Ministarstvo obrazovanja Republike Bjelorusije

obrazovna ustanova

"Gomel Državno sveučilište ih. F. Skarina"

Matematički fakultet

Zavod za MPM

Identične transformacije izraza i metode poučavanja učenika kako ih izvoditi

Izvršitelj:

Student Starodubova A.Yu.

Znanstveni savjetnik:

Cand. fizike i matematike znanosti, izvanredni profesor Lebedeva M.T.

Gomel 2007

Uvod

1 Glavne vrste transformacija i faze njihovog proučavanja. Faze svladavanja primjene transformacija

Zaključak

Književnost

Uvod

Najjednostavnije transformacije izraza i formula, temeljene na svojstvima aritmetičkih operacija, izvode se u osnovna škola te 5. i 6. razreda. Formiranje vještina i sposobnosti za izvođenje transformacija odvija se u kolegiju algebre. To je povezano kako s naglim povećanjem broja i raznolikosti izvedenih transformacija, tako i s kompliciranjem aktivnosti za njihovo potkrijepljenje i razjašnjavanje uvjeta primjenjivosti, s identifikacijom i proučavanjem generaliziranih koncepata identiteta, identične transformacije, ekvivalentne transformacije.

1. Glavne vrste transformacija i faze njihovog proučavanja. Faze svladavanja primjene transformacija

1. Počeci algebre

Koristi se neparticionirani sustav transformacija, predstavljen pravilima za izvođenje radnji na jednom ili oba dijela formule. Cilj je postići tečnost u izvođenju zadataka rješavanja najjednostavnijih jednadžbi, pojednostavljivanja formula koje definiraju funkcije, u racionalnom izvođenju izračuna na temelju svojstava radnji.

Tipični primjeri:

Riješite jednadžbe:

a) ; b) ; u) .

Transformacija identiteta (a); ekvivalentan i identičan (b).

2. Formiranje vještina za primjenu pojedinih vrsta transformacija

Zaključci: formule skraćenog množenja; transformacije povezane s potenciranjem; transformacije povezane s raznim klasama elementarnih funkcija.

Organizacija kompletan sustav transformacije (sinteza)

Cilj je formirati fleksibilan i moćan aparat prikladan za korištenje u rješavanju različitih problema. zadaci učenja . Prijelaz na ovu etapu provodi se tijekom završnog ponavljanja tečaja tijekom razumijevanja već poznatog gradiva naučenog po dijelovima, prema određene vrste transformacije prethodno proučavanim tipovima dodaju transformacije trigonometrijskih izraza. Sve ove transformacije mogu se nazvati "algebarskim", a "analitičke" transformacije uključuju one koje se temelje na pravilima diferencijacije i integracije i transformacije izraza koji sadrže prijelaze do granice. Razlika ove vrste je u prirodi skupa kroz koji varijable prolaze u identitetima (određeni skupovi funkcija).

Identiteti koji se proučavaju podijeljeni su u dvije klase:

I su skraćeni multiplikacijski identiteti koji vrijede u komutativnom prstenu i identiteti

pošteno u polju.

II - identiteti povezivanja aritmetičkih operacija i osnovnih elementarnih funkcija.

2 Značajke organizacije sustava zadataka u proučavanju identičnih transformacija

Osnovno načelo organiziranja sustava zadataka je prikazati ih od jednostavnih prema složenima.

Ciklus vježbi- kombinacija u slijedu vježbi više aspekata studija i načina sređivanja gradiva. Kod proučavanja identičnih transformacija ciklus vježbi je povezan s proučavanjem jednog identiteta, oko kojeg se grupiraju drugi identiteti koji su s njim u prirodnoj vezi. Sastav ciklusa, uz izvedbene poslove, uključuje i poslove, zahtijevajući priznanje primjenjivosti razmatranog identiteta. Identitet koji se proučava koristi se za izvođenje izračuna na različitim numeričkim domenama. Zadaci u svakom ciklusu podijeljeni su u dvije skupine. Do prvi uključuju poslove koji se obavljaju tijekom inicijalnog upoznavanja identiteta. Oni poslužuju obrazovni materijal za nekoliko uzastopnih lekcija, objedinjenih jednom temom.

Druga grupa vježba povezuje identitet koji se proučava s različitim primjenama. Ova grupa ne čini kompozicijsko jedinstvo - vježbe su ovdje razbacane po različitim temama.

Opisane strukture ciklusa odnose se na stupanj formiranja vještina za primjenu specifičnih transformacija.

U fazi sinteze ciklusi se mijenjaju, grupe zadataka se kombiniraju prema usložnjavanju i spajanju ciklusa vezanih uz različite identitete, čime se povećava uloga akcija za prepoznavanje primjenjivosti jednog ili drugog identiteta.

Primjer.

Ciklus zadatka identiteta:

I grupa zadataka:

a) prisutan u obliku proizvoda:

b) Provjerite točnost jednakosti:

c) Proširite zagrade u izrazu:

.

d) Izračunajte:

e) Faktoriziraj:

e) pojednostaviti izraz:

.

Učenici su se upravo upoznali s formulacijom identiteta, njegovim zapisom u obliku identiteta i dokazom.

Zadatak a) povezan je s fiksiranjem strukture proučavanog identiteta, s uspostavljanjem veze s numerički skupovi(usporedba znakovnih struktura identiteta i izraza koji se transformira; zamjena slova brojem u identitetu). NA posljednji primjer tek treba svesti na proučavani oblik. U sljedećim primjerima (e i g) dolazi do komplikacije uzrokovane primijenjenom ulogom identiteta i komplikacije strukture znakova.

Zadaci tipa b) usmjereni su na razvijanje vještina zamjene na . Uloga zadatka c) je slična.

Primjeri tipa d), u kojima je potrebno odabrati jedan od smjerova transformacije, zaokružuju razvoj ove ideje.

Zadaci I. grupe usmjereni su na ovladavanje strukturom identiteta, operacijom supstitucije u najjednostavnijim, temeljno najvažnijim slučajevima, te idejom reverzibilnosti transformacija koje provodi identitet. Obogaćivanje je također vrlo važno. jezična sredstva, prikazujući različite aspekte identiteta. Predodžbu o tim aspektima daju tekstovi zadataka.

II grupa zadataka.

g) Koristeći identitet za faktorizirajte polinom .

h) Otkloniti iracionalnost u nazivniku razlomka.

i) Dokažite da ako je neparan broj, onda je djeljiv s 4.

j) Funkcija je dana analitičkim izrazom

.

Riješite se znaka modula razmatrajući dva slučaja: , .

l) Riješite jednadžbu .

Ovi zadaci imaju za cilj puna upotreba i uzimajući u obzir specifičnosti ovog posebnog identiteta, predložiti formiranje vještina korištenja proučavanog identiteta za razliku kvadrata. Cilj je produbiti razumijevanje identiteta razmatranjem njegovih različitih primjena u različite situacije, u kombinaciji s korištenjem materijala koji se odnose na druge teme kolegija matematike.

ili .

Značajke radnih ciklusa vezane uz identitete za elementarne funkcije:

1) proučavaju se na temelju funkcionalne građe;

2) identiteti prve skupine pojavljuju se kasnije i proučavaju pomoću već formiranih vještina za izvođenje identičnih transformacija.

U prvoj skupini zadataka ciklusa trebaju biti zadaci za uspostavljanje veze između ovih novih numeričkih područja i izvornog područja racionalnih brojeva.

Primjer.

Izračunati:

;

.

Svrha takvih zadataka je ovladavanje značajkama zapisa, uključujući simbole novih operacija i funkcija, te razvijanje matematičkih govornih vještina.

Značajan dio korištenja transformacija identiteta povezan s elementarne funkcije, pada na rješavanje iracionalnih i transcendentalnih jednadžbi. Redoslijed koraka:

a) pronaći funkciju φ za koju dana jednadžba f(x)=0 može se predstaviti kao:

b) izvršiti zamjenu y=φ(x) i riješiti jednadžbu

c) riješiti svaku od jednadžbi φ(x)=y k , gdje je y k skup korijena jednadžbe F(y)=0.

Kada se koristi opisana metoda, korak b) se često izvodi implicitno, bez uvođenja oznake za φ(x). Osim toga, učenici često između različitih putova koji vode do odgovora biraju onaj koji brže i lakše vodi do algebarske jednadžbe.

Primjer. Riješite jednadžbu 4 x -3*2=0.

2)(2 2) x -3*2 x =0 (korak a)

(2 x) 2 -3*2 x =0; 2x(2x-3)=0; 2 x -3=0. (korak b)

Primjer. Riješite jednadžbu:

a) 2 2x -3*2 x +2=0;

b) 2 2x -3*2 x -4=0;

c) 2 2x -3*2 x +1=0.

(Predložiti za samostalno odlučivanje.)

Klasifikacija zadataka u ciklusima koji se odnose na rješavanje transcendentnih jednadžbi, uključujući eksponencijalna funkcija:

1) jednadžbe koje se svode na jednadžbe oblika a x \u003d y 0 i imaju jednostavan, opći odgovor u obliku:

2) jednadžbe koje se svode na jednadžbe oblika a x = a k , gdje je k cijeli broj, ili a x = b, gdje je b≤0.

3) jednadžbe koje se svode na jednadžbe oblika a x =y 0 i zahtijevaju eksplicitnu analizu oblika u kojem je broj y 0 eksplicitno zapisan.

Od velike su koristi zadaci u kojima se identične transformacije koriste za iscrtavanje grafova uz pojednostavljenje formula koje definiraju funkcije.

a) Nacrtajte funkciju y=;

b) Riješite jednadžbu lgx+lg(x-3)=1

c) na kojem je skupu formula lg(x-5)+ lg(x+5)= lg(x 2 -25) identitet?

Primjena identičnih transformacija u računanju (J. Matematika u školi, br. 4, 1983., str. 45.)

Zadatak broj 1. Funkcija je dana formulom y=0,3x 2 +4,64x-6. Pronađite vrijednosti funkcije pri x=1,2

y(1,2)=0,3*1,2 2 +4,64*1,2-6=1,2(0,3*1,2+4,64)-6=1,2(0 ,36+4,64)-6=1,2*5-6=0.

Zadatak broj 2. Izračunajte duljinu noge pravokutni trokut ako je duljina njegove hipotenuze 3,6 cm, a druge katete 2,16 cm.

Zadatak broj 3. Kolika je površina parcele pravokutnog oblika dimenzija a) 0,64 m i 6,25 m; b) 99,8m i 2,6m?

a) 0,64 * 6,25 \u003d 0,8 2 * 2,5 2 \u003d (0,8 * 2,5) 2;

b) 99,8*2,6=(100-0,2)2,6=100*2,6-0,2*2,6=260-0,52.

Ovi primjeri otkrivaju praktičnu upotrebu identične transformacije. Studenta treba upoznati s uvjetima izvedivosti transformacije (vidi dijagrame).

-

slika polinoma, gdje se bilo koji polinom uklapa u okrugle konture. (Shema 1)

-

dan je uvjet izvedivosti pretvorbe umnoška monoma i izraza koji omogućuje pretvorbu u razliku kvadrata. (shema 2)

-

ovdje šrafiranje označava jednake monome i dan je izraz koji se može pretvoriti u razliku kvadrata (shema 3).

-

izraz koji dopušta uklanjanje zajedničkog faktora.

Da biste kod učenika formirali vještine prepoznavanja stanja, možete koristiti sljedeće primjere:

Koji od sljedeće izraze može se transformirati izbacivanjem zajedničkog faktora iz zagrada:

2)

3) 0,7a 2 +0,2b 2;

5) 6,3*0,4+3,4*6,3;

6) 2x2 +3x2 +5y2;

7) 0,21+0,22+0,23.

Većina izračuna u praksi ne zadovoljava uvjete izvedivosti, pa ih studenti trebaju vještinama dovesti do oblika koji omogućuje izračun transformacija. U ovom slučaju prikladni su sljedeći zadaci:

kada proučavate uklanjanje zajedničkog faktora iz zagrada:

ovaj izraz, ako je moguće, pretvoriti u izraz, koji je prikazan shemom 4:

4) 2a * a 2 * a 2;

5) 2n 4 +3n 6 +n 9 ;

8) 15ab 2 +5a 2 b;

10) 12,4*-1,24*0,7;

11) 4,9*3,5+1,7*10,5;

12) 10,8 2 -108;

13)

14) 5*2 2 +7*2 3 -11*2 4 ;

15) 2*3 4 -3*2 4 +6;

18) 3,2/0,7-1,8*

Prilikom formiranja pojma " transformacija identiteta” treba imati na umu da to ne znači samo da dani i rezultirajući izraz kao rezultat transformacije uzimaju jednake vrijednosti za bilo koje vrijednosti slova koja su u njemu uključena, ali i činjenica da identičnom transformacijom prelazimo s izraza koji definira jedan način izračunavanja na izraz koji definira drugi način izračunavanja iste vrijednosti.

Shemu 5 (pravilo transformacije umnoška monoma i polinoma) moguće je ilustrirati primjerima

0,5a(b+c) ili 3,8(0,7+).

Vježbe za učenje stavljanja zajedničkog faktora u zagrade:

Izračunajte vrijednost izraza:

a) 4,59*0,25+1,27*0,25+2,3-0,25;

b) a+bc pri a=0,96; b=4,8; c=9,8.

c) a(a+c)-c(a+b) s a=1,4; b=2,8; c=5,2.

Ilustrirajmo primjerima formiranje vještina i sposobnosti u računanju i identičnim transformacijama (J. Matematika u školi, br. 5, 1984., str. 30.)

1) vještine i sposobnosti stječu se brže i dulje zadržavaju ako se njihovo formiranje odvija na svjesnoj osnovi (didaktičko načelo svijesti).

1) Možete formulirati pravilo za zbrajanje razlomaka s isti nazivnici ili prije konkretni primjeri razmotriti bit zbrajanja jednakih dijelova.

2) Prilikom faktoriranja izuzimanjem zajedničkog faktora iz zagrada, važno je vidjeti ovaj zajednički faktor i zatim primijeniti zakon distribucije. Prilikom izvođenja prvih vježbi korisno je svaki član polinoma napisati kao produkt, jedan od faktora što je uobičajeno za sve termine:

3a 3 -15a 2 b+5ab 2 = a3a 2 -a15ab+a5b 2 .

Posebno je korisno to učiniti kada se jedan od monoma polinoma izbaci iz zagrade:

II. Prva razina formiranje vještine - ovladavanje vještinom (vježbe se izvode s detaljna objašnjenja i zapisi)

(prvo se rješava pitanje znaka)

Druga faza- faza automatizacije vještine eliminacijom nekih međuoperacija

III. Snaga vještina postiže se rješavanjem primjera koji su sadržajno i oblikom raznoliki.

Tema: “Stavljanje u zagrade zajedničkog faktora”.

1. Umjesto polinoma zapišite množitelj koji nedostaje:

2. Faktoriziraj tako da ispred zagrada stoji monom s negativnim koeficijentom:

3. Faktoriziraj tako da polinom u zagradama ima cjelobrojne koeficijente:

4. Riješite jednadžbu:

IV. Formiranje vještina najučinkovitije je u slučaju usmenog izvođenja nekih srednjih izračuna ili transformacija.

(oralno);

V. Formirane vještine i sposobnosti treba uključiti u prethodno formirani sustav znanja, vještina i sposobnosti učenika.

Na primjer, kada se uči faktorizirati polinome pomoću skraćenih formula množenja, nude se sljedeće vježbe:

Pomnožiti:

VI. Potreba za racionalnim izvođenjem izračuna i transformacija.

u) pojednostaviti izraz:

Racionalnost leži u otvaranju zagrada, jer

VII. Pretvaranje izraza koji sadrže stupanj.

№1011 (Alg.9) Pojednostavite izraz:

№1012 (Alg.9) Izvadite faktor ispod znaka korijena:

№1013 (Alg.9) Unesite faktor ispod znaka korijena:

№1014 (Alg.9) Pojednostavite izraz:

U svim primjerima, preliminarno izvršite faktorizaciju, ili izbacite zajednički faktor, ili "vidite" odgovarajuću formulu redukcije.

№1015 (Alg.9) Smanjite razlomak:

Mnogi učenici imaju poteškoća u preoblikovanju izraza koji sadrže korijene, osobito kada istražuju jednakost:

Stoga ili detaljno opišite izraze oblika ili ili idi na stupanj s racionalnim eksponentom.

№1018 (Alg.9) Pronađite vrijednost izraza:

№1019 (Alg.9) Pojednostavite izraz:

2.285 (Scanavi) Pojednostavite izraz

a zatim grafički nacrtati funkciju g za

Br. 2.299 (Skanavi) Provjerite valjanost jednakosti:

Transformacija izraza koji sadrže stupanj je generalizacija stečenih vještina i sposobnosti u proučavanju identičnih transformacija polinoma.

br. 2.320 (Skanavi) Pojednostavite izraz:

U tečaju Algebra 7 date su sljedeće definicije.

Def. Za dva izraza čije su odgovarajuće vrijednosti jednake za vrijednosti varijabli kaže se da su identički jednaka.

Def. Jednakost, vrijedi za sve vrijednosti pozvanih varijabli. identitet.

№94(Alg.7) Je li identitet jednakost:

a)

c)

d)

Definicija opisa: Zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim, naziva se identična transformacija ili jednostavno transformacija izraza. Identične transformacije izraza s varijablama izvode se na temelju svojstava operacija nad brojevima.

№ (Alg.7) Među izrazima

pronaći one koji su identički jednaki .

Tema: "Identične transformacije izraza" (tehnika pitanja)

Prva tema "Algebra-7" - "Izrazi i njihove transformacije" pomaže u konsolidaciji računalnih vještina stečenih u razredima 5-6, sistematizirati i generalizirati informacije o transformacijama izraza i rješenjima jednadžbi.

Pronalaženje vrijednosti numeričkih i doslovni izrazi pruža mogućnost da se s učenicima ponove pravila djelovanja s racionalni brojevi. Sposobnost izvođenja aritmetičke operacije s racionalnim brojevima osnovni su za cijeli tečaj algebre.

Pri formalnom razmatranju transformacija izraza, operativne vještine ostaju na istoj razini koja je postignuta u 5.-6.

Međutim, ovdje se studenti podižu na novu razinu u svladavanju teorije. Uvode se pojmovi "identično jednaki izrazi", "identitet", "identične transformacije izraza" čiji će se sadržaj stalno otkrivati ​​i produbljivati ​​proučavanjem transformacija raznih algebarskih izraza. Ističe se da su temelj identičnih transformacija svojstva djelovanja na brojeve.

Prilikom proučavanja teme "Polinomi" formiraju se formalno-operacijske vještine identičnih transformacija algebarskih izraza. Formule skraćenog množenja pridonose daljnjem procesu formiranja vještina za izvođenje identičnih transformacija cjelobrojnih izraza, sposobnost primjene formula i za skraćeno množenje i za rastavljanje polinoma na faktore koristi se ne samo u transformaciji cjelobrojnih izraza, već iu operacijama s razlomcima, korijenima, potencije s racionalnim eksponentom .

U 8. razredu uvježbavaju se stečene vještine identičnih transformacija na radnjama sa algebarski razlomci, kvadratni korijen i izrazi koji sadrže stupnjeve s cjelobrojnim eksponentom.

U budućnosti se metode identičnih transformacija odražavaju u izrazima koji sadrže stupanj s racionalnim eksponentom.

Posebna skupina identičnih transformacija su trigonometrijski izrazi i logaritamskih izraza.

Obvezni ishodi učenja za tečaj algebre u 7.-9. razredu uključuju:

1) identične transformacije cjelobrojnih izraza

a) otvaranje i držanje nosača;

b) smanjenje sličnih uvjeta;

c) zbrajanje, oduzimanje i množenje polinoma;

d) faktorizacija polinoma izdvajanjem zajedničkog faktora iz zagrade i skraćenim formulama množenja;

e) razgradnja kvadratni trinom za množitelje.

„Matematika u školi“ (B.U.M.) str.110

2) identične transformacije racionalni izrazi: zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje razlomaka, te primijeniti navedene vještine pri izvođenju jednostavnih kombiniranih transformacija [str. 111]

3) učenici bi trebali znati izvoditi transformacije jednostavnih izraza koji sadrže stupnjeve i korijene. (str. 111-112)

Razmotrene su glavne vrste zadataka, čija sposobnost rješavanja omogućuje studentu da dobije pozitivnu ocjenu.

Jedan od naj važni aspekti metodologija proučavanja identičnih transformacija je razvijanje ciljeva izvođenja identičnih transformacija od strane učenika.

1) - pojednostavljenje numeričke vrijednosti izraza

2) koju od transformacija treba izvršiti: (1) ili (2) Analiza ovih opcija je motivacija (po mogućnosti (1, jer je u (2) područje definicije suženo)

3) Riješite jednadžbu:

Faktorizacija u rješavanju jednadžbi.

4) Izračunajte:

Primijenimo formulu skraćenog množenja:

(101-1) (101+1)=100102=102000

5) Pronađite vrijednost izraza:

Da biste pronašli vrijednost, pomnožite svaki razlomak s konjugatom:

6) Nacrtajte graf funkcije:

Odaberimo cijeli dio: .

Sprečavanje pogrešaka pri izvođenju identičnih transformacija može se postići variranjem primjera njihovog izvođenja. U ovom slučaju razrađuju se “male” tehnike koje su kao komponente uključene u obimniji proces transformacije.

Na primjer:

Ovisno o smjerovima jednadžbe, može se razmotriti nekoliko zadataka: s desna na lijevo množenje polinoma; s lijeva na desno - faktorizacija. Lijeva strana je višekratnik jednog od faktora na desnoj strani, i tako dalje.

Osim mijenjanja primjera, možete koristiti apologija između identiteta i brojčanih jednakosti.

Sljedeći trik je objasniti identitete.

Kako bi se povećao interes učenika, može se uključiti pretraživanje za razne načine rješavanje problema.

Lekcije o proučavanju identičnih transformacija postat će zanimljivije ako im se posvetimo pronalaženje rješenja problema .

Na primjer: 1) smanjite razlomak:

3) dokazati formulu "kompleksnog radikala".

Smatrati:

Preobrazimo se desna strana jednakost:

-

zbroj konjugiranih izraza. Mogli bi se pomnožiti i podijeliti s konjugatom, ali takva operacija će nas dovesti do razlomka čiji je nazivnik razlika radikala.

Imajte na umu da je prvi član u prvom dijelu identiteta broj veći od drugog, tako da možete kvadrirati oba dijela:

Praktična lekcija №3.

Tema: Identične pretvorbe izraza (tehnika pitanja).

Literatura: “Radionica MPM”, str. 87-93.

znak visoka kultura izračune i identične transformacije, studenti solidno poznaju svojstva i algoritme operacija nad točnim i približnim vrijednostima i njihovu vještu primjenu; racionalne metode proračuna i transformacija i njihova provjera; sposobnost potkrijepiti primjenu metoda i pravila izračuna i transformacija, automatizam vještina izvođenja računskih operacija bez pogrešaka.

Od kojeg bi razreda učenici trebali početi raditi na razvijanju ovih vještina?

Linija identičnih transformacija izraza počinje korištenjem metoda racionalnog izračunavanja i počinje korištenjem metoda racionalnog izračunavanja vrijednosti numeričkih izraza. (5. razred)

Prilikom proučavanja ovih tema školski tečaj treba im dati matematiku Posebna pažnja!

Svjesno provođenje identičnih transformacija učenika olakšava razumijevanje činjenice da algebarski izrazi ne postoje sami za sebe, već su neraskidivo povezani s nekim numeričkim skupom, oni su generalizirani zapisi numeričkih izraza. Analogije između algebarskih i numeričkih izraza (i njihovih transformacija) logički su legitimne, njihova uporaba u nastavi pomaže u sprječavanju učenika od pogrešaka.

Transformacije identiteta nisu posebna tema školskog tečaja matematike, one se proučavaju kroz tečaj algebre i početak matematičke analize.

Program matematike od 1. do 5. razreda je propedeutički materijal za proučavanje identičnih transformacija izraza s varijablom.

U tečaju algebre 7 ćelija. uvode se definicije identiteta i transformacije identiteta.

Def. Dva izraza čije su odgovarajuće vrijednosti jednake za bilo koje vrijednosti varijabli tzv. identično jednaki.

ODA. Jednakost koja vrijedi za bilo koje vrijednosti varijabli naziva se identitet.

Vrijednost identiteta leži u činjenici da omogućuje zamjenu danog izraza drugim koji mu je identično jednak.

Def. Zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim, naziva se transformacija identiteta ili jednostavno transformacija izrazi.

Identične transformacije izraza s varijablama izvode se na temelju svojstava operacija nad brojevima.

Ekvivalentne transformacije mogu se smatrati temeljem identičnih transformacija.

ODA. Dvije rečenice, od kojih je svaka logična posljedica druge, tzv. ekvivalent.

ODA. Rečenica s varijablama A tzv. posljedica rečenice s varijablama B ako je regija istine B podskup regije istine A.

Može se dati još jedna definicija ekvivalentnih rečenica: dvije rečenice s varijablama su ekvivalentne ako su njihova istinitosna područja ista.

a) B: x-1=0 preko R; A: (x-1) 2 preko R => A~B jer područja istine (rješenja) se podudaraju (x=1)

b) A: x=2 preko R; B: x 2 \u003d 4 preko R => područje istine A: x \u003d 2; područje istine B: x=-2, x=2; jer područje istine A sadržano je u B, tada je: x 2 =4 posljedica rečenice x=2.

Osnova identičnih transformacija je mogućnost prikazivanja istog broja u različite forme. Na primjer,

-

takva prezentacija pomoći će u proučavanju teme " osnovna svojstva razlomci".

Vještine u izvođenju identičnih transformacija počinju se formirati prilikom rješavanja primjera sličnih sljedećim: "Pronađi numeričku vrijednost izraza 2a 3 + 3ab + b 2 s a \u003d 0,5, b \u003d 2/3", koji se nude učenicima u 5. razredu te omogućuju provođenje propedeutike koncept funkcije.

Pri proučavanju formula skraćenog množenja treba obratiti pozornost na njihovo duboko razumijevanje i snažnu asimilaciju. Da biste to učinili, možete koristiti sljedeću grafičku ilustraciju:

(a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2 a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)

Pitanje: Kako učenicima objasniti suštinu gornjih formula prema ovim crtežima?

Uobičajena pogreška je miješanje izraza "zbroj na kvadrat" i "zbroj kvadrata". Učiteljeva indikacija da se ti izrazi razlikuju u redoslijedu radnji ne čini se značajnom, jer učenici vjeruju da se te radnje izvode na istim brojevima i stoga se rezultat ne mijenja promjenom redoslijeda radnji.

Zadatak: Sastavi oralne vježbe razvijati kod učenika vještine bezgrešnog korištenja ovih formula. Kako objasniti po čemu su ova dva izraza slična, a po čemu se međusobno razlikuju?

Veliki izbor identičnih transformacija otežava učenicima da se orijentiraju u svrhu za koju se izvode. Nejasno znanje o svrsi izvođenja transformacija (u svakom konkretnom slučaju) negativno utječe na njihovu svijest, te služi kao izvor masovnih učeničkih pogrešaka. Ovo sugerira da je važno objasniti učenicima ciljeve izvođenja različitih identičnih transformacija. sastavni dio metode njihovog proučavanja.

Primjeri motivacija za identične transformacije:

1. pojednostavljenje pronalaženja numeričke vrijednosti izraza;

2. odabir transformacije jednadžbe koja ne dovodi do gubitka korijena;

3. prilikom izvođenja transformacije možete označiti njezino područje izračuna;

4. korištenje transformacija u izračunu, npr. 99 2 -1=(99-1)(99+1);

Za upravljanje procesom odlučivanja važno je da nastavnik bude sposoban dati točan opis suštine pogreške koju je učenik napravio. Točna karakterizacija pogreške je ključ za pravi izbor naknadne radnje koje poduzima nastavnik.

Primjeri učeničkih pogrešaka:

1. izvođenje množenja: učenik je dobio -54abx 6 (7 ćelija);

2. izvodeći potenciranje (3x 2) 3, učenik je dobio 3x 6 (7 ćelija);

3. pretvarajući (m + n) 2 u polinom, učenik je dobio m 2 + n 2 (7 ćelija);

4. smanjenje frakcije koju je učenik dobio (8 ćelija);

5. izvođenje oduzimanja: , učenik zapisuje (8 ćelija)

6. Predstavljajući razlomak u obliku razlomaka, učenik je dobio: (8 ćelija);

7. Uklanjanje aritmetički korijen učenik je dobio x-1 (9 ćelija);

8. rješavanje jednadžbe (9 ćelija);

9. transformirajući izraz učenik dobiva: (9 ćelija).

Zaključak

Proučavanje identičnih transformacija provodi se u bliska veza s numeričkim skupovima koji se proučavaju u određenom razredu.

Najprije bi učenika trebalo zamoliti da objasni svaki korak transformacije, da formulira pravila i zakone koji se primjenjuju.

U identičnim transformacijama algebarskih izraza koriste se dva pravila: zamjena i zamjena jednakostima. Najčešće korištena zamjena, jer na njoj se temelji računanje formula, tj. nađi vrijednost izraza a*b s a=5 i b=-3. Vrlo često učenici zanemaruju zagrade pri množenju, smatrajući da se znak množenja podrazumijeva. Na primjer, moguć je takav zapis: 5*-3.

Književnost

1. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Funkcionalni i grafičke metode rješavanje ispitnih zadataka”, Mn.. Aversev, 2004

2. O.N. Pirjutko" Uobičajene pogreške na centralizirano testiranje“, Mn.. Aversev, 2006

3. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Zamke zadataka na centraliziranom testiranju", Mn.. Aversev, 2006.

4. A.I. Azarov, S.A. Barvenov "Metode rješenja trigonometrijski problemi“, Mn.. Aversev, 2005

Među različitim izrazima koji se razmatraju u algebri, važno mjesto su sume monoma. Evo primjera takvih izraza:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Zbroj monoma naziva se polinom. Članovi u polinomu nazivaju se članovima polinoma. Monomi se također nazivaju polinomi, smatrajući monom polinomom koji se sastoji od jednog člana.

Na primjer, polinom
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
može se pojednostaviti.

Sve članove predstavljamo u obliku monoma standardni prikaz:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Dajemo slične članove u rezultirajućem polinomu:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultat je polinom čiji su svi članovi monomi standardnog oblika i među njima nema sličnih. Takvi se polinomi nazivaju polinomi standardnog oblika.

Po polinomski stupanj standardnom obliku preuzimaju najveće ovlasti svojih članova. Dakle, binom \(12a^2b - 7b \) ima treći stupanj, a trinom \(2b^2 -7b + 6 \) ima drugi.

Obično su članovi polinoma standardnog oblika koji sadrže jednu varijablu poredani silaznim redoslijedom njezinih eksponenata. Na primjer:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Zbroj nekoliko polinoma može se pretvoriti (pojednostavljeno) u polinom standardnog oblika.

Ponekad je potrebno članove polinoma podijeliti u skupine, stavljajući svaku skupinu u zagrade. Budući da su zagrade suprotne zagradama, lako ih je formulirati pravila otvaranja zagrada:

Ako se ispred zagrada nalazi znak +, onda se pojmovi u zagradama pišu s istim predznacima.

Ako se ispred zagrada nalazi znak "-", tada se pojmovi u zagradi pišu sa suprotnim predznakom.

Transformacija (pojednostavljenje) umnoška monoma i polinoma

Koristeći svojstvo distribucije množenja, može se transformirati (pojednostaviti) umnožak monoma i polinoma u polinom. Na primjer:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Umnožak monoma i polinoma identički je jednak zbroju umnožaka tog monoma i svakog člana polinoma.

Ovaj se rezultat obično formulira kao pravilo.

Da bi se monom pomnožio s polinomom, potrebno je pomnožiti taj monom sa svakim članom polinoma.

Više puta smo koristili ovo pravilo za množenje zbrojem.

Umnožak polinoma. Transformacija (pojednostavljenje) umnoška dvaju polinoma

Općenito, umnožak dvaju polinoma identički je jednak zbroju umnoška svakog člana jednog polinoma i svakog člana drugog.

Obično koristite sljedeće pravilo.

Da biste pomnožili polinom s polinomom, trebate pomnožiti svaki član jednog polinoma sa svakim članom drugog i zbrojiti dobivene umnoške.

Formule skraćenog množenja. Zbroj, razlika i kvadrati razlike

Uz neke izraze u algebarske transformacije morati nositi s više od drugih. Možda su najčešći izrazi \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), to jest, kvadrat zbroja, kvadrat razlike i kvadrat razlike. Jeste li primijetili da imena navedeni izrazi kao da nije dovršeno, pa npr. \((a + b)^2 \) nije, naravno, samo kvadrat zbroja, nego kvadrat zbroja a i b. Međutim, kvadrat zbroja a i b nije tako čest, u pravilu umjesto slova a i b sadrži razne, ponekad prilično složene izraze.

Izraze \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) lako je pretvoriti (pojednostaviti) u polinome standardnog oblika, zapravo, već ste se susreli s takvim zadatkom pri množenju polinoma :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Dobivene identitete korisno je zapamtiti i primijeniti bez posrednih izračuna. U tome pomažu kratke verbalne formulacije.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - zbroj na kvadrat jednak je zbroju kvadrati i dvostruki proizvod.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kvadrat razlike je zbroj kvadrata bez umnožavanja umnoška.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - razlika kvadrata jednaka je umnošku razlike i zbroja.

Ova tri identiteta dopuštaju u transformacijama zamjenu svojih lijevih dijelova desnima i obrnuto - desnih dijelova lijevim. Najteže je u ovom slučaju vidjeti odgovarajuće izraze i razumjeti što su varijable a i b zamijenjene u njima. Pogledajmo nekoliko primjera korištenja formula za skraćeno množenje.

Osnovna svojstva zbrajanja i množenja brojeva.

Komutativno svojstvo zbrajanja: kada se članovi preuređuju, vrijednost zbroja se ne mijenja. Za sve brojeve a i b jednakost vrijedi

Asocijativno svojstvo zbrajanja: da biste zbroju dvaju brojeva dodali treći broj, prvom broju možete dodati zbroj drugog i trećeg. Za sve brojeve a, b i c jednakost vrijedi

Komutativno svojstvo množenja: permutacija faktora ne mijenja vrijednost umnoška. Za sve brojeve a, b i c vrijedi jednakost

Asocijativno svojstvo množenja: da biste pomnožili umnožak dva broja s trećim brojem, možete prvi broj pomnožiti s umnoškom drugog i trećeg.

Za sve brojeve a, b i c vrijedi jednakost

Svojstvo distribucije: Da biste pomnožili broj sa zbrojem, možete pomnožiti taj broj sa svakim izrazom i dodati rezultate. Za sve brojeve a, b i c jednakost vrijedi

Iz komutativnih i asocijativnih svojstava zbrajanja proizlazi da u bilo kojem zbroju možete presložiti članove kako želite i kombinirati ih u skupine na proizvoljan način.

Primjer 1. Izračunajmo zbroj 1,23+13,5+4,27.

Da biste to učinili, prikladno je kombinirati prvi izraz s trećim. Dobivamo:

1,23+13,5+4,27=(1,23+4,27)+13,5=5,5+13,5=19.

To proizlazi iz komutativnih i asocijativnih svojstava množenja: u bilo kojem proizvodu faktore možete preurediti na bilo koji način i proizvoljno ih kombinirati u skupine.

Primjer 2. Nađimo vrijednost umnoška 1,8 0,25 64 0,5.

Kombinirajući prvi faktor s četvrtim, a drugi s trećim, imat ćemo:

1,8 0,25 64 0,5 \u003d (1,8 0,5) (0,25 64) = 0,9 16 \u003d 14.4.

Svojstvo distribucije vrijedi i kada se broj pomnoži sa zbrojem tri ili više članova.

Na primjer, za bilo koje brojeve a, b, c i d, jednakost je istinita

a(b+c+d)=ab+ac+ad.

Znamo da se oduzimanje može zamijeniti zbrajanjem dodavanjem umanjeniku broja suprotnog od oduzetika:

Ovo dopušta brojčani izraz tip a-b promatrati zbroj brojeva a i -b, promatrati brojčani izraz oblika a + b-c-d kao zbroj brojeva a, b, -c, -d itd. Razmatrana svojstva radnji vrijede i za takve zbrojeve.

Primjer 3. Nađimo vrijednost izraza 3,27-6,5-2,5+1,73.

Ovaj izraz je zbroj brojeva 3,27, -6,5, -2,5 i 1,73. Primjenom adicijskih svojstava dobivamo: 3,27-6,5-2,5+1,73=(3,27+1,73)+(-6,5-2,5)=5+(-9) = -četiri.

Primjer 4. Izračunajmo umnožak 36·().

Množitelj se može zamisliti kao zbroj brojeva i -. Koristeći svojstvo distribucije množenja, dobivamo:

36()=36-36=9-10=-1.

Identiteti

Definicija. Za dva izraza čije su odgovarajuće vrijednosti jednake za bilo koju vrijednost varijabli kaže se da su identički jednaka.

Definicija. Jednakost koja vrijedi za bilo koje vrijednosti varijabli naziva se identitet.

Nađimo vrijednosti izraza 3(x+y) i 3x+3y za x=5, y=4:

3(x+y)=3(5+4)=3 9=27,

3x+3y=3 5+3 4=15+12=27.

Dobili smo isti rezultat. Iz svojstva distributivnosti slijedi da su, općenito, za bilo koje vrijednosti varijabli odgovarajuće vrijednosti izraza 3(x+y) i 3x+3y jednake.

Razmotrimo sada izraze 2x+y i 2xy. Za x=1, y=2 uzimaju jednake vrijednosti:

Međutim, možete navesti x i y vrijednosti tako da vrijednosti ovih izraza nisu jednake. Na primjer, ako je x=3, y=4, tada

Izrazi 3(x+y) i 3x+3y su identički jednaki, ali izrazi 2x+y i 2xy nisu identički jednaki.

Jednakost 3(x+y)=x+3y, istinita za bilo koju vrijednost x i y, je identitet.

Prave numeričke jednakosti također se smatraju identitetima.

Dakle, identiteti su jednakosti koje izražavaju glavna svojstva djelovanja na brojeve:

a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c),

ab=ba, (ab)c=a(bc), a(b+c)=ab+ac.

Mogu se dati i drugi primjeri identiteta:

a+0=a, a+(-a)=0, a-b=a+(-b),

a 1=a, a (-b)=-ab, (-a)(-b)=ab.

Transformacije identiteta izraza

Zamjena jednog izraza drugim, njemu identično jednakim, naziva se identična transformacija ili jednostavno transformacija izraza.

Identične transformacije izraza s varijablama izvode se na temelju svojstava operacija nad brojevima.

Da bismo pronašli vrijednost izraza xy-xz kada zadane vrijednosti x, y, z, trebate izvršiti tri radnje. Na primjer, s x=2,3, y=0,8, z=0,2 dobivamo:

xy-xz=2,3 0,8-2,3 0,2=1,84-0,46=1,38.

Ovaj rezultat se može dobiti u samo dva koraka, korištenjem izraza x(y-z), koji je identično jednak izrazu xy-xz:

xy-xz=2,3(0,8-0,2)=2,3 0,6=1,38.

Izračune smo pojednostavili zamjenom izraza xy-xz identičnim jednak izraz x(y-z).

Transformacije identiteta izraza naširoko se koriste u izračunavanju vrijednosti izraza i rješavanju drugih problema. Neke identične transformacije već su provedene, na primjer redukcija sličnih članova, otvaranje zagrada. Prisjetite se pravila za izvođenje ovih transformacija:

kako bi donio poput pojmova, potrebno je zbrojiti njihove koeficijente i rezultat pomnožiti zajedničkim slovnim dijelom;

ako ispred zagrada stoji znak plus, zagrade se mogu izostaviti, zadržavajući znak svakog pojma u zagradama;

ako ispred zagrada stoji znak minus, tada se zagrade mogu izostaviti mijenjanjem predznaka svakog pojma u zagradama.

Primjer 1. Zbrojimo slične članove u zbroju 5x+2x-3x.

Koristimo pravilo za smanjenje sličnih pojmova:

5x+2x-3x=(5+2-3)x=4x.

Ova se transformacija temelji na svojstvu distributivnosti množenja.

Primjer 2. Raširimo zagrade u izrazu 2a+(b-3c).

Primjena pravila za otvaranje zagrada ispred kojih stoji znak plus:

2a+(b-3c)=2a+b-3c.

Provedena transformacija temelji se na asocijativnom svojstvu zbrajanja.

Primjer 3. Raširimo zagrade u izrazu a-(4b-c).

Upotrijebimo pravilo za proširenje zagrada kojima prethodi znak minus:

a-(4b-c)=a-4b+c.

Provedena transformacija temelji se na svojstvu distribucije množenja i svojstvu asocijativnosti zbrajanja. Pokažimo to. Predstavimo drugi član -(4b-c) u ovom izrazu kao produkt (-1)(4b-c):

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c).

Primjena navedena svojstva akcije, dobivamo:

a-(4b-c)=a+(-1)(4b-c)=a+(-4b+c)=a-4b+c.

Vrsta sata: sat generaliziranja i usustavljivanja znanja.

Ciljevi lekcije:

• Unaprijediti sposobnost primjene prethodno stečenog znanja za pripremu za GIA u 9. razredu.
• Da biste naučili sposobnost analize, kreativno pristupite zadatku.
• njegovati kulturu i učinkovitost mišljenja, spoznajni interes matematici.
• Pomozite učenicima da se pripreme za GIA.

• sistematizirati teorijsko znanje učenicima.
• Ojačati praktični fokus ove teme u pripremi za GIA.
• Izgradite mentalne vještine - tražite racionalne načine rješenja.

Oprema: multimedijski projektor, radni listovi sa zadacima, sat.

Plan lekcije: 1. Organizacijski trenutak.

1. Ažuriranje znanja.
2. Razrada teorijskog materijala.
3. Sažetak lekcije.
4. Domaća zadaća.

TIJEKOM NASTAVE

I. Organizacijski trenutak.

1) Pozdraviti učitelja.

Kriptografija je znanost o tome kako se informacije transformiraju (kriptiraju) kako bi se zaštitile od ilegalnih korisnika. Jedna od tih metoda naziva se "rešetka". Spada u red relativno jednostavnih i usko je povezana s aritmetikom, ali koja se ne uči u školi. Ogledna mreža je pred vama. Zna li netko kako se to koristi.

- dešifriranje poruke.

“Sve što prestane uspjeti, prestaje privlačiti.”

François Larachefoucauld.

2) Poruke teme lekcije, ciljevi lekcije, nastavni plan.

- slajdovi u prezentaciji.

II. Ažuriranje znanja.

1) Usmeni rad.

1. Brojevi. Koje brojeve znate?

- prirodni - to su brojevi 1,2,3,4 ... koji se koriste pri brojanju

- cijeli brojevi su brojevi ... -4, -3, -2, -1,0,1, 2 ... prirodni, nasuprot njima i broju 0.

- racionalni - to su cijeli i razlomački brojevi

- iracionalni - to su beskonačni decimalni neperiodični razlomci

- stvarni - to su racionalni i iracionalni.

2. Izrazi. Koje izraze znate?

- Numerički - to su izrazi koji se sastoje od brojeva povezanih predznacima aritmetičkih operacija.

- abecedni - ovo je izraz koji sadrži neke varijable, brojevi i akcijski znakovi.

- cijeli brojevi su izrazi koji se sastoje od brojeva i varijabli koristeći operacije zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja brojem.

- frakcijski - ovo su cjelobrojni izrazi koji koriste dijeljenje izrazom s varijablom.

3. Transformacije. Koja su glavna svojstva koja se koriste pri izvođenju transformacija?

- komutativno - za sve brojeve a i b vrijedi: a + b \u003d b + a, av \u003d va

- kombinacija - za sve brojeve a, b, c vrijedi: (a + c) + c \u003d a + (c + c), (av) c \u003d a (sunce)

- distributivna - za sve brojeve a, b, c vrijedi: a (b + c) \u003d ab + ac

4. Učinite:

- Poređati u rastućem redoslijedu brojeve: 0,0157; 0,105; 0,07

- rasporedi brojeve u silaznom redoslijedu: 0,0216; 0,12; 0,016

– jedna od točaka označenih na koordinatnoj liniji odgovara broju v68. Što je ovo točka?

- koje točke odgovaraju brojevima

- na koordinatnoj liniji označeni su brojevi a i b. Koja je od sljedećih tvrdnji točna?

III. Razrada teorijskog materijala.

1. Rad u bilježnicama, na ploči.

Svaki nastavnik ima radni list, gdje su ispisani zadaci za rad u bilježnicama na satu. U desnom stupcu ovog lista zadaci za rad na satu, a u lijevom stupcu - domaća zadaća.

Učenici izlaze na rad za pločom.

Zadatak broj 1. U tom slučaju izraz se pretvara u identičnu jednakost.

Zadatak broj 2. Pojednostavite izraz:

Zadatak broj 3. Pomnožiti:

a 3 - av - a 2 c + a 2; x 2 y - x 2 -y + x 3.

2x + y + y 2 - 4x 2; a - 3c + 9c 2 -a 2.

2. Samostalan rad.

Na radnim listovima imate samostalan rad, na dnu iza teksta nalazi se tablica, u koju upisujete broj ispod točnog odgovora. Za dovršetak posla - 7 minuta.

Test "Brojevi i transformacije"

1. Napišite 0,00019 u standardnom obliku.

1)0,019*10 -2 ; 2)0,19*10 -3 ; 3)1,9*10 -4 ; 4)19*10 -5

2. Jedna od točaka označenih na koordinatnoj liniji odgovara broju

3. O brojevima a i b poznato je da je a>0, b>0, a>4b. Koja od sljedećih nejednakosti nije točna?

1) a-2a>-3c; 2) 2a>8c; 3) a/4>b-2; 4) a+3>b+1.

4. Odredite vrijednost izraza: (6x - 5y): (3x + y), ako je x = 1,5 i y = 0,5.

1) 1,5; 2) 1,3; 3) 1,33; 4) 2,5.

5. U koji se od sljedećih izraza može pretvoriti izraz (7 - x) (x - 4)?

1) - (7 - x) (4 - x); 2) (7 - x) (4 - x);

3) - (x - 7) (4 - x); 4) (x - 7) (x - 4).

Nakon obavljenog rada provodi se provjera pomoću programa ASUOK (automatski upravljački sustav za obuku i kontrolu). Dečki mijenjaju bilježnice sa susjedom na stolu i provjeravaju test zajedno s učiteljicom.

vježbanje
Odgovor:	3	1	1	2	1

6. Rezultat lekcije.

Danas ste na satu rješavali zadatke odabrane iz zbirki za pripremu za GIA. Ovo je mali dio onoga što trebate ponoviti za odličan ispit.

- Lekcija je gotova. Što vam je lekcija donijela?

"Stručnjak je osoba koja više ne misli, on zna." Frank Hubbard.

7. Domaća zadaća

Radni listovi za domaću zadaću.

Brojevi i izrazi koji čine izvorni izraz mogu se zamijeniti izrazima koji su im identički jednaki. Takva transformacija izvornog izraza dovodi do izraza koji mu je identički jednak.

Na primjer, u izrazu 3+x broj 3 može se zamijeniti zbrojem 1+2 , što rezultira izrazom (1+2)+x , koji je identično jednak izvornom izrazu. Drugi primjer: u izrazu 1+a 5 stupanj a 5 može se zamijeniti njemu identično jednakim umnoškom, na primjer, oblika a·a 4 . Time ćemo dobiti izraz 1+a·a 4 .

Ta je transformacija nedvojbeno umjetna i obično je priprema za neku daljnju transformaciju. Na primjer, u zbroju 4·x 3 +2·x 2 , uzimajući u obzir svojstva stupnja, član 4·x 3 može se prikazati kao umnožak 2·x 2 ·2·x . Nakon takve transformacije, izvorni izraz će poprimiti oblik 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Očito, članovi u dobivenom zbroju imaju zajednički faktor 2 x 2, pa možemo izvršiti sljedeću transformaciju - zagrade. Nakon toga dolazimo do izraza: 2 x 2 (2 x+1) .

Zbrajanje i oduzimanje istog broja

Druga umjetna transformacija izraza je zbrajanje i oduzimanje istog broja ili izraza u isto vrijeme. Takva transformacija je identična, jer je, zapravo, ekvivalentna dodavanju nule, a dodavanje nule ne mijenja vrijednost.

Razmotrite primjer. Uzmimo izraz x 2 +2 x . Ako mu dodate jedan i oduzmete jedan, to će vam omogućiti da izvršite još jednu identičnu transformaciju u budućnosti - odaberite kvadrat binoma: x 2 +2 x=x 2 +2 x+1−1=(x+1) 2 −1.

Bibliografija.

• Algebra: udžbenik za 7 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 17. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 240 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 7. razred. U 14 h Dio 1. Udžbenik za studente obrazovne ustanove/ A. G. Mordkovich. - 17. izd., dod. - M.: Mnemozina, 2013. - 175 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-02432-3.