Làm thế nào để giải quyết một slough bằng phương pháp Gauss. Phương pháp Gauss cho hình nộm: dễ dàng giải quyết vấn đề
Tại đây bạn có thể giải hệ thống miễn phí Các phương trình tuyến tính Phương pháp Gauss trực tuyến kích thước lớn ở dạng số phức với lời giải rất chi tiết. Máy tính của chúng tôi có thể giải trực tuyến cả hệ phương trình tuyến tính xác định và không xác định thông thường bằng phương pháp Gaussian, phương pháp này có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, trong câu trả lời, bạn sẽ nhận được sự phụ thuộc của một số biến thông qua những biến khác, những biến miễn phí. Bạn cũng có thể kiểm tra hệ phương trình về tính tương thích trực tuyến bằng giải pháp Gaussian.
Về phương pháp
Khi giải một hệ phương trình tuyến tính phương pháp trực tuyến Gauss thực hiện các bước sau.
- Chúng tôi viết ma trận tăng cường.
- Trên thực tế, lời giải được chia thành các bước tiến và lùi của phương pháp Gauss. Sự di chuyển trực tiếp của phương pháp Gauss được gọi là sự giảm ma trận về dạng bậc. Di chuyển ngược lại của phương pháp Gauss là giảm ma trận thành một dạng bậc đặc biệt. Nhưng trên thực tế, sẽ thuận tiện hơn nếu loại bỏ ngay lập tức những gì ở trên và bên dưới của phần tử được đề cập. Máy tính của chúng tôi sử dụng chính xác cách tiếp cận này.
- Điều quan trọng cần lưu ý là khi giải theo phương pháp Gauss, sự hiện diện trong ma trận của ít nhất một hàng 0 với một số khác bên phải(cột thành viên miễn phí) chỉ ra sự không tương thích của hệ thống. Dung dịch hệ thống tuyến tính trong trường hợp này không tồn tại.
Để hiểu rõ hơn cách thức hoạt động của thuật toán Gaussian trực tuyến, hãy nhập bất kỳ ví dụ nào, chọn "rất giải pháp chi tiết và tra cứu giải pháp của mình trực tuyến.
Trong bài viết này, phương pháp được coi là cách giải hệ phương trình tuyến tính (SLAE). Phương pháp này là phân tích, nghĩa là, nó cho phép bạn viết một thuật toán giải trong nhìn chung, và sau đó thay thế các giá trị từ các ví dụ cụ thể ở đó. Không giống như phương pháp ma trận hoặc công thức Cramer, khi giải một hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, bạn cũng có thể làm việc với những hệ có vô số nghiệm. Hoặc họ không có nó ở tất cả.
Gauss có nghĩa là gì?
Đầu tiên, bạn cần viết ra hệ phương trình của chúng ta trong Nó trông như thế này. Hệ thống được thực hiện:
Các hệ số được viết dưới dạng một bảng và ở bên phải trong một cột riêng biệt - các thành viên tự do. Cột có các thành viên tự do được tách ra để thuận tiện. Ma trận bao gồm cột này được gọi là mở rộng.
Hơn nữa, ma trận chính với các hệ số phải được thu gọn thành hình tam giác trên. Đây là điểm chính của việc giải hệ bằng phương pháp Gauss. Nói một cách đơn giản, sau một số thao tác nhất định, ma trận sẽ trông như thế này, do đó chỉ có các số không ở phần dưới bên trái của nó:
Sau đó, nếu bạn viết lại ma trận mới dưới dạng hệ phương trình, bạn sẽ nhận thấy rằng hàng cuối cùng đã chứa giá trị của một trong các căn, sau đó được thay vào phương trình trên, một căn khác được tìm thấy, v.v.
Mô tả này của giải pháp theo phương pháp Gauss trong hầu hết trong các điều khoản chung. Và điều gì sẽ xảy ra nếu đột nhiên hệ thống không có giải pháp? Hay có vô hạn trong số chúng? Để trả lời những câu hỏi này và nhiều câu hỏi khác, cần phải xem xét riêng tất cả các yếu tố được sử dụng trong lời giải bằng phương pháp Gauss.
Ma trận, thuộc tính của chúng
Không có ý tứ ẩn không có trong ma trận. Nó chỉ là một cách thuận tiện để ghi lại dữ liệu cho các hoạt động sau này. Ngay cả học sinh cũng không nên sợ chúng.
Ma trận luôn luôn là hình chữ nhật, vì nó thuận tiện hơn. Ngay cả trong phương pháp Gauss, nơi mà mọi thứ đi xuống để xây dựng một ma trận hình tam giác, một hình chữ nhật xuất hiện trong mục nhập, chỉ với các số không ở nơi không có số. Zeros có thể được bỏ qua, nhưng chúng được ngụ ý.
Ma trận có một kích thước. "Chiều rộng" của nó là số hàng (m), "chiều dài" của nó là số cột (n). Sau đó, kích thước của ma trận A (chữ hoa thường được sử dụng để biểu thị chúng) bức thư) sẽ được ký hiệu là A m × n. Nếu m = n, thì ma trận này là hình vuông, và m = n là bậc của nó. Theo đó, bất kỳ phần tử nào của ma trận A có thể được ký hiệu bằng số hàng và cột của nó: a xy; x - số hàng, các thay đổi, y - số cột, các thay đổi.
B không phải là điểm chính của giải pháp. Về nguyên tắc, tất cả các phép toán có thể được thực hiện trực tiếp với chính các phương trình, nhưng ký hiệu sẽ trở nên phức tạp hơn nhiều và sẽ dễ bị nhầm lẫn hơn nhiều trong đó.
Bản ngã
Ma trận cũng có một định thức. Cái này rất đặc điểm quan trọng. Việc tìm ra ý nghĩa của nó bây giờ là không có giá trị, bạn có thể chỉ đơn giản là hiển thị cách nó được tính toán, và sau đó cho biết những thuộc tính nào của ma trận mà nó xác định. Cách dễ nhất để tìm định thức là thông qua các đường chéo. Các đường chéo tưởng tượng được vẽ trong ma trận; các phần tử nằm trên mỗi phần tử được nhân lên, và sau đó các tích kết quả được cộng: các đường chéo có độ dốc ở bên phải - với dấu "cộng", với độ dốc ở bên trái - với dấu "trừ".
Điều cực kỳ quan trọng cần lưu ý là định thức chỉ có thể được tính cho một ma trận vuông. Vì ma trận hình chữ nhật bạn có thể làm như sau: từ số hàng và số cột, chọn giá trị nhỏ nhất (giả sử là k), sau đó đánh dấu ngẫu nhiên k cột và k hàng trong ma trận. Các phần tử nằm ở giao điểm của các cột và hàng đã chọn sẽ tạo nên một Ma trận vuông. Nếu định thức của một ma trận như vậy là một số khác 0, thì nó được gọi là con cơ sở của ma trận chữ nhật ban đầu.
Trước khi tiến hành giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss, việc tính định thức sẽ không bị ảnh hưởng gì. Nếu nó trở thành 0, thì ngay lập tức chúng ta có thể nói rằng ma trận có vô số nghiệm hoặc không có nghiệm nào cả. Trong trường hợp đáng buồn như vậy, bạn cần phải đi xa hơn và tìm hiểu về thứ hạng của ma trận.
Phân loại hệ thống
Có một thứ như là hạng của một ma trận. Đây là thứ tự tối đa của định thức khác 0 của nó (nhớ khoảng trẻ vị thành niên cơ bản, chúng ta có thể nói rằng hạng của ma trận là hạng của cơ sở nhỏ).
Theo cách mọi thứ diễn ra với thứ hạng, SLAE có thể được chia thành:
- Chung. Tại của hệ thống liên kết, hạng của ma trận chính (chỉ gồm các hệ số) trùng với hạng của ma trận mở rộng (với một cột gồm các thành viên tự do). Các hệ thống như vậy có một giải pháp, nhưng không nhất thiết phải có một giải pháp, vì vậy ngoài hệ thống chungđược chia thành:
- - chắc chắn- có một giải pháp duy nhất. Trong một số hệ thống nhất định, hạng của ma trận và số ẩn số (hoặc số cột, là cùng một thứ) bằng nhau;
- - vô thời hạn - với vô số nghiệm. Thứ hạng của ma trận cho các hệ thống như vậy nhỏ hơn số ẩn số.
- Không tương thích. Tại hệ như vậy, bậc của ma trận chính và ma trận mở rộng không trùng nhau. Hệ thống không tương thích không có giải pháp.
Phương pháp Gauss tốt ở chỗ nó cho phép người ta có được một bằng chứng rõ ràng về tính không nhất quán của hệ thống (mà không tính toán các yếu tố quyết định của ma trận lớn) hoặc một nghiệm tổng quát cho một hệ thống có vô số nghiệm trong quá trình giải.
Các phép biến đổi cơ bản
Trước khi tiến hành trực tiếp đến lời giải của hệ thống, có thể làm cho nó bớt rườm rà và thuận tiện hơn cho việc tính toán. Điều này đạt được thông qua biến đổi cơ bản- sao cho việc thực thi của họ không thay đổi câu trả lời cuối cùng theo bất kỳ cách nào. Cần lưu ý rằng một số phép biến đổi cơ bản ở trên chỉ hợp lệ cho ma trận, nguồn của nó chính xác là SLAE. Dưới đây là danh sách các phép biến đổi này:
- Hoán vị chuỗi. Rõ ràng là nếu chúng ta thay đổi thứ tự của các phương trình trong bản ghi hệ thống, thì điều này sẽ không ảnh hưởng đến lời giải theo bất kỳ cách nào. Do đó, cũng có thể hoán đổi các hàng trong ma trận của hệ thống này, tất nhiên là không quên về cột các thành viên tự do.
- Nhân tất cả các phần tử của một chuỗi với một số thừa số. Rất hữu dụng! Nó có thể được sử dụng để rút ngắn những con số lớn trong ma trận hoặc loại bỏ các số không. Như thường lệ, tập hợp các giải pháp sẽ không thay đổi và sẽ trở nên thuận tiện hơn khi thực hiện các thao tác tiếp theo. Điều chính là hệ số không bằng không.
- Xóa các hàng có hệ số tỷ lệ. Điều này một phần tiếp theo từ đoạn trước. Nếu hai hoặc nhiều hàng trong ma trận có hệ số tỷ lệ, thì khi nhân / chia một trong các hàng với hệ số tỷ lệ, sẽ thu được hai (hoặc, nhiều hơn) hàng hoàn toàn giống hệt nhau và bạn có thể loại bỏ các hàng thừa, chỉ để lại một.
- Xóa dòng rỗng. Nếu trong quá trình biến đổi, một chuỗi thu được ở đâu đó mà tất cả các phần tử, kể cả phần tử tự do, đều bằng 0, thì một chuỗi như vậy có thể được gọi là không và bị loại ra khỏi ma trận.
- Thêm vào các phần tử của một hàng các phần tử của hàng khác (trong các cột tương ứng), nhân với một hệ số nhất định. Sự biến đổi khó hiểu nhất và quan trọng nhất trong tất cả. Nó là giá trị tìm hiểu chi tiết hơn về nó.
Thêm một chuỗi nhân với một hệ số
Để dễ hiểu, bạn nên tháo gỡ quy trình này từng bước. Hai hàng được lấy từ ma trận:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Giả sử bạn cần cộng số thứ nhất với số thứ hai, nhân với hệ số "-2".
a "21 \ u003d a 21 + -2 × a 11
a "22 \ u003d a 22 + -2 × a 12
a "2n \ u003d a 2n + -2 × a 1n
Sau đó, trong ma trận, hàng thứ hai được thay thế bằng hàng mới và hàng đầu tiên không thay đổi.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a "21 a" 22 ... a "2n | b 2
Cần lưu ý rằng hệ số nhân có thể được chọn theo cách mà kết quả của phép cộng hai chuỗi, một trong các phần tử của chuỗi mới bằng không. Do đó, có thể thu được một phương trình trong hệ, trong đó sẽ có một ẩn số ít hơn. Và nếu bạn nhận được hai phương trình như vậy, thì phép toán có thể được thực hiện lại và nhận được một phương trình đã chứa ít ẩn số hơn. Và nếu mỗi lần chúng ta chuyển về 0 một hệ số cho tất cả các hàng thấp hơn hàng ban đầu, thì chúng ta có thể, giống như các bước, đi xuống dưới cùng của ma trận và nhận được một phương trình với một ẩn số. Đây được gọi là giải hệ thống bằng phương pháp Gaussian.
Nói chung
Hãy để có một hệ thống. Nó có m phương trình và n nghiệm chưa biết. Bạn có thể viết nó ra như sau:
Ma trận chính được tổng hợp từ các hệ số của hệ thống. Một cột gồm các thành viên tự do được thêm vào ma trận mở rộng và ngăn cách bằng một thanh để thuận tiện.
- hàng đầu tiên của ma trận được nhân với hệ số k = (-a 21 / a 11);
- hàng sửa đổi đầu tiên và hàng thứ hai của ma trận được thêm vào;
- thay vì hàng thứ hai, kết quả của phép cộng từ đoạn trước được chèn vào ma trận;
- bây giờ là hệ số đầu tiên trong giây mới dòng là 11 × (-a 21 / a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0.
Bây giờ cùng một loạt các phép biến đổi được thực hiện, chỉ có hàng đầu tiên và hàng thứ ba là có liên quan. Theo đó, trong mỗi bước của thuật toán, phần tử 21 được thay thế bằng 31. Sau đó, mọi thứ được lặp lại cho một 41, ... một m1. Kết quả là một ma trận trong đó phần tử đầu tiên trong các hàng bằng không. Bây giờ chúng ta cần quên dòng số một và thực hiện cùng một thuật toán bắt đầu từ dòng thứ hai:
- hệ số k \ u003d (-a 32 / a 22);
- dòng sửa đổi thứ hai được thêm vào dòng "hiện tại";
- kết quả của phép cộng được thay thế ở dòng thứ ba, thứ tư, v.v., trong khi dòng thứ nhất và thứ hai không thay đổi;
- trong các hàng của ma trận, hai phần tử đầu tiên đã bằng không.
Thuật toán phải được lặp lại cho đến khi xuất hiện hệ số k = (-a m, m-1 / a mm). Điều này có nghĩa là thuật toán chỉ được chạy lần cuối cho phương trình thấp hơn. Bây giờ ma trận trông giống như một hình tam giác hoặc có hình dạng bậc thang. Dòng dưới cùng chứa đẳng thức a mn × x n = b m. Hệ số và số hạng tự do đã biết, và căn được biểu thị qua chúng: x n = b m / a mn. Gốc kết quả được thay vào hàng trên cùng để tìm x n-1 = (b m-1 - a m-1, n × (b m / a mn)) ÷ a m-1, n-1. Và tương tự như vậy: mỗi dòng tiếp theo chứa gốc mới, và, khi đạt đến "đỉnh" của hệ thống, người ta có thể tìm thấy nhiều giải pháp. Nó sẽ là một trong những duy nhất.
Khi không có giải pháp
Nếu ở một trong những hàng ma trận tất cả các phần tử, ngoại trừ số hạng tự do, đều bằng 0, khi đó phương trình tương ứng với dòng này có dạng 0 = b. Nó không có giải pháp. Và vì một phương trình như vậy được đưa vào hệ, thì tập nghiệm của toàn bộ hệ là rỗng, tức là nó suy biến.
Khi có vô số nghiệm
Nó có thể bật ra rằng trong ma trận tam giác không có hàng nào có một hệ số phần tử của phương trình và một - một phần tử tự do. Chỉ có những chuỗi, khi được viết lại, sẽ trông giống như một phương trình có hai hoặc nhiều biến. Điều này có nghĩa là hệ thống có vô số nghiệm. Trong trường hợp này, câu trả lời có thể được đưa ra dưới dạng một giải pháp chung. Làm thế nào để làm nó?
Tất cả các biến trong ma trận được chia thành cơ bản và tự do. Những cái cơ bản là những cái đứng "ngoài rìa" của các dòng trong ma trận bước. Phần còn lại là miễn phí. Trong giải pháp chung, các biến cơ bản được viết dưới dạng các biến miễn phí.
Để thuận tiện, trước tiên ma trận được viết lại thành một hệ phương trình. Sau đó, trong biến cuối cùng, nơi chính xác chỉ còn lại một biến cơ bản, nó vẫn ở một bên, và mọi thứ khác được chuyển sang bên kia. Điều này được thực hiện cho mỗi phương trình với một biến cơ bản. Sau đó, trong phần còn lại của phương trình, nếu có thể, thay vì biến cơ bản, biểu thức thu được cho nó được thay thế. Do đó, nếu một biểu thức lại xuất hiện chỉ chứa một biến cơ bản, thì biểu thức đó lại được biểu diễn từ đó, và cứ tiếp tục như vậy, cho đến khi mỗi biến cơ bản được viết dưới dạng một biểu thức với các biến tự do. Đó là những gì nó là quyết định chung SLAU.
Bạn cũng có thể tìm thấy giải pháp cơ bản của hệ thống - cung cấp cho các biến tự do bất kỳ giá trị nào, sau đó trong trường hợp cụ thể này tính giá trị của các biến cơ bản. Có vô số giải pháp cụ thể.
Giải pháp với các ví dụ cụ thể
Đây là hệ phương trình.
Để thuận tiện, tốt hơn là tạo ngay ma trận của nó
Được biết, khi giải theo phương pháp Gauss, phương trình ứng với hàng đầu tiên sẽ không thay đổi khi kết thúc các phép biến đổi. Do đó, sẽ có lợi hơn nếu phần tử phía trên bên trái của ma trận là nhỏ nhất - khi đó các phần tử đầu tiên của các hàng còn lại sau các phép toán sẽ chuyển về không. Điều này có nghĩa là trong ma trận đã biên dịch, sẽ có lợi khi đặt thứ hai vào vị trí của hàng đầu tiên.
dòng thứ hai: k = (-a 21 / a 11) = (-3/1) = -3
a "21 \ u003d a 21 + k × a 11 \ u003d 3 + (-3) × 1 \ u003d 0
a "22 \ u003d a 22 + k × a 12 \ u003d -1 + (-3) × 2 \ u003d -7
a "23 = a 23 + k × a 13 = 1 + (-3) × 4 = -11
b "2 \ u003d b 2 + k × b 1 \ u003d 12 + (-3) × 12 \ u003d -24
dòng thứ ba: k = (-a 3 1 / a 11) = (-5/1) = -5
a "3 1 = a 3 1 + k × a 11 = 5 + (-5) × 1 = 0
a "3 2 = a 3 2 + k × a 12 = 1 + (-5) × 2 = -9
a "3 3 = a 33 + k × a 13 = 2 + (-5) × 4 = -18
b "3 \ u003d b 3 + k × b 1 \ u003d 3 + (-5) × 12 \ u003d -57
Bây giờ, để không bị nhầm lẫn, cần phải viết ra ma trận với kết quả trung gian các phép biến hình.
Rõ ràng là một ma trận như vậy có thể được tạo ra thuận tiện hơn cho việc nhận thức với sự trợ giúp của một số phép toán. Ví dụ: bạn có thể xóa tất cả "minuses" khỏi dòng thứ hai bằng cách nhân từng phần tử với "-1".
Cũng cần lưu ý rằng trong hàng thứ ba tất cả các phần tử là bội số của ba. Sau đó, bạn có thể rút ngắn chuỗi bằng số này, nhân từng phần tử với "-1/3" (trừ - đồng thời, để loại bỏ giá trị âm).
Trông đẹp hơn nhiều. Bây giờ chúng ta cần để lại một mình dòng đầu tiên và làm việc với dòng thứ hai và thứ ba. Nhiệm vụ là thêm hàng thứ hai vào hàng thứ ba, nhân với hệ số sao cho phần tử a 32 trở thành bằng không.
k = (-a 32 / a 22) = (-3/7) = -3/7 phần chung và chỉ sau đó, khi nhận được câu trả lời, hãy quyết định có làm tròn và chuyển sang dạng hồ sơ khác)
a "32 = a 32 + k × a 22 = 3 + (-3/7) × 7 = 3 + (-3) = 0
a "33 \ u003d a 33 + k × a 23 \ u003d 6 + (-3/7) × 11 \ u003d -9/7
b "3 \ u003d b 3 + k × b 2 \ u003d 19 + (-3/7) × 24 \ u003d -61/7
Ma trận được viết lại với các giá trị mới.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Như bạn có thể thấy, ma trận kết quả đã có bước xem. Do đó, không cần thực hiện thêm các phép biến đổi hệ thống theo phương pháp Gauss. Điều có thể làm ở đây là xóa khỏi dòng thứ ba tỷ lệ tổng thể "-1/7".
Bây giờ mọi thứ đều đẹp. Điểm nhỏ - viết lại ma trận dưới dạng hệ phương trình và tính nghiệm nguyên
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
Thuật toán tìm ra các gốc bây giờ được gọi là di chuyển ngược lại trong phương pháp Gauss. Phương trình (3) chứa giá trị của z:
y = (24 - 11 × (61/9)) / 7 = -65/9
Và phương trình đầu tiên cho phép bạn tìm x:
x = (12 - 4z - 2y) / 1 = 12 - 4x (61/9) - 2x (-65/9) = -6/9 = -2/3
Chúng ta có quyền gọi như vậy là một liên kết hệ thống, và thậm chí xác định, nghĩa là có một giải pháp duy nhất. Phản hồi được viết dưới dạng sau:
x 1 \ u003d -2/3, y \ u003d -65/9, z \ u003d 61/9.
Ví dụ về hệ thống vô thời hạn
Dung dịch hệ thống nhất địnhđã được phân tích bằng phương pháp Gauss, bây giờ cần xét trường hợp nếu hệ là vô định, tức là có thể tìm được vô số nghiệm cho nó.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Sự xuất hiện của hệ thống đã đáng báo động, bởi vì số ẩn số là n = 5, và hạng của ma trận của hệ thống đã chính xác nhỏ hơn số này, bởi vì số hàng là m = 4, tức là đơn hàng lớn nhấtđịnh thức-bình phương - 4. Điều này có nghĩa là có vô số nghiệm và chúng ta phải tìm dạng tổng quát của nó. Phương pháp Gauss cho phương trình tuyến tính có thể thực hiện điều này.
Đầu tiên, như thường lệ, ma trận tăng cường được biên dịch.
Dòng thứ hai: hệ số k = (-a 21 / a 11) = -3. Trong dòng thứ ba, phần tử đầu tiên nằm trước các phép biến hình, vì vậy bạn không cần chạm vào bất cứ thứ gì, bạn cần để nguyên như vậy. Dòng thứ tư: k = (-a 4 1 / a 11) = -5
Lần lượt nhân các phần tử của hàng đầu tiên với từng hệ số của chúng và cộng chúng vào các hàng mong muốn, ta được ma trận loại sau:
Như bạn có thể thấy, hàng thứ hai, thứ ba và thứ tư bao gồm các phần tử tỷ lệ với nhau. Dòng thứ hai và thứ tư nhìn chung giống nhau, vì vậy có thể loại bỏ một trong số chúng ngay lập tức, và phần còn lại nhân với hệ số "-1" và nhận được dòng số 3. Và một lần nữa, hãy để lại một trong hai dòng giống nhau.
Hóa ra một ma trận như vậy. Hệ thống vẫn chưa được viết ra, ở đây cần xác định các biến cơ bản - đứng ở các hệ số a 11 \ u003d 1 và a 22 \ u003d 1, và miễn phí - tất cả phần còn lại.
Phương trình thứ hai chỉ có một biến cơ bản - x 2. Do đó, nó có thể được biểu diễn từ đó, viết thông qua các biến x 3, x 4, x 5, là các biến miễn phí.
Chúng tôi thay thế biểu thức kết quả vào phương trình đầu tiên.
Nó chỉ ra một phương trình trong đó biến cơ bản duy nhất là x 1. Hãy làm tương tự với nó như với x 2.
Tất cả các biến cơ bản, trong đó có hai, được biểu diễn dưới dạng ba biến tự do, bây giờ bạn có thể viết câu trả lời ở dạng tổng quát.
Bạn cũng có thể chỉ định một trong các giải pháp cụ thể của hệ thống. Đối với những trường hợp như vậy, theo quy tắc, các số không được chọn làm giá trị cho các biến tự do. Thì câu trả lời sẽ là:
16, 23, 0, 0, 0.
Ví dụ về hệ thống không tương thích
Giải hệ phương trình không nhất quán bằng phương pháp Gauss là nhanh nhất. Nó kết thúc ngay khi ở một trong các giai đoạn thu được một phương trình không có nghiệm. Tức là giai đoạn có tính rễ khá dài và thê lương biến mất. Hệ thống sau được coi là:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Như thường lệ, ma trận được biên dịch:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Và nó được rút gọn thành dạng bước:
k 1 \ u003d -2k 2 \ u003d -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Sau lần biến đổi đầu tiên, dòng thứ ba chứa một phương trình có dạng
không có giải pháp. Do đó, hệ thống không nhất quán, và câu trả lời là tập hợp trống.
Ưu nhược điểm của phương pháp
Nếu bạn chọn phương pháp nào để giải SLAE trên giấy bằng bút, thì phương pháp được xem xét trong bài viết này có vẻ hấp dẫn nhất. Trong các phép biến đổi cơ bản, sẽ khó bị nhầm lẫn hơn nhiều so với việc bạn phải tự tìm kiếm định thức hoặc một số ma trận nghịch đảo phức tạp. Tuy nhiên, nếu bạn sử dụng các chương trình để làm việc với dữ liệu thuộc loại này, ví dụ: bảng tính, hóa ra các chương trình như vậy đã chứa các thuật toán để tính toán các tham số chính của ma trận - định thức, phần nhỏ, nghịch đảo, v.v. Và nếu bạn chắc chắn rằng máy sẽ tự tính toán các giá trị này và không mắc lỗi, thì việc sử dụng sẽ hợp lý hơn. phương pháp ma trận hoặc các công thức của Cramer, bởi vì ứng dụng của chúng bắt đầu và kết thúc bằng việc tính toán các yếu tố quyết định và ma trận nghịch đảo.
Đăng kí
Vì giải pháp Gaussian là một thuật toán và trên thực tế, ma trận là một mảng hai chiều, nó có thể được sử dụng trong lập trình. Nhưng vì bài viết tự định vị mình như một hướng dẫn "dành cho hình nộm", nên cần phải nói rằng nơi dễ dàng nhất để đưa phương pháp vào là bảng tính, chẳng hạn như Excel. Một lần nữa, bất kỳ SLAE nào được nhập vào bảng dưới dạng ma trận sẽ được Excel coi là mảng hai chiều. Và đối với các phép toán với chúng, có rất nhiều lệnh hay: phép cộng (bạn chỉ có thể thêm các ma trận có cùng kích thước!), Phép nhân với một số, phép nhân ma trận (cũng có một số hạn chế nhất định), tìm ma trận nghịch đảo và chuyển vị và quan trọng nhất là , tính định thức. Nếu tác vụ tốn thời gian này được thay thế bằng một lệnh duy nhất, thì việc xác định thứ hạng của ma trận và do đó sẽ nhanh hơn nhiều để thiết lập tính tương thích hoặc không nhất quán của nó.
Để có một hệ phương trình đại số tuyến tính, ta phải giải (tìm các giá trị của ẩn số хi sao cho biến mỗi phương trình của hệ thành một đẳng thức).
Chúng ta biết rằng một hệ phương trình đại số tuyến tính có thể:
1) Không có giải pháp (được không tương thích).
2) Có vô số giải pháp.
3) Có một giải pháp duy nhất.
Như chúng ta nhớ, quy tắc Cramer và phương pháp ma trận không phù hợp trong trường hợp hệ thống có vô số nghiệm hoặc không nhất quán. Phương pháp Gauss – công cụ mạnh mẽ và linh hoạt nhất để tìm lời giải cho bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào, mà trong mọi trường hợp dẫn chúng tôi đến câu trả lời! Bản thân thuật toán phương pháp trong tất cả ba trường hợp hoạt động theo cùng một cách. Nếu phương pháp Cramer và ma trận yêu cầu kiến thức về các định thức, thì để áp dụng phương pháp Gauss, chỉ cần kiến thức các phép tính toán họcđiều này làm cho nó có thể truy cập được ngay cả đối với học sinh tiểu học.
Các phép biến đổi ma trận mở rộng ( đây là ma trận của hệ thống - ma trận chỉ bao gồm các hệ số của ẩn số, cộng với một cột các số hạng tự do) hệ phương trình đại số tuyến tính trong phương pháp Gauss:
1) Với troky ma trận có thể sắp xếp lại vị trí.
2) nếu ma trận có (hoặc có) tỷ lệ (như trương hợp đặc biệt giống nhau) chuỗi, sau đó nó theo sau xóa bỏ từ ma trận, tất cả các hàng này ngoại trừ một.
3) nếu một hàng 0 xuất hiện trong ma trận trong quá trình biến đổi, thì nó cũng theo sau xóa bỏ.
4) hàng của ma trận có thể nhân (chia)đến bất kỳ số nào khác 0.
5) đến hàng của ma trận, bạn có thể thêm một chuỗi nhân với một số, khác 0.
Trong phương pháp Gauss, các phép biến đổi cơ bản không làm thay đổi nghiệm của hệ phương trình.
Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn:
- "Di chuyển trực tiếp" - sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa ma trận mở rộng của hệ phương trình đại số tuyến tính về dạng bậc "tam giác": các phần tử của ma trận mở rộng nằm bên dưới đường chéo chính bằng 0 (di chuyển từ trên xuống ). Ví dụ, đối với loại này:
Để thực hiện việc này, hãy thực hiện các bước sau:
1) Chúng ta hãy coi phương trình thứ nhất của một hệ phương trình đại số tuyến tính và hệ số tại x 1 bằng K. Phương trình thứ hai, thứ ba, v.v. chúng ta biến đổi các phương trình như sau: chúng ta chia mỗi phương trình (hệ số cho ẩn số, kể cả các số hạng tự do) cho hệ số của x 1 chưa biết, có trong mỗi phương trình và nhân với K. Sau đó, lấy phương trình thứ nhất trừ đi thứ nhất ( hệ số cho ẩn số và số hạng tự do). Chúng ta nhận được tại x 1 trong phương trình thứ hai hệ số 0. Từ phương trình biến đổi thứ ba, chúng ta trừ phương trình thứ nhất, vì vậy cho đến khi tất cả các phương trình trừ phương trình thứ nhất, với x 1 chưa biết, sẽ không có hệ số 0.
2) Chuyển sang phương trình tiếp theo. Gọi đây là phương trình thứ hai và hệ số tại x 2 bằng M. Với tất cả các phương trình "cấp dưới", chúng ta tiến hành như mô tả ở trên. Do đó, "dưới" x 2 chưa biết trong tất cả các phương trình sẽ là số không.
3) Chúng ta chuyển sang phương trình tiếp theo và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi còn lại một số hạng tự do chưa biết và đã biến đổi cuối cùng.
- « Đảo ngược»Phương pháp Gauss - thu được một giải pháp cho một hệ thống phương trình đại số tuyến tính (đi" từ dưới lên "). Từ phương trình "thấp hơn" cuối cùng, chúng ta nhận được một nghiệm đầu tiên - x n chưa biết. Đối với điều này, chúng tôi quyết định phương trình cơ bản A * x n \ u003d B. Trong ví dụ trên, x 3 \ u003d 4. Chúng ta thay giá trị tìm được trong phương trình tiếp theo "trên" và giải nó cho ẩn số tiếp theo. Ví dụ: x 2 - 4 \ u003d 1, tức là x 2 \ u003d 5. Và cứ tiếp tục như vậy cho đến khi chúng ta tìm thấy tất cả các ẩn số.
Thí dụ.
Chúng tôi giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Gauss, như một số tác giả khuyên:
Chúng tôi viết ma trận mở rộng của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa nó về dạng bước:
Chúng ta nhìn vào "bước" phía trên bên trái. Ở đó chúng ta nên có một đơn vị. Vấn đề là không có cái nào trong cột đầu tiên cả, vì vậy không có gì có thể được giải quyết bằng cách sắp xếp lại các hàng. Trong những trường hợp như vậy, đơn vị phải được tổ chức bằng cách sử dụng một phép biến đổi cơ bản. Điều này thường có thể được thực hiện theo một số cách. Hãy làm như thế này:
1 bước
. Đến dòng đầu tiên, chúng tôi thêm dòng thứ hai, nhân với -1. Tức là, chúng tôi nhân dòng thứ hai với -1 và thực hiện phép cộng dòng thứ nhất và dòng thứ hai, trong khi dòng thứ hai không thay đổi.
Bây giờ ở trên cùng bên trái "trừ một", hoàn toàn phù hợp với chúng tôi. Ai muốn nhận +1 có thể thực hiện thêm một hành động: nhân dòng đầu tiên với -1 (thay đổi dấu hiệu của nó).
2 bước . Dòng đầu tiên nhân với 5 được cộng vào dòng thứ 2. Dòng đầu tiên nhân với 3 được cộng vào dòng thứ ba.
3 bước . Dòng đầu tiên được nhân với -1, về nguyên tắc, điều này là để làm đẹp. Dấu hiệu của dòng thứ ba cũng được thay đổi và chuyển sang vị trí thứ hai, do đó, ở bước thứ hai, chúng ta đã có đơn vị mong muốn.
4 bước . Đến dòng thứ ba, thêm dòng thứ hai, nhân với 2.
5 bước . Dòng thứ ba được chia cho 3.
Dấu hiệu cho biết lỗi trong tính toán (ít thường xuyên mắc lỗi đánh máy hơn) là điểm mấu chốt "xấu". Nghĩa là, nếu chúng ta nhận được một cái gì đó như (0 0 11 | 23) dưới đây, và theo đó, 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, thì với một mức độ xác suất cao, chúng ta có thể nói rằng một sai lầm đã được thực hiện trong thời gian sơ cấp các phép biến hình.
Chúng tôi thực hiện một chuyển động ngược lại, trong việc thiết kế các ví dụ, bản thân hệ thống thường không được viết lại, và các phương trình được “lấy trực tiếp từ ma trận đã cho”. Tôi nhắc nhở bạn rằng động tác ngược lại hoạt động "từ dưới lên." TẠI ví dụ nàyđã nhận được một món quà:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 - x 3 \ u003d 1, do đó x 1 + 3 - 1 \ u003d 1, x 1 \ u003d -1
Câu trả lời: x 1 \ u003d -1, x 2 \ u003d 3, x 3 \ u003d 1.
Hãy giải quyết cùng một hệ thống bằng cách sử dụng thuật toán được đề xuất. Chúng tôi nhận được
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
Chia phương trình thứ hai cho 5 và phương trình thứ ba cho 3. Ta được:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
Nhân phương trình thứ hai và thứ ba với 4, ta được:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai và thứ ba, ta có:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Chia phương trình thứ ba cho 0,64:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Nhân phương trình thứ ba với 0,4
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Trừ phương trình thứ hai khỏi phương trình thứ ba, chúng ta nhận được ma trận tăng cường "bậc":
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Do đó, do một lỗi tích lũy trong quá trình tính toán, chúng tôi nhận được x 3 \ u003d 0,96 hoặc xấp xỉ 1.
x 2 \ u003d 3 và x 1 \ u003d -1.
Giải theo cách này, bạn sẽ không bao giờ bị nhầm lẫn trong các phép tính và dù có sai sót khi tính toán, bạn vẫn nhận được kết quả.
Phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính này dễ lập trình và không cần tính đến các tính năng cụ thể hệ số cho ẩn số, vì trong thực tế (trong tính toán kinh tế kỹ thuật) người ta phải xử lý các hệ số không nguyên.
Chúc bạn thành công! Hẹn gặp lại các bạn trong lớp! Gia sư Dmitry Aistrakhanov.
trang web, với việc sao chép toàn bộ hoặc một phần tài liệu, cần có liên kết đến nguồn.
Carl Friedrich Gauss, nhà toán học vĩ đại nhất Trong một thời gian dài, ông đã do dự, lựa chọn giữa triết học và toán học. Có lẽ chính một tư duy như vậy đã cho phép ông "ra đi" một cách đáng chú ý trong nền khoa học thế giới. Đặc biệt, bằng cách tạo ra "Phương pháp Gauss" ...
Trong gần 4 năm, các bài báo của trang web này đã xử lý giáo dục trường học, chủ yếu là từ khía cạnh triết học, các nguyên tắc của sự hiểu biết (sai lầm), được đưa vào tâm trí của trẻ em. Đã đến lúc cần biết thêm chi tiết, ví dụ và phương pháp cụ thể hơn ... Tôi tin rằng đây là cách tiếp cận với những điều quen thuộc, khó hiểu và quan trọng các lĩnh vực của cuộc sống cho kết quả tốt nhất.
Con người chúng ta được sắp xếp đến mức cho dù bạn có nói về nó bao nhiêu đi chăng nữa tư duy trừu tượng, nhưng hiểu biết luôn luôn xảy ra thông qua các ví dụ. Nếu không có các ví dụ, thì không thể nắm bắt được các nguyên tắc ... Làm thế nào không thể ở trên đỉnh núi bằng cách đi qua toàn bộ con dốc của nó từ chân.
Tương tự với trường học: bây giờ những câu chuyện sống theo bản năng, chúng tôi tiếp tục coi nó như một nơi mà trẻ em được dạy để hiểu.
Ví dụ, dạy phương pháp Gauss ...
Phương pháp Gauss ở lớp 5 của trường
Tôi sẽ đặt trước ngay: phương pháp Gauss có ứng dụng rộng rãi hơn nhiều, chẳng hạn khi giải hệ phương trình tuyến tính. Những gì chúng ta sẽ nói về diễn ra ở lớp 5. nó bắt đầu, sau khi hiểu điều đó, sẽ dễ dàng hiểu được nhiều "tùy chọn nâng cao" hơn. Trong bài viết này, chúng tôi đang đề cập đến phương pháp (method) của Gauss khi tìm tổng của một chuỗi
Đây là một ví dụ mà cậu con trai út của tôi đã mang theo khi đi học, đang học lớp 5 tại một nhà thi đấu ở Moscow.
Trường phái chứng minh phương pháp Gauss
Giáo viên toán sử dụng bảng tương tác (phương pháp hiện đạiđào tạo) cho trẻ em xem một bài thuyết trình về lịch sử "sáng tạo ra phương pháp" của Gauss bé nhỏ.
Giáo viên đã đánh cậu bé Carl (một phương pháp lỗi thời, hiện không được sử dụng trong trường học) vì lý do,
thay vì thêm tuần tự các số từ 1 đến 100 để tìm tổng của chúng nhận thấy các cặp số cách đều các cạnh của một cấp số cộng sẽ được cộng lại với cùng một số. ví dụ, 100 và 1, 99 và 2. Sau khi đếm được số lượng các cặp như vậy, cậu bé Gauss gần như ngay lập tức giải được bài toán do giáo viên đề xuất. Vì vậy, ông đã bị hành quyết trước sự kinh ngạc của công chúng. Đối với những người còn lại để nghĩ là thiếu tôn trọng.
Gauss bé nhỏ đã làm gì phát triển giác số? Nhận thấy một số tính năng dãy số với một bước không đổi (cấp số cộng). Và chính xác cái nàyđã khiến anh ấy sau này trở thành một nhà khoa học vĩ đại, có thể nhận thấy, sở hữu cảm giác, bản năng hiểu biết.
Đây là giá trị của toán học, phát triển khả năng nhìn thấy nói chung - tư duy trừu tượng . Do đó, hầu hết các bậc cha mẹ và người sử dụng lao động theo bản năng coi toán học là một ngành học quan trọng ...
“Toán học nên được dạy sau này, để nó đặt tâm trí vào trật tự.
M.V. Lomonosov ”.
Tuy nhiên, những người theo dõi những kẻ tung hô thiên tài tương lai đã biến Phương pháp thành một thứ gì đó ngược lại. Như người giám sát của tôi đã nói cách đây 35 năm: "Họ đã học được câu hỏi." Hoặc, như con trai út của tôi đã nói ngày hôm qua về phương pháp Gauss: "Có lẽ nó không đáng để tạo ra một ngành khoa học lớn từ điều này, phải không?"
Hệ quả của sự sáng tạo của các “nhà khoa học” có thể thấy được ở mức độ hiện toán học trường học, mức độ giảng dạy của cô và sự hiểu biết của "Nữ hoàng khoa học" của đa số.
Tuy nhiên, hãy tiếp tục ...
Phương pháp giải thích phương pháp Gauss ở lớp 5 trường
Một giáo viên dạy toán tại một phòng tập thể dục ở Moscow, giải thích phương pháp Gauss theo cách của Vilenkin, khiến nhiệm vụ trở nên phức tạp.
Điều gì sẽ xảy ra nếu hiệu (bước) của một cấp số cộng không phải là một mà là một số khác? Ví dụ, 20.
Nhiệm vụ mà ông giao cho các học sinh lớp năm:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Trước khi làm quen với phương pháp học thể dục, chúng ta hãy cùng Web: giáo viên dạy - gia sư toán tại trường thực hiện như thế nào? ..
Phương pháp Gauss: Giải thích # 1
Một gia sư nổi tiếng trên kênh YOUTUBE của anh ấy đưa ra lý do sau:
"hãy viết các số từ 1 đến 100 như sau:
đầu tiên là một dãy số từ 1 đến 50 và ngay bên dưới nó là một dãy số khác từ 50 đến 100, nhưng theo thứ tự ngược lại "
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Xin lưu ý: tổng của mỗi cặp số từ hàng trên cùng và dưới cùng bằng nhau và bằng 101! Hãy đếm số cặp, nó là 50 và nhân tổng của một cặp với số cặp! Thì đấy: câu trả lời đã sẵn sàng! ”.
"Nếu bạn không thể hiểu, đừng buồn!" Giáo viên lặp lại ba lần trong khi giải thích. "Bạn sẽ vượt qua phương pháp này vào năm lớp 9!"
Phương pháp Gauss: Giải thích # 2
Một gia sư khác, ít nổi tiếng hơn (đánh giá theo số lượt xem) sử dụng nhiều hơn cách tiếp cận khoa học, đưa ra một thuật toán giải gồm 5 điểm phải được thực hiện tuần tự.
Đối với những người mới bắt đầu: 5 là một trong những số Fibonacci theo truyền thống được coi là kỳ diệu. Ví dụ như phương pháp 5 bước luôn khoa học hơn phương pháp 6 bước. ... Và đây hầu như không phải là một sự tình cờ, rất có thể, Tác giả là một người tuân thủ ẩn của lý thuyết Fibonacci
Dana cấp số cộng: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Thuật toán tìm tổng các số trong một chuỗi bằng phương pháp Gauss:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Đồng thời, bạn cần nhớ về cộng với một quy tắc : cần phải thêm một vào thương số kết quả: nếu không chúng ta sẽ nhận được kết quả nhỏ hơn một con số thật cặp: 42 + 1 = 43.
Đây là tổng mong muốn của cấp số cộng từ 4 đến 256 với hiệu số là 6!
Phương pháp Gauss: lời giải ở lớp 5 trường thể dục Matxcova
Và đây là cách nó được yêu cầu để giải quyết vấn đề tìm tổng của một chuỗi:
20+40+60+ ... +460+480+500
ở lớp 5 nhà thi đấu Mátxcơva, sách giáo khoa của Vilenkin (theo lời con kể).
Sau khi trình chiếu, giáo viên toán đưa ra một vài ví dụ về Gaussian và giao nhiệm vụ cho cả lớp tìm tổng các số trong một chuỗi với bước là 20.
Điều này yêu cầu những điều sau:
Như bạn có thể thấy, nó nhỏ gọn hơn và kỹ thuật hiệu quả: số 3 cũng là một thành viên của dãy Fibonacci
Nhận xét của tôi về phiên bản trường học của phương pháp Gauss
Nhà toán học vĩ đại chắc chắn đã chọn triết học nếu ông ấy thấy trước những gì mà những người theo ông sẽ biến "phương pháp" của ông thành. giáo viên người Đức người đã đánh Karl bằng que. Chắc hẳn ông đã nhìn thấy tính biểu tượng và vòng xoáy biện chứng và sự ngu xuẩn bất diệt của những “người thầy”. cố gắng đo lường sự hài hòa của tư tưởng toán học sống với đại số của sự hiểu lầm ....
Nhân tiện, bạn có biết. mà hệ thống giáo dục của chúng tôi bắt nguồn từ Trường học tiếng Đức Thế kỷ 18 - 19?
Nhưng Gauss đã chọn toán học.
Bản chất của phương pháp của ông là gì?
TẠI sự đơn giản hóa. TẠI quan sát và nắm bắt các mẫu số đơn giản. TẠI biến số học khô khan thành hoạt động thú vị và vui vẻ , kích hoạt mong muốn tiếp tục trong não, và không ngăn chặn hoạt động trí óc tốn kém.
Có thể tính tổng các số của một cấp số cộng với một trong các "sửa đổi của phương pháp Gauss" ở trên không ngay lập tức? Theo các "thuật toán", cậu bé Karl sẽ được đảm bảo tránh bị đánh đòn, nuôi dưỡng ác cảm với toán học và ngăn chặn những thôi thúc sáng tạo của mình từ trong trứng nước.
Tại sao gia sư kiên quyết khuyên học sinh lớp 5 "đừng sợ hiểu nhầm" phương pháp, thuyết phục các em rằng các em sẽ giải được những bài toán "như vậy" đã có từ hồi lớp 9? Hành động mù chữ về mặt tâm lý. Đó là một ý kiến hay cần lưu ý: "Thấy bạn đã học lớp 5 rồi bạn có thể giải quyết các vấn đề mà bạn sẽ vượt qua chỉ trong 4 năm! Bạn là những người bạn tốt! "
Để sử dụng phương pháp Gaussian, cấp độ 3 của lớp là đủ khi bình thường trẻ đã biết cộng, nhân, chia các số có 2-3 chữ số. Rắc rối nảy sinh từ sự bất lực của những giáo viên người lớn "không vào tay" làm sao giải thích những điều đơn giản nhất trở nên bình thường ngôn ngữ của con người, không chỉ toán học ... Không thể không quan tâm đến toán học và hoàn toàn làm nản lòng ngay cả những người "có khả năng".
Hoặc, như con trai tôi nhận xét, "tạo ra một khoa học lớn từ nó."
Phương pháp Gauss, những lời giải thích của tôi
Vợ tôi và tôi đã giải thích "phương pháp" này cho con của chúng tôi, có vẻ như, ngay cả trước khi đi học ...
Đơn giản thay vì phức tạp hoặc một trò chơi câu hỏi - câu trả lời
"" Nhìn này, đây là các số từ 1 đến 100. Bạn thấy gì? "
Nó không phải về những gì đứa trẻ nhìn thấy. Bí quyết là làm cho anh ta nhìn.
"Làm thế nào bạn có thể đặt chúng lại với nhau?" Con trai nhận ra rằng những câu hỏi như vậy không được hỏi "chỉ như vậy" và bạn cần nhìn vào câu hỏi "bằng cách nào đó khác, khác với anh ấy thường làm"
Không quan trọng nếu đứa trẻ nhìn thấy giải pháp ngay lập tức, nó không chắc. Điều quan trọng là anh ấy không còn sợ nhìn nữa, hay như tôi nói: "đã chuyển nhiệm vụ". Đây là sự khởi đầu của con đường dẫn đến sự hiểu biết
"Cái nào dễ hơn: thêm, ví dụ: 5 và 6 hoặc 5 và 95?" Một câu hỏi hàng đầu ... Nhưng suy cho cùng, bất kỳ khóa đào tạo nào cũng nhằm "hướng dẫn" một người đến một "câu trả lời" - theo bất kỳ cách nào có thể chấp nhận được đối với anh ta.
Ở giai đoạn này, có thể đã có những phỏng đoán về cách "tiết kiệm" cho các phép tính.
Tất cả những gì chúng tôi đã làm là gợi ý: phương pháp đếm "trực diện, tuyến tính" không phải là phương pháp duy nhất có thể. Nếu đứa trẻ đã cắt bớt điều này, thì sau này nó sẽ phát minh ra nhiều phương pháp khác như vậy, bởi vì nó thú vị!!! Và anh ấy chắc chắn sẽ tránh được "hiểu lầm" của toán học, sẽ không cảm thấy chán ghét nó. Anh ấy đã chiến thắng!
Nếu một em bé được phát hiện rằng việc thêm các cặp số lên đến hàng trăm là một việc vặt vãnh, sau đó "cấp số cộng với hiệu số 1"- một điều khá buồn tẻ và không thú vị đối với một đứa trẻ - đột nhiên đã cho anh ấy cuộc sống . Trong tình trạng hỗn loạn đã đến trật tự, và điều này luôn nhiệt tình: đó là cách của chúng tôi!
Một câu hỏi nhanh: tại sao, sau cái nhìn sâu sắc của một đứa trẻ, chúng lại bị đưa vào khuôn khổ của các thuật toán khô khan, vốn cũng vô dụng về mặt chức năng trong trường hợp này ?!
Tại sao phải viết lại ngu ngốc số thứ tự trong một cuốn sổ: để ngay cả những người có khả năng cũng không có một cơ hội để hiểu? Đương nhiên là thống kê, nhưng giáo dục đại trà lại tập trung vào "thống kê" ...
Số 0 đã biến đi đâu?
Chưa hết, việc cộng các số lên đến 100 sẽ dễ chấp nhận hơn đối với tâm trí so với việc cộng 101 ...
"Phương pháp Gauss trường học" yêu cầu chính xác điều này: gấp một cách vô tâm cách đều nhau từ tâm của tiến trình của một cặp số, không có vấn đề gì.
Nếu bạn nhìn thì sao?
Tuy nhiên, không phát minh vĩ đại nhất nhân loại, có tuổi đời hơn 2.000 năm. Và các giáo viên toán tiếp tục phớt lờ anh ta.
Việc chuyển đổi một chuỗi các số bắt đầu từ 1 thành một chuỗi bắt đầu từ 0. Dễ dàng hơn nhiều, phải không? Bạn cần dừng việc “suy nghĩ trong sách giáo khoa” và bắt đầu tìm ... Và để thấy rằng các cặp có tổng 101 có thể được thay thế hoàn toàn bằng các cặp có tổng 100!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
Làm thế nào để bỏ "quy tắc cộng 1"?
Thành thật mà nói, lần đầu tiên tôi nghe về một quy tắc như vậy từ người dạy kèm YouTube đó ...
Tôi vẫn phải làm gì khi tôi cần xác định số lượng thành viên của một chuỗi?
Nhìn vào chuỗi:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
và khi hoàn toàn mệt mỏi, hãy chuyển sang một hàng đơn giản hơn:
1, 2, 3, 4, 5
và tôi nghĩ rằng: nếu bạn trừ một từ 5, bạn nhận được 4, nhưng tôi khá rõ ràng hiểu 5 số! Do đó, bạn cần phải thêm một! Cảm giác số được phát triển trong trường tiểu học, gợi ý: ngay cả khi có toàn bộ Google gồm các thành viên của chuỗi (từ 10 đến hàng trăm), mô hình sẽ vẫn như cũ.
Không đúng luật? ..
Vì vậy, trong vài - ba năm để lấp đầy tất cả các khoảng trống giữa trán và sau đầu và ngừng suy nghĩ? Làm thế nào về việc kiếm bánh mì và bơ? Sau tất cả, chúng ta đang tiến vào thời đại của nền kinh tế kỹ thuật số!
Thông tin thêm về phương pháp trường học của Gauss: "tại sao lại tạo ra khoa học từ điều này? .."
Không phải vô ích mà tôi đã đăng một ảnh chụp màn hình từ sổ ghi chép của con trai tôi ...
"Có gì trong bài học?"
“Chà, tôi ngay lập tức đếm, giơ tay nhưng cô ấy không hỏi. Vì vậy, trong khi những người khác đếm, tôi bắt đầu thực hiện DZ bằng tiếng Nga để không mất thời gian. Sau đó, khi những người khác viết xong (?? ?), cô ấy gọi tôi lên bảng. Tôi nói câu trả lời. "
"Đúng vậy, chỉ cho tôi cách bạn giải quyết nó," giáo viên nói. Tôi thấy. Cô ấy nói: "Sai, bạn cần phải tính như tôi đã chỉ ra!"
"Thật tốt là tôi đã không ngụy biện. Và tôi bắt tôi viết" quy trình quyết định "theo cách riêng của họ vào một cuốn sổ. Tại sao lại tạo ra một khoa học lớn về điều này? .."
Tội chính của một giáo viên dạy toán
hầu như không sau trường hợp Carl Gauss đã trải qua một cảm giác tôn trọng cao đối với giáo viên dạy toán của trường. Nhưng nếu anh ấy biết cách tín đồ của giáo viên đó làm hỏng bản chất của phương pháp... anh ấy sẽ gầm lên trong sự phẫn nộ và vượt qua Tổ chức Thế giới Quyền Sở hữu Trí tuệ WIPO đã đạt được lệnh cấm sử dụng tên thật của anh ấy trong sách giáo khoa của trường học! ..
Gì sai lầm chính cách tiếp cận trường học? Hoặc, như tôi đã nói, một tội ác giáo viên trường học toán học vs trẻ em?
Thuật toán hiểu sai
Các nhà phương pháp học trường học làm gì, đại đa số họ không biết cách suy nghĩ?
Tạo phương pháp và thuật toán (xem). nó một phản ứng phòng thủ bảo vệ giáo viên khỏi những lời chỉ trích ("Mọi thứ được thực hiện theo ..."), và trẻ em khỏi sự hiểu biết. Và do đó - từ mong muốn phê bình giáo viên!(Đạo hàm thứ hai của "trí tuệ" quan liêu, một cách tiếp cận vấn đề một cách khoa học). Một người không nắm bắt được ý nghĩa thà đổ lỗi cho sự hiểu lầm của chính mình, chứ không phải là sự ngu ngốc của hệ thống trường học.
Điều gì đang xảy ra: cha mẹ đổ lỗi cho bọn trẻ, và giáo viên ... cũng như vậy đối với những đứa trẻ "không hiểu toán học! ..
Bạn có hiểu biết không?
Carl đã làm gì?
Hoàn toàn không cố ý tiếp cận một nhiệm vụ mẫu. Đây là tinh hoa trong cách tiếp cận của Ngài. nó điều chính cần được dạy ở trường là không suy nghĩ với sách giáo khoa, mà hãy suy nghĩ bằng cái đầu của bạn. Tất nhiên, cũng có một thành phần công cụ có thể được sử dụng ... để tìm kiếm đơn giản hơn và phương pháp hiệu quả tài khoản.
Phương pháp Gauss theo Vilenkin
Ở trường, họ dạy rằng phương pháp Gauss là
Gì, nếu số phần tử trong hàng là số lẻ, như trong nhiệm vụ đã được giao cho con trai? ..
"Bí quyết" là trong trường hợp này bạn sẽ tìm thấy số "bổ sung" của chuỗi và cộng nó vào tổng của các cặp. Trong ví dụ của chúng tôi, con số này là 260.
Làm thế nào để khám phá? Viết lại tất cả các cặp số trong một cuốn sổ!(Đó là lý do tại sao giáo viên bắt bọn trẻ làm công việc ngu ngốc này, cố gắng dạy "sáng tạo" bằng phương pháp Gaussian ... Và đó là lý do tại sao một "phương pháp" như vậy thực tế không thể áp dụng cho chuỗi dữ liệu lớn, và đó là lý do tại sao nó không phải là Gaussian phương pháp).
Một chút sáng tạo trong nề nếp học đường ...
Người con trai đã hành động khác.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Dễ dàng, phải không?
Nhưng trong thực tế, nó thậm chí còn dễ dàng hơn, cho phép bạn dành ra 2-3 phút cho hoạt động viễn thám bằng tiếng Nga, trong khi phần còn lại là "đếm". Ngoài ra, nó vẫn giữ nguyên số bước của phương pháp luận: 5, điều này không cho phép chỉ trích phương pháp này là phản khoa học.
Rõ ràng là cách tiếp cận này đơn giản hơn, nhanh hơn và linh hoạt hơn, theo phong cách của Phương pháp. Nhưng… cô giáo không những không khen mà còn bắt tôi viết lại ” đúng cách"(Xem ảnh chụp màn hình). Đó là, cô ấy đã cố gắng tuyệt vọng để kìm hãm sự thôi thúc sáng tạo và khả năng hiểu toán học từ trong trứng nước! Rõ ràng, để sau này được thuê làm gia sư ... Cô ấy đã tấn công nhầm .. .
Mọi thứ mà tôi đã mô tả rất lâu và tẻ nhạt đều có thể được giải thích đứa trẻ bình thường tối đa nửa giờ. Cùng với các ví dụ.
Và để anh ấy sẽ không bao giờ quên nó.
Và nó sẽ bước tới sự hiểu biết... không chỉ toán học.
Thừa nhận đi: bạn đã thêm bao nhiêu lần trong đời bằng phương pháp Gauss? Và tôi không bao giờ!
Nhưng mà bản năng hiểu biết, phát triển (hoặc tắt) trong quá trình học phương pháp toán họcở trường ... Ôi! .. Đây quả thật là một điều không thể thay thế!
Đặc biệt là trong thời đại số hóa toàn dân mà chúng ta âm thầm bước vào dưới sự chỉ đạo chặt chẽ của Đảng và Chính phủ.
Đôi lời bênh vực thầy ...
Thật không công bằng và sai lầm khi đặt toàn bộ trách nhiệm về phong cách dạy học này chỉ cho các giáo viên trong trường. Hệ thống đang hoạt động.
Một số giáo viên hiểu sự vô lý của những gì đang xảy ra, nhưng phải làm thế nào? Luật Giáo dục, Tiêu chuẩn Giáo dục Tiểu bang Liên bang, các phương pháp, bản đồ công nghệ bài học ... Mọi thứ nên được thực hiện "theo và dựa trên" và mọi thứ nên được ghi lại. Bước sang một bên - đứng xếp hàng xin đuổi việc. Chúng ta đừng là những kẻ đạo đức giả: lương giáo viên ở Matxcova rất hậu hĩnh ... Nếu bị sa thải, họ sẽ đi đâu? ..
Do đó trang web này không phải về giáo dục. Anh ấy về giáo dục cá nhân , chỉ có phương án khả thi ra khỏi đám đông Thế hệ Z ...
Hôm nay chúng ta đề cập đến phương pháp Gauss để giải hệ phương trình đại số tuyến tính. Bạn có thể đọc về những hệ thống này trong bài viết trước dành cho việc giải quyết SLAE tương tự bằng phương pháp Cramer. Phương pháp Gauss không yêu cầu bất kỳ hiểu biết riêng Tất cả những gì bạn cần là sự chú ý và nhất quán. Mặc dù thực tế là, từ quan điểm của toán học, nó sẽ đủ cho ứng dụng của nó chuẩn bị đi học học sinh thường khó thành thạo phương pháp này. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cố gắng giảm chúng xuống còn gì!
Phương pháp Gauss
M Phương pháp Gauss- phần lớn phương pháp chung Các giải pháp SLAE (ngoại trừ, tốt, rất hệ thống lớn). Không giống như đã thảo luận trước đó, nó không chỉ phù hợp cho các hệ thống có một giải pháp duy nhất, mà còn cho các hệ thống có vô số giải pháp. Có ba lựa chọn ở đây.
- Hệ có nghiệm duy nhất (định thức của ma trận chính của hệ không bằng 0);
- Hệ thống có vô số nghiệm;
- Không có giải pháp, hệ thống không nhất quán.
Vì vậy, chúng ta có một hệ thống (hãy để nó có một lời giải), và chúng ta sẽ giải nó bằng phương pháp Gaussian. Làm thế nào nó hoạt động?
Phương pháp Gauss bao gồm hai giai đoạn - trực tiếp và nghịch đảo.
Phương pháp Gauss trực tiếp
Đầu tiên, chúng tôi viết ma trận tăng cường của hệ thống. Để làm điều này, chúng tôi thêm một cột gồm các thành viên tự do vào ma trận chính.
Toàn bộ điểm của phương pháp Gauss là giảm thiểu bằng các phép biến đổi cơ bản ma trận này sang dạng bậc (hoặc như họ nói là hình tam giác). Ở dạng này, chỉ nên có các số không dưới (hoặc trên) đường chéo chính của ma trận.
Những gì có thể được thực hiện:
- Bạn có thể sắp xếp lại các hàng của ma trận;
- Nếu có các hàng giống hệt nhau (hoặc tỷ lệ) trong ma trận, bạn có thể xóa tất cả trừ một trong số chúng;
- Bạn có thể nhân hoặc chia một chuỗi với bất kỳ số nào (ngoại trừ số 0);
- Các dòng số không bị loại bỏ;
- Bạn có thể thêm một chuỗi nhân với một số khác 0 vào một chuỗi.
Phương pháp Gauss ngược
Sau khi chúng tôi chuyển đổi hệ thống theo cách này, một ẩn số xn được biết đến, và thứ tự ngược lại tìm tất cả các ẩn số còn lại bằng cách thay x đã biết vào phương trình của hệ, lên đến ẩn số đầu tiên.
Khi Internet luôn ở trong tầm tay, bạn có thể giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss Trực tuyến . Tất cả những gì bạn phải làm là nhập tỷ lệ cược vào máy tính trực tuyến. Nhưng bạn phải thừa nhận rằng, sẽ dễ chịu hơn nhiều khi nhận ra rằng ví dụ không được giải quyết chương trình máy tính nhưng với bộ não của chính bạn.
Một ví dụ về giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss
Và bây giờ - một ví dụ, để mọi thứ trở nên rõ ràng và dễ hiểu. Để một hệ phương trình tuyến tính đã cho, và cần phải giải nó bằng phương pháp Gauss:
Đầu tiên, hãy viết ma trận tăng cường:
Bây giờ chúng ta hãy xem xét các phép biến hình. Hãy nhớ rằng chúng ta cần đạt được một dạng tam giác của ma trận. Nhân hàng thứ nhất với (3). Nhân hàng thứ 2 với (-1). Hãy thêm hàng thứ 2 vào hàng thứ nhất và nhận được:
Sau đó nhân hàng thứ 3 với (-1). Hãy thêm dòng thứ 3 vào dòng thứ 2:
Nhân hàng thứ nhất với (6). Nhân hàng thứ 2 với (13). Hãy thêm dòng thứ 2 vào dòng thứ nhất:
Thì đấy - hệ thống được đưa về dạng thích hợp. Nó vẫn còn để tìm những ẩn số:
Hệ thống trong ví dụ này có một giải pháp duy nhất. Giải pháp của hệ thống với một số vô hạn các giải pháp sẽ được thảo luận trong một bài báo riêng biệt. Có lẽ lúc đầu bạn sẽ không biết bắt đầu từ đâu với các phép biến đổi ma trận, nhưng sau khi thực hành thích hợp, bạn sẽ nắm bắt được nó và sẽ nhấp vào Gaussian SLAE như điên. Và nếu bạn đột nhiên bắt gặp SLAU, hóa ra là một thứ quá khó để bẻ khóa, hãy liên hệ với tác giả của chúng tôi! bạn có thể để lại một ứng dụng trong Thư từ. Cùng nhau chúng ta sẽ giải quyết mọi vấn đề!
Chú Vanya cốt truyện của vở kịch. “Chú Ivan. Thái độ đối với giáo sư của những người khác
Tsakhes nhỏ, biệt danh Zinnober
Maikov, Apollon Nikolaevich - tiểu sử ngắn