Riješite primjere s različitim predznacima. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka

NA ovu lekciju razmotriti zbrajanje i oduzimanje racionalni brojevi. Tema je klasificirana kao složena. Ovdje je potrebno koristiti cijeli arsenal prethodno stečenog znanja.

Pravila za zbrajanje i oduzimanje cijelih brojeva vrijede i za racionalne brojeve. Podsjetimo da su racionalni brojevi brojevi koji se mogu predstaviti kao razlomak, gdje a - je brojnik razlomka b je nazivnik razlomka. pri čemu, b ne smije biti null.

U ovoj lekciji sve ćemo češće spominjati razlomke i mješovite brojeve kao jednu uobičajenu frazu - racionalni brojevi.

Navigacija po lekciji:

Primjer 1 Pronađite vrijednost izraza:

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim predznacima. Uzimamo u obzir da je plus koji je dan u izrazu znak operacije i ne vrijedi za razlomke. Ovaj razlomak ima svoj znak plus, koji je nevidljiv zbog činjenice da nije zapisan. Ali mi ćemo to zapisati radi jasnoće:

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva s različiti znakovi. Za zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima potrebno je od većeg modula oduzeti manji modul, a ispred odgovora staviti znak racionalnog broja čiji je modul veći. A da biste razumjeli koji je modul veći, a koji manji, morate biti u mogućnosti usporediti module ovih razlomaka prije nego što ih izračunate:

Modul racionalnog broja veći je od modula racionalnog broja. Stoga smo oduzeli od . Dobio odgovor. Zatim, smanjivši ovaj razlomak za 2, dobili smo konačni odgovor.

Neke primitivne radnje, kao što je stavljanje brojeva u zagrade i zapisivanje modula, mogu se preskočiti. Ovaj primjer se može napisati na kraći način:

Primjer 2 Pronađite vrijednost izraza:

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim predznacima. Uzimamo u obzir da je minus između racionalnih brojeva i znak operacije i ne vrijedi za razlomke. Ovaj razlomak ima svoj znak plus, koji je nevidljiv zbog činjenice da nije zapisan. Ali mi ćemo to zapisati radi jasnoće:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem. Podsjetimo da za to trebate dodati minuendu broj nasuprot oduzetom:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Da biste dodali negativne racionalne brojeve, morate dodati njihove module i staviti minus ispred odgovora:

Bilješka. Nije potrebno svaki racionalni broj staviti u zagrade. To je učinjeno radi praktičnosti, kako bi se jasno vidjeli koje znakove imaju racionalni brojevi.

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza:

U ovom izrazu razlomci imaju različite nazivnike. Da bismo sebi olakšali stvari, te razlomke smanjujemo na zajednički nazivnik. Nećemo ulaziti u detalje kako to učiniti. Ako imate poteškoća, svakako ponovite lekciju.

Nakon svođenja razlomaka na zajednički nazivnik, izraz će poprimiti sljedeći oblik:

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Od većeg modula oduzimamo manji modul, a prije dobivenog odgovora stavljamo znak racionalnog broja čiji je modul veći:

Zapišimo rješenje ovog primjera na kraći način:

Primjer 4 Pronađite vrijednost izraza

Ovaj izraz izračunavamo na sljedeći način: zbrajamo racionalne brojeve i , a zatim od dobivenog rezultata oduzimamo racionalni broj.

Prva radnja:

Druga radnja:

Primjer 5. Pronađite vrijednost izraza:

Predstavimo cijeli broj −1 kao razlomak, i mješoviti broj pretvoriti u nepravilan razlomak:

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim znakovima:

Dobili smo zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Od većeg modula oduzimamo manji modul, a prije dobivenog odgovora stavljamo znak racionalnog broja čiji je modul veći:

Dobio odgovor.

Postoji i drugo rješenje. Sastoji se od zasebnog sastavljanja cijelih dijelova.

Dakle, vratimo se izvornom izrazu:

Stavite svaki broj u zagrade. Za ovaj mješoviti broj privremeno:

Izračunajmo cjelobrojne dijelove:

(−1) + (+2) = 1

U glavnom izrazu umjesto (−1) + (+2) zapisujemo rezultirajuću jedinicu:

Rezultirajući izraz. Da biste to učinili, napišite jedinicu i razlomak zajedno:

Napišimo rješenje na ovaj način na kraći način:

Primjer 6 Pronađite vrijednost izraza

Pretvorite mješoviti broj u nepravilan razlomak. Ostalo prepisujemo bez promjene:

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim znakovima:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Zapišimo rješenje ovog primjera na kraći način:

Primjer 7 Pronađite izraz vrijednosti

Predstavimo cijeli broj −5 kao razlomak i prevedemo mješoviti broj u nepravilan razlomak:

Dovedimo ove razlomke na zajednički nazivnik. Nakon što ih dovedemo do zajedničkog nazivnika, oni će poprimiti sljedeći oblik:

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim znakovima:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Zbrajamo module ovih brojeva i stavljamo minus ispred primljenog odgovora:

Dakle, vrijednost izraza je .

Mi ćemo odlučiti dati primjer drugi način. Vratimo se izvornom izrazu:

Zapišimo mješoviti broj u proširenom obliku. Ostalo prepisujemo bez promjena:

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim predznacima:

Izračunajmo cjelobrojne dijelove:

U glavnom izrazu, umjesto pisanja rezultirajućeg broja −7

Izraz je prošireni oblik pisanja mješovitog broja. Zapišimo zajedno broj −7 i razlomak, tvoreći konačni odgovor:

Napišimo ovo rješenje ukratko:

Primjer 8 Pronađite vrijednost izraza

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim predznacima:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Zbrajamo module ovih brojeva i stavljamo minus ispred primljenog odgovora:

Dakle, vrijednost izraza je

Ovaj primjer se može riješiti na drugi način. Sastoji se od zasebnog dodavanja cijelih i razlomaka. Vratimo se izvornom izrazu:

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim znakovima:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Zbrajamo module ovih brojeva i stavljamo minus ispred primljenog odgovora. Ali ovaj put zasebno zbrajamo cijele dijelove (−1 i −2), te razlomke i

Napišimo ovo rješenje ukratko:

Primjer 9 Pronađite izraze izraza

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke:

Racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim predznakom. Racionalni broj ne mora biti stavljen u zagrade, jer je već u zagradama:

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Zbrajamo module ovih brojeva i stavljamo minus ispred primljenog odgovora:

Dakle, vrijednost izraza je

Pokušajmo sada isti primjer riješiti na drugi način, odnosno zbrajanjem cijelog i razlomka odvojeno.

Ovaj put, kako bismo dobili kratko rješenje, pokušajmo preskočiti neke radnje, kao što je pisanje mješovitog broja u proširenom obliku i zamjena oduzimanja sa zbrajanjem:

Imajte na umu da su razlomci svedeni na zajednički nazivnik.

Primjer 10 Pronađite vrijednost izraza

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Rezultirajući izraz ne sadrži negativne brojeve, koji su glavni uzrok grešaka. A budući da nema negativnih brojeva, možemo ukloniti plus ispred oduzetog, a također ukloniti zagrade:

Rezultat je jednostavan izraz koji je lako izračunati. Izračunajmo to na bilo koji način koji nam odgovara:

Primjer 11. Pronađite vrijednost izraza

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Od većeg modula oduzimamo manji modul, a ispred dobivenih odgovora stavljamo znak racionalnog broja čiji je modul veći:

Primjer 12. Pronađite vrijednost izraza

Izraz se sastoji od nekoliko racionalnih brojeva. Prema, prije svega, morate izvršiti radnje u zagradama.

Prvo izračunamo izraz , a zatim izraz Zbrojimo dobivene rezultate.

Prva radnja:

Druga radnja:

Treća radnja:

Odgovor: vrijednost izraza jednaki

Primjer 13 Pronađite vrijednost izraza

Pretvorite mješovite brojeve u nepravilne razlomke:

Racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim predznakom. Racionalni broj ne mora biti stavljen u zagrade, jer je već u zagradama:

Dajmo ove razlomke u zajedničkom nazivniku. Nakon što ih dovedemo do zajedničkog nazivnika, oni će poprimiti sljedeći oblik:

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

Dobili smo zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Od većeg modula oduzimamo manji modul, a ispred dobivenih odgovora stavljamo znak racionalnog broja čiji je modul veći:

Dakle, vrijednost izraza jednaki

Razmotrimo zbrajanje i oduzimanje decimalnih razlomaka, koji su također racionalni brojevi i koji mogu biti i pozitivni i negativni.

Primjer 14 Pronađite vrijednost izraza −3,2 + 4,3

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim predznacima. Uzimamo u obzir da je plus koji je dan u izrazu predznak operacije i ne vrijedi za decimalni razlomak 4.3. Ova decimala ima svoj znak plus, koji je nevidljiv zbog činjenice da nije zapisan. Ali mi ćemo to zapisati radi jasnoće:

(−3,2) + (+4,3)

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Za zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima potrebno je od većeg modula oduzeti manji modul, a ispred odgovora staviti racionalni broj čiji je modul veći. A da biste razumjeli koji je modul veći, a koji manji, morate biti u mogućnosti usporediti module ovih decimalnih razlomaka prije nego što ih izračunate:

(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1

Modul od 4,3 veći je od modula od -3,2, pa smo od 4,3 oduzeli 3,2. Dobio odgovor 1.1. Odgovor je potvrdan, jer odgovoru mora prethoditi znak racionalnog broja čiji je modul veći. A modul od 4,3 veći je od modula od -3,2

Dakle, vrijednost izraza −3,2 + (+4,3) je 1,1

−3,2 + (+4,3) = 1,1

Primjer 15 Pronađite vrijednost izraza 3,5 + (−8,3)

Ovo je zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Kao i u prethodnom primjeru, od većeg modula oduzimamo manji i ispred odgovora stavljamo znak racionalnog broja čiji je modul veći:

3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8

Dakle, vrijednost izraza 3,5 + (−8,3) jednaka je −4,8

Ovaj primjer se može napisati kraće:

3,5 + (−8,3) = −4,8

Primjer 16 Pronađite vrijednost izraza −7,2 + (−3,11)

Ovo je zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Da biste zbrali negativne racionalne brojeve, morate dodati njihove module i staviti minus ispred odgovora.

Možete preskočiti unos s modulima kako biste izbjegli zatrpavanje izraza:

−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31

Dakle, vrijednost izraza −7,2 + (−3,11) jednaka je −10,31

Ovaj primjer se može napisati kraće:

−7,2 + (−3,11) = −10,31

Primjer 17. Pronađite vrijednost izraza −0,48 + (−2,7)

Ovo je zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Dodajemo njihove module i stavljamo minus ispred primljenog odgovora. Možete preskočiti unos s modulima kako biste izbjegli zatrpavanje izraza:

−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18

Primjer 18. Pronađite vrijednost izraza −4,9 − 5,9

Svaki racionalni broj stavljamo u zagrade zajedno s njegovim predznacima. Uzimamo u obzir da je minus koji se nalazi između racionalnih brojeva −4,9 i 5,9 znak operacije i ne vrijedi za broj 5,9. Ovaj racionalni broj ima svoj znak plus, koji je nevidljiv zbog činjenice da nije zapisan. Ali mi ćemo to zapisati radi jasnoće:

(−4,9) − (+5,9)

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

(−4,9) + (−5,9)

Dobili smo zbrajanje negativnih racionalnih brojeva. Dodajemo njihove module i stavljamo minus ispred primljenog odgovora:

(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8

Dakle, vrijednost izraza −4,9 − 5,9 jednaka je −10,8

−4,9 − 5,9 = −10,8

Primjer 19. Pronađite vrijednost izraza 7 − 9.3

Stavite u zagrade svaki broj zajedno s njegovim znakovima

(+7) − (+9,3)

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem

(+7) + (−9,3)

(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3

Dakle, vrijednost izraza 7 − 9,3 je −2,3

Zapišimo rješenje ovog primjera na kraći način:

7 − 9,3 = −2,3

Primjer 20. Pronađite vrijednost izraza −0,25 − (−1,2)

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem:

−0,25 + (+1,2)

Dobili smo zbrajanje racionalnih brojeva s različitim predznacima. Od većeg modula oduzimamo manji modul, a prije odgovora stavljamo znak broja čiji je modul veći:

−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95

Zapišimo rješenje ovog primjera na kraći način:

−0,25 − (−1,2) = 0,95

Primjer 21. Pronađite vrijednost izraza -3,5 + (4,1 - 7,1)

Izvedite radnje u zagradama, a zatim primljeni odgovor dodajte brojem −3,5

Prva radnja:

4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0

Druga radnja:

−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5

Odgovor: vrijednost izraza −3,5 + (4,1 − 7,1) je −6,5.

Primjer 22. Pronađite vrijednost izraza (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1)

Napravimo zagrade. Zatim, od broja koji je nastao izvođenjem prvih zagrada, oduzmite broj koji je rezultat izvršenja drugih zagrada:

Prva radnja:

3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6

Druga radnja:

3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4

Treći čin

0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Odgovor: vrijednost izraza (3,5 - 2,9) - (3,7 - 9,1) je 6.

Primjer 23. Pronađite vrijednost izraza −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15

Stavite u zagrade svaki racionalni broj zajedno s njegovim predznacima

(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)

Zamijenimo oduzimanje sa zbrajanjem gdje je to moguće:

(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)

Izraz se sastoji od nekoliko pojmova. Prema asocijativnom zakonu zbrajanja, ako se izraz sastoji od nekoliko članova, tada zbroj neće ovisiti o redoslijedu radnji. To znači da se pojmovi mogu dodati bilo kojim redoslijedom.

Nećemo ponovno izumiti kotač, već ćemo dodati sve pojmove s lijeva na desno redoslijedom kojim se pojavljuju:

Prva radnja:

(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35

Druga radnja:

13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15

Treća radnja:

7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1

Odgovor: vrijednost izraza −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 jednaka je 1.

Primjer 24. Pronađite vrijednost izraza

Idemo prevoditi decimal−1,8 na mješoviti broj. Ostatak ćemo prepisati bez promjene:

Praktički cijeli kolegij matematike temelji se na operacijama s pozitivnim i negativnim brojevima. Doista, čim počnemo proučavati koordinatni pravac, brojevi sa predznacima plus i minus počinju nas susresti posvuda, u svakom nova tema. Nema ništa lakše nego zbrajati obične pozitivne brojeve, nije teško oduzeti jedan od drugog. Čak aritmetičke operacije s dva negativna broja rijetko je problem.

Međutim, mnogi ljudi se zbune u zbrajanju i oduzimanju brojeva s različitim predznacima. Prisjetite se pravila po kojima se te radnje odvijaju.

Zbrajanje brojeva s različitim predznacima

Da bismo riješili problem, potrebno je određenom broju dodati "a" negativan broj"-b", tada morate postupiti na sljedeći način.

Uzmimo module oba broja - |a| i |b| - i usporedite ove apsolutne vrijednosti između sebe.
Zabilježite koji je od modula veći, a koji manji i oduzmite od toga veća vrijednost manji.
Ispred rezultirajućeg broja stavljamo predznak broja čiji je modul veći.

Ovo će biti odgovor. Može se reći jednostavnije: ako je u izrazu a + (-b) modul broja "b" veći od modula "a", tada oduzimamo "a" od "b" i stavljamo "minus" “ ispred rezultata. Ako je modul "a" veći, tada se "b" oduzima od "a" - i rješenje se dobiva sa znakom "plus".

Također se događa da su moduli jednaki. Ako je tako, onda možete stati na ovom mjestu - pričamo oko suprotni brojevi, a njihov će zbroj uvijek biti nula.

Oduzimanje brojeva s različitim predznacima

Shvatili smo zbrajanje, sada razmislite o pravilu za oduzimanje. Također je prilično jednostavno - a osim toga, potpuno ponavlja slično pravilo za oduzimanje dva negativna broja.

Da biste od određenog broja "a" - proizvoljnog, odnosno s bilo kojim predznakom - oduzeli negativan broj "c", potrebno je našem proizvoljnom broju "a" dodati broj suprotan od "c". Na primjer:

ako "a" pozitivan broj, a "c" je negativan, a "c" se mora oduzeti od "a", tada to pišemo ovako: a - (-c) \u003d a + c.
Ako je "a" negativan broj, a "c" je pozitivan, a "c" se mora oduzeti od "a", tada pišemo kako slijedi: (- a) - c \u003d - a + (-c).

Tako se kod oduzimanja brojeva s različitim predznacima na kraju vraćamo na pravila zbrajanja, a kod zbrajanja brojeva s različitim predznacima vraćamo se na pravila oduzimanja. Sjećanje na ova pravila omogućuje vam brzo i jednostavno rješavanje problema.

Zbrajanje negativnih brojeva.

Zbroj negativnih brojeva je negativan broj. Zbroj modula jednak je zbroju moduli pojmova.

Pogledajmo zašto će i zbroj negativnih brojeva biti negativan broj. U tome će nam pomoći koordinatna linija na kojoj ćemo izvršiti zbrajanje brojeva -3 i -5. Označimo točku na koordinatnoj liniji koja odgovara broju -3.

Broju -3 trebamo dodati broj -5. Kamo idemo od točke koja odgovara broju -3? Tako desno, lijevo! Za 5 pojedinačnih segmenata. Označavamo točku i upisujemo joj odgovarajući broj. Ovaj broj je -8.

Dakle, kada zbrajamo negativne brojeve pomoću koordinatnog pravca, uvijek smo lijevo od referentne točke, stoga je jasno da je rezultat zbrajanja negativnih brojeva također negativan broj.

Bilješka. Dodali smo brojeve -3 i -5, t.j. pronašao vrijednost izraza -3+(-5). Obično, kada zbrajaju racionalne brojeve, te brojeve jednostavno zapišu svojim predznacima, kao da navode sve brojeve koje treba zbrojiti. Takav zapis naziva se algebarski zbroj. Primijenite (u našem primjeru) zapis: -3-5=-8.

Primjer. Pronađite zbroj negativnih brojeva: -23-42-54. (Slažete se da je ovaj unos kraći i praktičniji ovako: -23+(-42)+(-54))?

Mi odlučujemo prema pravilu zbrajanja negativnih brojeva: zbrajamo module pojmova: 23+42+54=119. Rezultat će biti sa predznakom minus.

Obično to zapisuju ovako: -23-42-54 \u003d -119.

Zbrajanje brojeva s različitim predznacima.

Zbroj dvaju brojeva s različitim predznacima ima predznak zbroja s velikim modulom. Da biste pronašli modul zbroja, trebate oduzeti manji modul od većeg modula.

Izvedimo zbrajanje brojeva s različitim predznacima pomoću koordinatnog pravca.

1) -4+6. Broju 6 potrebno je dodati broj -4. Broj -4 označavamo točkom na koordinatnoj liniji. Broj 6 je pozitivan, što znači da od točke s koordinatom -4 trebamo ići udesno za 6 jediničnih segmenata. Završili smo desno od ishodišta (od nule) za 2 jedinična segmenta.

Rezultat zbroja brojeva -4 i 6 je pozitivan broj 2:

— 4+6=2. Kako ste mogli dobiti broj 2? Oduzmi 4 od 6, tj. oduzmite manje od većeg. Rezultat ima isti predznak kao i pojam s velikim modulom.

2) Izračunajmo: -7+3 pomoću koordinatnog pravca. Označavamo točku koja odgovara broju -7. Idemo udesno za 3 jedinična segmenta i dobivamo točku s koordinatom -4. Bili smo i ostali lijevo od ishodišta: odgovor je negativan broj.

— 7+3=-4. Ovaj rezultat bismo mogli dobiti na sljedeći način: od većeg modula oduzeli smo manji, t.j. 7-3=4. Kao rezultat, postavljen je predznak pojma s većim modulom: |-7|>|3|.

Primjeri. Izračunati: a) -4+5-9+2-6-3; b) -10-20+15-25.

Razlomci su obični brojevi, također se mogu zbrajati i oduzimati. Ali zbog činjenice da imaju nazivnik, više komplicirana pravila nego za cijele brojeve.

Razmotrimo najjednostavniji slučaj, kada postoje dva razlomka s isti nazivnici. Zatim:

Da biste zbrojili razlomke s istim nazivnicima, zbrojite njihove brojnike i ostavite nazivnik nepromijenjen.

Za oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima potrebno je brojnik drugog oduzeti od brojnika prvog razlomka, a nazivnik opet ostaviti nepromijenjen.

Unutar svakog izraza nazivnici razlomaka su jednaki. Po definiciji zbrajanja i oduzimanja razlomaka dobivamo:

Kao što vidite, ništa komplicirano: samo zbrojite ili oduzmite brojnike - i to je to.

Ali čak i u takvim jednostavne radnje ljudi uspijevaju pogriješiti. Najčešće zaborave da se nazivnik ne mijenja. Na primjer, kada ih zbrajaju, oni se također počinju zbrajati, a to je u osnovi pogrešno.

Riješiti se loša navika Dodavanje nazivnika je dovoljno jednostavno. Pokušajte učiniti isto kada oduzimate. Kao rezultat toga, nazivnik će biti nula, a razlomak (odjednom!) će izgubiti svoje značenje.

Zato zapamtite jednom zauvijek: pri zbrajanju i oduzimanju nazivnik se ne mijenja!

Također, mnogi ljudi griješe kada dodaju nekoliko negativni razlomci. Postoji zbrka sa znakovima: gdje staviti minus, a gdje - plus.

Ovaj problem je također vrlo lako riješiti. Dovoljno je zapamtiti da se minus ispred znaka razlomka uvijek može prenijeti na brojnik - i obrnuto. I naravno, ne zaboravite dva jednostavna pravila:

Plus puta minus daje minus;
Dva negativa čine potvrdno.

Analizirajmo sve ovo na konkretnim primjerima:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju sve je jednostavno, a u drugom ćemo brojiteljima razlomaka dodati minuse:

Što ako su nazivnici različiti

Izravno dodavanje razlomaka različitim nazivnicima Zabranjeno je. Barem mi je ova metoda nepoznata. Međutim, izvorni razlomci se uvijek mogu prepisati tako da nazivnici postanu isti.

Postoji mnogo načina za pretvaranje razlomaka. Tri od njih su obrađene u lekciji "Dovođenje razlomaka u zajednički nazivnik", pa se ovdje nećemo zadržavati na njima. Pogledajmo neke primjere:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

U prvom slučaju razlomke dovodimo do zajedničkog nazivnika metodom "križno". U drugom ćemo tražiti LCM. Imajte na umu da je 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Posljednji čimbenici u tim proširenjima su jednaki, a prvi su međusobno prosti. Prema tome, LCM(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Što ako razlomak ima cijeli broj

Mogu ti ugoditi: različiti nazivnici razlomaka nisu najveće zlo. Mnogo više bugova nastaje kada se cijeli dio izdvoji u razlomcima.

Naravno, za takve razlomke postoje vlastiti algoritmi zbrajanja i oduzimanja, ali oni su prilično komplicirani i zahtijevaju dugo proučavanje. Bolje koristiti jednostavan sklop ispod:

Pretvorite sve razlomke koji sadrže cijeli broj u nepravilne. Dobivamo normalne članove (čak i s različitim nazivnicima), koji se izračunavaju prema gore navedenim pravilima;
Zapravo, izračunajte zbroj ili razliku dobivenih razlomaka. Kao rezultat toga, praktički ćemo pronaći odgovor;
Ako je to sve što je bilo potrebno u zadatku, izvršavamo inverzna transformacija, tj. riješimo se nepravilnog razlomka, ističući cijeli broj u njemu.

Pravila prijelaza na nepravilni razlomci i odabir cjelobrojnog dijela detaljno su opisani u lekciji "Što je razlomak". Ako se ne sjećate, svakako ponovite. primjeri:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

Ovdje je sve jednostavno. Nazivnici unutar svakog izraza su jednaki, pa ostaje sve razlomke pretvoriti u nepravilne i brojati. Imamo:

Kako bih pojednostavio izračune, preskočio sam neke očite korake u posljednjim primjerima.

Mala napomena za dvoje nedavni primjeri, gdje se razlomci oduzimaju od označenog cijeli dio. Minus ispred drugog razlomka znači da se oduzima cijeli razlomak, a ne samo njegov cijeli dio.

Ponovno pročitajte ovu rečenicu, pogledajte primjere i razmislite o tome. To je mjesto gdje početnici dopuštaju velika količina pogreške. Oni vole davati takve zadatke kontrolni rad. Također ćete ih više puta susresti u testovima za ovu lekciju, koji će uskoro biti objavljeni.

Sažetak: Opća shema računarstva

U zaključku ću dati opći algoritam, koji će vam pomoći pronaći zbroj ili razliku dva ili više razlomaka:

Ako je cijeli broj istaknut u jednom ili više razlomaka, pretvorite te razlomke u neispravne;
Dovedite sve razlomke u zajednički nazivnik na bilo koji način koji vam odgovara (osim ako, naravno, to nisu učinili sastavljači zadataka);
Dobivene brojeve zbrajati ili oduzimati prema pravilima za zbrajanje i oduzimanje razlomaka s istim nazivnicima;
Smanjite rezultat ako je moguće. Ako se razlomak pokazalo netočnim, odaberite cijeli dio.

Zapamtite da je bolje istaknuti cijeli dio na samom kraju zadatka, neposredno prije pisanja odgovora.

>>Matematika: zbrajanje brojeva s različitim predznacima

33. Zbrajanje brojeva s različitim predznacima

Ako je temperatura zraka bila jednaka 9 °S, a zatim se promijenila za -6 °S (tj. smanjila se za 6 °S), tada je postala jednaka 9 + (- 6) stupnjeva (slika 83).

Da biste uz pomoć zbrojili brojeve 9 i - 6, trebate pomaknuti točku A (9) ulijevo za 6 jediničnih segmenata (Sl. 84). Dobivamo točku B (3).

Dakle, 9+(- 6) = 3. Broj 3 ima isti predznak kao i član 9, a njegov modul jednaka je razlici između modula pojmova 9 i -6.

Doista, |3| =3 i |9| - |- 6| == 9 - 6 = 3.

Ako se ista temperatura zraka od 9 °S promijenila za -12 °S (tj. smanjila se za 12 °S), tada je postala jednaka 9 + (-12) stupnjeva (slika 85). Zbrajanjem brojeva 9 i -12 pomoću koordinatnog pravca (slika 86), dobivamo 9 + (-12) \u003d -3. Broj -3 ima isti predznak kao i član -12, a njegov modul jednak je razlici između modula članova -12 i 9.

Doista, | - 3| = 3 i | -12| - | -9| \u003d 12 - 9 \u003d 3.

Za dodavanje dva broja s različitim predznacima:

1) od većeg modula članova oduzmite manji;

2) ispred rezultirajućeg broja staviti predznak pojma čiji je modul veći.

Obično se prvo odredi i zapiše predznak zbroja, a zatim se pronađe razlika modula.

Na primjer:

1) 6,1+(- 4,2)= +(6,1 - 4,2)= 1,9,
ili kraći od 6,1+(-4,2) = 6,1 - 4,2 = 1,9;

Prilikom zbrajanja pozitivnih i negativnih brojeva, možete koristiti kalkulator. Da biste unijeli negativan broj u kalkulator, morate unijeti modul tog broja, a zatim pritisnuti tipku "promjena znaka" |/-/|. Na primjer, da biste unijeli broj -56,81, morate pritisnuti tipke u nizu: | 5 |, | 6 |, | ¦ |, | 8 |, | 1 |, |/-/|. Operacije nad brojevima bilo kojeg predznaka izvode se na mikrokalkulatoru na isti način kao i na pozitivnim brojevima.

Na primjer, iz izračunava se zbroj -6,1 + 3,8 program

? Brojevi a i b imaju različite predznake. Koji će predznak imati zbroj tih brojeva ako veći modul ima negativan broj?

ako manji modul ima negativan broj?

ako veći modul ima pozitivan broj?

ako manji modul ima pozitivan broj?

Formulirajte pravilo za zbrajanje brojeva s različitim predznacima. Kako unijeti negativan broj u mikrokalkulator?

Do 1045. Broj 6 je promijenjen u -10. Na kojoj strani ishodišta je dobiveni broj? Koliko je daleko od ishodišta? Što je jednako iznos 6 i -10?

1046. Broj 10 je promijenjen u -6. Na kojoj strani ishodišta je dobiveni broj? Koliko je daleko od ishodišta? Koliki je zbroj 10 i -6?

1047. Broj -10 promijenjen je u 3. Na kojoj strani od ishodišta je dobiveni broj? Koliko je daleko od ishodišta? Koliki je zbroj -10 i 3?

1048. Broj -10 promijenjen je u 15. Na kojoj strani ishodišta je dobiveni broj? Koliko je daleko od ishodišta? Koliki je zbroj -10 i 15?

1049. U prvoj polovici dana temperatura se promijenila za - 4 °C, a u drugoj - za + 12 °C. Za koliko se stupnjeva promijenila temperatura tijekom dana?

1050. Izvrši zbrajanje:

1051. Dodaj:

a) na zbroj -6 i -12 broj 20;
b) broju 2,6 zbroj je -1,8 i 5,2;
c) na zbroj -10 i -1,3 zbroj 5 i 8,7;
d) na zbroj 11 i -6,5 zbroj od -3,2 i -6.

1052. Koji od brojeva 8; 7.1; -7,1; -7; -0,5 je korijen jednadžbe- 6 + x \u003d -13,1?

1053. Pogodi korijen jednadžbe i provjeri:

a) x + (-3) = -11; c) m + (-12) = 2;
b) - 5 + y=15; d) 3 + n = -10.

1054. Pronađite vrijednost izraza:

1055. Izvrši radnje uz pomoć mikrokalkulatora:

a) - 3,2579 + (-12,308); d) -3,8564+ (-0,8397) +7,84;
b) 7,8547+ (-9,239); e) -0,083 + (-6,378) + 3,9834;
c) -0,00154 + 0,0837; f) -0,0085+ 0,00354+ (-0,00921).

P 1056. Pronađite vrijednost zbroja:

1057. Pronađite vrijednost izraza:

1058. Koliko se cijelih brojeva nalazi između brojeva:

a) 0 i 24; b) -12 i -3; c) -20 i 7?

1059. Izrazite broj -10 kao zbroj dva negativna člana tako da:

a) oba su člana bila cijeli brojevi;
b) oba su člana bila decimalni razlomci;
c) jedan od pojmova bio je redoviti ordinarij pucao.

1060. Kolika je udaljenost (u jediničnim segmentima) između točaka koordinatnog pravca s koordinatama:

a) 0 i a; b) -a i a; c) -a i 0; d) a i -za?

M 1061. Polumjeri geografskih paralela Zemljina površina, na kojem se nalaze gradovi Atena i Moskva, udaljeni su 5040 km, odnosno 3580 km (slika 87). Koliko je kraća moskovska paralela od atenske?

1062. Napravite jednadžbu za rješavanje zadatka: „Njiva od 2,4 hektara podijeljena je na dva dijela. Pronaći kvadrat svaki odjeljak, ako je poznato da je jedan od odjeljaka:

a) 0,8 ha više od drugog;
b) 0,2 ha manje od druge;
c) 3 puta više od drugog;
d) 1,5 puta manji od drugog;
e) predstavlja drugu;
f) je 0,2 drugog;
g) je 60% drugog;
h) je 140% drugog.”

1063. Riješite problem:

1) Prvog dana putnici su prešli 240 km, drugog dana 140 km, trećeg dana su putovali 3 puta više nego drugog, a četvrtog su se odmarali. Koliko su kilometara prešli peti dan ako su u prosjeku u 5 dana dnevno prešli 230 kilometara?

2) Očev mjesečni prihod je 280 rubalja. Kćerina stipendija je 4 puta manja. Koliko majka zarađuje mjesečno ako u obitelji ima 4 osobe, najmlađi sin je školarac i svaki ima u prosjeku 135 rubalja?

1064. Slijedite ove korake:

1) (2,35 + 4,65) 5,3:(40-2,9);

2) (7,63-5,13) 0,4:(3,17 + 6,83).

1066. Izrazite kao zbroj dva jednaka člana svaki od brojeva:

1067. Pronađite vrijednost a + b ako:

a) a = -1,6, b = 3,2; b) a = - 2,6, b = 1,9; u)

1068. Na jednom katu stambene zgrade bilo je 8 stanova. Imala su 2 stana živi prostor 22,8 m 2 svaki, 3 apartmana - 16,2 m 2 svaki, 2 apartmana - 34 m 2 svaki. Koliku je stambenu površinu imao osmi stan ako je na ovoj etaži u prosjeku svaki stan imao 24,7 m 2 stambene površine?

1069. U teretnom vlaku bila su 42 vagona. Pokrivenih vagona bilo je 1,2 puta više nego perona, a broj tenkova bio je jednak broju perona. Koliko je vagona svake vrste bilo u vlaku?

1070. Pronađite vrijednost izraza

N.Ya.Vilenkin, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematika za 6. razred, Udžbenik za Srednja škola

Planiranje matematike, udžbenici i knjige online, tečajevi i zadaci iz matematike za 6. razred download

Sadržaj lekcije sažetak lekcije podrška okvir predavanja prezentacija akceleratorske metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoispitivanje radionice, treninzi, slučajevi, zadaci pitanja za raspravu domaća zadaća retorička pitanja od studenata Ilustracije audio, video isječke i multimediju fotografije, slike grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, strip parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za znatiželjne cheat sheets udžbenici osnovni i dodatni glosar pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i lekcijaispravljanje pogrešaka u udžbeniku ažuriranje ulomka u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu smjernice raspravni programi Integrirane lekcije