Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješan položivši ispit iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profilni ispit matematika. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!

Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.

Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i KORISTITI tajne. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.

Tečaj sadrži 5 velike teme, po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.

Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni zadaci i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Varljiva rješenja, korisne varalice, razvoj prostorna imaginacija. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Baza za rješenje izazovne zadatke 2 dijela ispita.

Paralelogram je četverokut kojemu su suprotne stranice po parovima paralelne.

Paralelogram ima sva svojstva četverokuta, ali ima i svoja razlikovna obilježja. Poznavajući ih, lako možemo pronaći obje stranice i kutove paralelograma.

Svojstva paralelograma

1. Zbroj kutova u svakom paralelogramu, kao iu svakom četverokutu, iznosi 360°.
2. Srednje linije paralelograma i njegove dijagonale sijeku se u jednoj točki i dijele ga na pola. Ta se točka naziva središtem simetrije paralelograma.
3. Nasuprotne stranice paralelograma uvijek su jednake.
4. Također, ova figura uvijek ima jednake suprotne kutove.
5. Zbroj kutova uz obje strane paralelograma uvijek je 180°.
6. Zbroj kvadrata dijagonala paralelograma jednak je dvostrukom zbroju kvadrata njegovih dviju susjednih stranica. To se izražava formulom:
   • d 1 2 + d 2 2 = 2 (a 2 + b 2), gdje su d 1 i d 2 dijagonale, a i b susjedne stranice.
7. Kosinus tupog kuta uvijek je manji od nule.

Kako pronaći kutove zadanog paralelograma, primjenjujući ta svojstva u praksi? A koje nam druge formule mogu pomoći u tome? Razmotrite specifične zadatke koji zahtijevaju: pronaći kutove paralelograma.

Pronalaženje uglova paralelograma

Slučaj 1. Poznata je mjera tupog kuta, potrebno je pronaći oštar kut.

Primjer: U paralelogramu ABCD kut A iznosi 120°. Odredite mjere preostalih kutova.

Riješenje: Pomoću svojstva br. 5 možemo pronaći mjeru kuta B susjednog kuta zadanog u zadatku. Bit će jednako:

• 180°-120°= 60°

I sada, koristeći svojstvo #4, određujemo da su dva preostala kuta C i D suprotna kutovima koje smo već pronašli. Kut C je nasuprot kutu A, kut D je nasuprot kutu B. Dakle, oni su u paru jednaki.

• Odgovor: B=60°, C=120°, D=60°

Slučaj 2. Poznate su duljine stranica i dijagonala

U ovom slučaju moramo koristiti teorem kosinusa.

Prvo pomoću formule možemo izračunati kosinus kuta koji nam treba, a zatim pomoću posebne tablice pronaći čemu je jednak sam kut.

Za oštar kut, formula je:

• cosa \u003d (A² + B² - d²) / (2 * A * B), gdje
• a je željeno oštar kut,
• A i B su stranice paralelograma
• d - manja dijagonala

Za tupi kut, formula se malo mijenja:

• cosß \u003d (A² + B² - D²) / (2 * A * B), gdje
• ß je tup kut,
• A i B su strane
• D - velika dijagonala

Primjer: potrebno je pronaći šiljasti kut paralelograma čije su stranice 6 cm i 3 cm, a manja dijagonala 5,2 cm.

Vrijednosti zamjenjujemo u formulu za pronalaženje oštrog kuta:

• cosa = (6 2 + 3 2 - 5,2 2) / (2 * 6 * 3) = (36 + 9 - 27,04) / (2 * 18) = 17,96/36 ~ 18/36 ~1/2
• cosa = 1/2. Prema tablici saznajemo da je željeni kut 60 °.

Paralelogram je četverokut čije su suprotne stranice po parovima paralelne. Također, paralelogram ima svojstva kao što su suprotne strane jednake, suprotni kutovi jednaki, zbroj svih kutova je 360 ​​stupnjeva.

Trebat će vam

• Znanje geometrije.

Uputa

1. Zamislite da je jedan od kutova paralelograma jednak A. Pronađite vrijednosti preostalih 3. Po svojstvu paralelograma suprotni kutovi su jednaki. Dakle, kut koji leži nasuprot zadanom jednak je zadanom i njegova je vrijednost jednaka A.

2. Pronađite preostala dva kuta. Budući da je zbroj svih kutova u paralelogramu 360 stupnjeva, a suprotni kutovi su međusobno jednaki, ispada da je kut koji pripada istoj stranici sa zadanom jednak (360 - 2A) / 2. Pa, ili nakon reformiranja dobivamo 180 - A. Dakle, u paralelogramu su dva kuta jednaka A, a druga dva kuta jednaka su 180 - A.

Bilješka!
Vrijednost jednog kuta ne smije biti veća od 180 stupnjeva. Dobivene vrijednosti kutova mogu se lako provjeriti. Da biste to učinili, zbrojite ih i, ako je zbroj 360, sve je točno izračunato.

Koristan savjet
Pravokutnik i romb poseban su slučaj paralelograma pa i za njih vrijede sva svojstva i načini izračunavanja kutova.

Prosječna razina

Paralelogram, pravokutnik, romb, kvadrat (2019.)

1. Paralelogram

Složenica "paralelogram"? A iza toga je vrlo jednostavna figura.

Pa, to jest, uzeli smo dvije paralelne linije:

Preko još dva:

A unutra - paralelogram!

Koja su svojstva paralelograma?

Svojstva paralelograma.

Odnosno, što se može koristiti ako je u zadatku zadan paralelogram?

Na ovo pitanje odgovara sljedeći teorem:

Nacrtajmo sve detaljno.

Što znači prva točka teoreme? A činjenica da ako IMATE paralelogram, onda svakako

Drugi stavak znači da ako postoji paralelogram, onda, opet, svakako:

Pa, i konačno, treća točka znači da ako IMATE paralelogram, budite sigurni:

Vidite kakvo bogatstvo izbora? Što koristiti u zadatku? Pokušajte se usredotočiti na pitanje zadatka ili jednostavno pokušajte sve redom - poslužit će neka vrsta "ključa".

A sad postavimo si još jedno pitanje: kako prepoznati paralelogram "u lice"? Što se mora dogoditi s četverokutom da bismo mu stekli pravo dati “titulu” paralelograma?

Na ovo pitanje odgovara nekoliko znakova paralelograma.

Značajke paralelograma.

Pažnja! Početi.

Paralelogram.

Obratite pozornost: ako ste u svom problemu pronašli barem jedan znak, tada imate točno paralelogram i možete koristiti sva svojstva paralelograma.

2. Pravokutnik

Mislim da vam to uopće neće biti novost.

Prvo pitanje je: je li pravokutnik paralelogram?

Naravno da je! Uostalom, on ima - sjećate se, naš znak 3?

I odavde, naravno, slijedi da za pravokutnik, kao i za bilo koji paralelogram, i, i dijagonale su podijeljene točkom presjeka na pola.

Ali postoji pravokutnik i jedno posebno svojstvo.

Svojstvo pravokutnika

Zašto je ovo svojstvo posebno? Jer nijedan drugi paralelogram nema jednake dijagonale. Formulirajmo to jasnije.

Obratite pažnju: da bi postao pravokutnik, četverokut prvo mora postati paralelogram, a zatim predstaviti jednakost dijagonala.

3. Dijamant

I opet je pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S punim pravom - paralelogram, jer ima i (sjetite se našeg znaka 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, onda mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima jednake suprotne kutove, suprotne stranice su paralelne, a dijagonale se sjecištem dijele na pola.

Svojstva romba

Pogledaj sliku:

Kao iu slučaju pravokutnika, ova svojstva su različita, odnosno za svako od ovih svojstava možemo zaključiti da nemamo samo paralelogram, već romb.

Znakovi romba

I opet obratite pozornost: ne bi trebao postojati samo četverokut s okomitim dijagonalama, već paralelogram. Budi siguran:

Ne, naravno da ne, iako su njegove dijagonale i okomite, a dijagonala je simetrala kutova u. Ali ... dijagonale se ne dijele, sjecište na pola, dakle - NIJE paralelogram, pa stoga NIJE romb.

To jest, kvadrat je pravokutnik i romb u isto vrijeme. Da vidimo što će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? - romb - simetrala kuta A, koja je jednaka. Dakle, dijeli se (i također) na dva kuta duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravokutnika su jednake; dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom sjecišta na pola.

PROSJEČNA RAZINA

Svojstva četverokuta. Paralelogram

Svojstva paralelograma

Pažnja! Riječi " svojstva paralelograma» znači da ako imate zadatak tamo je paralelogram, tada se može koristiti sve sljedeće.

Teorem o svojstvima paralelograma.

U bilo kojem paralelogramu:

Pogledajmo zašto je to istina, drugim riječima DOKAZAĆEMO teorema.

Pa zašto je 1) istina?

Pošto je to paralelogram, tada je:

• kao da leži poprijeko
• kao ležeći poprijeko.

Dakle, (po II osnovi: i - općenito.)

Pa jednom, onda - to je to! - dokazao.

Ali usput! Dokazali smo i 2)!

Zašto? Ali uostalom (pogledajte sliku), to je, naime, zato.

Još samo 3).

Da biste to učinili, još uvijek morate nacrtati drugu dijagonalu.

I sada to vidimo - prema znaku II (kut i stranica "između" njih).

Svojstva dokazana! Prijeđimo na znakove.

Značajke paralelograma

Podsjetimo se da znak paralelograma odgovara na pitanje "kako saznati?" Da je lik paralelogram.

U ikonama je ovako:

Zašto? Bilo bi lijepo razumjeti zašto – dosta je. Ali pogledaj:

Pa, shvatili smo zašto je znak 1 istinit.

Pa to je još lakše! Nacrtajmo ponovno dijagonalu.

Što znači:

I također je lako. Ali… drugačije!

Sredstva, . Wow! Ali i - unutarnja jednostrana kod sekante!

Stoga činjenica koja znači da.

A ako pogledate s druge strane, onda su unutarnje jednostrane u sekanti! I stoga.

Vidite kako je super?!

I opet jednostavno:

Potpuno isto, i.

Obratiti pažnju: ako ste pronašli barem jedan znak paralelograma u vašem problemu, onda imate točno paralelogram i možete koristiti svatko svojstva paralelograma.

Za potpunu jasnoću pogledajte dijagram:

Svojstva četverokuta. Pravokutnik.

Svojstva pravokutnika:

Točka 1) je sasvim očita - uostalom, znak 3 () jednostavno je ispunjen

I točka 2) - jako važno. Pa dokažimo to

Dakle, na dvije noge (i - generalno).

Pa, budući da su trokuti jednaki, onda su i njihove hipotenuze jednake.

To dokazao!

I zamislite, jednakost dijagonala je posebno svojstvo pravokutnika među svim paralelogramima. Odnosno, sljedeća izjava je istinita

Da vidimo zašto?

Dakle, (misli se na kutove paralelograma). Ali još jednom, zapamtite to - paralelogram, i stoga.

Sredstva, . I naravno iz toga proizlazi da svaki od njih Uostalom, u iznosu koji bi trebali dati!

Ovdje smo dokazali da ako paralelogram odjednom (!) će biti jednake dijagonale, onda ovo točno pravokutnik.

Ali! Obratiti pažnju! Ovdje se radi o paralelogrami! Ne bilo kakavčetverokut s jednakim dijagonalama je pravokutnik, i samo paralelogram!

Svojstva četverokuta. Romb

I opet je pitanje: je li romb paralelogram ili nije?

S punim pravom - paralelogram, jer ima i (Zapamtite naš znak 2).

I opet, budući da je romb paralelogram, on mora imati sva svojstva paralelograma. To znači da romb ima jednake suprotne kutove, suprotne stranice su paralelne, a dijagonale se sjecištem dijele na pola.

Ali postoje i posebna svojstva. Mi formuliramo.

Svojstva romba

Zašto? Pa, budući da je romb paralelogram, onda su njegove dijagonale podijeljene na pola.

Zašto? Da, zato!

Drugim riječima, pokazalo se da su dijagonale i simetrale uglova romba.

Kao iu slučaju pravokutnika, ova svojstva su osebujan, svaki od njih je također znak romba.

Znakovi romba.

Zašto je to? I pogledaj

Stoga, i oba ti su trokuti jednakokračni.

Da bi bio romb, četverokut prvo mora "postati" paralelogram, a zatim već pokazati svojstvo 1 ili svojstvo 2.

Svojstva četverokuta. Kvadrat

To jest, kvadrat je pravokutnik i romb u isto vrijeme. Da vidimo što će ispasti iz ovoga.

Je li jasno zašto? Kvadrat - romb - simetrala kuta, koji je jednak. Dakle, dijeli se (i također) na dva kuta duž.

Pa, sasvim je jasno: dijagonale pravokutnika su jednake; dijagonale romba su okomite, a općenito - dijagonale paralelograma podijeljene su točkom sjecišta na pola.

Zašto? Pa, samo primijenite Pitagorin teorem na.

SAŽETAK I OSNOVNA FORMULA

Svojstva paralelograma:

1. Nasuprotne stranice su jednake: , .
2. Nasuprotni kutovi su: , .
3. Zbroj kutova na jednoj stranici iznosi: , .
4. Dijagonale su sjecištem podijeljene na pola: .

Svojstva pravokutnika:

1. Dijagonale pravokutnika su: .
2. Pravokutnik je paralelogram (za pravokutnik su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva romba:

1. Dijagonale romba su okomite: .
2. Dijagonale romba su simetrale njegovih kutova: ; ; ; .
3. Romb je paralelogram (za romb su ispunjena sva svojstva paralelograma).

Svojstva kvadrata:

Kvadrat je istovremeno i romb i pravokutnik, dakle, za kvadrat su ispunjena sva svojstva pravokutnika i romba. Kao i.

ČETVOROKUTNICI.

§43. PARALELOGRAM.

1. Definicija paralelograma.

Presiječemo li par paralelnih pravaca s drugim parom paralelnih pravaca, dobit ćemo četverokut čije su suprotne stranice po parovima paralelne.

U četverokutima ABDC i EFNM (sl. 224) BD || AC i AB || CD;
EF || MN i EM || F.N.

Četverokut čije su suprotne stranice po parovima paralelne naziva se paralelogram.

2. Svojstva paralelograma.

Teorema. Dijagonala paralelograma dijeli ga na dva jednaka trokuta.

Neka postoji paralelogram ABDC (slika 225) u kojem je AB || CD i AC || BD.

Potrebno je dokazati da ga dijagonala dijeli na dva jednaka trokuta.

Nacrtaj dijagonalu CB u paralelogramu ABDC. Dokažimo to /\ KABINA= /\ CDB.

SI stranica je zajednička ovim trokutima; / ABC = / BCD, kao unutarnji unakrsni kutovi s paralelama AB i CD i sekantom CB; / DIA = / CBD, također kao unutarnji unakrsni kutovi s paralelnim AC i BD i sekantom CB (§ 38).

Odavde /\ KABINA = /\ CDB.

Na isti način se može dokazati da dijagonala AD dijeli paralelogram na dva jednaka trokuta ACD i ABD.

Posljedice. 1 . Nasuprotni kutovi paralelograma su jednaki.

/ A = / D, to proizlazi iz jednakosti trokuta CAB i CDB.
Slično tome, / C = / NA.

2. Nasuprotne stranice paralelograma su jednake.

AB \u003d CD i AC \u003d BD, jer su to strane jednakih trokuta i leže nasuprot jednakih kutova.

Teorem 2. Dijagonale paralelograma raspolavljaju se u točki njihova sjecišta.

Neka su BC i AD dijagonale paralelograma ABDC (slika 226). Dokažimo da je AO = OD i CO = OB.

Da biste to učinili, usporedite neki par suprotnih trokuta, na primjer /\ AOB i /\ BAKALAR.

U tim trokutima AB = CD, kao suprotne stranice paralelograma;
/ 1 = / 2, kao unutarnji kutovi poprečno leže na paraleli AB i CD i sekanti AD;
/ 3 = / 4 iz istog razloga, budući da je AB || CD i CB su njihova sekanta (§ 38).

Otuda slijedi da /\ AOB = /\ BAKALAR. A u jednakim trokutima, nasuprot jednakim kutovima jednake su stranice. Prema tome, AO = OD i CO = OB.

Teorem 3. Zbroj kutova uz jednu stranicu paralelograma jednak je 2 d .

Dokažite se.

3. Znakovi paralelograma.

Teorema. Ako su nasuprotne stranice četverokuta po parovima jednake, tada je četverokut paralelogram.

Neka je u četverokutu ABDC (sl. 227) AB = CD i AC = BD. Dokažimo da je pod ovim uvjetom AB || CD i AC || BD, tj. četverokut ABDC je paralelogram.
Spojimo segmentom neka dva nasuprotna vrha ovog četverokuta, na primjer C i B. Četverokut ABDC podijeljen je na dva jednaka trokuta: /\ CAB i /\ CDB. Doista, imaju zajedničku stranu CB, AB \u003d CD i AC \u003d BD prema uvjetu. Dakle, tri stranice jednog trokuta jednake su trima stranicama drugog, dakle /\ KABINA = /\ CDB.

U jednakim trokutima vs. jednake strane laž jednaki kutovi, zato
/ 1 = / 2 i / 3 = / 4.

Kutovi 1. i 2. unutarnji su poprečni kutovi u sjecištu pravaca AB i CD s pravcem CB. Prema tome, AB || CD.

Slično, kutovi 3. i 4. unutarnji su poprečni kutovi u sjecištu pravaca CA i BD s pravcem CB, dakle CA || BD (§ 35).

Dakle, nasuprotne stranice četverokuta ABDC su po parovima paralelne, dakle radi se o paralelogramu, što je trebalo i dokazati.

Teorem 2. Ako su dvije nasuprotne stranice četverokuta jednake i paralelne, tada je četverokut paralelogram.

Neka je u četverokutu ABDC AB = CD i AB || CD. Dokažimo da je pod tim uvjetima četverokut ABDC paralelogram (slika 228).

Isječkom CB spojimo vrhove C i B. Zbog paralelnosti pravaca AB i CD kutovi 1 i 2, kao unutarnji kutovi koji leže poprijeko, jednaki su (§ 38).
Zatim trokut CAB jednaka trokutu SD, pošto imaju zajedničku stranu CB,
AB \u003d CD prema uvjetu teorema i / 1 = / 2 kao što je dokazano. Iz jednakosti ovih trokuta slijedi jednakost kutova 3 i 4, jer oni leže nasuprot jednakim stranicama u jednakim trokutima.

Ali kutovi 3 i 4 unutarnji su poprečni kutovi koji nastaju u sjecištu pravaca AC i BD s pravcem CB, dakle, AC || BD (§ 35), tj. četverokut
ABDC je paralelogram.

Vježbe.

1. Dokažite da ako su dijagonale četverokuta u točki međusobnog sjecišta podijeljene popola, onda je taj četverokut paralelogram.

2. Dokaži da četverokut čiji je zbroj unutarnji kutovi, uz svaku od dviju susjednih stranica, jednako je 2 d, je paralelogram.

3. Konstruiraj paralelogram na dvije stranice i kut između njih:

a) pomoću paralelizma suprotne strane paralelogram;
b) pomoću jednakosti suprotnih stranica paralelograma.

4. Konstruiraj paralelogram u dva susjedne stranke i dijagonale.

5. Konstruiraj paralelogram prema dvjema dijagonalama i kutu između njih.

6. Konstruiraj paralelogram uz njegovu stranicu i dvije dijagonale.