Zadaci predviđanja su izgrađeni na promjeni nekih podataka tokom vremena (prodaja, potražnja, ponuda, BDP, emisije ugljika, stanovništvo...) i projektovanju ovih promjena u budućnost. Nažalost, utvrđeni istorijskim podacima, trendovi mogu biti narušeni od strane mnogih nepredviđene okolnosti. Dakle, podaci u budućnosti mogu se značajno razlikovati od onih u prošlosti. Ovo je problem sa predviđanjem.

Međutim, postoje tehnike (zvane eksponencijalno izglađivanje) koje omogućavaju ne samo da se pokuša predvidjeti budućnost, već i numerički izraziti neizvjesnost svega što se odnosi na prognozu. Numerički izraz nesigurnosti kreiranjem intervala prognoze je zaista neprocjenjiv, ali se često zanemaruje u svijetu predviđanja.

Preuzmite bilješku u formatu ili, primjere u formatu

Početni podaci

Recimo da ste obožavatelj Gospodara prstenova i da pravite i prodajete mačeve tri godine (Slika 1). Pokažimo prodaju grafički (slika 2). Potražnja se udvostručila za tri godine – možda je to trend? Na ovu ideju ćemo se vratiti malo kasnije. Na grafikonu postoji nekoliko vrhova i dolina, što može biti znak sezonskog karaktera. Konkretno, vrhunci su u mjesecima 12, 24 i 36, koji su u decembru. Ali možda je to samo slučajnost? Saznajmo.

Jednostavno eksponencijalno izglađivanje

Metode eksponencijalnog izglađivanja oslanjaju se na predviđanje budućnosti na osnovu podataka iz prošlosti, gdje su novija zapažanja teža od starijih. Takvo ponderisanje je moguće zahvaljujući konstantama glađenja. Prva metoda eksponencijalnog izglađivanja koju ćemo isprobati zove se jednostavna eksponencijalno izglađivanje(PES, jednostavno eksponencijalno izglađivanje, SES). Koristi samo jednu konstantu izravnavanja.

Jednostavno eksponencijalno izglađivanje pretpostavlja da vaša vremenska serija podataka ima dvije komponente: nivo (ili srednju vrijednost) i neku grešku oko te vrijednosti. Nema trenda ili sezonskih fluktuacija – postoji samo nivo oko kojeg tražnja fluktuira, okružena malim greškama tu i tamo. Davanjem prednosti novijim zapažanjima, TEC može uzrokovati pomake na ovom nivou. Jezikom formula,

Potražnja u trenutku t = nivo + slučajna greška blizu nivoa u trenutku t

Kako onda pronaći približnu vrijednost nivoa? Ako prihvatimo da sve vremenske vrijednosti imaju istu vrijednost, onda bismo jednostavno trebali izračunati njihovu prosječnu vrijednost. Međutim, ovo je loša ideja. Nedavnim zapažanjima treba dati veću težinu.

Hajde da napravimo nekoliko nivoa. Izračunajte osnovnu liniju za prvu godinu:

nivo 0 = prosječna potražnja za prvu godinu (1-12 mjeseci)

Za potražnju za mačem, to je 163. Koristimo nivo 0 (163) kao prognozu potražnje za mjesec 1. Potražnja u mjesecu 1 je 165, što je 2 mača iznad nivoa 0. Vrijedi ažurirati osnovnu aproksimaciju. Jednostavna eksponencijalna jednačina za izglađivanje:

nivo 1 = nivo 0 + nekoliko procenata × (potražnja 1 - nivo 0)

nivo 2 = nivo 1 + nekoliko procenata × (potražnja 2 - nivo 1)

itd. "Nekoliko procenata" se naziva konstanta izglađivanja i označava se sa alfa. Može biti bilo koji broj od 0 do 100% (0 do 1). Kasnije ćete naučiti kako odabrati alfa vrijednost. AT opšti slučaj vrijednost za različite trenutke u vremenu:

Nivo tekućeg perioda = nivo prethodnog perioda +
alfa × (trenutni period potražnje - nivo prethodnog perioda)

Buduća potražnja je jednaka posljednjem izračunatom nivou (slika 3). Pošto ne znate šta je alfa, postavite ćeliju C2 na 0,5 za početak. Nakon što je model izgrađen, pronađite alfu takvu da je zbir kvadrata greške E2 (ili standardna devijacija– F2) bili su minimalni. Da biste to učinili, pokrenite opciju Pronalaženje rješenja. Da biste to učinili, prođite kroz meni PODACI –> Pronalaženje rješenja, i postavite u prozor Opcije pretraživanja rješenja tražene vrijednosti (slika 4). Da biste prikazali rezultate prognoze na grafikonu, prvo odaberite raspon A6:B41 i napravite jednostavan linijski grafikon. Zatim kliknite desnim tasterom miša na dijagram, odaberite opciju Odaberite podatke. U prozoru koji se otvori kreirajte drugi red i u njega umetnite predviđanja iz opsega A42:B53 (slika 5).

Možda imate trend

Da bismo testirali ovu pretpostavku, dovoljno je da se uklopi linearna regresija pod podacima o potražnji i izvršite t-test na porast ove linije trenda (kao u ). Ako je nagib prave različit od nule i statistički značajan (u Studentovom testu, vrijednost R manji od 0,05), podaci imaju trend (slika 6).

Koristili smo funkciju LINEST, koja vraća 10 deskriptivna statistika(ako do sada niste koristili ovu funkciju, preporučujem je) i funkciju INDEX koja vam omogućava da "izvučete" samo tri potrebne statistike, a ne cijeli skup. Ispostavilo se da je nagib 2,54, i značajan, budući da je Studentov test pokazao da je 0,000000012 značajno manje od 0,05. Dakle, trend postoji i ostaje da ga uključimo u prognozu.

Eksponencijalno Holt izglađivanje sa korekcijom trenda

Često se naziva dvostruko eksponencijalno izglađivanje jer ima dva parametra izglađivanja, alfa, a ne jedan. Ako vremenski niz ima linearni trend, tada:

potražnja tokom vremena t = nivo + t × trend + nasumično odstupanje nivo u trenutku t

Holt eksponencijalno izglađivanje s korekcijom trenda ima dvije nove jednadžbe, jednu za nivo dok se kreće naprijed u vremenu, a drugu za trend. Jednačina nivoa sadrži parametar glađenja alfa, a jednačina trenda gama. Evo kako izgleda nova jednačina nivoa:

nivo 1 = nivo 0 + trend 0 + alfa × (potražnja 1 - (nivo 0 + trend 0))

Zapiši to nivo 0 + trend 0 je samo prognoza u jednom koraku od originalnih vrijednosti do 1. mjeseca, dakle potražnja 1 – (nivo 0 + trend 0) je jednostepeno odstupanje. Dakle, jednačina aproksimacije osnovnog nivoa će biti sljedeća:

nivo tekućeg perioda = nivo prethodnog perioda + trend prethodnog perioda + alfa × (potražnja u tekućem periodu - (nivo prethodnog perioda) + trend prethodnog perioda))

Jednačina ažuriranja trenda:

trend tekućeg perioda = trend prethodnog perioda + gama × alfa × (trenutni period potražnje – (nivo prethodni period) + trend prethodni period))

Holt izglađivanje u Excel-u je slično jednostavnom izglađivanju (slika 7), a, kao i gore, cilj je pronaći dva koeficijenta uz minimiziranje sume grešaka na kvadrat (slika 8). Da biste dobili početni nivo i vrijednosti trenda (u ćelijama C5 i D5 na slici 7), napravite grafikon za prvih 18 mjeseci prodaje i dodajte mu liniju trenda s jednadžbom. Unesite početnu vrijednost trenda od 0,8369 i početni nivo od 155,88 u ćelije C5 i D5. Podaci o prognozi mogu se prikazati grafički (slika 9).

Rice. 7. Eksponencijalno Holt izglađivanje sa korekcijom trenda; Da biste uvećali sliku, kliknite desnim tasterom miša na nju i izaberite Otvorite sliku u novoj kartici

Pronalaženje obrazaca u podacima

Postoji način da se testira prediktivni model na snagu - da se uporede greške sa samim sobom, pomaknute za korak (ili nekoliko koraka). Ako su odstupanja slučajna, onda se model ne može poboljšati. Međutim, može postojati sezonski faktor u podacima o potražnji. Koncept greške koja je u korelaciji sa sopstvenom verzijom tokom različitog perioda naziva se autokorelacija (više o autokorelaciji pogledajte ). Da biste izračunali autokorelaciju, počnite sa podacima o grešci prognoze za svaki period (prenesite kolonu F na slici 7 u kolonu B na slici 10). Sljedeća definicija prosečna greška prognoza (Slika 10, ćelija B39; formula u ćeliji: =PROSEK(B3:B38)). U koloni C izračunajte odstupanje greške prognoze od srednje vrijednosti; formula u ćeliji C3: =B3-B$39. Zatim, uzastopno pomjerite kolonu C za kolonu udesno i za red dolje. Formule u ćelijama D39: =SUMPROIZVOD($C3:$C38,D3:D38), D41: =D39/$C39, D42: =2/SQRT(36), D43: =-2/SQRT(36).

Šta može značiti "sinhrono kretanje" sa stupcem C za jedan od stupaca D: O. Na primjer, ako su stupci C i D sinhroni, onda broj koji je negativan u jednom od njih mora biti negativan u drugom, pozitivan u jednom , pozitivan u prijatelju. To znači da će zbir proizvoda dva stupca biti značajan (razlike se akumuliraju). Ili, što je isto, što je vrednost u opsegu D41:O41 bliža nuli, to je niža korelacija kolone (odnosno od D do O) sa kolonom C (slika 11).

Jedna autokorelacija je iznad kritične vrijednosti. Greška pomjerena za godinu korelira sama sa sobom. To znači 12-mjesečni sezonski ciklus. I to nije iznenađujuće. Ako pogledate grafikon potražnje (Slika 2), ispostavlja se da potražnja ima vrhunce svakog Božića i padove u aprilu-maju. Razmotrite tehniku ​​predviđanja koja uzima u obzir sezonalnost.

Multiplikativno eksponencijalno Holt-Winters izglađivanje

Metoda se naziva multiplikativnim (od multiplicate - umnožavati), jer koristi množenje za obračun sezonalnosti:

Potražnja u trenutku t = (nivo + t × trend) × sezonska prilagodba u vrijeme t × sva preostala nepravilna prilagođavanja koja ne možemo uzeti u obzir

Holt-Wintersovo izglađivanje se naziva i trostruko eksponencijalno izglađivanje jer ima tri parametra izglađivanja (alfa, gama i delta sezonski faktor). Na primjer, ako postoji sezonski ciklus od 12 mjeseci:

Mjesečna prognoza 39 = (nivo 36 + 3 × trend 36) x sezonalnost 27

Prilikom analize podataka potrebno je utvrditi koji je trend u nizu podataka, a koja sezonalnost. Da biste izvršili proračune pomoću Holt-Wintersove metode, morate:

• Glatke historijske podatke koristeći metodu pokretnog prosjeka.
• Uporedite uglađenu verziju vremenske serije s originalnom da biste dobili grubu procjenu sezonskosti.
• Dobijte nove podatke bez sezonske komponente.
• Pronađite aproksimacije nivoa i trenda na osnovu ovih novih podataka.

Počnite s originalnim podacima (kolone A i B na slici 12) i dodajte stupac C sa izglađenim vrijednostima na osnovu pokretnog prosjeka. Budući da sezonalnost ima ciklus od 12 mjeseci, ima smisla koristiti prosjek od 12 mjeseci. Postoji mali problem sa ovim prosjekom. 12 je paran broj. Ako izravnate potražnju za 7. mjesec, da li to treba smatrati prosječnom potražnjom od 1. do 12. ili od 2. do 13. mjeseca? Da bismo se izborili sa ovom poteškoćom, moramo da izgladimo potražnju koristeći "pokretni prosek 2x12". Odnosno, uzmite polovinu dva proseka od 1. do 12. i od 2. do 13. meseca. Formula u ćeliji C8 je: =(PROSEK(B3:B14)+PROSEK(B2:B13))/2.

Izglađeni podaci za mjesece 1–6 i 31–36 ne mogu se dobiti jer nema dovoljno prethodnih i narednih perioda. Radi jasnoće, originalni i izglađeni podaci mogu biti prikazani dijagramom (slika 13).

Sada, u koloni D, podijelite originalnu vrijednost sa izglađenom vrijednošću da biste dobili procjenu sezonskog prilagođavanja (kolona D na slici 12). Formula u ćeliji D8: =B8/C8. Obratite pažnju na skokove od 20% iznad normalne potražnje u 12. i 24. mjesecu (decembar), dok ima padova u proljeće. Ova tehnika zaglađivanja vam je dala dvoje bodovne procjene za svaki mjesec (ukupno 24 mjeseca). Kolona E je prosjek ova dva faktora. Formula u ćeliji E1 je: =PROSEK(D14,D26). Radi jasnoće, nivo sezonskih fluktuacija može se prikazati grafički (slika 14).

Sada možete prilagoditi podatke za sezonske fluktuacije. Formula u ćeliji G1: =B2/E2. Napravite grafikon na osnovu podataka u koloni G, dopunite ga linijom trenda, prikažite jednačinu trenda na grafikonu (slika 15) i koristite koeficijente u narednim proračunima.

formu novi list, kao što je prikazano na sl. 16. Zamijenite vrijednosti u opsegu E5:E16 sa sl. 12 oblasti E2:E13. Uzmite vrijednosti C16 i D16 iz jednadžbe linije trenda na sl. 15. Postavite vrijednosti konstanti izglađivanja da počnu od oko 0,5. Proširite vrijednosti u redu 17 u rasponu mjeseci od 1 do 36. Pokreni Pronalaženje rješenja za optimizaciju koeficijenata izglađivanja (slika 18). Formula u ćeliji B53: =(C$52+(A53-A$52)*D$52)*E41.

Sada u napravljenoj prognozi potrebno je provjeriti autokorelacije (slika 18). Budući da se sve vrijednosti nalaze između gornje i donje granice, shvatite da je model dobro razumio strukturu vrijednosti potražnje.

Izgradnja intervala povjerenja za prognozu

Dakle, imamo prilično radnu prognozu. Kako postaviti gornje i donje granice koje se mogu koristiti za realistična nagađanja? U tome će vam pomoći simulacija Monte Carla, u kojoj ste se već upoznali (vidi također ). Poenta je generirati buduće scenarije ponašanja potražnje i odrediti grupu u koju spada 95% njih.

Uklonite sa lista Excel prognoza iz ćelija B53:B64 (vidi sliku 17). Tamo ćete napisati potražnju na osnovu simulacije. Potonji se može generirati pomoću funkcije NORMINV. Za naredne mjesece, samo treba da ga snabdjete srednjom (0), standardnom distribucijom (10,37 iz ćelije $H$2) i slučajni broj od 0 do 1. Funkcija će vratiti odstupanje sa vjerovatnoćom koja odgovara zvonovoj krivulji. Stavite simulaciju greške u jednom koraku u ćeliju G53: =NORMINV(RAND();0;H$2). Proširivanje ove formule na G64 daje vam simulaciju greške prognoze za 12-mjesečnu prognozu u jednom koraku (Slika 19). Vaše simulacijske vrijednosti će se razlikovati od onih prikazanih na slici (zato je to simulacija!).

Uz grešku prognoze, imate sve što vam je potrebno za ažuriranje nivoa, trenda i sezonskog faktora. Dakle, odaberite ćelije C52:F52 i proširite ih na red 64. Kao rezultat, imate simuliranu grešku prognoze i samu prognozu. Idući od suprotnog, moguće je predvidjeti vrijednosti potražnje. Umetnite formulu u ćeliju B53: =F53+G53 i rastegnite je na B64 (slika 20, opseg B53:F64). Sada možete pritisnuti dugme F9, svaki put ažurirajući prognozu. Postavite rezultate 1000 simulacija u ćelije A71:L1070, svaki put transponujući vrednosti iz opsega B53:B64 u opseg A71:L71, A72:L72, ... A1070:L1070. Ako vam smeta, napišite VBA kod.

Sada imate 1000 scenarija za svaki mjesec i možete koristiti funkciju PERCENTIL da biste dobili gornje i donje granice u sredini intervala pouzdanosti od 95%. U ćeliji A66, formula je: =PERCENTIL(A71:A1070,0,975) a u ćeliji A67: =PERCENTIL(A71:A1070,0,025).

Kao i obično, radi jasnoće, podaci se mogu prikazati u grafički oblik(Sl. 21).

Postoje dvije zanimljive tačke na grafikonu:

• Margina greške raste s vremenom. Ima smisla. Neizvjesnost se akumulira svakog mjeseca.
• Na isti način, greška se povećava u dijelovima koji padaju na periode sezonskog porasta potražnje. Sa njegovim kasnijim padom, greška se smanjuje.

Zasnovan na materijalu iz knjige Johna Foremana. – M.: Alpina Publisher, 2016. – S. 329–381

Eksponencijalno izglađivanje - više komplikovana metoda prosjećna težina. Svako novo predviđanje zasniva se na prethodnom predviđanju plus procentualna razlika između tog predviđanja i stvarne vrijednosti serije u tom trenutku.

F t \u003d F t -1 + (A t -1 - F t -1) (2)

gdje: F t – prognoza za period t

F t-1– prognoza za period t-1

- konstanta zaglađivanja

A t - 1 – stvarna potražnja ili prodaja za period t-1

Konstanta izglađivanja je postotak greške predviđanja. Svako novo predviđanje je jednako prethodnom predviđanju plus postotak prethodne greške.

Osetljivost korekcije prognoze na grešku određena je konstantom izglađivanja, što je njena vrednost bliža 0, to će se prognoza sporije prilagođavati greškama prognoze (tj. više stepena zaglađivanje). Suprotno tome, što je vrijednost bliža 1,0, to je veća osjetljivost i manje izglađivanje.

Izbor konstante izglađivanja je uglavnom stvar slobodnog izbora ili pokušaja i grešaka. Cilj je odabrati takvu konstantu izglađivanja da, s jedne strane, prognoza ostane dovoljno osjetljiva na prava promena podataka vremenskih serija, a s druge strane, dobro je izgladio skokove uzrokovane slučajnim faktorima. Uobičajene vrijednosti su u rasponu od 0,05 do 0,50.

Eksponencijalno izglađivanje je jedna od najčešće korištenih metoda predviđanja, dijelom zbog minimalnih zahtjeva za skladištenjem podataka i lakoće proračuna, a dijelom zbog lakoće s kojom se sistem faktora povećanja može promijeniti. jednostavna promjena vrijednosti.

Tabela 3. Eksponencijalno izglađivanje

Period	Stvarna potražnja	α= 0,1	α = 0,4
prognoza	greška	prognoza	greška
	10 000	-	-	-	-
	11 200	10 000	11 200-10 000=1 200	10 000	11 200-10 000=1 200
	11 500	10 000+0,1(11 200-10 000)=10 120	11 500-10 120=1 380	10 000+0,4(11 200-10 000)=10 480	11 500-10 480=1 020
	13 200	10 120+0,1(11 500-10 120)=10 258	13 200-10 258=2 942	10 480+0,4(11 500-10 480)=10 888	13 200-10 888=2 312
	14 500	10 258+0,1(13 200-10 258)=10 552	14 500-10 552=3 948	10 888+0,4(13 200-10 888)=11 813	14 500-11 813=2 687
	-	10 552+0,1(14 500-10 552)=10 947	-	11 813+0,4(14 500-11 813)=12 888	-

Metode za trend

Postoje dva važna metoda, koji se može koristiti za razvoj prognoza kada je prisutan trend. Jedna od njih uključuje korištenje jednadžbe trenda; drugi je eksponencijalna ekstenzija za izravnavanje.

Jednačina trenda:

Linearna jednačina trendovi ima sljedeći pogled:

Y t = a + δ∙ t (3)

gdje: t - određeni broj vremenskih perioda od t=0;

Y t– vremenska prognoza t;

α - značenje Y t at t=0

δ - nagib linije.

Direktni koeficijenti α i δ , može se izračunati iz statističkih podataka za određenom periodu, koristeći sljedeće dvije jednačine:

δ= , (4)

α = , (5)

gdje: n - broj perioda,

y– vrijednost vremenske serije

Tabela 3. Nivo trenda.

Period (t)	Godina	Nivo prodaje (y)	t∙y	t2
		10 000	10 000
			11 200	22 400
			11 500	34 500
			13 200	52 800
			14 500	72 500
Ukupno:		-	60 400	192 200

Izračunajmo koeficijente linije trenda:

δ=

Dakle, linija trenda Y t = α + δ ∙ t

u našem slučaju, Y t = 43 900+1 100 ∙t,

Gdje t = 0 za period 0.

Napravimo jednačinu za period 6 (2015) i 7 (2016):

– prognoza za 2015.

Y 7 = 43.900 + 1.100 * 7 = 51.600

Napravimo graf:

Eksponencijalno izglađivanje trenda

Varijacija jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja može se koristiti kada vremenska serija pokazuje trend. Ova varijacija se naziva eksponencijalno izglađivanje, izglađivanje zasnovano na trendu ili ponekad dvostruko izglađivanje. Razlikuje se od jednostavnog eksponencijalnog izglađivanja, koje se koristi samo kada se podaci mijenjaju oko neke prosječne vrijednosti ili imaju skokovite ili postepene promjene.

Ako je serija u trendu i koristi se jednostavno eksponencijalno izglađivanje, tada će sve prognoze zaostajati za trendom. Na primjer, ako se podaci povećaju, tada će svaka prognoza biti podcijenjena. Suprotno tome, smanjenje podataka daje precijenjenu prognozu. Grafički prikaz podataka može pokazati kada je dvostruko izravnavanje poželjnije od jednostavnog.

Trend-prilagođena prognoza (TAF) sastoji se od dva elementa: izglađena greška i faktor trenda.

TAF t +1 = S t + T t , (6)

gdje: S t – uglađena prognoza;

T t – procjena trenutnog trenda

I S t = TAF t + α 1 (A t - TAF t) , (7)

T t \u003d T t-1 + α 2 (TAF t -TAF t-1 - T t-1) (8)

Gdje α 1 , α 2 su izglađujuće konstante.

Za korištenje ove metode potrebno je odabrati vrijednosti α 1 , α 2 (uobičajenim načinom uklapanja) i napraviti početnu prognozu i procjenu trendova.

Tabela 4. Eksponencijalno izglađivanje trenda.

Pokretni prosek vam omogućava da savršeno izgladite podatke. Ali njegov glavni nedostatak je što svaka vrijednost u izvornim podacima ima istu težinu. Na primjer, za pokretni prosjek koji koristi period od šest sedmica, svakoj vrijednosti za svaku sedmicu se daje 1/6 težine. Za neke prikupljene statistike, novijim vrijednostima se daje veća težina. Zbog toga se koristi eksponencijalno izglađivanje kako bi se najnovijim podacima dala veća težina. Time je ovaj statistički problem riješen.

Formula za izračunavanje metode eksponencijalnog izglađivanja u Excelu

Slika ispod prikazuje izvještaj o potražnji za određenim proizvodom za 26 sedmica. Kolona Potražnja sadrži podatke o količini prodate robe. U koloni "Prognoza" - formula:

Kolona "Pokretni prosek" definiše prognoziranu potražnju, izračunatu korišćenjem uobičajenog izračunavanja pokretnog proseka sa periodom od 6 nedelja:

U posljednjoj koloni "Prognoza", uz gore opisanu formulu, primjenjuje se metoda eksponencijalnog izglađivanja podataka u kojoj vrijednosti posljednjih sedmica imaju veću težinu od prethodnih.

U ćeliju G1 se upisuje koeficijent "Alpha:", što znači težinu dodjele najnovijim podacima. AT ovaj primjer ima vrijednost od 30%. Preostalih 70% težine se raspoređuje na ostatak podataka. Odnosno, druga vrijednost u smislu relevantnosti (s desna na lijevo) ima težinu jednaku 30% od preostalih 70% težine - ovo je 21%, treća vrijednost ima težinu jednaku 30% ostatka od 70% težine - 14,7% i tako dalje.



Eksponencijalni dijagram izravnavanja

Na slici ispod prikazan je grafikon potražnje, pokretni prosjek i prognoza eksponencijalnog izglađivanja, koja je izgrađena na osnovu originalnih vrijednosti:

Imajte na umu da je eksponencijalna prognoza izglađivanja osjetljivija na promjene u potražnji nego linija pokretnog prosjeka.

Podaci za uzastopne prethodne sedmice se množe sa faktorom alfa, a rezultat se dodaje ostatku težinskog procenta pomnoženog s prethodnom predviđenom vrijednošću.

Tema 3. Izglađivanje i predviđanje vremenskih serija na osnovu trend modela

cilj proučavanje ove teme je stvaranje osnovne osnove za obuku menadžera u specijalnosti 080507 u oblasti izgradnje modela različitih zadataka iz oblasti ekonomije, formiranje sistematskog pristupa postavljanju i rešavanju problema prognoziranja među studentima. . Predloženi kurs će omogućiti stručnjacima da se brzo prilagode praktičan rad, bolje je navigirati u naučnim i tehničkim informacijama i literaturi u specijalnosti, donijeti sigurnije odluke koje se pojavljuju u radu. Main zadataka Teme studija su: produbljivanje studenata teorijsko znanje o primjeni prognostičkih modela, njihovom sticanju stabilnih vještina u izvođenju istraživačkog rada, sposobnosti rješavanja složenih naučni problemi povezana sa konstrukcijom modela, uključujući i višedimenzionalne, sposobnost logičke analize dobijenih rezultata i utvrđivanje načina za pronalaženje prihvatljivih rešenja.

Dosta jednostavna metoda identifikacija razvojnih trendova je izglađivanje vremenskih serija, odnosno zamjena stvarnih nivoa sa izračunatim koji imaju manje varijacije od izvornih podataka. Odgovarajuća transformacija se zove filtriranje. Razmotrimo nekoliko metoda zaglađivanja.

3.1. jednostavni proseci

Cilj ujednačavanja je izgradnja modela prognoze za buduće periode na osnovu prošlih zapažanja. U metodi jednostavnih prosjeka, vrijednosti varijable se uzimaju kao početni podaci Y u trenucima vremena t, a vrijednost prognoze se utvrđuje kao jednostavan prosjek za naredni vremenski period. Formula za izračun ima oblik

gdje n je broj zapažanja.

U slučaju kada novo zapažanje postane dostupno, novoprimljenu prognozu treba uzeti u obzir i za predviđanje za naredni period. Kada se koristi ova metoda, prognoza se vrši usrednjavanjem svih prethodnih podataka, međutim, nedostatak takvog predviđanja je teškoća njegove upotrebe u trend modelima.

3.2. Metoda pokretnog prosjeka

Ova metoda se zasniva na predstavljanju serije kao zbira prilično glatkog trenda i slučajna komponenta. Metoda se temelji na ideji izračunavanja teorijske vrijednosti na temelju lokalne aproksimacije. Za izgradnju procjene trenda u određenoj tački t po vrijednostima serije iz vremenskog intervala izračunati teorijsku vrijednost serije. Najrasprostranjeniji u praksi izglađivanja serija dobio sam slučaj kada su sve težine za elemente intervala su jednake jedna drugoj. Iz tog razloga se ova metoda naziva metoda pokretnog prosjeka, od kada se izvršava procedura, prozor širine od (2 m + 1) u celom redu. Širina prozora se obično uzima neparno, jer se teoretska vrijednost izračunava za središnju vrijednost: broj pojmova k = 2m + 1 sa isti broj nivoa lijevo i desno od trenutka t.

Formula za izračunavanje pokretnog prosjeka u ovom slučaju ima oblik:

Disperzija pokretnog prosjeka je definirana kao σ 2 /k, gde kroz σ2 označava varijansu originalnih termina serije, i k— interval izglađivanja, tako da što je veći interval izglađivanja, to je jače usrednjavanje podataka i manje promenljiv identifikovani trend. Najčešće se izglađivanje izvodi na tri, pet i sedam članova originalne serije. Istovremeno, treba uzeti u obzir sljedeće karakteristike pokretni prosek: ako uzmemo u obzir niz sa periodične fluktuacije stalne dužine, izglađivanje zasnovano na pokretnom proseku sa intervalom ujednačavanja jednakim ili višestrukim od perioda će u potpunosti eliminisati fluktuacije. Često, izglađivanje zasnovano na pokretnom prosjeku transformira niz tako snažno da se identificirani trend razvoja manifestira samo u većini uopšteno govoreći, a manji, ali važni za analizu detalji (talasi, krivine, itd.) nestaju; nakon zaglađivanja, mali valovi ponekad mogu promijeniti smjer u suprotan - umjesto "vrhova" pojavljuju se "jame" i obrnuto. Sve ovo zahtijeva oprez u korištenju jednostavnog pokretnog prosjeka i prisiljava nas da tražimo suptilnije metode opisa.

Metoda pokretnog prosjeka ne daje vrijednosti trenda za prvu i posljednju mčlanovi reda. Ovaj nedostatak je posebno uočljiv u slučaju kada je dužina reda mala.

3.3. Eksponencijalno izglađivanje

Eksponencijalni prosjek y t je primjer asimetričnog ponderiranog pokretnog prosjeka koji uzima u obzir stupanj starenja podataka: "starije" informacije s manjom težinom ulaze u formulu za izračunavanje izglađene vrijednosti nivoa serije

Evo — eksponencijalna sredina koja zamjenjuje promatranu vrijednost serije y t(izglađivanje uključuje sve podatke primljene na trenutni trenutak t), α je parametar izravnavanja koji karakterizira težinu trenutnog (najnovijeg) opažanja; 0< α <1.

Metoda se koristi za predviđanje nestacionarnih vremenskih serija sa nasumičnim promjenama nivoa i nagiba. Kako se udaljavamo od trenutnog trenutka vremena u prošlost, težina odgovarajućeg člana serije brzo (eksponencijalno) opada i praktično prestaje da utiče na vrijednost .

Lako je vidjeti da nam zadnja relacija omogućava da damo sljedeću interpretaciju eksponencijalnog prosjeka: if — predviđanje vrijednosti serije y t, tada je razlika greška prognoze. Dakle, predviđanje za sljedeću tačku u vremenu t+1 uzima u obzir ono što je u ovom trenutku postalo poznato t greška prognoze.

Opcija zaglađivanja α je faktor težine. Ako α blizu jedinice, tada prognoza značajno uzima u obzir veličinu greške posljednje prognoze. Za male vrijednosti α predviđena vrijednost je bliska prethodnoj prognozi. Izbor parametra za izglađivanje je prilično komplikovan problem. Opća razmatranja su sljedeća: metoda je dobra za predviđanje dovoljno glatkih serija. U ovom slučaju, može se izabrati konstanta izglađivanja minimiziranjem greške predviđanja za jedan korak unaprijed procijenjene iz posljednje trećine serije. Neki stručnjaci ne preporučuju korištenje velikih vrijednosti parametra za izravnavanje. Na sl. 3.1 prikazuje primjer izglađene serije koristeći metodu eksponencijalnog izglađivanja za α= 0,1.

Rice. 3.1. Rezultat eksponencijalnog izglađivanja na α =0,1
(1 - originalni red; 2 - zaglađeni red; 3 - ostaci)

3.4. Eksponencijalno izglađivanje
baziran na trendu (Holtova metoda)

Ova metoda uzima u obzir lokalni linearni trend koji postoji u vremenskoj seriji. Ako postoji uzlazni trend u vremenskoj seriji, tada je uz procjenu trenutnog nivoa neophodna i procjena nagiba. U Holt tehnici, vrijednosti nivoa i nagiba se izravnavaju korištenjem različitih konstanti za svaki od parametara. Konstante izglađivanja vam omogućavaju da procijenite trenutni nivo i nagib, prečišćavajući ih svaki put kada se vrše nova zapažanja.

Holtova metoda koristi tri formule za izračunavanje:

1. Eksponencijalno izglađena serija (procjena trenutnog nivoa)

(3.2)

1. Procjena trenda

(3.3)

1. Prognoza za R periodi pred nama

(3.4)

gdje α, β su izglađujuće konstante iz intervala .

Jednačina (3.2) je slična jednačini (3.1) za jednostavno eksponencijalno izglađivanje osim za termin trenda. Konstantno β potrebno da se izgladi procjena trenda. U jednadžbi prognoze (3.3), procjena trenda se množi sa brojem perioda R, na kojem se zasniva prognoza, a zatim se ovaj proizvod dodaje trenutnom nivou izglađenih podataka.

Trajno α i β biraju se subjektivno ili minimiziranjem greške predviđanja. Što se uzimaju veće vrijednosti pondera, to će se brže reagirati na tekuće promjene i podaci će biti izglađeniji. Manje težine čine strukturu izglađenih vrijednosti manje ravnom.

Na sl. 3.2 pokazuje primjer izglađivanja niza pomoću Holt metode za vrijednosti α i β jednako 0,1.

Rice. 3.2. Holt rezultat zaglađivanja
at α = 0,1 i β = 0,1

3.5. Eksponencijalno izglađivanje s trendovima i sezonskim varijacijama (zimska metoda)

Ako postoje sezonske fluktuacije u strukturi podataka, troparametarski model eksponencijalnog izglađivanja koji je predložio Winters koristi se za smanjenje grešaka prognoze. Ovaj pristup je produžetak prethodnog Holt modela. Da bi se uzele u obzir sezonske varijacije, ovdje se koristi dodatna jednadžba, a ova metoda je u potpunosti opisana sa četiri jednačine:

1. Eksponencijalno izglađena serija

(3.5)

1. Procjena trenda

(3.6)

1. Procjena sezonalnosti

.

(3.7)

1. Prognoza za R periodi pred nama

(3.8)

gdje α, β, γ — stalno ujednačavanje za nivo, trend i sezonalnost, respektivno; s- trajanje perioda sezonske fluktuacije.

Jednačina (3.5) ispravlja izglađenu seriju. U ovoj jednadžbi, termin uzima u obzir sezonalnost u izvornim podacima. Nakon što se u jednačinama (3.6), (3.7) uzmu u obzir sezonalnost i trend, procjene se izglađuju i predviđa se u jednačini (3.8).

Kao iu prethodnoj metodi, utezi α, β, γ može se odabrati subjektivno ili minimiziranjem greške predviđanja. Prije primjene jednačine (3.5) potrebno je odrediti početne vrijednosti za izglađene serije L t, trend T t, sezonski koeficijenti S t. Obično se početna vrijednost izglađene serije uzima jednaka prvom opažanju, tada je trend nula, a sezonski koeficijenti su jednaki jedan.

Na sl. 3.3 prikazuje primjer izglađivanja niza korištenjem Wintersove metode.

Rice. 3.3. Rezultat zaglađivanja po Winters metodi
at α = 0,1 ;β = 0,1; γ = 0,1(1 - originalni red; 2 - zaglađeni red; 3 - ostaci)

3.6. Predviđanje zasnovano na trend modelima

Vrlo često vremenske serije imaju linearni trend (trend). Uz pretpostavku linearnog trenda, potrebno je izgraditi pravu liniju koja bi najtačnije odražavala promjenu dinamike u periodu koji se razmatra. Postoji nekoliko metoda za konstruisanje prave linije, ali najobjektivnija sa formalne tačke gledišta biće konstrukcija zasnovana na minimiziranju zbira negativnih i pozitivnih odstupanja početnih vrednosti serije od prave.

Prava linija u dvokoordinatnom sistemu (x, y) može se definisati kao tačka preseka jedne od koordinata at i ugao nagiba prema osi X. Jednačina za takvu pravu liniju će izgledati ovako gdje a- tačka raskrsnice; b- ugao nagiba.

Da bi prava linija odražavala tok dinamike, potrebno je minimizirati zbir vertikalnih odstupanja. Kada se kao kriterij za procjenu minimizacije koristi jednostavan zbir odstupanja, rezultat neće biti dobar, jer se negativna i pozitivna odstupanja međusobno poništavaju. Minimiziranje zbira apsolutnih vrijednosti također ne dovodi do zadovoljavajućih rezultata, jer su procjene parametara u ovom slučaju nestabilne, a postoje i računske poteškoće u implementaciji takvog postupka procjene. Stoga je najčešće korištena procedura minimiziranje sume kvadrata odstupanja, odnosno metoda najmanjeg kvadrata(MNK).

Budući da niz početnih vrijednosti ima fluktuacije, model serije će sadržavati greške, čiji kvadrati moraju biti minimizirani

gdje je y i posmatrana vrijednost; y i * su teorijske vrijednosti modela; - broj zapažanja.

Prilikom modeliranja trenda originalne vremenske serije korištenjem linearnog trenda, to ćemo pretpostaviti

Dijeljenje prve jednadžbe sa n, dolazimo do sljedećeg

Zamjena dobijenog izraza u drugu jednačinu sistema (3.10), za koeficijent b* dobijamo:

3.7. Provjera uklapanja modela

Kao primjer, na sl. 3.4 prikazuje grafik linearne regresije između snage automobila X i njen trošak at.

Rice. 3.4. Dijagram linearne regresije

Jednačina za ovaj slučaj je: at=1455,3 + 13,4 X. Vizuelna analiza ove slike pokazuje da za brojna opažanja postoje značajna odstupanja od teorijske krive. Grafikon ostatka prikazan je na Sl. 3.5.

Rice. 3.5. Grafikon ostataka

Analiza reziduala regresijske linije može pružiti korisnu mjeru koliko dobro procijenjena regresija odražava stvarne podatke. Dobra regresija je ona koja objašnjava značajnu količinu varijanse i, obrnuto, loša regresija ne prati veliku količinu fluktuacije u izvornim podacima. Intuitivno je jasno da će svaka dodatna informacija poboljšati model, tj. smanjiti neobjašnjivi dio varijacije varijable at. Da bismo analizirali regresiju, dekomponovaćemo varijansu na komponente. Očigledno je da

Zadnji član će biti jednak nuli, jer je zbir ostataka, pa dolazimo do sljedećeg rezultata

gdje SS0, SS1, SS2 odrediti ukupni, regresijski i rezidualni zbir kvadrata, respektivno.

Regresijski zbir kvadrata mjeri dio varijanse objašnjen linearnim odnosom; rezidualni - dio disperzije, koji nije objašnjen linearnom ovisnošću.

Svaki od ovih zbroja karakterizira odgovarajući broj stupnjeva slobode (HR), koji određuje broj jedinica podataka koje su nezavisne jedna od druge. Drugim rečima, broj otkucaja srca je povezan sa brojem posmatranja n i broj parametara izračunat iz ukupnosti ovih parametara. U slučaju koji se razmatra, izračunati SS0 određuje se samo jedna konstanta (prosječna vrijednost), dakle broj otkucaja srca za SS0 bice (n– 1), otkucaji srca za SS 2 - (n - 2) i puls za SS 1 bice n - (n - 1)=1, budući da postoji n - 1 konstantna tačka u jednačini regresije. Baš kao i zbroji kvadrata, otkucaji srca su povezani

Zbroji kvadrata koji su povezani sa dekompozicijom varijanse, zajedno sa odgovarajućim otkucajima srca, mogu se staviti u tzv. analizu varijanse (ANOVA table - ANAlysis Of VARiance) (Tabela 3.1).

Tabela 3.1

ANOVA table

Izvor	Zbir kvadrata		Srednji kvadrat
Regresija			SS2/ (n-2)

Koristeći uvedenu skraćenicu za sume kvadrata, definiramo koeficijent odlučnosti kao omjer regresijskog zbira kvadrata i ukupnog zbira kvadrata kao

(3.13)

Koeficijent determinacije mjeri udio varijabilnosti u varijabli Y, što se može objasniti korištenjem informacija o varijabilnosti nezavisne varijable x. Koeficijent determinacije se mijenja od nule kada X ne utiče Y, na jedan kada je promjena Y u potpunosti objašnjeno promjenom x.

3.8. Model regresijske prognoze

Najbolje predviđanje je ono sa najmanjom varijansom. U našem slučaju, konvencionalni najmanji kvadrati daju najbolje predviđanje od svih metoda koje daju nepristrasne procjene zasnovane na linearnim jednadžbama. Greška predviđanja povezana sa procedurom predviđanja može doći iz četiri izvora.

Prvo, slučajna priroda aditivnih grešaka kojima se upravlja linearnom regresijom osigurava da će prognoza odstupiti od pravih vrijednosti čak i ako je model ispravno specificiran i njegovi parametri su precizno poznati.

Drugo, sam proces procjene unosi grešku u procjenu parametara - oni rijetko mogu biti jednaki pravim vrijednostima, iako su im u prosjeku jednaki.

Treće, u slučaju uslovne prognoze (u slučaju nepoznatih tačnih vrijednosti nezavisnih varijabli), greška se unosi sa prognozom varijabli objašnjenja.

Četvrto, greška se može pojaviti jer specifikacija modela nije tačna.

Kao rezultat toga, izvori grešaka se mogu klasificirati na sljedeći način:

1. priroda varijable;
2. priroda modela;
3. greška koju donosi prognoza nezavisnih slučajnih varijabli;
4. greška u specifikaciji.

Razmotrićemo bezuslovnu prognozu, kada se nezavisne varijable lako i tačno predviđaju. Započinjemo naše razmatranje problema kvaliteta prognoze sa uparenom regresijskom jednadžbom.

Iskaz problema u ovom slučaju može se formulirati na sljedeći način: koja će biti najbolja prognoza y T+1, pod uvjetom da je u modelu y = a + bx opcije a i b tačno procenjena i vrednost xT+1- poznato.

Tada se predviđena vrijednost može definirati kao

Greška prognoze će tada biti

.

Greška prognoze ima dva svojstva:

Rezultirajuća varijansa je minimalna među svim mogućim procjenama zasnovanim na linearnim jednačinama.

Iako a i b su poznati, greška prognoze se javlja zbog činjenice da na T+1 možda neće ležati na liniji regresije zbog greške ε T+1, poštujući normalnu distribuciju sa nultom srednjom vrijednosti i varijansom σ2. Da bismo provjerili kvalitet prognoze, uvodimo normaliziranu vrijednost

Interval pouzdanosti od 95% se tada može definirati na sljedeći način:

gdje β 0,05 su kvantili normalne distribucije.

Granice intervala od 95% mogu se definirati kao

Imajte na umu da je u ovom slučaju širina interval povjerenja ne zavisi od veličine X, a granice intervala su prave linije paralelne sa linijama regresije.

Češće je prilikom konstruisanja regresijske linije i provjere kvaliteta prognoze potrebno procijeniti ne samo parametre regresije, već i varijansu greške prognoze. Može se pokazati da u ovom slučaju varijansa greške zavisi od vrijednosti (), gdje je srednja vrijednost nezavisne varijable. Osim toga, što je serija duža, to je tačnija prognoza. Greška prognoze se smanjuje ako je vrijednost X T+1 blizu srednje vrijednosti nezavisne varijable, i obrnuto, kada se udalji od srednje vrijednosti, prognoza postaje manje tačna. Na sl. 3.6 prikazuje rezultate predviđanja korištenjem jednačine linearne regresije za 6 vremenskih intervala unaprijed zajedno sa intervalima povjerenja.

Rice. 3.6. Predviđanje linearne regresije

Kao što se može vidjeti sa sl. 3.6, ova linija regresije ne opisuje dobro originalne podatke: postoji velika varijacija u odnosu na liniju uklapanja. O kvalitetu modela može se suditi i po rezidualima, koji bi, uz zadovoljavajući model, trebali biti raspoređeni približno po normalnom zakonu. Na sl. 3.7 prikazuje grafik reziduala, izgrađen korištenjem skale vjerovatnoće.

Sl.3.7. Grafikon ostataka

Kada se koristi ovakva skala, podaci koji se pridržavaju normalnog zakona trebali bi ležati na pravoj liniji. Kao što proizilazi iz slike, tačke na početku i kraju perioda posmatranja donekle odstupaju od prave linije, što ukazuje na nedovoljno visok kvalitet odabranog modela u vidu jednačine linearne regresije.

U tabeli. Tabela 3.2 prikazuje rezultate prognoze (druga kolona) zajedno sa 95% intervala povjerenja (donja – treća i gornja – četvrta kolona, ​​respektivno).

Tabela 3.2

Rezultati prognoze

3.9. Multivarijantni regresijski model

U multivarijantnoj regresiji, podaci za svaki slučaj uključuju vrijednosti zavisne varijable i svake nezavisne varijable. Zavisna varijabla y je slučajna varijabla povezana sa nezavisnim varijablama sljedećim odnosom:

gdje su koeficijenti regresije koje treba odrediti; ε je komponenta greške koja odgovara odstupanju vrijednosti zavisne varijable od pravog omjera (pretpostavlja se da su greške nezavisne i da imaju normalnu distribuciju sa nultom srednjom i nepoznatom varijansom σ ).

Za dati skup podataka, procjene koeficijenata regresije mogu se naći korištenjem metode najmanjih kvadrata. Ako su OLS procjene označene sa , tada će odgovarajuća regresijska funkcija izgledati ovako:

Ostaci su procjene komponente greške i slični su rezidualima u slučaju jednostavne linearne regresije.

Statistička analiza multivarijantnog regresijskog modela provodi se slično kao i analiza jednostavne linearne regresije. Standardni paketi statističkih programa omogućavaju dobijanje procjena pomoću najmanjih kvadrata za parametre modela, procjene njihovih standardnih grešaka. Takođe, možete dobiti vrijednost t-statistiku za provjeru značaja pojedinih termina regresionog modela i vrijednosti F-statistiku za testiranje značajnosti regresijske zavisnosti.

Oblik dijeljenja zbira kvadrata u slučaju multivarijantne regresije je sličan izrazu (3.13), ali će omjer za otkucaje srca biti sljedeći

To još jednom naglašavamo n je obim zapažanja, i k je broj varijabli u modelu. Ukupna varijansa zavisne varijable sastoji se od dvije komponente: varijanse objašnjene nezavisnim varijablama kroz funkciju regresije i neobjašnjive varijanse.

Tabela ANOVA za slučaj multivarijantne regresije će imati oblik prikazan u tabeli. 3.3.

Tabela 3.3

ANOVA table

Izvor	Zbir kvadrata		Srednji kvadrat
Regresija			SS2/ (n-k-1)

Kao primjer multivarijantne regresije koristit ćemo podatke iz paketa Statistica (datoteka sa podacima Poverty.Sta) Prikazani podaci zasnovani su na poređenju rezultata popisa iz 1960. i 1970. godine. za slučajni uzorak od 30 zemalja. Imena zemalja su unesena kao niz imena, a imena svih varijabli u ovoj datoteci su navedena ispod:

POP_CHNG — promjena stanovništva za 1960-1970;

N_EMPLD — broj zaposlenih u poljoprivredi;

PT_SIROMAŠTVO - procenat porodica koje žive ispod granice siromaštva;

TAX_RATE - poreska stopa;

PT_PHONE - postotak stanova sa telefonom;

PT_RURAL - procenat ruralnog stanovništva;

AGE je srednja dob.

Kao zavisnu varijablu biramo obilježje Pt_Poor, a kao nezavisni - sve ostalo. Izračunati koeficijenti regresije između odabranih varijabli dati su u tabeli. 3.4

Tabela 3.4

Koeficijenti regresije

Ova tabela prikazuje koeficijente regresije ( AT) i standardizirani koeficijenti regresije ( beta). Uz pomoć koeficijenata AT postavlja se oblik regresijske jednadžbe, koja u ovom slučaju ima oblik:

Uključivanje u desnu stranu samo ovih varijabli je zbog činjenice da samo ove karakteristike imaju vrijednost vjerovatnoće R manji od 0,05 (vidi četvrtu kolonu tabele 3.4).

Bibliografija

1. Basovsky L. E. Predviđanje i planiranje u tržišnim uslovima. - M.: Infra - M, 2003.
2. Box J., Jenkins G. Analiza vremenskih serija. Izdanje 1. Prognoza i upravljanje. – M.: Mir, 1974.
3. Borovikov V. P., Ivchenko G. I. Predviđanje u sistemu Statistica u Windows okruženju. - M.: Finansije i statistika, 1999.
4. Vojvoda V. Obrada podataka na PC-u u primjerima. - Sankt Peterburg: Petar, 1997.
5. Ivčenko B. P., Martiščenko L. A., Ivancov I. B. Informaciona mikroekonomija. Dio 1. Metode analize i predviđanja. - Sankt Peterburg: Nordmed-Izdat, 1997.
6. Kričevski M. L. Uvod u umjetne neuronske mreže: Proc. dodatak. - Sankt Peterburg: St. Petersburg. stanje marine tech. un-t, 1999.
7. Soshnikova L. A., Tamashevich V. N., Uebe G. et al. Multivarijantna statistička analiza u ekonomiji. – M.: Jedinstvo-Dana, 1999.

Identifikacija i analiza trenda vremenske serije često se vrši uz pomoć njenog poravnanja ili izglađivanja. Eksponencijalno izglađivanje je jedna od najjednostavnijih i najčešćih tehnika poravnanja serije. Eksponencijalno izglađivanje se može predstaviti kao filter, čiji ulaz sekvencijalno primaju članovi originalne serije, a na izlazu se formiraju trenutne vrijednosti eksponencijalnog prosjeka.

Neka bude vremenska serija.

Eksponencijalno izglađivanje niza vrši se prema rekurentnoj formuli: , .

Što je manji α, to je više filtrirano, potisnulo je fluktuacije originalne serije i šuma.

Ako se ova rekurzivna relacija dosljedno koristi, tada se eksponencijalni prosjek može izraziti u smislu vrijednosti vremenske serije X.

Ako raniji podaci postoje do trenutka kada ravnanje počne, tada se kao početna vrijednost može koristiti aritmetički prosjek svih ili nekih dostupnih podataka.

Nakon pojave radova R. Browna, eksponencijalno izglađivanje se često koristi za rješavanje problema kratkoročnog predviđanja vremenskih serija.

Formulacija problema

Neka je data vremenska serija: .

Potrebno je riješiti problem predviđanja vremenskih serija, tj. naći

Horizont prognoze, potrebno je da

Da bismo uzeli u obzir zastarelost podataka, uvodimo nerastući niz pondera, tada

Smeđi model

Pretpostavimo da je D mali (kratkoročna prognoza), a zatim za rješavanje takvog problema koristite braon model.

Ako prognozu smatramo korak ispred, onda - greška ove prognoze, a nova prognoza se dobija kao rezultat prilagođavanja prethodne prognoze, uzimajući u obzir njenu grešku - suštinu prilagođavanja.

U kratkoročnom predviđanju, poželjno je što je brže moguće odražavati nove promjene i istovremeno što bolje „očistiti“ niz od slučajnih fluktuacija. To. povećati težinu novijih zapažanja: .

S druge strane, da bi se izgladila nasumična odstupanja, α se mora smanjiti: .

To. ova dva zahtjeva su u sukobu. Potraga za kompromisnom vrijednošću α je problem optimizacije modela. Obično se α uzima iz intervala (0,1/3).

Primjeri

Rad eksponencijalnog izglađivanja na α=0,2 na podacima mjesečnih izvještaja o prodaji stranog brenda automobila u Rusiji za period od januara 2007. do oktobra 2008. godine. Zapažamo oštre padove u januaru i februaru, kada prodaja tradicionalno pada i raste početkom ljeto.

Problemi

Model radi samo sa malim horizontom prognoze. Trend i sezonske promjene se ne uzimaju u obzir. Kako bi se uzeli u obzir njihov utjecaj, predlaže se korištenje sljedećih modela: Holt (u obzir se uzima linearni trend), Holt-Winters (multiplikativni eksponencijalni trend i sezonalnost), Theil-Wage (aditivni linearni trend i sezonalnost).