Kümnendlogaritmi ruudus arv 7. Võrrandid, ruut logaritmi suhtes ja muud mittestandardsed nipid

Antud on logaritmi põhiomadused, logaritmi graafik, definitsioonipiirkond, väärtuste hulk, põhivalemid, suurenemine ja vähenemine. Vaadeldakse logaritmi tuletise leidmist. Ja ka integraal, laienemine jõuseeria ja esitamine kompleksarvude abil.

Logaritmi definitsioon

Logaritm baasiga a on y funktsioon (x) = log x, pöördvõrdeline eksponentsiaalfunktsioonile alusega a: x (y) = a y.

Kümnendlogaritm on arvu aluse logaritm 10 : log x ≡ log 10 x.

naturaallogaritm on e aluse logaritm: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Logaritmi graafik saadakse eksponentsiaalfunktsiooni graafikult peegelpilt sirgjoone suhtes y = x . Vasakul on funktsiooni y graafikud (x) = log x nelja väärtuse jaoks logaritmi alused:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 ja a = 1/8 . Graafik näitab, et > puhul 1 logaritm kasvab monotoonselt. Kui x suureneb, aeglustub kasv oluliselt. Kell 0 < a < 1 logaritm väheneb monotoonselt.

Logaritmi omadused

Domeen, väärtuste kogum, tõusev, kahanev

Logaritm on monotoonne funktsioon, seega pole sellel äärmusi. Põhiomadused logaritmid on toodud tabelis.


Domeen	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Väärtuste vahemik	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotoonne	suureneb monotoonselt	väheneb monotoonselt
Nullid, y= 0	x= 1	x= 1
Lõikepunktid y-teljega, x = 0	Ei	Ei
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Privaatsed väärtused

Nimetatakse 10 baaslogaritmi kümnendlogaritm ja on tähistatud järgmiselt:

baaslogaritm e helistas naturaallogaritm:

Põhilised logaritmivalemid

Pöördfunktsiooni definitsioonist tulenevad logaritmi omadused:

Logaritmide põhiomadus ja selle tagajärjed

Aluse asendamise valem

Logaritm- see on matemaatiline tehe logaritmi võtmine. Logaritmi võtmisel teisendatakse tegurite korrutised liikmete summadeks.

Potentsieerimine on logaritmile pöördvõrdeline matemaatiline tehe. Potentsieerimisel tõstetakse antud alus avaldise astmeni, millel potentseerimine sooritatakse. Sel juhul teisendatakse terminite summad tegurite korrutisteks.

Logaritmide põhivalemite tõestus

Logaritmidega seotud valemid tulenevad eksponentsiaalfunktsioonide valemitest ja pöördfunktsiooni definitsioonist.

Vaatleme eksponentsiaalfunktsiooni omadust
.
Siis
.
Rakenda eksponentsiaalfunktsiooni omadus
:
.

Tõestame aluse muutmise valemit.
;
.
Seadistusega c = b on meil:

Pöördfunktsioon

Aluse a logaritmi pöördväärtus on eksponentsiaalne funktsioon eksponendiga a.

Kui siis

Logaritmi tuletis

Logaritmi mooduli x tuletis:
.
N-nda järgu tuletis:
.
Valemite tuletamine >>>

Logaritmi tuletise leidmiseks tuleb see taandada alusele e.
;
.

Integraalne

Logaritmi integraal arvutatakse integreerimise teel osade kaupa: .
Niisiis,

Avaldised kompleksarvude kujul

Mõelge kompleksarvu funktsioonile z:
.
Ekspress kompleksarv z mooduli kaudu r ja argument φ :
.
Seejärel, kasutades logaritmi omadusi, saame:
.
Või

Siiski argument φ pole selgelt määratletud. Kui paneme
, kus n on täisarv,
siis on see erinevate jaoks sama number n.

Seetõttu ei ole logaritm kui kompleksmuutuja funktsioon ühe väärtusega funktsioon.

Jõuseeria laiendamine

Laiendus toimub:

Viited:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Matemaatika käsiraamat inseneridele ja kõrgkoolide üliõpilastele, Lan, 2009.

Juhend

Kirjutage antud logaritmiline avaldis. Kui avaldis kasutab logaritmi 10, siis selle tähistus lühendatakse ja näeb välja järgmine: lg b on kümnendlogaritm. Kui logaritmi aluseks on arv e, siis kirjutatakse avaldis: ln b - naturaallogaritm. On arusaadav, et mis tahes tulemuseks on aste, milleni tuleb baasarvu tõsta, et saada arv b.

Kahe funktsiooni summa leidmisel tuleb need lihtsalt ükshaaval eristada ja tulemused liita: (u+v)" = u"+v";

Kahe funktsiooni korrutise tuletise leidmisel on vaja korrutada esimese funktsiooni tuletis teisega ja liita teise funktsiooni tuletis, korrutatud esimese funktsiooniga: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Kahe funktsiooni jagatise tuletise leidmiseks on vaja dividendi tuletise korrutisest jagajafunktsiooniga lahutada jagaja tuletise korrutis jagajafunktsiooniga ja jagada seda kõike jagaja funktsiooni ruudus. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Kui antakse keeruline funktsioon, siis on vaja korrutada sisemise funktsiooni tuletis ja välimise funktsiooni tuletis. Olgu y=u(v(x)), siis y"(x)=y"(u)*v"(x).

Ülaltoodu abil saate eristada peaaegu kõiki funktsioone. Vaatame siis mõnda näidet:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *x));
Samuti on ülesanded tuletise arvutamiseks punktis. Olgu funktsioon y=e^(x^2+6x+5) antud, tuleb leida funktsiooni väärtus punktist x=1.
1) Leia funktsiooni tuletis: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Arvutage funktsiooni väärtus in antud punkt y"(1)=8*e^0=8

Seotud videod

Kasulikud nõuanded

Õppige elementaartuletiste tabelit. See säästab palju aega.

Allikad:

konstantne tuletis

Niisiis, mis vahe on ratsionaalne võrrand ratsionaalsest? Kui tundmatu muutuja on ruutjuure märgi all, peetakse võrrandit irratsionaalseks.

Juhend

Peamine meetod selliste võrrandite lahendamiseks on mõlema poole tõstmise meetod võrrandid ruudu sisse. Kuid. see on loomulik, esimene samm on märgist lahti saada. Tehniliselt pole see meetod keeruline, kuid mõnikord võib see põhjustada probleeme. Näiteks võrrand v(2x-5)=v(4x-7). Mõlema külje ruudustamisel saad 2x-5=4x-7. Sellist võrrandit pole raske lahendada; x=1. Aga numbrit 1 ei anta võrrandid. Miks? Asendage võrrandis ühik x väärtuse asemel. Paremal ja vasakul pool on avaldised, millel pole mõtet, st. Ruutjuure puhul selline väärtus ei kehti. Seetõttu on 1 kõrvaline juur ja seetõttu antud võrrand pole juuri.

Niisiis, irratsionaalne võrrand lahendatakse selle mõlema osa ruutude võtmise meetodil. Ja pärast võrrandi lahendamist on vaja tingimata ära lõigata kõrvalised juured. Selleks asendage leitud juured algse võrrandiga.

Mõelge veel ühele.
2x+vx-3=0
Loomulikult saab seda võrrandit lahendada sama võrrandi abil, mis eelmine. Ülekandeühendid võrrandid, millel pole ruutjuurt, parem pool ja seejärel kasutage ruutude meetodit. lahendage saadud ratsionaalne võrrand ja juured. Aga teine, elegantsem. Sisestage uus muutuja; vx=y. Sellest lähtuvalt saate võrrandi nagu 2y2+y-3=0. Ehk siis tavaline ruutvõrrand. Leidke selle juured; y1=1 ja y2=-3/2. Järgmisena lahendage kaks võrrandid vx=1; vx \u003d -3/2. Teisel võrrandil pole juuri, esimesest leiame, et x=1. Ärge unustage juurte kontrollimise vajadust.

Identiteetide lahendamine on üsna lihtne. See nõuab tegemist identsed teisendused kuni sihtmärk on saavutatud. Seega lihtsa abiga aritmeetilised tehtedülesanne saab lahendatud.

Sa vajad

- paber;
- pastakas.

Juhend

Lihtsaimad sellised teisendused on algebralised lühendatud korrutised (näiteks summa ruut (vahe), ruutude vahe, summa (vahe), summa kuup (vahe)). Lisaks on palju trigonomeetrilised valemid, mis on sisuliselt samad identiteedid.

Tõepoolest, kahe liikme summa ruut on võrdne esimese plussi ruuduga kahekordne toode esimene teiseks ja pluss teise ruut, st (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab +b^2 .

Lihtsustage mõlemat

Lahenduse üldpõhimõtted

Korda õpikut matemaatiline analüüs või kõrgem matemaatika, mis on kindel integraal. Nagu teate, lahendus kindel integraal on funktsioon, mille tuletis annab integrandi. See funktsioon nimetatakse primitiivseks. Selle põhimõtte järgi konstrueeritakse põhiintegraalid.
Määrake integrandi kuju järgi, milline tabeliintegraalidest sobib sel juhul. Seda ei ole alati võimalik kohe kindlaks teha. Sageli muutub tabelivorm märgatavaks alles pärast mitut teisendust integrandi lihtsustamiseks.

Muutuja asendusmeetod

Kui integrand on trigonomeetriline funktsioon, mille argument on mõni polünoom, siis proovige kasutada muutuja asendusmeetodit. Selleks asenda integrandi argumendis olev polünoom mõne uue muutujaga. Uue ja vana muutuja suhte põhjal määrake integreerimise uued piirid. Seda avaldist eristades leidke uus diferentsiaal . Nii saate uut tüüpi endine integraal, mis on lähedane või isegi vastab mis tahes tabelile.

Teist tüüpi integraalide lahendus

Kui integraal on teist tüüpi integraal, integrandi vektorkuju, siis peate kasutama nendelt integraalidelt skalaarsetele liikumiseks reegleid. Üks selline reegel on Ostrogradsky-Gaussi suhe. See seadus võimaldab teil minna rootori voolust mõnele vektorfunktsioon kolmikintegraalile antud vektorvälja lahknemise kohal.

Integratsiooni piiride asendamine

Pärast antiderivaadi leidmist on vaja integratsiooni piirid asendada. Esmalt sisestage väärtus ülempiir antiderivaadi väljendisse. Saate mõne numbri. Järgmisena lahutage saadud arvust teine arv, saadud antiderivaadi alampiir. Kui üheks integratsioonipiiriks on lõpmatus, siis asendades selle antiderivatiivne funktsioon tuleb minna piirini ja leida, millele väljend kipub.
Kui integraal on kahe- või kolmemõõtmeline, peate integraali arvutamise mõistmiseks esitama integratsiooni geomeetrilised piirid. Tõepoolest, näiteks kolmemõõtmelise integraali puhul võivad integreerimise piirid olla terved tasapinnad, mis piiravad integreeritavat mahtu.

log a r b r = log a b või logi a b= logi a r b r

Logaritmi väärtus ei muutu, kui logaritmi alus ja logaritmi märgi all olev arv tõsta samale astmele.

Logaritmi märgi all saab olla ainult positiivsed numbrid, ja logaritmi alus ei ole võrdne ühega.

Näited.

1) Võrrelge log 3 9 ja log 9 81.

log 3 9=2, sest 3 2 =9;

log 9 81=2, sest 9 2 =81.

Seega log 3 9 = log 9 81.

Pange tähele, et teise logaritmi alus on võrdne esimese logaritmi aluse ruuduga: 9=3 2 ja teise logaritmi märgi all olev arv on võrdne esimese logaritmi aluse ruuduga logaritm: 81=9 2 . Selgub, et nii esimese logaritmi log 3 9 arv kui ka alus tõsteti teise astmeni ja logaritmi väärtus sellest ei muutunud:

Veelgi enam, alates juure ekstraheerimisest n aste hulgast a on arvu konstruktsioon a teatud määral ( 1/n), siis log 3 9 saab log 9 81-st, võttes arvu ruutjuure ja logaritmi aluse:

2) Kontrolli võrdsust: log 4 25=log 0,5 0,2.

Mõelge esimesele logaritmile. Väljavõte Ruutjuur alusest 4 ja hulgast 25 ; saame: log 4 25=log 2 5.

Mõelge teisele logaritmile. Logaritmi alus: 0,5= 1/2. Arv selle logaritmi märgi all: 0,2= 1/5. Tõstame kõik need arvud miinus esimese astmeni:

0,5 -1 =(1 / 2) -1 =2;

0,2 -1 =(1 / 5) -1 =5.

Seega log 0,5 0,2 = log 2 5. Järeldus: see võrdsus on tõsi.

Lahendage võrrand:

log 4 x 4 + log 16 81=log 2 (5x+2). Toome logaritmid vasakult baasi 2 .

log 2 x 2 + log 2 3=log 2 (5x+2). Võtsime ruutjuure arvust ja esimese logaritmi baasist. Võtsime arvu neljanda juure ja teise logaritmi aluse.

log 2 (3x 2)=log 2 (5x+2). Teisenda logaritmide summa korrutise logaritmiks.

3x2=5x+2. Saadud pärast võimendamist.

3x2-5x-2=0. Lahendame ruutvõrrandi võrrandiga üldine valem täisruutvõrrandi jaoks:

a = 3, b = -5, c = -2.

D=b2-4ac=(-5)2-4∙3∙(-2)=25+24=49=72>0; 2 tõelist juurt.

Uurimine.

x=2.

log 4 2 4 + log 16 81 = log 2 (5∙2+2);

log 2 2 2 + log 2 3=log 2 12;

log 2 (4∙3) = log 2 12;

log 2 12 = log 2 12;

logi a n b=(1/ n)∙ logi a b

Arvu logaritm b põhjusega a n on võrdne tootega fraktsioonid 1/ n arvu logaritmile b põhjusega a.

Leia:1) 21 log 8 3+40 log 25 2; 2) 30 log 32 3∙log 125 2 kui see on teada log 2 3=b,log 5 2=c.

Lahendus.

Lahenda võrrandid:

1) log 2 x+log 4 x+log 16 x=5,25.

Lahendus.

Toome need logaritmid alusele 2. Rakendame valemit: logi a n b=(1/ n)∙ logi a b

log 2 x+(½) log 2 x+(¼) log 2 x=5,25;

log2x+0,5log2x+0,25log2x=5,25. Siin on sarnased terminid:

(1+0,5+0,25) log 2 x=5,25;

1,75 log 2 x=5,25 |:1,75

logi 2x=3. Logaritmi määratluse järgi:

2) 0,5log 4 (x-2) + log 16 (x-3) = 0,25.

Lahendus. Viige baasi 16 logaritm aluseni 4.

0,5 log 4 (x-2) + 0,5 log 4 (x-3) = 0,25 |: 0,5

log4(x-2)+log4(x-3)=0,5. Teisenda logaritmide summa korrutise logaritmiks.

log 4 ((x-2)(x-3)) = 0,5;

log 4 (x 2 -2x-3x+6) = 0,5;

log 4 (x 2 -5x+6) = 0,5. Logaritmi määratluse järgi:

x 2 -5x+4=0. Vastavalt Vieta teoreemile:

x 1 = 1; x2=4. X esimene väärtus ei tööta, kuna x \u003d 1 korral pole selle võrdsuse logaritme olemas, kuna ainult positiivsed arvud võivad olla logaritmi märgi all.

Kontrollime seda võrrandit x=4 jaoks.

Uurimine.

0,5log 4 (4-2)+log 16 (4-3) = 0,25

0,5log 4 2+log 16 1=0,25

0,5∙0,5+0=0,25

log a b=log c b/log c a

Arvu logaritm b põhjusega a on võrdne logaritmiga numbrid b uuel alusel Koos jagatud vana baasi logaritmiga a uuel alusel Koos.

Näited:

1) log 2 3=log3/log2;

2) log 8 7=ln7/ln8.

Arvutama:

1) logi 5 7 kui see on teada lg7≈0,8451; lg5≈0,6990.

c b / logi c a.

log 5 7=log7/log5≈0,8451:0,6990≈1,2090.

Vastus: logi 5 7≈1,209 0≈1,209 .

2) logi 5 7 kui see on teada ln7≈1,9459; ln5≈1,6094.

Lahendus. Rakendage valem: log a b = log c b / logi c a.

log 5 7=ln7/ln5≈1,9459:1,6094≈1,2091.

Vastus: logi 5 7≈1,209 1≈1,209 .

Otsi x:

1) log 3 x=log 3 4+log 5 6/log 5 3+log 7 8/log 7 3.

Kasutame valemit: log c b / logi c a = logi a b . Saame:

log 3 x=log 3 4+log 3 6+log 3 8;

log 3 x = log 3 (4∙6∙8);

log 3 x = log 3 192;

x = 192 .

2) log 7 x=lg143-log 6 11/log 6 10-log 5 13/log 5 10.

Kasutame valemit: log c b / logi c a = logi a b . Saame:

log 7 x=lg143-lg11-lg13;

log 7 x=lg143- (lg11+lg13);

log 7 x=log143-log(11∙13);

log 7 x=lg143-lg143;

x=1.

1. lehekülg 1-st 1

Mis on logaritm?

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Mis on logaritm? Kuidas logaritme lahendada? Need küsimused ajavad paljud koolilõpetajad segadusse. Traditsiooniliselt peetakse logaritmide teemat keeruliseks, arusaamatuks ja hirmutavaks. Eriti - võrrandid logaritmidega.

See pole absoluutselt tõsi. Absoluutselt! Ei usu? Hea. Nüüd umbes 10–20 minutit:

1. Saage aru mis on logaritm.

2. Õpi lahendama tervet klassi eksponentsiaalvõrrandid. Isegi kui te pole neist kuulnud.

3. Õppige arvutama lihtsaid logaritme.

Veelgi enam, selleks peate teadma ainult korrutustabelit ja seda, kuidas arv astmeks tõstetakse ...

Ma tunnen, et kahtled... Noh, hoia aega! Mine!

Esmalt lahendage oma mõtetes järgmine võrrand:

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

Paljud õpilased jäävad seda tüüpi võrranditesse kinni. Samal ajal pole ülesanded ise sugugi keerulised - piisab vaid pädeva muutuja asendamisest, mille jaoks peaksite õppima stabiilseid avaldisi isoleerima.

Lisaks sellele õppetunnile leiate üsna mahuka iseseisva töö, mis koosneb kahest valikust, millest igaühes on 6 ülesannet.

Rühmitamise meetod

Täna analüüsime kahte logaritmilist võrrandit, millest ühte ei saa "läbi" lahendada ja see nõuab spetsiaalseid teisendusi ja teine ... ma ei räägi siiski kõike korraga. Vaadake videot, laadige alla iseseisev töö ja õppige keerulisi probleeme lahendama.

Niisiis, ühistegurite rühmitamine ja väljavõtmine sulgudest. Lisaks räägin teile, milliseid lõkse endas logaritmide definitsioonivaldkond endas kannab ja kuidas väikesed märkused definitsioonivaldkonnas võivad oluliselt muuta nii juuri kui ka kogu lahendust.

Alustame rühmitamisest. Peame lahendama järgmise logaritmilise võrrandi:

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 = log 2 (x 2 - 3x)

Kõigepealt märgime, et x 2 − 3x saab faktoriseerida:

log 2 x (x − 3)

Siis meenutame imelist valemit:

log a fg = log a f + log a g

Lihtsalt kiire märkus: antud valem töötab suurepäraselt, kui a, f ja g on tavalised arvud. Kuid kui nende asemel on funktsioonid, lakkavad need väljendid olemast õiguste poolest võrdsed. Kujutage ette seda hüpoteetilist olukorda:

f< 0; g < 0

Sel juhul on korrutis fg positiivne, seega on olemas log a ( fg ), kuid log a f ja log a g ei eksisteeri eraldi ning me ei saa sellist teisendust teostada.

Ignoreerimine see fakt viib määratlusvaldkonna kitsenemiseni ja selle tulemusena juurte kadumiseni. Seetõttu tuleb enne sellise teisenduse sooritamist eelnevalt veenduda, et funktsioonid f ja g on positiivsed.

Meie puhul on kõik lihtne. Kuna algses võrrandis on funktsioon log 2 x, siis x > 0 (muutuja x on ju argumendis). Samuti on olemas log 2 (x − 3), seega x − 3 > 0.

Seetõttu on funktsioonis log 2 x (x − 3) iga tegur Üle nulli. Seetõttu saame toote ohutult jaotada summaks:

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x - 3)

log 2 x log 2 (x - 3) + 1 - log 2 x - log 2 (x - 3) = 0

Esmapilgul võib tunduda, et lihtsamaks pole läinud. Vastupidi: terminite arv ainult kasvas! Et mõista, kuidas edasi minna, tutvustame uusi muutujaid:

log 2 x = a

log 2 (x − 3) = b

a b + 1 − a − b = 0

Ja nüüd rühmitame kolmanda termini esimesega:

(a b - a) + (1 - b) = 0

a (1 b - 1) + (1 - b ) = 0

Pange tähele, et nii esimene kui ka teine sulg sisaldavad b - 1 (teisel juhul peate miinuse sulust välja võtma). Faktoriseerime oma konstruktsiooni:

a (1 b - 1) - (b - 1) = 0

(b - 1) (a 1 - 1) = 0

Ja nüüd tuletame meelde oma imelist reeglit: korrutis on võrdne nulliga, kui vähemalt üks teguritest on võrdne nulliga:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Tuletame meelde, mis on b ja a. Saame kaks lihtsat logaritmilist võrrandit, milles jääb üle vaid logaritmi märkidest lahti saada ja argumendid võrdsustada:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Saime kaks juurt, kuid see pole algse logaritmilise võrrandi lahendus, vaid ainult vastuse kandidaadid. Nüüd kontrollime domeeni. Esimese argumendi jaoks:

x > 0

Mõlemad juured vastavad esimesele nõudele. Liigume edasi teise argumendi juurde:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

Aga siin juba x = 2 meid ei rahulda, aga x = 5 sobib meile päris hästi. Seetõttu on ainus vastus x = 5.

Liigume teise logaritmilise võrrandi juurde. Esmapilgul on see palju lihtsam. Kuid selle lahendamise käigus võtame arvesse definitsioonivaldkonnaga seotud peeneid punkte, mille teadmatus muudab algajate õpilaste elu oluliselt keerulisemaks.

log 0,7 (x 2 - 6x + 2) = log 0,7 (7 - 2x)

Meie ees on logaritmilise võrrandi kanooniline vorm. Pole vaja midagi teisendada – isegi alused on samad. Seetõttu võrdsustame lihtsalt argumendid:

x 2 - 6x + 2 = 7 - 2x

x 2 - 6x + 2 - 7 + 2x = 0

x 2 - 4x - 5 = 0

Meie ees on antud ruutvõrrand, see on hõlpsasti lahendatav Vieta valemite abil:

(x – 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Kuid need juured ei ole veel lõplikud vastused. Vajalik on leida definitsioonipiirkond, kuna algses võrrandis on kaks logaritmi, s.t. määratlusvaldkonda tuleb kindlasti arvesse võtta.

Niisiis, kirjutame välja määratluse valdkonna. Ühest küljest peab esimese logaritmi argument olema suurem kui null:

x 2 – 6x + 2 > 0

Teisest küljest peab ka teine argument olema suurem kui null:

7–2x > 0

Need nõuded peavad olema täidetud samal ajal. Ja siit algab kõige huvitavam. Muidugi saame kõik need võrratused lahendada, seejärel ristuda ja leida kogu võrrandi domeeni. Aga miks teha elu enda jaoks nii keeruliseks?

Pangem tähele üht peent. Palgimärkidest vabanemisel võrdsustame argumendid. See tähendab, et nõuded x 2 − 6x + 2 > 0 ja 7 − 2x > 0 on samaväärsed. Selle tulemusena võib ühe kahest ebavõrdsusest läbi kriipsutada. Kriipsutame läbi kõige keerulisema ja jätame endale tavalise lineaarse ebavõrdsuse:

-2x > -7

x< 3,5

Kuna jagasime mõlemad osad negatiivne arv, on ebavõrdsuse märk muutunud.

Nii leidsime ODZ-i ilma ühegita ruutvõrratused, diskriminandid ja ristumiskohad. Nüüd jääb vaid valida sellel intervallil asuvad juured. Ilmselgelt sobib meile ainult x = −1, sest x = 5 > 3,5.

Võite vastuse üles kirjutada: x = 1 on algse logaritmilise võrrandi ainus lahendus.

Selle logaritmilise võrrandi järeldused on järgmised:

Ärge kartke arvutada logaritme ja seejärel arvutada logaritmide summat. Kuid pidage meeles, et jagades korrutise kahe logaritmi summaks, ahendate sellega määratluspiirkonda. Seetõttu kontrollige enne sellise teisenduse läbiviimist kindlasti, millised on ulatuse nõuded. Enamasti probleeme ei teki, kuid see ei tee haiget, kui uuesti ohutult mängida.
Lahti saama kanooniline vorm proovige arvutusi optimeerida. Eelkõige, kui meilt nõutakse, et f > 0 ja g > 0, aga võrrandis endas f = g , siis kriipsutame julgelt ühe võrratuse maha, jättes endale ainult kõige lihtsama. Sel juhul ei kannata defineerimise ja vastuste valdkond kuidagi, kuid arvutuste maht väheneb oluliselt.

See on tegelikult kõik, mida ma rühmituse kohta öelda tahtsin. :)

Tüüpilised vead lahendamisel

Täna analüüsime kahte tüüpilist logaritmilist võrrandit, mille otsa paljud õpilased komistavad. Nende võrrandite näitel näeme, milliseid vigu tehakse algsete avaldiste lahendamise ja teisendamise protsessis kõige sagedamini.

Murdratsionaalvõrrandid logaritmidega

Peab kohe ära märkima, et tegemist on üsna salakavala võrranditüübiga, kus kuskil nimetajas logaritmiga murdosa ei ole alati kohe olemas. Kuid ümberkujundamise protsessis tekib selline murd tingimata.

Samas olge ettevaatlik: teisenduste käigus võib logaritmide definitsiooni algpiirkond oluliselt muutuda!

Pöördume veelgi jäigemate logaritmiliste võrrandite poole, mis sisaldavad murde ja muutuvaid aluseid. Selleks, et ühes lühikeses õppetükis rohkem ära teha, ma ei ütle elementaarne teooria. Läheme otse ülesannete juurde:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Seda võrrandit vaadates küsib keegi: "Mis see on seotud murdosa ratsionaalvõrrand? Kus on selle võrrandi murdosa? Ärgem kiirustagem ja vaadakem iga terminit lähemalt.

Esimene tähtaeg: 4 log 25 (x − 1). Logaritmi alus on arv, kuid argument on x funktsioon. Me ei saa sellega veel midagi ette võtta. Liigu edasi.

Järgmine liige on log 3 27. Tuletame meelde, et 27 = 3 3 . Seetõttu saame kogu logaritmi ümber kirjutada järgmiselt:

log 3 27 = 3 3 = 3

Nii et teine tähtaeg on vaid kolm. Kolmas liige: 2 log x − 1 5. Ka siin pole kõik lihtne: alus on funktsioon, argument on tavaline arv. Teen ettepaneku pöörata kogu logaritm järgmise valemi järgi:

log a b = 1/log b a

Sellist teisendust saab teostada ainult siis, kui b ≠ 1. Vastasel juhul ei eksisteeri teise murdosa nimetajas saadavat logaritmi. Meie puhul b = 5, nii et kõik on korras:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Kirjutame algse võrrandi ümber, võttes arvesse saadud teisendusi:

4 log 25 (x - 1) - 3 + 2/ log 5 (x - 1) = 1

Murru nimetajas on log 5 (x − 1) ja esimeses liikmes log 25 (x − 1). Kuid 25 \u003d 5 2, nii et võtame ruudu logaritmi aluselt välja vastavalt reeglile:

Teisisõnu, logaritmi põhjas olevast eksponendist saab esiosa murd. Ja väljend kirjutatakse ümber järgmiselt:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

Meil on pikk võrrand hunnikuga identsed logaritmid. Tutvustame uut muutujat:

log 5 (x − 1) = t;

2t – 4 + 2/t = 0;

Aga see on juba murd-ratsionaalvõrrand, mis lahendatakse 8-9 klassi algebra abil. Esiteks jagame selle kaheks:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 – 2t + 1)/t = 0

Täpne ruut on sulgudes. Rullime kokku:

(t − 1) 2 /t = 0

Murd on null, kui selle lugeja on null ja nimetaja on nullist erinev. Ärge kunagi unustage seda tõsiasja:

(t − 1) 2 = 0

t=1

t ≠ 0

Tuletame meelde, mis t on:

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Vabaneme logimärkidest, võrdsustame nende argumendid ja saame:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Kõik. Probleem lahendatud. Kuid lähme tagasi algse võrrandi juurde ja pidage meeles, et muutujaga x oli korraga kaks logaritmi. Seetõttu peate määratluse domeeni välja kirjutama. Kuna x − 1 on logaritmi argumendis, peab see avaldis olema suurem kui null:

x − 1 > 0

Teisest küljest on sama x − 1 olemas ka aluses, seega peab see ühest erinema:

x - 1 ≠ 1

Sellest järeldame:

x > 1; x ≠ 2

Need nõuded peavad olema täidetud samal ajal. Väärtus x = 6 vastab mõlemale nõudele, seega ka x = 6 lõplik otsus logaritmiline võrrand.

Liigume edasi teise ülesande juurde:

Jällegi, ärgem kiirustagem ja vaadakem iga terminit:

log 4 (x + 1) - aluses on neli. Tavaline number ja te ei saa seda puudutada. Aga sisse viimane kord komistasime põhjas täpse ruudu otsa, mis tuli logaritmi märgi alt välja võtta. Teeme nüüd sama:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Trikk on selles, et meil on juba logaritm muutujaga x , ehkki baasis – see on just leitud logaritmi pöördväärtus:

8 log x + 1 2 = 8 (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Järgmine liige on log 2 8. See on konstant, kuna nii argument kui ka alus on tavalised arvud. Leiame väärtuse:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

Sama saame teha ka viimase logaritmiga:

Nüüd kirjutame algse võrrandi ümber:

1/2 log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Toome kõik ühise nimetaja juurde:

Meie ees on jälle murdosa-ratsionaalvõrrand. Tutvustame uut muutujat:

t = log 2 (x + 1)

Kirjutame võrrandi ümber, võttes arvesse uut muutujat:

Olge ettevaatlik: selles etapis vahetasin tingimused. Murru lugeja on erinevuse ruut:

Sarnaselt eelmisele korrale on murd null, kui selle lugeja on null ja nimetaja on nullist erinev:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Saime ühe juur, mis vastab kõigile nõuetele, seega pöördume tagasi muutuja x juurde:

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x=15

See on kõik, me oleme võrrandi lahendanud. Aga kuna algses võrrandis oli mitu logaritmi, siis on vaja definitsioonipiirkond välja kirjutada.

Seega on avaldis x + 1 logaritmi argumendis. Seetõttu x + 1 > 0. Teisest küljest on aluses ka x + 1, s.t. x + 1 ≠ 1. Kokku:

0 ≠ x > −1

Kas leitud juur vastab neile nõuetele? Kahtlemata. Seetõttu on x = 15 algse logaritmilise võrrandi lahendus.

Lõpetuseks tahaksin öelda järgmist: kui vaatate võrrandit ja mõistate, et peate lahendama midagi keerulist ja ebastandardset, proovige esile tõsta stabiilseid struktuure, mida hiljem tähistatakse mõne teise muutujaga. Kui mõned terminid ei sisalda muutujat x üldse, saab need sageli lihtsalt välja arvutada.

See on kõik, millest ma täna rääkida tahtsin. Loodan, et see õppetund aitab teil kompleksi lahendada logaritmilised võrrandid. Vaadake teisi videoõpetusi, laadige alla ja lahendage iseseisev töö ja kohtumiseni järgmises videos!