Συσχετισμοί Spearman. Ανάλυση συσχέτισης σύμφωνα με τη μέθοδο Spearman (τάξεις Spearman)

Η αριθμομηχανή παρακάτω υπολογίζει τον συντελεστή συσχέτισης κατάταξης Spearman μεταξύ δύο τυχαίες μεταβλητές. Το θεωρητικό μέρος, για να μην αποσπάται η προσοχή από την αριθμομηχανή, τοποθετείται παραδοσιακά κάτω από αυτό.

Προσθήκη εισαγωγή εξαγωγή mode_edit διαγράφω

Αλλαγές σε τυχαίες μεταβλητές

	βέλος_προς τα πάνωβέλος_κάτωΧ	βέλος_προς τα πάνωβέλος_κάτωΥ
			mode_edit

Μέγεθος σελίδας: 5 10 20 50 100 chevron_αριστερά chevron_right

Αλλαγές σε τυχαίες μεταβλητές

Εισαγωγή δεδομένωνΣφάλμα εισαγωγής

Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε έναν από αυτούς τους χαρακτήρες για να διαχωρίσετε πεδία: Tab, ";" ή "," Παράδειγμα: -50,5;-50,5

Επιστροφή Ακύρωση εισαγωγής

Η μέθοδος για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης κατάταξης Spearman περιγράφεται στην πραγματικότητα πολύ απλά. Αυτός είναι ο ίδιος συντελεστής συσχέτισης Pearson, που υπολογίζεται μόνο όχι για τα αποτελέσματα μέτρησης των ίδιων των τυχαίων μεταβλητών, αλλά για τους αξίες κατάταξης .

Αυτό είναι,

Απομένει μόνο να καταλάβουμε ποιες είναι οι τιμές κατάταξης και γιατί χρειάζονται όλα αυτά.

Εάν τα στοιχεία της μεταβλητής σειράς είναι διατεταγμένα σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά, τότε τάξηστοιχείο θα είναι ο αριθμός του σε αυτήν τη σειρά σειράς.

Για παράδειγμα, ας πούμε ότι έχουμε μια σειρά παραλλαγής (17,26,5,14,21). Ταξινομήστε τα στοιχεία του με φθίνουσα σειρά (26,21,17,14,5). Το 26 έχει την 1η θέση, το 21 έχει τη 2η θέση και ούτω καθεξής. Η σειρά παραλλαγών των τιμών κατάταξης θα μοιάζει με αυτό (3,1,5,4,2).

Δηλαδή κατά τον υπολογισμό του συντελεστή Spearman, το αρχικό σειρά παραλλαγήςμετατρέπονται σε σειρές παραλλαγών τιμών κατάταξης, μετά τις οποίες εφαρμόζεται ο τύπος Pearson σε αυτές.

Υπάρχει μια λεπτότητα - η κατάταξη των επαναλαμβανόμενων τιμών λαμβάνεται ως ο μέσος όρος των βαθμών. Δηλαδή, για τη σειρά (17, 15, 14, 15), η σειρά των τιμών κατάταξης θα μοιάζει με (1, 2.5, 4, 2.5), αφού το πρώτο στοιχείο ίσο με 15 έχει κατάταξη 2 και το δεύτερο - μια κατάταξη 3, και .

Εάν δεν υπάρχουν διπλότυπες τιμές, τότε υπάρχουν όλες οι τιμές κατάταξης- αριθμοί από το εύρος από 1 έως n, ο τύπος του Pearson μπορεί να απλοποιηθεί σε

Λοιπόν, παρεμπιπτόντως, αυτός ο τύπος δίνεται πιο συχνά ως τύπος για τον υπολογισμό του συντελεστή Spearman.

Ποια είναι η ουσία της μετάβασης από τις ίδιες τις αξίες στις αξίες της κατάταξής τους;
Και το θέμα είναι ότι εξετάζοντας τη συσχέτιση των τιμών κατάταξης, μπορεί κανείς να διαπιστώσει πόσο καλά περιγράφεται η εξάρτηση δύο μεταβλητών από μια μονοτονική συνάρτηση.

Το πρόσημο του συντελεστή δείχνει την κατεύθυνση της σχέσης μεταξύ των μεταβλητών. Εάν το πρόσημο είναι θετικό, τότε οι τιμές Υ τείνουν να αυξάνονται καθώς οι τιμές Χ αυξάνονται. εάν το πρόσημο είναι αρνητικό, τότε οι τιμές Υ τείνουν να μειώνονται καθώς αυξάνονται οι τιμές Χ. Εάν ο συντελεστής είναι 0, τότε δεν υπάρχει τάση. Εάν ο συντελεστής είναι ίσος με 1 ή -1, τότε η σχέση μεταξύ Χ και Υ έχει τη μορφή μονότονης συνάρτησης - δηλαδή, με αύξηση του Χ, το Υ αυξάνεται επίσης, ή αντίστροφα, με αύξηση των Χ, Υ μειώνεται.

Δηλαδή, σε αντίθεση με τον συντελεστή συσχέτισης Pearson, που μπορεί μόνο να αποκαλύψει γραμμική εξάρτησημια μεταβλητή από την άλλη, ο συντελεστής συσχέτισης Spearman μπορεί να αποκαλύψει μια μονοτονική σχέση όπου δεν ανιχνεύεται μια άμεση γραμμική σχέση.

Επιτρέψτε μου να εξηγήσω με ένα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι εξετάζουμε τη συνάρτηση y=10/x.
Έχουμε τα ακόλουθα αποτελέσματα μέτρησης Χ και Υ
{{1,10}, {5,2}, {10,1}, {20,0.5}, {100,0.1}}
Για αυτά τα δεδομένα, ο συντελεστής συσχέτισης Pearson είναι -0,4686, δηλαδή η σχέση είναι ασθενής ή απουσιάζει. Αλλά ο συντελεστής συσχέτισης Spearman είναι αυστηρά ίσος με -1, το οποίο, όπως ήταν, υπονοεί στον ερευνητή ότι το Y έχει μια αυστηρή αρνητική μονοτονική εξάρτηση από το X.

Σε περιπτώσεις όπου οι μετρήσεις των χαρακτηριστικών που μελετήθηκαν πραγματοποιούνται σε κλίμακα τάξης ή η μορφή της σχέσης διαφέρει από τη γραμμική, η μελέτη της σχέσης μεταξύ δύο τυχαίων μεταβλητών πραγματοποιείται με τη χρήση συντελεστών συσχέτισης κατάταξης. Εξετάστε τον συντελεστή συσχέτισης κατάταξης του Spearman. Κατά τον υπολογισμό του, είναι απαραίτητο να ταξινομήσετε (παραγγείλετε) τις επιλογές του δείγματος. Κατάταξη είναι η ομαδοποίηση των πειραματικών δεδομένων με μια συγκεκριμένη σειρά, είτε αύξουσα είτε φθίνουσα.

Η λειτουργία κατάταξης πραγματοποιείται σύμφωνα με τον ακόλουθο αλγόριθμο:

1. Σε χαμηλότερη τιμή εκχωρείται χαμηλότερη κατάταξη. Nai μεγαλύτερη αξίαυπολογίζεται μια κατάταξη που αντιστοιχεί στον αριθμό των ταξινομημένων τιμών. Στη μικρότερη τιμή εκχωρείται κατάταξη ίση με 1. Για παράδειγμα, εάν n=7, τότε υψηλότερη τιμήθα λάβει τον αριθμό 7, εκτός από όσα προβλέπονται στον δεύτερο κανόνα.

2. Εάν πολλές τιμές είναι ίσες, τότε τους εκχωρείται μια κατάταξη, η οποία είναι ο μέσος όρος αυτών των βαθμών που θα είχαν λάβει εάν δεν ήταν ίσοι. Ως παράδειγμα, θεωρήστε ένα αύξον δείγμα που αποτελείται από 7 στοιχεία: 22, 23, 25, 25, 25, 28, 30. Οι τιμές 22 και 23 εμφανίζονται μία φορά, επομένως οι τάξεις τους είναι αντίστοιχα ίσες με R22=1 και R23 =2. Η τιμή 25 εμφανίζεται 3 φορές. Εάν αυτές οι τιμές δεν επαναλαμβάνονταν, τότε οι βαθμοί τους θα ήταν ίσοι με 3, 4, 5. Επομένως, η κατάταξή τους R25 είναι ίση με τον αριθμητικό μέσο όρο των 3, 4 και 5: . Οι τιμές 28 και 30 δεν επαναλαμβάνονται, επομένως οι τάξεις τους είναι αντίστοιχα R28=6 και R30=7. Τέλος, έχουμε την ακόλουθη αλληλογραφία:

3. συνολικό ποσόοι τάξεις πρέπει να ταιριάζουν με την υπολογιζόμενη, η οποία καθορίζεται από τον τύπο:

όπου ν - σύνολοταξινομημένες αξίες.

Η ασυμφωνία μεταξύ των πραγματικών και των υπολογισμένων ποσών των βαθμών θα υποδηλώνει σφάλμα που έγινε στον υπολογισμό των βαθμών ή στο άθροισμά τους. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να βρείτε και να διορθώσετε το σφάλμα.

Ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης του Spearman είναι μια μέθοδος που σας επιτρέπει να προσδιορίσετε την ισχύ και την κατεύθυνση της σχέσης μεταξύ δύο χαρακτηριστικών ή δύο ιεραρχιών χαρακτηριστικών. Η χρήση του συντελεστή συσχέτισης κατάταξης έχει ορισμένους περιορισμούς:

• α) Η αναμενόμενη συσχέτιση πρέπει να είναι μονότονη.
• β) Ο όγκος καθενός από τα δείγματα πρέπει να είναι μεγαλύτερος ή ίσος με 5. Για τον προσδιορισμό του ανώτατου ορίου του δείγματος, χρησιμοποιούνται πίνακες κρίσιμων τιμών​ (Πίνακας 3 του Παραρτήματος). Μέγιστη αξίαΤο n στον πίνακα είναι 40.
• γ) Κατά την ανάλυση, είναι πιθανό να προκύψει μεγάλος αριθμός πανομοιότυπων βαθμίδων. Σε αυτή την περίπτωση χρειάζεται τροποποίηση. Η πιο ευνοϊκή περίπτωση είναι όταν και τα δύο δείγματα που μελετήθηκαν αντιπροσωπεύουν δύο αλληλουχίες αταίριαστων τιμών.

Για τη διεξαγωγή μιας ανάλυσης συσχέτισης, ο ερευνητής πρέπει να έχει δύο δείγματα που μπορούν να ταξινομηθούν, για παράδειγμα:

• - δύο σημεία που μετρώνται στην ίδια ομάδα ατόμων.
• - δύο μεμονωμένες ιεραρχίες χαρακτηριστικών που προσδιορίζονται σε δύο υποκείμενα για το ίδιο σύνολο χαρακτηριστικών.
• - δύο ομαδικές ιεραρχίες χαρακτηριστικών.
• - ατομικές και ομαδικές ιεραρχίες χαρακτηριστικών.

Ξεκινάμε τον υπολογισμό με την κατάταξη των μελετημένων δεικτών ξεχωριστά για κάθε ένα από τα ζώδια.

Ας αναλύσουμε μια περίπτωση με δύο χαρακτηριστικά που μετρήθηκαν στην ίδια ομάδα θεμάτων. Κατάταξη πρώτη ατομικές αξίεςγια το πρώτο χαρακτηριστικό που λαμβάνεται από διαφορετικά θέματα και στη συνέχεια μεμονωμένες τιμές για το δεύτερο χαρακτηριστικό. Εάν οι χαμηλότερες τάξεις ενός δείκτη αντιστοιχούν σε χαμηλότερες τάξεις ενός άλλου δείκτη και οι υψηλότερες βαθμίδες ενός δείκτη αντιστοιχούν σε υψηλότερες βαθμίδες ενός άλλου δείκτη, τότε τα δύο χαρακτηριστικά συνδέονται θετικά. Εάν οι υψηλότερες τάξεις ενός δείκτη αντιστοιχούν στις χαμηλότερες τάξεις ενός άλλου δείκτη, τότε τα δύο ζώδια σχετίζονται αρνητικά. Για να βρούμε το rs, προσδιορίζουμε τις διαφορές μεταξύ των βαθμών (δ) για κάθε θέμα. Όσο μικρότερη είναι η διαφορά μεταξύ των βαθμίδων, τόσο πιο κοντά θα είναι ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης rs στο "+1". Εάν δεν υπάρχει σχέση, τότε δεν θα υπάρχει αντιστοιχία μεταξύ τους, επομένως το rs θα είναι κοντά στο μηδέν. Όσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά μεταξύ των βαθμών των υποκειμένων σε δύο μεταβλητές, τόσο πιο κοντά στο "-1" θα είναι η τιμή του συντελεστή rs. Έτσι, ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης Spearman είναι ένα μέτρο οποιασδήποτε μονοτονικής σχέσης μεταξύ των δύο χαρακτηριστικών που μελετώνται.

Εξετάστε την περίπτωση με δύο μεμονωμένες ιεραρχίες χαρακτηριστικών που προσδιορίζονται σε δύο θέματα για το ίδιο σύνολο χαρακτηριστικών. Σε αυτήν την περίπτωση, κατατάσσονται οι μεμονωμένες τιμές που λαμβάνονται από καθένα από τα δύο θέματα σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σύνολο χαρακτηριστικών. Στο χαρακτηριστικό με τη χαμηλότερη τιμή θα πρέπει να εκχωρηθεί η πρώτη κατάταξη. υπογράψει με περισσότερα υψηλή αξία- δεύτερη βαθμίδα κ.λπ. Θα πρέπει να πληρωθεί Ιδιαίτερη προσοχήγια να διασφαλιστεί ότι όλα τα χαρακτηριστικά μετρώνται στις ίδιες μονάδες. Για παράδειγμα, είναι αδύνατο να ταξινομηθούν οι δείκτες εάν εκφράζονται σε διαφορετικά σημεία "τιμής", καθώς είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ποιος από τους παράγοντες θα πάρει την πρώτη θέση σε σοβαρότητα έως ότου όλες οι τιμές τεθούν σε μια ενιαία κλίμακα. Εάν χαρακτηριστικά που έχουν χαμηλές τάξεις σε ένα από τα θέματα έχουν επίσης χαμηλές τάξεις στο άλλο και αντίστροφα, τότε οι επιμέρους ιεραρχίες σχετίζονται θετικά.

Στην περίπτωση δύο ομαδικών ιεραρχιών χαρακτηριστικών, οι μέσες τιμές ομάδας που λαμβάνονται σε δύο ομάδες θεμάτων ταξινομούνται σύμφωνα με το ίδιο σύνολο χαρακτηριστικών για τις υπό μελέτη ομάδες. Στη συνέχεια, ακολουθούμε τον αλγόριθμο που δόθηκε στις προηγούμενες περιπτώσεις.

Ας αναλύσουμε την περίπτωση με ατομική και ομαδική ιεραρχία χαρακτηριστικών. Ξεκινούν ταξινομώντας χωριστά τις μεμονωμένες τιμές του θέματος και τις μέσες τιμές της ομάδας σύμφωνα με το ίδιο σύνολο χαρακτηριστικών που προέκυψαν, με εξαίρεση το υποκείμενο που δεν συμμετέχει στη μέση ιεραρχία της ομάδας, αφού το άτομο του η ιεραρχία θα συγκριθεί με αυτήν. Η συσχέτιση κατάταξης καθιστά δυνατή την αξιολόγηση του βαθμού συνέπειας μεταξύ της ατομικής και της ομαδικής ιεραρχίας χαρακτηριστικών.

Ας εξετάσουμε πώς προσδιορίζεται η σημασία του συντελεστή συσχέτισης στις περιπτώσεις που αναφέρονται παραπάνω. Στην περίπτωση δύο χαρακτηριστικών, θα καθοριστεί από το μέγεθος του δείγματος. Στην περίπτωση δύο μεμονωμένων ιεραρχιών χαρακτηριστικών, η σημασία εξαρτάται από τον αριθμό των χαρακτηριστικών που περιλαμβάνονται στην ιεραρχία. Σε δυο πρόσφατες περιπτώσειςΗ σημασία καθορίζεται από τον αριθμό των χαρακτηριστικών που μελετήθηκαν και όχι από τον αριθμό των ομάδων. Έτσι, η σημασία του rs σε όλες τις περιπτώσεις καθορίζεται από τον αριθμό των ταξινομημένων τιμών n.

Κατά τον έλεγχο της στατιστικής σημασίας του rs, χρησιμοποιούνται πίνακες κρίσιμων τιμών του συντελεστή συσχέτισης κατάταξης, που συντάσσονται για διάφορους αριθμούς ταξινομημένων τιμών και διαφορετικά επίπεδασημασία. Αν ένα απόλυτη τιμήΤο rs φτάνει σε μια κρίσιμη τιμή ή την υπερβαίνει, τότε η συσχέτιση είναι σημαντική.

Κατά την εξέταση της πρώτης επιλογής (μια περίπτωση με δύο χαρακτηριστικά που μετρώνται στην ίδια ομάδα θεμάτων), είναι δυνατές οι ακόλουθες υποθέσεις.

H0: Η συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών x και y δεν είναι διαφορετική από το μηδέν.

H1: Η συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών x και y είναι σημαντικά διαφορετική από το μηδέν.

Εάν δουλέψουμε με οποιαδήποτε από τις τρεις υπόλοιπες περιπτώσεις, τότε πρέπει να υποβάλουμε ένα άλλο ζεύγος υποθέσεων:

H0: Η συσχέτιση μεταξύ των ιεραρχιών x και y είναι μη μηδενική.

H1: Η συσχέτιση μεταξύ των ιεραρχιών x και y είναι σημαντικά διαφορετική από το μηδέν.

Η ακολουθία των ενεργειών για τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης κατάταξης Spearman rs είναι η εξής.

• - Προσδιορίστε ποια δύο χαρακτηριστικά ή δύο ιεραρχίες χαρακτηριστικών θα συμμετάσχουν στην αντιστοίχιση ως μεταβλητές x και y.
• - Κατατάξτε τις τιμές της μεταβλητής x, εκχωρώντας μια κατάταξη 1 η μικρότερη τιμή, σύμφωνα με τους κανόνες κατάταξης. Τοποθετήστε τις τάξεις στην πρώτη στήλη του πίνακα με τη σειρά των αριθμών των θεμάτων ή των σημείων.
• - Κατάταξη των τιμών της μεταβλητής y. Τοποθετήστε τις τάξεις στη δεύτερη στήλη του πίνακα με τη σειρά των αριθμών των θεμάτων ή των σημείων.
• - Υπολογίστε τις διαφορές d μεταξύ των βαθμών x και y για κάθε σειρά του πίνακα. Τα αποτελέσματα τοποθετούνται στην επόμενη στήλη του πίνακα.
• - Να υπολογίσετε τις τετράγωνες διαφορές (δ2). Τοποθετήστε τις λαμβανόμενες τιμές στην τέταρτη στήλη του πίνακα.
• - Να υπολογίσετε το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών; δ2.
• - Εάν υπάρχουν οι ίδιες βαθμίδες, υπολογίστε τις διορθώσεις:

όπου tx είναι ο όγκος κάθε ομάδας ίσων βαθμών στο δείγμα x.

ty είναι το μέγεθος κάθε ομάδας ίσων βαθμίδων στο δείγμα y.

Υπολογίστε τον συντελεστή συσχέτισης κατάταξης ανάλογα με την παρουσία ή την απουσία πανομοιότυπων βαθμίδων. Ελλείψει πανομοιότυπων βαθμίδων, ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης rs υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

Παρουσία των ίδιων βαθμίδων, ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης rs υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον τύπο:

όπου;d2 είναι το άθροισμα των τετράγωνων διαφορών μεταξύ των βαθμών.

Tx και Ty - διορθώσεις για τις ίδιες βαθμίδες.

n είναι ο αριθμός των θεμάτων ή των χαρακτηριστικών που συμμετείχαν στην κατάταξη.

Προσδιορίστε τις κρίσιμες τιμές του rs από τον πίνακα 3 του Παραρτήματος, για έναν δεδομένο αριθμό θεμάτων n. Θα παρατηρηθεί μια σημαντική διαφορά από το μηδέν του συντελεστή συσχέτισης με την προϋπόθεση ότι το rs δεν είναι μικρότερο από την κρίσιμη τιμή.

Η συσχέτιση του Pearson είναι ένα μέτρο γραμμική σύνδεσημεταξύ δύο μεταβλητών. Σας επιτρέπει να προσδιορίσετε πόσο αναλογική είναι η μεταβλητότητα δύο μεταβλητών. Εάν οι μεταβλητές είναι ανάλογες μεταξύ τους, τότε γραφικά η σχέση μεταξύ τους μπορεί να αναπαρασταθεί ως ευθεία γραμμή με θετική (άμεση αναλογία) ή αρνητική (αντίστροφη αναλογία) κλίση.

Στην πράξη, η σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών, εάν υπάρχουν, είναι πιθανολογική και γραφικά μοιάζει με ένα ελλειψοειδές σύννεφο διασποράς. Αυτό το ελλειψοειδές, ωστόσο, μπορεί να αναπαρασταθεί (προσεγγιστεί) ως ευθεία γραμμή ή γραμμή παλινδρόμησης. Η γραμμή παλινδρόμησης είναι μια ευθεία γραμμή που κατασκευάζεται με τη μέθοδο ελάχιστα τετράγωνα: το άθροισμα των τετραγώνων αποστάσεων (υπολογιζόμενες κατά μήκος του άξονα y) από κάθε σημείο του διαγράμματος διασποράς στην ευθεία είναι το ελάχιστο

Ιδιαίτερο νόημαγια να εκτιμηθεί η ακρίβεια της πρόβλεψης έχει τη διακύμανση των εκτιμήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής. Ουσιαστικά, η διακύμανση των εκτιμήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής Υ είναι εκείνο το μέρος της συνολικής διακύμανσής της που οφείλεται στην επιρροή της ανεξάρτητης μεταβλητής Χ. Με άλλα λόγια, ο λόγος της διακύμανσης των εκτιμήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής προς την πραγματική της διακύμανση ισούται με το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης.

Το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης της εξαρτημένης και ανεξάρτητης μεταβλητής αντιπροσωπεύει το ποσοστό της διακύμανσης της εξαρτημένης μεταβλητής λόγω της επιρροής της ανεξάρτητης μεταβλητής και ονομάζεται συντελεστής προσδιορισμού. Ο συντελεστής προσδιορισμού, λοιπόν, δείχνει το βαθμό στον οποίο η μεταβλητότητα μιας μεταβλητής οφείλεται (καθορίζεται) από την επίδραση μιας άλλης μεταβλητής.

Ο συντελεστής προσδιορισμού έχει ένα σημαντικό πλεονέκτημα έναντι του συντελεστή συσχέτισης. Η συσχέτιση __________ δεν είναι γραμμική συνάρτησησχέση μεταξύ δύο μεταβλητών. Επομένως, ο αριθμητικός μέσος όρος των συντελεστών συσχέτισης για πολλά δείγματα δεν συμπίπτει με τη συσχέτιση που υπολογίζεται αμέσως για όλα τα άτομα από αυτά τα δείγματα (δηλαδή, ο συντελεστής συσχέτισης δεν είναι προσθετικός). Αντίθετα, ο συντελεστής προσδιορισμού αντικατοπτρίζει τη σχέση γραμμικά και, επομένως, είναι προσθετικός: μπορεί να υπολογιστεί ο μέσος όρος σε πολλά δείγματα.

Επιπλέον πληροφορίεςσχετικά με την ισχύ της σχέσης δίνει την τιμή του συντελεστή συσχέτισης στο τετράγωνο - ο συντελεστής προσδιορισμού: αυτό είναι το μέρος της διακύμανσης μιας μεταβλητής που μπορεί να εξηγηθεί από την επιρροή μιας άλλης μεταβλητής. Σε αντίθεση με τον συντελεστή συσχέτισης, ο συντελεστής προσδιορισμού αυξάνεται γραμμικά με την αύξηση της ισχύος της σύνδεσης.

Συντελεστές συσχέτισης Spearman και τ-Kendall (συσχετίσεις κατάταξης)

Εάν παρουσιάζονται και οι δύο μεταβλητές μεταξύ των οποίων μελετάται η σχέση τακτική κλίμακα, ή ένα από αυτά - σε τακτική, και το άλλο - σε μετρική, τότε εφαρμόζονται οι συντελεστές συσχέτισης κατάταξης: Spearman ή τ-Kendell. Και οι δύο συντελεστές απαιτούν προηγούμενη κατάταξη και των δύο μεταβλητών για την εφαρμογή τους.

Ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης του Spearman είναι μια μη παραμετρική μέθοδος που χρησιμοποιείται στατιστική μελέτησυνδέσεις μεταξύ φαινομένων. Στην περίπτωση αυτή, προσδιορίζεται ο πραγματικός βαθμός παραλληλισμού μεταξύ των δύο ποσοτικών σειρών των μελετηθέντων χαρακτηριστικών και εκτιμάται η στεγανότητα της καθιερωμένης σχέσης χρησιμοποιώντας έναν ποσοτικά εκφρασμένο συντελεστή.

Εάν τα μέλη μιας ομάδας ταξινομήθηκαν πρώτα από τη μεταβλητή x και μετά από τη μεταβλητή y, τότε η συσχέτιση μεταξύ των μεταβλητών x και y μπορεί να ληφθεί με τον απλό υπολογισμό του συντελεστή Pearson για τις δύο σειρές κατάταξης. Με την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν σύνδεσμοι στις τάξεις (δηλαδή, δεν υπάρχουν επαναλαμβανόμενες τάξεις) για καμία από τις μεταβλητές, ο τύπος για το Pearson μπορεί να απλοποιηθεί σημαντικά υπολογιστικά και να μετατραπεί στον τύπο που είναι γνωστός ως Spearman.

Η ισχύς του συντελεστή συσχέτισης κατάταξης Spearman είναι κάπως κατώτερη από τη δύναμη του συντελεστή παραμετρικής συσχέτισης.

Συνιστάται η χρήση του συντελεστή συσχέτισης κατάταξης παρουσία μικρού αριθμού παρατηρήσεων. Αυτή η μέθοδοςμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για ποσοτικά εκφραζόμενα δεδομένα, αλλά και σε περιπτώσεις όπου οι καταγεγραμμένες τιμές καθορίζονται από περιγραφικά χαρακτηριστικά ποικίλης έντασης.

Συντελεστής συσχέτισης βαθμού Spearman σε σε μεγάλους αριθμούςίσες τάξεις για μία ή και τις δύο συγκρίσιμες μεταβλητές δίνει χονδρικές τιμές. Στην ιδανική περίπτωση, και οι δύο συσχετισμένες σειρές θα πρέπει να είναι δύο αλληλουχίες αταίριαστων τιμών.

Μια εναλλακτική στη συσχέτιση Spearman για τις τάξεις είναι η συσχέτιση τ-Kendall. Ο συσχετισμός που προτείνει ο M. Kendall βασίζεται στην ιδέα ότι η κατεύθυνση της σύνδεσης μπορεί να κριθεί συγκρίνοντας τα θέματα σε ζεύγη: εάν ένα ζεύγος θεμάτων έχει μια αλλαγή στο x που συμπίπτει ως προς την κατεύθυνση με μια αλλαγή στο y, τότε αυτό δείχνει μια θετική σχέση, αν δεν ταιριάζει - κάτι για μια αρνητική σχέση.

Ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης Spearman είναι μια μη παραμετρική μέθοδος που χρησιμοποιείται για τη στατιστική μελέτη της σχέσης μεταξύ φαινομένων. Στην περίπτωση αυτή, προσδιορίζεται ο πραγματικός βαθμός παραλληλισμού μεταξύ των δύο ποσοτικών σειρών των μελετηθέντων χαρακτηριστικών και εκτιμάται η στεγανότητα της καθιερωμένης σχέσης χρησιμοποιώντας έναν ποσοτικά εκφρασμένο συντελεστή.

1. Ιστορικό ανάπτυξης του συντελεστή συσχέτισης βαθμών

Αυτό το κριτήριο αναπτύχθηκε και προτάθηκε για ανάλυση συσχέτισης το 1904 Τσαρλς Έντουαρντ Σπίρμαν, Άγγλος ψυχολόγος, καθηγητής στα Πανεπιστήμια του Λονδίνου και του Τσέστερφιλντ.

2. Σε τι χρησιμεύει η αναλογία Spearman;

Ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης Spearman χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό και την αξιολόγηση της εγγύτητας της σχέσης μεταξύ δύο σειρών ποσοτικούς δείκτες. Σε περίπτωση που οι τάξεις των δεικτών, ταξινομημένες κατά βαθμό αύξησης ή μείωσης, στις περισσότερες περιπτώσεις συμπίπτουν (μια μεγαλύτερη τιμή ενός δείκτη αντιστοιχεί σε μεγαλύτερη τιμή ενός άλλου δείκτη - για παράδειγμα, κατά τη σύγκριση του ύψους του ασθενούς και του σωματικού του βάρους), συμπεραίνεται ότι εκεί ευθείασυσχέτιση. Εάν οι τάξεις των δεικτών έχουν την αντίθετη κατεύθυνση (μια υψηλότερη τιμή ενός δείκτη αντιστοιχεί σε μια χαμηλότερη τιμή ενός άλλου - για παράδειγμα, όταν συγκρίνετε την ηλικία και τον καρδιακό ρυθμό), μετά μιλούν για ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗδεσμούς μεταξύ δεικτών.

Ο συντελεστής συσχέτισης του Spearman έχει τις ακόλουθες ιδιότητες:
1. Ο συντελεστής συσχέτισης μπορεί να πάρει τιμές από μείον ένα έως ένα, και στο rs=1 υπάρχει μια αυστηρά άμεση σχέση και στο rs= -1 - αυστηρά Ανατροφοδότηση.
2. Εάν ο συντελεστής συσχέτισης είναι αρνητικός, τότε υπάρχει αντίστροφη σχέση, εάν είναι θετικός, τότε υπάρχει άμεση σχέση.
3. Εάν ο συντελεστής συσχέτισης είναι ίσος με μηδέν, τότε η σχέση μεταξύ των ποσοτήτων πρακτικά απουσιάζει.
4. Όσο πιο κοντά είναι το μέτρο του συντελεστή συσχέτισης στη μονάδα, τόσο ισχυρότερη είναι η σχέση μεταξύ των μετρούμενων τιμών.

3. Σε ποιες περιπτώσεις μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο συντελεστής Spearman;

Λόγω του ότι ο συντελεστής είναι μέθοδος μη παραμετρική ανάλυση , δεν απαιτείται έλεγχος για κανονική κατανομή.

Συγκρίσιμοι δείκτες μπορούν να μετρηθούν όπως στο συνεχής κλίμακα(για παράδειγμα, ο αριθμός των ερυθροκυττάρων σε 1 μl αίματος), και σε τακτικός(π.χ. σημεία αξιολόγηση από ομοτίμουςαπό 1 έως 5).

Η αποτελεσματικότητα και η ποιότητα της εκτίμησης του Spearman μειώνεται εάν η διαφορά μεταξύ των διαφορετικών τιμών οποιασδήποτε από τις μετρούμενες ποσότητες είναι αρκετά μεγάλη. Δεν συνιστάται η χρήση του συντελεστή Spearman εάν υπάρχει άνιση κατανομή των τιμών της μετρούμενης ποσότητας.

4. Πώς να υπολογίσετε την αναλογία Spearman;

Ο υπολογισμός του συντελεστή συσχέτισης κατάταξης Spearman περιλαμβάνει τα ακόλουθα βήματα:

5. Πώς ερμηνεύεται η τιμή του συντελεστή Spearman;

Όταν χρησιμοποιείται ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης, η εγγύτητα της σύνδεσης μεταξύ των σημείων εκτιμάται υπό όρους, λαμβάνοντας υπόψη τις τιμές του συντελεστή ίσες με 0,3 ή λιγότερο - δείκτες ασθενούς εγγύτητας της σύνδεσης. Οι τιμές μεγαλύτερες από 0,4 αλλά μικρότερες από 0,7 είναι δείκτες μέτριας εγγύτητας σύνδεσης και οι τιμές 0,7 και άνω είναι δείκτες υψηλής εγγύτητας επικοινωνίας.

Η στατιστική σημασία του ληφθέντος συντελεστή εκτιμάται χρησιμοποιώντας το Student's t-test. Εάν η υπολογιζόμενη τιμή του κριτηρίου t είναι μικρότερη από την τιμή του πίνακα για έναν δεδομένο αριθμό βαθμών ελευθερίας, στατιστική σημασίαδεν παρατηρείται σχέση. Αν περισσότερο, τότε η συσχέτιση θεωρείται στατιστικά σημαντική.

Πειθαρχία" ανώτερα μαθηματικά"προκαλεί κάποια απόρριψη, αφού δεν είναι πραγματικά δυνατό για όλους να το καταλάβουν. Αλλά όσοι έχουν την τύχη να μελετήσουν αυτό το θέμα και να λύσουν προβλήματα χρησιμοποιώντας διάφορες εξισώσειςκαι συντελεστές, μπορεί να καυχηθεί για σχεδόν πλήρη γνώση του. ΣΤΟ ψυχολογική επιστήμηδεν υπάρχει μόνο ανθρωπιστική εστίαση, αλλά και ορισμένους τύπουςκαι μεθόδους για τη μαθηματική επαλήθευση της υπόθεσης που διατυπώθηκε κατά τη διάρκεια της έρευνας. Για αυτό, εφαρμόζονται διάφοροι συντελεστές.

Συντελεστής συσχέτισης Spearman

Αυτή είναι μια κοινή μέτρηση για τον προσδιορισμό της εγγύτητας της σχέσης μεταξύ οποιωνδήποτε δύο χαρακτηριστικών. Ο συντελεστής ονομάζεται επίσης μη παραμετρική μέθοδος. Εμφανίζει στατιστικά στοιχεία σύνδεσης. Δηλαδή, γνωρίζουμε, για παράδειγμα, ότι σε ένα παιδί, η επιθετικότητα και η ευερεθιστότητα σχετίζονται και ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης Spearman δείχνει τη στατιστική μαθηματική σχέση αυτών των δύο χαρακτηριστικών.

Πώς υπολογίζεται ο συντελεστής κατάταξης;

Φυσικά, για όλους μαθηματικούς ορισμούςή ποσότητες, υπάρχουν τύποι με τους οποίους υπολογίζονται. Έχει επίσης τον συντελεστή συσχέτισης Spearman. Η φόρμουλα του είναι η εξής:

Με την πρώτη ματιά, ο τύπος δεν είναι απολύτως σαφής, αλλά αν κοιτάξετε, όλα είναι πολύ εύκολο να υπολογιστούν:

• n είναι ο αριθμός των χαρακτηριστικών ή των δεικτών που κατατάσσονται.
• d είναι η διαφορά μεταξύ ορισμένων δύο βαθμών που αντιστοιχούν στις συγκεκριμένες δύο μεταβλητές κάθε θέματος.
• ∑d 2 είναι το άθροισμα όλων των τετραγωνικών διαφορών των βαθμίδων χαρακτηριστικών, τα τετράγωνα των οποίων υπολογίζονται χωριστά για κάθε κατάταξη.

Πεδίο εφαρμογής του μαθηματικού μέτρου σύνδεσης

Για εφαρμογή συντελεστής κατάταξηςείναι απαραίτητο να ταξινομηθούν τα ποσοτικά δεδομένα του χαρακτηριστικού, δηλαδή, τους αποδόθηκε ένας συγκεκριμένος αριθμός ανάλογα με τον τόπο όπου βρίσκεται το χαρακτηριστικό και την τιμή του. Αποδεικνύεται ότι δύο σειρές χαρακτηριστικών που εκφράζονται σε αριθμητική μορφήείναι κάπως παράλληλες μεταξύ τους. Ο συντελεστής συσχέτισης βαθμού Spearman καθορίζει τον βαθμό αυτού του παραλληλισμού, τη στενότητα της σχέσης των χαρακτηριστικών.

Για μαθηματική πράξηγια να υπολογίσετε και να προσδιορίσετε τη σχέση των χαρακτηριστικών χρησιμοποιώντας τον καθορισμένο συντελεστή, πρέπει να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες:

1. Σε κάθε τιμή οποιουδήποτε θέματος ή φαινομένου εκχωρείται ένας αριθμός κατά σειρά - μια κατάταξη. Μπορεί να αντιστοιχεί στην τιμή του φαινομένου σε αύξουσα και φθίνουσα σειρά.
2. Στη συνέχεια, συγκρίνονται οι βαθμίδες των τιμών των σημείων δύο ποσοτικών σειρών για να προσδιοριστεί η διαφορά μεταξύ τους.
3. Σε ξεχωριστή στήλη του πίνακα, για κάθε διαφορά που προκύπτει, γράφεται το τετράγωνό της και τα αποτελέσματα συνοψίζονται παρακάτω.
4. Μετά από αυτά τα βήματα, εφαρμόζεται ένας τύπος με τον οποίο υπολογίζεται ο συντελεστής συσχέτισης Spearman.

Ιδιότητες του συντελεστή συσχέτισης

Οι κύριες ιδιότητες του συντελεστή Spearman περιλαμβάνουν τα ακόλουθα:

• Τιμές μέτρησης μεταξύ -1 και 1.
• Το πρόσημο του συντελεστή ερμηνείας έχει αρ.
• Η εγγύτητα της σύνδεσης καθορίζεται από την αρχή: όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή, τόσο πιο κοντά είναι η σύνδεση.

Πώς να ελέγξετε την τιμή που λάβατε;

Για να ελέγξετε τη σχέση μεταξύ των σημείων, πρέπει να εκτελέσετε ορισμένες ενέργειες:

1. που προβάλλεται μηδενική υπόθεση(Η0), είναι και ο κύριος, μετά διατυπώνεται άλλος, εναλλακτικός του πρώτου (Η 1). Η πρώτη υπόθεση θα ήταν ότι ο συντελεστής συσχέτισης Spearman είναι 0, που σημαίνει ότι δεν θα υπάρξει σύνδεση. Το δεύτερο, αντίθετα, λέει ότι ο συντελεστής δεν είναι ίσος με 0, τότε υπάρχει σύνδεση.
2. Το επόμενο βήμα είναι να βρείτε την παρατηρούμενη τιμή του κριτηρίου. Βρίσκεται από τον βασικό τύπο του συντελεστή Spearman.
3. Στη συνέχεια, βρίσκονται οι κρίσιμες τιμές του δεδομένου κριτηρίου. Αυτό μπορεί να γίνει μόνο χρησιμοποιώντας έναν ειδικό πίνακα που εμφανίζεται διάφορες έννοιεςγια δεδομένους δείκτες: επίπεδο σημαντικότητας (l) και ο αριθμός που καθορίζει (n).
4. Τώρα πρέπει να συγκρίνουμε τις δύο λαμβανόμενες τιμές: την καθιερωμένη παρατηρήσιμη, καθώς και την κρίσιμη. Για να γίνει αυτό, πρέπει να χτίσετε μια κρίσιμη περιοχή. Είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή, να σημειώσετε πάνω της τα σημεία της κρίσιμης τιμής του συντελεστή με το σύμβολο "-" και με το σύμβολο "+". Αριστερά και δεξιά από τις κρίσιμες τιμές, οι κρίσιμες περιοχές σχεδιάζονται σε ημικύκλια από τα σημεία. Στη μέση, συνδυάζοντας δύο τιμές, σημειώνεται με ένα ημικύκλιο του OPG.
5. Μετά από αυτό, γίνεται ένα συμπέρασμα για τη στενότητα της σχέσης μεταξύ των δύο χαρακτηριστικών.

Πού είναι το καλύτερο μέρος για να χρησιμοποιήσετε αυτήν την τιμή;

Η πρώτη επιστήμη όπου χρησιμοποιήθηκε ενεργά αυτός ο συντελεστής ήταν η ψυχολογία. Εξάλλου, πρόκειται για μια επιστήμη που δεν βασίζεται σε αριθμούς, ωστόσο, απαιτείται η απόδειξη σημαντικών υποθέσεων σχετικά με την ανάπτυξη σχέσεων, τα χαρακτηριστικά των ανθρώπων, τις γνώσεις των μαθητών, τη στατιστική επιβεβαίωση των συμπερασμάτων. Χρησιμοποιείται επίσης στην οικονομία, ιδίως στις συναλλαγές συναλλάγματος. Εδώ, αξιολογούνται χαρακτηριστικά χωρίς στατιστικά στοιχεία. Ο συντελεστής συσχέτισης κατάταξης του Spearman είναι πολύ βολικός σε αυτόν τον τομέα εφαρμογής, καθώς η αξιολόγηση γίνεται ανεξάρτητα από την κατανομή των μεταβλητών, καθώς αντικαθίστανται από έναν αριθμό κατάταξης. Ο συντελεστής Spearman χρησιμοποιείται ενεργά στον τραπεζικό τομέα. Η κοινωνιολογία, οι πολιτικές επιστήμες, η δημογραφία και άλλες επιστήμες το χρησιμοποιούν επίσης στην έρευνά τους. Τα αποτελέσματα λαμβάνονται γρήγορα και όσο το δυνατόν ακριβέστερα.

Χρησιμοποίησε εύκολα και γρήγορα τον συντελεστή συσχέτισης του Spearman στο Excel. Υπάρχουν ειδικές λειτουργίες εδώ που σας βοηθούν να λάβετε γρήγορα τις απαραίτητες τιμές.

Ποιοι άλλοι συντελεστές συσχέτισης υπάρχουν;

Εκτός από αυτά που μάθαμε για τον συντελεστή συσχέτισης Spearman, υπάρχουν επίσης διάφοροι συντελεστές συσχέτισης που μας επιτρέπουν να μετράμε, να αξιολογούμε ποιοτικά χαρακτηριστικά, σύνδεση μεταξύ ποσοτικά χαρακτηριστικά, η στενότητα της μεταξύ τους σχέσης, που παρουσιάζεται σε κλίμακα κατάταξης. Αυτοί είναι συντελεστές όπως bis-serial, rank-bis-serial, περιεχόμενο, συσχετισμοί και ούτω καθεξής. Ο συντελεστής Spearman δείχνει τη στεγανότητα της σύνδεσης με μεγάλη ακρίβεια, σε αντίθεση με όλες τις άλλες μεθόδους μαθηματικού προσδιορισμού της.