3. Đây là cách những cô gái tóc vàng giải quyết các phương trình!

4. Toán học qua kính nhìn

Dòng chữ này, mà tôi đã thực hiện cách đây vài năm, có lẽ là bằng chứng ngắn nhất cho thấy ... 2 = 3. Đặt một tấm gương lên trên nó (hoặc nhìn nó qua ánh sáng), và bạn sẽ thấy "hai" quay như thế nào thành "ba".

5. Máy khuấy thư

Một công thức bất thường khác:

mười một + hai = mười hai + một.

Hóa ra trong tiếng Anh, phương trình 11 + 2 = 12 + 1 là đúng, ngay cả khi nó được viết bằng chữ - “tổng” các chữ cái ở bên trái và bên phải là như nhau! Điều này có nghĩa là vế phải của đẳng thức này là một phép đảo ngữ của vế trái, nghĩa là nó có được từ nó bằng cách sắp xếp lại các chữ cái.

Tương tự, mặc dù ít thú vị hơn, các chữ cái bằng nhau cũng có thể được lấy bằng tiếng Nga:

mười lăm + sáu = mười sáu + năm.

6. Pi ... hay không Pi? ..

Từ năm 1960 đến năm 1970 chính đồ uống quốc gia, được gọi là "Vodka đặc biệt Moscow" có giá: nửa lít 2,87 và một phần tư 1,49. Những con số này có lẽ đã được biết đến gần như toàn bộ dân số trưởng thành của Liên Xô. Các nhà toán học Liên Xô nhận thấy rằng nếu giá của một nửa lít được tăng lên một lũy thừa bằng với giá của một phần tư, thì số "Pi" sẽ thu được:

1,49 2,87 ??

(Báo cáo của B.S. Gorobets).

Ngay sau khi xuất bản ấn bản đầu tiên của cuốn sách, Phó giáo sư Khoa Hóa học của Đại học Tổng hợp Moscow Leenzon I. A. đã gửi cho tôi một bình luận tò mò về công thức này: “... nhiều năm trước, khi không có máy tính, và chúng tôi tại Khoa Vật lý đã vượt qua một bài kiểm tra khó khăn về quy tắc trượt (!) (bạn cần di chuyển thước di chuyển sang phải và trái bao nhiêu lần?), với sự giúp đỡ của các bảng chính xác nhất của cha tôi (ông đã khảo sát viên, anh ta mơ về kỳ thi trắc địa cao hơn trong suốt cuộc đời của mình) rằng rupee-bốn mươi chín đến lũy thừa của hai tám mươi bảy bằng 3, 1408. Nó không làm tôi hài lòng. Gosplan Liên Xô của chúng ta không thể hành động một cách thô lỗ như vậy. Các cuộc tham vấn tại Bộ Thương mại về Kirovskaya cho thấy rằng tất cả các phép tính giá trên quy mô quốc gia đều được thực hiện chính xác đến hàng trăm kopeck. Nhưng tên con số chính xác Tôi đã bị từ chối, đề cập đến sự bí mật (sau đó tôi đã rất ngạc nhiên - những gì bí mật có thể được trong phần mười và phần trăm của một xu). Vào đầu những năm 1990, tôi đã tìm được số liệu chính xác từ các kho lưu trữ về giá thành của vodka, vào thời điểm đó đã được giải mật bằng một sắc lệnh đặc biệt. Và đây là những gì nó hóa ra: một phần tư: 1 rúp 49,09 kopecks. Đang giảm giá - 1,49 rúp. Pollitrovka: 2 rúp 86,63 kopecks. Giảm giá - 2,87 rúp. Sử dụng máy tính, tôi dễ dàng phát hiện ra rằng trong trường hợp này, một phần tư sức mạnh của nửa lít cho (sau khi làm tròn thành 5 con số có nghĩa) chỉ là 3,1416! Nó vẫn chỉ để tự hỏi khả năng toán học nhân viên của Ủy ban Kế hoạch Nhà nước Liên Xô, người (tôi không nghi ngờ gì về điều này trong một giây) đã cố tình điều chỉnh chi phí ước tính của loại đồ uống phổ biến nhất thành một mức định trước kết quả đã biết».

Nhà toán học nào được biết đến từ trường được mã hóa trong xe buýt này?

8. Lý thuyết và thực hành

Một nhà toán học, một nhà vật lý và một kỹ sư được giao nhiệm vụ sau: “Một chàng trai và một cô gái đang đứng ở các bức tường đối diện của hội trường. Tại một thời điểm nào đó, họ bắt đầu tiến về phía một người bạn và cứ sau 10 giây họ lại che được một nửa khoảng cách giữa họ. Câu hỏi đặt ra là sau bao lâu thì họ đến được với nhau? ”

Nhà toán học trả lời không do dự:

Không bao giờ.

Nhà vật lý, sau một lúc suy nghĩ, nói:

Qua thời gian vô tận.

Người kỹ sư, sau thời gian dài tính toán, đã đưa ra:

Trong khoảng hai phút, chúng sẽ đủ gần cho bất kỳ mục đích thực tế nào.

9. Công thức làm đẹp từ Landau

Công thức quan trọng sau đây, được cho là của Landau, một người yêu thích tình dục công bằng hơn, đã được Giáo sư Gorobets nổi tiếng của Landauved thu hút sự chú ý của tôi.

Khi chúng tôi được Phó giáo sư A.I. Zyulkov của MSUIE thông báo, ông đã nghe nói rằng Landau đã suy ra công thức sau cho chỉ số sức hấp dẫn của phụ nữ:

ở đâu K- chu vi tượng bán thân; M- trên hông; N- ở thắt lưng T- chiều cao, tất cả tính bằng cm; P- trọng lượng tính bằng kg.

Vì vậy, nếu chúng ta chấp nhận các tham số cho mô hình (những năm 1960) xấp xỉ: 80-80-60-170-60 (trong chuỗi giá trị trên), thì theo công thức, chúng ta nhận được 5. Nếu chúng ta chấp nhận các tham số của " chống mô hình ", ví dụ: 120 -120-120-170-60, thì chúng tôi nhận được 2. Ở đây trong khoảng này lớp học và, nói một cách đại khái, “công thức Landau” hoạt động.

(Trích sách: Gorobets B. Vòng tròn Landau. Cuộc đời của một thiên tài. M.: Nhà xuất bản LKI / URSS, 2008.)

10. Để biết rằng khoảng cách ...

Một lập luận khoa học khác về sự hấp dẫn của phụ nữ do Dow đưa ra.

Chúng tôi định nghĩa sức hấp dẫn của một người phụ nữ là một hàm số của khoảng cách đối với cô ấy. Với giá trị vô hạn của đối số, hàm này sẽ biến mất. Mặt khác, tại điểm 0, nó cũng bằng 0 ( chúng tôi đang nói chuyện về sự hấp dẫn bên ngoài chứ không phải về xúc giác). Theo định lý Lagrange, một không âm chức năng liên tục, chiếm ở cuối phân đoạn giá trị null, có giá trị tối đa trong khoảng thời gian này. Do đó:

1. Có một khoảng cách mà từ đó một người phụ nữ hấp dẫn nhất.

2. Đối với mỗi người phụ nữ, khoảng cách này là khác nhau.

3. Giữ khoảng cách với phụ nữ.

11 Ngựa chứng

Định lý: Tất cả các con ngựa đều có màu giống nhau.

Bằng chứng. Hãy chứng minh khẳng định của định lý bằng quy nạp.

Tại N= 1, nghĩa là, đối với tập hợp bao gồm một con ngựa, điều khẳng định rõ ràng là đúng.

Để phát biểu của định lý là đúng với N = k. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng nó đúng với N = k+ 1. Để làm điều này, hãy xem xét một tập hợp tùy ý từ k+ 1 con ngựa. Nếu bạn loại bỏ một con ngựa khỏi nó, thì chúng sẽ vẫn còn k. Theo giả thuyết quy nạp, chúng đều có màu như nhau. Bây giờ chúng ta hãy trả con ngựa đã bị loại bỏ về vị trí của nó và nhặt một số con khác. Một lần nữa, theo giả thuyết quy nạp, những k những con ngựa còn lại cùng màu. Nhưng sau đó mọi thứ k+ 1 con ngựa sẽ cùng màu.

Do đó, theo nguyên tắc quy nạp toán học, tất cả các con ngựa đều có màu giống nhau. Định lý đã được chứng minh.

12. Một chút về cá sấu

Một minh họa tuyệt vời khác của ứng dụng phương pháp toán họcđến động vật học.

Định lý: Cá sấu dài hơn rộng.

Bằng chứng. Chúng ta lấy một cá sấu tùy ý và chứng minh hai bổ đề phụ.

Bổ đề 1: Sấu dài hơn sấu xanh.

Bằng chứng. Hãy nhìn cây sấu từ trên cao - nó dài và xanh. Chúng ta hãy nhìn vào con cá sấu từ bên dưới - nó dài, nhưng không quá xanh (trên thực tế, nó có màu xám đen).

Do đó, bổ đề 1 được chứng minh.

Bổ đề 2: Sấu xanh hơn rộng.

Bằng chứng. Chúng ta hãy nhìn lại con cá sấu từ trên cao. Nó có màu xanh lá cây và rộng. Chúng ta hãy nhìn vào con cá sấu từ một phía: nó có màu xanh lá cây, nhưng không rộng. Điều này chứng minh Bổ đề 2.

Khẳng định của định lý rõ ràng là tuân theo các bổ đề đã được chứng minh.

Định lý converse (“Con cá sấu rộng hơn chiều dài”) được chứng minh theo cách tương tự.

Thoạt nhìn, theo cả hai định lý rằng con cá sấu là hình vuông. Tuy nhiên, vì các bất đẳng thức trong công thức của chúng là nghiêm ngặt, một nhà toán học thực sự sẽ đưa ra kết luận đúng duy nhất: CROCODILES KHÔNG TỒN TẠI!

13. Một lần nữa cảm ứng

Định lý: Tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau.

Bằng chứng. Cần chứng minh rằng với hai số tự nhiên bất kỳ Một và B bình đẳng Một = B. Hãy để chúng tôi định dạng lại nó theo cách sau: cho bất kỳ N> 0 và bất kỳ Một và B thỏa mãn bình đẳng max ( Một, B) = N, sự bình đẳng Một = B.

Hãy chứng minh điều đó bằng quy nạp. Nếu một N= 1, sau đó Một và B, là tự nhiên, cả hai đều bằng 1. Do đó Một = B.

Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng khẳng định được chứng minh cho một số giá trị k. Hãy lấy Một và B sao cho tối đa ( Một, B) = k+ 1. Sau đó max ( Một–1, B–1) = k. Theo giả thuyết quy nạp, điều này ngụ ý rằng ( Một–1) = (B-một). Có nghĩa, Một = B.

14. Tất cả những điều khái quát đều sai!

Những người yêu thích ngôn ngữ và câu đố toán học có thể biết về phản xạ, hoặc tự mô tả (đừng nghĩ gì xấu), các từ, cụm từ và con số tự quy chiếu. Ví dụ sau, bao gồm số 2100010006, trong đó chữ số đầu tiên bằng số đơn vị trong bản ghi của số này, chữ số thứ hai - bằng số hai, chữ số thứ ba - bằng số bộ ba, .. ., phần mười - với số lượng các số không.

Các từ tự mô tả bao gồm, nói, từ hai mươi mốt chữ cái Tôi đã nghĩ ra cách đây vài năm. Nó thực sự có 21 chữ cái!

Có rất nhiều cụm từ mô tả bản thân. Một trong những ví dụ đầu tiên bằng tiếng Nga đã được sáng chế cách đây nhiều năm bởi nghệ sĩ biếm họa và lời nói dí dỏm nổi tiếng Vagrich Bakhchanyan: Câu này có ba mươi hai chữ cái.. Dưới đây là một số ứng dụng khác đã xuất hiện sau này: 1. 17 chữ cái. 2. Có một lỗi trong câu này ở cuối. 3. Câu này sẽ là bảy từ nếu nó ngắn hơn bảy từ. 4. Bạn nằm trong tầm kiểm soát của tôi vì bạn sẽ đọc tôi cho đến khi bạn đạt đến cuối cùng.. 5. ...Câu này bắt đầu và kết thúc bằng dấu ba chấm..

Ngoài ra còn có các thiết kế phức tạp hơn. Ví dụ, hãy chiêm ngưỡng con quái vật này ở đây (xem ghi chú của S. Tabachnikov “Vị linh mục có một con chó” trên tạp chí Kvant, số 6 năm 1989): Trong cụm từ này, từ “trong” xảy ra hai lần, từ “này” xảy ra hai lần, từ “cụm từ” xảy ra hai lần, từ “gặp gỡ” xảy ra mười bốn lần, từ “từ” xảy ra mười bốn lần, từ “thời gian ”Xảy ra sáu lần, từ“ raza ”xảy ra chín lần, từ“ hai ”xảy ra bảy lần, từ“ mười bốn ”xảy ra ba lần, từ“ ba ”xảy ra ba lần, từ“ chín ”xảy ra hai lần, từ "bảy" xảy ra hai lần, hai lần từ "sáu" xảy ra.

Một năm sau khi xuất bản ở Kvant, I. Akulich đã đưa ra một cụm từ tự mô tả không chỉ mô tả các từ có trong đó, mà còn cả các dấu câu: Cụm từ bạn đang đọc có: hai từ "Cụm từ", hai từ "mà", hai từ "Bạn", hai từ "đọc", hai từ "chứa", 25 từ "từ", hai từ "từ" , hai từ "dấu hai chấm", hai từ "dấu phẩy", hai từ "bởi", hai từ "trái", hai từ "và", hai từ "phải", hai từ "dấu ngoặc kép", hai từ "a", hai từ "cũng", hai từ "chấm", hai từ "một", hai từ "một", hai mươi hai từ "hai", ba từ "ba", hai từ "bốn", ba từ "năm", bốn từ "hai mươi", hai từ "ba mươi", một dấu hai chấm, ba mươi dấu phẩy, hai mươi lăm dấu ngoặc kép trái và phải và một dấu chấm.

Cuối cùng, một vài năm sau, tất cả trong cùng một "Lượng tử", ghi chú của A. Khanyan xuất hiện, trong đó một cụm từ được đưa ra mô tả tỉ mỉ tất cả các chữ cái của nó: Có mười hai B, hai E, mười bảy T, ba O, hai Y, hai F, bảy R, mười bốn A, hai 3, mười hai E, mười sáu D, bảy H, bảy C, mười ba L, tám C, sáu M, năm I, hai H, hai S, ba I, ba W, hai P.

“Tôi cảm thấy rõ ràng rằng còn thiếu một cụm từ nữa - điều này sẽ nói về tất cả các chữ cái và dấu câu của nó,” I. Akulich viết trong một bức thư riêng cho tôi, người đã sinh ra một trong những con quái vật được trích dẫn trước đó. Có lẽ một trong những độc giả của chúng tôi sẽ giải quyết được nhiệm vụ rất khó khăn này.

15. "Và thiên tài là bạn của những nghịch lý ..."

Trong phần tiếp theo của chủ đề trước, điều đáng nói là các nghịch lý phản xạ.

Trong cuốn sách đã được đề cập của J. Littlewood "Toán học hỗn hợp", người ta đã nói đúng rằng "tất cả các nghịch lý phản xạ tất nhiên đều là những câu chuyện cười xuất sắc." Ngoài ra còn có hai trong số chúng, mà tôi xin phép trích dẫn:

1. Phải có các số nguyên (dương) không thể được cho bởi các cụm từ có ít hơn mười sáu từ. Bất kỳ tập hợp các số nguyên dương nào đều chứa số nhỏ nhất, và do đó có một số N, "số nguyên nhỏ nhất không thể được cho bởi một cụm từ ít hơn mười sáu từ." Nhưng cụm từ này chứa 15 từ và định nghĩa N.

2. Trong một tạp chí khán giả một cuộc thi đã được công bố về chủ đề "Bạn muốn đọc gì với niềm vui lớn nhất, mở đầu tờ báo buổi sáng?" Giải nhất nhận được câu trả lời:

Cuộc thi thứ hai của chúng tôi

Giải nhất cuộc thi thứ hai năm nay thuộc về ông Arthur Robinson, người có câu trả lời dí dỏm mà không cường điệu nên được coi là hay nhất. Câu trả lời của anh ấy cho câu hỏi: "Bạn sẽ thích đọc gì nhất nếu bạn mở tờ báo buổi sáng của mình?" có tựa đề "Cuộc thi thứ hai của chúng tôi", nhưng do hạn chế về giấy, chúng tôi không thể in toàn bộ.

16. Palindromatic

Có như vậy cụm từ tuyệt vời, được đọc theo cùng một cách từ trái sang phải và từ phải sang trái. Một điều chắc chắn ai cũng biết: Và bông hồng rơi trên bàn chân của Azor. Chính cô ấy là người được yêu cầu viết trong lời sai khiến của chú chó Pinocchio ngu ngốc bởi Malvina thất thường. Những cụm từ nghịch đảo lẫn nhau như vậy được gọi là palindromes, trong tiếng Hy Lạp có nghĩa là "chạy lại, quay trở lại." Dưới đây là một số ví dụ khác: 1. Lilliput cưa cá trê trên cầu. 2. tôi đi tắm. 3. Ông ấy nằm trên ngôi đền, và vị tổng lãnh thiên thần thật kỳ diệu và vô hình. 4. Đẩy con lợn rừng trên quả cà tím. 5. Muse, bị thương bởi một dùi kinh nghiệm, bạn sẽ cầu nguyện cho tâm trí. (D. Avaliani). 6. Tôi hiếm khi cầm mẩu thuốc lá trên tay... (B. Goldstein) 7. Có mùi sữa, tôi sắp kêu meo meo. (G. Lukomnikov). tám. Anh ấy là cây liễu, nhưng cô ấy là một khúc gỗ. (S.F.)

Tôi tự hỏi nếu có palindromes trong toán học? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy thử chuyển ý tưởng của một phép đọc đối xứng, đối xứng sang các con số và công thức. Hóa ra nó không khó như vậy. Hãy làm quen với một vài ví dụ điển hình từ toán học palindromic này, palindromatics. Bỏ số palindromic sang một bên - ví dụ: 1991 , 666 vân vân. Hãy chuyển sang công thức đối xứng.

Trước hết chúng ta hãy giải bài toán sau: tìm tất cả các cặp số có hai chữ số như vậy

(x 1 - chữ số đầu tiên y 1 - chữ số thứ hai) và

để kết quả của phép cộng không thay đổi do đọc tổng từ phải sang trái, tức là

Ví dụ, 42 + 35 = 53 + 24.

Vấn đề được giải quyết một cách đáng kể: tổng các chữ số đầu tiên của tất cả các cặp số đó bằng tổng các chữ số thứ hai của chúng. Bây giờ bạn có thể dễ dàng xây dựng ví dụ tương tự: 76 + 34 = 43 + 67, 25 + 63 = 36 + 52, v.v.

Lập luận theo cách tương tự, một người có thể dễ dàng giải quyết cùng một vấn đề cho những người còn lại các phép tính toán học.

Trong trường hợp có sự khác biệt, tức là

thu được các ví dụ sau: 41 - 32 \ u003d 23 -14, 46 - 28 \ u003d 82 - 64, ... - tổng các chữ số của các số đó bằng ( x 1 + y 1 = x 2 + y 2 ).

Trong trường hợp nhân, chúng ta có: 63 48 \ u003d 84 36, 82 14 \ u003d 41 28, ... - trong khi tích của các chữ số đầu tiên của các số N 1 và N 2 bằng tích của các chữ số thứ hai của chúng ( x 1 x 2 = y 1 y 2 ).

Cuối cùng, để phân chia, chúng tôi nhận được các ví dụ sau:

Trong trường hợp này, tích của chữ số đầu tiên của số N 1 đến chữ số thứ hai N 2 bằng tích của hai chữ số khác của chúng, tức là x 1 y 2 = x 2 y 1 .

17. Định lý chống Liên Xô

Việc chứng minh "định lý" sau đây, xuất hiện trong thời đại "chủ nghĩa xã hội kém phát triển", dựa trên những luận điểm phổ biến trong những năm đó về vai trò của Đảng Cộng sản.

Định lý. Vai trò của đảng là tiêu cực.

Bằng chứng. Ai cũng biết rằng:

1. Vai trò của đảng không ngừng lớn mạnh.

2. Dưới chủ nghĩa cộng sản, trong một xã hội không có giai cấp, vai trò của đảng sẽ bằng không.

Do đó, chúng ta có một hàm tăng liên tục có xu hướng đến 0. Do đó, nó là âm. Định lý đã được chứng minh.

18. Cấm trẻ em dưới mười sáu tuổi tự quyết định

Mặc dù có vẻ vô lý của vấn đề sau đây, nhưng nó vẫn có một giải pháp hoàn toàn nghiêm ngặt.

Một nhiệm vụ. Mẹ lớn hơn con trai trong 21 năm. Sáu năm nữa, cô ấy sẽ gấp năm lần tuổi anh. Câu hỏi đặt ra là: PAPA Ở ĐÂU ?!

Dung dịch. Để cho X- tuổi của con trai, và Y- tuổi của mẹ. Khi đó điều kiện của bài toán được viết dưới dạng hệ hai phương trình đơn giản:

Thay thế Y = X+ 21 vào phương trình thứ hai, ta được 5 X + 30 = X+ 21 + 6, tương tự X= -3/4. Như vậy, bây giờ con trai đang trừ đi 3/4 thời gian của năm, tức là trừ 9 tháng. Điều này có nghĩa là cha khoảnh khắc này là trên mẹ!

19. Một kết luận bất ngờ

Câu nói mỉa mai “Nếu bạn thông minh như vậy, thì tại sao bạn lại nghèo như vậy?” Được nhiều người biết đến, điều này có thể áp dụng cho rất nhiều người. Nó chỉ ra rằng hiện tượng đáng buồn này có một sự biện minh toán học chặt chẽ dựa trên những sự thật không thể chối cãi.

Cụ thể, hãy bắt đầu với hai định đề nổi tiếng:

Định đề 1: Kiến thức = Sức mạnh.

Định đề 2: Thời gian = Tiền bạc.

Ngoài ra, mọi học sinh đều biết rằng

Quãng đường s = Tốc độ x Thời gian = Công: Lực,

Công việc: Thời gian = Lực lượng x Tốc độ (*)

Thay các giá trị cho "thời gian" và "lực" từ cả hai định đề thành (*), chúng ta nhận được:

Công việc: (Kiến thức x Tốc độ) = Tiền (**)

Có thể thấy từ đẳng thức kết quả (**) rằng bằng cách đặt mục tiêu "kiến thức" hoặc "tốc độ" về 0, chúng ta có thể nhận được số tiền lớn tùy ý cho bất kỳ "công việc" nào.

Do đó kết luận: càng ngu ngốc và người lười biếng hơn, chủ đề thêm tiền anh ấy có thể kiếm được.

20. Trò chơi toán học Landau

Vài năm trước, trên tạp chí "Khoa học và Đời sống" (số 1, 2000), một ghi chú của Giáo sư B. Gorobets, gây được sự quan tâm lớn của độc giả, đã được xuất bản, dành riêng cho một trò chơi giải đố tuyệt vời mà Viện sĩ Landau đã phát minh ra. không cảm thấy buồn chán khi đi trên xe hơi. Chơi trò chơi này trong đó cảm biến Số ngẫu nhiên là số xe ô tô chạy qua (khi đó những con số này bao gồm hai chữ cái và hai cặp số), anh ta thường đưa ra cho những người bạn đồng hành của mình. Bản chất của trò chơi là sử dụng các dấu hiệu của phép toán số học và ký hiệu của các hàm cơ bản (tức là +, -, x,:, v, sin, cos, arcsin, arctg, lg, v.v.) để dẫn đến một và giống nhau nghĩa là hai cái này số có hai chữ số từ số của một chiếc ô tô đi qua. Trong trường hợp này, nó được phép sử dụng giai thừa ( N! = 1 x 2 x ... x N), nhưng không được phép sử dụng secant, cosecant và khác biệt.

Ví dụ, đối với cặp 75–33, sự bình đẳng mong muốn đạt được như sau:

và đối với cặp 00–38, như thế này:

Tuy nhiên, không phải con số nào cũng được giải đơn giản như vậy. Một số người trong số họ (ví dụ, 75–65) không chịu thua tác giả của trò chơi, Landau. Do đó, câu hỏi đặt ra về bất kỳ cách tiếp cận phổ quát nào, một công thức đơn lẻ nào đó cho phép bạn "giải quyết" bất kỳ cặp số nào. Landau và học trò của ông, GS. Kaganov. Đây là những gì anh ấy viết, cụ thể là: "Có phải lúc nào cũng có thể tạo ra sự bình đẳng từ biển số xe không?" Tôi hỏi Landau. “Không,” anh ta trả lời khá chắc chắn. - "Bạn đã chứng minh được định lý không tồn tại chưa?" - Tôi ngạc nhiên. - "Không," Lev Davidovich nói với vẻ tin tưởng, "nhưng không phải tất cả các con số đều phù hợp với tôi."

Tuy nhiên, những giải pháp như vậy đã được tìm thấy, và một trong số chúng vẫn còn trong cuộc đời của Landau.

Nhà toán học Kharkov Y. Palant đề xuất công thức cân bằng các cặp số

cho phép, do ứng dụng lặp đi lặp lại, thể hiện bất kỳ hình nào thông qua bất kỳ hình nào nhỏ hơn. “Tôi đã đưa ra bằng chứng của Landau,” Kaganov viết về quyết định này. “Anh ấy rất thích nó… và chúng tôi nửa đùa, nửa thật đã thảo luận về việc có nên công bố nó trên một tạp chí khoa học nào đó hay không”.

Tuy nhiên, công thức Palant sử dụng chất bảo mật “bị cấm” hiện nay (trong hơn 20 năm, nó đã không được đưa vào chương trình giáo dục), và do đó không thể được coi là đạt yêu cầu. Tuy nhiên, tôi đã cố gắng khắc phục điều này một cách dễ dàng bằng một công thức đã sửa đổi

Công thức kết quả (một lần nữa, nếu cần, nó phải được áp dụng nhiều lần) cho phép chúng ta biểu diễn bất kỳ chữ số nào dưới dạng bất kỳ chữ số lớn nào mà không cần sử dụng các chữ số khác, điều này rõ ràng làm cạn kiệt vấn đề của Landau.

1. Để không có số không trong các số. Hãy lập hai số ab và đĩa CD, (tất nhiên, đây không phải là một sản phẩm). Hãy để chúng tôi thể hiện điều đó khi N ? 6:

tội[( ab)!] ° = sin [( đĩa CD)!]° = 0.

Thật vậy, tội lỗi ( N!) ° = 0 nếu N? 6, vì sin (6!) ° = sin720 ° = sin (2 x 360 °) = 0. Hơn nữa, bất kỳ giai thừa nào cũng nhận được bằng cách nhân 6! tới các số nguyên tiếp theo: 7! = 6! x7,8! = 6! x 7 x 8, v.v., cho bội số 360 ° trong đối số sin, làm cho nó (và cả tiếp tuyến nữa) bằng không.

2. Cho một số 0 trong một số cặp chữ số. Chúng tôi nhân nó với số tiếp theo và cân bằng nó với sin của giai thừa theo độ lấy từ số ở phần khác của số.

3. Để có số không trong cả hai phần của số. Khi nhân với các chữ số lân cận, chúng cho đẳng thức nhỏ 0 = 0.

Phép chia nghiệm tổng quát thành ba điểm với phép nhân với không ở điểm 2 và 3 là do sin ( N!) °? 0 nếu N < 6».

Tất nhiên, như vậy giải pháp chung tước đi sự quyến rũ ban đầu của trò chơi Landau, chỉ thể hiện một mối quan tâm trừu tượng. Do đó, hãy cố gắng chơi với các số khó riêng lẻ mà không sử dụng các công thức phổ quát. Dưới đây là một số trong số chúng: 59–58; 47–73; 47–97; 27–37; 00–26.

21. Bói toán bằng các yếu tố quyết định

22. 9 ký tự

Thêm về các yếu tố quyết định.

Tôi được biết rằng vào một thời sinh viên năm nhất của Mekhmat, trò chơi "quyết định" cho tiền đã phổ biến. Hai người chơi vẽ định thức 3 x 3 trên giấy với các ô trống. Sau đó, lần lượt các số từ 1 đến 9 được chèn vào các ô trống. Khi tất cả các ô được điền đầy đủ, yếu tố quyết định được coi là - câu trả lời, có tính đến dấu, là lãi (hoặc thua) của người chơi đầu tiên. , được biểu thị bằng rúp. Có nghĩa là, nếu, ví dụ, con số là -23, thì người chơi thứ nhất trả 23 rúp thứ hai, và nếu, giả sử, 34, thì ngược lại, người chơi thứ hai trả 34 rúp đầu tiên.

Mặc dù luật chơi đơn giản như củ cải, nhưng rất khó để đưa ra chiến lược chiến thắng đúng đắn.

23. Các nhà học thuật đã giải quyết vấn đề như thế nào

Ghi chú này được gửi cho tôi bởi nhà toán học và nhà văn A. Zhukov, tác giả của cuốn sách tuyệt vời The Omnipresent Pi.

Giáo sư Boris Solomonovich Gorobets, người dạy toán tại hai trường đại học ở Moscow, đã viết một cuốn sách về nhà vật lý vĩ đại Lev Davidovich Landau (1908–1968) - Landau's Circle. Đây là những gì câu chuyện tò mò, kết nối với một bài toán mở đầu tại Viện Vật lý và Công nghệ, anh ấy nói với chúng tôi.

Điều đó đã xảy ra vào năm 1959, đồng đội của Landau và đồng tác giả của một khóa học mười tập về vật lý lý thuyết, Viện sĩ Evgeni Mikhailovich Lifshits (1915–1985), đã giúp một sinh viên tốt nghiệp của trường, Borya Gorobets, chuẩn bị cho nhập học vào một trong những hàng đầu trường đại học vật lý Matxcova.

Tại kỳ thi viết môn toán tại Viện Vật lý và Toán học Matxcova, người ta đã đề xuất nhiệm vụ sau: “Ở đáy của hình chóp SABC có một hình chữ nhật Tam giác cân ABC có góc C = 90 °, cạnh AB = l. Mặt bên hình thành với mặt phẳng cơ sở góc nhị diện?,?,?. Tìm bán kính của mặt cầu nội tiếp hình chóp.

Vị giáo sư tương lai không đối phó với nhiệm vụ vào thời điểm đó, nhưng ông nhớ lại tình trạng của nó và sau đó thông báo cho Evgeny Mikhailovich. Thầy loay hoay với sự có mặt của học sinh không giải quyết được ngay liền mang về nhà, buổi tối thầy gọi điện nói cả tiếng đồng hồ vẫn chưa khắc phục được, thầy đề nghị vấn đề này với Lev Davidovich.

Landau thích giải quyết những vấn đề gây khó khăn cho người khác. Ngay sau đó, anh ấy đã gọi lại cho Lifshitz và vui mừng nói: “Tôi đã giải quyết được vấn đề. Quyết định đúng một giờ. Tôi đã gọi cho Zeldovich, bây giờ anh ấy quyết định. Cần làm rõ: Yakov Borisovich Zel'dovich (1914–1987), một nhà khoa học nổi tiếng tự coi mình là học trò của Landau, trong những năm đó, là nhà vật lý lý thuyết chính trong Dự án nguyên tử tối mật của Liên Xô (dĩ nhiên, rất ít mọi người đã biết sau đó). Khoảng một giờ sau, E. M. Lifshits gọi lại và nói: Zeldovich vừa gọi cho anh ta và nói, không phải không có niềm tự hào: “Tôi đã giải quyết được vấn đề của anh. Tôi quyết định trong bốn mươi phút nữa! ”

Bạn sẽ mất bao lâu để hoàn thành nhiệm vụ này?

24. Vấn đề

Có rất nhiều câu chuyện cười toán học trong bộ sưu tập hài hước dí dỏm về vật lý và công nghệ "Zasauchny Humor" (M., 2000). Đây chỉ là một trong số chúng.

Khi thử nghiệm một sản phẩm, một lỗi đã xảy ra. Xác suất hoạt động không hỏng hóc của sản phẩm là bao nhiêu?

Định lý. Tất cả các số tự nhiên đều thú vị.

Bằng chứng. Hãy giả sử ngược lại. Sau đó, phải tồn tại ít thú vị nhất số tự nhiên. Ha, thật là thú vị!

26. Số học cao hơn

1 + 1 = 3 khi giá trị của 1 đủ lớn.

27. Công thức Einstein-Pitago

E \ u003d m c 2 \ u003d m (a 2 + b 2).

28. Về lợi ích của chiếc thuyền

Câu chuyện hài hước này của tôi cuộc sống sinh viên hoàn toàn có thể đưa ra tại các cuộc hội thảo về lý thuyết xác suất như một nhiệm vụ.

Vào mùa hè, tôi và những người bạn của tôi đã đi bộ đường dài trên núi. Có bốn người chúng tôi: Volodya, hai Olegs và tôi. Chúng tôi có một cái lều và ba túi ngủ, một trong số đó là giường đôi cho Volodya và tôi. Với những chiếc túi ngủ này, hay đúng hơn là với vị trí của chúng trong lều, sự cố lộ diện. Thực tế là trời mưa, lều chật chội, dột tứ phía, và những người nằm trên mép không được thoải mái cho lắm. Vì vậy, tôi đề xuất giải quyết vấn đề này một cách "công bằng", với sự giúp đỡ của rất nhiều.

Hãy nhìn xem, - tôi nói với Olegs, - cú đúp của chúng ta với Volodya có thể ở rìa hoặc ở trung tâm. Do đó, chúng ta sẽ tung một đồng xu: nếu “con đại bàng” rơi ra, đôi của chúng ta sẽ ở cạnh, nếu “đuôi” sẽ ở giữa.

Các Olegs đã đồng ý, nhưng sau một vài đêm ở bên cạnh (rất dễ dàng để tính toán bằng công thức xác suất đầy đủ rằng đối với mỗi chúng tôi với Volodya, xác suất ngủ không ở mép lều là 0,75) Olegs nghi ngờ có điều gì đó không ổn và đề nghị sửa đổi hợp đồng.

Thật vậy, - tôi nói, - cơ hội là không bằng nhau. Trên thực tế, có ba khả năng cho cú đúp của chúng ta: từ mép trái, từ bên phải và ở trung tâm. Do đó, vào mỗi buổi tối, chúng ta sẽ rút một trong ba cây gậy - nếu chúng ta rút một cây gậy ngắn, thì đôi của chúng ta sẽ ở chính giữa.

Olegs một lần nữa đồng ý, mặc dù lần này khả năng chúng tôi đi qua đêm không phải là ít (bây giờ xác suất là 0,66, chính xác hơn là hai phần ba) là tốt hơn cho mỗi người trong số họ. Sau hai đêm ở lại cạnh tranh (chúng tôi có cơ hội tốt nhất cộng với may mắn ở bên), Oleg một lần nữa nhận ra rằng họ đã bị lừa. Nhưng sau đó, may mắn thay, cơn mưa kết thúc, và vấn đề tự nó biến mất.

Nhưng trên thực tế, trên thực tế, cú đúp của chúng tôi phải luôn ở bên cạnh, và Volodya và tôi sẽ xác định với sự trợ giúp của một đồng xu mỗi lần ai may mắn. Olegs cũng sẽ làm như vậy. Trong trường hợp này, cơ hội ngủ nghiêng của mọi người là như nhau và bằng 0,5.

Ghi chú:

Đôi khi một câu chuyện tương tự được kể về Jean Charles Francois Sturm.

Trang này chứa tất cả các công thức cần thiết để chuyển kiểm soát và làm việc độc lập, các kỳ thi đại số, hình học, lượng giác, hình học khối và các ngành khác của toán học.

Tại đây bạn có thể tải về hoặc xem trực tuyến tất cả các chính công thức lượng giác, công thức diện tích hình tròn, công thức nhân viết tắt, công thức tính chu vi, công thức giảm và nhiều công thức khác.

Bạn cũng có thể in các bộ sưu tập công thức toán học cần thiết.

Thành công trong học tập của bạn!

Công thức số học:

Công thức đại số:

Công thức Hình học:

Công thức số học:

Quy luật hoạt động trên số

Luật giao hoán của phép cộng: a + b = b + a.

Luật bổ sung liên kết: (a + b) + c = a + (b + c).

Quy luật giao hoán của phép nhân: ab = ba.

Quy luật liên kết của phép nhân: (ab) c = a (bc).

Quy luật phân phối của phép nhân đối với phép cộng: (a + b) c = ac + bc.

Quy luật phân phối của phép nhân đối với phép trừ: (a - b) c \ u003d ac - bc.

Một số ký hiệu toán học và chữ viết tắt:

Dấu hiệu chia hết

Dấu hiệu chia hết cho "2"

Số chia hết cho 2 mà không có dư được gọi là thậm chí, không chia hết - số lẻ. Một số chia hết cho "2" mà không có dư nếu chữ số cuối cùng của nó là chẵn (2, 4, 6, 8) hoặc không

Dấu hiệu chia hết cho "4"

Một số chia hết cho "4" mà không có dư nếu hai chữ số cuối cùng của nó là số không hoặc ở dạng tổng là một số chia hết mà không có dư bởi "4"

Dấu hiệu chia hết cho "8"

Một số chia hết cho "8" mà không có dư nếu ba chữ số cuối của nó bằng 0 hoặc ở dạng tổng là một số chia hết mà không có dư bởi "8" (thí dụ: 1000 - ba chữ số cuối cùng là "00", và chia 1000 cho 8 được 125; 104 - hai chữ số cuối cùng của "12" được chia cho 4, và khi chia 112 cho 4 được 28; vân vân.)

Dấu hiệu chia hết cho "3" và "9"

Không có dư, chỉ những số đó chia hết cho “3” trong đó tổng các chữ số chia hết mà không có dư là “3”; bởi "9" - chỉ những chữ số trong đó tổng các chữ số chia hết mà không có phần dư là "9"

Dấu hiệu chia hết cho "5"

Không có phần dư, các số được chia cho "5", chữ số cuối cùng là "0" hoặc "5"

Dấu hiệu chia hết cho "25"

Không có phần dư, các số được chia cho "25", hai chữ số cuối cùng của chúng là số 0 hoặc ở dạng tổng là một số chia hết mà không có phần dư cho "25" (tức là các số kết thúc bằng "00", "25", "50 "," 75 »

Dấu hiệu chia hết cho "10", "100" và "1.000"

Không có dư, chỉ những số có chữ số tận cùng là 0 mới chia hết cho "10", chỉ những số có hai chữ số cuối là số 0 mới chia hết cho "100", chỉ những số có ba chữ số cuối là số 0 mới chia hết cho "1000"

Dấu hiệu chia hết cho "11"

Không có dư, chỉ những số đó chia hết cho "11", trong đó tổng các chữ số chiếm chỗ lẻ bằng tổng các chữ số chiếm chỗ chẵn hoặc khác nó bằng một số chia hết cho "11"

Giá trị tuyệt đối - công thức (mô đun)

| a | ? 0, và | a | = 0 chỉ khi a = 0; | -a | = | a | | a2 | = | a | 2 = a2 | ab | = | a | * | b | | a / b | = | a | / | b |, còn b thì sao? 0; | a + b |? | a | + | b | | a-b |? | a | - | b |

Công thức Hành động với phân số

Công thức chuyển phân số thập phân hữu hạn thành phân số hữu tỉ:

Tỷ lệ

Hai tỷ lệ bằng nhau tạo thành tỷ lệ:

Tính chất cơ bản của tỷ trọng

Tìm các điều khoản của tỷ lệ

Tỷ lệ, tương đương tỷ lệ : Phát sinh tỷ lệ- một hệ quả của việc này tỷ lệ như

Giá trị trung bình

Trung bình

Hai kích thước: N giá trị:

Trung bình hình học (trung bình tỷ lệ)

Hai kích thước: N giá trị:

RMS

Hai kích thước: N giá trị:

trung bình hài hòa

Hai kích thước: N giá trị:

Một số chuỗi số hữu hạn

Tính chất của bất đẳng thức số

1) Nếu một< b , sau đó cho bất kỳ c: a + c< b + с .

2) Nếu một< b và c> 0, sau đó như< bс .

3) Nếu một< b và c< 0 , sau đó ac> bc.

4) Nếu một< b , một và b một dấu hiệu, sau đó 1 / a> 1 / b.

5) Nếu một< b và c< d , sau đó a + c< b + d , a - d< b — c .

6) Nếu một< b , c< d , a> 0, b> 0, c> 0, d> 0, sau đó AC< bd .

7) Nếu một< b , a> 0, b> 0, sau đó

8) Nếu, thì

• Công thức lũy tiến:

• 

• Phát sinh

• Logarit:
• Tọa độ và vectơ

  1. Khoảng cách giữa hai điểm A1 (x1; y1) và A2 (x2; y2) được tìm bằng công thức:

  2. Tọa độ (x; y) của trung điểm của đoạn thẳng có đầu là A1 (x1; y1) và A2 (x2; y2) được tìm thấy bằng công thức:

  

  3. Phương trình của một đường thẳng với hệ số độ dốc và thứ tự ban đầu là:

  Hệ số góc k là giá trị của tiếp tuyến của góc tạo bởi đường thẳng có chiều dương của trục Ox và hoành độ ban đầu q là giá trị của hoành độ giao điểm của đường thẳng với trục Oy.

  4. Phương trình tổng quátđường thẳng có dạng: ax + by + c = 0.

  5. Phương trình các đường thẳng song song với các trục Oy và Ox lần lượt có dạng:

  Ax + by + c = 0.

  6. Điều kiện song song và vuông góc của các đường thẳng y1 = kx1 + q1 và y2 = kx2 + q2 lần lượt có dạng:

  

  7. Phương trình của đường tròn bán kính R và tâm lần lượt tại các điểm O (0; 0) và C (xo; yo) có dạng:

  8. Phương trình:

  là phương trình của một parabol có đỉnh tại một điểm có hoành độ

• Hình hộp chữ nhật hệ thống Cartesian tọa độ trong không gian

  1. Khoảng cách giữa hai điểm A1 (x1; y1; z1) và A2 (x2; y2; z2) được tìm bằng công thức:

  2. Tọa độ (x; y; z) của giữa đoạn thẳng có đầu là A1 (x1; y1; z1) và A2 (x2; y2; z2) được tìm thấy bằng công thức:

  3. Môđun của một vectơ cho bởi tọa độ của nó được tìm thấy bằng công thức:

  

  4. Khi vectơ được thêm vào, tọa độ tương ứng của chúng sẽ được thêm vào và khi một vectơ được nhân với một số, tất cả các tọa độ của nó sẽ được nhân với số này, tức là công thức hợp lệ:

  5. Vectơ đơn vị đồng hướng với vectơ được tìm bằng công thức:

  6. Tích vô hướng của vectơ là một số:

  

  đâu là góc giữa các vectơ.

  7. Sản phẩm vô hướng vectơ

  

  8. Côsin của góc giữa các vectơ và được tìm bằng công thức:

  9. Cần thiết và đủ điều kiện tính vuông góc của vectơ và có dạng:

  10. Phương trình tổng quát của mặt phẳng, vuông góc với vectơ giống như:

  Ax + by + cz + d = 0.

  11. Phương trình của mặt phẳng vuông góc với vectơ và đi qua điểm (xo; yo; zo) có dạng:

  A (x - xo) + b (y - yo) + c (z - zo) = 0.

  12. Phương trình mặt cầu tâm O (0; 0; 0) được viết dưới dạng

Giáo dục là những gì còn lại sau khi mọi thứ được dạy ở trường bị lãng quên.

Igor Khmelinsky, một nhà khoa học Novosibirsk, hiện đang làm việc tại Bồ Đào Nha, đã chứng minh rằng nếu không ghi nhớ trực tiếp các văn bản và công thức, việc phát triển trí nhớ trừu tượng ở trẻ em rất khó khăn. Đây là phần trích từ bài báo của anh ấyNhững bài học cải cách giáo dụcở Châu Âu và các nước thuộc Liên Xô cũ "

Học thuộc lòng và ghi nhớ dài hạn

Việc thiếu hiểu biết về bảng cửu chương gây ra hậu quả nghiêm trọng hơn là không thể phát hiện ra lỗi trong các phép tính trên máy tính bỏ túi. Trí nhớ dài hạn của chúng ta hoạt động dựa trên nguyên tắc của một cơ sở dữ liệu liên kết, tức là, một số yếu tố thông tin, khi được ghi nhớ, sẽ được liên kết với những người khác dựa trên các liên kết được thiết lập tại thời điểm làm quen với chúng. Do đó, để hình thành nền tảng kiến ​​thức về bất kỳ môn học, ví dụ, trong số học, trước tiên bạn cần phải học thuộc lòng một cái gì đó. Hơn nữa, thông tin mới đến sẽ đến từ trí nhớ ngắn hạn thành dài hạn, nếu trong một khoảng thời gian ngắn (vài ngày) chúng ta gặp nó nhiều lần, và tốt nhất là trong những hoàn cảnh khác nhau (góp phần tạo ra các liên kết hữu ích). Tuy nhiên, trong bộ nhớ vĩnh viễn không có kiến ​​thức về số học, các yếu tố thông tin mới đến được liên kết với các yếu tố không liên quan gì đến số học - ví dụ, tính cách của giáo viên, thời tiết trên đường phố, v.v. Rõ ràng, việc ghi nhớ như vậy sẽ không mang lại bất kỳ lợi ích thực sự nào cho học sinh - vì các hiệp hội dẫn ra khỏi lĩnh vực môn học này, học sinh sẽ không thể nhớ bất kỳ kiến ​​thức nào liên quan đến số học, ngoại trừ những ý tưởng mơ hồ rằng dường như anh ta có điều gì đó về điều này. đã nghe. Đối với những sinh viên như vậy, vai trò của các hiệp hội bị thiếu thường do loại khác gợi ý - sao chép từ đồng nghiệp, sử dụng các câu hỏi hàng đầu trong chính điều khiển, các công thức từ danh sách các công thức được phép sử dụng, v.v. TẠI đời thực, nếu không được nhắc nhở, một người như vậy hóa ra hoàn toàn bất lực và không thể áp dụng những kiến ​​thức có trong đầu.

Sự hình thành bộ máy toán học, trong đó các công thức không được ghi nhớ, chậm hơn so với các công thức khác. Tại sao? Thứ nhất, các tính chất, định lý mới, mối quan hệ giữa các đối tượng toán học hầu như luôn sử dụng một số tính năng của các công thức và khái niệm đã được nghiên cứu trước đó. Sẽ khó khăn hơn để tập trung sự chú ý của học sinh vào tài liệu mới nếu các tính năng này không thể được lấy lại từ bộ nhớ trong một khoảng thời gian ngắn. Thứ hai, sự thiếu hiểu biết về công thức thuộc lòng cản trở việc tìm kiếm giải pháp cho các vấn đề có ý nghĩa với số lượng lớn các phép toán nhỏ, trong đó yêu cầu không chỉ thực hiện một số phép biến đổi nhất định mà còn phải xác định trình tự của các bước di chuyển này, phân tích việc áp dụng một số công thức trước hai hoặc ba bước.

Thực hành cho thấy rằng trí tuệ và phát triển toán học trẻ em, việc hình thành cơ sở kiến ​​thức và kỹ năng của mình, diễn ra nhanh hơn nhiều nếu hầu hết thông tin được sử dụng (thuộc tính và công thức) nằm trong đầu. Và nó càng mạnh và lâu hơn được giữ ở đó thì càng tốt.

Một trong những các loại phức tạp tập hợp là một tập hợp các công thức toán học. Công thức là các văn bản bao gồm các phông chữ bằng tiếng Nga, tiếng Latinh và tiếng Hy Lạp, trực tiếp và nghiêng, nhạt, đậm, với một số lượng lớn toán học và các dấu hiệu khác, chỉ mục trên dòng trên cùng và dưới cùng của phông chữ và các ký tự kích thước lớn khác nhau. Phạm vi phông chữ để nhập công thức là ít nhất 2.000 ký tự. Bảng ký tự trong WORD-98 bao gồm 1148 ký tự.

Sự khác biệt chính giữa tập hợp công thức và tất cả các loại tập hợp khác là tập hợp công thức ở dạng cổ điển của nó không được tạo thành các đường song song, mà chiếm một phần nhất định của diện tích dải.

Công thức- một biểu thức toán học hoặc hóa học, trong đó, với sự trợ giúp của các con số, ký hiệu và các ký tự đặc biệt, mối quan hệ giữa các đại lượng nhất định được thể hiện dưới dạng điều kiện.

Con số- các dấu hiệu biểu thị hoặc biểu thị số (đại lượng). Các con số là tiếng Ả Rập và La Mã.

Chữ số Ả Rập: 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Các chữ số Ả Rập thay đổi ý nghĩa của chúng tùy thuộc vào vị trí mà chúng chiếm giữ trong một loạt các ký tự kỹ thuật số. Chữ số Ả Rập được chia thành hai lớp - thứ nhất - đơn vị, hàng chục, hàng trăm; Thứ 2 - hàng nghìn, hàng chục nghìn, hàng trăm nghìn, v.v.

Chữ số la mã. Có bảy ký tự số cơ bản: I - một, V - năm, X - mười, L - năm mươi, C - một trăm, D - năm trăm, M - một nghìn. Các chữ số La Mã có giá trị không đổi, vì vậy các số có được bằng cách cộng hoặc trừ các ký tự kỹ thuật số. Ví dụ: 28 = XXVIII (10 + 10 + 5 + 1 + 1+ 1); 29 \ u003d XXIX (10 + 10 -1 + 10); 150 = CL (100 + 50); 200 = SS (100 + 100); 1980 = MĐCCCCLXXX (1000 + 500 + 100 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 10 + 10); Năm 2002 = MMII (1000 + 1000 + 1 + 1).

Các chữ số La Mã thường biểu thị các thế kỷ (thế kỷ XV1), số quyển (quyển IX), chương (chương VII), phần (phần II), v.v.

Ký hiệu - biểu thức chữ, là một phần của công thức (ví dụ: ký hiệu toán học: l - chiều dài, λ - tỷ lệ hư hỏng (co ngót), π - tỷ lệ giữa chu vi và đường kính, v.v ...; ký hiệu hóa học: Al - nhôm, Pb - chì, H - hiđro, v.v.).

Tỷ lệ cược- các số trước các ký hiệu, ví dụ 2H 2 O; 4sinx. Các ký hiệu và số thường có chỉ số trên (ở dòng trên cùng) và chỉ số dưới (ở dòng dưới), giải thích ý nghĩa của các chỉ số, (ví dụ: λ c - độ co tuyến tính, G T - khối lượng lý thuyết vật đúc, C f - khối lượng thực của vật đúc); hoặc chỉ ra các phép toán (ví dụ: x 2, y 3, z -2, v.v.); hoặc cho biết số nguyên tử trong phân tử và số điện tích ion trong công thức hóa học(ví dụ: CH 4). Trong công thức, cũng có các chỉ số cho các chỉ số: chỉ số trên đến chỉ số trên - chỉ số trên siêu chỉ mục, chỉ số dưới thành chỉ số trên - chỉ số trên chỉ mục con, chỉ số trên thành chỉ số dưới - siêu chỉ số dưới và chỉ số dưới thành chỉ số dưới - chỉ số phụ thấp hơn.

Dấu hiệu của các phép toán và tỷ lệ - phép cộng "+", phép trừ "-", đẳng thức "=", phép nhân "x"; hành động chia được biểu thị bằng thước ngang, thước này sẽ được gọi là thước phân số hoặc thước chia.

(9.12)

Dòng chính- một dòng trong đó các dấu hiệu chính của các phép toán và tỷ lệ được đặt.

Phân loại công thức.

Công thức toán họcđược chia theo độ phức tạp của tập hợp, tùy thuộc vào thành phần của công thức (một dòng, hai dòng, nhiều dòng) và độ bão hòa của nó với các dấu hiệu và ký hiệu toán học khác nhau, chỉ số, chỉ số phụ, chỉ số siêu và đóng dấu. Theo độ phức tạp của tập hợp, tất cả các công thức toán học có thể được chia theo điều kiện thành bốn nhóm chính và một nhóm bổ sung:

1 nhóm. Công thức đường đơn (9.13-9.16);

2 nhóm. Công thức hai dòng (9.17-9.19). Trên thực tế, những f-ly này bao gồm 3 dòng;

Nhóm thứ 3. Công thức ba dòng (9,20-9,23). Trên thực tế, những f-ly này bao gồm 5 dòng;

4 nhóm. Công thức nhiều dòng (9,24-9,26);

Nhóm bổ sung (9,27-9,29).

Khi phân bổ công thức thành các nhóm phức tạp, độ phức tạp của việc nhập và thời gian dành cho việc nhập đã được tính đến.

Nhóm II. Công thức hai dòng:

(9.29)

Quy tắc nhập công thức toán học.

Khi gõ văn bản toán học, các quy tắc cơ bản sau đây phải được tuân thủ.

Quay số con số trong công thức ở kiểu la mã, chẳng hạn 2ax; vườn bách thú.

Thuật ngữ lượng giác và toán học viết tắt, Ví dụ sin, cos, tg, ctg, arcsin. Ig, lim vv, gõ vào phông chữ Bảng chữ cái Latinh phác thảo ánh sáng thẳng.

Các từ viết tắt trong chỉ mục gõ bằng kiểu la mã của Nga ở dòng dưới cùng.

Chữ viết tắt của các đơn vị vật lý, hệ mét và kỹ thuật, được biểu thị bằng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Nga, hãy nhập văn bản bằng kiểu đơn giản không có dấu chấm, ví dụ: 127 V, 20 kW. Các tên giống nhau, được biểu thị bằng các chữ cái trong bảng chữ cái Latinh, cũng nên được nhập bằng kiểu la mã không có dấu chấm, chẳng hạn. 120 V, 20 kW trừ khi có quy định khác trong bản gốc.

Ký hiệu (hoặc số và ký hiệu), nối tiếp nhau và không được phân tách bởi bất kỳ ký tự nào, quay số không ngắt, ví dụ: 2xy; 4 năm.

Dấu câu trong công thức, hãy nhập phông chữ ánh sáng trực tiếp. Dấu phẩy bên trong công thức phải được phân tách khỏi phần tử tiếp theo của công thức bằng 3 p. dấu phẩy không được phân cách với phần tử trước đó của công thức; từ chỉ số phụ trước đó, dấu phẩy bị loại bỏ bởi 1 p.

dấu chấm lửngở dòng dưới cùng, quay số với các dấu chấm, được chia nhỏ thành các chốt. Từ các phần tử trước đó và tiếp theo của công thức, các điểm cũng nên được loại bỏ bằng dấu chấm nửa, ví dụ:

(9.30)

Ký hiệu(hoặc số và ký hiệu) nối tiếp nhau, không tách rời nhau, nhưng gõ không ngắt.

Dấu hiệu của các phép toán và tỷ lệ, cũng như dấu hiệu của hình ảnh hình học, Như là, = ,< ,> , + , - , đánh bại các phần tử trước và sau của công thức 2 p

Thuật ngữ toán học viết tắtđánh bại các phần tử trước và sau của công thức 2 p.

Số mũ, theo sau ngay sau thuật ngữ toán học, hãy nhập gần với nó và ngắt sau số mũ.

Bức thư "d" (có nghĩa là "vi phân"), δ (theo nghĩa "đạo hàm riêng") và ∆ (theo nghĩa "tăng") đánh bại phần tử trước của công thức 2 p., so với ký hiệu tiếp theo dấu chỉ định không chống trả.

Tên viết tắt của các đơn vị đo lường vật lý và kỹ thuật và số liệu đo lường trong công thức, đánh bại 3 điểm so với các số và ký hiệu mà chúng tham chiếu.

Dấu hiệu ° , " , " đánh bại ký tự tiếp theo (hoặc số) 2 điểm, các ký tự được chỉ định không đánh bại ký tự trước đó.

Dấu câu theo một công thức, đừng thoát khỏi nó.

Hàng luồng ra trong công thức, chúng được nhập vào các dấu chấm, sử dụng một nửa chốt giữa chúng.

Các công thức được nhập vào lựa chọn với văn bản, loại bỏ các văn bản bán ghim trước đó và tiếp theo; khoảng đệm này không giảm, nhưng tăng lên khi dòng bị tắt. Đồng thời tắt các công thức nối tiếp nhau trong vùng chọn với văn bản.

Một số công thức được đặt trong một dòng, được tắt ở giữa, đánh bại nhau với khoảng cách không nhỏ hơn một chốt và không quá 1/2 hình vuông.

Các công thức giải thích nhỏ, được nhập trên cùng một dòng với công thức chính, nên được tắt ở mép bên phải của dòng hoặc đặt bằng hai chốt từ biểu thức chính (trừ khi được chỉ định khác trong bản gốc).

Số thứ tự công thức, nhập các số có cùng kích thước với công thức một dòng và tắt ở bên phải, ví dụ:

X + Y = 2 (9.31)

Nếu công thức không phù hợp với định dạng dòng, và nó không thể được chuyển, nó được phép nhập nó với kích thước nhỏ hơn.

Dấu gạch nối trong công thức là không mong muốn. Để tránh gạch nối, nó được phép giảm khoảng cách giữa các phần tử công thức. Nếu bằng cách giảm khoảng trắng, không thể đưa công thức về định dạng dòng mong muốn, thì dấu gạch ngang được phép:

1) về các dấu hiệu của mối quan hệ giữa bên trái và đúng bộ phận công thức ( = ,>,< );

2) về các dấu hiệu của phép cộng hoặc phép trừ (+, - );

3) về dấu của phép nhân (x). Trong trường hợp này, dòng tiếp theo bắt đầu bằng dấu tại đó công thức kết thúc ở dòng trước. Khi chuyển các công thức phải đảm bảo phần được chuyển không nhỏ lắm, các biểu thức đặt trong ngoặc, các biểu thức liên quan đến dấu của căn, tích, tổng không bị gãy; không được phép chia chỉ số, số mũ, phân số.

Trong các công thức được đánh số, số của công thức, trong trường hợp chuyển nó, được đặt ở mức của dòng trung tâm của phần được chuyển của công thức. Nếu đánh số thứ tự không vừa với dòng, nó được đặt ở cạnh và tắt sang cạnh bên phải. Các công thức, tử số hoặc mẫu số không phù hợp với định dạng tập hợp đã chỉ định, được nhập bằng phông chữ có kích thước nhỏ hơn hoặc bằng phông chữ có cùng kích thước, nhưng ở hai dòng có dấu gạch nối.

Nếu trong quá trình chuyển công thức mà thước chia hoặc thước gốc bị gãy thì vị trí đứt của mỗi thước được biểu thị bằng các mũi tên.

Các mũi tên không được đặt gần các ký hiệu toán học.

Không cần thêm lời khuyên, đây là:

Nó thường được gọi là danh tính Euler theo tên nhà toán học vĩ đại người Thụy Sĩ Leonhard Euler (1707-1783). Nó có thể được nhìn thấy trên áo phông và cốc cà phê, và một số cuộc thăm dò giữa các nhà toán học và vật lý học đã vinh danh nó với danh hiệu “phương trình vĩ đại nhất” (Crease, Robert P., “Phương trình vĩ đại nhất từng có”).

Cảm giác về vẻ đẹp và sự sang trọng của bản sắc đến từ thực tế là nó kết hợp trong một hình thức đơn giản nhất những con số quan trọng hằng số toán học: - cơ số lôgarit tự nhiên, — Căn bậc hai từ và. Nhìn vào nó một cách cẩn thận, hầu hết mọi người nghĩ về số mũ: nó có nghĩa là gì để nâng một số lên một lũy thừa tưởng tượng? Kiên nhẫn, kiên nhẫn, chúng ta sẽ đạt được điều đó.

Để giải thích công thức này xuất phát từ đâu, trước tiên chúng ta phải có được công thức tổng quát hơn do Euler tìm ra và sau đó chỉ ra rằng đẳng thức của chúng ta chỉ là một trường hợp đặc biệt của công thức này. Công thức chung tự nó tuyệt vời và có nhiều ứng dụng tuyệt vời trong toán học, vật lý và kỹ thuật.

Bước đầu tiên trong hành trình của chúng tôi là hiểu rằng hầu hết các hàm trong toán học có thể được biểu diễn dưới dạng tổng vô hạn bởi quyền hạn của đối số. Đó là một ví dụ:

Nó được đo bằng radian, không phải độ. Chúng tôi có thể nhận được một giá trị gần đúng cho một giá trị cụ thể, chỉ bằng cách sử dụng một vài số hạng đầu tiên của chuỗi. Đây là một ví dụ về chuỗi Taylor và khá dễ dàng để suy ra công thức này bằng cách sử dụng phép tính. Ở đây tôi không cho rằng kiến ​​thức phân tích toán học vì vậy tôi yêu cầu người đọc hãy tin tưởng vào nó.

Công thức tương ứng của cosin là:

Số là một hằng số bằng, và Euler là người đầu tiên nhận ra tầm quan trọng cơ bản của nó trong toán học và suy ra công thức cuối cùng (hai công thức trước đó được tìm ra bởi Isaac Newton). Sách đã được viết về con số (ví dụ, Maor, E. (1994). E, câu chuyện về một con số. Trường Đại học Princeton Nhấn), bạn cũng có thể đọc về anh ấy.

Vào khoảng năm 1740, Euler đã xem xét ba công thức này, được sắp xếp gần như chúng ta thấy ở đây. Rõ ràng ngay lập tức rằng mỗi thuật ngữ trong công thức thứ ba cũng xuất hiện trong bất kỳ thuật ngữ nào trước đó. Tuy nhiên, một nửa số hạng trong số bằng đầu tiên là số âm, trong khi mọi số hạng ở cuối là số dương. Hầu hết mọi người sẽ để nó theo cách đó, nhưng Euler đã nhìn thấy một khuôn mẫu trong tất cả. Ông là người đầu tiên thêm hai công thức đầu tiên:

Hãy chú ý đến chuỗi ký tự trong chuỗi này:, nó được lặp lại theo nhóm 4. Euler nhận thấy rằng chuỗi ký tự giống nhau thu được khi chúng ta nâng đơn vị tưởng tượng lên lũy thừa số nguyên:

Điều này có nghĩa là bạn có thể thay thế trong công thức cuối cùng bằng và nhận được:

Bây giờ các dấu hiệu tương ứng với các dấu hiệu trong công thức trước đó và chuỗi mới giống với chuỗi trước đó, ngoại trừ các số hạng mở rộng được nhân với. Đó là, chúng tôi nhận được chính xác

Đây là một kết quả đáng kinh ngạc và bí ẩn, nó chỉ ra sự tồn tại của mối quan hệ chặt chẽ giữa số với sin và cosin trong lượng giác, mặc dù nó chỉ được biết đến từ các bài toán không liên quan đến hình học hoặc tam giác. Tuy nhiên, ngoài sự sang trọng và kỳ lạ của nó, sẽ rất khó để đánh giá quá cao tầm quan trọng của công thức này trong toán học, công thức này đã tăng lên kể từ khi nó được phát hiện. Nó xuất hiện ở khắp mọi nơi, và gần đây một cuốn sách khoảng 400 trang (Công thức tuyệt vời của Nahin P. Tiến sĩ Euler, 2006) đã được xuất bản mô tả một số ứng dụng của công thức này.

Lưu ý rằng câu hỏi cũ về số mũ tưởng tượng giờ đã được giải quyết: để nâng lên thành lũy thừa tưởng tượng, chỉ cần đưa số ảo vào công thức của Euler. Nếu cơ số là một số khác, chỉ cần sửa đổi một chút.