Irratsionaalarvude summa on irratsionaalne arv. Olemus ja tähistus

Täisarvud

Naturaalarvude määratlus on täisarvud positiivsed numbrid. Naturaalarve kasutatakse objektide loendamiseks ja paljudel muudel eesmärkidel. Siin on numbrid:

See on loomulik arvude jada.
Null on naturaalarv? Ei, null ei ole naturaalarv.
Kuidas naturaalarvud on olemas? Olemas lõpmatu hulk naturaalarvud.
Mis on väikseim naturaalarv? Üks on väikseim naturaalarv.
Mis on suurim naturaalarv? Seda ei saa täpsustada, sest naturaalarvusid on lõpmatu hulk.

Naturaalarvude summa on naturaalarv. Niisiis, naturaalarvude a ja b liitmine:

Naturaalarvude korrutis on naturaalarv. Niisiis, naturaalarvude a ja b korrutis:

c on alati naturaalarv.

Naturaalarvude erinevus Naturaalarvu pole alati olemas. Kui minuend on suurem kui alamosa, siis on naturaalarvude erinevus naturaalarv, vastasel juhul mitte.

Naturaalarvude jagatis Naturaalarvu pole alati olemas. Kui naturaalarvude a ja b korral

kus c on naturaalarv, tähendab see, et a jagub võrdselt b-ga. Selles näites on a dividend, b jagaja, c jagatis.

Naturaalarvu jagaja on naturaalarv, millega esimene arv on võrdselt jagatav.

Iga naturaalarv jagub 1-ga ja iseendaga.

Lihtsad naturaalarvud jaguvad ainult 1-ga ja iseendaga. Siin peame silmas täielikult jagatud. Näide, numbrid 2; 3; 5; 7 jagub ainult 1-ga ja iseendaga. Need on lihtsad naturaalarvud.

Ühte ei peeta algarvuks.

Arve, mis on suuremad kui üks ja mis ei ole algarvud, nimetatakse liitarvudeks. Liitarvude näited:

Ühte ei peeta liitarvuks.

Naturaalarvude hulk on üks, algarvud ja liitnumbrid.

Naturaalarvude hulk on tähistatud Ladina täht N.

Naturaalarvude liitmise ja korrutamise omadused:

liitmise kommutatiivne omadus

liitmise assotsiatiivne omadus

(a + b) + c = a + (b + c);

korrutamise kommutatiivne omadus

korrutamise assotsiatiivne omadus

(ab)c = a(bc);

korrutamise jaotusomadus

A (b + c) = ab + ac;

Täisarvud

Täisarvud on naturaalarvud, nullid ja naturaalarvude vastandid.

Naturaalarvudele vastupidised arvud on negatiivsed täisarvud, näiteks:

1; -2; -3; -4;...

Täisarvude komplekti tähistatakse ladina tähega Z.

Ratsionaalarvud

Ratsionaalarvud on täis- ja murdarvud.

Iga ratsionaalarvu saab esitada perioodilise murruna. Näited:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Näidetest on selge, et iga täisarv on perioodiline murd perioodiga null.

Mis tahes ratsionaalarvu saab esitada murdarvuna m/n, kus m on täisarv arv, n loomulik number. Esitame sellise murdena eelmise näite arvu 3,(6).

Kõikide naturaalarvude hulk on tähistatud tähega N. Naturaalarvud on arvud, mida kasutame objektide loendamiseks: 1,2,3,4, ... Mõnes allikas viidatakse arvule 0 ka naturaalarvudele.

Kõikide täisarvude hulk on tähistatud tähega Z. Täisarvud on kõik naturaalarvud, null- ja negatiivsed arvud:

1,-2,-3, -4, …

Nüüd lisame kõigi täisarvude hulgale kõigi kogumi tavalised murrud: 2/3, 18/17, -4/5 ja nii edasi. Siis saame kogu komplekti ratsionaalsed arvud.

Ratsionaalarvude hulk

Kõigi ratsionaalarvude hulk on tähistatud tähega Q. Kõigi ratsionaalarvude hulk (Q) on hulk, mis koosneb numbritest kujul m/n, -m/n ja arvust 0. nagu n,m võib olla mis tahes naturaalarv. Tuleb märkida, et kõiki ratsionaalarvusid saab esitada lõpliku või lõpmatu PERIOODISE kümnendmurruna. Tõsi on ka vastupidi, et iga lõplikku või lõpmatut perioodilist kümnendmurdu saab kirjutada ratsionaalarvuna.

Aga kuidas on näiteks numbriga 2.0100100010…? See on lõpmatult MITTEPERIOOODILINE kümnend. Ja see ei kehti ratsionaalsete arvude kohta.

AT koolikursus Algebraid uuritakse ainult reaal- (või reaal-) arve. Paljud kõigest reaalarvud tähistatakse tähega R. Hulk R koosneb kõigist ratsionaalsetest ja kõigist irratsionaalarvudest.

Irratsionaalarvude mõiste

Irratsionaalsed arvud on kõik lõpmatud kümnendkohad mitteperioodilised murrud. Irratsionaalarvudel pole erilist tähistust.

Näiteks kõik arvud, mis saadakse naturaalarvude ruutjuure eraldamisel, mis ei ole naturaalarvude ruudud, on irratsionaalsed. (√2, √3, √5, √6 jne).

Kuid ärge arvake, et irratsionaalsed arvud saadakse ainult ruutjuurte eraldamisel. Näiteks arv "pi" on samuti irratsionaalne ja see saadakse jagamise teel. Ja ükskõik kui palju sa ka ei püüaks, ei saa te seda ekstraheerimisega kätte Ruutjuur mis tahes naturaalarvust.

Ühiku pikkuse segmendiga teadsid juba iidsed matemaatikud: nad teadsid näiteks diagonaali ja ruudu külje võrreldamatust, mis võrdub arvu irratsionaalsusega.

Irratsionaalsed on:

Irratsionaalsust tõendavad näited

2 juur

Oletame vastupidist: see on ratsionaalne, see tähendab, et see on esitatud taandamatu murdena, kus ja on täisarvud. Teeme oletatava võrdsuse ruudus:

.

Sellest järeldub, et isegi, seega isegi ja . Las kus tervik. Siis

Seetõttu isegi, seega isegi ja . Oleme selle saanud ja on paaris, mis on vastuolus murdosa taandamatusega. Seega oli esialgne oletus vale ja on irratsionaalne arv.

Arvu 3 kahendlogaritm

Oletame vastupidist: see on ratsionaalne, see tähendab, et see on esitatud murdena, kus ja on täisarvud. Alates , ja seda võib võtta positiivselt. Siis

Aga see on selge, see on veider. Saame vastuolu.

e

Lugu

Irratsionaalarvude kontseptsiooni võtsid India matemaatikud kaudselt kasutusele 7. sajandil eKr, kui Manawa (umbes 750 eKr – umbes 690 eKr) leidis, et mõne naturaalarvu, näiteks 2 ja 61 ruutjuuri ei saa otseselt väljendada.

Esimeseks tõendiks irratsionaalsete arvude olemasolust omistatakse tavaliselt Hippasusele Metapontosest (umbes 500 eKr), Pythagorase'le, kes leidis selle tõendi pentagrammi külgede pikkusi uurides. Pythagorealaste ajal usuti, et on olemas üks pikkusühik, piisavalt väike ja jagamatu, mis on mis tahes lõigusse kaasatud täisarv kordade arv. Hippasus väitis aga, et ühest pikkuseühikut pole olemas, kuna selle olemasolu oletus toob kaasa vastuolu. Ta näitas, et kui hüpotenuus võrdhaarse täisnurkne kolmnurk sisaldab täisarvu ühikulisi segmente, siis peab see arv olema korraga nii paaris kui paaritu. Tõestus nägi välja selline:

• Võrdhaarse täisnurkse kolmnurga hüpotenuusi pikkuse ja jala pikkuse suhet saab väljendada järgmiselt a:b, kus a ja b valitud võimalikult väikseks.
• Pythagorase teoreemi järgi: a² = 2 b².
• Sest a² ühtlane, a peab olema paaris (kuna paaritu arvu ruut oleks paaritu).
• Kuna a:b taandamatu b peab olema veider.
• Sest a isegi, tähistama a = 2y.
• Siis a² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y² seega b on siis ühtlane b isegi.
• Siiski on tõestatud, et b kummaline. Vastuolu.

Kreeka matemaatikud nimetasid seda võrreldamatute suuruste suhet alogos(väljestamatu), kuid legendide järgi ei avaldatud Hippasusele nõuetekohast austust. On legend, et Hippasus tegi avastuse seal viibides merereis, ja teised Pythagoraslased heitsid selle üle parda "universumi elemendi loomise eest, mis eitab doktriini, mille kohaselt saab kõiki universumi üksusi taandada täisarvudeks ja nende suheteks". Hippase avastus asetas Pythagorase matemaatika ette tõsine probleem, hävitades kogu teooria aluseks oleva eelduse, et arvud ja geomeetrilised objektid on üks ja lahutamatud.

Vaata ka

Märkmed

Arvsüsteemid
Loendamine komplektid	Naturaalarvud () Täisarvud ()

Arvude, eriti naturaalarvude mõistmine on üks vanimaid matemaatilisi "oskusi". Paljud tsivilisatsioonid, isegi tänapäevased, omistasid arvudele mõningaid müstilisi omadusi nende suure tähtsuse tõttu looduse kirjeldamisel. Kuigi kaasaegne teadus ja matemaatika ei kinnita neid "maagilisi" omadusi, arvuteooria tähtsus on vaieldamatu.

Ajalooliselt tekkisid esmalt paljud naturaalarvud, siis üsna pea lisati neile murrud ja positiivsed irratsionaalarvud. Null- ja negatiivsed arvud võeti kasutusele pärast neid reaalarvude hulga alamhulka. Viimane komplekt, komplekt kompleksarvud ilmus alles koos kaasaegse teaduse arenguga.

Kaasaegses matemaatikas numbreid ei sisestata ajalooline kord, kuigi sellele üsna lähedal.

Naturaalarvud $\mathbb(N)$

Naturaalarvude komplekti tähistatakse sageli kui $\mathbb(N)=\lsulg 1,2,3,4... \rsulg $ ja on sageli polsterdatud nulliga, et tähistada $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ määrab liitmise (+) ja korrutamise ($\cdot$) operatsioonid järgmised omadused mis tahes $a,b,c\mathbb(N)$ jaoks:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ komplekt $\mathbb(N)$ suletakse liitmise ja korrutamise all
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ kommutatiivsus
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ assotsiatiivsus
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ jaotus
5. $a\cdot 1=a$ on korrutamise neutraalne element

Kuna hulk $\mathbb(N)$ sisaldab neutraalset elementi korrutamiseks, kuid mitte liitmiseks, tagab nulli lisamine sellesse hulka, et see sisaldab liitmiseks neutraalset elementi.

Lisaks nendele kahele operatsioonile on hulgal $\mathbb(N)$ seosed "vähem kui" ($

1. $a b$ trihhotoomia
2. kui $a\leq b$ ja $b\leq a$, siis $a=b$ on antisümmeetria
3. kui $a\leq b$ ja $b\leq c$, siis $a\leq c$ on transitiivne
4. kui $a\leq b$, siis $a+c\leq b+c$
5. kui $a\leq b$, siis $a\cdot c\leq b\cdot c$

Täisarvud $\mathbb(Z)$

Täisarvude näited:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Võrrandi $a+x=b$ lahendus, kus $a$ ja $b$ on teadaolevad naturaalarvud ning $x$ on tundmatu naturaalarv, nõuab uue tehte – lahutamise (-) sisseviimist. Kui on olemas naturaalarv $x$, mis seda võrrandit rahuldab, siis $x=b-a$. Sellel konkreetsel võrrandil ei ole aga tingimata lahendust hulgal $\mathbb(N)$, seega on praktilistel kaalutlustel vaja naturaalarvude hulka laiendada nii, et see hõlmaks ka sellise võrrandi lahendeid. See toob kaasa täisarvude komplekti: $\mathbb(Z)=\lsulg 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Kuna $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, siis on loogiline eeldada, et eelnevalt tutvustatud operatsioonid $+$ ja $\cdot$ ning seos $ 1. $0+a=a+0=a$ lisade jaoks on neutraalne element
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ on olemas vastupidine number$-a$ $a$ eest

5. Kinnisvara:
5. kui $0\leq a$ ja $0\leq b$, siis $0\leq a\cdot b$

Hulk $\mathbb(Z) $ on samuti lahutamise all suletud, st $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Ratsionaalarvud $\mathbb(Q)$

Ratsionaalarvude näited:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Vaatleme nüüd võrrandeid kujul $a\cdot x=b$, kus $a$ ja $b$ on tuntud täisarvud ja $x$ on tundmatud. Lahenduse võimalikuks muutmiseks on vaja sisse viia jagamistehte ($:$) ja lahendiks saab $x=b:a$ ehk $x=\frac(b)(a)$. Jällegi kerkib esile probleem, et $x$ ei kuulu alati $\mathbb(Z)$ hulka, mistõttu tuleb täisarvude komplekti laiendada. Seega tutvustame ratsionaalarvude komplekti $\mathbb(Q)$ elementidega $\frac(p)(q)$, kus $p\in \mathbb(Z)$ ja $q\in \mathbb(N) $. Hulk $\mathbb(Z)$ on alamhulk, milles iga element $q=1$, seega $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ ning liitmise ja korrutamise toimingud kehtivad ka sellele hulgale vastavalt järgmistele reeglitele, mis säilitavad kõik ülaltoodud omadused ka komplektis $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Jaotis sisestatakse järgmiselt:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

Hulgi $\mathbb(Q)$ võrrandil $a\cdot x=b$ on iga $a\neq 0$ jaoks ainulaadne lahendus (nulliga jagamist ei määratleta). See tähendab, et on olemas pöördelement $\frac(1)(a)$ või $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lsulg 0\rsulg)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Komplekti $\mathbb(Q)$ järjekorda saab laiendada järgmiselt:
$\frac(p_1)(q_1)

Komplektis $\mathbb(Q)$ on üks oluline vara: mis tahes kahe ratsionaalarvu vahel on lõpmata palju teisi ratsionaalarve, seetõttu pole erinevalt naturaal- ja täisarvude hulgast kahte naaberarvu.

Irratsionaalsed arvud $\mathbb(I)$

Irratsionaalarvude näited:
$\sqrt(2) \umbes 1,41422135...$
$\pi \umbes 3,1415926535...$

Kuna mis tahes kahe ratsionaalarvu vahel on lõpmata palju teisi ratsionaalarve, on lihtne ekslikult järeldada, et ratsionaalarvude hulk on nii tihe, et seda pole vaja veelgi laiendada. Isegi Pythagoras tegi kunagi sellise vea. Tema kaasaegsed aga lükkasid selle järelduse juba ümber, kui uurisid võrrandi $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) lahendusi ratsionaalarvude hulgal. Sellise võrrandi lahendamiseks on vaja juurutada ruutjuure mõiste ja siis on selle võrrandi lahend kujul $x=\sqrt(2)$. Võrrandil, mille tüüp on $x^2=a$, kus $a$ on teadaolev ratsionaalarv ja $x$ on tundmatu, ei ole alati lahendust ratsionaalarvude hulga kohta ja jällegi on vajadus komplekti laiendamiseks. Tekib irratsionaalarvude hulk ja sellesse hulka kuuluvad sellised arvud nagu $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$....

Reaalarvud $\mathbb(R)$

Ratsionaal- ja irratsionaalarvude hulkade liit on reaalarvude hulk. Kuna $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, siis on jällegi loogiline eeldada, et kasutusele võetud aritmeetilised toimingud ja seosed säilitavad oma omadused uuel hulgal. Selle formaalne tõestamine on väga keeruline, seetõttu võetakse aksioomidena kasutusele ülalmainitud aritmeetiliste tehete omadused ja seosed reaalarvude hulgal. Algebras nimetatakse sellist objekti väljaks, seega öeldakse, et reaalarvude hulk on järjestatud väli.

Selleks, et reaalarvude hulga definitsioon oleks täielik, on vaja kasutusele võtta täiendav aksioom, mis eristab hulki $\mathbb(Q)$ ja $\mathbb(R)$. Oletame, et $S$ on reaalarvude hulga mittetühi alamhulk. Elementi $b\in \mathbb(R)$ nimetatakse $S$ ülemiseks piiriks, kui $\forall x\in S$ rahuldab $x\leq b$. Siis öeldakse, et hulk $S$ on ülalt piiratud. Hulga $S$ vähimat ülemist piiri nimetatakse ülemsummaks ja seda tähistatakse $\sup S$-ga. Sarnaselt tutvustatakse mõisteid alumine piir, allpool piiratud hulk ja infinum $\inf S$. Nüüd on puuduv aksioom sõnastatud järgmiselt:

Igal reaalarvude hulga mittetühjal ja ülalt piiratud alamhulgal on ülemsumma.
Samuti saab tõestada, et ülal defineeritud reaalarvude väli on unikaalne.

Kompleksarvud$\mathbb(C)$

Kompleksarvude näited:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ kus $i = \sqrt(-1)$ või $i^2 = -1$

Kompleksarvude hulk on kõik reaalarvude järjestatud paarid, st $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, millel tehakse liitmise ja liitmise tehted. korrutamine on määratletud järgmiselt:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Kompleksarvude kirjutamiseks on mitu võimalust, millest levinuim on $z=a+ib$, kus $(a,b)$ on reaalarvude paar ja arv $i=(0,1)$ nimetatakse imaginaarseks ühikuks.

Lihtne on näidata, et $i^2=-1$. Hulga $\mathbb(R)$ laiendus hulgale $\mathbb(C)$ võimaldab määrata ruutjuure negatiivsed arvud, mis oli kompleksarvude hulga kasutuselevõtu põhjuseks. Samuti on lihtne näidata, et hulga $\mathbb(C)$ alamhulk, mis on antud kujul $\mathbb(C)_0=\lsulg (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, rahuldab kõiki reaalarvude aksioomid, seega $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ või $R\subset\mathbb(C)$.

Hulga $\mathbb(C)$ algebralisel struktuuril liitmise ja korrutamise operatsioonide suhtes on järgmised omadused:
1. liitmise ja korrutamise kommutatiivsus
2. liitmise ja korrutamise assotsiatiivsus
3. $0+i0$ - neutraalne element lisamiseks
4. $1+i0$ - neutraalne element korrutamiseks
5. korrutamine on liitmise suhtes distributiivne
6. Nii liitmise kui korrutamise jaoks on üks pöördelement.