Πώς να λύσετε εξισώσεις με παρονομαστή. Ορθολογικές Εξισώσεις - Υπεραγορά Γνώσης

Smirnova Anastasia Yurievna

Τύπος μαθήματος:νέο υλικό μάθησης.

Μορφή οργάνωσης μαθησιακές δραστηριότητες : μετωπική, ατομική.

Σκοπός του μαθήματος: να εισαγάγουμε έναν νέο τύπο εξισώσεων - κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, να δώσουμε μια ιδέα για τον αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικές εξισώσεις.

Στόχοι μαθήματος.

Φροντιστήριο:

σχηματισμός της έννοιας μιας κλασματικά ορθολογικής εξίσωσης.
εξετάστε έναν αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένης της συνθήκης ότι το κλάσμα είναι ίσο με μηδέν.
να διδάξει τη λύση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων σύμφωνα με τον αλγόριθμο.

Ανάπτυξη:

δημιουργία συνθηκών για τη διαμόρφωση δεξιοτήτων για την εφαρμογή της αποκτηθείσας γνώσης.
συμβάλλουν στην ανάπτυξη γνωστικό ενδιαφέρονμαθητές στο θέμα?
ανάπτυξη της ικανότητας των μαθητών να αναλύουν, να συγκρίνουν και να εξάγουν συμπεράσματα.
ανάπτυξη δεξιοτήτων αμοιβαίου ελέγχου και αυτοελέγχου, προσοχής, μνήμης, προφορικής και Γραφή, ανεξαρτησία.

Ανατροφή:

εκπαίδευση γνωστικού ενδιαφέροντος για το θέμα.
εκπαίδευση της ανεξαρτησίας στις αποφάσεις Στόχοι μάθησης;
εκπαίδευση της θέλησης και της επιμονής για την επίτευξη των τελικών αποτελεσμάτων.

Εξοπλισμός:σχολικό βιβλίο, μαυροπίνακας, κραγιόνια.

Σχολικό βιβλίο «Άλγεβρα 8». Yu.N.Makarychev, N.G.Mindyuk, K.I.Neshkov, S.B.Suvorov, επιμέλεια S.A.Telyakovsky. Μόσχα "Διαφωτισμός". 2010

Στο αυτό το θέμαδιατίθενται πέντε ώρες. Αυτό το μάθημαείναι το πρώτο. Το κύριο πράγμα είναι να μελετήσετε τον αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων και να επεξεργαστείτε αυτόν τον αλγόριθμο σε ασκήσεις.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή.

Γεια σας παιδιά! Σήμερα θα ήθελα να ξεκινήσω το μάθημά μας με ένα τετράστιχο:
Για να κάνουμε τη ζωή πιο εύκολη για όλους
Τι θα αποφασιζόταν, τι θα μπορούσε,
Χαμογέλα, καλή τύχη σε όλους
Ανεξάρτητα από τα προβλήματα
Χαμογέλασε ο ένας στον άλλο, δημιουργήθηκαν καλή διάθεσηκαι ξεκίνησε δουλειά.

Οι εξισώσεις είναι γραμμένες στον πίνακα, δείτε τις προσεκτικά. Μπορείτε να λύσετε όλες αυτές τις εξισώσεις; Ποιες δεν είναι και γιατί;

Οι εξισώσεις στις οποίες η αριστερή και η δεξιά πλευρά είναι κλασματικές ορθολογικές εκφράσεις ονομάζονται κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις. Τι πιστεύετε ότι θα μελετήσουμε σήμερα στο μάθημα; Διατυπώστε το θέμα του μαθήματος. Έτσι, ανοίγουμε τετράδια και γράφουμε το θέμα του μαθήματος «Λύση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων».

2. Πραγματοποίηση της γνώσης. front poll, προφορική εργασίαμε τάξη.

Και τώρα θα επαναλάβουμε το κύριο θεωρητικό υλικό που πρέπει να μελετήσουμε νέο θέμα. Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις:

Τι είναι μια εξίσωση; ( Ισότητα με μεταβλητή ή μεταβλητές.)
Πώς ονομάζεται η εξίσωση #1; ( Γραμμικός.) Μέθοδος επίλυσης γραμμικών εξισώσεων. ( Μετακινήστε τα πάντα με το άγνωστο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, όλους τους αριθμούς στα δεξιά. Οδηγω σαν όρους. Βρείτε τον άγνωστο πολλαπλασιαστή).
Πώς ονομάζεται η εξίσωση 3; ( Τετράγωνο.) Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων. (Π σχετικά με τους τύπους)
Τι είναι μια αναλογία; ( Ισότητα δύο σχέσεων.) Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας. ( Εάν η αναλογία είναι αληθής, τότε το γινόμενο των ακραίων όρων της είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων όρων.)
Ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται για την επίλυση εξισώσεων; ( 1. Αν στην εξίσωση μεταφέρουμε τον όρο από το ένα μέρος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημο του, τότε παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη. 2. Αν και τα δύο μέρη της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, τότε θα προκύψει μια εξίσωση που είναι ισοδύναμη με το δεδομένο.)
Πότε ένα κλάσμα είναι ίσο με μηδέν; ( Ένα κλάσμα είναι μηδέν όταν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής είναι μη μηδέν.)

3. Επεξήγηση νέου υλικού.

Λύστε την εξίσωση Νο 2 σε τετράδια και στον πίνακα.

Απάντηση: 10.

Ποια κλασματική ορθολογική εξίσωση μπορείτε να προσπαθήσετε να λύσετε χρησιμοποιώντας τη βασική ιδιότητα της αναλογίας; (Νο 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Λύστε την εξίσωση Νο 4 σε τετράδια και στον πίνακα.

Απάντηση: 1,5.

Ποια κλασματική ορθολογική εξίσωση μπορείτε να προσπαθήσετε να λύσετε πολλαπλασιάζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τον παρονομαστή; (Αρ. 6).

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Απάντηση: 3;4.

Θα εξετάσουμε τη λύση των εξισώσεων του τύπου της εξίσωσης Νο. 7 στα ακόλουθα μαθήματα.

Εξηγήστε γιατί συνέβη αυτό; Γιατί υπάρχουν τρεις ρίζες στη μια περίπτωση και δύο στην άλλη; Ποιοι αριθμοί είναι οι ρίζες αυτής της κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης;

Μέχρι στιγμής, οι μαθητές με την έννοια εξωγενής ρίζαδεν έχουν συναντηθεί, είναι πραγματικά πολύ δύσκολο για αυτούς να καταλάβουν γιατί συνέβη. Εάν κανείς στην τάξη δεν μπορεί να δώσει μια ξεκάθαρη εξήγηση αυτής της κατάστασης, τότε ο δάσκαλος θέτει βασικές ερωτήσεις.

Πώς διαφέρουν οι εξισώσεις Νο. 2 και 4 από τις εξισώσεις Νο. 5.6; ( Στις εξισώσεις Νο. 2 και 4 στον παρονομαστή του αριθμού, Νο. 5-6 - εκφράσεις με μεταβλητή.)
Ποια είναι η ρίζα της εξίσωσης; ( Η τιμή της μεταβλητής στην οποία η εξίσωση γίνεται αληθινή ισότητα.)
Πώς να μάθετε αν ένας αριθμός είναι η ρίζα μιας εξίσωσης; ( Κάντε έναν έλεγχο.)

Όταν κάνουν ένα τεστ, μερικοί μαθητές παρατηρούν ότι πρέπει να διαιρεθούν με το μηδέν. Συμπεραίνουν ότι οι αριθμοί 0 και 5 δεν είναι ρίζες. δεδομένη εξίσωση. Τίθεται το ερώτημα: υπάρχει τρόπος επίλυσης κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων που μας επιτρέπει να εξαλείψουμε δεδομένο σφάλμα? Ναι, αυτή η μέθοδος βασίζεται στην προϋπόθεση ότι το κλάσμα είναι ίσο με μηδέν.

Ας προσπαθήσουμε να διατυπώσουμε έναν αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων με αυτόν τον τρόπο. Τα ίδια τα παιδιά διατυπώνουν τον αλγόριθμο.

Αλγόριθμος για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων:

Μετακινήστε τα πάντα προς τα αριστερά.
Φέρτε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή.
Δημιουργήστε ένα σύστημα: ένα κλάσμα είναι μηδέν όταν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.
Λύστε την εξίσωση.
Ελέγξτε την ανισότητα για να αποκλείσετε τις ξένες ρίζες.
Γράψτε την απάντηση.

4. Πρωτογενής κατανόηση νέου υλικού.

Δουλέψτε σε ζευγάρια. Οι μαθητές επιλέγουν μόνοι τους πώς θα λύσουν την εξίσωση, ανάλογα με το είδος της εξίσωσης. Εργασίες από το σχολικό βιβλίο "Άλγεβρα 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600(b, c); Νο. 601(α, ε). Ο δάσκαλος ελέγχει την εκτέλεση της εργασίας, απαντά στις ερωτήσεις που έχουν προκύψει και παρέχει βοήθεια σε μαθητές με κακή επίδοση. Αυτοέλεγχος: Οι απαντήσεις γράφονται στον πίνακα.

β) 2 - εξωγενής ρίζα. Απάντηση: 3.

γ) 2 - εξωγενής ρίζα. Απάντηση: 1.5.

α) Απάντηση: -12.5.

5. Δήλωση εργασίας για το σπίτι.

Διαβάστε το στοιχείο 25 από το σχολικό βιβλίο, αναλύστε τα παραδείγματα 1-3.
Μάθετε τον αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων.
Λύστε στα τετράδια Νο 600 (δ, ε); Νο. 601 (g, h).

6. Συνοψίζοντας το μάθημα.

Έτσι, σήμερα στο μάθημα εξοικειωθήκαμε με κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, μάθαμε πώς να λύνουμε αυτές τις εξισώσεις διαφορετικοί τρόποι. Ανεξάρτητα από το πώς λύνονται οι κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, τι πρέπει να έχουμε κατά νου; Ποια είναι η «πονηριά» των κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων;

Σας ευχαριστώ όλους, το μάθημα τελείωσε.

Μια ακέραια παράσταση είναι μια μαθηματική έκφραση που αποτελείται από αριθμούς και κυριολεκτικές μεταβλητές χρησιμοποιώντας τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού. Οι ακέραιοι περιλαμβάνουν επίσης εκφράσεις που περιλαμβάνουν διαίρεση με κάποιον αριθμό εκτός από το μηδέν.

Η έννοια της κλασματικής ορθολογικής έκφρασης

Μια κλασματική έκφραση είναι μια μαθηματική έκφραση που, εκτός από τις πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης και πολλαπλασιασμού που εκτελούνται με αριθμούς και κυριολεκτικές μεταβλητές, καθώς και διαίρεση με αριθμό όχι ίσο με το μηδέν, περιέχει επίσης διαίρεση σε εκφράσεις με κυριολεκτικές μεταβλητές.

Οι ορθολογικές εκφράσεις είναι όλες ακέραιες και κλασματικές εκφράσεις. Οι ορθολογικές εξισώσεις είναι εξισώσεις των οποίων η αριστερή και η δεξιά πλευρά είναι ορθολογικές εκφράσεις. Εάν σε μια ορθολογική εξίσωση το αριστερό και το δεξί μέρος είναι ακέραιες εκφράσεις, τότε μια τέτοια ορθολογική εξίσωση ονομάζεται ακέραιος.

Αν σε μια ορθολογική εξίσωση η αριστερή ή η δεξιά πλευρά είναι κλασματικές εκφράσεις, τότε μια τέτοια ορθολογική εξίσωση ονομάζεται κλασματική.

Παραδείγματα κλασματικών ορθολογικών εκφράσεων

1.x-3/x=-6*x+19

2. (x-4)/(2*x+5) = (x+7)/(x-2)

3. (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5))

Σχέδιο επίλυσης κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης

1. Να βρείτε τον κοινό παρονομαστή όλων των κλασμάτων που περιλαμβάνονται στην εξίσωση.

2. Πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με έναν κοινό παρονομαστή.

3. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει.

4. Ελέγξτε τις ρίζες και εξαιρέστε αυτές που μηδενίζουν τον κοινό παρονομαστή.

Εφόσον λύνουμε κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, θα υπάρχουν μεταβλητές στους παρονομαστές των κλασμάτων. Άρα, θα είναι σε κοινό παρονομαστή. Και στη δεύτερη παράγραφο του αλγορίθμου, πολλαπλασιάζουμε με έναν κοινό παρονομαστή, τότε μπορεί να εμφανιστούν ξένες ρίζες. Στην οποία ο κοινός παρονομαστής θα είναι ίσος με μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι ο πολλαπλασιασμός με αυτόν δεν θα έχει νόημα. Επομένως, στο τέλος, φροντίστε να ελέγξετε τις αποκτηθείσες ρίζες.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Λύστε μια κλασματική ορθολογική εξίσωση: (x-3)/(x-5) + 1/x = (x+5)/(x*(x-5)).

Ας μείνουμε γενικό σχέδιο: να βρείτε πρώτα τον κοινό παρονομαστή όλων των κλασμάτων. Παίρνουμε x*(x-5).

Πολλαπλασιάστε κάθε κλάσμα με έναν κοινό παρονομαστή και γράψτε την εξίσωση που προκύπτει.

(x-3)/(x-5) * (x*(x-5))= x*(x+3);
1/x * (x*(x-5)) = (x-5);
(x+5)/(x*(x-5)) * (x*(x-5)) = (x+5);
x*(x+3) + (x-5) = (x+5);

Ας απλοποιήσουμε την εξίσωση που προκύπτει. Παίρνουμε:

x^2+3*x + x-5 - x - 5 =0;
x^2+3*x-10=0;

Πήραμε μια απλή ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση. Το λύνουμε με οποιοδήποτε από τα γνωστούς τρόπους, παίρνουμε τις ρίζες x=-2 και x=5.

Τώρα ελέγχουμε τις λύσεις που έχουμε:

Αντικαθιστούμε τους αριθμούς -2 και 5 στον κοινό παρονομαστή. Στο x=-2, ο κοινός παρονομαστής x*(x-5) δεν εξαφανίζεται, -2*(-2-5)=14. Άρα ο αριθμός -2 θα είναι η ρίζα της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης.

Στο x=5, ο κοινός παρονομαστής x*(x-5) γίνεται μηδέν. Επομένως, αυτός ο αριθμός δεν είναι η ρίζα της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης, αφού θα υπάρχει διαίρεση με το μηδέν.

Στόχοι μαθήματος:

Φροντιστήριο:

σχηματισμός της έννοιας των κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων.
να εξετάσει διάφορους τρόπους επίλυσης κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων.
εξετάστε έναν αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένης της συνθήκης ότι το κλάσμα είναι ίσο με μηδέν.
να διδάξει τη λύση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων σύμφωνα με τον αλγόριθμο.
έλεγχος του επιπέδου αφομοίωσης του θέματος με τη διεξαγωγή δοκιμαστικής εργασίας.

Ανάπτυξη:

ανάπτυξη της ικανότητας να λειτουργεί σωστά με την αποκτηθείσα γνώση, να σκέφτεται λογικά.
ανάπτυξη πνευματικών δεξιοτήτων και νοητικές λειτουργίες- ανάλυση, σύνθεση, σύγκριση και γενίκευση.
ανάπτυξη πρωτοβουλίας, ικανότητα λήψης αποφάσεων, να μην σταματήσει εκεί.
ανάπτυξη κριτική σκέψη;
ανάπτυξη ερευνητικών δεξιοτήτων.

Ανατροφή:

εκπαίδευση γνωστικού ενδιαφέροντος για το θέμα.
εκπαίδευση της ανεξαρτησίας στην επίλυση εκπαιδευτικών προβλημάτων.
εκπαίδευση της θέλησης και της επιμονής για την επίτευξη των τελικών αποτελεσμάτων.

Τύπος μαθήματος: μάθημα - επεξήγηση νέου υλικού.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή.

Γεια σας παιδιά! Οι εξισώσεις είναι γραμμένες στον πίνακα, δείτε τις προσεκτικά. Μπορείτε να λύσετε όλες αυτές τις εξισώσεις; Ποιες δεν είναι και γιατί;

2. Πραγματοποίηση της γνώσης. Μετωπική έρευνα, προφορική εργασία με την τάξη.

Και τώρα θα επαναλάβουμε το κύριο θεωρητικό υλικό που χρειαζόμαστε για να μελετήσουμε ένα νέο θέμα. Απαντήστε στις ακόλουθες ερωτήσεις:

Τι είναι μια εξίσωση; ( Ισότητα με μεταβλητή ή μεταβλητές.)
Πώς ονομάζεται η εξίσωση #1; ( Γραμμικός.) Μέθοδος επίλυσης γραμμικών εξισώσεων. ( Μετακινήστε τα πάντα με το άγνωστο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, όλους τους αριθμούς στα δεξιά. Φέρτε σαν όρους. Βρείτε τον άγνωστο πολλαπλασιαστή).
Πώς ονομάζεται η εξίσωση 3; ( Τετράγωνο.) Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων. ( Επιλογή πλήρες τετράγωνο, με τύπους, χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta και τα συμπεράσματά του.)
Τι είναι μια αναλογία; ( Ισότητα δύο σχέσεων.) Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας. ( Εάν η αναλογία είναι αληθής, τότε το γινόμενο των ακραίων όρων της είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων όρων.)
Ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται για την επίλυση εξισώσεων; ( 1. Αν στην εξίσωση μεταφέρουμε τον όρο από το ένα μέρος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημο του, τότε παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη. 2. Αν και τα δύο μέρη της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, τότε θα προκύψει μια εξίσωση που είναι ισοδύναμη με το δεδομένο.)
Πότε ένα κλάσμα είναι ίσο με μηδέν; ( Ένα κλάσμα είναι μηδέν όταν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής είναι μη μηδέν.)

3. Επεξήγηση νέου υλικού.

Λύστε την εξίσωση Νο 2 σε τετράδια και στον πίνακα.

Απάντηση: 10.

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x + 8 \u003d x 2 + 3x + 2x + 6

x 2 -6x-x 2 -5x \u003d 6-8

Λύστε την εξίσωση Νο 4 σε τετράδια και στον πίνακα.

Απάντηση: 1,5.

x 2 -7x+12 = 0

D=1>0, x 1 =3, x 2 =4.

Απάντηση: 3;4.

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε την εξίσωση #7 με έναν από τους τρόπους.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 \u003d 0 x 2 \u003d 5 D \u003d 49
x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2			x 3 \u003d 5 x 4 \u003d -2
Απάντηση: 0;5;-2.			Απάντηση: 5;-2.

Μέχρι τώρα, οι μαθητές δεν έχουν γνωρίσει την έννοια της εξωτερικής ρίζας, είναι πραγματικά πολύ δύσκολο για αυτούς να καταλάβουν γιατί συνέβη αυτό. Εάν κανείς στην τάξη δεν μπορεί να δώσει μια ξεκάθαρη εξήγηση αυτής της κατάστασης, τότε ο δάσκαλος θέτει βασικές ερωτήσεις.

Πώς διαφέρουν οι εξισώσεις Νο. 2 και 4 από τις εξισώσεις Νο. 5,6,7; ( Στις εξισώσεις Νο. 2 και 4 στον παρονομαστή του αριθμού, Νο. 5-7 - εκφράσεις με μεταβλητή.)
Ποια είναι η ρίζα της εξίσωσης; ( Η τιμή της μεταβλητής στην οποία η εξίσωση γίνεται αληθινή ισότητα.)
Πώς να μάθετε αν ένας αριθμός είναι η ρίζα μιας εξίσωσης; ( Κάντε έναν έλεγχο.)

Όταν κάνουν ένα τεστ, μερικοί μαθητές παρατηρούν ότι πρέπει να διαιρεθούν με το μηδέν. Συμπεραίνουν ότι οι αριθμοί 0 και 5 δεν είναι οι ρίζες αυτής της εξίσωσης. Τίθεται το ερώτημα: υπάρχει τρόπος επίλυσης κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων που εξαλείφει αυτό το σφάλμα; Ναι, αυτή η μέθοδος βασίζεται στην προϋπόθεση ότι το κλάσμα είναι ίσο με μηδέν.

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 = -2.

Αν x=5, τότε x(x-5)=0, άρα το 5 είναι μια ξένη ρίζα.

Αν x=-2, τότε x(x-5)≠0.

Απάντηση: -2.

Αλγόριθμος για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων:

Μετακινήστε τα πάντα προς τα αριστερά.
Φέρτε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή.
Δημιουργήστε ένα σύστημα: ένα κλάσμα είναι μηδέν όταν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής δεν είναι μηδέν.
Λύστε την εξίσωση.
Ελέγξτε την ανισότητα για να αποκλείσετε τις ξένες ρίζες.
Γράψτε την απάντηση.

Συζήτηση: πώς να επισημοποιήσετε τη λύση εάν χρησιμοποιείται η βασική ιδιότητα της αναλογίας και ο πολλαπλασιασμός και των δύο πλευρών της εξίσωσης με έναν κοινό παρονομαστή. (Να συμπληρώσετε τη λύση: εξαιρέστε από τις ρίζες της εκείνα που μηδενίζουν τον κοινό παρονομαστή).

4. Πρωτογενής κατανόηση νέου υλικού.

Δουλέψτε σε ζευγάρια. Οι μαθητές επιλέγουν μόνοι τους πώς θα λύσουν την εξίσωση, ανάλογα με το είδος της εξίσωσης. Εργασίες από το σχολικό βιβλίο "Άλγεβρα 8", Yu.N. Makarychev, 2007: No. 600 (b, c, i); Νο. 601 (α, ε, ζ). Ο δάσκαλος ελέγχει την εκτέλεση της εργασίας, απαντά στις ερωτήσεις που έχουν προκύψει και παρέχει βοήθεια σε μαθητές με κακή επίδοση. Αυτοέλεγχος: Οι απαντήσεις γράφονται στον πίνακα.

β) Το 2 είναι μια ξένη ρίζα. Απάντηση: 3.

γ) Το 2 είναι μια ξένη ρίζα. Απάντηση: 1.5.

α) Απάντηση: -12.5.

ζ) Απάντηση: 1· 1.5.

5. Δήλωση εργασίας για το σπίτι.

Διαβάστε το στοιχείο 25 από το σχολικό βιβλίο, αναλύστε τα παραδείγματα 1-3.
Μάθετε τον αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων.
Λύστε στα τετράδια Νο 600 (α, δ, ε); Νο. 601 (g, h).
Προσπαθήστε να λύσετε το #696(α) (προαιρετικό).

6. Εκπλήρωση της εργασίας ελέγχου στο θέμα που μελετήθηκε.

Η εργασία γίνεται σε φύλλα.

Παράδειγμα εργασίας:

Α) Ποιες από τις εξισώσεις είναι κλασματικές ορθολογικές;

Β) Ένα κλάσμα είναι μηδέν όταν ο αριθμητής είναι ______________________ και ο παρονομαστής είναι _______________________.

Ε) Είναι ο αριθμός -3 η ρίζα της εξίσωσης #6;

Δ) Λύστε την εξίσωση Νο 7.

Κριτήρια αξιολόγησης εργασιών:

Το "5" δίνεται εάν ο μαθητής ολοκλήρωσε σωστά περισσότερο από το 90% της εργασίας.
"4" - 75% -89%
"3" - 50% -74%
Το «2» δίνεται σε μαθητή που ολοκλήρωσε λιγότερο από το 50% της εργασίας.
Ο βαθμός 2 δεν μπαίνει στο ημερολόγιο, ο 3 είναι προαιρετικός.

7. Αντανάκλαση.

Στα φυλλάδια με ανεξάρτητη εργασία, βάλτε:

1 - εάν το μάθημα ήταν ενδιαφέρον και κατανοητό σε εσάς.
2 - ενδιαφέρον, αλλά όχι σαφές.
3 - όχι ενδιαφέρον, αλλά κατανοητό.
4 - όχι ενδιαφέρον, μη σαφές.

8. Συνοψίζοντας το μάθημα.

Έτσι, σήμερα στο μάθημα εξοικειωθήκαμε με κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, μάθαμε πώς να λύνουμε αυτές τις εξισώσεις με διάφορους τρόπους, δοκιμάσαμε τις γνώσεις μας με τη βοήθεια μιας εκπαίδευσης ανεξάρτητη εργασία. Θα μάθετε τα αποτελέσματα της ανεξάρτητης εργασίας στο επόμενο μάθημα, στο σπίτι θα έχετε την ευκαιρία να εμπεδώσετε τις γνώσεις που αποκτήσατε.

Ποια μέθοδος επίλυσης κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων, κατά τη γνώμη σας, είναι ευκολότερη, πιο προσιτή, πιο ορθολογική; Ανεξάρτητα από τη μέθοδο επίλυσης κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων, τι δεν πρέπει να ξεχνάμε; Ποια είναι η «πονηριά» των κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων;

Σας ευχαριστώ όλους, το μάθημα τελείωσε.

"Λύση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων"

Στόχοι μαθήματος:

Φροντιστήριο:

σχηματισμός της έννοιας των κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων. να εξετάσει διάφορους τρόπους επίλυσης κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων. εξετάστε έναν αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων, συμπεριλαμβανομένης της συνθήκης ότι το κλάσμα είναι ίσο με μηδέν. να διδάξει τη λύση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων σύμφωνα με τον αλγόριθμο. έλεγχος του επιπέδου αφομοίωσης του θέματος με τη διεξαγωγή δοκιμαστικής εργασίας.

Ανάπτυξη:

ανάπτυξη της ικανότητας να λειτουργεί σωστά με την αποκτηθείσα γνώση, να σκέφτεται λογικά. ανάπτυξη πνευματικών δεξιοτήτων και νοητικών λειτουργιών - ανάλυση, σύνθεση, σύγκριση και γενίκευση. ανάπτυξη πρωτοβουλίας, ικανότητα λήψης αποφάσεων, να μην σταματήσει εκεί. ανάπτυξη κριτικής σκέψης. ανάπτυξη ερευνητικών δεξιοτήτων.

Ανατροφή:

εκπαίδευση γνωστικού ενδιαφέροντος για το θέμα. εκπαίδευση της ανεξαρτησίας στην επίλυση εκπαιδευτικών προβλημάτων. εκπαίδευση της θέλησης και της επιμονής για την επίτευξη των τελικών αποτελεσμάτων.

Τύπος μαθήματος: μάθημα - επεξήγηση νέου υλικού.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή.

2. Πραγματοποίηση της γνώσης. Μετωπική έρευνα, προφορική εργασία με την τάξη.

1. Τι είναι η εξίσωση; ( Ισότητα με μεταβλητή ή μεταβλητές.)

2. Πώς ονομάζεται η εξίσωση #1; ( Γραμμικός.) Μέθοδος επίλυσης γραμμικών εξισώσεων. ( Μετακινήστε τα πάντα με το άγνωστο στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, όλους τους αριθμούς στα δεξιά. Φέρτε σαν όρους. Βρείτε τον άγνωστο πολλαπλασιαστή).

3. Πώς ονομάζεται η εξίσωση #3; ( Τετράγωνο.) Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων. ( Επιλογή του πλήρους τετραγώνου, με τύπους, χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta και τις συνέπειές του.)

4. Τι είναι η αναλογία; ( Ισότητα δύο σχέσεων.) Η κύρια ιδιότητα της αναλογίας. ( Εάν η αναλογία είναι αληθής, τότε το γινόμενο των ακραίων όρων της είναι ίσο με το γινόμενο των μεσαίων όρων.)

5. Ποιες ιδιότητες χρησιμοποιούνται για την επίλυση εξισώσεων; ( 1. Αν στην εξίσωση μεταφέρουμε τον όρο από το ένα μέρος στο άλλο αλλάζοντας το πρόσημο του, τότε παίρνουμε μια εξίσωση ισοδύναμη με τη δεδομένη. 2. Αν και τα δύο μέρη της εξίσωσης πολλαπλασιαστούν ή διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό, τότε θα προκύψει μια εξίσωση που είναι ισοδύναμη με το δεδομένο.)

6. Πότε ένα κλάσμα είναι ίσο με μηδέν; ( Ένα κλάσμα είναι μηδέν όταν ο αριθμητής είναι μηδέν και ο παρονομαστής είναι μη μηδέν.)

3. Επεξήγηση νέου υλικού.

Λύστε την εξίσωση Νο 2 σε τετράδια και στον πίνακα.

Απάντηση: 10.

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Λύστε την εξίσωση Νο 4 σε τετράδια και στον πίνακα.

Απάντηση: 1,5.

D=1>0, x1=3, x2=4.

Απάντηση: 3;4.

Τώρα προσπαθήστε να λύσετε την εξίσωση #7 με έναν από τους τρόπους.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Απάντηση: 0;5;-2.			Απάντηση: 5;-2.

Στις εξισώσεις Νο. 2 και 4 στον παρονομαστή του αριθμού, Νο. 5-7 - εκφράσεις με μεταβλητή

Η τιμή της μεταβλητής στην οποία η εξίσωση γίνεται αληθινή ισότητα

Κάντε έναν έλεγχο

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Αν x=5, τότε x(x-5)=0, άρα το 5 είναι μια ξένη ρίζα.

Αν x=-2, τότε x(x-5)≠0.

Απάντηση: -2.

Αλγόριθμος για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων:

1. Μετακινήστε τα πάντα στην αριστερή πλευρά.

2. Φέρτε τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή.

3. Φτιάξτε ένα σύστημα: το κλάσμα είναι ίσο με μηδέν όταν ο αριθμητής είναι ίσος με μηδέν, και ο παρονομαστής δεν είναι ίσος με μηδέν.

4. Λύστε την εξίσωση.

5. Ελέγξτε την ανισότητα για να αποκλείσετε τις ξένες ρίζες.

6. Γράψτε την απάντηση.

4. Πρωτογενής κατανόηση νέου υλικού.

Δουλέψτε σε ζευγάρια. Οι μαθητές επιλέγουν μόνοι τους πώς θα λύσουν την εξίσωση, ανάλογα με το είδος της εξίσωσης. Εργασίες από το σχολικό βιβλίο "Άλγεβρα 8", 2007: Αρ. 000 (β, γ, θ); Νο. 000(a, e, g). Ο δάσκαλος ελέγχει την εκτέλεση της εργασίας, απαντά στις ερωτήσεις που έχουν προκύψει και παρέχει βοήθεια σε μαθητές με κακή επίδοση. Αυτοέλεγχος: Οι απαντήσεις γράφονται στον πίνακα.

β) Το 2 είναι μια ξένη ρίζα. Απάντηση: 3.

γ) Το 2 είναι μια ξένη ρίζα. Απάντηση: 1.5.

α) Απάντηση: -12.5.

ζ) Απάντηση: 1· 1.5.

5. Δήλωση εργασίας για το σπίτι.

2. Μάθετε τον αλγόριθμο επίλυσης κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων.

3. Λύστε στα τετράδια Νο 000 (α, δ, ε); Νο. 000 (g, h).

4. Προσπαθήστε να λύσετε το Νο. 000(α) (προαιρετικό).

6. Εκπλήρωση της εργασίας ελέγχου στο θέμα που μελετήθηκε.

Η εργασία γίνεται σε φύλλα.

Παράδειγμα εργασίας:

Α) Ποιες από τις εξισώσεις είναι κλασματικές ορθολογικές;

Β) Ένα κλάσμα είναι μηδέν όταν ο αριθμητής είναι ______________________ και ο παρονομαστής είναι _______________________.

Ε) Είναι ο αριθμός -3 η ρίζα της εξίσωσης #6;

Δ) Λύστε την εξίσωση Νο 7.

Κριτήρια αξιολόγησης εργασιών:

Το "5" δίνεται εάν ο μαθητής ολοκλήρωσε σωστά περισσότερο από το 90% της εργασίας. "4" - 75% -89% "3" - 50% -74% "2" δίνεται στον μαθητή που ολοκλήρωσε λιγότερο από το 50% της εργασίας. Ο βαθμός 2 δεν μπαίνει στο ημερολόγιο, ο 3 είναι προαιρετικός.

7. Αντανάκλαση.

Στα φυλλάδια με ανεξάρτητη εργασία, βάλτε:

1 - εάν το μάθημα ήταν ενδιαφέρον και κατανοητό σε εσάς. 2 - ενδιαφέρον, αλλά όχι σαφές. 3 - όχι ενδιαφέρον, αλλά κατανοητό. 4 - όχι ενδιαφέρον, μη σαφές.

8. Συνοψίζοντας το μάθημα.

Έτσι, σήμερα στο μάθημα εξοικειωθήκαμε με κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, μάθαμε πώς να λύνουμε αυτές τις εξισώσεις με διάφορους τρόπους, δοκιμάσαμε τις γνώσεις μας με τη βοήθεια εκπαιδευτικής ανεξάρτητης εργασίας. Θα μάθετε τα αποτελέσματα της ανεξάρτητης εργασίας στο επόμενο μάθημα, στο σπίτι θα έχετε την ευκαιρία να εμπεδώσετε τις γνώσεις που αποκτήσατε.

Σας ευχαριστώ όλους, το μάθημα τελείωσε.

Ας εξοικειωθούμε με ορθολογικές και κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις, δώσουμε τον ορισμό τους, δώσουμε παραδείγματα και επίσης να αναλύσουμε τους πιο συνηθισμένους τύπους προβλημάτων.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ορθολογική Εξίσωση: Ορισμός και Παραδείγματα

Η γνωριμία με τις ορθολογικές εκφράσεις ξεκινά από την 8η τάξη του σχολείου. Αυτή τη στιγμή, στα μαθήματα άλγεβρας, οι μαθητές αρχίζουν όλο και περισσότερο να αντιμετωπίζουν εργασίες με εξισώσεις που περιέχουν ορθολογικές εκφράσεις στις σημειώσεις τους. Ας φρεσκάρουμε τη μνήμη μας για το τι είναι.

Ορισμός 1

ορθολογική εξίσωσηείναι μια εξίσωση στην οποία και οι δύο πλευρές περιέχουν ορθολογικές εκφράσεις.

Σε διάφορα εγχειρίδια, μπορείτε να βρείτε άλλη διατύπωση.

Ορισμός 2

ορθολογική εξίσωσηείναι μια τέτοια εξίσωση, η εγγραφή της αριστερής πλευράς της οποίας περιέχει ορθολογική έκφραση, ενώ το σωστό είναι μηδέν.

Οι ορισμοί που δώσαμε για τις ορθολογικές εξισώσεις είναι ισοδύναμοι, αφού σημαίνουν το ίδιο πράγμα. Η ορθότητα των λόγων μας επιβεβαιώνεται από το γεγονός ότι για τυχόν ορθολογικές εκφράσεις Πκαι Qεξισώσεις P=Qκαι P − Q = 0θα είναι ισοδύναμες εκφράσεις.

Τώρα ας στραφούμε σε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Ορθολογικές εξισώσεις:

x = 1 , 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0 , x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2) , 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Οι ορθολογικές εξισώσεις, όπως και οι εξισώσεις άλλων τύπων, μπορούν να περιέχουν οποιονδήποτε αριθμό μεταβλητών από 1 έως πολλές. Αρχικά, θα εξετάσουμε απλά παραδείγματα, στο οποίο οι εξισώσεις θα περιέχουν μόνο μία μεταβλητή. Και τότε αρχίζουμε να περιπλέκουμε σταδιακά το έργο.

Οι ορθολογικές εξισώσεις χωρίζονται σε δύο μεγάλες ομάδες: ακέραιο και κλασματικό. Ας δούμε ποιες εξισώσεις θα ισχύουν για κάθε μία από τις ομάδες.

Ορισμός 3

Μια ορθολογική εξίσωση θα είναι ακέραιος εάν η εγγραφή του αριστερού και του δεξιού μέρους της περιέχει ολόκληρες ορθολογικές εκφράσεις.

Ορισμός 4

Μια ορθολογική εξίσωση θα είναι κλασματική αν το ένα ή και τα δύο μέρη της περιέχουν ένα κλάσμα.

Οι κλασματικά ορθολογικές εξισώσεις περιέχουν αναγκαστικά διαίρεση με μια μεταβλητή ή η μεταβλητή είναι παρούσα στον παρονομαστή. Δεν υπάρχει τέτοια διαίρεση στη σύνταξη ακέραιων εξισώσεων.

Παράδειγμα 2

3 x + 2 = 0και (x + y) (3 x 2 − 1) + x = − y + 0 , 5είναι ολόκληρες ορθολογικές εξισώσεις. Εδώ και τα δύο μέρη της εξίσωσης αντιπροσωπεύονται από ακέραιες εκφράσεις.

1 x - 1 = x 3 και x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x − 1) : 5είναι κλασματικά ορθολογικές εξισώσεις.

Ολόκληρες οι ορθολογικές εξισώσεις περιλαμβάνουν γραμμικές και τετραγωνικές εξισώσεις.

Επίλυση ακέραιων εξισώσεων

Η λύση τέτοιων εξισώσεων συνήθως ανάγεται στη μετατροπή τους σε ισοδύναμες αλγεβρικές εξισώσεις. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί πραγματοποιώντας ισοδύναμους μετασχηματισμούς των εξισώσεων σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο:

πρώτα παίρνουμε το μηδέν στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, γι 'αυτό είναι απαραίτητο να μεταφέρουμε την έκφραση που βρίσκεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή της πλευρά και να αλλάξουμε το πρόσημο.
τότε μετατρέπουμε την παράσταση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης σε πολυώνυμο τυπική όψη.

Πρέπει να πάρουμε μια αλγεβρική εξίσωση. Αυτή η εξίσωση θα είναι ισοδύναμη σε σχέση με την αρχική εξίσωση. Οι εύκολες περιπτώσεις μας επιτρέπουν να λύσουμε το πρόβλημα μειώνοντας ολόκληρη την εξίσωση σε γραμμική ή τετραγωνική. ΣΤΟ γενική περίπτωσηλύνουμε μια αλγεβρική εξίσωση βαθμού n.

Παράδειγμα 3

Είναι απαραίτητο να βρούμε τις ρίζες ολόκληρης της εξίσωσης 3 (x + 1) (x − 3) = x (2 x − 1) − 3.

Λύση

Ας μετασχηματίσουμε την αρχική έκφραση για να λάβουμε μια αλγεβρική εξίσωση ισοδύναμη με αυτήν. Για να γίνει αυτό, θα μεταφέρουμε την έκφραση που περιέχεται στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά και θα αλλάξουμε το πρόσημο στο αντίθετο. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε: 3 (x + 1) (x − 3) − x (2 x − 1) + 3 = 0.

Τώρα θα μετατρέψουμε την έκφραση στην αριστερή πλευρά σε ένα πολυώνυμο της τυπικής μορφής και θα εκτελέσουμε τις απαραίτητες ενέργειες με αυτό το πολυώνυμο:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Καταφέραμε να αναγάγουμε τη λύση της αρχικής εξίσωσης στη λύση τετραγωνική εξίσωσηείδος x 2 − 5 x − 6 = 0. Η διάκριση αυτής της εξίσωσης είναι θετική: D = (− 5) 2 − 4 1 (− 6) = 25 + 24 = 49 .Αυτό σημαίνει ότι θα υπάρχουν δύο πραγματικές ρίζες. Ας τις βρούμε χρησιμοποιώντας τον τύπο των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης:

x \u003d - - 5 ± 49 2 1,

x 1 \u003d 5 + 7 2 ή x 2 \u003d 5 - 7 2,

x 1 = 6 ή x 2 = - 1

Ας ελέγξουμε την ορθότητα των ριζών της εξίσωσης που βρήκαμε στην πορεία της λύσης. Για αυτόν τον αριθμό, που λάβαμε, αντικαθιστούμε στην αρχική εξίσωση: 3 (6 + 1) (6 − 3) = 6 (2 6 − 1) − 3και 3 (− 1 + 1) (− 1 − 3) = (− 1) (2 (− 1) − 1) − 3. Στην πρώτη περίπτωση 63 = 63 , στο δεύτερο 0 = 0 . Ρίζες x=6και x = − 1είναι πράγματι οι ρίζες της εξίσωσης που δίνεται στη συνθήκη του παραδείγματος.

Απάντηση: 6 , − 1 .

Ας δούμε τι σημαίνει «δύναμη όλης της εξίσωσης». Θα συναντήσουμε συχνά αυτόν τον όρο σε εκείνες τις περιπτώσεις που χρειάζεται να αναπαραστήσουμε μια ολόκληρη εξίσωση με τη μορφή αλγεβρικής. Ας ορίσουμε την έννοια.

Ορισμός 5

Βαθμός ακέραιας εξίσωσηςείναι το πτυχίο αλγεβρική εξίσωση, που ισοδυναμεί με την αρχική εξίσωση.

Αν κοιτάξετε τις εξισώσεις από το παραπάνω παράδειγμα, μπορείτε να καθορίσετε: ο βαθμός όλης αυτής της εξίσωσης είναι ο δεύτερος.

Εάν το μάθημά μας περιοριζόταν στην επίλυση εξισώσεων δεύτερου βαθμού, τότε η εξέταση του θέματος θα μπορούσε να ολοκληρωθεί εδώ. Αλλά δεν είναι όλα τόσο απλά. Η επίλυση εξισώσεων τρίτου βαθμού είναι γεμάτη δυσκολίες. Και για εξισώσεις πάνω από τον τέταρτο βαθμό, δεν υπάρχει καθόλου γενικούς τύπουςρίζες. Από αυτή την άποψη, η λύση ολόκληρων εξισώσεων του τρίτου, τέταρτου και άλλων βαθμών απαιτεί από εμάς να χρησιμοποιήσουμε μια σειρά από άλλες τεχνικές και μεθόδους.

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη προσέγγιση για την επίλυση ολόκληρων ορθολογικών εξισώσεων βασίζεται στη μέθοδο παραγοντοποίησης. Ο αλγόριθμος των ενεργειών σε αυτή την περίπτωση είναι ο εξής:

μεταφέρουμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά έτσι ώστε το μηδέν να παραμείνει στη δεξιά πλευρά της εγγραφής.
αντιπροσωπεύουμε την έκφραση στην αριστερή πλευρά ως γινόμενο παραγόντων και μετά προχωράμε σε ένα σύνολο από πολλές απλούστερες εξισώσεις.

Παράδειγμα 4

Να βρείτε τη λύση της εξίσωσης (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) = 2 x (x 2 − 10 x + 13) .

Λύση

Μετακινούμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά της εγγραφής προς τα αριστερά με αντίθετο σημάδι: (x 2 − 1) (x 2 − 10 x + 13) − 2 x (x 2 − 10 x + 13) = 0. Η μετατροπή της αριστερής πλευράς σε πολυώνυμο της τυπικής μορφής δεν είναι πρακτική λόγω του γεγονότος ότι αυτό θα μας δώσει μια αλγεβρική εξίσωση τέταρτου βαθμού: x 4 − 12 x 3 + 32 x 2 − 16 x − 13 = 0. Η ευκολία του μετασχηματισμού δεν δικαιολογεί όλες τις δυσκολίες με την επίλυση μιας τέτοιας εξίσωσης.

Είναι πολύ πιο εύκολο να πάμε αντίστροφα: αφαιρούμε τον κοινό παράγοντα x 2 − 10 x + 13 .Έτσι καταλήγουμε σε μια εξίσωση της μορφής (x 2 − 10 x + 13) (x 2 − 2 x − 1) = 0. Τώρα αντικαθιστούμε την εξίσωση που προκύπτει με ένα σύνολο δύο τετραγωνικών εξισώσεων x 2 − 10 x + 13 = 0και x 2 − 2 x − 1 = 0και να βρείτε τις ρίζες τους μέσα από τη διάκριση: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Απάντηση: 5 + 2 3 , 5 - 2 3 , 1 + 2 , 1 - 2 .

Ομοίως, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο εισαγωγής μιας νέας μεταβλητής. Αυτή η μέθοδος μας επιτρέπει να περάσουμε σε ισοδύναμες εξισώσεις με δυνάμεις μικρότερες από αυτές στην αρχική ολόκληρη εξίσωση.

Παράδειγμα 5

Έχει ρίζες η εξίσωση; (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Λύση

Αν τώρα προσπαθήσουμε να αναγάγουμε μια ολόκληρη ορθολογική εξίσωση σε αλγεβρική, θα πάρουμε μια εξίσωση βαθμού 4, η οποία δεν έχει ορθολογικές ρίζες. Επομένως, θα είναι ευκολότερο για εμάς να πάμε αντίθετα: εισαγάγετε μια νέα μεταβλητή y, η οποία θα αντικαταστήσει την έκφραση στην εξίσωση x 2 + 3 x.

Τώρα θα δουλέψουμε με ολόκληρη την εξίσωση (y + 1) 2 + 10 = − 2 (y − 4). επαναπρογραμματίζω σωστη πλευραεξίσωση προς τα αριστερά με το αντίθετο πρόσημο και πραγματοποιήστε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς. Παίρνουμε: y 2 + 4 y + 3 = 0. Ας βρούμε τις ρίζες της τετραγωνικής εξίσωσης: y = − 1και y = − 3.

Τώρα ας κάνουμε την αντίστροφη αντικατάσταση. Παίρνουμε δύο εξισώσεις x 2 + 3 x = − 1και x 2 + 3 x = - 3 .Ας τα ξαναγράψουμε ως x 2 + 3 x + 1 = 0 και x 2 + 3 x + 3 = 0. Χρησιμοποιούμε τον τύπο των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης για να βρούμε τις ρίζες της πρώτης εξίσωσης που προέκυψε: - 3 ± 5 2 . Η διάκριση της δεύτερης εξίσωσης είναι αρνητική. Αυτό σημαίνει ότι η δεύτερη εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Απάντηση:- 3 ± 5 2

Ολόκληρες εξισώσεις υψηλούς βαθμούςσυναντώνται σε εργασίες αρκετά συχνά. Δεν υπάρχει λόγος να τους φοβάστε. Πρέπει να είναι έτοιμο για αίτηση μη τυποποιημένη μέθοδοςτις λύσεις τους, συμπεριλαμβανομένων ορισμένων τεχνητών μετασχηματισμών.

Επίλυση κλασματικά ορθολογικών εξισώσεων

Ξεκινάμε την εξέταση αυτού του υποθέματος με έναν αλγόριθμο για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0 , όπου p(x)και q(x)είναι ακέραιες ορθολογικές εκφράσεις. Η λύση άλλων κλασματικά ορθολογικών εξισώσεων μπορεί πάντα να αναχθεί στη λύση των εξισώσεων της υποδεικνυόμενης μορφής.

Η πιο συχνά χρησιμοποιούμενη μέθοδος για την επίλυση των εξισώσεων p (x) q (x) = 0 βασίζεται στην ακόλουθη πρόταση: κλάσμα u v, όπου vείναι ένας αριθμός που είναι διαφορετικός από το μηδέν, ίσος με μηδέν μόνο στις περιπτώσεις που ο αριθμητής του κλάσματος είναι ίσος με μηδέν. Ακολουθώντας τη λογική της παραπάνω δήλωσης, μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η λύση της εξίσωσης p (x) q (x) = 0 μπορεί να αναχθεί στην εκπλήρωση δύο συνθηκών: p(x)=0και q(x) ≠ 0. Πάνω σε αυτό, κατασκευάζεται ένας αλγόριθμος για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0:

βρίσκουμε τη λύση ολόκληρης της ορθολογικής εξίσωσης p(x)=0;
ελέγχουμε αν η συνθήκη ικανοποιείται για τις ρίζες που βρέθηκαν κατά τη διάρκεια της λύσης q(x) ≠ 0.

Εάν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε η ρίζα που βρέθηκε, Αν όχι, τότε η ρίζα δεν είναι λύση στο πρόβλημα.

Παράδειγμα 6

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 .

Λύση

Έχουμε να κάνουμε με μια κλασματική ορθολογική εξίσωση της μορφής p (x) q (x) = 0 , στην οποία p (x) = 3 · x − 2 , q (x) = 5 · x 2 − 2 = 0 . Ας αρχίσουμε να λύνουμε τη γραμμική εξίσωση 3 x - 2 = 0. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης θα είναι x = 2 3.

Ας ελέγξουμε τη ρίζα που βρέθηκε, αν ικανοποιεί την προϋπόθεση 5 x 2 - 2 ≠ 0. Αυτό το αντικαθιστούμε αριθμητική αξίασε έκφραση. Παίρνουμε: 5 2 3 2 - 2 \u003d 5 4 9 - 2 \u003d 20 9 - 2 \u003d 2 9 ≠ 0.

Η προϋπόθεση πληρούται. Αυτό σημαίνει ότι x = 2 3είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση: 2 3 .

Υπάρχει μια άλλη επιλογή για την επίλυση κλασματικών ορθολογικών εξισώσεων p (x) q (x) = 0 . Θυμηθείτε ότι αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με ολόκληρη την εξίσωση p(x)=0στην περιοχή επιτρεπόμενες τιμέςμεταβλητή x της αρχικής εξίσωσης. Αυτό μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο αλγόριθμο για την επίλυση των εξισώσεων p(x) q(x) = 0:

λύσει την εξίσωση p(x)=0;
βρείτε το εύρος των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x .
παίρνουμε τις ρίζες που βρίσκονται στην περιοχή των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x ως τις επιθυμητές ρίζες της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης.

Παράδειγμα 7

Λύστε την εξίσωση x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0 .

Λύση

Αρχικά, ας λύσουμε την τετραγωνική εξίσωση x 2 − 2 x − 11 = 0. Για να υπολογίσουμε τις ρίζες του, χρησιμοποιούμε τον τύπο ρίζας για έναν άρτιο δεύτερο συντελεστή. Παίρνουμε D 1 = (− 1) 2 − 1 (− 11) = 12και x = 1 ± 2 3 .

Τώρα μπορούμε να βρούμε το ODV του x για την αρχική εξίσωση. Αυτοί είναι όλοι αριθμοί για τους οποίους x 2 + 3 x ≠ 0. Είναι το ίδιο με x (x + 3) ≠ 0, από όπου x ≠ 0 , x ≠ − 3 .

Τώρα ας ελέγξουμε αν οι ρίζες x = 1 ± 2 3 που ελήφθησαν στο πρώτο στάδιο της λύσης βρίσκονται εντός του εύρους των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x. Βλέπουμε τι μπαίνει. Αυτό σημαίνει ότι η αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση έχει δύο ρίζες x = 1 ± 2 3 .

Απάντηση: x = 1 ± 2 3

Η δεύτερη μέθοδος λύσης που περιγράφεται ευκολότερο από το πρώτοσε περιπτώσεις όπου είναι εύκολο να βρεθεί το εμβαδόν των αποδεκτών τιμών της μεταβλητής x και οι ρίζες της εξίσωσης p(x)=0παράλογος. Για παράδειγμα, 7 ± 4 26 9 . Οι ρίζες μπορεί να είναι ορθολογικές, αλλά με μεγάλο αριθμητή ή παρονομαστή. Για παράδειγμα, 127 1101 και − 31 59 . Αυτό εξοικονομεί χρόνο για τον έλεγχο της κατάστασης. q(x) ≠ 0: είναι πολύ πιο εύκολο να αποκλείσετε ρίζες που δεν ταιριάζουν, σύμφωνα με την ODZ.

Όταν οι ρίζες της εξίσωσης p(x)=0είναι ακέραιοι, είναι πιο σκόπιμο να χρησιμοποιηθεί ο πρώτος από τους περιγραφόμενους αλγόριθμους για την επίλυση εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0 . Βρίσκοντας τις ρίζες μιας ολόκληρης εξίσωσης πιο γρήγορα p(x)=0και, στη συνέχεια, ελέγξτε εάν πληρούται η προϋπόθεση για αυτούς q(x) ≠ 0, και να μην βρείτε το ODZ, και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση p(x)=0σε αυτό το ODZ. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι σε τέτοιες περιπτώσεις είναι συνήθως πιο εύκολο να κάνετε έλεγχο παρά να βρείτε το ODZ.

Παράδειγμα 8

Βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 = 0 .

Λύση

Ξεκινάμε εξετάζοντας ολόκληρη την εξίσωση (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0και να βρει τις ρίζες του. Για να γίνει αυτό, εφαρμόζουμε τη μέθοδο επίλυσης εξισώσεων μέσω παραγοντοποίησης. Αποδεικνύεται ότι η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με ένα σύνολο τεσσάρων εξισώσεων 2 x - 1 = 0, x - 6 = 0, x 2 - 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, εκ των οποίων οι τρεις είναι γραμμικές και το ένα είναι τετράγωνο. Βρίσκουμε τις ρίζες: από την πρώτη εξίσωση x = 1 2, από το δεύτερο x=6, από το τρίτο - x \u003d 7, x \u003d - 2, από το τέταρτο - x = − 1.

Ας ελέγξουμε τις αποκτηθείσες ρίζες. Ορίστε το OHS σε αυτή η υπόθεσηείναι δύσκολο για εμάς, αφού για αυτό θα πρέπει να λύσουμε μια αλγεβρική εξίσωση πέμπτου βαθμού. Θα είναι ευκολότερο να ελέγξετε την συνθήκη σύμφωνα με την οποία ο παρονομαστής του κλάσματος, που βρίσκεται στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης, δεν πρέπει να εξαφανιστεί.

Στη συνέχεια, αντικαταστήστε τις ρίζες στη θέση της μεταβλητής x στην παράσταση x 5 − 15 x 4 + 57 x 3 − 13 x 2 + 26 x + 112και υπολογίστε την τιμή του:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 32 ≥;

6 5 − 15 6 4 + 57 6 3 − 13 6 2 + 26 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 − 15 7 4 + 57 7 3 − 13 7 2 + 26 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 (− 2) 4 + 57 (− 2) 3 − 13 (− 2) 2 + 26 (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 (− 1) 4 + 57 (− 1) 3 − 13 (− 1) 2 + 26 (− 1) + 112 = 0 .

Η επαλήθευση που πραγματοποιήθηκε μας επιτρέπει να διαπιστώσουμε ότι οι ρίζες της αρχικής κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης είναι 1 2 , 6 και − 2 .

Απάντηση: 1 2 , 6 , - 2

Παράδειγμα 9

Να βρείτε τις ρίζες της κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 .

Λύση

Ας ξεκινήσουμε με την εξίσωση (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Ας βρούμε τις ρίζες του. Είναι πιο εύκολο για εμάς να αναπαραστήσουμε αυτήν την εξίσωση ως συνδυασμό τετραγώνου και γραμμικές εξισώσεις 5 x 2 - 7 x - 1 = 0και x − 2 = 0.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης για να βρούμε τις ρίζες. Παίρνουμε δύο ρίζες x = 7 ± 69 10 από την πρώτη εξίσωση και από τη δεύτερη x=2.

Η αντικατάσταση της τιμής των ριζών στην αρχική εξίσωση για να ελέγξουμε τις συνθήκες θα είναι αρκετά δύσκολη για εμάς. Θα είναι ευκολότερο να προσδιοριστεί το LPV της μεταβλητής x. Σε αυτήν την περίπτωση, το DPV της μεταβλητής x είναι όλοι οι αριθμοί, εκτός από αυτούς για τους οποίους η συνθήκη ικανοποιείται x 2 + 5 x − 14 = 0. Παίρνουμε: x ∈ - ∞ , - 7 ∪ - 7 , 2 ∪ 2 , + ∞ .

Τώρα ας ελέγξουμε αν οι ρίζες που βρήκαμε ανήκουν στο εύρος των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x.

Οι ρίζες x = 7 ± 69 10 - ανήκουν, επομένως, είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης, και x=2- δεν ανήκει, επομένως, είναι εξωγενής ρίζα.

Απάντηση: x = 7 ± 69 10 .

Ας εξετάσουμε χωριστά τις περιπτώσεις που ο αριθμητής μιας κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης της μορφής p (x) q (x) = 0 περιέχει έναν αριθμό. Σε τέτοιες περιπτώσεις, εάν ο αριθμητής περιέχει έναν αριθμό διαφορετικό από το μηδέν, τότε η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες. Εάν αυτός ο αριθμός είναι ίσος με μηδέν, τότε η ρίζα της εξίσωσης θα είναι οποιοσδήποτε αριθμός από το ODZ.

Παράδειγμα 10

Λύστε την κλασματική ορθολογική εξίσωση - 3 , 2 x 3 + 27 = 0 .

Λύση

Αυτή η εξίσωση δεν θα έχει ρίζες, αφού ο αριθμητής του κλάσματος από την αριστερή πλευρά της εξίσωσης περιέχει έναν μη μηδενικό αριθμό. Αυτό σημαίνει ότι για οποιεσδήποτε τιμές του x η τιμή του κλάσματος που δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος δεν θα είναι ίση με μηδέν.

Απάντηση:χωρίς ρίζες.

Παράδειγμα 11

Λύστε την εξίσωση 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Λύση

Εφόσον ο αριθμητής του κλάσματος είναι μηδέν, η λύση της εξίσωσης θα είναι οποιαδήποτε τιμή του x από τη μεταβλητή ODZ x.

Τώρα ας ορίσουμε το ODZ. Θα περιλαμβάνει όλες τις τιμές x για τις οποίες x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Λύσεις εξισώσεων x 4 + 5 x 3 = 0είναι 0 και − 5 , αφού αυτή η εξίσωση είναι ισοδύναμη με την εξίσωση x 3 (x + 5) = 0, και αυτό, με τη σειρά του, είναι ισοδύναμο με το σύνολο δύο εξισώσεων x 3 = 0 και x + 5 = 0όπου φαίνονται αυτές οι ρίζες. Καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι το επιθυμητό εύρος αποδεκτών τιμών είναι οποιαδήποτε x, εκτός x=0και x = -5.

Αποδεικνύεται ότι η κλασματική ορθολογική εξίσωση 0 x 4 + 5 x 3 = 0 έχει άπειρο σύνολολύσεις, που είναι οποιοιδήποτε αριθμοί εκτός από το μηδέν και - 5 .

Απάντηση: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Τώρα ας μιλήσουμε για κλασματικές ορθολογικές εξισώσεις μιας αυθαίρετης μορφής και μεθόδους επίλυσής τους. Μπορούν να γραφτούν ως r(x) = s(x), όπου r(x)και s(x)είναι ορθολογικές εκφράσεις και τουλάχιστον μία από αυτές είναι κλασματική. Η λύση τέτοιων εξισώσεων ανάγεται στη λύση των εξισώσεων της μορφής p (x) q (x) = 0 .

Γνωρίζουμε ήδη τι μπορούμε να πάρουμε ισοδύναμη εξίσωσηόταν μεταφέρουμε μια παράσταση από τη δεξιά πλευρά της εξίσωσης στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο. Αυτό σημαίνει ότι η εξίσωση r(x) = s(x)ισοδυναμεί με την εξίσωση r (x) − s (x) = 0. Έχουμε ήδη συζητήσει πώς να μετατρέψουμε μια ορθολογική έκφραση σε ορθολογικό κλάσμα. Χάρη σε αυτό, μπορούμε εύκολα να μετατρέψουμε την εξίσωση r (x) − s (x) = 0στο πανομοιότυπο ορθολογικό του κλάσμα της μορφής p (x) q (x) .

Έτσι κινούμαστε από την αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση r(x) = s(x)σε μια εξίσωση της μορφής p (x) q (x) = 0 , την οποία έχουμε ήδη μάθει πώς να λύνουμε.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι όταν κάνετε μεταβάσεις από r (x) − s (x) = 0σε p (x) q (x) = 0 και μετά σε p(x)=0ενδέχεται να μην λάβουμε υπόψη την επέκταση του εύρους των έγκυρων τιμών της μεταβλητής x.

Είναι αρκετά ρεαλιστικό ότι η αρχική εξίσωση r(x) = s(x)και εξίσωση p(x)=0ως αποτέλεσμα των μετασχηματισμών, θα πάψουν να είναι ισοδύναμοι. Στη συνέχεια η λύση της εξίσωσης p(x)=0μπορεί να μας δώσει ρίζες που θα είναι ξένες r(x) = s(x). Από αυτή την άποψη, σε κάθε περίπτωση είναι απαραίτητο να διενεργείται έλεγχος με οποιαδήποτε από τις μεθόδους που περιγράφονται παραπάνω.

Για να σας διευκολύνουμε να μελετήσετε το θέμα, έχουμε γενικεύσει όλες τις πληροφορίες σε έναν αλγόριθμο για την επίλυση μιας κλασματικής ορθολογικής εξίσωσης της μορφής r(x) = s(x):

μεταφέρουμε την έκφραση από τη δεξιά πλευρά με το αντίθετο πρόσημο και παίρνουμε μηδέν στα δεξιά.
μετατρέπουμε την αρχική έκφραση σε ορθολογικό κλάσμα p (x) q (x) εκτελώντας διαδοχικά ενέργειες με κλάσματα και πολυώνυμα.
λύσει την εξίσωση p(x)=0;
αποκαλύπτουμε ξένες ρίζες ελέγχοντας ότι ανήκουν στο ODZ ή αντικαθιστώντας την αρχική εξίσωση.

Οπτικά, η αλυσίδα των ενεργειών θα μοιάζει με αυτό:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → εγκατάλειψη r o n d e r o o n s

Παράδειγμα 12

Λύστε την κλασματική ορθολογική εξίσωση x x + 1 = 1 x + 1 .

Λύση

Ας προχωρήσουμε στην εξίσωση x x + 1 - 1 x + 1 = 0 . Ας μετατρέψουμε την κλασματική ορθολογική έκφραση στην αριστερή πλευρά της εξίσωσης στη μορφή p (x) q (x) .

Για αυτό πρέπει να φέρουμε λογικά κλάσματασε έναν κοινό παρονομαστή και απλοποιήστε την έκφραση:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x (x + 1) = - 2 x - 1 x (x + 1)

Για να βρούμε τις ρίζες της εξίσωσης - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση − 2 x − 1 = 0. Παίρνουμε μια ρίζα x = - 1 2.

Απομένει να κάνουμε τον έλεγχο με οποιαδήποτε από τις μεθόδους. Ας τα εξετάσουμε και τα δύο.

Αντικαταστήστε την τιμή που προκύπτει στην αρχική εξίσωση. Παίρνουμε - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1 . Φτάσαμε στη σωστή αριθμητική ισότητα − 1 = − 1 . Αυτό σημαίνει ότι x = − 1 2είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Τώρα θα ελέγξουμε μέσω του ODZ. Ας προσδιορίσουμε την περιοχή των αποδεκτών τιμών για τη μεταβλητή x. Αυτό θα είναι ολόκληρο το σύνολο των αριθμών, εκτός από το − 1 και το 0 (όταν x = − 1 και x = 0, οι παρονομαστές των κλασμάτων εξαφανίζονται). Η ρίζα που πήραμε x = − 1 2ανήκει στην ΟΔΖ. Αυτό σημαίνει ότι είναι η ρίζα της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση: − 1 2 .

Παράδειγμα 13

Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 x .

Λύση

Έχουμε να κάνουμε με μια κλασματική ορθολογική εξίσωση. Επομένως, θα ενεργήσουμε σύμφωνα με τον αλγόριθμο.

Ας μετακινήσουμε την παράσταση από τη δεξιά πλευρά στην αριστερή πλευρά με το αντίθετο πρόσημο: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Ας πραγματοποιήσουμε τους απαραίτητους μετασχηματισμούς: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = x 3 + 2 x 3 = 3 x 3 = x.

Φτάνουμε στην εξίσωση x=0. Η ρίζα αυτής της εξίσωσης είναι μηδέν.

Ας ελέγξουμε αν αυτή η ρίζα είναι ξένη για την αρχική εξίσωση. Αντικαταστήστε την τιμή στην αρχική εξίσωση: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 0 . Όπως μπορείτε να δείτε, η εξίσωση που προκύπτει δεν έχει νόημα. Αυτό σημαίνει ότι το 0 είναι μια ξένη ρίζα και η αρχική κλασματική ορθολογική εξίσωση δεν έχει ρίζες.

Απάντηση:χωρίς ρίζες.

Αν δεν συμπεριλάβαμε άλλα ισοδύναμους μετασχηματισμούςΔεν σημαίνει ότι δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν. Ο αλγόριθμος είναι καθολικός, αλλά έχει σχεδιαστεί για να βοηθά, όχι να περιορίζει.

Παράδειγμα 14

Λύστε την εξίσωση 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Λύση

Ο ευκολότερος τρόπος είναι να λύσετε τη δεδομένη κλασματική ορθολογική εξίσωση σύμφωνα με τον αλγόριθμο. Υπάρχει όμως και άλλος τρόπος. Ας το αναλογιστούμε.

Αφαιρούμε από το δεξί και το αριστερό μέρος 7, παίρνουμε: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 24.

Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η έκφραση στον παρονομαστή της αριστερής πλευράς πρέπει να είναι ίση με τον αντίστροφο αριθμό του αριθμού από τη δεξιά πλευρά, δηλαδή 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7 .

Αφαιρέστε και από τα δύο μέρη 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7 . Κατ' αναλογία 2 + 1 5 - x 2 \u003d 7 3, από όπου 1 5 - x 2 \u003d 1 3, και περαιτέρω 5 - x 2 \u003d 3, x 2 \u003d 2, x \u003d ± 2

Ας ελέγξουμε για να διαπιστώσουμε εάν οι ρίζες που βρέθηκαν είναι οι ρίζες της αρχικής εξίσωσης.

Απάντηση: x = ± 2

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter