Kako riješiti složenu jednačinu. Izrazi, jednačine i sistemi jednačina sa kompleksnim brojevima

Upotreba jednačina je široko rasprostranjena u našim životima. Koriste se u mnogim proračunima, izgradnji objekata, pa čak i u sportu. Jednadžbe je čovjek koristio od davnina i od tada se njihova upotreba samo povećava. Radi jasnoće, riješimo sljedeći problem:

Izračunaj \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] ako je \

Prije svega, obratimo pažnju na činjenicu da je jedan broj predstavljen u algebarskom obliku, drugi - u trigonometrijskom obliku. Treba ga pojednostaviti i sledeća vrsta

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Izraz \ kaže da, prije svega, radimo množenje i podizanje na 10. stepen prema Moivreovoj formuli. Ova formula je formulisana za trigonometrijski oblik kompleksnog broja. Dobijamo:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Pridržavajući se pravila za množenje kompleksnih brojeva u trigonometrijskom obliku, učinit ćemo sljedeće:

u našem slučaju:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Ispravnim razlomak \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] zaključujemo da je moguće "uvrnuti" 4 zavoja \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Odgovor: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Ova se jednadžba može riješiti na drugi način, koji se svodi na dovođenje 2. broja u algebarski oblik, a zatim na množenje u algebarski oblik, prevedite rezultat u trigonometrijski oblik i primijenite De Moivreovu formulu:

Gde mogu da rešim sistem jednačina sa kompleksnim brojevima na mreži?

Sistem jednadžbi možete riješiti na našoj web stranici https: // site. Besplatni online rješavač će vam omogućiti da za nekoliko sekundi riješite online jednadžbu bilo koje složenosti. Sve što treba da uradite je da unesete svoje podatke u rešavač. Također možete pogledati video upute i naučiti kako riješiti jednadžbu na našoj web stranici. A ako imate bilo kakvih pitanja, možete ih postaviti u našoj Vkontakte grupi http://vk.com/pocketteacher. Pridružite se našoj grupi, mi ćemo vam uvijek rado pomoći.

Aplikacija

Rješenje bilo koje vrste jednačina na web stranici za konsolidaciju proučenog materijala od strane studenata i školaraca. Rješavanje jednačina online. Jednačine online. Postoje algebarske, parametarske, transcendentalne, funkcionalne, diferencijalne i druge vrste jednadžbi. Neke klase jednadžbi imaju analitička rješenja, koja su zgodna po tome što ne samo da daju tačnu vrijednost korijena, već vam omogućavaju da rješenje zapišete u formulu koja može uključivati parametre. Analitički izrazi omogućavaju ne samo izračunavanje korijena, već i analizu njihovog postojanja i broja ovisno o vrijednostima parametara, što je često čak i važnije za praktična primjena nego specifične korijenske vrijednosti. Rješenje jednadžbi na mreži. Rješenje jednadžbe je zadatak pronalaženja takvih vrijednosti argumenata za koje se ova jednakost postiže. Mogućim vrijednostima argumenata se mogu nametnuti dodatni uvjeti (cijeli, realni, itd.). Rješenje jednadžbi na mreži. Jednačinu možete riješiti online odmah i sa visoka preciznost rezultat. Argumenti datih funkcija (ponekad se nazivaju "varijable") u slučaju jednačine nazivaju se "nepoznate". Vrijednosti nepoznanica za koje se ova jednakost postiže nazivaju se rješenjima ili korijenima date jednadžbe. Kaže se da korijeni zadovoljavaju ovu jednačinu. Rješavanje jednadžbe online znači pronalaženje skupa svih njenih rješenja (korijena) ili dokazivanje da nema korijena. Rješenje jednadžbi na mreži. Ekvivalentne ili ekvivalentne nazivaju se jednadžbe čiji se skupovi korijena poklapaju. Ekvivalentnim se smatraju i jednačine koje nemaju korijen. Ekvivalencija jednačina ima svojstvo simetrije: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, onda je druga jednačina ekvivalentna prvoj. Ekvivalentnost jednačina ima svojstvo tranzitivnosti: ako je jedna jednačina ekvivalentna drugoj, a druga je ekvivalentna trećoj, tada je prva jednačina ekvivalentna trećoj. Svojstvo ekvivalencije jednadžbi omogućava izvođenje transformacija s njima, na kojima se zasnivaju metode za njihovo rješavanje. Rješenje jednadžbi na mreži. Stranica će vam omogućiti da riješite jednačinu na mreži. Jednačine za koje su poznata analitička rješenja uključuju algebarske jednadžbe, ne veće od četvrtog stepena: linearna jednačina, kvadratna jednačina, kubna jednačina i jednačina četvrtog stepena. Algebarske jednadžbe viših stupnjeva u opšti slučaj nemaju analitičko rješenje, iako se neke od njih mogu svesti na jednačine nižim stepenima. Jednačine koje uključuju transcendentalne funkcije nazivaju se transcendentalne. Među njima su nekima poznata analitička rješenja trigonometrijske jednačine, od nula trigonometrijske funkcije dobro poznat. U opštem slučaju, kada se analitičko rešenje ne može naći, koriste se numeričke metode. Numeričke metode ne daju tačno rješenje, već samo dopuštaju sužavanje intervala u kojem leži korijen na unaprijed određeno postavljena vrijednost. Rješavanje jednadžbi na mreži.. Jednačine online.. Umjesto online jednadžbe, predstavit ćemo kako nastaje isti izraz linearna zavisnost i to ne samo duž prave tangente, već i na samoj prevojnoj tački grafa. Ova metoda je neophodna u svakom trenutku u proučavanju predmeta. Često se dešava da se rješenje jednačina približava konačnoj vrijednosti pomoću beskonačnih brojeva i pisanja vektora. Potrebno je provjeriti početne podatke i to je suština zadatka. Inače, lokalni uvjet se pretvara u formulu. Pravolinijska inverzija od datu funkciju, koju će kalkulator jednadžbi izračunati bez mnogo kašnjenja u izvršenju, privilegija prostora će poslužiti kao mreža. Biće reči o postignućima učenika u naučno okruženje. Međutim, kao i sve gore navedeno, pomoći će nam u procesu pronalaženja, a kada u potpunosti riješite jednadžbu, onda sačuvajte rezultirajući odgovor na krajevima pravolinijskog segmenta. Prave u prostoru seku se u tački, a ta tačka se zove presečena linijama. Interval na liniji je označen kao što je dato ranije. Najviša pozicija na studiju matematike će biti objavljena. Parametarski dodijelite vrijednost argumenta iz datu površinu i rješavanje jednadžbe na mreži moći će ocrtati principe produktivnog poziva funkcije. Möbiusova traka, ili kako je nazivaju beskonačnost, izgleda kao osmica. Ovo je jednostrana površina, a ne dvostrana. Po principu koji je svima dobro poznat, mi ćemo objektivno prihvatiti linearne jednačine za osnovnu oznaku kakva jeste iu oblasti studija. Samo dvije vrijednosti uzastopno datih argumenata mogu otkriti smjer vektora. Pretpostaviti da je drugačije rješenje online jednadžbi mnogo više od samog rješavanja znači dobiti punu verziju invarijante na izlazu. Bez integrisani pristup učenicima je teško da uče ovog materijala. Kao i do sada, za svaki poseban slučaj, naš zgodan i pametan online kalkulator jednadžbi pomoći će svima u teškom trenutku, jer samo trebate navesti ulazne parametre i sistem će sam izračunati odgovor. Prije nego počnemo unositi podatke, potreban nam je alat za unos, što se može učiniti bez većih poteškoća. Broj svakog rezultata odgovora će biti kvadratna jednačina koja vodi do naših zaključaka, ali to nije tako lako učiniti, jer je lako dokazati suprotno. Teorija, zbog svojih karakteristika, nije podržana praktično znanje. Vidjeti kalkulator razlomaka u fazi objavljivanja odgovora nije lak zadatak u matematici, jer alternativa pisanja broja na skupu povećava rast funkcije. Međutim, bilo bi netačno ne reći o obuci učenika, pa ćemo se izjasniti o svakom koliko je potrebno. Prethodno pronađena kubična jednačina će s pravom pripadati domenu definicije i sadržavati prostor numeričke vrijednosti, kao i simboličke varijable. Nakon što su naučili ili zapamtili teoremu, naši učenici će se dokazati samo sa bolja strana i bićemo srećni zbog njih. Za razliku od skupa preseka polja, naše online jednadžbe su opisane ravninom kretanja duž množenja dve i tri numeričke kombinovane linije. Skup u matematici nije jednoznačno definisan. Najbolje rješenje, po mišljenju učenika, je pismeni izraz odrađen do kraja. Kao što je rečeno naučni jezik, apstrakcija simboličkih izraza nije uključena u stanje stvari, ali rješenje jednačina daje nedvosmislen rezultat u svim poznatim slučajevima. Trajanje predavanja za nastavnike zavisi od potreba u ovoj ponudi. Analiza je pokazala potrebu za svim računskim tehnikama u mnogim oblastima, te je potpuno jasno da je kalkulator jednačina nezamjenjiv alat u darovitim rukama učenika. Lojalan pristup proučavanju matematike određuje važnost pogleda različitih pravaca. Želite odrediti jednu od ključnih teorema i na taj način riješiti jednačinu, ovisno o čijem odgovoru će se pojaviti daljnja potreba za njenom primjenom. Analitika u ovoj oblasti dobija na zamahu. Krenimo od početka i izvedimo formulu. Nakon probijanja nivoa povećanja funkcije, tangentna linija u točki fleksije nužno će dovesti do činjenice da će rješavanje jednadžbe na mreži biti jedan od glavnih aspekata u konstruiranju istog grafa iz argumenta funkcije. Amaterski pristup ima pravo da se primeni ako ovaj uslov nije u suprotnosti sa zaključcima učenika. To je podzadatak koji analizu matematičkih uslova kao linearnih jednačina u postojećem domenu definicije objekta stavlja u drugi plan. Pomak u smjeru ortogonalnosti obostrano smanjuje prednost lone apsolutna vrijednost. Modulo, rješavanje jednadžbi na mreži daje isti broj rješenja, ako otvorite zagrade prvo znakom plus, a zatim znakom minus. U ovom slučaju ima dvostruko više rješenja, a rezultat će biti tačniji. Stabilan i ispravan online kalkulator jednačina je uspjeh u postizanju ciljanog cilja u zadatku koji je postavio nastavnik. Obavezna metodačini se da je moguće izabrati zbog značajnih razlika u stavovima velikih naučnika. Rezultirajuća kvadratna jednadžba opisuje krivulju pravih, takozvanu parabolu, a znak će odrediti njenu konveksnost u kvadratni sistem koordinate. Iz jednačine dobijamo i diskriminanta i same korijene prema Vietinoj teoremi. Izraz je potrebno prikazati kao pravi ili nepravilan razlomak i koristiti kalkulator razlomaka u prvoj fazi. Ovisno o tome, formirat će se plan naših daljih proračuna. Matematika u teorijski pristup korisno u svakoj fazi. Rezultat ćemo svakako prikazati kao kubnu jednačinu, jer ćemo u ovom izrazu sakriti njegove korijene kako bismo pojednostavili zadatak studentu na fakultetu. Bilo koja metoda je dobra ako je prikladna za površnu analizu. Extra aritmetičke operacije neće dovesti do grešaka u proračunu. Odredite odgovor sa zadatom tačnošću. Koristeći rješenje jednadžbi, da se suočimo s tim - pronalaženje nezavisne varijable iz date funkcije nije tako lako, posebno tokom perioda proučavanja paralelne linije u beskonačnosti. S obzirom na izuzetak, potreba je vrlo očigledna. Razlika polariteta je nedvosmislena. Iz iskustva predaje na institutima, naš učitelj je preuzeo glavna lekcija, na kojoj su jednačine proučavane online u punom matematičkom smislu. Ovdje se radilo o većim naporima i posebnim vještinama u primjeni teorije. U prilog našim zaključcima, ne treba gledati kroz prizmu. Donedavno se vjerovalo da zatvoreni skup brzo raste na tom području kakav jeste, a rješenje jednačina jednostavno treba istražiti. U prvoj fazi nismo sve razmatrali moguće opcije, ali je takav pristup opravdaniji nego ikad. Dodatne radnje sa zagradama opravdavaju neke pomake duž ose ordinate i apscise, što se ne može previdjeti golim okom. Postoji tačka pregiba u smislu širokog proporcionalnog povećanja funkcije. Još jednom dokazujemo kako neophodno stanje primjenjivat će se kroz cijeli opadajući interval jedne ili druge opadajuće pozicije vektora. U skučenom prostoru, izabraćemo varijablu iz početnog bloka naše skripte. Sistem izgrađen kao osnova na tri vektora odgovoran je za odsustvo glavnog momenta sile. Međutim, kalkulator jednačina je izveo i pomogao u pronalaženju svih članova konstruirane jednačine, kako iznad površine tako i duž paralelnih linija. Hajde da opišemo krug oko početne tačke. Tako ćemo se početi kretati prema gore duž linija presjeka, a tangenta će opisivati krug cijelom dužinom, kao rezultat ćemo dobiti krivulju, koja se naziva evolventa. Uzgred, hajde da pričamo o ovoj krivulji malo istorije. Činjenica je da istorijski u matematici nije postojao koncept same matematike u čistom smislu kao što je to danas. Ranije su svi naučnici bili angažovani na jednom zajednički uzrok tj. nauka. Kasnije, nekoliko vekova kasnije, kada naučni svet ispunjeno kolosalnom količinom informacija, čovječanstvo je i dalje izdvajalo mnoge discipline. I dalje ostaju nepromijenjeni. Pa ipak, svake godine naučnici širom sveta pokušavaju da dokažu da je nauka neograničena i da ne možete da rešite jednačinu ako nemate znanja iz ove oblasti. prirodne nauke. Možda neće biti moguće tome konačno stati na kraj. Razmišljati o tome je besmisleno kao i zagrijavanje zraka napolju. Nađimo interval u kojem argument svojom pozitivnom vrijednošću određuje modul vrijednosti u naglo rastućem smjeru. Reakcija će pomoći da se pronađu najmanje tri rješenja, ali će ih biti potrebno provjeriti. Počnimo s činjenicom da trebamo riješiti jednadžbu na mreži koristeći jedinstvenu uslugu naše web stranice. Unesimo oba dijela date jednačine, pritisnemo dugme "SOLVE" i dobijemo tačan odgovor u roku od samo nekoliko sekundi. AT posebne prilike uzmimo knjigu o matematici i još jednom provjerimo naš odgovor, naime, pogledajmo samo odgovor i sve će postati jasno. Isti projekat će poletjeti na umjetnom redundantnom paralelepipedu. Postoji paralelogram sa svojim paralelne strane i objašnjava mnoge principe i pristupe učenju prostorni odnos uzlazni proces akumulacije šupljeg prostora u prirodnim formulama. Dvosmislene linearne jednadžbe pokazuju zavisnost željene varijable sa našim zajedničkim ovog trenutka vrijeme po odluci i potrebno je nekako povući i donijeti nepravilan razlomak na netrivijalan slučaj. Označavamo deset tačaka na pravoj liniji i kroz svaku tačku crtamo krivu datom pravcu, i izbočiti se. Bez većih poteškoća, naš kalkulator jednačina će prikazati izraz u takvom obliku da će njegova provjera valjanosti pravila biti očigledna već na početku snimanja. Sistem posebnih reprezentacija stabilnosti za matematičare na prvom mestu, osim ako formulom nije drugačije predviđeno. Na ovo ćemo odgovoriti detaljnim prikazom izvještaja o izomorfnom stanju plastičnog sistema tijela, a rješenje jednačina na mreži će opisati kretanje svake materijalne tačke u ovom sistemu. Na nivou dubinskog proučavanja bit će potrebno detaljno razjasniti pitanje inverzija barem donjeg sloja prostora. U rastućem redosledu na deonici diskontinuiteta funkcije primenićemo opštu metodu odličnog istraživača, inače, našeg sunarodnika, a u nastavku ćemo reći o ponašanju aviona. Zbog jakih karakteristika analitički zadane funkcije, online kalkulator jednačina koristimo samo za njegovu namjenu u okviru izvedenih granica ovlaštenja. Dalje raspravljajući, zaustavljamo naš pregled na homogenosti same jednačine, odnosno njena desna strana je izjednačena sa nulom. Još jednom ćemo provjeriti ispravnost naše odluke iz matematike. Da ne dobijem trivijalno rešenje Hajde da napravimo neke prilagodbe početni uslovi na problem uslovne stabilnosti sistema. Sastavimo kvadratnu jednačinu za koju ispisujemo dva unosa koristeći dobro poznatu formulu i nalazimo negativni koreni. Ako jedan korijen premašuje drugi i treći korijen za pet jedinica, onda mijenjanjem glavnog argumenta na taj način iskrivljujemo početne uslove podproblema. U suštini, nešto neobično u matematici se uvek može opisati sa tačnošću od stotih delova vrednosti. pozitivan broj. Kalkulator razlomaka je nekoliko puta superiorniji od svojih kolega na sličnim resursima u najboljem trenutku opterećenja servera. Na površini vektora brzine koji raste duž y-ose nacrtamo sedam linija savijenih u suprotnim smjerovima jedna prema drugoj. Promjerljivost dodijeljenog argumenta funkcije vodi brojač ravnoteže povrata. U matematici se ovaj fenomen može predstaviti kubnom jednadžbom sa imaginarnim koeficijentima, kao i bipolarnim napredovanjem opadajućih linija. Kritične tačke temperaturna razlika u mnogim svojim značenjima i napredovanju opisuju proces razgradnje kompleksa frakciona funkcija za multiplikatore. Ako vam se kaže da riješite jednačinu, nemojte žuriti da to učinite ovog trenutka, svakako prvo procijenite cijeli plan akcije, pa tek onda zauzmite pravi pristup. Sigurno će biti koristi. Lakoća u radu je očigledna, a u matematici ista. Riješite jednačinu na mreži. Sve online jednadžbe su određene vrste unos brojeva ili parametara i varijabla koju treba definirati. Izračunajte baš ovu varijablu, odnosno pronađite određene vrijednosti ili intervale skupa vrijednosti za koje će identitet biti zadovoljen. Početni i konačni uslovi direktno zavise. AT zajednička odluka jednadžbe obično uključuju neke varijable i konstante, postavljanjem kojih ćemo dobiti cijele porodice rješenja za dati iskaz problema. Općenito, to opravdava napore uložene u pravcu povećanja funkcionalnosti prostorne kocke sa stranicom od 100 centimetara. Teoremu ili lemu možete primijeniti u bilo kojoj fazi konstruiranja odgovora. Stranica postupno izdaje kalkulator jednadžbi, ako je potrebno, u bilo kojem intervalu zbrajanja proizvoda. najmanju vrijednost. U polovini slučajeva takva lopta je šuplja, a ne unutra više ispunjava uslove za postavljanje srednjeg odgovora. Barem na y-osi u smjeru opadajuće vektorske reprezentacije, ova proporcija će nesumnjivo biti optimalnija od prethodnog izraza. U času kada linearne funkcijeće biti analiza pune tačke, mi ćemo, u stvari, sastaviti sve naše kompleksne brojeve i prostore bipolarne ravni. Zamjenom varijable u rezultirajući izraz, riješit ćete jednačinu u fazama i dati najdetaljniji odgovor s velikom preciznošću. Još jednom, provjeravanje vaših radnji u matematici će biti dobar oblik od strane učenika. Proporcija u omjeru razlomaka fiksirala je integritet rezultata za sve važna područja nulta vektorska aktivnost. Trivijalnost se potvrđuje na kraju izvedenih radnji. Sa jednostavnim postavljenim zadatkom, učenici ne mogu imati poteškoća ako rješavaju jednačinu online u najkraćim mogućim vremenskim periodima, ali ne zaboravljaju na sve vrste pravila. Skup podskupova se sijeku u području konvergentne notacije. AT različitim prilikama proizvod nije pogrešno faktorizovan. Pomoći će vam da riješite jednačinu na mreži u našem prvom dijelu o osnovama matematičke tehnike za značajne sekcije za studente na univerzitetima i tehničkim školama. Odgovaranje na primjere neće nas natjerati da čekamo nekoliko dana, jer je proces najbolje interakcije vektorske analize sa sekvencijalnim pronalaženjem rješenja patentiran početkom prošlog stoljeća. Ispostavilo se da napori da se povežemo sa okolnim timom nisu bili uzaludni, već je nešto drugo očito zakasnilo. Nekoliko generacija kasnije, naučnici širom svijeta su doveli do uvjerenja da je matematika kraljica nauka. Bilo da se radi o lijevom ili desnom odgovoru, iscrpni pojmovi i dalje moraju biti napisani u tri reda, jer u našem slučaju razgovaraćemo definitivno samo o vektorska analiza svojstva matrice. Nelinearne i linearne jednadžbe, zajedno sa bikvadratne jednačine, zauzima posebno mjesto u našoj knjizi o najbolje prakse proračun putanje kretanja u prostoru svih materijalne tačke zatvoreni sistem. Pomozite nam da ideju oživimo linearna analiza tačkasti proizvod tri uzastopna vektora. Na kraju svake postavke, zadatak je olakšan uvođenjem optimiziranih numeričkih izuzetaka u kontekstu preklapanja numeričkog prostora koji se izvode. Drugačija presuda neće se suprotstaviti odgovoru koji se nalazi u slobodnoj formi trouglovi u krugu. Ugao između dva vektora sadrži potreban postotak margine i rješavanje jednadžbi na mreži često otkriva određenu zajednički korijen jednačine za razliku od početnih uslova. Izuzetak igra ulogu katalizatora u cijelom neizbježnom procesu pronalaženja pozitivnog rješenja u području definicije funkcije. Ako nije rečeno da ne možete koristiti računar, onda je online kalkulator jednadžbi baš pravi za vaše teške zadatke. Dovoljno je samo da unesete svoje uslovne podatke u ispravnom formatu i naš server će u najkraćem mogućem roku dati potpuni rezultujući odgovor. Eksponencijalna funkcija raste mnogo brže od linearnog. O tome svjedoče Talmudi pametne bibliotečke literature. Izvršiće proračun u opštem smislu, kao što bi radila data kvadratna jednačina sa tri kompleksna koeficijenta. Parabola u gornjem dijelu poluravnine karakterizira pravolinijsko paralelno kretanje duž osi tačke. Ovdje je vrijedno spomenuti potencijalnu razliku u radnom prostoru tijela. U zamjenu za suboptimalan rezultat, naš kalkulator razlomaka s pravom zauzima prvo mjesto u matematičkoj ocjeni pregleda funkcionalnih programa na poleđini. Jednostavnost upotrebe ovu uslugu cijenjeni od strane miliona korisnika interneta. Ako ne znate kako da ga koristite, mi ćemo vam rado pomoći. Također želimo istaknuti i istaknuti kubnu jednačinu iz niza zadataka za osnovce, kada treba brzo pronaći njene korijene i nacrtati graf funkcije na ravni. višim stepenima reprodukcija je jedna od najtežih matematički problemi na institutu i za njegovo izučavanje se izdvaja dovoljan broj sati. Kao i sve linearne jednadžbe, ni naša nije izuzetak od mnogih objektivnih pravila, pogledajte ispod različite tačke viziju, a biće jednostavno i dovoljno za postavljanje početnih uslova. Interval porasta se poklapa sa intervalom konveksnosti funkcije. Rješenje jednačina na mreži. Proučavanje teorije zasniva se na online jednadžbama iz brojnih odjeljaka o studiji osnovna disciplina. Zbog ovakvog pristupa, neizvesni zadaci, vrlo je lako predstaviti rješenje jednačina u unaprijed određenom obliku i ne samo izvući zaključke, već i predvidjeti ishod takvog pozitivnog rješenja. naučiti predmetna oblast pomoći će nam u pružanju usluga najbolje tradicije matematike, kao što je to uobičajeno na Istoku. U najboljim trenucima vremenskog intervala slični zadaci su deset puta pomnoženi zajedničkim množiteljem. Uz obilje množenja višestrukih varijabli u kalkulatoru jednadžbi, počelo se množiti kvalitetom, a ne kvantitativnim varijablama, kao što su masa ili tjelesna težina. Kako bismo izbjegli slučajeve neravnoteže materijalnog sistema, sasvim nam je očigledno izvođenje trodimenzionalnog pretvarača na trivijalnoj konvergenciji nedegeneriranih matematičkih matrica. Dovršite zadatak i riješite jednačinu u date koordinate, budući da je izlaz unaprijed nepoznat, kao i sve varijable uključene u post-prostorno vrijeme su nepoznate. Za kratko vrijeme potisnite zajednički faktor iz zagrada i podijelite s najvećim zajednički djelitelj oba dela unapred. Ispod rezultirajućeg pokrivenog podskupa brojeva izdvojiti detaljan način trideset tri boda zaredom u kratkom periodu. Utoliko što se u u svom najboljem izdanju moguće je da svaki učenik reši jednačinu onlajn, gledajući unapred, recimo jednu važnu, ali ključnu stvar, bez koje nam neće biti lako živjeti u budućnosti. Veliki naučnik je u prošlom veku uočio niz pravilnosti u teoriji matematike. U praksi se ispostavilo da nije sasvim očekivan utisak o događajima. Međutim, u principu, upravo ovo rješenje jednačina na mreži pomaže u poboljšanju razumijevanja i percepcije holističkog pristupa proučavanju i praktičnoj konsolidaciji teorijskog materijala koji studenti obrađuju. Mnogo je lakše to učiniti tokom studiranja.

FEDERALNA AGENCIJA ZA OBRAZOVANJE

DRŽAVNA OBRAZOVNA USTANOVA

VISOKO STRUČNO OBRAZOVANJE

"DRŽAVNI PEDAGOŠKI UNIVERZITET VORONJEŽ"

KATEDRA ZA AGLEBRU I GEOMETRIJU

Kompleksni brojevi

(odabrani zadaci)

ZAVRŠNI KVALIFIKACIJSKI RAD

specijalnost 050201.65 matematika

(sa dodatnom specijalnošću 050202.65 informatika)

Završio: student 5. godine

fizičke i matematičke

fakultet

naučni savjetnik:

VORONJEŽ - 2008

1. Uvod……………………………………………………...…………..…

2. Kompleksni brojevi (odabrani problemi)

2.1. Kompleksni brojevi u algebarskom obliku…………………….….

2.2. Geometrijska interpretacija kompleksnih brojeva…………..…

2.3. Trigonometrijski oblik kompleksnih brojeva

2.4. Primjena teorije kompleksnih brojeva na rješavanje jednačina 3. i 4. stepena……………..……………………………………………………………………

2.5. Kompleksni brojevi i parametri…………………………………….

3. Zaključak……………………………………………………………………………….

4. Spisak referenci……………………………………………………………………….

1. Uvod

U programu matematike školski kurs teorija brojeva se uvodi na primjerima skupova prirodnih brojeva, cijelih, racionalnih, iracionalnih, tj. na skupu realnih brojeva čije slike ispunjavaju čitavu brojevnu pravu. Ali već u 8. razredu nema dovoljno realnih brojeva, rješavanje kvadratnih jednačina sa negativnim diskriminantom. Stoga je bilo potrebno zalihu realnih brojeva dopuniti kompleksnim brojevima za koje je kvadratni korijen od negativan broj ima značenje.

Odabrao sam temu "Složeni brojevi" kao diplomsku temu kvalifikacioni rad, leži u činjenici da koncept kompleksnog broja proširuje znanja učenika o numeričkim sistemima, o rješavanju široke klase zadataka kako algebarskog tako i geometrijskog sadržaja, o rješavanju algebarske jednačine bilo kog stepena i o rješavanju problema sa parametrima.

U ovom diplomskom radu razmatrana su rješenja 82 problema.

Prvi dio glavnog odjeljka "Složeni brojevi" sadrži rješenja problema sa kompleksni brojevi u algebarskom obliku definiraju se operacije sabiranja, oduzimanja, množenja, dijeljenja, operacije konjugacije za kompleksne brojeve u algebarskom obliku, stepen imaginarne jedinice, modul kompleksnog broja, a navodi se i pravilo ekstrakcije kvadratni korijen iz kompleksnog broja.

U drugom dijelu rješavaju se zadaci geometrijske interpretacije kompleksnih brojeva u obliku tačaka ili vektora kompleksne ravni.

Treći dio se bavi operacijama nad kompleksnim brojevima u trigonometrijskom obliku. Koriste se formule: De Moivre i ekstrakcija korijena iz kompleksnog broja.

Četvrti dio je posvećen rješavanju jednačina 3. i 4. stepena.

Prilikom rješavanja zadataka posljednjeg dijela "Kompleksni brojevi i parametri" koriste se i objedinjuju informacije date u prethodnim dijelovima. Niz problema ovog poglavlja posvećen je definiciji familija linija u kompleksnoj ravni, dato jednačinama(nejednakosti) sa parametrom. U dijelu vježbi potrebno je riješiti jednadžbe sa parametrom (preko polja C). Postoje zadaci u kojima kompleksna varijabla istovremeno zadovoljava niz uslova. Odlika rješavanja problema ovog odjeljka je svođenje mnogih od njih na rješavanje jednačina (nejednačina, sistema) drugog stepena, iracionalnih, trigonometrijskih sa parametrom.

Karakteristika prezentacije materijala svakog dijela je početni unos teorijske osnove, a kasnije i njihovu praktičnu primjenu u rješavanju problema.

Na kraju teza predstavljen je spisak korišćene literature. Većina njih je prilično detaljna i pristupačna. teorijski materijal, razmatraju se rješenja nekih problema i praktični zadaci za nezavisna odluka. Posebna pažnjaŽeleo bih da se pozovem na izvore kao što su:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Kompleksni brojevi i njihova primjena: Udžbenik. . Materijal studijski vodič prezentovani u vidu predavanja i praktičnih vežbi.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Istaknuti zadaci i teoreme elementarne matematike. Aritmetika i algebra. Knjiga sadrži 320 zadataka vezanih za algebru, aritmetiku i teoriju brojeva. Ovi zadaci se po svojoj prirodi značajno razlikuju od standardnih školskih zadataka.

2. Kompleksni brojevi (odabrani problemi)

2.1. Kompleksni brojevi u algebarskom obliku

Rješenje mnogih problema iz matematike i fizike svodi se na rješavanje algebarskih jednačina, tj. jednačine oblika

gdje su a0 , a1 , …, an realni brojevi. Stoga je proučavanje algebarskih jednačina jedna od kritična pitanja u matematici. Na primjer, kvadratna jednadžba sa negativnim diskriminantom nema pravi korijen. Najjednostavnija takva jednadžba je jednačina

Da bi ova jednadžba imala rješenje, potrebno je proširiti skup realnih brojeva dodavanjem korijena jednadžbe

Označimo ovaj korijen kao

. Dakle, po definiciji, , ili ,

shodno tome,

. naziva se imaginarna jedinica. Uz njegovu pomoć i uz pomoć para realnih brojeva formira se izraz oblika.

Rezultirajući izraz nazvan je kompleksnim brojevima jer je sadržavao i stvarne i imaginarne dijelove.

Dakle, kompleksni brojevi se nazivaju izrazi oblika

, i su realni brojevi, i je neki simbol koji zadovoljava uvjet . Broj se naziva realnim dijelom kompleksnog broja, a broj se naziva njegovim imaginarnim dijelom. Za njihovo označavanje koriste se simboli.

Kompleksni brojevi forme

su realni brojevi i, prema tome, skup kompleksnih brojeva sadrži skup realnih brojeva.

Kompleksni brojevi forme

nazivaju se čisto imaginarnim. Dva kompleksna broja oblika i nazivaju se jednakima ako su im realni i imaginarni dijelovi jednaki, tj. ako su jednakosti , .

Algebarska notacija kompleksnih brojeva omogućava izvođenje operacija nad njima prema uobičajenim pravilima algebre.

Da biste riješili probleme s kompleksnim brojevima, morate razumjeti osnovne definicije. glavni zadatak ovog preglednog članka - objasniti šta su kompleksni brojevi i predstaviti metode rješavanja osnovnih zadataka s kompleksnim brojevima. Dakle, kompleksni broj je broj oblika z = a + bi, gdje a, b- realni brojevi, koji se nazivaju realni i imaginarni dijelovi kompleksnog broja, odnosno, i označavaju a = Re(z), b=Im(z).
i naziva se imaginarna jedinica. i 2 \u003d -1. Konkretno, svaki realan broj se može smatrati kompleksnim: a = a + 0i, gdje je a realno. Ako a = 0 i b ≠ 0, tada se broj naziva čisto imaginarnim.

Sada uvodimo operacije nad kompleksnim brojevima.
Razmotrimo dva kompleksna broja z 1 = a 1 + b 1 i i z 2 = a 2 + b 2 i.

Razmislite z = a + bi.

Skup kompleksnih brojeva proširuje skup realnih brojeva, koji zauzvrat proširuje skup racionalni brojevi itd. Ovaj lanac investicija može se vidjeti na slici: N - cijeli brojevi, Z su cijeli brojevi, Q su racionalni, R su realni, C su kompleksni.

Predstavljanje kompleksnih brojeva

Algebarska notacija.

Razmotrimo kompleksan broj z = a + bi, ovaj oblik pisanja kompleksnog broja se zove algebarski. Već smo detaljno raspravljali o ovom obliku pisanja u prethodnom dijelu. Često koristite sljedeći ilustrativni crtež

trigonometrijski oblik.

Iz slike se vidi da je broj z = a + bi može se napisati drugačije. Očigledno je da a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Shodno tome z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) naziva se argument kompleksnog broja. Ova reprezentacija kompleksnog broja se zove trigonometrijski oblik. Trigonometrijski oblik zapisa ponekad je vrlo zgodan. Na primjer, zgodno ga je koristiti za podizanje kompleksnog broja na cijeli broj, naime, ako z = rcos(φ) + rsin(φ)i, onda z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, ova formula se zove De Moivreova formula.

Demonstrativna forma.

Razmislite z = rcos(φ) + rsin(φ)i je kompleksan broj u trigonometrijskom obliku, pišemo ga u drugom obliku z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, posljednja jednakost proizlazi iz Eulerove formule, pa dobivamo nova forma unosi kompleksnih brojeva: z = re iφ, koji se zove demonstrativna. Ovaj oblik zapisa je također vrlo zgodan za podizanje kompleksnog broja na stepen: z n = r n e inφ, ovdje n nije nužno cijeli broj, ali može biti proizvoljan pravi broj. Ovaj oblik pisanja se često koristi za rješavanje problema.

Osnovni teorem više algebre

Zamislite da imamo kvadratnu jednačinu x 2 + x + 1 = 0. Očigledno, diskriminanta ove jednadžbe je negativna i nema realne korijene, ali ispada da ova jednadžba ima dva različita kompleksna korijena. Dakle, glavna teorema više algebre kaže da svaki polinom stepena n ima barem jedan kompleksni korijen. Iz ovoga slijedi da svaki polinom stepena n ima tačno n kompleksnih korijena, uzimajući u obzir njihovu višestrukost. Ova teorema je veoma važan rezultat u matematici i široko se koristi. Jednostavna posljedica ove teoreme je sljedeći rezultat: postoji tačno n razni koreni snage n iz jedinstva.

Glavne vrste zadataka

Ovaj odjeljak će pokriti glavne tipove jednostavni zadaci na kompleksne brojeve. Uobičajeno, problemi s kompleksnim brojevima mogu se podijeliti u sljedeće kategorije.

Izvođenje jednostavnih aritmetičkih operacija nad kompleksnim brojevima.
Pronalaženje korijena polinoma u kompleksnim brojevima.
Podizanje kompleksnih brojeva na stepen.
Izdvajanje korijena iz kompleksnih brojeva.
Primjena kompleksnih brojeva za rješavanje drugih problema.

Sada razmislite opšte metode rješenja ovih problema.

Izvođenje najjednostavnijih aritmetičkih operacija sa kompleksnim brojevima odvija se prema pravilima opisanim u prvom dijelu, ali ako su kompleksni brojevi predstavljeni u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku, tada se u ovom slučaju mogu pretvoriti u algebarski oblik i izvršiti operacije prema poznatim pravilima.

Pronalaženje korijena polinoma obično se svodi na pronalaženje korijena kvadratne jednadžbe. Pretpostavimo da imamo kvadratnu jednadžbu, ako je njen diskriminanta nenegativna, tada će njeni korijeni biti realni i nalaze se prema dobro poznatoj formuli. Ako je diskriminant negativan, onda D = -1∙a 2, gdje a je određeni broj, onda možemo predstaviti diskriminanta u obliku D = (ia) 2, Shodno tome √D = i|a|, a zatim možete koristiti poznata formula za korijene kvadratne jednadžbe.

Primjer. Nazad na gore navedeno kvadratna jednačina x 2 + x + 1 = 0 .
diskriminatorno - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1 (√3) 2 = (i√3) 2.
Sada možemo lako pronaći korijene:

Povećanje kompleksnih brojeva na stepen može se izvesti na nekoliko načina. Ako želite podići kompleksan broj u algebarskom obliku na mali stepen (2 ili 3), onda to možete učiniti direktnim množenjem, ali ako je stepen veći (u problemima je često mnogo veći), onda morate napišite ovaj broj u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku i koristite već poznate metode.

Primjer. Uzmimo z = 1 + i i povisimo na deseti stepen.
Z pišemo u eksponencijalnom obliku: z = √2 e iπ/4 .
Onda z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Vratimo se algebarskom obliku: z 10 = -32i.

Izdvajanje korijena iz kompleksnih brojeva je inverzna operacija eksponencijacije, pa se radi na sličan način. Za izdvajanje korijena često se koristi eksponencijalni oblik pisanja broja.

Primjer. Pronađite sve korijene stepena 3 jedinice. Da bismo to učinili, nalazimo sve korijene jednadžbe z 3 = 1, potražit ćemo korijene u eksponencijalnom obliku.
Zamjena u jednadžbi: r 3 e 3iφ = 1 ili r 3 e 3iφ = e 0 .
Dakle: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, dakle φ = 2πk/3.
Različiti korijeni se dobijaju na φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Stoga su 1 , e i2π/3 , e i4π/3 korijeni.
Ili u algebarskom obliku:

Posljednji tip zadatka uključuje veliko mnoštvo problema i ne postoje opšte metode za njihovo rešavanje. Evo jednostavnog primjera takvog zadatka:

Pronađite iznos sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Iako formulacija ovog problema nije u pitanju o kompleksnim brojevima, ali uz njihovu pomoć to se lako može riješiti. Da bi se to riješilo, koriste se sljedeće reprezentacije:

Ako sada ovu reprezentaciju zamijenimo zbirom, onda se problem svodi na zbir uobičajene geometrijske progresije.

Zaključak

Kompleksni brojevi se široko koriste u matematici, u ovom preglednom članku razmatrane su osnovne operacije nad kompleksnim brojevima, opisano je i ukratko nekoliko tipova standardnih problema uobičajene metode njihova rješenja, za detaljnije proučavanje mogućnosti kompleksnih brojeva, preporučuje se korištenje specijalizirane literature.