Αρχικά, όντας απλώς μια συλλογή πληροφοριών και εμπειρικών παρατηρήσεων του παιχνιδιού των ζαριών, η θεωρία των πιθανοτήτων έχει γίνει μια σταθερή επιστήμη. Ο Fermat και ο Pascal ήταν οι πρώτοι που του έδωσαν ένα μαθηματικό πλαίσιο.

Από τους προβληματισμούς για το αιώνιο στη θεωρία των πιθανοτήτων

Δύο άτομα στα οποία η θεωρία των πιθανοτήτων οφείλει πολλούς θεμελιώδεις τύπους, ο Blaise Pascal και ο Thomas Bayes, είναι γνωστοί ως βαθιά θρησκευόμενοι άνθρωποι, ο τελευταίος ήταν ένας Πρεσβυτεριανός λειτουργός. Προφανώς, η επιθυμία αυτών των δύο επιστημόνων να αποδείξουν την εσφαλμένη άποψη για μια συγκεκριμένη Τύχη, χαρίζοντας καλή τύχη στα αγαπημένα της, έδωσε ώθηση στην έρευνα σε αυτόν τον τομέα. Πράγματι, οποιαδήποτε ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑμε τις νίκες και τις ήττες του, είναι απλώς μια συμφωνία μαθηματικών αρχών.

Χάρη στον ενθουσιασμό του Chevalier de Mere, ο οποίος μέσα εξίσουήταν ένας τζογαδόρος και ένα άτομο που δεν ήταν αδιάφορο για την επιστήμη, ο Πασκάλ αναγκάστηκε να βρει έναν τρόπο να υπολογίσει την πιθανότητα. Ο De Mere ενδιαφερόταν για αυτή την ερώτηση: «Πόσες φορές χρειάζεται να ρίξεις δύο ζάρια σε ζευγάρια ώστε η πιθανότητα να πάρεις 12 πόντους να ξεπεράσει το 50%;». Η δεύτερη ερώτηση που ενδιέφερε εξαιρετικά τον κύριο: "Πώς να μοιράσετε το στοίχημα μεταξύ των συμμετεχόντων στο ημιτελές παιχνίδι;" Φυσικά, ο Pascal απάντησε με επιτυχία και στις δύο ερωτήσεις του de Mere, ο οποίος έγινε ο άθελος εμπνευστής της ανάπτυξης της θεωρίας των πιθανοτήτων. Είναι ενδιαφέρον ότι το πρόσωπο του de Mere παρέμεινε γνωστό σε αυτόν τον τομέα και όχι στη λογοτεχνία.

Προηγουμένως, κανένας μαθηματικός δεν είχε κάνει ακόμη μια προσπάθεια να υπολογίσει τις πιθανότητες γεγονότων, αφού πίστευαν ότι αυτή ήταν μόνο μια εικαστική λύση. Ο Blaise Pascal έδωσε τον πρώτο ορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος και έδειξε ότι πρόκειται για έναν συγκεκριμένο αριθμό που μπορεί να δικαιολογηθεί μαθηματικά. Η θεωρία πιθανοτήτων έχει γίνει η βάση για τις στατιστικές και χρησιμοποιείται ευρέως στη σύγχρονη επιστήμη.

Τι είναι η τυχαιότητα

Αν σκεφτούμε ένα τεστ που μπορεί να επαναληφθεί χωρίς πεπερασμένος αριθμόςφορές, τότε μπορείτε να ορίσετε ένα τυχαίο συμβάν. Αυτό είναι ένα από τα πιθανά αποτελέσματα της εμπειρίας.

Εμπειρία είναι η υλοποίηση συγκεκριμένων ενεργειών σε σταθερές συνθήκες.

Για να μπορέσετε να εργαστείτε με τα αποτελέσματα της εμπειρίας, τα γεγονότα συνήθως υποδηλώνονται με τα γράμματα A, B, C, D, E ...

Πιθανότητα τυχαίου συμβάντος

Για να μπορέσουμε να προχωρήσουμε στο μαθηματικό μέρος της πιθανότητας, είναι απαραίτητο να ορίσουμε όλες τις συνιστώσες της.

Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ένα αριθμητικό μέτρο της πιθανότητας εμφάνισης κάποιου γεγονότος (Α ή Β) ως αποτέλεσμα μιας εμπειρίας. Η πιθανότητα συμβολίζεται ως P(A) ή P(B).

Η θεωρία πιθανοτήτων είναι:

• αξιόπιστοςτο γεγονός είναι εγγυημένο ότι θα συμβεί ως αποτέλεσμα του πειράματος Р(Ω) = 1;
• αδύνατοτο συμβάν δεν μπορεί ποτέ να συμβεί Р(Ø) = 0;
• τυχαίοςτο γεγονός βρίσκεται μεταξύ βέβαιου και αδύνατου, δηλαδή η πιθανότητα εμφάνισής του είναι δυνατή, αλλά όχι εγγυημένη (πιθανότητα τυχαίο συμβάνπάντα εντός 0≤P(A)≤1).

Σχέσεις μεταξύ γεγονότων

Τόσο το ένα όσο και το άθροισμα των γεγονότων Α + Β λαμβάνονται υπόψη όταν το συμβάν προσμετράται στην υλοποίηση τουλάχιστον ενός από τα στοιχεία, Α ή Β, ή και των δύο - Α και Β.

Σε σχέση μεταξύ τους, τα γεγονότα μπορεί να είναι:

• Εξίσου δυνατό.
• σύμφωνος.
• Ασύμβατες.
• Αντίθετο (αμοιβαία αποκλειστικό).
• Εξαρτώμενος.

Αν δύο γεγονότα μπορούν να συμβούν με ίσες πιθανότητες, τότε αυτά εξίσου δυνατό.

Εάν η εμφάνιση του γεγονότος Α δεν ακυρώνει την πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Β, τότε αυτοί σύμφωνος.

Αν τα γεγονότα Α και Β δεν συμβαίνουν ποτέ ταυτόχρονα στο ίδιο πείραμα, τότε καλούνται ασύμβατες. στρίβω νόμισμα - Καλό παράδειγμα: η εμφάνιση ουρών είναι αυτόματα η μη εμφάνιση κεφαλιών.

Η πιθανότητα για το άθροισμα τέτοιων ασυμβίβαστα γεγονότααποτελείται από το άθροισμα των πιθανοτήτων καθενός από τα γεγονότα:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Αν η εμφάνιση ενός γεγονότος καθιστά αδύνατη την εμφάνιση ενός άλλου, τότε ονομάζονται αντίθετα. Στη συνέχεια, ένα από αυτά ορίζεται ως A, και το άλλο - Ā (διαβάζεται ως "όχι Α"). Η εμφάνιση του συμβάντος Α σημαίνει ότι το Ā δεν συνέβη. Αυτά τα δύο γεγονότα σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα με άθροισμα πιθανοτήτων ίσο με 1.

Τα εξαρτημένα συμβάντα έχουν αμοιβαία επιρροή, μειώνοντας ή αυξάνοντας ο ένας τις πιθανότητες του άλλου.

Σχέσεις μεταξύ γεγονότων. Παραδείγματα

Είναι πολύ πιο εύκολο να κατανοήσουμε τις αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων και του συνδυασμού γεγονότων χρησιμοποιώντας παραδείγματα.

Το πείραμα που θα πραγματοποιηθεί είναι να τραβήξουμε τις μπάλες από το κουτί και το αποτέλεσμα κάθε πειράματος είναι ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα.

Ένα γεγονός είναι ένα από τα πιθανά αποτελέσματα μιας εμπειρίας - μια κόκκινη μπάλα, μια μπλε μπάλα, μια μπάλα με τον αριθμό έξι κ.λπ.

Αριθμός δοκιμής 1. Υπάρχουν 6 μπάλες, τρεις από τις οποίες είναι μπλε με περιττούς αριθμούς και οι άλλες τρεις είναι κόκκινες με ζυγούς αριθμούς.

Δοκιμή αριθμός 2. Συμμετέχουν 6 μπάλες μπλε χρώματοςμε αριθμούς από το ένα έως το έξι.

Με βάση αυτό το παράδειγμα, μπορούμε να ονομάσουμε συνδυασμούς:

• Αξιόπιστο συμβάν.Στα ισπανικά Νο 2, το συμβάν «πάρε τη μπλε μπάλα» είναι αξιόπιστο, αφού η πιθανότητα εμφάνισής του είναι 1, αφού όλες οι μπάλες είναι μπλε και δεν μπορεί να υπάρξει αστοχία. Ενώ το γεγονός "πάρε τη μπάλα με τον αριθμό 1" είναι τυχαίο.
• Αδύνατον γεγονός.Στα ισπανικά Νο 1 με μπλε και κόκκινες μπάλες, το γεγονός «πάρε τη μωβ μπάλα» είναι αδύνατο, αφού η πιθανότητα εμφάνισής του είναι 0.
• Ισοδύναμα γεγονότα.Στα ισπανικά Νο. 1, τα γεγονότα "πάρε τη μπάλα με τον αριθμό 2" και "πάρε τη μπάλα με τον αριθμό 3" είναι εξίσου πιθανά και τα γεγονότα "πάρε τη μπάλα με ζυγό αριθμό" και "πάρε τη μπάλα με τον αριθμό 2" ” έχουν διαφορετικές πιθανότητες.
• Συμβατές εκδηλώσεις.Η απόκτηση έξι στη διαδικασία ρίψης ενός ζαριού δύο φορές στη σειρά είναι συμβατά γεγονότα.
• Ασυμβίβαστα συμβάντα.Στα ίδια ισπανικά Τα Νο. 1 γεγονότα «πάρε την κόκκινη μπάλα» και «πάρε τη μπάλα με μονό αριθμό» δεν μπορούν να συνδυαστούν στην ίδια εμπειρία.
• Αντίθετα γεγονότα. Πλέον χαρακτηριστικό παράδειγμαΑυτό είναι πέταγμα νομισμάτων, όταν το σχέδιο κεφαλών είναι το ίδιο με το να μην σχεδιάζετε ουρές και το άθροισμα των πιθανοτήτων τους είναι πάντα 1 (πλήρης ομάδα).
• Εξαρτημένα γεγονότα. Έτσι, στα ισπανικά Νο. 1, μπορείς να βάλεις στον εαυτό σου στόχο να βγάλεις μια κόκκινη μπάλα δύο φορές στη σειρά. Η εξαγωγή ή η μη εξαγωγή του την πρώτη φορά επηρεάζει την πιθανότητα εξαγωγής του τη δεύτερη φορά.

Μπορεί να φανεί ότι το πρώτο γεγονός επηρεάζει σημαντικά την πιθανότητα του δεύτερου (40% και 60%).

Τύπος πιθανότητας συμβάντος

Η μετάβαση από τη μαντεία στα ακριβή δεδομένα γίνεται με τη μεταφορά του θέματος στο μαθηματικό επίπεδο. Δηλαδή, κρίσεις σχετικά με ένα τυχαίο συμβάν όπως "υψηλή πιθανότητα" ή "ελάχιστη πιθανότητα" μπορούν να μεταφραστούν σε συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα. Είναι ήδη επιτρεπτή η αξιολόγηση, σύγκριση και εισαγωγή τέτοιου υλικού σε πιο σύνθετους υπολογισμούς.

Από την άποψη του υπολογισμού, ο ορισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος είναι ο λόγος του αριθμού των στοιχειωδών θετικών αποτελεσμάτων προς τον αριθμό όλων των πιθανών αποτελεσμάτων εμπειρίας σε σχέση με ένα συγκεκριμένο γεγονός. Η πιθανότητα συμβολίζεται με το P (A), όπου το P σημαίνει τη λέξη "πιθανότητα", η οποία μεταφράζεται από τα γαλλικά ως "πιθανότητα".

Άρα, ο τύπος για την πιθανότητα ενός γεγονότος είναι:

Όπου m είναι ο αριθμός των ευνοϊκών αποτελεσμάτων για το γεγονός Α, n είναι το άθροισμα όλων των πιθανών αποτελεσμάτων για αυτήν την εμπειρία. Η πιθανότητα ενός συμβάντος είναι πάντα μεταξύ 0 και 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Υπολογισμός της πιθανότητας ενός γεγονότος. Παράδειγμα

Ας πάρουμε τα ισπανικά. Νο 1 με μπάλες, που περιγράφηκε προηγουμένως: 3 μπλε μπάλες με αριθμούς 1/3/5 και 3 κόκκινες μπάλες με αριθμούς 2/4/6.

Με βάση αυτό το τεστ, μπορούν να εξεταστούν πολλές διαφορετικές εργασίες:

• Α - πτώση κόκκινης μπάλας. Υπάρχουν 3 κόκκινες μπάλες και υπάρχουν 6 επιλογές συνολικά το απλούστερο παράδειγμα, στο οποίο η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι P(A)=3/6=0,5.
• Β - πτώση ζυγού αριθμού. Υπάρχουν συνολικά 3 (2,4,6) ζυγοί αριθμοί και ο συνολικός αριθμός των πιθανών αριθμητικών επιλογών είναι 6. Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος είναι P(B)=3/6=0,5.
• Γ - πτώση ενός αριθμού μεγαλύτερου από 2. Υπάρχουν 4 (3,4,5,6) τέτοιες επιλογές από σύνολοπιθανά αποτελέσματα 6. Η πιθανότητα του γεγονότος С ισούται με Р(С)=4/6=0,67.

Όπως φαίνεται από τους υπολογισμούς, το γεγονός Γ έχει μεγαλύτερη πιθανότητα, καθώς ο αριθμός των πιθανών θετικών αποτελεσμάτων είναι μεγαλύτερος από ό,τι στο Α και στο Β.

Ασυμβίβαστα συμβάντα

Τέτοια γεγονότα δεν μπορούν να εμφανιστούν ταυτόχρονα στην ίδια εμπειρία. Όπως στα ισπανικά Νο 1, είναι αδύνατο να πάρεις μια μπλε και μια κόκκινη μπάλα ταυτόχρονα. Δηλαδή μπορείς να πάρεις είτε μπλε είτε κόκκινη μπάλα. Με τον ίδιο τρόπο, ένας άρτιος και ένας περιττός αριθμός δεν μπορούν να εμφανίζονται ταυτόχρονα σε ένα ζάρι.

Η πιθανότητα δύο γεγονότων θεωρείται ως η πιθανότητα του αθροίσματος ή του γινομένου τους. Το άθροισμα τέτοιων γεγονότων Α + Β θεωρείται ότι είναι ένα γεγονός που συνίσταται στην εμφάνιση ενός γεγονότος Α ή Β και το γινόμενο του ΑΒ τους - στην εμφάνιση και των δύο. Για παράδειγμα, η εμφάνιση δύο εξάρια ταυτόχρονα στα πρόσωπα δύο ζαριών σε μία ρίψη.

Το άθροισμα πολλών γεγονότων είναι ένα γεγονός που συνεπάγεται την εμφάνιση τουλάχιστον ενός από αυτά. Το προϊόν πολλών γεγονότων είναι η κοινή εμφάνιση όλων.

Στη θεωρία πιθανοτήτων, κατά κανόνα, η χρήση της ένωσης "και" υποδηλώνει το άθροισμα, την ένωση "ή" - πολλαπλασιασμό. Οι τύποι με παραδείγματα θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε τη λογική της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού στη θεωρία πιθανοτήτων.

Πιθανότητα αθροίσματος ασυμβίβαστων γεγονότων

Αν ληφθεί υπόψη η πιθανότητα κοινές εκδηλώσεις, τότε η πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Για παράδειγμα: υπολογίζουμε την πιθανότητα ότι στα ισπανικά. Το Νο. 1 με μπλε και κόκκινες μπάλες θα ρίξει έναν αριθμό μεταξύ 1 και 4. Θα υπολογίσουμε όχι σε μία ενέργεια, αλλά με το άθροισμα των πιθανοτήτων των βασικών συνιστωσών. Έτσι, σε ένα τέτοιο πείραμα υπάρχουν μόνο 6 μπάλες ή 6 από όλα τα πιθανά αποτελέσματα. Οι αριθμοί που ικανοποιούν την συνθήκη είναι το 2 και το 3. Η πιθανότητα να πάρεις τον αριθμό 2 είναι 1/6, η πιθανότητα του αριθμού 3 είναι επίσης 1/6. Η πιθανότητα να πάρετε έναν αριθμό μεταξύ 1 και 4 είναι:

Η πιθανότητα του αθροίσματος των ασυμβίβαστων γεγονότων μιας πλήρους ομάδας είναι 1.

Έτσι, αν στο πείραμα με έναν κύβο αθροίσουμε τις πιθανότητες να πάρουμε όλους τους αριθμούς, τότε ως αποτέλεσμα παίρνουμε έναν.

Αυτό ισχύει επίσης για αντίθετα γεγονότα, για παράδειγμα, στο πείραμα με ένα νόμισμα, όπου η μία πλευρά του είναι το γεγονός Α και η άλλη είναι το αντίθετο γεγονός Ā, όπως είναι γνωστό,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Πιθανότητα δημιουργίας ασυμβίβαστων γεγονότων

Ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων χρησιμοποιείται όταν εξετάζεται η εμφάνιση δύο ή περισσότερων ασυμβίβαστων γεγονότων σε μία παρατήρηση. Η πιθανότητα ότι τα γεγονότα Α και Β θα εμφανιστούν σε αυτό ταυτόχρονα είναι ίση με το γινόμενο των πιθανοτήτων τους, ή:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Για παράδειγμα, η πιθανότητα ότι σε Νο. 1 ως αποτέλεσμα δύο προσπαθειών, μια μπλε μπάλα θα εμφανιστεί δύο φορές, ίση με

Δηλαδή, η πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός όταν, ως αποτέλεσμα δύο προσπαθειών με την εξαγωγή μπάλες, θα εξαχθούν μόνο μπλε μπάλες, είναι 25%. Είναι πολύ εύκολο να κάνουμε πρακτικά πειράματα πάνω σε αυτό το πρόβλημα και να δούμε αν αυτό συμβαίνει στην πραγματικότητα.

Κοινές Εκδηλώσεις

Τα γεγονότα θεωρούνται κοινά όταν η εμφάνιση του ενός από αυτά μπορεί να συμπέσει με την εμφάνιση του άλλου. Παρά το γεγονός ότι είναι κοινές, η πιθανότητα όχι εξαρτώμενα γεγονότα. Για παράδειγμα, η ρίψη δύο ζαριών μπορεί να δώσει ένα αποτέλεσμα όταν ο αριθμός 6 πέσει και στους δύο. επιρροή σε αυτό.

Η πιθανότητα κοινών γεγονότων θεωρείται ως η πιθανότητα του αθροίσματος τους.

Η πιθανότητα του αθροίσματος των κοινών γεγονότων. Παράδειγμα

Η πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων Α και Β, τα οποία είναι κοινά μεταξύ τους, ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων του γεγονότος μείον την πιθανότητα του γινομένου τους (δηλαδή της κοινής εφαρμογής τους):

R άρθρωση. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Ας υποθέσουμε ότι η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με μία βολή είναι 0,4. Στη συνέχεια, γεγονός Α - χτύπημα του στόχου στην πρώτη προσπάθεια, Β - στη δεύτερη. Αυτά τα γεγονότα είναι κοινά, αφού είναι πιθανό να είναι δυνατό να χτυπηθεί ο στόχος τόσο από την πρώτη όσο και από τη δεύτερη βολή. Όμως τα γεγονότα δεν εξαρτώνται. Ποια είναι η πιθανότητα να χτυπηθεί ο στόχος με δύο βολές (τουλάχιστον μία); Σύμφωνα με τον τύπο:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Η απάντηση στο ερώτημα είναι: «Η πιθανότητα να χτυπήσετε τον στόχο με δύο βολές είναι 64%.

Αυτός ο τύπος για την πιθανότητα ενός γεγονότος μπορεί επίσης να εφαρμοστεί σε ασύμβατα γεγονότα, όπου η πιθανότητα της κοινής εμφάνισης ενός γεγονότος P(AB) = 0. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα του αθροίσματος των ασυμβίβαστων γεγονότων μπορεί να θεωρηθεί ειδική περίπτωση του προτεινόμενου τύπου.

Γεωμετρία πιθανοτήτων για σαφήνεια

Είναι ενδιαφέρον ότι η πιθανότητα του αθροίσματος των κοινών γεγονότων μπορεί να αναπαρασταθεί ως δύο περιοχές Α και Β που τέμνονται μεταξύ τους. Όπως μπορείτε να δείτε από την εικόνα, το εμβαδόν της ένωσής τους είναι ίσο με το συνολικό εμβαδόν μείον το εμβαδόν της τομής τους. Αυτή η γεωμετρική εξήγηση κάνει πιο κατανοητή τον φαινομενικά παράλογο τύπο. Σημειώστε ότι γεωμετρικές λύσειςόχι ασυνήθιστο στη θεωρία πιθανοτήτων.

Ο ορισμός της πιθανότητας του αθροίσματος ενός συνόλου (περισσότερων από δύο) κοινών γεγονότων είναι μάλλον επαχθής. Για να το υπολογίσετε, πρέπει να χρησιμοποιήσετε τους τύπους που παρέχονται για αυτές τις περιπτώσεις.

Εξαρτημένα γεγονότα

Εξαρτημένα γεγονότα ονομάζονται αν η εμφάνιση του ενός (Α) από αυτά επηρεάζει την πιθανότητα εμφάνισης του άλλου (Β). Επιπλέον, λαμβάνεται υπόψη η επιρροή τόσο της εμφάνισης του συμβάντος Α όσο και της μη εμφάνισής του. Αν και τα γεγονότα ονομάζονται εξ ορισμού εξαρτημένα, μόνο ένα από αυτά είναι εξαρτημένο (Β). Η συνήθης πιθανότητα δηλώθηκε ως P(B) ή η πιθανότητα ανεξάρτητες εκδηλώσεις. Στην περίπτωση των εξαρτημένων, εισάγεται μια νέα έννοια - η υπό όρους πιθανότητα P A (B), η οποία είναι η πιθανότητα του εξαρτημένου γεγονότος Β υπό την προϋπόθεση ότι έχει συμβεί το γεγονός Α (υπόθεση), από το οποίο εξαρτάται.

Αλλά το γεγονός Α είναι επίσης τυχαίο, επομένως έχει επίσης μια πιθανότητα που πρέπει και μπορεί να ληφθεί υπόψη στους υπολογισμούς. Το παρακάτω παράδειγμα θα δείξει πώς να εργαστείτε με εξαρτημένα συμβάντα και μια υπόθεση.

Παράδειγμα υπολογισμού της πιθανότητας εξαρτημένων γεγονότων

Ένα καλό παράδειγμα για τον υπολογισμό εξαρτημένων γεγονότων είναι μια τυπική τράπουλα.

Στο παράδειγμα μιας τράπουλας 36 φύλλων, εξετάστε τα εξαρτημένα γεγονότα. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η πιθανότητα το δεύτερο φύλλο που θα τραβηχτεί από την τράπουλα να είναι ένα διαμαντένιο κοστούμι, εάν το πρώτο φύλλο που τραβήχτηκε είναι:

1. Τυμπάνιο.
2. Άλλο ένα κοστούμι.

Προφανώς, η πιθανότητα του δεύτερου γεγονότος Β εξαρτάται από το πρώτο Α. Έτσι, εάν ισχύει η πρώτη επιλογή, που είναι 1 φύλλο (35) και 1 διαμάντι (8) λιγότερο στην τράπουλα, η πιθανότητα του γεγονότος Β:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

Αν ισχύει η δεύτερη επιλογή, τότε υπάρχουν 35 φύλλα στην τράπουλα και το συνολικός αριθμόςντέφι (9), τότε η πιθανότητα του ακόλουθου γεγονότος Β:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Μπορεί να φανεί ότι εάν το γεγονός Α εξαρτάται από το γεγονός ότι το πρώτο φύλλο είναι διαμάντι, τότε η πιθανότητα του γεγονότος Β μειώνεται και αντίστροφα.

Πολλαπλασιασμός εξαρτημένων γεγονότων

Με βάση το προηγούμενο κεφάλαιο, δεχόμαστε το πρώτο γεγονός (Α) ως γεγονός, αλλά στην ουσία έχει τυχαίος χαρακτήρας. Η πιθανότητα αυτού του γεγονότος, δηλαδή η εξαγωγή ενός ντέφι από μια τράπουλα, είναι ίση με:

Ρ(Α) = 9/36=1/4

Αφού η θεωρία δεν υπάρχει από μόνη της, αλλά καλείται να υπηρετήσει πρακτικούς σκοπούς, είναι δίκαιο να σημειωθεί ότι τις περισσότερες φορές χρειάζεται η πιθανότητα του γινόμενου εξαρτημένων γεγονότων.

Σύμφωνα με το θεώρημα για το γινόμενο των πιθανοτήτων εξαρτημένων γεγονότων, η πιθανότητα εμφάνισης από κοινού εξαρτημένων γεγονότων Α και Β είναι ίση με την πιθανότητα ενός γεγονότος Α, πολλαπλασιαζόμενη με την υπό όρους πιθανότητα του γεγονότος Β (ανάλογα με το Α):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Στη συνέχεια, στο παράδειγμα με μια τράπουλα, η πιθανότητα να τραβήξετε δύο φύλλα με μια στολή από διαμάντια είναι:

9/36*8/35=0,0571 ή 5,7%

Και η πιθανότητα εξαγωγής όχι διαμαντιών στην αρχή, και μετά διαμαντιών, είναι ίση με:

27/36*9/35=0,19 ή 19%

Μπορεί να φανεί ότι η πιθανότητα εμφάνισης του γεγονότος Β είναι μεγαλύτερη, με την προϋπόθεση ότι πρώτα έχει τραβηχτεί ένα φύλλο άλλου χρώματος εκτός από ένα διαμάντι. Αυτό το αποτέλεσμα είναι αρκετά λογικό και κατανοητό.

Συνολική πιθανότητα ενός γεγονότος

Όταν η εργασία είναι υπό όρους πιθανότητεςγίνεται πολύπλευρη, δεν μπορεί να υπολογιστεί με συμβατικές μεθόδους. Όταν υπάρχουν περισσότερες από δύο υποθέσεις, δηλαδή οι A1, A2, ..., A n , .. σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων υπό την προϋπόθεση:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Ο τύπος λοιπόν πλήρη πιθανότηταγια το συμβάν Β με μια πλήρη ομάδα τυχαίων γεγονότων A1, A2, ..., το A n είναι:

Μια ματιά στο μέλλον

Η πιθανότητα ενός τυχαίου γεγονότος είναι ουσιαστική σε πολλούς τομείς της επιστήμης: οικονομετρία, στατιστική, φυσική, κ.λπ. Δεδομένου ότι ορισμένες διαδικασίες δεν μπορούν να περιγραφούν ντετερμινιστικά, δεδομένου ότι οι ίδιες είναι πιθανολογικές, απαιτούνται ειδικές μέθοδοι εργασίας. Η πιθανότητα μιας θεωρίας γεγονότων μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε οποιοδήποτε τεχνολογικό πεδίο ως τρόπος προσδιορισμού της πιθανότητας σφάλματος ή δυσλειτουργίας.

Μπορούμε να πούμε ότι, αναγνωρίζοντας την πιθανότητα, κάνουμε με κάποιο τρόπο ένα θεωρητικό βήμα προς το μέλλον, κοιτάζοντάς το μέσα από το πρίσμα των τύπων.

Κλασικό και στατιστικός ορισμόςπιθανότητες

Για πρακτικές δραστηριότητεςείναι απαραίτητο να μπορούμε να συγκρίνουμε γεγονότα ανάλογα με το βαθμό πιθανότητας εμφάνισής τους. Σκεφτείτε κλασική περίπτωση. Ένα δοχείο περιέχει 10 μπάλες, 8 από αυτές άσπρο χρώμα, 2 μαύρα. Είναι προφανές ότι το γεγονός "μια άσπρη μπάλα θα τραβηχτεί από τη λάρνακα" και το γεγονός "θα τραβηχτεί μια μαύρη μπάλα από τη λάρνακα" έχουν ποικίλους βαθμούςτην πιθανότητα εμφάνισής τους. Επομένως, για να συγκριθούν τα γεγονότα, χρειάζεται ένα συγκεκριμένο ποσοτικό μέτρο.

ποσοτικό μέτροη πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός είναι πιθανότητα . Πλέον ευρεία χρήσηέλαβε δύο ορισμούς της πιθανότητας ενός γεγονότος: την κλασική και τη στατιστική.

Κλασικός ορισμόςη πιθανότητα σχετίζεται με την έννοια του ευνοϊκού αποτελέσματος. Ας σταθούμε σε αυτό με περισσότερες λεπτομέρειες.

Αφήστε τα αποτελέσματα κάποιου τεστ να σχηματίσουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων και να είναι εξίσου πιθανά, δηλ. είναι μοναδικά δυνατές, ασυνεπείς και εξίσου δυνατές. Τέτοια αποτελέσματα ονομάζονται στοιχειώδη αποτελέσματα, ή περιπτώσεις. Λέγεται ότι η δοκιμή μειώνεται σε διάγραμμα περίπτωσηςή " σχήμα τεφροδόχου", επειδή οποιοδήποτε πιθανό πρόβλημα για μια τέτοια δοκιμή μπορεί να αντικατασταθεί από ένα αντίστοιχο πρόβλημα με δοχεία και μπάλες διαφορετικών χρωμάτων.

Έξοδος λέγεται ευνοϊκόςΕκδήλωση ΑΛΛΑαν η επέλευση της περίπτωσης αυτής συνεπάγεται την επέλευση του γεγονότος ΑΛΛΑ.

Σύμφωνα με τον κλασικό ορισμό πιθανότητα συμβάντος Το A είναι ίσο με την αναλογία του αριθμού των αποτελεσμάτων που είναι ευνοϊκά για αυτό το γεγονός προς συνολικός αριθμόςαποτελέσματα, δηλ.

,

(1.1)

όπου P(A)- η πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑ; Μ- τον αριθμό των περιπτώσεων που ευνοούν την εκδήλωση ΑΛΛΑ; nείναι ο συνολικός αριθμός των περιπτώσεων.

Παράδειγμα 1.1.Όταν ρίχνετε ένα ζάρι, είναι πιθανά έξι αποτελέσματα - απώλεια 1, 2, 3, 4, 5, 6 πόντων. Ποια είναι η πιθανότητα να πάρεις ζυγό αριθμό πόντων;

Λύση. Ολα n= 6 αποτελέσματα αποτελούν μια πλήρη ομάδα γεγονότων και είναι εξίσου πιθανά, δηλ. είναι μοναδικά δυνατές, ασυνεπείς και εξίσου δυνατές. Το γεγονός Α - "εμφάνιση ζυγού αριθμού πόντων" - ευνοείται από 3 αποτελέσματα (περιπτώσεις) - απώλεια 2, 4 ή 6 πόντων. Σύμφωνα με τον κλασικό τύπο για την πιθανότητα ενός γεγονότος, λαμβάνουμε

P(A) = = . ◄

Με βάση τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός γεγονότος, σημειώνουμε τις ιδιότητές του:

1. Η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος βρίσκεται μεταξύ μηδέν και ενός, δηλ.

0 ≤ R(ΑΛΛΑ) ≤ 1.

2. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με ένα.

3. Η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν.

Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, κλασικός ορισμόςη πιθανότητα ισχύει μόνο για εκείνα τα γεγονότα που μπορεί να εμφανιστούν ως αποτέλεσμα δοκιμών που έχουν συμμετρία πιθανών αποτελεσμάτων, π.χ. ανάγονται στο σύστημα των περιπτώσεων. Ωστόσο, υπάρχει μια μεγάλη κατηγορία γεγονότων των οποίων οι πιθανότητες δεν μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό.

Για παράδειγμα, αν υποθέσουμε ότι το νόμισμα είναι πεπλατυσμένο, τότε είναι προφανές ότι τα γεγονότα «εμφάνιση οικόσημο» και «εμφάνιση ουρών» δεν μπορούν να θεωρηθούν εξίσου πιθανά. Επομένως, ο τύπος για τον προσδιορισμό της πιθανότητας σύμφωνα με το κλασικό σχήμα δεν ισχύει σε αυτή την περίπτωση.

Ωστόσο, υπάρχει μια άλλη προσέγγιση για την αξιολόγηση της πιθανότητας γεγονότων, με βάση το πόσο συχνά θα συμβεί ένα δεδομένο γεγονός στις δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν. Σε αυτή την περίπτωση, χρησιμοποιείται ο στατιστικός ορισμός της πιθανότητας.

Στατιστική Πιθανότηταγεγονός Α είναι η σχετική συχνότητα (συχνότητα) της εμφάνισης αυτού του συμβάντος σε n δοκιμές που πραγματοποιήθηκαν, δηλ.

,

(1.2)

όπου R * (A)είναι η στατιστική πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑ; w(A)είναι η σχετική συχνότητα του συμβάντος ΑΛΛΑ; Μείναι ο αριθμός των δοκιμών στις οποίες συνέβη το συμβάν ΑΛΛΑ; nείναι ο συνολικός αριθμός δοκιμών.

Διαφορετικός μαθηματική πιθανότητα P(A)θεωρείται στον κλασικό ορισμό, η στατιστική πιθανότητα R * (A)είναι χαρακτηριστικό έμπειρος, πειραματικός. Με άλλα λόγια, στατιστική πιθανότηταεξελίξεις ΑΛΛΑονομάζεται ο αριθμός, σε σχέση με τον οποίο η σχετική συχνότητα σταθεροποιείται (καθιερώνεται) w(A)με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των δοκιμών που πραγματοποιούνται υπό το ίδιο σύνολο συνθηκών.

Για παράδειγμα, όταν λένε για έναν σκοπευτή ότι χτυπά έναν στόχο με πιθανότητα 0,95, αυτό σημαίνει ότι από τις εκατό βολές που εκτοξεύτηκε από αυτόν υπό ορισμένες συνθήκες (ο ίδιος στόχος στην ίδια απόσταση, το ίδιο τουφέκι κ.λπ.). ), κατά μέσο όρο υπάρχουν περίπου 95 επιτυχημένοι. Φυσικά, δεν θα έχει κάθε εκατό 95 επιτυχημένες βολές, μερικές φορές θα υπάρχουν λιγότερες, μερικές φορές περισσότερες, αλλά κατά μέσο όρο, με επαναλαμβανόμενες επαναλήψεις βολής υπό τις ίδιες συνθήκες, αυτό το ποσοστό των χτυπημάτων θα παραμείνει αμετάβλητο. Ο αριθμός 0,95, που χρησιμεύει ως δείκτης της ικανότητας του σκοπευτή, είναι συνήθως πολύ σταθερός, δηλ. το ποσοστό των επιτυχιών στις περισσότερες βολές θα είναι σχεδόν το ίδιο για ένα δεδομένο σκοπευτή, μόνο σε σπάνιες περιπτώσεις θα αποκλίνει σημαντικά από τη μέση τιμή του.

Ένα άλλο μειονέκτημα του κλασικού ορισμού της πιθανότητας ( 1.1 ), που περιορίζει την εφαρμογή του είναι ότι υποθέτει έναν πεπερασμένο αριθμό πιθανών αποτελεσμάτων δοκιμής. Σε ορισμένες περιπτώσεις, αυτό το μειονέκτημα μπορεί να ξεπεραστεί χρησιμοποιώντας γεωμετρικός ορισμόςπιθανότητες, δηλ. εύρεση της πιθανότητας να χτυπήσει ένα σημείο σε μια συγκεκριμένη περιοχή (τμήμα, τμήμα αεροπλάνου κ.λπ.).

Αφήστε μια επίπεδη φιγούρα σολαποτελεί μέρος επίπεδη φιγούρα σολ(Εικ. 1.1). Στη φιγούρα σολμια τελεία ρίχνεται τυχαία. Αυτό σημαίνει ότι όλα τα σημεία της περιοχής σολ«ίσο» σε σχέση με το χτύπημα του με πεταμένο τυχαίο σημείο. Υποθέτοντας ότι η πιθανότητα ενός γεγονότος ΑΛΛΑ- χτυπώντας ένα πεταχτό σημείο σε μια φιγούρα σολ- ανάλογο με το εμβαδόν αυτού του αριθμού και δεν εξαρτάται από τη θέση του σε σχέση με σολ, ούτε από τη φόρμα σολ, εύρημα

Βασικές αρχές της Θεωρίας Πιθανοτήτων

Σχέδιο:

1. Τυχαία συμβάντα

2. Κλασικός ορισμός της πιθανότητας

3. Υπολογισμός πιθανοτήτων συμβάντων και συνδυαστική

4. Γεωμετρική πιθανότητα

Θεωρητικές πληροφορίες

Τυχαία γεγονότα.

τυχαίο φαινόμενο- ένα φαινόμενο, η έκβαση του οποίου καθορίζεται με σαφήνεια. Αυτή η έννοια μπορεί να ερμηνευθεί σε ένα μάλλον ευρεία έννοια. Δηλαδή: τα πάντα στη φύση είναι εντελώς τυχαία, η εμφάνιση και η γέννηση οποιουδήποτε ατόμου είναι ένα τυχαίο φαινόμενο, η επιλογή αγαθών σε ένα κατάστημα είναι επίσης ένα τυχαίο φαινόμενο, η βαθμολογία σε μια εξέταση είναι ένα τυχαίο φαινόμενο, η ασθένεια και η ανάρρωση είναι τυχαία φαινόμενα κλπ.

Παραδείγματα τυχαίων φαινομένων:

~ Πυροβολισμός από όπλο εγκατεστημένο κάτω δεδομένη γωνίαπρος τον ορίζοντα. Το χτύπημα του στο στόχο είναι τυχαίο, αλλά το να χτυπήσεις ένα βλήμα σε ένα συγκεκριμένο «πιρούνι» είναι ένα σχέδιο. Μπορείτε να καθορίσετε την απόσταση πιο κοντά και πέρα ​​από την οποία το βλήμα δεν θα πετάξει. Αποκτήστε λίγη "διασπορά κελυφών με πιρούνια"

~ Το ίδιο σώμα ζυγίζεται πολλές φορές. Αυστηρά μιλώντας, διαφορετικά αποτελέσματα θα λαμβάνονται κάθε φορά, αν και διαφέρουν κατά ένα αμελητέα μικρό ποσό, αλλά διαφορετικά.

~ Ένα αεροσκάφος που πετά κατά μήκος της ίδιας διαδρομής έχει έναν συγκεκριμένο διάδρομο πτήσης μέσα στον οποίο το αεροσκάφος μπορεί να ελίσσεται, αλλά ποτέ δεν θα έχει ακριβώς την ίδια διαδρομή

~ Ένας αθλητής δεν θα μπορέσει ποτέ να τρέξει την ίδια απόσταση με τον ίδιο χρόνο. Τα αποτελέσματά του θα είναι επίσης μέσα σε ένα συγκεκριμένο αριθμητικό εύρος.

Η εμπειρία, το πείραμα, η παρατήρηση είναι τεστ

Δίκη- παρατήρηση ή εκπλήρωση ενός συγκεκριμένου συνόλου συνθηκών που εκτελούνται επανειλημμένα και επαναλαμβάνονται τακτικά με αυτήν και την ίδια ακολουθία, διάρκεια, ενώ παρατηρούνται άλλες πανομοιότυπες παραμέτρους.

Ας εξετάσουμε την απόδοση από τον αθλητή μιας βολής σε στόχο. Για να παραχθεί είναι απαραίτητο να πληρούνται προϋποθέσεις όπως η προετοιμασία του αθλητή, η φόρτωση του όπλου, η σκόπευση κ.λπ. Το "χτύπημα" και το "έχασε" είναι γεγονότα ως αποτέλεσμα πυροβολισμού.

Εκδήλωση– ποιοτικό αποτέλεσμα δοκιμής.

Ένα συμβάν μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί Τα συμβάντα υποδεικνύονται με κεφαλαία γράμματα με λατινικά γράμματα. Για παράδειγμα: D ="Ο σκοπευτής χτύπησε τον στόχο". S="Έξω λευκή μπάλα". K="Λήψη τυχαία λαχείοκανένα κέρδος».

Το να πετάξεις ένα κέρμα είναι δοκιμασία. Η πτώση του «οσημιού» της είναι ένα γεγονός, η πτώση του «αριθμού» της είναι το δεύτερο γεγονός.

Οποιαδήποτε δοκιμή περιλαμβάνει την εμφάνιση πολλών γεγονότων. Μερικά από αυτά μπορεί να χρειαστούν αυτή τη στιγμήχρόνος για τον ερευνητή, άλλοι είναι περιττοί.

Το συμβάν ονομάζεται τυχαίο, εάν υπό την εφαρμογή ενός συγκεκριμένου συνόλου προϋποθέσεων μικρόμπορεί είτε να συμβεί είτε να μην συμβεί. Στη συνέχεια, αντί να πούμε «το σύνολο των προϋποθέσεων S πληρούται», θα πούμε εν συντομία: «η δοκιμή πραγματοποιήθηκε». Έτσι, το συμβάν θα θεωρηθεί ως αποτέλεσμα της δοκιμής.

~ Ο σκοπευτής πυροβολεί σε στόχο χωρισμένο σε τέσσερις περιοχές. Το σουτ είναι δοκιμαστικό. Το χτύπημα μιας συγκεκριμένης περιοχής του στόχου είναι ένα γεγονός.

~ Υπάρχουν χρωματιστές μπάλες στην λάρνακα. Μία μπάλα τραβιέται τυχαία από το δοχείο. Η αφαίρεση μιας μπάλας από μια λάρνακα είναι μια δοκιμή. Η εμφάνιση της μπάλας συγκεκριμένο χρώμα- Εκδήλωση.

Τύποι τυχαίων συμβάντων

1. Τα γεγονότα λέγεται ότι είναι ασύμβατααν η επέλευση ενός από αυτά αποκλείει την επέλευση άλλων γεγονότων στην ίδια δίκη.

~ Ένα μέρος ελήφθη τυχαία από ένα κουτί με εξαρτήματα. Η εμφάνιση ενός τυπικού εξαρτήματος αποκλείει την εμφάνιση ενός μη τυποποιημένου εξαρτήματος. Εκδηλώσεις € εμφανίστηκε ένα τυπικό εξάρτημα» και με ένα μη τυπικό μέρος εμφανίστηκε» - ασυμβίβαστο.

~ Ένα κέρμα πετιέται. Η εμφάνιση του «θυρεοσήμου» αποκλείει την εμφάνιση της επιγραφής. Τα γεγονότα «εμφανίστηκε ένα εθνόσημο» και «εμφανίστηκε μια επιγραφή» είναι ασυμβίβαστα.

Σχηματίζονται διάφορα γεγονότα πλήρης ομάδα,εάν τουλάχιστον ένα από αυτά εμφανιστεί ως αποτέλεσμα της δοκιμής. Με άλλα λόγια, η εμφάνιση τουλάχιστον ενός από τα γεγονότα της πλήρους ομάδας είναι ένα συγκεκριμένο γεγονός.

Συγκεκριμένα, εάν τα συμβάντα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα είναι ασύμβατα κατά ζεύγη, τότε ένα και μόνο ένα από αυτά τα συμβάντα θα εμφανιστεί ως αποτέλεσμα της δοκιμής. ειδική περίπτωσηαντιπροσωπεύει για εμάς το μεγαλύτερο ενδιαφέρον, αφού θα χρησιμοποιηθεί παρακάτω.

~ Αγοράστηκαν δύο εισιτήρια της λαχειοφόρου αγοράς χρημάτων και ρούχων. Πρέπει να συμβεί ένα και μόνο από τα ακόλουθα συμβάντα:

1. «τα κέρδη έπεσαν στο πρώτο δελτίο και δεν έπεσαν στο δεύτερο»,

2. «τα κέρδη δεν έπεσαν στο πρώτο δελτίο και έπεσαν στο δεύτερο»,

3. "τα κέρδη έπεσαν και στα δύο εισιτήρια",

4. «και τα δύο εισιτήρια δεν κέρδισαν».

Αυτά τα συμβάντα αποτελούν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων συμβάντων κατά ζεύγη,

~ Ο σκοπευτής έριξε μια βολή στο στόχο. Ένα από τα ακόλουθα δύο γεγονότα είναι βέβαιο ότι θα συμβεί: hit, miss. Αυτά τα δύο ασύνδετα γεγονότα αποτελούν επίσης μια πλήρη ομάδα.

2. Τα γεγονότα καλούνται εξίσου δυνατόαν υπάρχει λόγος να πιστεύουμε ότι κανένα δεν είναι πιο δυνατό από το άλλο.

~ Η εμφάνιση «οικόσημου» και η εμφάνιση επιγραφής κατά την ρίψη νομίσματος είναι εξίσου πιθανά γεγονότα. Πράγματι, θεωρείται ότι το νόμισμα είναι κατασκευασμένο από ομοιογενές υλικό, έχει κανονικό κυλινδρικό σχήμα και η παρουσία νομίσματος δεν επηρεάζει την απώλεια της μιας ή της άλλης όψης του νομίσματος.

~ Η εμφάνιση ενός ή του άλλου αριθμού πόντων σε ένα πεταμένο ζάρι είναι ένα εξίσου πιθανό γεγονός. Πράγματι, υποτίθεται ότι ζάριακατασκευασμένο από ομοιογενές υλικό, έχει σχήμα κανονικό πολύεδρο, και η παρουσία σημείων δεν έχει καμία επίδραση στην πτώση οποιουδήποτε προσώπου.

3. Το συμβάν καλείται αυθεντικός,αν δεν μπορεί να συμβεί

4. Το συμβάν καλείται μη αξιόπιστηαν δεν μπορεί να συμβεί.

5. Η εκδήλωση καλείται απεναντι αποσε κάποιο συμβάν εάν συνίσταται στη μη εμφάνιση του δεδομένου συμβάντος. Τα αντίθετα γεγονότα δεν είναι συμβατά, αλλά ένα από αυτά πρέπει απαραίτητα να συμβεί. Τα αντίθετα γεγονότα αναφέρονται συνήθως ως αρνήσεις, δηλ. πάνω από το γράμμα γράφεται μια παύλα. Τα γεγονότα είναι αντίθετα: A και Ā; U και Ū, κ.λπ. .

Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας

Η πιθανότητα είναι μια από τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων.

Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί αυτής της έννοιας. Ας δώσουμε έναν ορισμό που ονομάζεται κλασικός. Στη συνέχεια, υποδεικνύουμε αδύναμες πλευρέςαυτού του ορισμού και δίνουμε άλλους ορισμούς που μας επιτρέπουν να ξεπεράσουμε τις ελλείψεις του κλασικού ορισμού.

Σκεφτείτε την κατάσταση: Ένα κουτί περιέχει 6 ίδιες μπάλες, 2 κόκκινες, 3 μπλε και 1 άσπρη. Προφανώς, η πιθανότητα να σχεδιάσετε μια έγχρωμη (δηλαδή, κόκκινη ή μπλε) μπάλα τυχαία από μια τεφροδόχο είναι μεγαλύτερη από τη δυνατότητα να σχεδιάσετε μια λευκή μπάλα. Αυτή η πιθανότητα μπορεί να χαρακτηριστεί από έναν αριθμό, ο οποίος ονομάζεται πιθανότητα ενός γεγονότος (εμφάνιση έγχρωμης μπάλας).

Πιθανότητα- έναν αριθμό που χαρακτηρίζει τον βαθμό πιθανότητας εμφάνισης του συμβάντος.

Στην υπό εξέταση περίπτωση, δηλώνουμε:

Γεγονός Α = "Τραβώντας έξω μια χρωματιστή μπάλα".

Κάθε ένα από τα πιθανά αποτελέσματα της δοκιμής (η δοκιμή συνίσταται στην εξαγωγή μιας μπάλας από το δοχείο) ονομάζεται στοιχειώδες (πιθανό) αποτέλεσμα και γεγονός.Τα στοιχειώδη αποτελέσματα μπορούν να υποδηλωθούν με γράμματα με δείκτες παρακάτω, για παράδειγμα: k 1 , k 2 .

Στο παράδειγμά μας, υπάρχουν 6 μπάλες, άρα υπάρχουν 6 πιθανά αποτελέσματα: εμφανίστηκε μια λευκή μπάλα. εμφανίστηκε μια κόκκινη μπάλα. εμφανίστηκε μια μπλε μπάλα και ούτω καθεξής. Είναι εύκολο να δούμε ότι αυτά τα αποτελέσματα σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα ασυμβίβαστων γεγονότων κατά ζεύγη (απαραίτητα θα εμφανιστεί μόνο μία μπάλα) και είναι εξίσου πιθανά (η μπάλα βγαίνει τυχαία, οι μπάλες είναι ίδιες και ανακατεύονται πλήρως).

Τα στοιχειώδη αποτελέσματα, στα οποία συμβαίνει το συμβάν που μας ενδιαφέρει, θα καλέσουμε ευνοϊκά αποτελέσματααυτό το γεγονός. Στο παράδειγμά μας ευνοείται η εκδήλωση ΑΛΛΑ(εμφάνιση έγχρωμης μπάλας) τα ακόλουθα 5 αποτελέσματα:

Έτσι το γεγονός ΑΛΛΑπαρατηρείται εάν κάποιος εμφανίζεται στο τεστ, ανεξάρτητα από το ποιο, από τα στοιχειώδη αποτελέσματα που ευνοούν ΑΛΛΑ.Αυτή είναι η εμφάνιση οποιασδήποτε έγχρωμης μπάλας, από την οποία υπάρχουν 5 κομμάτια στο κουτί

Σε αυτό το παράδειγμα στοιχειώδη αποτελέσματα 6; εκ των οποίων 5 ευνοούν την εκδήλωση ΑΛΛΑ.Συνεπώς, Ρ(Α)= 5/6. Αυτός ο αριθμός δίνει αυτή την ποσοτικοποίηση του βαθμού πιθανότητας εμφάνισης μιας έγχρωμης μπάλας.

Ορισμός πιθανότητας:

Πιθανότητα συμβάντος Αείναι η αναλογία του αριθμού των αποτελεσμάτων που είναι ευνοϊκά για αυτό το γεγονός προς τον συνολικό αριθμό όλων των εξίσου πιθανών ασυμβίβαστων στοιχειωδών αποτελεσμάτων που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα.

P(A)=m/n ή P(A)=m: n, όπου:

m είναι ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων που ευνοούν ΑΛΛΑ;

Π- τον αριθμό όλων των πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων του τεστ.

Υποτίθεται εδώ ότι τα στοιχειώδη αποτελέσματα είναι ασύμβατα, εξίσου πιθανά και αποτελούν μια πλήρη ομάδα.

Από τον ορισμό της πιθανότητας προκύπτουν οι ακόλουθες ιδιότητες:

1. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με ένα.

Πράγματι, εάν το συμβάν είναι αξιόπιστο, τότε κάθε στοιχειώδες αποτέλεσμα του τεστ ευνοεί το γεγονός. Σε αυτήν την περίπτωση m = nεπομένως p=1

2. Η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν.

Πράγματι, εάν το γεγονός είναι αδύνατο, τότε κανένα από τα στοιχειώδη αποτελέσματα της δίκης δεν ευνοεί το γεγονός. Σε αυτή την περίπτωση m=0, άρα p=0.

3.Η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος είναι θετικός αριθμόςμεταξύ μηδέν και ενός. 0t< n.

Σε επόμενα θέματα, θα δοθούν θεωρήματα που επιτρέπουν, από τις γνωστές πιθανότητες ορισμένων γεγονότων, να βρούμε τις πιθανότητες άλλων γεγονότων.

Μέτρηση. Στην ομάδα των μαθητών είναι 6 κορίτσια και 4 αγόρια. Ποια είναι η πιθανότητα ένας τυχαία επιλεγμένος μαθητής να είναι κορίτσι; θα είναι νέος;

p dev = 6 / 10 = 0,6 p jun = 4 / 10 = 0,4

Η έννοια της «πιθανότητας» στα σύγχρονα αυστηρά μαθήματα της θεωρίας πιθανοτήτων χτίζεται σε μια βάση θεωρητικής συνόλων. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικές από αυτήν την προσέγγιση.

Ας υποθέσουμε ότι ως αποτέλεσμα της δοκιμής συμβαίνει ένα και μόνο από τα ακόλουθα συμβάντα: w i(i=1, 2, .... n). Εξελίξεις w i, λέγεται στοιχειώδη γεγονότα (στοιχειώδη αποτελέσματα). Οέπεται ότι τα στοιχειώδη γεγονότα είναι ασύμβατα κατά ζεύγη. Το σύνολο όλων των στοιχειωδών γεγονότων που μπορούν να εμφανιστούν σε μια δοκιμή ονομάζεται στοιχειώδες χώρο εκδηλώσεωνΩ (ελληνικό γράμμα ωμέγα κεφαλαίο), και τα ίδια τα στοιχειώδη γεγονότα - σημεία σε αυτόν τον χώρο..

Εκδήλωση ΑΛΛΑταυτίζεται με ένα υποσύνολο (του διαστήματος Ω) του οποίου τα στοιχεία είναι στοιχειώδη ευνοϊκά αποτελέσματα ΑΛΛΑ;Εκδήλωση ΣΤΟείναι ένα υποσύνολο Ω του οποίου τα στοιχεία είναι αποτελέσματα που ευνοούν ΣΤΟ,Έτσι, το σύνολο όλων των γεγονότων που μπορούν να συμβούν στη δοκιμή είναι το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Ω. Το ίδιο το Ω εμφανίζεται με οποιοδήποτε αποτέλεσμα της δοκιμής, επομένως το Ω είναι ένα ορισμένο γεγονός. ένα κενό υποσύνολο του διαστήματος Ω είναι ένα -αδύνατο γεγονός (δεν συμβαίνει για κανένα αποτέλεσμα της δοκιμής).

Τα στοιχειώδη συμβάντα διακρίνονται από όλα τα γεγονότα ανά θέματα, «κάθε ένα από αυτά περιέχει μόνο ένα στοιχείο Ω

Σε κάθε στοιχειώδες αποτέλεσμα w iταιριάζουν με έναν θετικό αριθμό πιείναι η πιθανότητα αυτού του αποτελέσματος και το άθροισμα όλων πιίσο με 1 ή με το πρόσημο του αθροίσματος, αυτό το γεγονός θα γραφτεί ως έκφραση:

Εξ ορισμού, η πιθανότητα P(A)εξελίξεις ΑΛΛΑισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων των στοιχειωδών αποτελεσμάτων που ευνοούν ΑΛΛΑ.Επομένως, η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με ένα, αδύνατη - στο μηδέν, αυθαίρετο - είναι μεταξύ μηδέν και ενός.

Ας εξετάσουμε μια σημαντική συγκεκριμένη περίπτωση, όταν όλα τα αποτελέσματα είναι εξίσου πιθανά.Ο αριθμός των αποτελεσμάτων είναι ίσος με n, το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των αποτελεσμάτων είναι ίσο με ένα. Άρα η πιθανότητα κάθε αποτελέσματος είναι 1/n. Αφήστε το γεγονός ΑΛΛΑευνοεί τα αποτελέσματα.

Πιθανότητα συμβάντος ΑΛΛΑείναι ίσο με το άθροισμα των πιθανοτήτων των ευνοϊκών αποτελεσμάτων ΑΛΛΑ:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Λαμβάνεται ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας.

Υπάρχει ακόμα αξιωματικόςπροσέγγιση της έννοιας της «πιθανότητας». Στο σύστημα των αξιωμάτων που προτείνεται. Kolmogorov A.N., οι απροσδιόριστες έννοιες είναι στοιχειώδες γεγονός και πιθανότητα. Η κατασκευή μιας λογικά ολοκληρωμένης θεωρίας πιθανοτήτων βασίζεται στον αξιωματικό ορισμό ενός τυχαίου γεγονότος και της πιθανότητας του.

Εδώ είναι τα αξιώματα που ορίζουν την πιθανότητα:

1. Κάθε εκδήλωση ΑΛΛΑεκχωρήθηκε ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός Ρ(Α).Αυτός ο αριθμός ονομάζεται πιθανότητα του γεγονότος. ΑΛΛΑ.

2. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με μία:

3. Η πιθανότητα εμφάνισης τουλάχιστον ενός από τα ασύμβατα συμβάντα ανά ζεύγη ισούται με το άθροισμα των πιθανοτήτων αυτών των γεγονότων.

Με βάση αυτά τα αξιώματα, οι ιδιότητες των πιθανοτήτων για τη μεταξύ τους σχέση εξάγονται ως θεωρήματα.

Πιθανότηταγεγονός είναι ο λόγος του αριθμού των στοιχειωδών αποτελεσμάτων που ευνοούν ένα δεδομένο γεγονός προς τον αριθμό όλων των εξίσου πιθανών αποτελεσμάτων εμπειρίας στα οποία μπορεί να συμβεί αυτό το γεγονός. Η πιθανότητα ενός γεγονότος Α συμβολίζεται με P(A) (εδώ το P είναι το πρώτο γράμμα της γαλλικής λέξης probabilite - πιθανότητα). Σύμφωνα με τον ορισμό
(1.2.1)
πού είναι ο αριθμός των στοιχειωδών αποτελεσμάτων που ευνοούν το γεγονός Α; - ο αριθμός όλων των εξίσου πιθανών στοιχειωδών αποτελεσμάτων εμπειρίας, που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων.
Αυτός ο ορισμός της πιθανότητας ονομάζεται κλασικός. Προέκυψε στο αρχικό στάδιο της ανάπτυξης της θεωρίας πιθανοτήτων.

Η πιθανότητα ενός συμβάντος έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος είναι ίση με ένα. Ας ορίσουμε ένα συγκεκριμένο γεγονός με το γράμμα . Για ένα συγκεκριμένο γεγονός, λοιπόν
(1.2.2)
2. Η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν. Το αδύνατο γεγονός το δηλώνουμε με το γράμμα . Για ένα αδύνατο γεγονός λοιπόν
(1.2.3)
3. Η πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος εκφράζεται ως θετικός αριθμός μικρότερος του ενός. Αφού οι ανισότητες , ή ικανοποιούνται για ένα τυχαίο γεγονός, τότε
(1.2.4)
4. Η πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος ικανοποιεί τις ανισότητες
(1.2.5)
Αυτό προκύπτει από τις σχέσεις (1.2.2) -(1.2.4).

Παράδειγμα 1Μια τεφροδόχος περιέχει 10 μπάλες ίδιου μεγέθους και βάρους, εκ των οποίων οι 4 είναι κόκκινες και οι 6 μπλε. Μια μπάλα τραβιέται από το δοχείο. Ποια είναι η πιθανότητα η τραβηγμένη μπάλα να είναι μπλε;

Λύση. Το γεγονός "η κληρωμένη μπάλα αποδείχθηκε μπλε" θα συμβολίζεται με το γράμμα Α. Αυτή η δοκιμή έχει 10 εξίσου πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα, από τα οποία 6 ευνοούν το γεγονός Α. Σύμφωνα με τον τύπο (1.2.1), λαμβάνουμε

Παράδειγμα 2Όλοι οι φυσικοί αριθμοί από το 1 έως το 30 είναι γραμμένοι σε πανομοιότυπες κάρτες και τοποθετούνται σε ένα δοχείο. Αφού αναμειχθούν καλά τα φύλλα, ένα φύλλο αφαιρείται από το δοχείο. Ποια είναι η πιθανότητα ο αριθμός στην κάρτα που κληρώθηκε να είναι πολλαπλάσιο του 5;

Λύση.Σημειώστε με Α το γεγονός "ο αριθμός στην κάρτα που λαμβάνεται είναι πολλαπλάσιο του 5". Σε αυτό το τεστ, υπάρχουν 30 εξίσου πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα, εκ των οποίων τα 6 ευνοούν το γεγονός Α (αριθμοί 5, 10, 15, 20, 25, 30). Συνεπώς,

Παράδειγμα 3Ρίχνονται δύο ζάρια και υπολογίζεται η συνολική βαθμολογία. πάνω πρόσωπα. Βρείτε την πιθανότητα του γεγονότος Β, που συνίσταται στο γεγονός ότι οι επάνω όψεις των κύβων θα έχουν συνολικά 9 πόντους.

Λύση.Υπάρχουν 6 2 = 36 εξίσου πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα σε αυτή τη δοκιμή. Το γεγονός Β ευνοείται από 4 αποτελέσματα: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), οπότε

Παράδειγμα 4. Τυχαία επιλογή φυσικός αριθμός, που δεν υπερβαίνει το 10. Ποια είναι η πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι πρώτος;

Λύση.Σημειώστε με το γράμμα C το συμβάν «ο επιλεγμένος αριθμός είναι πρώτος». Σε αυτήν την περίπτωση, n = 10, m = 4 (πρώτοι 2, 3, 5, 7). Επομένως, η επιθυμητή πιθανότητα

Παράδειγμα 5Ρίχνονται δύο συμμετρικά νομίσματα. Ποια είναι η πιθανότητα και τα δύο νομίσματα να έχουν ψηφία στις επάνω πλευρές;

Λύση.Ας υποδηλώσουμε με το γράμμα Δ το γεγονός «υπήρχε ένας αριθμός στην επάνω πλευρά κάθε νομίσματος». Υπάρχουν 4 εξίσου πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα σε αυτό το τεστ: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Η σημειογραφία (G, C) σημαίνει ότι στο πρώτο νόμισμα υπάρχει ένα οικόσημο, στο δεύτερο - ένας αριθμός). Το γεγονός D ευνοείται από ένα στοιχειώδες αποτέλεσμα (C, C). Αφού m = 1, n = 4, τότε

Παράδειγμα 6Ποια είναι η πιθανότητα τα ψηφία σε έναν τυχαία επιλεγμένο διψήφιο αριθμό να είναι ίδια;

Λύση.Οι διψήφιοι αριθμοί είναι αριθμοί από το 10 έως το 99. Υπάρχουν συνολικά 90 τέτοιοι αριθμοί. 9 αριθμοί έχουν τα ίδια ψηφία (αυτοί είναι οι αριθμοί 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Αφού σε αυτή την περίπτωση m = 9, n = 90, τότε
,
όπου Α είναι ο «αριθμός με τα ίδια ψηφία» γεγονός.

Παράδειγμα 7Από τα γράμματα της λέξης διαφορικόςένα γράμμα επιλέγεται τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα αυτό το γράμμα να είναι: α) φωνήεν β) σύμφωνο γ) γράμμα η?

Λύση. Υπάρχουν 12 γράμματα στη λέξη διαφορικό, εκ των οποίων τα 5 είναι φωνήεντα και τα 7 σύμφωνα. Γράμματα ηαυτή η λέξη δεν το κάνει. Ας υποδηλώσουμε τα συμβάντα: Α - "φωνήεν", Β - "σύμφωνο", Γ - "γράμμα η". Ο αριθμός των ευνοϊκών στοιχειωδών αποτελεσμάτων: - για το συμβάν Α, - για το συμβάν Β, - για το συμβάν Γ. Από n \u003d 12, τότε
, και .

Παράδειγμα 8Δύο ζάρια ρίχνονται, σημειώνεται ο αριθμός των πόντων στην επάνω όψη κάθε ζαριού. Βρείτε την πιθανότητα και τα δύο ζάρια να έχουν τον ίδιο αριθμό πόντων.

Λύση.Ας υποδηλώσουμε αυτό το γεγονός με το γράμμα Α. Το γεγονός Α ευνοείται από 6 στοιχειώδη αποτελέσματα: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Συνολικά υπάρχουν εξίσου πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων, σε αυτήν την περίπτωση n=6 2 =36. Άρα η επιθυμητή πιθανότητα

Παράδειγμα 9Το βιβλίο έχει 300 σελίδες. Ποια είναι η πιθανότητα μια σελίδα που ανοίγει τυχαία να έχει έναν αριθμό σειράς πολλαπλάσιο του 5;

Λύση.Από τις συνθήκες του προβλήματος προκύπτει ότι θα υπάρχουν n = 300 από όλα τα εξίσου πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα που σχηματίζουν μια πλήρη ομάδα γεγονότων. Από αυτά, m = 60 ευνοούν την εμφάνιση του καθορισμένου γεγονότος. Πράγματι, ένας αριθμός που είναι πολλαπλάσιο του 5 έχει τη μορφή 5k, όπου k είναι ένας φυσικός αριθμός, και , από όπου . Συνεπώς,
, όπου A - το συμβάν "σελίδα" έχει έναν αριθμό σειράς που είναι πολλαπλάσιο του 5".

Παράδειγμα 10. Ρίχνονται δύο ζάρια, υπολογίζεται το άθροισμα των πόντων στις επάνω όψεις. Τι είναι πιο πιθανό να πάρει συνολικά 7 ή 8;

Λύση. Ας ορίσουμε τα γεγονότα: Α - "7 πόντοι έπεσαν έξω", Β - "8 πόντοι έπεσαν έξω". Το συμβάν Α ευνοείται από 6 στοιχειώδη αποτελέσματα: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) και το γεγονός Β - από 5 αποτελέσματα: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Υπάρχουν n = 6 2 = 36 από όλα τα εξίσου πιθανά στοιχειώδη αποτελέσματα. και .

Άρα, P(A)>P(B), δηλαδή το να πάρεις συνολικά 7 βαθμούς είναι πιο πιθανό γεγονός από το να πάρεις συνολικά 8 βαθμούς.

Καθήκοντα

1. Τυχαία επιλέγεται ένας φυσικός αριθμός που δεν υπερβαίνει το 30. Ποια είναι η πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι πολλαπλάσιο του 3;
2. Στην τεφροδόχο ένακόκκινο και σιμπλε μπάλες ίδιου μεγέθους και βάρους. Ποια είναι η πιθανότητα μια τυχαία συρμένη μπάλα από αυτό το δοχείο να είναι μπλε;
3. Επιλέγεται τυχαία ένας αριθμός που δεν υπερβαίνει το 30. Ποια είναι η πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι διαιρέτης του zo;
4. Στην τεφροδόχο έναμπλε και σικόκκινες μπάλες ίδιου μεγέθους και βάρους. Μια μπάλα τραβιέται από αυτό το δοχείο και αφήνεται στην άκρη. Αυτή η μπάλα είναι κόκκινη. Στη συνέχεια, μια άλλη μπάλα τραβιέται από το δοχείο. Βρείτε την πιθανότητα η δεύτερη μπάλα να είναι επίσης κόκκινη.
5. Τυχαία επιλέγεται ένας φυσικός αριθμός που δεν υπερβαίνει το 50. Ποια είναι η πιθανότητα αυτός ο αριθμός να είναι πρώτος;
6. Ρίχνονται τρία ζάρια, υπολογίζεται το άθροισμα των πόντων στις επάνω όψεις. Τι είναι πιο πιθανό - να κερδίσετε συνολικά 9 ή 10 βαθμούς;
7. Ρίχνονται τρία ζάρια, υπολογίζεται το άθροισμα των πόντων που πέφτουν. Τι είναι πιο πιθανό να πάρει συνολικά 11 (γεγονός Α) ή 12 πόντους (γεγονός Β);

Απαντήσεις

1. 1/3. 2 . σι/(ένα+σι). 3 . 0,2. 4 . (σι-1)/(ένα+σι-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - η πιθανότητα να λάβετε 9 βαθμούς συνολικά. p 2 \u003d 27/216 - η πιθανότητα να λάβετε 10 βαθμούς συνολικά. p2 > p1 7 . Ρ(Α) = 27/216, Ρ(Β) = 25/216, Ρ(Α) > Ρ(Β).

Ερωτήσεις

1. Τι ονομάζεται πιθανότητα ενός γεγονότος;
2. Ποια είναι η πιθανότητα ενός συγκεκριμένου γεγονότος;
3. Ποια είναι η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος;
4. Ποια είναι τα όρια της πιθανότητας ενός τυχαίου συμβάντος;
5. Ποια είναι τα όρια της πιθανότητας οποιουδήποτε γεγονότος;
6. Ποιος ορισμός της πιθανότητας ονομάζεται κλασικός;