Πώς να αφαιρέσετε μια ρίζα από μια ρίζα. Πώς να προσθέσετε τετραγωνικές ρίζες

Η βιβλιοθήκη των έργων του Alexander Sergeevich Pushkin είναι πολύ πλούσια. Περιέχει έργα διαφόρων ειδών και διαφορετικά θέματα. Οι κριτικοί λογοτεχνίας χωρίζουν όλο το έργο του ποιητή σε διάφορες περιόδους. Υπάρχουν πέντε συνολικά και καθένα από αυτά συνδέεται με ένα συγκεκριμένο γεγονός στη ζωή του Πούσκιν: αποφοίτηση από το Λύκειο, νότια εξορία και άλλα.

Στην ερώτηση: "Τι έγινε το θέμα των στίχων του Alexander Sergeevich;" - είναι αδύνατο να απαντηθεί ξεκάθαρα.

Έγραψε για την αγάπη, τη φιλία και για την Πατρίδα, έθιξε μεταξύ άλλων, φιλοσοφικά θέματα. Είναι πολύ πιθανό να πούμε ότι όλα έγιναν αντικείμενο των στίχων του.

Αλλά, πιθανώς, το κύριο και κύριο θέμα για τον ποιητή ήταν το θέμα της αγάπης, το οποίο τραγούδησε, και στην αρχή του έργου του ανύψωσε και ανύψωσε στην τάξη των πιο πολύτιμων ανθρώπινων συναισθημάτων, όπως, για παράδειγμα, το ποίημά του «Η αγάπη μόνο είναι η διασκέδαση μιας κρύας ζωής»:

Εκατό φορές ευλογημένος, που στα νιάτα του είναι γοητευτικός

Αυτή η γρήγορη στιγμή θα πιάσει εν όψει.

Ποιος στις χαρές και την ευδαιμονία του αγνώστου

Η ντροπαλή ομορφιά θα υποκλιθεί!

Σταδιακά όμως, με την ωρίμανση και την ανάπτυξη του έργου του, ο ποιητής ξανασκέφτεται αυτό το θέμα. Αρχίζει να δίνει μεγάλη προσοχήσυναισθήματα και εμπειρίες μιας γυναίκας, καθώς και να απολαύσουν ακόμη και τη θλίψη της αγάπης:

Είμαι λυπημένος και εύκολος. Η λύπη μου είναι ελαφριά.

Η λύπη μου είναι γεμάτη από σένα...

Μια άλλη κατεύθυνση στο έργο του Πούσκιν είναι το θέμα της φιλίας. Τα έργα για αυτό το θέμα είναι αφιερωμένα κυρίως στους φίλους της εποχής του λυκείου του ποιητή: I. Pushchin, A. Delvig και V. Küchelbecker. Η φιλία στα νιάτα του ενσάρκωνε την ανεμελιά και τη χαρά για τον Πούσκιν.

Το θέμα της φιλίας, όπως και το θέμα της αγάπης, εξελίσσεται σταδιακά. Η συγγραφέας αρχίζει να βλέπει στην τραγωδία της, θλίψη, απογοήτευση από την απώλεια στενών φίλων. Τέτοια μοτίβα είναι ιδιαίτερα έντονα στο έργο του "Ο Δωδέκατος του Οκτωβρίου":

Είμαι λυπημένος: δεν υπάρχει φίλος μαζί μου ...

Πίνω μόνος μου και στις όχθες του Νέβα

Με καλούν οι φίλοι μου...

Αλλά πόσοι από εσάς γλεντάτε και εκεί;

Ποιος άλλος σας έχει λείψει;

Το επόμενο σημαντικό και υψηλού προφίλ θέμα στο Στίχοι Πούσκινέγινε το θέμα της ελευθερίας. Σε πολλά έργα του ποιητή, μπορεί κανείς να δει τα κίνητρα της αγάπης για την ελευθερία, την επιθυμία για περιορισμό απόλυτη εξουσίαβασιλιάς, για παράδειγμα, στην ωδή «Ελευθερία»:

Δάσκαλοι! εσύ στέμμα και θρόνο

Ο νόμος δίνει, όχι η φύση.

Στέκεσαι πάνω από τους ανθρώπους

Αλλά ο αιώνιος Νόμος είναι από πάνω σου.

Ο Alexander Sergeevich σε αυτό απευθύνεται στις αρχές, στις γραμμές υπάρχει μια σαφής έκκληση να περιοριστούν οι εξουσίες του τσάρου από το Νόμο, δηλαδή από το Σύνταγμα.

Αργότερα, ο συγγραφέας απομακρύνεται από μια αυστηρά πολιτική κατανόηση της ελευθερίας και δείχνει ενδιαφέρον για την ελευθερία ενός απλού Ρώσου. Δηλαδή και αυτό το θέμα εξελίσσεται με τον δικό του τρόπο. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα στο ποίημα «Το χωριό»:

Βλέπω φίλοι μου! καταπιεσμένους ανθρώπους

Και η σκλαβιά, πεσμένη κατ' εντολή του βασιλιά...

Το απόγειο του ύμνου στην ελευθερία, ήδη προσωπικού, είναι το έργο «Από τον Πιντεμόντη», όπου υπάρχει μια ατάκα:

Μην λυγίζετε ούτε τη συνείδηση, ούτε τις σκέψεις, ούτε το λαιμό…

Φυσικά, μιλώντας για το έργο του Πούσκιν, δεν μπορεί κανείς να αποφύγει ένα από τα βαθύτερα φιλοσοφικά θέματα, το θέμα του ποιητή και την ποίηση. Ο Alexander Sergeevich γνώριζε ότι ο ποιητής είναι μόνος στην κοινωνία και συχνά μπορεί να παρεξηγηθεί, ότι ο θόρυβος και ο έπαινος του πλήθους είναι μόνο περιοδικοί και άστατοι, προσωρινοί. Αυτό φαίνεται ξεκάθαρα σε ένα από τα ποιήματά του:

Ποιητής! Μην εκτιμάτε την αγάπη των ανθρώπων.

ενθουσιώδης ο έπαινος θα περάσειλεπτό θόρυβο?

Ένα άλλο από τα έργα με αυτό το θέμα ήταν το «Μνημείο». Ακούγεται η πεποίθηση ότι το έργο του ποιητή είναι αθάνατο, ότι θα παραμείνει στις καρδιές των θαυμαστών του και ότι ο ίδιος ο ποιητής θα παραμείνει ζωντανός μετά θάνατον χάρη στις δημιουργίες του, κάτι που επιβεβαιώνεται από τις γραμμές:

Όχι, όλοι μου δεν θα πεθάνω - η ψυχή είναι στην αγαπημένη λύρα

Οι στάχτες μου θα επιβιώσουν και η αποσύνθεση θα φύγει...

Οι στίχοι του μεγάλου Alexander Sergeevich δεν χάνουν τη συνάφειά τους με τα χρόνια, επειδή ο συγγραφέας άγγιξε τα πιο ζωτικά και πιεστικά θέματα ακόμη και για τις μέρες μας, αιώνια θέματα, σε καθένα από τα οποία υπάρχει μια σταδιακή εξέλιξη σκέψεων, συναισθημάτων λυρικός ήρωας. Η δημιουργικότητα, οι στίχοι του Πούσκιν αναπτύχθηκαν μαζί του, με τον πνευματικό του κόσμο, την άποψή του για τα πάντα γύρω του.

Αποτελεσματική προετοιμασία για τις εξετάσεις (όλα τα θέματα) -

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους είναι δυνατοί «όχι πολύ. »
Και για όσους «πολύ άρτια. "")

Στο προηγούμενο μάθημα, καταλάβαμε τι είναι η τετραγωνική ρίζα. Ήρθε η ώρα να καταλάβουμε τι είναι φόρμουλες για ρίζες, τι είναι ιδιότητες της ρίζαςκαι τι μπορεί να γίνει για όλα αυτά.

Τύποι ρίζας, ιδιότητες ρίζας και κανόνες για ενέργειες με ρίζεςείναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα. Φόρμουλες για τετραγωνικές ρίζεςπαραδόξως λίγο. Κάτι που φυσικά ευχαριστεί! Αντίθετα, μπορείτε να γράψετε πολλά από όλα τα είδη τύπων, αλλά μόνο τρεις αρκούν για πρακτική και σίγουρη εργασία με τις ρίζες. Όλα τα άλλα πηγάζουν από αυτά τα τρία. Αν και πολλοί ξεφεύγουν στις τρεις φόρμουλες των ριζών, ναι.

Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό. Εκεί είναι:

Σας θυμίζω (από το προηγούμενο μάθημα): Οι α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί! Διαφορετικά, η φόρμουλα δεν έχει νόημα.

το ιδιότητα των ριζών , όπως μπορείτε να δείτε, απλό, σύντομο και ακίνδυνο. Αλλά με αυτόν τον τύπο root, μπορείτε να κάνετε πολλά χρήσιμα πράγματα! Ας ρίξουμε μια ματιά στο παραδείγματαόλα αυτά τα χρήσιμα πράγματα.

Χρήσιμο πράγμαπρώτα. Αυτή η φόρμουλα μας επιτρέπει πολλαπλασιάζω τις ρίζες.

Πώς να πολλαπλασιάσετε τις ρίζες;

Ναι, πολύ απλό. Κατευθείαν στη φόρμουλα. Για παράδειγμα:

Φαίνεται ότι έχουν πολλαπλασιαστεί, οπότε τι; Υπάρχει πολλή χαρά; Συμφωνώ, λίγο. Μα πώς σου αρέσει αυτό παράδειγμα?

Οι ρίζες δεν εξάγονται ακριβώς από παράγοντες. Και το αποτέλεσμα είναι υπέροχο! Ήδη καλύτερα, σωστά; Για παν ενδεχόμενο θα σας ενημερώσω ότι μπορεί να υπάρχουν όσοι πολλαπλασιαστές θέλετε. Ο τύπος πολλαπλασιασμού ρίζας εξακολουθεί να λειτουργεί. Για παράδειγμα:

Έτσι, με τον πολλαπλασιασμό, όλα είναι ξεκάθαρα γιατί αυτό χρειάζεται ιδιότητα των ριζών- είναι επίσης κατανοητό.

Χρήσιμο το δεύτερο. Εισαγωγή αριθμού κάτω από το σύμβολο της ρίζας.

Πώς να εισάγετε έναν αριθμό κάτω από τη ρίζα;

Ας πούμε ότι έχουμε αυτή την έκφραση:

Είναι δυνατόν να κρύψουμε το ντεκ μέσα στη ρίζα; Εύκολα! Εάν κάνετε μια ρίζα από δύο, ο τύπος για τον πολλαπλασιασμό των ριζών θα λειτουργήσει. Και πώς να φτιάξετε μια ρίζα από ένα deuce; Ναι, ούτε αυτό είναι θέμα! Το διπλό είναι τετραγωνική ρίζα τεσσάρων!

Η ρίζα, παρεμπιπτόντως, μπορεί να γίνει από οποιονδήποτε μη αρνητικό αριθμό! Αυτή θα είναι η τετραγωνική ρίζα του τετραγώνου αυτού του αριθμού. Το 3 είναι η ρίζα του 9. Το 8 είναι η ρίζα του 64. Το 11 είναι η ρίζα του 121. Λοιπόν, και ούτω καθεξής.

Φυσικά, δεν χρειάζεται να βάψετε με τόση λεπτομέρεια. Εκτός, για αρχή. Αρκεί να συνειδητοποιήσουμε ότι κάθε μη αρνητικός αριθμός πολλαπλασιασμένος με τη ρίζα μπορεί να τεθεί κάτω από τη ρίζα. Αλλά μην ξεχνάτε! - κάτω από τη ρίζα θα γίνει αυτός ο αριθμός τετράγωνοο ίδιος. Αυτή η ενέργεια - η εισαγωγή ενός αριθμού κάτω από τη ρίζα - μπορεί επίσης να ονομαστεί πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με τη ρίζα. Σε γενικές γραμμές, μπορεί κανείς να γράψει:

Η διαδικασία είναι απλή, όπως μπορείτε να δείτε. Γιατί τη χρειάζεται;

Όπως κάθε μετασχηματισμός, αυτή η διαδικασία διευρύνει τις δυνατότητές μας. Ευκαιρίες για να μετατρέψετε μια σκληρή και άβολη έκφραση σε απαλή και χνουδωτή έκφραση). Εδώ είναι ένα απλό για εσάς παράδειγμα:

Οπως βλέπεις ιδιότητα ρίζας,που καθιστά δυνατή την εισαγωγή ενός παράγοντα κάτω από το σημάδι της ρίζας, είναι αρκετά κατάλληλο για απλοποίηση.

Επιπλέον, η προσθήκη ενός πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα καθιστά εύκολη και απλή τη σύγκριση τιμών διάφορες ρίζες. Χωρίς κανέναν υπολογισμό και αριθμομηχανή! Το τρίτο χρήσιμο πράγμα.

Πώς να συγκρίνετε τις ρίζες;

Αυτή η ικανότητα είναι πολύ σημαντική σε στερεές αποστολές, κατά το ξεκλείδωμα μονάδων και άλλα ωραία πράγματα.

Συγκρίνετε αυτές τις εκφράσεις. Ποιο είναι περισσότερο; Χωρίς αριθμομηχανή! Το καθένα με μια αριθμομηχανή. α-α. Εν ολίγοις, όλοι μπορούν να το κάνουν!)

Δεν το λες αμέσως. Και αν εισάγετε αριθμούς κάτω από το σύμβολο της ρίζας;

Θυμηθείτε (ξαφνικά, δεν ήξερα;): εάν ο αριθμός κάτω από το πρόσημο της ρίζας είναι μεγαλύτερος, τότε η ίδια η ρίζα είναι μεγαλύτερη! Εξ ου και η αμέσως σωστή απάντηση, χωρίς περίπλοκους υπολογισμούς και υπολογισμούς:

Είναι υπέροχο, σωστά; Αλλά δεν είναι μόνο αυτό! Θυμηθείτε ότι όλοι οι τύποι λειτουργούν από αριστερά προς τα δεξιά και από δεξιά προς τα αριστερά. Μέχρι στιγμής έχουμε χρησιμοποιήσει τον τύπο για τον πολλαπλασιασμό των ριζών από αριστερά προς τα δεξιά. Ας εκτελέσουμε αυτήν την ιδιότητα root προς τα πίσω, από τα δεξιά προς τα αριστερά. Σαν αυτό:

Και ποια είναι η διαφορά; Σου δίνει κάτι!? Φυσικά! Τώρα θα το δείτε μόνοι σας.

Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να εξαγάγουμε (χωρίς αριθμομηχανή!) την τετραγωνική ρίζα του αριθμού 6561. Μερικοί άνθρωποι σε αυτό το στάδιο θα πέσουν σε μια άνιση μάχη με την εργασία. Εμείς όμως πεισμώνουμε, δεν τα παρατάμε! Χρήσιμο τέταρτο.

Πώς να εξαγάγετε ρίζες από μεγάλους αριθμούς;

Θυμόμαστε τον τύπο για την εξαγωγή ριζών από ένα προϊόν. Αυτό που δημοσίευσα παραπάνω. Πού είναι όμως η δουλειά μας; Έχουμε έναν τεράστιο αριθμό 6561 και αυτό είναι όλο. Ναι, δεν υπάρχει τέχνη. Αλλά αν το χρειαστούμε, εμείς Ας το κάνουμε! Ας συνυπολογίσουμε αυτόν τον αριθμό. Έχουμε το δικαίωμα.

Αρχικά, ας υπολογίσουμε με τι ακριβώς διαιρείται αυτός ο αριθμός; Τι, δεν ξέρεις! Ξέχασες τα σημάδια της διαιρετότητας!; Μάταια. Παω σε Ειδικό Τμήμα 555, το θέμα είναι "Κλάσματα", εκεί είναι. Ο αριθμός αυτός διαιρείται με το 3 και το 9. Επειδή το άθροισμα των ψηφίων (6+5+6+1=18) διαιρείται με αυτούς τους αριθμούς. Αυτό είναι ένα από τα σημάδια της διαιρετότητας. Δεν χρειάζεται να διαιρέσουμε με το τρία (τώρα θα καταλάβετε γιατί), αλλά θα διαιρέσουμε με το 9. Τουλάχιστον σε μια γωνία. Παίρνουμε 729. Βρήκαμε λοιπόν δύο παράγοντες! Το πρώτο είναι ένα εννιά (το επιλέξαμε μόνοι μας), και το δεύτερο είναι 729 (έτσι αποδείχθηκε). Μπορείτε ήδη να γράψετε:

Πάρτε την ιδέα; Ας κάνουμε το ίδιο με τον αριθμό 729. Διαιρείται επίσης με το 3 και το 9. Και πάλι, δεν διαιρούμε με το 3, διαιρούμε με το 9. Παίρνουμε 81. Και γνωρίζουμε αυτόν τον αριθμό! Καταγράφουμε:

Όλα έγιναν εύκολα και κομψά! Η ρίζα έπρεπε να αφαιρεθεί κομμάτι-κομμάτι, εντάξει. Αυτό μπορεί να γίνει με οποιοδήποτε μεγάλα νούμερα. Πολλαπλασιάστε τα και πηγαίνετε!

Παρεμπιπτόντως, γιατί δεν έπρεπε να διαιρέσετε με το 3, μαντέψατε; Ναι, γιατί η ρίζα των τριών δεν εξάγεται ακριβώς! Είναι λογικό να αποσυντίθεται σε τέτοιους παράγοντες ώστε τουλάχιστον μία ρίζα να μπορεί να εξαχθεί καλά. Είναι 4, 9, 16 καλά, και ούτω καθεξής. Διαιρέστε τον τεράστιο αριθμό σας με αυτούς τους αριθμούς με τη σειρά, βλέπετε, και είστε τυχεροί!

Όχι όμως απαραίτητα. Ίσως όχι τυχερός. Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός 432, όταν συνυπολογιστεί και χρησιμοποιηθεί ο τύπος ρίζας για το προϊόν, θα δώσει το ακόλουθο αποτέλεσμα:

Καλά εντάξει. Εμείς πάντως απλοποιήσαμε την έκφραση. Στα μαθηματικά συνηθίζεται να αφήνουμε τα περισσότερα μικρός αριθμόςτου δυνατού. Στη διαδικασία επίλυσης, τα πάντα εξαρτώνται από το παράδειγμα (ίσως όλα μειώνονται χωρίς απλοποίηση), αλλά στην απάντηση είναι απαραίτητο να δώσουμε ένα αποτέλεσμα που δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω.

Παρεμπιπτόντως, ξέρετε τι έχουμε κάνει με τη ρίζα του 432 τώρα;

Εμείς αφαιρούνται παράγοντες κάτω από το σημάδι της ρίζας ! Έτσι λέγεται αυτή η επέμβαση. Και τότε το έργο θα πέσει - " αφαιρέστε τον παράγοντα κάτω από το σημάδι της ρίζας«Αλλά οι άντρες δεν ξέρουν καν.) Να μια άλλη χρήση για σένα ιδιότητες της ρίζας.Χρήσιμο πράγμα πέμπτο.

Πώς να βγάλετε τον πολλαπλασιαστή από κάτω από τη ρίζα;

Εύκολα. Παραγοντοποιήστε την έκφραση ρίζας και εξάγετε τις ρίζες που εξάγονται. Εμείς κοιτάμε:

Τίποτα υπερφυσικό. Είναι σημαντικό να επιλέξετε τους σωστούς πολλαπλασιαστές. Εδώ έχουμε αποσυνθέσει το 72 ως 36 2. Και όλα έγιναν καλά. Ή θα μπορούσαν να το είχαν αποσυνθέσει διαφορετικά: 72 = 6 12. Και λοιπόν!? Ούτε από το 6 ούτε από το 12 εξάγεται η ρίζα. Τι να κάνω?!

Είναι εντάξει. Ή ψάξτε για άλλες επιλογές αποσύνθεσης ή συνεχίστε να απλώνετε τα πάντα μέχρι το τέλος! Σαν αυτό:

Όπως μπορείτε να δείτε, όλα λειτούργησαν. Αυτό, παρεμπιπτόντως, δεν είναι ο πιο γρήγορος, αλλά ο πιο αξιόπιστος τρόπος. Αποσυνθέστε τον αριθμό στους μικρότερους παράγοντες και, στη συνέχεια, συλλέξτε τους ίδιους σε σωρούς. Η μέθοδος εφαρμόζεται επίσης με επιτυχία κατά τον πολλαπλασιασμό άβολων ριζών. Για παράδειγμα, πρέπει να υπολογίσετε:

Πολλαπλασιάστε τα πάντα - παίρνετε έναν τρελό αριθμό! Και τότε πώς να εξαγάγετε τη ρίζα από αυτό;! Πολλαπλασιασμός ξανά; Όχι, δεν χρειαζόμαστε επιπλέον δουλειά. Αμέσως αποσυντίθεται σε παράγοντες και συλλέγουμε τους ίδιους σε σωρούς:

Αυτό είναι όλο. Φυσικά, δεν είναι απαραίτητο να απλώσετε μέχρι τη στάση. Όλα καθορίζονται από τις προσωπικές σας ικανότητες. Έφερε το παράδειγμα σε μια κατάσταση όπου όλα σου είναι ξεκάθαραώστε να μπορείτε ήδη να μετράτε. Το κύριο πράγμα είναι να μην κάνετε λάθη. Όχι ένας άνθρωπος για τα μαθηματικά, αλλά τα μαθηματικά για έναν άνθρωπο!)

Ας εφαρμόσουμε τη γνώση στην πράξη; Ας ξεκινήσουμε με ένα απλό:

Κανόνας για την προσθήκη τετραγωνικών ριζών

Ιδιότητες τετραγωνικών ριζών

Μέχρι στιγμής, έχουμε κάνει πέντε αριθμητικές πράξεις στους αριθμούς: πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση και εκθετικότητα και διάφορες ιδιότητες αυτών των πράξεων χρησιμοποιήθηκαν ενεργά στους υπολογισμούς, για παράδειγμα, a + b = b + a και n -b n = (ab) n κ.λπ.

Αυτό το κεφάλαιο εισάγει μια νέα λειτουργία - εξαγωγή τετραγωνική ρίζααπό έναν μη αρνητικό αριθμό. Για να το χρησιμοποιήσετε με επιτυχία, πρέπει να εξοικειωθείτε με τις ιδιότητες αυτής της λειτουργίας, κάτι που θα κάνουμε σε αυτήν την ενότητα.

Απόδειξη. Ας εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:
Πρέπει να το αποδείξουμε για αρνητικούς αριθμούς x, y, z, x = yz.

Άρα x 2 = ab, y 2 = a, z 2 = b. Τότε x 2 \u003d y 2 z 2, δηλαδή x 2 \u003d (yz) 2.

Αν ένα τετράγωναδύο μη αρνητικοί αριθμοί είναι ίσοι, τότε οι ίδιοι οι αριθμοί είναι ίσοι, πράγμα που σημαίνει ότι από την ισότητα x 2 \u003d (yz) 2 προκύπτει ότι x \u003d yz, και αυτό έπρεπε να αποδειχθεί.

Ας φέρουμε σύντομη σημείωσηαπόδειξη του θεωρήματος:

Παρατήρηση 1. Το θεώρημα παραμένει έγκυρο για την περίπτωση που η ριζική έκφραση είναι το γινόμενο περισσότερων από δύο μη αρνητικών παραγόντων.

Παρατήρηση 2. Θεώρημα 1 μπορεί να γραφτεί χρησιμοποιώντας το «αν. , τότε» (όπως συνηθίζεται για τα θεωρήματα στα μαθηματικά). Δίνουμε την αντίστοιχη διατύπωση: αν οι α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, τότε η ισότητα .

Έτσι διατυπώνουμε το παρακάτω θεώρημα.

(Μια σύντομη σύνθεση που είναι πιο βολική για χρήση στην πράξη: η ρίζα του κλάσματος ίσο με ένα κλάσμααπό τις ρίζες ή η ρίζα του πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των ριζών.)

Αυτή τη φορά θα δώσουμε μόνο μια σύντομη καταγραφή της απόδειξης και εσείς προσπαθήστε να κάνετε τα κατάλληλα σχόλια, παρόμοια θέματα, που αποτέλεσε την ουσία της απόδειξης του Θεωρήματος 1.

Παράδειγμα 1. Υπολογίστε .
Λύση. Χρήση της πρώτης ιδιοκτησίας τετραγωνικές ρίζες(Θεώρημα 1), λαμβάνουμε

Παρατήρηση 3. Φυσικά, αυτό το παράδειγμα μπορεί να λυθεί διαφορετικά, ειδικά αν έχετε μια αριθμομηχανή στο χέρι: πολλαπλασιάστε τους αριθμούς 36, 64, 9 και, στη συνέχεια, πάρτε την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος που προκύπτει. Ωστόσο, θα συμφωνήσετε ότι η λύση που προτείνεται παραπάνω φαίνεται πιο πολιτιστική.

Παρατήρηση 4. Στην πρώτη μέθοδο, πραγματοποιήσαμε μετωπικούς υπολογισμούς. Ο δεύτερος τρόπος είναι πιο κομψός:
κάναμε αίτηση τύπος a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b) και χρησιμοποίησε την ιδιότητα των τετραγωνικών ριζών.

Παρατήρηση 5. Ορισμένοι «hotheads» προσφέρουν μερικές φορές την ακόλουθη «λύση» στο Παράδειγμα 3:

Αυτό, φυσικά, δεν είναι αλήθεια: βλέπετε - το αποτέλεσμα δεν είναι το ίδιο με το παράδειγμά μας 3. Το γεγονός είναι ότι δεν υπάρχει ιδιοκτησία ως όχι και ιδιότητες Υπάρχουν μόνο ιδιότητες που αφορούν τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση των τετραγωνικών ριζών. Να είστε προσεκτικοί και προσεκτικοί, μην κάνετε ευσεβείς πόθους.

Παράδειγμα 4. Υπολογίστε: α)
Λύση. Οποιοσδήποτε τύπος στην άλγεβρα χρησιμοποιείται όχι μόνο "από δεξιά προς τα αριστερά", αλλά και "από αριστερά προς τα δεξιά". Έτσι, η πρώτη ιδιότητα των τετραγωνικών ριζών σημαίνει ότι, εάν είναι απαραίτητο, μπορεί να αναπαρασταθεί ως , και αντίστροφα, η οποία μπορεί να αντικατασταθεί από την έκφραση Το ίδιο ισχύει και για τη δεύτερη ιδιότητα των τετραγωνικών ριζών. Έχοντας αυτό υπόψη, ας λύσουμε το προτεινόμενο παράδειγμα.

Ολοκληρώνοντας την ενότητα, σημειώνουμε ένα ακόμη μάλλον απλό και ταυτόχρονα σημαντική περιουσία:
αν a > 0 και n - φυσικός αριθμός , έπειτα

Παράδειγμα 5Υπολογίζω , χωρίς τη χρήση πίνακα τετραγώνων αριθμών και αριθμομηχανή.

Λύση. Ας αποσυνθέσουμε τον αριθμό ρίζας σε πρωταρχικούς παράγοντες:

Παρατήρηση 6. Αυτό το παράδειγμα θα μπορούσε να λυθεί με τον ίδιο τρόπο όπως το παρόμοιο παράδειγμα στην § 15. Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι η απάντηση θα είναι «80 με ουρά», αφού 80 2 2 . Ας βρούμε την «ουρά», δηλαδή το τελευταίο ψηφίο του επιθυμητού αριθμού. Μέχρι στιγμής γνωρίζουμε ότι εάν εξαχθεί η ρίζα, τότε η απάντηση μπορεί να είναι 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 ή 89. Μόνο δύο αριθμοί πρέπει να ελεγχθούν: 84 και 86, αφού μόνο αυτοί, όταν τετραγωνιστεί, θα δώσει ως αποτέλεσμα τετραψήφιοένας αριθμός που τελειώνει σε 6, δηλ. το ίδιο ψηφίο που τελειώνει με τον αριθμό 7056. Έχουμε 84 2 \u003d 7056 - αυτό χρειαζόμαστε. Που σημαίνει,

Mordkovich A. G., Αλγεβρα. Βαθμός 8: Proc. για γενική εκπαίδευση ιδρύματα - 3η έκδ., οριστικοποιημένο. - Μ.: Μνημοσύνη, 2001. - 223 σελ.: εικ.

Λήψη βιβλίων, εγχειριδίων μαθηματικών, περίληψη για να βοηθήσετε τον δάσκαλο και τους μαθητές, να μάθουν στο διαδίκτυο

Εάν έχετε διορθώσεις ή προτάσεις για αυτό το μάθημαγράψε μας.

Αν θέλετε να δείτε άλλες διορθώσεις και προτάσεις για μαθήματα, δείτε εδώ - Εκπαιδευτικό Φόρουμ.

Πώς να προσθέσετε τετραγωνικές ρίζες

Η τετραγωνική ρίζα ενός αριθμού Χκάλεσε έναν αριθμό ΕΝΑ, το οποίο στη διαδικασία πολλαπλασιασμού από τον εαυτό του ( Α*Α) μπορεί να δώσει έναν αριθμό Χ.
Εκείνοι. A * A = A 2 = X, και √X = A.

Πάνω από τετραγωνικές ρίζες ( √x), όπως και με άλλους αριθμούς, μπορείτε να εκτελέσετε αριθμητικές πράξεις όπως αφαίρεση και πρόσθεση. Για να αφαιρέσετε και να προσθέσετε ρίζες, πρέπει να συνδεθούν χρησιμοποιώντας σημάδια που αντιστοιχούν σε αυτές τις ενέργειες (για παράδειγμα √x - √ y ).
Και μετά φέρτε τις ρίζες σε αυτούς απλούστερη μορφή- αν υπάρχουν παρόμοια μεταξύ τους, είναι απαραίτητο να γίνει γύψος. Συνίσταται στο γεγονός ότι οι συντελεστές παρόμοιων όρων λαμβάνονται με τα πρόσημα των αντίστοιχων όρων, στη συνέχεια περικλείονται σε αγκύλες και εξάγονται κοινή ρίζαέξω από τις αγκύλες του πολλαπλασιαστή. Ο συντελεστής που λάβαμε είναι απλοποιημένος σύμφωνα με τους συνήθεις κανόνες.

Βήμα 1. Εξαγωγή τετραγωνικών ριζών

Αρχικά, για να προσθέσετε τετραγωνικές ρίζες, πρέπει πρώτα να εξαγάγετε αυτές τις ρίζες. Αυτό μπορεί να γίνει εάν οι αριθμοί κάτω από το σύμβολο της ρίζας είναι τέλεια τετράγωνα. Για παράδειγμα, πάρτε τη δεδομένη έκφραση √4 + √9 . Πρώτος αριθμός 4 είναι το τετράγωνο του αριθμού 2 . Δεύτερος αριθμός 9 είναι το τετράγωνο του αριθμού 3 . Έτσι, μπορεί να επιτευχθεί η ακόλουθη ισότητα: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Όλα, το παράδειγμα λύνεται. Αλλά δεν συμβαίνει πάντα έτσι.

Βήμα 2. Βγάζοντας τον πολλαπλασιαστή ενός αριθμού κάτω από τη ρίζα

Αν ένα ολόκληρα τετράγωναδεν βρίσκεται κάτω από το σύμβολο της ρίζας, μπορείτε να προσπαθήσετε να αφαιρέσετε τον πολλαπλασιαστή του αριθμού κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Για παράδειγμα, πάρτε την έκφραση √24 + √54 .

Ας παραγοντοποιήσουμε τους αριθμούς:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Στη λίστα 24 έχουμε πολλαπλασιαστή 4 , μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από το σύμβολο της τετραγωνικής ρίζας. Στη λίστα 54 έχουμε πολλαπλασιαστή 9 .

Παίρνουμε την ισότητα:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το παράδειγμα, παίρνουμε την αφαίρεση του παράγοντα κάτω από το σύμβολο της ρίζας, απλοποιώντας έτσι τη δεδομένη έκφραση.

Βήμα 3. Μείωση του παρονομαστή

Εξετάστε την ακόλουθη κατάσταση: το άθροισμα δύο τετραγωνικών ριζών είναι ο παρονομαστής ενός κλάσματος, για παράδειγμα, A / (√a + √b).
Τώρα βρισκόμαστε αντιμέτωποι με το καθήκον «να απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή».
Ας χρησιμοποιήσουμε με τον εξής τρόπο: πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με την παράσταση √a - √b.

Τώρα παίρνουμε τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού στον παρονομαστή:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Ομοίως, αν ο παρονομαστής περιέχει τη διαφορά των ριζών: √a - √b, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος πολλαπλασιάζονται με την παράσταση √a + √b.

Ας πάρουμε ένα κλάσμα ως παράδειγμα:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 — √5) / ((√3 + √5) * (√3 — √5)) = 4 * (√3 — √5) / (-2) = 2 * (√5 — √3) .

Ένα παράδειγμα μείωσης μιγαδικού παρονομαστή

Τώρα ας αναλογιστούμε αρκετά σύνθετο παράδειγμανα απαλλαγούμε από τον παραλογισμό στον παρονομαστή.

Ας πάρουμε ένα κλάσμα ως παράδειγμα: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Πρέπει να πάρετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του και να πολλαπλασιάσετε με την παράσταση √2 + √3 — √5 .

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 — √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 — √30.

Βήμα 4. Υπολογίστε την κατά προσέγγιση τιμή στην αριθμομηχανή

Εάν χρειάζεστε μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή, αυτό μπορεί να γίνει σε μια αριθμομηχανή υπολογίζοντας την τιμή των τετραγωνικών ριζών. Ξεχωριστά, για κάθε αριθμό, υπολογίζεται και καταγράφεται η τιμή με την απαιτούμενη ακρίβεια, η οποία καθορίζεται από τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων. Περαιτέρω, εκτελούνται όλες οι απαιτούμενες λειτουργίες, όπως με τους συνηθισμένους αριθμούς.

Παράδειγμα εκτιμώμενου υπολογισμού

Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η κατά προσέγγιση τιμή αυτής της έκφρασης √7 + √5 .

Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Σημείωση: σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να προσθέτετε τετραγωνικές ρίζες, όπως πρώτοι αριθμοί, αυτό είναι εντελώς απαράδεκτο. Δηλαδή, αν προσθέσουμε την τετραγωνική ρίζα του πέντε και του τρία, δεν μπορούμε να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα του οκτώ.

Χρήσιμες συμβουλές: εάν αποφασίσετε να παραγοντοποιήσετε έναν αριθμό, για να εξαγάγετε ένα τετράγωνο από κάτω από το σύμβολο της ρίζας, πρέπει να κάνετε έναν αντίστροφο έλεγχο, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε όλους τους παράγοντες που προέκυψαν από τους υπολογισμούς και το τελικό αποτέλεσμα αυτού ο μαθηματικός υπολογισμός θα πρέπει να είναι ο αριθμός που μας δόθηκε αρχικά.

Δράση με ρίζες: πρόσθεση και αφαίρεση

Η εξαγωγή της τετραγωνικής ρίζας ενός αριθμού δεν είναι η μόνη πράξη που μπορεί να γίνει με αυτό το μαθηματικό φαινόμενο. Ακριβώς όπως οι συνηθισμένοι αριθμοί, οι τετραγωνικές ρίζες μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν.

Κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση τετραγωνικών ριζών

Ενέργειες όπως η προσθήκη και η αφαίρεση μιας τετραγωνικής ρίζας είναι δυνατές μόνο εάν η έκφραση ρίζας είναι η ίδια.

Μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εκφράσεις 2 3 και 6 3, αλλά όχι 5 6 και 9 4 . Εάν είναι δυνατό να απλοποιήσετε την έκφραση και να την φέρετε σε ρίζες με τον ίδιο αριθμό ρίζας, τότε απλοποιήστε και στη συνέχεια προσθέστε ή αφαιρέστε.

Root Actions: The Basics

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Απλοποιήστε την έκφραση ρίζας. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να αποσυντεθεί η έκφραση ρίζας σε 2 παράγοντες, ένας εκ των οποίων είναι ένας τετράγωνος αριθμός (ο αριθμός από τον οποίο εξάγεται ολόκληρη η τετραγωνική ρίζα, για παράδειγμα, 25 ή 9).
2. Στη συνέχεια, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα από τετραγωνικός αριθμός και γράψτε την τιμή που προκύπτει πριν από το σύμβολο της ρίζας. Λάβετε υπόψη ότι ο δεύτερος παράγοντας εισάγεται κάτω από το σύμβολο της ρίζας.
3. Μετά τη διαδικασία απλοποίησης, είναι απαραίτητο να υπογραμμιστούν οι ρίζες με τις ίδιες ριζικές εκφράσεις - μόνο αυτές μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν.
4. Για ρίζες με τις ίδιες ριζικές εκφράσεις, είναι απαραίτητο να προστεθούν ή να αφαιρεθούν οι παράγοντες που προηγούνται του ριζικού πρόσημου. Η έκφραση ρίζας παραμένει αμετάβλητη. Μην προσθέτετε ή αφαιρείτε αριθμούς ρίζας!

Αν έχετε ένα παράδειγμα με μεγάλη ποσότηταπανομοιότυπες ριζικές εκφράσεις και, στη συνέχεια, υπογραμμίστε αυτές τις εκφράσεις με μονές, διπλές και τριπλές γραμμές για να διευκολύνετε τη διαδικασία υπολογισμού.

Ας δοκιμάσουμε αυτό το παράδειγμα:

6 50 = 6 (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30 2 . Πρώτα πρέπει να αποσυνθέσετε το 50 σε 2 παράγοντες 25 και 2, στη συνέχεια να πάρετε τη ρίζα του 25, που είναι 5, και να βγάλετε 5 από κάτω από τη ρίζα. Μετά από αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 5 με το 6 (τον πολλαπλασιαστή στη ρίζα) και να πάρετε 30 2 .

2 8 = 2 (4 × 2) = (2 × 2) 2 = 4 2 . Πρώτα, πρέπει να αποσυνθέσετε 8 σε 2 παράγοντες: 4 και 2. Στη συνέχεια, από το 4, αφαιρέστε τη ρίζα, που είναι ίση με 2, και βγάλτε 2 από κάτω από τη ρίζα. Μετά από αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 2 επί 2 (τον παράγοντα στη ρίζα) και να πάρετε 4 2 .

5 12 = 5 (4 × 3) = (5 × 2) 3 = 10 3 . Πρώτα, πρέπει να αποσυνθέσετε 12 σε 2 παράγοντες: 4 και 3. Στη συνέχεια, εξαγάγετε τη ρίζα από το 4, που είναι 2, και βγάλτε την από κάτω από τη ρίζα. Μετά από αυτό, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το 2 επί 5 (τον παράγοντα στη ρίζα) και να πάρετε 10 3 .

Αποτέλεσμα απλοποίησης: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = (30 — 4) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

Ως αποτέλεσμα, είδαμε πόσες πανομοιότυπες ριζικές εκφράσεις περιέχονται σε αυτό το παράδειγμα. Τώρα ας εξασκηθούμε με άλλα παραδείγματα.

• Απλοποιήστε (45) . Παραγοντοποιούμε το 45: (45) = (9 × 5) ;
• Βγάζουμε 3 από κάτω από τη ρίζα (9 \u003d 3): 45 \u003d 3 5;
• Προσθέτουμε τους παράγοντες στις ρίζες: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
• Απλοποίηση 6 40 . Παραγοντοποιούμε το 40: 6 40 \u003d 6 (4 × 10) ;
• Βγάζουμε 2 από κάτω από τη ρίζα (4 \u003d 2): 6 40 \u003d 6 (4 × 10) \u003d (6 × 2) 10;
• Πολλαπλασιάζουμε τους παράγοντες που βρίσκονται μπροστά από τη ρίζα: 12 10;
• Γράφουμε την έκφραση σε απλοποιημένη μορφή: 12 10 - 3 10 + 5;
• Εφόσον οι δύο πρώτοι όροι έχουν τους ίδιους ριζικούς αριθμούς, μπορούμε να τους αφαιρέσουμε: (12 - 3) 10 = 9 10 + 5.

Όπως μπορούμε να δούμε, δεν είναι δυνατό να απλοποιήσουμε τους ριζικούς αριθμούς, επομένως, στο παράδειγμα, αναζητούμε μέλη με τους ίδιους ριζικούς αριθμούς, εκτελούμε μαθηματικές πράξεις (προσθήκη, αφαίρεση κ.λπ.) και γράφουμε το αποτέλεσμα:

(9 — 4) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Συμβουλές:

• Πριν προσθέσετε ή αφαιρέσετε, είναι επιτακτική ανάγκη να απλοποιήσετε (αν είναι δυνατόν) τις ριζικές εκφράσεις.
• Η προσθήκη και η αφαίρεση ριζών με διαφορετικές εκφράσεις ρίζας απαγορεύεται αυστηρά.
• Μην προσθέτετε ή αφαιρείτε ακέραιο ή τετραγωνική ρίζα: 3 + (2 x) 1 / 2 .
• Όταν εκτελείτε πράξεις με κλάσματα, πρέπει να βρείτε έναν αριθμό που να διαιρείται με κάθε παρονομαστή και στη συνέχεια να φέρετε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή, μετά προσθέστε τους αριθμητές και αφήστε τους παρονομαστές αμετάβλητους.

Ιδιότητες της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας. Δύναμη της αριθμητικής τετραγωνικής ρίζας

Μετατροπή αριθμητικών τετραγωνικών ριζών. Μετατροπή αριθμητικών τετραγωνικών ριζών

Για εξαγωγή τετραγωνική ρίζα πολυωνύμου, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το πολυώνυμο και να εξαγάγετε τη ρίζα από τον αριθμό που προκύπτει.

Προσοχή!Είναι αδύνατο να εξαχθεί η ρίζα από κάθε όρο (μείωση και αφαίρεση) ξεχωριστά.

Shchob να κερδίσει τετραγωνική ρίζα πολυωνύμου, η απαίτηση είναι να υπολογίσετε τον πλούσιο όρο και από τον αφαιρούμενο αριθμό να πάρετε τη ρίζα.

Σεβασμός!Είναι αδύνατο να εξαχθεί η ρίζα από το συμπλήρωμα δέρματος (αλλαγμένο και ορατό) OKremo.

Για να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα του προϊόντος (πηλίκο), μπορείτε να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα κάθε παράγοντα (μέρισμα και διαιρέτης) και να λάβετε τις προκύπτουσες τιμές ​​με το γινόμενο (πηλίκο).

Για να κερδίσετε την τετραγωνική ρίζα του dobutka (μέρη), μπορείτε να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα του πολλαπλασιαστή δέρματος (διαιρεμένη και dilnik), και να αφαιρέσετε την τιμή παίρνοντας ένα συμπληρωματικό (συχνό).

Να πάρουμε την τετραγωνική ρίζα ενός κλάσματος, πρέπει να εξαγάγετε την τετραγωνική ρίζα του αριθμητή και του παρονομαστή χωριστά και να αφήσετε τις προκύπτουσες τιμές ως κλάσμα ή να υπολογίσετε ως πηλίκο (αν είναι δυνατόν με συνθήκη).

Για να κερδίσετε την τετραγωνική ρίζα του κλάσματος, πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του αριθμητικού βιβλίου και το πανό του okremo και να στερήσετε την τιμή του κλάσματος με ένα κλάσμα ή να το μετρήσετε ως μέρος (όπως είναι δυνατόν για το μυαλό).

Ένας παράγοντας μπορεί να αφαιρεθεί από κάτω από το σύμβολο της ρίζας και ένας παράγοντας μπορεί να εισαχθεί κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Όταν αφαιρείται ένας παράγοντας, η ρίζα εξάγεται από αυτόν και όταν εισάγεται, αυξάνεται στην αντίστοιχη ισχύ.

Το 3ο πρόσημο της ρίζας μπορεί να πολλαπλασιαστεί και το πρόσημο της ρίζας μπορεί να πολλαπλασιαστεί. Με σφάλμα του πολλαπλασιαστή οι ρίζες στρίβονται και με την εισαγωγή οι ρίζες χτίζονται στα ψηλότερα πόδια.

Παραδείγματα. Ισχύουν

Για να μετατρέψετε το άθροισμα (διαφορά) των τετραγωνικών ριζών, πρέπει να φέρετε τις εκφράσεις ρίζας στη μία βάση του βαθμού, αν είναι δυνατόν, να εξαγάγετε τις ρίζες από τις μοίρες και να τις γράψετε πριν από τα σημάδια των ριζών και τις υπόλοιπες τετραγωνικές ρίζες με μπορούν να προστεθούν οι ίδιες εκφράσεις ρίζας, για τις οποίες οι συντελεστές προστίθενται πριν από τη ρίζα του πρόσημου και προσθέτουμε την ίδια τετραγωνική ρίζα.

Προκειμένου να επαναδημιουργηθεί το άθροισμα (κόστος) των τετραγωνικών ριζών, είναι απαραίτητο να φέρετε τις ρίζες ρίζας σε μία από τις βάσεις του βήματος, όπως είναι δυνατόν, να λάβετε τη ρίζα των βημάτων και να τις σημειώσετε πριν από τα σημάδια του τις ρίζες, και τη λύση των τετραγωνικών ριζών με τις ίδιες ρίζες λέξεις, τι μπορώ να προσθέσω και να προσθέσω την ίδια τετραγωνική ρίζα.

Φέρνουμε όλες τις ριζικές εκφράσεις στη βάση 2.

Από ζυγό βαθμό, η ρίζα εξάγεται πλήρως, από περιττό βαθμό, η ρίζα της βάσης στον βαθμό 1 αφήνεται κάτω από το σημάδι της ρίζας.

Δίνουμε παρόμοιους ακέραιους αριθμούς και προσθέτουμε τους συντελεστές με τις ίδιες ρίζες. Γράφουμε το διώνυμο ως γινόμενο ενός αριθμού και το διώνυμο του αθροίσματος.

Φέρτε όλες τις υπο-ρίζες του virazi στη βάση 2.

Από το ζευγαρωμένο στάδιο, οι ρίζες σχεδιάζονται σε μια σειρά, από το μη ζευγαρωμένο στάδιο, οι ρίζες της βάσης στο στάδιο 1 γεμίζονται κάτω από το σημάδι της ρίζας.

Προτείνεται να προστεθούν παρόμοιοι αριθμοί και συντελεστές στις ίδιες ρίζες. Γράφουμε το διώνυμο ως συμπλήρωμα του αριθμού i του διωνύμου sumi.

Φέρνουμε τις ριζοσπαστικές εκφράσεις στη μικρότερη βάση ή το γινόμενο των δυνάμεων με τις μικρότερες βάσεις. Εξάγουμε τη ρίζα από άρτιους βαθμούς ριζικών εκφράσεων, αφήνουμε τα υπόλοιπα με τη μορφή βάσης ενός βαθμού με δείκτη 1 ή το γινόμενο τέτοιων βάσεων κάτω από το σημάδι της ρίζας. Δίνουμε παρόμοιους όρους (προσθέστε τους συντελεστές των ίδιων ριζών).

Οδηγούμε τη ρίζα του virazi στη μικρότερη βάση ή την προσθήκη βημάτων με τις μικρότερες βάσεις. Από τα αχνιστά βήματα κάτω από τις ρίζες του viraz, λαμβάνονται οι ρίζες, το πλεόνασμα στη βάση του βήματος με τον δείκτη 1 ή η προσθήκη τέτοιων βάσεων γεμίζεται κάτω από το σημάδι της ρίζας. Προτείνουμε παρόμοιους όρους (αθροίζουμε τους συντελεστές των ίδιων ριζών).

Ας αντικαταστήσουμε τη διαίρεση των κλασμάτων με πολλαπλασιασμό (με την αντικατάσταση του δεύτερου κλάσματος από το αντίστροφο). Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές χωριστά. Κάτω από κάθε σημάδι της ρίζας, επισημαίνουμε τις μοίρες. Ας κόψουμε ίδιοι πολλαπλασιαστέςστον αριθμητή και στον παρονομαστή. Εξάγουμε ρίζες από ακόμη και δυνάμεις.

Αντικαθιστούμε τη διαίρεση των κλασμάτων με πολλαπλασιασμό (με την αντικατάσταση ενός άλλου κλάσματος με επιστροφή). Πολλαπλασιάστε τους αριθμούς okremo και τα banner των κλασμάτων. Τα βήματα είναι ορατά κάτω από το σημάδι δέρματος της ρίζας. Θα επιταχύνουμε τους ίδιους πολλαπλασιαστές στο βιβλίο αριθμών και στο banner. Κατηγορήστε τη ρίζα των δίδυμων βημάτων.

Να συγκρίνετε δύο τετραγωνικές ρίζες, οι ριζικές εκφράσεις τους πρέπει να φτάσουν σε ένα βαθμό με την ίδια βάση, τότε όσο περισσότερο εμφανίζεται ο βαθμός της ριζικής έκφρασης, μεγαλύτερη αξίατετραγωνική ρίζα.

Σε αυτό το παράδειγμα, οι ριζικές εκφράσεις δεν μπορούν να μειωθούν σε μία βάση, αφού η βάση είναι 3 στην πρώτη και 3 και 7 στη δεύτερη.

Ο δεύτερος τρόπος σύγκρισης είναι να προσθέσετε τον παράγοντα ρίζας στη ριζική έκφραση και να συγκρίνετε αριθμητικές τιμέςριζωμένες εκφράσεις. Για μια τετραγωνική ρίζα, όσο μεγαλύτερη είναι η έκφραση ρίζας, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της ρίζας.

Να ταιριάζουν δύο τετραγωνικές ρίζες, οι υπορίζες τους πρέπει να έρθουν σε επίπεδο με την ίδια βάση, ενώ όσο μεγαλύτερος είναι ο δείκτης του βαθμού της υπορίζας του ιού, τόσο μεγαλύτερη είναι η τιμή της τετραγωνικής ρίζας.

Σε αυτή την περίπτωση, δεν είναι δυνατό να φέρουμε σε μία βάση τις ρίζες του virazi, αφού στην πρώτη η βάση είναι 3 και στην άλλη - 3 και 7.

Ένας άλλος τρόπος εξισορρόπησης είναι να προσθέσετε τον συντελεστή ρίζας στη ρίζα virase και να εξισώσετε τις αριθμητικές τιμές της ρίζας virase. Η τετραγωνική ρίζα έχει περισσότερη υπορίζα viraz, τόσο μεγαλύτερη είναι η αξία της ρίζας.

Χρησιμοποιώντας τον κατανεμητικό νόμο του πολλαπλασιασμού και τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ριζών με τους ίδιους εκθέτες (στην περίπτωσή μας, τετραγωνικές ρίζες), λάβαμε το άθροισμα δύο τετραγωνικών ριζών με το γινόμενο κάτω από το πρόσημο της ρίζας. Αποσυνθέτουμε το 91 σε πρώτους παράγοντες και βγάζουμε τη ρίζα από αγκύλες με κοινούς ριζικούς παράγοντες (13 * 5).

Λάβαμε το γινόμενο μιας ρίζας και ενός διωνύμου, στο οποίο ένα από τα μονώνυμα είναι ακέραιος αριθμός (1).

Vikoristovuyuchi rozpodilny νόμος του πολλαπλασιασμού και ο κανόνας του πολλαπλασιασμού των ριζών με τους ίδιους δείκτες (στην περίπτωσή μας - τετραγωνικές ρίζες), πήρε το άθροισμα δύο τετραγωνικών ριζών με ένα πρόσθετο πρόσημο της ρίζας. Μπορούμε να σχεδιάσουμε 91 πολλαπλασιαστές με απλά λόγια και να πάρουμε τη ρίζα για τα τόξα από τους πολλαπλασιαστές ρίζας (13 * 5).

Πήραμε την προσθήκη μιας ρίζας και ενός δυαδικού, που έχει ένα από τα μονοώνυμα στον ακέραιο αριθμό (1).

Παράδειγμα 9:

Στις ριζικές εκφράσεις επιλέγουμε με παράγοντες τους αριθμούς από τους οποίους μπορούμε να εξαγάγουμε ολόκληρη την τετραγωνική ρίζα. Εξάγουμε τις τετραγωνικές ρίζες από τις δυνάμεις και βάζουμε τους αριθμούς με τους συντελεστές των τετραγωνικών ριζών.

Οι όροι αυτού του πολυωνύμου έχουν έναν κοινό παράγοντα √3, ο οποίος μπορεί να αφαιρεθεί από τις αγκύλες. Ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους.

Σε ιούς υπορίζας, θεωρείται ως πολλαπλασιαστές του αριθμού, από τους οποίους μπορεί κανείς να πάρει την τετραγωνική ρίζα. Κατηγορούμε τις τετραγωνικές ρίζες των βημάτων και βάζουμε τους αριθμούς με τους συντελεστές των τετραγωνικών ριζών.

Οι όροι αυτού του πολυωνύμου έχουν έναν κοινό πολλαπλασιαστή √3, ο οποίος μπορεί να κατηγορηθεί για τους βραχίονες. Προτείνουμε παρόμοιες προσθήκες.

Το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς δύο ίδιες βάσεις(3 και √5) χρησιμοποιώντας τον συντομευμένο τύπο πολλαπλασιασμού μπορεί να γραφτεί ως η διαφορά των τετραγώνων των βάσεων.

Η τετραγωνική ρίζα στο τετράγωνο είναι πάντα ίση με τη ριζική έκφραση, οπότε θα απαλλαγούμε από τη ρίζα (σύνολο της ρίζας) στην έκφραση.

Το άθροισμα και η διαφορά Dobutok δύο όμοιων βάσεων (3 і √5) από τον τύπο του γρήγορου πολλαπλασιασμού μπορούν να γραφτούν ως διαφορά τετραγωνικών βάσεων.

Η τετραγωνική ρίζα του τετραγώνου zavzhd είναι ίση με την υπορίζα virase, οπότε θα ονομάσουμε τη ρίζα (ζώο ρίζας) της virase.

Πίσω στο σχολείο. Προσθήκη ριζών

Στις μέρες μας, τα σύγχρονα ηλεκτρονικά Υπολογιστέςο υπολογισμός της ρίζας ενός αριθμού δεν αναπαρίσταται δύσκολη εργασία. Για παράδειγμα, √2704=52, οποιαδήποτε αριθμομηχανή θα το υπολογίσει για εσάς. Ευτυχώς, η αριθμομηχανή δεν είναι μόνο στα Windows, αλλά και σε ένα συνηθισμένο, ακόμα και το πιο απλό, τηλέφωνο. Είναι αλήθεια ότι αν ξαφνικά (με μικρό βαθμό πιθανότητας, ο υπολογισμός του οποίου, παρεμπιπτόντως, περιλαμβάνει την προσθήκη ριζών) βρεθείτε χωρίς διαθέσιμα κεφάλαια, τότε, δυστυχώς, θα πρέπει να βασιστείτε μόνο στον εγκέφαλό σας.

Η εκπαίδευση του μυαλού δεν αποτυγχάνει ποτέ. Ειδικά για όσους δεν εργάζονται τόσο συχνά με αριθμούς και ακόμη περισσότερο με ρίζες. Η προσθήκη και η αφαίρεση ριζών είναι μια καλή προπόνηση για ένα βαρετό μυαλό. Και θα σας δείξω βήμα βήμα την προσθήκη ριζών. Παραδείγματα εκφράσεων μπορεί να είναι τα ακόλουθα.

Η εξίσωση που πρέπει να απλοποιηθεί είναι:

Αυτή είναι μια παράλογη έκφραση. Για να το απλοποιήσετε, πρέπει να μειώσετε όλες τις ριζικές εκφράσεις σε γενική εικόνα. Το κάνουμε σταδιακά:

Ο πρώτος αριθμός δεν μπορεί πλέον να απλοποιηθεί. Ας περάσουμε στη δεύτερη θητεία.

3√48 παραγοντοποιούμε το 48: 48=2×24 ή 48=3×16. Η τετραγωνική ρίζα του 24 δεν είναι ακέραιος, δηλ. έχει κλασματικό υπόλοιπο. Δεδομένου ότι χρειαζόμαστε μια ακριβή τιμή, οι κατά προσέγγιση ρίζες δεν είναι κατάλληλες για εμάς. Η τετραγωνική ρίζα του 16 είναι 4, βγάλτε την κάτω από το σύμβολο της ρίζας. Παίρνουμε: 3×4×√3=12×√3

Η επόμενη έκφρασή μας είναι αρνητική, δηλ. γραμμένο με αρνητικό πρόσημο -4×√(27.) Factoring 27. Παίρνουμε 27=3×9. Δεν χρησιμοποιούμε κλασματικούς συντελεστές, γιατί είναι πιο δύσκολο να υπολογίσουμε την τετραγωνική ρίζα από κλάσματα. Βγάζουμε 9 από κάτω από την ταμπέλα, δηλ. υπολογίστε την τετραγωνική ρίζα. Παίρνουμε παρακάτω έκφραση: -4×3×√3 = -12×√3

Ο επόμενος όρος √128 υπολογίζει το τμήμα που μπορεί να αφαιρεθεί κάτω από τη ρίζα. 128=64×2 όπου √64=8. Εάν σας διευκολύνει, μπορείτε να αναπαραστήσετε αυτήν την έκφραση ως εξής: √128=√(8^2×2)

Ξαναγράφουμε την έκφραση με απλοποιημένους όρους:

Τώρα προσθέτουμε τους αριθμούς με την ίδια ριζική έκφραση. Δεν μπορείτε να προσθέσετε ή να αφαιρέσετε εκφράσεις με διαφορετικές ριζικές εκφράσεις. Η προσθήκη ριζών απαιτεί συμμόρφωση με αυτόν τον κανόνα.

Παίρνουμε την εξής απάντηση:

√2=1×√2 - Ελπίζω ότι συνηθίζεται στην άλγεβρα να παραλείπετε τέτοια στοιχεία δεν θα είναι είδηση ​​για εσάς.

Οι εκφράσεις μπορούν να αναπαρασταθούν όχι μόνο με τετραγωνικές ρίζες, αλλά και με κυβικές ή ντες ρίζες.

Η πρόσθεση και η αφαίρεση ριζών με διαφορετικούς εκθέτες, αλλά με ισοδύναμη έκφραση ρίζας, γίνεται ως εξής:

Εάν έχουμε μια έκφραση όπως √a+∛b+∜b, τότε μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτήν την έκφραση ως εξής:

12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3

Φέραμε δύο τέτοια μέλη γενικός δείκτηςρίζα. Εδώ χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα των ριζών, η οποία λέει: εάν ο αριθμός του βαθμού της έκφρασης ρίζας και ο αριθμός του εκθέτη ρίζας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε ο υπολογισμός του θα παραμείνει αμετάβλητος.

Σημείωση: οι εκθέτες προστίθενται μόνο όταν πολλαπλασιάζονται.

Εξετάστε ένα παράδειγμα όπου υπάρχουν κλάσματα σε μια έκφραση.

Ας το λύσουμε βήμα βήμα:

5√8=5*2√2 - βγάζουμε το εξαγόμενο μέρος κάτω από τη ρίζα.

Εάν το σώμα της ρίζας αντιπροσωπεύεται από ένα κλάσμα, τότε συχνά αυτό το κλάσμα δεν αλλάζει εάν ληφθεί η τετραγωνική ρίζα του μερίσματος και του διαιρέτη. Ως αποτέλεσμα, έχουμε την ισότητα που περιγράφεται παραπάνω.

Εδώ είναι η απάντηση.

Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε είναι ότι μια ρίζα με ζυγό εκθέτη δεν εξάγεται από αρνητικούς αριθμούς. Εάν μια ριζική έκφραση άρτιου βαθμού είναι αρνητική, τότε η έκφραση είναι άλυτη.

Η προσθήκη των ριζών είναι δυνατή μόνο εάν οι εκφράσεις ρίζας συμπίπτουν, αφού είναι σαν όρους. Το ίδιο ισχύει και για τη διαφορά.

Η προσθήκη ριζών με διαφορετικούς αριθμητικούς εκθέτες πραγματοποιείται με αναγωγή και των δύο όρων σε έναν κοινό βαθμό ρίζας. Αυτός ο νόμος λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο όπως η αναγωγή σε κοινό παρονομαστή κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση κλασμάτων.

Εάν η ριζική έκφραση περιέχει έναν αριθμό αυξημένο σε δύναμη, τότε αυτή η έκφραση μπορεί να απλοποιηθεί με την προϋπόθεση ότι υπάρχει ένας κοινός παρονομαστής μεταξύ της ρίζας και του εκθέτη.

Η τετραγωνική ρίζα ενός γινομένου και ενός κλάσματος

Η τετραγωνική ρίζα του α είναι ένας αριθμός του οποίου το τετράγωνο είναι α. Για παράδειγμα, οι αριθμοί -5 και 5 είναι οι τετραγωνικές ρίζες του αριθμού 25. Δηλαδή, οι ρίζες της εξίσωσης x^2=25 είναι οι τετραγωνικές ρίζες του αριθμού 25. Τώρα πρέπει να μάθετε πώς να εργάζεστε με το λειτουργία τετραγωνικής ρίζας: μελέτη των βασικών ιδιοτήτων του.

Η τετραγωνική ρίζα του προϊόντος

√(a*b)=√a*√b

Η τετραγωνική ρίζα του γινομένου δύο μη αρνητικών αριθμών, είναι ίσο με το γινόμενοτετραγωνικές ρίζες αυτών των αριθμών. Για παράδειγμα, √(9*25) = √9*√25 =3*5 =15;

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι αυτή η ιδιότητα ισχύει και για την περίπτωση που η ριζική έκφραση είναι το γινόμενο τριών, τεσσάρων κ.λπ. μη αρνητικοί πολλαπλασιαστές.

Μερικές φορές υπάρχει μια άλλη διατύπωση αυτής της ιδιότητας. Αν οι a και b είναι μη αρνητικοί αριθμοί, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: √(a*b) =√a*√b. Δεν υπάρχει καμία απολύτως διαφορά μεταξύ τους, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε είτε τη μία είτε την άλλη διατύπωση (ποια είναι πιο βολικό να θυμάστε).

Η τετραγωνική ρίζα ενός κλάσματος

Αν a>=0 και b>0, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα:

√(a/b)=√a/√b.

Για παράδειγμα, √(9/25) = √9/√25 =3/5;

Αυτή η ιδιότητα έχει επίσης μια διαφορετική διατύπωση, κατά τη γνώμη μου, πιο βολική για να θυμάστε.
Η τετραγωνική ρίζα του πηλίκου είναι ίση με το πηλίκο των ριζών.

Αξίζει να σημειωθεί ότι αυτοί οι τύποι λειτουργούν τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από δεξιά προς τα αριστερά. Δηλαδή, αν χρειαστεί, μπορούμε να αναπαραστήσουμε το γινόμενο των ριζών ως ρίζα του προϊόντος. Το ίδιο ισχύει και για το δεύτερο ακίνητο.

Όπως μπορείτε να δείτε, αυτές οι ιδιότητες είναι πολύ βολικές και θα ήθελα να έχω τις ίδιες ιδιότητες για πρόσθεση και αφαίρεση:

√(a+b)=√a+√b;

√(a-b)=√a-√b;

Αλλά δυστυχώς τέτοια ακίνητα είναι τετράγωνα δεν έχουν ρίζες, και έτσι δεν μπορεί να γίνει σε υπολογισμούς..

• 13. Οδήγηση μέσω κυκλοφοριακών διασταυρώσεων 2018 με σχόλια online 13.1. Όταν στρίβει δεξιά ή αριστερά, ο οδηγός πρέπει να δίνει τη θέση του σε πεζούς και ποδηλάτες που διασχίζουν το οδόστρωμα στον οποίο στρίβει. Αυτή η οδηγία ισχύει για όλες τις […]
• Συνάντηση γονέων«Δικαιώματα, καθήκοντα και ευθύνες γονέων» Παρουσίαση για το μάθημα Λήψη παρουσίασης (536,6 kB) Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει όλα τα […]
• Περιφερειακό μητρικό κεφάλαιοστην περιοχή Orel Η περιφερειακή πρωτεύουσα μητρότητας (MK) στο Orel και η περιοχή Oryol ιδρύθηκε το 2011. Τώρα είναι ένα επιπλέον μέτρο κοινωνικής στήριξης. πολύτεκνες οικογένειεςμε τη μορφή εφάπαξ μετρητών […]
• Το ποσό του εφάπαξ επιδόματος για πρόωρη εγγραφή το 2018 Η σελίδα που ζητήσατε δεν βρέθηκε. Μπορεί να έχετε εισαγάγει λάθος διεύθυνση ή η σελίδα έχει αφαιρεθεί. Χρήση […]
• Δικηγόρος για οικονομικές υποθέσεις οικονομική σφαίρα- αρκετά ογκομετρική έννοια. Τέτοιες πράξεις περιλαμβάνουν απάτη, παράνομη επιχείρηση, ξέπλυμα χρήματος, παράνομη τραπεζική […]
• Υπηρεσία Τύπου της Κεντρικής Τράπεζας Ρωσική Ομοσπονδία(Τράπεζα της Ρωσίας) Υπηρεσία Τύπου 107016, Μόσχα, st. Neglinnaya, 12www.cbr.ru Σχετικά με το διορισμό προσωρινής διοίκησης, το Τμήμα Εξωτερικών και Δημοσίων Σχέσεων της Τράπεζας της Ρωσίας ενημερώνει ότι, σύμφωνα με την παράγραφο 2 […]
• γενικά χαρακτηριστικάκαι σύντομη κριτικήπλωτές οδοί Ταξινόμηση υδάτινων λεκανών Η ταξινόμηση των υδάτινων λεκανών για τη ναυσιπλοΐα σκαφών αναψυχής (μικρών) πλοίων, υπό την εποπτεία της GIMS της Ρωσίας, πραγματοποιείται ανάλογα με […]
• Κουτσερένα = δικηγόρος του Βίκτορ Τσόι Και αυτό είναι αποκλειστικό: η σημερινή επιστολή του Ανατόλι Κουτσερένα. Στη συνέχεια του θέματος. Κανείς δεν έχει δημοσιεύσει ακόμα αυτή την επιστολή. Και θα έπρεπε, νομίζω. Μέρος 1 προς το παρόν. Σύντομα θα δημοσιεύσω το δεύτερο μέρος με την υπογραφή του διάσημου δικηγόρου. Γιατί είναι σημαντικό? […]

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, δικαστική εντολή, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημοσίου συμφέροντος.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Γεια σας γατάκια! ΣΤΟ τελευταία φοράαναλύσαμε λεπτομερώς τι είναι οι ρίζες (αν δεν θυμάστε, προτείνω να διαβάσετε). Το κύριο συμπέρασμα αυτού του μαθήματος: υπάρχει μόνο ένα καθολικός ορισμόςρίζες, που πρέπει να γνωρίζετε. Τα υπόλοιπα είναι ανοησίες και χάσιμο χρόνου.

Σήμερα πάμε παρακάτω. Θα μάθουμε να πολλαπλασιάζουμε ρίζες, θα μελετήσουμε κάποια προβλήματα που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό (αν δεν λυθούν αυτά τα προβλήματα, τότε μπορεί να γίνουν μοιραία στις εξετάσεις) και θα εξασκηθούμε σωστά. Προμηθευτείτε λοιπόν ποπ κορν, νιώστε άνετα - και ξεκινάμε. :)

Δεν έχεις καπνίσει ακόμα, σωστά;

Το μάθημα αποδείχθηκε αρκετά μεγάλο, οπότε το χώρισα σε δύο μέρη:

1. Αρχικά, θα δούμε τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό. Το καπάκι φαίνεται να υπονοεί: αυτό συμβαίνει όταν υπάρχουν δύο ρίζες, υπάρχει ένα σημάδι "πολλαπλασιασμού" μεταξύ τους - και θέλουμε να κάνουμε κάτι με αυτό.
2. Στη συνέχεια θα αναλύσουμε την αντίστροφη κατάσταση: υπάρχει μία μεγάλη ρίζα, και ανυπομονούσαμε να το παρουσιάσουμε ως προϊόν δύο ριζών με πιο απλό τρόπο. Με τι τρόμο χρειάζεται είναι μια ξεχωριστή ερώτηση. Θα αναλύσουμε μόνο τον αλγόριθμο.

Για όσους ανυπομονούν να μεταβούν κατευθείαν στο Μέρος 2, είστε ευπρόσδεκτοι. Ας ξεκινήσουμε με τα υπόλοιπα με τη σειρά.

Βασικός κανόνας πολλαπλασιασμού

Ας ξεκινήσουμε με τις πιο απλές - κλασικές τετραγωνικές ρίζες. Αυτά που συμβολίζονται με $\sqrt(a)$ και $\sqrt(b)$. Για αυτούς, όλα είναι γενικά ξεκάθαρα:

κανόνας πολλαπλασιασμού. Για να πολλαπλασιάσετε μια τετραγωνική ρίζα με μια άλλη, πρέπει απλώς να πολλαπλασιάσετε τις ριζικές εκφράσεις τους και να γράψετε το αποτέλεσμα κάτω από την κοινή ρίζα:

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Δεν επιβάλλονται πρόσθετοι περιορισμοί στους αριθμούς στα δεξιά ή στα αριστερά: εάν υπάρχουν οι ρίζες του πολλαπλασιαστή, τότε υπάρχει και το γινόμενο.

Παραδείγματα. Εξετάστε τέσσερα παραδείγματα με αριθμούς ταυτόχρονα:

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27 ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \end(στοίχιση)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, το κύριο νόημα αυτού του κανόνα είναι η απλοποίηση των παράλογων εκφράσεων. Και αν στο πρώτο παράδειγμα θα είχαμε εξαγάγει τις ρίζες από το 25 και το 4 χωρίς νέους κανόνες, τότε αρχίζει το tin: $\sqrt(32)$ και $\sqrt(2)$ δεν μετρούν από μόνα τους, αλλά Το γινόμενο τους αποδεικνύεται ότι είναι ένα ακριβές τετράγωνο, επομένως η ρίζα του είναι ίση με έναν ρητό αριθμό.

Ξεχωριστά, θα ήθελα να σημειώσω την τελευταία γραμμή. Εκεί, και οι δύο ριζικές εκφράσεις είναι κλάσματα. Χάρη στο προϊόν, πολλοί παράγοντες ακυρώνονται και η όλη έκφραση μετατρέπεται σε επαρκή αριθμό.

Φυσικά, δεν θα είναι όλα πάντα τόσο όμορφα. Μερικές φορές θα υπάρχει πλήρης χάλια κάτω από τις ρίζες - δεν είναι σαφές τι να κάνετε με αυτό και πώς να μεταμορφωθεί μετά τον πολλαπλασιασμό. Λίγο αργότερα, όταν αρχίσετε να μελετάτε παράλογες εξισώσειςκαι ανισότητες, θα υπάρχουν γενικά κάθε είδους μεταβλητές και συναρτήσεις. Και πολύ συχνά, οι μεταγλωττιστές των προβλημάτων βασίζονται απλώς στο γεγονός ότι θα βρείτε ορισμένους όρους ή παράγοντες που συμβαδίζουν, μετά τους οποίους η εργασία θα απλοποιηθεί πολύ.

Επιπλέον, δεν είναι απαραίτητο να πολλαπλασιαστούν ακριβώς δύο ρίζες. Μπορείτε να πολλαπλασιάσετε τρία ταυτόχρονα, τέσσερα - ναι ακόμη και δέκα! Αυτό δεν θα αλλάξει τον κανόνα. Ρίξε μια ματιά:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \end(στοίχιση)\]

Και πάλι μια μικρή παρατήρηση στο δεύτερο παράδειγμα. Όπως μπορείτε να δείτε, στον τρίτο πολλαπλασιαστή, υπάρχει ένα δεκαδικό κλάσμα κάτω από τη ρίζα - στη διαδικασία των υπολογισμών, το αντικαθιστούμε με ένα κανονικό, μετά από το οποίο όλα μειώνονται εύκολα. Λοιπόν: Συνιστώ ανεπιφύλακτα να απαλλαγείτε από τα δεκαδικά κλάσματα σε οποιαδήποτε παράλογες εκφράσεις(δηλαδή περιέχει τουλάχιστον ένα ριζικό εικονίδιο). Αυτό θα σας εξοικονομήσει πολύ χρόνο και νεύρα στο μέλλον.

Αλλά ήταν λυρική παρέκβαση. Τώρα σκεφτείτε περισσότερα γενική περίπτωση- όταν το ριζικό ευρετήριο περιέχει έναν αυθαίρετο αριθμό $n$, και όχι μόνο τον "κλασικό" δύο.

Η περίπτωση ενός αυθαίρετου δείκτη

Έτσι, καταλάβαμε τις τετραγωνικές ρίζες. Και τι να κάνουμε με τους κύβους; Ή γενικά με ρίζες αυθαίρετου βαθμού $n$; Ναι, όλα είναι ίδια. Ο κανόνας παραμένει ο ίδιος:

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ρίζες βαθμού $n$, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε τις ριζικές εκφράσεις τους, μετά από τις οποίες το αποτέλεσμα γράφεται κάτω από μία ρίζα.

Γενικά, τίποτα περίπλοκο. Εκτός αν ο όγκος των υπολογισμών μπορεί να είναι μεγαλύτερος. Ας δούμε μερικά παραδείγματα:

Παραδείγματα. Υπολογισμός προϊόντων:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0,16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)))((25)^(3 ))))=\sqrt((\αριστερά(\frac(4)(25) \δεξιά))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \end(στοίχιση)\]

Και πάλι προσοχή στη δεύτερη έκφραση. Πολλαπλασιαζόμαστε κυβικές ρίζες, ξεφορτώνομαι δεκαδικό κλάσμακαι ως αποτέλεσμα παίρνουμε το γινόμενο των αριθμών 625 και 25 στον παρονομαστή. μεγάλος αριθμός- Προσωπικά, δεν σκέφτομαι αμέσως με τι ισοδυναμεί.

Επομένως, απλώς επιλέξαμε τον ακριβή κύβο στον αριθμητή και στον παρονομαστή και στη συνέχεια χρησιμοποιήσαμε έναν από τους βασικές ιδιότητες(ή, αν θέλετε, ο ορισμός) της ρίζας του $n$-th βαθμού:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\αριστερά| a\σωστά|. \\ \end(στοίχιση)\]

Τέτοιες «απάτες» μπορούν να σας εξοικονομήσουν πολύ χρόνο στις εξετάσεις ή εργασίες ελέγχουθυμήσου λοιπόν:

Μην βιαστείτε να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς στη ριζική έκφραση. Πρώτα, ελέγξτε: τι γίνεται αν ο ακριβής βαθμός οποιασδήποτε έκφρασης είναι "κρυπτογραφημένος" εκεί;

Με όλη την προφανή αυτής της παρατήρησης, οφείλω να ομολογήσω ότι οι περισσότεροι απροετοίμαστοι μαθητές δεν βλέπουν τα ακριβή πτυχία. Αντίθετα, πολλαπλασιάζουν τα πάντα μπροστά και μετά αναρωτιούνται: γιατί πήραν τόσο βάναυσους αριθμούς; :)

Ωστόσο, όλα αυτά είναι παιδικό παιχνίδι σε σύγκριση με αυτό που θα μελετήσουμε τώρα.

Πολλαπλασιασμός ριζών με διαφορετικούς εκθέτες

Λοιπόν, τώρα μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε ρίζες με τους ίδιους εκθέτες. Τι γίνεται αν οι βαθμολογίες είναι διαφορετικές; Ας πούμε, πώς πολλαπλασιάζετε ένα συνηθισμένο $\sqrt(2)$ με κάποια χάλια όπως $\sqrt(23)$; Είναι καν δυνατό να γίνει αυτό;

Ναι, φυσικά και μπορείς. Όλα γίνονται σύμφωνα με αυτόν τον τύπο:

Κανόνας πολλαπλασιασμού ρίζας. Για να πολλαπλασιάσετε το $\sqrt[n](a)$ με το $\sqrt[p](b)$, απλώς κάντε τον ακόλουθο μετασχηματισμό:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Ωστόσο, αυτός ο τύπος λειτουργεί μόνο εάν Οι ριζικές εκφράσεις είναι μη αρνητικές. Αυτό είναι πολύ σημαντική σημείωση, στο οποίο θα επανέλθουμε λίγο αργότερα.

Προς το παρόν, ας δούμε μερικά παραδείγματα:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81 \cdot8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \end(στοίχιση)\]

Όπως μπορείτε να δείτε, τίποτα περίπλοκο. Τώρα ας καταλάβουμε από πού προήλθε η απαίτηση μη αρνητικότητας και τι θα συμβεί αν την παραβιάσουμε. :)

Είναι εύκολο να πολλαπλασιάσετε τις ρίζες.

Γιατί οι ριζοσπαστικές εκφράσεις πρέπει να είναι μη αρνητικές;

Φυσικά, μπορείτε να είστε σαν δασκάλους του σχολείουκαι παραθέτω έξυπνα το σχολικό βιβλίο:

Η απαίτηση μη αρνητικότητας σχετίζεται με διαφορετικούς ορισμούςρίζες άρτιου και περιττού βαθμού (αντίστοιχα, τα πεδία ορισμού τους είναι επίσης διαφορετικά).

Λοιπόν, έγινε πιο ξεκάθαρο; Προσωπικά, όταν διάβασα αυτή τη βλακεία στην 8η δημοτικού, κατάλαβα από μόνος μου κάτι τέτοιο: «Η απαίτηση της μη αρνητικότητας συνδέεται με το *#&^@(*#@^#)~%» - εν ολίγοις, εγώ Δεν καταλάβαινα σκατά εκείνη τη στιγμή. :)

Τώρα λοιπόν θα τα εξηγήσω όλα με κανονικό τρόπο.

Αρχικά, ας μάθουμε από πού προέρχεται ο παραπάνω τύπος πολλαπλασιασμού. Για να το κάνετε αυτό, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω μια σημαντική ιδιότητα της ρίζας:

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Με άλλα λόγια, μπορούμε με ασφάλεια να υψώσουμε τη ριζοσπαστική έκφραση σε οποιοδήποτε φυσικός βαθμός$k$ - σε αυτήν την περίπτωση, ο ριζικός δείκτης θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με τον ίδιο βαθμό. Επομένως, μπορούμε εύκολα να μειώσουμε τυχόν ρίζες σε έναν κοινό δείκτη, μετά τον οποίο πολλαπλασιάζουμε. Από εδώ προέρχεται ο τύπος πολλαπλασιασμού:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n)))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Αλλά υπάρχει ένα πρόβλημα που περιορίζει σοβαρά την εφαρμογή όλων αυτών των τύπων. Σκεφτείτε αυτόν τον αριθμό:

Σύμφωνα με τον τύπο που μόλις δόθηκε, μπορούμε να προσθέσουμε οποιοδήποτε βαθμό. Ας προσπαθήσουμε να προσθέσουμε $k=2$:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\left(-5 \right))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Αφαιρέσαμε το μείον ακριβώς γιατί το τετράγωνο καίει το μείον (όπως κάθε άλλο ζυγό βαθμό). Και τώρα ας εκτελέσουμε αντίστροφος μετασχηματισμός: «μειώστε» το δίδυμο στον εκθέτη και βαθμό. Σε τελική ανάλυση, οποιαδήποτε ισότητα μπορεί να διαβαστεί τόσο από αριστερά προς τα δεξιά όσο και από τα δεξιά προς τα αριστερά:

\[\begin(align) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Rightarrow \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](ένα); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Rightarrow \sqrt((((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \end(στοίχιση)\]

Αλλά τότε συμβαίνει κάτι τρελό:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Αυτό δεν μπορεί να οφείλεται στο ότι $\sqrt(-5) \lt 0$ και $\sqrt(5) \gt 0$. Ετσι, για ακόμη και εξουσίεςκαι αρνητικοί αριθμοί, ο τύπος μας δεν λειτουργεί πλέον. Μετά από αυτό έχουμε δύο επιλογές:

1. Να παλέψουμε ενάντια στον τοίχο για να δηλώσουμε ότι τα μαθηματικά είναι μια ηλίθια επιστήμη, όπου «υπάρχουν κάποιοι κανόνες, αλλά αυτό είναι ανακριβές».
2. Εισαγω πρόσθετους περιορισμούς, στην οποία η φόρμουλα θα λειτουργήσει 100%.

Στην πρώτη επιλογή, θα πρέπει να πιάνουμε συνεχώς "μη λειτουργικές" περιπτώσεις - αυτό είναι δύσκολο, μακρύ και γενικά fu. Ως εκ τούτου, οι μαθηματικοί προτίμησαν τη δεύτερη επιλογή. :)

Αλλά μην ανησυχείτε! Στην πράξη, αυτός ο περιορισμός δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο τους υπολογισμούς, επειδή όλα τα προβλήματα που περιγράφονται αφορούν μόνο τις ρίζες ενός περιττού βαθμού και τα μείον μπορούν να αφαιρεθούν από αυτά.

Επομένως, διατυπώνουμε έναν άλλο κανόνα που ισχύει γενικά για όλες τις ενέργειες με ρίζες:

Πριν πολλαπλασιάσετε τις ρίζες, βεβαιωθείτε ότι οι ριζικές εκφράσεις είναι μη αρνητικές.

Παράδειγμα. Στον αριθμό $\sqrt(-5)$, μπορείτε να αφαιρέσετε το μείον κάτω από το σύμβολο της ρίζας - τότε όλα θα πάνε καλά:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Right arrow \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2)))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(στοίχιση)\]

Νιώθεις τη διαφορά; Εάν αφήσετε ένα μείον κάτω από τη ρίζα, τότε όταν η ριζική έκφραση τετραγωνιστεί, θα εξαφανιστεί και θα αρχίσουν τα χάλια. Και αν πρώτα αφαιρέσετε ένα μείον, τότε μπορείτε ακόμη και να σηκώσετε / αφαιρέσετε ένα τετράγωνο μέχρι να είστε μπλε στο πρόσωπο - ο αριθμός θα παραμείνει αρνητικός. :)

Έτσι, ο πιο σωστός και πιο αξιόπιστος τρόπος πολλαπλασιασμού των ριζών είναι ο εξής:

1. Αφαιρέστε όλα τα μειονεκτήματα κάτω από τις ρίζες. Τα μειονεκτήματα βρίσκονται μόνο στις ρίζες της περιττής πολλαπλότητας - μπορούν να τοποθετηθούν μπροστά από τη ρίζα και, εάν είναι απαραίτητο, να μειωθούν (για παράδειγμα, εάν υπάρχουν δύο από αυτά τα μείον).
2. Εκτελέστε τον πολλαπλασιασμό σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν παραπάνω στο σημερινό μάθημα. Εάν οι δείκτες των ριζών είναι ίδιοι, απλώς πολλαπλασιάστε τις εκφράσεις ρίζας. Και αν είναι διαφορετικά, χρησιμοποιούμε τον κακό τύπο \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b) ^(n) ))\].
3. 3. Απολαμβάνουμε το αποτέλεσμα και καλούς βαθμούς. :)

Καλά? Να ασκηθούμε;

Παράδειγμα 1. Απλοποιήστε την έκφραση:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3 )) \right)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=-\ sqrt(64)=-4; \end(στοίχιση)\]

Αυτή είναι η απλούστερη επιλογή: οι δείκτες των ριζών είναι οι ίδιοι και περίεργοι, το πρόβλημα είναι μόνο στο μείον του δεύτερου πολλαπλασιαστή. Υπομένουμε αυτό το μείον nafig, μετά το οποίο όλα εξετάζονται εύκολα.

Παράδειγμα 2. Απλοποιήστε την έκφραση:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2))= \sqrt(((\left(((2)^(5)) \right))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \δεξιά))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( ευθυγραμμίζω)\]

Εδώ, πολλοί θα μπερδευτούν με το αποτέλεσμα παράλογος αριθμός. Ναι, συμβαίνει: δεν μπορέσαμε να απαλλαγούμε εντελώς από τη ρίζα, αλλά τουλάχιστον απλοποιήσαμε σημαντικά την έκφραση.

Παράδειγμα 3. Απλοποιήστε την έκφραση:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((( a)^(4)) \δεξιά))^(6))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(στοίχιση)\]

Σε αυτό θα ήθελα να επιστήσω την προσοχή σας. Υπάρχουν δύο σημεία εδώ:

1. Κάτω από τη ρίζα δεν είναι συγκεκριμένο αριθμόή πτυχίο, και η μεταβλητή είναι $a$. Με την πρώτη ματιά, αυτό είναι λίγο ασυνήθιστο, αλλά στην πραγματικότητα, κατά την επίλυση μαθηματικά προβλήματατις περισσότερες φορές θα πρέπει να αντιμετωπίσετε μεταβλητές.
2. Στο τέλος, καταφέραμε να «μειώσουμε» τον εκθέτη ρίζας και τον βαθμό στη ριζική έκφραση. Αυτό συμβαίνει αρκετά συχνά. Και αυτό σημαίνει ότι ήταν δυνατό να απλοποιηθούν σημαντικά οι υπολογισμοί εάν δεν χρησιμοποιήσετε τον κύριο τύπο.

Για παράδειγμα, θα μπορούσατε να κάνετε αυτό:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left((a)^( 4)) \right))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \ \end(στοίχιση)\]

Στην πραγματικότητα, όλοι οι μετασχηματισμοί έγιναν μόνο με τη δεύτερη ρίζα. Και αν δεν ζωγραφίσετε λεπτομερώς όλα τα ενδιάμεσα βήματα, τότε στο τέλος το ποσό των υπολογισμών θα μειωθεί σημαντικά.

Στην πραγματικότητα, έχουμε ήδη αντιμετωπίσει μια παρόμοια εργασία παραπάνω κατά την επίλυση του παραδείγματος $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$. Τώρα μπορεί να γραφτεί πολύ πιο εύκολα:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \right))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \right))^(2))) =\sqrt(75). \end(στοίχιση)\]

Λοιπόν, καταλάβαμε τον πολλαπλασιασμό των ριζών. Τώρα σκεφτείτε την αντίστροφη λειτουργία: τι να κάνετε όταν υπάρχει ένα έργο κάτω από τη ρίζα;