Από την αντίθετη κορυφή) και διαιρέστε το γινόμενο που προκύπτει με το δύο. Σε μορφή μοιάζει με αυτό:

S = ½ * a * h,

όπου:
S είναι το εμβαδόν του τριγώνου,
a είναι το μήκος της πλευράς του,
h είναι το ύψος που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά.

Το μήκος και το ύψος της πλευράς πρέπει να παρουσιάζονται στις ίδιες μονάδες. Σε αυτήν την περίπτωση, η περιοχή του τριγώνου θα εμφανιστεί στις αντίστοιχες μονάδες "".

Παράδειγμα.
Σε μία από τις πλευρές ενός σκαλενίου τριγώνου μήκους 20 cm, μια κάθετη από την αντίθετη κορυφή μήκους 10 cm είναι χαμηλωμένη.
Απαιτείται το εμβαδόν του τριγώνου.
Λύση.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).

Εάν γνωρίζετε τα μήκη οποιωνδήποτε δύο πλευρών ενός τριγώνου κλίμακας και τη γωνία μεταξύ τους, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

S = ½ * a * b * sinγ,

όπου: α, β είναι τα μήκη δύο αυθαίρετων πλευρών και γ η μεταξύ τους γωνία.

Στην πράξη, για παράδειγμα, κατά τη μέτρηση οικόπεδα, η χρήση των παραπάνω τύπων μερικές φορές είναι δύσκολη, αφού απαιτεί επιπλέον κατασκευές και μέτρηση γωνιών.

Εάν γνωρίζετε τα μήκη και των τριών πλευρών ενός τριγώνου κλίμακας, χρησιμοποιήστε τον τύπο του Heron:

S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),

α, β, γ είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου,
р – ημιπερίμετρος: p = (a+b+c)/2.

Εάν, εκτός από τα μήκη όλων των πλευρών, είναι γνωστή η ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται στο τρίγωνο, τότε χρησιμοποιήστε τον ακόλουθο συμπαγή τύπο:

όπου: r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (p είναι η ημιπερίμετρος).

Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός κλιμακωτού τριγώνου του περιγεγραμμένου κύκλου και το μήκος των πλευρών του, χρησιμοποιήστε τον τύπο:

όπου: R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου.

Εάν το μήκος μιας από τις πλευρές του τριγώνου και οι τρεις γωνίες είναι γνωστό (καταρχήν, δύο είναι αρκετές - η τιμή της τρίτης υπολογίζεται από την ισότητα του αθροίσματος των τριών γωνιών του τριγώνου - 180º), τότε χρησιμοποιήστε ο τύπος:

S = (a² * sinβ * sinγ)/2sina,

όπου α είναι η τιμή της γωνίας απέναντι από την πλευρά a.
β, γ είναι οι τιμές των υπόλοιπων δύο γωνιών του τριγώνου.

Η ανάγκη να βρεθεί διάφορα στοιχεία, συμπεριλαμβανομένης της περιοχής τρίγωνο, εμφανίστηκε πολλούς αιώνες πριν από την εποχή μας μεταξύ των αστρονόμων Αρχαία Ελλάδα. τετράγωνο τρίγωνομπορεί να υπολογιστεί διαφορετικοί τρόποιχρησιμοποιώντας διαφορετικούς τύπους. Η μέθοδος υπολογισμού εξαρτάται από ποια στοιχεία τρίγωνογνωστός.

Εντολή

Αν από την συνθήκη γνωρίζουμε τις τιμές των δύο πλευρών b, c και τη γωνία που σχηματίζουν αυτές;, τότε το εμβαδόν τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται με τον τύπο:
S = (bcsin?)/2.

Αν από την συνθήκη γνωρίζουμε τις τιμές των δύο πλευρών a, b και τη γωνία που δεν σχηματίζουν αυτές;, τότε το εμβαδόν τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται ως εξής:
Βρίσκοντας τη γωνία;, αμαρτία; = bsin; / a, περαιτέρω στον πίνακα προσδιορίζουμε την ίδια τη γωνία.
Βρίσκοντας μια γωνία; = 180°-?-?.
Βρείτε την ίδια την περιοχή S = (absin;)/2.

Αν από την συνθήκη γνωρίζουμε τις τιμές μόνο τριών πλευρών τρίγωνοα, β και γ και μετά η περιοχή τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται με τον τύπο:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)) , όπου p είναι η ημιπερίμετρος p = (a+b+c)/2

Αν από την συνθήκη του προβλήματος γνωρίζουμε το ύψος τρίγωνο h και την πλευρά στην οποία έχει χαμηλώσει αυτό το ύψος, μετά την περιοχή τρίγωνο ABC κατά τύπο:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.

Αν γνωρίζουμε τις τιμές των πλευρών τρίγωνοα, β, γ και την ακτίνα του περιγεγραμμένου κοντά στο δεδομένο τρίγωνο R, τότε η περιοχή αυτού τρίγωνοΤο ABC καθορίζεται από τον τύπο:
S = abc/4R.
Αν είναι γνωστές τρεις πλευρές a, b, c και η ακτίνα του εγγεγραμμένου, τότε το εμβαδόν τρίγωνοΤο ABC βρίσκεται με τον τύπο:
S = pr, όπου p είναι η ημιπερίμετρος, p = (a+b+c)/2.

Αν το ABC είναι ισόπλευρο, τότε το εμβαδόν βρίσκεται με τον τύπο:
S = (a^2v3)/4.
Εάν το τρίγωνο ABC είναι ισοσκελές, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, όπου c είναι τρίγωνο.
Εάν το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο τρίγωνο, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο:
S = ab/2, όπου τα a και b είναι σκέλη τρίγωνο.
Εάν το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο, τότε το εμβαδόν καθορίζεται από τον τύπο:
S = c^2/4 = a^2/2, όπου c είναι η υποτείνουσα τρίγωνο, a=b - πόδι.

Σχετικά βίντεο

Πηγές:

• πώς να μετρήσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου

Συμβουλή 3: Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου αν γνωρίζετε τη γωνία

Η γνώση μιας μόνο παραμέτρου (της τιμής της γωνίας) δεν αρκεί για να βρεθεί η περιοχή τρε τετράγωνο . Εάν υπάρχουν πρόσθετες διαστάσεις, τότε για να προσδιορίσετε την περιοχή, μπορείτε να επιλέξετε έναν από τους τύπους στους οποίους η τιμή της γωνίας χρησιμοποιείται επίσης ως μία από τις γνωστές μεταβλητές. Μερικοί από τους πιο συχνά χρησιμοποιούμενους τύπους παρατίθενται παρακάτω.

Εντολή

Αν εκτός από τη γωνία (γ) που σχηματίζουν οι δύο πλευρές τρε τετράγωνο , τα μήκη αυτών των πλευρών (Α και Β) είναι επίσης γνωστά, λοιπόν τετράγωνο(S) τα σχήματα μπορούν να οριστούν ως το ήμισυ του γινόμενου των μηκών των πλευρών και του ημιτόνου αυτής της γνωστής γωνίας: S=½×A×B×sin(γ).

Μερικές φορές στη ζωή υπάρχουν καταστάσεις που πρέπει να εμβαθύνεις στη μνήμη αναζητώντας το ξεχασμένο από καιρό σχολική γνώση. Για παράδειγμα, πρέπει να προσδιορίσετε την περιοχή ενός οικοπέδου τριγωνικού σχήματος ή να έχει έρθει η σειρά της επόμενης επισκευής σε ένα διαμέρισμα ή ένα ιδιωτικό σπίτι και πρέπει να υπολογίσετε πόσο υλικό θα χρειαστεί για μια επιφάνεια με τριγωνικό σχήμα. Υπήρξε μια στιγμή που μπορούσατε να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα σε λίγα λεπτά και τώρα προσπαθείτε απεγνωσμένα να θυμηθείτε πώς να προσδιορίσετε την περιοχή ενός τριγώνου;

Δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για αυτό! Άλλωστε, είναι απολύτως φυσιολογικό όταν ο ανθρώπινος εγκέφαλος αποφασίζει να μετατοπίσει τη γνώση που δεν χρησιμοποιήθηκε εδώ και καιρό κάπου σε μια απομακρυσμένη γωνιά, από την οποία μερικές φορές δεν είναι τόσο εύκολο να την εξαγάγει κανείς. Για να μην χρειαστεί να υποφέρετε με την αναζήτηση ξεχασμένων σχολικών γνώσεων για να λύσετε ένα τέτοιο πρόβλημα, αυτό το άρθρο περιέχει διάφορες μεθόδους, που διευκολύνουν την εύρεση της επιθυμητής περιοχής του τριγώνου.

Είναι γνωστό ότι ένα τρίγωνο είναι ένας τύπος πολυγώνου που περιορίζεται στο ελάχιστο πιθανός αριθμόςπλευρές. Καταρχήν, κάθε πολύγωνο μπορεί να χωριστεί σε πολλά τρίγωνα συνδέοντας τις κορυφές του με τμήματα που δεν τέμνουν τις πλευρές του. Επομένως, γνωρίζοντας το τρίγωνο, μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή σχεδόν οποιουδήποτε αριθμού.

Μεταξύ όλων των πιθανών τριγώνων που εμφανίζονται στη ζωή, διακρίνονται οι ακόλουθοι συγκεκριμένοι τύποι: και ορθογώνια.

Ο ευκολότερος τρόπος υπολογισμού του εμβαδού ενός τριγώνου είναι όταν μία από τις γωνίες του είναι ορθή, δηλαδή στην περίπτωση ορθογώνιο τρίγωνο. Είναι εύκολο να δεις ότι είναι μισό ορθογώνιο. Επομένως, το εμβαδόν του είναι ίσο με το μισό του γινόμενου των πλευρών, που σχηματίζουν ορθή γωνία μεταξύ τους.

Αν γνωρίζουμε το ύψος ενός τριγώνου που έπεσε από μια από τις κορυφές του σε αντίθετη πλευρά, και το μήκος αυτής της πλευράς, που ονομάζεται βάση, τότε το εμβαδόν υπολογίζεται ως το μισό γινόμενο του ύψους και της βάσης. Αυτό γράφεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

S = 1/2*b*h, στην οποία

S είναι η επιθυμητή περιοχή του τριγώνου.

b, h - αντίστοιχα, το ύψος και η βάση του τριγώνου.

Είναι τόσο εύκολο να υπολογιστεί το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, αφού το ύψος θα διχοτομήσει την αντίθετη πλευρά και μπορεί εύκολα να μετρηθεί. Εάν η περιοχή έχει προσδιοριστεί, τότε είναι βολικό να λαμβάνεται το μήκος μιας από τις πλευρές που σχηματίζουν ορθή γωνία ως το ύψος.

Όλα αυτά είναι σίγουρα καλά, αλλά πώς να προσδιορίσετε αν μια από τις γωνίες ενός τριγώνου είναι ορθή ή όχι; Εάν το μέγεθος της φιγούρας μας είναι μικρό, τότε μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια γωνία κτιρίου, ένα τρίγωνο σχεδίασης, μια καρτ ποστάλ ή άλλο αντικείμενο με ορθογώνιο σχήμα.

Τι γίνεται όμως αν έχουμε ένα τριγωνικό οικόπεδο; Σε αυτή την περίπτωση, προχωρήστε ως εξής: μετρήστε από την κορυφή του προτεινόμενου ορθή γωνίαΣτη μία πλευρά, πολλαπλάσιο απόστασης του 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) και από την άλλη πλευρά, πολλαπλάσιο απόστασης του 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) μετράται στην ίδια αναλογία. Τώρα πρέπει να μετρήσετε την απόσταση μεταξύ των τελικών σημείων αυτών των δύο τμημάτων. Εάν η τιμή είναι πολλαπλάσιο του 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), τότε μπορεί να υποστηριχθεί ότι η γωνία είναι ορθή.

Εάν η τιμή του μήκους καθεμιάς από τις τρεις πλευρές του σχήματός μας είναι γνωστή, τότε η περιοχή του τριγώνου μπορεί να προσδιοριστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Heron. Για να έχει απλούστερη μορφή, χρησιμοποιείται μια νέα τιμή, η οποία ονομάζεται ημιπερίμετρος. Αυτό είναι το άθροισμα όλων των πλευρών του τριγώνου μας, χωρισμένες στο μισό. Αφού υπολογιστεί η ημιπερίμετρος, μπορείτε να αρχίσετε να προσδιορίζετε την περιοχή χρησιμοποιώντας τον τύπο:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), όπου

τετράγωνο- Τετραγωνική ρίζα;

p είναι η τιμή της ημιπεριμέτρου (p =(a+b+c)/2);

α, β, γ - άκρες (πλευρές) του τριγώνου.

Τι γίνεται όμως αν το τρίγωνο έχει ακανόνιστο σχήμα? Υπάρχουν δύο πιθανοί τρόποι εδώ. Το πρώτο από αυτά είναι να προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε ένα τέτοιο σχήμα σε δύο ορθογώνια τρίγωνα, το άθροισμα των εμβαδών των οποίων υπολογίζεται χωριστά και στη συνέχεια προστίθεται. Ή, εάν η γωνία μεταξύ των δύο πλευρών και το μέγεθος αυτών των πλευρών είναι γνωστά, τότε εφαρμόστε τον τύπο:

S = 0,5 * ab * sinC, όπου

α, β - πλευρές του τριγώνου.

c είναι η γωνία μεταξύ αυτών των πλευρών.

Τελευταία περίπτωσηστην πράξη είναι σπάνιο, αλλά παρ 'όλα αυτά, όλα είναι δυνατά στη ζωή, οπότε η παραπάνω φόρμουλα δεν θα είναι περιττή. Καλή τύχη με τους υπολογισμούς σας!

Το τρίγωνο είναι ένα γνωστό σχήμα. Και αυτό, παρά την πλούσια ποικιλία των μορφών του. Ορθογώνιο, ισόπλευρο, οξεία, ισοσκελή, αμβλεία. Κάθε ένα από αυτά είναι κάπως διαφορετικό. Αλλά για οποιοδήποτε απαιτείται να γνωρίζει το εμβαδόν του τριγώνου.

Κοινοί τύποι για όλα τα τρίγωνα που χρησιμοποιούν τα μήκη των πλευρών ή των υψών

Οι ονομασίες που υιοθετήθηκαν σε αυτά: πλευρές - α, β, γ. ύψη στις αντίστοιχες πλευρές στο a, n in, n s.

1. Το εμβαδόν ενός τριγώνου υπολογίζεται ως το γινόμενο του ½, της πλευράς και του ύψους που έχει χαμηλώσει πάνω του. S = ½ * a * n a. Ομοίως, θα πρέπει κανείς να γράψει τύπους για τις άλλες δύο πλευρές.

2. Ο τύπος του Ήρωνα, στον οποίο εμφανίζεται η ημιπερίμετρος (συνηθίζεται να τη συμβολίζουμε με μικρό γράμμα p, σε αντίθεση με την πλήρη περίμετρο). Η ημιπερίμετρος πρέπει να υπολογιστεί ως εξής: αθροίστε όλες τις πλευρές και διαιρέστε τις με το 2. Ο τύπος ημιπεριμέτρου: p \u003d (a + b + c) / 2. Στη συνέχεια, η ισότητα για το εμβαδόν του \ Το σχήμα μοιάζει με αυτό: S \u003d √ (p * (p - a) * ( p - c) * (p - c)).

3. Εάν δεν θέλετε να χρησιμοποιήσετε ημιπερίμετρο, τότε θα σας φανεί χρήσιμος ένας τέτοιος τύπος, στον οποίο υπάρχουν μόνο τα μήκη των πλευρών: S \u003d ¼ * √ ((a + b + c) * ( β + γ - α) * (α + γ - γ) * (α + β - γ)). Είναι κάπως μεγαλύτερο από το προηγούμενο, αλλά θα σας βοηθήσει αν ξεχάσετε πώς να βρείτε την ημιπερίμετρο.

Γενικοί τύποι στους οποίους εμφανίζονται οι γωνίες ενός τριγώνου

Ο συμβολισμός που απαιτείται για την ανάγνωση των τύπων: α, β, γ - γωνίες. Βρίσκονται απέναντι από τις πλευρές a, b, c, αντίστοιχα.

1. Σύμφωνα με αυτό, το μισό γινόμενο δύο πλευρών και το ημίτονο της γωνίας μεταξύ τους είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου. Δηλαδή: S = ½ a * b * sin γ. Οι τύποι για τις άλλες δύο περιπτώσεις θα πρέπει να γράφονται με παρόμοιο τρόπο.

2. Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να υπολογιστεί από μία πλευρά και τρεις γνωστές γωνίες. S \u003d (α 2 * αμαρτία β * αμαρτία γ) / (2 αμαρτία α).

3. Υπάρχει επίσης ένας τύπος με μια γνωστή πλευρά και δύο γωνίες δίπλα της. Μοιάζει με αυτό: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Οι δύο τελευταίοι τύποι δεν είναι οι απλούστεροι. Είναι πολύ δύσκολο να τα θυμάσαι.

Γενικοί τύποι για την κατάσταση όταν είναι γνωστές οι ακτίνες εγγεγραμμένων ή περιγεγραμμένων κύκλων

Πρόσθετες ονομασίες: r, R — ακτίνες. Το πρώτο χρησιμοποιείται για την ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Το δεύτερο είναι για αυτό που περιγράφεται.

1. Ο πρώτος τύπος με τον οποίο υπολογίζεται το εμβαδόν ενός τριγώνου σχετίζεται με την ημιπερίμετρο. S = r * r. Με άλλο τρόπο, μπορεί να γραφτεί ως εξής: S \u003d ½ r * (a + b + c).

2. Στη δεύτερη περίπτωση, θα χρειαστεί να πολλαπλασιάσετε όλες τις πλευρές του τριγώνου και να τις διαιρέσετε με την τετραπλή ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου. ΣΤΟ κυριολεκτική έκφρασημοιάζει με αυτό: S = (a * b * c) / (4R).

3. Η τρίτη κατάσταση σας επιτρέπει να κάνετε χωρίς να γνωρίζετε τις πλευρές, αλλά χρειάζεστε τις τιμές και των τριών γωνιών. S \u003d 2 R 2 * sin α * αμαρτία β * αμαρτία γ.

Ειδική περίπτωση: ορθογώνιο τρίγωνο

Αυτή είναι η απλούστερη κατάσταση, αφού απαιτείται μόνο το μήκος και των δύο ποδιών. Έχουν οριστεί με λατινικά γράμματαα και γ. Το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου που προστίθεται σε αυτό.

Μαθηματικά, μοιάζει με αυτό: S = ½ a * b. Είναι η πιο εύκολη στη μνήμη. Επειδή μοιάζει με τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογωνίου, εμφανίζεται μόνο ένα κλάσμα, που δηλώνει το μισό.

Ειδική περίπτωση: ισοσκελές τρίγωνο

Δεδομένου ότι οι δύο πλευρές του είναι ίσες, ορισμένοι τύποι για την περιοχή του φαίνονται κάπως απλοποιημένοι. Για παράδειγμα, ο τύπος του Heron, ο οποίος υπολογίζει το εμβαδόν ενός ισοσκελούς τριγώνου, έχει την ακόλουθη μορφή:

S = ½ σε √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Εάν το μετατρέψετε, θα γίνει πιο σύντομο. Σε αυτή την περίπτωση, ο τύπος του Heron για ένα ισοσκελές τρίγωνο γράφεται ως εξής:

S = ¼ σε √(4 * a 2 - b 2).

Κάπως πιο εύκολο από αυθαίρετο τρίγωνο, ο τύπος εμβαδού μοιάζει αν είναι γνωστές οι πλευρές και η γωνία μεταξύ τους. S \u003d ½ a 2 * sin β.

Ειδική περίπτωση: ισόπλευρο τρίγωνο

Συνήθως, σε προβλήματα σχετικά με αυτόν, η πλευρά είναι γνωστή ή μπορεί με κάποιο τρόπο να αναγνωριστεί. Τότε ο τύπος για την εύρεση του εμβαδού ενός τέτοιου τριγώνου είναι ο εξής:

S = (a 2 √3) / 4.

Εργασίες εύρεσης της περιοχής εάν το τρίγωνο απεικονίζεται σε καρό χαρτί

Η απλούστερη κατάσταση είναι όταν σχεδιάζεται ένα ορθογώνιο τρίγωνο έτσι ώστε τα σκέλη του να συμπίπτουν με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να μετρήσετε τον αριθμό των κυττάρων που χωρούν στα πόδια. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα και διαιρέστε τα με δύο.

Όταν το τρίγωνο είναι οξύ ή αμβλύ, πρέπει να τραβηχτεί σε ένα ορθογώνιο. Στη συνέχεια, στο σχήμα που προκύπτει θα υπάρχουν 3 τρίγωνα. Ένα είναι αυτό που δίνεται στην εργασία. Και τα άλλα δύο είναι βοηθητικά και ορθογώνια. Οι περιοχές των δύο τελευταίων πρέπει να προσδιορίζονται με τη μέθοδο που περιγράφεται παραπάνω. Στη συνέχεια, υπολογίστε το εμβαδόν του ορθογωνίου και αφαιρέστε από αυτό αυτά που υπολογίστηκαν για τα βοηθητικά. Το εμβαδόν του τριγώνου καθορίζεται.

Πολύ πιο δύσκολη είναι η κατάσταση στην οποία καμία από τις πλευρές του τριγώνου δεν συμπίπτει με τις γραμμές του χαρτιού. Στη συνέχεια, πρέπει να εγγραφεί σε ένα ορθογώνιο έτσι ώστε οι κορυφές του αρχικού σχήματος να βρίσκονται στις πλευρές του. Σε αυτή την περίπτωση, θα υπάρχουν τρία βοηθητικά ορθογώνια τρίγωνα.

Ένα παράδειγμα προβλήματος στον τύπο του Heron

Κατάσταση. Κάποιο τρίγωνο έχει πλευρές. Είναι ίσα με 3, 5 και 6 εκ. Πρέπει να γνωρίζετε το εμβαδόν του.

Τώρα μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Κάτω από την τετραγωνική ρίζα είναι το γινόμενο τεσσάρων αριθμών: 7, 4, 2 και 1. Δηλαδή, το εμβαδόν είναι √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Εάν δεν χρειάζεστε περισσότερη ακρίβεια, τότε μπορείτε να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 14. Είναι 3,74. Τότε το εμβαδόν θα είναι ίσο με 7,48.

Απάντηση. S \u003d 2 √14 cm 2 ή 7,48 cm 2.

Παράδειγμα προβλήματος με ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Το ένα σκέλος ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι 31 cm μακρύτερο από το δεύτερο. Απαιτείται να μάθετε τα μήκη τους εάν το εμβαδόν του τριγώνου είναι 180 cm 2.
Λύση. Πρέπει να λύσετε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Το πρώτο έχει να κάνει με την περιοχή. Το δεύτερο είναι με την αναλογία των ποδιών, που δίνεται στο πρόβλημα.
180 \u003d ½ a * b;

a \u003d b + 31.
Πρώτον, η τιμή του "a" πρέπει να αντικατασταθεί στην πρώτη εξίσωση. Αποδεικνύεται: 180 \u003d ½ (σε + 31) * in. Έχει μόνο μία άγνωστη ποσότητα, επομένως είναι εύκολο να λυθεί. Αφού ανοίξουμε τις παρενθέσεις, παίρνουμε τετραγωνική εξίσωση: σε 2 + 31 σε - 360 = 0. Δίνει δύο τιμές για το "in": 9 και - 40. Ο δεύτερος αριθμός δεν είναι κατάλληλος ως απάντηση, καθώς το μήκος της πλευράς του τριγώνου δεν μπορεί να είναι αρνητικό αξία.

Απομένει να υπολογίσουμε το δεύτερο σκέλος: προσθέστε το 31 στον αριθμό που προκύπτει. Βγαίνει 40. Αυτές είναι οι ποσότητες που αναζητούνται στο πρόβλημα.

Απάντηση. Τα σκέλη του τριγώνου είναι 9 και 40 cm.

Το έργο της εύρεσης της πλευράς μέσα από την περιοχή, την πλευρά και τη γωνία ενός τριγώνου

Κατάσταση. Το εμβαδόν κάποιου τριγώνου είναι 60 cm2. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε μια από τις πλευρές του εάν η δεύτερη πλευρά είναι 15 cm και η γωνία μεταξύ τους είναι 30º.

Λύση. Με βάση αποδεκτοί χαρακτηρισμοί, η επιθυμητή πλευρά "α", η γνωστή "β", προκαθορισμένη γωνία«γ». Στη συνέχεια, ο τύπος περιοχής μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

60 \u003d ½ a * 15 * αμαρτία 30º. Εδώ το ημίτονο των 30 μοιρών είναι 0,5.

Μετά τους μετασχηματισμούς, το "a" αποδεικνύεται ίσο με 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Δηλαδή 16.

Απάντηση. Η επιθυμητή πλευρά είναι 16 cm.

Το πρόβλημα ενός τετραγώνου εγγεγραμμένου σε ορθογώνιο τρίγωνο

Κατάσταση. Η κορυφή ενός τετραγώνου με πλευρά 24 cm συμπίπτει με τη ορθή γωνία του τριγώνου. Τα άλλα δύο είναι ξαπλωμένα στα πόδια. Το τρίτο ανήκει στην υποτείνουσα. Το μήκος ενός σκέλους είναι 42 εκ. Ποιο είναι το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τριγώνου;

Λύση. Θεωρήστε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το πρώτο καθορίζεται στην εργασία. Το δεύτερο βασίζεται σε διάσημο πόδιαρχικό τρίγωνο. Μοιάζουν γιατί έχουν κοινή γωνία και σχηματίζονται από παράλληλες ευθείες.

Τότε οι αναλογίες των ποδιών τους είναι ίσες. Τα σκέλη του μικρότερου τριγώνου είναι 24 cm (πλευρά του τετραγώνου) και 18 cm (δεδομένο πόδι 42 cm μείον την πλευρά του τετραγώνου 24 cm). Αντίστοιχα πόδια μεγάλο τρίγωνο- 42 cm και x cm. Είναι αυτό το "x" που χρειάζεται για να υπολογιστεί το εμβαδόν του τριγώνου.

18/42 \u003d 24 / x, δηλαδή, x \u003d 24 * 42 / 18 \u003d 56 (cm).

Τότε το εμβαδόν είναι ίσο με το γινόμενο των 56 και 42, διαιρούμενο με δύο, δηλαδή 1176 cm 2.

Απάντηση. Η επιθυμητή περιοχή είναι 1176 cm 2.

Η έννοια της περιοχής

Η έννοια της περιοχής οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος, ιδιαίτερα ενός τριγώνου, θα συσχετιστεί με ένα σχήμα όπως ένα τετράγωνο. Για μια μονάδα εμβαδού οποιουδήποτε γεωμετρικού σχήματος, θα πάρουμε το εμβαδόν ενός τετραγώνου, η πλευρά του οποίου είναι ίση με ένα. Για λόγους πληρότητας, ας θυμηθούμε δύο βασικές ιδιότητεςγια την περιοχή των γεωμετρικών σχημάτων.

Ιδιοκτησία 1:Αν ένα γεωμετρικά σχήματαείναι ίσα, τα εμβαδά τους είναι επίσης ίσα.

Ιδιοκτησία 2:Οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να χωριστεί σε πολλά σχήματα. Επιπλέον, το εμβαδόν του αρχικού σχήματος είναι ίσο με το άθροισμα των τιμών των εμβαδών όλων των σχημάτων που το αποτελούν.

Εξετάστε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 1

Είναι προφανές ότι μία από τις πλευρές του τριγώνου είναι η διαγώνιος του ορθογωνίου , το οποίο έχει τη μία πλευρά μήκους $5$ (από $5$ κελιά) και την άλλη $6$ (από $6$ κελιά). Επομένως, το εμβαδόν αυτού του τριγώνου θα είναι ίσο με το μισό ενός τέτοιου ορθογωνίου. Το εμβαδόν του ορθογωνίου είναι

Τότε το εμβαδόν του τριγώνου είναι

Απάντηση: $15 $.

Στη συνέχεια, εξετάστε διάφορες μεθόδους εύρεσης των εμβαδών των τριγώνων, δηλαδή χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση, χρησιμοποιώντας τον τύπο Heron και την περιοχή ενός ισόπλευρου τριγώνου.

Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου χρησιμοποιώντας το ύψος και τη βάση

Θεώρημα 1

Το εμβαδόν ενός τριγώνου μπορεί να βρεθεί ως το μισό γινόμενο του μήκους μιας πλευράς επί το ύψος που τραβιέται σε αυτήν την πλευρά.

Μαθηματικά μοιάζει με αυτό

$S=\frac(1)(2)αh$

όπου $a$ είναι το μήκος της πλευράς, $h$ είναι το ύψος που τραβιέται προς αυτήν.

Απόδειξη.

Θεωρήστε το τρίγωνο $ABC$ όπου $AC=α$. Το ύψος $BH$ τραβιέται σε αυτήν την πλευρά και ισούται με $h$. Ας το φτιάξουμε στο τετράγωνο $AXYC$ όπως στο Σχήμα 2.

Το εμβαδόν του ορθογωνίου $AXBH$ είναι $h\cdot AH$ και αυτό του ορθογωνίου $HBYC$ είναι $h\cdot HC$. Επειτα

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Επομένως, η επιθυμητή περιοχή του τριγώνου, σύμφωνα με την ιδιότητα 2, είναι ίση με

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Παράδειγμα 2

Βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου στο παρακάτω σχήμα, εάν το κελί έχει εμβαδόν ίσο με ένα

Η βάση αυτού του τριγώνου είναι $9$ (αφού $9$ είναι $9$ κελιά). Το ύψος είναι επίσης $9 $. Στη συνέχεια, με το Θεώρημα 1, λαμβάνουμε

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Απάντηση: $40,5 $.

Η φόρμουλα του Heron

Θεώρημα 2

Αν μας δοθούν τρεις πλευρές τριγώνου $α$, $β$ και $γ$, τότε το εμβαδόν του μπορεί να βρεθεί ως εξής

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

εδώ το $ρ$ σημαίνει τη μισή περίμετρο αυτού του τριγώνου.

Απόδειξη.

Σκεφτείτε το ακόλουθο σχήμα:

Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, από το τρίγωνο $ABH$ προκύπτει

Από το τρίγωνο $CBH$, από το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει η ισότητα

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Αφού $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, τότε $α+β+γ=2ρ$, επομένως

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Με το Θεώρημα 1, παίρνουμε

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Εντολή

Κόμματακαι οι γωνίες θεωρούνται βασικά στοιχεία ένα. Ένα τρίγωνο ορίζεται πλήρως από οποιοδήποτε από τα ακόλουθα βασικά στοιχεία: είτε τρεις πλευρές, είτε μία πλευρά και δύο γωνίες, είτε δύο πλευρές και μια γωνία μεταξύ τους. Για την ύπαρξη τρίγωνοπου ορίζονται από τρεις πλευρές α, β, γ, είναι απαραίτητο και επαρκές οι ανισώσεις, που ονομάζονται ανισώσεις τρίγωνο:
α+β > γ
α+γ > β
β+γ > α.

Για το χτίσιμο τρίγωνοστις τρεις πλευρές a, b, c, είναι απαραίτητο από το σημείο C του τμήματος CB=a πώς να σχεδιάσετε έναν κύκλο ακτίνας b με πυξίδα. Στη συνέχεια, με παρόμοιο τρόπο σχεδιάστε έναν κύκλο από το σημείο Β με ακτίνα ίσο με το πλάιντο. Το σημείο τομής τους Α είναι η τρίτη κορυφή του επιθυμητού τρίγωνο ABC, όπου AB=c, CB=a, CA=b - πλευρές τρίγωνο. Το πρόβλημα έχει , αν οι πλευρές a, b, c, ικανοποιούν τις ανισότητες τρίγωνοκαθορίζεται στο βήμα 1.

Η περιοχή του S κατασκευάστηκε με αυτόν τον τρόπο τρίγωνο ABC με γνωστά κόμματαΤα a, b, c, υπολογίζονται με τον τύπο του Heron:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
όπου α, β, γ είναι πλευρές τρίγωνο, το p είναι η ημιπερίμετρος.
p = (a+b+c)/2

Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο, δηλαδή όλες οι πλευρές του είναι ίσες (a=b=c). τρίγωνουπολογίζεται με τον τύπο:
S=(a^2 v3)/4

Εάν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο, δηλαδή μια από τις γωνίες του είναι 90 ° και οι πλευρές που το σχηματίζουν είναι σκέλη, η τρίτη πλευρά είναι η υποτείνουσα. ΣΤΟ αυτή η υπόθεση τετράγωνοισούται με το γινόμενο των ποδιών διαιρούμενο με δύο.
S=ab/2

Να βρω τετράγωνο τρίγωνο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν από τους πολλούς τύπους. Επιλέξτε τον τύπο ανάλογα με τα δεδομένα που είναι ήδη γνωστά.

Θα χρειαστείτε

• γνώση τύπων για την εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου

Εντολή

Εάν γνωρίζετε την τιμή μιας από τις πλευρές και την τιμή του ύψους που έχει χαμηλώσει σε αυτήν την πλευρά από την απέναντι γωνία, τότε μπορείτε να βρείτε την περιοχή χρησιμοποιώντας τα ακόλουθα: S = a*h/2, όπου S είναι το εμβαδόν ​​το τρίγωνο, a είναι μία από τις πλευρές του τριγώνου και h - ύψος, προς την πλευρά α.

Υπάρχει ένας γνωστός τρόπος προσδιορισμού του εμβαδού ενός τριγώνου εάν είναι γνωστές τρεις από τις πλευρές του. Είναι η φόρμουλα του Heron. Για να απλοποιηθεί η καταγραφή του, εισάγεται μια ενδιάμεση τιμή - μια ημιπερίμετρος: p \u003d (a + b + c) / 2, όπου a, b, c - . Τότε ο τύπος του Heron έχει ως εξής: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ εκθετική.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζετε μία από τις πλευρές ενός τριγώνου και τρεις γωνίες. Στη συνέχεια, είναι εύκολο να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), όπου β είναι η γωνία απέναντι από την πλευρά a, και α και γ είναι γωνίες δίπλα στην πλευρά.

Σχετικά βίντεο

Σημείωση

Το περισσότερο γενικός τύπος, το οποίο είναι κατάλληλο για όλες τις περιπτώσεις - αυτή είναι η φόρμουλα του Heron.

Πηγές:

Συμβουλή 3: Πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός τριγώνου με τρεις πλευρές

Η εύρεση του εμβαδού ενός τριγώνου είναι μια από τις πιο κοινές εργασίες στη σχολική επιπεδομετρία. Η γνώση των τριών πλευρών ενός τριγώνου είναι αρκετή για να προσδιορίσει το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου. Σε ειδικές περιπτώσεις και ισόπλευρα τρίγωνα, αρκεί να γνωρίζουμε τα μήκη των δύο και της μίας πλευράς, αντίστοιχα.

Θα χρειαστείτε

• μήκη πλευρών τριγώνων, τύπος Heron, θεώρημα συνημιτόνου

Εντολή

Ο τύπος του Heron για το εμβαδόν ενός τριγώνου είναι ο εξής: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Αν βάψετε την ημιπεριμετρική p, τότε λαμβάνετε: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Μπορείτε επίσης να εξαγάγετε έναν τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου από θεωρήσεις, για παράδειγμα, εφαρμόζοντας το θεώρημα συνημιτόνου.

Σύμφωνα με το νόμο των συνημιτόνων, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Χρησιμοποιώντας τον εισαγόμενο συμβολισμό, αυτά μπορούν επίσης να έχουν τη μορφή: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Επομένως, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Το εμβαδόν ενός τριγώνου βρίσκεται επίσης με τον τύπο S = a*c*sin(ABC)/2 μέσω δύο πλευρών και τη γωνία μεταξύ τους. Το ημίτονο της γωνίας ABC μπορεί να εκφραστεί ως προς αυτό χρησιμοποιώντας το βασικό τριγωνομετρική ταυτότητα: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). τρίγωνο ABC.

Σχετικά βίντεο

Για επισκευές, μπορεί να χρειαστεί να γίνει μέτρηση τετράγωνοτοίχους. Είναι πιο εύκολο να υπολογιστεί απαιτούμενο ποσόχρώμα ή ταπετσαρία. Για μετρήσεις, είναι καλύτερο να χρησιμοποιήσετε μεζούρα ή ταινία εκατοστών. Οι μετρήσεις πρέπει να γίνουν μετά τοίχουςέχουν ευθυγραμμιστεί.

Θα χρειαστείτε

• -ρουλέτα;
• -σκάλα.

Εντολή

Να μετρήσει τετράγωνοτοίχους, πρέπει να γνωρίζετε το ακριβές ύψος των οροφών, καθώς και να μετρήσετε το μήκος κατά μήκος του δαπέδου. Αυτό γίνεται ως εξής: πάρτε ένα εκατοστό, τοποθετήστε το πάνω από την πλίνθο. Συνήθως ένα εκατοστό δεν είναι αρκετό για όλο το μήκος, οπότε στερεώστε το στη γωνία και ξετυλίξτε το μέγιστο μήκος. Σε αυτό το σημείο, βάλτε ένα σημάδι με ένα μολύβι, σημειώστε το αποτέλεσμα και πραγματοποιήστε περαιτέρω μέτρηση με τον ίδιο τρόπο, ξεκινώντας από το τελευταίο σημείο μέτρησης.

Τυπικές οροφές σε τυπικές - 2 μέτρα 80 εκατοστά, 3 μέτρα και 3 μέτρα 20 εκατοστά, ανάλογα με το σπίτι. Εάν το σπίτι χτίστηκε πριν από τη δεκαετία του '50, τότε πιθανότατα το πραγματικό ύψος είναι ελαφρώς χαμηλότερο από το υποδεικνυόμενο. Αν υπολογίζεις τετράγωνογια εργασίες επισκευής, τότε ένα μικρό περιθώριο δεν θα βλάψει - εξετάστε με βάση το πρότυπο. Εάν εξακολουθείτε να χρειάζεται να γνωρίζετε το πραγματικό ύψος - κάντε μετρήσεις. Η αρχή είναι παρόμοια με τη μέτρηση του μήκους, αλλά θα χρειαστείτε μια σκάλα.

Πολλαπλασιάστε τους αριθμούς που προκύπτουν - αυτό είναι τετράγωνοτα δικα σου τοίχους. Είναι αλήθεια ότι για εργασία ζωγραφικής ή για αυτό είναι απαραίτητο να αφαιρέσετε τετράγωνοανοίγματα θυρών και παραθύρων. Για να το κάνετε αυτό, τοποθετήστε ένα εκατοστό κατά μήκος του ανοίγματος. Αν ένα μιλαμεσχετικά με την πόρτα που πρόκειται να αλλάξετε στη συνέχεια και, στη συνέχεια, πραγματοποιήστε την αφαίρεση του πλαισίου της πόρτας, λαμβάνοντας υπόψη μόνο τετράγωνοτο ίδιο το άνοιγμα. Η περιοχή του παραθύρου υπολογίζεται κατά μήκος της περιμέτρου του πλαισίου του. Μετά τετράγωνουπολογισμένο παράθυρο και πόρτα, αφαιρέστε το αποτέλεσμα από τη συνολική επιφάνεια του δωματίου που ελήφθη.

Λάβετε υπόψη ότι οι μετρήσεις του μήκους και του πλάτους του δωματίου πραγματοποιούνται μαζί, είναι ευκολότερο να διορθώσετε ένα εκατοστό ή μια μεζούρα και, κατά συνέπεια, να πάρετε περισσότερα ακριβές αποτέλεσμα. Κάντε την ίδια μέτρηση πολλές φορές για να βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί που λαμβάνετε είναι ακριβείς.

Σχετικά βίντεο

Η εύρεση του όγκου ενός τριγώνου είναι πράγματι μια μη τετριμμένη εργασία. Το γεγονός είναι ότι ένα τρίγωνο είναι ένα δισδιάστατο σχήμα, δηλ. βρίσκεται εξ ολοκλήρου σε ένα επίπεδο, πράγμα που σημαίνει ότι απλά δεν έχει όγκο. Φυσικά, δεν μπορείς να βρεις κάτι που δεν υπάρχει. Αλλά ας μην τα παρατάμε! Μπορούμε να κάνουμε την ακόλουθη υπόθεση - ο όγκος ενός δισδιάστατου σχήματος, αυτή είναι η περιοχή του. Αναζητούμε το εμβαδόν του τριγώνου.

Θα χρειαστείτε

• φύλλο χαρτί, μολύβι, χάρακα, αριθμομηχανή

Εντολή

Σχεδιάστε σε ένα φύλλο χαρτιού με χάρακα και μολύβι. Εξετάζοντας προσεκτικά το τρίγωνο, μπορείτε να βεβαιωθείτε ότι όντως δεν έχει, αφού είναι σχεδιασμένο σε επίπεδο. Επισημάνετε τις πλευρές του τριγώνου: αφήστε τη μία πλευρά να είναι πλευρά "a", η άλλη πλευρά "b" και η τρίτη πλευρά "c". Σημειώστε τις κορυφές του τριγώνου με τα γράμματα "A", "B" και "C".

Μετρήστε οποιαδήποτε πλευρά του τριγώνου με ένα χάρακα και σημειώστε το αποτέλεσμα. Μετά από αυτό, επαναφέρετε την κάθετο στη μετρούμενη πλευρά από την αντίθετη κορυφή, μια τέτοια κάθετη θα είναι το ύψος του τριγώνου. Στην περίπτωση που φαίνεται στο σχήμα, η κάθετη "h" αποκαθίσταται στην πλευρά "c" από την κορυφή "A". Μετρήστε το ύψος που προκύπτει με ένα χάρακα και καταγράψτε το αποτέλεσμα της μέτρησης.

Μπορεί να δυσκολευτείτε να επαναφέρετε την ακριβή κάθετο. Σε αυτή την περίπτωση, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε διαφορετικό τύπο. Μετρήστε όλες τις πλευρές του τριγώνου με έναν χάρακα. Μετά από αυτό, υπολογίστε τη μισή περίμετρο του τριγώνου "p" προσθέτοντας τα προκύπτοντα μήκη των πλευρών και διαιρώντας το άθροισμά τους στο μισό. Έχοντας στη διάθεσή σας την τιμή της ημιπεριμέτρου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο Heron. Για να το κάνετε αυτό, πρέπει να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του παρακάτω: p(p-a)(p-b)(p-c).

Έχετε αποκτήσει την επιθυμητή περιοχή του τριγώνου. Το πρόβλημα της εύρεσης του όγκου ενός τριγώνου δεν έχει λυθεί, αλλά όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ο όγκος δεν είναι . Μπορείτε να βρείτε τον όγκο που είναι ουσιαστικά ένα τρίγωνο μέσα τρισδιάστατο κόσμο. Αν φανταστούμε ότι το αρχικό μας τρίγωνο έχει γίνει μια τρισδιάστατη πυραμίδα, τότε ο όγκος μιας τέτοιας πυραμίδας θα είναι το γινόμενο του μήκους της βάσης της και του εμβαδού του τριγώνου που λάβαμε.

Σημείωση

Οι υπολογισμοί θα είναι πιο ακριβείς όσο πιο προσεκτικά κάνετε τις μετρήσεις.

Πηγές:

• Υπολογιστής All-to-All - Πύλη αναφοράς
• όγκος τριγώνου το 2019

Τρία σημεία που ορίζουν μοναδικά ένα τρίγωνο Καρτεσιανό σύστημαοι συντεταγμένες είναι οι κορυφές του. Γνωρίζοντας τη θέση τους σε σχέση με κάθε έναν από τους άξονες συντεταγμένων, μπορείτε να υπολογίσετε οποιεσδήποτε παραμέτρους αυτού επίπεδη φιγούρα, συμπεριλαμβανομένης και περιορισμένης από την περίμετρό του τετράγωνο. Αυτό μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους.

Εντολή

Χρησιμοποιήστε τον τύπο του Heron για να υπολογίσετε το εμβαδόν τρίγωνο. Περιλαμβάνει τις διαστάσεις των τριών πλευρών του σχήματος, οπότε ξεκινήστε τους υπολογισμούς με. Το μήκος κάθε πλευράς πρέπει να είναι ίσο με τη ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των μηκών των προεξοχών της άξονες συντεταγμένων. Αν συμβολίσουμε τις συντεταγμένες A(X1,Y1,Z1), B(X2,Y2,Z2) και C(X3,Y3,Z3), τα μήκη των πλευρών τους μπορούν να εκφραστούν ως εξής: AB = √((X1- X2)² + (Y1 -Y2)² + (Z1-Z2)²), BC = √((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²), AC = √(( X1-X3)2 + (Y1-Y3)2 + (Z1-Z3)2).

Για να απλοποιήσετε τους υπολογισμούς, εισαγάγετε μια βοηθητική μεταβλητή - την ημιπερίμετρο (P). Από αυτό αυτό είναι το ήμισυ του αθροίσματος των μηκών όλων των πλευρών: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X1-X2)² + (Y1-Y2)² + (Z1- Z2)²) + √ ((X2-X3)² + (Y2-Y3)² + (Z2-Z3)²) + √((X1-X3)² + (Y1-Y3)² + (Z1-Z3) ²).