ACS jagatakse nende toimimise olemuse alusel 4 klassi: Automaatsed stabiliseerimissüsteemid iseloomustavad seda, et süsteemi töötamise ajal jääb referentsmõju konstantseks. Programmi juhtimissüsteemid, etalonmõju muutub eelnevalt kehtestatud seadus aja ja süsteemi koordinaatide funktsioonina. Servosüsteemide etalonmõju on muutuja väärtus, kuid matemaatiline kirjeldus aega ei saa seadistada kohanduvaid või isereguleeruvaid süsteeme automaatselt...

Jagage oma tööd sotsiaalvõrgustikes

Kui see töö teile ei sobi, on lehe allosas nimekiri sarnastest töödest. Võite kasutada ka otsingunuppu

Loeng nr 2. ATS-i klassifikatsioon ja nõuded. Lineaarne ja mittelineaarne ATS. Üldine meetod lineariseerimine

(1. slaid)

2.1. ATS klassifikatsioon

(Slaid 2)

ATS klassifitseeritakse erinevate kriteeriumide järgi. Sõltuvalt nende toimimise olemusest on ATS jagatud 4 klassi:

• Süsteemid automaatne stabiliseerimine(iseloomustab asjaolu, et süsteemi töötamise ajal jääb võrdlusmõju konstantseks).Näide: mootori pöörlemissageduse stabilisaator.
• Süsteemid programmi määrus(võrdlusmõju muutub vastavalt etteantud seadusele, aja ja süsteemi koordinaatide funktsioonina).Näide: autopiloot.
• Jälgijad süsteem (seadistusmõju on muutuv väärtus, kuid matemaatilist kirjeldust ajas ei saa luua, kuna signaali allikas on välismõju, mille liikumisseadus pole ette teada).Näide: õhusõiduki jälgimisradar.
• Kohanduv või isehäälestuvad süsteemid (sellised süsteemid valivad automaatselt optimaalse juhtimisseaduse ja võivad töö käigus muuta kontrolleri omadusi).Näide: arvutimäng mittelineaarse graafikuga.

(Slaid 3)

ATS jaguneb ka vastavalt juhtseadme signaalide olemusele:

• Pidev (sisend- ja väljundsignaal pidevad funktsioonid aeg).Näide: komparaatorid, operatiivvõimendid.
• Relee (kui süsteemis on vähemalt üks relee karakteristikuga element).Näide: erinevad releed, analooglülitid ja multiplekserid.
• Pulss (mida iseloomustab vähemalt ühe impulsielemendi olemasolu).Näide: türistorid, digitaalsed ahelad.

Kõik ACS-id saab jagada vastavalt väljundkarakteristikute sõltuvusele sisendomadustest lineaarne ja mittelineaarne.

2.2. Nõuded ATS-ile

(4. slaid)

1. Kontrollitud kogus tuleb hoida etteantud tasemel sõltumata häiretest. Mööduv protsess näib olevat dünaamiline omadus, mille järgi saab hinnata süsteemi kvaliteeti.

2. Püsivustingimus peab olema täidetud, s.o. süsteemil peab olema stabiilsusvaru.

3. Siirdeprotsessi sooritusaeg, mis iseloomustab süsteemi reageerimise kiirust.

(5. slaid)

4. Ületamise standardid peavad olema täidetud. Ületamise suuruse määramiseks kasutatakse kahte peamist parameetrit:

• Ületamise tegur

kus y m väljundväärtuse maksimaalne hälve siirdeprotsessi ajal, y∞ väljundkoguse väärtus püsiseisundis. Vastuvõetav väärtus = 0  25% .

(6. slaid)

• Protsessi võnkumiste arvu mõõtmine võnkumiste arvu üleminekuprotsessi ajal (mitte rohkem kui 2)

5. Staatilise täpsuse nõue peab olema täidetud. Kui protsessid süsteemis on juhuslikud, siis võetakse täpsuse tagamiseks kasutusele tõenäosuskarakteristikud.

2. 3 . Lineaarne ja mittelineaarne ATS

Dünaamilisi protsesse juhtimissüsteemides kirjeldatakse diferentsiaalvõrranditega.

(Slaid 7)

Lineaarsetes süsteemides kirjeldatakse protsesse kasutadeslineaarne diferentsiaalvõrrandid. IN mittelineaarsed süsteemid protsesse kirjeldatakse võrranditega, mis sisaldavad mõnda mittelineaarsus . Lineaarsüsteemide arvutused on hästi arenenud ja lihtsamad praktiline rakendus. Mittelineaarsete süsteemide arvutused on sageli seotud suurte raskustega.

Selleks, et juhtimissüsteem oleks lineaarne, on vajalik (kuid mitte piisav) kõigi lülide staatilised omadused sirgjoonte kujul. Tegelikkuses ei ole tegelikud staatilised omadused enamikul juhtudel lineaarsed. Seetõttu on reaalse süsteemi lineaarseks arvutamiseks vaja asendada kõik selles juhtimisprotsessis kasutatavate tööpiirkondade linkide kõverjoonelised staatilised omadused sirgete segmentidega. Seda nimetatakse lineariseerimine . Enamik pidevjuhtimissüsteeme on sellisele lineariseerimisele alluvad.

(8. slaid)

Lineaarsed süsteemid jagunevadtavalised lineaarsed süsteemid ja edasi spetsiaalsed lineaarsed süsteemid.Esimesed hõlmavad selliseid süsteeme, mille kõiki lülisid kirjeldavad tavalised lineaarsed diferentsiaalvõrrandid konstantsete koefitsientidega.

(9. slaid)

Spetsiaalsed lineaarsed süsteemid hõlmavad:

A) ajas muutuvate parameetritega süsteemid, mida kirjeldatakse lineaarse diferentsiaaligamuutuvate koefitsientidega võrrandid;

b) hajutatud parameetritega süsteemid, kus tuleb käsitleda osalisi diferentsiaalvõrrandeid ja ajaviivitusega süsteeme, mida kirjeldatakse pidurdatud argumendiga võrranditega;

(10. slaid)

V) impulsssüsteemid, kus peame tegelema diferentsiaalvõrranditega.

(11. slaid)

Riis. 2.1. Mittelineaarsete elementide omadused

Mittelineaarsetes süsteemides on juhtimisprotsessi analüüsimisel vaja arvestada staatilise karakteristiku mittelineaarsusega vähemalt ühes selle lülis või mõne mittelineaarse diferentsiaalsõltuvusega süsteemi dünaamika võrrandites. Mõnikord lisatakse süsteemi spetsiaalselt mittelineaarsed lingid, et tagada kõrgeim jõudlus või muud soovitud omadused.

Mittelineaarsed süsteemid hõlmavad peamiselt releesüsteeme, kunarelee omadus(Joonis 2.1, a ja b ) ei saa asendada ühe sirgjoonega. Link on mittelineaarne, kui selle omadused hõlmavadsurnud tsoon(joonis 2.1, c).

Küllastusnähtused või mehaaniline käigu piiramineviia karakteristikuni, mille otstes on piiratud lineaarne sõltuvus (joon. 2,1, g ). Seda karakteristikku tuleks pidada ka mittelineaarseks, kui selliseid protsesse arvestatakse siis, kui tööpunkt ületab tunnuse lineaarset osa.

Mittelineaarsed sõltuvused hõlmavad kahüstereesi kõver(Joonis 2.1, d ), iseloomulikkliirens mehaanilises jõuülekandes(joonis 2.1, f), kuivhõõrdumine (joonis 2.1, g), ruuthõõrdumine(Joonis 2.1 ja ) jne Viimases kahes tunnuses x 1 tähistab liikumiskiirust ja x 2 jõud või hõõrdemoment.

Üldiselt on mis tahes kõverjooneline seos lingi väljund- ja sisendväärtuste vahel mittelineaarne (joonis 2.1, To ). Need on kõige lihtsamat tüüpi mittelineaarsused. Lisaks võivad mittelineaarsused sisestada diferentsiaalvõrrandeid korrutise kujul muutujad ja nende derivaadid, aga ka keerukamate funktsionaalsete sõltuvuste kujul.

Kõiki mittelineaarseid sõltuvusi ei saa lihtsalt lineariseerida. Näiteks ei saa lineariseerida joonisel fig. 2.1, a või joonisel fig. 2.1, e keerulised juhtumid arutatakse jaotises. 9.

2.4. Üldine lineariseerimismeetod

(12. slaid)

Enamasti on võimalik mittelineaarseid seoseid lineariseerida kasutades väikeste hälvete ehk variatsioonide meetodit. Selle kaalumiseks pöördume mõne süsteemi lingi poole automaatne reguleerimine(joonis 2.2). Sisend- ja väljundkogused on tähistatud X 1 ja X 2 , ja välise häire kaudu F(t).

Oletame, et linki kirjeldab mõni mittelineaarne diferentsiaalvõrrand lahke

. (2.1)

Sellise võrrandi loomiseks peate kasutama vastavat tööstust tehnikateadused(näiteks elektrotehnika, mehaanika, hüdraulika jne), uurides seda konkreetset tüüpi seadet.

(13. slaid)

Lineariseerimise aluseks on eeldus, et kõigi lingi dünaamika võrrandisse kuuluvate muutujate hälbed on piisavalt väikesed, kuna just piisavalt väikesel alal saab kõverjoonelise karakteristiku asendada sirge lõiguga. Muutujate kõrvalekaldeid nende väärtustest mõõdetakse püsivas protsessis või süsteemi teatud tasakaaluolekus. Olgu näiteks püsivat protsessi iseloomustatav muutuja konstantse väärtusega X 1 , mida me tähistame X 10 . Reguleerimisprotsessi käigus (joonis 2.3) muutuja X 1 läheb korda

kus tähistab muutuja hälvet X 1 püsivast väärtusest X 10.

Sarnased seosed võetakse kasutusele ka teiste muutujate jaoks. Vaadeldava juhtumi jaoks on meil:

ja ka

Eeldatakse, et kõik kõrvalekalded on piisavalt väikesed. See matemaatiline eeldus ei ole vastuolus füüsiline tähendusülesandeid, kuna automaatjuhtimise idee nõuab, et kõik kontrollitava koguse kõrvalekalded juhtimisprotsessi ajal oleksid piisavalt väikesed.

Lingi püsiseisund määratakse väärtuste järgi X 10, X 20 ja F 0 . Siis saab võrrandi (2.1) kirjutada püsiseisundi jaoks kujule

. (2.2)

(15. slaid)

Laiendame võrrandi (2.1) vasakut poolt Taylori seeriaks

(2.3)

kus  kõrgema järgu liikmed. Indeks 0 osatuletistele tähendab, et pärast tuletise võtmist tuleb selle avaldisesse asendada kõigi muutujate püsiseisundi väärtus

; ; ; .

Valemis (2.3) olevad kõrgema järgu liikmed hõlmavad kõrgemaid osatuletisi, mis on korrutatud ruutude, kuubikute ja muuga kõrged kraadid kõrvalekalded, samuti kõrvalekallete korrutis. Need on väiksemad ja kõrgema järgu kõrvalekalded ise, mis on esimest järku väikesed.

(16. slaid)

Võrrand (2.3) on lingi dünaamika võrrand, täpselt nagu (2.1), kuid kirjutatud erineval kujul. Jätame selles võrrandis kõrvale kõrgemat järku väikesed, mille järel lahutame võrrandist (2.3) püsiseisundi võrrandid (2.2). Selle tulemusena saame lingi dünaamika jaoks väikeste kõrvalekalletega järgmise ligikaudse võrrandi:

(2.4)

Kõik muutujad ja nende tuletised sisenevad sellesse võrrandisse lineaarselt, st esimese astmeni. Kõik osatuletised on mõned pidevad koefitsiendid juhul, kui uuritakse konstantsete parameetritega süsteemi. Kui süsteemis on muutuvad parameetrid, siis on võrrandil (2.4) muutuvad koefitsiendid. Vaatleme ainult konstantsete koefitsientide juhtumit.

(17. slaid)

Läbiviidud lineariseerimise eesmärk on võrrandi (2.4) saamine. Automaatjuhtimise teoorias on tavaks kirjutada kõikide linkide võrrandid nii, et võrrandi vasak pool sisaldab väljundväärtust ja kõik muud terminid kantakse üle parem pool. Sel juhul jagatakse kõik võrrandi liikmed väljundväärtuse koefitsiendiga. Selle tulemusena võtab võrrand (2.4) kuju

, (2.5)

kus on sisse toodud järgmised tähistused

(18. slaid)

Lisaks on mugavuse huvides tavaks kirjutada kõik diferentsiaalvõrrandid operaatori kujul koos tähistusega

jne.

Seejärel kirjutatakse diferentsiaalvõrrand (2.5) kujule

, (2.6)

Nimetame seda kirjet lingi dünaamika võrrandi kirjutamise standardvormiks.

Koefitsiendid T 1 ja T 2 omama sekundi ajamõõdet. See tuleneb asjaolust, et kõik võrrandi (2.6) liikmed peavad olema sama mõõtmega ja näiteks dimensioon (või p x 2 ) erineb mõõtmest x 2 sekundiks miinus esimese astmeni ( s -1 ). Seega koefitsiendid T 1 ja T 2 nimetatakse ajakonstandid.

Koefitsient k 1 millel on väljundkoguse mõõde jagatud sisendi mõõtmega. Seda nimetatakseülekandekoefitsientlink Linkide puhul, mille väljund- ja sisendkogused on samade mõõtmetega, kasutatakse ka järgmisi mõisteid: võimendus lingi jaoks, mis on võimendi või sisaldab võimendit; ülekandearv käigukastidele, pingejaoturitele, skaleerimisseadmetele jne.

Edastuskoefitsient iseloomustab lingi staatilisi omadusi, nagu püsiolekus. Järelikult määrab see väikeste kõrvalekallete korral staatilise karakteristiku kalde. Kui kujutada kogu lingi tegelikku staatilist karakteristikku, siis lineariseerimine annab või. Ülekande koefitsient k 1 on kaldenurga puutuja puutuja sellel hetkel C (vt joonis 2.3), millest mõõdetakse väikseid kõrvalekaldeid x 1 ja x 2.

Jooniselt on näha, et ülaltoodud võrrandi lineariseerimine kehtib juhtimisprotsesside jaoks, mis hõlmavad sellist karakteristiku osa AB , mille puutuja erineb vähe kõverast endast.

(19. slaid)

Lisaks tuleneb sellest veel üks, graafiline meetod lineariseerimine. Kui staatiline karakteristik ja punkt on teada C , mis määrab püsioleku, mille ümber reguleerimisprotsess toimub, siis määratakse ülekandekoefitsient lingi võrrandis graafiliselt jooniselt vastavalt sõltuvusele k 1 = tan  c võttes arvesse joonise mõõtkava ja mõõtmeid x 2 . Paljudel juhtudelgraafiline lineariseerimismeetodosutub mugavamaks ja viib kiiremini sihile.

(Slaid 20)

Koefitsiendi mõõde k 2 võrdne ülekandeteguri mõõtmega k 1 , korrutatuna ajaga. Seetõttu kirjutatakse võrrand (2.6) sageli kujul

kus on ajakonstant.

Ajakonstandid T 1, T 2 ja T 3 määrata lingi dünaamilised omadused. Seda küsimust arutatakse üksikasjalikult allpool.

Koefitsient k 3 esindab välisest häirest tingitud ülekandetegurit.

LEHEKÜLG 1

muud sarnased teosed mis võib teile huvi pakkuda.vshm>
13570.		Lineaarsed ja mittelineaarsed laserkütterežiimid	333,34 KB
	Laserkuumutuse lineaarsed režiimid Laserkuumutuse lineaarsete režiimide analüüsimiseks vaatleme poolruumi kokkupuute protsesse soojusallikaga, mis väheneb eksponentsiaalselt sügavusega. Seetõttu võib arvutusskeemides matemaatiliste raskuste vähendamiseks sageli lubatud soojusallikate omaduste idealiseerimine kaasa tuua arvutusandmete märgatavaid kõrvalekaldeid eksperimentaalsetest andmetest. Läbipaistmatute materjalide puhul võib enamikul LR kuumutamise juhtudel soojusallikateks pidada pinna neeldumistegurit α 104  105...
16776.		Nõuded riigi maksupoliitikale kriisi ajal	21,72 KB
	Nõuded riigi maksupoliitikale kriisi ajal Arenguks ettevõtlustegevus kaasaegses majanduslikud tingimused Vaja on teatud tingimusi, sealhulgas: - tõhusa ja ettevõtluse arengut stimuleeriva maksusüsteemi olemasolu; - teatud õiguste ja vabaduste olemasolu tüübi valimiseks majandustegevus finantseerimisallikate planeerimine ligipääsu ressurssidele ettevõtte organiseerimine ja juhtimine jne Seega progressiivseks arenguks...
7113.		Harmoonilise lineariseerimise meetod	536,48 KB
	Harmoonilise lineariseerimise meetod Kuna see meetod on ligikaudne, on saadud tulemused tõelähedased ainult siis, kui on täidetud teatud eeldused: Mittelineaarne süsteem peab sisaldama ainult ühte mittelineaarsust; Süsteemi lineaarne osa peaks olema madalpääsfilter, mis summutab piirtsüklis tekkivaid kõrgemaid harmoonilisi; Meetod on rakendatav ainult autonoomsete süsteemide jaoks. Õpitakse vaba liikumine süsteemid, st liikumine nullist erineval tasemel esialgsed tingimused välismõjude puudumisel....
12947.		HARMOONILINE LINEARISEERIMISMEETOD	338,05 KB
	Liikudes otse harmoonilise lineariseerimismeetodi käsitlemise juurde, eeldame, et uuritav mittelineaarne süsteem taandatakse joonisel näidatud kujule. Mittelineaarsel elemendil võib olla mis tahes omadus, kui see on integreeritav ilma teist tüüpi katkestusteta. Selle muutuja teisendamine näiteks surnud tsooniga mittelineaarse elemendi abil on näidatud joonisel fig.
2637.		Rakendusravimid. Üldised omadused. Klassifikatsioon. Põhinõuded. Aluspinnale liimide kandmise tehnoloogia manustamisravimite tootmisel	64,04 KB
	Aplikatsioon ravimid kallusplaastrid, liimplaastrid, pipraplaastrid, nahaliimid vedelplaastrid, TTC kiled jne. Üldised omadused ja plaastrite klassifikatsioon Emplstr plaastrid on välispidiseks kasutamiseks mõeldud ravimvorm, millel on omadus kleepuda nahale ja avaldada mõju nahale, nahaalustele kudedele ja mõnel juhul ka üldine toime organismile. Krohvid on ühed vanemaid annustamisvormid Esivanemad on tuntud juba iidsetest aegadest kaasaegsed ravimid neljas põlvkond...
7112.		MITTELINEAARSED SÜSTEEMID	940,02 KB
	Füüsikalised seadused Meid ümbritseva maailma liikumised on sellised, et kõik juhtobjektid on mittelineaarsed. Teised mittelineaarsused, mida nimetatakse struktuurseteks, sisestatakse teadlikult süsteemi, et saada süsteemile vajalikud omadused. Kui mittelineaarsused on nõrgalt väljendatud, siis mittelineaarse süsteemi käitumine erineb veidi lineaarse süsteemi käitumisest. Looge täpne mudel tõeline süsteem võimatu.
21761.		Vana-Mesopotaamia jumalate üldine panteon. Vana-Sumeri jumalad	24,7 KB
	Vana religioon Mesopotaamia rahvad, hoolimata nende endi konservatiivsusest, järk-järgult, aasta jooksul sotsiaalne areng aastal toimusid muutused, mis kajastasid nii Mesopotaamia territooriumil toimuvaid poliitilisi kui ka sotsiaalmajanduslikke protsesse.
11507.		finantstulemuste kujundamine ja organisatsiooni finantsmajandusliku tegevuse üldanalüüs	193,55 KB
	Mis tahes ettevõtte tegevusega sügavamaks tutvumiseks on vaja seda uurida kõigist võimalikest külgedest. objektiivne arvamus nii positiivseid kui negatiivsed aspektid kõige haavatavamate piirkondade ja nende kõrvaldamise viiside väljaselgitamisel. Finantsanalüüsi läbiviimiseks kasutatakse spetsiaalseid tööriistu, nn finantssuhtarvusid. Kasutades vajalikku teavet objektiivselt ja kõige täpsemini hinnata organisatsiooni finantsseisundit, kasumit ja kahjumit, muutusi...
13462.		Riskantsete varade statistiline analüüs. Mittelineaarsed mudelid	546,54 KB
	Paljude finantside aegridade tegelikud andmed näitavad seda aga lineaarsed mudelid ei kajasta alati adekvaatselt tegelikku pilti hinnakäitumisest. Kui pidada silmas Tamme lagunemist, milles tingimuslik matemaatilised ootused On üsna loomulik eeldada, et tingimuslikud jaotused on Gaussi...
4273.		Lineaarsed matemaatilised mudelid	3,43 KB
	Lineaarsed matemaatilised mudelid. Eespool märgiti, et mis tahes matemaatiline mudel võib pidada teatud operaatoriks A, mis on algoritm või on määratud võrrandikogumiga - algebraline...

Arutleme veel kord nende andmete esitamise skaala valiku üle graafiline vorm(vt joonis 30). Temperatuuriteljele X vastav maksimummärk °C sobib väga hästi 40 lahtrisse, mis vastab väga mugavale jaotusele 10 lahtrit iga 50°C kohta. Kui palju lisariske vajate? Sel juhul teen ettepaneku paigutada need 2 lahtrisse, mis hõlbustab koordinaatide määramist, kuna selliste riskide vaheline intervall vastab 10 ° C-le, mis on väga mugav.

Kuid Y-teljel paigutasin riskid iga 5 elemendi iga 500 oomi takistuse kohta, mis viis selleni alakasutus paberipiirkond. Aga otsustage ise, kui jagate telje 6 või 7 lahtriks, oleks koordinaadi leidmine ebamugav ja kui lahtrit on 8, siis 2000 oomile vastav maksimaalne risk teljele ei mahuks.

Nüüd peame arutlema teoreetilise kõvera kuju üle. Teeme lahti juhised laboritööde tegemiseks lk 28 ja leida valem 3, mis kirjeldab pooljuhtide takistuse sõltuvust temperatuurist,

kus on ribalaius, - Boltzmanni konstant, on kindel konstant, millel on takistuse mõõde ja lõpuks temperatuur, väljendatuna kelvinites. Alustame uue tabeli loomist. Esiteks teisendame temperatuuri Kelviniteks. Teiseks seadkem endale ülesandeks mitte ainult joonistada uut graafikut, vaid kasutada graafikut ka ribalaiuse leidmiseks. Selleks võtame eksponentsiaalse sõltuvuse logaritmi ja saame

Tähistame , , ja . Siis saame lineaarse sõltuvuse,

mida me graafikul kujutame. Kirjutame tabelis 9 ja väärtustele vastavad andmed.

Tabel 9. Tabeli 8 andmete ümberarvutamine.

punkti number
T, K
1/T, 10 –3 K –1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
ln R, Ohm	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

Kui tabeli 9 andmete kohaselt joonistame sõltuvuse joonisel 31, siis võtavad kõik katsepunktid suure tühja ruumiga lehel väga vähe ruumi. Miks see juhtus? Kuna piki X- ja Y-telge asetatakse sildid alates nullist, kuigi näiteks väärtused algavad ainult väärtusest . Kas on vaja teha stardisildiks 0? Vastus sellele küsimusele sõltub käsilolevatest ülesannetest. Oberbecki pendliga näites (vt joonis 28) oli väga oluline leida X-telje lõikekoht teoreetilise sirgega punktis koordinaadiga Y=0, mis vastas väärtusele . Ja selle ülesande puhul tuleb leida vaid konstandiga seotud ribalaiuse laius, mis vastab joonisel 31 oleva sirge kaldekoefitsiendile, nii et silte pole üldse vaja panna. teljed, alates 0.

Tabeli 9 andmeid uurides ja sobivat skaalat valides võime kindlalt väita, et graafikapaberi orientatsiooni tuleb muuta, nagu on näidatud joonisel 32. Uurige valitud skaalat ise ja veenduge, et see on graafikuga töötamiseks väga mugav. Teoreetilisel sirgel (silmaga tõmmatud) parimal võimalikul viisil katsepunktide vahele) asetame kaks punkti A ja B koordinaatidega ja . Avaldame kaldekoefitsienti nende punktide koordinaatide kaudu valemi abil

Ja lõpuks arvutame ribalaiuse

Kasutades paarispunkti meetodit, arvutame sama koefitsiendi ja selle vea jaoks arvestame punktide paare tabelist 9:

1–4, 2–5, 3–6, 4–7, 5–8, 6–9 ja 7–10.

Arvutame nende punktipaaride jaoks neid läbivate sirgjoonte kaldekoefitsiendid

Keskmine väärtus

,

Nüüd arvutame ribalaiuse ja selle vea.

Nii jõudsime vastuseni

eV

Iseseisev töö.

Soovitan järgmises virtuaalses teha oma arvutused, graafikute konstrueerimine ja töötlemine laboritööd all koodnimi"Määrake vedru jäikus." Kuid tõstame Eksperimendi latti veelgi kõrgel tasemel: peate mitte lihtsalt saama numbri, vaid võrdlema kahte vedru jäikuse mõõtmise meetodit - staatilist ja dünaamilist.

Vaatame lühidalt neid meetodeid.

Staatiline meetod.

Kui riputate fikseeritud vertikaalvedru külge koormuse massiga κ, siis vedru venib vastavalt Hooke'i seadusele, kus on venitatud vedru pikkus ja venitamata vedru pikkus (algpikkus).

Märkus: Hooke'i seadus ütleb, et vedru elastsusjõud on võrdeline absoluutse pikenemisega, s.o. , kus on vedru elastsuse koefitsient (või jäikus).

Tasakaaluseisundis tasakaalustab koormuse raskusjõud elastsusjõuga ja saame kirjutada. Avame sulgud ja vaatame vedru pikkuse sõltuvust koormuse massist

Kui muudate muutujaid, saate sirgjoone võrrandi. Lineariseerimist pole vaja teha!

Niisiis seisate silmitsi ülesandega töödelda tabelist 10 olevaid andmeid, mille noor Eksperimentaator sinna sisestas (ta oli väsinud üheksakorruselise maja katuselt telliste loopimisest). Katsete jaoks varus ta raskuste komplekti, leidis kümmekond-kaks erinevat vedru ja, riputades erineva massiga raskusi, mõõtis millimeetrilise joonlaua abil venitatud vedru pikkust.

Ülesanne 1.

1. Valige tabelist 10 vedru number.

2. Looge kahe veeruga tabel. Esimesse veergu sisestage raskusjõud, kus on koormuse mass (kg), m/s 2. Teises veerus kandke valitud vedru pikkused (meetrites). Esitage lahtrid keskmiste ja .

Tabel 10.

m, g	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

Tabel 10 (jätkub)

m, g	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. Võtke millimeetripaberi leht ja märkige sellele koordinaatteljed. Vastavalt andmetele valige optimaalne skaala ja joonistage gravitatsiooni sõltuvus vedru pikkusest, joonistades väärtused piki X-telge ja väärtused piki Y-telge.

4. Tehke 7 paari täppe: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Kasutades paarispunkti meetodit, arvutage valemi abil 7 kaldekoefitsienti

jne.

5. Leidke keskmine väärtus, mis vastab vedru elastsusteguri keskmisele väärtusele.

6. Leia standardhälve , usaldusvahemik , (kuna saadi 7 väärtust). Esitage tulemus kujul

Lisaülesanne(valikuline)

7. Arvutage vedru esialgne pikkus. Selleks hankige tasakaaluvõrrandist koefitsiendi avaldis ja asendage sellega keskmised väärtused

8. Arvutage koefitsiendi usaldusvahemik

9. Arvestades seda, arvuta välja vedru algpikkus ja selle usaldusvahemik

,

Dünaamiline meetod

Riputame masskoormuse fikseeritud vertikaalse jäikusvedru külge ja surume kergelt alla. Algab harmoonilised vibratsioonid, mille periood on võrdne (vt lk 76). Avaldame koormuse massi läbi võnkeperioodi

Sagedusmeetodid, mis on saanud laialt levinud lineaarsete süsteemide analüüsil ja sünteesil on neil teiste uurimismeetodite ees mitmeid eeliseid: esiteks struktuursete diagrammide ja ülekandefunktsioonide koostamise ja teisendamise lihtsus; teiseks sageduskarakteristikuid kasutavate arvutuste mugavus ja suurem selgus. Seetõttu oli loomulik, et sooviti neid meetodeid mittelineaarsete süsteemide uurimisel kasutada. See osutus võimalikuks automaatjuhtimissüsteemide mittelineaarsete linkide harmoonilise lineariseerimise meetodil.

Harmoonilise lineariseerimise meetodi põhialused on välja toodud väljapaistvate vene teadlaste N. M. Krylovi ja N. N. Bogoljubovi töödes 1930. aastatel. Seejärel töötasid selle meetodi idee seoses automaatjuhtimissüsteemidega välja E. P. Popov ja L. S. Goldfarb.

See meetod võimaldab uurida mittelineaarsete süsteemide stabiilsust, määrates kindlaks võimalike isevõnkumiste parameetrid (amplituud, sagedus) ja valides parandusahelad, mis tagavad määratud karakteristikud. Sel juhul eeldatakse võnkumiste harmoonilisust mittelineaarses süsteemis, mis määrab esimeses lähenduses püstitatud probleemide lahenduse. Süsteemide puhul, mille lineaarosa on madalpääsfilter, on aga lubatud viga väike ja mida kõrgemad on uuritava süsteemi lineaarse osa filtreerimisomadused, seda väiksem see on.

Harmoonilise lineariseerimise meetodi põhiidee on järgmine. Automaatjuhtimissüsteem on esitatud kahe osa kujul - lineaarne ja mittelineaarne (joonis 10.12). Lase ülekandefunktsioon lineaarne osa on võrdne

• --- ja lineaarse osa võrrandil on järgmine Pr(r)
• (10.30)

Yar(p) = X(p) = -Mr(p)ir(p).

Ja= /*(x),

Kus P(x) - antud mittelineaarne funktsioon.

Mittelineaarne V

Lineaarne

Riis. 10.12. Automatiseeritud juhtimissüsteemi kujutamine mittelineaarse ja lineaarse osa kujul

Valemis (10.31) eeldatakse lihtsuse huvides, et mittelineaarse lingi väljundkoordinaat sõltub ainult sisendsignaali suurusest ja ei sõltu selle tuletistest ega integraalidest, kuigi vaadeldav meetod on rakendatav keerukamate mittelineaarsete signaalide puhul. sõltuvused, aga ka mitme mittelineaarse lingiga süsteemid.

Probleemiks on mittelineaarse süsteemi isevõnkumiste parameetrite leidmine. Eeldatakse, et mittelineaarses süsteemis esinevad isevõnkumised on sinusoidsed, kuigi rangelt võttes on need võnkumised mittelineaarsed. Sellise eelduse viga, nagu juba märgitud, on aga tähtsusetu, kuna süsteemi vedel osa, mis on madalpääsfilter, summutab kõikumised kõrged sagedused. Seetõttu otsime süsteemi isevõnkumisi sinusoidi kujul

x = A sin co/.

Sinusoidse sisendsignaali korral ilmnevad mittelineaarse lingi väljundis teatud perioodilised võnked. Neid saab kujutada harmooniliste komponentide lõpmatu reana

U = F(x) =

C 0 + Z), sin co/ + C, cos co/ + D 2 sin 2co/ + C 2 cos co/ + ..., (10.33)

kus C 0 , />, C„ D 2, C 2,... on Fourier' rea koefitsiendid.

Järgnevalt eeldame lihtsuse huvides, et mittelineaarse lingi väljundis pole konstantset komponenti. See tähendab, et mittelineaarne karakteristik on sümmeetriline koordinaatide alguspunkti suhtes ja sisendtoiming ei sisalda konstantset komponenti. Võttes arvesse lineaarse osa filtreerimisomadusi, võime tähelepanuta jätta kõik Fourier' seeria kõrgemad harmoonilised komponendid. Seetõttu saab ligikaudu mittelineaarse elemendi väljundsignaali väljendada rea ​​(10.33) esimese harmoonilise kaudu:

U=D. sin co/ + C. cosco/. 1 §

Alates (10.32) leiame:

sin co/ = -; cos co/ = A

Asendades (10.35) väärtusega (10.34), saame:

KOOS, Oh

Asya SI

Kui me määrame (2 ( (L) = -0 2 (L) =- siis on nad õiglased

kasuta järgmisi väljendeid:

OLA) =

• 0LA) =

| /ХЛзіпф^іпфг/ф;

• (10.37)

| / g (L8IPf)S08fS/f,

kus f = CO/.

Võrrand (10.36) operaatori kujul on järgmisel kujul:

u(1p)=01(A)X(p) + R2Shr.x(p). (10.38)

Läbiviidud teisenduste tulemusena asendatakse mittelineaarne võrrand (10.31) sarnaselt lineariseeritud võrrandiga esimese harmoonilise (10.38) ligikaudse võrrandiga. Erinevus seisneb selles, et saadud võrrandi koefitsiendid ei ole konstantsed väärtused, ja sõltuvad amplituudist A ja sagedused otsitavatest isevõnkumiste parameetritest.

Seda võrrandite asendamist nimetatakse harmooniliseks lineariseerimiseks. Võrrandi (10.38) koefitsiendid O^A) Ja nimetatakse mittelineaarse lingi harmoonilisteks võimendusteks.

Tehkem mittelineaarse elemendi karakteristikute harmooniline lineariseerimine (joonis 10.13).

Riis. 10.13.

Selleks on vaja leida avaldised mittelineaarse lingi harmooniliste võimenduste jaoks K(A) Ja K2(A)(10.37). Joonisel fig. 10.14 määratleb graafiliselt funktsiooni F^sincp) kuju mittelineaarse elemendi sinusoidse sisendsignaaliga x(t) = ylsintp, cp = co/. Saame:

• (2, (A) = - [ F(A sin vp) sin v) )di = kA j 0
• - G csin ldl = -(-COSV|/)|J*= -- (-hubane 2 + hubane,), kA J k A U| I A

kuna y 2 = i - y 2, siis hubane 2 = -hubane ja Q ) (A) =- hubane,.

Me määratleme 0 2 (L):

Seega on võrrandil (10.38) olemas järgmine vaade

Kasutades mittelineaarse elemendi karakteristikute harmoonilist lineariseerimist, on võimalik määrata süsteemi võimalike isevõnkumiste sagedus ja amplituud.

Pärast (10.38) asendamist (10.30) leiame võrrandi vabad vibratsioonid suletud mittelineaarses süsteemis:

O p (p) X (p) + M p (p) = 0. (10,39)

Lähtudes (10.39), on kogu suletud süsteemi tunnusvõrrand järgmine:

• (10.40)

Nüüd on vaja leida algvõrrandi (10.39) perioodiline lahend x = /4$tso/. Perioodiline liikumine süsteemis on võimalik ainult siis, kui vastaval tunnusvõrrandil (10.40) on paar mõttelist juurt. Et leida tingimusi, mille korral on iseloomuliku võrrandi kujuteldavad juured, võite lineaarsete süsteemide jaoks kasutada mis tahes stabiilsuskriteeriumi.

Vaatleme Mihhailovi stabiilsuskriteeriumi. Mihhailovi kõvera avaldise annab iseloomulik võrrand süsteem (10.40) asendamisel X = jQ.

",№) + M/>P)0, (4)+ , (10,41)

kus P on praegune sageduse väärtus.

Avaldist (10.41) saab ümber kirjutada kujul

D(jQ) = и ] (П,а>,А)+ yT,(P,co,/1).

Tuleb märkida, et isevõnkumiste amplituud ja sagedus (A, co) sisalduvad Mihhailovi kõvera võrrandi parameetritena. Selleks, et süsteem jõuaks võnkestabiilsuse piirini, peab Mihhailovi kõver läbima koordinaatide alguspunkti (joon. 10.15).

On teada, et sagedus, millega Mihhailovi kõver läbib alguspunkti, määrab sageduse pidevad võnkumised süsteemis. Sel juhul Q = co.

Seega perioodiliste võnkumiste amplituud ja sagedus mittelineaarses süsteemis l: = A patustama t saab määrata võrrandisüsteemi lahendamisega:

?/,(co,/!)-0; (10.43)

E, (koos, A) = 0.

Kui saadud väärtused A ja reaalne ja positiivne, see tähendab, et uuritavas süsteemis on võimalikud leitud parameetriväärtustega isevõnkumised. Vastasel juhul ei saa süsteemis tekkida isevõnkumisi.

Pärast võimalike isevõnkumiste parameetrite kindlaksmääramist on vaja kontrollida selle perioodilise lahenduse stabiilsust, st selgitada välja, kas üleminekuprotsess läheneb perioodilised võnkumised või mitte (joonis 10.16). Selleks teavitatakse süsteemi kõrvalekaldumisest perioodilisest uuesti

Riis. 10.16.A- lahendus koondub; b- lahendus läheb lahku

amplituudi muutused (A+ A A). See toob kaasa Mihhailovi kõvera kõrvalekaldumise lähtepunktist ühes või teises suunas (joonis 10.17). Stabiilsed perioodilised võnked vastavad deformeerunud Mihhailovi kõvera positsioonile 1 ja ebastabiilsed II positsioonile. Isevõnkumiste stabiilsuse tagamiseks on vajalik, et kui AL > 0, kaldub kõver asendisse I ja kui AA

K 8A)

kus tärn tähendab, et üldavaldistest (10.42) võetud osatuletised arvutatakse parameetrite asendamise teel A, O. = kontrollitavast perioodilisest lahendusest. Kui ebavõrdsus (10,44) ei ole täidetud, vastab see ebastabiilsele perioodilisele lahendile. Tingimus (10.44) kehtib süsteemide õppimisel kuni 4. järku kaasa arvatud. Süsteemide jaoks läbi kõrge järjekord on vaja vaadata kogu Mihhailovi kõvera kulgu.

Isevõnkuvate režiimide puudumisel võib uuritava süsteemi käitumine olla väga erinev. Praegu on ligikaudsed meetodid siirdeprotsessi määramiseks mittelineaarsetes süsteemides teatud sisendmõjude korral.

Vaatame näidet. Selleks kasutame punktis 10.3 käsitletud süsteemi. Valemite (10.21) ja (10.23) põhjal koostatakse uuritava süsteemi plokkskeem (joonis 10.18) ja määratakse lineaarse osa ülekandefunktsioon:

P(CR + 1)

m R (r)

O r (r) "

			p(bp+)

Riis. 10.18. Näide uuritavast süsteemist

Mittelineaarse elemendi iseloomustamiseks (joonis 10.11???) leiame avaldised mittelineaarse elemendi harmooniliste võimenduste kohta:

Suletud süsteemi (10.40) tunnusvõrrand, võttes arvesse (10.45) ja (10.46), on järgmisel kujul:

X(T(k + !) + &,

4SD X- ? -- ??

A-le 2 co

Pärast asendamist X= uso in (10.47) ning eraldades reaal- ja imaginaarsed osad, saame võrrandid (10.43) võnkumiste amplituudi ja sageduse määramiseks mittelineaarses süsteemis:

Saadud võrrandite lahendamine suhtes A ja annab vajalikud isevõnkumiste parameetrid.

Turvaküsimused

• 1. Millised on eeldused harmoonilise lineariseerimise meetodi kasutamisel?
• 2. Teostage mittelineaarse elemendi karakteristikute harmooniline lineariseerimine (joon. 10.7, G) parameetritega b = 1,5; Koos = 5.

Üldine lineariseerimismeetod

Enamasti on võimalik mittelineaarseid seoseid lineariseerida kasutades väikeste hälvete ehk variatsioonide meetodit. ᴇᴦο kaalumiseks pöördume automaatjuhtimissüsteemi teatud lüli poole (joonis 2.2). Sisend- ja väljundsuurused on tähistatud X1 ja X2 ning välist häiret F(t).

Oletame, et seost kirjeldab mingi vormi mittelineaarne diferentsiaalvõrrand

Sellise võrrandi koostamiseks tuleb kasutada vastavat tehnikateaduste haru (näiteks elektrotehnika, mehaanika, hüdraulika jne), mis seda konkreetset tüüpi seadmeid uurib.

Lineariseerimise aluseks on eeldus, et kõigi lingi dünaamika võrrandisse kuuluvate muutujate hälbed on piisavalt väikesed, kuna just piisavalt väikesel alal saab kõverjoonelise karakteristiku asendada sirge lõiguga. Muutujate kõrvalekaldeid nende väärtustest mõõdetakse püsivas protsessis või süsteemi teatud tasakaaluolekus. Olgu näiteks stabiilne protsess iseloomustatud muutuja X1 konstantse väärtusega, mida tähistame X10-ga. Reguleerimisprotsessi ajal (joonis 2.3) on muutujal X1 väärtused kus tähistab muutuja X1 kõrvalekallet püsiseisundi väärtusest X10.

Sarnased seosed võetakse kasutusele ka teiste muutujate jaoks. Vaadeldava juhtumi jaoks on meil ˸ ja ka .

Eeldatakse, et kõik kõrvalekalded on piisavalt väikesed. See matemaatiline eeldus ei ole vastuolus probleemi füüsilise tähendusega, kuna automaatjuhtimise idee nõuab, et kõik kontrollitava koguse kõrvalekalded juhtimisprotsessi ajal oleksid piisavalt väikesed.

Lingi püsiseisund määratakse X10, X20 ja F0 väärtustega. Seejärel tuleks vormil püsiseisundi jaoks kirjutada võrrand (2.1).

Laiendame võrrandi (2.1) vasakut poolt Taylori seeriaks

kus D on kõrgemat järku terminid. Indeks 0 osatuletistele tähendab, et pärast tuletise võtmist tuleb selle avaldisesse asendada kõigi muutujate püsiseisundi väärtus.

Valemis (2.3) olevad kõrgema järgu liikmed hõlmavad kõrgemaid osatuletisi, mis on korrutatud ruutude, kuubikute ja suuremate kõrvalekallete astmetega, aga ka hälvete korrutisi. Need on väiksemad ja kõrgema järgu kõrvalekalded ise, mis on esimest järku väikesed.

Võrrand (2.3) on lingi dünaamika võrrand, täpselt nagu (2.1), kuid kirjutatud erineval kujul. Paneme selle sisse antud võrrand väikesed kõrgemat järku, mille järel lahutame võrrandist (2.3) püsiseisundi võrrandid (2.2). Selle tulemusena saame järgmise ligikaudse võrrandi lingi dünaamika kohta väikestes kõrvalekalletes˸

Kõik muutujad ja nende tuletised sisenevad sellesse võrrandisse lineaarselt, st esimese astmeni. Kõik osatuletised on mingid konstantsed koefitsiendid, kui uuritakse konstantsete parameetritega süsteemi. Kui süsteemil on muutuvad parameetrid, siis võrrandis (2.4) on muutuvad koefitsiendid. Vaatleme ainult konstantsete koefitsientide juhtumit.

Lineariseerimise üldmeetod - mõiste ja liigid. Kategooria "Üldine lineariseerimismeetod" klassifikatsioon ja tunnused 2015, 2017-2018.

Lineariseerimine on kõige levinum viis MM-i keerukuse vähendamiseks ja see on lineaarteooria rakendamise aluseks.

Mis tahes lineariseerimise olemus on ligikaudne algse mittelineaarse sõltuvuse (mittelineaarsuse) asendamine mõnega lineaarne sõltuvus vastavalt teatud samaväärsuse tingimusele (kriteeriumile). Võimalike meetodite hulgas on kõige sagedamini kasutatav puutuja meetod(lineariseerimine väikeses naabruskonnas antud punkt). See meetod ei sõltu teisendatavate signaalide tüübist ja seda saab sama edukalt kasutada erinev mittelineaarsuse tüübid, mis võivad olla ühe- ja mitmemõõtmelised; inertsivaba (staatiline) ja dünaamiline.

Inertsivabad mittelineaarsused luua sisendväärtuste vahel funktsionaalne seos u(t) ja väljuge y(t) samal ajal praegune hetk aega t ja seda saab ka täpsustada ilmselgelt(valemid, graafikud, tabelid) või kaudselt(algebralised võrrandid). Sees struktuursed diagrammid need vastavad inertsiaalne(mälu pole) mittelineaarsed lingid.

Dünaamilised mittelineaarsused kirjeldatakse matemaatiliselt mittelineaarsete diferentsiaalvõrranditega ja vastavad neile plokkskeemidel mittelineaarsed dünaamilised lingid. Sel juhul väljundväärtused y(t) praegusel ajal t sõltuvad mitte ainult sisendväärtustest samal ajal, vaid ka tuletistest, integraalidest või muudest väärtustest.

Matemaatiline alus Tangensmeetod on mittelineaarse funktsiooni laiendamine Taylori seeriaks teatud "lineariseerimispunkti" väikeses naabruses, millele järgneb mittelineaarsete terminite kõrvalejätmine, mis sisaldavad esimesest kõrgemaid muutujate hälbeid (kasvu).

Me käsitleme meetodi olemust konkreetsetel juhtudel koos järgnevate üldistustega.

1) Lase y= F(u) – selgesõnaliselt täpsustatud ühemõõtmeline inertsivaba mittelineaarsus, sujuv ja pidev teatud punkti läheduses u=u*. Uskudes u=u*+D u;y=y*+D y, Kus y*=F(u*), kirjutame selle funktsiooni jaoks Taylori seeria järgmisel kujul:

Kõrgema väiksuse järgu terminite kõrvalejätmine ja ainult D-d sisaldavad terminid u esimese astmeni saame ligikaudse võrdsuse

. (2)

See väljend kirjeldab ligikaudu suhet väike juurdekasv D y ja D u kujul lineaarne sõltuvus ja on vaadeldaval juhul lineariseerimise tulemus. Siin TO on geomeetriline tähendus kalle funktsiooni graafiku puutuja kalle koordinaadiga punktis u=u*.

Juhul mitmemõõtmeline mittelineaarsus y=F(u), Millal y={y i}, F={F i) Ja u={u j) on vektorid, samamoodi saame, et D y=K D u. Siin K={K ij) on maatrikskoefitsient, mille elemendid K ij on määratletud kui funktsioonide osatuletisi väärtused F i muutujate järgi u j, arvutatud "punktis" u=u*.

2. Olgu antud inertsivaba mittelineaarsus kaudselt kasutades algebraline võrrand F(y,u)=0 . See mittelineaarsus on vaja lineariseerida mõne teadaoleva konkreetse lahenduse väikeses naabruses ( u*, y*) eeldades, et kõik mittelineaarsed funktsioonid F i osana F on selles naabruses pidevad ja eristuvad. Laiendades selle vektorifunktsiooni Taylori seeriaks ja jättes kõrvale teise ja kõrgema väiksuse järgu tingimused, saame lineaarne esimene lähendusvõrrand:

, (3)

kus D y=y–y*; D u=u–u*; - lineariseerimispunktis arvutatud osatuletiste maatriksid.

3. Lase ühemõõtmeline dünaamiline mittelineaarsus määratakse diferentsiaalvõrrandiga "sisend-väljund" n- järjekorras:

F(y, y (1) , …, y (n) , u, u (1) , …u (m))=0. (4)

Lineariseerime selle mittelineaarsuse puutujameetodiga teadaoleva väikeses naabruses privaatne selle võrrandi lahendused y*(t), vastavad antud sissepääs u*(t). Aja tuletised vastavatest järkudest y*(t) Ja u*(t) on samuti teada.

Eeldades funktsiooni F pidevalt diferentseeruv kõigi selle argumentide osas ja järgides ülaltoodut üldine metoodika(laiendus jadaks ja võttes arvesse ainult terminite lineaarne argumente juurdekasvu suhtes), kirjutame lineaarne mittelineaarse võrrandi esimene lähendusvõrrand:

(5)

Siin tähistab sümbol (*) seda, et konkreetsele lahendusele vastavate muutujate ja nende tuletiste väärtuste jaoks on määratletud osatuletised ( y*(t), u*(t)). IN üldine juhtum nende väärtused (võrrandi koefitsiendid) sõltuvad ajast ja lineariseeritud mudel on mittestatsionaarne. Aga kui konkreetne lahendus vastab staatiline režiim, siis on need koefitsiendid püsiv.

Märgistuste mugavuse ja lühiduse huvides tutvustame järgmist tähistust:

= a i; = -b i; D y (i) =D i D y; D u (i) =D i D u; D=d/dt.

Siis lineariseeritud võrrand (5) kirjutatakse lühikese operaatori kujul:

A(D)D y(t)=B(D)D u(t),

Kus A(D) – astmepolünoom n diferentseerimisoperaatori suhtes D;

B(D) – sarnane operaatoripolünoom m-th kraad.

4. Lase mitmemõõtmeline dünaamiline mittelineaarsus on antud mittelineaarsed võrrandid liigi seisund

(6)

Sarnaselt eelmistele juhtumitele lineariseerime selle mittelineaarsuse tangentsimeetodil tuntud piirkonna väikeses naabruses. privaatne lahendused ( x*, y*), vastavad antud sissepääs u*(t). Sel juhul on esimestel lähendusvõrranditel järgmine vorm:

(7)

Kus - sobiva suurusega maatriksid. Nende elementideks on üldjuhul aja funktsioonid, kuid kui konkreetne lahendus vastab staatiline režiimi, siis on need püsivad.

Teeme ära lõppsõna puutujameetodi kasutamise kohta kogu ACS-i MM-i lineariseerimisel, mis on interakteeruvate struktuuriplokkide kirjelduste kogum.

1) "võrdlusrežiim" (*), mille suhtes lineariseerimine teostatakse, arvutatakse kogu süsteemi jaoks selle täieliku (mittelineaarse) MM-i järgi. Arvutusteks saab kasutada nii graafilisi kui ka numbrilisi (arvuti) meetodeid. Sel juhul sõltuvad kõigi lineariseeritud võrrandite ja funktsionaalsete sõltuvuste koefitsiendid valitud lineariseerimispunktidest;

2) kõik MM-i mittelineaarsed sõltuvused peavad olema pidevad ja režiimi (*) väikeses läheduses pidevalt diferentseeruvad (sujuvad);

3) muutujate kõrvalekalded nende väärtustest referentsrežiimis peavad olema piisavalt väikesed; ACS-i ja U puhul on see nõue täielikult kooskõlas kontrolli eesmärgiga - kontrollitavate muutujate väärtuste reguleerimine vastavalt nende muutmise ettenähtud seadustele;

4) eest lineaarvõrrandid MM osana seisneb lineariseerimine kõigi muutujate formaalses asendamises nende kõrvalekalletega (inkrement);

5) kogu süsteemi lineariseeritud MM-i saamiseks standardvorm, näiteks olekuvõrrandite kujul, peaksite esmalt lineariseerima kõik MM-i võrrandid. See on palju lihtsam ja kiirem kui mittelineaarse MM-süsteemi hankimine standardvormis ja seejärel lineariseerimine;

6) arvestades kõiki puutujameetodi rakendamise tingimusi, annavad lineariseeritud MM-i omadused objektiivse ettekujutuse mittelineaarse MM-i lokaalsetest omadustest väike naabruskond võrdlusrežiim. Sellel faktil on Ljapunovi teoreemide kujul (esimene meetod) range matemaatiline põhjendus ja see on lineaarse juhtimise teooria praktilise rakendamise teoreetiline alus.