Σημειακή κινηματική.

1. Το μάθημα της θεωρητικής μηχανικής. Βασικές αφαιρέσεις.

Θεωρητική μηχανικήείναι μια επιστήμη στην οποία μελετώνται οι γενικοί νόμοι μηχανική κίνησηκαι μηχανική αλληλεπίδραση υλικών σωμάτων

Μηχανική κίνησηονομάζεται η κίνηση ενός σώματος σε σχέση με ένα άλλο σώμα, που συμβαίνει στο χώρο και στο χρόνο.

Μηχανική αλληλεπίδραση ονομάζεται μια τέτοια αλληλεπίδραση υλικών σωμάτων, η οποία αλλάζει τη φύση της μηχανικής τους κίνησης.

Στατική - Αυτός είναι ένας κλάδος της θεωρητικής μηχανικής, που μελετά μεθόδους μετατροπής συστημάτων δυνάμεων σε ισοδύναμα συστήματα και καθορίζει τις συνθήκες για την ισορροπία των δυνάμεων που εφαρμόζονται σε ένα στερεό σώμα.

Κινηματική - είναι ο κλάδος της θεωρητικής μηχανικής που ασχολείται με κίνηση των υλικών σωμάτων στο χώρο με γεωμετρικό σημείοόραμα, ανεξάρτητα από τις δυνάμεις που δρουν πάνω τους.

Δυναμική - Αυτός είναι ένας κλάδος της μηχανικής που μελετά την κίνηση των υλικών σωμάτων στο χώρο, ανάλογα με τις δυνάμεις που ασκούνται σε αυτά.

Αντικείμενα σπουδών σε θεωρητική μηχανική:

υλικό σημείο,

σύστημα υλικών σημείων,

Απόλυτα άκαμπτο σώμα.

Ο απόλυτος χώρος και ο απόλυτος χρόνος είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Απόλυτος χώρος - τρισδιάστατος, ομοιογενής, ακίνητος Ευκλείδειος χώρος. Απόλυτος χρόνος - ρέει από το παρελθόν στο μέλλον συνεχώς, είναι ομοιογενές, ίδιο σε όλα τα σημεία του χώρου και δεν εξαρτάται από την κίνηση της ύλης.

2. Το μάθημα της κινηματικής.

Κινηματική - είναι ο κλάδος της μηχανικής που ασχολείται με γεωμετρικές ιδιότητεςκίνηση των σωμάτων χωρίς να λαμβάνεται υπόψη η αδράνειά τους (δηλαδή η μάζα) και οι δυνάμεις που ασκούν πάνω τους

Για να προσδιοριστεί η θέση ενός κινούμενου σώματος (ή σημείου) με το σώμα σε σχέση με το οποίο μελετάται η κίνηση αυτού του σώματος, συνδέεται άκαμπτα κάποιο σύστημα συντεταγμένων, το οποίο μαζί με το σώμα σχηματίζει σύστημα αναφοράς.

Το κύριο καθήκον της κινηματικής είναι να, γνωρίζοντας το νόμο της κίνησης ενός δεδομένου σώματος (σημείου), να προσδιορίσουμε όλα τα κινηματικά μεγέθη που χαρακτηρίζουν την κίνησή του (ταχύτητα και επιτάχυνση).

3. Μέθοδοι προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου

· φυσικό τρόπο

Θα πρέπει να είναι γνωστό:

Σημειακή τροχιά κίνησης.

Έναρξη και κατεύθυνση της μέτρησης.

Ο νόμος της κίνησης ενός σημείου κατά μήκος μιας δεδομένης τροχιάς με τη μορφή (1.1)

· Μέθοδος συντεταγμένων

Οι εξισώσεις (1.2) είναι οι εξισώσεις κίνησης του σημείου Μ.

Η εξίσωση για την τροχιά του σημείου Μ μπορεί να ληφθεί εξαλείφοντας την παράμετρο χρόνου « t » από τις εξισώσεις (1.2)

· Διάνυσμα τρόπο

(1.3) Σχέση μεταξύ μεθόδων συντεταγμένων και διανυσμάτων για τον προσδιορισμό της κίνησης ενός σημείου (1.4)

Σύνδεση συντεταγμένων και φυσικών τρόπων προσδιορισμού της κίνησης ενός σημείου

Προσδιορίστε την τροχιά του σημείου, εξαιρουμένου του χρόνου από τις εξισώσεις (1.2).

-- βρείτε το νόμο της κίνησης ενός σημείου κατά μήκος μιας τροχιάς (χρησιμοποιήστε την έκφραση για το διαφορικό τόξου)

Μετά την ολοκλήρωση, λαμβάνουμε τον νόμο της κίνησης ενός σημείου κατά μήκος μιας δεδομένης τροχιάς:

Η σύνδεση μεταξύ των μεθόδων συντεταγμένων και διανυσμάτων για τον προσδιορισμό της κίνησης ενός σημείου προσδιορίζεται από την εξίσωση (1.4)

4. Προσδιορισμός της ταχύτητας ενός σημείου με τη διανυσματική μέθοδο προσδιορισμού της κίνησης.

Αφήστε τη στιγμήtη θέση του σημείου καθορίζεται από το διάνυσμα ακτίνας , και τη στιγμή του χρόνουt 1 – ακτίνα-διάνυσμα , στη συνέχεια για μια χρονική περίοδο το σημείο θα μετακινηθεί.

(1.5) μέση ταχύτητα σημείου, η κατεύθυνση του διανύσματος είναι ίδια με το διάνυσμα

Σημείο ταχύτητας μέσα αυτή τη στιγμήχρόνος

Για να πάρετε την ταχύτητα ενός σημείου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή, είναι απαραίτητο να κάνετε ένα πέρασμα στο όριο

(1.6)

(1.7)

Το διάνυσμα ταχύτητας ενός σημείου σε μια δεδομένη στιγμή είναι ίση με την πρώτη παράγωγο της ακτίνας-διανύσματος ως προς το χρόνο και κατευθύνεται εφαπτομενικά στην τροχιά σε ένα δεδομένο σημείο.

(μονάδα¾ m/s, km/h)

Διάνυσμα μέσης επιτάχυνσης έχει την ίδια κατεύθυνση με το διάνυσμαΔ v , δηλαδή κατευθυνόμενο προς την κοιλότητα της τροχιάς.

Διάνυσμα επιτάχυνσης ενός σημείου σε μια δεδομένη στιγμή είναι ίση με την πρώτη παράγωγο του διανύσματος της ταχύτητας ή τη δεύτερη παράγωγο του διανύσματος ακτίνας του σημείου ως προς το χρόνο.

(μονάδα - )

Πώς βρίσκεται το διάνυσμα σε σχέση με την τροχιά του σημείου;

Στο ευθύγραμμη κίνησητο διάνυσμα κατευθύνεται κατά μήκος της ευθείας γραμμής κατά μήκος της οποίας κινείται το σημείο. Εάν η τροχιά του σημείου είναι μια επίπεδη καμπύλη, τότε το διάνυσμα επιτάχυνσης , καθώς και το διάνυσμα cp, βρίσκεται στο επίπεδο αυτής της καμπύλης και κατευθύνεται προς την κοιλότητα της. Εάν η τροχιά δεν είναι μια επίπεδη καμπύλη, τότε το διάνυσμα cp θα κατευθύνεται προς την κοιλότητα της τροχιάς και θα βρίσκεται στο επίπεδο που διέρχεται από την εφαπτομένη της τροχιάς στο σημείοΜ και ευθεία παράλληλη στην εφαπτομένη σε διπλανό σημείοΜ 1 . ΣΤΟ όριο όταν το σημείοΜ 1 τείνει να Μ αυτό το επίπεδο καταλαμβάνει τη θέση του λεγόμενου συνεχόμενου επιπέδου. Επομένως, στη γενική περίπτωση, το διάνυσμα της επιτάχυνσης βρίσκεται στο συνεχόμενο επίπεδο και κατευθύνεται προς την κοιλότητα της καμπύλης.

V. I. Doront, V. V. Dubinin, M. M. Ilyin και άλλοι; Κάτω από το σύνολο εκδ. K. S. Kolesnikova "Μάθημα Θεωρητικής Μηχανικής: Ένα εγχειρίδιο για τα γυμνάσια" Εκδοτικός Οίκος του Κρατικού Τεχνικού Πανεπιστημίου της Μόσχας. N. E. Bauman, 2005, 736 σελίδες (7,17 mb. djvu)

Το σχολικό βιβλίο περιέχει ενότητες όπως: κινηματική, στατική, δυναμική σημείων, συμπαγές σώμακαι μηχανικό σύστημα. Εκτός από την αναλυτική μηχανική, τη θεωρία των ταλαντώσεων, τη θεωρία της κρούσης, μια εισαγωγή στη δυναμική των σωμάτων μεταβλητής μάζας, τα θεμέλια της ουράνιας μηχανικής. Όλες οι ενότητες συνοδεύονται από παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων. Η πορεία του σχολικού βιβλίου παρουσιάζεται σύμφωνα με την πορεία των διαλέξεων και σύμφωνα με το πρόγραμμα που διαβάζουν οι συγγραφείς στο Κρατικό Τεχνικό Πανεπιστήμιο της Μόσχας. N. E. Bauman.

Το βιβλίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως φροντιστήριογια φοιτητές μηχανικών πανεπιστημίων και τεχνικών πανεπιστημίων. Θα βοηθήσει μεταπτυχιακούς φοιτητές και καθηγητές στην προετοιμασία και διεξαγωγή διαλέξεων και μαθημάτων. Καθώς και ειδικοί που εργάζονται στον τομέα της εφαρμοσμένης στατικής και δυναμικής των μηχανολογικών συστημάτων, της μηχανολογίας και των οργάνων.
ISBN 5-7038-1695-5 (τόμος 1)
ISBN 5-7038-1371-9

Πρόλογος.

Το σχολικό βιβλίο είναι αποτέλεσμα πολλών ετών διδακτικές δραστηριότητεςσυγγραφείς στο MSTU. N. E. Bauman, που αποφοιτά μηχανικοί σχεδιασμού και ερευνητές που ειδικεύονται στον τομέα της μηχανολογίας και των οργάνων. Είχαν προηγηθεί εγχειρίδια που γράφτηκαν επίσης από τους πανεπιστημιακούς καθηγητές V. V. Dobronravov, A. L. Dvornikov, K. N. Nikitin, τα οποία ανατυπώθηκαν πολλές φορές και έπαιξαν μεγάλο ρόλο στη διδασκαλία των μαθητών.

Η μετάβαση στην πανεπιστημιακή εκπαίδευση μηχανικών απαιτούσε διεύρυνση του περιεχομένου του μαθήματος, πληρέστερη φυσική ερμηνεία ορισμένων θεμάτων και φυσική επιπλοκή των χρησιμοποιούμενων μαθηματική συσκευή. Για το σκοπό αυτό, στην ενότητα «Κινηματική» το κεφάλαιο « Γενική περίπτωσηκίνηση ενός άκαμπτου σώματος.

Η στατική δηλώνεται ως ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΤΜΗΜΑ, δεδομένου ότι θέματα όπως η αντοχή των υλικών, η θεωρία των μηχανισμών και η μηχανική των μηχανών, τα μέρη μηχανών, τα θέματα σχεδιασμού μηχανικής απαιτούν από τον μαθητή να έχει σαφή κατανόηση των τρόπων μετατροπής και μετάδοσης αλληλεπιδράσεων δύναμης στους μηχανισμούς μηχανών.

Έχουν γίνει σημαντικές προσθήκες στην ενότητα «Δυναμική». Εδώ εισάγονται αναπόσπαστες μεταβλητές αρχές, στοιχεία της ουράνιας μηχανικής. η θεωρία των ταλαντώσεων, η θεωρία της κρούσης και μερικά άλλα ερωτήματα εξηγούνται πληρέστερα.

Μερικές πληροφορίες από τη θεωρία των διανυσμάτων 9
Β. 1. Βαθμωτές και διανυσματικές ποσότητες. Μοναδιαία διανύσματα 9
ΣΤΟ 2. Διανυσματικές προβολές στον άξονα και στο επίπεδο 11
V.Z. Διανυσματικές συντεταγμένες. Αναλυτική προδιαγραφή του φορέα. Σημείο διάνυσμα ακτίνας 12
ΣΤΙΣ 4. Διάνυσμα πρόσθεση και αφαίρεση 14
ΣΤΙΣ 5. Διανυσματικός πολλαπλασιασμός 16
ΣΤΙΣ 6. Διανύσματα και πίνακες 24
ΣΤΙΣ 7. Σχέση μεταξύ διανυσματικών προβολών στους άξονες δύο ορθογώνιων συστημάτων συντεταγμένων 29
ΣΤΙΣ 8. διάνυσμα συνάρτησης. Διάνυσμα οδογράφημα. Διανυσματική διαφοροποίηση σε σχέση με βαθμωτό επιχείρημα 32

Ενότητα 1. ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ

Κεφάλαιο Ι Σημειακή κινηματική 39
1.1. Ταχύτητα σημείου 39
1.2. Σημείο επιτάχυνσης 41
1.3. Διανυσματικός τρόπος για να καθορίσετε την κίνηση ενός σημείου 44
1.4. Μέθοδος συντεταγμένωνΕργασίες κίνησης σημείων 44
1.5. φυσικό τρόποΕργασίες κίνησης σημείων 61

Κεφάλαιο 2 Οι απλούστερες κινήσεις ενός άκαμπτου σώματος 70
2.1. Βαθμοί ελευθερίας και θεώρημα προβολής ταχύτητας 70
2.2. Μεταγραφική κίνηση ενός άκαμπτου σώματος 73
2.3. Περιστροφή άκαμπτου σώματος γύρω από σταθερό άξονα 73

κεφάλαιο 3 Επίπεδη κίνηση άκαμπτου σώματος 85
3.1. Αποσύνθεση της επίπεδης κίνησης ενός άκαμπτου σώματος σε μεταφορικές και περιστροφικές κινήσεις 85
3.2. Εξισώσεις κίνησης, γωνιακής ταχύτητας και γωνιώδης επιτάχυνσηάκαμπτο σώμα σε κίνηση επιπέδου 87
3.3. Ταχύτητες σημείων του σώματος κατά την επίπεδη κίνηση 89
3.4. Instant Speed ​​Center 90
3.5. Στιγμιαίο κέντρο περιστροφής. Centroids 94
3.6. Υπολογισμός της γωνιακής ταχύτητας ενός άκαμπτου σώματος σε επίπεδη κίνηση
3.7. Επιταχύνσεις σημείων του σώματος κατά την επίπεδη κίνηση 98
3.8. Κέντρο στιγμιαίας επιτάχυνσης 102
3.9. Μέθοδοι υπολογισμού της γωνιακής επιτάχυνσης ενός σώματος σε επίπεδη κίνηση 106

Κεφάλαιο 4 Περιστροφή ενός άκαμπτου σώματος γύρω σταθερό σημείο 110
4.1. Αριθμός βαθμών ελευθερίας. Γωνίες Euler. Εξισώσεις περιστροφής 110
4.2. Πίνακας συνημιτόνων κατεύθυνσης. Σημείο σώματος τροχιά 114
4.3. Στιγμιαίος άξονας περιστροφής. Axoids 116
4.4. Στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση 119
4.5. Ταχύτητες των σημείων του σώματος. Κινηματικές εξισώσεις Euler 122
4.6. Επιταχύνσεις σημείων σώματος 128
4.7. γωνιακή επιτάχυνση του σώματος 130

Κεφάλαιο 5 Γενική περίπτωση άκαμπτης κίνησης σώματος 134
5.1. Αριθμός βαθμών ελευθερίας. Γενικευμένες συντεταγμένες. Εξισώσεις κίνησης 134
5.2. Τροχιά αυθαίρετο σημείοσώμα 139
5.3. Ταχύτητα αυθαίρετου σημείου του σώματος 140
5.4. Επιτάχυνση ενός αυθαίρετου σημείου ενός σώματος 141

Κεφάλαιο 6 Σύνθετη κίνηση σημείου 143
6.1. Σχετική, μεταφραστική και απόλυτη κίνηση σημείου 143
6.2. Απόλυτες και σχετικές παράγωγοι ενός διανύσματος. Boer Formula 145
6.3. Θεώρημα πρόσθεσης ταχύτητας 148
6.4. Το θεώρημα για την προσθήκη επιταχύνσεων, ή το κινηματικό θεώρημα Coriolis. Επιτάχυνση Coriolis 150
6.5. Προσθήκη επιταχύνσεων σε ειδικές περιπτώσεις φορητής κίνησης 153

Κεφάλαιο 7 Σύνθετη κίνηση ενός άκαμπτου σώματος 162
7.1. Το θεώρημα για την προσθήκη γωνιακών ταχυτήτων στο σύνθετη κίνησησυμπαγές σώμα 162
7.2. Προσθήκη περιστροφών γύρω από τεμνόμενους άξονες 164
7.3. Προσθήκη περιστροφών γύρω από παράλληλους άξονες. Pararotation 165
7.4. Η προσθήκη μεταφραστικών κινήσεων 168
7.5. Προσθήκη μεταφραστικής και περιστροφικές κινήσεις 169

Ενότητα 2. ΣΤΑΤΙΚΗ

Κεφάλαιο 8 Αξιώματα και βασικές αρχές της στατικής 173
8.1. Αξιώματα της στατικής 174
8.2. Οι κύριοι τύποι δεσμών και οι αντιδράσεις τους 177
83. Σύστημα συγκλίνουσες δυνάμεις 181
8.4. Ροπή δύναμης γύρω από ένα σημείο και γύρω από έναν άξονα 189
8.5. Προσθήκη παράλληλων δυνάμεων. Ζεύγος ισχύος 196
8.6. Φέρνοντας το σύστημα δυνάμεων σε το απλούστερο σύστημα 204

Κεφάλαιο 9 Σωματική ισορροπία 214
9.1. Προϋποθέσεις για την ισορροπία ενός συστήματος δυνάμεων 214
9.2. Ισορροπία συστήματος σωμάτων 222
9.3. Ορισμός εσωτερικών δυνάμεων 225
9.4. Στατιστικά καθορισμένα και στατικά απροσδιόριστα συστήματα σωμάτων 227
9.5. Υπολογισμός επίπεδων ζευκτών 228
9.6. Κατανεμημένες Δυνάμεις 229

Κεφάλαιο 10 Τριβή 236
10.1. Νόμοι της τριβής ολίσθησης 236
10.2. Αντιδράσεις τραχιάς επιφάνειας. Γωνία τριβής 237
10.3. Ρολό σύζευξης 238
10.4. Ισορροπία σώματος παρουσία τριβής. Κώνος τριβής 239

Κεφάλαιο 11 Κέντρο βαρύτητας 248
11.1. Σύστημα κέντρου παράλληλης δύναμης 248
11.2. Κέντρο βάρους άκαμπτου σώματος 251
11.3. Μέθοδοι προσδιορισμού των συντεταγμένων των κέντρων βάρους των σωμάτων 253

Κεφάλαιο 12 Ισορροπία εύκαμπτου και μη εκτατού νήματος 260
12.1. Διαφορικές Εξισώσεις Ισορροπίας Νήματος 260
12.2. Ειδικές περιπτώσεις εξωτερικές δυνάμεις 263
12.3. Γραμμή αλυσίδας 265

Ενότητα 3. ΔΥΝΑΜΙΚΗ

Κεφάλαιο 13 Υλικό Σημείο Δυναμική 271
13.1. Axioms of Dynamics 271
13.2. Διαφορικές εξισώσεις κίνησης υλικού σημείου 273
13.3. Δύο κύριες εργασίες της δυναμικής ενός υλικού σημείου 275
13.4. Μετακίνηση μη ελεύθερου υλικού σημείο 280
13.5. Σχετική δυναμική κίνησης 288
13.6. Ισορροπία και κίνηση υλικού σημείου σε σχέση με τη Γη 293

Κεφάλαιο 14 Γεωμετρία μάζας 298
14.1. Κέντρο βάρους του μηχανικού συστήματος 298
14.2. Ροπές αδράνειας 301
14.3. Εξάρτηση ροπών αδράνειας για παράλληλους άξονες (θεώρημα Huygens-Steiner) 304
14.4. Ροπές αδράνειας ομοιογενών σωμάτων 305
14.5. Ροπές αδράνειας ομοιογενών σωμάτων περιστροφής 310
14.6. Ροπή αδράνειας ως προς έναν άξονα που διέρχεται δεδομένο σημείο 315
14.7. Ελλειψοειδές αδράνειας. Κύριοι άξονες αδράνειας 318
14.8. Ιδιότητες των κύριων αξόνων αδράνειας ενός σώματος 321
14.9. Προσδιορισμός της κατεύθυνσης των κύριων αξόνων αδράνειας 326

Κεφάλαιο 13 Γενικά θεωρήματα δυναμικής 331
13.1. μηχανικό σύστημα. Εξωτερική και εσωτερικές δυνάμεις 331
15.2. Διαφορικές εξισώσεις κίνησης ενός μηχανικού συστήματος 334
15.3. Το θεώρημα για την κίνηση του κέντρου μάζας ενός μηχανικού συστήματος 335
15.4. Θεώρημα αλλαγής ορμής 342
15.5. Το θεώρημα για τη μεταβολή της γωνιακής ορμής ενός υλικού σημείου. Το θεώρημα για τη μεταβολή της κύριας ροπής ορμής ενός μηχανικού συστήματος 353
15.6. Θεώρημα αλλαγής κινητική ενέργεια 382
15.7. Δυνητικό Πεδίο Δύναμης 400
15.8. Παραδείγματα χρήσης γενικά θεωρήματαηχεία 412

Κεφάλαιο 16 Rigid Body Dynamics 424
16.1. Μεταγραφική κίνηση άκαμπτου σώματος. Περιστροφή άκαμπτου σώματος γύρω από σταθερό άξονα. Επίπεδη κίνηση ενός άκαμπτου σώματος 424
16.2. Σφαιρική κίνηση άκαμπτου σώματος 436
16.3. Γενική περίπτωση κίνησης άκαμπτου σώματος 465

Κεφάλαιο 17 Αρχή d'Alembert. Αντιδράσεις δυναμικής σύνδεσης 469
17.1. Αρχή d'Alembert. Δύναμη αδράνειας 469
17.2. Η αρχή του d'Alembert για ένα μηχανικό σύστημα 471
17.3. Κύριο διάνυσμα και κύριο σημείοδυνάμεις αδράνειας 473
17.4. Δυναμικές αντιδράσεις στηρίξεων 475
17.5. Στατική και δυναμική ισορροπία ενός άκαμπτου σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα 482
17.6. Ρότορες εξισορρόπησης 487

Κεφάλαιο 18 Βασικά αναλυτική μηχανική 493
18.1. Βασικές έννοιες 493
18.2. Πιθανή εργασίαδύναμη. Τέλειες συνδέσεις 504
18.3. Γενικευμένες δυνάμεις 507
18.4. Διαφορικές αρχές αναλυτικής μηχανικής 513
18.5. Η εξίσωση Lagrange του δεύτερου είδους 527
18.6. Ολοκληρωμένες μεταβλητές αρχές της μηχανικής 536

Κεφάλαιο 19 Θεωρία ταλαντώσεων 555
19.1. Σταθερότητα της θέσης ισορροπίας ενός μηχανικού συστήματος 555
19.2. Διαφορικές εξισώσεις μικρών ταλαντώσεων γραμμικού συστήματος με ένα βαθμό ελευθερίας 559
19.3. ελεύθερες κινήσειςγραμμικό σύστημα με έναν βαθμό ελευθερίας 568
19.4. Αναγκαστικοί κραδασμοίγραμμικό σύστημα με έναν βαθμό ελευθερίας 582
19.5. Βασικές αρχές της θεωρίας των οργάνων εγγραφής 607
19.6. Βασικές αρχές της αντικραδασμικής προστασίας 612
19.7. Διαφορικές εξισώσεις μικρών ταλαντώσεων γραμμικού συστήματος με πεπερασμένος αριθμόςβαθμοί ελευθερίας 615
19.8. Δωρεάν δονήσειςγραμμικό συντηρητικό σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας 625
19.9. Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις γραμμικού συστήματος με δύο βαθμούς ελευθερίας υπό αρμονική διέγερση.
Δυναμικός αποσβεστήρας κραδασμών 637
19.10. διακυμάνσεις γραμμικά συστήματαμε πεπερασμένο αριθμό βαθμών ελευθερίας 645

Κεφάλαιο 20 θεωρία επιπτώσεων 653
20.1. Βασικές έννοιες και παραδοχές. Impact Model 653
20.2. Θεωρήματα για τη μεταβολή της ορμής και για την κίνηση του κέντρου μάζας του συστήματος κατά την κρούση 658
20.3. Θεώρημα για τη μεταβολή της κύριας ροπής της ορμής του συστήματος κατά την κρούση 660
20.4. Συντελεστής ανάκτησης 662
20.5. Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση. Θεώρημα Carnot 664
20.6. Ένα χτύπημα σε ένα άκρο που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα. Κέντρο κρούσης 672
20.7. Κρούση σε άκαμπτο σώμα με σταθερό σημείο. Κέντρο κρούσης. Δωρεάν Solid Strike 677
20.8.0 δεσμοί στον αντίκτυπο. Γενική εξίσωση της μηχανικής 679
20.9 Η εξίσωση Lagrange του δεύτερου είδους στην κρούση σε ένα μηχανικό σύστημα 682
20.10. Δύο κρούσεις στο σώμα κίνηση προς τα εμπρός. Αναλογίες ενέργειας 684
20.11. Κρούση υλικού σημείου σε σταθερή τραχιά επιφάνεια 691
20.12. Χτυπώντας δύο μπάλες. Hertz Model 699

Κεφάλαιο 21 Εισαγωγή στη δυναμική σωμάτων μεταβλητής μάζας 705
21.1. Βασικές έννοιες και παραδοχές 705
21.2. Γενικευμένη εξίσωση Meshchersky, αντιδραστικές δυνάμεις 707
21.3. Ειδικές περιπτώσεις της εξίσωσης Meshchersky 709
21.4. Μερικοί κλασικά προβλήματαΔυναμική σημείου μεταβλητής μάζας 712

Κεφάλαιο 22 Βασικές αρχές της Ουράνιας Μηχανικής 717
22.1. Τύποι Binet 717.
22.2. Νόμος βαρύτητα. Νόμοι του Κέπλερ 720
22.3. Ενεργειακή ταξινόμηση τροχιών 723
22.4. Τροχιακή κίνηση ενός σημείου 725
22.5. Πρόβλημα δύο σωμάτων 727
22.6.0 το πρόβλημα του ν-σώματος και άλλα προβλήματα της ουράνιας μηχανικής 729

Κατεβάστε το βιβλίο δωρεάν 7,17 mb. djvu

Μέσα σε οποιαδήποτε εκπαιδευτικό πρόγραμμαΗ μελέτη της φυσικής ξεκινά με τη μηχανική. Όχι από θεωρητική, όχι από εφαρμοσμένη και όχι υπολογιστική, αλλά από παλιά καλή κλασική μηχανική. Αυτή η μηχανική ονομάζεται επίσης Νευτώνεια μηχανική. Σύμφωνα με το μύθο, ο επιστήμονας περπατούσε στον κήπο, είδε ένα μήλο να πέφτει και ήταν αυτό το φαινόμενο που τον ώθησε να ανακαλύψει τον νόμο της παγκόσμιας βαρύτητας. Φυσικά, ο νόμος υπήρχε πάντα, και ο Νεύτων του έδωσε μόνο μια μορφή κατανοητή στους ανθρώπους, αλλά η αξία του είναι ανεκτίμητη. Σε αυτό το άρθρο, δεν θα περιγράψουμε τους νόμους της Νευτώνειας μηχανικής όσο το δυνατόν λεπτομερέστερα, αλλά θα περιγράψουμε τα βασικά, ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ, ορισμούς και φόρμουλες που μπορούν πάντα να παίζουν στα χέρια σας.

Η μηχανική είναι κλάδος της φυσικής, μια επιστήμη που μελετά την κίνηση των υλικών σωμάτων και τις αλληλεπιδράσεις μεταξύ τους.

Η ίδια η λέξη έχει Ελληνικής καταγωγήςκαι μεταφράζεται ως «η τέχνη της κατασκευής μηχανών». Αλλά πριν κατασκευάσουμε μηχανές, έχουμε ακόμα πολύ δρόμο μπροστά μας, οπότε ας ακολουθήσουμε τα βήματα των προγόνων μας και θα μελετήσουμε την κίνηση των λίθων που ρίχνονται υπό γωνία προς τον ορίζοντα και των μήλων που πέφτουν στα κεφάλια από ύψος h.

Γιατί η μελέτη της φυσικής ξεκινά με τη μηχανική; Επειδή είναι απολύτως φυσικό, να μην το ξεκινάς από τη θερμοδυναμική ισορροπία;!

Η μηχανική είναι μια από τις παλαιότερες επιστήμες και ιστορικά η μελέτη της φυσικής ξεκίνησε ακριβώς με τα θεμέλια της μηχανικής. Τοποθετημένοι στο πλαίσιο του χρόνου και του χώρου, οι άνθρωποι, στην πραγματικότητα, δεν μπορούσαν να ξεκινήσουν από κάτι άλλο, όσο κι αν το ήθελαν. Τα κινούμενα σώματα είναι το πρώτο πράγμα που προσέχουμε.

Τι είναι η κίνηση;

Η μηχανική κίνηση είναι μια αλλαγή στη θέση των σωμάτων στο χώρο σε σχέση μεταξύ τους με την πάροδο του χρόνου.

Μετά από αυτόν τον ορισμό φτάνουμε φυσικά στην έννοια του πλαισίου αναφοράς. Αλλαγή της θέσης των σωμάτων στο διάστημα μεταξύ τους. Λέξεις-κλειδιάεδώ: σε σχέση μεταξύ τους . Εξάλλου, ένας επιβάτης σε ένα αυτοκίνητο κινείται σε σχέση με ένα άτομο που στέκεται στην άκρη του δρόμου με συγκεκριμένη ταχύτητα, και ξεκουράζεται σε σχέση με τον γείτονά του σε ένα κοντινό κάθισμα και κινείται με κάποια άλλη ταχύτητα σε σχέση με έναν επιβάτη σε ένα αυτοκίνητο που τους προσπερνά.

Γι' αυτό, για να μετρήσουμε κανονικά τις παραμέτρους των κινούμενων αντικειμένων και να μην μπερδευόμαστε, χρειαζόμαστε σύστημα αναφοράς - άκαμπτα διασυνδεδεμένο σώμα αναφοράς, σύστημα συντεταγμένων και ρολόι. Για παράδειγμα, η γη κινείται γύρω από τον ήλιο σε ένα ηλιοκεντρικό πλαίσιο αναφοράς. Στην καθημερινή ζωή, πραγματοποιούμε σχεδόν όλες τις μετρήσεις μας σε ένα γεωκεντρικό σύστημα αναφοράς που σχετίζεται με τη Γη. Η γη είναι ένα σώμα αναφοράς σε σχέση με το οποίο κινούνται αυτοκίνητα, αεροπλάνα, άνθρωποι, ζώα.

Η μηχανική, ως επιστήμη, έχει το δικό της έργο. Το καθήκον της μηχανικής είναι να γνωρίζει τη θέση του σώματος στο χώρο ανά πάσα στιγμή. Με άλλα λόγια, η μηχανική χτίζει μαθηματική περιγραφήκινήσεις και βρείτε συνδέσεις μεταξύ φυσικές ποσότητεςχαρακτηρίζοντάς το.

Για να προχωρήσουμε περαιτέρω, χρειαζόμαστε την έννοια του « υλικό σημείο ". Λένε φυσική ακριβής επιστήμη, αλλά οι φυσικοί γνωρίζουν πόσες προσεγγίσεις και υποθέσεις πρέπει να γίνουν για να συμφωνήσουν σε αυτήν ακριβώς την ακρίβεια. Κανείς δεν έχει δει ποτέ υλικό σημείο ούτε μύρισε ιδανικό αέριοαλλά είναι! Απλώς είναι πολύ πιο εύκολο να ζεις μαζί τους.

Ένα υλικό σημείο είναι ένα σώμα του οποίου το μέγεθος και το σχήμα μπορούν να παραμεληθούν στο πλαίσιο αυτού του προβλήματος.

Τομές κλασικής μηχανικής

Η μηχανική αποτελείται από πολλά τμήματα

• Κινηματική
• Δυναμική
• Στατική

Κινηματικήαπό φυσική άποψη, μελετά πώς ακριβώς κινείται το σώμα. Με άλλα λόγια, αυτή η ενότητα πραγματεύεται ποσοτικά χαρακτηριστικάκίνηση. Βρείτε ταχύτητα, μονοπάτι - τυπικές εργασίεςκινηματική

Δυναμικήλύνει το ερώτημα γιατί κινείται με τον τρόπο που κινείται. Δηλαδή, θεωρεί τις δυνάμεις που δρουν στο σώμα.

Στατικήμελετά την ισορροπία των σωμάτων υπό τη δράση δυνάμεων, απαντά δηλαδή στο ερώτημα: γιατί δεν πέφτει καθόλου;

Όρια εφαρμογής της κλασικής μηχανικής.

Η κλασική μηχανική δεν ισχυρίζεται πλέον ότι είναι μια επιστήμη που εξηγεί τα πάντα (στις αρχές του περασμένου αιώνα όλα ήταν εντελώς διαφορετικά) και έχει ένα σαφές πεδίο εφαρμογής. Γενικά, οι νόμοι της κλασικής μηχανικής ισχύουν για τον οικείο σε εμάς κόσμο ως προς το μέγεθος (macroworld). Σταματούν να λειτουργούν στην περίπτωση του κόσμου των σωματιδίων, όταν ο κλασικός αντικαθίσταται από κβαντική μηχανική. Επίσης, η κλασική μηχανική είναι ανεφάρμοστη σε περιπτώσεις που η κίνηση των σωμάτων γίνεται με ταχύτητα κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Σε τέτοιες περιπτώσεις, τα σχετικιστικά φαινόμενα γίνονται έντονα. Σε γενικές γραμμές, εντός του κβαντικού και σχετικιστική μηχανικήείναι η κλασική μηχανική ειδική περίπτωσηόταν οι διαστάσεις του σώματος είναι μεγάλες και η ταχύτητα μικρή. Μπορείτε να μάθετε περισσότερα για αυτό από το άρθρο μας.

Σε γενικές γραμμές, τα κβαντικά και τα σχετικιστικά φαινόμενα δεν εξαφανίζονται ποτέ, αλλά λαμβάνουν χώρα κατά τη συνήθη κίνηση των μακροσκοπικών σωμάτων με πολύ μεγάλη ταχύτητα χαμηλότερη ταχύτηταΣβέτα. Ένα άλλο πράγμα είναι ότι η δράση αυτών των επιδράσεων είναι τόσο μικρή που δεν υπερβαίνει τις πιο ακριβείς μετρήσεις. Έτσι, η κλασική μηχανική δεν θα χάσει ποτέ τη θεμελιώδη σημασία της.

Θα συνεχίσουμε να μελετάμε φυσικά θεμέλιαμηχανική στα ακόλουθα άρθρα. Για καλύτερη κατανόησημηχανικούς στους οποίους μπορείτε πάντα να απευθυνθείτε, οι οποίοι μεμονωμένα ρίχνουν φως στο σκοτεινό σημείο του πιο δύσκολου έργου.

Στατική- Αυτός είναι ένας κλάδος της θεωρητικής μηχανικής, που μελετά τις συνθήκες για την ισορροπία των υλικών σωμάτων υπό την επίδραση δυνάμεων.

Κάτω από την κατάσταση ισορροπίας, στη στατική, νοείται η κατάσταση στην οποία όλα τα μέρη του μηχανικού συστήματος βρίσκονται σε ηρεμία (σε σχέση με το σταθερό σύστημα συντεταγμένων). Αν και οι μέθοδοι της στατικής είναι εφαρμόσιμες σε κινούμενα σώματα και με τη βοήθειά τους είναι δυνατό να μελετηθούν τα προβλήματα της δυναμικής, αλλά τα βασικά αντικείμενα μελέτης της στατικής είναι ακίνητα μηχανικά σώματακαι συστήματα.

Δύναμηείναι το μέτρο της επίδρασης ενός σώματος σε ένα άλλο. Η δύναμη είναι ένα διάνυσμα που έχει ένα σημείο εφαρμογής στην επιφάνεια του σώματος. Κάτω από τη δύναμη ελεύθερο σώμαδέχεται επιτάχυνση ανάλογη με το διάνυσμα δύναμης και αντιστρόφως ανάλογη με τη μάζα του σώματος.

Ο νόμος της ισότητας δράσης και αντίδρασης

Η δύναμη με την οποία το πρώτο σώμα δρα στο δεύτερο είναι απόλυτη τιμήκαι είναι αντίθετη ως προς τη δύναμη με την οποία το δεύτερο σώμα δρα στο πρώτο.

Αρχή σκλήρυνσης

Εάν το παραμορφώσιμο σώμα βρίσκεται σε ισορροπία, τότε η ισορροπία του δεν θα διαταραχθεί εάν το σώμα θεωρείται απολύτως άκαμπτο.

Στατική σημείων υλικού

Σκεφτείτε υλικό σημείοπου βρίσκεται σε ισορροπία. Και έστω n δυνάμεις που δρουν πάνω του, k = 1, 2, ..., n.

Εάν το υλικό σημείο βρίσκεται σε ισορροπία, τότε το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται σε αυτό είναι ίσο με μηδέν:
(1) .

Σε ισορροπία γεωμετρικό άθροισμαοι δυνάμεις που δρουν σε ένα σημείο είναι μηδέν.

Γεωμετρική ερμηνεία. Εάν η αρχή του δεύτερου διανύσματος τοποθετηθεί στο τέλος του πρώτου διανύσματος και η αρχή του τρίτου στο τέλος του δεύτερου διανύσματος, και στη συνέχεια αυτή η διαδικασία συνεχιστεί, τότε το τέλος του τελευταίου, ντος διανύσματος θα να συνδυαστεί με την αρχή του πρώτου διανύσματος. Δηλαδή, παίρνουμε ένα κλειστό γεωμετρικό σχήμα, τα μήκη των πλευρών του οποίου είναι ίσα με τις μονάδες των διανυσμάτων. Αν όλα τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε παίρνουμε ένα κλειστό πολύγωνο.

Συχνά είναι βολικό να επιλέξετε ορθογώνιο σύστημασυντεταγμένες Oxyz. Τότε τα αθροίσματα των προβολών όλων των διανυσμάτων δύναμης στους άξονες συντεταγμένων είναι ίσα με μηδέν:

Εάν επιλέξετε οποιαδήποτε κατεύθυνση που ορίζεται από κάποιο διάνυσμα, τότε το άθροισμα των προβολών των διανυσμάτων δύναμης σε αυτήν την κατεύθυνση είναι ίσο με μηδέν:
.
Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση (1) κλιμακωτά με το διάνυσμα:
.
Εδώ - κλιμακωτό προϊόνφορείς και .
Σημειώστε ότι η προβολή ενός διανύσματος στην κατεύθυνση του διανύσματος καθορίζεται από τον τύπο:
.

Στατική άκαμπτο σώμα

Ροπή δύναμης για ένα σημείο

Προσδιορισμός της στιγμής της δύναμης

Στιγμή δύναμης, που εφαρμόζεται στο σώμα στο σημείο Α, σε σχέση με το σταθερό κέντρο Ο, ονομάζεται διάνυσμα ίσο με το διανυσματικό γινόμενο των διανυσμάτων και:
(2) .

Γεωμετρική ερμηνεία

Στιγμή δύναμης είναι ίσο με το γινόμενοδύναμη F στον βραχίονα OH.

Αφήστε τα διανύσματα και να βρίσκονται στο επίπεδο του σχήματος. Σύμφωνα με την ιδιότητα του εγκάρσιου γινομένου, το διάνυσμα είναι κάθετο στα διανύσματα και, δηλαδή, κάθετο στο επίπεδο του σχήματος. Η κατεύθυνσή του καθορίζεται από τον κανόνα της σωστής βίδας. Στο σχήμα, το διάνυσμα της στιγμής κατευθύνεται προς εμάς. Απόλυτη τιμήστιγμή:
.
Από τότε
(3) .

Χρησιμοποιώντας τη γεωμετρία, μπορεί κανείς να δώσει μια άλλη ερμηνεία της στιγμής της δύναμης. Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή AH μέσω του διανύσματος δύναμης . Από το κέντρο Ο ρίχνουμε την κάθετη ΟΗ σε αυτή την ευθεία. Το μήκος αυτής της καθέτου λέγεται ώμο δύναμης. Τότε
(4) .
Επειδή , οι τύποι (3) και (4) είναι ισοδύναμοι.

Ετσι, απόλυτη τιμή της ροπής δύναμηςσε σχέση με το κέντρο Ο είναι προϊόν δύναμης στον ώμοαυτή η δύναμη σε σχέση με το επιλεγμένο κέντρο Ο .

Κατά τον υπολογισμό της ροπής, είναι συχνά βολικό να αποσυντεθεί η δύναμη σε δύο συνιστώσες:
,
που . Η δύναμη διέρχεται από το σημείο Ο. Επομένως, η ορμή του είναι μηδέν. Τότε
.
Η απόλυτη αξία της στιγμής:
.

Συνιστώσες ροπής σε ορθογώνιες συντεταγμένες

Εάν επιλέξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Oxyz με κέντρο στο σημείο Ο, τότε η ροπή της δύναμης θα έχει τις ακόλουθες συνιστώσες:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) .
Ακολουθούν οι συντεταγμένες του σημείου Α στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων:
.
Οι συνιστώσες είναι οι τιμές της ροπής δύναμης γύρω από τους άξονες, αντίστοιχα.

Ιδιότητες της ροπής δύναμης γύρω από το κέντρο

Η ροπή γύρω από το κέντρο Ο, από τη δύναμη που διέρχεται από αυτό το κέντρο, είναι ίση με μηδέν.

Εάν το σημείο εφαρμογής της δύναμης μετακινηθεί κατά μήκος μιας γραμμής που διέρχεται από το διάνυσμα της δύναμης, τότε η στιγμή, κατά τη διάρκεια μιας τέτοιας κίνησης, δεν θα αλλάξει.

Η ροπή από το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που ασκούνται σε ένα σημείο του σώματος είναι ίση με το διανυσματικό άθροισμα των ροπών από καθεμία από τις δυνάμεις που ασκούνται στο ίδιο σημείο:
.

Το ίδιο ισχύει για δυνάμεις των οποίων οι γραμμές προέκτασης τέμνονται σε ένα σημείο. Στην περίπτωση αυτή, ως σημείο εφαρμογής δυνάμεων θα πρέπει να λαμβάνεται το σημείο τομής τους.

Αν το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων είναι μηδέν:
,
τότε το άθροισμα των ροπών από αυτές τις δυνάμεις δεν εξαρτάται από τη θέση του κέντρου, σε σχέση με την οποία υπολογίζονται οι ροπές:
.

Δυνατό ζευγάρι

Δυνατό ζευγάριείναι δύο δυνάμεις, ίσες σε απόλυτη τιμή και με αντίθετες κατευθύνσεις, που εφαρμόζονται διαφορετικά σημείασώμα.

Ένα ζεύγος δυνάμεων χαρακτηρίζεται από τη στιγμή που δημιουργεί. Εφόσον το διανυσματικό άθροισμα των δυνάμεων που περιλαμβάνονται στο ζεύγος είναι μηδέν, η ροπή που δημιουργείται από το ζεύγος δεν εξαρτάται από το σημείο στο οποίο υπολογίζεται η ροπή. Από την άποψη της στατικής ισορροπίας, η φύση των δυνάμεων στο ζεύγος είναι άσχετη. Ένα ζεύγος δυνάμεων χρησιμοποιείται για να δείξει ότι μια στιγμή δυνάμεων δρα στο σώμα, έχοντας ορισμένη αξία.

Ροπή δύναμης γύρω από έναν δεδομένο άξονα

Συχνά υπάρχουν περιπτώσεις που δεν χρειάζεται να γνωρίζουμε όλες τις συνιστώσες της ροπής δύναμης για ένα επιλεγμένο σημείο, αλλά χρειάζεται να γνωρίζουμε μόνο τη στιγμή της δύναμης γύρω από έναν επιλεγμένο άξονα.

Η ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα που διέρχεται από το σημείο Ο είναι η προβολή του διανύσματος της ροπής δύναμης, γύρω από το σημείο Ο, στην κατεύθυνση του άξονα.

Ιδιότητες της ροπής δύναμης γύρω από έναν άξονα

Η ροπή γύρω από τον άξονα από τη δύναμη που διέρχεται από αυτόν τον άξονα είναι ίση με μηδέν.

Η ροπή γύρω από έναν άξονα από μια δύναμη παράλληλη προς αυτόν τον άξονα είναι μηδέν.

Υπολογισμός της ροπής δύναμης γύρω από έναν άξονα

Αφήστε μια δύναμη να ενεργήσει στο σώμα στο σημείο Α. Ας βρούμε τη ροπή αυτής της δύναμης σε σχέση με τον άξονα O′O′′.

Ας φτιάξουμε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Αφήστε τον άξονα του Oz να συμπίπτει με το O′O′′ . Από το σημείο Α ρίχνουμε την κάθετη ΟΗ στην Ο′Ο′′ . Μέσα από τα σημεία Ο και Α σχεδιάζουμε τον άξονα Οξ. Σχεδιάζουμε τον άξονα Oy κάθετο στο Ox και το Oz. Αποσυνθέτουμε τη δύναμη σε συνιστώσες κατά μήκος των αξόνων του συστήματος συντεταγμένων:
.
Η δύναμη διασχίζει τον άξονα O′O′′. Επομένως, η ορμή του είναι μηδέν. Η δύναμη είναι παράλληλη προς τον άξονα O'O′′. Επομένως, η ροπή του είναι επίσης μηδέν. Με τον τύπο (5.3) βρίσκουμε:
.

Σημειώστε ότι η συνιστώσα κατευθύνεται εφαπτομενικά στον κύκλο του οποίου το κέντρο είναι το σημείο Ο . Η κατεύθυνση του διανύσματος καθορίζεται από τον κανόνα της δεξιάς βίδας.

Συνθήκες ισορροπίας για ένα άκαμπτο σώμα

Σε κατάσταση ισορροπίας, το διανυσματικό άθροισμα όλων των δυνάμεων που δρουν στο σώμα είναι ίσο με μηδέν και το διανυσματικό άθροισμα των ροπών αυτών των δυνάμεων σε σχέση με ένα αυθαίρετο σταθερό κέντρο είναι ίσο με μηδέν:
(6.1) ;
(6.2) .

Τονίζουμε ότι το κέντρο O , σε σχέση με το οποίο υπολογίζονται οι ροπές των δυνάμεων, μπορεί να επιλεγεί αυθαίρετα. Το σημείο Ο μπορεί είτε να ανήκει στο σώμα είτε να βρίσκεται έξω από αυτό. Συνήθως το κέντρο Ο επιλέγεται για να διευκολύνει τους υπολογισμούς.

Οι συνθήκες ισορροπίας μπορούν να διατυπωθούν με άλλο τρόπο.

Σε ισορροπία, το άθροισμα των προβολών των δυνάμεων σε οποιαδήποτε κατεύθυνση δίνεται από αυθαίρετο διάνυσμα, ισούται με μηδέν:
.
Το άθροισμα των ροπών δυνάμεων γύρω από έναν αυθαίρετο άξονα O′O′′ ισούται επίσης με μηδέν:
.

Μερικές φορές αυτές οι συνθήκες είναι πιο βολικές. Υπάρχουν φορές που, επιλέγοντας άξονες, οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν πιο απλοί.

Κέντρο βάρους του σώματος

Σκεφτείτε ένα από τα οι πιο σημαντικές δυνάμεις- βαρύτητα. Εδώ δεν εφαρμόζονται δυνάμεις ορισμένα σημείασώμα, αλλά κατανέμονται συνεχώς στον όγκο του. Για κάθε μέρος του σώματος με απειροελάχιστο όγκο ∆V, δρα η βαρυτική δύναμη. Εδώ ρ είναι η πυκνότητα της ύλης του σώματος, είναι η επιτάχυνση ελεύθερη πτώση.

Έστω η μάζα ενός απείρως μικρού μέρους του σώματος. Και έστω το σημείο A k ορίζει τη θέση αυτής της ενότητας. Ας βρούμε τα μεγέθη που σχετίζονται με τη δύναμη της βαρύτητας, τα οποία περιλαμβάνονται στις εξισώσεις ισορροπίας (6).

Ας βρούμε το άθροισμα των δυνάμεων της βαρύτητας που σχηματίζονται από όλα τα μέρη του σώματος:
,
που είναι η μάζα του σώματος. Έτσι, το άθροισμα των δυνάμεων βαρύτητας μεμονωμένων απειροελάχιστων τμημάτων του σώματος μπορεί να αντικατασταθεί από ένα διάνυσμα βαρύτητας ολόκληρου του σώματος:
.

Ας βρούμε το άθροισμα των ροπών των δυνάμεων της βαρύτητας, σε σχέση με το επιλεγμένο κέντρο Ο με αυθαίρετο τρόπο:

.
Εδώ έχουμε εισαγάγει το σημείο Γ που ονομάζεται κέντρο βαρύτηταςσώμα. Η θέση του κέντρου βάρους, σε ένα σύστημα συντεταγμένων με κέντρο το σημείο Ο, προσδιορίζεται από τον τύπο:
(7) .

Έτσι, κατά τον προσδιορισμό της στατικής ισορροπίας, το άθροισμα των δυνάμεων βαρύτητας μεμονωμένων τμημάτων του σώματος μπορεί να αντικατασταθεί από το προκύπτον
,
εφαρμόζεται στο κέντρο μάζας του σώματος C , η θέση του οποίου προσδιορίζεται από τον τύπο (7).

Η θέση του κέντρου βάρους για διάφορα γεωμετρικά σχήματαμπορείτε να βρείτε στους σχετικούς οδηγούς. Εάν το σώμα έχει άξονα ή επίπεδο συμμετρίας, τότε το κέντρο βάρους βρίσκεται σε αυτόν τον άξονα ή επίπεδο. Έτσι, τα κέντρα βάρους μιας σφαίρας, ενός κύκλου ή ενός κύκλου βρίσκονται στα κέντρα των κύκλων αυτών των μορφών. Κέντρα βάρους κυβοειδής, ορθογώνιο ή τετράγωνο βρίσκονται επίσης στα κέντρα τους - στα σημεία τομής των διαγωνίων.

Ομοιόμορφη (Α) και γραμμική (Β) κατανεμημένο φορτίο.

Υπάρχουν επίσης περιπτώσεις παρόμοιες με τη δύναμη της βαρύτητας, όταν οι δυνάμεις δεν ασκούνται σε ορισμένα σημεία του σώματος, αλλά κατανέμονται συνεχώς στην επιφάνεια ή τον όγκο του. Τέτοιες δυνάμεις ονομάζονται κατανεμημένες δυνάμειςή .

(Εικόνα Α). Επίσης, όπως στην περίπτωση της βαρύτητας, μπορεί να αντικατασταθεί από την προκύπτουσα δύναμη μεγέθους , που εφαρμόζεται στο κέντρο βάρους του διαγράμματος. Δεδομένου ότι το διάγραμμα στο σχήμα Α είναι ένα ορθογώνιο, το κέντρο βάρους του διαγράμματος βρίσκεται στο κέντρο του - σημείο C: | AC| = | CB |.

(εικόνα Β). Μπορεί επίσης να αντικατασταθεί από το προκύπτον. Η τιμή του προκύπτοντος είναι ίση με την περιοχή του διαγράμματος:
.
Το σημείο εφαρμογής βρίσκεται στο κέντρο βάρους του οικοπέδου. Το κέντρο βάρους ενός τριγώνου, ύψους h, βρίσκεται σε απόσταση από τη βάση. Ετσι .

Δυνάμεις τριβής

Τριβή ολίσθησης. Αφήστε το σώμα να είναι επάνω επίπεδη επιφάνεια. Και έστω μια δύναμη κάθετη στην επιφάνεια με την οποία η επιφάνεια δρα στο σώμα (δύναμη πίεσης). Τότε η δύναμη τριβής ολίσθησης είναι παράλληλη με την επιφάνεια και κατευθύνεται στο πλάι, εμποδίζοντας την κίνηση του σώματος. Το μεγαλύτερό της η τιμή είναι:
,
όπου f είναι ο συντελεστής τριβής. Ο συντελεστής τριβής είναι ένα αδιάστατο μέγεθος.

τριβή κύλισης. Αφήστε το σώμα στρογγυλό σχήμακυλά ή μπορεί να κυλήσει σε μια επιφάνεια. Και έστω η δύναμη πίεσης κάθετη στην επιφάνεια με την οποία η επιφάνεια δρα στο σώμα. Στη συνέχεια στο σώμα, στο σημείο επαφής με την επιφάνεια, δρα η ροπή των δυνάμεων τριβής, η οποία εμποδίζει την κίνηση του σώματος. Μεγαλύτερη αξίαη ροπή τριβής είναι ίση με:
,
όπου δ είναι ο συντελεστής τριβής κύλισης. Έχει τη διάσταση του μήκους.

Βιβλιογραφικές αναφορές:
S. M. Targ, Σύντομο μάθημαθεωρητική μηχανική, μεταπτυχιακό σχολείο", 2010.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων στη θεωρητική μηχανική

Στατική

Συνθήκες Εργασίας

Κινηματική

Κινηματική ενός υλικού σημείου

Το έργο

Προσδιορισμός της ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός σημείου από δεδομένες εξισώσειςτις κινήσεις της.
Σύμφωνα με τις δοσμένες εξισώσεις κίνησης του σημείου, καθορίστε τον τύπο της τροχιάς του και για τη χρονική στιγμή t = 1 sβρείτε τη θέση ενός σημείου στην τροχιά, την ταχύτητά του, το σύνολο, την εφαπτομένη και επιτάχυνση κατά καθετό, καθώς και την ακτίνα καμπυλότητας της τροχιάς.
Εξισώσεις σημειακής κίνησης:
x= 12 αμαρτία (πτ/6), εκ;
y= 6 cos 2 (πτ/6), εκ.

Κινηματική ανάλυση επίπεδου μηχανισμού

Το έργο

Ο επίπεδος μηχανισμός αποτελείται από ράβδους 1, 2, 3, 4 και τον ολισθητήρα Ε. Οι ράβδοι συνδέονται μεταξύ τους, με ολισθητήρες και σταθερά στηρίγματα μέσω κυλινδρικών μεντεσέδων. Το σημείο Δ βρίσκεται στη μέση της ράβδου ΑΒ. Τα μήκη των ράβδων είναι ίσα, αντίστοιχα
l 1 \u003d 0,4 m; l 2 = 1,2 m; l 3 \u003d 1,6 m; l 4 \u003d 0,6 m.

Η αμοιβαία διάταξη των στοιχείων του μηχανισμού σε μια συγκεκριμένη εκδοχή του προβλήματος καθορίζεται από τις γωνίες α, β, γ, φ, ϑ. Η ράβδος 1 (ράβδος O 1 A) περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό σημείο O 1 αριστερόστροφα με σταθερά γωνιακή ταχύτηταω 1 .

Για μια δεδομένη θέση του μηχανισμού, είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί:

• γραμμικές ταχύτητες V A , V B , V D και V E σημεία A, B, D, E;
• γωνιακές ταχύτητες ω 2 , ω 3 και ω 4 σύνδεσμοι 2, 3 και 4.
• γραμμική επιτάχυνσηα Β σημείο Β;
• γωνιακή επιτάχυνση ε AB του συνδέσμου ΑΒ.
• θέσεις στιγμιαίων κέντρων ταχυτήτων C 2 και C 3 των συνδέσμων 2 και 3 του μηχανισμού.

Προσδιορισμός της απόλυτης ταχύτητας και απόλυτης επιτάχυνσης ενός σημείου

Το έργο

Το παρακάτω διάγραμμα εξετάζει την κίνηση του σημείου Μ στον αγωγό ενός περιστρεφόμενου σώματος. Δεδομένων των εξισώσεων μεταφορικής κίνησης φ = φ(t) και σχετικής κίνησης OM = OM(t), προσδιορίστε απόλυτη ταχύτητακαι την απόλυτη επιτάχυνση του σημείου σε μια δεδομένη χρονική στιγμή.

Λήψη λύσης >>>

Δυναμική

Ολοκλήρωση διαφορικών εξισώσεων κίνησης υλικού σημείου υπό τη δράση μεταβλητών δυνάμεων

Το έργο

Φορτίο D με μάζα m, έχοντας λάβει στο σημείο Α αρχική ταχύτηταΤο V 0 κινείται σε έναν κυρτό σωλήνα ABC που βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο. Στο τμήμα AB, το μήκος του οποίου είναι l, το φορτίο επηρεάζεται από μια σταθερή δύναμη T (η κατεύθυνσή του φαίνεται στο σχήμα) και τη δύναμη R της αντίστασης του μέσου (το δομοστοιχείο αυτής της δύναμης είναι R = μV 2, το διάνυσμα R κατευθύνεται αντίθετα από την ταχύτητα V του φορτίου).

Το φορτίο, έχοντας ολοκληρώσει την κίνησή του στο τμήμα ΑΒ, στο σημείο Β του σωλήνα, χωρίς να αλλάξει η τιμή του συντελεστή ταχύτητάς του, περνά στο τμήμα BC. Στο τμήμα BC, στο φορτίο ασκείται μεταβλητή δύναμη F, της οποίας η προβολή F x στον άξονα x δίνεται.

Θεωρώντας το φορτίο ως υλικό σημείο, βρείτε τον νόμο της κίνησής του στο τμήμα BC, δηλ. x = f(t), όπου x = BD. Αγνοήστε την τριβή του φορτίου στον σωλήνα.

Λήψη λύσης >>>

Θεώρημα για τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας ενός μηχανικού συστήματος

Το έργο

Το μηχανικό σύστημα αποτελείται από βάρη 1 και 2, έναν κυλινδρικό κύλινδρο 3, τροχαλίες δύο σταδίων 4 και 5. Τα σώματα του συστήματος συνδέονται με νήματα τυλιγμένα σε τροχαλίες. τμήματα των νημάτων είναι παράλληλα με τα αντίστοιχα επίπεδα. Ο κύλινδρος (συμπαγής ομοιογενής κύλινδρος) κυλά κατά μήκος του επιπέδου αναφοράς χωρίς να γλιστράει. Οι ακτίνες των βημάτων των τροχαλιών 4 και 5 είναι αντίστοιχα R 4 = 0,3 m, r 4 = 0,1 m, R 5 = 0,2 m, r 5 = 0,1 m. Η μάζα κάθε τροχαλίας θεωρείται ομοιόμορφα κατανεμημένη κατά μήκος του εξωτερικού της χείλους . Τα επίπεδα στήριξης των βαρών 1 και 2 είναι τραχιά, ο συντελεστής τριβής ολίσθησης για κάθε βάρος είναι f = 0,1.

Υπό τη δράση της δύναμης F, το μέτρο της οποίας αλλάζει σύμφωνα με το νόμο F = F(s), όπου s είναι η μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της, το σύστημα αρχίζει να κινείται από την κατάσταση ηρεμίας. Όταν το σύστημα κινείται, δυνάμεις αντίστασης ενεργούν στην τροχαλία 5, η ροπή της οποίας σε σχέση με τον άξονα περιστροφής είναι σταθερή και ίση με M 5 .

Προσδιορίστε την τιμή της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας 4 τη στιγμή που η μετατόπιση s του σημείου εφαρμογής της δύναμης F γίνεται ίση με s 1 = 1,2 m.

Λήψη λύσης >>>

Εφαρμογή της γενικής εξίσωσης δυναμικής στη μελέτη της κίνησης ενός μηχανικού συστήματος

Το έργο

Για ένα μηχανικό σύστημα, προσδιορίστε τη γραμμική επιτάχυνση a 1 . Σκεφτείτε ότι για τα μπλοκ και τους κυλίνδρους οι μάζες κατανέμονται κατά μήκος της εξωτερικής ακτίνας. Τα καλώδια και οι ζώνες θεωρούνται αβαρή και μη εκτατά. δεν υπάρχει ολίσθηση. Αγνοήστε την τριβή κύλισης και ολίσθησης.

Λήψη λύσης >>>

Εφαρμογή της αρχής d'Alembert στον προσδιορισμό των αντιδράσεων των στηρίξεων ενός περιστρεφόμενου σώματος

Το έργο

Ένας κατακόρυφος άξονας AK που περιστρέφεται ομοιόμορφα με γωνιακή ταχύτητα ω = 10 s -1 στερεώνεται με ένα ωστικό έδρανο στο σημείο Α και ένα κυλινδρικό έδρανο στο σημείο Δ.

Μια αβαρής ράβδος 1 με μήκος l 1 = 0,3 m είναι άκαμπτα στερεωμένη στον άξονα, στο ελεύθερο άκρο του οποίου υπάρχει φορτίο μάζας m 1 = 4 kg και μια ομοιογενής ράβδος 2 με μήκος l 2 = 0,6 m, με μάζα m 2 = 8 kg. Και οι δύο ράβδοι βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο. Τα σημεία στερέωσης των ράβδων στον άξονα, καθώς και οι γωνίες α και β φαίνονται στον πίνακα. Διαστάσεις AB=BD=DE=EK=b, όπου b = 0,4 μ. Πάρτε το φορτίο ως υλικό σημείο.

Παραβλέποντας τη μάζα του άξονα, προσδιορίστε τις αντιδράσεις του ρουλεμάν ώσης και του ρουλεμάν.