Nếu mục đích của việc lập mô hình là rõ ràng, thì nhiệm vụ sau sẽ phát sinh - nhiệm vụ xây dựng mô hình toán học. Ở giai đoạn này, các giả định ban đầu được chuyển sang một ngôn ngữ rõ ràng, không rõ ràng về các quan hệ định lượng và các phát biểu hoặc định nghĩa mờ, không rõ ràng sẽ bị loại bỏ, chúng được thay thế, có lẽ, bằng các tuyên bố gần đúng, nhưng rõ ràng không cho phép giải thích khác nhau.

Việc xây dựng một mô hình toán học được thực hiện theo trình tự sau:

1) lựa chọn loại mô hình và mô hình con;

2) thiết kế cấu trúc và thành phần của các mô hình (mô hình con);

3) phát triển các mô hình con riêng lẻ;

4) lắp ráp toàn bộ mô hình;

5) xác định các tham số mô hình và chuẩn bị dữ liệu ban đầu;

6) xác nhận mô hình hệ thống.

Ở giai đoạn con thứ nhất và thứ hai, mô tả của hệ thống được chính thức hóa: cấu trúc của nó và những phụ thuộc thiết yếu giữa các phần tử được thiết lập. Nhiệm vụ chính của hai giai đoạn phụ này là thu được một mô tả toán học về các quá trình trong hệ thống mô phỏng và sơ đồ khối, phải giống với sơ đồ khối của hệ thống công nghiệp.

Với độ phức tạp cao của hệ thống, quá trình hoạt động của hệ thống ban đầu được chia thành các quá trình con riêng biệt, khá tự trị. Do đó, về mặt chức năng, mô hình được chia thành các mô hình con, mỗi mô hình trong số đó có thể được chia thành các phần tử thậm chí còn nhỏ hơn.

Đối với một mô hình được xây dựng chính xác, đặc điểm là nó chỉ tiết lộ những mô hình mà nhà nghiên cứu cần, và không xem xét các thuộc tính của hệ thống. , không cần thiết cho nghiên cứu này. Cần lưu ý rằng mô hình gốc và mô hình phải đồng thời giống nhau ở một số khía cạnh và khác nhau ở những khía cạnh khác, điều này giúp có thể chỉ ra các thuộc tính quan trọng nhất đang được nghiên cứu.

Sự phát triển của các mô hình con riêng lẻ bao gồm việc biên dịch mô tả toán học của chúng: trong việc thiết lập mối quan hệ giữa các tham số quá trình và xác định ranh giới và điều kiện ban đầu của chúng, cũng như chính thức hóa quá trình dưới dạng một hệ thống các mối quan hệ toán học đặc trưng cho đối tượng được nghiên cứu ( Quy trình công nghệ). Khi biên soạn một mô tả toán học, cách tiếp cận lý thuyết hoặc thống kê được sử dụng (xem Phần 2.2.4).

Khi thực hiện giai đoạn này, điều đặc biệt quan trọng là phải chọn một mô hình toán học có độ phức tạp yêu cầu tối thiểu. Nếu mô hình của một hệ thống phức tạp được hình thành bằng cách đơn giản kết hợp các mô hình hoàn chỉnh của các hệ thống con ở các cấp độ thấp hơn, thì có thể có sự chênh lệch giữa độ chính xác cần thiết và độ phức tạp thực tế của mô hình. Sự không cân xứng này có thể được loại bỏ bằng cách làm thô các mô hình cấp thấp hơn (sau khi nghiên cứu chi tiết về chúng). Tùy chọn thô như vậy là:

Giảm các mô tả chi tiết của một quá trình đa thành phần cho thành phần chính với các yếu tố hiệu chỉnh;

Hợp nhất các trạng thái và các giai đoạn của quá trình;

Tính gần đúng của các phụ thuộc đã xác định;

Sử dụng trung bình các đặc điểm của các quá trình bằng các lập luận của chúng;

Cấp đông thay đổi từ từ các thông số;

Giảm yêu cầu về độ chính xác lặp lại;

Bỏ qua sự phụ thuộc lẫn nhau của các biến;

Đối với các quan hệ toán học dẫn xuất, ở đoạn con tiếp theo, các tham số của chúng được xác định. Hiện nay, nhiều phương pháp khác nhau để ước lượng các tham số được sử dụng rộng rãi: theo phương pháp bình phương nhỏ nhất, theo phương pháp khả năng lớn nhất, ước lượng Bayesian, Markov.

Chuẩn bị dữ liệu ban đầu bao gồm việc thu thập và xử lý kết quả quan sát của hệ thống đang nghiên cứu. Xử lý trong trường hợp điển hình bao gồm việc xây dựng các hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên tương ứng hoặc tính toán các đặc trưng số của các phân phối. Những dữ liệu ban đầu này, thu được từ quá trình nghiên cứu trên hệ thống thực, sẽ được sử dụng làm tham số mô hình khi nó được thực hiện trên máy tính.

Việc xác nhận mô hình hệ thống là lần kiểm tra đầu tiên được thực hiện trong giai đoạn thực hiện mô hình. Vì mô hình là một mô tả gần đúng về quá trình hoạt động của một hệ thống thực , cho đến khi tính hợp lệ của mô hình được chứng minh , không thể lập luận rằng với sự trợ giúp của nó, kết quả sẽ thu được trùng với những kết quả có thể thu được khi tiến hành một thử nghiệm quy mô đầy đủ với một hệ thống thực . Do đó, việc xác định độ tin cậy của mô hình thiết lập mức độ tin cậy đối với các kết quả thu được bằng phương pháp mô hình hóa. Việc kiểm tra mô hình ở giai đoạn con được xem xét phải trả lời câu hỏi về mức độ logic của mô hình hệ thống và các mối quan hệ toán học được sử dụng phản ánh ý định của mô hình được hình thành ở giai đoạn đầu tiên. Đồng thời, kiểm tra khả năng giải quyết công việc, tính chính xác của việc phản ánh ý tưởng trong sơ đồ lôgic, tính hoàn chỉnh của sơ đồ lôgic của mô hình, tính đúng đắn của các mối quan hệ toán học được sử dụng.

Chỉ sau khi nhà phát triển bị thuyết phục bởi sự xác minh thích hợp về tính đúng đắn của tất cả các điều khoản này, thì có thể coi sơ đồ logic đã phát triển của mô hình hệ thống thích hợp cho các công việc tiếp theo về việc thực hiện mô hình trên máy tính.

Gửi công việc tốt của bạn trong cơ sở kiến ​​thức là đơn giản. Sử dụng biểu mẫu bên dưới

Làm tốt lắmđến trang web ">

Các sinh viên, nghiên cứu sinh, các nhà khoa học trẻ sử dụng nền tảng tri thức trong học tập và làm việc sẽ rất biết ơn các bạn.

Tài liệu tương tự

Tầm quan trọng của toán học trong cuộc sống của chúng ta. Lịch sử của tài khoản. Sự phát triển của các phương pháp toán học tính toán ở thời điểm hiện tại. Việc sử dụng toán học trong các ngành khoa học khác, vai trò của mô hình toán học. Tình hình giáo dục toán học ở Nga.

bài báo, thêm 01/05/2010


Các khái niệm cơ bản về mô hình toán học, đặc điểm của các giai đoạn tạo mô hình của nhiệm vụ kế hoạch sản xuất và nhiệm vụ vận tải; cách tiếp cận phân tích và lập trình cho giải pháp của họ. Phương pháp Simplex để giải quyết vấn đề lập trình tuyến tính.

hạn giấy, bổ sung 12/11/2011


Quá trình lựa chọn hoặc xây dựng một mô hình để khảo sát các thuộc tính nhất định của một bản gốc trong những điều kiện nhất định. Các giai đoạn của quá trình mô hình hóa. Các mô hình toán học và các dạng của chúng. Tính đầy đủ của các mô hình toán học. Không khớp giữa bản gốc và kiểu máy.

kiểm tra, thêm vào 10/09/2016


Bản chất của mô hình toán học. Mô hình toán học phân tích và mô phỏng. Phân tích hình học, động học và công suất của các cơ cấu của thiết bị nâng hạ bản lề. Tính toán cho sự ổn định của một đơn vị nông nghiệp di động.

hạn giấy, bổ sung 18/12/2015


Mô hình toán học của các vấn đề hoạt động thương mại trên ví dụ về mô hình hóa quá trình lựa chọn một sản phẩm. Phương pháp và mô hình lập trình tuyến tính (xác định kế hoạch hàng ngày để sản xuất các sản phẩm mang lại thu nhập tối đa từ việc bán hàng).

kiểm tra, bổ sung 16/02/2011


Toán học như một công cụ vô cùng mạnh mẽ và linh hoạt trong việc nghiên cứu thế giới. Vai trò của toán học trong lĩnh vực công nghiệp, xây dựng, y học và cuộc sống con người. Nơi mô hình toán học trong việc tạo ra các mô hình kiến ​​trúc khác nhau.

bản trình bày, thêm 31/03/2015


Các giai đoạn chính của mô hình toán học - mô tả gần đúng về một lớp hiện tượng hoặc đối tượng thế giới thực bằng ngôn ngữ toán học. Các phương pháp mã hóa thông tin. Xây dựng một thiết bị cho phép bạn dịch mã Morse thành mã máy.

hạn giấy, bổ sung 28/06/2011


Ứng dụng của hệ thống MathCAD trong việc giải các bài toán ứng dụng có tính chất kỹ thuật. Các phương tiện cơ bản của mô hình toán học. Dung dịch phương trình vi phân. Sử dụng hệ thống MathCad để thực hiện các mô hình toán học về mạch điện.

hạn giấy, bổ sung 17/11/2016

Bài giảng 1

CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA MÔ HÌNH

Hiện trạng của vấn đề mô hình hóa hệ thống

Các khái niệm về mô hình hóa và mô phỏng

Mô hình hóa có thể được coi là sự thay thế đối tượng được điều tra (ban đầu) bằng hình ảnh, mô tả có điều kiện của nó hoặc một đối tượng khác, được gọi là người mẫu và cung cấp hành vi gần với nguyên bản trong phạm vi các giả định nhất định và các lỗi có thể chấp nhận được. Mô hình hóa thường được thực hiện với mục đích biết các thuộc tính của bản gốc bằng cách kiểm tra mô hình của nó, chứ không phải bản thân đối tượng. Tất nhiên, việc tạo mô hình là hợp lý trong trường hợp nó đơn giản hơn việc tạo ra bản gốc, hoặc khi cái sau, vì một lý do nào đó, tốt hơn là không nên tạo ra.

Dưới người mẫu một đối tượng vật lý hoặc trừu tượng được hiểu là các thuộc tính của chúng theo một nghĩa nào đó tương tự như các thuộc tính của đối tượng đang nghiên cứu. Trong trường hợp này, các yêu cầu đối với mô hình được xác định bởi vấn đề đang được giải quyết và các phương tiện sẵn có. Có một số yêu cầu chung cho các mô hình:

2) tính đầy đủ - cung cấp cho người nhận tất cả các thông tin cần thiết

về đối tượng;

3) tính linh hoạt - khả năng tái tạo các tình huống khác nhau trong mọi thứ

phạm vi các điều kiện và thông số thay đổi;

4) sự phức tạp của quá trình phát triển phải được chấp nhận đối với

thời gian và phần mềm.

Mô hình hóa là quá trình xây dựng mô hình của một đối tượng và nghiên cứu các thuộc tính của nó bằng cách xem xét mô hình.

Do đó, mô hình hóa bao gồm 2 giai đoạn chính:

1) phát triển mô hình;

2) nghiên cứu mô hình và rút ra kết luận.

Đồng thời, ở mỗi giai đoạn, nhiệm vụ khác nhau và đã sử dụng

về bản chất là các phương pháp và phương tiện khác nhau.

Trong thực tế, hãy áp dụng Các phương pháp khác nhau làm mẫu. Tùy thuộc vào phương pháp thực hiện, tất cả các mô hình có thể được chia thành hai lớp lớn: vật lý và toán học.

Mô hình toán học Thông thường người ta coi nó như một phương tiện để nghiên cứu các quá trình hoặc hiện tượng với sự trợ giúp của các mô hình toán học của chúng.

Dưới mô hình vật lýđề cập đến việc nghiên cứu các đối tượng và hiện tượng trên các mô hình vật lý, khi quá trình đang nghiên cứu được tái tạo trong khi vẫn duy trì Bản chất vật lý hoặc sử dụng một hiện tượng vật lý khác tương tự như hiện tượng đang được nghiên cứu. Trong đó mô hình vật lý Theo quy luật, họ cho rằng hiện thân thực sự của những đặc tính vật lý của nguyên bản là thiết yếu trong một tình huống cụ thể. Ví dụ, khi thiết kế một chiếc máy bay mới, mô hình của nó được tạo ra có cùng đặc tính khí động học; khi quy hoạch một tòa nhà, các kiến ​​trúc sư đưa ra một bố cục phản ánh sự sắp xếp không gian của các yếu tố của nó. Về vấn đề này, mô hình vật lý còn được gọi là tạo mẫu.

Mô hình hóa HIL là một nghiên cứu về các hệ thống được điều khiển trên các tổ hợp mô phỏng với việc đưa các thiết bị thực vào mô hình. Cùng với thiết bị thực, mô hình khép kín bao gồm các bộ mô phỏng va chạm và giao thoa, các mô hình toán học của môi trường bên ngoài và các quá trình mà mô tả toán học đủ chính xác chưa được biết đến. Việc đưa thiết bị thực hoặc hệ thống thực vào mạch để mô hình hóa các quá trình phức tạp giúp giảm thiểu độ không đảm bảo tiên nghiệm và điều tra các quá trình mà không có mô tả toán học chính xác. Với sự trợ giúp của mô phỏng bán tự nhiên, các nghiên cứu được thực hiện có tính đến các hằng số thời gian nhỏ và sự không tuyến tính vốn có trong thiết bị thực. Trong nghiên cứu các mô hình có bao gồm thiết bị thực, khái niệm mô phỏng động, trong lúc học hệ thống phức tạp và hiện tượng - tiến hóa, sự bắt chước và mô phỏng điều khiển học.

Rõ ràng, lợi ích thực sự của việc lập mô hình chỉ có thể đạt được nếu đáp ứng hai điều kiện:

1) mô hình cung cấp hiển thị đúng (đầy đủ) các thuộc tính

bản gốc, quan trọng theo quan điểm của hoạt động đang nghiên cứu;

2) mô hình làm cho nó có thể loại bỏ các vấn đề được liệt kê ở trên, vốn là

tiến hành nghiên cứu các đối tượng thực tế.

2. Các khái niệm cơ bản về mô hình toán học

Việc giải các bài toán thực tế bằng phương pháp toán học được thực hiện nhất quán bằng cách xây dựng bài toán (phát triển mô hình toán học), lựa chọn phương pháp nghiên cứu mô hình toán học thu được và phân tích kết quả toán học thu được. Công thức toán học của bài toán thường được trình bày dưới dạng hình ảnh hình học, hàm số, hệ phương trình, v.v. Mô tả của một đối tượng (hiện tượng) có thể được biểu diễn bằng cách sử dụng liên tục hoặc rời rạc, xác định hoặc ngẫu nhiên và các dạng toán học khác.

Lý thuyết về mô hình toán họcđảm bảo việc xác định các quy luật trong quá trình xảy ra các hiện tượng khác nhau của thế giới xung quanh hoặc hoạt động của các hệ thống và thiết bị bằng mô tả và mô hình toán học của chúng mà không cần thử nghiệm tại hiện trường. Trong trường hợp này, các quy định và định luật toán học được sử dụng để mô tả các hiện tượng, hệ thống hoặc thiết bị được mô phỏng ở một mức độ lý tưởng hóa nhất định của chúng.

Mô hình toán học (MM) là một mô tả chính thức hóa của một hệ thống (hoặc hoạt động) bằng một số ngôn ngữ trừu tượng, ví dụ, dưới dạng một tập hợp các quan hệ toán học hoặc một lược đồ thuật toán, tức là e. một mô tả toán học cung cấp sự mô phỏng hoạt động của các hệ thống hoặc thiết bị ở mức đủ gần với hành vi thực của chúng thu được trong quá trình thử nghiệm toàn bộ hệ thống hoặc thiết bị.

MM bất kỳ mô tả một đối tượng, hiện tượng hoặc quá trình thực với một mức độ gần đúng với thực tế. Loại MM phụ thuộc cả vào bản chất của đối tượng thực và mục tiêu của nghiên cứu.

Mô hình toán học Các hiện tượng xã hội, kinh tế, sinh học và vật lý, các đối tượng, hệ thống và các thiết bị khác nhau là một trong những phương tiện quan trọng nhất để hiểu bản chất và thiết kế nhiều loại hệ thống và thiết bị. Có những ví dụ đã biết về việc sử dụng hiệu quả mô hình trong việc tạo ra công nghệ hạt nhân, hệ thống hàng không và vũ trụ, trong dự báo các hiện tượng khí quyển và đại dương, thời tiết, v.v.

Tuy nhiên, các lĩnh vực mô hình hóa nghiêm trọng như vậy thường đòi hỏi siêu máy tính và nhiều năm làm việc của các nhóm lớn các nhà khoa học để chuẩn bị dữ liệu cho mô hình hóa và gỡ lỗi của nó. Tuy nhiên, trong trường hợp này, mô hình toán học của các hệ thống và thiết bị phức tạp không chỉ tiết kiệm tiền cho nghiên cứu và thử nghiệm mà còn có thể loại bỏ thảm họa môi trường - ví dụ, nó có thể từ bỏ hạt nhân và vũ khí nhiệt hạchủng hộ mô hình toán học của nó hoặc thử nghiệm các hệ thống hàng không vũ trụ trước chuyến bay thực của chúng. Trong khi đó, mô hình toán học ở cấp độ giải quyết các vấn đề đơn giản hơn, ví dụ, từ lĩnh vực cơ khí, kỹ thuật điện, điện tử, kỹ thuật vô tuyến và nhiều lĩnh vực khoa học khác và công nghệ hiện đã có sẵn để thực hiện trên các máy tính hiện đại. Và khi sử dụng các mô hình tổng quát hóa, có thể mô hình hóa các hệ thống khá phức tạp, ví dụ, các hệ thống và mạng viễn thông, hệ thống định vị bằng radar hoặc vô tuyến.

Mục đích của mô hình toán học là sự phân tích các quá trình thực (trong tự nhiên hoặc công nghệ) bằng các phương pháp toán học. Đổi lại, điều này đòi hỏi quá trình MM phải được chính thức hóa. Mô hình có thể là một biểu thức toán học chứa các biến có hành vi tương tự như hành vi của một hệ thống thực. các hành động có thể xảy ra của hai hoặc hơn"người chơi", chẳng hạn như trong lý thuyết trò chơi; hoặc nó có thể đại diện cho các biến thực của các phần được kết nối với nhau của hệ điều hành.

Mô hình toán học để nghiên cứu các đặc tính của hệ thống có thể được chia thành phân tích, mô phỏng và kết hợp. Đổi lại, MM được chia thành mô phỏng và phân tích.

Mô hình phân tích

Vì mô hình phân tíchđặc trưng là các quá trình hoạt động của hệ được viết dưới dạng một số quan hệ hàm (phương trình đại số, vi phân, tích phân). Mô hình phân tích có thể được khảo sát bằng các phương pháp sau:

1) phân tích, khi họ cố gắng tham gia vào nhìn chung phụ thuộc rõ ràng cho các đặc tính của hệ thống;

2) dạng số, khi không thể tìm ra lời giải cho các phương trình ở dạng tổng quát và chúng được giải cho các dữ liệu ban đầu cụ thể;

3) định tính, khi, trong trường hợp không có giải pháp, một số tính chất của nó được tìm thấy.

Các mô hình phân tích chỉ có thể thu được đối với các hệ thống tương đối đơn giản. Đối với các hệ thống phức tạp, các vấn đề toán học lớn thường nảy sinh. Để áp dụng phương pháp phân tích, người ta phải đơn giản hóa đáng kể mô hình ban đầu. Tuy nhiên, một nghiên cứu trên một mô hình đơn giản chỉ giúp thu được các kết quả mang tính chỉ dẫn. Các mô hình phân tích phản ánh một cách chính xác về mặt toán học mối quan hệ giữa các biến và tham số đầu vào và đầu ra. Nhưng cấu trúc của chúng không phản ánh cấu trúc bên trong của đối tượng.

Trong mô hình phân tích, kết quả của nó được trình bày dưới dạng các biểu thức phân tích. Ví dụ, bằng cách kết nối RC- mạch vào nguồn điện áp không đổi E(R, C và E là các thành phần của mô hình này), chúng ta có thể lập biểu thức phân tích cho sự phụ thuộc vào thời gian của điện áp u(t) trên tụ điện C:

Đây là một phương trình vi phân tuyến tính (DE) và là một mô hình phân tích của mạch tuyến tính đơn giản này. Giải pháp phân tích của nó, trong điều kiện ban đầu u(0) = 0, nghĩa là một tụ điện đã phóng điện Cở đầu mô phỏng, cho phép bạn tìm sự phụ thuộc cần thiết - dưới dạng công thức:

u(t) = E(1− Ví dụP(- t/ RC)). (2)

Tuy nhiên, ngay cả trong ví dụ đơn giản nhất này, cần có những nỗ lực nhất định để giải phương trình vi phân (1) hoặc áp dụng hệ thống toán học máy tính(SCM) với các phép tính ký hiệu - hệ thống đại số máy tính. Đối với trường hợp khá đơn giản này, giải pháp của vấn đề mô hình hóa tuyến tính RC-circuit cung cấp một biểu thức phân tích (2) ở dạng khá tổng quát - nó phù hợp để mô tả hoạt động của mạch đối với bất kỳ xếp hạng thành phần nào R, C và E và mô tả điện tích theo cấp số nhân của tụ điện C thông qua một điện trở R từ một nguồn điện áp không đổi E.

Không còn nghi ngờ gì nữa, việc tìm kiếm các giải pháp phân tích trong mô hình phân tích hóa ra lại vô cùng có giá trị để tiết lộ các quy luật lý thuyết chung của các mạch tuyến tính đơn giản, hệ thống và thiết bị. phương trình trạng thái mô tả sự gia tăng đối tượng được mô hình hóa. Bạn có thể nhận được nhiều hơn hoặc ít kết quả hiển thị hơn khi lập mô hình các đối tượng ở bậc thứ hai hoặc thứ ba, nhưng ngay cả với bậc cao hơn, các biểu thức phân tích trở nên quá cồng kềnh, phức tạp và khó hiểu. Ví dụ, ngay cả một bộ khuếch đại điện tử đơn giản thường chứa hàng chục thành phần. Tuy nhiên, nhiều SCM hiện đại, chẳng hạn như hệ thống toán học biểu tượng Maple, Mathematica hoặc thứ tư MATLAB có khả năng tự động hóa giải pháp ở một mức độ lớn nhiệm vụ đầy thử thách mô hình phân tích.

Một loại mô hình là mô phỏng số, bao gồm việc thu thập dữ liệu định lượng cần thiết về hoạt động của hệ thống hoặc thiết bị bằng bất kỳ phương pháp số thích hợp nào, chẳng hạn như phương pháp Euler hoặc Runge-Kutta. Trong thực tế, việc mô hình hóa các hệ thống và thiết bị phi tuyến sử dụng phương pháp số hiệu quả hơn nhiều so với việc mô hình hóa phân tích các mạch, hệ thống hoặc thiết bị tuyến tính riêng lẻ. Ví dụ, để giải quyết DE (1) hoặc các hệ thống DE qua ca khó không thu được giải pháp ở dạng phân tích, nhưng dữ liệu mô phỏng số có thể được sử dụng để thu được dữ liệu đầy đủ về hoạt động của các hệ thống và thiết bị được mô phỏng, cũng như vẽ biểu đồ mô tả hành vi này của các phụ thuộc.

Mô phỏng

Tại sự bắt chước Trong mô hình hóa, thuật toán thực hiện mô hình tái tạo quá trình hoạt động của hệ thống theo thời gian. Các hiện tượng cơ bản tạo nên quá trình được bắt chước, với sự bảo toàn cấu trúc lôgic của chúng và trình tự của dòng chảy trong thời gian.

Ưu điểm chính của mô hình mô phỏng so với mô hình phân tích là khả năng giải quyết các vấn đề phức tạp hơn.

Mô hình mô phỏng giúp dễ dàng tính đến sự hiện diện của các phần tử rời rạc hoặc liên tục, các đặc tính phi tuyến, các hiệu ứng ngẫu nhiên,… Vì vậy, phương pháp này được sử dụng rộng rãi ở giai đoạn thiết kế các hệ thống phức tạp. Công cụ chính để thực hiện mô hình hóa mô phỏng là một máy tính cho phép mô hình hóa kỹ thuật số các hệ thống và tín hiệu.

Về vấn đề này, chúng tôi định nghĩa cụm từ " mô hình máy tính”, Được sử dụng ngày càng nhiều trong văn học. Chúng tôi sẽ giả định rằng mô hình máy tính- đây là mô hình toán học sử dụng công nghệ máy tính. Theo đó, công nghệ mô phỏng máy tính bao gồm các hành động sau:

1) định nghĩa về mục đích của mô hình hóa;

2) phát triển một mô hình khái niệm;

3) chính thức hóa mô hình;

4) phần mềm thực hiện mô hình;

5) lập kế hoạch thí nghiệm mô hình;

6) thực hiện kế hoạch thử nghiệm;

7) phân tích và giải thích kết quả mô phỏng.

Tại mô hình mô phỏng MM được sử dụng tái tạo thuật toán (“logic”) về hoạt động của hệ thống đang nghiên cứu trong thời gian cho các kết hợp giá trị khác nhau của các tham số của hệ thống và môi trường.

Một ví dụ của mô hình phân tích đơn giản nhất là phương trình của chuyển động thẳng đều. Khi nghiên cứu một quá trình như vậy với sự trợ giúp của mô hình mô phỏng, cần thực hiện việc quan sát sự thay đổi của con đường di chuyển theo thời gian. Rõ ràng, trong một số trường hợp, mô hình phân tích được ưu tiên hơn, trong những trường hợp khác - mô phỏng (hoặc kết hợp cả hai) . Để thực hiện một lựa chọn tốt, hai câu hỏi phải được trả lời.

Mục đích của mô hình là gì?

Hiện tượng mô phỏng có thể được gán cho lớp nào?

Câu trả lời cho cả hai câu hỏi này có thể nhận được trong quá trình thực hiện hai giai đoạn đầu tiên của mô hình.

Mô hình mô phỏng không chỉ ở các thuộc tính, mà cả cấu trúc tương ứng với đối tượng được mô hình hóa. Trong trường hợp này, có sự tương ứng rõ ràng và rõ ràng giữa các quá trình thu được trên mô hình và các quá trình xảy ra trên đối tượng. Nhược điểm của mô hình mô phỏng là mất nhiều thời gian để giải quyết vấn đề để có được độ chính xác tốt.

Kết quả của mô hình mô phỏng hoạt động của một hệ thống ngẫu nhiên là những nhận thức biến ngẫu nhiên hoặc các quy trình. Do đó, để tìm ra các đặc tính của hệ thống, cần phải lặp lại nhiều lần và xử lý dữ liệu tiếp theo. Thông thường, trong trường hợp này, một loại mô phỏng được sử dụng: thống kê

làm mẫu(hoặc phương pháp Monte Carlo), tức là tái sản xuất trong các mô hình của các yếu tố ngẫu nhiên, sự kiện, đại lượng, quá trình, trường.

Theo kết quả của mô hình thống kê, các ước lượng về tiêu chí chất lượng xác suất, nói chung và đặc biệt, đặc trưng cho hoạt động và hiệu quả của hệ thống được kiểm soát được xác định. Mô hình thống kê được sử dụng rộng rãi để giải quyết các vấn đề khoa học và ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học và công nghệ. Phương pháp mô hình thống kê được sử dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu các hệ thống động lực phức tạp, đánh giá hoạt động và hiệu quả của chúng.

Giai đoạn cuối cùng của mô hình thống kê dựa trên xử lý toán học của các kết quả thu được. Ở đây, các phương pháp thống kê toán học được sử dụng (ước lượng tham số và phi tham số, kiểm định giả thuyết). Một ví dụ về đánh giá tham số là giá trị trung bình mẫu của một thước đo hiệu suất. Trong số các phương pháp phi tham số, phương pháp được sử dụng rộng rãi nhất phương pháp biểu đồ.

Phương án được xem xét dựa trên nhiều thử nghiệm thống kê của hệ thống và phương pháp thống kê các biến ngẫu nhiên độc lập. Có thể giảm thời gian kiểm tra hệ thống bằng cách sử dụng các phương pháp ước tính chính xác hơn. Như đã biết từ thống kê toán học, các ước tính hiệu quả có độ chính xác cao nhất đối với một cỡ mẫu nhất định. Lọc tối ưu và phương pháp khả năng xảy ra tối đa đưa ra phương pháp chung Trong các vấn đề của mô hình thống kê, việc xử lý các hiện thực của các quá trình ngẫu nhiên không chỉ cần thiết cho việc phân tích các quá trình đầu ra.

Việc kiểm soát các đặc tính của các hiệu ứng ngẫu nhiên đầu vào cũng rất quan trọng. Việc kiểm soát bao gồm việc kiểm tra xem liệu các bản phân phối của các quá trình được tạo có tương ứng với các bản phân phối đã cho hay không. Nhiệm vụ này thường được xây dựng dưới dạng nhiệm vụ kiểm tra giả thuyết.

Xu hướng chung trong mô phỏng có sự hỗ trợ của máy tính đối với các hệ thống điều khiển phức tạp là mong muốn giảm thời gian mô phỏng, cũng như thực hiện nghiên cứu trong thời gian thực. Các thuật toán tính toán được biểu diễn thuận tiện dưới dạng lặp lại cho phép thực hiện chúng với tốc độ thông tin hiện tại.

CÁC NGUYÊN TẮC CỦA CÁCH TIẾP CẬN HỆ THỐNG TRONG LẬP MÔ HÌNH

Cơ bản của lý thuyết hệ thống

Các quy định chính của lý thuyết về hệ thống đã nảy sinh trong quá trình nghiên cứu các hệ thống động lực và các yếu tố chức năng của chúng. Hệ thống được hiểu là một nhóm các yếu tố có liên quan với nhau hoạt động cùng nhau để thực hiện một nhiệm vụ được xác định trước. Phân tích hệ thống cho phép bạn xác định những cách thực sự hoàn thành nhiệm vụ đề ra, đảm bảo đáp ứng tối đa các yêu cầu đặt ra.

Các yếu tố hình thành cơ sở của lý thuyết hệ thống không được tạo ra với sự trợ giúp của các giả thuyết, mà được khám phá bằng thực nghiệm. Để bắt đầu xây dựng hệ thống cần có những đặc điểm chung của các quy trình công nghệ. Điều này cũng đúng đối với các nguyên tắc tạo ra các tiêu chí công thức toán học mà một quá trình hoặc mô tả lý thuyết của nó phải thỏa mãn. Mô hình hóa là một trong những các phương pháp quan trọng nghiên cứu khoa học và thực nghiệm.

Khi xây dựng mô hình của các đối tượng, phương pháp tiếp cận hệ thống được sử dụng, là một phương pháp luận để giải quyết các vấn đề phức tạp, dựa trên việc xem xét một đối tượng như một hệ thống hoạt động trong một môi trường nhất định. Cách tiếp cận hệ thống liên quan đến việc tiết lộ tính toàn vẹn của đối tượng, xác định và nghiên cứu cấu trúc bên trong của nó, cũng như các kết nối với môi trường bên ngoài. Trong trường hợp này, đối tượng được trình bày như một phần của thế giới thực, được xác định và nghiên cứu liên quan đến vấn đề xây dựng mô hình đang được giải quyết. Ngoài ra, phương pháp tiếp cận hệ thống liên quan đến sự chuyển đổi nhất quán từ cái chung sang cái riêng, khi việc xem xét dựa trên mục tiêu thiết kế và đối tượng được xem xét trong mối quan hệ với môi trường.

Một đối tượng phức tạp có thể được chia thành các hệ thống con, là các phần của đối tượng đáp ứng các yêu cầu sau:

1) hệ thống con là một phần độc lập về mặt chức năng của đối tượng. Nó được kết nối với các hệ thống con khác, trao đổi thông tin và năng lượng với chúng;

2) đối với mỗi hệ thống con, các chức năng hoặc thuộc tính không trùng với thuộc tính của toàn bộ hệ thống có thể được xác định;

3) mỗi hệ thống con có thể được chia nhỏ hơn nữa theo cấp độ của các phần tử.

Trong trường hợp này, một phần tử được hiểu là một hệ thống con của cấp độ thấp hơn, việc phân chia thêm của nó là không phù hợp với quan điểm của vấn đề đang được giải quyết.

Do đó, một hệ thống có thể được định nghĩa là một đại diện của một đối tượng dưới dạng một tập hợp các hệ thống con, các phần tử và các mối quan hệ nhằm mục đích tạo ra, nghiên cứu hoặc cải tiến nó. Đồng thời, sự thể hiện mở rộng của hệ thống, bao gồm các hệ thống con chính và các kết nối giữa chúng, được gọi là cấu trúc vĩ mô, và sự tiết lộ chi tiết về cấu trúc bên trong của hệ thống ở cấp độ các phần tử được gọi là cấu trúc vi mô.

Cùng với hệ thống, thường có một hệ thống siêu cấp - một hệ thống ở cấp độ cao hơn, bao gồm đối tượng đang được xem xét, và chức năng của bất kỳ hệ thống nào chỉ có thể được xác định thông qua hệ thống siêu cấp.

Cần làm nổi bật khái niệm môi trường như một tập hợp các đối tượng của thế giới bên ngoài có ảnh hưởng đáng kể đến hiệu quả của hệ thống, nhưng không phải là một phần của hệ thống và siêu hệ thống của nó.

Liên quan đến cách tiếp cận hệ thống để xây dựng mô hình, khái niệm cơ sở hạ tầng được sử dụng, mô tả mối quan hệ của hệ thống với môi trường của nó (môi trường). Trong trường hợp này, việc lựa chọn, mô tả và nghiên cứu các thuộc tính của một đối tượng có ý nghĩa trong một nhiệm vụ cụ thể được gọi là phân tầng của một đối tượng, và bất kỳ mô hình nào của một đối tượng là mô tả phân tầng của nó.

Đối với cách tiếp cận có hệ thống, điều quan trọng là phải xác định cấu trúc của hệ thống, tức là tập hợp các liên kết giữa các phần tử của hệ thống, phản ánh sự tương tác của chúng. Để làm điều này, trước tiên chúng ta xem xét các cách tiếp cận cấu trúc và chức năng để mô hình hóa.

Với cách tiếp cận cấu trúc, thành phần của các phần tử được lựa chọn của hệ thống và các liên kết giữa chúng được tiết lộ. Tính tổng thể của các yếu tố và mối quan hệ giúp ta có thể phán đoán cấu trúc của hệ thống. Mô tả chung nhất của một cấu trúc là mô tả cấu trúc liên kết. Nó cho phép bạn xác định các thành phần của hệ thống và mối quan hệ của chúng bằng cách sử dụng đồ thị. Ít tổng quát hơn là mô tả chức năng khi các chức năng riêng lẻ được xem xét, tức là các thuật toán cho hành vi của hệ thống. Đồng thời, một cách tiếp cận chức năng được thực hiện để xác định các chức năng mà hệ thống thực hiện.

Trên cơ sở phương pháp tiếp cận có hệ thống, một trình tự phát triển mô hình có thể được đề xuất, khi hai giai đoạn thiết kế chính được phân biệt: thiết kế vĩ mô và thiết kế vi mô.

Ở giai đoạn thiết kế vĩ mô, một mô hình về môi trường bên ngoài được xây dựng, các nguồn lực và các ràng buộc được xác định, một mô hình hệ thống và các tiêu chí để đánh giá mức độ đầy đủ được lựa chọn.

Giai đoạn thiết kế vi mô phần lớn phụ thuộc vào loại mô hình cụ thể được chọn. Trong trường hợp chung, nó liên quan đến việc tạo ra thông tin, hỗ trợ toán học, kỹ thuật và phần mềm cho hệ thống mô hình hóa. Ở giai đoạn này, các đặc tính kỹ thuật chính của mô hình đã tạo được thiết lập, thời gian làm việc với mô hình đó và chi phí tài nguyên để có được chất lượng nhất định của mô hình được ước tính.

Bất kể loại mô hình nào, khi xây dựng nó, cần phải được hướng dẫn bởi một số nguyên tắc của cách tiếp cận có hệ thống:

1) tiến trình nhất quán qua các giai đoạn tạo mô hình;

2) sự phối hợp của thông tin, nguồn lực, độ tin cậy và các đặc điểm khác;

3) tỷ lệ chính xác của các cấp độ xây dựng mô hình khác nhau;

4) tính toàn vẹn của các giai đoạn thiết kế mô hình riêng lẻ.

Để xây dựng một mô hình toán học, bạn cần:

1. phân tích cẩn thận đối tượng hoặc quá trình thực tế;
2. nêu bật các tính năng và đặc tính quan trọng nhất của nó;
3. xác định các biến, tức là các tham số có giá trị ảnh hưởng đến các tính năng và thuộc tính chính của đối tượng;
4. mô tả sự phụ thuộc Các tính chất cơ bảnđối tượng, quá trình hoặc hệ thống từ giá trị của các biến sử dụng các quan hệ logic và toán học (phương trình, cân bằng, bất đẳng thức, cấu trúc logic và toán học);
5. làm nổi bật các kết nối bên trong của một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống bằng cách sử dụng các hạn chế, phương trình, đẳng thức, bất đẳng thức, cấu trúc logic và toán học;
6. định nghĩa liện kết ngoại và mô tả chúng với sự trợ giúp của các hạn chế, phương trình, đẳng thức, bất đẳng thức, cấu trúc logic và toán học.

Mô hình toán học, ngoài việc nghiên cứu một đối tượng, quá trình hoặc hệ thống và biên soạn mô tả toán học của chúng, còn bao gồm:

1. xây dựng một thuật toán mô hình hóa hành vi của một đối tượng, quy trình hoặc hệ thống;
2. xác minh tính đầy đủ của mô hình và đối tượng, quy trình hoặc hệ thống dựa trên thực nghiệm tính toán và tự nhiên;
3. điều chỉnh mô hình;
4. sử dụng mô hình.

Mô tả toán học của các quá trình và hệ thống đang nghiên cứu phụ thuộc vào:

1. bản chất của một quá trình hoặc hệ thống thực và được biên soạn trên cơ sở các định luật vật lý, hóa học, cơ học, nhiệt động lực học, thủy động lực học, kỹ thuật điện, lý thuyết về độ dẻo, lý thuyết về độ đàn hồi, v.v.
2. độ tin cậy và độ chính xác cần thiết của việc nghiên cứu và tìm hiểu các quá trình và hệ thống thực.

Việc xây dựng mô hình toán học thường bắt đầu bằng việc xây dựng và phân tích mô hình toán học đơn giản nhất, thô nhất của đối tượng, quá trình hoặc hệ thống đang được xem xét. Trong tương lai, nếu cần thiết, mô hình sẽ được tinh chỉnh, sự tương ứng của nó với đối tượng được hoàn thiện hơn.

Hãy lấy một ví dụ đơn giản. Cần xác định diện tích bề mặt bàn. Thông thường, đối với điều này, chiều dài và chiều rộng của nó được đo, sau đó các con số kết quả được nhân lên. Một thủ tục cơ bản như vậy thực sự có nghĩa như sau: đối tượng thực (mặt bàn) được thay thế bằng một mô hình toán học trừu tượng - một hình chữ nhật. Các kích thước thu được khi đo chiều dài và chiều rộng của mặt bàn được quy cho hình chữ nhật và diện tích của một hình chữ nhật như vậy được tính gần đúng như diện tích mong muốn của \ u200b \ u200bảng. Tuy nhiên, mẫu bàn làm việc hình chữ nhật là mẫu đơn giản nhất, thô kệch nhất. Với cách tiếp cận vấn đề nghiêm túc hơn, trước khi sử dụng mô hình hình chữ nhật để xác định diện tích bảng, mô hình này cần được kiểm tra. Kiểm tra có thể được thực hiện như sau: đo chiều dài cạnh đối diện bảng, cũng như độ dài các đường chéo của nó và so sánh chúng với nhau. Nếu, với mức độ chính xác cần thiết, độ dài của các cạnh đối diện và độ dài của các đường chéo bằng nhau, thì bề mặt của bàn thực sự có thể được coi là một hình chữ nhật. Nếu không, mô hình hình chữ nhật sẽ phải bị loại bỏ và thay thế bằng mô hình hình tứ giác tổng quát. Với yêu cầu cao hơn về độ chính xác, có thể cần phải tinh chỉnh mô hình hơn nữa, ví dụ, có tính đến việc làm tròn các góc của bảng.

Với sự giúp đỡ của điều này một ví dụ đơn giản nó đã chỉ ra rằng mô hình toán học không được xác định duy nhất bởi đối tượng điều tra, quá trình hoặc hệ thống.

HOẶC (sẽ được xác nhận vào ngày mai)

Các cách giải quyết matxa. Mô hình:

1, Xây dựng m trên cơ sở các quy luật tự nhiên (phương pháp phân tích)

2. Cách chính thức với sự trợ giúp của thống kê. Xử lý và đo lường kết quả (phương pháp thống kê)

3. Xây dựng đồng hồ đo dựa trên mô hình các phần tử (hệ thống phức tạp)

1, Phân tích - sử dụng với nghiên cứu đầy đủ. Mô hình chung Izv. các mô hình.

2. thí nghiệm. Khi thiếu thông tin

3. Imitation m. - khám phá các thuộc tính của đối tượng sst. Nói chung là.

Một ví dụ về việc xây dựng một mô hình toán học.

Mô hình toán học- đây là biểu diễn toán học thực tế.

Mô hình toán học là quá trình xây dựng và nghiên cứu các mô hình toán học.

Tất cả đều tự nhiên và khoa học Xã hội sử dụng bộ máy toán học, trên thực tế, đang tham gia vào mô hình toán học: họ thay thế một đối tượng bằng mô hình toán học của nó và sau đó nghiên cứu mô hình sau. Sự kết nối của một mô hình toán học với thực tế được thực hiện với sự trợ giúp của một chuỗi các giả thuyết, lý tưởng hóa và đơn giản hóa. Bằng cách sử dụng phương pháp toán học mô tả, như một quy luật, một đối tượng lý tưởng được xây dựng ở giai đoạn mô hình hóa có ý nghĩa.

Tại sao cần có các mô hình?

Rất thường, khi nghiên cứu một đối tượng, những khó khăn nảy sinh. Bản thân tài liệu gốc đôi khi không có sẵn, hoặc việc sử dụng nó không được khuyến khích, hoặc việc tham gia vào tài liệu gốc là rất tốn kém. Tất cả những vấn đề này có thể được giải quyết với sự trợ giúp của mô phỏng. Mô hình theo một nghĩa nào đó có thể thay thế đối tượng đang nghiên cứu.

Các ví dụ đơn giản nhất về các mô hình

§ Một bức ảnh có thể được gọi là mô hình của một người. Để nhận ra một người, chỉ cần xem ảnh của người đó là đủ.

§ Kiến trúc sư đã tạo ra bố cục của khu dân cư. Anh ấy có thể cử động bàn tay của mình tòa nhà cao từ bộ phận này sang bộ phận khác. Trong thực tế, điều này sẽ không thể thực hiện được.

Các loại mô hình

Các mô hình có thể được chia thành vật chất" và lý tưởng. những ví dụ trên là mô hình vật liệu. Mô hình lý tưởng thường mang tính biểu tượng. Đồng thời, các khái niệm thực tế được thay thế bằng một số dấu hiệu, có thể dễ dàng sửa chữa trên giấy, trong bộ nhớ máy tính, v.v.

Mô hình toán học

Mô hình toán học thuộc lớp mô hình dấu hiệu. Đồng thời, các mô hình có thể được tạo từ bất kỳ các đối tượng toán học: số, hàm, phương trình, v.v.

Xây dựng mô hình toán học

§ Có một số giai đoạn xây dựng một mô hình toán học:

1. Tìm hiểu nhiệm vụ, làm nổi bật các phẩm chất, thuộc tính, giá trị và thông số quan trọng nhất đối với chúng ta.

2. Giới thiệu ký hiệu.

3. Vẽ ra một hệ thống các hạn chế phải được thỏa mãn bởi các giá trị đã nhập.

4. Lập và ghi lại các điều kiện mà giải pháp tối ưu mong muốn phải thỏa mãn.

Quá trình mô hình hóa không kết thúc với việc biên dịch mô hình, mà chỉ bắt đầu với nó. Sau khi biên soạn một mô hình, họ chọn một phương pháp để tìm câu trả lời, giải quyết vấn đề. sau khi câu trả lời được tìm thấy, hãy so sánh nó với thực tế. Và có thể câu trả lời không thỏa mãn, trong trường hợp đó mô hình được sửa đổi hoặc thậm chí một mô hình hoàn toàn khác được chọn.

Ví dụ về một mô hình toán học

Một nhiệm vụ

Hiệp hội sản xuất, bao gồm hai nhà máy sản xuất đồ nội thất, cần nâng cấp khu máy móc của mình. Hơn nữa, nhà máy sản xuất đồ gỗ đầu tiên cần thay thế ba máy, và bảy máy thứ hai. Có thể đặt hàng tại hai nhà máy sản xuất máy công cụ. Nhà máy thứ nhất có thể sản xuất không quá 6 máy, và nhà máy thứ hai sẽ nhận đơn đặt hàng nếu có ít nhất ba máy trong số đó. Nó được yêu cầu để xác định cách đặt hàng.

Các nhiệm vụ được giải quyết bằng phương pháp LP rất đa dạng về nội dung. Nhưng các mô hình toán học của chúng tương tự nhau và được quy ước kết hợp thành ba Các nhóm lớn nhiệm vụ:

• nhiệm vụ vận tải;
• lập kế hoạch nhiệm vụ;

Chúng ta hãy xem xét các ví dụ về các bài toán kinh tế cụ thể của từng loại và đi sâu chi tiết vào việc xây dựng một mô hình cho từng bài toán.

Nhiệm vụ vận chuyển

Trên hai cơ sở giao dịch NHƯNG và TẠI Có 30 bộ đồ nội thất, 15 bộ cho mỗi bộ. Tất cả đồ đạc cần được chuyển đến hai cửa hàng đồ nội thất, TỪ và D và trong TỪ bạn cần cung cấp 10 bộ tai nghe và trong D- 20. Được biết rằng việc cung cấp một tai nghe từ cơ sở NHƯNGđến cửa hàng TỪ chi phí một đơn vị tiền tệ cho cửa hàng D- lúc ba giờ tối đơn vị tiền tệ S. Theo cơ sở TẠIđến cửa hàng TỪ và D: hai và năm đơn vị tiền tệ. Lên kế hoạch vận chuyển sao cho chi phí vận chuyển là ít nhất.
Để thuận tiện, chúng tôi đánh dấu các nhiệm vụ này trong một bảng. Tại giao điểm của các hàng và cột là các con số đặc trưng cho chi phí vận chuyển tương ứng (Bảng 3.1).

Bảng 3.1

Hãy lập một mô hình toán học của bài toán.
Các biến phải được nhập. Từ ngữ của câu hỏi nói rằng cần phải lập một kế hoạch vận chuyển. Biểu thị bởi X 1 , X 2 số tai nghe được vận chuyển từ cơ sở NHƯNGđến cửa hàng TỪ và D tương ứng, và thông qua tại 1 , tại 2 - số lượng tai nghe được vận chuyển từ cơ sở TẠIđến cửa hàng TỪ và D tương ứng. Khi đó lượng đồ đạc được lấy ra khỏi kho NHƯNG, bằng ( X 1 + X 2) tốt từ kho TẠI - (tại 1 + tại 2). Cửa hàng cần TỪ tương đương với 10 bộ tai nghe và họ đã mang nó ( X 1 + tại 1) mảnh, tức là X 1 + tại 1 = 10. Tương tự, đối với cửa hàng D chúng ta có X 2 + tại 2 = 20. Lưu ý rằng nhu cầu của các cửa hàng chính xác bằng số lượng tai nghe trong kho, vì vậy X 1 + tại 2 = 15 và tại 1 + tại 2 = 15. Nếu bạn lấy đi ít hơn 15 bộ từ các kho, thì các cửa hàng sẽ không có đủ đồ đạc để đáp ứng nhu cầu của họ.
Vì vậy, các biến X 1 , X 2 , tại 1 , tại 2 là không phủ định trong ý nghĩa của vấn đề và thỏa mãn hệ thống các ràng buộc:
(3.1)
Biểu thị thông qua F chi phí vận chuyển, hãy tính chúng. để vận chuyển một bộ đồ đạc từ NHƯNG Trong TỪ dành một ngày. đơn vị, để vận chuyển x 1 bộ - x 1 ngày các đơn vị Tương tự như vậy, đối với giao thông vận tải x 2 bộ NHƯNG Trong D giá 3 x 2 ngày các đơn vị; từ TẠI Trong TỪ - 2y 1 ngày đơn vị, từ TẠI Trong D - 5y 2 ngày các đơn vị
Vì thế,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → phút (3.2)
(chúng tôi muốn tổng chi phí vận chuyển càng thấp càng tốt).
Hãy hình thành vấn đề bằng toán học.
Trên tập các giải pháp của hệ thống ràng buộc (3.1), hãy tìm một giải pháp làm tối thiểu hàm mục tiêu F(3.2), hoặc tìm phương án tối ưu ( x 1 , x 2, y 1 , y 2) được xác định bởi hệ thống các ràng buộc (3.1) và hàm mục tiêu (3.2).
Vấn đề mà chúng tôi đã xem xét có thể được trình bày dưới dạng tổng quát hơn, với bất kỳ số lượng nhà cung cấp và người tiêu dùng nào.
Trong bài toán chúng ta đã xem xét, lượng hàng hóa sẵn có từ nhà cung cấp (15 + 15) bằng tổng nhu cầu của người tiêu dùng (10 + 20). Một mô hình như vậy được gọi là đóng cửa và nhiệm vụ tương ứng là vận chuyển cân bằng nhiệm vụ.
Trong tính toán kinh tế Vai trò cốt yếu cái gọi là mô hình mở, trong đó sự bình đẳng này không được quan sát, cũng chơi. Cung của nhà cung cấp lớn hơn cầu của người tiêu dùng, hoặc cầu vượt quá khả năng sẵn có của hàng hóa. lưu ý rằng sau đó trong hệ thống các ràng buộc của sự không cân bằng nhiệm vụ vận chuyển cùng với các phương trình cũng sẽ bao gồm các bất đẳng thức.

Hãy xem xét một ví dụ về vấn đề giao thông không cân bằng.
Tính bằng điểm NHƯNG và TẠIđặt các nhà máy gạch và ở TỪ và D- Các mỏ cung cấp cát cho họ. nhu cầu về cát của các nhà máy ít hơn so với năng suất của các mỏ đá. Được biết mỗi nhà máy cần bao nhiêu cát và lượng khai thác ở mỗi mỏ đá. Chi phí vận chuyển 1 tấn cát từ mỗi mỏ đá đến các nhà máy cũng được biết trước (các con số trên mũi tên). Cần có kế hoạch cung cấp cát cho các nhà máy sao cho chi phí vận chuyển là thấp nhất. Dữ liệu nguyên công trên sơ đồ.

Chúng tôi xây dựng một mô hình toán học của vấn đề.
Hãy giới thiệu các biến:
x 11 - số tấn cát được vận chuyển từ mỏ đá TỪđến nhà máy NHƯNG;
x 12 - từ một mỏ đá TỪđến nhà máy NHƯNG;
x 21 - số tấn cát trong NHƯNG từ một mỏ đá D;
x 22 - số tấn cát từ mỏ đá Dđến nhà máy TẠI.
Đến nhà máy NHƯNG 40 tấn phải được chuyển từ cả hai hố mở, có nghĩa là x 11 + x 21 = 40, nhà máy TẠI 50 tấn phải được giao, có nghĩa là x 12 + x 22 = 50. Từ mỏ đá TỪ không quá 70 tấn được xuất khẩu, tức là x 11 + x 12 ≤ 70, tương tự x 21 + x 22 ≤ 30. Chúng tôi có một hệ thống các hạn chế:
(3.3)
Và hàm mục tiêu F, thể hiện chi phí vận chuyển, có hình thức
F = 2x 11 + 6x 12 + 5x 21 + 3x 22 → tối thiểu. (3,4)

Nhiệm vụ vạch ra một kế hoạch

Một số nhà máy cần lập một kế hoạch tối ưu để sản xuất hai loại sản phẩm được chế biến trên bốn loại máy. Các khả năng và hiệu suất phần cứng nhất định đã được biết đến; giá của sản phẩm mang lại lợi nhuận cho nhà máy là 4 nghìn rúp. đối với sản phẩm loại I, 6 nghìn rúp. - đối với sản phẩm thuộc loại II. Lập kế hoạch sản xuất các sản phẩm này để nhà máy thu được lợi nhuận lớn nhất từ ​​việc bán chúng. Bảng cho thấy thời gian cần thiết để chế biến từng loại trong số hai loại sản phẩm trên thiết bị của cả bốn loại (Bảng 3.2).

Bảng 3.2

Các sản phẩm	Các loại máy
	1	2	3	4
Tôi	1	0,5	1	0
II	1	1	0	1
Giờ máy có thể	18	12	12	9

Hãy xây dựng một mô hình toán học.
Trong bài toán, cần xác định phương án sản xuất sản phẩm, ký hiệu là x số lượng sản phẩm loại I, cho y- số lượng sản phẩm loại II. Sau đó, chúng tôi tính toán xem máy đầu tiên sẽ dành bao nhiêu thời gian để xử lý tất cả các sản phẩm sản xuất. Cô ấy dành một đơn vị thời gian cho một mặt hàng thuộc loại I, có nghĩa là x phần sản phẩm sẽ dành 1 x các đơn vị thời gian để xử lý y sản phẩm loại II sẽ có giá 1 y các đơn vị thời gian. Tổng cộng, thời gian dự trữ cho hoạt động của cỗ máy đầu tiên là 18 đơn vị thời gian. Có nghĩa, x + y≤ 18. Suy luận tương tự với máy thứ hai, thứ ba và thứ tư sẽ đưa ra một hệ thống các hạn chế:
(3.5)
Tổng lợi nhuận sẽ được biểu thị bằng hàm mục tiêu:
F = 4x + 6y → tối đa. (3.6)
Vấn đề là phải tìm trên tập nghiệm của hệ (3.5) một nghiệm sao cho giá trị của hàm mục tiêu (3.6) là cực đại.

Nhiệm vụ trộn

Một vấn đề LP phổ biến khác là vấn đề thành phần hỗn hợp. Ví dụ về các nhiệm vụ như vậy có thể là nhiệm vụ tổng hợp các hỗn hợp sản phẩm dầu mỏ đáp ứng các yêu cầu kỹ thuật nhất định và rẻ nhất về mặt chi phí. Hoặc các nhiệm vụ về chế độ ăn uống, khi cần một số chất và hàm lượng của các chất này trong các sản phẩm khác nhau. Cần thiết lập khẩu phần ăn sao cho thỏa mãn nhu cầu các chất cần thiết, đồng thời giỏ thức ăn phải có chi phí tối thiểu theo giá thực phẩm nhất định.
Các nhiệm vụ gần như tương tự được đặt ra, ví dụ, trong bất kỳ trang trại chăn nuôi nào và có rất quang phổ lớn các ứng dụng.
Hãy xem xét một ví dụ. Đối với gà vỗ béo trong trang trại gia cầm, chế độ ăn của chúng phải có ít nhất 33 đơn vị chất NHƯNG, 23 Đơn vị chất dinh dưỡng TẠI, 12 đơn vị TỪ. Ba loại thức ăn được sử dụng để vỗ béo. Dữ liệu về hàm lượng các chất dinh dưỡng trong từng loại thức ăn được đưa ra trong bảng. Chi phí thức ăn chăn nuôi cũng được biết đến. Cần thực hiện chế độ ăn rẻ nhất (Bảng 3.3).

Bảng 3.3

Sản phẩm thức ăn chăn nuôi	Vật liệu xây dựng			Chi phí của 1 đơn vị. đuôi tàu
	NHƯNG	TẠI	TỪ
Tôi	4	3	1	20
II	3	2	1	20
III	2	1	2	10

Để hiểu rõ vấn đề, bạn có thể hình dung rằng các chất NHƯNG, TẠI, TỪ- đây là chất béo, protein, carbohydrate, và các sản phẩm I, II, III là những gì gà được cho ăn, ví dụ, kê, thức ăn hỗn hợp, bổ sung vitamin. Sau đó, dòng đầu tiên của bảng hiển thị nội dung trong một đơn vị kê: 4 đơn vị. protein, 3 đơn vị. chất béo, một đơn vị cacbohydrat. Dòng thứ hai - hàm lượng protein, chất béo, carbohydrate trong 1 đơn vị. Sản phẩm II, v.v.
Nếu tuyên bố của bài toán là rõ ràng, chúng ta tiến hành xây dựng một mô hình toán học.
Như một câu trả lời cho nhiệm vụ, chúng ta phải đưa ra một chế độ ăn kiêng, nghĩa là, chỉ ra lượng thức ăn và loại thức ăn cần dùng để khối lượng bắt buộc các chất dinh dưỡng được đáp ứng và đồng thời chi phí càng ít càng tốt.
Do đó, chúng ta hãy biểu thị x 1 lượng loại tôi cho ăn trong chế độ ăn uống, mỗi x 2 - lượng thức ăn loại II và theo đó, x 3 - lượng thức ăn III trong khẩu phần. Sau đó, các chất NHƯNG khi ăn khẩu phần này, gà sẽ nhận được 4 x 1 - khi tiêu dùng sản phẩm loại I, 3 x 2 - khi tiêu thụ sản phẩm II, 2 x 3 - khi tiêu dùng III. Tổng chất NHƯNG Theo điều kiện của bài toán, cần sử dụng ít nhất 33 đơn vị, do đó 4 x 1 + 3x 2 + 2x 3 ≥ 33.
Lập luận tương tự với các chất TẠI và TỪ, chúng ta có:
3x 1 + 2x 2 + 1x 3 ≥ 23 và x 1 + x 2 + 2x 3 ≥ 12.
Do đó, chúng tôi nhận được một hệ thống các hạn chế:
(3.7)
Các biến không âm theo nghĩa của vấn đề. Trong trường hợp này, chi phí của khẩu phần ăn được biểu thị bằng hàm:
F = 20x 1 + 20x 2 + 10x 3 → tối thiểu, (3,8)
bởi vì 20, 20, 10 - chi phí của một đơn vị. sản phẩm I, II, III loại tương ứng, và chế độ ăn uống của họ chứa x 1 , x 2 , x 3 đơn vị.
Hệ thống các ràng buộc (3.7) cùng với hàm mục tiêu (3.8) tạo thành mô hình toán học vấn đề ban đầu. Để giải quyết nó có nghĩa là tìm x 1 , x 2 , x 3 thỏa mãn hệ thống các ràng buộc và đảo ngược giá trị của hàm Fở mức tối thiểu.

Bố trí các loại tàu dọc tuyến

Xây dựng phương án bố trí hai loại tàu dọc theo ba tuyến nhằm cung cấp tổng sức chở tối đa của đội tàu, nhưng không nhỏ hơn lưu lượng giao thông quy định trên tuyến.

Loại tàu	Năng suất tàu, triệu tấn dặm mỗi ngày			Thời gian hoạt động, ngày
	Dòng đầu tiên	Dòng thứ 2	Dòng thứ 3
1	tr 11	tr 12	tr 13	s 1
2	p21	p22	tr 23	s2
Khối lượng vận chuyển mục tiêu, triệu tấn-dặm	V 1	V 2	V 3

Mô hình kinh tế-toán học của bài toán.
Giới hạn thời gian hoạt động:
x 1 / p 11 + x 2 / p 12 + x 3 / p 13 ≤ s 1
x 4 / p 21 + x 5 / p 22 + x 6 / p 23 ≤ s 2

Hạn chế cung cấp:
s 1 x 1 + s 2 x 4 ≥ V 1
s 1 x 2 + s 2 x 5 ≥ V 2
s 1 x 3 + s 2 x 6 ≥ V 3

hàm mục tiêu
p 11 x 1 + p 12 x 2 + p 13 x 3 + p 21 x 4 + p 22 x 5 + p 23 x 6 → max

Câu hỏi để tự kiểm soát
1. Phát biểu bài toán giao thông vận tải. mô tả việc xây dựng một mô hình toán học.
2. Bài toán vận chuyển cân bằng và không cân bằng là gì?
3. Điều gì được tính trong hàm mục tiêu của nhiệm vụ vận tải?
4. Mỗi bất đẳng thức của hệ thống các ràng buộc của bài toán phương án phản ánh điều gì?
5. Mỗi bất đẳng thức của hệ thức của bài toán hỗn hợp phản ánh điều gì?
6. Các biến có ý nghĩa gì trong bài toán kế hoạch và bài toán hỗn hợp?