Phương pháp Lagrange là một ví dụ với hai hạn chế. Cực trị có điều kiện và phương pháp nhân Lagrange

an (t) z (n) (t) + an - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = f (t)

bao gồm việc thay thế các hằng số tùy ý ck trong giải pháp chung

z (t) = c1z1 (t) + c2z2 (t) + ...

Cnzn (t)

phương trình thuần nhất tương ứng

an (t) z (n) (t) + an - 1 (t) z (n - 1) (t) + ... + a1 (t) z "(t) + a0 (t) z (t) = 0

đến các hàm phụ ck (t) có đạo hàm thỏa mãn hệ đại số tuyến tính

Định thức của hệ (1) là Wronskian của các hàm z1, z2, ..., zn, đảm bảo khả năng giải duy nhất của nó đối với.

Nếu là các đạo hàm cho được lấy ở các giá trị cố định của các hằng số tích phân, thì hàm

là một nghiệm cho phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ban đầu. Hội nhập phương trình không thuần nhất trong sự hiện diện của một nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng, do đó giảm xuống mức bốn.

Phương pháp Lagrange (phương pháp biến đổi của các hằng số tùy ý)

Một phương pháp để có được một nghiệm tổng quát của một phương trình không thuần nhất, biết nghiệm tổng quát của một phương trình thuần nhất mà không tìm thấy một nghiệm cụ thể.

Đối với một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc n

y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ an (x) y = 0,

trong đó y = y (x) là một hàm chưa biết, a1 (x), a2 (x), ..., an-1 (x), an (x) đã biết, liên tục, đúng: 1) có n tuyến tính nghiệm độc lập các phương trình y1 (x), y2 (x), ..., yn (x); 2) với bất kỳ giá trị nào của các hằng số c1, c2, ..., cn thì hàm số y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) là a nghiệm của phương trình; 3) cho bất kỳ giá trị ban đầu x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 có các giá trị c * 1, c * n, ..., c * n sao cho nghiệm y * (x) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x) thỏa mãn với x = x0 điều kiện ban đầu y * (x0) = y0, (y *) "(x0) = y0,1, ..., (y *) (n-1) (x0) = y0, n-1.

Biểu thức y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) được gọi là giải pháp chung phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc n.

Tập hợp n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất bậc n y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) được gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình.

Đối với một phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số không đổi có một thuật toán đơn giản để xây dựng một hệ thống giải pháp cơ bản. Chúng ta sẽ tìm lời giải cho phương trình ở dạng y (x) = exp (lx): exp (lx) (n) + a1exp (lx) (n-1) + ... + an-1exp (lx) "+ anexp (lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an) exp (lx) = 0, tức là số l là căn phương trình đặc trưng ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Vế trái của phương trình đặc trưng được gọi là đa thức đặc trưng của phương trình vi phân tuyến tính: P (l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Như vậy, bài toán giải một phương trình thuần nhất tuyến tính bậc n với hệ số không đổi được rút gọn thành giải một phương trình đại số.

Nếu phương trình đặc trưng có n nghiệm thực khác nhau l1№ l2 № ... № ln thì hệ nghiệm cơ bản gồm các hàm số y1 (x) = exp (l1x), y2 (x) = exp (l2x) ,. .., yn (x) = exp (lnx), và nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là: y (x) = c1 exp (l1x) + c2 exp (l2x) + ... + cn exp (lnx).

một hệ thống các giải pháp cơ bản và một giải pháp tổng quát cho trường hợp nghiệm nguyên đơn giản.

Nếu bất kỳ nghiệm nguyên thực nào của phương trình đặc trưng được lặp lại r lần (căn bậc r), thì r hàm tương ứng với nó trong hệ nghiệm cơ bản; nếu lk = lk + 1 = ... = lk + r-1, thì trong hệ thống cơ bản nghiệm của phương trình, có r hàm: yk (x) = exp (lkx), yk + 1 (x) = xexp (lkx), yk + 2 (x) = x2exp (lkx), ..., yk + r-1 (x) = xr-1exp (lnx).

VÍ DỤ 2. Hệ thống nghiệm cơ bản và giải pháp chung cho trường hợp nhiều nghiệm nguyên thực.

Nếu phương trình đặc trưng có căn phức thì mỗi cặp nghiệm đơn giản (của bội 1) phức lk, k + 1 = ak ± ibk trong hệ nghiệm cơ bản tương ứng với một cặp hàm yk (x) = exp (akx) cos (bkx), yk + 1 (x) = exp (akx) sin (bkx).

VÍ DỤ 4. Hệ thống nghiệm cơ bản và giải pháp chung cho trường hợp nghiệm đơn giản phức. rễ tưởng tượng.

Nếu một cặp nghiệm phức có bội số r, thì cặp nghiệm đó lk = lk + 1 = ... = l2k + 2r-1 = ak ± ibk, trong hệ nghiệm cơ bản tương ứng với các hàm exp (akx) cos ( bkx), exp (akx) sin (bkx), xexp (akx) cos (bkx), xexp (akx) sin (bkx), x2exp (akx) cos (bkx), x2exp (akx) sin (bkx), .. ...... ........ xr-1exp (akx) cos (bkx), xr-1exp (akx) sin (bkx).

VÍ DỤ 5. Hệ thống giải cơ bản và giải pháp chung cho trường hợp nhiều nghiệm phức.

Như vậy, để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất với hệ số không đổi, người ta cần: viết ra phương trình đặc trưng; tìm tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng l1, l2, ..., ln; viết hệ thức cơ bản của các nghiệm y1 (x), y2 (x), ..., yn (x); Viết biểu thức cho nghiệm tổng quát y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x). Để giải bài toán Cauchy, chúng ta cần thay biểu thức cho nghiệm tổng quát vào các điều kiện ban đầu và xác định giá trị của các hằng số c1, ..., cn, là nghiệm của hệ tuyến tính phương trình đại số c1 y1 (x0) + c2 y2 (x0) + ... + cn yn (x0) = y0, c1 y "1 (x0) + c2 y" 2 (x0) + ... + cn y "n (x0 ) = y0,1, ........., c1 y1 (n-1) (x0) + c2 y2 (n-1) (x0) + ... + cn yn (n-1) ( x0) = y0, n-1

Đối với một phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc n

y (n) + a1 (x) y (n-1) + ... + an-1 (x) y "+ an (x) y = f (x),

trong đó y = y (x) là một hàm chưa biết, a1 (x), a2 (x), ..., an-1 (x), an (x), f (x) đã biết, liên tục, hợp lệ: 1 ) nếu y1 (x) và y2 (x) là hai nghiệm của một phương trình không thuần nhất thì hàm số y (x) = y1 (x) - y2 (x) là một nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng; 2) nếu y1 (x) là nghiệm của phương trình không thuần nhất và y2 (x) là nghiệm của phương trình thuần nhất tương ứng, thì hàm y (x) = y1 (x) + y2 (x) là nghiệm của một phương trình không thuần nhất; 3) nếu y1 (x), y2 (x), ..., yn (x) là n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất và ych (x) - quyết định độc đoán phương trình không thuần nhất, thì với mọi giá trị ban đầu x0, y0, y0,1, ..., y0, n-1 có các giá trị c * 1, c * n, ..., c * n sao cho nghiệm y * (x) = c * 1 y1 (x) + c * 2 y2 (x) + ... + c * n yn (x) + ych (x) thỏa mãn với x = x0 các điều kiện ban đầu y * ( x0) = y0, (y *) "(x0) = y0,1, ..., (y *) (n-1) (x0) = y0, n-1.

Biểu thức y (x) = c1 y1 (x) + c2 y2 (x) + ... + cn yn (x) + ych (x) được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất bậc n.

Để tìm các giải pháp cụ thể của không đồng nhất phương trình vi phân với hệ số không đổi với vế phải có dạng: Pk (x) exp (ax) cos (bx) + Qm (x) exp (ax) sin (bx), trong đó Pk (x), Qm (x) là các đa thức của bậc k và m tương ứng, có một thuật toán đơn giản để xây dựng một nghiệm cụ thể, được gọi là phương pháp lựa chọn.

Phương pháp lựa chọn, hoặc phương pháp hệ số bất định, như sau. Nghiệm mong muốn của phương trình được viết dưới dạng: (Pr (x) exp (ax) cos (bx) + Qr (x) exp (ax) sin (bx)) xs, trong đó Pr (x), Qr (x) là đa thức bậc r = max (k, m) với các hệ số chưa biết pr, pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Hệ số xs được gọi là hệ số cộng hưởng. Hiện tượng cộng hưởng xảy ra trong trường hợp trong số các căn của phương trình đặc trưng có một căn l = a ± ib của bội s. Những thứ kia. nếu trong số các nghiệm nguyên của phương trình đặc trưng của phương trình thuần nhất tương ứng có phần thực của nó trùng với hệ số trong số mũ và phần ảo trùng với hệ số trong đối số hàm lượng giácở vế phải của phương trình, và bội của căn này là s, thì trong nghiệm cụ thể mong muốn có một hệ số cộng hưởng xs. Nếu không có sự trùng hợp đó (s = 0) thì không có yếu tố cộng hưởng.

Thay vào biểu thức cho nghiệm cụ thể ở vế trái của phương trình, chúng ta thu được một đa thức tổng quát có cùng dạng với đa thức ở vế phải của phương trình mà hệ số chưa biết.

Hai đa thức tổng quát bằng nhau khi và chỉ khi hệ số của các nhân tử có dạng xtexp (ax) sin (bx), xtexp (ax) cos (bx) với các lũy thừa t bằng nhau. Cân bằng hệ số của các thừa số đó, ta thu được hệ phương trình đại số tuyến tính 2 (r + 1) với 2 (r + 1) ẩn số. Nó có thể được chỉ ra rằng một hệ thống như vậy là nhất quán và có một giải pháp duy nhất.

Đầu tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp của một hàm hai biến. Cực trị có điều kiện của hàm $ z = f (x, y) $ tại điểm $ M_0 (x_0; y_0) $ là cực trị của hàm này, đạt được với điều kiện là các biến $ x $ và $ y $ trong vùng lân cận của điểm này thỏa mãn phương trình ràng buộc $ \ varphi (x, y) = 0 $.

Tên cực trị "có điều kiện" là do điều kiện bổ sung $ \ varphi (x, y) = 0 $ được áp dụng cho các biến. Nếu có thể biểu diễn một biến dưới dạng khác từ phương trình kết nối, thì bài toán xác định cực trị có điều kiện được rút gọn thành bài toán về cực trị thông thường của hàm một biến. Ví dụ: nếu $ y = \ psi (x) $ theo sau từ phương trình ràng buộc, sau đó thay $ y = \ psi (x) $ thành $ z = f (x, y) $, chúng ta nhận được một hàm của một biến $ z = f \ left (x, \ psi (x) \ right) $. TẠI trường hợp chung tuy nhiên, phương pháp này ít được sử dụng, do đó cần phải đưa ra một thuật toán mới.

Phương pháp nhân Lagrange cho hàm hai biến.

Phương pháp của nhân Lagrange là để tìm cực trị có điều kiện, hàm Lagrange được cấu tạo: $ F (x, y) = f (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) $ (tham số $ \ lambda $ được gọi là số nhân Lagrange). Các điều kiện cực đại cần thiết được đưa ra bởi một hệ phương trình mà từ đó các điểm đứng yên được xác định:

$$ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & \ frac (\ một phần F) (\ một phần x) = 0; \\ & \ frac (\ một phần F) (\ một phần y) = 0; \\ & \ varphi (x, y) = 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Kí hiệu $ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 $. Nếu tại điểm đứng yên $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm $ z = f (x, y) $ có điều kiện cực tiểu tại điểm này, nhưng nếu $ d ^ 2F< 0$, то условный максимум.

Có một cách khác để xác định bản chất của điểm cực trị. Từ phương trình ràng buộc, chúng ta nhận được: $ \ varphi_ (x) ^ (") dx + \ varphi_ (y) ^ (") dy = 0 $, $ dy = - \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) ( \ varphi_ (y) ^ (")) dx $, vì vậy tại bất kỳ điểm tĩnh nào, chúng ta có:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = F_ (xx) ^ ( "") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dx \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) + F_ (yy) ^ ("") \ left (- \ frac (\ varphi_ (x) ^ (")) (\ varphi_ (y) ^ (")) dx \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (dx ^ 2) (\ left (\ varphi_ (y) ^ (") \ right) ^ 2) \ cdot \ left (- (\ varphi_ (y) ^ (")) ^ 2 F_ (xx) ^ (" ") +2 \ varphi_ (x) ^ (") \ varphi_ (y) ^ (") F_ (xy) ^ (" ") - (\ varphi_ (x) ^ (")) ^ 2 F_ (yy) ^ ("") \ right) $$

Yếu tố thứ hai (nằm trong ngoặc) có thể được biểu diễn ở dạng sau:

Các phần tử của $ \ left | \ begin (array) (cc) F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ F_ (xy) ^ ("") & F_ (yy) ^ ("") \ end (array) \ right | $ là Hessian của hàm Lagrange. Nếu $ H> 0 $ thì $ d ^ 2F< 0$, что указывает на условный максимум. Аналогично, при $H < 0$ имеем $d^2F >$ 0, tức là chúng ta có điều kiện tối thiểu của hàm $ z = f (x, y) $.

Lưu ý về dạng của định thức $ H $. hiện an

$$ H = - \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ ("") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | $$

Trong trường hợp này, quy tắc được xây dựng ở trên thay đổi như sau: nếu $ H> 0 $, thì hàm có điều kiện tối thiểu và đối với $ H< 0$ получим условный максимум функции $z=f(x,y)$. При решении задач следует учитывать такие нюансы.

Thuật toán nghiên cứu một hàm hai biến đối với cực trị có điều kiện

Soạn hàm Lagrange $ F (x, y) = f (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) $
Giải hệ thống $ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & \ frac (\ một phần F) (\ một phần x) = 0; \\ & \ frac (\ một phần F) (\ một phần y) = 0; \\ & \ varphi (x, y) = 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $
Xác định bản chất của cực trị tại mỗi điểm đứng yên trong đoạn trước. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng bất kỳ phương pháp nào sau đây:
- Soạn định thức $ H $ và tìm dấu hiệu của nó
- Tính đến phương trình ràng buộc, hãy tính dấu của $ d ^ 2F $

Phương pháp nhân Lagrange cho các hàm của n biến

Giả sử chúng ta có một hàm gồm $ n $ các biến $ z = f (x_1, x_2, \ ldots, x_n) $ và các phương trình ràng buộc $ m $ ($ n> m $):

$$ \ varphi_1 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0; \ U0026 \ varphi_2 (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0, \ ldots, \ varphi_m (x_1, x_2, \ ldots, x_n) = 0. $$

Ký hiệu các số nhân Lagrange là $ \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_m $, chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x_1, x_2, \ ldots, x_n, \ lambda_1, \ lambda_2, \ ldots, \ lambda_m) = f + \ lambda_1 \ varphi_1 + \ lambda_2 \ varphi_2 + \ ldots + \ lambda_m \ varphi_m $$

Các điều kiện cần thiết để tồn tại một điểm cực trị có điều kiện được đưa ra bởi một hệ phương trình mà từ đó tọa độ của các điểm đứng yên và các giá trị của nhân Lagrange được tìm thấy:

$$ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & \ frac (\ một phần F) (\ một phần x_i) = 0; (i = \ overline (1, n)) \\ & \ varphi_j = 0; (j = \ overline (1, m)) \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Có thể tìm hiểu xem một hàm có giá trị cực tiểu có điều kiện hay cực đại có điều kiện tại điểm tìm được, như trước đây, bằng cách sử dụng dấu $ d ^ 2F $. Nếu tại điểm tìm được $ d ^ 2F> 0 $, thì hàm có điều kiện tối thiểu, nhưng nếu $ d ^ 2F< 0$, - то условный максимум. Можно пойти иным путем, рассмотрев следующую матрицу:

Định thức ma trận $ \ left | \ begin (mảng) (ccccc) \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (1) ^ (2)) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (1) \ một phần x_ (2) ) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (1) \ một phần x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (1) \ một phần x_ (n)) \\ \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (2) \ một phần x_1) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (2) ^ (2)) & \ frac (\ một phần ^ 2F ) (\ một phần x_ (2) \ một phần x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (2) \ một phần x_ (n)) \\ \ frac (\ một phần ^ 2F ) (\ một phần x_ (3) \ một phần x_ (1)) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (3) \ một phần x_ (2)) & \ frac (một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (3) ^ (2)) & \ ldots & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (3) \ một phần x_ (n)) \\ \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots & \ ldots \\ \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (n) \ một phần x_ (1)) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (n) \ một phần x_ (2)) & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (n) \ một phần x_ (3)) & \ ldots & \ frac (\ một phần ^ 2F) (\ một phần x_ (n) ^ (2)) \\ \ end ( array) \ right | $ được đánh dấu màu đỏ trong ma trận $ L $ là Hessian của hàm Lagrange. Chúng tôi sử dụng quy tắc sau:

Nếu các dấu hiệu của trẻ vị thành niên ở góc là $ H_ (2m + 1), \; Các ma trận H_ (2m + 2), \ ldots, H_ (m + n) $ $ L $ trùng với dấu $ (- 1) ^ m $ thì điểm đứng yên đang nghiên cứu là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.
Nếu các dấu hiệu của trẻ vị thành niên ở góc là $ H_ (2m + 1), \; H_ (2m + 2), \ ldots, H_ (m + n) $ thay thế và dấu của $ H_ (2m + 1) $ trùng với dấu của số $ (- 1) ^ (m + 1 ) $, thì điểm dừng được nghiên cứu là điểm cực đại có điều kiện của hàm $ z = f (x_1, x_2, x_3, \ ldots, x_n) $.

Ví dụ 1

Tìm cực trị có điều kiện của hàm $ z (x, y) = x + 3y $ với điều kiện $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Giải thích hình học của bài toán này như sau: nó được yêu cầu tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhấtÁp dụng của mặt phẳng $ z = x + 3y $ cho các giao điểm của nó với hình trụ $ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 $.

Hơi khó để thể hiện một biến này theo biến khác từ phương trình ràng buộc và thay thế nó vào hàm $ z (x, y) = x + 3y $, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng phương pháp Lagrange.

Ký hiệu $ \ varphi (x, y) = x ^ 2 + y ^ 2-10 $, chúng tôi soạn hàm Lagrange:

$$ F (x, y) = z (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) = x + 3y + \ lambda (x ^ 2 + y ^ 2-10); \\ \ frac (\ một phần F) (\ một phần x) = 1 + 2 \ lambda x; \ frac (\ một phần F) (\ một phần y) = 3 + 2 \ lambda y. $$

Hãy cùng viết hệ phương trình xác định điểm đứng yên của hàm Lagrange:

$$ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & 1 + 2 \ lambda x = 0; \\ & 3 + 2 \ lambda y = 0; \\ & x ^ 2 + y ^ 2-10 = 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Nếu chúng ta giả sử $ \ lambda = 0 $, thì phương trình đầu tiên trở thành: $ 1 = 0 $. Kết quả là mâu thuẫn nói rằng $ \ lambda \ neq 0 $. Với điều kiện $ \ lambda \ neq 0 $, từ phương trình thứ nhất và thứ hai, chúng ta có: $ x = - \ frac (1) (2 \ lambda) $, $ y = - \ frac (3) (2 \ lambda) $. Thay các giá trị thu được vào phương trình thứ ba, ta được:

$$ \ left (- \ frac (1) (2 \ lambda) \ right) ^ 2 + \ left (- \ frac (3) (2 \ lambda) \ right) ^ 2-10 = 0; \\ \ frac (1) (4 \ lambda ^ 2) + \ frac (9) (4 \ lambda ^ 2) = 10; \ lambda ^ 2 = \ frac (1) (4); \ left [\ begin (căn chỉnh) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2); \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2). \ end (căn chỉnh) \ phải. \\ \ begin (căn chỉnh) & \ lambda_1 = - \ frac (1) (2); \ U0026 x_1 = - \ frac (1) (2 \ lambda_1) = 1; \ U0026 y_1 = - \ frac (3) (2 \ lambda_1) = 3; \\ & \ lambda_2 = \ frac (1) (2); \ U0026 x_2 = - \ frac (1) (2 \ lambda_2) = - 1; \ U0026 y_2 = - \ frac (3) (2 \ lambda_2) = - 3. \ end (căn chỉnh) $$

Vậy hệ có hai nghiệm: $ x_1 = 1; \; y_1 = 3; \; \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $ và $ x_2 = -1; \; y_2 = -3; \; \ lambda_2 = \ frac (1) (2) $. Chúng ta hãy tìm ra tính chất của cực trị tại mỗi điểm đứng yên: $ M_1 (1; 3) $ và $ M_2 (-1; -3) $. Để làm điều này, chúng tôi tính định thức $ H $ tại mỗi điểm.

$$ \ varphi_ (x) ^ (") = 2x; \; \ varphi_ (y) ^ (") = 2y; \; F_ (xx) ^ ("") = 2 \ lambda; \; F_ (xy) ^ ("") = 0; \; F_ (yy) ^ ("") = 2 \ lambda. \\ H = \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ trái | \ begin (array) (ccc) 0 & 2x & 2y \\ 2x & 2 \ lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2 \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | $$

Tại điểm $ M_1 (1; 3) $ ta nhận được: $ H = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & 1 & 3 \\ 1 & -1/2 & 0 \\ 3 & 0 & -1/2 \ end (array) \ right | = 40> 0 $, vì vậy tại thời điểm $ M_1 (1; 3) $ hàm $ z (x, y) = x + 3y $ có điều kiện tối đa là $ z _ (\ max) = z (1; 3) = 10 $.

Tương tự, tại điểm $ M_2 (-1; -3) $ chúng ta tìm thấy: $ H = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & -1 & -3 \\ -1 & 1/2 & 0 \\ -3 & 0 & 1/2 \ end (array) \ right | = -40 $. Kể từ khi $ H< 0$, то в точке $M_2(-1;-3)$ имеем условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$, а именно: $z_{\min}=z(-1;-3)=-10$.

Tôi lưu ý rằng thay vì tính toán giá trị của định thức $ H $ tại mỗi điểm, sẽ thuận tiện hơn nhiều nếu mở rộng nó trong nhìn chung. Để không làm lộn xộn văn bản với các chi tiết, tôi sẽ ẩn phương pháp này dưới một ghi chú.

Ký hiệu định thức $ H $ ở dạng tổng quát. hiện an

$$ H = 8 \ cdot \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & x & y \\ x & \ lambda & 0 \\ y & 0 & \ lambda \ end (array) \ right | = 8 \ cdot \ left (- \ lambda (y ^ 2) - \ lambda (x ^ 2) \ right) = -8 \ lambda \ cdot \ left (y ^ 2 + x ^ 2 \ right). $$

Về nguyên tắc, $ H $ đã có dấu hiệu rõ ràng. Vì không có điểm nào $ M_1 $ hoặc $ M_2 $ trùng với điểm gốc nên $ y ^ 2 + x ^ 2> 0 $. Do đó, dấu của $ H $ ngược với dấu của $ \ lambda $. Bạn cũng có thể hoàn thành các phép tính:

$$ \ begin (căn chỉnh) & H (M_1) = - 8 \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot \ left (3 ^ 2 + 1 ^ 2 \ right) = 40; \ \ & H (M_2) = - 8 \ cdot \ frac (1) (2) \ cdot \ left ((- 3) ^ 2 + (- 1) ^ 2 \ right) = - 40. \ end (căn chỉnh) $$

Câu hỏi về tính chất của điểm cực trị tại các điểm đứng yên $ M_1 (1; 3) $ và $ M_2 (-1; -3) $ có thể được giải mà không cần sử dụng định thức $ H $. Tìm dấu của $ d ^ 2F $ tại mỗi điểm đứng yên:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 2 \ lambda \ left ( dx ^ 2 + dy ^ 2 \ right) $$

Tôi lưu ý rằng ký hiệu $ dx ^ 2 $ có nghĩa là chính xác $ dx $ được nâng lên lũy thừa thứ hai, tức là $ \ left (dx \ right) ^ 2 $. Do đó chúng ta có: $ dx ^ 2 + dy ^ 2> 0 $, vì vậy với $ \ lambda_1 = - \ frac (1) (2) $, chúng ta nhận được $ d ^ 2F< 0$. Следовательно, функция имеет в точке $M_1(1;3)$ условный максимум. Аналогично, в точке $M_2(-1;-3)$ получим условный минимум функции $z(x,y)=x+3y$. Отметим, что для определения знака $d^2F$ не пришлось учитывать связь между $dx$ и $dy$, ибо знак $d^2F$ очевиден без дополнительных преобразований. В следующем примере для определения знака $d^2F$ уже будет необходимо учесть связь между $dx$ и $dy$.

Câu trả lời: tại điểm $ (- 1; -3) $ hàm có điều kiện nhỏ nhất, $ z _ (\ min) = - 10 $. Tại điểm $ (1; 3) $ hàm có điều kiện tối đa, $ z _ (\ max) = 10 $

Ví dụ số 2

Tìm cực trị có điều kiện của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $ với điều kiện $ x + y = 0 $.

Cách đầu tiên (phương pháp nhân Lagrange)

Ký hiệu $ \ varphi (x, y) = x + y $, chúng ta soạn hàm Lagrange: $ F (x, y) = z (x, y) + \ lambda \ varphi (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2 -xy + \ lambda (x + y) $.

$$ \ frac (\ một phần F) (\ một phần x) = 8x-y + \ lambda; \ U0026 \ frac (\ một phần F) (\ một phần y) = 9y ^ 2-x + \ lambda. \\ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & 8x-y + \ lambda = 0; \\ & 9y ^ 2-x + \ lambda = 0; \\ & x + y = 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Giải hệ, ta được: $ x_1 = 0 $, $ y_1 = 0 $, $ \ lambda_1 = 0 $ và $ x_2 = \ frac (10) (9) $, $ y_2 = - \ frac (10) (9 ) $, $ \ lambda_2 = -10 $. Chúng ta có hai điểm đứng yên: $ M_1 (0; 0) $ và $ M_2 \ left (\ frac (10) (9); - \ frac (10) (9) \ right) $. Chúng ta hãy tìm bản chất của cực trị tại mỗi điểm đứng yên bằng cách sử dụng định thức $ H $.

$$ H = \ left | \ begin (array) (ccc) 0 & \ varphi_ (x) ^ (") & \ varphi_ (y) ^ (") \\ \ varphi_ (x) ^ (") & F_ (xx) ^ (" ") & F_ (xy) ^ ("") \\ \ varphi_ (y) ^ (") & F_ (xy) ^ (" ") & F_ (yy) ^ (" ") \ end (array) \ right | = \ trái | \ begin (array) (ccc) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 8 & -1 \\ 1 & -1 & 18y \ end (array) \ right | = -10-18y $$

Tại điểm $ M_1 (0; 0) $ $ H = -10-18 \ cdot 0 = -10< 0$, поэтому $M_1(0;0)$ есть точка условного минимума функции $z(x,y)=3y^3+4x^2-xy$, $z_{\min}=0$. В точке $M_2\left(\frac{10}{9};-\frac{10}{9}\right)$ $H=10 >0 $, vì vậy tại thời điểm này, hàm có điều kiện tối đa, $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243) $.

Chúng tôi điều tra bản chất của cực trị tại mỗi điểm bằng một phương pháp khác nhau, dựa trên dấu của $ d ^ 2F $:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 $$

Từ phương trình ràng buộc $ x + y = 0 $ ta có: $ d (x + y) = 0 $, $ dx + dy = 0 $, $ dy = -dx $.

$$ d ^ 2 F = 8dx ^ 2-2dxdy + 18ydy ^ 2 = 8dx ^ 2-2dx (-dx) + 18y (-dx) ^ 2 = (10 + 18y) dx ^ 2 $$

Vì $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_1) = 10 dx ^ 2> 0 $ nên $ M_1 (0; 0) $ là điểm cực tiểu có điều kiện của hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $. Tương tự, $ d ^ 2F \ Bigr | _ (M_2) = - 10 dx ^ 2< 0$, т.е. $M_2\left(\frac{10}{9}; -\frac{10}{9} \right)$ - точка условного максимума.

Cách thứ hai

Từ phương trình ràng buộc $ x + y = 0 $ ta được: $ y = -x $. Thay $ y = -x $ vào hàm $ z (x, y) = 3y ^ 3 + 4x ^ 2-xy $, ta thu được một hàm nào đó của biến $ x $. Hãy biểu thị hàm này là $ u (x) $:

$$ u (x) = z (x, -x) = 3 \ cdot (-x) ^ 3 + 4x ^ 2-x \ cdot (-x) = - 3x ^ 3 + 5x ^ 2. $$

Như vậy, chúng ta đã rút gọn bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm hai biến thành bài toán xác định cực trị của hàm một biến.

$$ u_ (x) ^ (") = - 9x ^ 2 + 10x; \\ -9x ^ 2 + 10x = 0; \; x \ cdot (-9x + 10) = 0; \\ x_1 = 0; \ ; y_1 = -x_1 = 0; \\ x_2 = \ frac (10) (9); \; y_2 = -x_2 = - \ frac (10) (9). $$

Có điểm $ M_1 (0; 0) $ và $ M_2 \ left (\ frac (10) (9); - \ frac (10) (9) \ right) $. Nghiên cứu thêmđược biết từ khóa học phép tính vi phân các hàm của một biến. Kiểm tra dấu của $ u_ (xx) ^ ("") $ tại mỗi điểm đứng yên hoặc kiểm tra sự đổi dấu của $ u_ (x) ^ (") $ tại các điểm tìm được, ta thu được kết luận tương tự như trong lời giải đầu . Ví dụ: kiểm tra dấu $ u_ (xx) ^ ("") $:

$$ u_ (xx) ^ ("") = - 18x + 10; \\ u_ (xx) ^ ("") (M_1) = 10; \; u_ (xx) ^ ("") (M_2) = - 10. $$

Vì $ u_ (xx) ^ ("") (M_1)> 0 $ nên $ M_1 $ là điểm nhỏ nhất của hàm $ u (x) $, trong khi $ u _ (\ min) = u (0) = 0 $. Vì $ u_ (xx) ^ ("") (M_2)<0$, то $M_2$ - точка максимума функции $u(x)$, причём $u_{\max}=u\left(\frac{10}{9}\right)=\frac{500}{243}$.

Các giá trị của hàm $ u (x) $ trong điều kiện kết nối đã cho trùng với các giá trị của hàm $ z (x, y) $, tức là cực trị tìm được của hàm $ u (x) $ là cực trị có điều kiện mong muốn của hàm $ z (x, y) $.

Câu trả lời: tại điểm $ (0; 0) $ hàm có điều kiện tối thiểu, $ z _ (\ min) = 0 $. Tại điểm $ \ left (\ frac (10) (9); - \ frac (10) (9) \ right) $ hàm có điều kiện tối đa, $ z _ (\ max) = \ frac (500) (243 ) $.

Hãy xem xét thêm một ví dụ, trong đó chúng ta tìm ra bản chất của cực trị bằng cách xác định dấu của $ d ^ 2F $.

Ví dụ # 3

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm $ z = 5xy-4 $ nếu các biến $ x $ và $ y $ dương và thỏa mãn phương trình ràng buộc $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac ( y ^ 2) (2) -1 = 0 $.

Soạn hàm Lagrange: $ F = 5xy-4 + \ lambda \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) $. Tìm các điểm đứng yên của hàm Lagrange:

$$ F_ (x) ^ (") = 5y + \ frac (\ lambda x) (4); \; F_ (y) ^ (") = 5x + \ lambda y. \\ \ left \ (\ begin (căn chỉnh) & 5y + \ frac (\ lambda x) (4) = 0; \\ & 5x + \ lambda y = 0; \\ & \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) - 1 = 0; \\ & x> 0; \; y> 0. \ end (căn chỉnh) \ phải. $$

Tất cả các phép biến đổi tiếp theo được thực hiện có tính đến $ x> 0; \ U0026 y> 0 $ (điều này được quy định trong điều kiện của bài toán). Từ phương trình thứ hai, chúng ta biểu diễn $ \ lambda = - \ frac (5x) (y) $ và thay giá trị tìm được vào phương trình thứ nhất: $ 5y- \ frac (5x) (y) \ cdot \ frac (x) ( 4) = 0 $, $ 4y ^ 2-x ^ 2 = 0 $, $ x = 2y $. Thay $ x = 2y $ vào phương trình thứ ba, ta được: $ \ frac (4y ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, $ y ^ 2 = 1 $, $ y = 1 $.

Vì $ y = 1 $ nên $ x = 2 $, $ \ lambda = -10 $. Tính chất của điểm cực trị tại điểm $ (2; 1) $ được xác định theo dấu của $ d ^ 2F $.

$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (\ lambda) (4); \ U0026 F_ (xy) ^ ("") = 5; \ U0026 F_ (yy) ^ ("") = \ lambda. $$

Vì $ \ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 = 0 $, nên:

$$ d \ left (\ frac (x ^ 2) (8) + \ frac (y ^ 2) (2) -1 \ right) = 0; \ U0026 d \ left (\ frac (x ^ 2) (8) \ right) + d \ left (\ frac (y ^ 2) (2) \ right) = 0; \ U0026 \ frac (x) (4) dx + ydy = 0; \ U0026 dy = - \ frac (xdx) (4y). $$

Về nguyên tắc, ở đây bạn có thể thay thế ngay tọa độ của điểm dừng $ x = 2 $, $ y = 1 $ và tham số $ \ lambda = -10 $, do đó thu được:

$$ F_ (xx) ^ ("") = \ frac (-5) (2); \ U0026 F_ (xy) ^ ("") = - 10; \ U0026 dy = - \ frac (dx) (2). \\ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ (" ") dy ^ 2 = - \ frac (5) (2) dx ^ 2 + 10dx \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) -10 \ cdot \ left (- \ frac (dx) (2) \ right) ^ 2 = \\ = - \ frac (5) (2) dx ^ 2-5dx ^ 2- \ frac (5) (2) dx ^ 2 = -10dx ^ 2. $$

Tuy nhiên, trong các bài toán khác đối với điểm cực trị có điều kiện, có thể có một số điểm đứng yên. Trong những trường hợp như vậy, tốt hơn là biểu diễn $ d ^ 2F $ ở dạng tổng quát, và sau đó thay thế tọa độ của từng điểm đứng yên tìm được vào biểu thức kết quả:

$$ d ^ 2 F = F_ (xx) ^ ("") dx ^ 2 + 2F_ (xy) ^ ("") dxdy + F_ (yy) ^ ("") dy ^ 2 = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2 + 10 \ cdot dx \ cdot \ frac (-xdx) (4y) + \ lambda \ cdot \ left (- \ frac (xdx) (4y) \ right) ^ 2 = \\ = \ frac (\ lambda) (4) dx ^ 2- \ frac (5x) (2y) dx ^ 2 + \ lambda \ cdot \ frac (x ^ 2dx ^ 2) (16y ^ 2) = \ left (\ frac (\ lambda ) (4) - \ frac (5x) (2y) + \ frac (\ lambda \ cdot x ^ 2) (16y ^ 2) \ right) \ cdot dx ^ 2 $$

Thay $ x = 2 $, $ y = 1 $, $ \ lambda = -10 $, ta được:

$$ d ^ 2 F = \ left (\ frac (-10) (4) - \ frac (10) (2) - \ frac (10 \ cdot 4) (16) \ right) \ cdot dx ^ 2 = - 10dx ^ 2. $$

Vì $ d ^ 2F = -10 \ cdot dx ^ 2< 0$, то точка $(2;1)$ есть точкой условного максимума функции $z=5xy-4$, причём $z_{\max}=10-4=6$.

Câu trả lời: tại điểm $ (2; 1) $ hàm có điều kiện tối đa, $ z _ (\ max) = 6 $.

Trong phần tiếp theo, chúng ta xem xét ứng dụng của phương pháp Lagrange cho các hàm hơn biến.

Phương pháp xác định điểm cực trị có điều kiện bắt đầu bằng việc xây dựng một hàm Lagrange phụ trợ, hàm này, trong vùng của các giải pháp khả thi, đạt cực đại cho các giá trị giống nhau của các biến x 1 , x 2 , ..., x N , đó là hàm mục tiêu z . Để bài toán xác định cực trị có điều kiện của hàm số z = f (X) dưới những hạn chế φ tôi ( x 1 , x 2 , ..., x N ) = 0, tôi = 1, 2, ..., m , m < N

Soạn một hàm

được gọi là Hàm Lagrange. X , - hệ số không đổi ( Các nhân đấu Lagrange). Lưu ý rằng các số nhân Lagrange có thể có ý nghĩa kinh tế. Nếu một f (x 1 , x 2 , ..., x N ) - thu nhập theo kế hoạch X = (x 1 , x 2 , ..., x N ) , và chức năng φ tôi (x 1 , x 2 , ..., x N ) là chi phí của tài nguyên thứ i tương ứng với kế hoạch này, sau đó X , - giá (đánh giá) của tài nguyên thứ i, đặc trưng cho sự thay đổi giá trị cực hạn hàm mục tiêu tùy thuộc vào sự thay đổi về quy mô của nguồn tài nguyên thứ i (ước tính cận biên). L (X) - hàm số n + m biến (x 1 , x 2 , ..., x N , λ 1 , λ 2 , ..., λ N ) . Việc xác định các điểm đứng yên của hàm số này dẫn đến nghiệm của hệ phương trình

Có thể dễ dàng nhận thấy rằng . Như vậy, bài toán tìm cực trị có điều kiện của hàm z = f (X) giảm để tìm điểm cực trị cục bộ của hàm L (X) . Nếu điểm đứng yên được tìm thấy, thì câu hỏi về sự tồn tại của một điểm cực trị trong các trường hợp đơn giản nhất được giải quyết trên cơ sở các điều kiện đủ cho điểm cực trị - nghiên cứu về dấu của vi phân thứ hai d 2 L (X) tại một điểm đứng yên, với điều kiện là biến số tăng lên Δx tôi - liên quan bởi các mối quan hệ

thu được bằng cách phân biệt các phương trình ràng buộc.

Giải hệ phương trình phi tuyến với hai ẩn số bằng công cụ Solver

Cài đặt Tìm giải pháp cho phép bạn tìm ra giải pháp cho hệ thống phương trình phi tuyến với hai ẩn số:

ở đâu
- hàm phi tuyến tính của các biến x và y ,
là một hằng số tùy ý.

Được biết, cặp x , y ) là một nghiệm của hệ phương trình (10) nếu và chỉ khi nó là một nghiệm của phương trình sau hai ẩn số:

TỪ Mặt khác, nghiệm của hệ (10) là giao điểm của hai đường cong: f ] (x, y) = C và f 2 (x, y) = C 2 trên bề mặt XOY.

Từ đó đưa ra một phương pháp để tìm ra gốc rễ của hệ thống. phương trình phi tuyến:

Xác định (ít nhất là gần đúng) khoảng thời gian tồn tại của một nghiệm để hệ phương trình (10) hoặc phương trình (11). Ở đây cần phải tính đến loại phương trình có trong hệ, miền xác định của mỗi phương trình của chúng, v.v ... Đôi khi việc lựa chọn nghiệm gần đúng ban đầu được sử dụng;

Lập bảng nghiệm của phương trình (11) cho các biến x và y trên khoảng đã chọn hoặc xây dựng đồ thị của các hàm f 1 (x, y) = C, và f 2 (x, y) = C 2 (hệ thống (10)).

Xác định gốc rễ của hệ phương trình - tìm một số giá trị tối thiểu lập bảng nghiệm nguyên của phương trình (11) từ bảng, hoặc xác định giao điểm của các đường cong có trong hệ thống (10).

4. Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình (10) bằng phần bổ trợ Tìm kiếm một giải pháp.

Phương pháp nhân tử Lagrange.

Phương pháp nhân tử Lagrange là một trong những phương pháp cho phép giải các bài toán không phải lập trình tuyến tính.

Lập trình phi tuyến là một phần lập trình toán học, người nghiên cứu các phương pháp giải các bài toán cực trị với hàm và diện tích mục tiêu phi tuyến giải pháp khả thiđược xác định bởi các ràng buộc phi tuyến. Trong kinh tế học, điều này tương ứng với việc kết quả (hiệu quả) tăng hoặc giảm không tương xứng với sự thay đổi của quy mô sử dụng nguồn lực (hoặc tương đương, quy mô sản xuất): chẳng hạn do việc phân chia chi phí sản xuất trong doanh nghiệp thành các biến và các hằng số có điều kiện; do nhu cầu tiêu thụ hàng hóa bão hòa, khi mỗi chiếc sau khó bán hơn chiếc trước, v.v.

Bài toán lập trình phi tuyến được đặt ra là bài toán tìm giá trị tối ưu của một hàm mục tiêu nào đó

F (x 1,… x n), F (x) → tối đa

trong những điều kiện

g j (x 1,… x n) ≥0, g (x) ≤ b , x ≥ 0

ở đâu x-trình kiểm tra các biến được yêu cầu;

F (x) -hàm mục tiêu;

g (x) là hàm ràng buộc (có thể phân biệt liên tục);

b - véc tơ của hằng số ràng buộc.

Lời giải của một bài toán lập trình phi tuyến (cực đại hoặc cực tiểu toàn cục) có thể thuộc về ranh giới hoặc về phần bên trong của tập hợp có thể chấp nhận.

Ngược lại với một bài toán lập trình tuyến tính, trong một bài toán lập trình phi tuyến tính, điều tối ưu không nhất thiết nằm trên ranh giới của vùng được xác định bởi các ràng buộc. Nói cách khác, vấn đề là chọn các giá trị không âm của các biến đó, tuân theo một hệ thống các ràng buộc dưới dạng bất phương trình, theo đó giá trị lớn nhất (hoặc cực tiểu) của một hàm số đã cho là đạt được. Trong trường hợp này, các dạng của hàm mục tiêu và các bất đẳng thức đều không được quy định. Có thể các trường hợp khác nhau: hàm mục tiêu là phi tuyến tính và các ràng buộc là tuyến tính; hàm mục tiêu là tuyến tính và các ràng buộc (ít nhất một trong số chúng) là phi tuyến tính; cả hàm mục tiêu và các ràng buộc đều là phi tuyến.

Sự cố lập trình phi tuyến tính xảy ra trong Khoa học tự nhiên, công nghệ, kinh tế, toán học, trong lĩnh vực này quan hệ kinh doanh và trong khoa học về chính phủ.

Ví dụ, lập trình phi tuyến gắn liền với một bài toán kinh tế cơ bản. Vì vậy, trong bài toán phân bổ các nguồn lực hạn chế, hoặc hiệu quả được tối đa hóa, hoặc, nếu người tiêu dùng được nghiên cứu, tiêu dùng trong sự hiện diện của các ràng buộc thể hiện điều kiện khan hiếm nguồn lực. Trong một công thức tổng quát như vậy, công thức toán học của vấn đề có thể trở nên bất khả thi, nhưng trong ứng dụng cụ thể dạng định lượng của tất cả các hàm có thể được xác định trực tiếp. Ví dụ, xí nghiệp công nghiệp sản xuất các sản phẩm nhựa. Hiệu quả sản xuất ở đây được đo lường bằng lợi nhuận, và các ràng buộc được hiểu là lao động có sẵn, không gian sản xuất, năng suất thiết bị, v.v.

Phương pháp "hiệu quả về chi phí" cũng phù hợp với sơ đồ của lập trình phi tuyến tính. Phương pháp nàyđược thiết kế để sử dụng trong việc ra quyết định trong chính phủ. Chức năng chung hiệu quả là phúc lợi. Hai vấn đề lập trình phi tuyến tính nảy sinh ở đây: thứ nhất là tối đa hóa hiệu quả với chi phí hạn chế, thứ hai là tối thiểu hóa chi phí, với điều kiện hiệu quả phải trên một mức tối thiểu nhất định. Vấn đề này thường được mô hình hóa tốt bằng cách sử dụng lập trình phi tuyến tính.

Kết quả của việc giải quyết vấn đề của lập trình phi tuyến rất hữu ích trong việc đưa ra các quyết định của chính phủ. Giải pháp kết quả tất nhiên là được khuyến nghị, vì vậy cần phải khảo sát các giả thiết và độ chính xác của việc xây dựng bài toán lập trình phi tuyến trước khi đưa ra quyết định cuối cùng.

Các bài toán phi tuyến rất phức tạp, thường chúng được đơn giản hóa bằng cách dẫn đến các bài toán tuyến tính. Để làm được điều này, có điều kiện giả định rằng trong một khu vực cụ thể, hàm mục tiêu tăng hoặc giảm tương ứng với sự thay đổi của các biến độc lập. Cách tiếp cận này được gọi là phương pháp xấp xỉ tuyến tính từng mảnh; tuy nhiên, nó chỉ có thể áp dụng cho một số dạng bài toán phi tuyến nhất định.

Các bài toán phi tuyến trong các điều kiện nhất định được giải quyết bằng cách sử dụng hàm Lagrange: sau khi tìm thấy điểm mấu chốt của nó, chúng cũng tìm ra lời giải cho bài toán. Trong số các thuật toán tính toán của N. p., Một vị trí lớn bị chiếm bởi phương pháp gradient. Không có phương pháp chung nào cho các bài toán phi tuyến và dường như có thể không có, vì chúng rất đa dạng. Các bài toán đa cực đặc biệt khó giải.

Một trong những phương pháp cho phép rút gọn vấn đề lập trình phi tuyến thành giải hệ phương trình là phương số nhân không xác định Lagrange.

Với sự trợ giúp của phương pháp nhân Lagrange, về cơ bản người ta thiết lập các điều kiện cần thiết, cho phép xác định các điểm tối ưu trong các bài toán tối ưu hóa với các ràng buộc ở dạng bằng nhau. Trong trường hợp này, vấn đề với các hạn chế được chuyển thành một vấn đề tương đương tối ưu hóa vô điều kiện, trong đó một số tham số chưa biết xuất hiện, được gọi là số nhân Lagrange.

Phương pháp nhân Lagrange bao gồm việc rút gọn các bài toán cho một cực trị có điều kiện thành các bài toán cho một cực trị không điều kiện của một hàm phụ - cái gọi là. Hàm Lagrange.

Đối với bài toán về cực trị của hàm f(x 1, x 2, ..., x n) trong điều kiện (phương trình ghép nối) φ tôi(x 1, x 2, ..., x n) = 0, tôi= 1, 2,..., m, hàm Lagrange có dạng

L (x 1, x 2… x n, λ 1, λ 2,… λm) = f (x 1, x 2… x n) + ∑ i -1 m λ i φ i (x 1, x 2… x n)

Cấp số nhân λ 1, λ 2, ..., λm gọi là Các nhân đấu Lagrange.

Nếu số lượng x 1, x 2, ..., x n, λ 1, λ 2, ..., λm là nghiệm của phương trình xác định điểm đứng yên của hàm Lagrange, cụ thể là đối với các hàm phân biệt, chúng là nghiệm của hệ phương trình

thì dưới các giả thiết tổng quát đầy đủ x 1, x 2, ..., x n cung cấp một cực trị của hàm f.

Xét bài toán tối thiểu hóa một hàm gồm n biến, có xét đến một ràng buộc ở dạng đẳng thức:

Thu nhỏ f (x 1, x 2… x n) (1)

với các hạn chế h 1 (x 1, x 2… x n) = 0 (2)

Theo phương pháp nhân Lagrange, bài toán này được chuyển thành bài toán tối ưu hóa không bị giới hạn sau:

tối thiểu L (x, λ) = f (x) -λ * h (x) (3)

trong đó Hàm L (х; λ) được gọi là hàm Lagrange,

λ là một hằng số chưa biết, được gọi là hệ số nhân Lagrange. Không có yêu cầu nào được áp đặt đối với dấu của λ.

Để tại đặt giá trịλ = λ 0 điểm cực tiểu không điều kiện của hàm L (x, λ) đối với x đạt tại điểm x = x 0 và x 0 thỏa mãn phương trình h 1 (x 0) = 0. Khi đó, dễ thấy, x 0 cực tiểu (1) xét đến (2), vì với mọi giá trị của x thỏa mãn (2), h 1 (x) = 0 và L (x, λ) = min f (x).

Tất nhiên, cần phải chọn giá trị λ = λ 0 sao cho tọa độ của điểm cực tiểu không điều kiện x 0 thỏa mãn đẳng thức (2). Điều này có thể được thực hiện nếu, coi λ là một biến, chúng ta tìm thấy cực tiểu không điều kiện của hàm (3) dưới dạng một hàm λ, và sau đó chọn giá trị của λ tại đó đẳng thức (2) được thỏa mãn. Hãy minh họa điều này bằng một ví dụ cụ thể.

Thu nhỏ f (x) = x 1 2 + x 2 2 = 0

với giới hạn h 1 (x) = 2x 1 + x 2 -2 = 0 = 0

Bài toán tối ưu hóa không bị giới hạn tương ứng được viết như sau:

cực tiểu L (x, λ) = x 1 2 + x 2 2 -λ (2x 1 + x 2 -2)

Dung dịch. Cân bằng hai thành phần của gradient L bằng 0, chúng ta thu được

→ x 1 0 = λ

→ x 2 0 = λ / 2

Để kiểm tra xem điểm đứng yên x ° có tương ứng với cực tiểu hay không, chúng ta tính các phần tử của ma trận Hessian của hàm L (x; u), được coi là một hàm của x,

hóa ra là xác định tích cực.

Điều này có nghĩa là L (x, u) là một hàm lồi của x. Do đó, các tọa độ x 1 0 = λ, x 2 0 = λ / 2 xác định điểm cực tiểu toàn cục. Giá trị tối ưu của λ được tìm thấy bằng cách thay các giá trị x 1 0 và x 2 0 vào phương trình 2x 1 + x 2 = 2, khi đó 2λ + λ / 2 = 2 hoặc λ 0 = 4/5. Do đó, điều kiện tối thiểu đạt được tại x 1 0 = 4/5 và x 2 0 = 2/5 và bằng min f (x) = 4/5.

Khi giải bài toán từ ví dụ, chúng tôi coi L (x; λ) là một hàm của hai biến x 1 và x 2, ngoài ra, giả sử rằng giá trị của tham số λ đã được chọn sao cho thỏa mãn giới hạn. Nếu giải pháp của hệ thống

J = 1,2,3,…, n

như chức năng rõ ràng Không thể thu được λ, khi đó giá trị của x và λ được tìm bằng cách giải hệ sau gồm n + 1 phương trình với n + 1 ẩn số:

J = 1,2,3,…, n., H 1 (x) = 0

Để tìm tất cả phương pháp khả thi của hệ thống này, bạn có thể sử dụng các phương pháp tìm kiếm số (ví dụ, phương pháp của Newton). Đối với mỗi nghiệm (), người ta nên tính các phần tử của ma trận Hessian của hàm L, được coi là một hàm của x, và tìm xem liệu ma trận này có xác định dương hay không ( địa phương tối thiểu) hoặc được xác định phủ định (cực đại cục bộ).

Phương pháp nhân tử Lagrange có thể được mở rộng cho trường hợp bài toán có một số ràng buộc ở dạng bằng nhau. Xem xét một vấn đề chung yêu cầu

Thu nhỏ f (x)

dưới các hạn chế h k = 0, k = 1, 2, ..., K.

Hàm Lagrange có lần xem tiếp theo:

Nơi đây λ 1, λ 2, ..., λk-Lagrange nhân, tức là các tham số không xác định có giá trị cần được xác định. Công bằng các đạo hàm riêng của L với x thành 0, chúng ta thu được hệ thống tiếp theo n phương trình với n ẩn số:

Nếu khó tìm ra lời giải cho hệ trên dưới dạng hàm của vectơ λ, thì có thể mở rộng hệ bằng cách đưa vào các giới hạn ở dạng bằng nhau

Nghiệm của một hệ mở rộng gồm n + K phương trình với n + K ẩn số xác định điểm dừng hàm L. Sau đó, một thủ tục để kiểm tra giá trị nhỏ nhất hoặc tối đa được thực hiện, được thực hiện trên cơ sở tính toán các phần tử của ma trận Hessian của hàm L, được coi là một hàm của x, tương tự như cách nó đã được thực hiện. trong trường hợp của một vấn đề với một ràng buộc. Đối với một số bài toán, hệ phương trình n + K mở rộng với n + K ẩn số có thể không có nghiệm và phương pháp nhân Lagrange hóa ra không thể áp dụng được. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng các nhiệm vụ như vậy là khá hiếm trong thực tế.

Xem xét trương hợp đặc biệt nhiệm vụ chung lập trình phi tuyến tính, giả sử rằng hệ thống các ràng buộc chỉ chứa các phương trình, không có điều kiện nào cho tính không phủ định của các biến và và - các hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng của chúng. Do đó, giải hệ phương trình (7) thì tất cả các điểm mà hàm số (6) có thể có cực trị.

Thuật toán của phương pháp nhân Lagrange

1. Chúng ta soạn hàm Lagrange.

2. Chúng ta tìm các đạo hàm riêng của hàm Lagrange đối với các biến x J, λ i và cho chúng bằng không.

3. Ta giải hệ phương trình (7), tìm các điểm mà tại đó hàm mục tiêu của bài toán có cực trị.

4. Trong số các điểm nghi ngờ có cực trị, ta tìm các điểm mà tại đó đạt cực trị và tính giá trị của hàm số (6) tại các điểm này.

Thí dụ.

Dữ liệu ban đầu: Theo kế hoạch sản xuất xí nghiệp cần sản xuất 180 sản phẩm. Các sản phẩm này có thể được sản xuất theo hai cách công nghệ. Trong quá trình sản xuất x 1 sản phẩm ở phương pháp 1, chi phí là 4x 1 + x 1 2 rúp, và khi sản xuất x 2 sản phẩm ở phương pháp 2, chúng là 8x 2 + x 2 2 rúp. Xác định xem mỗi phương pháp nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để chi phí sản xuất là nhỏ nhất.

Hàm mục tiêu cho bài toán có dạng
® min với các điều kiện x 1 + x 2 = 180, x 2 ≥0.
1. Soạn hàm Lagrange
.
2. Chúng tôi tính các đạo hàm riêng đối với x 1, x 2, λ và cân bằng chúng bằng 0:

3. Giải hệ phương trình thu được, ta tìm được x 1 \ u003d 91, x 2 \ u003d 89

4. Sau khi thực hiện thay thế trong hàm mục tiêu x 2 \ u003d 180-x 1, chúng ta nhận được hàm một biến, cụ thể là f 1 \ u003d 4x 1 + x 1 2 +8 (180-x 1) + (180- x 1) 2

Tính toán hoặc 4x 1 -364 = 0,

khi đó ta có x 1 * = 91, x 2 * = 89.

Trả lời: Số sản phẩm được sản xuất theo phương pháp thứ nhất là x 1 \ u003d 91, theo phương pháp thứ hai là x 2 \ u003d 89, trong khi giá trị của hàm mục tiêu là 17278 rúp.

Tên thông số	Nghĩa
Chủ đề bài viết:	Phương pháp Lagrange.
Phiếu tự đánh giá (danh mục chuyên đề)	Toán học

Để tìm một đa thức có nghĩa là xác định các giá trị của hệ số của nó . Để thực hiện điều này, sử dụng điều kiện nội suy, bạn có thể hình thành một hệ phương trình đại số tuyến tính (SLAE).

Yếu tố quyết định SLAE này thường được gọi là định thức Vandermonde. Định thức Vandermonde không bằng 0 khi for, nghĩa là, trong trường hợp không có nút phù hợp nào trong bảng tra cứu. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, có thể lập luận rằng SLAE có một giải pháp và giải pháp này là duy nhất. Giải SLAE và xác định các hệ số chưa biết người ta có thể xây dựng một đa thức nội suy.

Một đa thức thỏa mãn các điều kiện nội suy, khi được nội suy bằng phương pháp Lagrange, được xây dựng như một tổ hợp tuyến tính của các đa thức bậc n:

Đa thức được gọi là nền tảngđa thức. Đến Đa thức Lagrange thỏa mãn các điều kiện nội suy, điều cực kỳ quan trọng là đối với các đa thức cơ sở của nó điều kiện sau:

vì .

Nếu các điều kiện này được đáp ứng, thì đối với bất kỳ điều kiện nào, chúng tôi có:

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, việc thỏa mãn các điều kiện đã cho đối với đa thức cơ bản có nghĩa là các điều kiện nội suy cũng được thỏa mãn.

Hãy để chúng tôi xác định dạng của đa thức cơ bản dựa trên các hạn chế đặt ra cho chúng.

Điều kiện đầu tiên: tại .

Điều kiện thứ 2: .

Cuối cùng, đối với đa thức cơ bản, chúng ta có thể viết:

Sau đó, thay biểu thức kết quả cho các đa thức cơ bản thành đa thức ban đầu, chúng ta thu được dạng cuối cùng của đa thức Lagrange:

hình thức riêng tưđa thức Lagrange at thường được gọi là công thức nội suy tuyến tính:

Đa thức Lagrange được lấy tại thường được gọi là công thức nội suy bậc hai:

Phương pháp Lagrange. - khái niệm và các loại. Phân loại và đặc điểm của loại "Phương pháp Lagrange." 2017, 2018.

- Phương pháp Lagrange (phương pháp biến thiên của một hằng số tùy ý).

Điều khiển từ xa tuyến tính. Sự định nghĩa. loại điều khiển tức là tuyến tính đối với hàm chưa biết và đạo hàm của nó được gọi là tuyến tính. Đối với một quyết định như vậy gõ ur-th Hãy xem xét hai phương pháp: phương pháp Lagrange và phương pháp Bernoulli Chúng ta hãy xem xét một DE đồng nhất.

- Điều khiển từ xa tuyến tính, đồng nhất và không đồng nhất. Khái niệm về một giải pháp tổng quát. Phương pháp Lagrange của sự biến đổi của các tích của các hằng số.

Sự định nghĩa. DU được gọi là thuần nhất nếu f-i có thể được biểu diễn dưới dạng f-i liên quan đến các đối số của chúng. Ví dụ. Tên đồng nhất f-th các phép đo nếu Ví dụ: 1) - Độ đồng đều bậc 1. 2) - Phép đồng dạng bậc 2. 3) - đơn hàng không tính đồng nhất (đơn giản là đồng nhất ....

- Bài giảng 8. Ứng dụng của đạo hàm riêng: nhiệm vụ đối với cực trị. Phương pháp Lagrange.

Nhiệm vụ khắc nghiệt có tầm quan trọng lớn trong các tính toán kinh tế. Ví dụ, đây là phép tính về thu nhập tối đa, lợi nhuận, chi phí tối thiểu, tùy thuộc vào một số biến số: nguồn lực, tài sản sản xuất, v.v. Lý thuyết tìm cực trị của hàm số ....

- T.2.3. DE của đơn đặt hàng cao hơn. Phương trình trong tổng vi phân. T.2.4. DE tuyến tính bậc 2 với hệ số không đổi. Phương pháp Lagrange.

3. 2. 1. DE với các biến phân tách S.R. 3. Trong khoa học tự nhiên, công nghệ và kinh tế, người ta thường phải đối mặt với Công thức thực nghiệm, I E. công thức được biên soạn trên cơ sở xử lý dữ liệu thống kê hoặc ...