Võrdsed kraadid. Ringjoone kaare kraadimõõt

Nurk on kujund, mis koosneb punktist – nurga tipust ja sellest punktist lähtuvast kahest erinevast pooljoonest – nurga külgedest (joonis 14). Kui nurga küljed on täiendavad pooljooned, nimetatakse seda nurka sirgnurgaks.

Nurka näidatakse kas selle tipu või külgede või kolme punkti tähistamisega: tipp ja kaks punkti nurga külgedel. Mõnikord asendatakse sõna "nurk".

Nurka joonisel 14 saab esitada kolmel viisil:

Kiir c läbib nurga külgede vahelt, kui see tuleb selle tipust ja lõikub mõne lõiguga, mille otsad on nurga külgedel.

Joonisel fig 15 kulgeb kiir c nurga külgede vahelt, kuna see lõikub lõiguga

Sirgenurga korral läbib nurga külgede vahelt iga selle tipust väljuv ja selle külgedest erinev kiir.

Nurki mõõdetakse kraadides. Kui võtame sirge nurga ja jagame selle 180-ga võrdsed nurgad siis kraadi mõõt kõiki neid nurki nimetatakse kraadiks.

Nurkade mõõtmise peamised omadused on väljendatud järgmises aksioomis:

Igal nurgal on teatud aste, suur null. Arendatud nurk on 180°. Nurga kraadimõõt on võrdne nende nurkade astmemõõtude summaga, milleks see on jagatud mis tahes selle külgede vahelt läbiva kiirega.

See tähendab, et kui kiir c läbib nurga külgede vahelt, siis on nurk võrdne nurkade summaga

Nurga kraadimõõt leitakse nurgamõõturi abil.

Nurka, mis võrdub 90°, nimetatakse täisnurgaks. Nurka, mis on väiksem kui 90°, nimetatakse teravnurgaks. Nurka, mis on suurem kui 90° ja väiksem kui 180°, nimetatakse nürinurgaks.

Sõnastame nurkade mahapaneku peamise omaduse.

Mis tahes pooljoonelt antud pooltasandile saab nurga, mille antud kraadimõõt on väiksem kui 180 °, ja ainult ühe.

Vaatleme pooljoont a. Laiendame selle lähtepunktist A kaugemale. Saadud sirgjoon jagab tasapinna kaheks pooltasandiks. Joonisel 16 on näidatud, kuidas kasutada kraadiklaasi, et eraldada pooljoonest a kuni ülemise pooltasandini nurga etteantud 60° kraadiga.

T. 1. 2. Kui ühel pooltasandil on antud pooljoonest kõrvale jäetud kaks nurka, siis suurema nurga külgede vahelt läheb väiksema nurga külg, mis erineb antud pooljoonest. .

Laskma olema nurgad antud pooljoonest a ühte pooltasapinda ja olgu nurk väiksem kui nurk . Teoreem 1.2 väidab, et kiir läbib nurga külgede vahelt (joon. 17).

Nurga poolitaja on kiir, mis tuleb selle tipust, läbib külgede vahelt ja jagab nurga pooleks. Joonisel 18 on kiir nurga poolitaja

Geomeetrias on tasapinna nurga mõiste. Tasapinna nurk on tasandi osa, mis on piiratud kahe erineva samast punktist lähtuva kiirega. Neid kiiri nimetatakse nurga külgedeks. Antud külgedega on kaks lamedat nurka. Neid nimetatakse lisadeks. Joonisel 19 on üks lame nurk külgedega a ja

Olulised märkused!
1. Kui näete valemite asemel abrakadabrat, tühjendage vahemälu. Kuidas seda brauseris teha, on siin kirjas:
2. Enne artikli lugemise alustamist pöörake kõige rohkem tähelepanu meie navigaatorile kasulik ressurss jaoks

Põhiterminid.

Kui hästi mäletate kõiki ringiga seotud nimesid? Tuletame igaks juhuks meelde – vaata pilte – värskenda oma teadmisi.

Esiteks - Ringjoone keskpunkt on punkt, millest kõik ringi punktid on ühel kaugusel.

Teiseks - raadius - sirglõik, mis ühendab ringi keskpunkti ja punkti.

Raadiusi on palju (nii palju kui ringil punkte), kuid kõik raadiused on ühepikkused.

Mõnikord lühidalt raadius nad kutsuvad seda segmendi pikkus"keskpunkt on ringi punkt", mitte lõik ise.

Ja siin on, mis juhtub kui ühendate kaks punkti ringil? Kas ka lõige?

Niisiis, seda segmenti nimetatakse "akord".

Nii nagu raadiuse puhul, nimetatakse diameetriks sageli kahte ringi punkti ühendava ja keskpunkti läbiva segmendi pikkust. Muide, kuidas on diameeter ja raadius omavahel seotud? Vaata lähemalt. Muidugi, raadius on pool läbimõõdust.

Lisaks akordidele on ka sekant.

Kas mäletate kõige lihtsamat?

Kesknurk on kahe raadiuse vaheline nurk.

Ja nüüd sisse kirjutatud nurk

Sissekirjutatud nurk on nurk kahe kõõlu vahel, mis ristuvad ringjoone punktis.

Sel juhul öeldakse, et sisse kirjutatud nurk tugineb kaarele (või kõõlule).

Vaata pilti:

Kaarte ja nurkade mõõtmine.

Ümbermõõt. Kaareid ja nurki mõõdetakse kraadides ja radiaanides. Esiteks kraadide kohta. Nurkadega probleeme pole – peate õppima kaare mõõtmist kraadides.

Kraadimõõt (kaare väärtus) on vastava kesknurga väärtus (kraadides).

Mida tähendab siin sõna "vastav"? Vaatame hoolikalt:

Kas näete kahte kaare ja kahte kesknurka? Noh, suurem kaar vastab suuremale nurgale (ja see on okei, et see on suurem) ja väiksem kaar vastab väiksemale nurgale.

Niisiis, leppisime kokku: kaar sisaldab sama arvu kraade kui vastav kesknurk.

Ja nüüd kohutavatest - radiaanidest!

Mis loom see "radiaan" on?

Kujutage ette seda: radiaanid on nurga mõõtmise viis... raadiuses!

Radiaannurk on kesknurk, mille kaare pikkus võrdub ringi raadiusega.

Siis tekib küsimus – mitu radiaani on sirgendatud nurga all?

Teisisõnu: mitu raadiust "mahtub" poolringi? Või teisiti: mitu korda on poolringi pikkus suurem kui raadius?

Selle küsimuse esitasid Vana-Kreeka teadlased.

Ja nii nad pärast pikka otsimist leidsid, et ümbermõõdu ja raadiuse suhe ei taha väljenduda "inimlikes" numbrites jne.

Ja seda suhtumist pole isegi võimalik juurte kaudu väljendada. See tähendab, et ei saa öelda, et pool ringist on kaks või korda suurem raadiusest! Kas kujutate ette, kui hämmastav oli inimesi esimest korda avastada?! Poolringi pikkuse ja raadiuse suhte jaoks piisas "tavalistest" numbritest. Ma pidin kirja sisestama.

Seega on arv, mis väljendab poolringi pikkuse ja raadiuse suhet.

Nüüd saame vastata küsimusele: mitu radiaani on sirge nurga all? Sellel on radiaan. Just sellepärast, et pool ringist on kaks korda suurem raadiusest.

Muistsed (ja mitte nii) inimesed läbi aegade (!) nad püüdsid seda salapärast arvu täpsemalt välja arvutada, paremini (vähemalt ligikaudselt) väljendada "tavaliste" numbrite kaudu. Ja nüüd oleme võimatult laisad - meile piisab kahest märgist pärast hõivatust, oleme harjunud

Mõelge sellele, see tähendab näiteks, et ühe raadiusega ringi y on ligikaudu võrdne ja seda pikkust on lihtsalt võimatu "inimliku" numbriga üles kirjutada - selleks on vaja tähte. Ja siis on see ümbermõõt võrdne. Ja loomulikult on raadiuse ümbermõõt võrdne.

Tuleme tagasi radiaanide juurde.

Oleme juba avastanud, et sirge nurk sisaldab radiaani.

Mis meil on:

Nii hea meel, see on hea meel. Samamoodi saadakse kõige populaarsemate nurkadega plaat.

Sissekirjutatud ja kesknurkade väärtuste suhe.

On hämmastav fakt:

Sissekirjutatud nurga väärtus on pool vastava kesknurga väärtusest.

Vaata, kuidas see väide pildilt välja näeb. "Vastav" kesknurk on selline, mille otsad langevad kokku kirjutatud nurga otstega ja tipp asub keskel. Ja samal ajal peab "vastav" kesknurk "vaatama" sama kõõlu () kui sisse kirjutatud nurk.

Miks nii? Vaatame kõigepealt lihtne juhtum. Laske üks akord läbida keskpunkti. Lõppude lõpuks juhtub seda mõnikord, eks?

Mis siin toimub? Kaaluge. See on võrdhaarne - lõppude lõpuks ja on raadiused. Niisiis, (tähistas neid).

Nüüd vaatame. See on välisnurk! Tuletame meelde, et välisnurk on võrdne kahe sisemise nurga summaga, mis ei külgne sellega, ja kirjutame:

See on! Ootamatu efekt. Kuid sissekirjutuse jaoks on ka keskne nurk.

Seega tõestasime sel juhul, et kesknurk on kaks korda suurem kui sisse kirjutatud nurk. Aga see teeb haiget erijuhtum: kas see on tõsi, et akord ei lähe alati otse läbi keskpunkti? Aga ei midagi, nüüd aitab see erijuhtum meid palju. Vaata: teine ​​juhtum: lase keskel olla sees.

Teeme nii: tõmmake läbimõõt. Ja siis ... näeme kahte pilti, mida esimesel juhul on juba analüüsitud. Seetõttu on meil juba olemas

Niisiis (joonisel a)

No ja jäigi viimane juhtum: Keskel väljaspool nurka.

Teeme sama: tõmmake läbi punkti läbimõõt. Kõik on sama, kuid summa asemel - erinevus.

See on kõik!

Moodustame nüüd kaks peamist ja väga olulist järeldust väitest, et sisse kirjutatud nurk on pool kesksest.

Järeldus 1

Kõik sama kaarega lõikuvad sisse kirjutatud nurgad on võrdsed.

Illustreerime:

Samal kaarel põhinevad sisse kirjutatud nurgad (meil on see kaar) - lugematu arv, võivad need välja näha väga erinevad, kuid neil kõigil on sama kesknurk (), mis tähendab, et kõik need sisse kirjutatud nurgad on üksteisega võrdsed.

Tagajärg 2

Läbimõõdul põhinev nurk on täisnurk.

Vaata: milline nurk on kesksel kohal?

Muidugi, . Aga ta on võrdne! Noh, sellepärast (nagu ka paljude sissekirjutatud nurkade põhjal) ja on võrdne.

Nurk kahe akordi ja sekantsi vahel

Aga mis siis, kui meid huvitav nurk EI OLE sisse kirjutatud ja MITTE keskne, vaid näiteks selline:

või niimoodi?

Kas seda on võimalik kuidagi väljendada läbi mõne keskse nurga? Selgub, et saate. Vaata, me oleme huvitatud.

a) (nagu välisnurk). Aga - sisse kirjutatud, kaare põhjal - . - sisse kirjutatud, kaare põhjal - .

Ilu pärast nad ütlevad:

Kõõlude vaheline nurk on võrdne poolega selle nurga alla kuuluvate kaare nurkväärtuste summast.

See on kirjutatud lühiduse mõttes, kuid loomulikult peate selle valemi kasutamisel silmas pidama kesknurki

b) Ja nüüd - "väljas"! Kuidas olla? Jah, peaaegu sama! Alles nüüd (taas rakendada välisnurga omadust). See on nüüd.

Ja see tähendab. Toome kirjetesse ja sõnastustesse ilu ja lühidust:

Sekantide vaheline nurk on võrdne poolega selle nurga all olevate kaare nurkväärtuste erinevusest.

Noh, nüüd olete relvastatud kõigi põhiteadmistega ringiga seotud nurkade kohta. Edasi, ülesannete rünnakule!

RING JA SISSEJUHATUD NURK. KESKMINE TASE

Mis on ring, seda teab isegi viieaastane laps, eks? Matemaatikutel, nagu alati, on sellel teemal abstraktne määratlus, kuid me ei anna seda (vaata), vaid pigem jätame meelde, kuidas nimetatakse ringiga seotud punkte, sirgeid ja nurki.

Olulised tingimused

Esiteks:

ringi keskpunkt- punkt, millest kaugused kõigi ringi punktideni on ühesugused.

Teiseks:

Siin on veel üks aktsepteeritud väljend: "akord tõmbab kaare kokku." Siin, siin joonisel, tõmbub näiteks akord kokku kaare võrra. Ja kui akord äkki läbib keskpunkti, on sellel eriline nimi: "läbimõõt".

Muide, kuidas on diameeter ja raadius omavahel seotud? Vaata lähemalt. Muidugi,

Ja nüüd - nurkade nimed.

Loomulikult, kas pole? Nurga küljed tulevad keskelt välja, mis tähendab, et nurk on keskne.

Siin tekivad mõnikord raskused. Pane tähele - MITTE ÜKSKI nurk ringi sees ei ole sisse kirjutatud, vaid ainult selline, mille tipp "istub" ringil endal.

Vaatame piltidel erinevust:

Nad ütlevad ka erinevalt:

Siin on üks keeruline punkt. Mis on "vastav" või "oma" kesknurk? Lihtsalt nurk, mille tipp asub ringi keskel ja lõpeb kaare otstes? Kindlasti mitte sel viisil. Vaata pilti.

Üks neist aga ei näe isegi välja nagu nurk – see on suurem. Kuid kolmnurgas ei saa olla rohkem nurki, kuid ringis - see võib hästi olla! Seega: väiksem kaar AB vastab väiksemale nurgale (oranž), suurem aga suuremale. Just nagu, kas pole?

Sissekirjutatud ja kesknurga suhe

Pidage meeles väga oluline väide:

Õpikutes meeldib neile sama fakti kirjutada järgmiselt:

Tõsi, kesknurgaga on sõnastus lihtsam?

Kuid siiski, leidkem vastavus kahe formuleeringu vahel ja samal ajal õppige, kuidas leida "vastav" kesknurk ja kaar, millele kirjutatud nurk "toetub" joonistele.

Vaata, siin on ring ja sisse kirjutatud nurk:

Kus on selle "vastav" kesknurk?

Vaatame uuesti:

Mis on reegel?

Aga! Sel juhul on oluline, et sisse kirjutatud ja kesknurk "vaataks" kaare samal küljel. Näiteks:

Kummalisel kombel sinine! Sest kaar on pikk, pikem kui pool ringist! Nii et ärge kunagi olge segaduses!

Milliseid tagajärgi saab järeldada sissekirjutatud nurga "poolusest"?

Ja näiteks siin:

Läbimõõdul põhinev nurk

Olete juba märganud, et matemaatikud räägivad väga ühest ja samast asjast. erinevad sõnad? Miks see neile sobib? Näete, matemaatika keel, kuigi formaalne, on elav ja seetõttu nagu tavaline keel, iga kord tahan öelda, kuidas on mugavam. Noh, me oleme juba näinud, mis on "nurk toetub kaarele". Ja kujutage ette, sama pilti nimetatakse "nurk toetub akordile". mille peal? Jah, muidugi sellel, kes seda kaare tõmbab!

Millal on mugavam toetuda akordile kui kaarele?

Noh, eriti siis, kui see akord on läbimõõduga.

Sellise olukorra jaoks on hämmastavalt lihtne, ilus ja kasulik väide!

Vaata: siin on ring, läbimõõt ja nurk, mis sellele toetub.

RING JA SISSEJUHATUD NURK. LÜHIDALT PEAMISEST

1. Põhimõisted.

3. Kaarte ja nurkade mõõtmised.

Radiaannurk on kesknurk, mille kaare pikkus võrdub ringi raadiusega.

See on arv, mis väljendab poolringi pikkuse ja raadiuse suhet.

Raadiuse ümbermõõt on võrdne.

4. Sissekirjutatud ja kesknurga väärtuste suhe.

Noh, teema on läbi. Kui loed neid ridu, siis oled väga lahe.

Sest ainult 5% inimestest on võimelised ise midagi meisterdama. Ja kui oled lõpuni lugenud, siis oled 5% sees!

Nüüd kõige tähtsam.

Olete selle teema teooria välja mõelnud. Ja ma kordan, see on ... see on lihtsalt super! Oled juba parem kui valdav enamus oma eakaaslasi.

Probleem on selles, et sellest ei pruugi piisata...

Milleks?

Sest edukas tarneÜhtne riigieksam, instituuti vastuvõtmiseks eelarve eest ja, MIS TÄHTIS, eluks ajaks.

Ma ei veena teid milleski, ütlen lihtsalt ühte ...

Inimesed, kes said hea haridus, teenivad palju rohkem kui need, kes seda ei saanud. See on statistika.

Kuid see pole peamine.

Peaasi, et nad on ROHKEM ÕNNELIKUD (sellised uuringud on olemas). Võib-olla sellepärast, et nende ees avaneb palju. rohkem võimalusi ja elu muutub helgemaks? Ei tea...

Aga mõelge ise...

Mida on vaja selleks, et olla eksamil teistest parem ja lõpuks ... õnnelikum?

TÄIDA KÄSI, LAHENDAGE SELLEL TEEMAL PROBLEEMID.

Eksamil ei küsita teilt teooriat.

Sa vajad lahendada probleemid õigel ajal.

Ja kui te pole neid lahendanud (PALJU!), siis teete kindlasti kuskil rumala vea või lihtsalt ei tee seda õigeks ajaks.

See on nagu spordis – kindla võidu saamiseks tuleb mitu korda korrata.

Leidke kollektsioon kõikjal, kus soovite tingimata lahendustega üksikasjalik analüüs ja otsusta, otsusta, otsusta!

Võite kasutada meie ülesandeid (pole vajalik) ja kindlasti soovitame neid.

Selleks, et meie ülesannete abil abi saada, peate aitama pikendada praegu loetava YouCleveri õpiku eluiga.

Kuidas? On kaks võimalust.

1. Avage juurdepääs kõigile selles artiklis peidetud ülesannetele -
2. Avage juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele kõigis õpetuse 99 artiklis - Osta õpik - 499 rubla

Jah, meil on õpikus 99 sellist artiklit ja ligipääs kõikidele ülesannetele ja kõikidele nendes olevatele peidetud tekstidele saab kohe avada.

Juurdepääs kõigile peidetud ülesannetele on tagatud kogu saidi eluea jooksul.

Kokkuvõtteks...

Kui teile meie ülesanded ei meeldi, otsige teisi. Ärge lihtsalt lõpetage teooriaga.

“Arusaadav” ja “Ma tean, kuidas lahendada” on täiesti erinevad oskused. Teil on mõlemat vaja.

Leia probleemid ja lahenda!

Juhend

Kaar on ringi osa, mis jääb kahe sellel ringil asuva punkti vahele. Iga kaare saab väljendada arvväärtustega. Tema peamine omadus koos pikkusega on kraadimõõtja väärtus.

Kuid kui ringil on valitud üks kaar, moodustub teine. Seetõttu, et üheselt aru saada, millisest kaarest me räägime, märgi valitud kaarele veel üks punkt, näiteks C. Siis on see ABC kuju.

Joonelõik, mille moodustavad kaks kaare piiravat punkti, on kõõl.

Kaare astme mõõdu saab leida sisse kirjutatud nurga väärtuse kaudu, mis omades tipppunkti ringil endal, põhineb see kaar. Sellist nurka nimetatakse sissekirjutatud nurgaks ja selle aste on võrdne poole kaarega, millel see toetub.

Ringis on ka kesknurk. See toetub ka soovitud kaarele ja selle tipp ei asu enam ringil, vaid keskel. Ja tema numbriline väärtus ei võrdu enam poole kaare kraadimõõtu, vaid selle täisarvuga.

Olles aru saanud, kuidas kaar arvutatakse läbi selle nurga, saate seda seadust rakendada vastupidine suund ja tuletage reegel, et sisse kirjutatud nurk, mis sõltub läbimõõdust, on täisnurk. Kuna läbimõõt jagab ringi kaheks võrdseks osaks, tähendab see, et mis tahes kaare väärtus on 180 kraadi. Seetõttu on sisse kirjutatud nurk 90 kraadi.

Samuti kehtib kaare kraadiväärtuse otsimise meetodi põhjal reegel, et ühel kaarel põhinevad nurgad on võrdne väärtus.

Ringjoone või kaare enda ümbermõõdu arvutamiseks kasutatakse sageli kaare kraadimõõtu väärtust. Selleks kasutage valemit L= π*R*α/180.

Sõnal "" on erinevaid tõlgendusi. Geomeetrias on nurk tasandi osa, mis on piiratud kahe ühest punktist väljuva kiirega - tipust. Millal me räägimeõigete, teravate, arenenud nurkade kohta, siis on see täpselt geomeetrilised nurgad.

Nagu iga kujundit geomeetrias, saab nurki võrrelda. Nurkade võrdsuse määrab liikumine. Nurka on lihtne jagada kaheks võrdseks osaks. Kolmeks osaks jagamine on veidi keerulisem, kuid joonlaua ja sirkliga saab seda siiski teha. Muide, see ülesanne tundus üsna raske. Geomeetriliselt on lihtne kirjeldada, et üks nurk on suurem või väiksem kui teine.

Nurkade mõõtühik on 1/180 laiendatud nurgast. Nurga väärtus on arv, mis näitab, mitu korda mahub mõõtühikuks valitud nurk kõnealusele joonisele.

Iga nurga kraad on suurem kui null. Sirge nurk on 180 kraadi. Nurga kraadimõõt on võrdne summaga nurkade aste, milleks see on jagatud mis tahes kiirega tasapinnal, mida piiravad selle küljed.

Igast talast antud lennuk saate kõrvale jätta nurga, mille mingi kraadimõõt ei ületa 180. Pealegi on selline nurk ainult üks. Tasapinnalise nurga mõõt, mis on osa pooltasandist, on sarnaste külgedega nurga mõõt. Pooltasapinda sisaldava nurga tasandi mõõt on 360– α, kus α on täiendava tasapinnalise nurga aste.

Nurga kraadimõõt võimaldab liikuda nende geomeetriliselt kirjelduselt numbrilisele. Niisiis, täisnurk on nurk, mis on võrdne 90 kraadiga, nürinurk on nurk, mis on väiksem kui 180 kraadi, kuid suurem kui 90 kraadi, terav nurk ei ületa 90 kraadi.

Lisaks kraadidele on olemas nurga radiaanmõõt. Planimeetrias on pikkus L, raadius r ja vastav kesknurk α. Pealegi on need parameetrid seotud suhtega α = L/r. See on nurkade radiaani mõõtmise alus. Kui L=r, siis on nurk α võrdne ühe radiaaniga. Seega on nurga radiaanmõõt suvalise raadiusega tõmmatud ja selle nurga külgede vahele jääva kaare pikkuse ja kaare raadiuse suhe. Täispööre sisse kraadi mõõtmine(360 kraadi) vastab 2π-le radiaanides. Üks on 57,2958 kraadi.

Seotud videod

Allikad:

• nurkade mõõtmise valem

Lamedate väärtuste mõõtmine kraadides leiutati iidses Babülonis juba ammu enne meie ajastu algust. Selle osariigi elanikud eelistasid seksagesimaalarvutust, nii et nurkade jagamine 180 või 360 ühikuks tundub tänapäeval pisut kummaline. Küll aga pakuti sisse kaasaegne süsteem SI mõõtühikud, pi kordsed, pole vähem kummalised. Need kaks võimalust ei piirdu tänapäeval kasutatavate nurkade tähistustega, nii et nende väärtuste kraadimõõtudeks teisendamise probleem tekib üsna sageli.

Juhend

Kui teil on vaja teisendada nurga väärtus radiaanides kraadimõõtudeks, lähtuge sellest, et üks kraad vastab radiaanide arvule, mis on võrdne 1/180-ga arvust pi. Sellel matemaatilisel konstandil on lõpmatu arv kümnendkohti, seega on teisendustegur samuti lõpmatu kümnendmurd. See on vormingu absoluutselt täpne väärtus kümnendmurd ei ole võimalik saada, seega tuleb ümberarvestuskoefitsient ümardada. Näiteks ühe miljardi ühiku täpsusega on arvutatud koefitsient 0,017453293. Pärast ümardamist soovitud arvu komakohtadeni jagage radiaanide algne arv selle teguriga ja saate nurga kraadi mõõtmise.

Nurga kraadimõõt. Nurga radiaanmõõt. Teisendage kraadid radiaanideks ja vastupidi.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Eelmises tunnis õppisime trigonomeetrilisel ringil nurkade lugemist. Õppis positiivset lugema ja negatiivsed nurgad. Sai aru, kuidas joonistada nurka, mis on suurem kui 360 kraadi. On aeg tegeleda nurkade mõõtmisega. Eriti numbriga "Pi", mis püüab meid keerulistes ülesannetes segadusse ajada, jah ...

Trigonomeetria standardülesanded numbriga "Pi" lahendatakse üsna hästi. Visuaalne mälu aitab. Kuid iga kõrvalekaldumine mallist - lööb kohapeal maha! Et mitte kukkuda - mõista vajalik. Mida me nüüd edukalt teeme. Mõnes mõttes – me saame kõigest aru!

Niisiis, mida kas nurgad loevad? AT koolikursus trigonomeetria kasutab kahte mõõdet: nurga mõõt ja nurga radiaanmõõt. Vaatame neid meetmeid. Ilma selleta pole trigonomeetrias mitte kusagil.

Nurga kraadimõõt.

Oleme kraadidega kuidagi harjunud. Geomeetria läbis vähemalt ... Jah, ja elus kohtame sageli näiteks fraasi "pööratud 180 kraadi". Kraad, lühidalt, lihtne asi ...

Jah? Vasta mulle siis mis on kraad? Mis kohe ei tööta? Midagi...

Kraadid leiutati iidses Babülonis. See oli kaua aega tagasi ... 40 sajandit tagasi ... Ja nad lihtsalt mõtlesid selle välja. Nad võtsid ja murdsid ringi 360-ks võrdsetes osades. 1 kraad on 1/360 ringist. Ja see ongi kõik. Saab jagada 100 tükiks. Või 1000 võrra. Aga nad murdsid selle 360 ​​peale. Muide, miks just 360 võrra? Miks on 360 parem kui 100? 100 tundub kuidagi ühtlasem olevat... Proovi sellele küsimusele vastata. Või nõrk vastu Vana Babülon?

Kuskil samal ajal Iidne Egiptus piinab teine ​​probleem. Mitu korda on ringi ümbermõõt suurem selle läbimõõdu pikkusest? Ja nii nad mõõtsid, ja nii ... Kõik osutus natuke rohkem kui kolm. Kuid kuidagi sai see karvas, ebaühtlane ... Aga nemad, egiptlased, pole selles süüdi. Pärast neid kannatasid nad veel 35 sajandit. Kuni nad lõpuks tõestasid, et ükskõik kui peeneks lõigatud ring võrdseteks tükkideks, sellistest tükkidest teha sile läbimõõdu pikkus on võimatu ... Põhimõtteliselt on see võimatu. Noh, mitu korda on ümbermõõt muidugi suurem kui läbimõõt. Umbes. 3,1415926... korda.

See on number "Pi". See on karvas, nii karvas. Pärast koma – lõpmatu arv numbreid ilma igasuguse järjekorrata... Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks. See, muide, tähendab, et ringi võrdsetest tükkidest läbimõõt sileära voldi. Mitte kunagi.

Sest praktilise rakendamise Tavapäraselt jäetakse meelde ainult kaks kohta pärast koma. Pidage meeles:

Kuna oleme aru saanud, et ringi ümbermõõt on "Pi" korda suurem kui läbimõõt, on mõttekas meeles pidada ringi ümbermõõdu valem:

Kus L on ümbermõõt ja d on selle läbimõõt.

Kasulik geomeetrias.

Sest Üldharidus Lisan, et arv "Pi" ei istu mitte ainult geomeetrias ... Matemaatika kõige erinevamates osades ja eriti tõenäosusteoorias ilmub see arv pidevalt! Iseenesest. Väljaspool meie soove. Nagu nii.

Aga tagasi kraadide juurde. Kas olete aru saanud, miks muistses Babülonis jagati ring 360 võrdseks osaks? Aga mitte näiteks 100? Mitte? OKEI. Ma annan teile versiooni. Vanababüloonlaste käest ei saa ju küsida... Ehituse või, ütleme, astronoomia jaoks on mugav ring jagada võrdseteks osadeks. Nüüd mõelge välja, milliste arvudega jaguvad täielikult 100 ja millised - 360? Ja millises versioonis need jagajad täielikult- rohkem? See jaotus on inimestele väga mugav. Aga...

Nagu selgus palju hiljem kui Vana-Babülonis, ei meeldi kõigile kraadid. Kõrgemale matemaatikale need ei meeldi... kõrgem matemaatika- daam on tõsine, loodusseaduste järgi korraldatud. Ja see daam teatab: "Täna lõhkusite ringi 360 osaks, homme jagate selle 100 osaks, ülehomme 245 osaks ... Ja mida ma peaksin tegema? Ei tõesti ..." Ma pidin kuuletuma. Loodust lollitada ei saa...

Pidin kasutusele võtma nurga mõõtmise, mis ei sõltu inimeste arusaamadest. Saage tuttavaks - radiaan!

Nurga radiaanmõõt.

Mis on radiaan? Radiaani definitsioon põhineb nagunii ringil. 1 radiaani nurk on nurk, mis lõikab kaare ringist, mille pikkus on ( L) on võrdne raadiuse pikkusega ( R). Vaatame pilte.

Nii väike nurk, seda pole peaaegu üldse ... Liigutame kursori pildi kohale (või puudutame tahvelarvutis pilti) ja näeme umbes ühte radiaan. L=R

Kas tunnete erinevust?

Üks radiaan on palju suurem kui üks kraad. Kui mitu korda?

Vaatame järgmist pilti. Millele joonistasin poolringi. Laiendatud nurk on loomulikult 180 ° suurune.

Ja nüüd lõikan selle poolringi radiaanideks! Hõljutame kursorit pildi kohal ja näeme, et 3 radiaani koos sabaga mahub 180 °.

Kes oskab arvata, mis see hobusesaba on!?

Jah! See saba on 0,1415926... Tere Pi, me pole sind veel unustanud!

Tõepoolest, 180 kraadis on 3,1415926 ... radiaani. Nagu võite ette kujutada, on kogu aeg 3.1415926 kirjutamine... ebamugav. Seetõttu kirjutavad nad selle lõpmatu arvu asemel alati lihtsalt:

Ja siin on number Internetis

on ebamugav kirjutada ... Seetõttu kirjutan tekstis selle nime järgi - "Pi". Ärge sattuge segadusse...

Nüüd on üsna mõttekas kirjutada ligikaudne võrdsus:

Või täpne võrdsus:

Määrake, mitu kraadi on ühes radiaanis. Kuidas? Lihtne! Kui 3,14 radiaanis on 180 kraadi, siis 1 radiaan on 3,14 korda vähem! See tähendab, et jagame esimese võrrandi (valem on ka võrrand!) 3,14-ga:

Seda suhet on kasulik meeles pidada. Ühes radiaanis on ligikaudu 60°. Trigonomeetrias tuleb sageli välja mõelda, olukorda hinnata. Siin aitavad teadmised palju.

Kuid selle teema põhioskus on kraadide teisendamine radiaanideks ja vastupidi.

Kui nurk on antud radiaanides numbriga "pi", on kõik väga lihtne. Teame, et "pi" radiaanid = 180°. Seega asendame "Pi" radiaanid - 180 °. Me saame nurga kraadides. Vähendame vähendatut ja vastus ongi valmis. Näiteks peame välja selgitama, kui palju kraadid nurgas "Pi"/2 radiaan? Siin me kirjutame:

Või eksootilisem väljend:

Lihtne, eks?

Pöördtõlge on veidi keerulisem. Aga mitte palju. Kui nurk on antud kraadides, peame välja selgitama, milline on üks kraad radiaanides, ja korrutama selle arvu kraadide arvuga. Mis on 1° radiaanides?

Vaatame valemit ja mõistame, et kui 180° = "Pi" radiaanid, siis 1° on 180 korda väiksem. Ehk siis jagame võrrandi (valem on ka võrrand!) 180-ga. "Pi" pole vaja esitada kui 3,14, see kirjutatakse niikuinii alati tähega. Saame, et üks kraad on võrdne:

See on kõik. Nurga radiaanides saamiseks korrutage kraadide arv selle väärtusega. Näiteks:

Või sarnaselt:

Nagu näete, rahulikus vestluses kõrvalepõikeid Selgus, et radiaanid on väga lihtsad. Jah, ja tõlge on probleemideta ... Ja "Pi" on täiesti talutav asi ... Kust siis segadus !?

Ma avaldan saladuse. Fakt on see, et trigonomeetrilistes funktsioonides kirjutatakse kraadide ikoon. Alati. Näiteks sin35°. See on siinus 35 kraadid . Ja radiaaniikoon ( rõõmus) pole kirjutatud! Ta on vihjatud. Kas haaras matemaatikute laiskus või midagi muud ... Kuid nad otsustasid mitte kirjutada. Kui siinuse sees pole ikoone - kotangent, siis nurk - radiaanides ! Näiteks cos3 on kolme koosinus radiaanid .

See toob kaasa arusaamatusi ... Inimene näeb "Pi" ja usub, et see on 180 °. Igal ajal ja igal pool. Muide, see töötab. Esialgu, samas kui näited on standardsed. Aga Pi on number! Arv 3,14 ei ole kraadid! See on "Pi" radiaanid = 180°!

Veel kord: "Pi" on arv! 3.14. Irratsionaalne, aga arv. Sama nagu 5 või 8. Näiteks võite teha umbes "Pi" samme. Kolm sammu ja natuke rohkem. Või osta "Pi" kilogrammi maiustusi. Kui haritud müüja vahele jääb...

"Pi" on arv! Mis, ma sain sulle selle fraasiga aru? Kas olete juba kõigest aru saanud? OKEI. Kontrollime. Kas oskate öelda, milline number on suurem?

Või mis on vähem?

See pärineb reast veidi ebastandardsetest küsimustest, mis võivad uimaseks ajada ...

Kui ka sina jäid stuuporisse, pidage meeles loitsu: "Pi" on arv! 3.14. Esimeses siinuses on selgelt näidatud, et nurk - kraadides! Seetõttu on võimatu "Pi" asendada 180 ° võrra! "Pi" kraadi on umbes 3,14°. Seetõttu võime kirjutada:

Teises siinuses pole sümboleid. Nii et seal - radiaanid! Siin töötab "Pi" asendamine 180 ° -ga üsna hästi. Teisendades radiaanid kraadideks, nagu ülalpool kirjutatud, saame:

Jääb üle neid kahte siinust võrrelda. Mida. unustasid kuidas? Muidugi trigonomeetrilise ringi abil! Joonistame ringi, joonistame ligikaudsed nurgad 60° ja 1,05°. Vaatame nende nurkade siinusi. Ühesõnaga, kõik, nagu trigonomeetrilise ringi teema lõpus, on maalitud. Ringil (isegi kõveral!) on see selgelt näha sin60° oluliselt rohkem kui sin1,05°.

Täpselt sama teeme koosinustega. Ringile joonistame nurgad umbes 4 kraadid ja 4 radiaan(pidage meeles, mis on ligikaudu 1 radiaan?). Ring ütleb kõik! Muidugi on cos4 väiksem kui cos4°.

Harjutame nurgamõõtmiste käsitsemist.

Teisendage need nurgad kraadidest radiaanideks:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Need väärtused peaksid olema radiaanides (teises järjekorras!)

0

Muide, vastused olen spetsiaalselt kahele reale välja märkinud. Noh, mõtleme välja, millised nurgad on esimesel real? Kas kraadides või radiaanides?

Jah! Need on koordinaatsüsteemi teljed! Kui vaadata trigonomeetrilist ringi, siis nende väärtuste juures nurga liikuvat külge sobib otse teljele. Neid väärtusi tuleb irooniliselt teada. Ja ma märkisin nurga 0 kraadi (0 radiaani) mitte asjata. Ja siis mõned ei leia seda nurka ringil kuidagi üles ... Ja vastavalt sellele lähevad nad segadusse nulli trigonomeetrilistes funktsioonides ... Teine asi on see, et liikuva külje asukoht null kraadi juures ühtib positsiooniga 360 °, nii et kokkusattumused ringil on kogu aeg lähedal.

Teisel real on ka erinurgad... Need on 30°, 45° ja 60°. Ja mis on neis nii erilist? Ei midagi erilist. Ainus erinevus nende nurkade ja kõigi teiste vahel on see, et peaksite nende nurkade kohta teadma. kõike. Ja kus nad asuvad ja mis need nurgad on trigonomeetrilised funktsioonid. Ütleme väärtus sin100° sa ei pea teadma. JA sin45°- palun olge lahke! Need on kohustuslikud teadmised, ilma milleta pole trigonomeetrias midagi peale hakata... Aga sellest lähemalt järgmises tunnis.

Seni jätkame harjutamist. Teisendage need nurgad radiaanidest kraadideks:

Peaksite saama sellised tulemused (segaduses):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Juhtus? Siis võime seda eeldada kraadide teisendamine radiaanideks ja vastupidi- pole enam teie probleem.) Kuid nurkade tõlkimine on esimene samm trigonomeetria mõistmiseks. Samas kohas tuleb veel töötada siinuste-koosinustega. Jah, ja puutujatega, ka kotangentidega ...

Teine võimas samm on võimalus määrata mis tahes nurga asukoht trigonomeetriline ring. Nii kraadides kui radiaanides. Selle oskuse kohta vihjan teile igavalt kogu trigonomeetrias, jah ...) Kui teate kõike (või arvate, et teate kõike) trigonomeetrilisest ringist ja nurkade loendamisest trigonomeetrilisel ringil, saate seda kontrollida välja. Lahendage need lihtsad ülesanded:

1. Millisesse veerandisse nurgad langevad:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Lihtne? Jätkame:

2. Millisesse veerandisse langevad nurgad:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Samuti pole probleemi? No vaata...)

3. Võite paigutada nurgad neljandikku:

Kas sa suutsid? Noh, sa annad ..)

4. Millistele telgedele nurk langeb:

ja nurk:

Kas see on ka lihtne? Hm...)

5. Millisesse veerandisse nurgad langevad:

Ja see töötas!? No siis ma tõesti ei tea...)

6. Määrake, millisesse veerandisse nurgad langevad:

1, 2, 3 ja 20 radiaani.

Annan vastuse ainult viimase ülesande viimasele küsimusele (see on veidi keeruline). Esimesse kvartalisse langeb nurk 20 radiaani.

Ülejäänud vastuseid ma ahnusest ei anna.) Lihtsalt kui sa ei otsustanud midagi kahtlema selle tulemusena või kulutatud ülesandele nr 4 rohkem kui 10 sekundit oled ringis halvasti orienteeritud. See on teie probleem kogu trigonomeetrias. Parem on sellest (probleemist, mitte trigonomeetriast!) kohe lahti saada. Seda saab teha teemas: Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga lõigus 555.

See räägib, kuidas selliseid ülesandeid lihtsalt ja õigesti lahendada. No need ülesanded on muidugi lahendatud. Ja neljas ülesanne lahendati 10 sekundiga. Jah, nii otsustasin, et igaüks saab!

Kui olete oma vastustes täiesti kindel ja teid ei huvita lihtsad ja tõrgeteta radiaaniga töötamise viisid, ei saa te külastada numbrit 555. Ma ei nõua.)

hea arusaam- piisav hea põhjus edasi liikuma!)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.