Ήδη μέσα δημοτικό σχολείοοι μαθητές ασχολούνται με κλάσματα. Και μετά εμφανίζονται σε κάθε θέμα. Είναι αδύνατο να ξεχάσεις ενέργειες με αυτούς τους αριθμούς. Επομένως, πρέπει να γνωρίζετε όλες τις πληροφορίες για τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Αυτές οι έννοιες είναι απλές, το κύριο πράγμα είναι να κατανοήσουμε τα πάντα με τη σειρά.

Γιατί χρειάζονται τα κλάσματα;

Ο κόσμος γύρω μας αποτελείται από ολόκληρα αντικείμενα. Επομένως, δεν υπάρχει ανάγκη για μετοχές. Αλλά καθημερινή ζωήωθεί συνεχώς τους ανθρώπους να εργάζονται με μέρη αντικειμένων και πραγμάτων.

Για παράδειγμα, η σοκολάτα αποτελείται από πολλές φέτες. Εξετάστε την κατάσταση όπου το πλακίδιο του σχηματίζεται από δώδεκα ορθογώνια. Αν το χωρίσεις στα δύο, βγάζεις 6 μέρη. Θα χωριστεί καλά στα τρία. Όμως οι πέντε δεν θα μπορέσουν να δώσουν ακέραιο αριθμό φετών σοκολάτας.

Παρεμπιπτόντως, αυτές οι φέτες είναι ήδη κλάσματα. Και η περαιτέρω διαίρεση τους οδηγεί στην εμφάνιση πιο σύνθετων αριθμών.

Τι είναι το «κλάσμα»;

Αυτός είναι ένας αριθμός που αποτελείται από μέρη του ενός. Εξωτερικά, μοιάζει με δύο αριθμούς που χωρίζονται με οριζόντια ή κάθετο. Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται κλασματικό. Ο αριθμός που αναγράφεται στο επάνω μέρος (αριστερά) ονομάζεται αριθμητής. Αυτό στο κάτω μέρος (δεξιά) είναι ο παρονομαστής.

Στην πραγματικότητα, η κλασματική ράβδος αποδεικνύεται ότι είναι σύμβολο διαίρεσης. Δηλαδή, ο αριθμητής μπορεί να ονομαστεί μέρισμα και ο παρονομαστής μπορεί να ονομαστεί διαιρέτης.

Ποια είναι τα κλάσματα;

Στα μαθηματικά, υπάρχουν μόνο δύο τύποι αυτών: συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Αρχικά εισάγονται οι μαθητές δημοτικό σχολείο, αποκαλώντας τα απλά «κλάσματα». Το δεύτερο μαθαίνουν στην Ε' τάξη. Τότε είναι που εμφανίζονται αυτά τα ονόματα.

Κοινά κλάσματα είναι όλα αυτά που γράφονται ως δύο αριθμοί που χωρίζονται από μια ράβδο. Για παράδειγμα, 4/7. Δεκαδικός είναι ένας αριθμός στον οποίο το κλασματικό μέρος έχει σημειογραφία θέσης και διαχωρίζεται από τον ακέραιο με κόμμα. Για παράδειγμα, 4.7. Οι μαθητές πρέπει να είναι ξεκάθαροι ότι τα δύο παραδείγματα που δίνονται είναι εντελώς διαφορετικοί αριθμοί.

Κάθε απλό κλάσμαμπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό. Αυτή η δήλωση ισχύει σχεδόν πάντα σε αντίστροφη κατεύθυνση. Υπάρχουν κανόνες που σας επιτρέπουν να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα ως συνηθισμένο κλάσμα.

Τι υποείδη έχουν αυτοί οι τύποι κλασμάτων;

Καλύτερα να ξεκινήσετε από χρονολογική σειράκαθώς μελετώνται. Πρώτα πηγαίνετε κοινά κλάσματα. Μεταξύ αυτών, διακρίνονται 5 υποείδη.

Σωστός. Ο αριθμητής του είναι πάντα μικρότερος από τον παρονομαστή.

Λανθασμένος. Ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος ή ίσος με τον παρονομαστή.

Μειώσιμο / μη αναγώσιμο. Μπορεί να είναι είτε σωστό είτε λάθος. Ένα άλλο πράγμα είναι σημαντικό, αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής έχουν κοινούς παράγοντες. Αν υπάρχουν, τότε υποτίθεται ότι διαιρούν και τα δύο μέρη του κλάσματος, δηλαδή το μειώνουν.

Μικτός. Ένας ακέραιος αντιστοιχίζεται στο συνηθισμένο σωστό (λανθασμένο) κλασματικό μέρος του. Και στέκεται πάντα στα αριστερά.

Σύνθετος. Σχηματίζεται από δύο κλάσματα που χωρίζονται το ένα στο άλλο. Δηλαδή, έχει τρία κλασματικά χαρακτηριστικά ταυτόχρονα.

Οι δεκαδικοί έχουν μόνο δύο υποείδη:

τελικό, δηλαδή αυτό στο οποίο το κλασματικό μέρος είναι περιορισμένο (έχει τέλος).

άπειρος - ένας αριθμός του οποίου τα ψηφία μετά την υποδιαστολή δεν τελειώνουν (μπορούν να γραφτούν ατελείωτα).

Πώς να μετατρέψετε το δεκαδικό σε συνηθισμένο;

Εάν αυτό πεπερασμένος αριθμός, τότε εφαρμόζεται συσχετισμός με βάση τον κανόνα - όπως ακούω, έτσι γράφω. Δηλαδή, πρέπει να το διαβάσετε σωστά και να το γράψετε, αλλά χωρίς κόμμα, αλλά με κλασματική γραμμή.

Ως υπόδειξη για τον απαιτούμενο παρονομαστή, να θυμάστε ότι είναι πάντα ένα και μερικά μηδενικά. Τα τελευταία πρέπει να γραφτούν τόσα όσα και τα ψηφία στο κλασματικό μέρος του εν λόγω αριθμού.

Πώς να μετατρέψετε τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα κλάσματα εάν αυτά ολόκληρο μέροςαπουσιάζει, δηλαδή ίσο με μηδέν; Για παράδειγμα, 0,9 ή 0,05. Αφού εφαρμόσετε τον καθορισμένο κανόνα, αποδεικνύεται ότι πρέπει να γράψετε μηδενικούς ακέραιους αριθμούς. Αλλά δεν ενδείκνυται. Απομένει να γράψουμε μόνο τα κλασματικά μέρη. Για τον πρώτο αριθμό, ο παρονομαστής θα είναι 10, για τον δεύτερο - 100. Δηλαδή, τα υποδεικνυόμενα παραδείγματα θα έχουν αριθμούς ως απαντήσεις: 9/10, 5/100. Επιπλέον, το τελευταίο αποδεικνύεται ότι είναι δυνατό να μειωθεί κατά 5. Επομένως, το αποτέλεσμα για αυτό πρέπει να γραφτεί 1/20.

Όπως από δεκαδικό κλάσμανα φτιάξουμε ένα συνηθισμένο αν το ακέραιο μέρος του είναι διαφορετικό από το μηδέν; Για παράδειγμα, 5.23 ή 13.00108. Και τα δύο παραδείγματα διαβάζουν το ακέραιο μέρος και γράφουν την τιμή του. Στην πρώτη περίπτωση, αυτό είναι 5, στη δεύτερη, 13. Στη συνέχεια, πρέπει να προχωρήσετε στο κλασματικό μέρος. Με αυτά είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθεί η ίδια λειτουργία. Ο πρώτος αριθμός έχει 23/100, ο δεύτερος έχει 108/100000. Η δεύτερη τιμή πρέπει να μειωθεί ξανά. Η απάντηση είναι μικτά κλάσματα: 5 23/100 και 13 27/25000.

Πώς να μετατρέψετε ένα άπειρο δεκαδικό σε κοινό κλάσμα;

Εάν δεν είναι περιοδική, τότε μια τέτοια λειτουργία δεν μπορεί να πραγματοποιηθεί. Το γεγονός αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι κάθε δεκαδικό κλάσμα μετατρέπεται πάντα είτε σε τελικό είτε σε περιοδικό.

Το μόνο που επιτρέπεται να γίνει με ένα τέτοιο κλάσμα είναι να το στρογγυλοποιήσουμε. Αλλά τότε το δεκαδικό θα είναι περίπου ίσο με αυτό το άπειρο. Μπορεί ήδη να μετατραπεί σε συνηθισμένο. Αλλά η αντίστροφη διαδικασία: η μετατροπή σε δεκαδικό - δεν θα δώσει ποτέ αρχική τιμή. Ατελείωτο δηλαδή μη περιοδικά κλάσματαδεν μετατρέπονται σε συνηθισμένα. Αυτό πρέπει να το θυμόμαστε.

Πώς να γράψετε ένα άπειρο περιοδικό κλάσμα με τη μορφή ενός συνηθισμένου;

Σε αυτούς τους αριθμούς, ένα ή περισσότερα ψηφία εμφανίζονται πάντα μετά την υποδιαστολή, τα οποία επαναλαμβάνονται. Ονομάζονται περίοδοι. Για παράδειγμα, 0,3(3). Εδώ «3» στην περίοδο. Ταξινομούνται ως ορθολογικά, καθώς μπορούν να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.

Όσοι έχουν συναντήσει περιοδικά κλάσματα γνωρίζουν ότι μπορούν να είναι καθαρά ή μικτά. Στην πρώτη περίπτωση, η περίοδος ξεκινά αμέσως από το κόμμα. Στο δεύτερο, το κλασματικό μέρος αρχίζει με οποιουσδήποτε αριθμούς και μετά αρχίζει η επανάληψη.

Ο κανόνας με τον οποίο πρέπει να γράψετε ένα άπειρο δεκαδικό με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος θα είναι διαφορετικός για αυτούς τους δύο τύπους αριθμών. Είναι πολύ εύκολο να γράψουμε καθαρά περιοδικά κλάσματα ως συνηθισμένα κλάσματα. Όπως και με τα τελικά, πρέπει να μετατραπούν: γράψτε την περίοδο στον αριθμητή και ο αριθμός 9 θα είναι ο παρονομαστής, επαναλαμβάνοντας όσες φορές υπάρχουν ψηφία στην περίοδο.

Για παράδειγμα, 0, (5). Ο αριθμός δεν έχει ακέραιο μέρος, επομένως πρέπει να προχωρήσετε αμέσως στο κλασματικό μέρος. Γράψε στον αριθμητή 5 και στον παρονομαστή το 9. Δηλαδή η απάντηση θα είναι το κλάσμα 5/9.

Ένας κανόνας για το πώς να γράψετε ένα κοινό δεκαδικό κλάσμα που είναι μικτό κλάσμα.

Δείτε τη διάρκεια της περιόδου. Τόσο το 9 θα έχει παρονομαστή.

Γράψτε τον παρονομαστή: πρώτα εννιά και μετά μηδενικά.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή, πρέπει να γράψετε τη διαφορά δύο αριθμών. Όλα τα ψηφία μετά την υποδιαστολή θα μειωθούν, μαζί με την τελεία. Αφαιρούμενο - είναι χωρίς περίοδο.

Για παράδειγμα, 0,5(8) - γράψτε το περιοδικό δεκαδικό κλάσμα ως κοινό κλάσμα. Το κλασματικό μέρος πριν από την περίοδο είναι μονοψήφιο. Άρα το μηδέν θα είναι ένα. Υπάρχει επίσης μόνο ένα ψηφίο στην περίοδο - 8. Δηλαδή, υπάρχει μόνο ένα εννέα. Δηλαδή, πρέπει να γράψετε 90 στον παρονομαστή.

Για να προσδιορίσετε τον αριθμητή από το 58, πρέπει να αφαιρέσετε το 5. Αποδεικνύεται 53. Για παράδειγμα, θα πρέπει να γράψετε 53/90 ως απάντηση.

Πώς μετατρέπονται τα κοινά κλάσματα σε δεκαδικά;

κατά το πολύ απλή επιλογήπροκύπτει ο αριθμός στον παρονομαστή του οποίου είναι ο αριθμός 10, 100 κ.ο.κ. Στη συνέχεια, ο παρονομαστής απλώς απορρίπτεται και τοποθετείται κόμμα μεταξύ των κλασματικών και ακέραιων μερών.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ο παρονομαστής μετατρέπεται εύκολα σε 10, 100 κλπ. Για παράδειγμα, οι αριθμοί 5, 20, 25. Αρκεί να τους πολλαπλασιάσουμε με 2, 5 και 4, αντίστοιχα. Μόνο που είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσουμε όχι μόνο τον παρονομαστή, αλλά και τον αριθμητή με τον ίδιο αριθμό.

Για όλες τις άλλες περιπτώσεις, ένας απλός κανόνας θα είναι χρήσιμος: διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορεί να λάβετε δύο απαντήσεις: ένα τελικό ή ένα περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Πράξεις με κοινά κλάσματα

Πρόσθεση και αφαίρεση

Οι μαθητές τους γνωρίζουν νωρίτερα από τους άλλους. Και πρώτα με κλάσματα ίδιοι παρονομαστέςκαι μετά διαφορετικά. Οι γενικοί κανόνες μπορούν να περιοριστούν σε ένα τέτοιο σχέδιο.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών.

Γράψτε πρόσθετους παράγοντες σε όλα τα συνηθισμένα κλάσματα.

Πολλαπλασιάστε τους αριθμητές και τους παρονομαστές με τους συντελεστές που ορίζονται για αυτούς.

Προσθέστε (αφαιρέστε) τους αριθμητές των κλασμάτων και αφήστε τον κοινό παρονομαστή αμετάβλητο.

Εάν ο αριθμητής του minuend είναι μικρότερος από το subtrahend, τότε πρέπει να μάθετε αν έχουμε έναν μικτό αριθμό ή ένα σωστό κλάσμα.

Στην πρώτη περίπτωση, το ακέραιο μέρος πρέπει να πάρει ένα. Προσθέστε έναν παρονομαστή στον αριθμητή ενός κλάσματος. Και μετά κάντε την αφαίρεση.

Στο δεύτερο - είναι απαραίτητο να εφαρμοστεί ο κανόνας της αφαίρεσης από λιγότεροιπερισσότερο. Δηλαδή, αφαιρέστε το μέτρο του δευτερεύοντος από το μέτρο του δευτερεύοντος και βάλτε το σύμβολο «-» ως απάντηση.

Δείτε προσεκτικά το αποτέλεσμα της πρόσθεσης (αφαίρεσης). Αν αποδείχτηκε ακατάλληλο κλάσμα, τότε είναι απαραίτητο να επιλέξετε ολόκληρο το τμήμα. Δηλαδή, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Για την εφαρμογή τους, τα κλάσματα δεν χρειάζεται να μειωθούν σε κοινό παρονομαστή. Αυτό διευκολύνει την ανάληψη δράσης. Πρέπει όμως να ακολουθήσουν τους κανόνες.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, είναι απαραίτητο να ληφθούν υπόψη οι αριθμοί στους αριθμητές και στους παρονομαστές. Εάν οποιοσδήποτε αριθμητής και παρονομαστής έχουν έναν κοινό παράγοντα, τότε μπορούν να μειωθούν.

Πολλαπλασιασμός αριθμητών.

Πολλαπλασιάστε τους παρονομαστές.

Εάν λάβετε ένα αναγώγιμο κλάσμα, τότε υποτίθεται ότι θα απλοποιηθεί ξανά.

Κατά τη διαίρεση, πρέπει πρώτα να αντικαταστήσετε τη διαίρεση με πολλαπλασιασμό και τον διαιρέτη (δεύτερο κλάσμα) με ένα αντίστροφο (ανταλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή).

Στη συνέχεια προχωρήστε όπως στον πολλαπλασιασμό (ξεκινώντας από το βήμα 1).

Σε εργασίες όπου χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε (διαιρέσετε) με έναν ακέραιο, ο τελευταίος υποτίθεται ότι γράφεται ως ακατάλληλο κλάσμα. Δηλαδή με παρονομαστή 1. Στη συνέχεια προχωρήστε όπως περιγράφεται παραπάνω.



Πράξεις με δεκαδικούς αριθμούς

Πρόσθεση και αφαίρεση

Φυσικά, μπορείτε πάντα να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κοινό κλάσμα. Και ενεργήστε σύμφωνα με το ήδη περιγραφόμενο σχέδιο. Αλλά μερικές φορές είναι πιο βολικό να ενεργείς χωρίς αυτή τη μετάφραση. Τότε οι κανόνες για την πρόσθεση και την αφαίρεση τους θα είναι ακριβώς οι ίδιοι.

Εξισώστε τον αριθμό των ψηφίων στο κλασματικό μέρος του αριθμού, δηλαδή μετά την υποδιαστολή. Εκχωρήστε τον αριθμό των μηδενικών που λείπουν σε αυτό.

Γράψτε κλάσματα έτσι ώστε το κόμμα να είναι κάτω από το κόμμα.

Προσθέστε (αφαιρέστε) όπως φυσικούς αριθμούς.

Αφαιρέστε το κόμμα.

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Είναι σημαντικό να μην χρειάζεται να προσθέσετε μηδενικά εδώ. Τα κλάσματα υποτίθεται ότι αφήνονται όπως δίνονται στο παράδειγμα. Και μετά πηγαίνετε σύμφωνα με το σχέδιο.

Για πολλαπλασιασμό, πρέπει να γράψετε κλάσματα το ένα κάτω από το άλλο, χωρίς να δίνετε προσοχή στα κόμματα.

Πολλαπλασιάστε όπως οι φυσικοί αριθμοί.

Βάλτε κόμμα στην απάντηση, μετρώντας από το δεξί άκρο της απάντησης τόσα ψηφία όσα είναι στα κλασματικά μέρη και των δύο παραγόντων.

Για να διαιρέσετε, πρέπει πρώτα να μετατρέψετε τον διαιρέτη: να τον κάνετε φυσικό αριθμό. Δηλαδή πολλαπλασιάστε το με 10, 100 κ.λπ., ανάλογα με το πόσα ψηφία υπάρχουν στο κλασματικό μέρος του διαιρέτη.

Πολλαπλασιάστε το μέρισμα με τον ίδιο αριθμό.

Διαιρέστε ένα δεκαδικό με έναν φυσικό αριθμό.

Βάλτε κόμμα στην απάντηση τη στιγμή που τελειώνει η διαίρεση ολόκληρου του μέρους.



Τι γίνεται αν υπάρχουν και οι δύο τύποι κλασμάτων σε ένα παράδειγμα;

Ναι, στα μαθηματικά υπάρχουν συχνά παραδείγματα στα οποία πρέπει να εκτελέσετε πράξεις σε συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα. Υπάρχουν δύο πιθανές λύσεις σε αυτά τα προβλήματα. Πρέπει να ζυγίσετε αντικειμενικά τους αριθμούς και να επιλέξετε τον καλύτερο.

Πρώτος τρόπος: αναπαράσταση συνηθισμένων δεκαδικών

Είναι κατάλληλο εάν, κατά τη διαίρεση ή τη μετάφραση, λαμβάνετε πεπερασμένα κλάσματα. Εάν τουλάχιστον ένας αριθμός δίνει ένα περιοδικό μέρος, τότε αυτή η τεχνική απαγορεύεται. Επομένως, ακόμα κι αν δεν σας αρέσει να εργάζεστε με συνηθισμένα κλάσματα, θα πρέπει να τα μετρήσετε.

Ο δεύτερος τρόπος: γράψτε τα δεκαδικά κλάσματα ως συνηθισμένα

Αυτή η τεχνική είναι βολική εάν υπάρχουν 1-2 ψηφία στο τμήμα μετά την υποδιαστολή. Εάν υπάρχουν περισσότερα από αυτά, μπορεί να προκύψει ένα πολύ μεγάλο συνηθισμένο κλάσμα και οι δεκαδικές εγγραφές θα σας επιτρέψουν να υπολογίσετε την εργασία γρηγορότερα και ευκολότερα. Επομένως, είναι πάντα απαραίτητο να αξιολογείτε νηφάλια την εργασία και να επιλέξετε την απλούστερη μέθοδο λύσης.

§ 102. Προκαταρκτικές διευκρινίσεις.

Στο προηγούμενο μέρος, εξετάσαμε τα κλάσματα με όλους τους πιθανούς παρονομαστές και τα ονομάσαμε συνηθισμένα κλάσματα. Μας ενδιέφερε κάθε κλάσμα που προέκυψε κατά τη διαδικασία μέτρησης ή διαίρεσης, ανεξάρτητα από το τι είδους παρονομαστή πήραμε.

Τώρα, από ολόκληρο το σύνολο των κλασμάτων, θα επιλέξουμε κλάσματα με παρονομαστές: 10, 100, 1.000, 10.000 κ.λπ., δηλαδή τέτοια κλάσματα, οι παρονομαστές των οποίων είναι μόνο αριθμοί που αντιπροσωπεύονται από τη μονάδα (1) ακολουθούμενα από μηδενικά (ένα ή αρκετά). Τέτοια κλάσματα λέγονται δεκαδικός.

Ακολουθούν παραδείγματα δεκαδικών ψηφίων:

Έχουμε συναντηθεί με δεκαδικά κλάσματα στο παρελθόν, αλλά δεν αναφέραμε ιδιαίτερες ιδιότητες που είναι εγγενείς σε αυτά. Τώρα θα δείξουμε ότι έχουν μερικές αξιόλογες ιδιότητες, οι οποίες απλοποιούν όλους τους υπολογισμούς με κλάσματα.

§ 103. Εικόνα δεκαδικού κλάσματος χωρίς παρονομαστή.

Τα δεκαδικά κλάσματα συνήθως γράφονται όχι με τον ίδιο τρόπο όπως τα συνηθισμένα κλάσματα, αλλά σύμφωνα με τους κανόνες με τους οποίους γράφονται οι ακέραιοι αριθμοί.

Για να κατανοήσετε πώς να γράψετε ένα δεκαδικό χωρίς παρονομαστή, πρέπει να θυμάστε πώς να γράφετε μετρικό σύστημαοποιοδήποτε ακέραιο. Αν για παράδειγμα γράψουμε τριψήφιος αριθμόςχρησιμοποιώντας μόνο τον αριθμό 2, δηλαδή τον αριθμό 222, τότε καθένα από αυτά τα δύο θα έχει ιδιαίτερο νόημαανάλογα με τη θέση που καταλαμβάνει στον αριθμό. Τα δύο πρώτα από τα δεξιά αντιπροσωπεύουν μονάδες, το δεύτερο για δεκάδες και το τρίτο για εκατοντάδες. Έτσι, οποιοδήποτε ψηφίο στα αριστερά οποιουδήποτε άλλου ψηφίου υποδηλώνει μονάδες δέκα φορές μεγαλύτερες από αυτές που υποδεικνύονται από το προηγούμενο ψηφίο. Εάν λείπει κάποιο ψηφίο, τότε στη θέση του γράφεται το μηδέν.

Έτσι, σε έναν ακέραιο αριθμό, οι μονάδες βρίσκονται στην πρώτη θέση δεξιά, οι δεκάδες στη δεύτερη θέση κ.λπ.

Τώρα ας θέσουμε το ερώτημα ποια κατηγορία μονάδων θα ληφθεί εάν, για παράδειγμα, βρισκόμαστε στον αριθμό 222 με σωστάπλευρά θα προσθέσουμε έναν ακόμη αριθμό. Για να απαντήσετε σε αυτήν την ερώτηση, πρέπει να λάβετε υπόψη ότι τα δύο τελευταία (το πρώτο από τα δεξιά) δηλώνουν μονάδες.

Επομένως, εάν μετά το δίδυμο, που δηλώνει μονάδες, υποχωρήσουμε λίγο, γράψουμε κάποιον άλλο αριθμό, για παράδειγμα 3, τότε θα υποδηλώνει μονάδες, δέκα φορές μικρότερο από τα προηγούμενα, με άλλα λόγια, θα δηλώνει δέκαταμονάδες? Το αποτέλεσμα είναι ένας αριθμός που περιέχει 222 ολόκληρες μονάδες και 3 δέκατα της μονάδας.

Είναι συνηθισμένο να βάζετε κόμμα μεταξύ των ακέραιων και κλασματικών μερών του αριθμού, δηλαδή γράφετε ως εξής:

Εάν μετά το τριπλό σε αυτόν τον αριθμό προσθέσουμε έναν άλλο αριθμό, για παράδειγμα 4, τότε θα σημαίνει 4 εκατοστάκλάσματα μιας μονάδας? ο αριθμός θα μοιάζει με:

και εκφέρεται: διακόσια είκοσι δύο σημεία, τριάντα τέσσερα εκατοστά.

Ένα νέο ψηφίο, για παράδειγμα 5, που εκχωρείται σε αυτόν τον αριθμό, μας δίνει χιλιοστά: 222.345 (διακόσια είκοσι δύο πόντοι, τριακόσια σαράντα πέντε χιλιοστά).

Για μεγαλύτερη σαφήνεια, η διάταξη στον αριθμό των ακεραίων και κλασματικών ψηφίων μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή πίνακα:

Έτσι, εξηγήσαμε πώς γράφονται τα δεκαδικά κλάσματα χωρίς παρονομαστή. Ας γράψουμε μερικά από αυτά τα κλάσματα.

Για να γράψετε ένα κλάσμα χωρίς παρονομαστή 5/10, πρέπει να λάβετε υπόψη ότι δεν έχει ακέραιους αριθμούς και, επομένως, η θέση των ακεραίων πρέπει να καταλαμβάνεται από το μηδέν, δηλαδή 5/10 = 0,5.

Το κλάσμα 2 9/100 χωρίς παρονομαστή θα γραφτεί ως εξής: 2,09, δηλαδή, στη θέση των δέκατων πρέπει να μπει μηδέν. Αν παραλείπαμε αυτό το 0, θα παίρναμε ένα τελείως διαφορετικό κλάσμα, δηλαδή 2,9, δηλαδή δύο ολόκληρους πόντους και εννέα δέκατα.

Έτσι, όταν γράφετε δεκαδικά κλάσματα, πρέπει να υποδηλώσετε τους ακέραιους και τα κλασματικά ψηφία που λείπουν με μηδέν:

0,325 - χωρίς ακέραιους αριθμούς,
0,012 - χωρίς ακέραιους και χωρίς δέκατα,
1,208 - όχι εκατοστά,
0,20406 - χωρίς ακέραιους, χωρίς εκατοστά και χωρίς δέκα χιλιάδες.

Οι αριθμοί στα δεξιά της υποδιαστολής ονομάζονται δεκαδικά ψηφία.

Για να αποφύγετε λάθη κατά τη σύνταξη δεκαδικών κλασμάτων, πρέπει να θυμάστε ότι μετά την υποδιαστολή στην εικόνα ενός δεκαδικού κλάσματος θα πρέπει να υπάρχουν τόσα ψηφία όσα θα υπάρχουν μηδενικά στον παρονομαστή αν γράψαμε αυτό το κλάσμα με παρονομαστή, δηλ.

0,1 \u003d 1 / 10 (ο παρονομαστής έχει ένα μηδέν και ένα ψηφίο μετά την υποδιαστολή).

§ 104. Εκχώρηση μηδενικών σε δεκαδικό κλάσμα.

Στην προηγούμενη παράγραφο, περιγράφηκε πώς εμφανίζονται τα δεκαδικά κλάσματα χωρίς παρονομαστές. Μεγάλης σημασίαςόταν γράφουμε δεκαδικά κλάσματα, έχει μηδέν. Κάθε κανονικό δεκαδικό κλάσμα έχει ένα μηδέν στη θέση των ακεραίων για να δείξει ότι ένα τέτοιο κλάσμα δεν έχει ακέραιους αριθμούς. Τώρα θα γράψουμε πολλά διαφορετικά δεκαδικά χρησιμοποιώντας τους αριθμούς: 0, 3 και 5.

0,35 - 0 ακέραιοι, 35 εκατοστά,
0,035 - 0 ακέραιοι, 35 χιλιοστά,
0,305 - 0 ακέραιοι, 305 χιλιοστά,
0,0035 - 0 ακέραιοι, 35 δέκα χιλιάδες.

Ας μάθουμε τώρα ποια είναι η σημασία των μηδενικών που τοποθετούνται στο τέλος του δεκαδικού κλάσματος, δηλαδή στα δεξιά.

Αν πάρουμε έναν ακέραιο, για παράδειγμα 5, βάλουμε κόμμα μετά από αυτόν και μετά γράψουμε μηδέν μετά το κόμμα, τότε αυτό το μηδέν θα σημαίνει μηδέν δέκατα. Επομένως, αυτό το μηδέν που εκχωρείται στα δεξιά δεν θα επηρεάσει την τιμή του αριθμού, δηλ.

Τώρα ας πάρουμε τον αριθμό 6,1 και του προσθέσουμε μηδέν στα δεξιά, παίρνουμε 6,10, δηλαδή είχαμε 1/10 μετά την υποδιαστολή, και έγινε 10/100, αλλά 10/100 είναι ίσα με 1/10. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή του αριθμού δεν έχει αλλάξει και από την ανάθεση στα δεξιά του μηδενός, έχουν αλλάξει μόνο η μορφή του αριθμού και η προφορά (6,1 - έξι σημεία ένα δέκατο, 6,10 - έξι σημεία δέκα εκατοστά).

Με παρόμοιο σκεπτικό, μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι η αντιστοίχιση μηδενικών στα δεξιά σε ένα δεκαδικό κλάσμα δεν αλλάζει την τιμή του. Επομένως, μπορούμε να γράψουμε τις ακόλουθες ισότητες:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000 κ.λπ.

Αν αντιστοιχίσουμε μηδενικά στα αριστερά του δεκαδικού κλάσματος, τότε δεν θα έχουν καμία σημασία. Πράγματι, αν γράψουμε μηδέν στα αριστερά του αριθμού 4.6, τότε ο αριθμός θα πάρει τη μορφή 04.6. Πού είναι το μηδέν; Στέκεται στη θέση των δεκάδων, δηλαδή δείχνει ότι δεν υπάρχουν δεκάδες σε αυτόν τον αριθμό, αλλά αυτό είναι ξεκάθαρο ακόμη και χωρίς το μηδέν.

Ωστόσο, θα πρέπει να θυμόμαστε ότι μερικές φορές τα μηδενικά εκχωρούνται σε δεκαδικά κλάσματα στα δεξιά. Για παράδειγμα, υπάρχουν τέσσερα κλάσματα: 0,32; 2.5; 13.1023; 5.238. Εκχωρούμε μηδενικά στα δεξιά σε εκείνα τα κλάσματα που έχουν λιγότερα δεκαδικά ψηφία μετά την υποδιαστολή: 0,3200; 2,5000; 13.1023; 5,2380.

Σε τι χρησιμεύει; Εκχωρώντας μηδενικά προς τα δεξιά, πήραμε τέσσερα ψηφία μετά την υποδιαστολή για κάθε αριθμό, που σημαίνει ότι κάθε κλάσμα θα έχει παρονομαστή 10.000 και πριν ορίσουμε μηδενικά, ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος ήταν 100, του δεύτερου 10, του τρίτου 10.000 και το τέταρτο 1.000. Έτσι λοιπόν, εκχωρώντας μηδενικά, εξισώσαμε τον αριθμό των δεκαδικών ψηφίων των κλασμάτων μας, δηλ. τα φέραμε σε έναν κοινό παρονομαστή. Επομένως, η αναγωγή των δεκαδικών κλασμάτων σε έναν κοινό παρονομαστή πραγματοποιείται με την ανάθεση μηδενικών σε αυτά τα κλάσματα.

Από την άλλη, αν κάποιο δεκαδικό κλάσμα έχει μηδενικά στα δεξιά, τότε μπορούμε να τα απορρίψουμε χωρίς να αλλάξουμε την τιμή του, για παράδειγμα: 2,60 = 2,6; 3.150 = 3.15; 4.200 = 4.2.

Πώς πρέπει να κατανοήσει κανείς μια τέτοια απόρριψη μηδενικών στα δεξιά του δεκαδικού κλάσματος; Είναι ισοδύναμο με τη μείωσή του, και αυτό φαίνεται αν γράψουμε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα με παρονομαστή:

§ 105. Σύγκριση δεκαδικών κλασμάτων σε μέγεθος.

Όταν χρησιμοποιείτε δεκαδικά κλάσματα, είναι πολύ σημαντικό να μπορείτε να συγκρίνετε τα κλάσματα μεταξύ τους και να απαντήσετε στην ερώτηση ποια από αυτά είναι ίσα, ποια είναι μεγαλύτερα και ποια είναι μικρότερα. Η σύγκριση δεκαδικών γίνεται διαφορετικά από τη σύγκριση ακεραίων. Για παράδειγμα, ένας ακέραιος αριθμός διψήφιος αριθμόςπάντα μεγαλύτερο από ένα μονοψήφιο, ανεξάρτητα από το πόσες μονάδες υπάρχουν σε ένα μονοψήφιο. ένας τριψήφιος αριθμός είναι περισσότερο από έναν διψήφιο αριθμό και ακόμη περισσότερο ένας μονοψήφιος αριθμός. Αλλά όταν συγκρίνουμε δεκαδικά κλάσματα, θα ήταν λάθος να μετρήσουμε όλα τα σημάδια με τα οποία γράφονται τα κλάσματα.

Ας πάρουμε δύο κλάσματα: 3,5 και 2,5 και τα συγκρίνουμε σε μέγεθος. Έχουν τα ίδια δεκαδικά ψηφία, αλλά το πρώτο κλάσμα έχει 3 ακέραιους και το δεύτερο έχει 2. Το πρώτο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο, δηλ.

Ας πάρουμε άλλα κλάσματα: 0,4 και 0,38. Για να συγκρίνετε αυτά τα κλάσματα, είναι χρήσιμο να αντιστοιχίσετε μηδέν στα δεξιά του πρώτου κλάσματος. Στη συνέχεια θα συγκρίνουμε τα κλάσματα 0,40 και 0,38. Κάθε ένα από αυτά έχει δύο ψηφία μετά την υποδιαστολή, που σημαίνει ότι αυτά τα κλάσματα έχουν τον ίδιο παρονομαστή 100.

Χρειάζεται μόνο να συγκρίνουμε τους αριθμητές τους, αλλά ο αριθμητής 40 είναι μεγαλύτερος του 38. Άρα το πρώτο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο, δηλ.

Το πρώτο κλάσμα έχει περισσότερα δέκατα από το δεύτερο, ωστόσο, το δεύτερο κλάσμα έχει 8 περισσότερα εκατοστά, αλλά είναι λιγότερο από το ένα δέκατο, επειδή 1/10 \u003d 10/100.

Τώρα ας συγκρίνουμε τέτοια κλάσματα: 1,347 και 1,35. Εκχωρούμε μηδέν στα δεξιά του δεύτερου κλάσματος και συγκρίνουμε τα δεκαδικά κλάσματα: 1,347 και 1,350. Τα ακέραια μέρη είναι τα ίδια, επομένως χρειάζεται μόνο να συγκρίνετε τα κλασματικά μέρη: 0,347 και 0,350. Ο παρονομαστής αυτών των κλασμάτων είναι κοινός, αλλά ο αριθμητής του δεύτερου κλάσματος είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή του πρώτου, πράγμα που σημαίνει ότι το δεύτερο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το πρώτο, δηλαδή 1,35\u003e 1,347.

Τέλος, ας συγκρίνουμε δύο ακόμη κλάσματα: 0,625 και 0,62473. Προσθέτουμε δύο μηδενικά στο πρώτο κλάσμα έτσι ώστε τα ψηφία να είναι ίσα και συγκρίνουμε τα κλάσματα που προκύπτουν: 0,62500 και 0,62473. Οι παρονομαστές τους είναι οι ίδιοι, αλλά ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος 62500 είναι μεγαλύτερος από τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος 62473. Επομένως, το πρώτο κλάσμα είναι μεγαλύτερο από το δεύτερο, δηλ. 0,625 > 0,62473.

Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να βγάλουμε το εξής συμπέρασμα: από δύο δεκαδικά κλάσματα, αυτό με περισσότερους ακέραιους είναι μεγαλύτερο. Όταν οι ακέραιοι αριθμοί είναι ίσοι, αυτό το κλάσμα είναι μεγαλύτερο, στο οποίο ο αριθμός των δέκατων είναι μεγαλύτερος. όταν οι ακέραιοι και τα δέκατα είναι ίσα, αυτό το κλάσμα είναι μεγαλύτερο, στο οποίο ο αριθμός των εκατοστών είναι μεγαλύτερος κ.λπ.

§ 106. Αύξηση και μείωση δεκαδικού κλάσματος κατά 10, 100, 1.000 κ.λπ. φορές.

Γνωρίζουμε ήδη ότι η προσθήκη μηδενικών σε ένα δεκαδικό δεν επηρεάζει την αξία του. Όταν μελετήσαμε ακέραιους αριθμούς, είδαμε ότι κάθε μηδέν που εκχωρήθηκε στα δεξιά αύξανε τον αριθμό κατά 10 φορές. Δεν είναι δύσκολο να καταλάβουμε γιατί συνέβη αυτό. Αν πάρουμε έναν ακέραιο, για παράδειγμα 25, και αντιστοιχίσουμε το μηδέν στα δεξιά του, τότε ο αριθμός θα αυξηθεί κατά 10 φορές, ο αριθμός 250 είναι 10 φορές μεγαλύτερος από το 25. Όταν το μηδέν εμφανίστηκε στα δεξιά, ο αριθμός 5, ο οποίος παλιά υποδηλώνει μονάδες, τώρα άρχισε να υποδηλώνει δεκάδες και ο αριθμός 2, που αντιστοιχούσε σε δεκάδες, τώρα σημαίνει εκατοντάδες. Έτσι, χάρη στην εμφάνιση του μηδενός, τα παλιά ψηφία αντικαταστάθηκαν από νέα, έγιναν μεγαλύτερα, μετακινήθηκαν μια θέση προς τα αριστερά. Όταν είναι απαραίτητο να αυξήσουμε ένα δεκαδικό κλάσμα, για παράδειγμα, κατά 10 φορές, τότε πρέπει επίσης να μετακινήσουμε τα ψηφία μια θέση προς τα αριστερά, αλλά μια τέτοια κίνηση δεν μπορεί να επιτευχθεί με το μηδέν. Ένα δεκαδικό κλάσμα αποτελείται από ένα ακέραιο μέρος και ένα κλασματικό μέρος, που χωρίζονται με κόμμα. Στα αριστερά της υποδιαστολής βρίσκεται το χαμηλότερο ακέραιο ψηφίο, στα δεξιά το υψηλότερο κλασματικό ψηφίο. Θεωρήστε ένα κλάσμα:

Πώς μπορούμε να μετακινήσουμε τα ψηφία σε αυτό, τουλάχιστον κατά ένα σημείο, δηλαδή, πώς μπορούμε να το αυξήσουμε 10 φορές; Εάν μετακινήσουμε το κόμμα μία θέση προς τα δεξιά, τότε πρώτα απ 'όλα αυτό θα επηρεάσει τη μοίρα των πέντε: είναι από την περιοχή κλασματικοί αριθμοίεμπίπτει στη σφαίρα των ακεραίων. Ο αριθμός θα λάβει τη μορφή: 12345.678. Η αλλαγή έγινε με όλους τους άλλους αριθμούς, και όχι μόνο με τους πέντε. Όλοι οι αριθμοί που περιλαμβάνονται στον αριθμό άρχισαν να παίζουν νέο ρόλο, συνέβη το εξής (βλ. πίνακα):

Όλες οι βαθμίδες άλλαξαν το όνομά τους και όλες οι μονάδες κατάταξης, ας πούμε, ανέβηκαν μία θέση. Από αυτό, ο συνολικός αριθμός αυξήθηκε κατά 10 φορές. Έτσι, η μετακίνηση του κόμματος με έναν χαρακτήρα προς τα δεξιά αυξάνει τον αριθμό κατά 10 φορές.

Ας δούμε μερικά ακόμη παραδείγματα:

1) Πάρτε το κλάσμα 0,5 και μετακινήστε το κόμμα μία θέση προς τα δεξιά. παίρνουμε τον αριθμό 5, που είναι 10 φορές μεγαλύτερος από το 0,5, γιατί πριν το πέντε σήμαινε τα δέκατα της μονάδας, και τώρα σημαίνει ολόκληρες μονάδες.

2) Μετακινήστε το κόμμα στον αριθμό 1.234 δύο ψηφία προς τα δεξιά. ο αριθμός γίνεται 123,4. Αυτός ο αριθμός είναι 100 φορές μεγαλύτερος από τον προηγούμενο, επειδή σε αυτόν ο αριθμός 3 άρχισε να υποδηλώνει μονάδες, ο αριθμός 2 - δεκάδες και ο αριθμός 1 - εκατοντάδες.

Έτσι, για να αυξήσετε το δεκαδικό κλάσμα κατά 10, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα σε αυτό ένα σημείο προς τα δεξιά. για να το αυξήσετε κατά 100 φορές, πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα δύο θέσεις προς τα δεξιά. να αυξηθεί 1.000 φορές - τρία ψηφία προς τα δεξιά κ.λπ.

Εάν ταυτόχρονα δεν υπάρχουν αρκετά σημάδια για τον αριθμό, τότε του εκχωρούνται μηδενικά στα δεξιά. Για παράδειγμα, ας αυξήσουμε το κλάσμα 1,5 επί 100 φορές μετακινώντας το κόμμα κατά δύο ψηφία. παίρνουμε 150. Ας αυξήσουμε το κλάσμα 0,6 κατά 1.000 φορές. παίρνουμε 600.

πίσω εάν απαιτείται μείωσηδεκαδικό κλάσμα κατά 10, 100, 1.000, κ.λπ. φορές, τότε πρέπει να μετακινήσετε το κόμμα προς τα αριστερά σε αυτό κατά έναν, δύο, τρεις, κ.λπ. χαρακτήρες. Έστω το κλάσμα 20,5. ας το μειώσουμε κατά 10 φορές? για να το κάνουμε αυτό, μετακινούμε το σύμβολο κόμμα ένα προς τα αριστερά, το κλάσμα θα πάρει τη μορφή 2.05. Ας μειώσουμε το κλάσμα 0,015 κατά 100 φορές. παίρνουμε 0,00015. Ας μειώσουμε τον αριθμό 334 κατά 10 φορές. παίρνουμε 33,4.

Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε πώς μετατροπή κοινών κλασμάτων σε δεκαδικά, και επίσης εξετάστε την αντίστροφη διαδικασία - τη μετατροπή δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα. Εδώ θα εκφράσουμε τους κανόνες για την αντιστροφή των κλασμάτων και θα δώσουμε λεπτομερείς λύσειςτυπικά παραδείγματα.

Πλοήγηση στη σελίδα.

Μετατροπή κοινών κλασμάτων σε δεκαδικά

Ας υποδηλώσουμε τη σειρά με την οποία θα ασχοληθούμε μετατροπή κοινών κλασμάτων σε δεκαδικά.

Αρχικά, θα δούμε πώς να αναπαραστήσουμε συνηθισμένα κλάσματα με παρονομαστές 10, 100, 1000, ... ως δεκαδικά κλάσματα. Αυτό συμβαίνει επειδή τα δεκαδικά κλάσματα είναι ουσιαστικά μια συμπαγής μορφή συνηθισμένων κλασμάτων με παρονομαστές 10, 100, ....

Μετά από αυτό, θα πάμε παρακάτω και θα δείξουμε πώς κάθε συνηθισμένο κλάσμα (όχι μόνο με παρονομαστές 10, 100, ...) μπορεί να γραφτεί ως δεκαδικό κλάσμα. Με αυτή τη μετατροπή των συνηθισμένων κλασμάτων, λαμβάνονται τόσο πεπερασμένα δεκαδικά κλάσματα όσο και άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα.

Τώρα για όλα με τη σειρά.

Μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων με παρονομαστές 10, 100, ... σε δεκαδικά κλάσματα

Ορισμένα κανονικά κλάσματα χρειάζονται "προκαταρκτική προετοιμασία" πριν μετατραπούν σε δεκαδικά. Αυτό ισχύει για συνηθισμένα κλάσματα, ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή των οποίων είναι μικρότερος από τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, το κοινό κλάσμα 2/100 πρέπει πρώτα να προετοιμαστεί για μετατροπή σε δεκαδικό κλάσμα, αλλά το κλάσμα 9/10 δεν χρειάζεται να προετοιμαστεί.

Η «προκαταρκτική προετοιμασία» των σωστών συνηθισμένων κλασμάτων για τη μετατροπή σε δεκαδικά κλάσματα συνίσταται στην προσθήκη τόσων πολλών μηδενικών στα αριστερά στον αριθμητή που σύνολοψηφία έγιναν ίσα με τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή. Για παράδειγμα, ένα κλάσμα μετά την προσθήκη μηδενικών θα μοιάζει με .

Αφού προετοιμάσετε το σωστό συνηθισμένο κλάσμα, μπορείτε να αρχίσετε να το μετατρέπετε σε δεκαδικό κλάσμα.

Ας δώσουμε κανόνας για τη μετατροπή ενός σωστού κοινού κλάσματος με παρονομαστή 10, ή 100, ή 1.000, ... σε δεκαδικό κλάσμα. Αποτελείται από τρία βήματα:

• γράψε 0 ;
• βάλε μια υποδιαστολή μετά από αυτό?
• γράψτε τον αριθμό από τον αριθμητή (μαζί με τα μηδενικά που προστέθηκαν, αν τα προσθέσαμε).

Εξετάστε την εφαρμογή αυτού του κανόνα στην επίλυση παραδειγμάτων.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το σωστό κλάσμα 37/100 σε δεκαδικό.

Λύση.

Ο παρονομαστής περιέχει τον αριθμό 100, ο οποίος έχει δύο μηδενικά στην καταχώρισή του. Ο αριθμητής περιέχει τον αριθμό 37, υπάρχουν δύο ψηφία στην εγγραφή του, επομένως, αυτό το κλάσμα δεν χρειάζεται να προετοιμαστεί για μετατροπή σε δεκαδικό κλάσμα.

Τώρα γράφουμε 0, βάζουμε υποδιαστολή και γράφουμε τον αριθμό 37 από τον αριθμητή, ενώ παίρνουμε το δεκαδικό κλάσμα 0,37.

Απάντηση:

0,37 .

Για να εμπεδώσουμε τις δεξιότητες μετάφρασης κανονικών συνηθισμένων κλασμάτων με αριθμητές 10, 100, ... σε δεκαδικά κλάσματα, θα αναλύσουμε τη λύση ενός άλλου παραδείγματος.

Παράδειγμα.

σημειωσε κατάλληλο κλάσμα 107/10.000.000 ως δεκαδικό.

Λύση.

Ο αριθμός των ψηφίων στον αριθμητή είναι 3 και ο αριθμός των μηδενικών στον παρονομαστή είναι 7, επομένως αυτό το συνηθισμένο κλάσμα πρέπει να προετοιμαστεί για μετατροπή σε δεκαδικό. Πρέπει να προσθέσουμε 7-3=4 μηδενικά αριστερά στον αριθμητή, ώστε ο συνολικός αριθμός των ψηφίων εκεί να γίνει ίσος με τον αριθμό των μηδενικών στον παρονομαστή. Παίρνουμε .

Απομένει να σχηματιστεί το επιθυμητό δεκαδικό κλάσμα. Για να γίνει αυτό, πρώτον, γράφουμε το 0, δεύτερον, βάζουμε κόμμα, τρίτον, σημειώνουμε τον αριθμό από τον αριθμητή μαζί με τα μηδενικά 0000107, ως αποτέλεσμα έχουμε ένα δεκαδικό κλάσμα 0,0000107.

Απάντηση:

0,0000107 .

Τα ακατάλληλα κοινά κλάσματα δεν χρειάζονται προετοιμασία κατά τη μετατροπή σε δεκαδικά κλάσματα. Θα πρέπει να τηρούνται τα ακόλουθα κανόνες για τη μετατροπή ακατάλληλων κοινών κλασμάτων με παρονομαστές 10, 100, ... σε δεκαδικά κλάσματα:

• γράψτε τον αριθμό από τον αριθμητή.
• χωρίζουμε με δεκαδικό τόσα ψηφία στα δεξιά όσα μηδενικά υπάρχουν στον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος.

Ας αναλύσουμε την εφαρμογή αυτού του κανόνα κατά την επίλυση ενός παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το ακατάλληλο κοινό κλάσμα 56 888 038 009/100 000 σε δεκαδικό.

Λύση.

Πρώτον, σημειώνουμε τον αριθμό από τον αριθμητή 56888038009 και δεύτερον, χωρίζουμε 5 ψηφία στα δεξιά με υποδιαστολή, αφού υπάρχουν 5 μηδενικά στον παρονομαστή του αρχικού κλάσματος. Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα δεκαδικό κλάσμα 568 880.38009.

Απάντηση:

568 880,38009 .

Για να μετατρέψετε έναν μικτό αριθμό σε δεκαδικό κλάσμα, ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους του οποίου είναι ο αριθμός 10, ή 100, ή 1.000, ..., μπορείτε να μετατρέψετε τον μικτό αριθμό σε ένα ακατάλληλο συνηθισμένο κλάσμα, μετά το οποίο το κλάσμα που προκύπτει μπορεί να μετατραπεί σε δεκαδικό κλάσμα. Μπορείτε όμως να χρησιμοποιήσετε και τα παρακάτω ο κανόνας για τη μετατροπή μικτών αριθμών με παρονομαστή του κλασματικού μέρους 10, ή 100, ή 1.000, ... σε δεκαδικά κλάσματα:

• εάν είναι απαραίτητο, πραγματοποιούμε «προκαταρκτική προετοιμασία» του κλασματικού μέρους του αρχικού μικτού αριθμού προσθέτοντας απαιτούμενο ποσόμηδενικά στα αριστερά στον αριθμητή.
• γράψτε το ακέραιο μέρος του αρχικού μικτού αριθμού.
• βάλε δεκαδικό ψηφίο?
• γράφουμε τον αριθμό από τον αριθμητή μαζί με τα μηδενικά που προστέθηκαν.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα, στην επίλυση του οποίου θα εκτελέσουμε όλα τα απαραίτητα βήματα για να αναπαραστήσουμε έναν μικτό αριθμό ως δεκαδικό κλάσμα.

Παράδειγμα.

Μετατροπή μικτού αριθμού σε δεκαδικό.

Λύση.

Υπάρχουν 4 μηδενικά στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους και ο αριθμός 17 στον αριθμητή, που αποτελείται από 2 ψηφία, επομένως, πρέπει να προσθέσουμε δύο μηδενικά αριστερά στον αριθμητή, έτσι ώστε ο αριθμός των χαρακτήρων εκεί να γίνει ίσος με τον αριθμός μηδενικών στον παρονομαστή. Κάνοντας αυτό, ο αριθμητής θα είναι 0017 .

Τώρα γράφουμε το ακέραιο μέρος του αρχικού αριθμού, δηλαδή τον αριθμό 23, βάζουμε μια υποδιαστολή, μετά την οποία γράφουμε τον αριθμό από τον αριθμητή μαζί με τα προστιθέμενα μηδενικά, δηλαδή το 0017, ενώ παίρνουμε το επιθυμητό δεκαδικό κλάσμα 23,0017.

Ας γράψουμε εν συντομία ολόκληρη τη λύση: .

Αναμφίβολα, ήταν δυνατό να αναπαρασταθεί πρώτα ο μεικτός αριθμός ως ακατάλληλο κλάσμα και στη συνέχεια να μετατραπεί σε δεκαδικό κλάσμα. Με αυτήν την προσέγγιση, η λύση μοιάζει με αυτό:

Απάντηση:

23,0017 .

Μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε πεπερασμένα και άπειρα περιοδικά δεκαδικά κλάσματα

Όχι μόνο τα συνηθισμένα κλάσματα με παρονομαστές 10, 100, ... μπορούν να μετατραπούν σε δεκαδικό κλάσμα, αλλά τα συνηθισμένα κλάσματα με άλλους παρονομαστές. Τώρα θα καταλάβουμε πώς γίνεται αυτό.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το αρχικό κοινό κλάσμα μειώνεται εύκολα σε έναν από τους παρονομαστές 10, ή 100, ή 1000, ... (δείτε την αναγωγή ενός συνηθισμένου κλάσματος σε νέο παρονομαστή), μετά τον οποίο δεν είναι δύσκολο να παρουσιαστεί το προκύπτον κλάσμα ως δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, είναι προφανές ότι το κλάσμα 2/5 μπορεί να αναχθεί σε κλάσμα με παρονομαστή 10, για αυτό πρέπει να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 2, το οποίο θα δώσει ένα κλάσμα 4/10, το οποίο, σύμφωνα με το κανόνες που συζητήθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο, μπορούν εύκολα να μετατραπούν σε δεκαδικό κλάσμα 0, τέσσερα .

Σε άλλες περιπτώσεις, πρέπει να χρησιμοποιήσετε έναν διαφορετικό τρόπο μετατροπής ενός συνηθισμένου κλάσματος σε δεκαδικό, τον οποίο θα εξετάσουμε τώρα.

Για να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό κλάσμα, ο αριθμητής του κλάσματος διαιρείται με τον παρονομαστή, ο αριθμητής αντικαθίσταται πρώτα από ένα ίσο δεκαδικό κλάσμα με οποιοδήποτε αριθμό μηδενικών μετά την υποδιαστολή (μιλήσαμε για αυτό στην ενότητα ίσο και άνισα δεκαδικά κλάσματα). Σε αυτή την περίπτωση, η διαίρεση εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως η διαίρεση με μια στήλη φυσικών αριθμών και μια υποδιαστολή τοποθετείται στο πηλίκο όταν τελειώνει η διαίρεση του ακέραιου μέρους του μερίσματος. Όλα αυτά θα γίνουν ξεκάθαρα από τις λύσεις των παραδειγμάτων που δίνονται παρακάτω.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το κοινό κλάσμα 621/4 σε δεκαδικό.

Λύση.

Αντιπροσωπεύουμε τον αριθμό στον αριθμητή 621 ως δεκαδικό κλάσμα προσθέτοντας μια υποδιαστολή και μερικά μηδενικά μετά από αυτόν. Αρχικά, θα προσθέσουμε 2 ψηφία 0, αργότερα, εάν είναι απαραίτητο, μπορούμε πάντα να προσθέσουμε περισσότερα μηδενικά. Άρα, έχουμε 621,00 .

Τώρα ας διαιρέσουμε τον αριθμό 621.000 με 4 με μια στήλη. Τα τρία πρώτα βήματα δεν διαφέρουν από τη διαίρεση με στήλη φυσικούς αριθμούς, μετά από την οποία φτάνουμε στην παρακάτω εικόνα:

Έτσι φτάσαμε στην υποδιαστολή στο μέρισμα, και το υπόλοιπο είναι διαφορετικό από το μηδέν. Σε αυτήν την περίπτωση, βάζουμε μια υποδιαστολή στο πηλίκο και συνεχίζουμε τη διαίρεση με μια στήλη, αγνοώντας τα κόμματα:

Αυτή η διαίρεση ολοκληρώθηκε και ως αποτέλεσμα πήραμε το δεκαδικό κλάσμα 155,25, το οποίο αντιστοιχεί στο αρχικό συνηθισμένο κλάσμα.

Απάντηση:

155,25 .

Για να εμπεδώσετε το υλικό, εξετάστε τη λύση ενός άλλου παραδείγματος.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το κοινό κλάσμα 21/800 σε δεκαδικό.

Λύση.

Για να μετατρέψουμε αυτό το κοινό κλάσμα σε δεκαδικό, ας διαιρέσουμε το δεκαδικό κλάσμα 21.000 ... με 800 με μια στήλη. Μετά το πρώτο βήμα, θα πρέπει να βάλουμε μια υποδιαστολή στο πηλίκο και στη συνέχεια να συνεχίσουμε τη διαίρεση:

Τελικά, πήραμε το υπόλοιπο 0, σε αυτό ολοκληρώνεται η μετατροπή του συνηθισμένου κλάσματος 21/400 στο δεκαδικό κλάσμα και έχουμε φτάσει στο δεκαδικό κλάσμα 0,02625.

Απάντηση:

0,02625 .

Μπορεί να συμβεί όταν διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή ενός συνηθισμένου κλάσματος, να μην έχουμε ποτέ υπόλοιπο 0. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η διαίρεση μπορεί να συνεχιστεί όσο επιθυμείτε. Ωστόσο, ξεκινώντας από ένα ορισμένο βήμα, τα υπόλοιπα αρχίζουν να επαναλαμβάνονται περιοδικά, ενώ τα ψηφία στο πηλίκο επαναλαμβάνονται επίσης. Αυτό σημαίνει ότι το αρχικό κοινό κλάσμα μεταφράζεται σε άπειρο περιοδικό δεκαδικό. Ας το δείξουμε αυτό με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα.

Να γράψετε το κοινό κλάσμα 19/44 ως δεκαδικό.

Λύση.

Για να μετατρέψουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό, κάνουμε διαίρεση με στήλη:

Είναι ήδη σαφές ότι κατά τη διαίρεση, τα υπόλοιπα 8 και 36 άρχισαν να επαναλαμβάνονται, ενώ στο πηλίκο επαναλαμβάνονται οι αριθμοί 1 και 8. Έτσι, το αρχικό συνηθισμένο κλάσμα 19/44 μεταφράζεται σε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα 0,43181818…=0,43(18) .

Απάντηση:

0,43(18) .

Συμπερασματικά αυτής της παραγράφου, θα καταλάβουμε ποια συνηθισμένα κλάσματα μπορούν να μετατραπούν σε τελικά δεκαδικά κλάσματα και ποια μπορούν να μετατραπούν μόνο σε περιοδικά.

Ας έχουμε ένα μη αναγώγιμο συνηθισμένο κλάσμα μπροστά μας (αν το κλάσμα είναι αναγωγίσιμο, τότε πρώτα εκτελούμε τη μείωση του κλάσματος) και πρέπει να βρούμε σε ποιο δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί - πεπερασμένο ή περιοδικό.

Είναι σαφές ότι εάν ένα συνηθισμένο κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε έναν από τους παρονομαστές 10, 100, 1000, ..., τότε το κλάσμα που προκύπτει μπορεί εύκολα να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα σύμφωνα με τους κανόνες που συζητήθηκαν στην προηγούμενη παράγραφο. Αλλά στους παρονομαστές 10, 100, 1.000 κ.λπ. δεν δίνονται όλα τα συνηθισμένα κλάσματα. Μόνο τα κλάσματα μπορούν να αναχθούν σε τέτοιους παρονομαστές, οι παρονομαστές των οποίων είναι τουλάχιστον ένας από τους αριθμούς 10, 100, ... Και ποιοι αριθμοί μπορούν να είναι διαιρέτες του 10, του 100, ...; Οι αριθμοί 10, 100, … θα μας επιτρέψουν να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση και είναι οι εξής: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Από αυτό προκύπτει ότι οι διαιρέτες των 10, 100, 1.000 κ.λπ. μπορούν να υπάρχουν μόνο αριθμοί των οποίων οι επεκτάσεις σε πρωταρχικούς παράγοντεςπεριέχει μόνο τους αριθμούς 2 και (ή) 5 .

Τώρα μπορούμε να κάνουμε ένα γενικό συμπέρασμα σχετικά με τη μετατροπή συνηθισμένων κλασμάτων σε δεκαδικά κλάσματα:

• εάν μόνο οι αριθμοί 2 και (ή) 5 είναι παρόντες στην αποσύνθεση του παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες, τότε αυτό το κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα.
• αν, εκτός από δύο και πέντε, υπάρχουν και άλλα στο μεγέθυνση του παρονομαστή πρώτοι αριθμοί, τότε αυτό το κλάσμα μεταφράζεται σε ένα άπειρο δεκαδικό περιοδικό κλάσμα.

Παράδειγμα.

Χωρίς να μετατρέψετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικά, πείτε μου ποιο από τα κλάσματα 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα και ποιο μπορεί να μετατραπεί μόνο σε περιοδικό.

Λύση.

Η πρώτη παραγοντοποίηση του παρονομαστή του κλάσματος 47/20 έχει τη μορφή 20=2 2 5 . Υπάρχουν μόνο δύο και πέντε σε αυτήν την επέκταση, επομένως αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί σε έναν από τους παρονομαστές 10, 100, 1000, ... (σε αυτό το παράδειγμα, στον παρονομαστή 100), επομένως, μπορεί να μετατραπεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα.

Η πρώτη παραγοντοποίηση του παρονομαστή του κλάσματος 7/12 έχει τη μορφή 12=2 2 3 . Δεδομένου ότι περιέχει έναν απλό παράγοντα 3 διαφορετικό από το 2 και το 5, αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Κλάσμα 21/56 - συσταλτικό, μετά τη μείωση παίρνει τη μορφή 3/8. Η αποσύνθεση του παρονομαστή σε πρώτους παράγοντες περιέχει τρεις παράγοντες ίσους με 2, επομένως, το συνηθισμένο κλάσμα 3/8, και επομένως το κλάσμα ίσο με αυτό 21/56, μπορεί να μεταφραστεί σε τελικό δεκαδικό κλάσμα.

Τέλος, η επέκταση του παρονομαστή του κλάσματος 31/17 είναι η ίδια 17, επομένως, αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να μετατραπεί σε πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε άπειρο περιοδικό.

Απάντηση:

Τα 47/20 και 21/56 μπορούν να μετατραπούν σε τελικό δεκαδικό, ενώ τα 7/12 και 31/17 μπορούν να μετατραπούν μόνο σε περιοδικό δεκαδικό.

Τα κοινά κλάσματα δεν μετατρέπονται σε άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά

Οι πληροφορίες της προηγούμενης παραγράφου εγείρουν το ερώτημα: «Μπορεί να ληφθεί ένα άπειρο μη περιοδικό κλάσμα κατά τη διαίρεση του αριθμητή ενός κλάσματος με τον παρονομαστή»;

Απάντηση: όχι. Κατά τη μετάφραση ενός συνηθισμένου κλάσματος, μπορεί να ληφθεί είτε ένα πεπερασμένο δεκαδικό κλάσμα είτε ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα. Ας εξηγήσουμε γιατί συμβαίνει αυτό.

Από το θεώρημα διαιρετότητας με υπόλοιπο είναι σαφές ότι το υπόλοιπο είναι πάντα λιγότερο διαιρέτης, δηλαδή αν διαιρέσουμε κάποιον ακέραιο με έναν ακέραιο q , τότε το υπόλοιπο μπορεί να είναι μόνο ένας από τους αριθμούς 0, 1, 2, ..., q−1 . Συνεπάγεται ότι αφού ολοκληρωθεί η διαίρεση του ακέραιου μέρους του αριθμητή ενός συνηθισμένου κλάσματος με τον παρονομαστή q, μετά από όχι περισσότερα από βήματα q, θα προκύψει μία από τις ακόλουθες δύο καταστάσεις:

• είτε παίρνουμε το υπόλοιπο 0 , αυτό θα τερματίσει τη διαίρεση και θα πάρουμε το τελικό δεκαδικό κλάσμα.
• ή θα πάρουμε ένα υπόλοιπο που έχει ήδη εμφανιστεί πριν, μετά το οποίο τα υπόλοιπα θα αρχίσουν να επαναλαμβάνονται όπως στο προηγούμενο παράδειγμα (από τη διαίρεση ίσοι αριθμοίστο q, προκύπτουν ίσα υπόλοιπα, που προκύπτει από το ήδη αναφερθέν θεώρημα διαιρετότητας), οπότε θα προκύψει ένα άπειρο περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Δεν μπορούν να υπάρχουν άλλες επιλογές, επομένως, κατά τη μετατροπή ενός συνηθισμένου κλάσματος σε δεκαδικό κλάσμα, δεν μπορεί να ληφθεί ένα άπειρο μη περιοδικό δεκαδικό κλάσμα.

Από τη συλλογιστική που δίνεται στην παράγραφο αυτή προκύπτει επίσης ότι η διάρκεια της περιόδου ενός δεκαδικού κλάσματος είναι πάντα μικρότερη από την τιμή του παρονομαστή του αντίστοιχου συνηθισμένου κλάσματος.

Μετατροπή δεκαδικών σε κοινά κλάσματα

Τώρα ας καταλάβουμε πώς να μετατρέψουμε ένα δεκαδικό κλάσμα σε συνηθισμένο. Ας ξεκινήσουμε με τη μετατροπή των τελικών δεκαδικών σε κοινά κλάσματα. Μετά από αυτό, εξετάστε τη μέθοδο αντιστροφής άπειρων περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων. Εν κατακλείδι, ας πούμε για την αδυναμία μετατροπής άπειρων μη περιοδικών δεκαδικών κλασμάτων σε συνηθισμένα κλάσματα.

Μετατροπή τελικών δεκαδικών σε κοινά κλάσματα

Η λήψη ενός συνηθισμένου κλάσματος, το οποίο γράφεται ως τελικό δεκαδικό κλάσμα, είναι αρκετά απλό. Ο κανόνας για τη μετατροπή ενός τελικού δεκαδικού κλάσματος σε συνηθισμένο κλάσμααποτελείται από τρία βήματα:

• Πρώτον, γράψτε το δεδομένο δεκαδικό κλάσμα στον αριθμητή, έχοντας προηγουμένως απορρίψει την υποδιαστολή και όλα τα μηδενικά στα αριστερά, εάν υπάρχουν.
• Δεύτερον, γράψτε ένα στον παρονομαστή και προσθέστε τόσα μηδενικά όσα υπάρχουν ψηφία μετά την υποδιαστολή στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα.
• Τρίτον, εάν είναι απαραίτητο, μειώστε το προκύπτον κλάσμα.

Ας εξετάσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το δεκαδικό 3,025 σε κοινό κλάσμα.

Λύση.

Εάν αφαιρέσουμε την υποδιαστολή στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα, τότε παίρνουμε τον αριθμό 3025. Δεν έχει μηδενικά στα αριστερά που θα απορρίπταμε. Άρα στον αριθμητή του ζητούμενου κλάσματος γράφουμε 3025.

Γράφουμε τον αριθμό 1 στον παρονομαστή και προσθέτουμε 3 μηδενικά στα δεξιά του, αφού στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα υπάρχουν 3 ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Έτσι πήραμε ένα συνηθισμένο κλάσμα 3 025/1 000. Αυτό το κλάσμα μπορεί να μειωθεί κατά 25, παίρνουμε .

Απάντηση:

.

Παράδειγμα.

Μετατρέψτε το δεκαδικό 0,0017 σε κοινό κλάσμα.

Λύση.

Χωρίς υποδιαστολή, το αρχικό δεκαδικό κλάσμα μοιάζει με το 00017, απορρίπτοντας μηδενικά στα αριστερά, παίρνουμε τον αριθμό 17, που είναι ο αριθμητής του επιθυμητού συνηθισμένου κλάσματος.

Στον παρονομαστή γράφουμε μια μονάδα με τέσσερα μηδενικά, αφού στο αρχικό δεκαδικό κλάσμα υπάρχουν 4 ψηφία μετά την υποδιαστολή.

Ως αποτέλεσμα, έχουμε ένα συνηθισμένο κλάσμα 17/10.000. Αυτό το κλάσμα είναι μη αναγώγιμο και ολοκληρώνεται η μετατροπή ενός δεκαδικού κλάσματος σε συνηθισμένο.

Απάντηση:

.

Όταν το ακέραιο μέρος του αρχικού τελικού δεκαδικού κλάσματος είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε μπορεί να μετατραπεί αμέσως σε μικτό αριθμό, παρακάμπτοντας το συνηθισμένο κλάσμα. Ας δώσουμε κανόνας για τη μετατροπή ενός τελικού δεκαδικού σε μικτό αριθμό:

• ο αριθμός πριν από την υποδιαστολή πρέπει να γραφτεί ως το ακέραιο μέρος του επιθυμητού μικτού αριθμού.
• στον αριθμητή του κλασματικού μέρους, πρέπει να γράψετε τον αριθμό που λαμβάνεται από το κλασματικό μέρος του αρχικού δεκαδικού κλάσματος αφού απορρίψετε όλα τα μηδενικά στα αριστερά σε αυτό.
• στον παρονομαστή του κλασματικού μέρους, πρέπει να γράψετε τον αριθμό 1, στον οποίο, στα δεξιά, προσθέστε τόσα μηδενικά όσα ψηφία υπάρχουν στην καταχώρηση του αρχικού δεκαδικού κλάσματος μετά την υποδιαστολή.
• εάν είναι απαραίτητο, μειώστε το κλασματικό μέρος του μικτού αριθμού που προκύπτει.

Εξετάστε ένα παράδειγμα μετατροπής ενός δεκαδικού κλάσματος σε μικτό αριθμό.

Παράδειγμα.

Εκφράστε το δεκαδικό 152,06005 ως μικτό αριθμό

Κλάσματα

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τα κλάσματα στο γυμνάσιο δεν είναι πολύ ενοχλητικά. Προς το παρόν. Μέχρι να τρέξετε σε βαθμούς με ορθολογικούς δείκτεςναι λογαριθμοι. Και εκεί…. Πατάς, πατάς την αριθμομηχανή και δείχνει όλο τον πλήρη πίνακα αποτελεσμάτων ορισμένων αριθμών. Πρέπει να σκέφτεσαι με το κεφάλι σου, όπως στην τρίτη δημοτικού.

Ας ασχοληθούμε επιτέλους με τα κλάσματα! Ε, πόσο μπορείς να μπερδευτείς σε αυτά!; Επιπλέον, όλα είναι απλά και λογικά. Ετσι, τι είναι τα κλάσματα;

Τύποι κλασμάτων. Μεταμορφώσεις.

Τα κλάσματα συμβαίνουν τρία είδη.

1. Κοινά κλάσματα , για παράδειγμα:

Μερικές φορές, αντί για οριζόντια γραμμή, βάζουν κάθετο: 1/2, 3/4, 19/5, καλά, και ούτω καθεξής. Εδώ θα χρησιμοποιούμε συχνά αυτήν την ορθογραφία. Ο κορυφαίος αριθμός καλείται αριθμητής, πιο χαμηλα - παρονομαστής.Εάν μπερδεύετε συνεχώς αυτά τα ονόματα (συμβαίνει ...), πείτε στον εαυτό σας τη φράση με την έκφραση: " Ζζζζθυμάμαι! Ζζζζπαρονομαστής - έξω zzzz u!" Κοίτα, όλα θα θυμούνται.)

Μια παύλα, που είναι οριζόντια, που είναι λοξή, σημαίνει διαίρεσηεπάνω αριθμός (αριθμητής) έως κάτω αριθμός (παρονομαστής). Και τέλος! Αντί για παύλα, είναι πολύ πιθανό να βάλετε ένα σημάδι διαίρεσης - δύο τελείες.

Όταν η διαίρεση είναι πλήρως δυνατή, πρέπει να γίνει. Έτσι, αντί για το κλάσμα "32/8" είναι πολύ πιο ευχάριστο να γράψετε τον αριθμό "4". Εκείνοι. Το 32 απλώς διαιρείται με το 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Δεν μιλάω για το κλάσμα «4/1». Το οποίο είναι επίσης μόνο "4". Και αν δεν διαιρεθεί τελείως, το αφήνουμε ως κλάσμα. Μερικές φορές πρέπει να κάνετε το αντίστροφο. Να σχηματίσετε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό. Αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα.

2. Δεκαδικά , για παράδειγμα:

Σε αυτή τη μορφή θα χρειαστεί να γράψετε τις απαντήσεις στις εργασίες "Β".

3. μικτούς αριθμούς , για παράδειγμα:

Οι μικτοί αριθμοί πρακτικά δεν χρησιμοποιούνται στο γυμνάσιο. Για να δουλέψουμε μαζί τους, πρέπει να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Αλλά σίγουρα πρέπει να ξέρετε πώς να το κάνετε! Και τότε ένας τέτοιος αριθμός θα συναντήσει στο παζλ και θα κρέμεται ... Από την αρχή. Αλλά θυμόμαστε αυτή τη διαδικασία! Λίγο πιο κάτω.

Το πιο ευέλικτο κοινά κλάσματα. Ας ξεκινήσουμε με αυτούς. Παρεμπιπτόντως, αν υπάρχουν όλα τα είδη λογαρίθμων, ημιτόνων και άλλων γραμμάτων στο κλάσμα, αυτό δεν αλλάζει τίποτα. Με την έννοια ότι τα πάντα Οι ενέργειες με κλασματικές εκφράσεις δεν διαφέρουν από τις ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα!

Βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.

Λοιπόν πάμε! Καταρχήν θα σας εκπλήξω. Όλη η ποικιλία των μετασχηματισμών κλασμάτων παρέχεται από μία μόνο ιδιότητα! Έτσι λέγεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Θυμάμαι: Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, το κλάσμα δεν θα αλλάξει.Εκείνοι:

Είναι σαφές ότι μπορείτε να γράψετε περαιτέρω, μέχρι να είστε μπλε στο πρόσωπο. Μην αφήνετε τα ημιτόνια και τους λογάριθμους να σας μπερδεύουν, θα ασχοληθούμε περαιτέρω. Το κύριο πράγμα που πρέπει να καταλάβουμε είναι ότι όλες αυτές οι διάφορες εκφράσεις είναι το ίδιο κλάσμα . 2/3.

Και το χρειαζόμαστε, όλες αυτές οι μεταμορφώσεις; Και πως! Τώρα θα το δείτε μόνοι σας. Αρχικά, ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος για συντομογραφίες κλασμάτων. Φαίνεται ότι το πράγμα είναι στοιχειώδες. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό και τέλος! Είναι αδύνατο να κάνεις λάθος! Όμως... ο άνθρωπος είναι δημιουργικό ον. Μπορείτε να κάνετε λάθη παντού! Ειδικά αν πρέπει να μειώσετε όχι ένα κλάσμα όπως το 5/10, αλλά κλασματική έκφρασημε κάθε λογής γράμματα.

Πώς να μειώσετε τα κλάσματα σωστά και γρήγορα χωρίς να κάνετε περιττή εργασία μπορείτε να βρείτε στην ειδική ενότητα 555.

Ένας κανονικός μαθητής δεν μπαίνει στον κόπο να διαιρέσει τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό (ή έκφραση)! Απλώς διαγράφει τα πάντα το ίδιο από πάνω και κάτω! Εδώ κρύβεται τυπικό λάθος, blooper αν θες.

Για παράδειγμα, πρέπει να απλοποιήσετε την έκφραση:

Δεν υπάρχει τίποτα να σκεφτούμε, διαγράφουμε το γράμμα «α» από πάνω και το δίδυμο από κάτω! Παίρνουμε:

Ολα είναι σωστά. Αλλά πραγματικά μοιραστήκατε ΟΛΟΚΛΗΡΟ αριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟ παρονομαστής «α». Αν συνηθίζεις απλώς να διαγράφεις, τότε, βιαστικά, μπορείς να διαγράψεις το «α» στην έκφραση

και πάρε ξανά

Κάτι που θα ήταν κατηγορηματικά λάθος. Γιατί εδώ ΟΛΟΚΛΗΡΟαριθμητής στο "a" ήδη δεν μοιράζονται! Αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να μειωθεί. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια συντομογραφία είναι, χμ... μια σοβαρή πρόκληση για τον δάσκαλο. Αυτό δεν συγχωρείται! Θυμάμαι? Κατά τη μείωση, είναι απαραίτητο να διαιρεθεί ΟΛΟΚΛΗΡΟ αριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟ παρονομαστής!

Η μείωση των κλασμάτων κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη. Θα πάρετε ένα κλάσμα κάπου, για παράδειγμα 375/1000. Και πώς να συνεργαστείτε μαζί της τώρα; Χωρίς αριθμομηχανή; Πολλαπλασιάζω, ας πούμε, προσθέτω, τετράγωνο!; Και αν δεν είστε πολύ τεμπέλης, αλλά μειώστε προσεκτικά κατά πέντε, και μάλιστα κατά πέντε, ακόμη και ... ενώ μειώνεται, εν ολίγοις. Παίρνουμε 3/8! Πολύ πιο ωραίο, σωστά;

Η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος σάς επιτρέπει να μετατρέπετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικούς και το αντίστροφο χωρίς αριθμομηχανή! Αυτό είναι σημαντικό για τις εξετάσεις, σωστά;

Πώς να μετατρέψετε κλάσματα από μια μορφή σε άλλη.

Είναι εύκολο με δεκαδικά. Όπως ακούγεται, έτσι γράφεται! Ας πούμε 0,25. Είναι σημείο μηδέν, εικοσιπέντε εκατοστά. Γράφουμε λοιπόν: 25/100. Μειώνουμε (διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 25), παίρνουμε το συνηθισμένο κλάσμα: 1/4. Τα παντα. Συμβαίνει, και τίποτα δεν μειώνεται. Όπως 0,3. Αυτό είναι τρία δέκατα, δηλ. 3/10.

Τι γίνεται αν οι ακέραιοι αριθμοί είναι μη μηδενικοί; Είναι εντάξει. Καταγράψτε ολόκληρο το κλάσμα χωρίς κόμματαστον αριθμητή, και στον παρονομαστή - αυτό που ακούγεται. Για παράδειγμα: 3.17. Αυτό είναι τρία ολόκληρα, δεκαεπτά εκατοστά. Στον αριθμητή γράφουμε 317 και στον παρονομαστή 100. Παίρνουμε 317/100. Τίποτα δεν μειώνεται, αυτό σημαίνει τα πάντα. Αυτή είναι η απάντηση. Elementary Watson! Από όλα τα παραπάνω, ένα χρήσιμο συμπέρασμα: οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε κοινό κλάσμα .

Αλλά αντίστροφος μετασχηματισμός, συνηθισμένο έως δεκαδικό, κάποιοι χωρίς αριθμομηχανή δεν μπορούν να το κάνουν. Αλλά πρέπει! Πώς θα γράψετε την απάντηση στην εξέταση!; Διαβάζουμε προσεκτικά και κυριαρχούμε αυτή τη διαδικασία.

Τι είναι ένα δεκαδικό κλάσμα; Έχει στον παρονομαστή πάντααξίζει 10 ή 100 ή 1000 ή 10000 κ.ο.κ. Αν το συνηθισμένο σας κλάσμα έχει τέτοιο παρονομαστή, δεν υπάρχει πρόβλημα. Για παράδειγμα, 4/10 = 0,4. Ή 7/100 = 0,07. Ή 12/10 = 1,2. Και αν στην απάντηση στην εργασία της ενότητας "Β" αποδείχθηκε 1/2; Τι θα γράψουμε ως απάντηση; Απαιτούνται δεκαδικοί...

Θυμόμαστε βασική ιδιότητα ενός κλάσματος ! Τα μαθηματικά σας επιτρέπουν ευνοϊκά να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Για κανέναν, παρεμπιπτόντως! Εκτός από το μηδέν, φυσικά. Ας χρησιμοποιήσουμε αυτή τη δυνατότητα προς όφελός μας! Με τι μπορεί να πολλαπλασιαστεί ο παρονομαστής, δηλ. 2 ώστε να γίνει 10, ή 100, ή 1000 (το μικρότερο είναι καλύτερο φυσικά...); 5, προφανώς. Μη διστάσετε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή (αυτό είναι μαςαπαραίτητο) επί 5. Αλλά, τότε ο αριθμητής πρέπει επίσης να πολλαπλασιαστεί με 5. Αυτό είναι ήδη μαθηματικάαιτήματα! Παίρνουμε 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Αυτό είναι όλο.

Ωστόσο, συναντώνται κάθε είδους παρονομαστές. Για παράδειγμα, το κλάσμα 3/16 θα πέσει. Δοκιμάστε το, υπολογίστε με τι να πολλαπλασιάσετε το 16 για να πάρετε 100 ή 1000... Δεν λειτουργεί; Στη συνέχεια, μπορείτε απλά να διαιρέσετε το 3 με το 16. Ελλείψει αριθμομηχανής, θα πρέπει να διαιρέσετε με μια γωνία, σε ένα κομμάτι χαρτί, όπως στο χαμηλότερους βαθμούςδιδακτός. Παίρνουμε 0,1875.

Και υπάρχουν μερικοί πολύ κακοί παρονομαστές. Για παράδειγμα, το κλάσμα 1/3 δεν μπορεί να μετατραπεί σε καλό δεκαδικό. Τόσο σε μια αριθμομηχανή όσο και σε ένα κομμάτι χαρτί, παίρνουμε 0,3333333 ... Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 σε ένα ακριβές δεκαδικό κλάσμα δεν μεταφράζεται. Ακριβώς όπως 1/7, 5/6 και ούτω καθεξής. Πολλά από αυτά είναι αμετάφραστα. Εξ ου και ένα άλλο χρήσιμο συμπέρασμα. Δεν μετατρέπεται κάθε κοινό κλάσμα σε δεκαδικό. !

Με την ευκαιρία, αυτό ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣγια αυτοέλεγχο. Στην ενότητα "Β" ως απάντηση, πρέπει να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα. Και έχεις, για παράδειγμα, 4/3. Αυτό το κλάσμα δεν μετατρέπεται σε δεκαδικό. Αυτό σημαίνει ότι κάπου στην πορεία έκανες λάθος! Επιστρέψτε, ελέγξτε τη λύση.

Έτσι, με τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα ταξινομημένα. Μένει να ασχοληθούμε με μικτά νούμερα. Για να δουλέψετε μαζί τους, πρέπει όλα να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Πως να το κάνεις? Μπορείς να πιάσεις έναν μαθητή της έκτης δημοτικού και να τον ρωτήσεις. Αλλά δεν θα είναι πάντα διαθέσιμος ένας μαθητής της έκτης δημοτικού... Θα πρέπει να το κάνουμε μόνοι μας. Αυτό δεν είναι δύσκολο. Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους με το ακέραιο μέρος και προσθέστε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Αυτός θα είναι ο αριθμητής συνηθισμένο κλάσμα. Τι γίνεται με τον παρονομαστή; Ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος. Ακούγεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα είναι αρκετά απλό. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Αφήστε το πρόβλημα που είδατε με τρόμο τον αριθμό:

Ήρεμα, χωρίς πανικό, καταλαβαίνουμε. Όλο το μέρος είναι 1. Ένα. Το κλασματικό μέρος είναι 3/7. Επομένως, ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους είναι 7. Αυτός ο παρονομαστής θα είναι ο παρονομαστής του συνηθισμένου κλάσματος. Μετράμε τον αριθμητή. Πολλαπλασιάζουμε το 7 επί 1 (το ακέραιο μέρος) και προσθέτουμε το 3 (τον αριθμητή του κλασματικού μέρους). Παίρνουμε 10. Αυτός θα είναι ο αριθμητής ενός συνηθισμένου κλάσματος. Αυτό είναι όλο. Φαίνεται ακόμη πιο απλό στη μαθηματική σημειογραφία:

Σαφώς? Τότε εξασφαλίστε την επιτυχία σας! Μετατροπή σε κοινά κλάσματα. Θα πρέπει να πάρετε 10/7, 7/2, 23/10 και 21/4.

Η αντίστροφη πράξη - μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό - απαιτείται σπάνια στο γυμνάσιο. Λοιπόν, αν... Και αν - όχι στο γυμνάσιο - μπορείτε να κοιτάξετε την ειδική ενότητα 555. Στο ίδιο μέρος, παρεμπιπτόντως, θα μάθετε για ακατάλληλα κλάσματα.

Λοιπόν, σχεδόν τα πάντα. Θυμήθηκες τα είδη των κλασμάτων και κατάλαβες πως να τα μετατρέψετε από τον ένα τύπο στον άλλο. Το ερώτημα παραμένει: Γιατί Κάνε το? Πού και πότε να εφαρμόσετε αυτή τη βαθιά γνώση;

απαντώ. Κάθε παράδειγμα από μόνο του προτείνει τις απαραίτητες ενέργειες. Αν στο παράδειγμα συνηθισμένα κλάσματα, δεκαδικοί και άρτιοι μικτούς αριθμούς, μετατρέπουμε τα πάντα σε συνηθισμένα κλάσματα. Πάντα μπορεί να γίνει. Λοιπόν, αν γράφεται κάτι σαν 0,8 + 0,3, τότε το πιστεύουμε, χωρίς καμία μετάφραση. Γιατί χρειαζόμαστε επιπλέον δουλειά; Επιλέγουμε τη λύση που είναι βολική μας !

Εάν η εργασία είναι γεμάτη δεκαδικά κλάσματα, αλλά χμ... κάποιου είδους κακά, πηγαίνετε στα συνηθισμένα, δοκιμάστε το! Κοίτα, όλα θα πάνε καλά. Για παράδειγμα, πρέπει να τετραγωνίσετε τον αριθμό 0,125. Όχι τόσο εύκολο αν δεν έχεις χάσει τη συνήθεια της αριθμομηχανής! Όχι μόνο χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σε μια στήλη, αλλά και να σκεφτείτε πού να εισαγάγετε κόμμα! Σίγουρα δεν λειτουργεί στο μυαλό μου! Και αν πάτε σε ένα συνηθισμένο κλάσμα;

0,125 = 125/1000. Μειώνουμε κατά 5 (αυτό είναι για αρχή). Παίρνουμε 25/200. Για άλλη μια φορά στις 5. Παίρνουμε 5/40. Α, συρρικνώνεται! Επιστροφή στο 5! Παίρνουμε 1/8. Τετράγωνε εύκολα (στο μυαλό σου!) και πάρε 1/64. Τα παντα!

Ας συνοψίσουμε αυτό το μάθημα.

1. Υπάρχουν τρία είδη κλασμάτων. Αριθμοί απλοί, δεκαδικοί και μικτές.

2. Δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί πάνταμπορεί να μετατραπεί σε κοινά κλάσματα. Αντίστροφη μετάφραση δεν είναι πάνταδιαθέσιμος.

3. Η επιλογή του τύπου των κλασμάτων για εργασία με την εργασία εξαρτάται από αυτήν ακριβώς την εργασία. Υπό την παρουσία του ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙκλάσματα σε μία εργασία, το πιο αξιόπιστο πράγμα είναι να μεταβείτε σε συνηθισμένα κλάσματα.

Τώρα μπορείτε να εξασκηθείτε. Πρώτα, μετατρέψτε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Θα πρέπει να λάβετε απαντήσεις όπως αυτή (στο χάος!):

Σε αυτό θα τελειώσουμε. Σε αυτό το μάθημα, αναλύσαμε τα βασικά σημεία στα κλάσματα. Συμβαίνει, ωστόσο, να μην υπάρχει κάτι ιδιαίτερο για ανανέωση...) Εάν κάποιος το έχει ξεχάσει τελείως ή δεν το έχει κατακτήσει ακόμα... Αυτά μπορούν να μεταβούν σε μια ειδική Ενότητα 555. Όλα τα βασικά είναι αναλυτικά εκεί. Πολλοί ξαφνικά καταλαβαίνω τα πάντααρχίζουν. Και λύνουν κλάσματα εν πτήσει).

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Τα δεκαδικά κλάσματα είναι τα ίδια συνηθισμένα κλάσματα, αλλά με τον λεγόμενο δεκαδικό συμβολισμό. Δεκαδικός συμβολισμόςχρησιμοποιείται για κλάσματα με παρονομαστές 10, 100, 1000 κ.λπ. Σε αυτήν την περίπτωση, αντί για κλάσματα 1/10. 1/100; 1/1000; ... γράψτε 0,1; 0,01; 0,001;... .

Για παράδειγμα, 0,7 ( σημείο μηδέν επτά) είναι κλάσμα 7/10. 5,43 ( πέντε πόντοι σαράντα τρία εκατοστά) είναι ένα μικτό κλάσμα 5 43/100 (ή, ισοδύναμα, ένα ακατάλληλο κλάσμα 543/100).

Μπορεί να συμβεί να υπάρχουν ένα ή περισσότερα μηδενικά αμέσως μετά την υποδιαστολή: 1,03 είναι το κλάσμα 1 3/100. 17,0087 είναι το κλάσμα 1787/10000. Γενικός κανόναςείναι αυτό: πρέπει να υπάρχουν τόσα μηδενικά στον παρονομαστή ενός συνηθισμένου κλάσματος όσα και τα ψηφία μετά την υποδιαστολή στο δεκαδικό κλάσμα.

Ένα δεκαδικό μπορεί να τελειώνει σε ένα ή περισσότερα μηδενικά. Αποδεικνύεται ότι αυτά τα μηδενικά είναι "έξτρα" - μπορούν απλά να αφαιρεθούν: 1,30 = 1,3. 5,4600 = 5,46; 3.000 = 3. Μπορείτε να καταλάβετε γιατί συμβαίνει αυτό;

Οι δεκαδικοί εμφανίζονται φυσικά όταν διαιρούνται με "στρογγυλούς" αριθμούς - 10, 100, 1000, ... Φροντίστε να κατανοήσετε τα ακόλουθα παραδείγματα:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Παρατηρείτε κάποιο μοτίβο εδώ; Προσπάθησε να το διατυπώσεις. Τι συμβαίνει αν πολλαπλασιάσετε ένα δεκαδικό με 10, 100, 1000;

Για να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό, πρέπει να το φέρετε σε κάποιο είδος "στρογγυλού" παρονομαστή:

2/5 = 4/10 = 0,4; 11/20 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 κ.λπ.

Η προσθήκη δεκαδικών κλασμάτων είναι πολύ πιο βολική από τα συνηθισμένα κλάσματα. Η πρόσθεση εκτελείται με τον ίδιο τρόπο όπως με τους συνηθισμένους αριθμούς - σύμφωνα με τα αντίστοιχα ψηφία. Κατά την προσθήκη σε μια στήλη, οι όροι πρέπει να γράφονται έτσι ώστε τα κόμματά τους να βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο. Το κόμμα αθροίσματος θα εμφανιστεί επίσης στον ίδιο κατακόρυφο. Η αφαίρεση των δεκαδικών κλασμάτων γίνεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο.

Εάν, κατά την πρόσθεση ή την αφαίρεση σε ένα από τα κλάσματα, ο αριθμός των ψηφίων μετά την υποδιαστολή είναι μικρότερος από ό,τι στο άλλο, τότε ο απαιτούμενος αριθμός μηδενικών πρέπει να προστεθεί στο τέλος αυτού του κλάσματος. Δεν μπορείτε να προσθέσετε αυτά τα μηδενικά, αλλά απλά να τα φανταστείτε στο μυαλό σας.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των δεκαδικών κλασμάτων, θα πρέπει και πάλι να πολλαπλασιάζονται ως συνηθισμένοι αριθμοί (σε αυτή την περίπτωση, δεν είναι πλέον απαραίτητο να γράψετε κόμμα κάτω από κόμμα). Στο αποτέλεσμα που προκύπτει, πρέπει να διαχωρίσετε με κόμμα τον αριθμό των χαρακτήρων ίσο με τον συνολικό αριθμό των δεκαδικών ψηφίων και στους δύο παράγοντες.

Κατά τη διαίρεση δεκαδικών κλασμάτων, μπορείτε ταυτόχρονα να μετακινήσετε το κόμμα προς τα δεξιά με τον ίδιο αριθμό ψηφίων στο μέρισμα και στο διαιρέτη: το πηλίκο δεν θα αλλάξει από αυτό:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Εξηγήστε γιατί συμβαίνει αυτό;

1. Σχεδιάστε ένα τετράγωνο 10x10. Βάψτε ένα μέρος του ίσο με: α) 0,02; β) 0,7; γ) 0,57; δ) 0,91; ε) 0,135 του εμβαδού ολόκληρης της πλατείας.
2. Τι είναι 2,43 τετράγωνα; Σχεδιάστε στην εικόνα.
3. Διαιρέστε το 37 με το 10. 795; τέσσερα? 2.3; 65,27; 0,48 και γράψτε το αποτέλεσμα ως δεκαδικό κλάσμα. Διαιρέστε αυτούς τους αριθμούς με το 100 και το 1000.
4. Πολλαπλασιάστε με 10 τους αριθμούς 4.6. 6.52; 23.095; 0,01999. Πολλαπλασιάστε αυτούς τους αριθμούς με το 100 και το 1000.
5. Εκφράστε το δεκαδικό ως κλάσμα και μειώστε το:
   α) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
   β) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
   γ) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
   δ) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
6. Φανταστείτε στη μορφή μικτό κλάσμα: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. Γράψε ένα κοινό κλάσμα ως δεκαδικό:
   α) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   β) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   γ) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 5/16; 9/16; 23/16;
   δ) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Να βρείτε το άθροισμα: α) 7,3 + 12,8; β) 65,14+49,76; γ) 3,762+12,85; δ) 85,4+129,756; ε) 1,44+2,56.
9. Σκεφτείτε μια μονάδα ως το άθροισμα δύο δεκαδικών. Βρείτε είκοσι ακόμη τρόπους για να το κάνετε αυτό.
10. Βρείτε τη διαφορά: α) 13,4–8,7; β) 74,52–27,04; γ) 49.736–43.45; δ) 127,24–93,883; ε) 67–52,07; στ) 35,24–34,9975.
11. Βρείτε το γινόμενο: α) 7,6 3,8; β) 4,8 12,5; γ) 2,39 7,4; δ) 3,74 9,65.