Điều gì là bình thường? Nói một cách đơn giản, pháp tuyến là vuông góc. Tức là vectơ pháp tuyến của một đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho. Rõ ràng là bất kỳ đường thẳng nào cũng có vô số chúng (cũng như các vectơ chỉ đạo), và tất cả các vectơ pháp tuyến của đường thẳng sẽ thẳng hàng (có hướng hay không - không quan trọng).

Đối phó với chúng thậm chí sẽ dễ dàng hơn so với các vectơ chỉ hướng:

Nếu dòng được cho bởi phương trình tổng quát trong hệ thống hình chữ nhật tọa độ thì vectơ là vectơ pháp tuyến của đoạn thẳng đã cho.

Nếu tọa độ của vectơ chỉ phương phải được “loại bỏ” một cách cẩn thận khỏi phương trình, thì tọa độ của vectơ pháp tuyến chỉ đơn giản là “loại bỏ”.

Vectơ pháp tuyến luôn trực giao với vectơ chỉ phương của đoạn thẳng. Hãy đảm bảo rằng các vectơ này là trực giao bằng cách sử dụng tích vô hướng:

Tôi sẽ đưa ra các ví dụ với các phương trình tương tự như đối với vectơ chỉ hướng:

Có thể viết phương trình của một đường thẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến được không? Nếu đã biết vectơ pháp tuyến, thì hướng của đường thẳng cũng được xác định duy nhất - đây là “cấu trúc cứng” với góc 90 độ.

Làm thế nào để viết một phương trình của một đường thẳng cho trước một điểm và một vectơ pháp tuyến?

Nếu biết một điểm nào đó thuộc đường thẳng và vectơ pháp tuyến của đường thẳng này thì phương trình của đường thẳng này được biểu thị bằng công thức:

Lập phương trình đường thẳng cho trước một điểm và một vectơ pháp tuyến. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Giải pháp: Sử dụng công thức:

Phương trình tổng quát của đường thẳng thu được, hãy kiểm tra:

1) "Xóa" tọa độ của vectơ pháp tuyến khỏi phương trình: - đúng vậy, vectơ gốc nhận được từ điều kiện (hoặc vectơ phải thẳng hàng với vectơ ban đầu).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình hay không:

Bình đẳng thực sự.

Sau khi chúng tôi tin rằng phương trình là đúng, chúng tôi sẽ hoàn thành phần thứ hai, dễ dàng hơn của nhiệm vụ. Chúng ta rút ra vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Câu trả lời:

Trong hình vẽ, tình huống như sau:

Đối với mục đích đào tạo, một nhiệm vụ tương tự cho giải pháp độc lập:

Lập phương trình đường thẳng cho trước một điểm và một vectơ pháp tuyến. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng.

Phần cuối cùng của bài học sẽ được dành cho những điều ít phổ biến hơn, nhưng cũng loài quan trọng phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng

Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn thẳng.
Phương trình của một đường thẳng ở dạng tham số

Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn thẳng có dạng, trong đó là các hằng số khác nhau. Một số loại phương trình không thể được biểu diễn ở dạng này, ví dụ, tỷ lệ thuận (vì số hạng tự do bằng 0 và không có cách nào để lấy một ở vế phải).

Nói một cách hình tượng, đây là một loại phương trình "kỹ thuật". Nhiệm vụ thông thường là biểu diễn phương trình tổng quát của một đường thẳng như một phương trình của một đường thẳng trong các đoạn thẳng. Tại sao nó lại thuận tiện? Phương trình của một đường thẳng trong các đoạn cho phép bạn nhanh chóng tìm thấy các giao điểm của một đường thẳng với trục tọa độ, điều này rất quan trọng trong một số vấn đề của toán học cao hơn.

Tìm giao điểm của đường thẳng với trục. Chúng tôi đặt lại chữ “y” và phương trình có dạng. Điểm mong muốn nhận được tự động:.

Tương tự với trục là điểm mà đường thẳng giao với trục y.

Các hành động mà tôi vừa giải thích chi tiết được thực hiện bằng lời nói.

Cho một đường thẳng. Lập phương trình của một đường thẳng thành các đoạn thẳng và xác định các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.

Giải: Hãy đưa phương trình về dạng. Đầu tiên, chúng tôi chuyển điều khoản miễn phí sang bên phải:

Để có một đơn vị ở bên phải, chúng ta chia mỗi số hạng của phương trình cho -11:

Chúng tôi tạo ra các phân số có ba câu chuyện:

Các giao điểm của đường thẳng với các trục tọa độ xuất hiện:

Câu trả lời:

Nó vẫn còn để gắn một cái thước và vẽ một đường thẳng.

Dễ dàng nhận thấy rằng đường thẳng này được xác định duy nhất bởi các đoạn màu đỏ và xanh lục, do đó có tên - “phương trình của một đường thẳng trong các đoạn thẳng”.

Tất nhiên, các điểm không quá khó để tìm ra từ phương trình, nhưng bài toán vẫn hữu ích. Thuật toán được xem xét sẽ được yêu cầu để tìm các giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ, để đưa phương trình đường thẳng bậc hai về dạng chính tắc và trong một số bài toán khác. Do đó, một số đường thẳng cho một giải pháp độc lập:

Lập phương trình của một đường thẳng trong các đoạn thẳng và xác định các giao điểm của nó với các trục tọa độ.

Giải pháp và câu trả lời ở cuối. Đừng quên rằng nếu bạn muốn, bạn có thể vẽ mọi thứ.

Làm thế nào để viết phương trình tham số cho một đường thẳng?

Phương trình tham số các dòng phù hợp hơn với các dòng trong không gian, nhưng nếu không có chúng, phần tóm tắt của chúng ta sẽ không còn nữa.

Nếu biết một điểm nào đó thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng này thì phương trình tham số của đường thẳng này được cho bởi hệ:

Lập phương trình tham số của một đường thẳng với một điểm và một vectơ chỉ phương

Giải pháp đã kết thúc trước khi nó có thể bắt đầu:

Tham số "te" có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ "trừ vô cực" đến "cộng vô cùng" và mỗi giá trị tham số tương ứng với một điểm cụ thể của mặt phẳng. Ví dụ: nếu, thì chúng tôi nhận được một điểm .

Vấn đề nghịch đảo: làm thế nào để kiểm tra xem một điểm điều kiện có thuộc một dòng cho trước hay không?

Chúng ta hãy thay tọa độ của điểm vào phương trình tham số thu được:

Từ cả hai phương trình, ta thấy rằng hệ thống nhất quán và có một nghiệm duy nhất.

Chúng ta hãy xem xét các nhiệm vụ có ý nghĩa hơn:

Lập phương trình tham số của một đường thẳng

Giải pháp: Theo điều kiện, dòng được cho trong nhìn chung. Để lập phương trình tham số của một đường thẳng, bạn cần biết vectơ chỉ phương của nó và một số điểm thuộc đường thẳng này.

Hãy tìm véc tơ chỉ phương:

Bây giờ bạn cần tìm một số điểm thuộc đường thẳng (bất kỳ điểm nào sẽ làm được), vì mục đích này, thật tiện lợi khi viết lại phương trình tổng quát dưới dạng phương trình có hệ số góc:

Tất nhiên, nó cầu xin điểm

Chúng tôi soạn phương trình tham số của đường thẳng:

Và cuối cùng, một nhiệm vụ sáng tạo cho một giải pháp độc lập.

Lập phương trình tham số của một đường thẳng nếu biết điểm thuộc nó và vectơ pháp tuyến

Nhiệm vụ có thể được hoàn thành cách duy nhất. Một trong những phiên bản của giải pháp và câu trả lời ở cuối.

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 2: Bài giải: Tìm hệ số góc:

Chúng tôi lập phương trình của một đường thẳng bằng cách sử dụng một điểm và hệ số góc :

Câu trả lời:

Ví dụ 4: Giải: Ta sẽ lập phương trình của một đường thẳng theo công thức:

Câu trả lời:

Ví dụ 6: Giải pháp: Sử dụng công thức:

Câu trả lời: (trục y)

Ví dụ 8: Dung dịch: Hãy lập phương trình của một đường thẳng trên hai điểm:

Nhân cả hai vế với -4:

Và chia cho 5:

Câu trả lời:

Ví dụ 10: Dung dịch: Sử dụng công thức:

Chúng tôi giảm đi -2:

Vectơ hướng trực tiếp:
Câu trả lời:

Ví dụ 12:
một) Dung dịch: Hãy biến đổi phương trình:

Theo cách này:

Câu trả lời:

b) Dung dịch: Hãy biến đổi phương trình:

Theo cách này:

Câu trả lời:

Ví dụ 15: Dung dịch: Đầu tiên, chúng ta viết phương trình tổng quát của một đường thẳng cho trước một điểm và vectơ pháp tuyến :

Nhân với 12:

Chúng ta nhân thêm 2 để sau khi mở ngoặc thứ hai, loại bỏ phân số:

Vectơ hướng trực tiếp:
Chúng tôi lập phương trình tham số của đường thẳng theo điểm và vectơ hướng :
Câu trả lời:

Các bài toán đơn giản nhất về đường thẳng trên mặt phẳng.
Sắp xếp lẫn nhau thẳng thắn. Góc giữa các dòng

Chúng ta tiếp tục xem xét các đường vô hạn-vô hạn này.

Làm thế nào để tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng?
Làm thế nào để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng song song?
Làm thế nào để tìm góc giữa hai đường thẳng?

Sự sắp xếp tương hỗ của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng cho bởi phương trình ở dạng tổng quát:

Trường hợp hội trường hát theo hợp ca. Hai dòng có thể:

1) trận đấu;

2) được song song :;

3) hoặc cắt nhau tại một điểm:.

Hãy nhớ ký hiệu toán học giao nhau, nó sẽ xảy ra rất thường xuyên. Mục nhập có nghĩa là đường thẳng giao với đường thẳng tại điểm.

Làm thế nào để xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng?

Hãy bắt đầu với trường hợp đầu tiên:

Hai dòng trùng nhau nếu và chỉ khi các hệ số tương ứng của chúng tỷ lệ thuận với nhau, nghĩa là có một số lượng "lambda" mà các giá trị bằng nhau giữ nguyên

Hãy xem xét các đoạn thẳng và lập ba phương trình từ các hệ số tương ứng:. Do đó, từ mỗi phương trình, các đường thẳng này trùng nhau.

Thật vậy, nếu tất cả các hệ số của phương trình nhân với -1 (thay đổi dấu hiệu) và tất cả các hệ số của phương trình giảm đi 2, bạn nhận được cùng một phương trình:.

Trường hợp thứ hai khi các đường thẳng song song:

Hai đường thẳng song song nếu và chỉ khi hệ số của chúng tại các biến tỷ lệ với nhau: , nhưng .

Ví dụ, hãy xem xét hai đường thẳng. Chúng tôi kiểm tra tỷ lệ của các hệ số tương ứng cho các biến:

Tuy nhiên, rõ ràng là.

Và trường hợp thứ ba, khi các đường cắt nhau:

Hai đường thẳng cắt nhau nếu và chỉ khi các hệ số của chúng tại các biến KHÔNG tỷ lệ với nhau, nghĩa là KHÔNG có giá trị "lambda" nào mà các giá trị bằng nhau được thỏa mãn

Vì vậy, đối với các đoạn thẳng, chúng ta sẽ tạo ra một hệ thống:

Nó theo sau từ phương trình đầu tiên, và từ phương trình thứ hai:, nghĩa là hệ không nhất quán (không có nghiệm). Như vậy, các hệ số tại các biến không tỷ lệ thuận với nhau.

Kết luận: các đường cắt nhau

Trong các bài toán thực tế, có thể sử dụng sơ đồ giải pháp vừa xem xét. Nhân tiện, nó rất giống với thuật toán kiểm tra các vectơ về độ thẳng hàng. Nhưng có một gói văn minh hơn:

Tìm vị trí tương đối của các dòng:

Giải pháp dựa trên việc nghiên cứu vectơ chỉ đạo của đường thẳng:

a) Từ phương trình ta tìm được vectơ chỉ phương của các đường thẳng: .

, do đó các vectơ không thẳng hàng và các đường thẳng cắt nhau.

b) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Các đường thẳng có véc tơ chỉ hướng giống nhau, có nghĩa là chúng song song hoặc giống nhau. Ở đây yếu tố quyết định là không cần thiết.

Rõ ràng, các hệ số của ẩn số là tỷ lệ thuận, trong khi.

Hãy cùng tìm hiểu xem đẳng thức có đúng không:

Bằng cách này,

c) Tìm vectơ chỉ phương của các đường thẳng:

Hãy tính định thức, bao gồm tọa độ của các vectơ này:
, do đó, các vectơ hướng thẳng hàng. Các đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Hệ số tỷ lệ "lambda" có thể được tìm thấy trực tiếp bằng tỷ lệ của các vectơ hướng thẳng hàng. Tuy nhiên, cũng có thể thông qua các hệ số của chính các phương trình: .

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu xem đẳng thức là đúng. Cả hai điều khoản miễn phí đều bằng 0, vì vậy:

Giá trị kết quả thỏa mãn phương trình này (bất kỳ số nào thường thỏa mãn nó).

Do đó, các dòng trùng với nhau.

Làm thế nào để vẽ một đường thẳng song song với một đường cho trước?

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường thẳng song song đi qua điểm.

Lời giải: Kí hiệu đoạn thẳng chưa biết bằng chữ cái. Điều kiện nói gì về nó? Đường thẳng đi qua điểm. Và nếu các đường thẳng song song, thì rõ ràng vectơ chỉ thị của đường thẳng "ce" cũng thích hợp để xây dựng đường thẳng "te".

Chúng tôi lấy ra véc tơ chỉ phương từ phương trình:

Hình dạng của ví dụ trông đơn giản:

Xác minh phân tích bao gồm các bước sau:

1) Chúng tôi kiểm tra xem các đường thẳng có véc tơ chỉ phương giống nhau không (nếu phương trình của đường thẳng không được đơn giản hóa đúng cách, thì các véc tơ sẽ thẳng hàng).

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả hay không.

Việc xác minh phân tích trong hầu hết các trường hợp đều dễ dàng thực hiện bằng miệng. Nhìn vào hai phương trình và nhiều bạn sẽ nhanh chóng hình dung ra các đường thẳng song song như thế nào mà không cần hình vẽ.

Ví dụ để tự giải quyết ngày hôm nay sẽ là sáng tạo.

Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm song song với đường thẳng nếu

Con đường ngắn nhất là ở cuối.

Làm thế nào để tìm được giao điểm của hai đường thẳng?

Nếu thẳng cắt nhau tại điểm thì tọa độ của nó là nghiệm của hệ Các phương trình tuyến tính

Làm thế nào để tìm giao điểm của các đường? Giải quyết hệ thống.

Của bạn đây cảm giác hình học hệ hai phương trình tuyến tính với hai ẩn số là hai đường thẳng cắt nhau (thường gặp nhất) trong mặt phẳng.

Tìm giao điểm của các đường

Giải pháp: Có hai cách để giải quyết - đồ họa và phân tích.

Cách đồ họa là chỉ cần vẽ các đường đã cho và tìm ra điểm giao nhau trực tiếp từ hình vẽ:

Đây là quan điểm của chúng tôi:. Để kiểm tra, bạn nên thay thế tọa độ của nó vào mỗi phương trình của một đường thẳng, chúng phải phù hợp với cả ở đó và ở đó. Nói cách khác, tọa độ của một điểm là nghiệm của hệ. Trong thực tế, chúng tôi đã xem xét một phương pháp đồ họa để giải một hệ phương trình tuyến tính với hai phương trình, hai ẩn số.

Phương pháp đồ họa, tất nhiên, không phải là xấu, nhưng có những nhược điểm đáng chú ý. Không, vấn đề không phải là học sinh lớp bảy quyết định theo cách này, vấn đề là sẽ mất thời gian để vẽ chính xác và CHÍNH XÁC. Ngoài ra, một số đường không dễ xây dựng và bản thân điểm giao nhau có thể nằm ở đâu đó trong vương quốc thứ ba mươi bên ngoài trang vở.

Do đó, việc tìm kiếm điểm giao nhau sẽ dễ dàng hơn phương pháp phân tích. Hãy giải quyết hệ thống:

Để giải hệ thống, phương pháp cộng các phương trình theo từng số hạng đã được sử dụng.

Việc xác minh là không đáng kể - tọa độ của giao điểm phải thỏa mãn mỗi phương trình của hệ thống.

Tìm giao điểm của các đường nếu chúng cắt nhau.

Đây là một ví dụ tự làm. Thật tiện lợi khi chia vấn đề thành nhiều giai đoạn. Phân tích điều kiện cho thấy rằng cần phải:
1) Viết phương trình của đường thẳng.
2) Viết phương trình của đường thẳng.
3) Tìm ra vị trí tương đối của các đường.
4) Nếu các đường thẳng cắt nhau, sau đó tìm giao điểm.

Sự phát triển của một thuật toán hành động là điển hình cho nhiều vấn đề hình học, và tôi sẽ tập trung vào điều này nhiều lần.

Giải pháp hoàn chỉnh và câu trả lời ở cuối:

Đường thẳng vuông góc. Khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng.
Góc giữa các dòng

Làm thế nào để vẽ một đường vuông góc với một cho trước?

Đường thẳng được cho bởi phương trình. Viết phương trình đường trung trực đi qua một điểm.

Giải pháp: Nó được biết bằng cách giả định rằng. Sẽ rất hay nếu bạn tìm được vectơ chỉ phương của đường thẳng. Vì các đường thẳng vuông góc nên mẹo rất đơn giản:

Từ phương trình, chúng ta "loại bỏ" vectơ pháp tuyến:, đó sẽ là vectơ chỉ đạo của đường thẳng.

Chúng ta lập phương trình của một đường thẳng bởi một điểm và một vectơ chỉ đạo:

Câu trả lời:

Hãy mở bản phác thảo hình học:

Phân tích xác minh giải pháp:

1) Trích xuất các vectơ chỉ hướng từ các phương trình và sử dụng tích vô hướng của vectơ, chúng tôi kết luận rằng các đường thực sự vuông góc:.

Nhân tiện, bạn có thể sử dụng các vectơ bình thường, nó thậm chí còn dễ dàng hơn.

2) Kiểm tra xem điểm có thỏa mãn phương trình kết quả không .

Việc xác minh, một lần nữa, rất dễ thực hiện bằng lời nói.

Tìm giao điểm của các đường vuông góc, nếu biết phương trình và chấm.

Đây là một ví dụ tự làm. Có một số hành động trong nhiệm vụ, vì vậy sẽ thuận tiện để sắp xếp giải pháp theo từng điểm.

Khoảng cách từ điểm đến dòng

Khoảng cách trong hình học theo truyền thống được ký hiệu bằng chữ cái Hy Lạp "p", ví dụ: - khoảng cách từ điểm "m" đến đường thẳng "d".

Khoảng cách từ điểm đến dòng được thể hiện bằng công thức

Tìm khoảng cách từ một điểm đến một đoạn thẳng

Giải pháp: tất cả những gì bạn cần làm là cắm các con số vào công thức một cách cẩn thận và thực hiện các phép tính:

Câu trả lời:

Hãy thực hiện bản vẽ:

Khoảng cách tìm được từ điểm đến đoạn thẳng bằng độ dài của đoạn thẳng màu đỏ. Nếu bạn thực hiện một bản vẽ trên giấy ca rô theo tỷ lệ 1 đơn vị. \ u003d 1 cm (2 ô) thì có thể đo khoảng cách bằng thước thông thường.

Xem xét một nhiệm vụ khác theo bản vẽ tương tự:

Làm thế nào để dựng một điểm đối xứng qua một đường thẳng?

Nhiệm vụ là tìm tọa độ của điểm đối xứng với điểm so với đoạn thẳng . Tôi đề xuất thực hiện các hành động của riêng bạn, tuy nhiên, tôi sẽ chỉ định thuật toán giải pháp với kết quả trung gian:

1) Tìm một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng.

2) Tìm giao điểm của các đường thẳng: .

Trong hình học, góc giữa hai đường thẳng được coi là góc NHỎ HƠN, từ đó nó tự động theo đó không thể là góc tù. Trong hình vẽ, góc được chỉ ra bởi vòng cung màu đỏ không được coi là góc giữa các đường cắt nhau. Và người hàng xóm “xanh” hoặc góc “mâm xôi” có định hướng đối lập được coi là như vậy.

Nếu các đường thẳng vuông góc thì có thể lấy góc bất kỳ trong 4 góc làm góc giữa chúng.

Các góc khác nhau như thế nào? Định hướng. Đầu tiên, hướng "cuộn" góc về cơ bản là quan trọng. Thứ hai, một góc định hướng âm được viết với một dấu trừ, ví dụ, nếu.

Tại sao tôi lại nói điều này? Có vẻ như bạn có thể hiểu được bằng khái niệm thông thường về một góc. Thực tế là trong các công thức mà chúng ta sẽ tìm thấy các góc, nó có thể dễ dàng biến ra kết quả âm tính và nó sẽ không làm bạn ngạc nhiên. Một góc có dấu trừ không tệ hơn và có một ý nghĩa hình học rất cụ thể. Trên bản vẽ cho góc âm hãy chắc chắn chỉ ra hướng của nó (theo chiều kim đồng hồ) bằng một mũi tên.

Dựa trên những điều đã nói ở trên, giải pháp được chính thức hóa một cách thuận tiện theo hai bước:

1) Tính tích vô hướng của vectơ chỉ phương của đường thẳng:
nên các đường thẳng không vuông góc.

2) Ta tìm góc giữa các đường bằng công thức:

Bằng cách sử dụng chức năng trái ngược dễ dàng tìm thấy góc của chính nó. Trong trường hợp này, chúng tôi sử dụng độ lẻ của tiếp tuyến cung:

Câu trả lời:

Trong câu trả lời, chúng tôi chỉ ra giá trị chính xác cũng như giá trị gần đúng (tốt nhất là cả độ và radian), được tính bằng máy tính.

Chà, trừ, vậy trừ, không sao. Đây là một minh họa hình học:

Không có gì đáng ngạc nhiên khi góc hóa ra là một hướng âm, bởi vì trong điều kiện của bài toán, con số đầu tiên là một đường thẳng và sự "xoắn" của góc bắt đầu chính xác từ nó.

Ngoài ra còn có một giải pháp thứ ba. Ý tưởng là tính toán góc giữa các vectơ chỉ phương của các đường:

Ở đây chúng ta không nói về một góc có định hướng, mà là “chỉ về một góc”, tức là kết quả chắc chắn sẽ là dương. Nắm bắt được là nó có thể xảy ra góc tù(không phải là một trong những bạn muốn). Trong trường hợp này, bạn sẽ phải đặt trước rằng góc giữa các đường là một góc nhỏ hơn và trừ cosin cung thu được từ radian "pi" (180 độ).

Tìm góc giữa các đường thẳng.

Đây là một ví dụ tự làm. Cố gắng giải quyết nó theo hai cách.

Giải pháp và câu trả lời:

Ví dụ 3: Bài giải: Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng:

Chúng ta sẽ lập phương trình của đường thẳng mong muốn bằng cách sử dụng điểm và vectơ chỉ phương

Lưu ý: ở đây phương trình đầu tiên của hệ được nhân với 5, sau đó phương trình thứ 2 được trừ đi số hạng từ phương trình thứ nhất.
Câu trả lời:

Phương pháp tọa độ rất hiệu quả và cách phổ quát tìm bất kỳ góc hoặc khoảng cách nào giữa các đối tượng lập thể trong không gian. Nếu gia sư toán của bạn có chất lượng cao thì anh ta nên biết. Nếu không, tôi sẽ tư vấn cho phần "C" để thay đổi gia sư. Sự chuẩn bị của tôi cho kỳ thi toán C1-C6 thường bao gồm phân tích các thuật toán và công thức cơ bản được mô tả bên dưới.

Góc giữa đường a và b

Góc giữa các đường thẳng trong không gian là góc giữa bất kỳ đường thẳng cắt nhau nào song song với chúng. Góc này bằng góc giữa các vectơ chỉ hướng của các đường này (hoặc bổ sung cho nó thành 180 độ).

Gia sư toán sử dụng thuật toán nào để tìm góc?

1) Chọn bất kỳ vectơ nào và có hướng của các đường thẳng a và b (song song với chúng).
2) Ta xác định tọa độ của vectơ và theo tọa độ tương ứng của điểm đầu và điểm cuối của chúng (tọa độ của điểm đầu phải được trừ cho tọa độ của điểm cuối của vectơ).
3) Chúng tôi thay thế các tọa độ tìm được vào công thức:
. Để tìm góc của chính nó, bạn cần tìm cosin cung của kết quả.

Bình thường lên máy bay

Pháp tuyến đối với một mặt phẳng là bất kỳ vectơ nào vuông góc với mặt phẳng đó.
Làm thế nào để tìm thấy bình thường?Để tìm tọa độ của pháp tuyến, chỉ cần biết tọa độ của ba điểm M, N, K bất kỳ nằm trong mặt phẳng đã cho. Sử dụng các tọa độ này, chúng tôi tìm tọa độ của các vectơ và yêu cầu rằng các điều kiện và được thỏa mãn. Lập phương trình tích vô hướng của vectơ bằng không, ta lập một hệ phương trình với ba biến, từ đó ta có thể tìm được tọa độ của pháp tuyến.

Ghi chú của gia sư toán : Không nhất thiết phải giải hệ thống hoàn toàn, vì chỉ cần chọn ít nhất một bình thường là đủ. Để làm điều này, bạn có thể thay thế bất kỳ số nào (ví dụ: một) thay vì bất kỳ tọa độ nào chưa biết của nó và giải hệ hai phương trình với hai ẩn số còn lại. Nếu nó không có lời giải, thì điều này có nghĩa là trong họ chuẩn tắc không có ai có đơn vị cho biến đã chọn. Sau đó, thay thế một biến cho một biến khác (một tọa độ khác) và giải quyết hệ thống mới. Nếu bạn bỏ lỡ một lần nữa, thì bình thường của bạn sẽ có một đơn vị dọc theo tọa độ cuối cùng và nó sẽ song song với một số mặt phẳng tọa độ(trong trường hợp này, có thể dễ dàng tìm thấy nó mà không cần hệ thống).

Giả sử rằng chúng ta đã cho một đường thẳng và một mặt phẳng có tọa độ là vectơ chỉ phương và pháp tuyến
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng được tính theo công thức sau:

Để và là hai pháp tuyến bất kỳ của các mặt phẳng đã cho. Khi đó côsin của góc giữa hai mặt phẳng bằng với modulo cosin của góc giữa các pháp tuyến:

Phương trình của một mặt phẳng trong không gian

Các điểm thỏa mãn đẳng thức tạo thành một mặt phẳng với pháp tuyến. Hệ số chịu trách nhiệm về lượng độ lệch (dịch chuyển song song) giữa hai mặt phẳng với cùng một pháp tuyến đã cho. Để viết phương trình của một mặt phẳng, trước tiên bạn phải tìm pháp tuyến của nó (như mô tả ở trên), sau đó thay tọa độ của bất kỳ điểm nào trên mặt phẳng, cùng với tọa độ của pháp tuyến tìm được, vào phương trình và tìm hệ số. .

Vectơ pháp tuyến đối với mặt tại một điểm trùng với pháp tuyến của mặt phẳng tiếp tuyến tại điểm đó.

Vector bình thườngđối với bề mặt tại một điểm cho trước là véc tơ đơn vị áp dụng cho điểm đã cho và song song với phương của pháp tuyến. Đối với mỗi điểm trên bề mặt nhẵn, bạn có thể chỉ định hai vectơ thông thường khác hướng. Nếu một trường liên tục của các vectơ pháp tuyến có thể được xác định trên một bề mặt, thì trường này được cho là xác định định hướng bề mặt (nghĩa là chọn một trong các mặt). Nếu điều này không thể được thực hiện, bề mặt được gọi là không định hướng.

Tương tự được xác định Vector bình thườngđến đường cong tại một điểm cho trước. Rõ ràng là có vô số yếu tố có thể được áp dụng cho đường cong tại một điểm nhất định. vectơ song song chuẩn (tương tự như cách áp dụng vô số vectơ tiếp tuyến không song song vào một bề mặt). Trong số đó, hai phương trình được chọn là trực giao với nhau: vectơ pháp tuyến chính và vectơ pháp tuyến.

Xem thêm

Văn chương

• Pogorelov A. I. Hình học vi phân (tái bản lần thứ 6). M.: Nauka, 1974 (djvu)

Quỹ Wikimedia. 2010.

Từ đồng nghĩa:

• Trận chiến Trebbia (1799)
• Grammonite

Xem "Bình thường" là gì trong các từ điển khác:

THÔNG THƯỜNG- (fr.). Vuông góc với tiếp tuyến được vẽ với đường cong tại điểm đã cho có pháp tuyến đang được tìm kiếm. Từ điển từ ngoại quốc bao gồm trong ngôn ngữ Nga. Chudinov A.N., 1910. Đường vuông góc BÌNH THƯỜNG với tiếp tuyến vẽ ... ... Từ điển các từ nước ngoài của tiếng Nga

thông thường- ổn cả. tiêu chuẩn f. vĩ độ. bình thường. 1. chiếu. Vuông góc với một đường thẳng hoặc mặt phẳng tiếp tuyến, đi qua điểm tiếp tuyến. BASS 1. Dòng bình thường, hoặc bình thường. Trong hình học giải tích, đây là tên của một đường thẳng vuông góc với ... ... Từ điển lịch sử gallicisms của tiếng Nga

thông thường- vuông góc. Con kiến. song song Từ điển từ đồng nghĩa tiếng Nga. danh từ bình thường, số lượng từ đồng nghĩa: 3 binormal (1)… Từ điển đồng nghĩa

THÔNG THƯỜNG- (từ vĩ độ là đường thẳng) đến một đường cong (bề mặt) tại điểm cho trước của nó, một đường thẳng đi qua điểm này và vuông góc với đường tiếp tuyến (mặt phẳng tiếp tuyến) tại điểm này ...

THÔNG THƯỜNG- tên lỗi thời của tiêu chuẩn ... Từ điển Bách khoa toàn thư lớn

THÔNG THƯỜNG- BÌNH THƯỜNG, bình thường, nữ. 1. Vuông góc với một đường thẳng hoặc mặt phẳng tiếp tuyến, đi qua điểm tiếp xúc (mat.). 2. Chi tiết mẫu do nhà máy lắp đặt (công nghệ.). Từ điển Ushakov. D.N. Ushakov. 1935 1940 ... Từ điển giải thích của Ushakov

thông thường- tiêu chuẩn dọc bình thường thực - [L.G.Sumenko. Từ điển Công nghệ Thông tin Anh Nga. M.: GP TsNIIS, 2003.] Chủ đề công nghệ thông tin nói chung Từ đồng nghĩa normalverticalstandardreal EN bình thường ... Sổ tay phiên dịch kỹ thuật

thông thường- và; và. [từ vĩ độ. normalis rectilinear] 1. Mat. Vuông góc với một đường tiếp tuyến hoặc mặt phẳng đi qua điểm tiếp tuyến. 2. Kỹ thuật. Chi tiết về mẫu đã thiết lập. * * * normal I (từ vĩ độ. normal là thẳng) đến một đường cong (bề mặt) trong ... ... từ điển bách khoa

THÔNG THƯỜNG- (Tiếng Pháp bình thường bình thường, chuẩn mực, từ vĩ độ. Normalis thẳng) 1) N. trong tên tiêu chuẩn và cho và và lỗi thời. Tiêu chuẩn. 2) N. trong toán học N. đối với một đường cong (bề mặt) tại một điểm cho trước được gọi là. một đường thẳng đi qua điểm này và vuông góc với tiếp tuyến. ... ... Từ điển bách khoa bách khoa lớn

thông thường- trạng thái bình thường T s viêm fizika atitikmenys: angl. vok bình thường. Normale, f rus. bình thường, franc. Normale, f… ga cuối Fizikosų žodynas

Sách

• Hình học của các phương trình đại số có thể giải được trong bộ sưu tập: Với các ứng dụng trong phương pháp số và hình học tính toán, G.P. Kutishchev. Trong cuốn sách này, trên trình độ lý thuyết cao hơn một chút so với trường học, rất chi tiết được xem xét phương trình đại số, thừa nhận một giải pháp trong các phép toán cơ bản, hoặc một giải pháp trong các phép toán cấp tiến. Này…

Phương trình mặt phẳng. Làm thế nào để viết một phương trình cho một mặt phẳng?
Sự sắp xếp lẫn nhau của các mặt phẳng. Nhiệm vụ

Hình học không gian không phức tạp hơn nhiều so với hình học "phẳng", và các chuyến bay của chúng ta trong không gian bắt đầu với bài viết này. Để hiểu chủ đề, người ta phải hiểu rõ về vectơ Ngoài ra, cần phải làm quen với hình học của mặt phẳng - sẽ có nhiều điểm tương đồng, nhiều phép loại suy, vì vậy thông tin sẽ được tiêu hóa tốt hơn nhiều. Trong một loạt các bài học của tôi, thế giới 2D mở ra với một bài báo Phương trình của một đường thẳng trên một mặt phẳng. Nhưng bây giờ Batman đã rời khỏi TV màn hình phẳng và đang khởi động từ Sân bay vũ trụ Baikonur.

Hãy bắt đầu với các hình vẽ và ký hiệu. Về mặt sơ đồ, mặt phẳng có thể được vẽ như một hình bình hành, tạo ấn tượng về không gian:

Máy bay là vô hạn, nhưng chúng tôi chỉ có cơ hội để khắc họa một phần của nó. Trong thực tế, ngoài hình bình hành, một hình bầu dục hoặc thậm chí một đám mây cũng được vẽ. Vì lý do kỹ thuật, tôi sẽ thuận tiện hơn khi mô tả máy bay theo cách này và ở vị trí này. Máy bay thực, chúng ta sẽ xem xét ví dụ thực tế, có thể sắp xếp theo ý muốn - hãy nhẩm bản vẽ trên tay và xoay nó trong không gian, tạo cho mặt phẳng bất kỳ độ dốc nào, bất kỳ góc độ nào.

Ký hiệu: thông lệ chỉ định máy bay bằng các chữ cái Hy Lạp nhỏ, dường như để không nhầm lẫn chúng với thẳng trên máy bay Hoặc với thẳng trong không gian. Tôi đã quen với việc sử dụng bức thư. Trong bản vẽ, nó là chữ "sigma", và không phải là một cái lỗ nào cả. Mặc dù, một chiếc máy bay holey, nó chắc chắn rất buồn cười.

Trong một số trường hợp, rất tiện lợi khi sử dụng các chữ cái Hy Lạp giống nhau với các ký hiệu con để chỉ định các mặt phẳng, chẳng hạn.

Rõ ràng là mặt phẳng được xác định duy nhất bởi ba điểm khác nhau không nằm trên cùng một đường thẳng. Do đó, các ký hiệu ba chữ cái của máy bay khá phổ biến - theo các điểm thuộc về chúng, chẳng hạn, v.v. Thường các chữ cái được đặt trong dấu ngoặc đơn: , để không nhầm lẫn giữa mặt phẳng với một hình hình học khác.

Đối với những độc giả có kinh nghiệm, tôi sẽ cho menu lối tắt:

• Làm thế nào để viết một phương trình cho một mặt phẳng sử dụng một điểm và hai vectơ?
• Làm thế nào để viết một phương trình cho một mặt phẳng sử dụng một điểm và một vectơ pháp tuyến?

và chúng tôi sẽ không mệt mỏi đợi lâu:

Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng, trong đó các hệ số đồng thời khác không.

Một số phép tính lý thuyết và các bài toán thực tế đều có giá trị đối với cơ sở trực chuẩn thông thường và cơ sở affine khoảng trống (nếu dầu thì quay lại bài Sự phụ thuộc tuyến tính (không) của vectơ. Cơ sở vectơ). Để đơn giản, chúng ta sẽ giả định rằng tất cả các sự kiện xảy ra trong một cơ sở trực chuẩn và một hệ tọa độ hình chữ nhật Descartes.

Và bây giờ chúng ta hãy thực hành một chút trí tưởng tượng không gian. Nếu bạn có nó xấu cũng không sao, bây giờ chúng ta sẽ phát triển nó một chút. Ngay cả khi chơi trên dây thần kinh cũng cần phải luyện tập.

Chớm ban đầu trường hợp chung, khi các số khác 0, mặt phẳng cắt cả ba trục tọa độ. Ví dụ, như thế này:

Tôi nhắc lại một lần nữa rằng máy bay tiếp tục vô định theo mọi hướng, và chúng tôi chỉ có cơ hội để khắc họa một phần của nó.

Hãy xem xét các phương trình đơn giản nhất của mặt phẳng:

Làm sao để hiểu được phương trình đã cho? Hãy nghĩ về nó: “Z” LUÔN LUÔN, đối với bất kỳ giá trị nào của “X” và “Y” đều bằng không. Đây là phương trình của mặt phẳng tọa độ "gốc". Thật vậy, về mặt hình thức, phương trình có thể được viết lại như sau: , từ đó có thể thấy rõ rằng chúng tôi không quan tâm, “x” và “y” nhận những giá trị nào, điều quan trọng là “z” phải bằng 0.

Tương tự:
là phương trình của mặt phẳng tọa độ;
là phương trình của mặt phẳng tọa độ.

Hãy phức tạp hóa vấn đề một chút, xem xét một mặt phẳng (ở đây và xa hơn trong đoạn chúng ta giả sử rằng các hệ số không bằng 0). Hãy viết lại phương trình dưới dạng:. Làm thế nào để hiểu nó? "X" LUÔN LUÔN, với bất kỳ giá trị nào của "y" và "z" đều bằng một số nhất định. Mặt phẳng này song song với mặt phẳng tọa độ. Ví dụ, một mặt phẳng song song với một mặt phẳng và đi qua một điểm.

Tương tự:
- phương trình của mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ;
- phương trình của mặt phẳng song song với mặt phẳng tọa độ.

Thêm thành viên: . Phương trình có thể được viết lại như thế này:, nghĩa là, "Z" có thể là bất kỳ thứ gì. Nó có nghĩa là gì? "X" và "Y" được kết nối với nhau bằng một tỷ lệ vẽ một đường thẳng nhất định trong mặt phẳng (bạn sẽ nhận ra phương trình của một đường thẳng trong một mặt phẳng?). Vì Z có thể là bất cứ thứ gì, nên đường này được "nhân rộng" ở bất kỳ độ cao nào. Do đó, phương trình xác định một mặt phẳng song song với trục tọa độ

Tương tự:
- phương trình của mặt phẳng song song với trục tọa độ;
- phương trình của mặt phẳng song song với trục tọa độ.

Nếu các số hạng tự do bằng 0, thì các mặt phẳng sẽ trực tiếp đi qua các trục tương ứng. Ví dụ, "tỷ lệ thuận" cổ điển:. Vẽ một đường thẳng trong mặt phẳng và nhân nó lên và xuống (vì “z” là bất kỳ). Kết luận: máy bay, được đưa ra bởi phương trình, đi qua trục tọa độ.

Chúng tôi kết thúc bài đánh giá: phương trình của mặt phẳng đi qua gốc tọa độ. Vâng, ở đây rõ ràng là điểm thỏa mãn phương trình đã cho.

Và, cuối cùng, trường hợp được thể hiện trong hình vẽ: - mặt phẳng là bạn của tất cả các trục tọa độ, trong khi nó luôn “cắt” một tam giác có thể nằm trong bất kỳ tám phần tám nào.

Bất đẳng thức tuyến tính trong không gian

Để nắm được thông tin cần phải nghiên cứu kỹ bất đẳng thức tuyến tính trong mặt phẳng bởi vì nhiều thứ sẽ giống nhau. Đoạn văn sẽ là một cái nhìn tổng quan ngắn gọn với một vài ví dụ, vì tài liệu này khá hiếm trong thực tế.

Nếu phương trình xác định một mặt phẳng, thì bất phương trình
hỏi nửa không gian. Nếu bất đẳng thức không nghiêm ngặt (hai vế cuối cùng trong danh sách), thì nghiệm của bất đẳng thức, ngoài nửa không gian, bao gồm cả mặt phẳng.

Ví dụ 5

Tìm đơn Vector bình thường chiếc máy bay .

Dung dịch: Một vectơ đơn vị là một vectơ có độ dài là một. Chứng tỏ vector cho trước xuyên qua . Rõ ràng là các vectơ thẳng hàng:

Đầu tiên, chúng ta loại bỏ vectơ pháp tuyến khỏi phương trình của mặt phẳng:.

Làm thế nào để tìm thấy đơn vị véc tơ? Để tìm vector đơn vị, bạn cần mọi tọa độ vectơ chia cho độ dài vectơ.

Hãy viết lại vectơ pháp tuyến dưới dạng và tìm độ dài của nó:

Theo như trên:

Câu trả lời:

Kiểm tra:, bắt buộc phải kiểm tra.

Những độc giả đã nghiên cứu kỹ đoạn cuối của bài, có lẽ nhận thấy rằng tọa độ của vectơ đơn vị chính xác là cosin có hướng của vectơ:

Hãy lạc đề từ vấn đề được tháo gỡ: khi bạn được cung cấp một vectơ khác 0 tùy ý, và theo điều kiện, nó được yêu cầu phải tìm các cosin có hướng của nó (xem các nhiệm vụ cuối cùng của bài học Tích chấm của vectơ), thì trên thực tế, bạn cũng tìm thấy một vector thẳng hàng đơn vị với một đơn vị đã cho. Trong thực tế, hai nhiệm vụ trong một chai.

Nhu cầu tìm một vectơ pháp tuyến đơn vị nảy sinh trong một số bài toán giải tích toán học.

Chúng tôi đã tìm ra sự đánh bắt của vectơ thông thường, bây giờ chúng tôi sẽ trả lời câu hỏi ngược lại:

Làm thế nào để viết một phương trình cho một mặt phẳng sử dụng một điểm và một vectơ pháp tuyến?

Cấu trúc cứng nhắc của một vectơ pháp tuyến và một điểm được biết đến bởi mục tiêu phi tiêu. Hãy đưa tay về phía trước và tinh thần lựa chọn điểm tùy ý không gian, ví dụ, một con mèo nhỏ trong tủ bên. Rõ ràng, thông qua điểm này, bạn có thể vẽ một mặt phẳng duy nhất vuông góc với bàn tay của bạn.

Phương trình của mặt phẳng đi qua điểm vuông góc với vectơ được biểu thị bằng công thức:

Để sử dụng phương pháp tọa độ, bạn cần nắm rõ các công thức. Có ba trong số họ:

Thoạt nhìn, nó trông có vẻ đe dọa, nhưng chỉ cần thực hành một chút - và mọi thứ sẽ hoạt động tuyệt vời.

Một nhiệm vụ. Tìm côsin của góc giữa các vectơ a = (4; 3; 0) và b = (0; 12; 5).

Dung dịch. Vì chúng tôi được cung cấp tọa độ của các vectơ, chúng tôi thay thế chúng vào công thức đầu tiên:

Một nhiệm vụ. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các điểm M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) và K = (2; 1; 0), nếu biết nó không đi qua nguồn gốc.

Dung dịch. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0, nhưng vì mặt phẳng mong muốn không đi qua gốc - điểm (0; 0; 0) - nên ta đặt D = 1. Vì mặt phẳng này đi qua qua các điểm M, N và K thì tọa độ của các điểm này sẽ biến phương trình thành một đẳng thức số đúng.

Chúng ta hãy thay tọa độ của điểm M = (2; 0; 1) thay cho x, y và z. Chúng ta có:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

Tương tự, đối với các điểm N = (0; 1; 1) và K = (2; 1; 0), ta có phương trình:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Vì vậy, chúng ta có ba phương trình và ba ẩn số. Chúng tôi soạn và giải hệ phương trình:

Ta được phương trình của mặt phẳng có dạng: - 0,25x - 0,5y - 0,5z + 1 = 0.

Một nhiệm vụ. Mặt phẳng cho bởi phương trình 7x - 2y + 4z + 1 = 0. Tìm tọa độ của vectơ vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Dung dịch. Sử dụng công thức thứ ba, chúng ta nhận được n = (7; - 2; 4) - vậy thôi!

Tính toán tọa độ của vectơ

Nhưng nếu trong bài toán không có vectơ nào - chỉ có các điểm nằm trên các đường thẳng và yêu cầu tính góc giữa các đường thẳng này thì sao? Thật đơn giản: biết tọa độ của các điểm - điểm đầu và điểm cuối của vectơ - bạn có thể tính được tọa độ của chính vectơ đó.

Để tìm tọa độ của một vectơ, cần phải trừ tọa độ của điểm đầu cho tọa độ của điểm cuối của nó.

Định lý này hoạt động như nhau trên mặt phẳng và trong không gian. Biểu thức "trừ tọa độ" có nghĩa là tọa độ x của một điểm khác bị trừ đi tọa độ x của một điểm, sau đó phải thực hiện điều tương tự với tọa độ y và z. Dưới đây là một số ví dụ:

Một nhiệm vụ. Có ba điểm trong không gian, được cho bởi tọa độ của chúng: A = (1; 6; 3), B = (3; - 1; 7) và C = (- 4; 3; - 2). Tìm tọa độ các vectơ AB, AC và BC.

Xét vectơ AB: điểm đầu của nó là điểm A và điểm cuối là điểm B. Do đó, để tìm được toạ độ của nó, cần phải trừ toạ độ của điểm A cho toạ độ của điểm B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

Tương tự, điểm đầu của vectơ AC vẫn là điểm A, nhưng điểm cuối là điểm C. Do đó, ta có:
AC = (- 4 - 1; 3 - 6; - 2 - 3) = (- 5; - 3; - 5).

Cuối cùng, để tìm tọa độ của vectơ BC, cần phải trừ tọa độ của điểm B cho tọa độ của điểm C:
BC = (- 4 - 3; 3 - (- 1); - 2 - 7) = (- 7; 4; - 9).

Đáp số: AB = (2; - 7; 4); AC = (−5; −3; −5); BC = (−7; 4; - 9)

Chú ý đến cách tính tọa độ của vectơ cuối BC: nhiều người mắc lỗi khi làm việc với số âm. Điều này áp dụng cho biến y: điểm B có tọa độ y = - 1, và điểm C có y = 3. Ta nhận được chính xác 3 - (- 1) = 4, chứ không phải 3 - 1 như nhiều người vẫn nghĩ. Đừng mắc phải những sai lầm ngu ngốc như vậy!

Tính toán vectơ hướng cho đường thẳng

Nếu bạn đọc kỹ bài toán C2, bạn sẽ ngạc nhiên khi thấy rằng không có vectơ nào ở đó. Chỉ có đường thẳng và mặt phẳng.

Hãy bắt đầu với các đường thẳng. Mọi thứ đều đơn giản ở đây: trên bất kỳ dòng nào có ít nhất hai các điểm khác nhau và ngược lại, hai điểm phân biệt bất kỳ xác định một đường thẳng duy nhất ...

Có ai hiểu những gì được viết trong đoạn trước không? Bản thân tôi cũng không hiểu, vì vậy tôi sẽ giải thích đơn giản hơn: trong bài toán C2, các đường luôn được cho bởi một cặp điểm. Nếu chúng ta giới thiệu một hệ tọa độ và xem xét một vectơ có điểm đầu và điểm cuối tại những điểm này, chúng ta nhận được cái gọi là vectơ chỉ đạo của một đường thẳng:

Tại sao cần có vector này? Điểm ở đây là góc giữa hai đường thẳng là góc giữa các vectơ chỉ phương của chúng. Do đó, chúng ta đang chuyển từ các đường thẳng khó hiểu sang các vectơ cụ thể, tọa độ của chúng có thể dễ dàng tính được. Làm thế nào dễ dàng? Hãy xem các ví dụ:

Một nhiệm vụ. Các đường thẳng AC và BD 1 được vẽ trong hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tìm tọa độ các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này.

Vì độ dài các cạnh của hình lập phương không xác định trong điều kiện nên ta đặt AB = 1. Hãy giới thiệu một hệ trục tọa độ với gốc tọa độ tại điểm A và các trục x, y, z có hướng dọc theo các đường thẳng AB, AD và AA. 1, tương ứng. Đoạn đơn vị bằng AB = 1.

Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng AC. Ta cần hai điểm: A = (0; 0; 0) và C = (1; 1; 0). Từ đây ta được tọa độ của vectơ AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - đây là vectơ chỉ phương.

Bây giờ chúng ta hãy xử lý đoạn thẳng BD 1. Nó cũng có hai điểm: B = (1; 0; 0) và D 1 = (0; 1; 1). Ta được vectơ chỉ phương BD 1 = (0 - 1; 1 - 0; 1 - 0) = (- 1; 1; 1).

Đáp số: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (- 1; 1; 1)

Một nhiệm vụ. Ở bên phải lăng kính tam giác ABCA 1 B 1 C 1, tất cả các cạnh của chúng bằng 1, các đường thẳng AB 1 và AC 1 được vẽ. Tìm tọa độ các vectơ chỉ phương của các đường thẳng này.

Hãy giới thiệu một hệ trục tọa độ: gốc tọa độ tại điểm A, trục x trùng với AB, trục z trùng với AA 1, trục y tạo thành mặt phẳng OXY với trục x trùng với ABC. chiếc máy bay.

Đầu tiên, chúng ta hãy xử lý đoạn thẳng AB 1. Mọi thứ rất đơn giản ở đây: chúng ta có các điểm A = (0; 0; 0) và B 1 = (1; 0; 1). Ta được vectơ chỉ phương AB 1 = (1 - 0; 0 - 0; 1 - 0) = (1; 0; 1).

Bây giờ chúng ta hãy tìm vectơ chỉ phương của AC 1. Mọi thứ đều giống nhau - điểm khác biệt duy nhất là điểm C 1 có tọa độ vô tỷ. Vì vậy, A = (0; 0; 0), do đó, chúng tôi có:

Đáp số: AB 1 = (1; 0; 1);

Nhỏ nhưng rất lưu ý quan trọng Về ví dụ cuối cùng. Nếu điểm đầu của vectơ trùng với điểm gốc, các phép tính được đơn giản hóa rất nhiều: tọa độ của vectơ chỉ đơn giản bằng tọa độ của điểm cuối. Thật không may, điều này chỉ đúng với vectơ. Ví dụ, khi làm việc với các mặt phẳng, sự hiện diện của gốc tọa độ trên chúng chỉ làm phức tạp các tính toán.

Tính vectơ pháp tuyến cho mặt phẳng

Các vectơ bình thường không phải là các vectơ đang hoạt động tốt hoặc cảm thấy tốt. Theo định nghĩa, một vectơ pháp tuyến (pháp tuyến) đối với một mặt phẳng là một vectơ vuông góc với mặt phẳng đã cho.

Nói cách khác, pháp tuyến là một vectơ vuông góc với một vectơ bất kỳ trong một mặt phẳng cho trước. Chắc chắn bạn đã bắt gặp một định nghĩa như vậy - tuy nhiên, thay vì vectơ, nó là về đường thẳng. Tuy nhiên, ở trên đã chỉ ra rằng trong bài toán C2 người ta có thể thao tác với bất kỳ đối tượng thuận tiện nào - ngay cả một đường thẳng, thậm chí một vectơ.

Tôi xin nhắc lại một lần nữa rằng bất kỳ mặt phẳng nào cũng được xác định trong không gian bởi phương trình Ax + By + Cz + D = 0, trong đó A, B, C và D là một số hệ số. Không làm giảm tính tổng quát của nghiệm, chúng ta có thể giả sử D = 1 nếu mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ, hoặc D = 0 nếu nó có. Trong mọi trường hợp, tọa độ của vectơ pháp tuyến với mặt phẳng này là n = (A; B; C).

Vì vậy, máy bay cũng có thể được thay thế thành công bằng một vectơ - cùng một pháp tuyến. Bất kỳ mặt phẳng nào được xác định trong không gian bởi ba điểm. Làm thế nào để tìm phương trình của mặt phẳng (và do đó là pháp tuyến), chúng ta đã thảo luận ở phần đầu của bài viết. Tuy nhiên, quá trình này gây ra nhiều vấn đề cho nhiều người, vì vậy tôi sẽ đưa ra một vài ví dụ khác:

Một nhiệm vụ. Thiết diện A 1 BC 1 được vẽ trong hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này nếu gốc tọa độ tại điểm A và các trục x, y, z lần lượt trùng với các cạnh AB, AD, AA 1.

Vì mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ nên phương trình của nó có dạng như sau: Ax + By + Cz + 1 = 0, tức là. Hệ số D \ u003d 1. Vì mặt phẳng này đi qua các điểm A 1, B và C 1 nên tọa độ của các điểm này biến phương trình của mặt phẳng thành một đẳng thức số đúng.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = - 1;

Tương tự, đối với các điểm B = (1; 0; 0) và C 1 = (1; 1; 1), ta có phương trình:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = - 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Nhưng các hệ số A = - 1 và C = - 1 đã được chúng ta biết trước, vì vậy chúng ta vẫn phải tìm hệ số B:
B = - 1 - A - C = - 1 + 1 + 1 = 1.

Ta được phương trình của mặt phẳng: - A + B - C + 1 = 0, Do đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến là n = (- 1; 1; - 1).

Một nhiệm vụ. Mặt cắt AA 1 C 1 C được vẽ trong hình lập phương ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này nếu gốc tọa độ tại điểm A và các trục x, y, z trùng với các cạnh AB, AD và AA 1 lần lượt.

TẠI trường hợp này mặt phẳng đi qua gốc tọa độ nên hệ số D \ u003d 0, và phương trình của mặt phẳng có dạng như sau: Ax + By + Cz \ u003d 0. Vì mặt phẳng đi qua các điểm A 1 và C nên tọa độ của các điểm này biến phương trình của mặt phẳng thành đẳng thức số đúng.

Chúng ta hãy thay tọa độ của điểm A 1 = (0; 0; 1) thay cho x, y và z. Chúng ta có:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Tương tự, với điểm C = (1; 1; 0) ta có phương trình:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = - B;

Cho B = 1. Khi đó A = - B = - 1, và phương trình của toàn mặt phẳng là: - A + B = 0. Do đó, tọa độ của vectơ pháp tuyến là n = (- 1; 1; 0).

Nói chung, trong các bài toán trên, cần phải lập một hệ phương trình và giải nó. Sẽ có ba phương trình và ba biến, nhưng trong trường hợp thứ hai, một trong số chúng sẽ miễn phí, tức là nhận giá trị tùy ý. Đó là lý do tại sao chúng ta có quyền đặt B = 1 - mà không ảnh hưởng đến tính tổng quát của lời giải và tính đúng đắn của câu trả lời.

Rất thường trong bài toán C2, nó được yêu cầu làm việc với các điểm chia đôi đoạn. Tọa độ của các điểm như vậy có thể dễ dàng tính được nếu biết tọa độ của các điểm cuối của đoạn thẳng.

Vì vậy, cho đoạn thẳng được cho bởi các điểm cuối của nó - các điểm A \ u003d (x a; y a; z a) và B \ u003d (x b; y b; z b). Khi đó, tọa độ của giữa đoạn - chúng tôi ký hiệu là điểm H - có thể được tìm thấy bằng công thức:

Nói cách khác, tọa độ giữa một đoạn là trung bình cộng của tọa độ các đầu của nó.

Một nhiệm vụ. Hình lập phương đơn vị ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 được đặt trong hệ tọa độ sao cho các trục x, y, z lần lượt dọc theo các cạnh AB, AD và AA 1 và gốc tọa độ trùng với điểm A. Điểm K. là trung điểm của cạnh A 1 B một. Tìm tọa độ của điểm này.

Vì điểm K là trung điểm của đoạn A 1 B 1 nên tọa độ của nó bằng trung bình cộng của tọa độ các đầu mút. Hãy viết tọa độ của các điểm cuối: A 1 = (0; 0; 1) và B 1 = (1; 0; 1). Bây giờ chúng ta hãy tìm tọa độ của điểm K:

Một nhiệm vụ. Hình lập phương đơn vị ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 được đặt trong hệ trục tọa độ sao cho các trục x, y, z lần lượt dọc theo các cạnh AB, AD và AA 1 và gốc tọa độ trùng với điểm A. Tìm tọa độ của điểm L mà chúng cắt các đường chéo của hình vuông A 1 B 1 C 1 D 1.

Từ khóa học planimetry, người ta biết rằng giao điểm của các đường chéo của một hình vuông cách đều với tất cả các đỉnh của nó. Cụ thể, A 1 L = C 1 L, tức là điểm L là trung điểm của đoạn thẳng A 1 C 1. Nhưng A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1) nên ta có:

Đáp số: L = (0,5; 0,5; 1)