Što su stacionarne točke funkcije. Kritične točke funkcije

Stacionarne točke funkcije. Neophodan uvjet lokalni ekstrem funkcije

Prvi dovoljan uvjet lokalni ekstrem

Drugi i treći dovoljni uvjeti za lokalni ekstrem

Najmanja i najveća vrijednost funkcije na segmentu

Konveksne funkcije i točke infleksije

1. Stacionarne točke funkcije. Nužan uvjet za lokalni ekstrem funkcije

Definicija 1 . Neka je funkcija definirana na
. Točka naziva se stacionarna točka funkcije
, ako
diferenciran u točki i
.

Teorem 1 (nužan uvjet za lokalni ekstrem funkcije) . Neka funkcija
određen na
i ima u točki
lokalni ekstrem. Tada je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

Dakle, da bi se pronašle točke sumnjive na ekstrem, potrebno je pronaći stacionarne točke funkcije i točke u kojima ne postoji derivacija funkcije, ali koje pripadaju domeni funkcije.

Primjer . Neka
. Pronađite točke za to koje su sumnjive za ekstrem. Da bismo riješili problem, prije svega pronalazimo domenu funkcije:
. Sada nalazimo izvod funkcije:

Točke u kojima derivacija ne postoji:
. Stacionarne funkcionalne točke:

Jer i
, i
pripadaju domeni definicije funkcije, tada će obje biti sumnjive za ekstrem. No, da bismo zaključili hoće li doista doći do ekstrema, potrebno je primijeniti dovoljno uvjeta za ekstrem.

2. Prvi dovoljan uvjet za lokalni ekstrem

Teorem 1 (prvi dovoljan uvjet za lokalni ekstrem) . Neka funkcija
određen na
i diferencira se na tom intervalu posvuda, osim eventualno u točki
, ali u ovom trenutku funkcija
je kontinuirana. Ako postoje takve desna i lijeva poluokolina točke , u svakoj od kojih
zadržava određeni znak, dakle

1) funkcija
ima lokalni ekstrem u točki , ako
uzima vrijednosti različitih znakova u odgovarajućim polu-susjedstvima;

2) funkcija
nema lokalni ekstrem u točki , ako je desno i lijevo od točke
ima isti znak.

Dokaz . 1) Pretpostavimo da u polususjedstvu
izvedenica
, i u

.

Tako u točki funkcija
ima lokalni ekstrem, tj. lokalni maksimum, što je trebalo dokazati.

2) Pretpostavimo da lijevo i desno od točke izvedenica zadržava svoj predznak, npr.
. Zatim dalje
i
funkcija
strogo monotono rastuće, tj.

Dakle, ekstrem u točki funkcija
ne, što je trebalo dokazati.

Napomena 1 . Ako je izvedenica
pri prolasku kroz točku mijenja predznak iz "+" u "-", zatim na točku funkcija
ima lokalni maksimum, a ako se predznak promijeni s "-" na "+", onda lokalni minimum.

Napomena 2 . Važan uvjet je kontinuitet funkcije
u točki . Ako ovaj uvjet nije zadovoljen, tada teorem 1 možda neće vrijediti.

Primjer . Razmatra se funkcija (slika 1):

Ova je funkcija definirana na i kontinuirana je svugdje osim u točki
, gdje ima diskontinuitet koji se može ukloniti. Pri prolasku kroz točku

mijenja predznak iz "-" u "+", ali funkcija u ovoj točki nema lokalni minimum, ali po definiciji ima lokalni maksimum. Doista, blizu poante
moguće je konstruirati takvo susjedstvo da će za sve argumente iz tog susjedstva vrijednosti funkcije biti manje od vrijednosti
. Teorem 1 nije funkcionirao jer u točki
funkcija je imala prekid.

Napomena 3 . Prvi dovoljni uvjet lokalnog ekstrema ne može se koristiti kada je derivacija funkcije
mijenja predznak u svakoj lijevoj i svakoj desnoj poluokolici točke .

Primjer . Funkcija koja se razmatra je:

Jer
, onda
, i stoga
, ali
. Na ovaj način:

,

oni. u točki
funkcija
Ima lokalni minimum po definiciji. Pogledajmo radi li ovdje prvi dovoljan uvjet za lokalni ekstrem.

Za
:

Za prvi izraz na desnoj strani rezultirajuće formule imamo:

,

i stoga u malom susjedstvu točke
predznak izvoda određen je predznakom drugog člana, tj.

,

što znači da u bilo kojoj okolini točke

prihvatit će i pozitivne i negativne vrijednosti. Doista, razmotrite proizvoljnu okolinu točke
:
. Kada

,

zatim

(Slika 2), i ovdje mijenja predznak beskonačno mnogo puta. Dakle, prvi dovoljan uvjet za lokalni ekstrem ne može se koristiti u gornjem primjeru.

Definicije:

ekstremno naziva maksimum minimalna vrijednost funkcije na danom skupu.

krajnja točka je točka u kojoj se postiže maksimalna ili minimalna vrijednost funkcije.

Maksimalna točka je točka u kojoj je postignuta najveća vrijednost funkcije.

Niska točka je točka u kojoj je postignuta minimalna vrijednost funkcije.

Obrazloženje.

Na slici u blizini točke x = 3 funkcija postiže maksimalnu vrijednost (odnosno u blizini te točke nema više točke). U susjedstvu x = 8, opet ima maksimalnu vrijednost (opet, pojasnimo: upravo u tom susjedstvu nema točke iznad). U tim točkama povećanje se zamjenjuje smanjenjem. To su maksimalni bodovi:

xmax = 3, xmax = 8.

U blizini točke x = 5 postiže se minimalna vrijednost funkcije (odnosno u blizini x = 5 nema točke ispod). U ovom trenutku smanjenje se zamjenjuje povećanjem. To je minimalna točka:

Maksimalni i minimalni bodovi su ekstremne točke funkcije, a vrijednosti funkcije u tim točkama su njezine krajnosti.

Kritične i stacionarne točke funkcije:

Neophodan uvjet za ekstrem:

Dovoljan uvjet za ekstrem:

Na segmentu, funkcija g = f(x) može doseći svoju minimalnu ili maksimalnu vrijednost ili na kritičnim točkama ili na krajevima segmenta .

Algoritam istraživanja kontinuirana funkcija g = f(x) za monotonost i ekstreme:

Područje funkcije, izračunati njenu derivaciju, pronaći područje derivacije funkcije, pronaći bodova pretvorbom derivacije u nulu, dokazati da pronađene točke pripadaju domeni definicije izvorne funkcije.

Primjer 1 Prepoznajte kritično bodova funkcije y = (x - 3)² (x-2).

Rješenje Pronađite opseg funkcije, u ovaj slučaj nema ograničenja: x ∈ (-∞; +∞); Izračunajte derivaciju y’. Prema pravilima diferenciranja umnoška dva, postoji: y' = ((x - 3)²)' (x - 2) + (x - 3)² (x - 2)' = 2 (x - 3) (x - 2) + (x - 3)² 1. Nakon što se ispostavi kvadratna jednadžba: y' = 3 x² - 16 x + 21.

Odredite domenu derivacije funkcije: x ∈ (-∞; +∞) Riješite jednadžbu 3 x² - 16 x + 21 = 0 da biste saznali za koju ona nestaje: 3 x² - 16 x + 21 = 0 .

D \u003d 256 - 252 \u003d 4x1 \u003d (16 + 2) / 6 \u003d 3; x2 = (16 - 2)/6 = 7/3. Dakle, derivacija nestaje za x vrijednosti jednake 3 i 7/3.

Odrediti pripadaju li pronađeni bodova domene izvorne funkcije. Budući da je x (-∞; +∞), onda oba bodova su kritični.

Primjer 2 Identificirajte kritično bodova funkcije y = x² - 2/x.

Rješenje Domena funkcije: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞) budući da je x u nazivniku. Izračunajte derivaciju y’ = 2 x + 2/x².

Domena derivacije funkcije ista je kao ona izvorne: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞). Riješite jednadžbu 2 x + 2/x² = 0:2 x = -2 /x² → x = -jedan.

Dakle, derivacija nestaje na x = -1. Potreban, ali nedovoljan uvjet kritičnosti je zadovoljen. Budući da x=-1 pada u interval (-∞; 0) ∪ (0; +∞), ova točka je kritična.

Izvori:

• Kritični obujam prodaje, pcsThreshold

Mnoge žene pate od predmenstrualnog sindroma, koji se očituje ne samo bolnim osjećajima, već i povećanim apetitom. Kao rezultat toga, kritični dani mogu značajno usporiti proces gubitka težine.

Uzroci povećanog apetita tijekom kritičnih dana

Razlog povećanja apetita tijekom razdoblja kritičnih dana je promjena u općoj hormonalnoj pozadini u ženskom tijelu. Nekoliko dana prije početka menstruacije raste razina hormona progesterona, tijelo se podešava na moguće i pokušava napraviti dodatne rezerve energije u obliku tjelesne masti, čak i ako žena sjedi. Dakle, promjena težine u kritičnim danima normalna je pojava.

Kako se hraniti za vrijeme menstruacije

Pokušajte ne jesti slatkiše, slastice i drugu visokokaloričnu hranu koja sadrži "brzo" ovih dana. Njihov višak odmah će se taložiti u masti. Mnoge žene u ovom razdoblju jako žele jesti čokoladu, u ovom slučaju možete kupiti tamnu čokoladu i počastiti se s nekoliko kriški, ali ne više. Ne koristiti za vrijeme menstruacije alkoholna pića, marinade, kiseli krastavci, dimljeno meso, sjemenke i orasi. Kiseli krastavci i dimljeno meso općenito bi trebali biti ograničeni u prehrani 6-8 dana prije početka menstruacije, jer takvi proizvodi povećavaju rezerve vode u tijelu, a ovo razdoblje karakterizira povećanje nakupljanja tekućine. Kako biste smanjili količinu soli u svojoj prehrani, dodajte je u svoju minimalna količina u gotova jela.

Preporuča se korištenje nemasnih mliječnih proizvoda, biljne hrane, žitarica. Bit će korisni mahunarke, kuhani krumpir, riža - proizvodi koji sadrže "spore" ugljikohidrate. Plodovi mora, jetra, riba, govedina, perad, jaja, mahunarke, sušeno voće pomoći će nadoknaditi gubitak željeza. Pšenične mekinje će biti korisne. prirodna reakcija tijekom menstruacije su otekline. Lagane diuretičke biljke pomoći će popraviti stanje: bosiljak, kopar, peršin, celer. Mogu se koristiti kao začin. U drugoj polovici ciklusa preporuča se unos proteinskih proizvoda (nemasno meso i riba, mliječni proizvodi), a količinu ugljikohidrata u prehrani treba maksimalno smanjiti.

ekonomski koncept kritični volumen prodajni odgovara položaju poduzeća na tržištu, u kojem je prihod od prodaje robe minimalan. Ova situacija se naziva prijelomna točka, kada potražnja za proizvodima pada, a profit jedva pokriva troškove. Za određivanje kritičnog volumena prodajni koristiti nekoliko metoda.

Uputa

Radni ciklus nije ograničen na njegove aktivnosti - proizvodnju ili usluge. Ovo je složen posao određene strukture, uključujući rad ključnog osoblja, rukovodećeg osoblja, menadžera itd., kao i ekonomista, čija je zadaća financijska analiza poduzeća.

Svrha ove analize je izračunati neke veličine koje u ovom ili onom stupnju utječu na veličinu konačne dobiti. to različite vrste obujam proizvodnje i prodaje, puni i prosječni, pokazatelji potražnje itd. Glavni zadatak je identificirati takav obujam proizvodnje pri kojem se uspostavlja stabilan odnos između troškova i dobiti.

Minimalni volumen prodajni, pri kojem prihod u potpunosti pokriva troškove, ali ne povećava temeljni kapital poduzeća, naziva se kritični volumen prodajni. Postoje tri metode za izračunavanje metode ovog pokazatelja: metoda jednadžbi, graničnog dohotka i grafička.

Za određivanje kritičnog volumena prodajni prema prvoj metodi napravite jednadžbu oblika: Vp - Zper - Zpos \u003d Pp \u003d 0, gdje je: Vp - prihod od prodajni i ; Zper i Zpos - varijabilni i fiksni troškovi; Pp - dobit od prodajni i.

Prema drugoj metodi, prvi izraz, prihod od prodajni, predstavljaju kao umnožak graničnog prihoda od jedinice robe prema volumenu prodajni Isto vrijedi i za varijabilne troškove. Fiksni troškovi odnose se na cijelu seriju robe, stoga ostavite ovu komponentu zajedničkom: MD N - Zper1 N - Zpos = 0.

Izrazite vrijednost N iz ove jednadžbe i dobit ćete kritični volumen prodajni:N = Zpos / (MD - Zper1), gdje su Zper1 - varijabilni troškovi po jedinici robe.

Grafička metoda uključuje izgradnju. Prijaviti se koordinatna ravnina dva retka: funkcija prihoda od prodajni minus funkcija troškova i dobiti. Na apscisnu os nanesite obujam proizvodnje, a na ordinatnu os prihod od pripadajuće količine robe izražen u monetarne jedinice. Točka sjecišta ovih linija odgovara kritičnom volumenu prodajni, pozicija rentabilnosti.

Izvori:

• kako prepoznati kritički rad

Kritičko razmišljanje je skup prosudbi na temelju kojih se oblikuju određeni zaključci i vrši ocjena predmeta kritike. Posebno je karakteristično za istraživače i znanstvenike svih grana znanosti. Kritičko mišljenje zauzima višu razinu od običnog mišljenja.

Vrijednost iskustva u formiranju kritičkog mišljenja

Teško je analizirati i donositi zaključke o onome što ne razumijete dobro. Dakle, da bismo naučili kritički razmišljati, potrebno je predmete proučavati u svim mogućim vezama i odnosima s drugim pojavama. Kao i veliki značaj u ovom slučaju, on posjeduje informacije o takvim objektima, sposobnost izgradnje logičkih lanaca prosudbi i izvlačenja razumnih zaključaka.

Na primjer, procijenite vrijednost ilustracije moguće je samo poznavanjem dovoljno drugog voća književna djelatnost. Pritom, nije loše biti poznavatelj povijesti razvoja čovječanstva, nastanka književnosti i književna kritika. Daleko od povijesni kontekst djelo može izgubiti svoje predviđeno značenje. Da bi ocjena umjetničkog djela bila dovoljno cjelovita i opravdana, potrebno je koristiti se i svojim književnim znanjem, što uključuje i pravila konstruiranja umjetnički tekst unutar pojedinih žanrova, sustav raznih književna sredstva, klasifikacija i analiza postojeće stilove i trendovi u književnosti itd. Istodobno je također važno proučavati unutarnju logiku radnje, slijed radnji, smještaj i interakciju likova u umjetničkom djelu.

Značajke kritičkog mišljenja

Druge značajke kritičkog mišljenja uključuju:
- znanje o predmetu koji se proučava samo je polazište za dalje aktivnost mozga povezan s izgradnjom logičkih lanaca;
- dosljedno građena i temeljena na zdrav razum rasuđivanje dovodi do identifikacije istinitih i pogrešnih informacija o predmetu koji se proučava;
- kritičko mišljenje uvijek je povezano s procjenom dostupnih informacija o dati predmet i odgovarajućih zaključaka, procjena je pak povezana s već dostupnim vještinama.

Za razliku od običnog mišljenja, kritičko mišljenje nije podložno slijepoj vjeri. Kritičko mišljenje dopušta cijeli sustav sudove o predmetu kritike shvatiti njegovu bit, razotkriti pravo znanje o tome i opovrgnuti lažne. Temelji se na logici, dubini i potpunosti proučavanja, istinitosti, primjerenosti i dosljednosti prosudbi. Istovremeno, očite i dokazane tvrdnje prihvaćaju se kao postulati i ne zahtijevaju ponovno dokazivanje i vrednovanje.

Kritične točke su točke u kojima je derivacija funkcije jednaka nuli ili ne postoji. Ako je derivacija 0 tada funkcija u toj točki uzima lokalni minimum ili maksimum. Na grafu u takvim točkama funkcija ima horizontalna asimptota, odnosno tangenta je paralelna s x-osi.

Takve se točke nazivaju stacionarni. Ako vidite "grbu" ili "rupu" na grafikonu kontinuirane funkcije, zapamtite da je maksimum ili minimum postignut na kritičnoj točki. Razmotrite sljedeći zadatak kao primjer.

Primjer 1 Nađite kritične točke funkcije y=2x^3-3x^2+5 .
Riješenje. Algoritam za pronalaženje kritičnih točaka je sljedeći:

Dakle, funkcija ima dvije kritične točke.

Nadalje, ako trebate proučiti funkciju, tada određujemo znak derivacije lijevo i desno od kritične točke. Ako derivacija promijeni predznak iz "-" u "+" kada prolazi kroz kritičnu točku, tada funkcija preuzima lokalni minimum. Ako od "+" do "-" treba lokalni maksimum.

Druga vrsta kritičnih točaka to su nule nazivnika razlomaka i iracionalnih funkcija

Funkcije s logaritmima i trigonometrijama koje nisu definirane u tim točkama


Treća vrsta kritičnih točaka imaju po komadu kontinuirane funkcije i module.
Na primjer, svaka funkcija modula ima minimum ili maksimum na prijelomnoj točki.

Na primjer, modul y = | x -5 | u točki x = 5 ima minimum (kritičnu točku).
Izvodnica u njemu ne postoji, ali s desne i lijeve strane ima vrijednost 1, odnosno -1.

Pokušajte identificirati kritične točke funkcija

1)
2)
3)
4)
5)

Ako kao odgovor dobijete vrijednost
1) x=4;
2) x=-1;x=1;
3) x=9;
4) x=Pi*k;
5) x=1.
onda već znaš kako pronaći kritične točke i biti u stanju nositi se s jednostavnom kontrolom ili testovima.

Razmotrite sljedeću sliku.

Prikazuje graf funkcije y = x^3 - 3*x^2. Razmotrimo neki interval koji sadrži točku x = 0, na primjer od -1 do 1. Takav interval nazivamo i okolinom točke x = 0. Kao što možete vidjeti na grafu, u ovoj okolini funkcija y = x^ 3 - 3*x^2 preuzimanja najveća vrijednost točno u točki x = 0.

Maksimum i minimum funkcije

U tom slučaju točku x = 0 nazivamo točkom maksimuma funkcije. Analogno tome, točka x = 2 naziva se točka minimuma funkcije y = x^3 - 3*x^2. Zato što postoji takvo susjedstvo ove točke u kojem će vrijednost u ovoj točki biti minimalna među svim ostalim vrijednostima iz ovog susjedstva.

točka maksimum funkcija f(x) naziva se točka x0, pod uvjetom da postoji okolina točke x0 takva da za sve x koji nisu jednaki x0 iz te okoline vrijedi nejednakost f(x)< f(x0).

točka minimum funkcija f(x) naziva se točka x0, pod uvjetom da postoji okolina točke x0 takva da je za sve x koji nisu jednaki x0 iz te okoline, zadovoljena nejednakost f(x) > f(x0).

U točkama maksimuma i minimuma funkcije vrijednost derivacije funkcije jednaka je nuli. Ali to nije dovoljan uvjet za postojanje funkcije u točki maksimuma ili minimuma.

Na primjer, funkcija y = x^3 u točki x = 0 ima derivaciju jednaku nuli. Ali točka x = 0 nije točka minimuma ili maksimuma funkcije. Kao što znate, funkcija y = x^3 raste na cijeloj realnoj osi.

Stoga će minimalne i maksimalne točke uvijek biti među korijenom jednadžbe f’(x) = 0. Ali neće svi korijeni ove jednadžbe biti maksimalne ili minimalne točke.

Stacionarne i kritične točke

Točke u kojima je vrijednost derivacije funkcije jednaka nuli nazivamo stacionarnim točkama. Također mogu postojati točke maksimuma ili minimuma u točkama u kojima derivacija funkcije uopće ne postoji. Na primjer, y = |x| u točki x = 0 ima minimum, ali derivacija u ovoj točki ne postoji. Ova točka će biti kritična točka funkcije.

Kritične točke funkcije su točke u kojima je derivacija jednaka nuli ili u toj točki derivacija ne postoji, odnosno funkcija je u toj točki nediferencijabilna. Da bi se našao maksimum ili minimum funkcije, mora biti zadovoljen dovoljan uvjet.

Neka je f(x) neka funkcija diferencijabilna na intervalu (a;b). Točka x0 pripada tom intervalu i f'(x0) = 0. Tada vrijedi:

1. ako pri prolasku kroz stacionarnu točku x0 funkcija f (x) i njezina derivacija promijene predznak, iz “plus” u “minus”, tada je točka x0 točka maksimuma funkcije.

2. ako pri prolasku kroz stacionarnu točku x0 funkcija f (x) i njezina derivacija promijene predznak, iz “minus” u “plus”, tada je točka x0 točka minimuma funkcije.