Što je hipotenuza. Kako pronaći hipotenuzu, poznavajući nogu i kut

Kao što znate, geometrija je teška znanost koja zahtijeva posebnu točnost i točnost u rješavanju problema. Mnogi izrazi i formule koje kasnije koristimo u složenijim izračunima navedeni su u udžbenicima matematike za 6.-7. Kako bismo proces učenja trigonometrijskih funkcija učinili lakšim i ugodnijim, u ovom ćemo članku pogledati nekoliko kratkih načina za izračunavanje hipotenuze. pravokutni trokut.

Kako pronaći hipotenuzu na nogama?

Prisjetimo se male teorije: pravokutni trokut se zove ravna figura, koji ima tri ugla. Jedan od njih ima vrijednost 90º, a strane se nazivaju noge i hipotenuza. Strana koja je suprotna pravi kut, i tu je hipotenuza, a druge dvije su susjedne katete. Glavna igra stranaka očituje se u Pitagorinom teoremu, prema kojem je hipotenuza jednaka zbroju kvadrata nogu. Međutim, to samo izgleda zbunjujuće, jer je zapravo sve puno jednostavnije.

Svojstva geometrijskog lika

Prije nego što pronađete hipotenuzu trokuta, morate shvatiti koje značajke ima ova figura. Razmotrimo glavne:

U pravokutnom trokutu zbroj oba šiljasta kuta iznosi 90º.
Kateta koja leži nasuprot kutu od 30º bit će jednaka ½ hipotenuze.
Ako je kateta jednaka ½ vrijednosti hipotenuze, tada će drugi kut imati istu vrijednost - 30º.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje hipotenuze u pravokutnom trokutu. po najviše jednostavno rješenje je obračun kroz noge. Recimo da znate vrijednostikraka stranica A i B. Tada u pomoć dolazi Pitagorin poučak koji nam govori da ako kvadriramo svaku vrijednost kraka i zbrojimo dobivene podatke, saznat ćemo kolika je hipotenuza je. Dakle, samo trebamo izvući vrijednost kvadratnog korijena:

Na primjer, ako je krak A = 3 cm i krak B = 4 cm, tada bi izračun bio sljedeći pogled:

Kako pronaći hipotenuzu kroz kut?

Drugi način da saznate čemu je jednaka hipotenuza u pravokutnom trokutu je izračunavanje kroz zadani kut. Da bismo to učinili, moramo izvesti vrijednost pomoću formule sinusa. Pretpostavimo da znamo vrijednost kraka (A) i vrijednost suprotnog kuta (α). Tada je cijelo rješenje u jednoj formuli: S=A/sin(α).

Na primjer, ako je duljina kraka 40 cm, a kut 45°, tada se duljina hipotenuze može izvesti na sljedeći način:

40/sin(45°) = 40/0,71 = 56,33.

Također možete odrediti željenu vrijednost preko kosinusa zadani kut. Pretpostavimo da znamo vrijednost jednog kraka (B) i šiljastog uključenog kuta (α). Tada je za rješavanje problema potrebna jedna formula: S=V/ cos(α).

Na primjer, ako je duljina kraka 50 cm, a kut 45°, tada se hipotenuza može izračunati na sljedeći način:

50/cos(45°) = 50/0,71 = 80,42.

Dakle, ispitali smo glavne načine kako saznati hipotenuzu u trokutu. Tijekom rješavanja zadatka važno je usredotočiti se na dostupne podatke, tada će pronalaženje nepoznate vrijednosti biti prilično jednostavno. Trebate znati samo nekoliko formula i proces rješavanja problema postat će jednostavan i ugodan.

Postoje tri opcije za rješavanje ovog problema. Prvi je ako je u uvjetima problema zadano da su katete jednake (zapravo, imamo pravokutnik jednakokračan trokut). Drugi - ako je zadan neki drugi kut (osim kuta od 45%, tada imamo isti jednakokračni trokut i vraćamo se na prvu opciju). I treći - kada je jedna noga poznata. Razmotrimo ove opcije detaljnije.

Kako pronaći jednake katete, s poznatom hipotenuzom

prvi krak (označimo ga slovom "a") jednak je drugom kraku ((označimo ga slovom "b"): a=b;

veličina nogu;

U ovoj verziji, rješenje problema temelji se na korištenju Pitagorinog teorema. Primjenjuje se na pravokutne trokute i njegova osnovna verzija zvuči kao: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrati nogu". Budući da su naše noge jednake, obje noge možemo označiti istim znakom: a = b, što znači - a = a.

Zamijenite naše konvencije u teoremu (uzimajući u obzir gore navedeno):
c^2=a^2+a^2,
Zatim ćemo pojednostaviti formulu što je više moguće:
s^2=2*(a^2) - grupa,
c \u003d √ 2 * a - dovodimo oba dijela jednadžbe do kvadratnog korijena,
a=c/√2 - izvadite željeno.
Zamjena dana vrijednost hipotenuzu i dobivamo rješenje:
a=x/√2

Kako pronaći katete s poznatom hipotenuzom i kutom

hipotenuza (označena slovom "c") jednaka je x cm: c=x;
kut β jednak q: β=q;

veličina nogu;

Za rješavanje ovog problema potrebno je koristiti trigonometrijske funkcije. Dva najpopularnija od njih su:

funkcija sinusa - sinus željenog kuta jednak je omjeru suprotne noge prema hipotenuzi;
funkcija kosinusa - kosinus željenog kuta jednak je omjeru susjedne noge prema hipotenuzi;

Možete koristiti bilo koji. Dat ću primjer koristeći prvi. Neka noge budu označene simbolima "a" (uz ugao) i "b" (nasuprot ugla). Prema tome, naš kut leži između katete "a" i hipotenuze.

Zamjenjujemo odabrane simbole u formuli:
sinβ = b/c
Izvodimo katet:
b=c*sinβ
Zamijenimo naše podatke i imamo jednu nogu.
b=c*sinq

Drugu nogu možete pronaći pomoću druge trigonometrijske funkcije ili idite na treću opciju.

Kako pronaći jednu katetu ako su poznate hipotenuza i druga kateta

hipotenuza (označena slovom "c") jednaka je x cm: c=x;
krak (označimo ga slovom "b") jednak je y cm: b=y;

veličina druge noge (označimo je slovom "a");

U ovoj varijanti rješenje problema, kao iu prvoj, je korištenje Pitagorinog teorema.

Zamjenom naših konvencija u teoremu:
c^2=a^2+b^2,
Izvadimo potrebnu nogu:
a^2=c^2-b^2
Dovodimo obje strane jednadžbe do kvadratnog korijena:
a=√(c^2-b^2)
Zamijenimo ove vrijednosti i imamo rješenje:
a=√(x^2-y^2)

Geometrija nije jednostavna znanost. Ona zahtijeva posebna pažnja i poznavanje točnih formula. Ova vrsta matematike nam je došla iz Drevna grčka a ni nakon nekoliko tisuća godina ne gubi na važnosti. Nemojte uzalud misliti da je to beskorisna tema koja puni glavu studentima i školarcima. Zapravo, geometrija je primjenjiva u mnogim područjima života. Bez njenog poznavanja geometrije ne gradi se niti jedna. arhitektonska struktura, automobili nisu stvoreni, svemirski brodovi i avioni. Složena i ne baš razmjena cesta i staza - sve to zahtijeva geometrijske izračune. Da, čak i ponekad ne možete izvršiti popravke u svojoj sobi bez poznavanja elementarnih formula. Stoga nemojte podcjenjivati važnost ove teme. Proučavamo najčešće formule koje moramo koristiti u mnogim odlukama u školi. Jedan od njih je pronalaženje hipotenuze u pravokutnom trokutu. Da biste ovo razumjeli, pročitajte u nastavku.

Prije nego što počnemo, počnimo s osnovama i definirajmo što je hipotenuza u pravokutnom trokutu.

Hipotenuza je jedna od stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kutu od 90 stupnjeva (pravi kut) i uvijek je najduža.

Postoji nekoliko načina za pronalaženje duljine željene hipotenuze u zadanom pravokutnom trokutu.

U slučaju kada su nam katete već poznate koristimo Pitagorin poučak, gdje zbrajamo zbroj kvadrata dviju kateta koji će biti jednak kvadratu hipotenuze.

a i b su katete, c je hipotenuza.

U našem slučaju, za pravokutni trokut, formula će biti sljedeća:

Ako zamijenimo poznati brojevi noge a i b, neka bude a=3 i b=4, tada c=√32+42, tada dobivamo c=√25, c=5

Kada znamo duljinu samo jedne noge, tada se formula može transformirati da se pronađe duljina druge. Ovako izgleda:

U slučaju kada prema uvjetima zadatka znamo krak A i hipotenuzu C, tada možemo izračunati pravi kut trokuta, nazovimo ga α.

Da bismo to učinili, koristimo se formulom:

Neka drugi kut koji trebamo izračunati bude β. S obzirom da znamo zbroj kutova trokuta koji iznosi 180°, tada je: β= 180°-90°-α

U slučaju kada znamo vrijednosti kateta, možemo koristiti formulu za pronalaženje vrijednosti oštrog kuta trokuta:

Ovisno o poznatim konvencionalnim vrijednostima, stranice pravokutnika mogu se pronaći iz skupa različite formule. Ovo su neki od njih:

Prilikom rješavanja problema s pronalaženjem nepoznanica u pravokutnom trokutu, vrlo je važno usredotočiti se na vrijednosti koje već poznajete i na temelju toga ih zamijeniti u željenu formulu. Bit će ih teško zapamtiti odmah, pa vam savjetujemo da napravite mali rukom pisani savjet i zalijepite ga u svoju bilježnicu.

Kao što vidite, ako se udubite u sve suptilnosti ove formule, lako ćete je shvatiti. Preporučujemo da pokušate riješiti nekoliko problema na temelju ove formule. Nakon što vidite svoj rezultat, bit će vam jasno jeste li razumjeli ovu temu ili ne. Pokušajte ne pamtiti, već se udubiti u gradivo, bit će puno korisnije. Nazubljeni materijal se zaboravlja nakon prve kontrole, a ovu formulu ćete često susresti, pa je prvo razumite, a onda zapamtite. Ako ove preporuke nisu dale pozitivan učinak, onda ima smisla dodatna nastava ova tema. I zapamtite: učenje je svjetlo, a ne učenje je tama!

U životu se često moramo nositi s matematički problemi: u školi, na fakultetu, a zatim i pomaganje djetetu oko domaća zadaća. Ljudi određenih profesija susrest će se s matematikom svakodnevno. Stoga je korisno zapamtiti ili prisjetiti se matematička pravila. U ovom ćemo članku analizirati jedan od njih: pronalaženje kraka pravokutnog trokuta.

Što je pravokutni trokut

Prvo, sjetimo se što je pravokutni trokut. Pravokutni trokut je geometrijski lik od tri segmenta koji spajaju točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji, a jedan od kutova ove figure je 90 stupnjeva. Stranice koje tvore pravi kut nazivaju se katete, a stranica koja leži nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza.

Pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Postoji nekoliko načina da saznate duljinu noge. Htio bih ih detaljnije razmotriti.

Pitagorin poučak za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Ako znamo hipotenuzu i katet, tada možemo pronaći duljinu nepoznatog kateta koristeći Pitagorin teorem. Zvuči ovako: "Kvadrat hipotenuze jednak je zbroju kvadrata kateta." Formula: c²=a²+b², gdje je c hipotenuza, a i b katete. Transformiramo formulu i dobijemo: a²=c²-b².

Primjer. Hipotenuza je 5 cm, a kateta 3 cm.Transformiramo formulu: c²=a²+b² → a²=c²-b². Zatim odlučujemo: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Trigonometrijske relacije za pronalaženje kraka pravokutnog trokuta

Također je moguće pronaći nepoznatu nogu ako bilo koje druge strane i bilo koje oštar kut pravokutni trokut. Postoje četiri mogućnosti za pronalaženje kraka pomoću trigonometrijskih funkcija: pomoću sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa. U rješavanju problema pomoći će nam donja tablica. Razmotrimo ove opcije.

Odredite krak pravokutnog trokuta pomoću sinusa

Sinus kuta (sin) je omjer suprotnog kraka i hipotenuze. Formula: sin \u003d a / c, gdje je a noga nasuprot zadanom kutu, a c je hipotenuza. Zatim transformiramo formulu i dobijemo: a=sin*c.

Primjer. Hipotenuza je 10 cm, a kut A je 30 stupnjeva. Prema tablici izračunavamo sinus kuta A, jednak je 1/2. Zatim pomoću transformirane formule rješavamo: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Pronađite krak pravokutnog trokuta pomoću kosinusa

Kosinus kuta (cos) je omjer susjednog kraka i hipotenuze. Formula: cos \u003d b / c, gdje je b noga uz zadani kut, a c je hipotenuza. Transformirajmo formulu i dobijemo: b=cos*c.

Primjer. Kut A je 60 stupnjeva, hipotenuza je 10 cm Prema tablici izračunavamo kosinus kuta A, jednak je 1/2. Zatim rješavamo: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Pronađite krak pravokutnog trokuta pomoću tangente

Tangens kuta (tg) je omjer suprotnog kraka i susjednog. Formula: tg \u003d a / b, gdje je a noga nasuprot kutu, a b je susjedna. Transformirajmo formulu i dobijemo: a=tg*b.

Primjer. Kut A je 45 stupnjeva, hipotenuza je 10 cm Prema tablici izračunavamo tangens kuta A, jednak je Rješavamo: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Odredite krak pravokutnog trokuta pomoću kotangensa

Kotangens kuta (ctg) je omjer susjednog i suprotnog kraka. Formula: ctg \u003d b / a, gdje je b noga uz kut, a suprotna je. Drugim riječima, kotangens je "obrnuti tangens". Dobivamo: b=ctg*a.

Primjer. Kut A je 30 stupnjeva, suprotni krak je 5 cm Prema tablici tangens kuta A je √3. Izračunajte: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Dakle, sada znate kako pronaći krak u pravokutnom trokutu. Kao što vidite, nije tako teško, glavna stvar je zapamtiti formule.

Noge se nazivaju dvije strane pravokutnog trokuta, koje tvore pravi kut. Najduža stranica trokuta nasuprot pravog kuta naziva se hipotenuza. Da biste pronašli hipotenuzu, morate znati duljinu kateta.

Uputa

1. Duljine kateta i hipotenuze povezane su omjerom koji je opisan Pitagorinim poučkom. Algebarska formulacija: “U pravokutnom trokutu, kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta.” Pitagorina formula izgleda ovako: c2 = a2 + b2, gdje je c duljina hipotenuze, a i b su duljine kateta.

2. Poznavajući duljine nogu, prema Pitagorinom teoremu, moguće je pronaći hipotenuzu pravokutnog trokuta: c \u003d ? (a2 + b2).

3. Primjer. Duljina jednog kraka je 3 cm, a drugog 4 cm. Zbroj njihovih kvadrata je 25 cm?: 9 cm? + 16 cm? \u003d 25 cm? Duljina hipotenuze u našem slučaju jednaka je kvadratnom korijenu od 25 cm? - 5 cm. Dakle, duljina hipotenuze je 5 cm.

Hipotenuza je stranica u pravokutnom trokutu koja je nasuprot kutu od 90 stupnjeva. Da bi se izračunala njegova duljina, dovoljno je znati duljinu jedne od krakova i vrijednost jednog od oštrih kutova trokuta.

Uputa

1. S poznatom nogom i oštrim kutom pravokutnog trokuta, tada veličina hipotenuze može biti jednaka omjeru noge i kosinusa / sinusa ovog kuta, ako je ovaj kut suprotan / susjedan s njim: h \u003d C1 (ili C2) / sin ?; h \u003d C1 (ili C2 )/cos?. Primjer: Neka je pravokutnik trokut ABC s hipotenuzom AB i pravim kutom C. Neka kut B iznosi 60 stupnjeva, a kut A 30 stupnjeva Duljina kraka BC je 8 cm.. Treba pronaći duljinu hipotenuze AB. Da biste to učinili, možete koristiti bilo koju od gore predloženih metoda: AB = BC / cos60 = 8 cm AB = BC / sin30 = 8 cm.

Hipotenuza je najduža stranica pravokutnika trokut. Nalazi se nasuprot pravog kuta. Metoda određivanja hipotenuze pravokutnika trokut ovisi o tome koje početne podatke posjedujete.

Uputa

1. Ako znamo katete pravokutnika trokut, zatim duljina hipotenuze pravokutnika trokut može se pronaći uz pomoć Pitagorinog poučka - kvadrat duljine hipotenuze jednak je zbroju kvadrata duljina kateta: c2 = a2 + b2, gdje su a i b duljine kateta pravokutnog trokut .

2. Ako vodimo jednu od kateta i šiljasti kut, tada će formula za pronalaženje hipotenuze ovisiti o tome koji je kut u odnosu na gonjenu nogu susjedan (nalazi se blizu noge) ili suprotan (nalazi se nasuprot nje. U slučaju uključeni kut, hipotenuza je jednaka omjeru kraka prema kosinusu ovog kuta: c = a/cos?; E je suprotni kut, hipotenuza je jednaka omjeru kraka i sinusa kuta : c = a/sin?

Videi sa sličnim sadržajem

Hipotenuza je stranica pravokutnog trokuta koja leži nasuprot pravog kuta. To je najduža stranica pravokutnog trokuta. Može se izračunati pomoću Pitagorinog teorema ili uz podršku formula trigonometrijske funkcije.

Uputa

1. Noge se nazivaju stranice pravokutnog trokuta uz pravi kut. Na slici su noge označene kao AB i BC. Neka su zadane duljine oba kraka. Označimo ih kao |AB| i |BC|. Da bismo pronašli duljinu hipotenuze |AC|, koristimo Pitagorin poučak. Prema ovom teoremu, zbroj kvadrata kateta jednak je kvadratu hipotenuze, tj. u oznaci našeg crteža |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Iz formule dobivamo da se duljina hipotenuze AC nalazi kao |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Pogledajmo primjer. Neka su duljine krakova |AB| = 13, |BC| = 21. Po Pitagorinom poučku dobivamo da je |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Da bismo dobili duljinu hipotenuze, potrebno je izvući Korijen iz zbroja kvadrata kateta, tj. od broja 610: |AC| = ?610. Pomoću tablice kvadrata cijelih brojeva saznajemo da broj 610 nije potpuni kvadrat nijednog cijelog broja. Da bismo dobili konačnu vrijednost duljine hipotenuze, pokušajmo prenijeti puni kvadrat ispod znaka korijena. Da bismo to učinili, rastavljamo broj 610 na faktore. 610 = 2 * 5 * 61. Prema tablici primitivnih brojeva vidimo da je 61 primitivan broj. Shodno tome, naknadno smanjenje broja ?610 je nerealno. Dobivamo konačni rezultat|AC| = ?610. Ako je kvadrat hipotenuze, na primjer, 675, tada je ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. U slučaju da je sličan odljev valjan, izvršite obrnutu provjeru - kvadrirajte ukupni iznos i usporedite s početnom vrijednošću.

3. Recite nam jednu od nogu i kut uz nju. Radi određenosti neka to bude krak |AB| i kut? Tada možemo koristiti formulu za trigonometrijska funkcija kosinus - kosinus kuta jednak je omjeru susjedne katete i hipotenuze. Oni. u našem zapisu cos ? = |AB| / |AC|. Odavde dobivamo duljinu hipotenuze |AC| = |AB| / cos ?. Ako znamo krak |BC| i kut?, tada koristimo formulu za izračunavanje sinusa kuta - sinus kuta jednak je omjeru suprotne katete i hipotenuze: sin? = |BC| / |AC|. Dobivamo da se duljina hipotenuze nalazi kao |AC| = |BC| /cos?.

4. Radi jasnoće, pogledajmo primjer. Neka je duljina kraka |AB| = 15. A kut? = 60°. Dobivamo |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Pogledajmo kako možete provjeriti svoj rezultat koristeći Pitagorin teorem. Da bismo to učinili, moramo izračunati duljinu drugog kraka |BC|. Pomoću formule za tangens kuta tg ? = |BC| / |AC|, dobivamo |BC| = |AB| * tg ? \u003d 15 * tg 60 ° \u003d 15 *? 3. Zatim primijenimo Pitagorin teorem, dobijemo 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Provjera je obavljena.

Koristan savjet
Nakon izračuna hipotenuze, provjerite zadovoljava li dobivena vrijednost Pitagorin teorem.