Primjeri inverznih matrica s 2x2 rješenjem. Inverzna matrica i njena svojstva

Matrična algebra - Inverzna matrica

inverzna matrica

inverzna matrica se naziva matrica koja, kada se pomnoži s desne i s lijeve strane sa ovu matricu daje matricu identiteta.
Označimo matricu inverznu matrici ALI kroz , tada prema definiciji dobivamo:

gdje E – Matrica identiteta.
kvadratna matrica nazvao neposeban (nedegeneriran) ako mu determinanta nije jednaka nuli. Inače se zove poseban (degenerirati) ili jednina.

Postoji teorem: svaka nesingularna matrica ima inverznu matricu.

Operacija pronalaženja inverzne matrice se zove apel matrice. Razmotrimo algoritam inverzije matrice. Neka je dana nesingularna matrica n-ti red:

gdje je Δ = det A ≠ 0.

Algebarski element komplementa matrice n-ti red ALI determinanta matrice ( n–1)-ti red dobiven brisanjem ja-th line i j-ti stupac matrice ALI:

Stvorimo tzv u prilogu matrica:

gdje su algebarski komplementi odgovarajućih elemenata matrice ALI.
Imajte na umu da su algebarski komplementi elemenata retka matrice ALI nalaze se u odgovarajućim stupcima matrice Ã , odnosno matrica se transponira istovremeno.
Dijeljenje svih elemenata matrice Ã na Δ - vrijednost determinante matrice ALI, kao rezultat dobivamo inverznu matricu:

Bilježimo seriju posebna svojstva inverzna matrica:
1) za zadanu matricu ALI nju inverzna matrica je jedini;
2) ako postoji inverzna matrica , onda desno obrnuto i lijevi revers matrice se podudaraju s njim;
3) posebna (degenerirana) kvadratna matrica nema inverznu matricu.

Glavna svojstva inverzne matrice:
1) determinanta inverzne matrice i determinanta izvorne matrice su recipročne vrijednosti;
2) inverzna matrica proizvoda kvadratnih matrica jednaka je proizvodu inverznih matrica faktora, uzetih obrnutim redoslijedom:

3) transponirana inverzna matrica jednaka je inverznoj matrici iz zadane transponirane matrice:

PRIMJER Izračunaj matricu inverznu zadanoj.

Definicija 1: Matrica se naziva degeneriranom ako je njena determinanta nula.

Definicija 2: Matrica se naziva nesingularnom ako njena determinanta nije jednaka nuli.

Matrica "A" se zove inverzna matrica, ako je zadovoljen uvjet A*A-1 = A-1 *A = E (matrica identiteta).

Kvadratna matrica je invertibilna samo ako je nesingularna.

Shema za izračunavanje inverzne matrice:

1) Izračunajte determinantu matrice "A" ako ∆ A = 0, tada inverzna matrica ne postoji.

2) Nađite sve algebarske komplemente matrice "A".

3) Sastavite matricu algebarskih sabiranja (Aij )

4) Transponirati matricu algebarskih komplemenata (Aij )T

5) Pomnožite transponiranu matricu s brojem, inverzna determinanta ovu matricu.

6) Pokrenite provjeru:

Na prvi pogled može se činiti da je teško, ali zapravo je sve vrlo jednostavno. Sva rješenja temelje se na jednostavnom aritmetičke operacije, glavna stvar pri rješavanju je ne zbuniti se sa znakovima "-" i "+" i ne izgubiti ih.

Sada odlučimo zajedno praktični zadatak, izračunavanje inverzne matrice.

Zadatak: pronađite inverznu matricu "A", prikazanu na slici ispod:

Sve rješavamo točno onako kako je naznačeno u planu za izračun inverzne matrice.

1. Prvo što treba učiniti je pronaći determinantu matrice "A":

Obrazloženje:

Pojednostavili smo našu determinantu korištenjem njenih glavnih funkcija. Prvo smo u 2. i 3. red dodali elemente prvog reda, pomnožene s jednim brojem.

Drugo, promijenili smo 2. i 3. stupac determinante, a prema njezinim svojstvima promijenili smo i znak ispred nje.

Treće, izbacili smo zajednički faktor (-1) drugog reda, čime smo ponovno promijenili predznak i on je postao pozitivan. Također smo pojednostavili liniju 3 na isti način kao na samom početku primjera.

Imamo trokutastu determinantu u kojoj su elementi ispod dijagonale jednaki nuli, a prema svojstvu 7 ona jednak je proizvodu dijagonalni elementi. Kao rezultat toga, dobili smo ∆ A = 26, dakle inverzna matrica postoji.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Sljedeći korak je sastavljanje matrice iz rezultirajućih dodavanja:

5. Ovu matricu pomnožimo s recipročnom vrijednošću determinante, odnosno s 1/26:

6. Pa, sada samo trebamo provjeriti:

Tijekom provjere dobili smo matricu identiteta, dakle, odluka je donesena apsolutno ispravno.

2 način za izračunavanje inverzne matrice.

1. Elementarna transformacija matrica

2. Inverzna matrica kroz elementarni pretvarač.

Elementarna matrična transformacija uključuje:

1. Množenje niza brojem koji nije nula.

2. Dodavanje bilo kojem retku drugog retka, pomnoženog brojem.

3. Zamjena redaka matrice.

4. Primjena lanca elementarne transformacije, dobivamo drugu matricu.

ALI -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. A -1*A=E

Uzmite u obzir praktični primjer s realnim brojevima.

Vježba: Nađi inverznu matricu.

Riješenje:

Provjerimo:

Malo pojašnjenje rješenja:

Prvo smo zamijenili retke 1 i 2 matrice, a zatim smo prvi red pomnožili s (-1).

Nakon toga je prvi redak pomnožen s (-2) i dodan u drugi redak matrice. Zatim smo drugi red pomnožili s 1/4.

završna faza transformacija je množenje drugog retka s 2 i zbrajanje iz prvog. Kao rezultat, imamo matricu identiteta s lijeve strane, dakle, inverzna matrica je matrica s desne strane.

Nakon provjere uvjerili smo se u ispravnost odluke.

Kao što vidite, izračunavanje inverzne matrice je vrlo jednostavno.

U zaključku ovog predavanja želio bih posvetiti nešto vremena i svojstvima takve matrice.

Nalaženje inverzne matrice- problem koji se najčešće rješava na dva načina:

metoda algebarskih sabiranja, u kojoj se traži pronalaženje determinanti i transponiranje matrica;
metoda eliminacije nepoznati gauss, u kojem se zahtijevaju elementarne transformacije matrica (zbrajanje redaka, množenje redaka s istim brojem itd.).

Za one posebno znatiželjne, postoje i druge metode, na primjer, metoda linearnih transformacija. U ovoj lekciji ćemo analizirati tri spomenute metode i algoritme za pronalaženje inverzne matrice tim metodama.

inverzna matrica ALI, takva se matrica naziva

ALI
. (1)

inverzna matrica naći za dato kvadratna matrica ALI, takva se matrica naziva

proizvod kojim se matrice ALI s desne strane je matrica identiteta, tj.
. (1)

Matrica identiteta je dijagonalna matrica u kojoj su svi dijagonalni unosi jednaki jedinici.

Teorema.Za svaku nesingularnu (nesingularnu, nesingularnu) kvadratnu matricu može se naći inverzna matrica, štoviše, samo jedna. Za posebnu (degeneriranu, singularnu) kvadratnu matricu inverzna matrica ne postoji.

Kvadratna matrica se zove neposeban(ili nedegeneriran, nejedninski) ako njegova determinanta nije jednaka nuli, i poseban(ili degenerirati, jednina) ako je njegova determinanta nula.

Inverzna matrica se može pronaći samo za kvadratnu matricu. Naravno, inverzna matrica će također biti kvadratna i istog reda kao i dana matrica. Matrica za koju se može pronaći inverzna matrica naziva se invertibilna matrica.

Za inverzna matrica postoji prikladna analogija s recipročnom vrijednošću broja. Za svaki broj a, koji nije jednak nuli, postoji broj b da je djelo a i b jednako jedan: ab= 1. Broj b naziva se recipročna vrijednost broja b. Na primjer, za broj 7, inverz je broj 1/7, budući da je 7*1/7=1.

Nalaženje inverzne matrice metodom algebarskih sabiranja (union matrica)

Za nesingularnu kvadratnu matricu ALI inverz je matrica

gdje je determinanta matrice ALI, a je matrica pridružena matrici ALI.

Udruženi s kvadratnom matricom A je matrica istog reda čiji su elementi algebarski komplementi odgovarajućih elemenata determinante matrice transponirane u odnosu na matricu A. Dakle, ako

zatim

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice metodom algebarskih sabiranja

1. Odredite determinantu ove matrice A. Ako je determinanta jednaka nuli, nalaženje inverzne matrice prestaje, jer je matrica degenerirana i za nju ne postoji inverz.

2. Pronađite matricu transponiranu u odnosu na A.

3. Izračunajte elemente unijske matrice kao algebarske komplemente marite pronađene u koraku 2.

4. Primijenite formulu (2): pomnožite recipročnu vrijednost determinante matrice A, na matricu unije koja se nalazi u koraku 4.

5. Provjerite rezultat dobiven u koraku 4 množenjem ove matrice A na inverznu matricu. Ako je umnožak ovih matrica jednak matrici identiteta, tada je inverzna matrica točno pronađena. U suprotnom ponovno pokrenite postupak rješenja.

Primjer 1 Za matricu

pronađite inverznu matricu.

Riješenje. Za pronalaženje inverzne matrice potrebno je pronaći determinantu matrice ALI. Pravilom trokuta nalazimo:

Prema tome, matrica ALI je nesingularan (nedegeneriran, nesingularan) i za njega postoji inverz.

Pronađimo matricu pridruženu zadanoj matrici ALI.

Nađimo matricu transponiranu u odnosu na matricu A:

Elemente unijske matrice izračunavamo kao algebarske komplemente matrice transponirane u odnosu na matricu A:

Prema tome, matrica konjugirana s matricom A, ima oblik

Komentar. Redoslijed izračunavanja elemenata i transpozicije matrice može biti različit. Najprije se mogu izračunati algebarski komplementi matrice A, a zatim transponirati matricu algebarskih komplemenata. Rezultat bi trebali biti isti elementi matrice unije.

Primjenom formule (2) nalazimo matricu inverznu matrici ALI:

Pronalaženje inverzne matrice Gaussovom eliminacijom nepoznanica

Prvi korak za pronalaženje inverzne matrice Gaussovom eliminacijom je dodjeljivanje matrici A matricu identiteta istog reda, odvajajući ih okomitom crtom. Dobivamo dvojnu matricu. Pomnožimo oba dijela ove matrice s , tada dobivamo

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice Gaussovom eliminacijom nepoznanica

1. U matricu A dodijeliti matricu identiteta istog reda.

2. Transformirajte dobivenu dualnu matricu tako da se u njenom lijevom dijelu dobije matrica identiteta, tada će se automatski dobiti inverzna matrica u desnom dijelu umjesto matrice identiteta. Matrica A na lijevoj strani pretvara se u matricu identiteta elementarnim transformacijama matrice.

2. Ako se u procesu transformacije matrice A u matricu identiteta u bilo kojem retku ili u bilo kojem stupcu bit će samo nule, tada je determinanta matrice jednaka nuli, pa je stoga matrica A bit će degenerirana i nema inverznu matricu. U tom slučaju prestaje daljnje pronalaženje inverzne matrice.

Primjer 2 Za matricu

pronađite inverznu matricu.

a mi ćemo ga transformirati tako da se matrica identiteta dobije na lijevoj strani. Započnimo transformaciju.

Pomnožimo prvi redak lijeve i desne matrice s (-3) i dodamo ga u drugi red, a zatim pomnožimo prvi red s (-4) i dodamo ga u treći red, tada dobivamo

Izbjeći, ako je moguće razlomački brojevi u sljedećim transformacijama, prvo ćemo stvoriti jedinicu u drugom retku na lijevoj strani dualne matrice. Da biste to učinili, pomnožite drugi redak s 2 i oduzmite treći red od njega, a zatim dobivamo

Dodajmo prvi red drugom, a zatim pomnožimo drugi red s (-9) i dodamo ga trećem redu. Onda dobivamo

Zatim treći red podijelite s 8

Pomnožite treći red s 2 i dodajte ga drugom redu. Ispada:

Zamjenom mjesta drugog i trećeg retka konačno dobivamo:

Vidimo da je matrica identiteta dobivena na lijevoj strani, dakle, inverzna matrica je dobivena na desnoj strani. Na ovaj način:

Točnost izračuna možete provjeriti množenjem izvorne matrice s pronađenom inverznom matricom:

Rezultat bi trebala biti inverzna matrica.

Primjer 3 Za matricu

pronađite inverznu matricu.

Riješenje. Sastavljanje dualne matrice

i mi ćemo ga transformirati.

Prvi red pomnožimo s 3, a drugi s 2 i oduzmemo od drugog, zatim prvi red pomnožimo s 5, a treći s 2 i oduzmemo od trećeg retka, tada dobijemo

Prvi red pomnožimo sa 2 i dodamo drugom, a zatim od trećeg reda oduzmemo drugi i dobijemo

Vidimo da su se u trećem retku s lijeve strane svi elementi pokazali jednakima nuli. Dakle, matrica je degenerirana i nema inverznu matricu. Zaustavljamo daljnje pronalaženje reversne marije.

Matrica $A^(-1)$ naziva se inverzom kvadratne matrice $A$ ako je $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, gdje je $E $ je matrica identiteta čiji je red jednak redu matrice $A$.

Nesingularna matrica je matrica čija determinanta nije jednaka nuli. Prema tome, degenerirana matrica je ona čija je determinanta jednaka nuli.

Inverzna matrica $A^(-1)$ postoji ako i samo ako je matrica $A$ nesingularna. Ako inverzna matrica $A^(-1)$ postoji, onda je ona jedinstvena.

Postoji nekoliko načina da se pronađe inverz matrice, a mi ćemo pogledati dva od njih. Ova stranica će pokriti metodu adjungirane matrice, koja se smatra standardnom u većini tečajeva. viša matematika. Drugi način pronalaska inverzne matrice (metoda elementarnih transformacija), koji uključuje korištenje Gaussove metode ili Gauss-Jordanove metode, razmatra se u drugom dijelu.

Metoda adjungirane (unijske) matrice

Neka je dana matrica $A_(n\puta n)$. Da bi se pronašla inverzna matrica $A^(-1)$, potrebna su tri koraka:

Nađite determinantu matrice $A$ i uvjerite se da je $\Delta A\neq 0$, tj. da je matrica A nedegenerirana.
Sastavite algebarske komplemente $A_(ij)$ svakog elementa matrice $A$ i zapišite matricu $A_(n\times n)^(*)=\left(A_(ij) \right)$ iz pronađene algebarski komplementi.
Napišite inverznu matricu uzimajući u obzir formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matrica $(A^(*))^T$ često se naziva adjungirana (uzajamna, udružena) matrica $A$.

Ako se odluka donosi ručno, tada je prva metoda dobra samo za matrice relativno malih redova: druga (), treća (), četvrta (). Da biste pronašli inverz matrice višeg reda, koriste se druge metode. Na primjer, Gaussova metoda o kojoj se govori u drugom dijelu.

Primjer #1

Pronađite matricu inverznu matrici $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Kako su svi elementi četvrtog stupca jednaki nuli, onda je $\Delta A=0$ (tj. matrica $A$ je degenerirana). Budući da je $\Delta A=0$, ne postoji matrica inverzna $A$.

Primjer #2

Pronađite matricu inverznu matrici $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Koristimo metodu adjungirane matrice. Prvo nalazimo determinantu zadana matrica$A$:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(niz)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Budući da je $\Delta A \neq 0$, tada inverzna matrica postoji, pa nastavljamo s rješenjem. Pronalaženje algebarskih komplemenata

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(poravnano)

Sastavite matricu algebarskih komplemenata: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Transponirajte dobivenu matricu: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (rezultirajuća matrica se često naziva adjungirana ili unijska matrica matrici $A$). Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, imamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \lijevo(\begin(niz) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(niz)\desno) =\lijevo(\početak(niz) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \kraj(niz)\desno) $$

Dakle, inverzna matrica je pronađena: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \desno) $. Za provjeru istinitosti rezultata dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A^(-1)\cdot A=E$. Kako bismo manje radili s razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\right)$ ali kao $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ kraj(niz)\desno)$:

Odgovor: $A^(-1)=\lijevo(\početak(niz) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \kraj(niz)\desno)$.

Primjer #3

Pronađite inverz matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Počnimo s izračunavanjem determinante matrice $A$. Dakle, determinanta matrice $A$ je:

$$ \Delta A=\lijevo| \begin(niz) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(niz) \right| = 18-36+56-12=26. $$

Budući da je $\Delta A\neq 0$, onda inverzna matrica postoji, pa nastavljamo s rješenjem. Pronalazimo algebarske komplemente svakog elementa zadane matrice:

Sastavljamo matricu algebarskih sabiranja i transponiramo je:

$$ A^*=\lijevo(\početak(niza) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\kraj(niza) \desno); \; (A^*)^T=\lijevo(\početak(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\kraj (niz) \desno) $$

Koristeći formulu $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, dobivamo:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right) $$

Dakle, $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$. Za provjeru istinitosti rezultata dovoljno je provjeriti istinitost jedne od jednakosti: $A^(-1)\cdot A=E$ ili $A\cdot A^(-1)=E$. Provjerimo jednakost $A\cdot A^(-1)=E$. Kako bismo manje radili s razlomcima, zamijenit ćemo matricu $A^(-1)$ ne u obliku $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, ali kao $\frac(1)(26)\ cdot \lijevo( \begin(niz) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(niz) \desno)$:

Provjera je uspješno prošla, inverzna matrica $A^(-1)$ je ispravno pronađena.

Odgovor: $A^(-1)=\lijevo(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$.

Primjer #4

Pronađite matricu inverznu od $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Za matricu četvrtog reda, pronalaženje inverzne matrice korištenjem algebarskih adicija donekle je teško. Međutim, takvi primjeri kontrolni rad sastati se.

Da biste pronašli inverznu matricu, prvo morate izračunati determinantu matrice $A$. Najbolji način za to u ovoj situaciji je proširenje determinante u nizu (stupcu). Odaberemo bilo koji redak ili stupac i pronađemo algebarski komplement svakog elementa odabranog retka ili stupca.

Nalaženje inverzne matrice.

U ovom članku bavit ćemo se pojmom inverzne matrice, njezinim svojstvima i načinima pronalaženja. Zadržimo se detaljno na rješavanju primjera u kojima je potrebno konstruirati inverznu matricu za danu.

Navigacija po stranici.

Inverzna matrica - definicija.

Nalaženje inverzne matrice pomoću matrice algebarskih sabiranja.

Svojstva inverzne matrice.

Nalaženje inverzne matrice Gauss-Jordanovom metodom.

Pronalaženje elemenata inverzne matrice rješavanjem odgovarajućih sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Inverzna matrica - definicija.

Pojam inverzne matrice uvodi se samo za kvadratne matrice čija je determinanta različita od nule, odnosno za nesingularne kvadratne matrice.

Definicija.

Matricanaziva se inverz matrice, čija je determinanta različita od nule, ako su jednakosti točne , gdje E je matrica identiteta reda n na n.

Nalaženje inverzne matrice pomoću matrice algebarskih sabiranja.

Kako pronaći inverznu matricu za zadanu?

Prvo, trebaju nam koncepti transponirana matrica, matrični minor i algebarski komplement elementa matrice.

Definicija.

Minork-ti narudžba matrice A narudžba m na n je determinanta matrice reda k na k, koji se dobiva iz elemenata matrice ALI nalazi u odabranom k linije i k stupci. ( k ne prelazi najmanji broj m ili n).

Minor (n-1)-ti poredak, koji se sastoji od elemenata svih redova, osim i-ti, i svi stupci osim j-ti, kvadratna matrica ALI narudžba n na n označimo to kao .

Drugim riječima, minor se dobiva iz kvadratne matrice ALI narudžba n na n prekrižavanje elemenata i-ti linije i j-ti stupac.

Na primjer, napišimo, minor 2 reda, koji se dobiva iz matrice izbor elemenata njegovog drugog, trećeg reda i prvog, trećeg stupca . Prikazujemo i minor, koji se dobiva iz matrice brisanje drugog reda i trećeg stupca . Ilustrirajmo konstrukciju ovih minora: i .

Definicija.

Algebarsko zbrajanje element kvadratne matrice naziva se minor (n-1)-ti reda, koji se dobiva iz matrice ALI, brisanje njegovih elemenata i-ti linije i j-ti stupac pomnožen s .

Algebarski komplement elementa označava se kao . Tako, .

Na primjer, za matricu algebarski komplement elementa je .

Drugo, trebat će nam dva svojstva determinante, o kojima smo govorili u odjeljku izračun matrične determinante:

Na temelju ovih svojstava determinante definicije operacije množenja matrice brojem i koncept inverzne matrice, imamo jednakost , gdje je transponirana matrica čiji su elementi algebarski komplementi .

Matrica je zapravo inverzna matrica ALI, budući da su jednakosti . Pokažimo to

Sastavljajmo algoritam inverzne matrice koristeći jednakost .

Analizirajmo algoritam za pronalaženje inverzne matrice na primjeru.

Primjer.

S obzirom na matricu . Nađi inverznu matricu.

Riješenje.

Izračunajte determinantu matrice ALI, proširujući ga elementima trećeg stupca:

Determinanta je različita od nule, pa matrica ALI reverzibilan.

Nađimo matricu iz algebarskih sabiranja:

Zato

Izvršimo transpoziciju matrice iz algebarskih sabiranja:

Sada nalazimo inverznu matricu kao :

Provjerimo rezultat:

Jednakost izvršavaju se, dakle, inverzna matrica je ispravno pronađena.

Svojstva inverzne matrice.

Pojam inverzne matrice, jednakost , definicije operacija na matricama i svojstva determinante matrice omogućuju da se potkrijepi sljedeće svojstva inverzne matrice:

Pronalaženje elemenata inverzne matrice rješavanjem odgovarajućih sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Razmotrite drugi način za pronalaženje inverzne matrice za kvadratnu matricu ALI narudžba n na n.

Ova se metoda temelji na rješenju n sustavi linearnih nehomogenih algebarskih jednadžbi sa n nepoznato. Nepoznate varijable u ovim sustavima jednadžbi su elementi inverzne matrice.

Ideja je vrlo jednostavna. Označimo inverznu matricu kao x, to je, . Budući da je prema definiciji inverzne matrice , onda

Izjednačujući odgovarajuće elemente po stupcima, dobivamo n sustavi linearnih jednadžbi

Rješavamo ih na bilo koji način i od pronađenih vrijednosti formiramo inverznu matricu.

Analizirajmo ovu metodu na primjeru.

Primjer.

S obzirom na matricu . Nađi inverznu matricu.

Riješenje.

Prihvatiti . Jednakost nam daje tri sustava linearnih nehomogenih algebarskih jednadžbi:

Nećemo opisivati rješenja ovih sustava, ako je potrebno, pogledajte odjeljak rješavanje sustava linearnih algebarskih jednadžbi.

Iz prvog sustava jednadžbi imamo , iz drugog - , iz trećeg - . Stoga željena inverzna matrica ima oblik . Preporučujemo da provjerite je li rezultat točan.

Rezimirati.

Razmotrili smo koncept inverzne matrice, njezina svojstva i tri metode za njezino pronalaženje.

Primjer rješenja inverzne matrice

Vježba 1. Riješite SLAE metodom inverzne matrice. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Početak obrasca

Kraj forme

Riješenje. Zapišimo matricu u obliku: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Glavna determinanta Manja za (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor za (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor za (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Manje za (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Mala determinanta ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Transponirana matrica Algebarski komplementi ∆ 1,1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1,2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1,3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1,4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2,1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2,2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2,3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2,4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3,1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3,2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3,3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3,4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4,1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4,2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4,3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4,4 = 2 (5 6-3 7) -3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Inverzna matrica Vektor rezultata X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0,33,1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0,33 x 4 = 1

vidi također Rješenja SLAE metodom inverzne matrice na liniji. Da biste to učinili, unesite svoje podatke i dobit ćete odluku s detaljnim komentarima.

Zadatak 2. Napiši sustav jednadžbi u matričnom obliku i riješi ga pomoću inverzne matrice. Provjerite dobiveno rješenje. Riješenje:xml:xls

Primjer 2. Napiši sustav jednadžbi u matričnom obliku i riješi ga pomoću inverzne matrice. Riješenje:xml:xls

Primjer. Zadan je sustav od tri linearne jednadžbe s tri nepoznanice. Potrebno je: 1) pronaći njegovo rješenje pomoću Cramerove formule; 2) napišite sustav u matričnom obliku i riješite ga pomoću matričnog računa. Smjernice. Nakon rješavanja Cramerovom metodom pronađite gumb "Rješenje inverzne matrice za početne podatke". Dobit ćete odgovarajuću odluku. Dakle, podaci se neće morati ponovno popunjavati. Riješenje. Označimo s A - matricu koeficijenata za nepoznanice; X - stupac matrice nepoznanica; B - matrica-stupac slobodnih članova:

Vektor B: B T =(4,-3,-3) S obzirom na ove oznake, ovaj sustav jednadžbi ima sljedeći matrični oblik: A*H = B. Ako je matrica A nesingularna (njena determinanta nije nula, tada ima inverzna matrica A -1 Množenjem obje strane jednadžbe s A -1, dobivamo: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Ova se jednakost naziva matrični zapis rješenja sustava linearnih jednadžbi. Za pronalaženje rješenja sustava jednadžbi potrebno je izračunati inverznu matricu A -1 . Sustav će imati rješenje ako je determinanta matrice A različita od nule. Pronađimo glavnu odrednicu. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Dakle, determinanta je 14 ≠ 0, pa nastavljamo rješenje. Da bismo to učinili, pronalazimo inverznu matricu pomoću algebarskih dodavanja. Neka imamo nesingularnu matricu A:

Računamo algebarska sabiranja.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Ispitivanje. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Odgovor: -1,1,2.