Svojstva množenja prirodnih brojeva. Množenje zbroja prirodnim brojem i obrnuto

U ovoj lekciji naučit ćete o različitim svojstvima množenja i pojmovima kao što su produkt i faktori.

Razmotrimo sljedeći problem: kolačići su u trgovinu doneseni u tri kutije po 15 pakiranja. Koliko je pakiranja keksa ukupno donijela trgovina?

Rješenje: pronaći ukupno pakete keksa u tri kutije, zbrojimo 15 sa 15 i opet zbrojimo 15, 15 + 15 + 15 = 45. Odgovor: Ukupno je u trgovinu doneseno 45 paketa keksa.

Zbroj u kojem su svi članovi međusobno jednaki može se napisati kraće: umjesto 15 + 15 + 15 pišu se 15 puta 3, što znači 15 * 3 = 45. Broj 45 naziva se umnožak brojeva 15 i 3, a brojeve 15 i 3 nazivamo faktorima.

Dakle, dobivamo: Množenje broja M prirodnim brojem N znači pronalaženje zbroja N članova od kojih je svaki jednak M.

Sam izraz M pomnožen s N naziva se umnožak, a vrijednost tog izraza također umnožak brojeva M i N.

Brojeve M i N nazivamo faktorima.

Radovi se čitaju, imenujući svaki faktor u genitivnom slučaju.

Na primjer, umnožak 12 i 10 je 120, 12 je prvi faktor, 10 je drugi faktor, 120 je umnožak.

§ 2 Svojstva množenja prirodnih brojeva

Kao i kod zbrajanja i oduzimanja, množenje prirodnih brojeva također ima neka svojstva.

Prvo svojstvo je da se umnožak ne mijenja permutacijom faktora. Ovo svojstvo množenja naziva se komutativnost, a uz pomoć slova zapisuje se na sljedeći način:

Na primjer, 7 puta 8 je 56, a 8 puta 7 je također 56, tako da je 7 x 8 = 8 x 7.

Drugo svojstvo je asocijativno svojstvo množenja. Da biste broj pomnožili umnoškom dvaju brojeva, prvo ga pomnožite s prvim faktorom, a zatim dobiveni umnožak pomnožite s drugim faktorom.

Koristeći slova, ovo se svojstvo piše ovako:

Na primjer, proizvod od 7 i 5 mora se pomnožiti s 2, dobivamo 7x5 \u003d 35, zatim 35 puta 2, bit će 70.

Ili možete izvršiti množenje koristeći svojstvo asocijativnosti, naime, prvo pomnožite 5 i 2, to će biti 10, zatim pomnožite 10 sa 7, dobit ćete 70.

Sljedeće svojstvo: ako se broj pomnoži s 1, tada se neće promijeniti, odnosno N pomnoženo s jedan jednako je N. Budući da je zbroj N članova, od kojih je svaki jedan, jednak N.

Inače, zbroj N članova, od kojih je svaki nula, jednak je nuli, pa je jednakost istinita: N x 0 = 0. Odnosno, Drugo svojstvo množenja, umnožak je jednak nuli ako je barem jedan od faktora jednak nuli.

Ponekad je pri pisanju određenog djela uobičajeno izostaviti znak množenja - točku. Znak množenja obično se ne piše ispred doslovnih faktora i ispred zagrada. Na primjer, 10 puta x jednostavno se piše 10x, ili 5 puta zbroj (y + 8) piše se ovako:

Tako ste se u ovoj lekciji upoznali s različitim svojstvima množenja, kao što su komutativnost i asocijativnost, kao i sa svojstvima nule i jedinice.

Popis korištene literature:

Matematika 5. razred. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I. i dr. 31. izdanje, ster. - M: 2013. (monografija).
Didaktički materijali iz matematike 5. razred. Autor - Popov M.A. - godina 2013
Računamo bez grešaka. Rad sa samoprovjerom u matematici 5.-6. Autor - Minaeva S.S. - godina 2014
Didaktički materijali iz matematike 5. razred. Autori: Dorofeev G.V., Kuznetsova L.V. - 2010. (prikaz).
Kontrola i samostalan rad iz matematike 5. razred. Autori - Popov M.A. - godina 2012
Matematika. 5. razred: udžbenik. za učenike općeg obrazovanja. ustanove / I. I. Zubareva, A. G. Mordkovich. - 9. izd. Sr. - M.: Mnemosyne, 2009

Obrazovni ciljevi lekcije:

usavršiti vještinu množenja prirodnih brojeva;
naučiti koristiti svojstva množenja u računanju;
nastaviti rad na tekstualnim zadacima.

Razvojni ciljevi:

razviti logično mišljenje;
aktivirati mentalna aktivnost uz pomoć informacijske tehnologije.

Obrazovni ciljevi:

razvijati pamćenje, pažnju, vještinu samostalne i kreativne aktivnosti;
usaditi interes za predmet, koristeći IKT u lekciji.

Oprema:

interaktivna ploča,
računala,
prezentacija lekcije,
Brošura(križaljka)
kartice" biljni svijet”,
signalne kartice.

Tijekom nastave

I. Organizacijski trenutak. Odraz. ( Prilog 1 . slajd 1.)

Poruka o temi i svrsi lekcije. (Slajd 2.)

Uvodna riječ nastavnika:

“Danas nećemo biti samo učenici 5. razreda, već članovi otvorenog dioničkog društva. A tko od vas zna što je otvoreno dioničko društvo?” Informacije o OJSC . (Slide 3.)

Nastavnik zajedno s učenicima formulira svoje razumijevanje ovog pojma. Otvoreno dioničko društvo (OJSC) je organizacija stvorena za profit. Članovi ove organizacije udružuju svoja sredstva za stjecanje određenog poduzeća, a zauzvrat dobivaju dionice - vrijednosne papire koji pokazuju da njihovi vlasnici imaju pravo na dio imovine poduzeća. Kada tvrtka počne ostvarivati dobit, vlasnik može dobiti dio te dobiti (dividendu). Svako dd ima svoje ime. Kako će se zvati dioničko društvo učenici će naučiti rješavanjem sljedećeg zadatka.

II. Frontalno usmeno ispitivanje na interaktivnoj ploči.

Učenici usmeno pronalaze značenje izraza i popunjavaju tablicu s odgovorima. Naučite naziv dioničkog društva koje će danas kreirati na lekciji. (Slajd 4.)

U sljedećoj fazi lekcije ispada tko može postati dioničar. Učlaniti se može svatko tko kupi udio u našoj tvrtki. Ispunjene križaljke uzimaju se kao plaćanje. Učenici dobivaju križaljke. (Dodatak 3.)

III. Individualni rad. Učenici ispunjavaju križaljku. Međusobna provjera. (Slajd 5.)

IV. Referenca povijesti. Nastavnik izrađuje izvješće o nastanku prvih dioničkih društava. (Slajd 6.)

U sljedećoj fazi lekcije, studenti, kako bi otvorili dioničko društvo, prije svega moraju kupiti sobu. Ispred njih su dvije kuće. Jedan je očito zauzet, a drugi je upitan. Potrebno je pažljivo razmotriti prvu kuću kako bi se riješilo pitanje kupnje druge kuće.

V. Rješenje primjera.(Slajd 7.)

Druga kuća otkrila je tajnu svog izdanja, što vam omogućuje da započnete svoj posao u ovoj kući. Što trebamo učiniti za ovo?

Učenici predlažu plan djelovanja:

Učenicima se nude zadaci s kojima se suočavaju svi koji će raditi popravke.

VI. Rješavanje zadataka na ploči. (Slide 8-9.)

Problem s popravkom je riješen, pa čak i s kupnjom namještaja. U našem će kafiću biti ugodno ako u njemu svira glazba.

VII. Glazbena pauza. Učenici izvode pjesmice. (Slajd 10.)

Želite li graditi zgrade ili stvarati strojeve,
Pokušajte bolje učiti matematiku u školi.
Ako u školi na satovima koje provodite izgubljeno vrijeme,
Nikada ne možete postati ozbiljan biznismen.
Da biste postali poduzetnik, morate znati
Na nastavi morate biti vrlo marljivi.
Da vam profit teče u neprekidnom toku
Morate biti oprezni u razredu.
Mi smo prijateljice - smijemo se s tobom.
Pozivamo vas u tamošnji kafić i upoznajemo se.

S glazbenim aranžmanom problem je riješen, a sada treba razmišljati što će biti na jelovniku. Kafić se zove "Sweet Tooth", onda bi trebao imati slatka jela. Za njihovu izradu potrebno je mnogo domišljatosti. Učenici vježbaju domišljatost na sljedećem matematičkom problemu.

VIII. Rad s udžbenikom. (Slajd 11.)

br. 416 (str. 69): ponavljanje i učvršćivanje svojstava množenja.
a ∙ b = b ∙ a
a ∙ (b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

IX. Fizkultminutka.(Slajd 12.)

X. Test. Rad na računalima. (Slajd 13.) Studenti rade testove na računalu. (Dodatak 2.)

Rezultati ispita se zbrajaju i ocjene daju u dnevnike.

XI. Dodatni zadatak. Pronađite grešku i ispravite je:

76 + 24 = 90;
190 – 67 = 123;
2005 + 15 = 2020;
1313: 13 = 11;
50 6 13 = 390;
72 11 = 792;
8 8 125 = 800;
(200 + 67) – 100 = 167.

XII. Učenici od skupa riječi smišljaju reklamu za svoj kafić.(Slajd 14.)

XIII. Sažetak lekcije.

Kako se zovu brojevi kada se množe?
Koja se svojstva množenja koriste za praktičnost izračuna?

XIV. Kreativna zadaća. (Slajd 15.)

Kartice "Iz svijeta biljaka."

XV. Odraz. (Slajd 16.)

Razmotrimo primjer koji potvrđuje valjanost svojstva komutativnosti množenja dvaju prirodnih brojeva. Na temelju značenja množenja dvaju prirodnih brojeva izračunavamo umnožak brojeva 2 i 6, kao i umnožak brojeva 6 i 2 te provjeravamo jednakost rezultata množenja. Umnožak brojeva 6 i 2 jednak je zbroju 6+6, iz tablice zbrajanja nalazimo 6+6=12. A umnožak brojeva 2 i 6 jednak je zbroju 2+2+2+2+2+2, što je jednako 12 (ako je potrebno, pogledajte materijal članka o zbrajanju tri ili više brojeva). Prema tome, 6 2=2 6 .

Ovdje je slika koja ilustrira komutativno svojstvo množenja dvaju prirodnih brojeva.

Asocijativnost množenja prirodnih brojeva.

Izrazimo asocijativno svojstvo množenja prirodnih brojeva: dani broj pomnožimo s ovaj posao dva broja je isto što i množenje zadanog broja s prvim faktorom i množenje rezultata s drugim faktorom. To je, a (b c)=(a b) c, gdje a , b i c mogu biti bilo koji prirodni brojevi (u zagradama su navedeni izrazi čije se vrijednosti prvo procjenjuju).

Navedimo primjer za potvrdu asocijativnosti množenja prirodnih brojeva. Izračunaj umnožak 4·(3·2) . Prema značenju množenja, imamo 3 2=3+3=6 , zatim 4 (3 2)=4 6=4+4+4+4+4+4=24 . Sada napravimo množenje (4 3) 2 . Kako je 4 3=4+4+4=12 , tada je (4 3) 2=12 2=12+12=24 . Dakle, jednakost 4·(3·2)=(4·3)·2 je istinita, što potvrđuje valjanost razmatranog svojstva.

Pokažimo sliku koja ilustrira asocijativnost množenja prirodnih brojeva.

U zaključku ovog odlomka napominjemo da nam asocijativno svojstvo množenja omogućuje jedinstveno određivanje množenja tri ili više prirodnih brojeva.

Svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje.

Sljedeće svojstvo odnosi se na zbrajanje i množenje. Formulira se na sljedeći način: umnožiti ovaj iznos dva broja prema danom broju je isto što i zbrajanje umnoška prvog člana i dati broj s umnoškom drugog člana i zadanog broja . To je takozvano svojstvo distribucije množenja u odnosu na zbrajanje.

Koristeći slova, distribucijsko svojstvo množenja u odnosu na zbrajanje piše se kao (a+b) c=a c+b c(u izrazu a c + b c prvo se vrši množenje, a zatim zbrajanje, više o tome u članku), gdje su a, b i c proizvoljni prirodni brojevi. Imajte na umu da se snaga komutativnog svojstva množenja, svojstvo distribucije množenja može napisati u sljedeći obrazac: a (b+c)=a b+a c.

Navedimo primjer koji potvrđuje svojstvo distribucije množenja prirodnih brojeva. Provjerimo jednakost (3+4) 2=3 2+4 2 . Imamo (3+4) 2=7 2=7+7=14 , i 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , dakle jednakost ( 3+4 ) 2=3 2+4 2 je točno.

Pokažimo sliku koja odgovara svojstvu distribucije množenja u odnosu na zbrajanje.

Svojstvo distribucije množenja u odnosu na oduzimanje.

Ako se držimo značenja množenja, tada je umnožak 0 n, gdje je n proizvoljan prirodni broj veći od jedan, zbroj n članova od kojih je svaki jednak nuli. Na ovaj način, . Svojstva zbrajanja omogućuju nam da tvrdimo da je posljednji zbroj nula.

Dakle, za svaki prirodni broj n vrijedi jednakost 0 n=0.

Da bi komutativnost množenja ostala valjana, prihvaćamo i valjanost jednakosti n·0=0 za bilo koji prirodni broj n.

Tako, umnožak nule i prirodnog broja je nula, to je 0 n=0 i n 0=0, gdje je n proizvoljan prirodni broj. Posljednja izjava je formulacija svojstva množenja prirodnog broja i nule.

U zaključku dajemo nekoliko primjera koji se odnose na svojstvo množenja o kojem se govori u ovom pododjeljku. Umnožak brojeva 45 i 0 je nula. Ako pomnožimo 0 sa 45970, tada također dobivamo nulu.

Sada možete sigurno početi proučavati pravila po kojima se provodi množenje prirodnih brojeva.

Bibliografija.

Matematika. Bilo koji udžbenici za 1., 2., 3., 4. razrede obrazovnih ustanova.
Matematika. Bilo koji udžbenici za 5 razreda obrazovnih institucija.

U kojima su svi članovi međusobno jednaki pišu kraće: umjesto 25 + 25 + 25 pišu 25 3.
Dakle 25 3 = 75. Broj 75 naziva se umnožak brojeva 25 i 3, a brojevi 25 i 3 faktori.

415. Izvodi radnje primjenom svojstva asocijativnosti množenja:

a) 50 (2.764); c) 125 (4 80);
b) (111 2) 35; d) (402 125) 8.

416. Izračunaj odabirom zgodnog postupka:

a) 483 2 5; c) 25 86 4;
b) 4 5 333; d) 250 3 40.

417. U trgovinu je dovezeno 5 kutija boja. Svaka kutija sadrži 144 kutije, a svaka kutija sadrži 12 tuba boje. Koliko su tuba donijeli u trgovinu? Riješite problem na dva načina.

a) Izgradili smo 5 vikendica od 80 m2 stambene površine i 2 vikendice od 140 m2. Što je živi prostor sve ove kućice?

b) Masa posude s četiri police za knjige je 3 c. Kolika je masa prazne posude ako je masa jednog ormara 58 kg?

421. Donijeli su 12 sanduka jabuka po 30 kg i 8 sanduka krušaka po 40 kg. Koje je značenje sljedećih izraza:

a) 30 12; c) 40 8; e) 30 12 + 40 8;
b) 12 - 8; d) 40 - 30; e) 30 12 - 40 8?

422. Učinite sljedeće:

a) (527 - 393) 8; d) 54 23 35;
b) 38 65 - 36 63; e) (247 - 189) (69 + 127);
c) 127 15 + 138 32; f) (1203 + 2837 - 1981) 21.

423. Zapiši djelo:

a) 8 i x; b) 12 + a i 16; c) 25 -m i 28 + n d) a + b i m.

424. U umnošku označi množitelje:

a) Zt; c) 4ab; e) (m + n) (k - 3);
b) 6(x + p); d) (x - y) 14; f) 5k(m + a).

a) umnožak m i n;
b) utrostručiti zbroj a i b;
c) zbroj umnožaka brojeva 6 i x i brojeva 8 i y;
d) umnožak razlike brojeva a i b i broja c.

426. Pročitaj izraz:

a) a (c + d); c) 3 (m + n); e) ab + c;
b) (4 - a) 8; d) 2(m - n); e) m - cd.

427. Odredi vrijednost izraza:

a) 8a + 250 uz a = 12; petnaest;

b) 14(6 + 12) za b = 13; osamnaest.

428. Biciklist je vozio sat vremena brzinom 12 km/h, a 2 sata brzinom 8 km/h. Koliko je kilometara prešao biciklist za to vrijeme? Napravite izraz za rješenje zadatka i pronađite njegovu vrijednost pri a = 1; 2; četiri.

429. Izrazi prema uvjetu zadatka:

a) Od 6 police za knjige ugradbeni ormar. Visina svake police je x cm.Nađi visinu ormarića. Odredi vrijednost izraza pri x = 28; 33.
b) Za jedno putovanje automobil MAZ-25 preveze 25 tona tereta. Koliko će tereta prevesti u k letova? Odredi vrijednost izraza kada je k = 10; 5; 0.

430. Cijena jedne odbojkaške lopte je x p., a košarkaške lopte y p. Što znače izrazi: Zh; 4y; bx + 2y; 15x - 2y; 4(x + y)?

431. Napravi zadatak prema izrazu:

a) (80 + 60) -7; c) 28 4 + 35 5;
b) (65 - 40) -4; d) 96 5 - 82 3.

432. Na vrh brda vodi pet staza. Na koliko se načina može popeti i spustiti s brda ako se penje i spušta različitim stazama?

433. Koje je od djela veće: 67 2 ili 67 3? Objasnite zašto je to tako. Objasni zašto 190 8< 195 12. Сделайте вывод.

434. Posloži, bez izvođenja množenja, uzlazni red umnoška: 56 24; 56 49; 13 24; 13 11; 74 49; 7 11.

435. Dokažite da je:

a) 20 30< 23 35 < 30 40;
b) 600 800< 645 871 < 700 900;
c) 1200< 36 42 < 2000;
d) 45.000< 94 563 < 60 000.

436. Izračunaj usmeno:

437. Koji broj nedostaje?

438. Obnovite lanac izračuna:

439. Pogodi korijene jednadžbe:

a) x + x = 64; b) 58 + y + y + y = 58; c) a + 2 = a - 1.

440. Zamislite problem koji bi se riješio pomoću jednadžbe:

a) x + 15 = 45;

b) y - 12 = 18.

441. Koliko četveroznamenkastih brojeva može biti sastavljeno od neparnih znamenki ako se znamenke u unosu broja ne ponavljaju?

442. Među brojevima 1, 0, 5, 11.9 nađi korijene jednadžbe:

a) x + 19 = 30; c) 30 + x = 32 - x
b) 27 - x = 27 + x; d) 10 + x + 2 = 15 + x - 3.

443. Navedi nekoliko svojstava grede. Koje od ovih svojstava ima pravac?

444. Smislite kako brzo i jednostavno izračunati vrijednost izraza:

39 - 37 + 35 - 33 + 31 - 29 + 27 - 25 + ... + 11 - 9 + 7 - 5 + 3 - 1.

445. Riješi jednadžbu:

a) 127 + y \u003d 357 - 85; c) 144 - y - 54 = 37;
b) 125 + y - 85 = 65; G). 52 + y + 87 = 159.

446. Kod koje vrijednosti slova vrijedi jednakost:

a) 34 + a = 34; d) 58 - d = 0; g) k - k = 0;
b) b + 18 = 18; e) m + 0 = 0; h) l + I = 0?
c) 75 - c = 75; f) 0 - n = 0;

447. Riješi zadatak:

a) U košari ima nekoliko gljiva. Nakon što je iz njega izvađeno 10 gljiva, a zatim u njega stavljeno 14 gljiva, u njemu je bilo 85 gljiva. Koliko je gljiva prvobitno bilo u košari?

b) Dječak je imao 16 poštanskih maraka. Kupio je još nekoliko maraka, nakon toga je dao mlađi brat 23 marke i ostalo mu je 19 maraka. Koliko je maraka dječak kupio?

448. Pojednostavite izraz:

1) (138 + m) - 95; 3) (x - 39) + 65;
2) (198 + n) - 36; 4) (y - 56) + 114.

449. Odredi vrijednost izraza:

1) 7480 - 6480: 120 + 80;

2) 1110 + 6890: 130 - 130.

450. Odredi vrijednost izraza:

a) 704 + 704 + 704 + 704;

b) 542 + 542 + 542 + 618 + 618.

451. Izrazi zbrojem umnožak:

a) 24-4; b) k 8; c) (x + y) 4: d) (2a - b) 5.

452. U trgovinu je dovezeno 250 kutija, svaka kutija sadrži 54 pakiranja kolačića. Kolika je masa cijelog keksa ako je masa jednog pakiranja 150 g?

453. U trokutu ABC stranica AB iznosi 27 cm i 3 puta je veća od stranice BC. Odredi duljinu stranice AC ako je opseg trokut ABC jednako 61 cm.

454. Jedan automatski stroj proizvodi 12 dijelova u minuti, a drugi - 15 istih dijelova. Koliko će se dijelova proizvesti za 20 minuta na prvom i 15 minuta na drugom stroju?

455. Pomnoži:

a) 56 24; c) 235 48; e) 203 504; g) 2103 7214;
b) 37 85; d) 37 129; f) 210 3500; h) 5008 3020.

456. Dva su vlaka krenula s iste stanice u isto vrijeme u suprotnim smjerovima. Brzina jednog vlaka je 50 km/h, a drugog 85 km/h. Kolika je udaljenost između vlakova nakon 3 sata?

457. Od sela do grada biciklist je vozio 4 sata brzinom 12 km/h. Koliko će vremena potrošiti na Povratno putovanje na istoj cesti ako poveća brzinu za 4 km/h?

458. Smisli problem prema izrazu:

a) 120 + 65-2; b) 168 -43-2; c) 15 4 + 12 4.

459. Usporedi, bez računanja, umnoške (odgovor zapiši znakom<):

a) 245 611 i 391 782;

b) 8976 1240 i 6394 906.

460. Zapiši uzlaznim redoslijedom umnoška:

172 191; 85 91; 85 104; 36 91; 36 75; 172 104.

461. Izračunaj:

a) (18 384 4- 19 847) (384 - 201 - 183);
b) (2839 - 939) (577: 577).

462. Riješi jednadžbu:

a) (x + 27) - 12 = 42; c) d - 35 - 64 = 16;
b) 115 - (35 + y) = 39; d) 28 - t + 35 = 53.

463. Izbroji koliko četvorki, a koliko petica na slici 48, ali samo po posebnom pravilu - treba brojati redom i četvorke i petice: "Prva četvorka, prva petica, druga četiri, treća četiri , drugih pet, itd." Ako ne možete odmah brojati, vratite se ovom zadatku uvijek iznova.

N.Ya. VILENKIN, V. I. ŽOKHOV, A. S. ČESNOKOV, S. I. ŠVARTSBURD, Matematika 5. razred, Udžbenik za obrazovne ustanove

Zbirka sažetaka lekcija iz matematike preuzimanje datoteka, kalendarsko-tematsko planiranje, udžbenici iz svih predmeta