Rn,
(WISKUNDE IN ECONOMIE)

Vector ontleding

Vector ontleding a in componenten - de operatie van het vervangen van de vector a verschillende andere vectoren a, a2, a3, enz., die, bij elkaar opgeteld, de initiële vector vormen a; in dit geval worden de vectoren db a2, a3, etc. componenten van de vector genoemd a. Met andere woorden, de ontbinding van elke...
(FYSICA)

Basis en rangorde van een stelsel van vectoren

Beschouw het systeem van vectoren (1.18) Het maximale onafhankelijke subsysteem van het vectorsysteem(1.I8) is een gedeeltelijke set vectoren van dit systeem die aan twee voorwaarden voldoet: 1) de vectoren van deze set zijn lineair onafhankelijk; 2) elke vector van het systeem (1.18) wordt lineair uitgedrukt in termen van de vectoren van deze set....
(WISKUNDE IN ECONOMIE)

vector vertegenwoordiging in verschillende systemen coördinaten.

Beschouw twee orthogonale rechtlijnige coördinatenstelsels met sets van orts (i, j, k) en (ij", k") en vertegenwoordig de vector a daarin. Laten we voorwaardelijk aannemen dat geprimede vectoren overeenkomen met nieuwe systemen e-coördinaten, en zonder slagen - de oude. Laten we de vector voorstellen als een uitbreiding langs de assen van zowel het oude als het nieuwe systeem...

Ontbinding van een vector in een orthogonale basis

Overweeg de ruimtebasis Rn, waarin elke vector loodrecht staat op de rest van de basisvectoren: Orthogonale basen zijn bekend en goed weergegeven in het vlak en in de ruimte (Fig. 1.6). Dergelijke basen zijn in de eerste plaats handig omdat de coördinaten van de expansie van een willekeurige vector worden bepaald door ...
(WISKUNDE IN ECONOMIE)

Vectoren en hun representaties in coördinatenstelsels

Het concept van een vector wordt geassocieerd met bepaalde fysieke hoeveelheden, die worden gekenmerkt door hun intensiteit (omvang) en richting in de ruimte. Zulke grootheden zijn bijvoorbeeld de kracht die op een stoffelijk lichaam inwerkt, de snelheid bepaald punt van dit lichaam, de versnelling van een stoffelijk deeltje...
(CONTINUE MEDIA MECHANICA: STRESS THEORIE EN BASISMODELLEN)

Protozoa analytische representaties willekeurige elliptische functie

Weergave van een elliptische functie als som van elementaire elementen. laten zijn / (z) is een elliptische functie van orde s met eenvoudige polen jjt, $, liggend in het parallellogram van perioden. aanduiding door middel van bk het residu van de functie met betrekking tot de pool, we hebben dat 2 ?l = 0 (§ 1» p. 3, stelling...
(INLEIDING TOT DE THEORIE VAN FUNCTIES VAN EEN COMPLEX VARIABELE)

De basis van de ruimte noem zo'n systeem van vectoren waarin alle andere vectoren van de ruimte kunnen worden weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren die in de basis zijn opgenomen.
In de praktijk is dit allemaal vrij eenvoudig. De basis wordt in de regel gecontroleerd op een vlak of in de ruimte, en hiervoor moet je de determinant vinden van een matrix van de tweede, derde orde, samengesteld uit de coördinaten van de vectoren. Schematisch hieronder geschreven omstandigheden waaronder de vectoren een basis vormen

Tot breid de vector b uit in termen van basisvectoren
e,e...,e[n] het is nodig om de coëfficiënten x, ..., x[n] te vinden waarvoor de lineaire combinatie van de vectoren e,e...,e[n] gelijk is aan de vector b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Om dit te doen, moet de vectorvergelijking worden omgezet in een stelsel lineaire vergelijkingen en oplossingen vinden. Het is ook vrij eenvoudig te implementeren.
De gevonden coëfficiënten x, ..., x[n] heten coördinaten van de vector b in de basis e,e...,e[n].
Laten we verder gaan met de praktische kant van het onderwerp.

Ontbinding van een vector in basisvectoren

Taak 1. Controleer of de vectoren a1, a2 een basis vormen op het vlak

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Oplossing: Stel de determinant samen uit de coördinaten van de vectoren en bereken deze

De determinant is niet gelijk aan nul, Vandaar vectoren zijn lineair onafhankelijk, wat betekent dat ze een basis vormen.

2) a1 (2; -3), a2 (5; -1)
Oplossing: We berekenen de determinant bestaande uit vectoren

De determinant is gelijk aan 13 (niet gelijk aan nul) - hieruit volgt dat de vectoren a1, a2 een basis op het vlak zijn.

---=================---

Overwegen typische voorbeelden van het IAPM-programma in de discipline "Hogere Wiskunde".

Taak 2. Toon aan dat de vectoren a1, a2, a3 een basis vormen van een driedimensionale vectorruimte, en breid de vector b in deze basis uit (bij het oplossen van een stelsel van lineaire algebraïsche vergelijkingen gebruik de methode van Cramer).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Oplossing: Beschouw eerst het stelsel van vectoren a1, a2, a3 en controleer de determinant van de matrix A

gebouwd op andere vectoren dan nul. De matrix bevat één nul-element, dus het is handiger om de determinant te berekenen als een schema voor de eerste kolom of derde rij.

Als resultaat van de berekeningen ontdekten we dat de determinant anders is dan nul, dus vectoren a1, a2, a3 zijn lineair onafhankelijk.
In R3 vormen vectoren per definitie een basis. Laten we het schema van de vector b opschrijven in termen van de basis

Vectoren zijn gelijk als hun respectievelijke coördinaten gelijk zijn.
Daarom verkrijgen we uit de vectorvergelijking een stelsel lineaire vergelijkingen

SLAE oplossen Cramers methode. Om dit te doen, schrijven we het stelsel vergelijkingen in de vorm

De hoofddeterminant van de SLAE is altijd gelijk aan de determinant bestaande uit basisvectoren

In de praktijk wordt er dus niet dubbel berekend. Om hulpdeterminanten te vinden, plaatsen we een kolom met vrije leden in plaats van elke kolom van de hoofddeterminant. De determinanten worden berekend volgens de regel van driehoeken



Vervang de gevonden determinanten in de formule van Cramer



Dus de uitbreiding van de vector b in termen van de basis heeft de vorm b=-4a1+3a2-a3 . De coördinaten van de vector b in de basis a1, a2, a3 zullen (-4,3, 1) zijn.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Oplossing: we controleren de vectoren voor de basis - we stellen de determinant samen uit de coördinaten van de vectoren en berekenen deze

De determinant is niet gelijk aan nul, dus vectoren vormen een basis in de ruimte. Het blijft om het schema van de vector b te vinden in termen van de gegeven basis. Om dit te doen, schrijven we de vectorvergelijking

en transformeren naar een stelsel lineaire vergelijkingen

wij schrijven op matrixvergelijking

Vervolgens vinden we voor de Cramer-formules hulpdeterminanten



Formules van Cramer toepassen



Dus gegeven vector b heeft een schema door twee basisvectoren b=-2a1+5a3, en de coördinaten in de basis zijn b(-2,0, 5).

Basis(oud Grieks βασις, grondtal) - een set van zulke vectoren in een vectorruimte dat elke vector van deze ruimte uniek kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren uit deze set - basisvectoren

Een basis in de ruimte R n is elk systeem van n-lineair onafhankelijke vectoren. Elke vector van Rn die niet in de basis is opgenomen, kan worden weergegeven als een lineaire combinatie van basisvectoren, d.w.z. uitbreiden over de basis.
Laat een basis zijn van de ruimte R n en . Dan zijn er getallen λ 1 , λ 2 , …, λ n zodanig dat .
De uitzettingscoëfficiënten λ 1 , λ 2 , ..., λ n , worden de coördinaten van de vector in de basis B genoemd. Als de basis wordt gegeven, dan zijn de coëfficiënten van de vector uniek bepaald.

Commentaar. In elke n-dimensionale vectorruimte, men kan kiezen ontelbaar verschillende bases. In verschillende basen heeft dezelfde vector verschillende coördinaten, maar uniek in de gekozen basis. Voorbeeld. Breid de vector uit in termen van .
Beslissing. . Vervang de coördinaten van alle vectoren en voer er acties op uit:

Als we de coördinaten gelijkstellen, krijgen we een stelsel vergelijkingen:

Laten we het oplossen: .
Zo krijgen we de uitbreiding: .
In de basis heeft de vector coördinaten .

Einde van het werk -

Dit onderwerp hoort bij:

Het concept van een vector. Lineaire bewerkingen op vectoren

Een vector is een gericht segment met een bepaalde lengte, dat wil zeggen segment bepaalde lengte die een van zijn begrenzingspunten heeft.. de lengte van een vector wordt zijn modulus genoemd en wordt aangegeven door de symboolmodulus van de vector.. de vector heet nul wordt aangegeven als het begin en einde ervan samenvallen. de nulvector heeft geen definitieve ..

Als je nodig hebt aanvullend materiaal over dit onderwerp, of je hebt niet gevonden wat je zocht, raden we je aan de zoekopdracht in onze database met werken te gebruiken:

Wat doen we met het ontvangen materiaal:

Als dit materiaal nuttig voor u bleek te zijn, kunt u het opslaan op uw pagina op sociale netwerken:

L. 2-1 Basisbegrippen van vectoralgebra. Lineaire bewerkingen op vectoren.

Ontbinding van een vector in termen van een basis.

Basisconcepten van vectoralgebra

Een vector is de verzameling van alle gerichte segmenten met dezelfde lengte en richting
.

Eigenschappen:

Lineaire bewerkingen over vectoren

1.

Parallellogramregel:

Met ummah twee vectoren en genaamd vector , die uit hun gemeenschappelijke oorsprong komen en de diagonaal zijn van een parallellogram dat op vectoren is gebouwd en zoals aan de zijkanten.

Veelhoek regel:

Om de som van een willekeurig aantal vectoren te bouwen, moet u het begin van de 2e aan het einde van de 1e term van de vector plaatsen, het begin van de 3e aan het einde van de 2e, enzovoort. De vector die de resulterende . sluit gebroken lijn, is de som. Het begin valt samen met het begin van de eerste en het einde met het einde van de laatste.

Eigenschappen:

2.

Vector product per nummer , heet een vector die voldoet aan de voorwaarden:
.

Eigenschappen:

3.

verschil vectoren en bel vector gelijk aan de som van de vector en een vector tegengesteld aan de vector , d.w.z.
.

- de wet van het tegenovergestelde element (vector).

Ontbinding van een vector in termen van een basis

De som van vectoren wordt op een unieke manier bepaald
(enkel en alleen ). De omgekeerde bewerking, de ontleding van een vector in verschillende componenten, is dubbelzinnig: Om het ondubbelzinnig te maken, is het noodzakelijk om de richtingen aan te geven waarin de uitbreiding van de beschouwde vector plaatsvindt, of, zoals ze zeggen, het is noodzakelijk om aan te geven basis.

Bij het bepalen van de basis is de eis van niet-coplanariteit en niet-collineariteit van vectoren essentieel. Om de betekenis van deze vereiste te begrijpen, is het noodzakelijk om het concept van lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid van vectoren te beschouwen.

Willekeurige uitdrukking van de vorm: , genaamd lineaire combinatie vectoren
.

Een lineaire combinatie van meerdere vectoren heet triviaal als alle coëfficiënten gelijk zijn aan nul.

Vectoren
genaamd lineair afhankelijk, als er een niet-triviale lineaire combinatie is van deze vectoren gelijk aan nul:
(1), mits
. Als gelijkheid (1) alleen geldt voor iedereen
gelijktijdig gelijk aan nul, dan niet-nul vectoren
zullen lineair onafhankelijk.

Het is gemakkelijk te bewijzen: elke twee collineaire vectoren zijn lineair afhankelijk, en twee niet-collineaire vectoren zijn lineair onafhankelijk.

We beginnen het bewijs met de eerste bewering.

Laat de vectoren en collineair. Laten we aantonen dat ze lineair afhankelijk zijn. Inderdaad, als ze collineair zijn, dan verschillen ze alleen van elkaar door een numerieke factor, d.w.z.
, Vandaar
. Aangezien de resulterende lineaire combinatie duidelijk niet-triviaal is en gelijk is aan "0", dan zijn de vectoren en lineair afhankelijk.

Beschouw nu twee niet-collineaire vectoren en . Laten we bewijzen dat ze lineair onafhankelijk zijn. We construeren het bewijs door tegenspraak.

We nemen aan dat ze lineair afhankelijk zijn. Dan moet er een niet-triviale lineaire combinatie bestaan
. Laten we doen alsof
, dan
. De resulterende gelijkheid betekent dat de vectoren en zijn collineair, in tegenstelling tot onze aanvankelijke veronderstelling.

Evenzo kan men bewijzen: elke drie coplanaire vectoren zijn lineair afhankelijk en twee niet-coplanaire vectoren zijn lineair onafhankelijk.

Terugkerend naar het concept van een basis en naar het probleem van het uitbreiden van een vector in een bepaalde basis, kunnen we zeggen dat: de basis op het vlak en in de ruimte wordt gevormd door een reeks lineair onafhankelijke vectoren. Een dergelijk concept van een basis is algemeen, aangezien het is van toepassing op een ruimte met een willekeurig aantal afmetingen.

Uitdrukking zoals:
, heet de ontleding van de vector door vectoren ,…,.

Als we een basis in de driedimensionale ruimte beschouwen, dan is de ontleding van de vector basis
zullen
, waar
-vector coördinaten.

In het probleem van het uitbreiden van een willekeurige vector op een bepaalde basis, is de volgende verklaring erg belangrijk: elke vectorkan op een unieke manier worden ontleed in de gegeven basis
. Met andere woorden, de coördinaten
voor elke vector ten opzichte van de basis
is ondubbelzinnig gedefinieerd.

De introductie van een basis in de ruimte en op een vlak maakt het mogelijk om aan elke vector toe te wijzen bestelde triple (paar) getallen - de coördinaten. Dit zeer belangrijke resultaat, dat het mogelijk maakt een verband te leggen tussen geometrische objecten en getallen, maakt het mogelijk om de positie en beweging van fysieke objecten analytisch te beschrijven en te bestuderen.

De combinatie van een punt en een basis heet coördinatie systeem.

Als de vectoren die de basis vormen eenheid en paarsgewijs loodrecht zijn, dan heet het coördinatenstelsel rechthoekig, en de basis orthonormaal.

L. 2-2 Product van vectoren

Ontbinding van een vector in termen van een basis

Beschouw de vector
, gegeven door de coördinaten:
.

- vectorcomponenten in richtingen van basisvectoren
.

Uitdrukking van de vorm
heet de ontleding van de vector basis
.

Op een vergelijkbare manier kan men ontbinden basis
vector
:

.

Cosinus van de hoeken gevormd door de beschouwde vector met basisvectoren
genaamd richting cosinus

;
;
.

Scalair product van vectoren.

Het scalaire product van twee vectoren en wordt het getal genoemd dat gelijk is aan het product van de modules van deze vectoren door de cosinus van de hoek ertussen

Het scalaire product van twee vectoren kan worden beschouwd als het product van de modulus van een van deze vectoren en de orthogonale projectie van de andere vector op de richting van de eerste
.

Eigenschappen:

Als de coördinaten van de vectoren bekend zijn
en
, dan, nadat we de vectoren hebben uitgebreid in termen van de basis
:
en
, vind

, omdat
,
, dan

.

.

Voorwaarde van loodrechtheid van vectoren:
.

Collineariteitsvoorwaarde voor rectoren:
.

Kruisproduct van vectoren

of

vector kunst per vector zo'n vector heet
, die voldoet aan de voorwaarden:

Eigenschappen:

De overwogen algebraïsche eigenschappen maken het mogelijk om een ​​analytische uitdrukking te vinden voor het uitwendige product in termen van de coördinaten van de samenstellende vectoren in een orthonormale basis.

Gegeven:
en
.

omdat ,
,
,
,
,
,
, dan

. Deze formule kan korter worden geschreven, in de vorm van een derde-orde determinant:

.

Gemengd product van vectoren

Gemengd product van drie vectoren ,en een getal genoemd gelijk aan het vectorproduct
, scalair vermenigvuldigd met de vector .

De volgende gelijkheid is waar:
, dus het gemengde product wordt geschreven
.

Zoals uit de definitie volgt, is het resultaat van een gemengd product drie vectoren is een nummer. Dit nummer heeft een duidelijke geometrische betekenis:

Gemengde productmodule
is gelijk aan het volume van het parallellepipedum gebouwd op de gereduceerde tot gemeenschappelijk begin vectoren ,en .

Gemengde producteigenschappen:

Als de vectoren ,,worden gegeven in de orthonormale basis
hun coördinaten, wordt de berekening van het gemengde product uitgevoerd volgens de formule

.

inderdaad, als
, dan

;
;
, dan
.

Als de vectoren ,,coplanair zijn, dan is het vectorproduct
loodrecht op de vector . En omgekeerd, als
, dan is het volume van het parallellepipedum nul, en dit is alleen mogelijk als de vectoren coplanair zijn (lineair afhankelijk).

Dus drie vectoren zijn coplanair als en slechts als hun gemengde product nul is.

Lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid vectoren.
Basis van vectoren. Affine coördinatensysteem

Er is een kar met chocolaatjes in het publiek, en vandaag krijgt elke bezoeker een lief stel - analytische geometrie met lineaire algebra. Dit artikel behandelt twee secties tegelijk. hogere wiskunde, en we zullen zien hoe ze met elkaar overweg kunnen in één verpakking. Neem een ​​pauze, eet Twix! ... verdomme, nou ja, onzin argumenteren. Hoewel oké, ik zal niet scoren, uiteindelijk moet er een positieve houding zijn om te studeren.

Lineaire afhankelijkheid van vectoren, lineaire onafhankelijkheid van vectoren, vectorbasis en andere termen hebben niet alleen een geometrische interpretatie, maar vooral een algebraïsche betekenis. Het concept van "vector" vanuit het oogpunt van lineaire algebra is niet altijd de "gewone" vector die we op een vlak of in de ruimte kunnen weergeven. U hoeft niet ver te zoeken naar bewijs, probeer een vector van vijfdimensionale ruimte te tekenen . Of de weervector waarvoor ik net naar Gismeteo ging voor: - temperatuur en Sfeer druk respectievelijk. Het voorbeeld is natuurlijk onjuist vanuit het oogpunt van de eigenschappen van de vectorruimte, maar desalniettemin verbiedt niemand om deze parameters als vector te formaliseren. Adem van de herfst...

Nee, ik ga je niet volladen met theorie, lineair vectorruimten, de taak is om begrijpen definities en stellingen. De nieuwe termen (lineaire afhankelijkheid, onafhankelijkheid, lineaire combinatie, basis, enz.) zijn vanuit algebraïsch oogpunt van toepassing op alle vectoren, maar voorbeelden zullen geometrisch worden gegeven. Zo is alles eenvoudig, toegankelijk en visueel. Naast de problemen van analytische meetkunde, zullen we ook enkele typische taken algebra. Om de stof onder de knie te krijgen, is het raadzaam om vertrouwd te raken met de lessen Vectoren voor dummies en Hoe de determinant berekenen?

Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid van vlakke vectoren.
Vlakbasis en affiene coördinatensysteem

Denk aan het vlak van uw computerbureau (alleen een tafel, nachtkastje, vloer, plafond, wat u maar wilt). De taak zal bestaan ​​uit de volgende acties:

1) Selecteer vliegtuigbasis. Het tafelblad heeft grofweg een lengte en een breedte, dus intuïtief is duidelijk dat er twee vectoren nodig zijn om de basis te bouwen. Eén vector is duidelijk niet genoeg, drie vectoren is teveel.

2) Op basis van de gekozen basis stel coördinatensysteem in(coördinatenraster) om coördinaten toe te wijzen aan alle items op de tafel.

Wees niet verbaasd, in eerste instantie zal de uitleg op de vingers zijn. Bovendien, op de jouwe. Plaats aub wijsvinger van de linkerhand op de rand van het tafelblad zodat hij naar de monitor kijkt. Dit wordt een vector. Nu plaats Pink rechter hand op de rand van de tafel op dezelfde manier - zodat deze op het beeldscherm is gericht. Dit wordt een vector. Glimlach, je ziet er geweldig uit! Wat kan er gezegd worden over vectoren? Gegevensvectoren collineair, wat betekent lineair door elkaar uitgedrukt:
, nou ja, of vice versa: , waar is een getal dat niet nul is.

Een foto van deze actie zie je in de les. Vectoren voor dummies, waar ik de regel heb uitgelegd voor het vermenigvuldigen van een vector met een getal.

Zullen je vingers de basis leggen op het vlak van de computertafel? Duidelijk niet. Collineaire vectoren reizen heen en weer in alleen richting, terwijl een vlak een lengte en een breedte heeft.

Dergelijke vectoren worden genoemd lineair afhankelijk.

Verwijzing: De woorden "lineair", "lineair" verwijzen naar het feit dat in wiskundige vergelijkingen, uitdrukkingen hebben geen vierkanten, kubussen, andere machten, logaritmen, sinussen, enz. Er zijn alleen lineaire (1e graads) uitdrukkingen en afhankelijkheden.

Twee vlakke vectoren lineair afhankelijk als en slechts als ze collineair zijn.

Kruis uw vingers op de tafel zodat er een hoek tussen hen is, behalve 0 of 180 graden. Twee vlakke vectorenlineair niet zijn afhankelijk als en slechts als ze niet collineair zijn. Dus de basis is ontvangen. U hoeft zich niet te schamen dat de basis "schuin" bleek te zijn met niet-loodrechte vectoren van verschillende lengtes. Zeer binnenkort zullen we zien dat niet alleen een hoek van 90 graden geschikt is voor de constructie, en niet alleen eenheidsvectoren van gelijke lengte

Ieder vliegtuig vector de enige manier uitgebreid in termen van de basis:
, waar zijn reële getallen . Nummers worden genoemd vector coördinaten op deze grondslag.

Dat zeggen ze ook vectorgepresenteerd in de vorm lineaire combinatie basisvectoren. Dat wil zeggen, de uitdrukking heet vector ontledingbasis of lineaire combinatie basisvectoren.

Je kunt bijvoorbeeld zeggen dat een vector is geëxpandeerd in een orthonormale basis van het vlak, of je kunt zeggen dat het wordt weergegeven als een lineaire combinatie van vectoren.

Laten we formuleren basisdefinitie formeel: vliegtuigbasis is een paar lineair onafhankelijke (niet-collineaire) vectoren, , waarin ieder de vlakke vector is een lineaire combinatie van de basisvectoren.

Het essentiële punt van de definitie is het feit dat de vectoren worden genomen in een bepaalde volgorde. basissen Dit zijn twee totaal verschillende bases! Zoals ze zeggen, kan de pink van de linkerhand niet worden verplaatst naar de plaats van de pink van de rechterhand.

We hebben de basis gevonden, maar het is niet voldoende om het coördinatenraster in te stellen en coördinaten toe te wijzen aan elk item op uw computerbureau. Waarom niet genoeg? De vectoren zijn vrij en dwalen over het hele vlak. Dus hoe wijs je coördinaten toe aan die kleine vuile tafelstippen die overblijven van een wild weekend? Er is een startpunt nodig. En zo'n referentiepunt is een bekend punt voor iedereen - de oorsprong van coördinaten. Het coördinatensysteem begrijpen:

Ik zal beginnen met het "school"-systeem. Al in de introductieles Vectoren voor dummies Ik heb enkele van de verschillen tussen een rechthoekig coördinatensysteem en een orthonormale basis benadrukt. Hier is de standaard foto:

als we het hebben over rechthoekig coördinatenstelsel, dan bedoelen ze meestal de oorsprong van coördinaten, Coördinaatassen en schaal langs de assen. Probeer "rechthoekig coördinatensysteem" in de zoekmachine te typen, en u zult zien dat veel bronnen u zullen vertellen over de coördinaatassen die bekend zijn uit het 5e-6e leerjaar en hoe u punten op een vlak tekent.

Aan de andere kant lijkt het erop dat rechthoekig systeem coördinaten kunnen worden bepaald in termen van een orthonormale basis. En dat is het bijna. De formulering gaat als volgt:

oorsprong, en orthonormaal basisset Cartesisch coördinatenstelsel van het vliegtuig . Dat wil zeggen, een rechthoekig coördinatenstelsel Vast en zeker wordt gedefinieerd door een enkel punt en twee orthogonale eenheidsvectoren. Daarom zie je de tekening die ik hierboven heb gegeven - in geometrische problemen teken vaak (maar niet altijd) zowel vectoren als coördinaatassen.

Ik denk dat iedereen dat wel begrijpt met behulp van een punt (oorsprong) en een orthonormale basis ELK PUNT van het vliegtuig en ELKE VECTOR van het vliegtuig coördinaten kunnen worden toegewezen. Figuurlijk gesproken, "alles in het vliegtuig kan worden genummerd."

Moeten coördinaatvectoren een eenheid zijn? Nee, ze kunnen een willekeurige lengte hebben die niet nul is. Beschouw een punt en twee orthogonale vectoren met een willekeurige lengte die niet nul is:

Zo'n basis heet orthogonaal. De oorsprong van coördinaten met vectoren definieert het coördinatenraster, en elk punt van het vlak, elke vector heeft zijn eigen coördinaten in de gegeven basis. Bijvoorbeeld, of. Het voor de hand liggende ongemak is dat de coördinaatvectoren in algemeen geval andere lengtes hebben dan eenheid. Als de lengtes gelijk zijn aan één, wordt de gebruikelijke orthonormale basis verkregen.

! Opmerking : in de orthogonale basis, en ook onder in affiene basen vlak- en ruimte-eenheden langs de assen worden beschouwd VOORWAARDELIJK. Een eenheid langs de abscis bevat bijvoorbeeld 4 cm, een eenheid langs de ordinaat bevat 2 cm Deze informatie is voldoende om indien nodig "niet-standaard" coördinaten om te zetten in "onze gebruikelijke centimeters".

En de tweede vraag, die eigenlijk al is beantwoord - is de hoek tussen de basisvectoren noodzakelijkerwijs gelijk aan 90 graden? Niet! Zoals de definitie zegt, moeten basisvectoren zijn alleen niet-collineair. Dienovereenkomstig kan de hoek alles zijn behalve 0 en 180 graden.

Een punt in het vliegtuig genaamd oorsprong, en niet-collineair vectoren, , set affiene coördinatensysteem van het vliegtuig :

Soms wordt dit coördinatenstelsel genoemd schuin systeem. In de tekening zijn punten en vectoren als voorbeeld weergegeven:

Zoals je begrijpt, is het affiene coördinatensysteem nog minder handig, de formules voor de lengtes van vectoren en segmenten, die we in het tweede deel van de les hebben besproken, werken er niet in. Vectoren voor dummies, veel heerlijke formules gerelateerd aan scalair product van vectoren. Maar de regels voor het optellen van vectoren en het vermenigvuldigen van een vector met een getal zijn geldig, de formules voor het delen van een segment in dit opzicht, evenals enkele andere soorten problemen die we binnenkort zullen bespreken.

En de conclusie is dat het handigste speciale geval affien systeem coördinaten is een cartesiaans rechthoekig systeem. Daarom moet zij, haar eigen, het vaakst gezien worden. ... Alles in dit leven is echter relatief - er zijn veel situaties waarin het gepast is om een ​​schuine (of een andere, bijvoorbeeld, polair) coördinatie systeem. Ja, en humanoïden kunnen dergelijke systemen gaan proeven =)

Laten we verder gaan met het praktische gedeelte. Alle taken deze les zijn geldig zowel voor een rechthoekig coördinatenstelsel als voor het algemene affiene geval. Er is hier niets ingewikkelds, al het materiaal is beschikbaar, zelfs voor een schooljongen.

Hoe de collineariteit van vlakke vectoren te bepalen?

Typisch iets. Om twee vlakke vectoren te krijgen collineair zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat hun respectieve coördinaten proportioneel zijn In wezen is dit een coördinaat-voor-coördinaat verfijning van de voor de hand liggende relatie.

voorbeeld 1

a) Controleer of de vectoren collineair zijn .
b) Vormen vectoren een basis? ?

Beslissing:
a) Zoek uit of er voor vectoren bestaat evenredigheidscoëfficiënt, zodat aan gelijkheden wordt voldaan:

Ik zal je zeker vertellen over de "foppe" versie van de toepassing van deze regel, die in de praktijk best goed werkt. Het idee is om meteen een verhouding op te stellen en te kijken of deze klopt:

Laten we een verhouding maken van de verhoudingen van de corresponderende coördinaten van de vectoren:

Wij verkorten:
, dus de corresponderende coördinaten zijn evenredig, daarom

De relatie zou kunnen worden gemaakt en vice versa, dit is een equivalente optie:

Voor zelftesten kan men gebruik maken van het feit dat: collineaire vectoren worden lineair door elkaar uitgedrukt. BIJ deze zaak er zijn gelijkheden . Hun geldigheid kan eenvoudig worden gecontroleerd door middel van elementaire bewerkingen met vectoren:

b) Twee vlakke vectoren vormen een basis als ze niet collineair zijn (lineair onafhankelijk). We onderzoeken vectoren op collineariteit . Laten we een systeem maken:

Uit de eerste vergelijking volgt dat , uit de tweede vergelijking volgt dat , wat betekent, het systeem is inconsistent(geen oplossingen). De corresponderende coördinaten van de vectoren zijn dus niet proportioneel.

Conclusie: de vectoren zijn lineair onafhankelijk en vormen een basis.

Een vereenvoudigde versie van de oplossing ziet er als volgt uit:

Stel de verhouding samen uit de corresponderende coördinaten van de vectoren :
, daarom zijn deze vectoren lineair onafhankelijk en vormen ze een basis.

Meestal wijzen reviewers deze optie niet af, maar er ontstaat een probleem in gevallen waarin sommige coördinaten gelijk zijn aan nul. Zoals dit: . Of zo: . Of zo: . Hoe de verhouding hier te verwerken? (Echt, je kunt niet delen door nul). Het is om deze reden dat ik de vereenvoudigde oplossing "foppish" noemde.

Antwoord: a) , b) vorm.

Klein creatief voorbeeld voor onafhankelijke oplossing:

Voorbeeld 2

Op welke waarde van de parametervectoren zal collineair zijn?

In de voorbeeldoplossing wordt de parameter gevonden via de verhouding.

Er is een elegante algebraïsche manier om vectoren op collineariteit te controleren.Laten we onze kennis systematiseren en toevoegen als vijfde punt:

Voor twee vlakke vectoren zijn de volgende uitspraken equivalent:

2) vectoren vormen een basis;
3) de vectoren zijn niet collineair;

+ 5) de determinant, samengesteld uit de coördinaten van deze vectoren, is niet nul.

Respectievelijk, de volgende tegengestelde uitspraken zijn equivalent:
1) vectoren zijn lineair afhankelijk;
2) vectoren vormen geen basis;
3) de vectoren zijn collineair;
4) vectoren kunnen lineair door elkaar worden uitgedrukt;
+ 5) de determinant, samengesteld uit de coördinaten van deze vectoren, is gelijk aan nul.

Ik hoop heel, heel erg dat je op dit moment alle termen en uitspraken die zijn tegengekomen al begrijpt.

Laten we het nieuwe, vijfde punt eens nader bekijken: twee vlakke vectoren zijn collineair dan en slechts dan als de determinant bestaande uit de coördinaten van de gegeven vectoren gelijk is aan nul:. Om deze functie te gebruiken, moet je natuurlijk in staat zijn om: determinanten vinden.

We zullen beslissen Voorbeeld 1 op de tweede manier:

a) Bereken de determinant, samengesteld uit de coördinaten van de vectoren :
, dus deze vectoren zijn collineair.

b) Twee vlakke vectoren vormen een basis als ze niet collineair zijn (lineair onafhankelijk). Laten we de determinant berekenen die bestaat uit de coördinaten van de vectoren :
, vandaar dat de vectoren lineair onafhankelijk zijn en een basis vormen.

Antwoord: a) , b) vorm.

Het ziet er veel compacter en mooier uit dan de oplossing met proporties.

Met behulp van het beschouwde materiaal is het mogelijk om niet alleen de collineariteit van vectoren vast te stellen, maar ook om het parallellisme van segmenten, rechte lijnen, te bewijzen. Overweeg een aantal problemen met specifieke geometrische vormen.

Voorbeeld 3

De hoekpunten van een vierhoek worden gegeven. Bewijs dat de vierhoek een parallellogram is.

Bewijs: Het is niet nodig om een ​​tekening in het probleem in te bouwen, omdat de oplossing puur analytisch is. Onthoud de definitie van een parallellogram:
Parallellogram Een vierhoek wordt genoemd, waarin overstaande zijden paarsgewijs evenwijdig zijn.

Het is dus noodzakelijk om te bewijzen:
1) parallelliteit van tegenoverliggende zijden en;
2) parallellisme van tegenoverliggende zijden en .

Wij bewijzen:

1) Zoek de vectoren:

2) Zoek de vectoren:

Het resultaat was dezelfde vector (“volgens school” - gelijke vectoren). Collineariteit ligt voor de hand, maar het is beter om de beslissing goed te nemen, met de regeling. Bereken de determinant, samengesteld uit de coördinaten van de vectoren:
, dus deze vectoren zijn collineair, en .

Conclusie: tegenovergestelde kanten vierhoeken zijn paarsgewijs evenwijdig, dus het is per definitie een parallellogram. QED.

Meer goede en andere cijfers:

Voorbeeld 4

De hoekpunten van een vierhoek worden gegeven. Bewijs dat de vierhoek een trapezium is.

Voor een meer rigoureuze formulering van het bewijs is het natuurlijk beter om een ​​definitie van een trapezium te krijgen, maar het is voldoende om te onthouden hoe het eruit ziet.

Dit is een taak voor onafhankelijke besluitvorming. Complete oplossing aan het einde van de les.

En nu is het tijd om langzaam van het vliegtuig de ruimte in te gaan:

Hoe de collineariteit van ruimtevectoren bepalen?

De regel lijkt erg op elkaar. Om twee ruimtevectoren collineair te laten zijn, is het noodzakelijk en voldoende dat hun corresponderende coördinaten evenredig zijn met.

Voorbeeld 5

Zoek uit of de volgende ruimtevectoren collineair zijn:

a) ;
b)
in)

Beslissing:
a) Controleer of er een evenredigheidscoëfficiënt is voor de corresponderende coördinaten van de vectoren:

Het systeem heeft geen oplossing, wat betekent dat de vectoren niet collineair zijn.

"Vereenvoudigd" wordt opgemaakt door de verhouding te controleren. In dit geval:
– de corresponderende coördinaten zijn niet proportioneel, wat betekent dat de vectoren niet collineair zijn.

Antwoord: de vectoren zijn niet collineair.

b-c) Dit zijn punten voor een onafhankelijke beslissing. Probeer het op twee manieren uit.

Er is een methode om ruimtevectoren te controleren op collineariteit en via een derde-orde determinant, deze methode behandeld in het artikel Kruisproduct van vectoren.

Net als bij het vlakke geval kunnen de beschouwde gereedschappen worden gebruikt om het parallellisme van ruimtelijke segmenten en lijnen te bestuderen.

Welkom bij het tweede deel:

Lineaire afhankelijkheid en onafhankelijkheid van driedimensionale ruimtevectoren.
Ruimtelijke basis en affiene coördinatenstelsel

Veel van de regelmatigheden die we in het vliegtuig hebben overwogen, zullen ook gelden voor de ruimte. Ik heb geprobeerd de samenvatting van de theorie te minimaliseren, aangezien het leeuwendeel van de informatie al is opgegeten. Desalniettemin raad ik u aan het inleidende gedeelte aandachtig te lezen, aangezien er nieuwe termen en concepten zullen verschijnen.

Laten we nu, in plaats van het vlak van de computertafel, de driedimensionale ruimte onderzoeken. Laten we eerst de basis ervan creëren. Er is nu iemand binnen, iemand buiten, maar in ieder geval kunnen we niet om drie dimensies heen: breedte, lengte en hoogte. Daarom zijn er drie ruimtelijke vectoren nodig om de basis te construeren. Een of twee vectoren zijn niet genoeg, de vierde is overbodig.

En weer warmen we de vingers op. Steek alsjeblieft je hand op en spreid je uit in verschillende kanten duim, wijs- en middelvinger. Dit zullen vectoren zijn, ze kijken in verschillende richtingen, hebben verschillende lengtes en hebben verschillende hoeken. Gefeliciteerd, de basis van de driedimensionale ruimte is klaar! Trouwens, je hoeft dit niet aan leraren te demonstreren, hoe je ook met je vingers draait, maar je kunt niet wegkomen van definities =)

Laten we het vervolgens vragen belangrijk probleem, of drie vectoren een basis vormen driedimensionale ruimte ? Druk drie vingers stevig op het tafelblad van de computer. Wat er is gebeurd? Drie vectoren bevinden zich in hetzelfde vlak en ruwweg zijn we een van de metingen kwijtgeraakt - de hoogte. Dergelijke vectoren zijn coplanair en, heel duidelijk, dat de basis van de driedimensionale ruimte niet wordt gecreëerd.

Opgemerkt moet worden dat coplanaire vectoren niet in hetzelfde vlak hoeven te liggen, ze kunnen in evenwijdige vlakken(doe het alleen niet met je vingers, alleen Salvador Dali kwam er zo uit =)).

Definitie: vectoren worden genoemd coplanair als er een vlak bestaat waaraan ze evenwijdig zijn. Hier is het logisch om toe te voegen dat als zo'n vlak niet bestaat, de vectoren niet coplanair zullen zijn.

Drie coplanaire vectoren zijn altijd lineair afhankelijk, dat wil zeggen, ze worden lineair door elkaar uitgedrukt. Stel je voor de eenvoud opnieuw voor dat ze in hetzelfde vlak liggen. Ten eerste zijn vectoren niet alleen coplanair, maar kunnen ze ook collineair zijn, waarna elke vector door elke vector kan worden uitgedrukt. In het tweede geval, als de vectoren bijvoorbeeld niet collineair zijn, wordt de derde vector er op een unieke manier door uitgedrukt: (en waarom is gemakkelijk te raden uit de materialen van de vorige sectie).

Het omgekeerde is ook waar: drie niet-coplanaire vectoren zijn altijd lineair onafhankelijk, dat wil zeggen, ze worden op geen enkele manier door elkaar uitgedrukt. En natuurlijk kunnen alleen zulke vectoren de basis vormen van een driedimensionale ruimte.

Definitie: De basis van driedimensionale ruimte heet een triple van lineair onafhankelijke (niet-coplanaire) vectoren, in een bepaalde volgorde genomen, terwijl elke vector van de ruimte de enige manier breidt uit in de gegeven basis, waar zijn de coördinaten van de vector in de gegeven basis

Ter herinnering, je kunt ook zeggen dat een vector wordt weergegeven als lineaire combinatie basisvectoren.

Het concept van een coördinatensysteem wordt op precies dezelfde manier geïntroduceerd als voor platte behuizing, één punt en drie lineair onafhankelijke vectoren zijn voldoende:

oorsprong, en niet-coplanair vectoren, in een bepaalde volgorde genomen, set affiene coördinatensysteem van driedimensionale ruimte :

Natuurlijk is het coördinatenraster "schuin" en onhandig, maar desalniettemin stelt het geconstrueerde coördinatensysteem ons in staat om Vast en zeker bepaal de coördinaten van elke vector en de coördinaten van elk punt in de ruimte. Net als bij het vlak, in het affiene coördinatensysteem van de ruimte, zullen sommige formules die ik al heb genoemd niet werken.

Het meest bekende en handige speciale geval van een affiene coördinatensysteem, zoals iedereen kan raden, is rechthoekig ruimtecoördinatenstelsel:

punt in de ruimte genaamd oorsprong, en orthonormaal basisset Cartesisch coördinatenstelsel van de ruimte . bekende foto:

Voordat we overgaan tot praktische taken, systematiseren we de informatie opnieuw:

Voor drie ruimtevectoren zijn de volgende uitspraken equivalent:
1) de vectoren zijn lineair onafhankelijk;
2) vectoren vormen een basis;
3) de vectoren zijn niet coplanair;
4) vectoren kunnen niet lineair door elkaar worden uitgedrukt;
5) de determinant, samengesteld uit de coördinaten van deze vectoren, is verschillend van nul.

Tegengestelde verklaringen zijn, denk ik, begrijpelijk.

Lineaire afhankelijkheid / onafhankelijkheid van ruimtevectoren wordt traditioneel gecontroleerd met behulp van de determinant (item 5). Overig praktische taken zal een uitgesproken algebraïsch karakter hebben. Het is tijd om een ​​geometrische stok aan een spijker te hangen en een lineaire algebra-honkbalknuppel te hanteren:

Drie ruimtevectoren zijn coplanair als en slechts als de determinant bestaande uit de coördinaten van de gegeven vectoren gelijk is aan nul: .

Ik vestig uw aandacht op een kleine technische nuance: de coördinaten van vectoren kunnen niet alleen in kolommen, maar ook in rijen worden geschreven (de waarde van de determinant zal hierdoor niet veranderen - zie de eigenschappen van de determinanten). Maar het is veel beter in kolommen, omdat het nuttiger is voor het oplossen van enkele praktische problemen.

Voor die lezers die de methoden voor het berekenen van determinanten een beetje zijn vergeten, of misschien helemaal niet georiënteerd zijn, raad ik een van mijn oudste lessen aan: Hoe de determinant berekenen?

Voorbeeld 6

Controleer of de volgende vectoren een basis vormen van een driedimensionale ruimte:

Beslissing: In feite komt de hele oplossing neer op het berekenen van de determinant.

a) Bereken de determinant, samengesteld uit de coördinaten van de vectoren (de determinant is uitgebreid op de eerste regel):

, wat betekent dat de vectoren lineair onafhankelijk zijn (niet coplanair) en de basis vormen van een driedimensionale ruimte.

Antwoord: deze vectoren vormen de basis

b) Dit is een punt voor onafhankelijke beslissing. Volledige oplossing en antwoord aan het einde van de les.

ontmoeten en creatieve taken:

Voorbeeld 7

Bij welke waarde van de parameter zullen de vectoren coplanair zijn?

Beslissing: Vectoren zijn coplanair als en slechts dan als de determinant bestaande uit de coördinaten van de gegeven vectoren gelijk is aan nul:

In wezen is het nodig om een ​​vergelijking met een determinant op te lossen. We vliegen in nullen zoals vliegers in jerboa's - het is het meest winstgevend om de determinant in de tweede regel te openen en onmiddellijk de minnen te verwijderen:

We voeren verdere vereenvoudigingen door en brengen de zaak terug tot de eenvoudigste lineaire vergelijking:

Antwoord: Bij

Het is hier eenvoudig te controleren, hiervoor moet je de resulterende waarde in de oorspronkelijke determinant vervangen en ervoor zorgen dat door het opnieuw te openen.

Tot slot, overweeg er nog een typische taak, dat meer algebraïsch van aard is en traditioneel wordt opgenomen in de loop van lineaire algebra. Het komt zo vaak voor dat het een apart onderwerp verdient:

Bewijs dat 3 vectoren een basis vormen van een driedimensionale ruimte
en vind de coördinaten van de 4e vector in de gegeven basis

Voorbeeld 8

Vectoren worden gegeven. Laat zien dat de vectoren een basis vormen van de driedimensionale ruimte en vind de coördinaten van de vector in deze basis.

Beslissing: Laten we eerst de voorwaarde behandelen. Per voorwaarde worden vier vectoren gegeven en, zoals je kunt zien, hebben ze al coördinaten in een bepaalde basis. Wat is de basis - we zijn niet geïnteresseerd. En het volgende is interessant: drie vectoren vormen misschien wel een nieuwe basis. En de eerste stap is volledig hetzelfde als de oplossing van Voorbeeld 6, het is noodzakelijk om te controleren of de vectoren echt lineair onafhankelijk zijn:

Bereken de determinant, samengesteld uit de coördinaten van de vectoren:

, vandaar dat de vectoren lineair onafhankelijk zijn en een basis vormen van een driedimensionale ruimte.

! Belangrijk : vectorcoördinaten nodig Schrijf op in kolommen bepalend, niet strings. Anders ontstaat er verwarring in het verdere oplossingsalgoritme.