριμία με τους κύριους τρόπους επίλυσης μη γραμμικής αλγεβρικής εξίσωσης. Εξέταση των σταδίων επίλυσης της εξίσωσης με τη μέθοδο της μισής διαίρεσης.