Βαθμός με εκθέτη αρνητικού κανόνα. Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: «Πτυχίο με αρνητικό δείκτη

Μάθημα και παρουσίαση με θέμα: "Πτυχίο με αρνητικό δείκτη. Ορισμός και παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων"

Πρόσθετα υλικά
Αγαπητοί χρήστες, μην ξεχάσετε να αφήσετε τα σχόλια, τα σχόλια, τις προτάσεις σας. Όλα τα υλικά ελέγχονται από ένα πρόγραμμα προστασίας από ιούς.

Διδακτικά βοηθήματα και προσομοιωτές στο ηλεκτρονικό κατάστημα "Integral" για την τάξη 8
Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Muravina G.K. Εγχειρίδιο για το σχολικό βιβλίο Alimova Sh.A.

Προσδιορισμός του βαθμού με αρνητικό εκθέτη

Παιδιά, είμαστε καλοί στο να ανεβάζουμε τους αριθμούς σε δύναμη.
Για παράδειγμα: $2^4=2*2*2*2=16$ $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Γνωρίζουμε καλά ότι οποιοσδήποτε αριθμός με μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα. $a^0=1$, $a≠0$.
Γεννιέται το ερώτημα, τι θα συμβεί αν αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική δύναμη; Για παράδειγμα, με τι θα ήταν ίσος ο αριθμός $2^(-2)$;
Οι πρώτοι μαθηματικοί που έθεσαν αυτή την ερώτηση αποφάσισαν ότι δεν άξιζε την επανεφεύρεση του τροχού και ήταν καλό που όλες οι ιδιότητες των μοιρών παραμένουν ίδιες. Δηλαδή, όταν πολλαπλασιάζονται οι δυνάμεις με την ίδια βάση, οι εκθέτες αθροίζονται.
Ας εξετάσουμε αυτήν την περίπτωση: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Καταλάβαμε ότι το γινόμενο τέτοιων αριθμών πρέπει να δίνει ενότητα. Η μονάδα στο γινόμενο προκύπτει πολλαπλασιάζοντας τα αντίστροφα, δηλαδή $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Αυτός ο συλλογισμός οδήγησε στον ακόλουθο ορισμό.
Ορισμός. Αν $n$ φυσικός αριθμόςκαι $α≠0$, τότε ισχύει η ακόλουθη ισότητα: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Μια σημαντική ταυτότητα που χρησιμοποιείται συχνά: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Συγκεκριμένα, $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Παραδείγματα λύσεων

Παράδειγμα 1
Υπολογίστε: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Λύση.
Ας εξετάσουμε κάθε όρο ξεχωριστά.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Απομένει να εκτελέσουμε τις πράξεις πρόσθεσης και αφαίρεσης: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Απάντηση: $6\frac(1)(4)$.

Παράδειγμα 2
Υποβολή για δεδομένου αριθμούως πτυχίο πρώτος αριθμός$\frac(1)(729)$.

Λύση.
Προφανώς $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Αλλά το 729 δεν είναι ένας πρώτος αριθμός που τελειώνει σε 9. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι αυτός ο αριθμός είναι δύναμη του τρία. Ας διαιρέσουμε διαδοχικά το 729 με το 3.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Έξι λειτουργίες έχουν ολοκληρωθεί, που σημαίνει: $729=3^6$.
Για το έργο μας:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Απάντηση: $3^(-6)$.

Παράδειγμα 3. Εκφράστε την παράσταση ως δύναμη: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)(a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Λύση. Η πρώτη πράξη γίνεται πάντα μέσα στις αγκύλες και μετά ο πολλαπλασιασμός $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Απάντηση: $a$.

Παράδειγμα 4. Αποδείξτε την ταυτότητα:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2 )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1 )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Λύση.
Στην αριστερή πλευρά, εξετάστε κάθε παράγοντα σε παρένθεση ξεχωριστά.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1))(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2 )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x ^2-2xy+y^2))(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Ας προχωρήσουμε στο κλάσμα με το οποίο διαιρούμε.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y))(x(x+y))$.
5. Ας κάνουμε τη διαίρεση.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Αποκτήσαμε τη σωστή ταυτότητα, η οποία έπρεπε να αποδειχθεί.

Στο τέλος του μαθήματος, θα ξαναγράψουμε τους κανόνες για ενέργειες με μοίρες, εδώ ο εκθέτης είναι ακέραιος.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση

1. Υπολογίστε: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Αντιπροσωπεύστε τον δεδομένο αριθμό ως δύναμη ενός πρώτου αριθμού $\frac(1)(16384)$.
3. Εκφράστε την έκφραση ως βαθμό:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Αποδείξτε την ταυτότητα:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) ))(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Τύποι ισχύοςχρησιμοποιείται στη διαδικασία μείωσης και απλοποίησης σύνθετες εκφράσεις, στην επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων.

Αριθμός ντοείναι n-η δύναμη ενός αριθμού έναπότε:

Επιχειρήσεις με πτυχία.

1. Πολλαπλασιάζοντας τις μοίρες με την ίδια βάση, οι δείκτες τους αθροίζονται:

είμαιa n = a m + n .

2. Στη διαίρεση των μοιρών με την ίδια βάση αφαιρούνται οι δείκτες τους:

3. Ο βαθμός του γινομένου του 2 ή περισσότεροοι παράγοντες είναι ίσοι με το γινόμενο των δυνάμεων αυτών των παραγόντων:

(abc…) n = a n b n c n…

4. Ο βαθμός ενός κλάσματος είναι ίσος με τον λόγο των μοιρών του μερίσματος και του διαιρέτη:

(a/b) n = a n / b n .

5. Ανεβάζοντας μια δύναμη σε δύναμη, οι εκθέτες πολλαπλασιάζονται:

(am) n = a m n .

Κάθε τύπος παραπάνω είναι σωστός στις κατευθύνσεις από αριστερά προς τα δεξιά και αντίστροφα.

Για παράδειγμα. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Επεμβάσεις με ρίζες.

1. Η ρίζα του γινομένου πολλών παραγόντων είναι ίση με το γινόμενο των ριζών αυτών των παραγόντων:

2. Η ρίζα του λόγου είναι ίση με την αναλογία του μερίσματος και του διαιρέτη των ριζών:

3. Όταν ανεβάζετε μια ρίζα σε δύναμη, αρκεί να αυξήσετε τον αριθμό της ρίζας σε αυτήν την ισχύ:

4. Αν αυξήσουμε το βαθμό της ρίζας μέσα nμια φορά και ταυτόχρονα ανέβασε σε nΗ ισχύς είναι ένας αριθμός ρίζας, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

5. Αν μειώσουμε το βαθμό της ρίζας μέσα nρίζα ταυτόχρονα nου βαθμού από τον ριζικό αριθμό, τότε η τιμή της ρίζας δεν θα αλλάξει:

Πτυχίο γ αρνητικός δείκτης. Ο βαθμός κάποιου αριθμού με μη θετικό (ακέραιο) εκθέτη ορίζεται ως ένας διαιρούμενος με τον βαθμό του ίδιου αριθμού με εκθέτη ίσο με απόλυτη τιμήμη θετικός δείκτης:

Τύπος είμαι:a n = a m - nμπορεί να χρησιμοποιηθεί όχι μόνο για Μ> n, αλλά και στο Μ< n.

Για παράδειγμα. ένα4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Στη φόρμουλα είμαι:a n = a m - nέγινε δίκαιη στο m=n, χρειάζεστε την παρουσία του μηδενικού βαθμού.

Βαθμός με μηδενικό εκθέτη.Η ισχύς οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με μηδενικό εκθέτη είναι ίση με ένα.

Για παράδειγμα. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Πτυχίο γ κλασματικός δείκτης. Για να αυξήσετε έναν πραγματικό αριθμό έναεώς ένα βαθμό m/n, πρέπει να εξαγάγετε τη ρίζα nο βαθμός του Μη δύναμη αυτού του αριθμού ένα.

Η αύξηση σε αρνητική δύναμη είναι ένα από τα βασικά στοιχεία των μαθηματικών, το οποίο συναντάται συχνά στην επίλυση αλγεβρικών προβλημάτων. Παρακάτω είναι μια αναλυτική οδηγία.

Πώς να ανεβείτε σε μια αρνητική δύναμη - θεωρία

Όταν παίρνουμε έναν αριθμό στη συνηθισμένη ισχύ, πολλαπλασιάζουμε την τιμή του πολλές φορές. Για παράδειγμα, 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27. C αρνητικό κλάσμαείναι το ανάποδο. Η γενική μορφή σύμφωνα με τον τύπο θα έχει επόμενη προβολή: a -n = 1/a n . Έτσι, για να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική ισχύ, πρέπει να διαιρέσετε τη μονάδα με τον δεδομένο αριθμό, αλλά ήδη θετικό βαθμό.

Πώς να αυξήσετε σε αρνητική ισχύ - παραδείγματα σε συνηθισμένους αριθμούς

Έχοντας υπόψη τον παραπάνω κανόνα, ας λύσουμε μερικά παραδείγματα.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Απάντηση: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Η απάντηση είναι -4 -2 = 1/16.

Γιατί όμως η απάντηση στο πρώτο και στο δεύτερο παράδειγμα είναι ίδια; Το θέμα είναι ότι κατά την κατασκευή αρνητικός αριθμόςσε άρτια δύναμη (2, 4, 6, κ.λπ.), το πρόσημο γίνεται θετικό. Εάν ο βαθμός ήταν άρτιος, τότε το μείον διατηρείται:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Πώς να αυξήσετε σε αρνητική ισχύ - αριθμοί από το 0 στο 1

Θυμηθείτε ότι όταν ένας αριθμός μεταξύ 0 και 1 αυξάνεται σε θετική ισχύ, η τιμή μειώνεται όσο αυξάνεται η ισχύς. Έτσι, για παράδειγμα, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

Παράδειγμα 3: Υπολογίστε το 0,5 -2
Λύση: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Απάντηση: 0,5 -2 = 4

Ανάλυση (ακολουθία ενεργειών):

Μετατρέψτε το δεκαδικό 0,5 σε κλασματικό 1/2. Είναι ευκολότερο.
Αύξηση 1/2 σε αρνητική ισχύ. 1/(2) -2 . Διαιρούμε το 1 με το 1/(2) 2, παίρνουμε 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

Παράδειγμα 4: Υπολογίστε το 0,5 -3
Λύση: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

Παράδειγμα 5: Υπολογίστε -0,5 -3
Λύση: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Απάντηση: -0,5 -3 = -8

Με βάση το 4ο και 5ο παράδειγμα, θα βγάλουμε αρκετά συμπεράσματα:

Για θετικός αριθμόςστην περιοχή από 0 έως 1 (παράδειγμα 4), ανυψωμένο σε αρνητική ισχύ, άρτιος ή περιττός βαθμός δεν είναι σημαντικός, η τιμή της έκφρασης θα είναι θετική. Ταυτόχρονα, παρά περισσότερο πτυχίο, τόσο μεγαλύτερη είναι η αξία.
Για έναν αρνητικό αριθμό μεταξύ 0 και 1 (Παράδειγμα 5), αυξημένο σε αρνητική ισχύ, είτε η δύναμη είναι άρτια είτε περιττή, η τιμή της παράστασης θα είναι αρνητική. Σε αυτή την περίπτωση, όσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός, τόσο χαμηλότερη είναι η τιμή.

Πώς να αυξήσετε σε αρνητική ισχύ - την ισχύ ως κλασματικός αριθμός

Εκφράσεις αυτού του τύπουέχουν την εξής μορφή: a -m/n , όπου a είναι ένας συνηθισμένος αριθμός, m είναι ο αριθμητής του βαθμού, n ο παρονομαστής του βαθμού.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:
Υπολογίστε: 8 -1/3

Λύση (ακολουθία ενεργειών):

Θυμηθείτε τον κανόνα για την αύξηση ενός αριθμού σε αρνητική δύναμη. Παίρνουμε: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3 .
Σημειώστε ότι ο παρονομαστής είναι 8 σε κλασματική δύναμη. Η γενική μορφή υπολογισμού ενός κλασματικού βαθμού είναι η εξής: a m/n = n √8 m .
Έτσι, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Παίρνουμε κυβική ρίζααπό οκτώ, που είναι 2. Από εδώ, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
Απάντηση: 8 -1/3 = 2

Πρώτο επίπεδο

Ο βαθμός και οι ιδιότητές του. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Γιατί χρειάζονται πτυχία; Πού τα χρειάζεστε; Γιατί χρειάζεται να αφιερώσετε χρόνο στη μελέτη τους;

Για να μάθετε τα πάντα για τα πτυχία, σε τι χρησιμεύουν, πώς να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας Καθημερινή ζωήδιαβάστε αυτό το άρθρο.

Και, φυσικά, η γνώση των πτυχίων θα σας φέρει πιο κοντά σε έναν επιτυχημένο περνώντας το OGEή την Ενιαία Κρατική Εξέταση και να μπεις στο πανεπιστήμιο των ονείρων σου.

Πάμε... (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση! Εάν αντί για τύπους βλέπετε ασυναρτησίες, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac).

ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η εκτίμηση είναι η ίδια μαθηματική πράξηόπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός ή διαίρεση.

Τώρα θα τα εξηγήσω όλα ανθρώπινη γλώσσαπολύ απλά παραδείγματα. Πρόσεχε. Τα παραδείγματα είναι στοιχειώδη, αλλά εξηγούν σημαντικά πράγματα.

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη.

Δεν υπάρχει τίποτα να εξηγήσω εδώ. Τα ξέρεις ήδη όλα: είμαστε οκτώ. Κάθε ένα έχει δύο μπουκάλια κόλα. Πόσο κόλα; Αυτό είναι σωστό - 16 μπουκάλια.

Τώρα πολλαπλασιασμός.

Το ίδιο παράδειγμα με την κόλα μπορεί να γραφτεί με διαφορετικό τρόπο: . Οι μαθηματικοί είναι πονηροί και τεμπέληδες. Πρώτα παρατηρούν κάποια μοτίβα και μετά βρίσκουν έναν τρόπο να τα «μετρήσουν» πιο γρήγορα. Στην περίπτωσή μας, παρατήρησαν ότι καθένα από τα οκτώ άτομα είχε τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών κόλα και κατέληξαν σε μια τεχνική που ονομάζεται πολλαπλασιασμός. Συμφωνώ, θεωρείται ευκολότερο και πιο γρήγορο από.

Έτσι, για να μετράτε πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη, απλά πρέπει να θυμάστε προπαιδεία. Φυσικά, μπορείς να τα κάνεις όλα πιο αργά, πιο δύσκολα και με λάθη! Αλλά…

Εδώ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Επαναλαμβάνω.

Και ένα άλλο, πιο όμορφο:

Και ποια άλλα δύσκολα κόλπα μέτρησης βρήκαν οι τεμπέληδες μαθηματικοί; Σωστά - ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη.

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό από τον εαυτό του πέντε φορές, τότε οι μαθηματικοί λένε ότι πρέπει να αυξήσετε αυτόν τον αριθμό στην πέμπτη δύναμη. Για παράδειγμα, . Οι μαθηματικοί θυμούνται ότι δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι. Και λύνουν τέτοια προβλήματα στο μυαλό τους - πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη.

Για να το κάνετε αυτό, χρειάζεστε μόνο θυμηθείτε τι επισημαίνεται με χρώμα στον πίνακα των δυνάμεων των αριθμών. Πιστέψτε με, θα κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη.

Παρεμπιπτόντως, γιατί λέγεται το δεύτερο πτυχίο τετράγωνοαριθμούς και το τρίτο κύβος? Τι σημαίνει? Υψηλά καλή ερώτηση. Τώρα θα έχετε και τετράγωνα και κύβους.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #1

Ας ξεκινήσουμε με ένα τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού.

Φανταστείτε μια τετράγωνη πισίνα που μετράει μέτρα ανά μέτρα. Η πισίνα βρίσκεται στην αυλή σας. Έχει ζέστη και θέλω πολύ να κολυμπήσω. Αλλά ... πισίνα χωρίς πάτο! Είναι απαραίτητο να καλύψετε το κάτω μέρος της πισίνας με πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζεστε; Για να το προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε την περιοχή του πυθμένα της πισίνας.

Μπορείτε απλά να μετρήσετε πατώντας το δάχτυλό σας ότι το κάτω μέρος της πισίνας αποτελείται από κύβους μέτρο προς μέτρο. Αν τα πλακάκια σας είναι μέτρο με μέτρο, θα χρειαστείτε κομμάτια. Είναι εύκολο... Μα πού είδες τέτοιο πλακάκι; Το πλακάκι θα είναι μάλλον εκατοστά εκ. Και μετά θα σε βασανίζουν «μετρώντας με το δάχτυλό σου». Τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε. Έτσι, στη μία πλευρά του πάτου της πισίνας θα τοποθετήσουμε πλακάκια (κομμάτια) και στην άλλη πλακάκια επίσης. Πολλαπλασιάζοντας με, λαμβάνετε πλακίδια ().

Παρατηρήσατε ότι πολλαπλασιάσαμε τον ίδιο αριθμό από μόνος του για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του πυθμένα της πισίνας; Τι σημαίνει? Εφόσον πολλαπλασιάζεται ο ίδιος αριθμός, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της εκθέσεως. (Φυσικά, όταν έχετε μόνο δύο αριθμούς, πρέπει ακόμα να τους πολλαπλασιάσετε ή να τους αυξήσετε σε μια ισχύ. Αλλά αν έχετε πολλούς από αυτούς, τότε η αύξηση σε μια ισχύ είναι πολύ πιο εύκολη και επίσης υπάρχουν λιγότερα λάθη στους υπολογισμούς Για την εξέταση, αυτό είναι πολύ σημαντικό).
Έτσι, τριάντα έως το δεύτερο βαθμό θα είναι (). Ή μπορείτε να πείτε ότι θα είναι τριάντα στο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο. Και αντίστροφα, αν δείτε τετράγωνο, είναι ΠΑΝΤΑ η δεύτερη δύναμη κάποιου αριθμού. Ένα τετράγωνο είναι μια εικόνα της δεύτερης δύναμης ενός αριθμού.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #2

Εδώ είναι μια εργασία για εσάς, μετρήστε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη σκακιέρα χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αριθμού ... Στη μία πλευρά των κελιών και στην άλλη επίσης. Για να μετρήσετε τον αριθμό τους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το οκτώ επί οκτώ ή ... αν παρατηρήσετε ότι μια σκακιέρα είναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε το οκτώ. Αποκτήστε κύτταρα. () Ετσι?

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #3

Τώρα ο κύβος ή η τρίτη δύναμη ενός αριθμού. Η ίδια πισίνα. Αλλά τώρα πρέπει να μάθετε πόσο νερό θα πρέπει να χυθεί σε αυτή την πισίνα. Πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο. (Οι όγκοι και τα υγρά, παρεμπιπτόντως, μετρώνται σε κυβικά μέτρα. Απροσδόκητα, σωστά;) Σχεδιάστε μια πισίνα: ένας πάτος σε μέγεθος ένα μέτρο και ένα μέτρο βάθος και προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσοι κύβοι μέτρο ανά μέτρο συνολικά θα μπουν στην πισίνα σας.

Απλώς κουνήστε το δάχτυλό σας και μετρήστε! Ένα, δύο, τρία, τέσσερα… είκοσι δύο, είκοσι τρία… Πόσο βγήκε; Δεν χάθηκες; Είναι δύσκολο να μετρήσεις με το δάχτυλό σου; Ετσι ώστε! Πάρτε ένα παράδειγμα από μαθηματικούς. Είναι τεμπέληδες, οπότε παρατήρησαν ότι για να υπολογίσετε τον όγκο της πισίνας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της το ένα με το άλλο. Στην περίπτωσή μας, ο όγκος της πισίνας θα είναι ίσος με κύβους ... Πιο εύκολο, σωστά;

Τώρα φανταστείτε πόσο τεμπέληδες και πονηροί είναι οι μαθηματικοί αν το κάνουν πολύ εύκολο. Μείωσε τα πάντα σε μία ενέργεια. Παρατήρησαν ότι το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα και ότι ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του... Και τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πτυχίο. Έτσι, αυτό που κάποτε μετρούσατε με ένα δάχτυλο, το κάνουν με μία ενέργεια: τρία σε έναν κύβο είναι ίσα. Είναι γραμμένο έτσι:

Παραμένει μόνο απομνημονεύστε τον πίνακα των βαθμών. Εκτός, φυσικά, αν είστε τόσο τεμπέληδες και πονηροί όσο οι μαθηματικοί. Αν σας αρέσει να εργάζεστε σκληρά και να κάνετε λάθη, μπορείτε να συνεχίσετε να μετράτε με το δάχτυλό σας.

Λοιπόν, για να σας πείσω επιτέλους ότι τα πτυχία εφευρέθηκαν από αργόσχολους και πονηρούς ανθρώπους για να τους λύσουν προβλήματα ζωής, και για να μην σας δημιουργήσω προβλήματα, ορίστε μερικά ακόμη παραδείγματα από τη ζωή.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #4

Έχετε ένα εκατομμύριο ρούβλια. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε άλλο ένα εκατομμύριο για κάθε εκατομμύριο. Δηλαδή, κάθε ένα από τα εκατομμύρια σας στην αρχή κάθε έτους διπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε χρόνια; Αν τώρα κάθεσαι και «μετράς με το δάχτυλό σου», τότε είσαι πολύ εργατικός άνθρωπος και .. ηλίθιος. Το πιο πιθανό όμως είναι να δώσεις απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, γιατί είσαι έξυπνος! Έτσι, τον πρώτο χρόνο - δύο φορές δύο ... τον δεύτερο χρόνο - τι έγινε, από δύο ακόμη, τον τρίτο χρόνο ... Σταματήστε! Παρατηρήσατε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται μόνος του μία φορά. Άρα δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο! Τώρα φανταστείτε ότι έχετε διαγωνισμό και αυτός που υπολογίζει πιο γρήγορα θα πάρει αυτά τα εκατομμύρια ... Αξίζει να θυμάστε τους βαθμούς των αριθμών, τι πιστεύετε;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #5

Έχεις ένα εκατομμύριο. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε δύο περισσότερα για κάθε εκατομμύριο. Είναι υπέροχο σωστά; Κάθε εκατομμύριο τριπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε ένα χρόνο; Ας μετρήσουμε. Το πρώτο έτος - πολλαπλασιάστε με, μετά το αποτέλεσμα με ένα άλλο ... Είναι ήδη βαρετό, γιατί έχετε ήδη καταλάβει τα πάντα: το τρία πολλαπλασιάζεται από μόνο του φορές. Άρα η τέταρτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι το τρία προς την τέταρτη δύναμη είναι ή.

Τώρα ξέρετε ότι ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη, θα κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη. Ας ρίξουμε μια περαιτέρω ματιά στο τι μπορείτε να κάνετε με τα πτυχία και τι πρέπει να γνωρίζετε για αυτά.

Όροι και έννοιες ... για να μην μπερδευτούμε

Λοιπόν, πρώτα, ας ορίσουμε τις έννοιες. Τι νομίζετε, τι είναι εκθέτης? Είναι πολύ απλό - αυτός είναι ο αριθμός που βρίσκεται "στην κορυφή" της ισχύος του αριθμού. Δεν είναι επιστημονικό, αλλά ξεκάθαρο και εύκολο στην απομνημόνευση...

Λοιπόν, την ίδια στιγμή, τι μια τέτοια βάση πτυχίου? Ακόμα πιο απλός είναι ο αριθμός που βρίσκεται στο κάτω μέρος, στη βάση.

Εδώ είναι μια φωτογραφία για να είστε σίγουροι.

Λοιπόν και μέσα γενική εικόναγια να γενικεύσουμε και να θυμάστε καλύτερα ... Ένας βαθμός με βάση "" και εκθέτη "" διαβάζεται ως "στο βαθμό" και γράφεται ως εξής:

Δύναμη ενός αριθμού με φυσικός δείκτης

Μάλλον μαντέψατε ήδη: επειδή ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός. Ναι, αλλά τι είναι φυσικός αριθμός? Στοιχειώδης! Οι φυσικοί αριθμοί είναι αυτοί που χρησιμοποιούνται στη μέτρηση κατά την καταχώριση στοιχείων: ένα, δύο, τρία ... Όταν μετράμε στοιχεία, δεν λέμε: «μείον πέντε», «μείον έξι», «μείον επτά». Δεν λέμε ούτε «ένα τρίτο» ή «μηδέν πόντος πέντε δέκατα». Αυτοί δεν είναι φυσικοί αριθμοί. Ποιοι πιστεύετε ότι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Αριθμοί όπως "μείον πέντε", "μείον έξι", "μείον επτά" αναφέρονται ολόκληροι αριθμοί.Γενικά, οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον) και έναν αριθμό. Το μηδέν είναι εύκολο να κατανοηθεί - αυτό είναι όταν δεν υπάρχει τίποτα. Και τι σημαίνουν αρνητικοί («μείον») αριθμοί; Αλλά εφευρέθηκαν κυρίως για να δηλώσουν χρέη: εάν έχετε υπόλοιπο στο τηλέφωνό σας σε ρούβλια, αυτό σημαίνει ότι οφείλετε ρούβλια στον χειριστή.

Όλα τα κλάσματα είναι ρητοί αριθμοί. Πώς προέκυψαν, πιστεύεις; Πολύ απλό. Πριν από αρκετές χιλιάδες χρόνια, οι πρόγονοί μας ανακάλυψαν ότι δεν είχαν αρκετούς φυσικούς αριθμούς για να μετρήσουν το μήκος, το βάρος, το εμβαδόν κ.λπ. Και κατέληξαν στο ρητοί αριθμοί… Ενδιαφέρον, έτσι δεν είναι;

Υπάρχουν και παράλογοι αριθμοί. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Εν ολίγοις, ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, αν διαιρέσετε την περιφέρεια ενός κύκλου με τη διάμετρό του, τότε παίρνετε έναν παράλογο αριθμό.

Περίληψη:

Ας ορίσουμε την έννοια του βαθμού, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

Οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του:
Το τετράγωνο ενός αριθμού σημαίνει πολλαπλασιασμός του από τον εαυτό του:
Ο κύβος ενός αριθμού σημαίνει ότι τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του τρεις φορές:

Ορισμός.Σηκώστε έναν αριθμό στο φυσικός βαθμόςσημαίνει να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με τον εαυτό του φορές:
.

Ιδιότητες πτυχίου

Από πού προήλθαν αυτά τα ακίνητα; Θα σου δείξω τώρα.

Ας δούμε τι είναι και ?

Εξ ορισμού:

Πόσοι πολλαπλασιαστές υπάρχουν συνολικά;

Είναι πολύ απλό: προσθέσαμε παράγοντες στους παράγοντες και το αποτέλεσμα είναι παράγοντες.

Αλλά εξ ορισμού, αυτός είναι ο βαθμός ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή: , που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:

Παράδειγμα:Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας αναγκαίωςπρέπει να είναι ίδιους λόγους!
Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψετε αυτό.

2. δηλαδή -η δύναμη ενός αριθμού

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε;

Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Πτυχίο με αρνητική βάση

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο ποιος πρέπει να είναι ο εκθέτης.

Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση;

Σε μοίρες από φυσικός δείκτηςη βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί.

Ας σκεφτούμε ποια σημάδια (" " ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΑΛΛΑ? ? Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με, βγαίνει.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Κατάφερες?

Εδώ είναι οι απαντήσεις: Στα τέσσερα πρώτα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό!

6 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση της λύσης 6 παραδείγματα

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων! Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Εάν ανταλλάσσονταν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας.

Αλλά πώς να το κάνουμε αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε ακόμη και πτυχίο: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τους χαρακτήρες σε αγκύλες.

Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα σημάδια αλλάζουν ταυτόχρονα!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

ολόκληροςονομάζουμε τους φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους (δηλαδή λαμβάνονται με το πρόσημο «») και τον αριθμό.

θετικός ακέραιος, και δεν διαφέρει από το φυσικό, τότε όλα μοιάζουν ακριβώς όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Ας δούμε τώρα νέες περιπτώσεις. Ας ξεκινήσουμε με έναν δείκτη ίσο με.

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα:

Όπως πάντα, αναρωτιόμαστε: γιατί συμβαίνει αυτό;

Σκεφτείτε λίγη δύναμη με βάση. Πάρτε, για παράδειγμα, και πολλαπλασιάστε με:

Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό επί, και πήραμε τον ίδιο όπως ήταν -. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί για να μην αλλάξει τίποτα; Αυτό είναι σωστό, επάνω. Που σημαίνει.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με έναν αυθαίρετο αριθμό:

Ας επαναλάβουμε τον κανόνα:

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα.

Υπάρχουν όμως εξαιρέσεις σε πολλούς κανόνες. Και εδώ είναι επίσης εκεί - αυτός είναι ένας αριθμός (ως βάση).

Από τη μια πλευρά, πρέπει να είναι ίσο με οποιοδήποτε βαθμό - όσο κι αν πολλαπλασιάσετε το μηδέν με τον εαυτό του, εξακολουθείτε να παίρνετε μηδέν, αυτό είναι ξεκάθαρο. Αλλά από την άλλη πλευρά, όπως κάθε αριθμός στον μηδενικό βαθμό, πρέπει να είναι ίσος. Ποια είναι λοιπόν η αλήθεια αυτού; Οι μαθηματικοί αποφάσισαν να μην εμπλακούν και αρνήθηκαν να ανεβάσουν το μηδέν στη μηδενική ισχύ. Δηλαδή, τώρα μπορούμε όχι μόνο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά και να το ανεβάσουμε στη μηδενική ισχύ.

Ας πάμε παρακάτω. Εκτός από τους φυσικούς αριθμούς και τους αριθμούς, οι ακέραιοι περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς. Για να καταλάβουμε τι είναι αρνητικός εκθέτης, ας κάνουμε όπως στο τελευταία φορά: πολλαπλασιάστε κάποιον κανονικό αριθμό με τον ίδιο σε αρνητικό βαθμό:

Από εδώ είναι ήδη εύκολο να εκφράσουμε το επιθυμητό:

Τώρα επεκτείνουμε τον κανόνα που προκύπτει σε αυθαίρετο βαθμό:

Ας διαμορφώσουμε λοιπόν τον κανόνα:

Ένας αριθμός σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη. Αλλα ΤΑΥΤΟΧΡΟΝΑ Η βάση δεν μπορεί να είναι μηδενική:(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Ας συνοψίσουμε:

I. Η έκφραση δεν ορίζεται σε περίπτωση. Αν τότε.

II. Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με ένα: .

III. Ένας αριθμός που δεν είναι ίσος με το μηδέν σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη: .

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Λοιπόν, ως συνήθως, παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Ανάλυση εργασιών για ανεξάρτητη λύση:

Ξέρω, ξέρω, τα νούμερα είναι τρομακτικά, αλλά στις εξετάσεις πρέπει να είσαι έτοιμος για όλα! Λύστε αυτά τα παραδείγματα ή αναλύστε τη λύση τους αν δεν μπορούσατε να τη λύσετε και θα μάθετε πώς να τα αντιμετωπίζετε εύκολα στις εξετάσεις!

Ας συνεχίσουμε να επεκτείνουμε το εύρος των αριθμών "κατάλληλων" ως εκθέτης.

Τώρα σκεφτείτε ρητοί αριθμοί.Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητικοί;

Απάντηση: όλα όσα μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι, επιπλέον.

Για να καταλάβουμε τι είναι "κλασματικός βαθμός"Ας εξετάσουμε ένα κλάσμα:

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη:

Τώρα θυμηθείτε τον κανόνα "πτυχίο σε πτυχίο":

Ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη για να ληφθεί;

Αυτή η διατύπωση είναι ο ορισμός της ρίζας του ου βαθμού.

Να σας υπενθυμίσω: η ρίζα της ης δύναμης ενός αριθμού () είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται σε δύναμη, είναι ίσος.

Δηλαδή, η ρίζα του ου βαθμού είναι η αντίστροφη πράξη της εκθέσεως: .

Τελικά φαίνεται πως. Προφανώς αυτό ειδική περίπτωσημπορεί να επεκταθεί: .

Τώρα προσθέστε τον αριθμητή: τι είναι; Η απάντηση είναι εύκολο να ληφθεί με τον κανόνα power-to-power:

Μπορεί όμως η βάση να είναι οποιοσδήποτε αριθμός; Εξάλλου, η ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από όλους τους αριθμούς.

Κανένας!

Θυμηθείτε τον κανόνα: οποιοσδήποτε αριθμός ανυψωθεί σε άρτια δύναμη είναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, είναι αδύνατο να εξαχθούν ρίζες ζυγού βαθμού από αρνητικούς αριθμούς!

Και αυτό σημαίνει ότι τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αυξηθούν σε κλασματικός βαθμόςμε άρτιο παρονομαστή, δηλαδή η έκφραση δεν έχει νόημα.

Τι γίνεται με την έκφραση;

Εδώ όμως προκύπτει ένα πρόβλημα.

Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άλλα, μειωμένα κλάσματα, για παράδειγμα, ή.

Και αποδεικνύεται ότι υπάρχει, αλλά δεν υπάρχει, και πρόκειται μόνο για δύο διαφορετικές εγγραφές του ίδιου αριθμού.

Ή ένα άλλο παράδειγμα: μία φορά, τότε μπορείτε να το γράψετε. Μόλις όμως γράψουμε τον δείκτη με διαφορετικό τρόπο, ξαναμπαίνουμε σε μπελάδες: (δηλαδή, πήραμε ένα τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα!).

Για να αποφύγετε τέτοια παράδοξα, σκεφτείτε μόνο θετικός εκθέτης βάσης με κλασματικό εκθέτη.

Οπότε αν:

- φυσικός αριθμός;
είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Πτυχία με ορθολογικός δείκτηςπολύ χρήσιμο για μετασχηματισμό εκφράσεων με ρίζες, για παράδειγμα:

5 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση 5 παραδειγμάτων για εκπαίδευση

Λοιπόν, τώρα - το πιο δύσκολο. Τώρα θα αναλύσουμε βαθμό με παράλογο εκθέτη.

Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των μοιρών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για τους βαθμούς με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση

Πράγματι, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλαδή, οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικούς αριθμούςεκτός από ορθολογικό).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους.

Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές.

...μηδενική ισχύς- αυτός είναι, όπως ήταν, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από μόνος του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει ακόμη εμφανιστεί - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένας ορισμένος "κενός αριθμός" , δηλαδή τον αριθμό?

...αρνητικός ακέραιος εκθέτης- είναι σαν να έχει λάβει χώρα μια συγκεκριμένη «αντίστροφη διαδικασία», δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός.

Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

ΠΟΥ ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΙΓΟΥΡΟΙ ΘΑ ΠΑΤΕ! (αν μάθεις να λύνεις τέτοια παραδείγματα :))

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ανάλυση λύσεων:

1. Ας ξεκινήσουμε με τον ήδη συνηθισμένο κανόνα για την αύξηση του πτυχίου σε ένα βαθμό:

Δείτε τώρα το σκορ. Σας θυμίζει κάτι; Υπενθυμίζουμε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των τετραγώνων:

Σε αυτήν την περίπτωση,

Τελικά φαίνεται πως:

Απάντηση: .

2. Δίνουμε κλάσματα σε εκθέτες του k το ίδιο είδος: Είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο κανονικά. Παίρνουμε, για παράδειγμα:

Απάντηση: 16

3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ορισμός πτυχίου

Ο βαθμός είναι έκφραση της μορφής: , όπου:

— βάση πτυχίου?
- εκθέτης.

Βαθμός με φυσικό εκθέτη (n = 1, 2, 3,...)

Η αύξηση ενός αριθμού στη φυσική ισχύ n σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:

Ισχύς με ακέραιο εκθέτη (0, ±1, ±2,...)

Αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιοςαριθμός:

ανέγερση σε μηδενική ισχύ:

Η έκφραση είναι αόριστη, γιατί, αφενός, σε οποιοδήποτε βαθμό είναι αυτό, και αφετέρου, οποιοσδήποτε αριθμός στον ου βαθμό είναι αυτό.

Αν ο εκθέτης είναι ακέραιος αρνητικόςαριθμός:

(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Για άλλη μια φορά για τα μηδενικά: η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

Παραδείγματα:

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

- φυσικός αριθμός;
είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Ιδιότητες πτυχίου

Για να διευκολύνουμε την επίλυση προβλημάτων, ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε: από πού προήλθαν αυτές οι ιδιότητες; Ας τους αποδείξουμε.

Ας δούμε: τι είναι και;

Εξ ορισμού:

Έτσι, στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης, προκύπτει το ακόλουθο προϊόν:

Αλλά εξ ορισμού, αυτή είναι μια δύναμη ενός αριθμού με έναν εκθέτη, δηλαδή:

Q.E.D.

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : .

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας αναγκαίωςπρέπει να έχουν την ίδια βάση. Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

Αλλο σημαντική σημείωση: αυτός ο κανόνας είναι - μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψω.

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Ας το αναδιατάξουμε ως εξής:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η -η δύναμη του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:!

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε; Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Ισχύς με αρνητική βάση.

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο τι θα έπρεπε να είναι δείκτηςβαθμός. Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση; Σε μοίρες από φυσικός δείκτης η βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ .

Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί. Ας σκεφτούμε ποια σημάδια (" " ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΑΛΛΑ? ?

Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Και ούτω καθεξής ad infinitum: με κάθε επόμενο πολλαπλασιασμό, το πρόσημο θα αλλάζει. Είναι δυνατό να διατυπωθεί τέτοια απλούς κανόνες:

ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
Το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ ισούται με μηδέν.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Κατάφερες? Εδώ είναι οι απαντήσεις:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στα πρώτα τέσσερα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό. Εδώ πρέπει να μάθετε ποιο είναι λιγότερο: ή; Αν το θυμάστε αυτό, γίνεται σαφές ότι, πράγμα που σημαίνει ότι η βάση είναι μικρότερη από το μηδέν. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2: το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Και πάλι χρησιμοποιούμε τον ορισμό του πτυχίου:

Όλα είναι ως συνήθως - γράφουμε τον ορισμό των βαθμών και τους χωρίζουμε ο ένας στον άλλο, τους χωρίζουμε σε ζεύγη και παίρνουμε:

Πριν την αποσυναρμολόγηση τελευταίος κανόναςΑς ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε τις τιμές των παραστάσεων:

Λύσεις :

Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ο κανόνας 3. Πώς γίνεται όμως αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Αν το πολλαπλασιάσετε επί, δεν αλλάζει τίποτα, σωστά; Τώρα όμως μοιάζει με αυτό:

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες. Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα ζώδια αλλάζουν ταυτόχρονα!Δεν μπορεί να αντικατασταθεί αλλάζοντας μόνο ένα απαράδεκτο μείον για εμάς!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Ο τελευταίος κανόνας λοιπόν:

Πώς θα το αποδείξουμε; Φυσικά, ως συνήθως: ας επεκτείνουμε την έννοια του πτυχίου και ας απλοποιήσουμε:

Λοιπόν, τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες. Πόσα γράμματα θα είναι; φορές με πολλαπλασιαστές - πώς μοιάζει; Αυτό δεν είναι παρά ο ορισμός μιας πράξης πολλαπλασιασμός: συνολικά αποδείχθηκαν πολλαπλασιαστές. Δηλαδή, είναι εξ ορισμού δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη:

Παράδειγμα:

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Εκτός από πληροφορίες σχετικά με τους βαθμούς για το μέσο επίπεδο, θα αναλύσουμε το πτυχίο με έναν παράλογο δείκτη. Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση - εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλ. , οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ορθολογικούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους. Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές. ένας αριθμός στον μηδέν βαθμό είναι, σαν να λέγαμε, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως, το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα ορισμένη «προετοιμασία ενός αριθμού», δηλαδή ένας αριθμός· ένας βαθμός με ακέραιο αρνητικό δείκτη - είναι σαν να έχει συμβεί μια συγκεκριμένη "αντίστροφη διαδικασία", δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Είναι εξαιρετικά δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη (όπως είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν 4-διάστατο χώρο). Μάλλον, είναι ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επεκτείνουν την έννοια του βαθμού σε ολόκληρο τον χώρο των αριθμών.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός. Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

Τι κάνουμε λοιπόν αν δούμε έναν παράλογο εκθέτη; Προσπαθούμε να το ξεφορτωθούμε! :)

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Απαντήσεις:

Θυμηθείτε τη διαφορά των τετραγώνων. Απάντηση: .
Φέρνουμε τα κλάσματα στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα: .
Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Βαθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής: , όπου:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

βαθμός, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

βαθμό, ο δείκτης του οποίου είναι αρνητικός και κλασματικοί αριθμοί.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

εκθέτης του οποίου ο εκθέτης είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα ή ρίζα.

Ιδιότητες πτυχίου

Χαρακτηριστικά πτυχίων.

Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
Το μηδέν ισούται με οποιαδήποτε δύναμη.
Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος.

ΤΩΡΑ ΕΧΕΙΣ ΛΟΓΙΑ...

Πώς σας φαίνεται το άρθρο; Ενημερώστε με στα σχόλια παρακάτω αν σας άρεσε ή όχι.

Πείτε μας για την εμπειρία σας με τις ιδιότητες ισχύος.

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Στο πλαίσιο αυτού του υλικού, θα αναλύσουμε τι είναι η δύναμη ενός αριθμού. Εκτός από τους βασικούς ορισμούς, θα διατυπώσουμε τι είναι οι μοίρες με φυσικούς, ακέραιους, ορθολογικούς και παράλογους εκθέτες. Όπως πάντα, όλες οι έννοιες θα επεξηγηθούν με παραδείγματα εργασιών.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Πρώτα διατυπώνουμε βασικός ορισμόςβαθμό με φυσικό δείκτη. Για να γίνει αυτό, πρέπει να θυμόμαστε τους βασικούς κανόνες του πολλαπλασιασμού. Ας διευκρινίσουμε εκ των προτέρων ότι προς το παρόν θα πάρουμε έναν πραγματικό αριθμό ως βάση (ας τον συμβολίσουμε με το γράμμα α), και ως δείκτη - έναν φυσικό αριθμό (που συμβολίζεται με το γράμμα n).

Ορισμός 1

Η ισχύς του a με φυσικό εκθέτη n είναι το γινόμενο του nου αριθμού παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με τον αριθμό a. Το πτυχίο γράφεται ως εξής: a n, και με τη μορφή τύπου, η σύνθεσή του μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Για παράδειγμα, αν ο εκθέτης είναι 1 και η βάση είναι a, τότε η πρώτη δύναμη του a γράφεται ως Α'1. Δεδομένου ότι a είναι η τιμή του παράγοντα και 1 είναι ο αριθμός των παραγόντων, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι α 1 = α.

Σε γενικές γραμμές, μπορούμε να πούμε ότι ο βαθμός είναι ένας βολικός συμβολισμός ένας μεγάλος αριθμόςίσους πολλαπλασιαστές. Λοιπόν, μια καταγραφή της φόρμας 8 8 8 8μπορεί να μειωθεί σε 8 4 . Με τον ίδιο περίπου τρόπο, το έργο μας βοηθά να αποφύγουμε το γράψιμο ένας μεγάλος αριθμόςόροι (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; το έχουμε ήδη αναλύσει στο άρθρο που είναι αφιερωμένο στον πολλαπλασιασμό των φυσικών αριθμών.

Πώς να διαβάσετε σωστά το αρχείο του πτυχίου; Η γενικά αποδεκτή επιλογή είναι "a στη δύναμη του n". Ή μπορείτε να πείτε "η nη δύναμη του a" ή "η nη δύναμη". Αν, ας πούμε, στο παράδειγμα υπάρχει μια καταχώρηση 8 12 , μπορούμε να διαβάσουμε «8 στη 12η δύναμη», «8 στη δύναμη του 12» ή «12η δύναμη του 8».

Ο δεύτερος και ο τρίτος βαθμός του αριθμού έχουν τα δικά τους καθιερωμένα ονόματα: τετράγωνο και κύβος. Αν δούμε τη δεύτερη δύναμη, για παράδειγμα, του αριθμού 7 (7 2), τότε μπορούμε να πούμε "7 τετράγωνο" ή "τετράγωνο του αριθμού 7". Ομοίως, ο τρίτος βαθμός διαβάζεται ως εξής: 5 3 είναι ο «κύβος του αριθμού 5» ή «5 κυβικός». Ωστόσο, είναι επίσης δυνατό να χρησιμοποιηθεί η τυπική διατύπωση "στο δεύτερο / τρίτο βαθμό", αυτό δεν θα είναι λάθος.

Παράδειγμα 1

Ας δούμε ένα παράδειγμα πτυχίου με φυσικό δείκτη: για 5 7 πέντε θα είναι η βάση και επτά θα είναι ο δείκτης.

Η βάση δεν χρειάζεται να είναι ακέραιος αριθμός: για το βαθμό (4 , 32) 9 η βάση θα είναι ένα κλάσμα 4, 32, και ο εκθέτης θα είναι εννέα. Δώστε προσοχή στις αγκύλες: μια τέτοια σημείωση γίνεται για όλες τις μοίρες, οι βάσεις των οποίων διαφέρουν από τους φυσικούς αριθμούς.

Για παράδειγμα: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Σε τι χρησιμεύουν οι αγκύλες; Βοηθούν στην αποφυγή λαθών στους υπολογισμούς. Ας πούμε ότι έχουμε δύο καταχωρήσεις: (− 2) 3 και − 2 3 . Το πρώτο από αυτά σημαίνει αρνητικό αριθμό μείον δύο, αυξημένο σε δύναμη με φυσικό εκθέτη 3. το δεύτερο είναι ο αριθμός που αντιστοιχεί αντίθετο νόημαβαθμός 2 3 .

Μερικές φορές στα βιβλία μπορείτε να βρείτε μια ελαφρώς διαφορετική ορθογραφία του βαθμού ενός αριθμού - a^n(όπου a είναι η βάση και n ο εκθέτης). Άρα το 4^9 είναι το ίδιο με 4 9 . Στην περίπτωση ν είναι πολυψήφιος αριθμός, λαμβάνεται σε παρένθεση. Για παράδειγμα, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Αλλά θα χρησιμοποιήσουμε τη σημειογραφία a nως πιο συνηθισμένο.

Πώς να υπολογίσετε την τιμή ενός βαθμού με έναν φυσικό εκθέτη είναι εύκολο να μαντέψετε από τον ορισμό του: απλά πρέπει να πολλαπλασιάσετε έναν ν -ο αριθμό φορές. Γράψαμε περισσότερα για αυτό σε άλλο άρθρο.

Η έννοια του πτυχίου είναι το αντίθετο μιας άλλης μαθηματική έννοια- η ρίζα του αριθμού. Αν γνωρίζουμε την τιμή του εκθέτη και του εκθέτη, μπορούμε να υπολογίσουμε τη βάση του. Ο βαθμός έχει κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες που είναι χρήσιμες για την επίλυση προβλημάτων που έχουμε αναλύσει σε ξεχωριστό υλικό.

Οι εκθέτες μπορούν να περιέχουν όχι μόνο φυσικούς αριθμούς, αλλά και οποιεσδήποτε ακέραιες τιμές γενικά, συμπεριλαμβανομένων αρνητικών και μηδενικών, επειδή ανήκουν επίσης στο σύνολο των ακεραίων.

Ορισμός 2

Ο βαθμός ενός αριθμού με θετικό ακέραιο εκθέτη μπορεί να εμφανιστεί ως τύπος: .

Επιπλέον, n είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος αριθμός.

Ας ασχοληθούμε με την έννοια του μηδενικού βαθμού. Για να γίνει αυτό, χρησιμοποιούμε μια προσέγγιση που λαμβάνει υπόψη την ιδιότητα του πηλίκου για τις δυνάμεις με ίσους λόγους. Διατυπώνεται ως εξής:

Ορισμός 3

Ισότητα a m: a n = a m − nθα ισχύει υπό τις ακόλουθες συνθήκες: m και n είναι φυσικοί αριθμοί, m< n , a ≠ 0 .

Η τελευταία συνθήκη είναι σημαντική γιατί αποφεύγει τη διαίρεση με το μηδέν. Εάν οι τιμές των m και n είναι ίσες, τότε θα έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα: a n: a n = a n − n = a 0

Αλλά ταυτόχρονα a n: a n = 1 - πηλίκο ίσων αριθμών a nκαι ένα. Αποδεικνύεται ότι ο μηδενικός βαθμός οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού είναι ίσος με ένα.

Ωστόσο, μια τέτοια απόδειξη δεν είναι κατάλληλη για το μηδέν έως την ισχύ μηδέν. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε μια άλλη ιδιότητα των δυνάμεων - την ιδιότητα των προϊόντων δυνάμεων με ίσες βάσεις. Μοιάζει με αυτό: a m a n = a m + n .

Αν το n είναι 0, τότε a m a 0 = a m(Αυτή η ισότητα μας το αποδεικνύει επίσης a 0 = 1). Αλλά αν και είναι επίσης ίσο με μηδέν, η ισότητα μας παίρνει τη μορφή 0 m 0 0 = 0 m, Θα ισχύει για οποιαδήποτε φυσική τιμή του n, και δεν έχει σημασία ποια ακριβώς είναι η τιμή του βαθμού 0 0 , δηλαδή μπορεί να είναι ίσος με οποιονδήποτε αριθμό και αυτό δεν θα επηρεάσει την εγκυρότητα της ισότητας. Επομένως, μια εγγραφή της φόρμας 0 0 δεν έχει ιδιαίτερο νόημα από μόνο του και δεν θα του το αποδώσουμε.

Εάν θέλετε, είναι εύκολο να το ελέγξετε a 0 = 1συγκλίνει με την ιδιότητα πτυχίου (a m) n = a m nμε την προϋπόθεση ότι η βάση του βαθμού δεν είναι ίση με το μηδέν. Έτσι, ο βαθμός οποιουδήποτε μη μηδενικού αριθμού με μηδενικό εκθέτη είναι ίσος με ένα.

Παράδειγμα 2

Ας πάρουμε ένα παράδειγμα με συγκεκριμένους αριθμούς: Ετσι, 5 0 - μονάδα, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , και η τιμή 0 0 απροσδιόριστος.

Μετά τον μηδενικό βαθμό, μένει να καταλάβουμε τι είναι αρνητικός βαθμός. Για να γίνει αυτό, χρειαζόμαστε την ίδια ιδιότητα του γινομένου των δυνάμεων με ίσες βάσεις, που έχουμε ήδη χρησιμοποιήσει παραπάνω: a m · a n = a m + n.

Εισάγουμε τη συνθήκη: m = − n , τότε το a δεν πρέπει να είναι ίσο με μηδέν. Από αυτό προκύπτει ότι a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Αποδεικνύεται ότι ένα ν και έναέχουμε αμοιβαία αμοιβαία νούμερα.

Ως αποτέλεσμα, η ισχύς a σε αρνητικό ακέραιο δεν είναι παρά ένα κλάσμα 1 a n .

Αυτή η διατύπωση επιβεβαιώνει ότι για έναν βαθμό με αρνητικό ακέραιο εκθέτη, ισχύουν όλες οι ίδιες ιδιότητες που έχει ένας βαθμός με φυσικό εκθέτη (με την προϋπόθεση ότι η βάση δεν είναι ίση με μηδέν).

Παράδειγμα 3

Η δύναμη a με αρνητικό ακέραιο n μπορεί να αναπαρασταθεί ως κλάσμα 1 a n . Έτσι, a - n = 1 a n υπό την προϋπόθεση a ≠ 0και n είναι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός.

Ας επεξηγήσουμε την ιδέα μας με συγκεκριμένα παραδείγματα:

Παράδειγμα 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Στο τελευταίο μέρος της παραγράφου, θα προσπαθήσουμε να απεικονίσουμε όλα όσα έχουν ειπωθεί ξεκάθαρα σε έναν τύπο:

Ορισμός 4

Η δύναμη του a με φυσικό εκθέτη z είναι: a z = a z , e c και z είναι θετικός ακέραιος 1 , z = 0 και a ≠ 0 , (αν z = 0 και a = 0 παίρνουμε 0 0 , οι τιμές του η έκφραση 0 0 δεν προσδιορίζεται) 1 a z , αν z είναι αρνητικός ακέραιος και a ≠ 0 (αν z είναι αρνητικός ακέραιος και a = 0 παίρνουμε 0 z , είναι a n d e n t i o n )

Τι είναι οι μοίρες με λογικό εκθέτη

Έχουμε αναλύσει τις περιπτώσεις που ο εκθέτης είναι ακέραιος. Ωστόσο, μπορείτε επίσης να αυξήσετε έναν αριθμό σε δύναμη όταν ο εκθέτης του είναι κλασματικός αριθμός. Αυτό ονομάζεται βαθμός με λογικό εκθέτη. Σε αυτή την υποενότητα θα αποδείξουμε ότι έχει τις ίδιες ιδιότητες με τις άλλες δυνάμεις.

Τι είναι οι ορθολογικοί αριθμοί; Το σύνολο τους περιλαμβάνει τόσο ακέραιους όσο και κλασματικούς αριθμούς, ενώ οι κλασματικοί αριθμοί μπορούν να αναπαρασταθούν ως συνηθισμένα κλάσματα (τόσο θετικά όσο και αρνητικά). Διατυπώνουμε τον ορισμό του βαθμού ενός αριθμού a με κλασματικό εκθέτη m / n, όπου n είναι φυσικός αριθμός και m είναι ακέραιος.

Έχουμε κάποιο βαθμό με κλασματικό εκθέτη a m n . Για να ισχύει η ιδιότητα ισχύος σε μια μοίρα, η ισότητα a m n n = a m n · n = a m πρέπει να είναι αληθής.

Δεδομένου του ορισμού της nης ρίζας και του ότι a m n n = a m , μπορούμε να δεχτούμε τη συνθήκη a m n = a m n εάν το a m n έχει νόημα για τις δεδομένες τιμές των m , n και a .

Οι παραπάνω ιδιότητες του βαθμού με ακέραιο εκθέτη θα είναι αληθείς υπό την συνθήκη a m n = a m n .

Το κύριο συμπέρασμα από τον συλλογισμό μας είναι το εξής: ο βαθμός κάποιου αριθμού α με κλασματικό εκθέτη m / n είναι η ρίζα του ν ου βαθμού από τον αριθμό α στη δύναμη m. Αυτό ισχύει εάν, για δεδομένες τιμές των m, n και a, η έκφραση a m n έχει νόημα.

1. Μπορούμε να περιορίσουμε την τιμή της βάσης του βαθμού: πάρτε a, που για θετικές τιμές του m θα είναι μεγαλύτερη ή ίση με 0, και για αρνητικές τιμές θα είναι αυστηρά μικρότερη (γιατί για m ≤ 0 παίρνουμε 0 μ, αλλά αυτός ο βαθμός δεν ορίζεται). Σε αυτήν την περίπτωση, ο ορισμός του βαθμού με κλασματικό εκθέτη θα μοιάζει με αυτό:

Ο κλασματικός εκθέτης m/n για κάποιο θετικό αριθμό a είναι η ν η ρίζα του a αυξημένη στην ισχύ m. Με τη μορφή ενός τύπου, αυτό μπορεί να αναπαρασταθεί ως εξής:

Για βαθμό με μηδενική βάση, η διάταξη αυτή είναι επίσης κατάλληλη, αλλά μόνο εάν ο εκθέτης είναι θετικός αριθμός.

Μια ισχύς με βάση μηδέν και θετικό κλασματικό εκθέτη m/n μπορεί να εκφραστεί ως

0 m n = 0 m n = 0 υπό την συνθήκη θετικού ακέραιου m και φυσικού n .

Με αρνητικό λόγο m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Ας σημειώσουμε ένα σημείο. Εφόσον έχουμε εισαγάγει την συνθήκη ότι το a είναι μεγαλύτερο ή ίσο με μηδέν, έχουμε απορρίψει ορισμένες περιπτώσεις.

Η έκφραση a m n μερικές φορές εξακολουθεί να έχει νόημα για ορισμένες αρνητικές τιμές του a και μερικές αρνητικές τιμές του m. Άρα, οι εγγραφές είναι σωστές (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , στις οποίες η βάση είναι αρνητική.

2. Η δεύτερη προσέγγιση είναι να εξετάσουμε χωριστά τη ρίζα a m n με άρτιους και περιττούς εκθέτες. Στη συνέχεια πρέπει να εισαγάγουμε μια ακόμη συνθήκη: ο βαθμός a, στον εκθέτη του οποίου υπάρχει ένα αναγώγιμο κοινό κλάσμα, θεωρείται ο βαθμός a, στον εκθέτη του οποίου υπάρχει το αντίστοιχο μη αναγώγιμο κλάσμα. Αργότερα θα εξηγήσουμε γιατί χρειαζόμαστε αυτή την κατάσταση και γιατί είναι τόσο σημαντική. Έτσι, εάν έχουμε μια εγγραφή a m · k n · k , τότε μπορούμε να τη μειώσουμε σε m n και να απλοποιήσουμε τους υπολογισμούς.

Αν το n είναι περιττός αριθμός και το m είναι θετικό και το a είναι οποιοσδήποτε μη αρνητικός αριθμός, τότε το m n έχει νόημα. Η προϋπόθεση για ένα μη αρνητικό α είναι απαραίτητη, αφού η ρίζα ενός άρτιου βαθμού δεν εξάγεται από αρνητικό αριθμό. Αν η τιμή του m είναι θετική, τότε το a μπορεί να είναι και αρνητικό και μηδέν, γιατί Μια περιττή ρίζα μπορεί να ληφθεί από οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό.

Ας συνδυάσουμε όλα τα δεδομένα πάνω από τον ορισμό σε μία καταχώρηση:

Εδώ m/n σημαίνει μη αναγώγιμο κλάσμα, m είναι ακέραιος αριθμός και n κάθε φυσικός αριθμός.

Ορισμός 5

Για οποιοδήποτε συνηθισμένο ανηγμένο κλάσμα m · k n · k, ο βαθμός μπορεί να αντικατασταθεί από ένα m n .

Η ισχύς του a με έναν μη αναγώγιμο κλασματικό εκθέτη m / n - μπορεί να εκφραστεί ως m n σε τις ακόλουθες περιπτώσεις: - για κάθε πραγματικό α , ακέραιος θετικές αξίες m και περιττοί θετικοί ακέραιοι n . Παράδειγμα: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Για κάθε μη μηδενικό πραγματικό a , ακέραιοι αριθμοί αρνητικές τιμές m και περιττές τιμές του n , για παράδειγμα, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Για κάθε μη αρνητικό a , θετικές ακέραιες τιμές m και άρτιων n , για παράδειγμα, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Για κάθε θετικό a , αρνητικό ακέραιο m και άρτιο n , για παράδειγμα, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Στην περίπτωση άλλων τιμών, ο βαθμός με κλασματικό εκθέτη δεν προσδιορίζεται. Παραδείγματα τέτοιων δυνάμεων: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Ας εξηγήσουμε τώρα τη σημασία της συνθήκης που αναφέρθηκε παραπάνω: γιατί να αντικαταστήσουμε ένα κλάσμα με έναν ανάγιμο εκθέτη για ένα κλάσμα με έναν μη αναγώσιμο. Εάν δεν το κάναμε αυτό, τότε τέτοιες καταστάσεις θα είχαν αποδειχθεί, ας πούμε, 6 / 10 = 3 / 5. Τότε (- 1) 6 10 = - 1 3 5 θα πρέπει να είναι αληθές, αλλά - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1, και (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Ο ορισμός του βαθμού με κλασματικό εκθέτη, που δώσαμε πρώτος, είναι πιο βολικός να εφαρμοστεί στην πράξη από τον δεύτερο, οπότε θα συνεχίσουμε να τον χρησιμοποιούμε.

Ορισμός 6

Έτσι, η ισχύς ενός θετικού αριθμού a με κλασματικό εκθέτη m / n ορίζεται ως 0 m n = 0 m n = 0 . Σε περίπτωση αρνητικής έναο συμβολισμός a m n δεν έχει νόημα. Βαθμός μηδέν για θετικούς κλασματικούς εκθέτες m/nορίζεται ως 0 m n = 0 m n = 0 , για αρνητικούς κλασματικούς εκθέτες δεν ορίζουμε το βαθμό μηδέν.

Στα συμπεράσματα, σημειώνουμε ότι οποιοσδήποτε κλασματικός δείκτης μπορεί να γραφτεί όπως στη μορφή μικτός αριθμός, και στη μορφή δεκαδικό κλάσμα: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Κατά τον υπολογισμό, είναι καλύτερο να αντικαταστήσετε τον εκθέτη κοινό κλάσμακαι μετά χρησιμοποιήστε τον ορισμό του βαθμού με κλασματικό εκθέτη. Για τα παραπάνω παραδείγματα, παίρνουμε:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Τι είναι οι μοίρες με παράλογο και πραγματικό εκθέτη

Τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί; Το σύνολο τους περιλαμβάνει τόσο λογικούς όσο και παράλογους αριθμούς. Επομένως, για να καταλάβουμε με τι πτυχίο πραγματικός δείκτης, πρέπει να ορίσουμε βαθμούς με λογικούς και παράλογους εκθέτες. Σχετικά με το ορθολογικό έχουμε ήδη αναφέρει παραπάνω. Ας ασχοληθούμε βήμα-βήμα με τους παράλογους δείκτες.

Παράδειγμα 5

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε έναν άρρητο αριθμό a και μια ακολουθία των δεκαδικών του προσεγγίσεων a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Για παράδειγμα, ας πάρουμε την τιμή a = 1 , 67175331 . . . , έπειτα

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Μπορούμε να συσχετίσουμε ακολουθίες προσεγγίσεων με μια ακολουθία δυνάμεων a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Αν θυμηθούμε τι μιλήσαμε νωρίτερα για την αύξηση των αριθμών σε ορθολογικός βαθμός, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε μόνοι μας τις τιμές αυτών των δυνάμεων.

Πάρτε για παράδειγμα α = 3, τότε a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . και τα λοιπά.

Η ακολουθία των μοιρών μπορεί να μειωθεί σε έναν αριθμό, ο οποίος θα είναι η τιμή του βαθμού με τη βάση α και τον παράλογο εκθέτη α. Ως αποτέλεσμα: ένας βαθμός με παράλογο εκθέτη της μορφής 3 1 , 67175331 . . μπορεί να μειωθεί στον αριθμό 6, 27.

Ορισμός 7

Η δύναμη ενός θετικού αριθμού α με παράλογο εκθέτη α γράφεται ως a . Η τιμή του είναι το όριο της ακολουθίας a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , όπου a 0 , a 1 , a 2 , . . . είναι διαδοχικές δεκαδικές προσεγγίσεις παράλογος αριθμόςένα. Ένας βαθμός με μηδενική βάση μπορεί επίσης να οριστεί για θετικούς παράλογους εκθέτες, ενώ 0 a \u003d 0 Άρα, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Και για τα αρνητικά, αυτό δεν μπορεί να γίνει, αφού, για παράδειγμα, η τιμή 0 - 5, 0 - 2 π δεν ορίζεται. Μονάδα ανυψώθηκε σε οποιαδήποτε παράλογος βαθμός, παραμένει ένα, για παράδειγμα, και το 1 2 , το 1 5 σε 2 και το 1 - 5 θα είναι ίσο με 1 .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter