Bayesov teorem je teorija vjerojatnosti događaja. Jednostavno objašnjenje Bayesovog teorema
Pri izvođenju formule puna vjerojatnost događaj je trebao I, čija se vjerojatnost trebala utvrditi, mogla se dogoditi jednom od događaja H 1 , N 2 , ... , H n tvoreći potpunu skupinu u parovima nekompatibilnih događaja. Istodobno, vjerojatnosti navedene događaje(hipoteze) bile su unaprijed poznate. Pretpostavimo da je izveden pokus koji je rezultirao događajem I je došao. Ovaj dodatne informacije omogućuje vam da ponovno procijenite vjerojatnosti hipoteza Bok , izračunavši P(Hi/A).
ili, koristeći formulu ukupne vjerojatnosti, dobivamo
Ova se formula naziva Bayesova formula ili teorem hipoteze. Bayesova formula omogućuje "reviziju" vjerojatnosti hipoteza nakon što postane poznat rezultat iskustvo koje je rezultiralo događajem I.
Vjerojatnosti R(N i) su apriorne vjerojatnosti hipoteza (izračunate su prije eksperimenta). Vjerojatnosti P(H i /A) su aposteriorne vjerojatnosti hipoteza (izračunavaju se nakon eksperimenta). Bayesova formula omogućuje vam izračunavanje posteriornih vjerojatnosti iz njihovih prethodnih vjerojatnosti i iz uvjetnih vjerojatnosti događaja I.
Primjer. Poznato je da je 5% svih muškaraca i 0,25% svih žena slijepo za boje. Nasumično odabrana osoba prema broju zdravstvene iskaznice boluje od daltonizma. Koja je vjerojatnost da se radi o muškarcu?
Odluka. Događaj I Osoba je daltonist. Prostor elementarnih događaja za pokus - osoba se bira prema broju zdravstvene iskaznice - Ω = ( H 1 , N 2 ) sastoji se od 2 događaja:
H 1 - odabran je muškarac,
H 2 - odabrana je žena.
Ti se događaji mogu odabrati kao hipoteze.
Prema uvjetu problema (slučajni izbor), vjerojatnosti ovih događaja su iste i jednake P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.
U ovom slučaju, uvjetne vjerojatnosti da osoba pati od sljepoće za boje jednake su:
P(A/N 1 ) = 0.05 = 1/20; P(A/N 2 ) = 0.0025 = 1/400.
Budući da je poznato da je odabrana osoba slijepa za boje, tj. da se događaj dogodio, koristimo se Bayesovom formulom za preispitivanje prve hipoteze:
Primjer. Postoje tri identične kutije. Prva kutija sadrži 20 bijelih kuglica, druga sadrži 10 bijelih i 10 crnih kuglica, a treća kutija sadrži 20 crnih kuglica. Iz nasumično odabrane kutije izvlači se bijela kuglica. Izračunajte vjerojatnost da je kuglica izvučena iz prve kutije.
Odluka. Označimo sa I događaj – pojava bijela lopta. O izboru kutije mogu se napraviti tri pretpostavke (hipoteze): H 1 ,H 2 , H 3 - izbor prve, druge i treće kutije.
Budući da je izbor bilo kojeg od okvira jednako moguć, vjerojatnosti hipoteza su iste:
P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.
Prema uvjetu problema, vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice iz prve kutije
Vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice iz druge kutije 
Vjerojatnost izvlačenja bijele kuglice iz treće kutije
Željenu vjerojatnost nalazimo pomoću Bayesove formule:
Ponavljanje testova. Bernoullijeva formula.
Postoji n pokusa, u svakom od kojih se događaj A može ili ne mora dogoditi, a vjerojatnost događaja A u svakom pojedinačnom pokusu je konstantna, tj. ne mijenja se od iskustva do iskustva. Već znamo kako pronaći vjerojatnost događaja A u jednom eksperimentu.
Od posebnog je interesa vjerojatnost pojavljivanja određenog broja puta (m puta) događaja A u n pokusa. takvi se problemi lako rješavaju ako su testovi neovisni.
Def. Poziva se nekoliko testova neovisno o događaju A ako vjerojatnost događaja A u svakom od njih ne ovisi o ishodima drugih eksperimenata.
Vjerojatnost P n (m) pojavljivanja događaja A točno m puta (nedogađanje n-m puta, događaj ) u ovih n ispitivanja. Događaj A pojavljuje se u različitim nizovima m puta).
- Bernoullijeva formula.
Sljedeće formule su očite:
P n (m
P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +…+ P n (n) - vjerojatnost pojavljivanja događaja A više k puta u n pokusa.
Bayesova formula
Bayesov teorem- jedan od glavnih teorema elementarne teorije vjerojatnosti, koji određuje vjerojatnost događanja događaja u uvjetima kada su samo neke djelomične informacije o događajima poznate na temelju opažanja. Prema Bayesovoj formuli, moguće je točnije ponovno izračunati vjerojatnost, uzimajući u obzir i ranije poznate informacije i podatke iz novih opažanja.
"Fizičko značenje" i terminologija
Bayesova formula omogućuje vam "preslagivanje uzroka i posljedice": prema poznata činjenica događaj za izračunavanje vjerojatnosti da ga je uzrokovao određeni uzrok.
Događaji koji odražavaju djelovanje "uzroka" u ovaj slučaj uobičajeno nazvan hipoteze, jer jesu trebalo događaji koji su tome doveli. Bezuvjetna vjerojatnost valjanosti hipoteze naziva se apriorno(Koliko je vjerojatan uzrok? uopće), i uvjetno - uzimajući u obzir činjenicu događaja - a posteriori(Koliko je vjerojatan uzrok? pokazalo se da uzima u obzir podatke o događaju).
Posljedica
Važna posljedica Bayesove formule je formula za ukupnu vjerojatnost događaja ovisno o nekoliko nedosljedne hipoteze ( i samo od njih!).
- vjerojatnost nastanka događaja B, ovisno o nizu hipoteza A ja ako su poznati stupnjevi pouzdanosti ovih hipoteza (na primjer, mjereni eksperimentalno); Izvođenje formule
Ako događaj ovisi samo o uzrocima A ja, pa ako se dogodilo, znači da se neki od razloga nužno dogodio, tj.
Po Bayesovoj formuli
prijenos P(B) desno, dobivamo željeni izraz.
Metoda filtriranja neželjene pošte
Metoda temeljena na Bayesovom teoremu uspješno je primijenjena u filtriranju spama.
Opis
Prilikom uvježbavanja filtra, za svaku riječ na koju se naiđe u slovima, izračunava se i pohranjuje njena “težina” - vjerojatnost da je slovo s ovom riječi spam (u najjednostavnijem slučaju, klasična definicija vjerojatnosti: "pojavljivanja u spamu / pojavljivanja svega").
Prilikom provjere novopristiglog pisma, vjerojatnost da se radi o spamu izračunava se prema gornjoj formuli za skup hipoteza. U ovom slučaju "hipoteze" su riječi, a za svaku riječ "pouzdanost hipoteze" -% ove riječi u slovu, a "ovisnost događaja o hipotezi" P(B | A ja) - prethodno izračunata "težina" riječi. Odnosno, "težina" slova u ovom slučaju nije ništa drugo nego prosječna "težina" svih njegovih riječi.
Pismo se klasificira kao "spam" ili "non-spam" prema tome prelazi li njegova "težina" određenu granicu koju je postavio korisnik (obično zauzima 60-80%). Nakon donošenja odluke o pismu, "težine" za riječi uključene u pismo ažuriraju se u bazi podataka.
Karakteristično
Ova metoda je jednostavna (algoritmi su elementarni), praktična (omogućuje vam da radite bez "crnih lista" i sličnih umjetnih trikova), učinkovita (nakon dovoljnog treninga veliki uzorak odsiječe do 95-97% neželjene pošte, a u slučaju bilo kakvih pogrešaka može se ponovno uvježbati). Općenito, postoje svi pokazatelji za njegovu široku upotrebu, što se i događa u praksi - gotovo svi moderni filtri neželjene pošte izgrađeni su na njegovoj osnovi.
Međutim, metoda također ima temeljni nedostatak: to na temelju pretpostavke, što neke su riječi češće u spamu, dok su druge češće u običnoj e-pošti, i neučinkovit je ako je ova pretpostavka pogrešna. Međutim, kako pokazuje praksa, čak ni osoba nije u stanju odrediti takav spam "na oko" - tek nakon što pročita pismo i razumije njegovo značenje.
Još jedan, ne temeljni, nedostatak povezan s implementacijom - metoda radi samo s tekstom. Znajući za ovo ograničenje, spameri su počeli stavljati reklamne informacije na sliku, dok je tekst u pismu ili odsutan ili nema smisla. S druge strane, potrebno je koristiti ili alate za prepoznavanje teksta ("skup" postupak, koristi se samo kada hitan slučaj), ili stare metode filtriranja - "crne liste" i regularni izrazi (budući da takva pisma često imaju stereotipni oblik).
vidi također
Bilješke
Linkovi
Književnost
- Byrd kivi. Rev. Bayesov teorem. // Computerra magazin, 24. kolovoza 2001
- Paul Graham. Plan za spam. // Osobna web stranica Paula Grahama.
Zaklada Wikimedia. 2010. godine.
Pogledajte što je "Bayesova formula" u drugim rječnicima:
Formula koja izgleda ovako: gdje su a1, A2, ..., An nekompatibilni događaji, Opća shema za primjenu F. in. g.: ako se događaj B može dogoditi u dekomp. uvjeti pod kojima se postavlja n hipoteza A1, A2, ..., An s vjerojatnostima P (A1), ... poznatim prije eksperimenta, ... ... Geološka enciklopedija
Omogućuje vam da izračunate vjerojatnost događaja od interesa kroz uvjetne vjerojatnosti tog događaja, uz pretpostavku određenih hipoteza, kao i vjerojatnosti tih hipoteza. Formulacija Neka bude prostor vjerojatnosti, te cijela grupa u parovima ... ... Wikipedia
Omogućuje vam da izračunate vjerojatnost događaja od interesa kroz uvjetne vjerojatnosti tog događaja, uz pretpostavku određenih hipoteza, kao i vjerojatnosti tih hipoteza. Formulacija Neka je dan prostor vjerojatnosti i kompletna grupa događaja, kao što je ... ... Wikipedia
- (ili Bayesova formula) jedan od glavnih teorema teorije vjerojatnosti, koji vam omogućuje određivanje vjerojatnosti da se događaj (hipoteza) dogodio u prisutnosti samo neizravnih dokaza (podataka) koji mogu biti netočni ... Wikipedia
Bayesov teorem jedan je od glavnih teorema elementarna teorija vjerojatnost, koja određuje vjerojatnost događanja događaja u uvjetima u kojima su samo neke djelomične informacije o događajima poznate na temelju opažanja. Prema Bayesovoj formuli, možete ... ... Wikipedia
Bayes, Thomas Thomas Bayes Velečasni Thomas Bayes Datum rođenja: 1702. (1702.) Mjesto rođenja ... Wikipedia
Thomas Bayes Velečasni Thomas Bayes Datum rođenja: 1702. (1702.) Mjesto rođenja: London ... Wikipedia
Bayesovo zaključivanje je jedna od metoda statističkog zaključivanja, u kojoj se Bayesova formula koristi za pročišćavanje vjerojatnosnih procjena istinitosti hipoteza kada stignu dokazi. Korištenje Bayesovog ažuriranja posebno je važno u ... ... Wikipediji
Želite li poboljšati ovaj članak?: Pronađite i navedite fusnote za reference na autoritativne izvore koji potvrđuju ono što je napisano. Stavljajući fusnote, preciznije navedite izvore. Pere ... Wikipedia
Hoće li zatvorenici izdati jedni druge, slijedeći vlastite sebične interese, ili će šutjeti i time minimalizirati opći pojam? Zatvorenikova dilema (engl. Prisoner's dilemma, rjeđe se koristi naziv "dilema" ... Wikipedia
knjige
- Teorija vjerojatnosti i matematička statistika u zadacima: više od 360 zadataka i vježbi, Borzykh D. Predloženi priručnik sadrži probleme različitih razina složenosti. Ipak, fokus je na zadacima srednje težine. Ovo je namjerno učinjeno kako bi se studenti potaknuli na...
Bayesov teorem je detaljno opisan u zasebnom članku. Ovo je prekrasno djelo, ali ima 15 000 riječi. Sama suština teoreme je ukratko objašnjena u istoimenom prijevodu članka Kalida Azada.
- Rezultati istraživanja i testiranja nisu događaji. Postoji metoda za dijagnosticiranje raka, ali postoji sam događaj - prisutnost bolesti. Algoritam provjerava sadrži li poruka spam, ali događaj (spam je stvarno došao na mail) mora se razmatrati odvojeno od rezultata njegovog rada.
- Postoje pogreške u rezultatima testa.Često naše metode istraživanja otkrivaju ono što nije (lažno pozitivno), a ne otkrivaju ono što jest (lažno negativno).
- Uz pomoć pokusa dobivamo vjerojatnosti određenog ishoda. Mi prečesto gledamo rezultate ispitivanja same po sebi i ne uzimamo u obzir pogreške metode.
- Lažno pozitivni rezultati iskrivljuju sliku. Pretpostavimo da pokušavate detektirati neki vrlo rijedak fenomen (1 od 1.000.000). Čak i ako je vaša metoda točna, vjerojatno je da će njen pozitivan rezultat zapravo biti lažno pozitivan.
- Pogodnije je raditi s prirodnim brojevima. Bolje reći: 100 od 10 000, a ne 1%. Ovakvim pristupom bit će manje pogrešaka, osobito kod množenja. Recimo da trebamo dalje raditi na tih 1%. Obrazloženje u postotcima je nespretno: "u 80% slučajeva od 1% ima pozitivan ishod." Mnogo lakše informacije percipiraju se na sljedeći način: "u 80 slučajeva od 100 primijećen je pozitivan ishod."
- Čak je iu znanosti svaka činjenica samo rezultat primjene neke metode. S filozofskog gledišta znanstveni eksperiment je samo test s vjerojatnom greškom. Postoji metoda koja Kemijska tvar ili neki fenomen, a tu je i sam događaj - prisutnost tog fenomena. Naše metode ispitivanja mogu dati lažan rezultat, a svaka oprema ima inherentnu pogrešku.
- Ako znamo vjerojatnost događaja i vjerojatnost lažno pozitivnih i lažno negativnih rezultata, možemo ispraviti pogreške mjerenja.
- Teorem povezuje vjerojatnost događaja s vjerojatnošću određenog ishoda. Možemo povezati Pr(A|X): vjerojatnost događaja A s obzirom na ishod X i Pr(X|A): vjerojatnost ishoda X s obzirom na događaj A.
Razumijevanje metode
Članak naveden na početku ovog eseja govori o dijagnostičkoj metodi (mamografija) kojom se otkriva rak dojke. Razmotrimo ovu metodu u detalje.- 1% svih žena ima rak dojke (i, sukladno tome, 99% ne oboli)
- 80% mamograma otkrije bolest kada ona uistinu jest (a prema tome 20% ne otkrije)
- 9,6% studija otkriva rak kada ga nema (i stoga 90,4% točno izvješćuje o negativnom rezultatu)
Kako raditi s tim podacima?
- 1% žena oboli od raka dojke
- ako pacijent ima neku bolest, pogledajte u prvom stupcu: postoji 80% šanse da je metoda dala točan rezultat, a 20% da je rezultat studije netočan (lažno negativan)
- ako pacijentu nije dijagnosticirana bolest, pogledajte drugi stupac. S vjerojatnošću od 9,6% možemo reći da je pozitivan rezultat studije netočan, a s vjerojatnošću od 90,4% možemo reći da je pacijent stvarno zdrav.
Koliko je točna metoda?
Sada pogledajmo pozitivan rezultat testa. Kolika je vjerojatnost da je osoba stvarno bolesna: 80%, 90%, 1%?Razmislimo:
- Postoji pozitivan rezultat. Analizirat ćemo sve moguće ishode: dobiveni rezultat može biti i istinski pozitivan i lažno pozitivan.
- Vjerojatnost stvarnog pozitivnog rezultata jednaka je: vjerojatnosti da ćete se razboljeti pomnoženoj s vjerojatnošću da je test stvarno otkrio bolest. 1% * 80% = 0,008
- Vjerojatnost lažno pozitivnog rezultata jednaka je: vjerojatnosti da bolest nije prisutna, pomnoženoj s vjerojatnošću da je metoda pogrešno detektirala bolest. 99% * 9,6% = 0,09504
Koja je vjerojatnost da je osoba stvarno bolesna ako se dobije pozitivan nalaz mamografije? Vjerojatnost događaja je omjer broja mogućih ishoda događaja prema ukupno sve moguće ishode.
Vjerojatnost događaja = Ishodi događaja / Svi mogući ishodi
Vjerojatnost pravog pozitivnog rezultata je 0,008. Vjerojatnost pozitivnog ishoda je vjerojatnost pravog pozitivnog ishoda + vjerojatnost lažno pozitivnog ishoda.
(.008 + 0.09504 = .10304)
Dakle, vjerojatnost bolesti s pozitivnim rezultatom studije izračunava se na sljedeći način: .008 / .10304 = 0.0776. Ova vrijednost je oko 7,8%.
Odnosno, pozitivan nalaz mamografije samo znači da je vjerojatnost postojanja bolesti 7,8%, a ne 80% (posljednja vrijednost je samo procijenjena točnost metode). Takav rezultat u prvi mah djeluje neshvatljivo i čudno, ali morate uzeti u obzir: metoda daje lažno pozitivan rezultat u 9,6% slučajeva (što je dosta), tako da će u uzorku biti mnogo lažno pozitivnih rezultata. Za rijetke bolesti većina pozitivnih rezultata bit će lažno pozitivni.
Prijeđimo očima preko tablice i pokušajmo intuitivno shvatiti značenje teorema. Ako imamo 100 ljudi, samo jedan od njih ima bolest (1%). Kod ove osobe, s 80% vjerojatnosti, metoda će dati pozitivan rezultat. Od preostalih 99%, 10% će imati pozitivne rezultate, što nam daje, grubo govoreći, 10 od 100 lažno pozitivnih rezultata. Ako uzmemo u obzir sve pozitivne rezultate, tada će samo 1 od 11 biti istinit. Dakle, ako se dobije pozitivan rezultat, vjerojatnost bolesti je 1/11.
Gore smo izračunali da je ta vjerojatnost jednaka 7,8%, tj. broj je zapravo bliži 1/13, ali ovdje smo jednostavnim razmišljanjem uspjeli pronaći grubu procjenu bez kalkulatora.
Bayesov teorem
Sada opišimo tijek naših misli formulom, koja se zove Bayesov teorem. Ovaj teorem vam omogućuje da ispravite rezultate studije u skladu s distorzijom koju unose lažno pozitivni rezultati:- Pr(A|X) = vjerojatnost bolesti (A) s pozitivnim rezultatom (X). Upravo to želimo znati: kolika je vjerojatnost događaja u slučaju pozitivnog ishoda. U našem primjeru, to je jednako 7,8%.
- Pr(X|A) = vjerojatnost pozitivnog rezultata (X) u slučaju da je pacijent stvarno bolestan (A). U našem slučaju to je vrijednost pravog pozitiva - 80%
- Pr(A) = vjerojatnost da ćete se razboljeti (1%)
- Pr(ne A) = vjerojatnost da se nećete razboljeti (99%)
- Pr(X|not A) = vjerojatnost pozitivnog ishoda studije ako nema bolesti. To je vrijednost lažno pozitivnih - 9,6%.
Pr(X) je konstanta normalizacije. Dobro nam je služila: bez nje, pozitivan ishod testa dao bi nam 80% šanse za događaj.
Pr(X) je vjerojatnost bilo kojeg pozitivnog rezultata, bilo da je stvarno pozitivan u studiji s pacijentom (1%) ili lažno pozitivan u studiji zdravi ljudi (99%).
U našem primjeru, Pr(X) je prilično veliki broj jer postoji velika vjerojatnost lažno pozitivnih rezultata.
Pr(X) daje rezultat od 7,8%, što se na prvi pogled čini kontraintuitivnim.
Značenje teoreme
Testiramo kako bismo saznali pravo stanje stvari. Ako su naši testovi savršeni i točni, tada će se vjerojatnosti pokušaja i vjerojatnosti događaja podudarati. Svi pozitivni rezultati bit će uistinu pozitivni, a negativni negativni. Ali živimo u stvarni svijet. A u našem svijetu testovi daju krive rezultate. Bayesov teorem uzima u obzir iskrivljene rezultate, ispravlja pogreške, ponovno stvara opća populacija i pronalazi vjerojatnost pravog pozitivnog rezultata.Spam filter
Bayesov teorem uspješno se primjenjuje u filterima neželjene pošte.Imamo:
- događaj A - u neželjenoj e-pošti
- rezultat testa je sadržaj pojedinih riječi u pismu:
Filtar uzima u obzir rezultate testa (sadržaj određenih riječi u e-poruci) i predviđa sadrži li e-pošta spam. Svatko razumije da je, primjerice, riječ "Viagra" češća u spamu nego u običnoj e-pošti.
Filtar za neželjenu poštu koji se temelji na crnoj listi ima nedostatak što često stvara lažne rezultate.
Bayesov filter neželjene pošte ima odmjeren i razuman pristup: radi s vjerojatnostima. Kada analiziramo riječi u e-poruci, možemo izračunati vjerojatnost da je e-pošta neželjena pošta umjesto da donosimo odluke da/ne. Ako postoji 99% šanse da e-pošta sadrži neželjenu poštu, tada je e-pošta doista neželjena pošta.
Tijekom vremena, filtar trenira na sve većem uzorku i ažurira vjerojatnosti. Na primjer, napredni filtri temeljeni na Bayesovom teoremu provjeravaju mnogo riječi u nizu i koriste ih kao podatke.
Dodatni izvori:
Oznake: Dodajte oznake
INFORMACIJSKA TEHNOLOGIJA, RAČUNALSTVO I MENADŽMENT
O primjenjivosti Bayesove formule
DOI 10.12737/16076
A. I. Dolgov**
1 Dioničko društvo "Konstrukcijski biro za radio nadzor sustava upravljanja, navigacije i komunikacije", Rostov na Donu, Ruska Federacija
O primjenjivosti Bayesove formule*** A. I. Dolgov1**
1 "Projektni biro za praćenje sustava upravljanja, navigacije i komunikacije" JSC, Rostov na Donu, Ruska Federacija
Predmet ovu studiju je Bayesova formula. Svrha ovog rada je analizirati i proširiti opseg formule. Primarni zadatak je proučavanje publikacija posvećenih ovom problemu, što je omogućilo identificiranje nedostataka primjene Bayesove formule, što je dovelo do netočnih rezultata. Sljedeći zadatak je konstruirati modifikacije Bayesove formule koje uzimaju u obzir različite pojedinačne dokaze i dobivaju točne rezultate. I na kraju, na primjeru konkretnih početnih podataka uspoređuju se netočni rezultati dobiveni Bayesovom formulom i točni rezultati izračunati predloženim modifikacijama. U istraživanju su korištene dvije metode. Prvo, analiza principa konstrukcije poznati izrazi korišten za pisanje Bayesove formule i njezinih modifikacija. Drugo, provedena je komparativna procjena rezultata (uključujući i kvantitativnu). Predložene izmjene omogućuju širu primjenu Bayesove formule u teoriji i praksi, uključujući i rješavanje primijenjenih zadataka.
Ključne riječi Ključne riječi: uvjetne vjerojatnosti, nekompatibilne hipoteze, kompatibilni i nekompatibilni dokazi, normalizacija.
Predmet istraživanja je Bayesova formula. Cilj rada je analizirati primjenu formule i proširiti opseg njezine primjenjivosti. Problem prvog prioriteta je identifikacija nedostataka Bayesove formule na temelju proučavanja relevantnih publikacija koje dovode do netočnih rezultate. Sljedeći zadatak je konstruirati modifikacije Bayesove formule kako bi se osiguralo obračunavanje različitih pojedinačnih indikacija za dobivanje točnih rezultata. I na kraju, netočni rezultati dobiveni primjenom Bayesove formule uspoređuju se s točnim rezultatima izračunatim korištenjem predložene modifikacije formule na primjeru konkretnih početnih podataka. U studijama se koriste dvije metode. Prvo se provodi analiza principa konstruiranja poznatih izraza koji se koriste za zapis Bayesove formule i njezinih modifikacija. Zatim se vrši usporedna procjena rezultata (uključujući i kvantitativnu). Predložene izmjene omogućuju širu primjenu Bayesove formule u teoriji i praksi uključujući rješavanje primijenjenih problema.
Ključne riječi: uvjetne vjerojatnosti, nekonzistentne hipoteze, kompatibilne i nekompatibilne indikacije, normaliziranje.
Uvod. Bayesova formula se sve više koristi u teoriji i praksi, uključujući i rješavanje primijenjenih problema uz pomoć računalne tehnologije. Korištenje međusobno neovisnih računskih postupaka omogućuje primjenu ovu formulu pri rješavanju problema na višeprocesorskim računalnim sustavima, budući da se u ovom slučaju paralelna implementacija izvodi na razini opća shema, a prilikom dodavanja sljedećeg algoritma ili klase zadataka nema potrebe za ponovnim izvođenjem rada na paralelizaciji.
Predmet ovog istraživanja je primjenjivost Bayesove formule za komparativnu procjenu a posteriori uvjetne vjerojatnosti nedosljedne hipoteze s različitim pojedinačnim dokazima. Kao što analiza pokazuje, u takvim slučajevima normalizirane vjerojatnosti nekompatibilnih kombiniranih događaja pripadaju
S X<и ч и
JE eö I JE X X<и H
„Rad je izveden u sklopu inicijativnog istraživačkog projekta.
** Email: [e-mail zaštićen]
"Istraživanje se provodi u okviru neovisnog R&D-a.
za različite cjelovite skupine događaja. Istodobno se pokazalo da uspoređeni rezultati nisu primjereni stvarnim statističkim podacima. To je zbog sljedećih čimbenika:
Koristi se netočna normalizacija;
Prisutnost ili odsutnost raskrižja razmatranih dokaza se ne uzima u obzir.
Kako bi se uklonili uočeni nedostaci, utvrđuju se slučajevi primjenjivosti Bayesove formule. Ako navedena formula nije primjenjiva, rješava se problem konstruiranja njezine modifikacije, čime se osigurava uzimanje u obzir različitih pojedinačnih dokaza uz dobivanje točnih rezultata. Na primjeru konkretnih početnih podataka izvršena je usporedna procjena rezultata:
Netočno - dobiveno pomoću Bayesove formule;
Točno - izračunato korištenjem predložene izmjene.
Početne pozicije. Sljedeće izjave temelje se na načelu očuvanja omjera vjerojatnosti: „Ispravna obrada vjerojatnosti događaja moguća je samo pri normalizaciji pomoću jednog zajedničkog normalizirajućeg djelitelja koji osigurava jednakost omjera normaliziranih vjerojatnosti s omjerima odgovarajućih normaliziranih vjerojatnosti” . Ovo načelo predstavlja subjektivnu osnovu teorije vjerojatnosti, ali nije adekvatno reflektirano u suvremenoj obrazovnoj i znanstveno-tehničkoj literaturi.
Ako se ovo načelo prekrši, informacije o stupnju mogućnosti događaja koji se razmatraju su iskrivljene. Rezultati dobiveni na temelju iskrivljenih informacija i donesenih odluka pokazuju se neprimjerenima stvarnim statističkim podacima.
U ovom će se članku koristiti sljedeći pojmovi:
Elementarni događaj je događaj koji nije djeljiv na elemente;
Kombinirani događaj - događaj koji predstavlja jednu ili drugu kombinaciju elementarnih događaja;
Kompatibilni događaji - događaji koji u nekim slučajevima komparativne procjene njihove vjerojatnosti mogu biti nekompatibilni, au drugim slučajevima zajednički;
Inkompatibilni događaji su događaji koji su nekompatibilni u svim slučajevima.
Prema teoremu množenja vjerojatnosti, vjerojatnost P (U ^ E) umnoška elementarnih događaja U ^ i
E se izračunava kao umnožak vjerojatnosti P(Uk E) = P(E)P(U^E) . U tom pogledu Bayesova formula je često
zapisuje se u obliku R(Ik\E) = - - - , opisujući definiciju aposteriornih uvjetnih vjerojatnosti
P(U^E) hipoteze Uk (k = 1,...n) temeljene na normalizaciji apriornih vjerojatnosti P(U^E) razmatrane kombinirane nespojivi događaji I E. Svaki od ovih događaja predstavlja proizvod, čiji su čimbenici jedna od razmatranih hipoteza i jedan razmatrani dokaz. Pritom se sve razmatra
uIKE događaji (k = 1,...n) čine kompletnu grupu uIKE nekompatibilnih kombiniranih događaja, zbog
s kojom njihove vjerojatnosti P(Ik E) treba normalizirati uzimajući u obzir formulu ukupne vjerojatnosti, prema kojoj
roj P(E) = 2 P(Uk)P(E\Uk). Stoga se Bayesova formula najčešće piše u najčešće korištenom obliku:
P(Uik) P(EIK)
P(Uk \ E) \u003d -. (jedan)
^ kation Bayesove formule.
Analiza značajki konstrukcije Bayesove formule, usmjerena na rješavanje primijenjenih problema, kao i primjeri
“i njegova praktična primjena omogućuju nam da izvučemo važan zaključak u vezi s izborom potpune skupine kombiniranih događaja koji se uspoređuju u smislu stupnja mogućnosti (od kojih je svaki proizvod dvaju elementarnih događaja - jedne od hipoteza i izvedenih dokaza) u račun). Takav izbor subjektivno donosi donositelj odluke, na temelju objektivnih početnih podataka svojstvenih tipičnim uvjetima situacije: vrste i broj procijenjenih hipoteza i dokaza koji su posebno uzeti u obzir.
Neusporedive vjerojatnosti hipoteza s jednim nedosljednim dokazom. Bayesova formula se tradicionalno koristi u slučaju određivanja posteriornih uvjetnih vjerojatnosti koje nisu usporedive u smislu stupnja mogućnosti.
vjerojatnost hipoteza H^ s jednim inkompatibilnim dokazom, od kojih se svaki može "pojaviti
samo u kombinaciji s bilo kojom od ovih hipoteza. U ovom slučaju odabrane su pune skupine i HkE, kombinirane
događanja u kupatilu u obliku proizvoda čiji su čimbenici jedan od dokaza c. (1=1,...,m) i jedan
od n hipoteza koje se razmatraju.
Bayesova formula koristi se za usporedbu vjerojatnosti kombiniranih događaja svake takve potpune skupine, koja se razlikuje od ostalih potpunih skupina ne samo po dokazima uzetim u obzir e, već i po opći slučaj vrste hipoteza H ^ i (ili) njihov broj n (vidi, na primjer,)
RNky = P(Hk) P(eH)
% P(Hk) P(Er\Hk) k = 1
U posebnom slučaju za n = 2
RNk\E,~ P(Hk) P(EN)
% P(Hk) P(E,\H k) k = 1
i dobiveni rezultati su točni, zbog poštivanja načela očuvanja omjera vjerojatnosti:
P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)
P(H 2 = % PW1!)
Subjektivnost izbora cjelovite skupine kombiniranih događaja u usporedbi s obzirom na stupanj mogućnosti (sa
određeni varijabilni elementarni događaji) omogućuje odabir kompletne grupe događaja i Hk E ■ s
negiranjem elementarnog događaja E ■ () i napišite Bayesovu formulu (1 = 1,.. ., m) na sljedeći način:
P(Hk \ E) -= - RNSh ±.
% P(Hk)P(E, Hk)
Takva je formula također primjenjiva i omogućuje dobivanje točnih rezultata ako se izračuna
normalizirane vjerojatnosti se uspoređuju pod različitim razmatranim hipotezama, ali ne pod različitim
vlasti. ¡^
Usporedne vjerojatnosti hipoteza pod jednim nedosljednim dokazom. Sudeći po poznatim publica-^
koristi se za komparativnu procjenu a posteriori uvjetnih vjerojatnosti hipoteza za različite pojedinačne dokaze.
vlasti. Pritom se ne obraća pažnja na sljedeću činjenicu. U tim se slučajevima uspoređuju normalizirane ^ vjerojatnosti nekompatibilnih (nekompatibilnih) kombiniranih događaja koji pripadaju različitim cjelovitim skupinama n događaja. Međutim, u ovom slučaju, Bayesova formula nije primjenjiva, budući da se uspoređuju kombinirani događaji koji nisu uključeni u jednu cjelovitu skupinu, čija se normalizacija vjerojatnosti provodi pomoću različitih n normalizirajućih djelitelja. Normalizirane vjerojatnosti nekompatibilnih (nekompatibilnih) kombiniranih događaja mogu se usporediti samo ako pripadaju istoj potpunoj skupini događaja i normalizirane su pomoću ¡3 pomoću zajednički djelitelj, jednak zbroju vjerojatnosti svih normaliziranih događaja uključenih u kompletan §
Općenito, sljedeće se može smatrati nekompatibilnim dokazima:
Dva dokaza (na primjer, dokaz i njegovo poricanje); ^
Tri dokaza (na primjer, u situaciji igre, pobjeda, poraz i remi); ^
Četiri izjave (osobito u sportu, pobjedi, porazu, izvlačenju i ponovnom igranju), itd. ^
Razmotrimo prilično jednostavan primjer (koji odgovara primjeru danom u ) primjene Bayesove formule ^ za određivanje posteriornih uvjetnih vjerojatnosti hipoteze H ^ za dva nekompatibilna događaja u
u obliku dokaza L]- i njegovog poricanja L]
P(H, k) - ^ . ^ P(A^k" , (2)
] E P(Hk> P(A]\vk> k - 1
■ _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nk>
P(H,\A,) ----k-]-. (3)
V k\A]> P(A > n
] E P(Hk) P(A]\Hk) k -1
U slučajevima (2) i (3) subjektivno odabrane pune skupine uspoređene su s obzirom na stupanj mogućnosti kom-
grupirani događaji su redom skupovi i H u A i H u A. To je slučaj kada formula
k-1 k ] k-1 k ]
Bayes je neprimjenjiv, jer je narušeno načelo očuvanja omjera vjerojatnosti - ne poštuje se jednakost omjera normaliziranih vjerojatnosti s omjerima odgovarajućih normaliziranih vjerojatnosti:
P(H do A]] P(Hk) P(A]\Hk) / P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)
P(Hk E P(Hk) P(A]\Hk)/ E P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)
k - 1 /k - 1 Prema načelu očuvanja omjera vjerojatnosti, ispravna obrada vjerojatnosti događaja moguća je samo pri normalizaciji pomoću jednog zajedničkog normalizirajućeg djelitelja jednakog zbroju svih uspoređivanih normaliziranih izraza. Zato
E P(Hk)P(A]\Hk) + E P(Hk)P(A]\Hk) - E P(Hk)[P(A]\Hk) + P(Hk) P(A]\Hk )] - EP (Hk) - 1. do -1 do -1 do -1 do -1
Dakle, otkriva se činjenica da postoje varijante Bayesove formule koje se razlikuju od
poznat po nedostatku normalizirajućeg djelitelja:
A,) - P(H) P(A]\Hk), P(Hk A,) - P(H) P(A, Hk). (4)
J do I ■> do
U ovom slučaju se uočava jednakost omjera normaliziranih vjerojatnosti s omjerima odgovarajućih normaliziranih vjerojatnosti:
m^A^ P(Hk) P(A]\Hk)
A,) P(H k) P(A, Hk)
Na temelju subjektivnog izbora netradicionalno zabilježenih cjelovitih skupina nekompatibilnih kombiniranih događaja, moguće je povećati broj modifikacija Bayesove formule koje uključuju dokaze, kao i jedan ili onaj broj njihovih poricanja. Na primjer, najpotpunija skupina kombiniranih događaja
u i Hk /"./ ^ u i Hk E\ odgovara (uzimajući u obzir nepostojanje normalizirajućeg djelitelja) formulu modifikacije; =1 A"=1; \u003d 1 Bayesov
P(Hk\~) - P(Hk) PË^^^
gdje je elementarni događaj u obliku dokaza E \ e II II / "/ jedan od elemenata naznačenog skupa
o U nedostatku uskraćivanja dokaza, to jest, kada E\ \u003d // e i /"./,
^ P(H\E) P(Hk) P(E,\Hk)
E P(Hk) P(E \ Hk) k - 1
Prema tome, modifikacija Bayesove formule, namijenjena određivanju uvjetnih vjerojatnosti hipoteza koje se uspoređuju u smislu stupnja mogućnosti za pojedinačne nekompatibilne dokaze, je sljedeća. Brojnik sadrži normaliziranu vjerojatnost jednog od kombiniranih nekompatibilnih događaja koji čine cjelovitu grupu, izraženu kao umnožak apriornih vjerojatnosti, a nazivnik sadrži zbroj svih
normalizirane vjerojatnosti. Istodobno se poštuje načelo očuvanja omjera vjerojatnosti - a dobiveni rezultat je točan.
Vjerojatnosti hipoteza pod jednim kompatibilnim dokazom. Bayesove formule se tradicionalno koriste za određivanje posteriornih uvjetnih vjerojatnosti hipoteza Hk (k = 1,...,n) uspoređenih u smislu stupnja mogućnosti za jedan od nekoliko smatranih kompatibilnih dokaza EL (1 = 1,... ,m). Posebno (vidi
na primjer, i ), pri određivanju aposteriornih uvjetnih vjerojatnosti R(N 1E^) i R(N 1 E2) za svaki od dva kompatibilna dokaza E1 i E2, koriste se formule oblika:
P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1-i P(H J E 2) =--1-. (pet)
I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)
k = 1 k = 1 Imajte na umu da je ovo još jedan slučaj u kojem Bayesova formula nije primjenjiva. Štoviše, u ovom slučaju moraju se ukloniti dva nedostatka:
Ilustrirana normalizacija vjerojatnosti kombiniranih događaja je netočna, zbog pripadnosti različitim cjelovitim grupama događaja koji se razmatraju;
Simbolični zapisi kombiniranih događaja HkEx i HkE2 ne odražavaju činjenicu da su razmatrani dokazi E x i E 2 kompatibilni.
Kako bi se uklonio posljednji nedostatak, može se koristiti detaljniji zapis kombiniranih događaja, uzimajući u obzir činjenicu da kompatibilni dokazi E1 i E2 u nekim slučajevima mogu biti nekompatibilni, au drugim zajednički:
HkE1 = HkE1 E2 i HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, gdje su E1 i E 2 dokazi suprotni od E1 i E 2.
Očito je da se u takvim slučajevima umnožak događaja Hk E1E2 uzima u obzir dva puta. Osim toga, može se ponovno uzeti u obzir odvojeno, ali to se ne događa. Činjenica je da u situaciji koja se razmatra, na procijenjenu situaciju utječu tri vjerojatna nekompatibilna kombinirana događaja: HkE1E2, HkE 1E2 i
Hk E1E2. Pritom je za donositelja odluke od interesa samo procijeniti stupanj mogućnosti
dva nekompatibilna kombinirana događaja: HkE1 E2 i HkE 1E2, što odgovara razmatranju samo g
pojedinačni dokaz. ¡C
Stoga, kada se konstruira modifikacija Bayesove formule za određivanje aposteriori uvjetnih vrijednosti,
Vjerojatnost hipoteza s jednim kompatibilnim dokazom mora se temeljiti na sljedećem. Osoba koja prihvaća ^
odluke, zanima nas točno koji elementarni događaj, predstavljen jednim ili drugim dokazom iz
Broj za koje se smatra da se stvarno dogodio u određenim uvjetima. Ako se dogodi neki drugi elementarni događaj u K
u obliku jedinstvene potvrde, potrebno je preispitivanje odluke, zbog rezultata usporedne procjene n
a posteriori uvjetne vjerojatnosti hipoteza uz neizostavno razmatranje drugih uvjeta koji utječu na stvarnu opću
postavljanje. 3
Uvedimo sljedeću oznaku: HkE- za jedan (i samo jedan) nekompatibilni kombinirani ko- ^
biće, koje se sastoji u činjenici da se od m > 1 razmatraju elementarni događaji Ei (i = 1,...,m) zajedno s hipotezom “
Hk se dogodio jedan elementarni događaj Ex, a drugi se nisu dogodili elementarni događaji. se"
U većini jednostavan slučaj razmatraju se dva pojedinačna nekompatibilna dokaza. Ako se potvrdi
čekajući jednog od njih, uvjetna vjerojatnost dokaza u opći pogled izražena formulom l
P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) g
Valjanost formule može se jasno vidjeti (slika 1).
Riža. 1. Geometrijska interpretacija izračuna P(Hk E-) za / = 1,...,2 s uvjetno nezavisnim dokazima
P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),
dakle, uzimajući u obzir (6)
P(Hk E-) = PE Hk) - P(E1 Hk) P(E21Hk) , = 1,.,2. (7)
Slično, vjerojatnost P(HkE-) jednog od tri (/ = 1,...,3) nekompatibilna događaja HkE^ izražava se formulom
Na primjer, za i = 1:
p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk)] + P(EiE2E3Hk)
p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)
Valjanost ove formule jasno potvrđuje geometrijska interpretacija prikazana na sl.
Riža. 2. Geometrijska interpretacija izračuna P(Hk E-) za / = 1,...,3
metoda matematička indukcija može se dokazati opća formula za vjerojatnost R(Nk E-) za bilo koji broj dokaza e, 0=1,...,m):
P(HkE-) = P(E, Hk) - m PE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) + ■■■ + (-1)
] = 1(] * 0 ],1 * 1
Koristeći teorem množenja vjerojatnosti, uvjetnu vjerojatnost R(NkE~-) zapisujemo u dva oblika:
^ iz čega slijedi da
P(Hk E -) = P(Hk) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk
E-)= P(HkE-) "" P(E-)
Korištenjem formule ukupne vjerojatnosti P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) ispada da
E-) \u003d P (HkET)
2 P(HkE-) k \u003d 1
Zamjenom u dobivenu formulu izraza za R(NkE-) u obliku desne strane (8), dobivamo konačni oblik formule za određivanje aposteriornih uvjetnih vjerojatnosti hipoteza H^ (k = 1, ...,n) za jedan od nekoliko pojedinačnih dokaza koji se smatraju nekompatibilnim: (E^\Hk)
P(Hk)[P(E,\Hk) - 2 P(E,\Hk) P(Ep k) +...+ (-1)m-1 P(P P(Erk)] P(H, E ~) =-] = 1(] * ■----(9)
k 1 p t t t
2 P(Hk) 2 [P(E,\Hk) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]
k=1 , = 1 ) = 1() *,) ■! =1
Usporedne procjene. Smatra se prilično jednostavnim, ali ilustrativni primjeri, ograničeno na analizu izračunatih posteriornih uvjetnih vjerojatnosti jedne od dviju hipoteza s dva pojedinačna dokaza. 1. Vjerojatnosti hipoteza pod nekompatibilnim pojedinačnim dokazom. Usporedimo rezultate dobivene Bayesovim formulama (2) i (3) na primjeru dvaju dokaza L. = L i L. = L s početnim podacima:
P(H1 = 0,7; P(H2) = 0,3; P(L| H^ = 0,1; P(L\n 1) = 0,9; P(L\H2) = 0,6 P(A\H2) = 0,4 U Razmotreni primjeri s hipotezom H1, tradicionalne formule (2) i (3) dovode do sljedećih rezultata:
P(N.) P(A\br. 0 07
P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0,28,
2 P(Hk) P(A\Hk)k = 1
R(N L R(A\N 1) 0 63
P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0,84,
2 P(Hk) P(A\Hk) k = 1
formiranje dijeli P (H 1 L) \u003d P (H ^ P (L \ Hp = 0,07; P (H ^ A) \u003d P (H 1) P (n | H ^ = 0,63. 1 od predloženog formule s obzirom na:
R<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07
a s predloženim formulama (4) koje nemaju normalizacijske djelitelje: “i
Dakle, u slučaju primjene predloženih formula, omjer normaliziranih vjerojatnosti jednak je omjeru normaliziranih vjerojatnosti: K
rm f P(H 1) P(A\H 1) A11 |
Kada se koriste poznate formule s istim omjerom -;-=-= 0,11 normaliziranih verona
P(H 1) P(A\H 1) Ǥ
omjeri navedeni u brojnicima, omjer dobivenih normaliziranih vjerojatnosti: 2
P(H 1) P(A\H 1) P(A\H 1) 0,63
P (H1 L) \u003d 0,28 P (H1 L) \u003d 0,84
Odnosno, načelo očuvanja omjera vjerojatnosti se ne poštuje i dobivaju se netočni rezultati. U ovom slučaju, £
u slučaju primjene poznatih formula, vrijednost relativnog odstupanja omjera (11) aposteriornih uvjetnih i uvjetnih vjerojatnosti hipoteza od točnih rezultata (10) pokazuje se vrlo značajnom, budući da je
°, 33 - °, P x 100 \u003d 242%.. I
2. Vjerojatnosti hipoteza pod kompatibilnim pojedinačnim dokazom. Usporedimo rezultate dobivene pomoću Bayesovih formula (5) i konstruirane točne modifikacije (9), koristeći sljedeće početne podatke:
P(H1 = 0,7; P(H2) = 0,3; P(E1H1) = 0,4; P(E2H1) = 0,8; P(E1\H2) = 0,7; P(E^H2) = 0,2,113
U primjerima koji se razmatraju s hipotezom H 2 u slučaju korištenja tradicionalnih formula (5):
P(H2)P(E1H2)Q, 21
P(H 2 E1) =-2-!-2- = - = Q,429,
p(Hk) p(El Hk) k = 1
P(H2)P(E2H2)Q,Q6
P(H 2 E 2) \u003d -2-- \u003d - \u003d 0,097.
I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1
U slučaju primjene predložene formule (9), uzimajući u obzir (7), P(H
P(H2) 0,168
E.) ----- 0,291,
Z P(Hk) Z "
P(H2) 0,018
E0) ----- 0,031.
Z P(Hk) Z k - 1 i - 1
Pri korištenju predloženih točnih formula, zbog istih nazivnika, omjer P(H2) -
Normalizirane vjerojatnosti, označene brojnicima, jednake su omjeru
P(H2)
normalizirane vjerojatnosti:
Odnosno, poštuje se princip očuvanja omjera vjerojatnosti.
Međutim, u slučaju primjene poznatih formula s omjerom normaliziranih vjerojatnosti navedenih u brojnicima
P (H 2) P (E1 \ H 2) _ 0,21 _3 5 P (H 2) P (E 2 H 2) 0,06,
omjer normaliziranih vjerojatnosti:
P (H 2 \u003d 0,429 \u003d 4,423. (13)
P(H2\e2) 0,097
Odnosno, princip očuvanja omjera vjerojatnosti, kao i do sada, nije poštovan. U ovom slučaju, u slučaju primjene poznatih formula, vrijednost relativnog odstupanja omjera (13) aposteriornih uvjetnih vjerojatnosti hipoteza od točnih rezultata (12) također se pokazuje vrlo značajnom:
9,387 4,423 x 100 = 52,9%.
Zaključak. Analiza konstrukcije specifičnih formulskih relacija koje implementiraju Bayesovu formulu i njezine modifikacije, predložene za rješavanje praktičnih problema, omogućuje nam da ustvrdimo sljedeće. Punu skupinu usporedivih 2 moguća kombinirana događaja može subjektivno odabrati donositelj odluke. Ovaj izbor temelji se na razmatranim objektivnim početnim podacima, karakterističnim za tipičnu situaciju (specifične vrste i broj elementarnih događaja - procijenjene hipoteze i dokazi). Od praktičnog je interesa subjektivni izbor drugih opcija pune skupine uspoređenih po stupnju mogućnosti.
kombinirani događaji - stoga je omogućena značajna raznolikost omjera formule pri konstrukciji netradicionalnih varijanti modifikacija Bayesove formule. To pak može biti temelj za poboljšanje matematičke potpore programske implementacije, kao i proširenje opsega novih formulskih relacija za rješavanje primijenjenih problema.
Bibliografski popis
1. Gnedenko, B. V. Elementarni uvod u teoriju vjerojatnosti / B. V. Gnedenko, A. Ya. Khinchin. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144 rub.
2. Venttsel, E. S. Teorija vjerojatnosti / E. S. Venttsel. - 10. izd., izbrisano. - Moskva: Viša škola, 2006. - 575 str.
3. Andronov. A. M., Teorija vjerojatnosti i matematička statistika/ A. M. Andronov, E. A. Kopytov, L. Ya. Gringlaz. - St. Petersburg: Peter, 2004. - 481 str.
4. Zmitrovich, A. I. Inteligentni informacijski sustavi / A. I. Zmitrovich. - Minsk: TetraSistems, 1997. - 496 str.
5. Chernorutsky, I. G. Metode donošenja odluka / I. G. Chernorutsky. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2005. - 416 str.
6 Naylor, C.-M. Izgradite vlastiti ekspertni sustav / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 str.
7. Romanov, V. P. Inteligentni informacijski sustavi u gospodarstvu / V. P. Romanov. - 2. izd., izbrisano.
Moskva: Ispit, 2007. - 496 str.
8. Ekonomska učinkovitost i konkurentnost / D. Yu. Muromtsev [i drugi]. - Tambov: Izdavačka kuća Tambov. država tehn. un-ta, 2007.- 96 str.
9. Dolgov, A. I. Ispravne modifikacije Bayesove formule za paralelno programiranje / A. I. Dolgov // Tehnologije superračunala: materijali 3. Sveruske. znanstveno-tehnički konf. - Rostov na Donu. - 2014.- Vol. 1 - S. 122-126.
10. A. I. Dolgov, O ispravnosti modifikacija Bayesove formule / A. I. Dolgov, Vestnik Don. država tehn. sveučilište
2014. - V. 14, br. 3 (78). - S. 13-20.
1. Gnedenko, B.V., Khinchin, A.Ya. Elementarni uvod u teoriju vjerojatnosti. New York: Dover Publications, 1962., 144 str.
2 Ventsel, E.S. Teorija vjerojatnosti. 10. izd., reimpr. Moskva: Vysshaya shkola, 2006, 575 str. (na ruskom).
3. Andronov, A.M., Kopytov, E.A., Gringlaz, L.Y. Teoriya veroyatnostey i matematicheskaya statistika. St. Petersburg: Piter, 2004., 481 str. (na ruskom).
4. Zmitrovič, A.1. Intellektual "nye informatsionnye sistemy. Minsk: TetraSistems, 1997., 496 str. (na ruskom).
5. Chernorutskiy, I.G. Metodologija prinyatiya resheniy. St. Petersburg: BKhV-Peterburg, 2005., 416 str. (na ruskom).
6 Naylor, C.-M. Izgradite vlastiti ekspertni sustav. Chichester: John Wiley & Sons, 1987., 289 str.
7. Romanov, V.P. Intellektual "nye informatsionnye sistemy v ekonomike. 2. izdanje, reimpr. Moskva: Ekzamen, 2007., 496 str. (na ruskom).
8. Muromtsev, D.Y., et al. Ekonomska učinkovitost" i konkurentnost". Tambov: Izd-vo Tamb. gos. tehnologija un-ta, 2007., 96 str. (na ruskom). IB
9. Dolgov, A1. Korrektnye modifikatsii formuly Bayesa za paralelno "nogo programmirovaniya. Superkomp" yuternye tehhnologii: mat-ly 3-y sveros. znanstveno-tehn. konf. Rostov na Donu, 2014., sv. 1, str. 122-126 (na ruskom). ^
10. Dolgov, A1. O ispravnosti modifikacije u obliku Bayesa. ↑ Vestnik DSTU, 2014, sv. 14, br. 3 (78), str. 13-20 (na ruskom). *
Ako događaj I može dogoditi samo kada jedan od događaja koji oblikuju kompletna skupina nekompatibilnih događaja , zatim vjerojatnost događaja I izračunati po formuli
Ova formula se zove formula ukupne vjerojatnosti .
Razmotrimo ponovno potpunu skupinu nekompatibilnih događaja, čije su vjerojatnosti pojavljivanja 
. Događaj I može se dogoditi samo zajedno s bilo kojim od događaja koje ćemo pozvati hipoteze
. Zatim prema formuli ukupne vjerojatnosti
Ako događaj I dogodilo, to može promijeniti vjerojatnosti hipoteza 
.
Prema teoremu množenja vjerojatnosti
.
Slično, za druge hipoteze
Dobivena formula se zove Bayesova formula (Bayesova formula ). Vjerojatnosti hipoteza nazivaju se posteriorne vjerojatnosti , dok - prethodne vjerojatnosti .
Primjer. Trgovina je dobila nove proizvode od tri poduzeća. Postotni sastav ovih proizvoda je sljedeći: 20% - proizvodi prvog poduzeća, 30% - proizvodi drugog poduzeća, 50% - proizvodi trećeg poduzeća; nadalje, 10% proizvoda prvog poduzeća najvišeg razreda, drugog poduzeća - 5% i trećeg - 20% proizvoda najvišeg razreda. Nađite vjerojatnost da će slučajno kupljen novi proizvod biti najviše kvalitete.
Odluka. Označimo sa NA događaj koji se sastoji u činjenici da će biti kupljen vrhunski proizvod, označimo događaje koji se sastoje u kupnji proizvoda koji pripadaju prvom, drugom odnosno trećem poduzeću.
Možemo primijeniti formulu ukupne vjerojatnosti i u našem zapisu:
Zamjenom ovih vrijednosti u formulu ukupne vjerojatnosti, dobivamo traženu vjerojatnost:
Primjer. Jedan od trojice strijelaca je pozvan na vatrenu liniju i ispaljuje dva hica. Vjerojatnost pogađanja mete jednim hicem za prvog strijelca je 0,3, za drugog - 0,5; za treći - 0,8. Cilj nije pogođen. Nađite vjerojatnost da je hice ispalio prvi strijelac.
Odluka. Moguće su tri hipoteze:
Prvi strijelac je pozvan na vatrenu liniju,
Drugi strijelac je pozvan na liniju vatre,
Treći strijelac pozvan je na vatrenu liniju.
Budući da je pozivanje bilo kojeg strijelca na liniju vatre jednako moguće 
Kao rezultat pokusa uočen je događaj B - nakon ispaljenih hitaca meta nije pogođena. Uvjetne vjerojatnosti ovog događaja prema postavljenim hipotezama su:
pomoću Bayesove formule nalazimo vjerojatnost hipoteze nakon eksperimenta:
Primjer. Na tri automatska stroja obrađuju se dijelovi istog tipa koji nakon obrade stižu na zajednički transporter. Prvi stroj daje 2% odbijanja, drugi - 7%, treći - 10%. Produktivnost prvog stroja je 3 puta veća od produktivnosti drugog, a trećeg je 2 puta manja od druge.
a) Kolika je stopa nedostataka na pokretnoj traci?
b) Koliki je udio dijelova svakog stroja među neispravnim dijelovima na pokretnoj traci?
Odluka. Uzmimo nasumce jedan dio s proizvodne trake i razmotrimo događaj A - dio je neispravan. Povezan je s hipotezama o tome gdje je ovaj dio strojno obrađen: - nasumično odabrani dio strojno je obrađen na th stroju,.
Uvjetne vjerojatnosti (u uvjetu problema zadane su u obliku postotaka):
Ovisnosti između performansi stroja znače sljedeće:
A budući da hipoteze čine cjelovitu skupinu, tada .
Rješavanjem dobivenog sustava jednadžbi nalazimo: .
a) Ukupna vjerojatnost da je dio nasumično uzet s proizvodne trake neispravan:
Drugim riječima, u masi dijelova koji silaze s proizvodne trake defekt iznosi 4%.
b) Neka se zna da je nasumično uzet dio neispravan. Pomoću Bayesove formule nalazimo uvjetne vjerojatnosti hipoteza:
Dakle, u ukupnoj masi neispravnih dijelova na transportnoj traci, udio prvog stroja je 33%, drugog - 39%, trećeg - 28%.
Praktični zadaci
Vježba 1
Rješavanje problema u glavnim dijelovima teorije vjerojatnosti
Cilj je stjecanje praktičnih vještina u rješavanju problema na
odjeljci teorije vjerojatnosti
Priprema za praktični zadatak
Upoznati se s teorijskim materijalom o ovoj temi, proučiti sadržaj teorijskog, kao i relevantne dijelove literature
Redoslijed izvršenja zadatka
Riješite 5 zadataka prema broju opcije zadatka iz tablice 1.
Opcije početnih podataka
stol 1
|
broj zadatka |
||||||
Sastav izvještaja za zadatak 1
5 riješenih zadataka prema broju varijante.
Zadaci za samostalno rješavanje
1.. Jesu li sljedeće skupine događaja slučajeva: a) iskustvo - bacanje novčića; razvoj događaja: A1- izgled grba; A2- izgled broja; b) iskustvo - bacanje dva novčića; razvoj događaja: U 1- pojava dvaju grbova; NA 2 - pojava dviju znamenki; U 3- izgled jednog grba i jednog broja; c) doživljaj – bacanje kocke; razvoj događaja: C1 - pojava ne više od dvije točke; C2 - pojava tri ili četiri točke; C3 - pojava najmanje pet točaka; d) iskustvo - hitac u metu; razvoj događaja: D1- pogoditi; D2- propustiti; e) iskustvo - dva hica u metu; razvoj događaja: E0- niti jedan pogodak; E1- jedan udarac; E2- dva pogotka; f) iskustvo - izvlačenje dvije karte iz špila; razvoj događaja: F1- pojavljivanje dva crvena kartona; F2- pojava dvije crne karte?
2. Urna A sadrži bijelu i B crne kuglice. Iz urne se nasumično izvlači jedna kuglica. Odredite vjerojatnost da je ta kuglica bijela.
3. U urni A bijelci i B crne kuglice. Jedna kuglica se izvadi iz urne i ostavi na stranu. Ova lopta je bijela. Nakon toga se iz urne uzima još jedna kugla. Nađite vjerojatnost da je i ta kuglica bijela.
4. U urni A bijelci i B crne kuglice. Jedna kuglica je izvađena iz urne i odložena bez gledanja. Nakon toga iz urne je izvađena još jedna kugla. Ispostavilo se da je bijelac. Odredite vjerojatnost da je i prva ostavljena kuglica bijela.
5. Iz urne koja sadrži A bijelci i B crne kuglice, vadite jednu po jednu sve kuglice osim jedne. Odredite vjerojatnost da je zadnja kugla koja je ostala u urni bijela.
6. Iz urne u kojoj je A bijele kuglice i B crne, izvadi redom sve kuglice u njemu. Odredite vjerojatnost da je druga izvučena kuglica bijela.
7. U urni A od bijelih i B od crnih kuglica (A > 2). Iz urne se odjednom vade dvije kuglice. Odredite vjerojatnost da su obje kuglice bijele.
8. Bijelo i B u urni A crne kuglice (A > 2, B > 3). Iz urne se odjednom izvadi pet kuglica. Pronađite vjerojatnost R od njih će dvije biti bijele, a tri crne.
9. U stranci koju čine X proizvoda, postoji ja neispravan. Iz serije se odabire za kontrolu I proizvoda. Pronađite vjerojatnost R koji od njih točno J proizvodi će biti neispravni.
10. Kocka se baca jednom. Odredite vjerojatnost sljedećih događaja: I - pojava parnog broja točaka; NA- pojavljivanje najmanje 5 bodova; S- izgled ne više od 5 bodova.
11. Kocka se baca dvaput. Pronađite vjerojatnost R da će se oba puta pojaviti isti broj bodova.
12. Dvije kocke su bačene u isto vrijeme. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja: I- zbroj izgubljenih bodova jednak je 8; NA- umnožak ispuštenih bodova jednak je 8; S- zbroj ispuštenih bodova veći je od njihovog umnoška.
13. Bacaju se dva novčića. Koji je od sljedećih događaja vjerojatniji: I - novčići će ležati na istim stranama; U - Leže li novčići na različitim stranama?
14. U urni A bijelci i B crne kuglice (A > 2; B > 2). Iz urne se istovremeno vade dvije kuglice. Koji je događaj vjerojatniji: I- kuglice iste boje; U - lopte različitih boja?
15. Tri igrača igraju karte. Svakom od njih podijeljeno je 10 karata, a dvije karte ostaju u izvlačenju. Jedan od igrača vidi da ima 6 karata karo boje i 4 karte nekaro boje. On odbacuje dvije od te četiri karte i preuzima izvlačenje. Nađite vjerojatnost da on kupi dva dijamanta.
16. Iz urne koja sadrži P numerirane kuglice, nasumično izvadite jednu po jednu sve kuglice u njemu. Odredite vjerojatnost da će brojevi izvučenih kuglica biti sljedeći: 1, 2,..., P.
17. Ista urna kao u prethodnom zadatku, ali nakon vađenja svaka se kuglica vraća i miješa s ostalima te se zapisuje njen broj. Odredite vjerojatnost da će prirodni niz brojeva biti zapisan: 1, 2,..., n.
18. Puni špil karata (52 lista) je nasumično podijeljen u dva jednaka paketa od 26 listova. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja: I - u svakom od paketa će biti dva asa; NA- u jednom od paketa neće biti aseva, au drugom - sva četiri; Grijeh jedan od paketa će imati jednog asa, a drugi paket će imati tri.
19. Na košarkaškom prvenstvu sudjeluje 18 momčadi od kojih se slučajnim odabirom formiraju dvije skupine od po 9 ekipa. Među sudionicima natjecanja je 5 ekipa
ekstra klasa. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja: I - sve momčadi ekstra klase bit će u istoj skupini; NA- dvije ekstra klase ući će u jednu od skupina, a tri u drugu.
20. Na devet karata ispisani su brojevi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Dvije se nasumce izvade i stave na stol po redoslijedu pojavljivanja, a zatim se pročita dobiveni broj. , na primjer 07 (sedam), 14 (četrnaest), itd. Pronađite vjerojatnost da je broj paran.
21. Na pet kartica ispisani su brojevi: 1, 2, 3, 4, 5. Izvade se dvije, jedna za drugom. Odredite vjerojatnost da je broj na drugoj karti veći od broja na prvoj.
22. Isto pitanje kao u zadatku 21, ali se prva karta nakon izvlačenja vrati i pomiješa s ostalima te se zapiše broj na njoj.
23. U urni A bijela, B crne i C crvene kuglice. Jedna po jedna, sve kuglice u njoj se vade iz urne i zapisuju se njihove boje. Pronađite vjerojatnost da se bijelo pojavi prije crnog na ovom popisu.
24. Dvije su urne: u prvoj A bijelci i B crne kuglice; u drugom C bijeli i D crno. Iz svake urne izvlači se kuglica. Odredite vjerojatnost da su obje kuglice bijele.
25. Pod uvjetima zadatka 24, pronađite vjerojatnost da će izvučene kuglice biti različitih boja.
26. U bubnju revolvera ima sedam gnijezda, pet ih je napunjeno čahurama, a dva su ostala prazna. Bubanj se vrti, zbog čega je jedan od utičnica nasumično postavljen uz cijev. Nakon toga se pritisne okidač; ako je ćelija bila prazna, pucanj se ne događa. Pronađite vjerojatnost Rčinjenica da, nakon što smo dva puta zaredom ponovili takav eksperiment, nećemo pucati oba puta.
27. Pod istim uvjetima (vidi problem 26), pronađite vjerojatnost da će se zgoditi oba puta.
28. U urni je A; loptice s oznakama 1, 2, ..., do Iz urne ja kada se jednom izvuče jedna kuglica (ja<к), zapisuje se broj kuglice i kuglica se vraća u urnu. Pronađite vjerojatnost R da će svi zabilježeni brojevi biti različiti.
29. Riječ "knjiga" sastoji se od pet slova podijeljene abecede. Dijete koje nije znalo čitati raštrkalo je ta slova i zatim ih spojilo nasumičnim redoslijedom. Pronađite vjerojatnost Rčinjenica da je opet dobio riječ "knjiga".
30. Riječ "ananas" sastoji se od slova podijeljene abecede. Dijete koje nije znalo čitati raštrkalo je ta slova i zatim ih spojilo nasumičnim redoslijedom. Pronađite vjerojatnost Rčinjenica da on opet ima riječ "ananas".
31. Iz punog špila karata (52 lista, 4 boje) vadi se nekoliko karata odjednom. Koliko karata treba izvaditi da bi se s vjerojatnošću većom od 0,50 moglo reći da će među njima biti karata iste boje?
32. N ljudi su nasumično smješteni za okruglim stolom (N > 2). Pronađite vjerojatnost R ta dva fiksna lica I i NA bit će u blizini.
33. Isti problem (vidi 32), ali tablica je pravokutna, a N osoba nasumično sjedi uz jednu od njegovih strana.
34. Brojevi od 1 do N. Od ovih N dvije bačve su slučajno odabrane. Odredite vjerojatnost da su brojevi manji od k napisani na obje bačve
(2
35.
Brojevi od 1 do N. Od ovih N dvije bačve su slučajno odabrane. Odredite vjerojatnost da jedna bačva ima broj veći od k ,
a s druge - manje od k .
(2
36. Prazna baterija M oružje koje puca na grupu koja se sastoji od N ciljevi (M< N). Oružje odabire svoje mete sekvencijalno, nasumično, pod uvjetom da dva oružja ne mogu pucati na istu metu. Pronađite vjerojatnost Rčinjenica da će se pucati na mete s brojevima 1, 2, ... M.
37.. Baterija koja se sastoji od do puške, puca na grupu koja se sastoji od ja zrakoplov (do< 2). Svako oružje odabire svoju metu nasumično i neovisno o ostalima. Nađite vjerojatnost da sve do puške će pucati na istu metu.
38. Pod uvjetima iz prethodnog problema, pronađite vjerojatnost da će sve puške pucati na različite mete.
39. Četiri loptice su nasumično razbacane u četiri rupe; svaka loptica pogodi jednu ili drugu rupu s istom vjerojatnošću i neovisno o drugima (nema prepreka da više loptica uđe u istu rupu). Nađite vjerojatnost da će u jednoj rupi biti tri loptice, u drugoj jedna, a u druge dvije rupe neće biti loptice.
40. Masha se posvađala s Petyom i ne želi se voziti s njim u istom autobusu. Od hostela do instituta vozi 5 autobusa od 7 do 8 sati. Oni koji nemaju vremena za te autobuse kasne na predavanje. Na koliko načina Masha i Petya mogu doći do instituta različitim autobusima i ne zakasniti na predavanje?
41. U odjelu informatike banke rade 3 analitičara, 10 programera i 20 inženjera. Za prekovremeni rad na dan praznika voditelj odjela mora rasporediti jednog djelatnika. Na koliko načina se to može učiniti?
42. Voditelj službe sigurnosti banke mora dnevno postaviti 10 stražara na 10 mjesta. Na koliko načina se to može učiniti?
43. Novi predsjednik banke mora imenovati 2 nova potpredsjednika između 10 direktora. Na koliko načina se to može učiniti?
44. Jedna od zaraćenih strana zarobila je 12, a druga - 15 zarobljenika. Na koliko se načina može razmijeniti 7 ratnih zarobljenika?
45. Petya i Masha skupljaju video diskove. Petja ima 30 komedija, 80 akcijskih filmova i 7 melodrama, Maša ima 20 komedija, 5 akcijskih filmova i 90 melodrama. Na koliko načina Petja i Maša mogu razmijeniti 3 komedije, 2 akcijska filma i 1 melodramu?
46. Pod uvjetima iz zadatka 45, na koliko načina Petya i Masha mogu razmijeniti 3 melodrame i 5 komedija?
47. Pod uvjetima problema 45, na koliko načina Petya i Masha mogu razmijeniti 2 akcijska filma i 7 komedija.
48. Jedna od zaraćenih strana zarobila je 15, a druga - 16 zarobljenika. Na koliko se načina može razmijeniti 5 ratnih zarobljenika?
49. Koliko se automobila može registrirati u 1 gradu ako broj ima 3 znamenke i 3 slova )?
50. Jedna od zaraćenih strana zarobila je 14, a druga - 17 zarobljenika. Na koliko se načina može razmijeniti 6 ratnih zarobljenika?
51. Koliko se različitih riječi može sastaviti preslagivanjem slova u riječi "majka"?
52. U košari su 3 crvene i 7 zelenih jabuka. Iz njega se izvadi jedna jabuka. Nađite vjerojatnost da će biti crvena.
53. U košari su 3 crvene i 7 zelenih jabuka. Iz njega je izvađena jedna zelena jabuka i ostavljena sa strane. Zatim se iz košare izvadi još 1 jabuka. Kolika je vjerojatnost da je ova jabuka zelena?
54. U seriji od 1000 artikala, 4 su neispravna. Za kontrolu se odabire serija od 100 proizvoda. Koja je vjerojatnost LLP-a da kontrolna serija neće biti neispravna?
56. U 80-ima je u SSSR-u bila popularna igra sportloto 5 od 36. Igrač je na kartici zabilježio 5 brojeva od 1 do 36 i dobivao nagrade različitih vrijednosti ako je pogodio različiti broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Odredite vjerojatnost da igrač nije pogodio nijedan broj.
57. U 80-ima je u SSSR-u bila popularna igra “sportloto 5 od 36”. Igrač je na kartici zabilježio 5 brojeva od 1 do 36 i dobivao nagrade različitih vrijednosti ako je pogodio različiti broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Odredite vjerojatnost da je igrač pogodio jedan broj.
58. U 80-ima je u SSSR-u bila popularna igra sportloto 5 od 36. Igrač je na kartici zabilježio 5 brojeva od 1 do 36 i dobivao nagrade različitih vrijednosti ako je pogodio različiti broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Odredite vjerojatnost da je igrač pogodio 3 broja.
59. U 80-ima je u SSSR-u bila popularna igra sportloto 5 od 36. Igrač je na kartici zabilježio 5 brojeva od 1 do 36 i dobivao nagrade različitih vrijednosti ako je pogodio različiti broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Odredite vjerojatnost da igrač nije pogodio svih 5 brojeva.
60. U 80-ima je u SSSR-u bila popularna igra sportloto 6 od 49. Igrač je na kartici zabilježio 6 brojeva od 1 do 49 i dobivao nagrade različitih vrijednosti ako je pogodio različiti broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Odredite vjerojatnost da je igrač pogodio 2 broja.
61. U 80-ima je u SSSR-u bila popularna igra "sportloto 6 od 49". Igrač je na kartici zabilježio 6 brojeva od 1 do 49 i dobivao nagrade različitih vrijednosti ako je pogodio različiti broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Odredite vjerojatnost da igrač nije pogodio nijedan broj.
62. U 80-ima je u SSSR-u bila popularna igra "sportloto 6 od 49". Igrač je na kartici zabilježio 6 brojeva od 1 do 49 i dobivao nagrade različitih vrijednosti ako je pogodio različiti broj brojeva koje je objavila komisija za izvlačenje. Odredite vjerojatnost da je igrač pogodio svih 6 brojeva.
63. U seriji od 1000 artikala, 4 su neispravna. Za kontrolu se odabire serija od 100 proizvoda. Koja je vjerojatnost LLP da će samo 1 neispravan biti u kontrolnoj seriji?
64. Koliko se različitih riječi može oblikovati preslagivanjem slova u riječi "knjiga"?
65. Koliko se različitih riječi može formirati preslagivanjem slova u riječi "ananas"?
66. U lift je ušlo 6 ljudi, a hostel ima 7 katova. Kolika je vjerojatnost da svih 6 ljudi izađe na istom katu?
67. U lift je ušlo 6 ljudi, zgrada ima 7 katova. Kolika je vjerojatnost da svih 6 ljudi izađe na različite katove?
68. Za vrijeme grmljavinskog nevremena došlo je do puknuća žice na dionici između 40. i 79. km dalekovoda. Uz pretpostavku da je prekid jednako moguć u bilo kojoj točki, pronađite vjerojatnost da se lom dogodio između 40. i 45. kilometra.
69. Na dionici plinovoda od 200 km dolazi do curenja plina između kompresorske stanice A i B, što je jednako moguće na bilo kojoj točki plinovoda. Kolika je vjerojatnost da se curenje dogodi unutar 20 km od A
70. Na dionici plinovoda od 200 km dolazi do curenja plina između kompresorske stanice A i B, što je jednako moguće na bilo kojem mjestu plinovoda. Koja je vjerojatnost da je curenje bliže A nego B?
71. Radar inspektora prometne policije ima točnost od 10 km/h i zaokružuje na najbližu stranu. Što se češće događa - zaokruživanje u korist vozača ili inspektora?
72. Masha na putu do instituta provede 40 do 50 minuta, a svako vrijeme u tom intervalu jednako je vjerojatno. Kolika je vjerojatnost da će ona na putu provesti od 45 do 50 minuta.
73. Petya i Masha dogovorile su se sastati kod spomenika Puškinu od 12 do 13 sati, ali nitko nije mogao naznačiti točno vrijeme dolaska. Dogovorili su se čekati jedno drugo 15 minuta. Kolika je vjerojatnost njihovog susreta?
74. Ribari su u ribnjaku ulovili 120 riba, od kojih je 10 prstenovano. Kolika je vjerojatnost ulova prstenovane ribe?
75. Iz košare u kojoj se nalaze 3 crvene i 7 zelenih jabuka izvadi redom sve jabuke. Kolika je vjerojatnost da je druga jabuka crvena?
76. Iz košare u kojoj se nalaze 3 crvene i 7 zelenih jabuka izvadi redom sve jabuke. Kolika je vjerojatnost da je zadnja jabuka zelena?
77. Učenici smatraju da je od 50 ulaznica 10 “dobro”. Petya i Masha naizmjence izvlače po jednu kartu. Koja je vjerojatnost da je Maša dobila "dobar" listić?
78. Učenici smatraju da je od 50 ulaznica 10 “dobro”. Petya i Masha naizmjence izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerojatnost da su obojica dobili "dobru" kartu?
79. Maša je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja programa od 25. Profesor postavlja 3 pitanja. Kolika je vjerojatnost da će Maša odgovoriti na 3 pitanja?
80. Maša je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja programa od 25. Profesor postavlja 3 pitanja. Kolika je vjerojatnost da Maša neće odgovoriti niti na jedno pitanje?
81. Maša je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja programa od 25. Profesor postavlja 3 pitanja. Kolika je vjerojatnost da će Maša odgovoriti na 1 pitanje?
82. Statistika zahtjeva za bankovne kredite je sljedeća: 10% - drž. vlasti, 20% - ostale banke, ostalo - pojedinci. Vjerojatnost neplaćanja kredita je 0,01, 0,05 odnosno 0,2. Koliki je udio zajmova koji se ne vraćaju?
83. vjerojatnost da će tjedni promet trgovca sladoledom prijeći 2000 rubalja. iznosi 80% pri vedrom vremenu, 50% pri djelomično oblačnom i 10% pri kišnom vremenu. Koja je vjerojatnost da će promet premašiti 2000 rubalja. ako je vjerojatnost vedrog vremena 20%, a djelomično oblačno i kišovito - po 40%.
84. White (b) i C su u urni A crne (h) kuglice. Iz urne se vade dvije kugle (istodobno ili jedna za drugom). Odredite vjerojatnost da su obje kuglice bijele.
85. U urni A bijelci i B
86. U urni A bijelci i B
87. U urni A bijelci i B crne kuglice. Jedna kuglica se izvadi iz urne, označi se njena boja i vrati se u urnu. Nakon toga se iz urne uzima još jedna kugla. Odredite vjerojatnost da će te kuglice biti različitih boja.
88. Tu je kutija sa devet novih teniskih loptica. Za igru se uzimaju tri lopte; nakon igre se vraćaju. Pri izboru lopti ne razlikuju igrane i neodigrane lopte. Kolika je vjerojatnost da nakon tri utakmice u kaznenom prostoru neće ostati nijedna neodigrana lopta?
89. Izlazak iz stana, N svaki će gost obući svoje kaljače;
90. Izlazak iz stana, N gosti s istim brojem cipela oblače kaloše u mraku. Svaki od njih može razlikovati desnu kaljaču od lijeve, ali ne može razlikovati svoju od tuđe. Nađite vjerojatnost da svaki će gost obući kaloše koji pripadaju jednom paru (možda ne svom).
91. Pod uvjetima zadatka 90, pronađite vjerojatnost da će svi otići u svojim galošama ako gosti ne mogu razlikovati desnu kaljaču od lijeve i jednostavno uzmu prve dvije kaloše koje naiđu.
92. U tijeku je gađanje zrakoplova čiji su ranjivi dijelovi dva motora i kokpit. Da bi se pogodio (onesposobio) zrakoplov dovoljno je pogoditi oba motora zajedno ili kokpit. U danim uvjetima paljbe vjerojatnost pogađanja prvog motora je p1 drugi motor p2, kokpit p3. Dijelovi zrakoplova su pogođeni neovisno jedan o drugom. Nađite vjerojatnost da će avion biti pogođen.
93. Dva strijelca, neovisno jedan o drugom, ispaljuju dva hica (svaki u svoju metu). Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem za prvog strijelca p1 za drugu p2. Pobjednik natjecanja je strijelac u čijoj će meti biti više rupa. Pronađite vjerojatnost Rxšto prvi strijelac osvoji.
94. iza svemirskog objekta, objekt se detektira s vjerojatnošću R. Detekcija objekta u svakom ciklusu odvija se neovisno o ostalima. Nađite vjerojatnost da kada P ciklusa objekt će biti otkriven.
95. 32 slova ruske abecede ispisana su na izrezanim karticama abecede. Nasumično se izvlači pet karata, jedna za drugom, i stavljaju na stol redoslijedom kojim se pojavljuju. Nađite vjerojatnost da će se dobiti riječ "kraj".
96. Dvije su kuglice nasumično i neovisno jedna o drugoj razbacane u četiri ćelije smještene jedna za drugom u ravnoj liniji. Svaka loptica s istom vjerojatnošću 1/4 pogađa svaku ćeliju. Odredite vjerojatnost da će kuglice pasti u susjedne ćelije.
97. Na zrakoplov se ispaljuju zapaljivi projektili. Gorivo na zrakoplovu koncentrirano je u četiri spremnika smještena u trupu jedan za drugim. Veličine spremnika su iste. Za paljenje zrakoplova dovoljno je pogoditi dvije granate bilo u istom spremniku ili u susjednim spremnicima. Poznato je da su dvije granate pogodile područje tenka. Nađite vjerojatnost da će se avion zapaliti.
98. Iz punog špila karata (52 lista) odjednom se vade četiri karte. Odredite vjerojatnost da su sve četiri karte iste boje.
99. Iz punog špila karata (52 lista) vade se četiri karte odjednom, ali se svaka karta nakon vađenja vraća u špil. Odredite vjerojatnost da su sve četiri karte iste boje.
100. Kada se uključi paljenje, motor se vjerojatno pokreće R.
101. Uređaj može raditi u dva načina: 1) normalno i 2) nenormalno. Normalni način rada promatra se u 80% svih slučajeva rada uređaja; abnormalno - u 20%. Vjerojatnost kvara uređaja u vremenu t u normalnom načinu rada je 0,1; u abnormalnom - 0,7. Pronađite ukupnu vjerojatnost R kvar uređaja.
102. Trgovina dobiva robu od 3 dobavljača: 55% od 1., 20 od 2. i 25% od 3. dobavljača. Udio braka je 5, 6 odnosno 8 posto. Kolika je vjerojatnost da je kupljeni proizvod s nedostatkom došao od drugog dobavljača.
103. Protok automobila pored benzinskih postaja sastoji se od 60% kamiona i 40% automobila. Kolika je vjerojatnost pronalaska kamiona na benzinskoj postaji ako je vjerojatnost punjenja goriva 0,1, a automobila 0,3
104. Protok automobila pored benzinskih postaja sastoji se od 60% kamiona i 40% automobila. Kolika je vjerojatnost pronalaska kamiona na benzinskoj postaji ako je vjerojatnost punjenja goriva 0,1, a automobila 0,3
105. Trgovina dobiva robu od 3 dobavljača: 55% od 1., 20 od 2. i 25% od 3. dobavljača. Udio braka je 5, 6 odnosno 8 posto. Kolika je vjerojatnost da je kupljeni proizvod s nedostatkom došao od 1. dobavljača.
106. Na izrezanim karticama abecede ispisana su 32 slova ruske abecede. Nasumično se izvlači pet karata, jedna za drugom, i stavljaju na stol redoslijedom kojim se pojavljuju. Odredite vjerojatnost da dobijete riječ "knjiga".
107. Trgovina dobiva robu od 3 dobavljača: 55% od 1., 20 od 2. i 25% od 3. dobavljača. Udio braka je 5, 6 odnosno 8 posto. Kolika je vjerojatnost da je kupljeni proizvod s nedostatkom došao od 1. dobavljača.
108. Dvije su kuglice nasumično i neovisno jedna o drugoj razbacane u četiri ćelije koje se nalaze jedna iza druge u ravnoj liniji. Svaka loptica s istom vjerojatnošću 1/4 pogađa svaku ćeliju. Odredite vjerojatnost da 2 kuglice padnu u istu ćeliju
109. Kada se uključi paljenje, motor počinje raditi s vjerojatnošću R. Nađite vjerojatnost da će motor početi raditi drugi put kada se paljenje uključi;
110. Na zrakoplov se ispaljuju zapaljivi projektili. Gorivo na zrakoplovu koncentrirano je u četiri spremnika smještena u trupu jedan za drugim. Veličine spremnika su iste. Da bi se zapalio zrakoplov, dovoljno je pogoditi dvije granate u istom spremniku. Poznato je da su dvije granate pogodile područje tenka. Nađite vjerojatnost da će se avion zapaliti
111. Na zrakoplov se ispaljuju zapaljivi projektili. Gorivo na zrakoplovu koncentrirano je u četiri spremnika smještena u trupu jedan za drugim. Veličine spremnika su iste. Za paljenje zrakoplova dovoljno je pogoditi dvije granate u susjedne tenkove. Poznato je da su dvije granate pogodile područje tenka. Nađite vjerojatnost da će se avion zapaliti
112. U urni A bijelci i B crne kuglice. Jedna kuglica se izvadi iz urne, označi se njena boja i vrati se u urnu. Nakon toga se iz urne uzima još jedna kugla. Odredite vjerojatnost da su obje izvučene kuglice bijele.
113. U urni A bijelci i B crne kuglice. Iz urne se odjednom vade dvije kuglice. Odredite vjerojatnost da će te kuglice biti različitih boja.
114. Dvije su kuglice nasumično i neovisno jedna o drugoj razbacane u četiri ćelije koje se nalaze jedna iza druge u ravnoj liniji. Svaka loptica s istom vjerojatnošću 1/4 pogađa svaku ćeliju. Odredite vjerojatnost da će kuglice pasti u susjedne ćelije.
115. Maša je došla na ispit znajući odgovore na 20 pitanja programa od 25. Profesor postavlja 3 pitanja. Kolika je vjerojatnost da će Maša odgovoriti na 2 pitanja?
116. Učenici smatraju da je od 50 ulaznica 10 “dobro”. Petya i Masha naizmjence izvlače po jednu kartu. Kolika je vjerojatnost da su obojica dobili "dobru" kartu?
117. Statistika zahtjeva za bankovne kredite je sljedeća: 10% - drž. vlasti, 20% - ostale banke, ostalo - pojedinci. Vjerojatnost neplaćanja kredita je 0,01, 0,05 odnosno 0,2. Koliki je udio zajmova koji se ne vraćaju?
118. Na izrezanim karticama abecede ispisana su 32 slova ruske abecede. Nasumično se izvlači pet karata, jedna za drugom, i stavljaju na stol redoslijedom kojim se pojavljuju. Nađite vjerojatnost da će se dobiti riječ "kraj".
119 Statistika bankovnih zahtjeva za kredit je sljedeća: 10% - drž. vlasti, 20% - ostale banke, ostalo - pojedinci. Vjerojatnost neplaćanja kredita je 0,01, 0,05 odnosno 0,2. Koliki je udio zajmova koji se ne vraćaju?
120. vjerojatnost da će tjedni promet trgovca sladoledom prijeći 2000 rubalja. iznosi 80% pri vedrom vremenu, 50% pri djelomično oblačnom i 10% pri kišnom vremenu. Koja je vjerojatnost da će promet premašiti 2000 rubalja. ako je vjerojatnost vedrog vremena 20%, a djelomično oblačno i kišovito - po 40%.
Kako započeti kao učitelj?
Učenje engleskog jezika na daljinu
Pravilni i nepravilni engleski glagoli