Nemojmo dugo razmišljati o uzvišenom – krenimo odmah s definicijom.

- to je kada se izvode n nezavisnih eksperimenata iste vrste, u svakom od kojih se može pojaviti događaj A koji nas zanima, a poznata je vjerojatnost tog događaja P (A) \u003d p. Potrebno je odrediti vjerojatnost da će se događaj A dogoditi točno k puta tijekom n pokušaja.

Zadaci koji se rješavaju prema Bernoullijevoj shemi iznimno su raznoliki: od jednostavnih (kao što je “pronaći vjerojatnost da strijelac pogodi 1 put od 10”) do vrlo teških (na primjer, zadaci za postotke ili kartanje). U stvarnosti se ova shema često koristi za rješavanje problema vezanih uz kontrolu kvalitete proizvoda i pouzdanost različitih mehanizama, čije sve karakteristike moraju biti poznate prije početka rada.

Vratimo se na definiciju. Jer pričamo na neovisnim pokusima, au svakom pokusu je vjerojatnost događaja A ista, moguća su samo dva ishoda:

1. A je pojava događaja A s vjerojatnošću p;
2. "nije A" - događaj A se nije pojavio, što se događa s vjerojatnošću q = 1 − p.

Najvažniji uvjet bez kojeg Bernoullijeva shema gubi smisao je konstantnost. Koliko god pokusa proveli, zainteresirani smo za isti događaj A, koji se događa s istom vjerojatnošću p.

Usput, ne mogu se svi problemi u teoriji vjerojatnosti svesti na konstantne uvjete. Svaki kompetentan učitelj će vam reći o tome. viša matematika. Čak i nešto tako jednostavno kao što je vađenje obojenih kuglica iz kutije nije eksperiment s konstantnim uvjetima. Izvadili su još jednu loptu - promijenio se omjer boja u kutiji. Stoga su se i vjerojatnosti promijenile.

Ako su uvjeti konstantni, može se točno odrediti vjerojatnost da će se događaj A dogoditi točno k puta od n mogućih. Ovu činjenicu formuliramo u obliku teorema:

Neka je vjerojatnost pojavljivanja događaja A u svakom eksperimentu konstantna i jednaka p. Tada se vjerojatnost da će se u n neovisnih pokusa događaj A pojaviti točno k puta izračunava se formulom:

gdje je C n k broj kombinacija, q = 1 − p.

Ova formula se zove: Zanimljivo je primijetiti da su problemi ispod potpuno riješeni bez korištenja ove formule. Na primjer, možete primijeniti formule zbrajanja vjerojatnosti. Međutim, količina izračuna bit će jednostavno nerealna.

Zadatak. Vjerojatnost proizvodnje neispravnog proizvoda na stroju je 0,2. Odredite vjerojatnost da će u seriji od deset dijelova proizvedenih na određenom stroju točno k biti bez nedostataka. Riješite zadatak za k = 0, 1, 10.

Pod uvjetom nas zanima događaj A puštanja proizvoda bez nedostataka koji se događa svaki put s vjerojatnošću p = 1 − 0,2 = 0,8. Moramo odrediti vjerojatnost da će se ovaj događaj dogoditi k puta. Događaj A suprotstavljen je događaju "ne A", tj. proizvodnja proizvoda s nedostatkom.

Dakle, imamo: n = 10; p=0,8; q = 0,2.

Dakle, nalazimo vjerojatnost da su svi dijelovi u seriji neispravni (k = 0), da je samo jedan dio neispravan (k = 1) i da uopće nema neispravnih dijelova (k = 10):

Zadatak. Novčić se baca 6 puta. Gubitak grba i repa jednako je vjerojatan. Nađite vjerojatnost da:

1. grb će pasti tri puta;
2. grb će jednom pasti;
3. grb će se pojaviti najmanje dva puta.

Dakle, zanima nas događaj A, kada ispada grb. Vjerojatnost ovog događaja je p = 0,5. Događaju A suprotstavlja se događaj “ne A”, kada dođe do repova, što se događa s vjerojatnošću q = 1 − 0,5 = 0,5. Potrebno je odrediti vjerojatnost da će grb ispasti k puta.

Dakle, imamo: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Odredimo vjerojatnost da je grb ispao tri puta, t.j. k = 3:

Sada odredimo vjerojatnost da je grb ispao samo jednom, tj. k = 1:

Ostaje utvrditi s kojom vjerojatnošću će grb ispasti barem dva puta. Glavna začkoljica je u izrazu "ništa manje". Ispada da će nam odgovarati bilo koji k, osim 0 i 1, tj. trebate pronaći vrijednost zbroja X \u003d P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).

Primijetimo da je i ovaj zbroj jednak (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), tj. dosta svega opcije“izrezati” one kada je grb ispao 1 put (k = 1) ili uopće nije ispao (k = 0). Budući da P 6 (1) već znamo, ostaje pronaći P 6 (0):

Zadatak. Vjerojatnost da TV ima skrivene nedostatke je 0,2. U skladište je stiglo 20 televizora. Koji je događaj vjerojatniji: da u ovoj seriji postoje dva televizora sa skrivenim nedostacima ili tri?

Događaj od interesa A je prisutnost latentnog defekta. Ukupno televizora n = 20, vjerojatnost skrivenog kvara p = 0,2. Sukladno tome, vjerojatnost da dobijete televizor bez skrivenog kvara je q = 1 − 0,2 = 0,8.

Dobivamo polazne uvjete za Bernoullijevu shemu: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Nađimo vjerojatnost da dobijemo dva "neispravna" televizora (k = 2) i tri (k = 3):

\[\begin(array)(l)(P_(20))\left(2 \right) = C_(20)^2(p^2)(q^(18)) = \frac((20}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]!}

Očito je P 20 (3) > P 20 (2), tj. vjerojatnost da ćete dobiti tri televizora sa skrivenim nedostacima je veća da ćete dobiti samo dva takva televizora. Štoviše, razlika nije slaba.

Mala napomena o faktorijelima. Mnogi ljudi dožive nejasan osjećaj nelagode kada vide unos "0!" (čitaj "nula faktorijel"). Dakle, 0! = 1 po definiciji.

P.S. A najveća vjerojatnost u zadnjem zadatku je dobiti četiri televizora sa skrivenim nedostacima. Izračunajte i uvjerite se sami.

Vidi također:

Hvala vam što čitate i dijelite s drugima

Pri rješavanju probabilističkih problema često se susrećemo sa situacijama u kojima se isti pokušaj ponavlja mnogo puta, a ishod svakog pokušaja je neovisan o ishodima drugih. Ovaj pokus se također naziva shema ponovljenih neovisnih testova ili Bernoullijeva shema.

Primjeri ponovnih testova:

1) višestruko vađenje jedne kuglice iz urne, s tim da se kuglica izvađena nakon registracije boje vrati u urnu;

2) ponavljanje hitaca u istu metu od strane jednog strijelca, s tim da se vjerojatnost uspješnog pogotka kod svakog hica uzima jednako (uloga nuliranja se ne uzima u obzir).

Dakle, neka kao rezultat testa moguće dva ishoda: ili će se pojaviti događaj ALI, ili njegov suprotan događaj. Provedimo n Bernoullijevih pokusa. To znači da je svih n pokusa neovisno; vjerojatnost pojavljivanja događaja $A$ u svakom pojedinačnom ili pojedinačnom testu je konstantna i ne mijenja se od testa do testa (tj. testovi se provode pod istim uvjetima). Označimo vjerojatnost pojavljivanja događaja $A$ u jednom pokušaju slovom $p$, tj. $p=P(A)$, i vjerojatnost suprotni događaj(događaj $A$ se nije dogodio) — sa slovom $q=P(\overline(A))=1-p$.

Tada je vjerojatnost da događaj ALI pojavit će se u ovim n testovi točno k puta, izraženo Bernoullijeva formula

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^(n-k), \quad q=1-p.$$

Distribucija broja uspjeha (pojava događaja) naziva se binomna distribucija.

Online kalkulatori za Bernoullijevu formulu

Neke od najpopularnijih vrsta problema koji koriste Bernoullijevu formulu analizirane su u člancima i opremljene internetskim kalkulatorom, a možete im pristupiti pomoću poveznica:

Primjeri rješenja zadataka na Bernoullijevu formulu

Primjer. Urna sadrži 20 bijelih i 10 crnih kuglica. Izvade se 4 kuglice, a svaka izvađena kuglica se vrati u urnu prije nego što se izvuče sljedeća i kuglice u urni se pomiješaju.

Bernoullijeva formula. Rješavanje problema

Odredite vjerojatnost da su 2 od 4 izvučene kuglice bijele.

Riješenje. Događaj ALI- dobio bijelu loptu. Zatim vjerojatnosti
, .
Prema Bernoullijevoj formuli tražena vjerojatnost je
.

Primjer. Odredite vjerojatnost da obitelj s 5 djece neće imati više od 3 djevojčice. Pretpostavlja se da su vjerojatnosti rođenja dječaka i djevojčice iste.

Riješenje. Vjerojatnost da dobiješ djevojčicu
, zatim .

Nađimo vjerojatnosti da u obitelji nema djevojčica, rođene su jedna, dvije ili tri djevojčice:

, ,

, .

Prema tome, željena vjerojatnost

.

Primjer. Među dijelovima koje radnik obrađuje u prosjeku je 4% nestandardnih. Nađite vjerojatnost da će dva od 30 dijelova uzetih za ispitivanje biti nestandardna.

Riješenje. Ovdje iskustvo leži u provjeri kvalitete svakog od 30 dijelova.

Događaj A je “pojava nestandardnog dijela”, njegova vjerojatnost je , tada . Odavde, Bernoullijevom formulom, nalazimo
.

Primjer. Za svaki pojedinačni hitac iz pištolja, vjerojatnost pogotka mete je 0,9. Odredite vjerojatnost da će od 20 udaraca broj uspješnih udaraca biti najmanje 16, a najviše 19.

Riješenje. Računamo po Bernoullijevoj formuli:

Primjer. Neovisna suđenja nastavljaju se do događaja ALI neće se dogoditi k jednom. Nađite vjerojatnost da će trajati n pokusa (n ³ k), ako je u svakom od njih .

Riješenje. Događaj NA- točno n testovi prije k-th pojava događaja ALI je proizvod sljedeća dva događaja:

D-in n th test ALI dogodilo se;

C - prvi (n–1) th test ALI pojavio se (k-1) jednom.

Teorem množenja i Bernoullijeva formula daju traženu vjerojatnost:

Treba napomenuti da je uporaba binomnog zakona često povezana s računalnim poteškoćama. Stoga, s povećanjem vrijednosti n i m postaje svrhovito koristiti približne formule (Poisson, Moivre-Laplace), o kojima će biti riječi u sljedećim odjeljcima.

Video tutorijal Bernoullijeva formula

Za one koji su vizualniji u sekvencijalnim video objašnjenjima, 15-minutni video:

Formula ukupne vjerojatnosti: teorija i primjeri rješavanja problema

Formula ukupne vjerojatnosti i uvjetne vjerojatnosti događaja

Formula puna vjerojatnost je posljedica osnovnih pravila teorije vjerojatnosti – pravila zbrajanja i pravila množenja.

Formula ukupne vjerojatnosti omogućuje vam da pronađete vjerojatnost događaja A, koji se može pojaviti samo sa svakim od n međusobno isključivi događaji koji tvore potpuni sustav ako su njihove vjerojatnosti poznate, i uvjetne vjerojatnosti razvoja događaja A s obzirom na svaki od događaja sustava jednaki su .

Događaji se također nazivaju hipotezama, oni se međusobno isključuju. Stoga u literaturi možete pronaći i njihovu oznaku ne slovom B, ali sa pismom H(hipoteza).

Za rješavanje problema s takvim uvjetima potrebno je razmotriti 3, 4, 5 ili in opći slučaj n mogućnost događaja A sa svakim događajem.

Koristeći teoreme zbrajanja i množenja vjerojatnosti, dobivamo zbroj umnožaka vjerojatnosti svakog od događaja sustava prema uvjetna vjerojatnost razvoja događaja A za svaki događaj u sustavu.

21 suđenja Bernoulliju. Bernoullijeva formula

Odnosno, vjerojatnost događaja A može se izračunati po formuli

ili općenito

,

koji se zove formula ukupne vjerojatnosti .

Formula potpune vjerojatnosti: primjeri rješavanja problema

Primjer 1 Postoje tri urne identičnog izgleda: u prvoj su 2 bijele kugle i 3 crne, u drugoj su 4 bijele i jedna crna, u trećoj su tri bijele kugle. Netko nasumično priđe jednoj od urni i iz nje izvadi jednu kuglu. Iskorištavati formula ukupne vjerojatnosti, pronađite vjerojatnost da je lopta bijela.

Riješenje. Događaj A- izgled bijela lopta. Postavili smo tri hipoteze:

— odabrana je prva urna;

— bira se druga urna;

— bira se treća urna.

Uvjetne vjerojatnosti događaja A za svaku od hipoteza:

, , .

Primjenjujemo formulu ukupne vjerojatnosti, kao rezultat - traženu vjerojatnost:

.

Primjer 2 U prvoj tvornici se od svakih 100 žarulja u prosjeku proizvede 90 standardnih žarulja, u drugoj 95, u trećoj 85, a proizvodnja ovih tvornica je redom 50%, 30% i 20% sve električne žarulje koje se isporučuju trgovinama određenog područja. Nađite vjerojatnost kupnje standardne žarulje.

Riješenje. Označimo vjerojatnost nabave standardne žarulje kao A, te događaja da je kupljena žarulja proizvedena u prvoj, drugoj odnosno trećoj tvornici do . Po uvjetu su poznate vjerojatnosti ovih događaja: , , i uvjetne vjerojatnosti događaja A u vezi sa svakim od njih: , , . Ovo su vjerojatnosti nabave standardne žarulje, pod uvjetom da je proizvedena u prvoj, drugoj i trećoj tvornici.

Događaj A dogodit će se ako se dogodi događaj ili K– žarulja je izrađena u prvoj tvornici i standardna je ili event L- žarulja je napravljena u drugoj tvornici i standardna je ili event M- žarulja je proizvedena u trećoj tvornici i standardna je.

Druge mogućnosti za nastanak događaja A Ne. Stoga se događaj A je zbroj događaja K, L i M koji su nekompatibilni. Primjenom teorema zbrajanja vjerojatnosti predstavljamo vjerojatnost događaja A kao

a teoremom množenja vjerojatnosti dobivamo

to je, poseban slučaj formule ukupne vjerojatnosti.

Zamjenom vjerojatnosti u lijevu stranu formule dobivamo vjerojatnost događaja A:

Nemate vremena zadubiti se u rješenje? Možete naručiti posao!

Primjer 3 Zrakoplov slijeće u zračnu luku. Ako vremenski uvjeti dopuštaju, pilot spušta avion koristeći se, osim instrumentima, i vizualnim promatranjem. U ovom slučaju, vjerojatnost uspješnog slijetanja je . Ako je uzletište oblačno s niskim oblacima, tada pilot spušta avion, orijentirajući se samo na instrumente. U ovom slučaju, vjerojatnost uspješnog slijetanja je ; .

Uređaji koji omogućuju slijepo slijetanje imaju pouzdanost (vjerojatnost rada bez greške) P. U prisustvu niske naoblake i neispravnih instrumenata za slijepo slijetanje, vjerojatnost uspješnog slijetanja je ; . Statistika pokazuje da je u k% slijetanja, uzletište je prekriveno niskim oblacima. Pronaći puna vjerojatnost događajaA- sigurno slijetanje zrakoplova.

Riješenje. Hipoteze:

— nema niskih oblaka;

- Niska je naoblaka.

Vjerojatnosti ovih hipoteza (događaja):

;

Uvjetna vjerojatnost.

Uvjetna vjerojatnost se opet nalazi formulom za ukupnu vjerojatnost s hipotezama

- uređaji za slijepo slijetanje rade;

- uređaji za slijepo slijetanje nisu uspjeli.

Vjerojatnosti ovih hipoteza su:

Prema formuli ukupne vjerojatnosti

Primjer 4 Uređaj može raditi u dva načina: normalno i nenormalno. Normalni način rada promatra se u 80% svih slučajeva rada uređaja, a nenormalan - u 20% slučajeva. Vjerojatnost kvara uređaja Određeno vrijeme t jednako 0,1; u abnormalnom 0,7. Pronaći puna vjerojatnost kvar uređaja na vrijeme t.

Riješenje. Ponovno označavamo vjerojatnost kvara uređaja kao A. Dakle, što se tiče rada uređaja u svakom načinu rada (događaja), vjerojatnosti su poznate prema uvjetu: za normalni način rada je 80% (), za nenormalni način rada - 20% (). Vjerojatnost događaja A(odnosno kvar uređaja) ovisno o prvom događaju (normalni način rada) iznosi 0,1 (); ovisno o drugom događaju (abnormalni način) - 0,7 ( ). Zamjenjujemo ove vrijednosti u formulu ukupne vjerojatnosti (to jest, zbroj umnožaka vjerojatnosti svakog događaja u sustavu i uvjetne vjerojatnosti događaja A s obzirom na svaki od događaja sustava) i imamo traženi rezultat.

1

1. Bogolyubov A.N. Matematika. Mehanika: biografski vodič. - Kijev: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Analiza i ocjena prioriteta dijelova matematičkih disciplina koje studiraju studenti ekonomskih specijalnosti poljoprivredna sveučilišta// Bilten agroindustrijskog kompleksa Stavropol. - 2013. - Broj 1 (9). - Str. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Izgledi primjene matematičke metode u ekonomska istraživanja// Agrarna znanost, stvaralaštvo, rast. - 2013. - S. 255-257.

U matematici dosta često postoje problemi u kojima postoji veliki broj ponavljanja istog stanja, testa ili eksperimenta. Rezultat svakog testa smatrat će se potpuno drugačijim rezultatom od prethodnog. Ovisnost u rezultatima također se neće promatrati. Kao rezultat ispitivanja može se izdvojiti nekoliko mogućnosti elementarnih posljedica: pojava događaja (A) ili pojava događaja koji nadopunjuje A.

Pokušajmo onda pretpostaviti da je vjerojatnost događanja događaja R(A) regularna i jednaka r (0<р<1).

Primjeri takvog izazova mogu biti veliki broj zadataka, poput bacanja novčića, vađenja crnih i bijelih loptica iz tamne vrećice ili rađanja crno-bijelih zečeva.

Takav eksperiment se naziva konfiguracija ponovljenog neovisnog testa ili Bernoullijeva shema.

Jacob Bernoulli rođen je u obitelji ljekarnika. Otac je pokušao sina uputiti na liječnički put, no J. Bernoulli se sam zainteresirao za matematiku, koja mu je kasnije postala i profesija. Vlasnik je raznih trofeja u radovima na teme iz teorije vjerojatnosti i brojeva, nizova i diferencijalnog računa. Proučavajući teoriju vjerojatnosti iz jednog od Huygensovih djela "O kalkulacijama u kockanju", Jacob se zainteresirao za to. U ovoj knjizi čak nije postojala ni jasna definicija pojma "vjerojatnost". Većinu modernih pojmova teorije vjerojatnosti u matematiku je uveo J. Bernoulli. Bernoulli je također prvi izrazio svoju verziju zakona velikih brojeva. Jacobovo ime nose razni radovi, teoremi i sheme: "Bernoulli brojevi", "Bernoulli polinom", "Bernoulli diferencijalna jednadžba", "Bernoulli distribucija" i "Bernoulli jednadžba".

Vratimo se na ponavljanje. Kao što je već spomenuto, kao rezultat različitih testova moguća su dva ishoda: ili će se pojaviti događaj A ili će se pojaviti suprotno od ovog događaja. Sama Bernoullijeva shema označava proizvodnju n-tog broja tipičnih slobodnih eksperimenata, au svakom od tih eksperimenata može se pojaviti događaj A koji nam je potreban (vjerojatnost ovog događaja je poznata: P (A) \u003d p), vjerojatnost događaja suprotnog od događaja A označena je s q \u003d P ( A)=1-p. Potrebno je odrediti vjerojatnost da će se prilikom testiranja nepoznatog broja događaj A dogoditi točno k puta.

Važno je zapamtiti da je glavni uvjet pri rješavanju problema pomoću Bernoullijeve sheme konstantnost. Bez toga shema gubi svaki smisao.

Ova se shema može koristiti za rješavanje problema različitih razina složenosti: od jednostavnih (isti novčić) do složenih (kamate). Međutim, češće se Bernoullijeva shema koristi u rješavanju takvih problema koji su povezani s kontrolom svojstava različitih proizvoda i povjerenjem u različite mehanizme. Samo za rješavanje problema, prije početka rada, svi uvjeti i vrijednosti moraju biti poznati unaprijed.

Nisu svi problemi u teoriji vjerojatnosti svedeni na postojanost pod uvjetima. Čak i ako za primjer uzmemo crne i bijele kuglice u tamnoj vreći: kada je jedna kuglica izvučena promijenio se omjer broja i boja kuglica u vreći, što znači da se promijenila i sama vjerojatnost.

Međutim, ako su naši uvjeti konstantni, tada možemo točno odrediti traženu vjerojatnost od nas da će se događaj A dogoditi točno k puta od n mogućih.

Ovu je činjenicu Jacob Bernoulli sastavio u teorem, koji je kasnije postao poznat po njegovom imenu. "Bernoullijev teorem" je jedan od glavnih teorema u teoriji vjerojatnosti. Prvi put je objavljen u djelu J. Bernoullija "Umijeće pretpostavki". Što je ovaj teorem? “Ako je vjerojatnost p pojavljivanja događaja A u svakom pokušaju konstantna, tada je vjerojatnost Pk,n da će se događaj dogoditi k puta u n pokušaja koji su neovisni jedan o drugom jednaka: , gdje je q=1-p .”

U dokazu učinkovitosti formule mogu se dati zadaci.

Zadatak #1:

Od n staklenki po mjesecu skladištenja, k se razbije. Nasumično uzeo m limenki. Nađite vjerojatnost da se među tim staklenkama l ne razbije. n=250, k=10, m=8, l=4.

Rješenje: Imamo Bernoullijevu shemu s vrijednostima:

p=10/250=0,04 (vjerojatnost da će banke puknuti);

n=8 (broj pokusa);

k=8-4=4 (broj razbijenih staklenki).

Koristimo Bernoullijevu formulu

dobio:

Odgovor: 0,0141

Zadatak #2:

Vjerojatnost proizvodnje neispravnog proizvoda u proizvodnji je 0,2. Nađite vjerojatnost da od 10 proizvoda proizvedenih u ovom proizvodnom pogonu, točno k mora biti u dobrom stanju. Pokreni rješenje za k = 0, 1, 10.

Zanima nas događaj A - proizvodnja popravljivih dijelova, koji se događa jednom u satu s vjerojatnošću p=1-0,2=0,8. Moramo pronaći vjerojatnost da će se dati događaj dogoditi k puta. Događaj A je suprotan događaju "ne A", tj. proizvodnja neispravnog proizvoda.

Prema tome, imamo: n=10; p=0,8; q=0,2.

Kao rezultat toga, nalazimo vjerojatnost da su od 10 proizvedenih proizvoda svi proizvodi neispravni (k=0), da je jedan proizvod u dobrom stanju (k=1), da uopće nema neispravnih (k=10) :

Zaključno, želio bih napomenuti da u moderno doba mnogi znanstvenici pokušavaju dokazati da "Bernoullijeva formula" nije u skladu sa zakonima prirode i da se problemi mogu riješiti bez njezine primjene. Naravno, to je moguće, većina problema u teoriji vjerojatnosti može se izvesti bez Bernoullijeve formule, glavna stvar je da se ne zbunite u velikim količinama brojeva.

Bibliografska poveznica

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. BERNULLIJEVA FORMULA U TEORIJI VJEROJATNOSTI // Međunarodni studentski znanstveni glasnik. - 2015. - br. 3-4 .;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (datum pristupa: 12.3.2019.). Predstavljamo vam časopise koje izdaje izdavačka kuća "Academy of Natural History"

Statistika nam priskače u pomoć u rješavanju mnogih problema, na primjer: kada nije moguće izgraditi deterministički model, kada postoji previše faktora ili kada treba procijeniti vjerojatnost izgradnje modela uzimajući u obzir dostupne podatke. Odnos prema statistici je dvosmislen. Vjeruje se da postoje tri vrste laži: laž, očita laž i statistika. S druge strane, mnogi "korisnici" statistike previše joj vjeruju, ne shvaćajući u potpunosti kako funkcionira: primjenjujući, na primjer, test na bilo koji podatak bez provjere njegove normalnosti. Takav nemar može generirati ozbiljne pogreške i pretvoriti "obožavatelje" testa u mrzitelje statistike. Pokušajmo staviti struje iznad i i shvatiti koje modele slučajnih varijabli treba koristiti za opisivanje određenih pojava i kakav genetski odnos postoji među njima.

Prije svega, ovaj će materijal biti zanimljiv studentima koji studiraju teoriju vjerojatnosti i statistiku, iako će ga "zreli" stručnjaci moći koristiti kao referencu. U jednom od sljedećih radova prikazat ću primjer korištenja statistike za izradu testa za procjenu značajnosti pokazatelja burzovnih strategija trgovanja.

Rad će uzeti u obzir:

Na kraju će članak biti dan za razmišljanje. Podijelit ću svoja razmišljanja o tome u sljedećem članku.

Neke od navedenih kontinuiranih distribucija su posebni slučajevi.

Diskretne distribucije

Diskretne distribucije koriste se za opisivanje događaja s nediferencijabilnim karakteristikama definiranim u izoliranim točkama. Jednostavno rečeno, za događaje čiji se ishod može pripisati nekoj diskretnoj kategoriji: uspjeh ili neuspjeh, cijeli broj (na primjer, igra ruleta, kocke), glava ili rep itd.

Diskretna distribucija opisuje se vjerojatnošću pojavljivanja svakog od mogućih ishoda događaja. Kao i za svaku distribuciju (uključujući kontinuiranu), koncepti očekivanja i varijance definirani su za diskretne događaje. Međutim, treba razumjeti da je očekivanje za diskretni slučajni događaj općenito neostvarivo kao ishod jednog slučajnog događaja, već kao vrijednost kojoj će aritmetička sredina ishoda događaja težiti porastu kako njihov broj raste.

U modeliranju diskretnih slučajnih događaja, kombinatorika igra važnu ulogu, budući da se vjerojatnost ishoda događaja može definirati kao omjer broja kombinacija koje daju željeni ishod prema ukupnom broju kombinacija. Na primjer: u košari su 3 bijele loptice i 7 crnih. Kada izaberemo 1 loptu iz koša, to možemo učiniti na 10 različitih načina (ukupan broj kombinacija), ali samo 3 načina na koji će se birati bijela lopta (3 kombinacije koje daju traženi ishod). Dakle, vjerojatnost odabira bijele kuglice je: ().

Također je potrebno razlikovati uzorke sa zamjenom i bez zamjene. Na primjer, da bi se opisala vjerojatnost odabira dviju bijelih kuglica, važno je odrediti hoće li prva lopta biti vraćena u koš. Ako nije, tada imamo posla s uzorkom bez zamjene () i vjerojatnost će biti sljedeća: - vjerojatnost odabira bijele kuglice iz početnog uzorka pomnožena s vjerojatnošću ponovnog odabira bijele kuglice od onih preostalih u košarici . Ako je prva lopta vraćena u koš, tada je to povratno dohvaćanje (). U ovom slučaju, vjerojatnost odabira dviju bijelih kuglica je .

Ako malo formaliziramo primjer košarice na sljedeći način: neka ishod događaja ima jednu od dvije vrijednosti 0 ili 1 s vjerojatnostima i odnosno, tada će se distribucija vjerojatnosti dobivanja svakog od predloženih ishoda nazvati Bernoullijeva distribucija :

Tradicionalno, ishod s vrijednošću 1 naziva se "uspjeh", a ishod s vrijednošću 0 naziva se "neuspjeh". Očito je da se dobivanje ishoda "uspjeh ili neuspjeh" događa s vjerojatnošću.

Očekivanje i varijanca Bernoullijeve distribucije:

Broj uspjeha u pokušajima čiji je ishod raspoređen na vjerojatnost uspjeha (primjer s vraćanjem lopti u koš) opisuje se binomnom distribucijom:

Na drugi način, možemo reći da binomna distribucija opisuje zbroj nezavisnih slučajnih varijabli koje se mogu distribuirati s vjerojatnošću uspjeha.
Očekivanje i varijanca:

Binomna distribucija vrijedi samo za ponovno ulazno uzorkovanje, to jest kada vjerojatnost uspjeha ostaje konstantna za cijeli niz pokusa.

Ako količine i imaju binomnu distribuciju s parametrima i respektivno, tada će njihov zbroj također biti binomno raspodijeljen s parametrima .

Zamislite situaciju da izvlačimo loptice iz koša i vraćamo ih natrag dok se ne izvuče bijela loptica. Broj takvih operacija opisuje se geometrijskom raspodjelom. Drugim riječima: geometrijska distribucija opisuje broj pokušaja do prvog uspjeha s obzirom na vjerojatnost uspjeha u svakom pokušaju. Ako se podrazumijeva broj pokusa u kojima je postignut uspjeh, tada će geometrijska distribucija biti opisana sljedećom formulom:

Očekivanje i varijanca geometrijske distribucije:

Geometrijska razdioba genetski je povezana s razdiobom koja opisuje kontinuiranu slučajnu varijablu: vrijeme prije događaja, s konstantnim intenzitetom događaja. Geometrijska raspodjela također je poseban slučaj.

Pascalova distribucija je generalizacija distribucije: ona opisuje distribuciju broja neuspjeha u neovisnim pokusima, čiji je ishod raspoređen na vjerojatnost uspjeha prije zbroja uspjeha. Za , dobivamo distribuciju za količinu .

gdje je broj kombinacija od do .

Očekivanje i varijanca negativne binomne distribucije:

Zbroj nezavisnih slučajnih varijabli raspodijeljen prema Pascalu također je distribuiran prema Pascalu: neka ima distribuciju , i - . Neka su također nezavisni, tada će njihov zbroj imati distribuciju

Do sada smo gledali primjere ponovnih uzoraka, to jest, vjerojatnost ishoda se ne mijenja od ispitivanja do ispitivanja.

Sada razmotrite situaciju bez zamjene i opišite vjerojatnost broja uspješnih uzoraka iz populacije s unaprijed određenim brojem uspjeha i neuspjeha (unaprijed određeni broj bijelih i crnih lopti u košu, aduti u špilu, neispravni dijelovi u igra itd.).

Neka ukupna zbirka sadrži objekte od kojih su označeni kao "1" i kao "0". Odabir objekta s oznakom "1" smatrat ćemo uspjehom, a s oznakom "0" neuspjehom. Provedimo n testova i odabrani objekti više neće sudjelovati u daljnjim testovima. Vjerojatnost uspjeha pratit će hipergeometrijsku distribuciju:

gdje je broj kombinacija od do .

Očekivanje i varijanca:

Poissonova distribucija

(preuzeto odavde)

Poissonova distribucija značajno se razlikuje od gore razmatranih distribucija u svom "predmetnom" području: sada se ne razmatra vjerojatnost određenog ishoda testa, već intenzitet događaja, odnosno prosječan broj događaja u jedinici vremena.

Poissonova distribucija opisuje vjerojatnost pojavljivanja neovisnih događaja tijekom vremena s prosječnim intenzitetom događaja:

Očekivanje i varijanca Poissonove distribucije:

Varijanca i srednja vrijednost Poissonove distribucije identično su jednake.

Poissonova distribucija u kombinaciji s , koja opisuje vremenske intervale između početka neovisnih događaja, čine matematičku osnovu teorije pouzdanosti.

Gustoća vjerojatnosti umnoška slučajnih varijabli x i y () s distribucijama i može se izračunati na sljedeći način:

Neke od distribucija u nastavku su posebni slučajevi Pearsonove distribucije, koja je pak rješenje jednadžbe:

gdje su i parametri distribucije. Postoji 12 vrsta Pearsonove distribucije, ovisno o vrijednostima parametara.

Distribucije o kojima će se raspravljati u ovom odjeljku blisko su povezane jedna s drugom. Te se veze izražavaju u tome što su neke distribucije posebni slučajevi drugih distribucija ili opisuju transformacije slučajnih varijabli s drugim distribucijama.

Donji dijagram prikazuje odnose između nekih kontinuiranih distribucija o kojima će se raspravljati u ovom radu. Na dijagramu pune strelice prikazuju transformaciju slučajnih varijabli (početak strelice označava početnu distribuciju, kraj strelice - rezultantnu), a točkaste strelice prikazuju relaciju generalizacije (početak strelice označava distribucija, koja je poseban slučaj one označene krajem strelice). Za posebne slučajeve Pearsonove distribucije iznad točkastih strelica označena je odgovarajuća vrsta Pearsonove distribucije.

Sljedeći pregled distribucija pokriva mnoge slučajeve koji se javljaju u analizi podataka i modeliranju procesa, iako, naravno, ne sadrži apsolutno sve distribucije poznate znanosti.

Normalna distribucija (Gaussova distribucija)

(preuzeto odavde)

Gustoća vjerojatnosti normalne distribucije s parametrima i opisana je Gaussovom funkcijom:

Ako je i , tada se takva raspodjela naziva standardnom.

Očekivanje i varijanca normalne distribucije:

Područje definiranja normalne distribucije je skup realnih brojeva.

Normalna distribucija je distribucija tipa VI.

Zbroj kvadrata neovisnih normalnih vrijednosti ima , a omjer neovisnih Gaussovih vrijednosti raspoređen je na .

Normalna razdioba je beskonačno djeljiva: zbroj normalno raspodijeljenih veličina i s parametrima i također ima normalnu razdiobu s parametrima , gdje je i .

Dobro normalne distribucije modelira veličine koje opisuju prirodne pojave, šum termodinamičke prirode i pogreške mjerenja.

Osim toga, prema središnjem graničnom teoremu, zbroj velikog broja nezavisnih članova istog reda konvergira normalnoj distribuciji, bez obzira na distribucije članova. Zbog ovog svojstva, normalna distribucija je popularna u statističkoj analizi, mnogi statistički testovi dizajnirani su za normalno distribuirane podatke.

Z-test se temelji na beskonačnoj djeljivosti normalne distribucije. Ovaj test se koristi za provjeru je li očekivanje uzorka normalno raspodijeljenih varijabli jednako nekoj vrijednosti. Vrijednost varijance trebala bi biti znan. Ako je vrijednost varijance nepoznata i izračunata je na temelju analiziranog uzorka, tada se koristi t-test na temelju .

Neka nam bude uzorak od n neovisnih normalno raspodijeljenih vrijednosti iz opće populacije sa standardnom devijacijom, pretpostavimo da . Tada će vrijednost imati standardnu ​​normalnu distribuciju. Usporedbom dobivene z vrijednosti s kvantilima standardne distribucije može se prihvatiti ili odbaciti hipoteza sa traženom razinom značajnosti.

Zbog prevladavanja Gaussove distribucije, mnogi istraživači koji ne poznaju statistiku baš dobro, zaboravljaju provjeriti normalnost podataka ili procjenjuju grafikon gustoće distribucije "na oko", slijepo vjerujući da barataju Gaussovim podacima. Sukladno tome, hrabro primjenjujući testove dizajnirane za normalnu distribuciju i dobivajući potpuno netočne rezultate. Vjerojatno je otud i potekla fama o statistici kao najstrašnijoj vrsti laži.

Razmotrimo primjer: trebamo izmjeriti otpor skupa otpornika određene vrijednosti. Otpor ima fizičku prirodu, logično je pretpostaviti da će distribucija odstupanja otpora od nominalne vrijednosti biti normalna. Mjerimo, dobivamo funkciju gustoće vjerojatnosti u obliku zvona za izmjerene vrijednosti s modom u blizini nazivnog otpornika. Je li ovo normalna distribucija? Ako da, tada ćemo potražiti neispravne otpornike koristeći ili z-test ako unaprijed znamo varijancu distribucije. Mislim da će mnogi učiniti upravo to.

Ali pogledajmo pobliže tehnologiju mjerenja otpora: otpor se definira kao omjer primijenjenog napona i protoka struje. Instrumentima smo mjerili struju i napon koji pak imaju normalno raspoređene pogreške. Odnosno, izmjerene vrijednosti struje i napona su normalno raspoređena slučajne varijable s matematičkim očekivanjima koja odgovaraju pravim vrijednostima izmjerenih veličina. A to znači da su dobivene vrijednosti otpora raspoređene duž, a ne prema Gaussu.

Distribucija opisuje zbroj kvadrata slučajnih varijabli, od kojih je svaka raspodijeljena prema standardnom normalnom zakonu:

Gdje je broj stupnjeva slobode, .

Očekivanje i varijanca distribucije:

Područje definicije je skup nenegativnih prirodnih brojeva. je beskonačno djeljiva distribucija. Ako su i - raspoređeni na i imaju i stupnjeve slobode, redom, tada će njihov zbroj također biti raspodijeljen na i imati stupnjeve slobode.

To je poseban slučaj (i stoga distribucija tipa III) i generalizacija. Omjer količina raspodijeljenih preko raspodijeljenih preko .

Pearsonov test prilagodbe temelji se na distribuciji. Ovim se kriterijem može provjeriti pripada li uzorak slučajne varijable određenoj teorijskoj distribuciji.

Pretpostavimo da imamo uzorak neke slučajne varijable. Na temelju ovog uzorka izračunavamo vjerojatnosti da će vrijednosti pasti u intervale (). Neka postoji i pretpostavka o analitičkom izrazu distribucije, prema kojoj bi vjerojatnosti upadanja u odabrane intervale trebale biti . Tada će se količine raspodijeliti prema normalnom zakonu.

Dovodimo do standardne normalne distribucije: ,
gdje i .

Dobivene veličine imaju normalnu raspodjelu s parametrima (0, 1), pa je zbroj njihovih kvadrata raspoređen sa stupnjem slobode. Smanjenje stupnja slobode povezano je s dodatnim ograničenjem zbroja vjerojatnosti vrijednosti koje padaju u intervale: mora biti jednak 1.

Usporedbom vrijednosti s kvantilima distribucije može se prihvatiti ili odbaciti hipoteza o teoretskoj distribuciji podataka sa traženom razinom značajnosti.

Studentova distribucija koristi se za provođenje t-testa: testa jednakosti očekivane vrijednosti uzorka raspodijeljenih slučajnih varijabli određenoj vrijednosti ili jednakosti očekivanih vrijednosti dva uzorka s istom varijancom ( mora se provjeriti jednakost varijanci). Studentova t-distribucija opisuje omjer distribuirane slučajne varijable i vrijednosti raspodijeljene na .

Neka i budu nezavisne slučajne varijable sa stupnjevima slobode i respektivno. Tada će količina imati Fisherovu distribuciju sa stupnjevima slobode, a količina će imati Fisherovu distribuciju sa stupnjevima slobode.
Fisherova distribucija definirana je za stvarne nenegativne argumente i ima gustoću vjerojatnosti:


Očekivanje i varijanca Fisherove distribucije:

Očekivanje je definirano za , a varijanca je definirana za .

Brojni statistički testovi temelje se na Fisherovoj distribuciji, kao što je procjena značajnosti regresijskih parametara, test heteroskedastičnosti i test jednakosti varijanci uzorka (f-test, koji se razlikuje od točan Fisherov test).

F-test: neka postoje dva neovisna uzorka i raspodijeljene količine podataka i respektivno. Postavimo hipotezu o jednakosti varijanci uzorka i statistički je testirajmo.

Izračunajmo vrijednost. Imat će Fisherovu distribuciju sa stupnjevima slobode.

Uspoređujući vrijednost s kvantilima odgovarajuće Fisherove distribucije, možemo prihvatiti ili odbaciti hipotezu da su varijance uzorka jednake potrebnoj razini značajnosti.

Eksponencijalna (eksponencijalna) distribucija i Laplaceova distribucija (dvostruka eksponencijalna, dvostruka eksponencijalna)

(preuzeto odavde)

Eksponencijalna distribucija opisuje vremenske intervale između neovisnih događaja koji se javljaju srednjim intenzitetom. Broj pojavljivanja takvog događaja u određenom vremenskom razdoblju opisuje se diskretnim . Eksponencijalna distribucija zajedno s njima čini matematičku osnovu teorije pouzdanosti.

Osim u teoriji pouzdanosti, eksponencijalna distribucija koristi se u opisu društvenih pojava, u ekonomiji, u teoriji čekanja u redu, u transportnoj logistici – gdje god je potrebno modelirati tijek događaja.

Eksponencijalna distribucija je poseban slučaj (za n=2), pa stoga . Budući da je eksponencijalno raspodijeljena veličina hi-kvadrat veličina s 2 stupnja slobode, može se tumačiti kao zbroj kvadrata dviju neovisnih normalno raspodijeljenih veličina.

Također, eksponencijalna distribucija je pošten slučaj

Definicija ponovljenih neovisnih ispitivanja. Bernoullijeve formule za izračunavanje vjerojatnosti i najvjerojatnijeg broja. Asimptotske formule za Bernoullijevu formulu (lokalni i integralni, Laplaceovi teoremi). Korištenje integralnog teorema. Poissonova formula, za malo vjerojatne slučajne događaje.

Ponovljeni nezavisni testovi

U praksi se moramo suočiti s takvim zadacima koji se mogu predstaviti kao opetovano ponavljani testovi, kao rezultat svakog od kojih se događaj A može ili ne mora pojaviti. Istodobno, ishod od interesa nije ishod svakog "pojedinačnog pokušaja, već ukupan broj pojavljivanja događaja A kao rezultat određenog broja pokušaja. U takvim problemima mora se moći odrediti vjerojatnost od bilo kojeg broja m pojavljivanja događaja A kao rezultat n pokušaja. Razmotrimo slučaj kada su pokušaji neovisni i vjerojatnost pojavljivanja događaja A u svakom pokušaju je konstantna. Takvi pokušaji se nazivaju ponovljeni nezavisni.

Primjer neovisnog testiranja bilo bi ispitivanje prikladnosti proizvoda uzetih iz jedne od više serija. Ako te serije imaju isti postotak nedostataka, tada je vjerojatnost da će odabrani proizvod biti neispravan u svakom slučaju konstantan broj.

Bernoullijeva formula

Iskoristimo koncept težak događaj, što znači kombinaciju nekoliko elementarnih događaja, koja se sastoji u pojavljivanju ili nepojavljivanju događaja A u i -tom testu. Neka se provede n neovisnih pokusa, u svakom od kojih se događaj A može ili pojaviti s vjerojatnošću p ili ne pojaviti s vjerojatnošću q=1-p. Razmotrimo događaj B_m, koji se sastoji u činjenici da će se događaj A u ovih n pokušaja dogoditi točno m puta i, prema tome, neće se dogoditi točno (n-m) puta. Označiti A_i~(i=1,2,\ltočke,(n)) pojavljivanje događaja A , a \overline(A)_i - nepojavljivanje događaja A u i-tom pokušaju. Zbog stalnosti uvjeta ispitivanja imamo

Događaj A može se pojaviti m puta u različitim nizovima ili kombinacijama, izmjenjujući se sa suprotnim događajem \overline(A) . Broj mogućih kombinacija ove vrste jednak je broju kombinacija n elemenata po m, tj. C_n^m. Stoga se događaj B_m može prikazati kao zbroj složenih događaja koji su međusobno nekompatibilni, a broj članova jednak je C_n^m :

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

gdje se događaj A pojavljuje u svakom proizvodu m puta, a \overline(A) - (n-m) puta.

Vjerojatnost svakog složenog događaja uključenog u formulu (3.1), prema teoremu množenja vjerojatnosti za neovisne događaje, jednaka je p^(m)q^(n-m) . Budući da je ukupan broj takvih događaja jednak C_n^m , tada, koristeći teorem o zbrajanju vjerojatnosti za nekompatibilne događaje, dobivamo vjerojatnost događaja B_m (označavamo ga s P_(m,n) )

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \text(ili)\quad P_(m,n)=\frac(n{m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Formula (3.2) se zove Bernoullijeva formula, a ponovljeni pokušaji koji zadovoljavaju uvjet neovisnosti i konstantnosti vjerojatnosti pojavljivanja događaja A u svakom od njih nazivaju se Bernoullijeva suđenja, odnosno Bernoullijevu shemu.

Primjer 1. Vjerojatnost izlaska izvan tolerancijskog polja pri obradi dijelova na tokarilici je 0,07. Odredite vjerojatnost da od pet nasumično odabranih dijelova tijekom smjene jedna od dimenzija promjera ne odgovara zadanoj toleranciji.

Riješenje. Uvjet zadatka zadovoljava zahtjeve Bernoullijeve sheme. Prema tome, pod pretpostavkom n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, formulom (3.2) dobivamo

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\približno 0,\!262.

Primjer 2. Promatranjima je utvrđeno da u nekom području u rujnu ima 12 kišnih dana. Koja je vjerojatnost da će od 8 nasumično uzetih dana ovog mjeseca 3 dana biti kišovita?

Riješenje.

P_(3;8)=C_8^3(\lijevo(\frac(12)(30)\desno)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Najvjerojatniji broj pojavljivanja događaja

Najvjerojatniji izgled događaj A u n neovisnih pokušaja je takav broj m_0 za koji je vjerojatnost koja odgovara ovom broju veća ili barem ne manja od vjerojatnosti svakog drugog mogućeg broja pojavljivanja događaja A . Za određivanje najvjerojatnijeg broja nije potrebno računati vjerojatnosti mogućeg broja pojavljivanja događaja, dovoljno je znati broj pokušaja n i vjerojatnost pojavljivanja događaja A u zasebnom pokušaju. Neka P_(m_0,n) označava vjerojatnost koja odgovara najvjerojatnijem broju m_0. Koristeći formulu (3.2), pišemo

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

Prema definiciji najvjerojatnijeg broja, vjerojatnosti da se događaj A dogodi m_0+1, odnosno m_0-1 puta, barem ne bi trebale premašiti vjerojatnost P_(m_0,n) , tj.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\kvad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Zamjenom vrijednosti P_(m_0,n) i izraza za vjerojatnosti P_(m_0+1,n) i P_(m_0-1,n) u nejednadžbe dobivamo

Rješavanjem ovih nejednakosti za m_0 dobivamo

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Kombinirajući posljednje nejednakosti, dobivamo dvostruku nejednakost, koja se koristi za određivanje najvjerojatnijeg broja:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Kako je duljina intervala definirana nejednakošću (3.4) jednaka jedinici, tj.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

a događaj se može dogoditi u n pokušaja samo cijeli broj puta, tada treba imati na umu da:

1) ako je np-q cijeli broj, tada postoje dvije vrijednosti najvjerojatnijeg broja, naime: m_0=np-q i m"_0=np-q+1=np+p ;

2) ako je np-q razlomački broj, tada postoji jedan najvjerojatniji broj, naime: jedini cijeli broj između razlomački brojevi dobiveno iz nejednakosti (3.4);

3) ako je np cijeli broj, tada postoji jedan najvjerojatniji broj, naime: m_0=np .

Za velike vrijednosti n, nezgodno je koristiti formulu (3.3) za izračunavanje vjerojatnosti koja odgovara najvjerojatnijem broju. Ako u jednakost (3.3) zamijenimo Stirlingovu formulu

N!\približno(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

vrijedi za dovoljno veliko n i uzmemo najvjerojatniji broj m_0=np , tada dobivamo formulu za približan izračun vjerojatnosti koja odgovara najvjerojatnijem broju:

P_(m_0,n)\približno\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Primjer 2. Poznato je da \frac(1)(15) neki od proizvoda koje tvornica isporučuje trgovačkoj bazi ne ispunjavaju sve zahtjeve standarda. U bazu je isporučena serija proizvoda u količini od 250 komada. Pronađite najvjerojatniji broj proizvoda koji zadovoljavaju zahtjeve norme i izračunajte vjerojatnost da će ta serija sadržavati najvjerojatniji broj proizvoda.

Riješenje. Po stanju n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). Prema nejednakosti (3.4) imamo

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

gdje 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Stoga je najvjerojatniji broj proizvoda koji zadovoljavaju zahtjeve standarda u seriji od 250 komada. jednako je 234. Zamjenom podataka u formulu (3.5), izračunavamo vjerojatnost najvjerojatnijeg broja stavki u seriji:

P_(234,250)\približno\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\približno0,\!101

Lokalni Laplaceov teorem

Korištenje Bernoullijeve formule za velike vrijednosti n vrlo je teško. Na primjer, ako n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, tada je za pronalaženje vjerojatnosti P_(30,50) potrebno izračunati vrijednost izraza

P_(30,50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Naravno, postavlja se pitanje: je li moguće izračunati vjerojatnost kamata bez korištenja Bernoullijeve formule? Ispostavilo se da možete. Lokalni Laplaceov teorem daje asimptotsku formulu koja vam omogućuje da približno pronađete vjerojatnost pojavljivanja događaja točno m puta u n pokušaja, ako je broj pokušaja dovoljno velik.

Teorem 3.1. Ako je vjerojatnost p pojavljivanja događaja A u svakom pokušaju konstantna i različita od nule i jedan, tada je vjerojatnost P_(m,n) da će se događaj A pojaviti u n pokušaja točno m puta približno jednaka (točnije, veći n ) na vrijednost funkcije

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) u .

Postoje tablice koje sadrže vrijednosti funkcija \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), što odgovara pozitivnim vrijednostima argumenta x . Za negativne vrijednosti argumenata koriste se iste tablice, jer je funkcija \varphi(x) parna, tj. \varphi(-x)=\varphi(x).

Dakle, približno vjerojatnost da će se događaj A pojaviti u n pokušaja točno m puta,

P_(m,n)\približno\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), gdje x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Primjer 3. Odredite vjerojatnost da se događaj A dogodi točno 80 puta u 400 pokušaja ako je vjerojatnost da se događaj A dogodi u svakom pokušaju 0,2.

Riješenje. Po stanju n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. Koristimo asimptotsku Laplaceovu formulu:

P_(80,400)\približno\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).

Izračunajmo vrijednost x definiranu podacima problema:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

Po tablici adj, 1 nalazimo \varphi(0)=0,\!3989. Željena vjerojatnost

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Bernoullijeva formula dovodi do približno istog rezultata (izračuni su izostavljeni zbog glomaznosti):

P_(80,100)=0,\!0498.

Laplaceov integralni teorem

Pretpostavimo da je provedeno n neovisnih pokusa, u svakom od kojih je vjerojatnost pojavljivanja događaja A konstantna i jednaka p . Potrebno je izračunati vjerojatnost P_((m_1,m_2),n) da će se događaj A pojaviti u n pokusa najmanje m_1 i najviše m_2 puta (radi kratkoće, reći ćemo "od m_1 do m_2 puta"). To se može učiniti korištenjem Laplaceovog integralnog teorema.

Teorem 3.2. Ako je vjerojatnost p pojavljivanja događaja A u svakom pokušaju konstantna i različita od nule i jedan, tada je približno vjerojatnost P_((m_1,m_2),n) da će se događaj A pojaviti u pokušajima od m_1 do m_2 puta,

P_((m_1,m_2),n)\približno\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, gdje .

Pri rješavanju zadataka koji zahtijevaju primjenu teorema Laplaceovog integrala koriste se posebne tablice, budući da je neodređeni integral \int(e^(-x^2/2)\,dx) nije izražena elementarnim funkcijama. Integralni stol \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz dano u pril. 2, gdje su vrijednosti funkcije \Phi(x) dane za pozitivne vrijednosti x, za x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 može uzeti \Phi(x)=0,\!5 .

Dakle, približno vjerojatnost da će se događaj A pojaviti u n neovisnih pokušaja od m_1 do m_2 puta,

P_((m_1,m_2),n)\približno\Phi(x"")-\Phi(x"), gdje x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Primjer 4. Vjerojatnost da je dio proizveden uz kršenje standarda, p=0,\!2 . Nađite vjerojatnost da će među 400 nasumično odabranih nestandardnih dijelova biti od 70 do 100 dijelova.

Riješenje. Po stanju p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. Upotrijebimo Laplaceov integralni teorem:

P_((70,100),400)\približno\Phi(x"")-\Phi(x").

Izračunajmo granice integracije:

niži

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

Gornji

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

Na ovaj način

P_((70,100),400)\približno\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

Prema tablici pril. 2 pronaći

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Željena vjerojatnost

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Primjena Laplaceovog integralnog teorema

Ako se broj m (broj pojavljivanja događaja A u n neovisnih pokušaja) promijeni s m_1 na m_2, tada je razlomak \frac(m-np)(\sqrt(npq)) promijenit će se od \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" prije \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Stoga se Laplaceov integralni teorem može napisati i na sljedeći način:

P\lijevo\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\desno\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\granice_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

Postavimo zadatak da pronađemo vjerojatnost da će odstupanje relativne frekvencije \frac(m)(n) od konstantne vjerojatnosti p u apsolutna vrijednost ne prelazi zadani broj \varepsilon>0 . Drugim riječima, nalazimo vjerojatnost nejednakosti \lijevo|\frac(m)(n)-p\desno|\leqslant\varepsilon, što je isto -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Ova vjerojatnost će biti označena na sljedeći način: P\lijevo\(\lijevo|\frac(m)(n)-p\desno|\leqslant\varepsilon\desno\). Uzimajući u obzir formulu (3.6), za ovu vjerojatnost dobivamo

P\lijevo\(\lijevo|\frac(m)(n)-p\desno|\leqslant\varepsilon\desno\)\približno2\Phi\lijevo(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\pravo).

Primjer 5. Vjerojatnost da je dio nestandardan, p=0,\!1 . Odredite vjerojatnost da među slučajno odabranih 400 dijelova relativna učestalost pojavljivanja nestandardnih dijelova odstupa od vjerojatnosti p=0,\!1 u apsolutnoj vrijednosti za najviše 0,03.

Riješenje. Po stanju n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Moramo pronaći vjerojatnost P\lijevo\(\lijevo|\frac(m)(400)-0,\!1\desno|\leqslant0,\!03\desno\). Koristeći formulu (3.7), dobivamo

P\lijevo\(\lijevo|\frac(m)(400)-0,\!1\desno|\leqslant0,\!03\desno\)\približno2\Phi\lijevo(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\desno)=2\Phi(2)

Prema tablici pril. 2 nalazimo \Phi(2)=0,\!4772 , dakle 2\Phi(2)=0,\!9544 . Dakle, željena vjerojatnost je približno jednaka 0,9544. Smisao dobivenog rezultata je sljedeći: ako uzmemo dovoljno veliki broj uzoraka od po 400 dijelova, tada će otprilike u 95,44% tih uzoraka biti utvrđeno odstupanje relativne frekvencije od konstantne vjerojatnosti p=0,\!1 u apsolutna vrijednost neće prelaziti 0,03.

Poissonova formula za malo vjerojatne događaje

Ako je vjerojatnost p pojave događaja u zasebnom pokušaju blizu nule, tada čak i za veliki brojevi testovi n , ali uz malu vrijednost umnoška np, vjerojatnosti P_(m, n) dobivene Laplaceovom formulom nisu dovoljno točne i postoji potreba za još jednom približnom formulom.

Teorem 3.3. Ako je vjerojatnost p pojavljivanja događaja A u svakom pokušaju konstantna, ali mala, broj neovisnih pokušaja n dovoljno velik, ali vrijednost umnoška np=\lambda ostaje mala (ne više od deset), tada je vjerojatnost da se događaj A pojavljuje m puta u ovim pokusima,

P_(m,n)\približno\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

Kako bi se pojednostavili izračuni pomoću Poissonove formule, sastavljena je tablica vrijednosti Poissonove funkcije \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(vidi dodatak 3).

Primjer 6. Neka je vjerojatnost proizvodnje nestandardnog dijela 0,004. Nađite vjerojatnost da će među 1000 dijelova biti 5 nestandardnih.

Riješenje. Ovdje n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Sva tri broja zadovoljavaju zahtjeve iz teorema 3.3, tako da za pronalaženje vjerojatnosti željenog događaja P_(5,1000) koristimo Poissonovu formulu. Prema tablici vrijednosti Poissonove funkcije (pril. 3) uz \lambda=4;m=5 dobivamo P_(5,1000)\približno 0,\!1563.

Pronađimo vjerojatnost istog događaja pomoću Laplaceove formule. Da bismo to učinili, prvo izračunavamo vrijednost x koja odgovara m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\približno\frac(1)(1,\!996)\približno0 ,\!501.

Prema tome, prema Laplaceovoj formuli, željena vjerojatnost

P_(5,1000)\približno\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\približno\frac(0,\!3519)(1,\!996)\približno 0,\ !1763

a prema Bernoullijevoj formuli njegova točna vrijednost

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\približno 0,\!1552.

Na ovaj način, relativna pogreška izračunavanje vjerojatnosti P_(5,1000) pomoću približne Laplaceove formule je

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\približno 0,\!196, odnosno 13,\!6\%

a prema Poissonovoj formuli -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\približno 0,\!007, ili 0,\!7\%

Odnosno višestruko manje.
Prijeđi na sljedeći odjeljak
Jednodimenzionalne slučajne varijable Javascript je onemogućen u vašem pregledniku.
ActiveX kontrole moraju biti omogućene kako bi se vršili izračuni!

Ponovljeni neovisni pokusi nazivaju se Bernoullijevi pokusi ako svaki pokus ima samo dva moguća ishoda, a vjerojatnosti ishoda ostaju iste za sve pokuse.

Obično se ova dva ishoda nazivaju "uspjeh" (S) ili "neuspjeh" (F), a odgovarajuće vjerojatnosti se označavaju str i q. Jasno je da str 0, q³ 0 i str+q=1.

Elementarni prostor događaja svakog pokušaja sastoji se od dva događaja Y i H.

Prostor elementarnih događaja n Bernoullijeva suđenja Ω sadrži 2 n elementarnih događaja, koji su nizovi (lanci) od n simboli Y i H. Svaki elementarni događaj jedan je od mogućih ishoda niza n Bernoullijeva suđenja. Budući da su testovi neovisni, tada se, prema teoremu množenja, vjerojatnosti množe, odnosno vjerojatnost bilo kojeg određenog niza je umnožak dobiven zamjenom simbola U i H s str i q odnosno, to je, na primjer: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q str .

Imajte na umu da se ishod Bernoullijevog testa često označava s 1 i 0, a zatim elementarni događaj u nizu n Bernoulli testovi - postoji lanac koji se sastoji od nula i jedinica. Na primjer:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Bernoullijeva ispitivanja najvažnija su shema koja se razmatra u teoriji vjerojatnosti. Ova je shema dobila ime po švicarskom matematičaru J. Bernoulliju (1654.-1705.), koji je u svojim radovima detaljno proučavao ovaj model.

Glavni problem koji će nas ovdje zanimati je: kolika je vjerojatnost događaja koji u n Dogodila su se Bernoullijeva suđenja m uspjeh?

Ako su ovi uvjeti ispunjeni, vjerojatnost da će se tijekom neovisnih testova dogoditi događaj će se točno promatrati m puta (bez obzira u kojim eksperimentima), određuje se prema Bernoullijeva formula:

(21.1)

gdje - vjerojatnost pojave u svakom testu, i
je vjerojatnost da u danom iskustvu događaj Nije se dogodilo.

Ako uzmemo u obzir P n (m) kao funkcija m, tada definira distribuciju vjerojatnosti, koja se naziva binomna. Istražimo ovaj odnos P n (m) iz m, 0£ m£ n.

Razvoj događaja B m ( m = 0, 1, ..., n) koja se sastoji od razni brojevi pojave događaja ALI u n testovi, nekompatibilni su i čine potpunu skupinu. Posljedično,
.

Razmotrite omjer:

=
=
=
.

Otuda slijedi da P n (m+1)>P n (m), ako (n- m) str> (m+1)q, tj. funkcija P n (m) povećava ako m< np- q. Također, P n (m+1)< P n (m), ako (n- m) str< (m+1)q, tj. P n (m) smanjuje ako m> np- q.

Stoga postoji broj m 0 , pri čemu P n (m) dostiže najveću vrijednost. Nađimo m 0 .

Prema značenju broja m 0 imamo P n (m 0)³ P n (m 0 -1) i P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), dakle

, (21.2)

. (21.3)

Rješavajući nejednadžbe (21.2) i (21.3) s obzirom na m 0, dobivamo:

str/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ np+ str,

q/(n- m 0 ) ³ str/(m 0 +1) Þ m 0 ³ np- q.

Dakle željeni broj m 0 zadovoljava nejednakosti

np- q£ m 0 £ np+p. (21.4)

Jer str+q=1, tada je duljina intervala definiranog nejednakošću (21.4) jednaka jedinici i postoji barem jedan cijeli broj m 0 koja zadovoljava nejednakosti (21.4):

1) ako np - q je cijeli broj, tada postoje dvije vrijednosti m 0, naime: m 0 = np - q i m 0 = np - q + 1 = np + str;

2) ako np - q- frakcijski, onda postoji jedan broj m 0 , odnosno jedini cijeli broj između razlomaka dobivenih iz nejednadžbe (21.4);

3) ako np je cijeli broj, onda postoji jedan broj m 0, naime m 0 = np.

Broj m 0 naziva se najvjerojatnija ili najvjerojatnija vrijednost (broj) pojave događaja A u nizu n nezavisni testovi.